toanth.net

Võ Tiến Trình 1

Bài Hình Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Phú Thọ

Năm 2014 - 2015

Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) ( 2BC R ). Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC,( A không trùng B,C). Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC; EF cắt BC tại P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R .

a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp b) Gọi M là trung điểm cạnh BC .Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM

là hai tam giác đồng dạng. c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một

điểm cố định Giải.

toanth.net

Võ Tiến Trình 2

a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp

Vì 090BFC BEC nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC AFE ACB

Vì / /EF QR AFE ARQ (hai góc đồng vị)

BRQ ACB tứ giác BQCR nội tiếp đường tròn.

b) Gọi M là trung điểm cạnh BC .Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM là hai tam giác đồng dạng.

Vì 090ADB AEB nên tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB BAC EDC (1)

Tứ giác BFEC nội tiếp AEF ABC M là trung điểm của BC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC

ME MC MEC cân tại M MEC ACB

Ta có: 0180ABC ACB BAC (tổng ba góc trong tam giác ABC)

0180AEF MEC FEM (góc bẹt) FEM BAC (2)

Từ (1) và (2) suy ra FEM EDC

Xét DEM và EPM ta có: EMP là góc chung và FEM EDC DEM đồng dạng EPM

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định

Vì 090ADC AFC nên tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn đường kính AC FDB BAC

Theo (1) ta có BAC EDC FDB EDC

Theo b) DEM đồng dạng EPM DEM EPM

Xét MDE và FDP có EDC FDB và DEM EPM

toanth.net

Võ Tiến Trình 3

MDE đồng dạng FDP

. .MD FD DM DP DE DFDE PD

(*)

Xét DEC và DBF có: EDC FDB và ECD DFB (do tứ giác AFDC nội tiếp) DEC đồng dạng DBF

. .DE DB DE DF DB DCDC DF

(**)

Vì tứ giác BQCR nội tiếp DBR đồng dạng DQC

. .DB DQ DB DC DQ DRDR DC

(***)

Từ (*), (**), (***) ta có . .DM DP DQ DR

DP DQDR DM

kết hợp với PDR QDC (đối đỉnh)

DPR đồng dạng DQM

MPR RQM

tứ giác PQMR nội tiếp đường tròn hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua điểm M cố định (M là trung điểm BC nên M cố định)