· bÀi tẬp toÁn hk ii lỚp 12 5 25/ 2 2 e 1 e ln x dx xlnx ò + 26/ 1 0 3 1 x dx x + ò 27/ 2...

BÀI TẬP TOÁN HK II LỚP 12

1

GIẢI TÍCH TÍCH PHÂN 1. Tính

1/ 1

3

0

2 1(x x )dx+ +ò 2/ 3

22

1

1 1(x x )dxx x

- + -ò

3/ 1

3 2

0

(x x x)dx+ò 4/ 2

32

1

2(x x x x)dx- +ò

5/ 2

1

2 2 4( x )(x x )dx+ - +ò 6/ 2

1

1 1( x )(x x )dx- + +ò

7/

2

1

2 5 7e x xdxx+ -

ò 8/ 2

5

2

dxx 2 x+ + -ò

9/ 1

0

3 3x x( e )dx-ò 10/ 2

2 31

2 1

2dx

x x

æ ö+ç ÷

è øò

11/ 2

3

13 2( sin x cosx )dx

x

p

p

- +ò 12/ 2

3

2 3( sin x cosx x)dx

p

p

+ +ò

13/

1

1

2e

e

dxxò 14/

12 2

0

2 1x(e x )dx- +ò

15/ 2

3

1

3 2( x) dx-ò 16/ 0

41

1

3 1dx

( x )- -ò

17/ 1

3

2

2x dx-

-

- +ò 18/ 0

2

2 31x dx

x-

--ò

TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG

2

19/ 1 2

1

2 32

x x dxx

-

- ++ò 20/

2

1

12( x)(x )dx

x- -ò

21/ 2 3

1

1

1

x

xe dx

e

-

-ò 22/

2

0

24

cos( x)dx

p

p-ò

23/ 3

0

2sin x cosxdx

p

ò 24/ 2

0

5cos x cosxdx

p

ò

25/ 4 3

2

6

2 sin xdxsin x

p

p

-ò 26/ ( )

42

0

1 tan x dx

p

-ò

27/ 2

2

0

2sin xdx

p

ò 28/ 2

21

1

3 2dx

x x+ -ò

2. Tính

1/ 3

0

2x dx-ò 2/ 1

2

3

2x x dx-

-ò

3/ 5

3

2 2( x x )dx-

+ - -ò 4/ 3

2

0

1 2(| x | (x ) )dx- + -ò

5/

22

0

1

1

xdx

x

-

+ò 6/ 2

34

x dxx

-+ò

7/ 2

01 1

dxx+ -ò 8/

0

1 2sin xdxp

+ò


3

9/ 2

4

1 22

cos xdx

p

p-

-ò 10/

23

2

61

dx

cot x

p

p +ò

11/ 3

0

2 4x dx-ò 12/ 2

22

12

12x dx

x+ -ò

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN:

b/

a/

/

Ñoåi bieán soá daïng 1

Ñeå tính tích phaân f[ (x)] (x).dx ta thöïc hieän caùc böôùc sau:

Böôùc 1. Ñaët u = (x) vaø tính du (x).dx .Böôùc 2. Ñoåi caän:x a u (a) , x b u (b) .

Böôùc 3. f[ (x)]

j j

j = j= Þ = j = a = Þ = j =b

j j

ò

b

a(x).dx f(u).du .

b

a

=ò ò

1/ Tính:

1/ 3

2

0

1x x dx+ò 2/ 0

2

1

1x x dx-

-ò

3/ 1

3 2

0

1x x dx+ò 4/ 1

33 2

0

1x x dx-ò

5/ 2 2

30 1

x dxx +

ò 6/ 1

30 2 1

x dx( x )+ò

7/ 2

31

1

1dx

x x +ò 8/

12 3

0

5x x dx+ò


4

9/ 1

3

1x xdx-

-ò 10/ 2

5

0

sin xdx

p

ò

11/ ( )2

4

0

1sin x cosxdx

p

+ò 12/ 2

3 2

3

sin xcos xdx

p

pò

13/ 2

2 3

0

2 1sin x( sin x) dx

p

+ò 14/ 3

0

1 4cos.sin xdx

p

+ò

15/ 2

01 3

sin x dxcosx

p

+ò 16/ 4

0

21 2 2

sin x dxcos x

p

+ò

17/ 2

4

sin xe cosxdx

p

pò 18/

4

6

cot xdx

p

pò

19/ 4

0

tan xdx

p

ò 20/ 2

12

0

3 xx.e dx+ò

21/ 2 1

1

e ln xe dxx

+

ò 22/ 1

e sin(ln x) dxxò

23/ 1

1e ln x dxx+

ò 24/ 1

1 3e ln x ln x dxx

+ò


5

25/

221e

e

ln x dxx ln x+

ò 26/ 1

0 3 1

x dxx +ò

27/ 2

3

2

/

/cosx cos xdx

p

-p

-ò 28/ 4

20

1 2sin xdxcos x

p

+ò

29/ 4

4

6

1 dxsin x

p

pò 30/

6

20 6 5

cosx dxsin x sin x

p

- +ò

31/ 4

0 3 2

cosx sin x dxsin x

p

-

+ò 32/ 2

2 20

2

4

sin x dxsin x cos x

p

+ò

b

a/

b/

a

Ñoåi bieán soá daïng 2

Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b], ñeå tính f(x)dx .

Böôùc 1. Ñaët x = (t) vaø tính dx (t)dt.Böôùc 2. Ñoåi caän: x a t , x b t .

Böôùc 3. f(x)dx f[ (t)] (t

j = j= Þ =a = Þ =b

= j j

ò

ò )dt g(t)dt .b b

a a

=ò ò

Dấu hiệu Cách đặt

2 2a x- 2 2

0

Ñaët x a sin t ;vôùi t ;

hoaëc x a cost ;vôùi t ;

é ùp p= Î -ê ú

ë ûé ù= Î pë û


6

2 2x a-

{ }02 2

02

aÑaët x ;vôùi t ; \

sin t

ahoaëc x ;vôùi t . \

cost

é ùp p= Î -ê ú

ë û

ì üpé ù= Î p í ýë ûî þ

2 2a x+ ( )

2 2

0

Ñaët x a tan t;vôùi t ;

hoaëc x a cos t ;vôùi t ;

æ öp p= Î -ç ÷

è ø= Î p

2/ Tính:

1/ 2

2

0

4 x dx-ò 2/ 1

2

0

1 x dx-ò

3/ 1

20 1

dx

x+ò 4/

3

20 3

dx

x +ò

5/

12

20 1

dx

x-ò 6/

1 2

20 4

x dx

x-ò

7/ 2

2 2

1

4x x dx-ò 8/ 1 2

2 30 1

x dx( x )+

ò

9/

( )1

520 1

dx

x+ò 10/

1 2

2 30 1

x dx( x )+

ò

11/ 0

21 2 2

dx

x x- + +ò 12/

1

22 4 5

dx

x x

-

- + +ò

13/ 0

21

1

2 2dx

x x- + +ò 14/

1

20

1

4dx

x-ò


7

15/ 1

20

1

1dx

x +ò 16/

2 3 1

21 2 5

dx x x

-

- + +ò

17/ 2

22

3

1

1dx

x x -ò 18/

1

20 1

dx

x x+ +ò

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

1

2

b bb/ /a

a a/

/ /

Coâng thöùc tính tích phaân töøng phaàn :

u(x).v (x).dx u(x).v(x) u (x).v(x).dx

u u(x) du u (x)dxBöôùc : Ñaët :

dv v (x)dx v moät nguyeân haøm cuûav (x)Böôùc : Thay vaøo coâng thöùc ñeå tính keát quaû* Ñ

é ù= -ë û

ìì = =ï ïÞí í=ï =ïî î

ò ò

( ) ( )

( )

( )

b b bax b

a a a

b

a

aëc bieät :

i/ Neáu P(x)sin ax b dx; P(x)cos ax b dx; e .P(x)dx

vôùi P(x) laø ña thöùc thì ta ñaët u P(x).

ii/ Neáu P(x)ln ax b dx.

thì tañaët u ln ax b .

++ +

=

+

= +

ò ò ò

ò

1/ Tính:

1/ 2

0

x cosxdx

p

ò 2/ 6

0

2 3( x)sin xdx

p

-ò


8

3/ 2

0

(x cosx)sinxdx

p

+ò 4/ 2

0

xe cosxdx

p

ò

5/ 1

0

xxe dxò 6/ 1

2 3

0

xx .e dxò

7/ 1

ex ln xdxò 8/

12

0

1x ln(x )dx+ò

9/ 2

2

1

ln(x x)dx+ò 10/ 2

1

1e

( x ).ln x.dx-ò

11/ 3

31

e ln xdxxò

12/ 2

51

ln x dxxò

13/ 2

21

1ln( x)dxx

+ò 14/

1

1e(x )ln xdx

x+ò

15/ 2

2

1

1 x(x ).e .dx+ò 16/ 2

2

0

2(x x).sin x.dx

p

+ò

17/ 2

2

0

x cos xdx

p

ò 18/ 2

1

ex ln xdxò

19/ 1

0

xe sin xdxò 20/

2

0

sin xdxp

ò

21/ 2

0

2cosxe sin xdx

p

ò 22/

2

4

0

x.cos x.dx

p

ò


9

Bài Tập luyện tập thêm (Có Đáp số) 1/ Tính các tích phân sau:

1/ 1 2

0

12

1 2x dx ln

x= -

+ò 2/ 4

21

35 3 2

41

dx ln lnx (x )

= + -+

ò

3/ 5

24

3 76

5 6

x dx lnx x

-=

- +ò 4/

4

23

4 318 2 7 3

3 2

x dx ln lnx x

+= -

- +ò

5/ 1 2

20

3 14

x dx lnx

= --

ò 6/ 1

20

1 42 34

xdx lnx

=-

ò

7/1 3 2

20

2 10 1 1 1 42 2 32 9

x x x dx lnx x

+ + += +

+ +ò

8/ 1 2

20

3 10 1 41

2 32 9

x x dx lnx x

+ += +

+ +ò 9/

73

30

2 46153 1

x dxx+

=+

ò

10/ 3

1

36 3 8

3 1 3

x dx lnx x-

-= -

+ + +ò 11/ 1

0

4 2 431

dxx x

-=

+ +ò

12/ 10

5

2 2 12 1

dx lnx x

= +- -ò 13/

1

20

13 2

21 2xdx (log )= -+

ò

14/ 20091 2010 2010

213

1 1 4 21

2010dx

xx

æ ö -+ =ç ÷

è øò

15/ 2 2

20

3 27163 2

ln x x

x xe e dx ln

e e

+=

+ +ò 16/

5

3

322 3

ln

x xln

dx lne e-

=+ -

ò


10

17/1

3 2 10 112

3 31 2

e ln x dxx ln x

-= -

+ò 18/8

2

3

551

4

lnx x

lne .e dx+ =ò

19/ ( )3

2

4

13

2 16

ln tgxdx ln

sin x

p

p

=ò 20/ 2 3

0

42

1cos x dx

sin x

p

=+ò

21/ 2

2 20

2 234

sin x dxcos x sin x

p

=+

ò 22/ 2

0

32 3 2

1cos x dx ln

sin x

p

= -+ò

23/ ( )

2

30

2 1323

cos x dxsin x cosx

p

=- +

ò 24/ 2

4

21 2

sin x cosx dx lnsin x

p

p

-=

+ò

25/ 2

3

0

25

cosx. cosx cos xdxp

- =ò 26/ 4

20

4 42 6

31

sin x dx lncos x

p

= -+

ò

27/ ( )3

6

1 32

26dx ln

sin xsin x

p

p

=+ pò 28/

4

4 40

42

sin x lnsin x cos x

p

=ò

29/ 2 2

41

1 1 5 2 2 2 2 2

2 2 5 2 2 2 21

x ( )( ).dx ln( )( )x

- + -=

- ++ò

30/ ( )4

0

4 4 3 242 2 1

sin x dx

sin x sin x cosx

p æ öp-ç ÷ -è ø =+ + +ò


11

31/ 2

0

2 34271 3

sin x sin x dxcosx

p

+=

+ò 32/ ( )4

8

0

761

105tg x dx

p

- =ò

2/ Tính các tích phân sau:

1/ 2 3 2

20

2 4 96

84

x x x dxx

+ + + p= +

+ò 2/

1 4

0

831

x dxx

= p -+ò

3/ 1

4 20

1 9 2 3724 3

( )dxx x

- p=

+ +ò 4/

( )3

2 21

31

3 121

dx

x x

p= - -

+ò

5/ 2

40

241

sin x dxcos x

pp

=+

ò 6/ 2

20

42

cosx dxsin x

pp

=-

ò

7/ 2

161

e dx

x ln x

p=

-ò 8/

( )21

41

e dx

x ln x

p=

+ò

9/ 1 4

0

831

x dxx

= - + p+ò 10/

1

40

8

1

x

x= p

+ò


1/ 2 2

2

0

216

xcos xdxp

p -=ò 2/

2 22

1

24

x cosxdx

p

p= -ò

3/

2 4

0

2cos x dxp

= p -ò 4/

2

4 2

0

42

x sin xdx

p

p= -ò


12

5/ 4

0

12

1 2 8 4x dx ln

cos x

pp

= -+ò 6/

3

23

4 52

3 12xsinxdx ln tgcos x

p

-p

p p= -ò

7/ 10

22

1

50 9950

10 4 10x lg xdx

ln ln= - +ò 8/

43 2

1

5 132

e ex ln x dx -=ò

9/ 3 3

1

1 2 119 18

e x eln x dxx

æ ö+ç ÷ = +ç ÷è øò 10/

2 2

21

1 11

2edx

ln xln x

æ ö- = -ç ÷

è øò

11/ 1

2

0

11 2 1 2

2x .dx ( ln( )+ = + +ò 12/

21

01

e

e

ln x dx(x )

=+

ò

13/ 4 2

2

0

24 2 32

x tan xdx ln

p

p p= + -ò 14/

32 23

0

3 55

34x .ee sin xdx

p p

+=ò


1/ 2

30

5 4 12

cosx sinx dx(sinx cosx)

p-

=+

ò 2/ ( )2

0

0cosx sinx dxp

- =ò

3/ 2

20

41

xsinx dxcos x

p p=

+ò 4/ 4 3

0

235

xcos xsin xdxp p

=ò

5/ 2

0 7 2 6 2

cosx dxcos x

pp

=+ò 6/

2

0

1 4 2s inx dxp

+ =ò

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: 1. Tính diện tích giới hạn bởi:

a)

24

0

1

1

y xyxx

ì = -ïï =í

= -ïï =î

b)

3

0

0

1

y xyxx

ì =ïï =í

=ïï =î

c) 0

1

2

y ln xyxx

ì =ï =ïí

=ïï =î


13

c) 2 2

2

y x xy x

ìï = +í

= +ïî d)

3y xy x

ìï =í

=ïî e)

( )( )1 2

0

y x x x

y

ì = - -ïí

=ïî

f)

2 1

1 2

y xOxx ;x

ì = -ïïíï = =ïî

g)

2 1

2

y xOxx

ì = -ïïíï =ïî

h)

2 22

2

xyx

Ox; Oyx

ì +=ï -ïï

íï = -ïïî

i)

3 11

0

0

xyx

yx

ì - -=ï -ïï =í

ï =ïïî

j) 20

1

ln xyx

yx ex

ì=ï

ïï=í

ï =ïï =î

k)

2

2

44

4 2

xy

xy

ìï = -ïíï

=ïî

2. Khảo sát (C) và Tính diện tích giới hạn bởi:

a) (C): y = 2 22x

x+-

; Ox ; Oy; và x = -2.

b) (C): y = 2 1

1xx+-

; y = 0 ; tiếp tuyến (C) tại A(-2; 1).

c) (C) : y = x4- x2 ; x = 0 ; và tiếp tuyến (C) tại A(1; 0). d) (C): y = x3- 2x2+ x và trục Ox.

e) (C): 2 2 1

2x xy

x+ +

=+

; tiệm cận xiên; x = -1 ; x = 2 và Ox.

f) (C): y = 2 3 3

2x x

x- +-

; Ox ; x = 3 ; x = 4.

g) (C): y = 2 3 3

2x x

x- +-

; tiệm cận xiên; x = -1; x = 0.

h) (C): y = 2 3 3

2x x

x- +-

; t/t (C) tại giao điểm (C) và Oy; x = 1.


14

i) Elip (E): 2 2

116 9x y

+ = .

j) (C)2 4 4

1x xy

x- + +

=-

; Tiệm cận xiên ; x = 2 ; x = 4.

3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi : a) y = x2 ; y = 2x ; khi quay quanh trục Ox. b) y = x3 ; x = 1 ; x = 2; khi quay quanh trục Ox.

c) 3 1y x= + ; y = 0; x = 0; x =1 d) y = x.ex ; y = 0 ; 0 1x£ £ ; khi quay quanh trục Ox.

e) y = lnx ; y = 0 ; x = 1; x = 2; khi quay quanh trục Ox.

f) y = 2sin x ; y = 0 ; x = 0 ; x = p . g) nửa đường tròn tâm O;bán kính 2; khi quay quanh trục Ox.

h) 2 2

2 21

x y(E) :a b

+ = Khi quay quanh Ox; khi quay quanh Oy

i) 4

4y

x=

-; Ox ; x = 0 ; x = 2.

j) ( )22

1

xy

x-

=-

; Ox ; x = 2; x = 3.

k) 0x;4y;2y;2

xy

2==== khi quay quanh trục Oy.

l) 2y;xy;2x

y === khi quay quanh trục Oy

BÀI TẬP SỐ PHỨC 1. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức:

a) 3 5z i= - + b) 2z i= - c) 12z = d) 0z = 2. Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng tọa độ. a) 2 3i+ b) 2i- c) 3 d) 3 i- + e) -4+2i f) -1-3i g) -5 h) 2i


15

3. Cho ( ) ( )2 1 3 5z a b i= - + + với a,b RÎ . Tìm các số a, b để:

a) z là số thực b) z là số thuần ảo 4. Tìm các số thực x và y, biết: a) ( ) ( )2 1 5 4 3 2x i y i+ + = - + -

b) ( ) ( )2 4 3 1x i y i- - = - +

c) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 2 1x y i x y x i- + + = + - +

d) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 2 1x y y x i x y y x i+ + - = - + + + +

e) ( )2 1 2 5x y y x i+ - = + -

5. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện:

a) Phần thực của z bằng 2. b) Phần ảo của z bằng -3 c) Phần ảo của z thuộc khoảng ( )1 3;- .

d) Phần ảo của z thuộc khoảng 1 2;é ùë û .

e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn 2 2;é ù-ë û .

f) Phần thực của z thuộc 1 2;é ù-ë û và phần ảo của z thuộc

0 1;é ùë û

6. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện:

a) 2z = . b) 3 1z + = c) 2 3z i z i+ = - -

d) 3z £ . e) 1 3z< £ . f) 4z >

g) 2z i+ là số thực. h) 2z i- + là số thuần ảo.

i) 3

11

z iz-

=+

j) 9z.z =

7. Tìm z và tính z với:


16

a) 2 3z i= - + b) 2 2z i= - c) 11z = -

d) 7z i= e) ( )31 2 1

1

i iz

i+ - -

=+

8. Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp: a) 2z = và z là số thuần ảo.

b) 5z = và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.

9. Tính z z', z z', z.z '+ - biết : a) 5 2 4 3z i , z ' i= + = + b) 2 3 6 4z i , z ' i= - = +

c) 4 7 2 5z i , z ' i= - - = - d) 1 3 3 2z i , z ' i= + = - + 10. Thực hiện các phép tính:

a) ( )21 i- b) ( )22 3i+ c) ( )31 3i i+ +

d) i15,i30 ,i37 ,i28. Từ đó suy ra cách tính i n với n Î N e) (1 + i)2; (1 + i)3 ; (1 + i)4; (1 + i)5;

(1 + i)2006; (1 – i)2006 , ( )( )

3

4

1

1

i

i

+

-

f) ( ) ( )( )33

101 11 2 3 2 3

1i i i ii i

æ ö++ - + + - +ç ÷-è ø

11. Thực hiện các phép tính sau:

( )( )1

1 4 3A

i i=

+ -

5 64 3

iBi

- +=

+

7 28 6

iCi

-=

- ( ) 1

2 23

D i iæ ö

= - + -ç ÷è ø

( ) 2 52 3

3 4E i i

æ ö= - - -ç ÷

è ø

1 2 13 2

3 3 2F i i i

æ ö æ ö= - + - + -ç ÷ ç ÷è ø è ø


17

3 1 5 3 4

34 5 4 5 5

G i i iæ ö æ ö æ ö

= + - - + + - -ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

12. Thực hiện các phép tính sau:

a) 1

2 3i- b)

1

1 32 2

i-

c) 3 2i

i-

d) 3 44

ii

--

e) ( )( )2 3 3i i- + f) ( )23 4i+ g) 3

13

2i

æ ö-ç ÷

è ø

h) 12

ii

+-

i) 2 34 5

ii

-+

j) ( )( )2 3

4 2 2

ii i+

+ -

13. Cho 1 32 2

z i= - + . Hãy tính ( )32 211, z, z , z , z z

z+ + .

14. Thực hiện phép tính:

a) 77

1 12

A ii i

æ ö= -ç ÷

è ø

b) ( ) ( )( )33

101 11 2 3 2 3

1iB i i ii i

æ ö+= + - + + - +ç ÷-è ø

c) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 201 1 1 1 1C i i i ... i= + + + + + + + + +

15. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a) ( ) ( )861 3i . i- + b) ( )2011

3 i-

c) ( )( )

10

9

1

3

i

i

+

+ d)

( ) ( )( )

6 7

10

3 3

1

i . i

i

-

+

e) ( )65 1 33 3

cos i.sin .i . iæ öp p

- +ç ÷è ø


18

f) 20112011

1zz

+ biết 1

1zz

+ =

16. Tính căn bậc hai của các số phức sau: a) -5 b) 2i c) -18i

d) 4 53 2

i- - e) 7 - 24i f) -40 + 42i

g) 11 + 4 3 i h) 1 24 2

i+

17. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) 2 3 7 8z i i+ = + b) ( ) ( )1 3 4 3 7 5i z i i- + + = -

c) ( )1 3 2 4i z i z+ + = - d) ( )1 2 5 62 3

z i ii- + = -

+

e) ( )4 5 2i z i- = + f) ( ) ( )23 2 3i z i i- + =

g) 1 1

3 32 2

z i iæ ö- = +ç ÷

è ø h)

3 52 4

i iz+

= -

18. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) 2 2 5 0z z+ + = b) 2 4 20 0z z- + =

c) 23 5 0z z- + - = d) 24 9 0z + =

e) 2 5 0z + = f) 2 2 2 0z z+ + =

g) 2 5 9 0z z- + = h) 22 3 1 0z z- + - =

i) 23 2 3 0z z- + = j) 2 2 0z z+ + =

k) 2 2z z= + l) ( )( ) 0z z z z+ - =

m) 2 3 2 3z z i+ = + 19. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) 3 8 0z - = b) 3 24 6 3 0z z z+ + + =

c) 4 3 26 8 16 0z z z z- + - - = d) 4 2 12 0z z- - =


19

e) ( )( )23 2 5 0z i z z+ - + = f) ( )( )2 29 1 0z z z+ - + =

g) 3 22 3 5 3 3 0z z z i- + + - =

h) ( ) ( )22 2 2 3 0z i z i+ + + - =

i) 24 4

5 6 0z i z iz i z i

æ ö+ +ç ÷ - + =ç ÷- -è ø

20. Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lượt là: a) 1 và 5 b) 2 3i+ và 1 3i- + c) 2i và 4 4i- + 21. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau

a/ 1 3i+ b/ 2 2i+ c/ 3 i- d/3 0i+ 22. Viết dưới dạng đại số các số phức sau

a/ 45 45o ocos isin+ b/ 26 6

(cos isin )p p+

c/ ( )3 120 120o ocos isin+

23. Thực hiện các phép tính

a/ ( )3 120 120o ocos isin+ 45 45o o(cos isin )+

b/ ( )2 18 18o ocos isin+ 72 72o o(cos isin )+

c/5 36 6 4 4

(cos isin ) (cos isin )p p p p+ +

d/ 85 85

40 40

cos isin

cos isin

+

+

o o

o o e/

2 22

3 3

22 2

(cos isin )

(cos isin )

p p+

p p+

f/ 2 45 45

3 15 15

(cos isin )

(cos isin )

+

+

o o

o o g/ 5 71 3

3 3(cos isin )i .( i)p p

- +

24. Tìm vị trí của những điểm biểu diễn các số phức


20

a/ Có module bằng 2 ; 3

b/ Có acgumen bằng 30o , 60o , 135o , -4p

25. Áp dụng công thức Moivre để tính

a/ 515 15o o(cos isin )+ b/ ( )72 30 30o ocos isin+

c/ 161( i)+ d/

121 32 2

iæ ö

+ç ÷ç ÷è ø

26. Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức:

a. 2 1 2

3

x y ix y iì + = -í

+ = -î b.

2 2

1 1 1 12 2

1 2

ix y

x y i

ì+ = -ï

íï + = -î

c. 2 2

5

8 8

x y i

x y i

ì + = -ïí

+ = -ïî d.

4

7 4

x yxy iì + =í

= +î

e. 2 2

5

1 2

x y i

x y i

ì + = -ïí

+ = +ïî f.

3 3

1

2 3

x y

x y i

ì + =ïí

+ = - -ïî

g.

2 2 6

1 1 25

x y

x y

ì + = -ïí

+ =ïî

h. 3 2

1 1 17 126 26

x y i

ix y

ì + = +ïí + = +ïî

HÌNH HỌC


21

( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1

A A A B B B

B A B A B A

B A B A B A

A B A B A B

Ñieåm: A x ;y ;z ; B x ;y ;z ta coù:

* AB (x x ,y y ,z z )

* AB AB x x y y z z

* M chia ñoaïn AB theo tæ soá k 1 MA = k.MBx kx y ky z kz

M , , k k k

* M laø trung ñie

= - - -

= = - + - + -

¹ Û

æ ö- - -Û ç ÷- - -è ø

uuur

uuur

uuuur uuur

1 2

2 2 2

3 3 3

4 4 4

A B A B A B

A B C A B C A B C

A B C D A B C D A B C D

x x y y z zåm AB M , ,

* G laø troïng taâm tam giaùc ABCx x x y y y z z z

G ; ;

* G laø troïng taâm tö ù dieän ABCDx x x x y y y y z z z z

G , , ,

Vectô : a a ,a ,a

æ ö+ + +Û ç ÷

è ø

æ ö+ + + + + +Û ç ÷

è ø

æ ö+ + + + + + + + +Û ç ÷

è ø

=ur

( ) ( )( ) ( )

( )

2 2 23 1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3

1 1

2 2

3 3

31 2

1 2 30

; b b ,b ,b Ta coù: * a a a a

* a b a b ,a b ,a b * k.a ka ,ka ,ka

a ba .b * a b a b * cos a ,b a . ba b

aa a* a cuøng phöông b a k.b a b

b b b

* a

= = + +

± = ± ± ± =

ì =ï

= Û = =íï =î

Û = Û Ù = Û = =

ur ur

ur ur ur

ur urur ur ur urur ur

ur ur ur ur ur ur ur

u1 1 2 2 3 3 0.b a .b a .b a .b * a b a .b= + + ^ Û =

r ur ur ur ur ur


22

1. Trong kg Oxy cho 1 2 1a ( ; ; )= -r

, 2 1 1b ( ; ; )= -r

, 3 2c i j k= + -r r rr

. Tìm tọa độ các véctơ

a) 3 2u a b= -rr r

b) 3v c b= - -r r r

c) 2w a b c= - +ur r r r

d)3

22

x a b c= - +r r r r

2. Cho: 1 1 0a ( ; ; )= -r

, 1 1 2b ( ; ; )= -r

, 2c i j k= - -r r rr

, d i=r r

a) Xác định k để véctơ 2 2 1 0u ( ; k ; )= -r

cùng phương với ar

b) Xác định các số thực m,n,p để d ma nb pc= - +r r r r

c) Tính 2a , b , a b+r r r r

3. Cho: 1

1 24

a ( ; ; )= -r

, 2 1 1b ( ; ; )= -r

, 3 2 4c i j k= + +r r rr

a) Tính các tích vô hướng a.br r

, c.br r

.Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc

b)Tính Cos(a,b)r r

, Cos(a,i)r r

4. Cho 7OA i k= -uuur r ur

; 2 5OB i j k= - - +uuur r r ur

; 5CO j k= -uuur r ur

a) Tính: ( ) ( )2 2AB CB . BC BA- +uuur uuur uuur uuur

b) Tính toạ độ các vectơ ( ) ( )AB.AC BC ; AB AC.BCuuur uuur uuur uuur uuur uuur

5. Tam giác ABC là tam giác gì ? Tính diện tích tam giác ABC. a) A(3; -1; 6); B(-1; 7; -2) ; C (1; -3; 2). b) A(2; -1; 3) ; B(2; -4; 0) ; C(1; 2; -3). c) A(2; 1;0) ; B(0; 2; 1) ; C(2; 0; 3). Tính độ dài đường cao

AH. 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1; 0;1); B(2;1; 2); D(1 -1; 1); C’(4; 5; -5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. 7. CM: tứ giác ABCD là hình thang với A(3; -1;2); B(1;2;-1); C(-1;1;-3); D(3; -5; 3). Tính diện tích ABCD. 8. Chứng minh tứ giác ABCD là hình vuông với A(5; 2; 6) ; B(6;

4; 4) ; C(4; 3; 2) ; D(3; 1; 4).


23

9. Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3) a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó. b) Tính cos các góc của tam giác ABC c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB

d) Tìm tọa độ điểm M thỏa 2 0MA MB MC+ - =uuuur uuur uuur r

10. Cho A(-2; 4; -5) ; B(2; 3; -3). Tìm giao điểm của AB với các

mp toạ độ. 11. Cho A(2;5;3) , B(3;7;4) , C(x;y;6)

a) Tìm x,y để ba điểm A,B ,C thẳng hàng b) Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng yOz. Tính độ dài đoạn AB

c) Tìm tọa độ điểm M trên mp Oxy sao cho MA+MB nhỏ nhất

12. Tìm vectơ xr

biết nó vuông góc với 4 2 3 0 1 3a ( ; ; ) ; b ( ; ; )= - - =r r

;

hợp với Ox góc tù và 26x =r

.

13 Cho A(2; 4; -3) ; B(5; 7; -1). a) Tìm toạ độ điểm M; N chia đoạn AB thành 3 phần bằngnhau. b) Tìm điểm E trên trục Ox cách đều hai điểm A và B.

14 Cho ba điểm A(-1; 0; 1) ; B(3; 1; 2) ; C(1; 1; -2). Tìm điểm S thuộc mp Oxy cách đều 3 đỉnh A; B; C.

15 Cho tam giác ABC với A(0 ; 1; 2) ; B(2; 2; 1) ; C(2; 1; 0). a) Tìm tọa độ D sao cho ABCD là hình bình hành. b) Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành. c) Tìm tọa độ E là đối xứng của A qua C. d) Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ADC. chứng minh G và G’ đối xứng nhau qua I.


24

( ) ( )1 2 3 1 2 3

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

0

0

Tích coù höôùng 2vec tô: a a ,a ,a ; b b ,b ,b

a a a a a a* a ,b a b , ,

b b b b b b

* a ,b ,c khoâng ñoàng phaúng a ,b .c

* a ,b ,c ñoàng phaúng a ,b .c

= =

æ öé ù ç ÷= Ù =ë û ç ÷

è øé ùÛ ¹ë û

é ùÛ =ë û

uur ur

ur ur ur ur

ur ur ur ur ur ur

ur ur ur ur ur ur

Bài tập :

1/ Tính tích có hướng u,vé ùë û

r rbiết rằng:

a) 1 2 1u ( ; ; )= -r

, 2 1 1v ( ; ; )= -r

b) 1 3 1u ( ; ; )= -r

, 0 1 1v ( ; ; )=r

c) 4u i j= +r r r

, 2v i j k= - -r r rr

2/ Tính tích u,v .wé ùë û

r r ur biết rằng

a) 1 2 1u ( ; ; )= -r

, 0 1 0v ( ; ; )=r

, 1 2 1w ( ; ; )= -ur

b) 1 1 1u ( ; ; )= - -r

, 0 0 2v ( ; ; )=r

, 1 2 1w ( ; ; )= - -ur

c) 4u i j= +r r r

, 2v i j k= - -r r rr

, 5 1 1w ( ; ; )= -ur

3/ Xét sự đồng phẳng của 3 vectơ sau:

a) ( ) ( ) ( )1 1 1 4 2 3 0 1 2a ; ; ; b ; ; ; c ; ;= - = =r r r

.

b) ( ) ( ) ( )4 2 5 2 0 1 3 1 3a ; ; ; b ; ; ; c ; ; .= = =r r r

c) ( ) ( ) ( )3 1 2 3 6 3 2 4 2a ; ; ; b ; ; ; c ; ; .= - - = - = -r r r

4/ Cho 4 điểm A(-1; 0; -1) ; B(-3; 1; 1) ; C(0-2; 1) ; D(1; 2;0). a) CMR: ABCD là tứ diện có 3 mặt vuông góc tại A. Tính thể

tích ABCD b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, CM: AG^ (BCD). 5/ Cho 4 điểm A(1; 0; 1) ; B(-1; 1; 2) ; C(-1; 1; 0) ; D(2; -1; -2). a) CMR: ABCD là tứ diện . b) Tìm chân đường cao H kẻ từ A đến mp (BCD). c) Tính thể tích tứ diện ABCD.


25

6. Cho 4 điểm A(3; 1; 0) ; B(2; 1; -1) ; C(x; y; -1); D(m-2; n+1; -1). a) Định x; y để tam giác ABC đều. b) Giả sử x = 3 ; y = 2 ; Định m; n để D.ABC là hình chóp đều. c) Tính thể tích D.ABC.

7/ Cho 4 điểm A(0; 0; 5) ; B(2; -6; -6); C(1; -3; 0) ; D(-1; 3; 0). CMR: ABCD là tứ giác. Tính diện tích ABCD. 8/ Cho tam giác ABC. A(1; -2; 6) ; B(2; 5; 1) ; C(-1; 8; 4) a) Tìm toạ độ trực tâm H của ABC. b) Tìm toạ độ E; F các chân đường phân giác trong và ngoài

của góc A của tam giác ABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó.

9/ Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2), D(1;2;3) a)Chứng tỏ rằng A,B,C không thẳng hàng b)Chứng tỏ rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng c)Tính diện tích tam giác ABC d)Tính thể tích tứ diện ABCD. 10/ Cho hình chóp S.ABCD có A(2;-1;1),B(2;-3;2), C(4;-2;2),

D(1;2;-1), S(0;0;7) a)Tính diện tích tam giác SAB b)Tính diện tích tứ giác ABCD

c)Tính thể tích hình chóp S.ABCD.Từ đó suy ra ( )d S,ABCD .

d)Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD)

11/ Cho 3 vectơ ( ) ( ) ( )5 7 0 3 2 4 2 3 1a ; ; ; b ; ; ; c ; ; .= = - =r r r

a) CM: ba vectơ trên không đồng phẳng.

b) Cho dr

= ( 4; 12; -3). Phân tích dr

theo ba vectơ a ; b ; cr uur r

. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a) (S): 2 2 2 6 2 4 13 0x y z x y z .+ + - + + + =

b) (S): 2 2 2 3 1 0x y z y .+ + + - =


26

c) (S): 2 2 2 2 0x y z x .+ + - =

d) (S): 2 2 2 254 5 3 0

4x y z x y z+ + - + + + =

e) (S): 2 2 22 1 2 9(x ) (y ) (z )- + + + - =

f) (S): 2 2 22 2 2 4 3 2 0x y z x z .+ + - + + =

g) (S): 2 2 23 3 3 6 15 3 2 0x y z x y z .+ + - - + - = 2. Viết phương trình của mặt cầu: a) Tâm I(1; -1; 2) và đi qua A(4; 0; 3). b) Tâm I(-3; 0; 1) và qua điểm A(3; 1; -2). c) Đường kính AB; với A(4; 1; 3) ; B(0; 3; -1). d) Đường kính MN; với M(-1; -1; 3) ; N(3; -1; 4). e) Qua ba điểm A(1; -4; 2) ;B(2; 3; 2); C(1; 1; -3) và có tâm

thuộc Oxz f) Qua ba điểm E(1; 2; -4); F(1; -3; 1); G(2; 2; 3) và có tâm

thuộc Oxy. g) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(-1; 2; 0); B(2; -3; -1); C(0; -2; 2); D(-2; 0; 1). h) Qua bốn điểm với A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1) i) Qua A(1; -1; 4) và tiếp xúc với các mp toạ độ. j) Tâm I(-3; 2; 2) và tiếp xúc với mặt cầu

(S): 2 2 2 2 4 8 5 0x y z x y z .+ + - + - + =

3/ CM: (S): 2 2 2 24 2 4 4 0x y z mx my z m m+ + + - + + + = luôn là phương trình của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.

4/ CM:

(S): 2 2 2 22 2 4 4 4 0x y z cos .x sin .y z sin+ + + a - a + - - a = là pt của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là lớn nhất.

Mặt phẳng : · Phương trình tổng quát của mặt phẳng PP : Viết phương trình tổng quát của mp(a) ta cần tìm :


27

* Một điểm M0(x0; y0; z0) Î mp(a) và VTPT n®

= (A; B; C)

* Một điểm M0(x0; y0; z0) Î mp(a) và cặp VTCP a , b® ®

· Chú ý : Từ cặp VTCP a , b® ®

của mp Þ VTPT n a , bé ù= ë û

ur ur ur

1. Viết phương trình của mp: a) Đi qua A(1; 6; -3) và vuông góc với trục Ox; Oy; Oz. b) Đi qua B(2; 0; -5) và vuông góc với MN với M(5; 2; -3); N(-2; -1; 3). c) Đi qua A(2; -1; 0) và có cặp vectơ chỉ phương

ar

= (3; 2; 1); br

= (-3; 1; 1). d) Đi qua ba điểm A(0; -3; 4) ; B(- 2; 4; 1) ; C(4; -3; 6). e) Đi qua ba điểm M(-3; 2; 1) ; N(5; -3; 2) ; P(4; 3; -2). f) Đi qua hai điểm A(-4; 1; 1); B(3; -1; 2) và song song với Ox. g) Đi qua hai điểm A(5; 0; -3); B(-3; 2; 0) và song song với Oy. h) Đi qua E(-2; 4; 6) và song song với mp Oxy. i) Đi qua M(3; 1; -1) ; N(2; -1; 4) và vuông góc với mp (P): 2x - y + 3z –3 = 0. j) Đi qua A(3; 5; -5) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): 2y + 3z – 1 = 0 ; (Q): x + y –2z + 5 = 0. k) Là mp trung trực của đoạn AB; với A(5; 3; - 3) ; B(-1; 2; 2). l) Chứa trục Oy và qua điểm M(- 3; 1; 3). m) Đi qua A(2; -1; 2) ; song song với trục Oy và vuông góc với

(P): 2x – y +3z + 4 = 0. 2/ Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)

a) Viết pt mp đi qua A và nhận vectơ pháp tuyến 1 1 5n( ; ; )-r

b) Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặc nằm trong mp đó là 1 2 1 2 1 3a( ; ; ),b( ; ; )- -

rr

c) Viết pt mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB d) Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC e) Viết phương trình mp (ABC)

3/ Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)


28

a) Viết pt mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC) b) Viết pt mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0. c) Viết pt mp qua hai điểm A , B và vuông góc với mp

( ) 0Q : 2x y 2z 2- + - = .

d) Viết pt mp qua A, song song với Oy và vuông góc

( ) 0R : 3x – y 3z 1 .- - =

e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz 4/ a) Lập pt mp đi qua ba điểm A(a;0;0); B(0;b;0);C(0; 0; c) với

a; b; c ¹ 0. b) Lập phương trình của mp qua các hình chiếu của M(3; -3; 5)

trên các trục toạ độ. c) Lập phương trình của mp qua A(2; 1; 4) và chắn trên 3 trục

toạ độ những đoạn bằng nhau. d) Lập phương trình của mp qua A(2; -4; 1) và chắn trên 3 trục

toạ độ Ba đoạn thành cấp số nhân công bội bằng 2. e) Lập phương trình của mp qua A(2; -4; 1) và chắn trên 3 trục

toạ độ sao cho đoạn trên Ox bằng 3 lần các đoạn trên Oy và Oz.

f) Lập phương trình của mp qua A(1; 2; 3 ) và chắn trên 3 nửa trục toạ độ dương lần lượt tại M; N; P sao cho thể tích OMNP nhỏ nhất.

g) Lập pt của mp qua A(3; 2; 1 ) và chắn trên 3 nửa trục toạ độ dương lần lượt tại M; N; P sao cho: OM + ON + OP nhỏ nhất.

h) Lập phương trình của mp qua A(3; 2; 2 ) và chắn trên 3 nửa trục toạ độ dương lần lượt tại M; N; P sao cho:

2 2 2

1 1 1

OM ON OP+ + nhỏ nhất.

Vị trí tương đối của hai mp 1. Xét vị trí tương đối của 2 mp sau: a) (P): x + 2y –z + 5 = 0 ; (Q): 2x + 3y –7z – 4 = 0. b) (P): x + y + z - 5 = 0 ; (Q): 2x + 2y + 2z + 4 = 0. c) (P): 2x - y –z + 3 = 0 ; (Q): 10x - 5y –5z + 15 = 0. d) (P): x - 2y + z - 3 = 0 ; (Q): 2x - y +4z -2 = 0.


29

2. Định m ; k để các mp sau song song nhau: a) (P): 2x + ky + 3z - 5 = 0 ; (Q): mx - 6y – 6z + 2 = 0. b) (P): 2x - 5y + mz - 3 = 0 ; (Q): 2x + ky – 3z + 1 = 0. c) (P): 2x + my + 2z + 3 = 0 ; (Q): mx + 2y – 4z + 7 = 0. 3. Cho 2 mp : 3 2 5 1 10 0( ) :(m )x y ( m )za + - + + - = và 2 3 6 0( ) : x my z mb - + + - = . Với giá trị nào của m thì : a) / /a b b) a ºb c) a cắt b d) a ^b .

Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mp(a):Ax + By + Cz + D= 0

d(M , (a)) = 0 0 0

2 2 2

Ax By Cz D

A B C

+ + +

+ +

1. a) Tính khoảng cách: Từ A(1; -3; -4) ; B(-2; 0; 5); C(3; -1; -2) đến mặt phẳng (P): 2x - 2y + z -10 = 0. b) Tìm a,b để hai mp (P): 4x + ay + 6z – 10 = 0 và (Q) : bx -12y – 12z + 4 = 0 song song ; Tính d(P ; Q)

2. Cho mp (P): 2 7 5 0x y z- + + = và điểm M(1; 2; -1). Tìm toạ độ điểm M’ là đối xứng của M qua (P).

3. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mp (P) và (Q): a) (P): 2 4 5 0x y z- + + = và (Q): 3x + 5y – z – 1 = 0. b) (P): 2 2 1 0x y z+ - - = và (Q): 6 3 2 2 0x y z- + - = . c) (P): 2 5 0x y z+ + + = và (Q): 2 3 0x y z+ + - = 4. Viết phương trình mp (P): a) Song song (Q): 2x + 2y - z – 3 = 0. và cách điểm M1; -2; 3)

một khoảng bằng 5. b) Qua A(4; 1; -5) và song song (Q): x – 2y + z = 0.

c) Cách mp (Q): 3x - y + 2z – 2 = 0 một khoảng bằng 14 . 5. Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho: a) M cách đều điểm A(2; -3; 4) và mp

( ) 3 2 17 0: x y za + + - = .

b) M cách đều (P): 1 0x y z+ - + = và (Q): 5 0x y z- - + = . 6. Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) :


30

2 2 2 6 2 4 5 0x y z x y z .+ + - - + + = tại điểm A(4; 3; 0). 7. Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu

(S): 2 2 2 6 2 4 5 0x y z x y z .+ + - - + + = biết nó song song với mp (P): 2x - 3y +z – 2 = 0.

8. Xét vị trí tương đối của mp (P) và mặt cầu (S):

a) ( )( )

2 2 2 6 2 4 5 0

2 2 1 0

S : x y z x y z

P : x y z

+ + - - + + =

+ + - =.

b) ( )( )

2 2 2 2 4 2 2 0

2 11 0

S : x y z x y z

P : x y z

+ + + - - + =

+ + - =.

c) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 21 3 2 16

2 3 6 9 0

S : x y z

P : x y z

- + - + + =

- + - =.

9. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu:

a) ( )( )

2 2 21

2 2 22

2 6 4 5 0

6 2 4 2 0

S : x y z x y z

S : x y z x y z

+ + - - + + =

+ + - + - - =

b) ( )( )

2 2 21

2 2 22

8 4 2 15 0

4 12 2 25 0

S : x y z x y z

S : x y z x y z

+ + - + - - =

+ + + - - + =

10. Cho mặt cầu (S) : 2 2 2 4 2 6 2 0x y z x y z .+ + + - + - = và mp (P): 3 2 6 1 0x y z+ + + = . a) CM: (P) cắt (S); viết pt đường tròn giao tuyến (C). b) Tìm tâm H và bán kính r của đường tròn (C). c) Viết phương trình mặt cầu (S’) qua (C) và điểm M(1; -2; 1).

11. Cho hai mặt cầu : ( )( )

2 2 21

2 2 22

2 4 10 5 0

4 6 2 2 0

S : x y z x y z

S : x y z x y z

+ + - + - + =

+ + - - + - =

a) CM: (S) và (S’) cắt nhau. Viết pt đường tròn giao tuyến (C).


31

b) Viết phương trình mặt cầu qua (C) và điểm M(2; 1; 2). GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG (luyện tập thêm) 1. Tính góc tạo bởi hai mp:

a) ( )3 2 5 1 0 5 15 6 3 1 0x y z ;x y z+ + + = + - + - =

b) x + y + z + 3 = 0 và x + y + 2z + 5 = 0 c) 2x – y – 2z + 1 = 0 và y + z + 1 = 0. 2. Cho điểm M( 1; 1; 1) ; N(3; 2; 1) ; P( 3; 1; 2) . Tính góc giữa

hai mp (OMN) và (OMP). 3.Tìm m; n để (P): x – y + nz–1 = 0;(Q): mx – y + 2 = 0. vuông

góc 4. Viết phương trình mp qua gốc toạ độ; vuông góc với mp (P): 5x – 2y + 5z –10 = 0 và hợp với mp (Q): x– 4y – 8z +12=

0 một góc 600. Chùm mặt phẳng PP : Cho hai mp (a1) : A1x + B1y + C1z = 0 và (a2) : A2x + B2y + C2z = 0 Mặt phẳng qua giao tuyến của (a1) và (a2) có pt : m (A1x + B1y + C1z ) + n (A2x + B2y + C2z) = 0 , m2 + n2 ¹ 0 Bài tập : 1. Lập phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp (P): 2x – z + 1 = 0;(Q): x +y – z – 4 = 0 biết: a) Đi qua A(2; 0; -3). b) Song song với mp (R): x + 3y – 2z + 5 = 0. c) Vuông góc với mp (S): 7x – y + 4z + 1 = 0. 2. Viết phương trình của mp (P) đi qua giao tuyến của hai mp (Q): 2 2 1 0x y z- + + = ; (R): 6 2 5 0x y z+ + + = và qua A(1; 2;

3). 3. Viết phương trình của mp (P) đi qua giao tuyến của hai mp (Q) : 2x + z - 6 = 0 ; (R) : x - y + z + 2 = 0.và song song với

mp ( ) 3 4 0: x ya - - = .

4. Tìm trong chùm mặt phẳng xác định bởi hai mp:


32

(P): 2 3 2 0x y z+ - + = ; 5 5 4 3 0(Q) : x y z+ - + = hai mp vuông góc nhau trong đó có một mp đi qua A(4; -3; 1).

5. Xác định k; m để 3 mp sau cùng đi qua một đường thẳng : (P): 5x + ky + 4z + m = 0; (Q): 3x – 7y + z – 3 = 0; (R): x – 9y – 2z + 5 = 0. 6. Viết Pt mp(Q) qua D(0;1;0) biết rằng giao tuyến của (P) và (Q)

là 1 2 1

2 2 2x y z(d) : - + -

= =- -

.

· Bài tập tổng hợp : 1. Cho 4 điểm A(2; 1; 3) ; B(3; -2; 1) ; C(-4; 1; 1) ; D(1; 1; -3) a) CM: ABCD là tứ diện.Tính thể tích tứ diện. b) Gọi I là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD; E ; F ; G là

hình chiếu của I trên các trục Ox ; Oy ; Oz . Viết phương trình mp (EFG)

2. Cho 4 điểm S(3; 1; -2) ; A(5; 3; -1) ; B(2; 3; -4) ; C(1; 2; 0). a) Chứng minh S.ABC là tam diện vuông tại S. b) Chứng minh S.ABC là hình chóp đều. c) Tìm H là chân đường cao SH của hình chóp . tính VSABC. 3. Cho mp (P) qua điểm M(-1; 1/3; 0) và có vectơ pháp tuyến

2 3n ( ; ;m)=ur

và mặt phẳng(Q) qua 3 điểm A(-3;2;1), B(1;3;-4), C(3;-1; k)

a) Viết phương trình của (P) và (Q) . b) Định m , k để (P) song song (Q) . c) Tìm hệ thức giữa m , k để (P) ^ (Q) .

d) Cho m = -6 . Định k để cos((P),(Q)) là 1

7 3

Đường Thẳng : Phương trình của đường thẳng 1. Pt tham số của đt (D) qua điểm M(x0 ; y0 ; z0)


33

có VTCP a®

= (a1 ; a2 ; a3) 0 1

0 2

0 3

x x a t

( ) y y a t

z z a t

ì = +ï

D = +íï = +î

2. Pt chính tắc của đt (D) qua điểm M(x0 ; y0 ; z0)

có VTCP a®

= (a1 ; a2 ; a3) với 1 2 3 0(a ;a ;a )¹

( ) 0 0 0

1 2 3

x x y y z z:

a a a- - -

D = =

3. Đường thẳng ( )D còn là giao tuyến của 2 hai mp cắt nhau

( )a và ( )b

* Tìm điểm thuộc ( )D thỏa 2 pt ( )a và ( )b

* véc tơ chỉ phương của ( )D là a n ; na bé ù= ë û

ur uur uur

1. Viết phương trình tham số; phương trình chính tắc (nếu có) của

các đường thẳng sau:

a) Đi qua điểm M(2; -3; 0)và có vetơ chỉ phương 2 1 4a ( ; ; )= -r

. b) Đi qua A(5; 4; -3)và song song MN với M(-3;2;-5); N(2;2;-

1). c) Đi qua B(7; - 5; -4) và song song Ox. d) Đi qua hai điểm A(- 3 ; 2 ; -1) ; B(3; -2; 0). e) Đi qua hai điểm E(- 3; 2; 4) ; F(5; -3; 4). f) Đi qua A(4; -1; 0) và vuông góc với mp(P): x + 2y - 2z –3 =

0. g) Đi qua M(3; 3; -1) và vuông góc với mp(Oxy).

h) Đi qua B(-2; -3; 1) và song song với đt (d):

3

2 3

3

x ty tz t

ì =ï = - +íï = -î

.


34

i) Đi qua A(2; 5; -4) và song song với (d): 1 2 1

2 1 3x y z- - +

= =-

.

j) Đi qua M(0; 5; - 2) và vuông góc với hai đt

(d1):

2 3

2 2

1

x ty tz t

ì = -ï = +íï = -î

; (d2):1 2 1

2 1 3x y z- - +

= =-

.

k) Đi qua I(-2; 4; 4) và song song với hai mặt phẳng : 2 2 0 2 1 0( ) : x y z ; ( ) : x y za - + + = b + + - = l) Biết rằng nó là giao tuyến của mp (P): x + 3y –2z + 5 = 0 với

ba mặt phẳng toạ độ. 2. Viết phương trình đường thẳng sau:

a) i/ Đi qua A(3;-2;5) và cắt cả hai đường thẳng

(d1):

3 2

1

2 3

x ty tz t

ì = +ï = -íï = -î

; và (d2) 3 1 2

3 4 2x y z+ - -

= =

ii/ Đi qua M(-4;-5;3) và cắt hai đường thẳng :

1 3 2

3 2 1x y z+ + -

= =- -

và 2 1 1

2 3 5x y z- + -

= =-

b) Đi qua M(0; 1; 1); vuông góc với (d1): 1 2

3 1x y z- += =

- và

cắt đường thẳng (d2)là giao tuyến của 2 mp:2 0

1 0

x y zxì + - + =í

+ =î.

c) Là giao của hai mp song song vơí các trục Ox; Oz khi biết pt

của nó :

2 3

2

1 4

x ty tz t

ì = - +ï = -íï = +î

.


35

d) song song với 1

3 2

2 4

1 3

x t(d ) : y t

z t

ì = +ï = -íï = - +î

và cắt hai đường thẳng :

(d2) :1 2 3

2 3 1x y z+ - +

= = và (d3) : 4 2 1

3 1 2x y z- + -

= =

e) Nằm trong mp : (P): y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng

( )11

1 1 4x y zd : -= = và ( )2

2

4 2

1

x td : y t

z

ì = - +ï = +íï =î

.

f) Đi qua A(-4; -2; 4) vuông góc và cắt (D)

3 2

1

1 4

x ty tz t

ì = - -ï = -íï = - +î

g) Đi qua giao điểm của (d): 1 2

2 1 3x y z- +

= =-

và mp

(P): 2 1 0x y z+ + - = nằm trong mp (P) và vuông góc với (d). h) Đi qua A(1;1;-2) song song với (P) :x – y – z – 1 = 0 và

vuông góc với (d) : 1 1 2

2 1 3x y z+ - -

= =

i) Vuông góc với mp(P):x + y + z + 1 = 0 và cắt cả hai đường

thẳng 1 1

2 1x y z- +

= =-

và 2 1 0

2 2 1 0

x y zx y z

ì - + - =í

- + + =î

3. Viết phương trình hình chiếu (d’) của (d) trên mặt phẳng (P).

a) ( )2

3 2

2

x td : y t

z t

ì = -ï = +íï =î

; (P) : x + y + z - 3 = 0.

b) (d) là giao tuyến của 2 mp:2 5 0

2 3 0

x y zx z

ì - + + =í

- + =î;


36

P): x + y + z +7=0.

c) (d) : 1 1 3

1 2 2x y z+ - -

= =-

; (P) : 2x - 2y + z - 2010 = 0

d) (d): 1 5

3 4 3x y z- += =

- ; (P) º (Oxy).

e) (d):

5 3

1 2

x ty tz t

ì = +ï = -íï = +î

; (P) º (Oxz).

f) (d) là giao tuyến của 2 mp : 2 3 0

4 5 0

x yy z

ì - + =í

- + =î ; (P) º (Oyz).

3. Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1) a)Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD).

b)Viết phương trình đường thẳng qua I(1;5;-2) và vuông góc với cả hai đường thẳng AB,CD.

4. Cho

A(1;2;3).(d1):1 2

2

0 1 2 0 2 0

2 2 1 4 0 3

Qua M ( ; ; ) Qua M ( ; ; );(d ) :

VTCP u ( ; ; ) VTCP v ( ; ; )

ì ì- -ï ïí í

= - =ï ïî îr ur

Viết PT mặt phẳng (P) chứa A và (d1) ; mặt phẳng (Q) chứa A và (d2) .Gọi B là giao điểm của (P) với trục Oy.Tính khoảng cách từ B đến (Q).

5. Cho tam giác ABC. A(3;-1;-1) , B(1;2;-7) , C(-5;14;-3). Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của :

a) Các cạnh AB; AC; BC. b) Các trung tuyến của tam giác. c) Các trung trực của các cạnh tam giác. d) Các đường cao của tam giác. e) Đường phân giác của góc C.


37

6. Viết phương trình mp chứa đường thẳng (d) là giao tuyến của 2

mp:8 11 8 30 0

2 0

x y zx y zì - + - =í

- - =î và tiếp xúc với mặt cầu

(S): 2 2 2 2 6 4 15 0x y z x y z .+ + + - + - = Vị trí tương đối của đường thẳng , mặt phẳng 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) (d): 1 2 3

2 6 8x y z- + -

= =-

; (d’): 2 3 1

3 9 12x y z+ - +

= =- -

.

b) (d):

2

1 2

3 4

x ty tz t

ì = +ï = +íï = -î

; (d’):

1 2

2 4

5 3

x ty tz t

ì = - -ï = -íï = +î

.

c) (d)1 2

2 2 1x y z- -

= =-

và (d’) 8 4

2 3 1x y z+ -= =

-

d) (d)2 1

4 6 8x y z- +

= =- -

và (d’) 7 2

6 9 12x y z- -

= =

e) (d):

9

5

3

x ty tz t

ì =ï =íï = -î

;(d’) là giao của 2 mp: 2 3 3 9 0

2 3 0

x y zx y zì - - - =í

- + + =î.

2. Chứng minh(d) cắt (d’) ; viết pt mặt phẳng chứa (d) và (d’)

a) (d) :

1 4

1 2

2 3

x ty tz t

ì = +ï = - +íï = +î

và (d’) : 4 5 9 0

3 5 7 0

x yx z

ì - - =í

- + =î

b) (d) : 1 1

1 2 2x y z- -

= = ; (d’) : 1 3

1 2 2x y z+ -= =

- -.


38

3. Chứng minh (d) song song (d’); viết pt mặt phẳng chứa

(d) và (d’) với (d):1 2 1

3 1 2x y z- + +

= =-

; (d’):

2 0

3 12 0

x y zx yì + + + - =í

+ - =î.

Mặt phẳng (xOz) cắt (d) ,(d’) tại A,B .Tính :SOAB.

4. Định m để: (d) :

2

3

x ty tz mt

ì =ï = -íï =î

(d’) : 1 5

3 2 1x y z+ +

= = . cắt nhau.

5. Cho A(4;2;2), B(0;0;7) và d:3 6 1

2 2 1x y z- - -

= =-

. Chứng

minh: AB và d đồng phẳng .Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại A.

6. Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mp (P):

a) (d)là giao tuyến của 2 mp : 5 3 2 5 0

2 1 0

x y zx y z

ì - + - =í

- - - =î ;

(P): 4 3 7 7 0x y z- + - = .

b) (d):

3 2

1 4

4 5

x ty tz t

ì = -ï = -íï = -î

; (P): 4 3 6 5 0x y z- - - = .

c) (d): 1 2

12 1

x y z- - -= = - ; (P): 4x – y – z + 5 = 0.

d) (d)là giao của 2 mp:3 5 7 16 0

2 6 0

x y zx y z

ì + + + =í

- + - =î; (P): 5x – z – 4 =

0. 7. Cho (P) : 2x – y + 2 = 0 và (dm) là giao tuyến hai mp

2 1 1 1 0

2 1 4 2 0

( m )x ( m)y mmx ( m )z mì + + - + - =í

+ + + + =î Tìm m để (dm) // (P)


39

8. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:

a) (d): 3

2 2x y z-

= = ; (P) : 3 4 0x y z+ - + = .

b) (d)là giao tuyến của 2 mp : 2 6 0

2 5 19 0

x y zx y z

ì + - - =í

- + + =î ;

(P): 3 2 3 16 0x y z .- + + =

c) (d) là giao của 2 mp:2 3 0

1 0

x y zx y zì + - + =í

+ + - =î với các mp toạ độ.

d) (P): 3x – y + 2z – 2 = 0 với các trục toạ độ. 9. Viết phương trình mặt phẳng

a) Chứa đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mp :

4 0

2 5 2 0

x y zx y z

ì + + - =í

- + - =îvà song song với đường thẳng

(d’): 2 1 5 2x t;y t;z t= - = - = + . b) Chứa đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mp :

2 3 4 0

3 5 0

x y zx z

ì + + - =í

+ - =î và chắn trên hai trục toạ độ Oy; Oz

những đoạn bằng nhau. Khoảng cách từ điểm M(x0 ; y0 ; z0) đến đt(D): Dựng Hình * Viết pt mp(a) qua M và ^ (D) * Tìm tọa độ H là giao điểm của (D) và mp(a) * d(M , (D)) = MH Công Thức : Đường thẳng (D) đi qua điểm A và có VTCP phương a

AM;a

d(M; )a

é ùë ûD =

uuuur ur

uur

Khoảng cách giữa hai đt (D1) và (D2) chéo nhau :


40

Dựng Hình * Viết pt mp(a) chứa (D1) và song song với (D2) * Chọn một điểm M trên (D2) thì d((D1) , (D2)) = d(M , (a)) Công Thức : Đường thẳng (D1) đi qua A và có VTCP a

và (D2) đi qua B và có véctơ chỉ phương b .

( )1 2

a ;b .ABd ;

a ;b

é ùë ûD D =é ùë û

ur ur uuuur

ur ur

1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: a) Từ A(1; -2;-3) ; B(-4; 2; 0) đến đường thẳng

(d):

1 2

6

1 4

x ty tz t

ì = - +ï = +íï = - -î

b) Từ M(1;0;-2) đến (d) là giao tuyến của 2 mp: 2 1 0 3 2 3 0x y z ; x y z- + - = - + - =

c) Từ điểm M(-1;2;3) đến (d): 12 9 1

4 3 1x y z- - -

= =

2. Tìm điểm M’ là đối xứng của M(1;1;1) qua (d):1 1

2 3 1x y z- +

= =-

3. Tìm toạ độ điểm M’ là đối xứng của M(-3; 1; -1) qua (d) là giao tuyến của 2 mp: 4 3 13 0 2 5 0x y ; y z- - = - + =

4. Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau; Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2):

a) (d1) :

1

4 2

3

xy mz m

ì =ï = - +íï = +î

và (d2):

3

3 2

2

x ty tz

ì = -ï = +íï = -î

.


41

b) (d1)là giao tuyến của 2 mp : 2 0

2 3 5 0

x y zx y z

ì + - =í

- + - =î và

(d2) 1 2 3

1 2 3x y z- - -

= = .

5. Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp ( ) 2 0: x y za + + - = Tìm điểm

M trên mp ( )a sao cho MA + MB nhỏ nhất

6. Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và mp ( ) 2 4 0: x y za + + + = .Tìm

điểm M trên mp ( )a sao cho MA MB- lớn nhất

7. Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và mp ( ) 2 4 0: x y za + + + = .Tìm

điểm M trên mp ( )a sao cho MA MB+uuuur uuur

nhỏ nhất .

8. Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp ( ) 2 0: x y za + + - = Tìm điểm

M trên mp ( )a sao cho 2 2MA MB+ nhỏ nhất

9. Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5),C(-1;-2;-3) và mp ( ) 2 0: x y za + + - =

Tìm điểm M trên mp ( )a sao cho 2 2 2MA MB MC+ + nhỏ

nhất. 10. Cho A(3; 1; 0) , B(1; -2; 5), C(-1; -2; -3), D(1; 5; 1) và mp

( ) 1 0: x y za + + + = Tìm điểm M trên mp ( )a sao cho

2 2 2 2MA MB MC MD + + + nhỏ nhất Tính góc (Luyện tập thêm) 1. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng:

a) (d):

1 2

1

3 4

x ty tz t

ì = +ï = - +íï = +î

; (d’):

1

1 3

4 2

x ty tz t

ì = -ï = - +íï = +î

.


42

b) (d) là giao tuyến của 2 mp: 2 3 1 0

0

x y zx y zì - + - =í

+ + =î; (d’) là

giao tuyến của 2 mp : 3 4 0

2 1 0

x y zx y z

ì - + - =í

- + + =î.

c) (d): 1 2 2

3 1 1x y z- + -

= = ; (d’) là giao tuyến của 2 mp:

2 1 0 2 3 2 0x y z ; x z+ - - = + - =

d) (d):

3 2

1

2 4

x ty tz t

ì = - +ï = +íï = - +î

với các trục toạ độ.

2. Tính góc giữa đường thẳng và mp:

a) (d): 3 1 2

2 1 2x y z- + -

= =-

; ( )4 4 0x y xa + + - = .

b) (d) là giao của 2 mp: ( )1 01 0

4 0

x z; : y z

yì + - =

a - + =í+ =î

.

c) (d) là giao tuyến của 2 mp:

( )4 2 7 03 1 0

3 7 2 0

x y z; : x y z

x y zì + - + =

a + - + =í+ - =î

.

Viết pt đường vuông góc chung của hai đt (D1) và (D2) :

PP 1: * Tìm các VTCP a®

, b®

của (D1) và (D2)

* Tìm vectơ n®

= [ a®

, b®

]

* Viết pt mp (a1) chứa (D1) và nhận n®

là một VTCP

* Viết pt mp (a2) chứa (D2) và nhận n®

là một VTCP * Pt đường vuông góc chung là giao của (a1) và (a2) PP 2 :


43

* Đưa (D1) và (D2) về pt tham số * Tìm điểm MÎ(D1) ; N Î(D2) sao cho MN^ (D1) và (D2) * MN là đường vuông góc chung 1. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng

sau:

a) (d): ( )7 3 1

4 2 9 2

4 3 12

x t x my t ; d ' : y mz t z m

ì ì= - + = +ï ï= - = - +í íï ï= + = - -î î

.

b) ( ) ( )2

2 13 01 2

4 25 02

x tx y

d : y t ; d ' laø giao tuyeán mp :x z

z t

ì =ì - - =ï = - -í í

- - =îï = -î.

c) ( ) ( )2 3 4 1 4 42 3 5 3 2 1

x y z x y zd : ; d ' :- - - - + - -= = = =

- -.

d) ( ) ( )7 3 9 3 1 11 2 1 7 2 3

x y z x y zd : ; d ' :- - - - - -= = = =

- -

2. Cho (d):1 1 2

2 3 1x y z+ - -

= = và (d’):2 2

1 5 2x y z- +

= =-

.

a) Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính ( )d d,d ' .

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng c) Tính góc giữa (d1) và (d2)

3. Cho (d):1 2 3

1 2 3x y z- - -

= = và (d’):

2

1

x ty tz t

ì = -ï = - +íï =î

a) Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau. Tính ( )d d,d '

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng c) Tính góc giữa (d1) và (d2)

· Bài tập tổng hợp:


44

1. Cho 4 điểm S(1; 2; -1) ; A(3; 4; -1); B(1; 4; 1) ; C(3; 2; 1). a) Chứng minh SABC là hình chóp. b) Viết phương trình tổng quát của SA; BC. c) Tính khoảng cách giữa SA và BC. d) Tìm phương trình đường vuông góc chung của SA và BC e) Tính VSABC.

2 Trong không gian Oxyz chi mp (P): 6x + 3y + 2z –6 = 0 và

đường thẳng (d): 19 11

6 3 3 23 3

x t ; y t ; z t.= + = + = +

a) CM (d) cắt (P). Tìm toạ độ giao điểm I của chúng. b) CM: (d) vuông góc (P). c) Gọi A: B: C lần lượt là giao điểm của (P) với Ox; Oy; Oz. Tìm toạ độ A; B; C. CM: (d) đi qua trọng tâm của DABC.

3. Trong không gian cho hai đường thẳng

(d) là giao tuyến của 2 mp: 2 1 0

1 0

x yx y zì + + =í

- + - =î và (d’) là giao

tuyến của 2 mp : 3 3 0

2 1 0

x y zx y

ì + - + =í

- + =î.

a) CM: (d) và (d’) cùng nằm trong một mp. Tìm toạ độ giao điểm của chúng; viết pt mp (P)chứa hai đường thẳng (d) và (d’). b) Tìm thể tích của phần không gian giới hạn bởi mp (P) với ba mp toạ độ.

4. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB; OBC; OCA là các tam giác vuông tại đỉnh O. gọi ; ;a b g là góc lần lượt hợp bởi các mp (OBC); (OCA); (OAB) với mp (ABC). Bằng phương pháp toạ độ hãy chứng minh :

a) Tam giác ABC có ba góc nhọn.

b) 2 2 2 1cos cos cosa + b+ g = .

5. Trong không gian Oxyz cho hai mp ( )( )

2 2 0

2 1 0

: x y z

: x y z

a - + + =

b + + - =


45

a) CM: ( ) ( )vaøa b cắt nhau. Viết phương trình tham số của

giao tuyến (d) của hai mp ( ) ( )vaøa b .

b) Cho điểm A(1; 1; 1). Gọi H; H’ lần lượt là hình chiếu của A trên ( ) ( )vaøa b . Tính độ dài đoạn HH’.

c) Tìm toạ độ hình chiếu I của A trên (d). 6. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(-1; -1;0); B(2;1;-1);

C(0;0;1). a) Lập phương trình tổng quát của mp(P) qua C và vuông góc với AB. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) với AB và tính diện tích ABC. c) Tìm thể tích tứ diện OABC với ) là gốc toạ độ.

7.Cho đường thẳng(d):

12 4

9 3

1

x ty tz t

ì = +ï = +íï = +î

và mp (P): 3 5 2 0x y z .+ - - =

a) CM: (d) cắt (P); tìm giao điểm của chúng. b) Viết phương trình mp (Q) qua điểm M(1; 2; -1) và vuông góc (d). c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên mp (P). d) Tìm M’ là điểm đối xứng của M qua đường thẳng (d). e) Lập pt (D) là đường thẳng đối xứng của (d) qua mp (P).

8. Trong không gian Oxyz cho đthẳng ( )kD là giao tuyến của 2

mp ( )00

1 0

x kz k: k

( k)x kyì + - =

¹í- - =î

Chứng minh rằng khi k thay đổi

a) (Dk) luôn đi qua một điểm cố định. b) (Dk) nằm trong một mp cố định.

9. Cho (D) là giao của 2 mp: ( )0

0

x z.sin costham soá

y z.cos sinì - a + a =

aí- a - a =î

.

a) Xác định vectơ chỉ phương của (D). b) CMR: (D) tạo với Oz một góc không đổi. c) Viết pt hình chiếu (D’) của (D) trên mp Oxy.


46

d) CM: "a . (D’) luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định thuộc mp Oxy.

10. Cho mặt cầu (S) : ( )2 2 2x y z 2 x 2y 3z+ + = + + Gọi A,B,C là

giao điểm (khác O ) của (S) với Ox ,Oy ,Oz .Viết Pt mp(ABC). Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 11. a) Lập PT mặt cầu tâm I(2;3;-1) và cắt (d) là giao của 2 mp

5 4 3 20 0

3 4 8 0

x y zx y z

ì - + + =í

- + - =î tại hai điểm A,B sao cho AB = 16.

b) Tìm m để (d): 2 2 1 0

2 2 4 0

x y zx y zì - - + =í

+ - - =î cắt (S):

02 2 2x y z 4x 6y m + + + - + = tại M và N sao cho MN = 9. 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , tâm

tại gốc tọa độ . Biết A(- 2 ;-1;0) , B( 2 ;-1;0) , S(0;0;3) a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh

AB song song với hai đường thẳng AD và SC . b) Mp(P) qua B và ^ SC .Tính diện tích thiết diện của hình

chóp S.ABCD với (P). GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một

vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.

2. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :

( )2S abc a b c³ + + .

3. Tứ diện ABCD: có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 3; AC = AD= 4 Tính khoảng cách từ A tới (BCD).


47

4. Cho hình chóp SABC, các cạnh đều có độ dài bằng 1, O là tâm của DABC. I là trung điểm của SO. a) Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC. b) H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. CMR: IH đi qua trọng tâm G của DSAC.

5. Cho hình lăng trụ ABCD A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh

a. AA1 = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là

trung điểm của BB1; M di động trên cạnh AA1. Tìm giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất của diện tích DMC1D.

6. Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA ; OB ; OC vuông góc với nhau từng đôi một. OA = a ; OB = b ; OC = c. Gọi G và H lần lượt là trọng tâm và trực tâm của ABCD . a) Tính OG theo a; b; c. b . Tính diện tích ABCD

CM : 2 2 2 2S ABC S OBC S OCA S OABD = D + D + D b) Chứng minh : OH mp(ABC)^ tính OH. d) Gọi ; ;a b g là góc nhị diện cạnh BC; CA; AB. CM:

2 2 2 1cos cos cosa + b+ g = . 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. gọi G là trọng tâm A'BDD và

G’ là trọng tâm của B'CD'D .Chứng minh rằng 4 điểm A; C’; G; G’ thẳng hàng và AG = GG’ = G’C’.

8. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a. a. CM: đường chéo A'C vuông góc với mặt phẳng (AB'D') b. Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A'C và mặt

phẳng (AB'D') là trọng tâm của tam giác AB'D' . c. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB'D') và (C'BD) d.Tìm cosin của góc tạo bởi mặt phẳng (DA'C) và

(ABB'A') e) Chứng minh hai đường chéo B'D' và A'Bcủa hai mặt bên

là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B'D' và A'B


48

9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết

2 0 0A( ; ; ) ; 0 1 0B( ; ; ) ; 0 0 2 2S( ; ; ) . Gọi M là trung điểm của SC

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính

thể tích khối chóp S.ABMN. 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh

đáy bằng a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN. Biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , · · 090BAD ABC= = AB BC a= = , 2AD a= , SA vuông góc với đáy và 2SA a= . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a

MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT

ĐỀ 1: I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số 3 23 1y x x= - + - có đồ thị (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có đúng 3

nghiệm phân biệt 3 23 0x kx- + = . Câu II ( 3,0 điểm )

a. Giải phương trình 3 4 2 23 9

x x- -=


49

b. Cho hàm số 2

1ysin x

= . Tìm nguyên hàm F(x ) của hàm

số, biết rằng đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm M(6p

; 0) .

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1

2y x x

= + + với x > 0 .

Câu III ( 1,0 điểm )

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng 6 và đường cao h = 1 . Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh chọn một trong hai phần Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

(d) : 2 3

1 2 2x y z+ +

= =-

và mặt phẳng (P) : 2 5 0x y z+ - - =

a. Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A . b. Viết phương trình đường thẳng (D ) đi qua A , nằm trong

(P) và vuông góc với (d) . Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

1y ln x,x ,x ee

= = = và trục hoành

Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

(d ) :

2 4

3 2

3

x ty tz t

ì = +ï = +íï = - +î

và mặt phẳng (P) : 2 5 0x y z- + + + =

a. Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P) .


50

b. Viết phương trình đường thẳng (D ) nằm trong (P), song song

với (d) và cách (d) một khoảng là 14 . Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Tìm căn bậc hai của số phức 4z i= - ĐỀ 2 I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số 2 1

1y

xx

=+-

có đồ thị (C)

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b.Viết PT tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M(1;8) . . Câu II ( 3,0 điểm )

a. Giải bất phương trình

22 4

3 1

xlogsin x

-+>

b. Tính tích phân : I = 1

0

3 2x( cos x)dx+ò

c.Giải phương trình 2 4 7 0x x- + = trên tập số phức . Câu III ( 1,0 điểm )

Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 , chiều cao h = 2 . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục của hình trụ . Tính cạnh của hình vuông đó .

II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh chọn một trong hai phần Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và

hai mp (P) : 2 3 1 0x y z- + + = và (Q) : 5 0x y z+ - + = . a. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) . b. Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến (d) của

(P) và (Q) đồng thời vuông góc với mp (T) : 3 1 0x y- + = . Câu V.a ( 1,0 điểm ) :


51

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2 2x x- + và trục hoành . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành .

Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :

3 1 32 1 1

x y z+ + -= = và mặt phẳng (P) : 2 5 0x y z+ - + = .

a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mp (P) . b. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) . c. Viết phương trình đường thẳng (D ) là hình chiếu của

đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P). Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Giải hệ phương trình sau : 22

2

4 4

2 4

y

y

.log x

log x

-

-

ì =ïí

+ =ïî


Cho hàm số 4 22 1y x x= - - có đồ thị (C) a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b.Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của

phương trình 4 22 0x x m- - = Câu II ( 3,0 điểm )

a. Giải phương trình 3

2 1 133 2

xcos xlog x log cos log xp

p- + -=


0

xx(x e )dx+ò

c. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 3 22 3 12 2x x x+ - + trên 1 2[ ; ]-


52

Câu III ( 1,0 điểm ) Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau

từng đôi một với SA = 1cm,SB = SC = 2cm .Xác định tân và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó .

II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh chọn một trong hai phần Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A(- 2;1;- 1) ,B(0;2;- 1) ,C(0;3;0) D(1;0;1) . a. Viết phương trình đường thẳng BC . b. Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng . c. Tính thể tích tứ diện ABCD .

Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Tính giá trị 2 21 2 1 2P ( i) ( i )= - + + . Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;- 1;1) ,

hai đường thẳng 11

1 1 4x y z( ) : -

D = =-

, 2

2

4 2

x t( ) : y t

z 1

ì = -ïD = +íï =î

và

mặt phẳng (P) : 2 0y z+ =

a. Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên ( 2D ) .

b. Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng

1 2( ) ,( )D D và nằm trong mặt phẳng (P) .

Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Tìm m để đồ thị của hàm số 2

1mx x m(C ) : y

x- +

=-

với 0m ¹

cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm A,B vuông góc nhau .

ĐỀ 4:


53

I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số 3 3 1y x x= - + có đồ thị (C). a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b.Viết pt tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M(149

; 1- ) . .

Câu II ( 3,0 điểm )

a.Cho hàm số 2x xy e- += . Giải pt: 2 0y y y¢¢ ¢+ + =

b.Tính tích phân : 2

20

2

2

sin xI dx( sin x)

p

=+

ò

c.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 22 4 1y sin x cos x sin x= + - + .

Câu III ( 1,0 điểm ) Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đáy đến

dây cung AB của đáy bằng a , · 30SAO = o , · 60SAB = o . Tính độ dài đường sinh theo a .

II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh chọn một trong hai phần Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

11 2

2 2 1x y z( ) : - -

D = =- -

, 2

2

5 3

4

x t( ) : y t

z

ì = -ïD = - +íï =î

a. CM: đường thẳng 1( )D và đường thẳng 2( )D chéo nhau .

b. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng 1( )D

và song song với đường thẳng 2( )D .

Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Giải phương trình 3 8 0x + = trên tập số phức ..


54

Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) ,

mặt phẳng (P ) : 2 1 0x y z+ + + = và mặt cầu (S) :

2 2 2 2 4 6 8 0x y z x y z+ + - + - + = . a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) . b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp

xúc với mặt cầu (S) . Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Biểu diễn số phức z = 1- + i dưới dạng lượng giác .

ĐỀ 5: I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số 32

yxx

=--

có đồ thị (C)

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đt(d) : y = mx + 1

cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt . Câu II ( 3,0 điểm )

a.Giải bất phương trình 2

12 2 3 0

ln sine log (x x)

æ öp+ç ÷è ø - + ³

b.Tính tích phân : I = 2

0

12 2x x( sin )cos dx

p

+ò

c.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

x

xey

e e=

+ trên đoạn 2 4[ ln ; ln ] .

Câu III ( 1,0 điểm ) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các

cạnh đều bằng a. Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a .


55

II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh chọn một trong hai phần Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

1

2 2

3

x t(d ) : y

z t

ì = -ï =íï =î

và 22 1

1 1 2x y z(d ) : - -

= =-

.

a. Chứng minh rằng hai đường thẳng 1 2(d ),(d ) vuông góc

nhau nhưng không cắt nhau . b. Viết phương trình đường vuông góc chung của 1 2(d ),(d ) .


Tìm môđun của số phức 31 4 1z i ( i)= + + - . Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (a ) :

2 2 3 0x y z- + - = và hai đường thẳng

( 1d ) : 4 1

2 2 1x y z- -

= =-

, ( 2d ) : 3 5 7

2 3 2x y z+ + -

= =-

.

a. Chứng tỏ đường thẳng ( 1d ) song song mặt phẳng (a ) và

( 2d ) cắt mặt phẳng (a ) .

b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng ( 1d ) và ( 2d ).

c. Viết phương trình đường thẳng (D ) song song với mặt phẳng (a ) , cắt đường thẳng ( 1d ) và ( 2d ) lần lượt tại M

và N sao cho MN = 3 . Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Tìm nghiệm của phương trình 2z z= , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z .

ĐỀ 6: I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )


56

Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số 4 22y = x x- + có đồ thị (C) a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b.Viết pt tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M ( 2 ;0) . . Câu II ( 3,0 điểm ) a.Cho 392 112lg a , lg b= = . Tính lg7 và lg5 theo a và b .

b.Tính tìch phân : I = 2

1

0

xx(e sin x)dx+ò

c.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ của hàm số 2

1

1

xyx

+=

+ .

Câu III ( 1,0 điểm ) Tính tỉ số thể tích của hình lập phương và thể tích của hình trụ

ngoại tiếp hình lập phương đó. II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh chọn một trong hai phần Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với

các đỉnh là A(0; 2- ;1) , B( 3- ;1;2) , C(1; 1- ;4) . a. Viết phương trình chính tắc của đường trung tuyến kẻ từ

đỉnh A của tam giác . b. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm C

và vuông góc với mặt phẳng (OAB) với O là gốc tọa độ . Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C) : 1

2 1y

x=

+ ,

hai đường thẳng x = 0 , x = 1 và trục hoành . Xác định giá trị của a để diện tích hình phẳng (H) bằng lna .

Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1 4 2; ; )-

và hai mặt phẳng


57

( 1P ) : 2 6 0x y z- + - = , ( 2 2 2 2 0P ) : x y z+ - + = .

a. Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng ( 1P ) và ( 2P ) cắt nhau . Viết

phương trình tham số của giao tuyến D của hai mặt phằng đó b. Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên giao

tuyến D . Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C) : y = 2x và

(G) : y = x . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành .


Cho hàm số 3 23 4y x x= + - có đồ thị (C) a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b.Cho họ đường thẳng 2 16m(d ) : y mx m= - + với m là tham

số . CM: rằng m(d ) luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm cố định I.


a.Giải bất phương trình

11 1

2 1 2 1

xx x

( ) ( )-

- ++ ³ -

b.Cho 1

0

2f(x)dx =ò với f là hàm số lẻ. Hãy tính I = 0

1

f(x)dx-ò .

c.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

24 12

xxy += .

Câu III ( 1,0 điểm ) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều

cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB . Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy

một góc bằng 45o . Tính thể tích của khối lăng trụ này .


58

II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh chọn một trong hai phần 1.Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt

phẳng (P) qua O , vuông góc với mp (Q) : 0x y z+ + = và

cách điểm M(1;2; 1- ) một khoảng bằng 2 .

Câu V.a ( 1,0 điểm ): Cho số phức 11

izi

-=

+ .Tính giá trị của

2010z . 2.Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ):

1 2

2

1

x ty tz

ì = +ï =íï = -î

và mặt phẳng (P) : 2 2 1 0x y z+ - - = .

a. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d) , bán kính bằng 3 và tiếp xúc (P) .

b. Viết phương trình đường thẳng (D ) qua M(0;1;0) , nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng (d) .

Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Trên tập số phức , tìm B để phương trình bậc hai

2 0z Bz i+ + = có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i- . ĐỀ 8: I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số 2

1y

xx

=+-

có đồ thị (C)

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) . b.Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = mx - 4- 2m luôn

đi qua một điểm cố định của đường cong (C) khi m thay đổi .


59


a. Giải phương trình 2 2

12 1 2 2 12x xlog ( ).log ( )+- - =


22

2

2/

sin x dx( sin x)-p +

ò

c. Viết pt tiếp tuyến với đồ thị 2 3 1

2x x(C) : y

x- +

=-

, biết rằng

tiếp tuyến này song song với (d) : 5 4 4 0x y- + = . Câu III ( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S,ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA

sao cho MS = 2 MA . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC .

II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có

các đỉnh A,B,C lần lượt nằm trên các trục Ox,Oy,Oz và có trọng tâm G(1;2; 1- ) Hãy tính diện tích tam giác ABC


Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường ( C ) : y = 2x , (d): y = 6 x- và trục Ox .Tính diện tích của hình phẳng (H) Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ . Biết A’(0;0;0) , B’(a;0;0), D’(0;a;0) , A(0;0;a) với a>0 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và B’C’ .

a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và BD’ .

b. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’



60

Tìm các hệ số a,b sao cho parabol (P) : 22y x ax b= + + tiếp

xúc với hypebol (H) 1yx

= Tại điểm M(1;1)

ĐỀ 9: I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7,0 điểm) Câu 1: (3,0 điểm) Cho hàm số: y = (x – 1)2.(x + 1)2 có đồ thị

(C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Tìm m để (d): y = m cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.

Câu 2: (3,0 điểm) a) Giải phương trình: log(x – 1) – log(x2 – 4x + 3) = 1.

b) Tính tích phân: 3

1

1e ln xI dx.x

+= ò

c) Cho hàm số: y = x3 – (m + 2)x + m (m là tham số). Tìm m để hàm số có cực trị tại x = 1.

Câu 3: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác

đều cạnh a, cạnh bên bằng 3a và hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể tích khối lăng trụ.

II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc Phần

2). 1. Theo chương trình Chuẩn. Câu 4.a: (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A, B có

tọa độ xác định bởi hệ thức: 2 4 4OA i k, OB j k= - = - -uuur uuurr r r r

và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 6z + 2 = 0. a) Tìm giao điểm M của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (P).


61

Câu 5.a: (1,0 điểm) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường:

10 1 2

2xy ; y ; x ; x .x-

= = = - =+

2. Theo chương trình Nâng cao. Câu 4.b: (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1 2

2

x t(d) : y t

z t

ì = +ï =íï =î

và mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O vuông góc với (d) và song song với (P). b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc (d), tiếp xúc với mặt phẳng (P) và có bán kính bằng 4.

Câu 5.b: (1,0 điểm) Tính: ( )20113z i .= +

ĐỀ 10: I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số : y = – x3 + 3mx – m có đồ thị là ( Cm ) . 1.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1. 2.Khảo sát hàm số ( C1 ) ứng với m = – 1 . 3.Viết phương trình tiếp tuyến với ( C1 ) biết tiếp tuyến vuông

góc với đường thẳng có phương trình 26xy = + .


1.Giải bất phương trình: 20 2 0 2 6 0, ,log x log x- - £

2.Tính tích phân 4

0

t anxI dxcosx

p

= ò


62

3.Cho hàm số y= 3 213

x x- có đồ thị là ( C ) .Tính thể tích vật

thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và các đường thẳng y = 0,x =0, x = 3 quay quanh 0x.

Câu III ( 1,0 điểm ) Cho hình vuông ABCD cạnh a.SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD,SA = 2a. a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD b.Vẽ AH vuông góc SC.Chứng minh năm điểm H,A,B,C,D

nằm trên một mặt cầu. II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 1.Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) Cho D(-3;1;2) và mặt phẳng (a ) qua ba điểm A(1;0;11),

B(0;1;10), C(1;1;8). 1.Viết phương trình tham số của đường thẳng AC 2.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (a ) 3.Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R= 5.Chứng

minh mặt cầu này cắt (a ) Câu V.a ( 1,0 điểm ) Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt

phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện : 3 4Z Z+ + =

2.Theo chương trình nâng cao Câu IVb/. Cho A(1,1,1) , B(1,2,1); C(1,1,2); D(2,2,1) a.Tính thể tích tứ diện ABCD b.Viết pt đường thẳng vuông góc chung của AB và CB c.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Câu Vb/.


63

a/.Giải hệ phương trình sau:2 2

2 3

4 2

2 2 1

x ylog ( x y) log ( x y)

ì - =ïí

+ - - =ïî

b/.Miền (B) giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số -

=+

x 1y

x 1 và

hai trục tọa độ.1).Tính diện tích của miền (B).2). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (B) quanh trục Ox, trục Oy.

ĐỀ 11: I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – 2 . m là tham số 1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu 2.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. Câu II ( 3,0 điểm ) 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex ,y = 2 và đường thẳng x = 1.

2.Tính tích phân 2

20

2

4

sin xI dxcos x

p

=-

ò

3.Giải bất phương trình log(x2 – x -2 ) < 2log(3-x) Câu III ( 1,0 điểm ) Cho hình nón có bán kính đáy là R,đỉnh S .Góc tạo bởi đường

cao và đường sinh là 600. 1.Hãy tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường

sinh vuông góc nhau. 2.Tính diện tích xung quanh của mặt nón và thể tích của khối

nón. II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 1.Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm :A(1;0;-1);

B(1;2;1); C(0;2;0). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC


64

1.Viết phương trình đường thẳng OG 2.Viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua bốn điểm O,A,B,C. 3.Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường

thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu ( S). Câu V.a ( 1,0 điểm ) Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng

bằng 3 2.Theo chương trình nâng cao Câu IVb/. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A, B, C, D với

A(1;2;2), B(-1;2;-1), 6 6 2OC i j k ; OD i j k= + - = - + +uuur r r uur uuur uur r uur

. 1.CM: ABCD là tứ diện và có các cặp cạnh đối bằng nhau. 2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. 3.Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp hình tứ diện ABCD.

Câu Vb/. Cho hàm số: 4

1y x

x= +

+(C)

1.Khảo sát hàm số 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng 1

20113

y x= +

ĐỀ 12: I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số số y = - x3 + 3x2

– 2, gọi đồ thị hàm số là ( C) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) tại điểm có

hoành độ là nghiệm của phương trình y// = 0. Câu II ( 3,0 điểm ) 1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

a.4

12

f(x) xx

= - + -+

trên 1 2;é ù-ë û


65

b. f(x) = 2sinx + sin2x trên 3

02

;é ùpê úë û

2.Tính tích phân ( )2

0

I x sin x cosxdx

p

= +ò

3.Giải phương trình : 4 8 2 53 4 3 27 0x x.+ +- + = Câu III ( 1,0 điểm ) Một hình trụ có diện tích xung quanh là S,diện tích đáy bằng

diện tích một mặt cầu bán kính bằng a. Hãy tính a). Thể tích của khối trụ b). Diện tích thiết diện qua trục hình trụ II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 1.Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng

( ) ( )12 2 0 1

1 1 12 0 2x y x y z: ; :x zì + - = -

D D = =í - -- =î

1.Chứng minh ( )1D và ( )2D chéo nhau

2.Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S) biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng ( )1D và ( )2D

Câu V.a ( 1,0 điểm ). Tìm thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình

phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = x3 xung quanh

trục Ox 2.Theo chương trình nâng cao Câu IVb/.


66

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng 3 0(P) : x y z+ + - = và đường thẳng (d)có phương trình là

giao tuyến của hai mặt phẳng: 3 0x z+ - = và 2y - 3z = 0 1.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M (1;0;-2) và qua

(d). 2.Viết phương trình chính tắc đường thẳng (d’) là hình chiếu

vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P). Câu Vb/.

Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: ( ) ( )3 32 i 3 i+ - - .

ĐỀ 13: I. PHẦN CHUNG Câu I

Cho hàm số 3 23 1y x x= - + + có đồ thị (C) a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(3;1). c. Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3

nghiệm phân biệt 3 23 0x x k- + = . Câu II 1. Giải phương trình sau :

a. 2 22 2 21 3 1 32 0log (x ) log (x ) log+ - + + = .

b. 4 5 2 4 0x x. + =-

2. Tính tích phân sau : 2

3

0

1 2( sin x) cosxdxI

p

+= ò .

3. Tìm MAX , MIN của ( ) 3 212 3 7

3f x x x x= - + - trên [0;2]

Câu III : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD và O là tâm của đáy

ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh đáy CD.


67

a. Chứng minh rằng CD vuông góc với mặt phẳng (SIO). b. Giả sử SO = h và mặt bên tạo với đáy của hình chóp một góc a . Tính theo h và a thể tích của hình chóp S.ABCD.

II. PHẦN DÀNH CHO HỌC SINH TỪNG BAN 1. Theo chương trình Chuẩn :

Câu IV.a Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) và đường thẳng

(d): 1 1 1

2 1 2

x y z- + -= = .

1. Viết phương trình mặt phẳng a qua A và vuông góc d.

2. Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng a .

Câu V.a Giải pt sau trên tập hợp số phức: 2 2 17 0z z+ + = 2. Theo chương trình Nâng cao :

Câu IV.b

Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) 1) Viết phương trình mặt phẳng a qua ba điểm A, B, C.

Chứng tỏ OABC là tứ diện. 2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC. Câu V.b Giải pt sau trên tập số phức: z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0 ĐỀ 14: I. PHẦN CHUNG

Câu I: Cho hàm số y = 4 21 32 2

x mx- + có đồ thị (C).

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. 2) Dựa vào đồ thị (C), hãy tìm k để phương trình:

4 21 33

2 2x x k- + - = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

Câu II : 1. Giải bất phương trình 3 2 12 2log (x ) log (x )- + - £


68

2. Tính tích phân a.1 2

30 2

xI dxx

=+

ò b. 2

0

1I x dx= -ò

3. Tìm GTLN, GTNN của 2 4 5f(x) x x= - + trên 2 3[ ; ]- Câu III: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, góc

giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp SABCD theo a.

II. PHẦN RIÊNG 1. Theo chương trình Chuẩn :

Câu IV.a

Trong Kg Oxyz cho điểm A(2;0;1), mặt phẳng (P):

2 1 0x y z- + + = và đường thẳng (d):

1

2

2

x ty t z t

ì = +ï =íï = +î

.

1. Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P).

2. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng (d).

Câu V.a Viết PT đường thẳng song song với đường thẳng

3y x= - + và tiếp xúc với đồ thị hàm số 2 31xy

x-

=-

2. Theo chương trình Nâng cao : Câu IV.b Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;4;2), đường

thẳng (d): 1

1 2 3x y z -= = và mặt phẳng (P):

4 2 1 0x y z+ + - = . 1. Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) và cho biết toạ độ tiếp điểm.


69

2. Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc (d) và song song với mặt phẳng (P).

Câu V.b Viết PT đường thẳng vuông góc với (d) 4 13 3

y x= - + và

tiếp xúc với đồ thị hàm số 2 1

1x xy

x+ +

=+

.

ĐỀ 15: I .PHẦN CHUNG Câu I.

Cho hàm số 2 1

1xyx+

=-

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 2. Tìm m để đường thẳng d : y = - x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt .

Câu II. 1. Giải phương trình : 2 23 1 3log (x ) log (x )- + - =

2. Tính tích phân : a. I=3

20 1

xdx

x +ò b. J=

2

2

20 2

xdx

(x )+ò

3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = cos2x – cosx + 2 Câu III : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a . SA ^ (ABCD) và SA = 2a . 1. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng SAC. 2. Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a .


Câu IV.a Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2; -1 ;1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0). 1. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng .Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.


70

Câu V.a Giải phương trình : 2 1 31 2

i izi i

+ - +=

- +

2. Theo chương trình Nâng cao :

Câu IV.b

Trong không gian cho hai điểm A(1;0;-2) , B( -1 ; -1 ;3) và mặt phẳng (P) : 2x – y +2z + 1 = 0

1. Viết phương trình mặt phẳng ( Q) qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (P)

2. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Câu V.b Cho hàm số 2x 3xyx 1-

=+

(C) .

Tìm trên đồ thị (C) các điểm M cách đều 2 trục tọa độ. ĐỀ 16: I - Phần chung

Câu I Cho hàm số 3 3y x x= - + có đồ thị (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường

thẳng (d) x-9y+3=0 Câu II

1. Giải phương trình : 23 3

9 9log x log x+ =

2. Giải bất phương trình : 1 13 3 10x x+ -+ <

3. Tính tích phân: ( )2

3

0

I sin x cosx xsin x dx

p

= -ò

4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau: 2 5 6f(x) x x= - + + . Câu III : Tính thể tích của khối tứ giác đều chóp S.ABCD biết SA=BC=a.

II. PHẦN RIÊNG


71

1. Theo chương trình Chuẩn :

Câu IV.a

Trong không gian (Oxyz) cho đường thẳng (d):

1

3

2

x ty tz t

ì = +ï = -íï = +î

và mặt phẳng (P): 2x+y+2z =0 1. Chứng tỏ (d) cắt (P).Tìm giao điểm đó 2. Tìm điểm M thuộc (d) sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 2. Từ đó lập phương trình mặt cầu có tâm M và tiếp xúc với (P)

Câu V.a Cho số phức 1 3z i= + .Tính 2 2z (z)+ 2. Theo chương trình Nâng cao :

Câu IV.b

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( ) 02 2 2S : x y z –2x 2y 4z –3+ + + + = và hai đường thẳng

(D1) : 2 2 0

2 0

x yx z

ì + - =í

- =î , (D2) :

11 1 1

x y z-= =

- -

1) Chứng minh (D1) và (D2) chéo nhau. 2) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện

đó song song với hai đường thẳng (D1) và (D2). Câu V.b

Cho hàm số : 2 42 1

x xy(x )- +

=-

, có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị

(C) tất cả các điểm mà hoành độ và tung độ của chúng đều là số nguyên.

ĐỀ 17:


72

A - PHẦN CHUNG Câu I: Cho hàm số y = (2 – x2)2 có đồ thị (C). 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của

phương trình :x4 – 4x2 – 2m + 4 = 0 . Câu II: 1. Giải phương trình:

a. 22 46 4log x log x+ = b. 14 2 2 3 0x x. +- + =

2. Tính tích phân : 0

21

16 2

4 4

xI dxx x-

-=

- +ò

3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x4 – 2x3 + x2 trên đoạn [-1;1] Câu III: Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Gọi

M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD xung quanh trục MN ta được hình trụ tròn xoay . Hãy tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên.


Câu IV.a

Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5) 1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (D ) qua B có

véctơ chỉ phương ur

(3;1;2). Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và (D )

2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa (D ) Câu V.a Tính thể tích hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi

các đường sau đây quay quanh trục Ox: y = - x2 + 2x và y = 0 2. Theo chương trình Nâng cao :


73

Câu IV.b

Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;-2;0), C(0;2;1), D(-2;1;2) 1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)

Câu Vb: Tính thể tìch các hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn

bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox : y = cosx , y = 0, x = 0, x = 2p ĐỀ 18: I. PHẦN CHUNG

Câu I : Cho hàm số 2 3

3xyx-

=- +

( C )

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số 2. Gọi A là giao điểm của đồ thị với trục tung. Tìm phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại A.

Câu II :

1. Giải bất phương trình : 33 5

11

xlogx-

£+

2. Tính tích phân: ( )4

4 4

0

I cos x sin x dx

p

= -ò

3. Chứng minh rằng với hàm số: y = x.sinx. Ta có: 2 0x.y (y ' sin x) x.y ''- - + =

4. Giải phương trình sau đây trong C : 23 2 0x x- + = Câu III: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a, cạnh

bên là 3a . 1) Tính thể tích hình chóp S.ABCD


74

2) Tính khoảng cách giửa hai đường thẳng AC và SB


Câu IV.a Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm

A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3) 1. Viết pt tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C

2. Lập phương trình đường thẳng (d) qua C và vuông góc mặt phẳng (ABC)

Câu V.a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 và 2 tiếp

tuyến phát xuất từ A (0, -2). 2. Theo chương trình Nâng cao :

Câu IV.b

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3)

1. Viết pt tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C 2. Gọi (d) là đường thẳng qua C và vuông góc mặt phẳng

(ABC). Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (Oxy).

Câu V.b

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) : y = 2

1x

x -,

đường tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2 và x = l ( l > 2). Tính l để diện tích S = 16 (đvdt)

ĐỀ 19: I. PHẦN CHUNG Câu I : Cho hàn số y = x3 + 3x2 + 1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .


75

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình

sau theo m : x3 + 3x2 + 1 = 2m

Câu II : 1. Giải phương trình: 25x – 7.5x + 6 = 0.

2. Tính tích phân a. I =1

2

0

1 x dx-ò b. J = 2

0

1(x )sin x.dx

p

+ò

3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f(x) = 2 sinx + sin2x trên đoạn 3

02

;é ùpê úë û

Câu III : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

cạnh SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. 1. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. 2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.


Câu IV.a

Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết A(6;2;-5), B(-4;0;7). 1. Tìm toạ độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S). 2. Lập phương trình của mặt cầu (S).

Câu V.a

Tính giá trị của biểu thức Q = ( 2 + 5 i )2 + ( 2 - 5 i )2. 2. Theo chương trình Nâng cao : Câu IV.b Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(-1; 2; 0), B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2).

1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).


76

2. Viết PT mặt phẳng ( )a chứa AD và song song với BC. Câu V.b Giải pt sau trên tập số phức: (z + 2i)2 + 2(z + 2i) - 3 = 0 ĐỀ 20: I- PHẦN CHUNG Câu I:

Cho hàm số 2 1

1xyx+

=-

, gọi đồ thị của hàm số là (H).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (H) tại điểm ( )0 2 5M ; .

Câu II:

1. Giải phương trình : 6 9 13 6 6 4 0x x x. . .- + =

2. Tính tích phân a. ( )

1 3

20 1

x dxx+

ò b. ( )6

0

1 3x sin xdx

p

-ò

3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

3 22 3 12 1y x x x= + - + trên [-1;3] Câu III : Tính thể tích của khối chóp S.ABC biết AB = BC = CA =

3 ; góc giữa các cạnh SA,SB,SC với mặt phẳng (ABC)

bằng 060 .

II. PHẦN RIÊNG 1. Theo chương trình Chuẩn : Câu IV.a Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

1 3 2

1 2 2x y zd : + + +

= = và điểm A(3;2;0)

1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên d


77

2. Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d.

Câu V.a

Cho số phức: ( )( )21 2 2z i i= - + . Tính giá trị A z.z= .

2. Theo chương trình Nâng cao : Câu IV.b Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng:

1

12 4 0

22 2 4 0

1 22

x tx y z

d : d : y tx y z

z t

ì = +ì - + - = ï = +í í

+ - + =î ï = +î

1) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với d2

2) Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H trên d2 sao cho độ dài MH nhỏ nhất

Câu V.b

Giải pt sau trên tập số phức: 2

4 45 6 0

z i z iz i z i

æ ö+ +- + =ç ÷- -è ø

ĐỀ 21: I. PHẦN CHUNG Câu I :

Cho hàm số 3 3 1y x x= - + .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C hàm số trên.

2. Dựa vào đồ thị ( )C biện luận theo m số nghiệm của phương

trình 3 3 1 0x x m .- + - = Câu II :

1. Giải phương trình : 1 24 2 3 0x x .+ ++ - =

2. Tính tích phân : a. 3

20

x sin xI dxcos x

p

+= ò .b.

( )4

1

1

1I dx

x x=

+ò .


78

3. Tìm modul và argumen của số phức sau:

2 3 161z i i i ... i .= + + + + + Câu III : Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O bán kính R, góc

ở đỉnh là 2a . Một mặt phẳng (P) vuông góc với SO tại I và cắt hình nón theo một đường tròn (I). Đặt SI x.= 1. Tính thể tích V của khối nón đỉnh O, đáy là hình tròn (I) theo , xa và R. 2. Xác định vị trí của điểm I trên SO để thể tích V của khối nón trên là lớn nhất.

II. PHẦN RIÊNG 1. Theo chương trình Chuẩn : Câu IV.a

Cho đường thẳng 3 1 2

2 1 2x y zd : - + -

= =-

và mặt phẳng

( ) 4 4 0: x y za + + - = .

1. Tìm tọa độ giao điểm A của d và ( ).a Viết phương trình

mặt cầu ( )S tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (Oyz).

2. Tính góc j giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ).a

Câu V.a

Viết phương tình tiếp tuyến D của ( ) 3 26 9 3C : y x x x= + + +

tại điểm có hoành độ bằng 2- . 2. Theo chương trình Nâng cao :

Câu IV.b

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )a có

phương trình ( ) 2 3 6 18 0: x y za + + - = . Mặt phẳng ( )a cắt

Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B và C.


79

1. Viết phương trình mặt cầu ( )S ngoại tiếp tứ diện OABC.

Tình tọa độ tâm của mặt cầu này. 2. Tính khoảng cách từ ( )M x;y;z đến mặt phẳng ( )a . Suy ra

tọa độ điểm M cách đều 4 mặt của tứ diện OABC trong vùng 0 0 0x , y , z .> > >

Câu V.b

Viết phương trình tiếp tuyếnD của ( )2 3 1

2x xC : y

x- +

=-

song

song với đường thẳng 2 5d : y x .= - ĐỀ 22: I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 3 1y x x= - + (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;-1).

Câu II

1. Giải bất phương trình 14 3 2 8 0x x. +- + ³

2. Tính tích phân 6

0

2I sin x cos xdx

p

= ò .

3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 1 trên đoạn 2 5 2; /é ù-ë û .

Câu III Cho hình chóp S.ABC có đáy là DABC cân tại A, đường

thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Gọi G là trọng tâm

của tam giác SBC. Biết 3 2SA a,AB a, BC .a= = = . 1) CM: đường thẳng AG vuông góc với đường thẳng BC. 2) Tính thể tích của khối chóp G.ABC theo a.

II. PHẦN RIÊNG


80

1. Theo chương trình Chuẩn :

Câu IV.a

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

( ) 2 1 31 2 2

x y z: - + +D = =

- và mặt phẳng ( ) 5 0P : x y z+ - + = .

1. Tìm tọa độ giao điểm của đt ( )D và mặt phẳng (P).

2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng

( )D trên mặt phẳng (P).

Câu V.a Giải phương trình 3 8 0z + = trên tập hợp số phức. 2. Theo chương trình Nâng cao :

Câu IV.b

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( )1 2 2A ; ;- và

đường thẳng ( )2

1

2

x td : y t

z t

ì = +ï = -íï =î

.

1. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa điểm A và đường thẳng (d). 2. Tìm tọa độ của điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d).

Câu V.b Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các

đường sau quay quanh trục Ox: 2 2 2

1x xy

x- +

=-

, tiệm cận

xiên, 2 3x , x= = . ĐỀ 23: I .PHẦN CHUNG


81

Câu I: Cho hàm số y = 14

x3 – 3x có đồ thị (C).

1) Khảo sát hàm số.

2) Cho điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 2 3 . Viết PT đường thẳng d đi qua M và là tiếp tuyến của (C).

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến của nó tại M.

Câu II:

1. Giải bất phương trình: 2 3 7 3 16 2 3x x x.+ + +< 2. Tính tích phân:

1

5

0

1I x( x) dx= -ò ( )6

0

6 2 6J sin x.sin x dx

p

= -ò

3. Cho hàm số: 2 3y cos x= . CM:: y’’ + 18.( 2y-1 ) = 0 Câu III: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và

cạnh bên bằng 2a . 1. Tính thể tích của hình chóp đã cho. 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB .


Câu IV.a

Trong không gian Oxyz cho điểm 1 1 1M( , , ) và mặt phẳng 2 3 5 0( ) : x y za - + - + = . Viết phương trình đường thẳng d

qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( )a . Câu V.a 1. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

2 6 10 0x x- + = 2. Thực hiện các phép tính sau:


82

a. 3 3i( i)( i)- + b. 2 3 5 6i ( i)( i)+ + + - 2. Theo chương trình Nâng cao :

Câu IV.b

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

1 2

2 2 1

1 1

1 3

x t x: y t : y t

z z t

ì ì= + =ï ïD = - + D = +í íï ï= = -î î

1. Viết pt mặt phẳng ( )a chứa ( )1D và song song ( )2D .

2. Tính khoảng cách giữa đt ( )2D và mặt phẳng ( )a .

Câu V.b

Tìm m để đồ thị (C) : ( )4 2 1y x mx m= + - + và đường thẳng

(d) : y = 2(x-1) tiếp xúc nhau tại điểm có x = 1 . ĐỀ 24: I . Phần chung Câu I : Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1 có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của pt : x4 – 2x2 + 1 - m = 0. 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua

điểm A(0 ; 1). Câu II :

1. Giải phương trình : 16 17 4 16 0x x.- + = . 2. Tính tích phân sau:

a. I = 2

5

1

1x( x) dx.-ò b. J = 2

0

2 1( x ).cosxdx

p

-ò


83

3. Định m để hàm số : f(x) = 13

x3 - 12

mx2 – 2x + 1 đồng biến

trong R Câu III : Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc

· 045SAC = . a. Tính thể tích hình chóp. b. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.


Câu IV.a 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1,2,-3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 4z - 35=0 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(2,-1,3), B(4,0,1), C(-10,5,3)

Câu V.a Giải hệ PT : 6 2 3 2

6 3 12

x y

x y

.

.

ì - =ïí

=ïî

2. Theo chương trình Nâng cao : Câu IV.b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(0 ; 1; –3),

N(2 ; 3 ; 1). 1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua N và

vuông góc với MN.

2) Viết phương trình tổng quát của mặt cầu (S) đi qua điểm M, điểm N và tiếp xúc với mp(P).

Câu V.b Giải hệ PT :6 4 2

6 4 2x

y

log ( x y)

log ( y x)

ì + =ïí + =ïî

ĐỀ 25: I . PHẦN CHUNG Câu I


84

Cho hàm số 3 23 1y x x= - + - (C) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b/ Viết phuơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(-1;3) Câu II:

1. Giải phương trình : 2 32 2 4 0log x log x+ - =

2. Giải bpt : 1 2 1 23 2 12 0x

x x+ +- - <

3. Tính tích phân ( )4

2 2

0

I cos x sin x dx

p

= -ò

Câu III: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên SA

bằng 2a .

a/ Chứng minh rằng ( )AC SBD^ .

b/ Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo a.

II. PHẦN RIÊNG 1. Theo chương trình Chuẩn : Câu IV.a Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3) 1. Viết phương trình mặt phẳng (a ) đi qua M và song song

với mặt phẳng 2 3 4 0x y z- + - = . 2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc

với mặt phẳng (a ).

Câu V.a Giải phương trình 2 1 0x x- + = trên tập số phức 2. Theo chương trình Nng cao :

Câu IV.b 1. Viết PT mp đi qua A(3,1,-1), B(2,-1,4) và vuông góc với mặt phẳng ( )b : 2x – y + 3z + 4 =0


85

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số xy e= , trục hoành và đường thẳng x = 1.

Câu V.b

Tìm m để đồ thị 2 1

1x mxy

x- +

=-

có 2 cực trị thoả yCĐ .yCT = 5

ĐỀ 26: I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7,0 điểm) Câu 1: (3,0 điểm) Cho hàm số: y = –x4 + 2x2 + 3 có đồ thị (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Biện luận theo m số nghiệm thực của pt: x4 –2x2 – 2+ m =

0. Câu 2: (3,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2 13 13 68 13 5 0x x. . .- - + =

b) Tính tích phân: 3

3

0

I sin xdx.

p

= ò

c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 xf(x) x .e = trên đoạn [–3; –1].

Câu 3: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC, có SA ^ (ABC). Đáy

ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, 3 5AC a , SC a .= = Tính thể tích hình chóp S.ABC.

II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc Phần 2). 1. Theo chương trình Chuẩn. Câu 4.a: (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho A(6; –1; 0) và

mặt phẳng (P): 4x – y + 3z + 1 = 0. a) Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). b) Viết phương trình mặt cầu có tâm là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P) và đi qua A.

Câu 5.a: (1,0 điểm) Giải pt: z2 – 3z + 46 = 0 trên tập số phức.


86

2. Theo chương trình Nâng cao. Câu 4.b: (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 0; 1)

và hai đường thẳng 1 21 2 3

1 21 1 1

6 3

x tx y z(d ) : y t ; (d ) : .

z t

ì =- + -ï = + = =í -ï = +î

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng (d1). b) Xét vị trí tương đối của (d1) và (d2).

Câu 5.b: (1,0 điểm) Giải phương trình: z2 = –12 + 5i. ĐỀ 27: I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số 4 22 1y x x= - - có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của

phương trình 4 22 0x x m (*)- - = Câu II ( 3,0 điểm )

1. Giải phương trình : 15 255 1 5 5 1x xlog ( ).log ( )+- - =

2. Tính tích phân : I = 1

0

xx(x e )dx+ò

3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 3 22 3 12 2x x x+ - + trên 1 2[ ; ]- . Câu III ( 1,0 điểm ) Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau

từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó .

II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 1. Theo chương trình chuẩn :


87

Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm

A(- 2;1;- 1) ,B(0;2;- 1) ,C(0;3;0) , D(1;0;1) . a. Viết phương trình đường thẳng BC . b. Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng . c. Tính thể tích tứ diện ABCD . Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Tính giá trị của biểu thức 2 21 2 1 2P ( i) ( i )= - + + . 2. Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(1;- 1;1) , hai

đường thẳng 11

1 1 4x y z( ) : -

D = =-

, 2

2

4 2

x t( ) : y t

z 1

ì = -ïD = +íï =î

và mặt

phẳng (P) : 2 0y z+ = a. Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường

thẳng ( 2D ) .

b. Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng

1 2( ) ,( )D D và nằm trong mặt phẳng (P) .


Tìm m để đồ thị của hàm số 2

1mx x m(C ) : y

x- +

=-

với 0m ¹

cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tuếp tuyến với đồ thị tại hai điểm A,B vuông góc nhau .

ĐỀ 28: I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)

Câu 1 (4,0 điểm)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 23y x x= - + .


88

2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của

phương trình 3 23 0x x m .- + - = 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục

hoành.

Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình 2 22 9 2 2 0x x.+ - + = .

Câu 3 (1 điểm)

Giải phương trình 22 5 4 0x x- + = trên tập số phức.

Câu 4 (2 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3 . 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp S.ABCD. II. PHẦN RIÊNG (2,0 điểm) A. Theo chương trình nâng cao chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a (2,0 điểm)

1. Tính tích phân5

2

1

1

ln x x

xln

(e )e dxJe

+=

-ò .

2. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 5 4

2x xy

x- +

=-

biết các tiếp tuyến đó song song với đường

thẳng y = 3x + 2006.

Câu 5b (2,0 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0),

B(0; 3; 0), C(0; 0; 6). 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Tính

diện tích tam giác ABC.


89

2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG.

B. Theo chương trình chuẩn :



0

2 1 xK ( x )e dx= +ò .

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3

1xyx+

=+

tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ x0 = -3.


Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1; 1; 2),

B(0; 1; 1), C(1; 0; 4). 1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham

số của đường thẳng AB.

2. Gọi M là điểm sao cho 2MB MC= -uuur uuur

. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng BC.

ĐỀ 29: I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ 2 BAN (8,0 điểm)


Cho hàm số 4 22 1y x x= - + , gọi đồ thị của hàm số là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực đại

của (C).

Câu 2 (1,5 điểm) Giải phương trình 4 2 4 5log x log ( x)+ = .


Giải phương trình 2 4 7 0x x- + = trên tập số phức.


90


Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB=BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (2,0 điểm) A. Theo chương trình nâng cao chọn câu 5a hoặc câu 5b



21

2

1

xdxJx

=+

ò .

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

3 28 16 9y x x x= - + - trên [1; 3].


Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M (-1; -1; 0) và (P) : x + y – 2z – 4 = 0.

1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P).

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm toạ độ giao điểm H của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P).

B. Theo chương trình chuẩn :chọn câu 6a hoặc câu 6b



1

2K x ln xdx= ò .

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 3 1f(x) x x= - + trên [0 ; 2].


Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm E (1; 2; 3) và mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 6 = 0.


91

1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ O và tiếp xúc với mặt phẳng (P) .

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) đi qua điểm E và vuông góc với mặt phẳng (P) .

ĐỀ 30: I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ 2 BAN (8,0 điểm)


Cho hàm số 3 22 3 1y x x= + - , gọi đồ thị của hàm số là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. Biện luận theo m số nghiệm thực của pt: 3 22 3 1x x m+ - = .

Câu 2 (1,5 điểm) Giải phương trình 2 13 9 3 6 0x x.+ - + = .

Câu 3 (1 điểm)

Tính giá trị của biểu thức 2 21 3 1 3P ( i) ( i)= + + - .

Câu 4 (2 điểm)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

1) Chứng minh SA vuông góc với BC. 2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a. II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (2,0 điểm) A. Theo chương trình nâng cao chọn câu 5a hoặc câu 5b



2 3 4

1

1I x ( x ) dx-

= -ò .

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2y x cosx= + trên đoạn 02

[ ; ]p .



92

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và (P) : 2x -2y + z -1 = 0.

1) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).

2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình của mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P).

B. Theo chương trình chuẩn :chọn câu 6a hoặc câu 6b



0

2 1K ( x )cosxdx

p

= -ò .

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

4 22 1f(x) x x= - + trên [0; 2].


Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ABCD với

A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1). 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với

đường thẳng BC. 2) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình

hành.

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC-CAO ĐẲNG- ĐỀ 1: PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số 8 9 14 2y f(x) x x= = - + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương

trình 8 9 04 2cos x cos x m- + = với 0x [ ; ]Î p .


93

Câu II (2 điểm)

1. Giải phương trình: ( )31

2 22

log xx x x

æ ö- - = -ç ÷

è ø

2. Giải hệ phương trình: 2 2

2 2

12

12

x y x y

y x y

ì + + - =ïíï - =î

Câu III (1 điểm) Tính diện tích của miền phẳng giới hạn bởi các

đường 2 4y | x x |= - và 2y x= . Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một

hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ.

Câu V (1 điểm) Định m để phương trình sau có nghiệm

4 2 04

2sin3xsinx + 4cos 3x - cos x + cos x + m4 4

æ ö æ ö æ öp p p- + =ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø

PHẦN RIÊNG (3 điểm): 1. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1. ChoDABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM:

2 1 0x y+ + = và phân giác trong CD: 1 0x y+ - = . Viết phương trình đường thẳng BC.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có

phương trình tham số

2

2

2 2

x ty tz t

ì = - +ï = -íï = +î

Gọi D là đường thẳng qua

điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (D). Trong các mặt phẳng qua D , hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến (D) là lớn nhất.


94

Câu VII.a (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng

minh rằng: 1 1 1 5

1 1 1xy yz zx x y z+ + £

+ + + + +

2. Theo chương trình nâng cao. Câu VI.b (2 điểm) 1. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0),

B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng D có phương trình tham số

1 2

1

2

x ty tz t

ì = - +ï = -íï =î

.Một điểm M thay đổi trên đường thẳng D , xác

định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh

1 1 2

23 3 2 3 3

b caa b a c a b c a c a b

æ ö+ + + + <ç ÷+ + + + + +è ø

ĐỀ 2: I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH. (7 điểm) Câu I.(2 điểm) Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1)

a) Khảo sát hàm số (1) khi m = -3. b) Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất.

Câu II. (2 điểm)

a) Giải hệ phương trình :3 3

2 2 3

1

2 2

x y

x y xy y

ì + =ïí

+ + =ïî

b) Giải phương trình: 2 22 24

sin (x ) sin x tan xp- = - .


95

Câu III.(1 điểm)

Tính tích phân I = 2 2

1

4 x dxx-

ò

Câu IV.(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h vuông góc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD. Kẻ SH vuông góc BM. Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhát đó.

Câu V.(1 điểm)

Tìm m để pt sau có nghiệm thực: 4 2 1x x m+ - = II. PHẦN RIÊNG. (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a họăc phần b) Câu VI a.(2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng

d1: x – 2y + 3 = 0, d2 : 4x + 3y – 5 = 0. Lập pt đường tròn (C) có tâm I trên d1, tiếp xúc d2 và có bán kính R = 2.

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1:

1 1 2x y z= = , d2:

1 2

1

x ty tz t

ì = - -ï =íï = +î

và mặt phẳng (P): x – y – z = 0.

Tìm tọa độ hai điểm M 1dÎ , N 2dÎ sao cho MN song song (P)

và MN = 6

Câu VII a.(1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn : 4

1z iz i

æ ö+=ç ÷-è ø

Câu VI b.(2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x – 2y – 1 = 0, đường chéo BD: x – 7y + 14 = 0 và đường chéo AC qua điểm M(2 ; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.


96

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm O(0;0;0), A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 5 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm O, A, B

và có khỏang cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng 53

.

Câu VII b.(1điểm) Giải bất phương trình:

3

3 3x xlog log<

ĐỀ 3: PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số 4 22y f(x) x x= = - 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần

lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.

Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình lượng giác:

( )21

2 1

cosx sin xtan x cot x cot x

-=

+ -

2. Giải bất phương trình:

( )23 1 1

3 3

15 6 2 3

2log x x log x log x- + + - > +

Câu III (1 điểm) Tính tích phân: ( )2

4 4

0

2I cos x sin x cos x dx

p

= +ò

Câu IV (1 điểm) Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.


97

Câu V (1 điểm) Cho phương trình:

( ) ( ) 341 2 1 2 1x x m x x x x m+ - + - - - =

Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất. PHẦN RIÊNG (3 điểm): 1. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và

đường thẳng D định bởi:

2 2 4 2 0 2 12 0(C) : x y x y ; : x y+ - - = D + - = . Tìm điểm M trên D sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;1;0), B(1;1;3), C(2;-1;3), D(1;-1;0). Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Câu VII.a (1 điểm) Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu?

2. Theo chương trình nâng cao. Câu VI.b (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng ( ) 3 0d : x y- - =

và có hoành độ 92Ix = , trung điểm của một cạnh là giao điểm

của (d) và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và

mặt phẳng (P) có phương trình là

2 2 2 4 2 6 5 0 2 2 16 0(S) : x y z x y z , (P) : x y z+ + - + - + = + - + =.


98

Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng.

Câu VII.b (1 điểm) Cho a,b,c là những số dương thỏa mãn:

2 2 2 3a b c+ + = . Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2

1 1 1 4 4 4

7 7 7a b b c c a a b c+ + ³ + +

+ + + + + +

ĐỀ 4: I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số2 1

1xy

x+

=+

(C)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2.Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến

hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. Câu II (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình: 2 2

3 3

2 1

2 2

y x

x y y x

ì - =ïí

- = -ïî.

2. Giải phương trình sau:

( )6 68 3 3 4 3 3 2 9 2 11sin x cos x sin x cos x sin x+ + = - + .

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I = 12

12

11

xx(x )e dx

x

++ -ò .

Câu IV(1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a 2 , BC =

BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng3

a .

Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của

khối tứ diện ABCD bằng 3 1527

a .

Câu V (1,0 điểm) Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện


99

( )2 22 1x y xy+ = + . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức 4 4

2 1x yP

xy+

=+

.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a( 2,0 điểm) 1. Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 - 2x

+6y -15=0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng: 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6.

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:

d1 : 2 14 6 8

x y z- += =- -

và d2 : 7 26 9 12

x y z- -= =

-. Xét vị trí

tương đối của d1 và d2 . Cho hai điểm A(1;-1;2) và B(3 ;- 4;-2), Tìm tọa độ điểm I trên đường thẳng d1 sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu VII.a (1,0 điểm) Cho 1z , 2z là các nghiệm phức của phương

trình 22 4 11 0z z- + = . Tính giá trị của A = 2 2

1 22

1 2

z z

(z z )

+

+.

B. Theo chương trình Nâng cao. Câu VI.b(2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2

14 3

x y+ = và đường

thẳng D : 3x + 4y =12. Từ điểm M bất kì trênD kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1;2;3). Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba tia Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:


100

2 2 2

2 2 2

3

72 2

x log y y log log x

x log log x y log y

ì + = +ïí

+ = +ïî

ĐỀ 5: A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm): Câu I (2 điểm): Cho hàm số:

3 2 2 33 3 1y x mx (m )x m m= - + - - + (1) 1. Khảo sát hàm số (1) ứng với m=1 2. Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ

điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O.

Câu II (2 điểm): 1. Giải phương trình :

2 1 24

2cos3x.cosx+ 3( sin2x)=2 3cos ( x )p+ +

2. Giải phương trình : 2 21 2 2 1 2 2 22

5 2 5 2 5 2 2 5 2 1 5 2xlog ( x) log ( x).log ( x) log ( x ) log ( x ).log ( x)+- + - - = - + + -

Câu III (1 điểm): Tính tích phân : 46

0

tan(x )I dx

cos2x

p p-= ò

Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy

và SA=a .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD;I là giao điểm của SD và mặt phẳng

(AMN). Chứng minh SD vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI.

Câu V (1 điểm): Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 23 2P (x y z ) xyz= + + - .


101

B. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): 1.Theo chương trình chuẩn: Câu VIa (2 điểm): 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và

đường thẳng 3 4 4 0: x yD - + = . Tìm trên D hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích D ABC bằng15.

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2 2 6 4 2 0(S) : x y z x y z+ + - + - - = . Viết phương trình

mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ (1;6;2)vr

, vuông góc với mặt phẳng 4 11 0( ) : x y za + + - = và tiếp xúc với (S).

Câu VIIa(1 điểm): Tìm hệ số của 4x trong khai triển Niutơn của

biểu thức : 2 101 2 3P ( x x )= + + 2.Theo chương trình nâng cao: Câu VIb (2 điểm): 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp

2 21

9 4x y(E) : + = và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2). Tìm trên (E)

điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho DABC có diện tích lớn nhất.

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2( ) : 2 6 4 2 0S x y z x y z+ + - + - - = . Viết phương trình mặt

phẳng (P) song song với giá của véc tơ 1 6 2v( ; ; )r

, vuông góc với mặt phẳng 4 11 0( ) : x y za + + - = và tiếp xúc với (S).

Câu VIIb (1 điểm): Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn :

2

0 1 22 2 2 1212 3 1 1

nn

n n n nC C C ... Cn n

+ + + + =+ +


102

· bÀi tẬp toÁn hk ii lỚp 12 5 25/ 2 2 e 1 e ln x dx xlnx ò + 26/ 1 0 3 1 x dx x + ò 27/ 2...

Documents