exercice 3.1 e - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x...
TRANSCRIPT
CALCUL INTÉGRALThomas . Finney . Weir . Giordano
Dixième édition
SOLUTIONNAIRE DE L’ÉTUDIANT
Chapitre 3
Adaptation réalisée par Colette Messier
CALCUL INTÉGRALManuel adapté par Vincent Godbout du Cégep Montmorency
Solutionnaire – Complément pédagogiqueAdaptation réalisée par Colette Messier du Cégep du Vieux-Montréal
© 2002 Groupe Beauchemin, éditeur ltée3281, avenue Jean BéraudLaval (Québec) H7T 2L2Téléphone : (514) 334-5912
1 800 361-4504Télécopieur : (450) 688-6269www.beaucheminediteur.com
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Nous reconnaissons l’aide financière du gouvernement du Canada par l’entremise du Programme d’aide audéveloppement de l’industrie de l’édition (PADIÉ) pour nos activités d’édition.
ISBN : 2-7616-1768-1Dépôt légal : 4e trimestre 2002Bibliothèque nationale du Québec Imprimé au CanadaBibliothèque nationale du Canada 1 2 3 4 5 06 05 04 03 02
Production : Michel Carl PerronMise en pages : Société La Brochu(re)Correction d'épreuves : Viviane DeraspeSolution des exercices Mathematica : Raymonde LavoieSolution des exercices Maple : Marcel Roy
Exercices 3.1 page 211
Exercices 3.1 - Formules d'intégration de base
1. Posons u x= +8 12 . Alors du x dx= 16 .
16
8 1 1 22 8 1
2
1 22x dx
x
du
uu du
uC x C
-1 2
+= = ⋅ = + = + +∫∫ ∫
3. Posons u v= sin . Alors du v dv= cos .
3 333 2
21 23 2
3 2sin cos sinv v dv u duu
C v C = = + = ( ) +∫∫
5. Posons u x= +8 22 . Alors du x dx x u x u= = ⇒ = = ⇒ =16 0 2 1 10 et , .
16
8 2 1 22 10 2
20
1
2
10
2
10 1 2
2
10x dx
x
du
uu du
u -1 2
+= = ⋅ =
= −( )∫ ∫ ∫
7. Posons u x= + 1. Alors dux
dx dudx
x=
=1
22 et .
dx
x x
du
uu C x C
+( ) = = + = +( ) +∫ ∫12 2 2 1ln ln
9. Posons u x= −3 7 . Alors du dx du dx= =- et - 717
.
cot cot ln sin ln sin3 717
17
17
3 7−( ) = = + = −( ) +∫∫ x dx u du u C x C - - -
11. Posons u = +eθ 1. Alors du d= e θ θ.
e e - - e e θ θ θ θθ∫ ∫+( ) = = + + = +( ) + +( ) +csc csc ln csc cot ln csc cot1 1 1d u du u u C C
212 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
13. Posons ut=3
. Alors du dt du dt= =13
3 et .
sec sec ln sec tan ln sec tant
dt u du u u Ct t
C3
3 3 33 3∫ ∫= = + + = + +
15. Posons u s= − π . Alors du ds= .
csc csc ln csc cot ln csc cots ds u du u u C s s C−( ) = = + + = −( ) + −( ) +∫ ∫π π π - -
17. Posons u x= 2. Alors du x dx x u x u= = ⇒ = = ⇒ =2 0 0 2 2 , et ln ln .
2 2 1 14
0
2
0
2 2
0
20x dx dux u ue e e e e
lnln ln
ln
∫ ∫= = [ ] = − = − =
19. Posons u v= tan . Alors du v dv= sec .2
e e e etan tansecv u u vv dv du C C∫ ∫= = + = +2
21. Posons u x= + 1. Alors du dx= .
3 33
33
31
1x u
u x
dx du C C++
= = + = +∫∫ ln ln
23. Posons u w= . Alors duw
dw= 12
.
22
22
22
2
wu
u wdw
wdu C C
∫ ∫= = + = +
ln ln
25. Posons v u= 3 . Alors dv du= 3
91 9
33
1 33
13 3 32 2 2
+
du
u
du
u
dv
varc v C arc u C∫ ∫ ∫=
+ ( )=
+= + = ( ) +tan tan
Exercices 3.1 page 213
27. Posons u x= 3 . Alors du dx x u x u= = ⇒ = = ⇒ =3 0 016
12
et , .
dx
x
dx
x
du
uarc u arc arc
1 9 1 3
13 1
13
13
12
0
13 6
018
20
1 6
20
1 6
20
1 2
01 2
−=
− ( )=
−= [ ] = −
= −
=
∫ ∫ ∫ sin sin sin
π π
29. Posons u s= 2. Alors du s ds= 2 .
2
1
2
1 14 2 2 2
2s ds
s
s ds
s
du
uarc u C arc s C
−=
− ( )=
−= + = +∫ ∫ ∫ sin sin
31. Posons u x= 5 . Alors du dxdu
dx= =55
et .
6
25 16
5 5 16
16 6 5
2 2 2
dx
x x
du
u u
du
u uarc u C arc x C
−=
( ) −=
−= + = +∫∫∫ sec sec
33.dx dx dx dx
x xx
x
x
x
x
xe e ee
e e
e
e-
+=
+=
+=
( ) +∫ ∫ ∫ ∫1 1 12 2
Posons u x= e . Alors du dxx= e
e
e e
x
x
xdx du
uarc u C arc C
( ) +=
+= + = ( ) +∫∫ 2 2
1 1tan tan
35. Posons u x= ln . Alors dux
dx x u x u= = ⇒ = = ⇒ = ( ) =11 0 33 3 et e e, ln .π π π
dx
x x
du
uu du u u
cos ln cossec ln sec tan
( )= = = +[ ]∫ ∫ ∫
1 0
3
0
3
0
33e
π ππ
π
= + − +
= +( ) − +( ) = +( )ln sec tan ln sec tan
ln ln ln
π π3 3 0 0
2 3 1 0 2 3
214 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
37. x x x x x2 2 22 2 2 1 1 2 1 1− + = − + − + = −( ) +
Posons u x= − 1. Alors du dx x u x u= = ⇒ = = ⇒ =, . et 1 0 2 1
82 2
81 1
81
8 8 1 0
84
0 2
21
2
2 2 01
0
1
1
2
dx
x x
dx
x
du
uarc u arc arc
− +=
−( ) +=
+= [ ] = −( )
= −
=
∫ ∫∫ tan tan tan
π π
39. - - - -t t t t t t t t2 2 2 2 24 3 4 3 4 4 4 3 2 1 1 2+ − = − +( ) = − + − +( ) = −( ) −[ ] = − −( )
Posons u t= − 2. Alors du dt= .
dt
t t
dt
t
du
uarc u C arc t C
-
2 2 24 3 1 2 12
+ −=
− −( )=
−= + = −( ) +∫∫∫ sin sin
41. x x x x x2 2 22 2 1 1 1 1+ = + + − = +( ) −
Posons u x= + 1. Alors du dx= .
dx
x x x
dx
x x
du
u uarc u C arc x C
+( ) +=
+( ) +( ) −=
−= + = + +∫∫∫ 1 2 1 1 1 1
12 2 2
sec sec
43. sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+( ) = + +( )∫∫ 2 2 22
= + +
= + + −( )= − + − − +
∫∫∫∫∫∫
sec sec cot cot
sec csc csc
tan ln csc cot cot
2 2
2 2
2
2 1
2
x dx x x dx x dx
x dx x dx x dx
x x x x x C
45. csc sin csc sinx x dx x x x dx3 2 = ⋅ +( )∫∫
= ⋅ +( )
= ⋅ +( )= +( ) = + +( )
= +( ) = + +
∫
∫∫∫
∫
12 2
12 2
2 2 1 2 2
1 2 2 2
2
2
sinsin cos cos sin
sinsin cos cos sin
cos cos cos cos
cos sin
xx x x x dx
xx x x x dx
x x dx x x dx
x dx x x C
Exercices 3.1 page 215
47.x
xdx
xdx x x C
+= −
+
= − + +∫ ∫1
11
11 ln
49.2
12
21
22
1
3
22
3
22
3
22
3
2
3x
xdx x
x
xdx x dx
x
xdx
−= +
−
= +
−∫ ∫ ∫∫
= [ ] + −[ ] = − + − = +x x2
2
3 2
2
31 9 2 8 1 7 8ln ln ln ln
51.4 16
44 1
44
3 2
2 2
t t t
tdt t
tdt
− ++
= − ++
∫ ∫
= − + ⋅
+
= − +
+
2 412 2
2 22
2
2
t t arct
C
t t arct
C
tan
tan
53.1
1
1
1 12 2 2
−−
=−
−−∫ ∫∫x
xdx
xdx
x
xdx
Posons u x= −1 2, avec du x dx= - 2 , dans la deuxième intégrale.
1
1 1
12
12 1 2
1
2 2
1 2
1 22
−−
−= +
= + + = + − +
∫ ∫ ∫xdx
x
xdx arc x u du
arc xu
C arc x x C
-sin
sin sin
55.1 1
20
4
2 20
4+ = +
∫ ∫sin
cos cossin
cosx
xdx
x
x
xdx
π π
= +( ) = +[ ]
= + − +( )[ ] = + − −
=
∫ sec sec tan tan sec
tan sec tan sec
20
4
0
4
4 4 0 0 1 2 0 1
2
x x x dx x x ππ
π π
216 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
57.1
11
111
11 2+
=+
⋅ −−
= −−∫ ∫ ∫sin sin
sinsin
sinsinx
dxx
x
xdx
x
xdx
= − = −
= −( ) = − +
∫ ∫
∫
1 12 2 2
2
sincos cos
sincos
sec sec tan tan sec
x
xdx
x
x
xdx
x x x dx x x C
59.1 1
sec tan sec tansec tansec tanθ θ
θθ θ
θ θθ θ
θ+
=+
⋅ −−∫ ∫ d d
= −−
= − ⋅
= − = + − +
= + + = + +
= + +
∫∫∫∫
sec tansec tan
sec tan
sec tan ln sec tan ln sec
lnsec tan
secln
tansec
ln sin
θ θθ θ
θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ θθ
θθ
θ
2 2 1
1
1
d
d d C
C C
C
Une autre solution, plus simple à vrai dire, s'obtient en remplaçant sec tanθ θ et en termes
de sin cos :x x et de
1 11 1sec tan cos sin cos
cossinθ θ
θθ θ θ
θ θθ
θ+
= ( ) + ( ) =+∫ ∫ ∫ d d d
Posons u = +1 sin .θ Alors du d= cos .θ θ
cossin
ln ln sinθ
θθ θ
11
+= = + = + +∫ ∫ d
du
uu C C
61.1
11
1 1 11
11−
=− ( ) =
−= +
−
∫ ∫ ∫ ∫sec cos
coscos cosx
dxx
dxx
xdx
x
= +−
⋅ ++
= + +
−
= − +
= − −
= − −( ) = + + +
∫ ∫
∫ ∫
∫
11
111
111
11
11
1
2
2 2 2
2
coscoscos
coscos
cossin
cossin sin
csc cot csc csc cot
x
x
xdx
x
xdx
x
xdx
x
x xdx
x x x dx x x x C
Exercices 3.1 page 217
63.1
2 22− =
cossin ,
x x de sorte que
12 2 2
− =
=
cossin sin
x x x puisque
sin .x
x2
0 0 2
≥ ≤ ≤ pour π
12 2 2
0 1 40
2
0
2
0
2− =
=
= −( ) = −( ) =∫ ∫cossin cos cos cos
xdx
xdx
xπ π π
π -2 -2 -2 -1
65. 1 2 2 2+ =cos cos ,t t de sorte que 1 2 2+ = =cos cos cost t t - 2 puisque
cos .t t≤ ≤ ≤0 2 pour π π
1 2 2 0 1 22 2
2+ = = [ ] = −( ) = −( ) =∫ ∫cos cos sin sin sint dt t dt tπ
π
π
π
ππ π π - 2 - 2 - 2 - 2
67. 1 2 2− = = =cos sin sin sinθ θ θ θ - puisque sin .θ π θ≤ ≤ ≤0 0 pour -
1 0 1 220 0
0− = = [ ] = − ( )( ) = − ( ) =∫ ∫cos sin cos cos cosθ θ θ θ θ ππ π
π - - -1- -
-d d
69. 1 2 2− = = =tan sec sec secy y y y puisque sec .y y≥ ≤ ≤0 4 4 pour - π π
1
4 4
2 1 2 1
24 4
4
4− = = +[ ]
= + − ( ) + ( )= + − −
∫ ∫tan sec ln sec tan
ln sec tan ln sec tan
ln ln
y dy y dy y y
- 4 - 4
- 4 - 4-
π
π
π
π
π
π
π π π π
218 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
71. csc cot csc csc cot cotx x dx x x x x dx−( ) = − +( )∫ ∫2
4
3 42 2
4
3 4
2π
π
π
π
= − + −( )
= − −( ) = + −[ ]
= + −
− + −
= (
∫
∫
csc csc cot csc
csc csc cot cot csc
cot csc cot csc
2 2
4
3 4
24
3 4
4
3 4
2 1
2 2 1 2 2
234
234
34
24
24 4
x x x x dx
x x x dx x x x
-
- -
-2
π
π
ππ
π
π
π π π π π π
))( ) + − + ( ) − +
= −
-1 2 234
2 1 2 24
42
π π
π
73. Posons u = sin .θ Alors du d= cos .θ θ
cos csc sin csc ln csc cot
ln csc sin cot sin
θ θ θ
θ θ∫ ∫( ) = = + +
= ( ) + ( ) +
-
-
d u du u u C
C
75. csc sec sin cos csc sin sec sin csc cos sec cosx x x x dx x x x x x x x x dx−( ) +( ) = − + −( )∫ ∫
= − + −( ) = −( )
= − ( ) +
= + +
∫ ∫1 1tan cot cot tan
ln sin ln cos
ln sin ln cos
x x dx x x dx
x x C
x x C
-
77. Posons u y= . Alors duy
dy duy
dy= =12
126
et .
61
121
112 122
dy
y y udu arc u C arc y C
+( ) =+
= + = ( ) +∫∫ tan tan
Exercices 3.1 page 219
79. x x x x x2 2 22 48 2 1 49 1 49− − = − + − = −( ) −
Posons u x= − 1. Alors du dx= .
7
1 2 48
7
1 1 497
492 2 2
dx
x x x
dx
x x
du
u u−( ) − −=
−( ) −( ) −=
−∫∫ ∫
= ⋅ + = − +717 7
17
arcu
C arcx
Csec sec
81. Les deux courbes se coupent en x x= =- et π π4 4.
En effet, 2 2 2 2cos sec cos sec .- 4 - 4 et 4 4π π π π( ) = ( ) = ( ) = ( ) =
A x x dx
x x x
= −( )
= − +[ ]
= − +
−
−
+
= − + − −
∫ 2
2
24
4 4 24 4 4
2 2 1 2
4
4
4
4
cos sec
sin ln sec tan
sin ln sec tan sin ln sec tan
ln ln
-
- -
-
-
-
π
π
π
π
π π π π π π
22 1
2 2 2 1 2 1
−( )= + −( ) − +( )
ln ln
Note : L'utilisation de la propriété ln ln lna ba
b− =
permet d'obtenir l'une
ou l'autre des réponses équivalentes suivantes : A = + −( )2 2 3 2 2ln
ou A = − +( )2 2 3 2 2ln .
y
x2/-π
4/-π2/π
4/π
xy sec =
xy cos 2 =
220 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
83. R x x r x x( ) = ( ) =2cos sec , et d'où
V R x r x dx x x dx
x x dx
xx
x
= ( )( ) − ( )( )[ ] = −( )
= +( ) −[ ]
= + −
= +
−
∫∫
∫
π π
π
π
π π π π
π
π
π
π
π
π
π
π
2 2 2 2
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
2 1 2
22 2
2
2 2 4
--
-
-
cos sec
cos sec
sintan
sin tan
−
+
−
= + − + + −
=
24 2 4
21 1
21 1 2
- - -π π π
π π π π
sin tan
85.dy
dx xx x= ⋅ ( ) =1
cossin tan- -
Ldy
dxdx x dx x dx
x dx x dx x dx
x x
= +
= + ( ) = +
= = =
= +[ ]= + − +
= +
∫ ∫∫
∫ ∫ ∫
1 1 1
3 30 0
2 3
2
0
32 2
0
3
0
3
2
0
3
0
3
0
3
0
3
π ππ
π π π
π
π π
-
tan tan
sec sec sec
ln sec tan
ln sec tan ln sec tan
ln −− + = +( )ln ln 1 0 2 3
87. csc csc csccot csccot csc
x dx x dx xx x
x xdx = ( ) = ⋅ +
+∫∫∫ 1
= ++∫ csc cot csc
cot cscx x x
x xdx
2
Posons u x x= +csc cot . Alors du x x x dx= −( )- csc cot csc .2
csc cot csccot csc
ln
ln csc cot
x x x
x xdx
du
uu
x x C
++
= =
= + +
∫ ∫2
- -
-
Exercices 3.2 page 221
Exercices 3.2 - Intégration par parties
1. Soit u x dvx
dx= = et sin .2
Alors du dx vx= = et -22
cos , et
xx
dx xx x
dx
xx x
C
xx x
C
sin cos cos
cos sin
cos sin .
22
22
2
22
2 22
22
42
∫ ∫= −
= + ⋅ +
= + +
- -
-
-
3. Soit u t dv t dt= =2 et cos . Alors du t dt v t= =2 et sin , d'où t t dt t t t t dt2 2 2∫ ∫= −cos sin sin .
Dans la seconde intégrale, posons u t dv t dt= = et sin . Alors du dt v t= = et -cos , de sorte que
t t dt t t t t t dt t t t t t C2 2 22 2 2∫ ∫= − −[ ] = + − +cos sin cos cos sin cos sin . - -
L'intégration tabulaire nous aurait donné le même résultat :
t
t
t
t
t
t
t dt t t t t t C
t t t t t C
2
2
2
2
2
0
2 2
2 2
-
-
t - -
2+( )−( )+( )
= − ( ) + ( ) +
= + − +∫
cos
sin
cos
sin
cos sin cos sin
sin cos sin
5. Soit u x dv x dx= =ln . et Alors dux
dx vx= =12
2
et , de sorte que
x x dxx
xx
xdxln ln = − ⋅∫ ∫
2 2
2 21
= −
= − +
= − +
∫xx x dx
xx
xC
xx
xC
2
2 2
2 2
212
212 2
2 4
ln
ln
ln .
222 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Finalement, x x dxx
xx
xln ln = −
∫
2 2
1
2
1
2
4
= − − −
= − = −
2 2 1 014
2 234
434
ln
ln ln .
7. Soit u arc y dv dy= = et tan . Alors duy
dy v y=+
=11 2 et , de sorte que
arc y dy y arc yy
ydy
y arc yy
ydy
y arc y y C
y arc y y C
tan tan
tan
tan ln
tan ln .
∫ ∫
∫
= −+
= −+
= − +( ) +
= − + +
1
12
21
12
1
1
2
2
2
2
9. Soit u x dv x dx= = et sec .2 Alors du dx v x= = et tan , de sorte que
x x dx x x x dxsec tan tan2 = − ∫∫ = + +x x x Ctan ln cos .
11. Procédons par intégration tabulaire.
x
x
x
x dx x x x C
x x x C
x
x
x
x
x
x x x x x
x
3
2
3 3 2
3 23
6
6
0
3 6 6
3 6 6
e
e
e
e
e
e e e e e
e+( )−( )+( )−( )
= − + − +
= − + −( ) +∫
Exercices 3.2 page 223
13. Procédons par intégration tabulaire.
x x
x
x x dx x x x e C
x x x C
x x C
x
x
x
x
x x x x
x
x
22 2
2
2
5
2 5
2
0
5 5 2 5 2
5 2 5 2
7 7
−−
+( )−( )+( )
−( ) = −( ) − −( ) + +
= − − + +( ) +
= − +( ) +
∫
e
e
e
e
e e e
e
e
15. Procédons par intégration tabulaire.
x
x
x
x
x
x dx x x x x x C
x x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x x x x
5
4
3
2
5 5 4 3 2
5 4 3 2
5
20
60
120
120
0
5 20 60 120 120
5 20 60 120 120
e
e
e
e
e
e
e
e e e e e e e
+( )−( )+( )−( )+( )−( )
= − + − + − +
= − + − + −(∫
)) +ex C
17. Procédons par intégration tabulaire.
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
π π
ππ
2
2
0
2
22
2
0
2
1 2 2
1 4 2
1 8 2
22
22
214
2
8 40
14
0 014
1 -
-
-
- -1 -1
2
0
2
+( )
−( )
+( )
= + +
= ( ) + ( ) + ( ) − + + ( )
∫sin
cos
sin
cos
sin cos sin cosd
= − − = − π π2 2
814
14 8
12
224 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
19. Soit u arc t dv t dt= =sec . et Alors dut t
dt vt=
−=1
1 22
2
et , de sorte que
t arc tt
arc tt
tdt
tarc t
t
tdt
tarc t
tC
tarc t t C
sec sec
sec
sec
sec .
∫ ∫
∫
= −−
= −−
= −−( )
+
= − − +
2
2
2
2
2 2 1 2
22
212 1
214
2
1
214
1
1 2
212
1
Finalement, t arc t dtt
arc t t
arc arc
sec sec
sec sec
.
2 3
2 22
2 3
2
212
1
2 212
323
23
12
13
23
32
23 6
36
59
33
∫ = − −
= −
− − ⋅
= ⋅ − − ⋅ + = −π π π
21. Soit u dv d= =e et θ θ θsin . Alors du d v= =e et -θ θ θcos , de sorte que
e -e e θ θ θθ θ θ θ θ∫ ∫= +sin cos cos .d d
Dans la seconde intégrale, posons u dv d= =e et θ θ θcos . Alors du d v= =e et θ θ θsin ,
d'où e -e e e θ θ θ θθ θ θ θ θ θ∫ ∫= + −sin cos sin sin .d d
2 e -e e θ θ θθ θ θ θ∫ = + + ′sin cos sin ,d C d'où e e
sin cos +θθ
θ θ θ θ∫ = −( )sin ,d C2
où CC= ′2
est une constante d'intégration arbitraire.
23. Soit u dv x dxx= =e et 2 3cos . Alors du dx v xx= = ⋅213
32e et sin , de sorte que
e 13
e e 2 2 23 323
3x x xx dx x x dx∫ ∫= −cos sin sin .
Exercices 3.2 page 225
Dans la seconde intégrale, posons u dv x dxx= =e et 2 3sin . Alors du dx v xx= =213
32e et - cos ,
d' où e e - e e
e e e e
e e
2 2 2 2
2 2 2 2
22
313
323
13
323
3
313
329
349
3
139
39
3 3 2
x x x x
x x x x
xx
x dx x x x dx
x dx x x x dx
x dx x
∫ ∫
∫ ∫
∫
= − +
= + −
= +
cos sin cos cos
cos sin cos cos
cos sin cos33x C( ) + ′,
d'où e e
+22
313
3 3 2 3xx
x dx x x C∫ = +( )cos sin cos , où C C= ′913
. est une constante d'intégration
arbitraire.
25. Posons x s= +3 9, alors x s x dx ds2 3 9 2 3= + = et .
e e 3 9 23
s xds x dx+∫ ∫= .
Posons u x dv dxx= = et e . Alors du dx v x= = et e , de sorte que
e e e
e e
e
e
3 9
3 9
232323
1
23
3 9 1
s x x
x x
x
s
ds x dx
x C
x C
s C
+
+
∫ ∫= −( )= −( ) +
= −( ) +
= + −( ) + .
27. x x dx x x dx x x dx x dxtan sec sec .2 2 2
0
3
0
3
0
3
0
3
1 = −( ) = − ∫∫∫∫ππππ
Dans la première intégrale, posons u x dv x dx= = et sec2 .
226 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Alors du dx v x= = et tan , de sorte que
x x dx x dx x x x dxx
sec tan tan20
32
0
3
0
3
0
3
0
3
2 − = [ ] − −
∫∫∫ π
πππ π
= [ ] + [ ] −
= −
+ − ( )( ) −
= + ( ) − = − ( ) −
x x xx
tan ln cos
tan ln cos ln
ln ln .
03
0
32
0
3
2
2 2
2
3 30 3 1
18
33
1 218
33
218
π ππ
π π π π
π π π π
29. Posons y x= ln , de sorte que dyx
dx x y= =1 et e .
sin ln sinx dx y dyy( ) =∫ ∫ e , qui s'intègre par parties.
Posons u y dv dyy= =sin et e . Alors du y dy v y= =cos et e .
sin sin cosy dy y y dyy y ye e e ∫ ∫= − .
Dans la deuxième intégrale, posons u y dv dyy= =cos et e . Alors du y dy v y= =- et esin , d'où
sin sin cos sin
sin sin cos sin
sin sin cos
sin sin cos ,
sin ln sin ln
y dy y y y dy
y dy y y y dy
y dy y y C
y dy y y C CC
x dxx
x
y y y y
y y y y
y y
yy
e e e e
e e e e
e e
e e
où
∫ ∫∫ ∫∫
∫
∫
= − +[ ]= − −
= −( ) + ′
= −( ) + = ′
( ) = (
2
2 2
2)) − ( )( ) +cos ln .x C
31. y x dxx= ∫ 2 4e
Procédons par intégration tabulaire.
x
x
y x dx
x xC
x x C
x
x
x
x
x
x x x
x
2 4
4
4
4
2 4
24 4 4
42
2
2
0
1 4
1 16
1 64
4 81
32
328 4 1
e
e
e
e
e
e e e
e
+( )
−( )
+( )
=
= − + +
= − +( ) +
∫
Exercices 3.2 page 227
33. y d= ∫ sin θ θ .
Posons x = θ . Alors dx d d x dx= =12
2θ
θ θ et .
sin sinθ θ d x x dx= ∫∫ 2
Posons u x dv x dx= = et sin . Alors du dx v x= = et -cos , de sorte que
y d x x x dx
x x x C
C
= = +[ ]= +[ ] +
= −( ) +
∫∫ sin cos cos
cos sin
sin cos .
θ θ
θ θ θ
-
-
2
2
2
35. A x x dxa
b
= ∫ sin
Posons u x dv x dx= = et sin . Alors du dx v x= = et -cos , de sorte que
A x x x dx x x xa
b
a
b
a
b= [ ] + = +[ ]∫ - -cos cos cos sin
a) A x x x= +[ ] = +( ) − +( ) - - cos sin cos sin0 0 0π π π π
= ( ) + = - - π π1 0
b) A x x x= +[ ] = +( ) − +( ) - -2 - cos sin cos sin cos sinππ π π π π π π2 2 2
= ( ) + − ( )( ) +[ ] = − = - 2 - - - π π π π π1 0 1 0 2 3
c) A x x x= +[ ] = +( ) − +( ) - -3 - cos sin cos sin cos sin23 3 3 2 2 2π
π π π π π π π
= ( )( ) + − ( )( ) +[ ] = -3 - -2 π π π1 0 1 0 5
d) L'aire augmente de 2π pour chaque intervalle de π .
Nous pouvons chercher une régularité :
• entre 0 et π , l'aire = π ;
• entre π et 2π , l'aire = 3π ;
• entre 2π et 3π , l'aire = 5π ;
• aurons-nous, entre nπ et n +( )1 π , l'aire = +( )2 1n π ?
228 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Vérifions :
A x x x
n n n n n n
n n
n
n
n n
n
= +[ ]
= +( ) +( )[ ] + +( )[ ]( ) − ( ) + ( )( )= +( ) ⋅ ( ) + + ( ) −
= ( ) +( ) ⋅ ( )
+( )
+
-
- -
- - -
- - -
cos sin
cos sin cos sin
ππ
π π π π π π
π π
π
1
1
1 1 1
1 1 0 1 0
1 1 1 ++[ ]= ( ) + +[ ] = ( ) +( ) = +( )
n
n n n nn n
π
π π π π π
- - 1 1 2 1 2 1 .
37. Méthode des tubes :
V dx
x dx
dx x dx
x
x x
= [ ][ ]
= −( )
= −
∫
∫
∫ ∫
circonférence du tube hauteur du tube
e
e e
2 2
2 2 2
0
2
0
2
0
2
π
π π
ln
ln .
ln
ln ln
Dans la deuxième intégrale du membre de droite, posons u x dv dxx= = et e .
Alors du dx v x= = et e .
Nous aurons e e e
e
V x dxx x x
x
= [ ] − [ ] −
= −( ) − −( ) − [ ]( )= − − −( )[ ]= − + = −( )
∫2 2 2
2 2 2 1 2 2 2 0
2 2 2 2 2 2 1
2 2 4 2 2 2 1 2
0
2
0
2
0
2
0
2
π π
π π
π π
π π π π
ln
ln ln
ln ln
ln ln ln .
ln lnln
ln
39. a) Méthode des tubes :
V dx
x x dx x x dx
= [ ][ ]
= =
∫
∫ ∫
circonférence du tube hauteur du tube
2 20
2
0
2
π ππ π
cos cos .
Posons u x dv x dx= = et cos . Alors du dx v x= = et sin .
y
x
xy e =
z
1
2
ln 22 ln 2
y
xz
xy cos =
2/π
Exercices 3.2 page 229
Ainsi, V x x x dx
x x x
= [ ] −
= +[ ]
= +
− +( )
= −
= −( )
∫2
2
22 2 2
0 0
22
1 2
02
0
2
02
π
π
π π π π
π π π π
ππ
π
sin sin
sin cos
sin cos cos
.
b) Méthode des tubes :
V dx
x x dx x dx x dx
x
= [ ][ ]
= −
= −
= [ ] − −
( )
= −
− +
∫
∫ ∫ ∫
circonférence du tube hauteur du tube
voir a
22
22
22 2
1
22 2
02
1
0
2
0
2
0
2
02
π π π π
π π π
π π π π
π π π
π
cos cos cos
sin
sin sin
= −( ) − +
= ( ) =22
1 02
1 2 1 2π π π π π .
41. moy e e - -f t dt t dtt t( ) =−
=∫ ∫12 0
21
0
2
0
2
π π
π π
cos cos .
Soit u dv t dtt= =e et - cos . Alors du dt v tt= =-e et - sin , de sorte que
e e e - - -t t tt dt t t dt∫ ∫= +cos sin sin .
Dans la seconde intégrale, posons u dv t dtt= =e et - sin . Alors du dt v tt= =-e et -- cos ,
d' où e e e - e
e e
e e
- - - -
- -
--
t t t t
t t
tt
t dt t t t dt
t dt t t
t dt t t
∫ ∫∫
∫
= + ( ) −
= −( )
= −( )
cos sin cos cos
cos sin cos
cos sin cos .
2
2
230 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Donc, moye
e e
-e
e
-
-
--
f t tt
( ) = −( )
= −( ) − −( )
= +
= −( )
12
12
2 22
0 0
12
12
12
1
0
2
2 0
22
π
ππ π
π π
π
π
ππ
sin cos
sin cos sin cos
.
43. Posons u x dv x dxn= = et cos . Alors du nx dx v xn= =−1 et sin , de sorte que
x x dx x x n x x dxn n ncos sin sin . = − −∫∫ 1
45. Posons u x dv dxn ax= = et e . Alors du nx dx va
n ax= =−1 1 et e , de sorte que
x dxx
a
n
ax dxn ax
n axn axe
ee = − −∫∫ 1 .
47. Posons u x dv x dxn= =−sin sin .1 et Alors du n x x dx v xn= −( ) =−1 2sin cos cos , et - d'où
sin sin cos sin cosn n nx dx x x n x x dx - = + −( )− −∫∫ 1 2 21
= + −( ) −( )= + −( ) − −( )
− −
− −
∫∫∫
-
-
sin cos sin sin
sin cos sin sin
n n
n n n
x x n x x dx
x x n x dx n x dx
1 2 2
1 2
1 1
1 1
1 1 11 2+ −( ) = + −( )− −∫∫n x dx x x n x dxn n nsin sin cos sin -
et -
sinsin cos
sinnn
nx dxx x
n
n
nx dx= + −−
−∫∫1
21
= + −− −∫- 1 11 2
nx x
n
nx dxn ncos sin sin .
49. a) sin cos sin cos sin2 12
12
12
12
x dx x x dx x x x C - -= + = + +∫
Exercices 3.2 page 231
b) sin cos sin sin4 3 214
34
x dx x x x dx - = + ∫
= + +
+
= − + +
- -
-
14
34
12
12
14
38
38
3
3
cos sin cos sin
cos sin cos sin
x x x x x C
x x x x x C
51. a) Posons y f x= ( )-1 . Alors x f y dx f y dy= ( ) = ′( ) et , de sorte que
f x dx yf y dy-1 ∫ ∫( ) = ′( ) .
b) Posons u y dv f y dy= = ′( ) et dans la deuxième intégrale.
Alors du dy v f y= = ( ) et ,
de sorte que yf y dy yf y f y dy xf x f y dy′( ) = ( ) − ( ) = ′( ) − ( )∫ ∫ ∫ .
Donc, f x dx xf x f y dy-1 ( ) = ′( ) − ( )∫ ∫ .
53. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons y f x arc x f y y= ( ) = ( ) =-1 et sin sin , où
- ;π π2 2
≤ ≤y
alors arc x dx x arc x y dysin sin sin= − ∫∫
= + += + ( ) +
x arc x y C
x arc x arc x C
sin cos
sin cos sin .
b) Dans le contexte de l'exercice 52,
arc x dx x arc x xd
dxarc x dx sin sin sin= −
∫∫
= −−
= +−
= +−( )
+
= + − +
∫
∫
x arc xx
xdx
x arc xx
xdx
x arc xx
C
x arc x x C
-
sin
sin
sin
sin .
112
2
1
12
1
1 2
1
2
2
2 1 2
2
232 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
c) Les expressions sont identiques, puisque cos sin .arc x x ( ) = −1 2
55. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons y f x arc x f y y= ( ) = ( ) =-1 et cos cos , où
0 ≤ ≤x π ;
alors arc x dx x arc x y dycos cos cos= − ∫∫
= − += − ( ) +
x arc x y C
x arc x arc x C
cos
cos cos
sin
sin .
b) Dans le contexte de l'exercice 52,
arc x dx x arc x xd
dxarc x dx cos cos cos= −
∫∫
= −−
= −−
= −−( )
+
= − − +
∫
∫
x arc xx
xdx
x arc xx
xdx
x arc xx
C
x arc x x C
-
-
cos
cos
cos
cos .
112
2
1
12
1
1 2
1
2
2
2 1 2
2
c) Les expressions sont identiques, puisque sin cos .arc x x ( ) = −1 2
Exercices 3.3 page 233
Exercices 3.3 - Intégrales trigonométriques et substitutions trigonométriques
1. sin sin sin cos sin5
0
24
0
22 2
0
2
1π π π
∫ ∫ ∫= = −( )x dx x x dx x x dx
Posons u x= cos . Alors du x dx x dx du x u x u= = = ⇒ = = ⇒ =- et - et sin sin , .0 1 2 0π
1 1 1 2 23 5
2 2 2 2
1
0
0
22 4
3 5
0
1
0
1
−( ) = −( ) = − +( ) = − +
∫∫ ∫cos sinx x dx u du u u du u
u u -
π
= − +
− − +( ) =1
23
15
0 0 08
15
3. cos cos cos sin cos3
2
22
2
22
2
2
1- - -
π
π
π
π
π
π
∫ ∫ ∫= = −( )x dx x x dx x x dx
Posons u x= sin . Alors du x dx x u x u= = ⇒ = = ⇒ =cos . , - - et π π2 1 2 1
1 13
113
13
43
2 2
1
1
2
2 3 1
−( ) = −( ) = −
= −
− +
=∫∫ sin cosx x dx u du u
u -1
-- -1π
π
Remarque : Comme y x= cos3 est une fonction paire, nous aurions aussi pu écrire
cos cos ... .3
2
23
0
2 3
0
1
2 23
2 113
43
-
π
π π
∫ ∫= = = −
= −
=x dx x dx u
u
(Voir les exercices 1.5, no 85)
5. sin sin sin cos sin7 6 2 31y dy y y dy y y dy = = −( )∫∫ ∫
Posons u y= cos . Alors du y dy y dy du= =- et -sin sin .
1 1 1 3 335 7
35 7
35 7
2 3 2 3 2 4 6 35 7
35 7
35 7
−( ) = −( ) = − + −( ) = − + −
+
= + − + + = + − + +
∫∫ ∫cos sin
cos coscos cos
y y dy u du u u u du u uu u
C
u uu u
C y yy y
C
- - -
- -
234 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
7. 8 8 81 2
24 2 2
2
sin sincos
x dx x dxx
dx = ( ) = −
∫∫∫
= − + = − + +
= − +
= − +
+
= − + +
∫ ∫
∫
81 2 2 2
42 1 2 2
1 42
232
2 24
2
232
22
212
44
3 2 214
4
2cos coscos
cos
coscos
sin sin
sin sin
x xdx x
xdx
xx
dx
xx x
C
x x x C
9. Puisque yx
x= 4 4
2
sincos
est une fonction paire, 4sin
4sin
sin
4 4 4
-
x
xdx
x
xdx
x
xdx
cos cos cos2 2 20
4
0
4
4
4
2 8= = ∫∫∫ππ
π
π
=−( )
= − + = − +( )
= − + +
= − +
= −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
81
81 2
8 2
8 21 2
28
32
12
2 832
2 2
20
4 2 4
20
42 2
0
4
2
0
42
0
4
cos
coscos cos
cossec cos
seccos
sec cos tan
x
xdx
x x
xdx x x dx
xx
dx x x dx x x
π π π
π π
++
= − ⋅ +
− − +
= − + − − +( )
= −
12
22
84
32 4
14 2
0 014
0 8 138
14
0 0 0 10 3
0
4sin
tan sin tan sin
x π
π π π π π
11.3
3 313
36
2 2
36
2 2
3 2
6
2cos
sin
cos
sincos
sin
sincos
t
tdt
t
tt dt
t
tt dt
π
π
π
π
π
π
∫ ∫ ∫= =−( )
( )
Posons u t= sin . Alors du t dt t u t u= = ⇒ = = ⇒ =cos , . et π π6 1 2 2 1
31
31
3
33 2
3 223
2 21
3 213 2 16
2
2
3 2
6
2 2
3 21 2
11 2
1 2
1
1 2 3 2
1 2
1
−( )( )
= − = −( )
= −
= −
− −
= −
∫ ∫ ∫sin
sincos
t
tt dt
u
udu u u du
u u
π
π
-1 2- -
-3 2
-
Exercices 3.3 page 235
13. sin cos sin cos2 3
0
22 2
0
2
2 2 2 2θ θ θ θ θ θ θπ π
cos2 d d=∫ ∫
= −( ) = −( )∫ ∫sin sin cos sin sin2 2
0
22 4
0
2
2 1 2 2 2 2θ θ θ θ θ θ θ θπ π
cos2 d d
Posons u = sin .2θ Alors du d u u= = ⇒ = = ⇒ =2 2 0 0 2 0cos , ,θ θ θ θ π et de sorte que
sin sin cos2 4
0
22 4
0
0
2 2 212
0θ θ θ θπ
−( ) = −( ) =∫ ∫ d u u du par la définition 1.2.8, page 22.
15. 16 161 2
21 2
22 2
2
4
2
4
sin coscos cos
x x dxx x
dx - -
= −
+
∫ ∫
π
π
π
π
= −( ) = − +
= −
= −( )
= −
= −
− −
∫ ∫
∫ ∫
4 1 2 4 11 4
2
412
42
2 1 4
24
42
4 4
2
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
coscos
coscos
sin sin sin
x dxx
dx
xdx x dx
xx
-2
-
- -
- -
-
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π π π π 224
24
02
032
π
π π π
( )
= − + +
=
17. 35 35 35 14 3 4 2 4 2sin cos sin cos cos sin sin cosθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d d d= = −( )∫∫ ∫ = −( )∫35 4 6sin sin cosθ θ θ θ d
Posons u = sin .θ
Alors du d d= −( )∫cos sin cosθ θ θ θ θ θ et 35 sin 4 6
= −( ) = −
+ = − +∫35 355 7
7 54 65 7
5u u duu u
C C 7sin sin .θ θ
236 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
19.4 2 2sin ln cos lnx x
xdx
( ) ( )∫
Posons u x= ln . Alors dux
dx= 1 et
44
41 2
21 2
21 2
11 4
212
12
4
12
12
44
2 22 2
2
sin ln cos lnsin cos
cos coscos
coscos
sin
x x
xdx u u du
u udu u du
udu u du
uu
C
( ) ( ) =
= −
+
= −( )
= − +
= −
= − +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
== −
+
= − ( )
+ = −( )
+
12
44
12
44
12 4
4
uu
C
xx
C xx
C
sin
lnsin ln
lnsin ln
.
21. Il est démontré à l'exemple 5, page 197, que
sec sec tan ln sec tan .3 12
12
x dx x x x x C = + + +∫Ainsi,
-3
-3
- 3 - 3
-
--
2
0 0 0 0
1 0 1 0 2 3
3
3
0
3
0sec sec tan ln sec tan
sec tan ln sec tan sec tan ln sec tan
ln ln
x dx x x x xπ
π
π π π π
∫ = + +[ ]
= + +( ) −
+ ( ) + ( )
= × + +( ) − ⋅ + 2 3
2 3 2 3
−( )= − −( )ln .
23. csc csc3
2 22 2 2x
dxx x
dx csc 2=∫ ∫π
π
π
π
Posons ux
dvx
dx= =csc csc .2 2
2 Alors dux x
dx vx= =-1
2 et -2csc cot cot ,
2 2 2 et
Exercices 3.3 page 237
csc csc cot cot csc3 2
22
2 2 2 2x
dxx x x x
dx - = −∫ ∫
= − −
= − +
= − − + +
∫
∫∫
∫
-
-2
-
22 2 2
12
2 2 2 2
22 2 2
22 2
2
3
3
csc cot csc csc
csc cot csc csc
csc cot csc ln csc cot .
x x x xdx
x x xdx
xdx
x x xdx
x xC
(voir la page 184, Table 3.1.2, no 2)
Il s'ensuit que 22
22 2
22 2
3csc csc cot ln csc cotx
dxx x x x
C - = − + +∫
et csc csc cot ln csc cot32
22 2 2 2 2x
dxx x x x
π
π
π
π
2
- ∫ = − +
= − +
− − +
= × − + − ⋅ − +( ) = + +( )
- -
- -
csc cot ln csc cot csc cot ln csc cot
ln ln ln .
π π π π π π π π2 2 2 2 4 4 4 4
1 0 1 0 2 1 2 1 2 2 1
25. tan sec sec sec2
0
42
0
4
1x x dx x x dx π π
∫ ∫= −( )
= −( ) = −
= + + − +
= − +
∫ ∫ ∫sec sec sec sec
sec tan ln sec tan ln sec tan
sec tan ln sec tan
3
0
43
0
4
0
4
0
4
0
4
12
12
12
12
x x dx x dx x dx
x x x x x x
x x x x
π π π
π
π
= − +
− − +
= ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ + +
= − +( )[ ]
12 4 4
12 4 4
12
0 012
0 0
12
2 112
2 112
1 012
1 0
12
2 2 1
sec tan ln sec tan sec tan ln sec tan
ln ln
ln
π π π π
238 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
27. sec sec tan sec sec tan sec4
0
42
0
42 2
0
42
0
42 2
0
4
1θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θπ π π π π
sec 2d d d d d∫ ∫ ∫ ∫ ∫= = +( ) = +
Posons u = tanθ dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors du d u= = ⇒ =sec ,2 0 0θ θ θ
et θ π= ⇒ =4 1u .
sec tan tan
tan tan .
40
4
0
42
0
4
0
1 3
0
1
3
4 013
0 113
43
θ θ θ θ
π
ππ
π
d u duu= [ ] + = [ ] +
= − + − = + =
∫ ∫
29. csc csc csc cot csc csc cot csc4 2 2 2 2 2 2 21∫ ∫ ∫ ∫ ∫= = +( ) = +θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d d d d d
Posons u = cotθ dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors du d= - csc ,2 θ θ de sorte que
csc cot cot cotcot
.4 23 3
3 3∫ ∫= + ⋅ ( ) = − + = − +θ θ θ θ θ θ - - - -d u du
uC C
31. 4 4 4 1 4 43
0
42
0
42
0
42
0
4
0
4
tan tan tan sec tan sec tan tanx dx x x dx x x dx x x dx x dx = = −( ) = −∫ ∫ ∫ ∫∫π π π ππ
Posons u x= tan dans la première intégrale ; nous aurons alors du x dx x u= = ⇒ =sec ,2 0 0
et x u= ⇒ =π 4 1.
4 4 42
412
0 22
0
1
0
4 2
0
1
sec tanx x dx u duu
= =
= −
=∫∫
π
De plus, 4 4 4 40
4
0
4
0
4tan tan ln sec ,x dx x dx x
π ππ∫ ∫= = [ ] par le résultat 1.5.3, page 60, d'où
4 4 4 0 4 20
4
tan ln sec ln sec lnx dx π
π∫ = −[ ] = ( ).
Nous avons finalement 4 2 4 2 2 2 2 43
0
44tan ln ln ln .x dx
π
∫ == − ( ) = − ( ) = −
Exercices 3.3 page 239
33. 8 8 8 14
4
22
4
22 2
4
2
cot cot cot csct dt t t dt t t dt cot 2
π
π
π
π
π
π
∫ ∫ ∫= = −( )
= −
= − −( )
= − +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
8 8
8 8 1
8 8 8
2 2
4
22
4
2
2 2
4
2
4
2
2 2
4
22
4
2
4
2
cot csc cot
cot csc
cot csc csc
t t dt t dt
t t dt t dt
t t dt t dt dt
csc
2
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
Posons u t= cot dans la première intégrale ; nous aurons alors du t dt t u= = ⇒ =- csc ,2 4 1π
et t u= ⇒ =π 2 0.
8 8 8 8
8 8 8
83
82 4
82 4
4 2
1
0
4
2
42
42
242
0
1
42
3
0
1
cot cot
cot
cot cot
t dt u du t t
u du t t
u
- -
= ⋅ ( ) − [ ] + [ ]
= + [ ] + [ ]
=
+ −
+ −
∫∫
∫
π
π
ππ
ππ
ππ
ππ
π π π π
= −
+ −( ) +
= − +
= −
813
0 8 0 1 84
83
8 2
2163
π π
π
35. sec ln cos2 t t dt( )∫ peut s'intégrer par parties.
Posons u t dv t dt= ( ) =ln cos sec . et 2
Alors dut
t dt t dt v t= ⋅ = =1cos
sin tan tan- - et de sorte que
sec ln cos tan ln cos tan
tan ln cos sec
tan ln cos sec
tan ln cos tan .
2 2
2
2
1
t t dt t t t dt
t t t dt
t t t dt dt
t t t t C
( ) = ( ) +
= ( ) + −( )= ( ) + −
= ( ) + − +
∫∫∫
∫∫
240 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
37. tan sec tan tan sec3 3 2 2 3 2x x dx x x x dx( ) = ( )∫ ∫
= −( ) ( )
= ( ) − ( )
= ( ) − ( )
∫∫ ∫∫ ∫
sec tan sec
sec sec tan sec tan
sec sec tan sec sec tan
2 3 2
2 3 2 3 2
5 2 1 2
1x x x dx
x x x dx x x dx
x x x dx x x x dx
Dans chacune des intégrales, posons u x= sec , de sorte que du x x dx= sec tan .
Nous aurons alors tan sec3 3 2 5 2 1 2x x dx u du u du( ) = −∫ ∫ ∫
= − = ( ) − ( ) +u ux x C
7 2 3 27 2 3 2
7 2 3 227
23
sec sec .
39. cos cos cos9 8θ θ θ θ θ d d= ∫∫Il suffit alors de transformer cos8 θ en termes de sinθ par cos cos sin ,8 2 4 2 4
1θ θ θ= ( ) = −( )d'effectuer la substitution u = sinθ et de développer 1 2 4
−( )u avant d'intégrer.
41. a) tan tan tan sec tan tan sec tan .5 2 3 2 3 3 2 31θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d d d d d= = −( ) = −∫∫∫ ∫∫En posant u du d= =tan secθ θ θ et 2 dans la première intégrale, nous obtenons
tantan
tan .54
3
4θ θ θ θ θ d d∫ ∫= −
b) tan tan tan sec tan tan sec tan .7 2 5 2 5 5 2 51θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d d d d d= = −( ) = −∫∫∫ ∫∫En posant u du d= =tan secθ θ θ et 2 dans la première intégrale, nous obtenons
tantan
tan .76
5
6θ θ θ θ θ d d∫ ∫= −
c) tan tan tan sec tan2 1 2 2 1 2 2 11k k kd d d+ − −= = −( )∫∫∫ θ θ θ θ θ θ θ θ
= −− −∫∫ tan sec tan .2 1 2 2 1k kd dθ θ θ θ θ
En posant u du d= =tan secθ θ θ et 2 dans la première intégrale, nous obtenons
tantan
tan .2 12
2 1
2k
kkd
kd+ −∫ ∫= −θ θ θ θ θ
Exercices 3.3 page 241
43. À partir de l'équation (2) de la page 199 avec m n= =3 2 et , nous pouvons écrire :
sin cos sin sin
coscos
coscos
coscos
3 212
5
12
55
12
00
55
5
12
15
115
00
0
x x dx x x dx
xx
-
- - --
-1
--
-
= +[ ]
= −
= −
− ( ) − ( )
= − − −
∫∫ππ
π
π π
== -65
.
45. À partir de l'équation (1) de la page 199 avec m n= =4 2 et , nous pouvons écrire :
8 4 2 812
2 6
42
26
6
43
2 66
22
6
43
40
14
16
12
6
12
6
12
6
sin sin cos cos
sin sin
sin sin sin sin
x x dx x x dx
x x
= ⋅ −[ ]
= −
= −
− −
= − − +
∫∫π
π
π
π
π
π
π π π π
= − + = − = −3 1
23
313
3 3 13
.
47. À partir de l'équation (3) de la page 199 avec m n= =13
14
et , nous pouvons écrire :
cos cos cos cos
sin sin
sin sin sin sin
x xdx
x xdx
x x
3 412 12
712
12
1212
127
712
63
67
73
66
67
76
63
267
32
612
67
2
4
2
4
2
4
-12
= +
= +
= + − −
= ⋅ + ⋅ − ⋅ −
∫∫π
π
π
π
π
π
π π π π
= + − + = −3 3
3 37
337
24 3 187
.
242 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
49. csc csc csc3 2x dx x x dx ∫ ∫=
Posons u x dv x dx= =csc csc . et 2
Alors du x x dx v x= =- et -csc cot cot , de sorte que
csc csc cot cot csc
csc cot csc csc
csc cot csc csc
csc cot csc ln csc cot
3 2
2
3
3
1
∫ ∫∫∫ ∫∫
= −
= − −( )= − +
= − − +
x dx x x x x dx
x x x x dx
x x x dx x dx
x x x dx x x
-
-
-
-
(voir la page 184, Table 3.1.2 no 2)
Il s'ensuit que 2 3csc csc cot ln csc cotx dx x x x x - = − +∫et csc csc cot ln csc cot .3 1
212
x dx x x x x C - ∫ = − + +
51. Posons y dy d= = < <3 32 2
2tan , sec , .θ θ θ π θ π pour
-
9 9 9 9 1 92 2 2 2+ = + = +( ) =y tan tan secθ θ θ
de sorte que 9 9 3 32 2+ = = =y sec sec sec ,θ θ θ
puisque sec .θ π θ π> < <02 2
pour -
Alors, dy
y
dd
9
332
2
+= =∫ ∫ ∫sec
secsec
θ θθ
θ θ
= + + ′
= + + ′
= + − + ′
= + + = ′ −
ln sec tan
ln
ln ln
ln , ln .
+
+
+ où
θ θ C
y yC
y y C
y y C C C
9
3 3
9 3
9 3
2
2
2
y2
9 y+
3θ
Exercices 3.3 page 243
53. Posons t dt d= = < <5 52 2
sin , cos , .θ θ θ π θ π pour
-
25 25 25 25 1 252 2 2 2− = − = −( ) =t sin sin cos ,θ θ θ
de sorte que 25 25 5 52 2− = = =t cos cos cos ,θ θ θ
puisque cos .θ π θ π> < <02 2
pour -
Alors, 25 5 52− = ⋅∫ ∫t dt d cos cosθ θ θ
= = +
= +
+
= + ⋅
+
=
+ ⋅ −
+
=
+ − +
∫ ∫25 251 2
2252
22
252
12
2
252 5 5
255
252 5
252
2
2
2
coscos
sin
sin cos
sin
sin .
θ θ θ θ
θ θ
θ θ θ
d d
C
C
arct t t
C
arct t t
C
55. Posons 2 772
72
x x dx d= = =sec sec , sec tan .θ θ θ θ θ ou
De x > 72
, on déduit que 02
< <θ π.
De plus, 4 49 49 49 49 1 492 2 2 2x t− = − = −( ) =sec sec tan ,θ θ
de sorte que 4 49 49 7 72 2x − = = =tan tan tan ,θ θ θ puisque tan .θ θ π> 0 pour 0 < <2
Il s'ensuit que dx
x
dd
4 49
72 7
122 −
= =∫∫ ∫sec tantan
secθ θ θ
θθ θ
= + + ′ = + − + ′
= + − + ′ = + − +
12
12
27
4 497
12
2 4 4912
712
2 4 49
2
2 2
ln sec tan ln
ln ln ln
-
θ θ Cx x
C
x x C x x C
où C C= + ′-12
7ln .
2 52 t−
5t
θ
49 42
-x
7
2x
θ
244 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
57. Posons x dx d= =sec , sec tan .θ θ θ θ
De x > 1, on déduit que 02
< <θ π.
De plus, x2 2 21 1− = − =sec tan ,θ θ de sorte que
x2 21− = = =tan tan tan ,θ θ θ puisque tan .θ θ π> 0 pour 0 < <2
Il s'ensuit que dx
x x
dd d C
x
xC
2 2 2
2
1
1 1
−= = = = + = − +∫∫ ∫ ∫sec tan
sec tan seccos sin .
θ θ θθ θ
θ θ θ θ
(voir le triangle de référence)
59. Posons x dx d= = < <2 22 2
2tan , sec ,θ θ θ π θ π pour
-
x2 2 2 24 4 4 4 1 4+ = + = +( ) =tan tan sec ,θ θ θ
de sorte que x s2 24 4 2 2+ = = =sec sec ,θ θ θ ec puisque sec .θ π θ π> 02
pour -
< <2
Il s'ensuit que x dx
x
d3
2
3 2
4
8 22
+= ⋅∫∫ tan sec
secθ θ θ
θ
= =
= −( )∫ ∫∫
8 8
8 1
3 2
2
tan sec tan sec tan
sec sec tan .
θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
d d
d
Posons u du d= =sec sec tan .θ θ θ θ et
Alors x dx
xu du
uu C
3
2
23
48 1 8
3
+
= −( ) = −
+∫ ∫
= −
+ = +
− +
+
= +( ) − + +
83
813
42
42
13
4 4 4
3 23
2
2 3 2 2
secsec
.
θ θ Cx x
C
x x C
1 2
-x
1
x
θ
4 2 +x
2
xθ
Exercices 3.3 page 245
61. Posons w dw d= = < <2 22 2
sin , cos , .θ θ θ π θ π pour
-
4 4 4 4 1 42 2 2 2− = − = −( ) =w sin sin cosθ θ θ , de sorte que
4 4 2 22 2− = = =w cos cos cos ,θ θ θ puisque pour -
cos .θ π θ π> < <02 2
Il s'ensuit que 8
4
8 24 2
21
2 2 2 2
dw
w w
dd
−= ⋅
⋅=∫ ∫ ∫cos
sin cos sinθ θ
θ θ θθ
= = + = − +∫22 42
2
csc cotθ θ θ -2 -d Cw
wC (voir le triangle de référence, page précédente).
63. Posons x dx d= =sec , sec tan .θ θ θ θ
De x > 1, on déduit que 02
< <θ π.
De plus, x2 2 21 1− = − =sec tan ,θ θ
de sorte que x2 21− = = =tan tan tan ,θ θ θ puisque tan .θ θ π> < <0 02
pour
Il s'ensuit que dx
x
dd d d
2 3 2 3 2
2
2 21
1
−( )= = = ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫sec tan
tansectan cos
cossin
cossin
.θ θ θ
θθθ
θθ
θθ
θ θθ
θ
Posons u = sin ,θ alors du d= cosθ θ etdx
x udu u du
uC
2 3 2 21
1 1
−( )= = = +∫∫ ∫ --2 = + = + =
−+- - -
1
12sincsc .
θθC C
x
xC
65. Posons x dx d= =sin , cos ,θ θ θ pour -2π θ π< <
2.
1 12 2 2− = − =x sin cos ,θ θ de sorte que
1 2 2− = = =x cos cos cos ,θ θ θ puisque cosθ > 0 pour -2π θ π< <
2.
Il s'ensuit que 1 1
2 3 2
6
3
6
4
4 24 2
−( )= ⋅ = ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫
x
xdx
dd d
cos cossin
cossin sin
cot csc .θ θ θ
θθθ θ
θ θ θ θ
42
w-
2w
θ
1 2
-x
1
x
θ
12
x-
1x
θ
246 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Posons u = cot ,θ alors du dx
xdx u du
uC=
−( )= ⋅ ( ) = +∫∫- et - -csc2
2 3 2
64
51
5θ θ
= + =−( )
+- -cot
.5 2
5
5 2
515
1θC
x
xC (Voir le triangle de référence ci-dessus)
67. Posons 212
x x= =tan tan ,θ θ ou
dx d= 12
2sec ,θ θ pour -2π θ π< <
2.
4 1 12 2 2x + = + =tan sec .θ θ
Il s'ensuit que 8
4 1
8 122 2 2 2
2dx
x xd
+( )=
( )⋅∫ ∫
secsec θ θ
= = = +
= +
+ = +
+
= ++
⋅+
+
= ++
∫ ∫∫41
4 41 2
2
22
22
22
2 22
4 1
1
4 1
2 22
4 1
22
2 2
2
seccos
cos
sin sin cos
tan
tan
θθ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
d d d
C C
arc xx
x xC
arc xx
x++ C.
69. Posons u t= e . Alors du dt t u t ut= = ⇒ = = ⇒ =e et , ln .0 1 4 4
Il s'ensuit que e
e
t
t
dt du
u20
4
21
4
9 9+=
+∫ ∫ln
.
Posons u = 3tan ,θ
du d= 3 2sec ,θ θ pour -2π θ π< <
2.
u2 2 2 29 9 9 9 1 9+ = + = +( ) =tan tan sec ,θ θ θ
de sorte que u2 29 9 3 3+ = = =sec sec sec ,θ θ θ puisque secθ > 0 pour -2π θ π< <
2.
1 4 2 +x
1
2xθ
9 2 +u
3
uθ
Exercices 3.3 page 247
Nous avons du
u
dd
2
2
9
33+
= =∫∫ ∫secsec
secθ θθ
θ θ
= + + = + + +ln sec tan ln . θ θ Cu u
C2 93 3
Il en résulte que du
u
u u2
2
1
4
1
4
9
93 3
53
43
103
13+
= + +
= + − +∫ ln ln ln
= − − +( ) −( ) = − +( )ln ln ln ln ln ln .9 3 10 1 3 9 10 1
71. Posonsx t= . Alors dxt
dt dxdt
t= =1
22 et .
Il s'ensuit que 2
42
1 42
1 42
41 42 2
dt
t t t t
dt
t xdx
xdx
+=
+⋅ =
+⋅ =
+∫ ∫ ∫ ∫ .
Posons 212
x x= =tan tan ,θ θ ou dx d= 12
2sec ,θ θ pour -2π θ π< <
2.
Alors 1 4 12 2 2+ = + =x tan secθ θ et
41 4
4 12
2 2 2 2 2 22 22
+= ⋅ = = + = ( ) + = ( ) +∫ ∫ ∫x
dx d d C arc x C arc t C sec
sec tan tan .θ
θ θ θ θ
Finalement, 2
42 2
1 12
1 4
1 12
1 4dt
t t tarc t
+= ( )[ ]∫ tan
= −
= −
= −
= −[ ] =
2 1 21
12
2 12
2 3
2 113
2 4 6 6
arc arc
arc arc
arc arc
tan tan
tan tan
tan tan
.π π π
1
2x24 1 x+
θ
248 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
73. Posons x dx d= =sec , sec tan .θ θ θ θ
Si x > 1, alors 02
0< < >θ π θ et tan , de sorte
que x2 21− = = =tan tan tanθ θ θ et
dx
x x
dC arc x C arc x C
2 1−= = + = + = +∫ ∫ sec tan
sec tansec sec .
θ θ θθ θ
θ
Si x < -1, alors π θ π θ2
0< < < et tan , de sorte que x2 21− = = =tan tan tanθ θ θ - et
dx
x x
dC arc x C
arc x C arc x C
arc x C C C
2 1−=
( )= + = +
= ( ) − + = ( ) + ′= + ′ ′ = −
∫ ∫ sec tansec tan
sec
sec sec
sec , .
θ θ θθ θ
θ
ππ
-
- -
- -
où
75. Posons x dx d= =sec , sec tan .θ θ θ θ
Si x > 1, alors 02
0< < >θ π θ et tan , de sorte que x2 21− = = =tan tan tanθ θ θ et
x dx
x
dd C x C
2
2 2
11
−= = = + = − +∫ ∫ ∫sec sec tan
tansec tan .
θ θ θ θθ
θ θ θ
Si x < -1, alors π θ π θ2
0< < < et tan , de sorte que x2 21− = = =tan tan tanθ θ θ - et
x dx
x
dd C x C
-
- -2
2 2
11
−= = = + = − +∫ ∫ ∫sec sec tan
tansec tan .
θ θ θ θθ
θ θ θ
77.dy
y y
dy
y y
dy
y2 2 22 5 2 1 4 1 4− +=
− +( ) +=
−( ) +∫ ∫ ∫
Posons y y− = = +1 2 1 2tan tan ,θ θ ou
dy d= 2 2sec ,θ θ pour -2π θ π< <
2.
y −( ) + = + = +( ) =1 4 4 4 4 1 42 2 2 2tan tan secθ θ θ
1 2
-x
1
x
θ
( ) 4 1 2 +-y
2
y - 1θ
Exercices 3.3 page 249
Il s'ensuit que dy
y y
dd C arc
yC2
2
22 52
412
12
12
12− +
= = = + = −
+∫ ∫ ∫sec
sectan
θ θθ
θ θ
et que dy
y yarc
yarc arc2
1
3
1
3
2 512
12
12
1 012 4
08− +
= −
= −[ ] = −
=∫ tan tan tan .π π
79. 2 2 2 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2x x x x x x x x− = −( ) = − + −( ) = −( ) −[ ] = − −( )- - - ,
d'où x dx
x x
x dx
x
−( )−
= −( )− −( )∫ ∫1
2
1
1 12 2
.
Posons x x− = = +1 1sin sin ,θ θ ou dx d= cos ,θ θ pour -2π θ π< <
2.
1 1 12 2 2− −( ) = − =x sin cos ,θ θ de sorte que 1 1 2 2− −( ) = = =x cos cos cos ,θ θ θ
puisque cosθ > 0 pour -2π θ π< <
2.
Il s' ensuit que
-
- -
x dx
x x
dd C
x C x x C
−( )−
= = = +
= − −( ) + = − +
∫ ∫ ∫1
2
1 1 2
2
2 2
sin coscos
sin cosθ θ θ
θθ θ θ
et que x dx
x xx x
−( )−
= −[ ] = − + −
= +
= −∫ 1
22 3
94
2 13
21 1
322
1
3 22
1
3 2 - - - .
81.dx
x x
dx
x x
dx
x2 2 22 2 1 1 1 1−=
− + −=
−( ) −∫ ∫ ∫
Posons x x− = = +1 1sec sec ,θ θ ou
dx d= sec tan ,θ θ θ pour 02
< <θ π.
x −( ) − = − =1 1 12 2 2sec tan ,θ θ
de sorte que x −( ) − = = =1 12 2tan tan tan ,θ θ θ puisque tanθ > 0 pour 02
< <θ π.
Il s' ensuit que
dx
x x
dd C
x x x C
2
2
2
1 2
−= = = + +
= − + − +
∫∫ ∫sec tantan
sec ln sec tan
ln .
θ θ θθ
θ θ θ θ
( ) 1 12
-x-
1x - 1
θ
( ) 1 1 2
--x
1
x - 1
θ
250 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
83. x x x x x2 2 24 13 4 4 9 2 9+ + = + +( ) + = +( ) + , d'où x dx
x x
x dx
x
+( )+ +
= +( )+( ) +∫∫ 2
4 13
2
2 92 2
.
Posons x x+ = = −2 3 3 2tan tan ,θ θ ou
dx d= 3 2sec ,θ θ pour -2π θ π< <
2.
x +( ) + = + = +( ) =2 9 9 9 9 1 92 2 2 2tan tan sec ,θ θ θ d'où
x +( ) + = = =2 9 9 3 32 2sec sec secθ θ θ puisque secθ > 0 lorsque -2π θ π< <
2.
Il s' ensuit que
x dx
x x
dd
C x x C
+( )+ +
= ⋅ =
= + = + + +
∫ ∫∫2
4 13
3 33
3
3 4 13
2
2
2
tan secsec
tan sec
sec
θ θ θθ
θ θ θ
θ
et x dx
x xx x
+ -2
-2
2
4 134 13 5 3 2
2
222 ( )
+ += + +[ ] = − =∫ .
85. s s s s s2 2 22 5 2 1 4 1 4− + = − + + = −( ) + , d'où ds
s s
ds
s2 22 5 1 4− +=
−( ) +∫∫ .
Posons s s− = = +1 2 1 2tan tan ,θ θ ou ds d= 2 2sec ,θ θ pour -2π θ π< <
2.
s −( ) + = + = +( ) =1 4 4 4 4 1 42 2 2 2tan tan sec ,θ θ θ
d'où s −( ) + = = =1 4 4 2 22 2sec sec sec ,θ θ θ
puisque secθ > 0 lorsque -2π θ π< <
2.
Il s' ensuit que
ds
s s
dd C
s s sC
2
2
2
2 5
22
2 52
12
− += = = + +
= − + + − +
∫∫ ∫secsec
sec ln sec tan
ln .
θ θθ
θ θ θ θ
Note : En poursuivant les calculs, on obtient :
ds
s ss s s C s s s C
2
2 2
2 52 5 1 2 2 5 1
− += − + + − − + = − + + − + ′∫ ln ln ln ,
où ′ = −C C ln ,2 qui est une réponse équivalente.
( ) 9 2 2 ++x
3
x + 2θ
( ) 4 1 2 +−s
2
s - 1θ
Exercices 3.3 page 251
87. 9 6 5 9 6 1 4 3 1 42 2 2x x x x x− + = − + + = −( ) + , d'où 3
9 6 53
3 1 42 2
dx
x x
dx
x− +=
−( ) +∫∫ .
Posons 3 1 21 2
3x x− = = +
tantan
,θ θ ou
dx d= 23
2sec ,θ θ pour -2π θ π< <
2.
3 1 4 4 4 4 1 42 2 2 2x −( ) + = + = +( ) =tan tan secθ θ θ
Il s'ensuit que 3
9 6 5
3234
12
12
12
3 122
2
2
dx
x x
dd C arc
xC
− +=
⋅ ⋅= = + = −
+∫∫ ∫
sec
sectan .
θ θ
θθ θ
89. r r r r r2 2 22 3 2 1 4 1 4− − = − + − = −( ) − , d'où dr
r r
dr
r2 22 3 1 4− −=
−( ) −∫∫ .
Posons r r− = = +1 2 1 2sec sec ,θ θ ou
dr d= 2sec tanθ θ θ pour 02
< <θ π.
r −( ) − = − = −( ) =1 4 4 4 4 1 42 2 2 2sec sec tan ,θ θ θ
de sorte que r −( ) − = = =1 4 4 2 22 2tan tan tan ,θ θ θ puisque tanθ > 0 pour 02
< <θ π.
Il s' ensuit que
sec
dr
r r
dd C
r r rC
2
2
2 3
22
12
2 32
− −= = = + +
= − + − − +
∫∫ ∫sec tantan
ln sec tan
ln ,
θ θ θθ
θ θ θ θ
ou encore ln , ln . où r r r C C C− + − − + ′ ′ = −1 2 3 22
91. θ θ θ θ θ2 2 24 5 4 4 1 2 1+ + = + + + = +( ) + , d'où 2
4 52
2 12 2
d dθθ θ
θθ+ +
=+( ) +∫∫ .
Posons θ α θ α+ = = −2 2tan , tan , ou
d dθ α α= sec ,2 pour -π α π2 2
< < .
θ α α+( ) + = + =2 1 12 2 2tan sec .
( ) 4 1 32 +−x
2
3x - 1θ
2
r - 1( ) 4 1
2 −−rθ
2 +θ( ) 1 2
2 ++θ
1θ
252 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Il s'ensuit que 2
4 52
2 2 2 22
2
2
d dd C arc C
θθ θ
α αα
α α θ+ +
= = = + = +( ) +∫∫∫ secsec
tan
et 2
4 52 2 2 5 0 2 5 0 2 52
33
-2
-2
darc arc arc arc arc
θθ θ
θ+ +
= +( )[ ] = −[ ] = −[ ] =∫ tan tan tan tan tan .
93. 9 6 5 9 6 1 4 3 1 42 2 2x x x x x− + = − + + = −( ) + , d'où dx
x x
dx
x9 6 5 3 1 42 2− +=
−( ) +∫∫ .
Posons 3 1 21 2
3x x− = = +
tantan
,θ θ ou
dx d= 23
2sec ,θ θ pour -π θ π2 2
< < .
3 1 4 4 4 4 1 42 2 2 2x −( ) + = + = +( ) =tan tan sec ,θ θ θ de sorte que
3 1 4 4 2 22 2x −( ) + = = =sec sec sec ,θ θ θ puisque secθ > 0 pour -π θ π2 2
< < .
Il s' ensuit que
dx
x x
dd C
x x xC
9 6 5
23 2
13
13
13
9 6 52
3 12
2
2
2
− += = = + +
= − + + − +
∫∫ ∫secsec
sec ln sec tan
ln ,
θ θθ
θ θ θ θ
ou encore 13
9 6 5 3 113
22ln , ln . où x x x C C C− + + − + ′ ′ = −
95. x x x x x2 2 24 13 4 4 9 2 9+ + = + + + = +( ) + , d'où dx
x x
dx
x2 24 13 2 9+ +=
+( ) +∫∫ .
Posons x x+ = = −2 3 3 2tan tan ,θ θ ou
dx d= 3 2sec ,θ θ pour -π θ π2 2
< < .
x +( ) + = + = +( ) =2 9 9 9 9 1 92 2 2 2tan tan sec ,θ θ θ de sorte que
x +( ) + = = =2 9 9 3 32 2sec sec sec ,θ θ θ puisque secθ > 0 lorsque -π θ π2 2
< < .
( ) 4 1 32 +−x
2
3x - 1θ
( ) 9 2 2 ++x
3
x + 2θ
Exercices 3.3 page 253
Il s' ensuit que
dx
x x
dd C
x x xC
2
2
2
4 13
33
4 133
23
+ += = = + +
= + + + + +
∫∫ ∫secsec
sec ln sec tan
ln
θ θθ
θ θ θ θ
et dx
x x
x x x2
21
1
4 13
4 133
23
183
1 1 0 2 1+ +
= + + + +
= + − + = +( )∫ ln ln ln ln . -2-2
97. t t t t t2 2 22 8 2 1 9 1 9− − = − + − = −( ) − , d'où dt
t t
dt
t2 22 8 1 9− −=
−( ) −∫∫ .
Posons t t− = = +1 3 1 3sec sec ,θ θ ou
alors dt d= 3sec tanθ θ θ pour 02
< <θ π.
t −( ) − = − = −( ) =1 9 9 9 9 1 92 2 2 2sec sec tan ,θ θ θ de sorte que
t −( ) + = = =1 9 9 3 32 2tan tan tan ,θ θ θ puisque tanθ > 0 pour02
< <θ π.
Il s' ensuit que
dt
t t
dd C
t t tC
2
2
2 8
33
13
2 83
− −= = = + +
= − + − − +
∫∫ ∫sec tantan
sec ln sec tan
ln
θ θ θθ
θ θ θ θ
et dt
t t
t t t2
26
6
2 8
13
2 83
53
43
73
34 7
3− −= − + − −
= + − + = − +
∫ ln ln ln ln ln .
43
55
99. r r r r r2 2 24 5 4 4 1 2 1+ + = + + + = +( ) + , d'où r dr
r r
r dr
r
2 24 5 2 1+ +
=+( ) +∫∫ .
Posons r r dr d+ = = − =2 2 2tan , tan , sec ,θ θ θ θ ou d' où pour-π θ π2 2
< < .
r +( ) + = + =2 1 12 2 2tan sec ,θ de sorte que
r s+( ) + = = =2 12 2sec sec ,θ θ θ ec
puisque secθ > 0 pour-π θ π2 2
< < .
3
t - 1( ) 9 1
2 −−tθ
( ) 1 2 2 ++r
1
r + 2θ
254 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Il s' ensuit que
r dr
r r
dd d
C
r r r r r C
2
2
2 2
4 5
22
2
4 5 2 4 5 2
+ += −( ) = −
= − + +
= + + − + + + + +
∫∫ ∫ ∫tan secsec
tan sec sec
sec ln sec tan
ln .
θ θ θθ
θ θ θ θ θ
θ θ θ
101. xdy
dxx
dy
dx
x
xy
x
xdx et = − ⇒ = − = −∫2
2 2
44 4
.
Posons x dx d= =2 2sec , sec tan ,θ θ θ θ d' où pour 02
< <θ π.
x2 2 2 24 4 4 4 1 4− = − = −( ) =sec sec tan ,θ θ θ
de sorte que x2 24 4 2 2− = = =tan tan tan ,θ θ θ puisque tanθ > 0 pour 02
< <θ π.
Il s' ensuit que
yx
xdx d
d d
d d C
xarc
xC x arc
xC
= − = ⋅
= = −( )= − = − +
= − −
+ = − −
+
∫ ∫∫∫∫∫
2
2 2
2
22
4 22
2
2 2 1
2 2 2 2
24
22
24 2
2
tansec
sec tan
tan sec
sec tan
sec sec .
θθ
θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
Comme y arc C C C2 0 0 0 2 1 0 0( ) = = − + = + =, sec , . on a d' où
La solution de l'équation différentielle est donc y x arcx= − −
2 4 22
sec .
103. xdy
dx
dy
dx xy
xdx2
2 24 33
43
4+( ) = ⇒ =
+=
+∫ et .
Posons x dx d= =2 2 2tan , sec ,θ θ θ d' où pour -π θ π2 2
< < .
x2 2 2 24 4 4 4 1 4+ = + = +( ) =tan tan sec ,θ θ θ
d' où yx
dx d d C arcx
C=+
= ⋅ = = + =
+∫∫∫ 3
43
42
32
32
32 22 2
2
secsec tan .
θθ θ θ θ
Comme y arc C C2 0 032
138
( ) = = + = +, tan , π
de sorte que C = -38π
.
La solution de l'équation différentielle est donc y arcx=
−3
2 238
tan .π
2
x 4
2 −xθ
2
x 4
2 +x
θ
Exercices 3.3 page 255
105. Ax
dx= −∫ 93
2
0
3
Posons x dx d= =3 3sin , cos ,θ θ θ d' où pour -π θ π2 2
< < .
9 9 9 9 1 92 2 2 2− = − = −( ) =x sin sin cos ,θ θ θ d' où
9 9 3 32 2− = = =x cos cos cos ,θ θ θ
puisque cosθ > 0 pour -π θ π2 2
< < .
De plus, x x= ⇒ = = ⇒ =0 0 3 2θ θ π et .
Il s' ensuit que
Ax
dx d
d d
= − = ⋅
= = +
= +
= + − +( )
=
∫∫
∫∫
93
33
3
3 31 2
2
32
22
32 2
0 0 034
2
0
2
0
3
2
0
2
0
2
0
2
coscos
coscos
sin.
θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ π π
π
ππ
π
107. moy fx x
dxx x
dxx
dx( ) =− +
=− + +
=−( ) +∫ ∫∫1
244 8
12
44 4 4
12
42 42 2
2
4
2
2
4
2
4
Posons x x dx d− = = + =2 2 2 2 2 2tan tan , sec ,θ θ θ θ ou d' où pour -π θ π2 2
< < .
x x−( ) + = + = +( ) = = ⇒ =2 4 4 4 4 1 4 2 02 2 2 2tan tan sec ,θ θ θ θ et alors que x = ⇒ =4 4θ π .
Il s' ensuit que moy
fx
dx
d
d
( ) =−( ) +
= ⋅
= = [ ] = − =
∫
∫
∫
12
42 4
12
44
2
40
4
2
2
4
20
42
0
4
0
4
secsec
.
θθ θ
θ θ π π
π
ππ
3x
92
x -
θ
3
- 9 2
xy =
x
y
31
1
θ
( ) 4 2 2 +−x
2
x - 2
256 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
109. y xdy
dxx L x dx x dx= = = + ( ) = +∫∫2 2 2
0
3 2
0
3 2
2 1 2 1 4, . d' où et
Posons 22
x x= =tantan
,θ θ ou d'où dx d= 1
22sec ,θ θ pour -
π θ π2 2
< < .
1 4 1 1 42 2 2 2 2+ = + = + = = =x xtan sec , sec sec sec ,θ θ θ θ θ et puisque secθ > 0
lorsque -π θ π2 2
< < .
De plus, x x= ⇒ = = ⇒ =0 03
2 3θ θ π
et .
Il s' ensuit que
( ' , 197)
=12
L x dx d
d
Voir l exemple page
= + = ⋅
= = + +
+ + −
∫∫
∫
1 412
12
12
12
12
5
12 3 3
12 3 3
12
0
2 2
0
3
0
3 2
3
0
3
0
3
sec sec
sec sec tan ln sec tan
sec tan ln sec tan sec
θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
π π π π
π
π π
tantan ln sec tan
ln ln
ln , .
012
0 0
12
12
2 312
2 312
1 012
1 0
12
312
2 3 1 195
+ +
= ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + +
= + +( )
≈
111. y f x x x= ( ) = + +2 2 3 est une fonction non négative et lisse sur l'intervalle - 1 0, ,[ ]
puisque ′( ) =+ +
⋅ +( ) = ++ +
f xx x
xx
x x
1
2 2 32 2
1
2 32 2 est continue sur cet intervalle.
A ydy
dxdx x x
x
x xdx
x xx x
x xdx
x xx x x x
x
a
b
= +
= + + + +
+ +
= + + + + ++ +
= + + + + + + +
∫ ∫
∫
∫
2 1 2 2 3 11
2 3
2 2 3 12 12 3
2 2 32 3 2 1
22
1
0
2
2
2
1
0 2
2
2
1
0 2 2
2
π π
π
π
-
-
-++ +
= + +( )
= + + + = ( ) +
∫
∫ ∫
2 3
2 2 2 2
2 2 2 1 1 2 2 1 1
20
20
2
1
0
xdx
x x dx
x x dx x dx
+
-1
-1 -
π
π π
1
2x 4 1
2x+
θ
Exercices 3.3 page 257
Posons x dx d+ = =1 2tan , sec .θ θ θ
De plus, x x= ⇒ = = ⇒ =-1 et θ θ π0 0 4.
x +( ) + = + = = =1 1 12 2 2tan sec sec secθ θ θ θ
puisque secθ > 0 pour 0 4< <θ π .
A x dx d
d
= ( ) + = ⋅
= = + +
= + +
− +
∫ ∫
∫
2 2 1 1 2 2
2 2 2 212
12
2 212 4 4
12 4 4
12
0 01
20
2
0
4
3
0
4
0
4
π π θ θ θ
π θ θ π θ θ θ θ
π π π π π
π
π π
+
-1
sec sec
sec sec tan ln sec tan
sec tan ln sec tan sec tan22
0 0
2 212
2 112
2 112
1 012
1 0
2 22
2 2 1 2 2 2 1
ln sec tan
ln ln
ln ln
+
= ⋅ ⋅ + +( )
− ⋅ ⋅ + +( )
= + +( )[ ] = + +( )[ ]
π
π π
113. a) Posons u a du a d= =tan , sec .θ θ θ 2
Alors u a a a a a2 2 2 2 2 2 2 2 21+ = + = +( ) =tan tan secθ θ θ
et du
u a
a d
a ad
aC
aarc
u
aC2 2
2
2 2
1 1 1+
= = = + =
+∫∫ ∫sec
sectan .
θ θθ
θ θ
b) Posons u a du a d= =sin , cosθ θ θ pour -π θ π2 2
≤ ≤ .
Alors a u a a a a2 2 2 2 2 2 2 2 21− = − = −( ) =sin sin cosθ θ θ
et a u a a a a2 2 2 2 2− = = = =cos cos cos cosθ θ θ θ
puisque cosθ > 0 pour -π θ π2 2
≤ ≤ .
du
a u
a d
ad C arc
u
aC
2 2−= = = + =
+∫ ∫ ∫cos
cossin .
θ θθ
θ θ
x + 1
1
( ) 1 1 2 ++x
θ
u
a
22 au +
θ
ua
22 ua −
θ
258 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Exercices 3.4 - Fonctions rationnelles et méthode des fractions partielles
1.5 13
3 2 3 2x
x x
A
x
B
x
−−( ) −( )
=−
+−
, d'où 5 13 2 3 2 3x A x B x A B x A B− = −( ) + −( ) = +( ) − +( ).
Nous avons donc (1)
(2)
A
A
B
B2 3
5
13
+
+
=
=.
En soustrayant 2 × (1) de (2), nous obtenonsB = 3, d'où A = 2.
Ainsi, 5 13
3 22
33
2x
x x x x
−−( ) −( )
=−
+−
.
3.x
x
A
x
B
x
++( )
=+
++( )
41 1 12 2 , d'où x A x B Ax A B+ = +( ) + = + +( )4 1 .
Nous avons donc A A B= + =1 4 et , d'où B = 3.
Ainsi, x
x x x
++( )
=+
++( )
41
11
312 2 .
5.z
z z
A
z
B
z
C
z
+−( )
= + +−
11 12 2- , d'où z Az z B z Cz+ = −( ) + −( ) +1 1 1 2
= − + − + = +( ) + +( ) −Az Az Bz B Cz A C z A B z B2 2 2 - .
Nous avons donc A C A B B+ = + = =0 1 1, , - et - d'où nous tirons B A C= = =-1 -2 et , .2
Ainsi, z
z z z z z
+−( )
= − +−
11
2 1 212 2- .
7.t
t t
t
t t
2
2 2
85 6
15 2
5 6+
− += + +
− + (division de polynômes)
5 25 6
5 23 2 3 22
t
t t
t
t t
A
t
B
t
+− +
= +−( ) −( )
=−
+−
, d'où 5 2 2 3 2 3t A t B t A B t A B+ = −( ) + −( ) = +( ) − − .
Nous avons donc A
A
B
B-
(1)
(2)2 3
5
2
+
−
=
=.
Exercices 3.4 page 259
En additionnant 2 × (1) à (2), nous obtenons B = -12, d'où A = 17.
Ainsi, t
t t t t
2
2
85 6
117
312
2+
− += +
−−
−.
9.1
11
1 1 1 12−=
−( ) +( )=
−+
+x x x
A
x
B
x, d'où 1 1 1= +( ) + −( )A x B x .
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons A = 1 2.
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons B = 1 2.
Par conséquent dx
x
dx
x
dx
x112 1
12 12−
=−
++∫ ∫ ∫
= ⋅ − + ⋅ + +
= + − −[ ] +
12
112
1
12
1 1
-
ln ln
ln ln .
x x C
x x C
11.x
x x
x
x x
A
x
B
x
++ −
= ++( ) −( )
=+
+−
45 6
46 1 6 12 , d'où x A x B x+ = −( ) + +( )4 1 6 .
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons B = 5 7.
En assignant à x la valeur -6, nous obtenons A = 2 7.
Par conséquent x
x xdx
dx
x
dx
x
++ −
=+
+−∫ ∫ ∫4
5 627 6
57 12
= + +
= +( ) ⋅ −( ) +
27
57
17
6 12 5
ln ln ,
ln .
+ 6 -1 ou encorex x C
x x C
13.y
y y
y
y y
A
y
B
y2 2 3 3 1 3 1− −=
−( ) +( ) =−
++
, d'où y A y B y= +( ) + −( )1 3 .
En assignant à y la valeur -1, nous obtenons B = 1 4.
En assignant à y la valeur 3, nous obtenons A = 3 4.
260 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Par conséquent y dy
y y
dy
y
dy
y
2
4
8
4
8
4
8
2 334 3
14 1− −
=−
++∫ ∫ ∫
= [ ] + [ ]
= −( ) + −( ) = +
= + = + = +( )
=
34
14
34
5 114
9 512
514
9
12
514
312
512
312
5 3
12
15
4
8
4
8
2
ln ln
ln ln ln ln ln ln
ln ln ln ln ln ln
ln .
- 3 +1 y y
Note : La réponse 12
514
9ln ln+ est tout à fait acceptable ; les étapes subséquentes
de raisonnement n'ont pour objet que de simplifier la réponse.
15.1
21
2
12 1 2 13 2 2t t t t t t t t t
A
t
B
t
C
t+ −=
+ −( ) =+( ) −( )
= ++
+−
, d'où
1 2 1 1 2= +( ) −( ) + −( ) + +( )A t t Bt t Ct t .
En assignant à t la valeur 0, nous obtenons A = -1 2.
En assignant à t la valeur -2, nous obtenons B = 1 6.
En assignant à t la valeur 1, nous obtenons C = 1 3.
Par conséquent, dt
t t t
dt
t
dt
t
dt
t3 2 212
16 2
13 1+ −
= ++
+−∫ ∫ ∫ ∫-
= + + + − +- 12
16
213
1ln ln ln .t t t C
17.x
x xx
x
x
3
2 22 12
3 21+ +
= −( ) + ++( )
(division polynomiale)
3 21 1 12 2
x
x
A
x
B
x
++( )
=+
++( )
, d'où 3 2 1x A x B Ax A B+ = +( ) + = + + .
Exercices 3.4 page 261
Nous avons donc A = 3, d'où B = -1, de sorte que
x dx
x xx dx
dx
x
dx
x
xx x
x
3
20
1
2
0
1
0
1
0
1
2
0
1
2 12 3
1 1
22 3 1
11
12
2 3 212
0 0 3 1 1
3 2 2
+ += −( ) +
+−
+( )
= − + + ++
= − + +
− − + +( )
= −
∫ ∫∫∫
ln
ln ln
ln .
19.1
1
11 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2
x x x
A
x
B
x
C
x
D
x−( )=
+( ) −( )=
++
−+
+( )+
−( ), d'où
1 1 1 1 1 1 12 2 2 2= +( ) −( ) + −( ) +( ) + −( ) + +( )A x x B x x C x D x .
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons C = 1 4.
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons D = 1 4.
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons 1 1 2= − + + − =A B C D A B, . d' où
En assignant à x la valeur 2, nous obtenons 1 3 9 9 3 1 2= + + + + =A B C D A B, . d' où -
En soustrayant l'équation A B− = 1 2 de l'équation A B+ =3 1 2- , nous obtenons
B A= =- d' où 1 4 1 4, .
Par conséquent, dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x2 2 2 21
14 1
14 1
14 1
14 1−( )
=+
−−
++( )
+−( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫
= + − − −+( )
−−( )
+
= +−
− − + +−( )
+
= +−
−−( ) +
14
114
11
4 11
4 1
14
11
1 1
4 1
14
11 2 1
2
2
ln ln
ln
ln .
x xx x
C
x
x
x x
xC
x
x
x
xC
262 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
21.1
1 1 1 12 2x x
A
x
Bx C
x+( ) +( ) =+
+ ++
, d'où 1 1 12= +( ) + +( ) +( )A x Bx C x .
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons A = 1 2.
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons A C C+ = =1 1 2, . d' où
En assignant à x la valeur 2, nous obtenons 1 5 6 3= + +A B C et comme A C= = 1 2, nous
en déduisons que B = -1 2.
Par conséquent, dx
x x
dx
x
x
xdx
+( ) +( ) =+
+ ++∫ ∫ ∫1 1
12 1
12
112
0
1
0
1
20
1 -
= +[ ] ++
++
= +[ ] + +( ) +
= −( ) + +
−
∫∫12
112 1
11
12
112
1
12
2 112
12
2 112
1
0
1
2 20
1
0
1
0
1 2
0
1
ln
ln ln tan
ln ln ln tan ln
-
-12
- -
xx
xdx
xdx
x x arc x
arc ++
= − + ⋅ = +
arc tan
ln lnln
.
0
12
214
212 4
2 28
π π
23.y y
y
Ay B
y
Cy D
y
2
2 2 2 2 2
2 1
1 1 1
+ ++( )
= ++
+ ++( )
, d'où
y y Ay B y Cy D Ay By A C y B D2 2 3 22 1 1+ + = +( ) +( ) + + = + + +( ) + +( ).
Nous avons donc A B A C= = + =0 1 2, , , d'où C B D= +( ) =2 1 et , d'où D = 0.
Ainsi y y
ydy
ydy
y
ydy arc y
yC
2
2 2 2 2 2 2
2 1
1
11
2
1
11
+ ++( )
=+
++( )
= −+
+∫ ∫∫ tan .
25.2 2
1 1 1 1 1 12 3 2 2 3
s
s s
As B
s
C
s
D
s
E
s
++( ) −( )
= ++
+−
+−( )
+−( )
, d'où
2 2 1 1 1 1 1 13 2 2 2 2s As B s C s s D s s E s+ = +( ) −( ) + +( ) −( ) + +( ) −( ) + +( )En assignant à s la valeur 1, nous obtenons 2 4E = , d'où E = 2.
Exercices 3.4 page 263
En développant l'équation polynomiale, nous obtenons :
2 2 3 3 1 1 2 1 1 1 1
3 3 3 3
2 2
3 2 2 2 2 2
4 3 3 2 2 4
2 3 2 3 2
s As B s s s C s s s D s s E s
As Bs As Bs As Bs As B Cs
Cs Cs Cs Cs C Ds Ds Ds D Es
+ = +( ) − + −( ) + +( ) − +( ) + +( ) −( ) + +( )= + − − + + − − +
+ − − + + + + − − + 22
4 3 23 2 3 3 2
3 2
+
= +( ) + + − +( ) + − + − +( )+ + − +( ) + + − +( )
E
A C s A B C D s A B C D E s
A B C D s B C D E
-
- - ,
d'où le système d'équations linéaires :
A
A
A
A
B
B
B
B
C
C
C
C
C
D
D
D
D
E
E
-
-
-
3
3 3
3
2
2
2
0
0
0
2
2
1
2
3
4
5
+
−
+
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
+
=
=
=
=
=
( )( )( )( )( ).
En additionnant les équations (2) et (3), nous obtenons -2 0B E+ = , et puisque
E B= + =2 2 2 0, , - d'où B = 1. En additionnant les équations (3) et (4), nous obtenons
2 2A E+ = , soit 2 2 2 0A A+ = = et . Il découle de l'équation (1) que C = 0 et de l'équation (5)
que-1 0 2 2+ − + =D , d'où D = -1.
Par conséquent, 2 2
1 1
11
11
2112 3 2 2 3
s
s sds
sds
sds
sds
++( ) −( )
=+
−−( )
+−( )∫ ∫∫ ∫
= +−
−−( )
+arc ss s
C tan .1
111 2
27.2 5 8 4
2 2 2 2 2 2
3 2
2 2 2 2 2
θ θ θθ θ
θθ θ
θθ θ
+ + ++ +( )
= ++ +
+ ++ +( )
A B C D, d'où
2 5 8 4 2 23 2 2θ θ θ θ θ θ θ+ + + = +( ) + +( ) + +A B C D
= + + + + + + +
= + +( ) + + +( ) + +( )A B A B A B C D
A A B A B C B D
θ θ θ θ θ θθ θ θ
3 2 2
3 2
2 2 2 2
2 2 2 2 .
Nous avons donc A A B= 2 2 5, + = , d'où B A B C= + + =1 2 2 8, , d'où C B D= + =2 2 4 et ,
d'où D = 2.
264 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Par conséquent,
2 5 8 4
2 2
2 12 2
2 2
2 2
2 2 12 2
2 2
2 2
2 22 2
3 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
θ θ θθ θ
θ θθ θ
θ θθ θ
θ
θθ θ
θ θθ θ
θ
θθ θ
θ
+ + ++ +( )
= ++ +
+ ++ +( )
= + −+ +
+ ++ +( )
= ++ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
d d d
d d
d −−+ +
+ ++ +( )
= + +( ) −+( ) +
−+ +
+
= + +( ) − +( ) −+ +
+
∫ ∫
∫
12 2
2 2
2 2
2 211 1
12 2
2 2 112 2
2 2 2
22 2
22
θ θθ θ
θ θθ
θ θθ
θθ θ
θ θ θθ θ
d d
d C
arc C
ln
ln tan .
Note : θ θ2 2 2 0+ + > pour tout θ, de sorte que ln ln . θ θ θ θ2 22 2 2 2+ + = + +( )
29.2 2 1
21
21
1
3 2
2 2
x x
x xx
x xx
x x
− +−
= +−
= +−( )
(division de polynômes)
Or 1
1 1x x
A
x
B
x−( )= +
−, d'où 1 1= −( ) + ( )A x B x .
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons A = -1.
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons B = 1.
Par conséquent, 2 2 1
21 1
1
3 2
2
x x
x xdx x dx
xdx
xdx
− +−
= − +−∫∫∫ ∫ = − + − +x x x C2 1ln ln ,
ou encore xx
xC2 1+ − +ln .
31.9 3 1
99 3 1
1
3
3 2
2
2
x x
x x
x x
x x
− +−
= + − +−( )
(division de polynômes)
Or 9 3 1
1 1
2
2 2
x x
x x
A
x
B
x
C
x
− +−( )
= + +−
, d'où 9 3 1 1 12 2x x Ax x B x Cx− + = −( ) + −( ) + .
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons B = -1.
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons C = 7.
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons 13 2 2 2 2 7= − + = + +A B C A , d'où A = 2.
Exercices 3.4 page 265
Par conséquent, 9 3 1
9 21 1
71
1
3
3 2 2
x x
x xdx
xdx
xdx
xdx
− +−
= + − +−∫∫∫ ∫
= + + + − +9 21
7 1x xx
x Cln ln .
33.y y
y yy
y y
4 2
3 2
1 1
1
+ −+
= −+( ) (division de polynômes)
Or 1
1 12 2y y
A
y
By C
y+( ) = + ++
, d'où 1 12 2= +( ) + +( ) = +( ) + +A y By C y A B y Cy A.
Il s'ensuit que A A B= + =1 0, , d'où B C= =-1 et 0
Par conséquent, y y
y ydy y dy
ydy
y
ydy
4 2
3 2
1 11
+ −+
= − ++∫∫∫ ∫
= − + +( ) +yy y C
2
212
1ln ln . 2
35. Posons y t= e . Alors dy dtdt
y ydy
y ydyt
t
t t=+ +
=+ +
=+( ) +( )∫ ∫ ∫e et
ee e
2 23 213 2
11 2
.
Or 1
1 2 1 2y y
A
y
B
y+( ) +( ) =+
++
, d'où 1 2 1 2= +( ) + +( ) = +( ) + +( )A y B y A B y A B .
Nous avons donc A B+ = 0, d'où A B A B= + =- et 2 1, d'où - et -2 1 1B B B+ = = , et finalement
A = 1.
Ainsi, 1
1 2 11
2y ydy
ydy
ydy
+( ) +( ) = −+∫∫∫
1+
= + − + + = ++
+ = ++
+ln ln ln ln . ee
y y Cy
yC C
t
t1 212
12
37. Posons t y= sin , d'où dt y dy= cos .
Alors cos
sin sin.
y dy
y y t tdt
t tdt
2 26
16
13 2+ −
=+ −
=+( ) −( )∫ ∫ ∫
Or 1
3 2 3 2t t
A
t
B
t+( ) −( )=
++
−, d'où 1 2 3 2 3= −( ) + +( ) = +( ) + +( )A t B t A B t A B- .
266 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Nous avons donc A B+ = 0, d'où A B A B= + =- et - 2 3 1, d'où 2 3 1 1 5B B B+ = = et , et
finalement A = -1 5.
Ainsi, 1
3 215
13
15
12t t
dtt
dtt
dt+( ) −( )
= +−∫∫∫ -
+
= + −[ ] + = −+
+ = −+
+15
15
23
15
23
- + 3 2 ln ln ln lnsinsin
.t t Ct
tC
y
yC
39.x arc x x x
x xdx
x arc x
x xdx
x x
x xdx
−( ) ( ) − −+( ) −( )
= −( ) ( )+( ) −( )
−+( )
+( ) −( )∫ ∫ ∫2 2 12 3
4 1 2
2 2
4 1 2
3 4 1
4 1 2
2 3
2 2
2
2 2
2
2 2
tan tan
= ( )+
−−( )∫∫ arc x
xdx
x
xdx
tan 24 1
322 2
Or 3
2 2 22 2
x
x
A
x
B
x−( )=
−+
−( ), d'où 3 2x A x B Ax= −( ) + = + ( )-2A + B .
Nous avons donc A A B= + =3 2 0 et - , d'où B = 6.
Ainsi, arc x
xdx
x
xdx
arc x
xdx
xdx
xdx
tan tan24 1
32
12
2 24 1
31
26
122 2 2 2
( )+
−−( )
= ( )+
−−
−−( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫
=
( )( ) − − +−
+
=( )( ) − − +
−+
12
23 2
62
23 2
62
2
2
arc xx
xC
arc xx
xC
2
4
tanln
tanln .
41. t tdx
dt
dx
dt t tx
t tdt2
2 23 2 113 2
13 2
− +( ) = ⇒ =− +
=− +∫ et .
Or 13 2
12 1 2 12t t t t
A
t
B
t− +=
−( ) −( )=
−+
−, d'où 1 1 2 2= −( ) + −( ) = +( ) + −( )A t B t A B t A B- .
Nous avons donc A B+ = 0, d'où A B A B= − =- et - 2 1, d'où B B B− = =2 1 1 et - ,
et finalement A = 1.
Ainsi, xt t
dtt
dtt
dt t t Ct
tC=
− +=
−−
−= − − − + = −
−+∫ ∫ ∫1
3 21
21
12 1
212 ln ln ln .
Comme x 3 0( ) = , nous avons 0 1 2= ( ) +ln ,C d'où C = ( ) =- ln ln .1 2 2
Exercices 3.4 page 267
La solution de l'équation différentielle est donc xt
t= −
−+ln ln ,
21
2 ou encore
x t t= − − − +ln ln ln . 2 1 2
43. t tdx
dtx
dx
x
dt
t t xdx2
22 2 22 2 2
12
11
+( ) = + ⇒+
=+
⇒+∫ ∫ ∫
=+( )
⇒ + =+( )∫ ∫1
212
11
2t tdt x
t tdt ln
Or 1
2 2t t
A
t
B
t+( )= +
+, d'où 1 2 2= +( ) + ( ) = +( ) +A t B t A B t A.
Nous avons donc 2 1 1 2 0 1 2A A A B B= = + = =, , . d' où et d' où -
Ainsi,
+
12
11
212
1 12
12
12
212 2
ln
ln ln ln ,
xt t
dtt
dtt
dt
t t Ct
tC
+ =+( )
= −+
= − +[ ] + = +
∫ ∫ ∫
d'où ln ln , . +
où xt
tC C C+ = + ′ ′ =1
22
Comme x C1 1 213
( ) = =
+ ′, ln ln , d'où ′ = −
= + =C ln ln ln ln ln .2
13
2 3 6 Nous avons donc
ln ln ln ln , +
xt
t
t
t+ = + =
+1
26 6
2 ou encore x
t
t+ =
+1 6
2.
Comme x t> >0 0 et , les valeurs absolues ne sont pas nécessaires et xt
t+ =
+
1 6
2, ou
encore xt
t=
+−6
21.
Finalement, comme xt
t>
+− >0
62
1 0, , d'où 6
21 6 2 2 0 5 2
t
tt t t t
+> > + + > >, ), , (puisque et
finalement t > 2 5.
La solution de l'équation différentielle est donc xt
t=
+−6
21, pour t > 2 5.
268 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
45.dy
dxy y
dy
y ydx
y ydy dx Cx x x x= −( ) ⇒
−= ⇒
−( ) = = +∫ ∫e e e e22 1
11
Or 1
1 1y y
A
y
B
y−( ) = +−
, d'où 1 1= −( ) + = +( ) −A y By A B y A.
Nous avons - = d' où - et d' où A A A B B1 1 0 1, , .= + = =
Par conséquent, 1
11 1
11 2y y
dyy
dyy
dy y y C−( ) = +
−= + − +∫ ∫ ∫ - - ln ln ,
d'où ln ln , . e ou e où =y
yC C
y
yC C C Cx x− + = + − = + −1 1
2 1 1 2
Comme y C C0 212
12
2 10 0( ) =
= + =
− = −, ln ln ln . e d' où e -
La solution de l'équation différentielle est donc ln ln , ey
yx− = − −1
2 1 ou encore
ln ln ln . ey y x− − = − −1 2 1
47.dy
dx x xy
x xdx=
− +⇒ =
− +∫13 2
13 22 2
Or 13 2
12 1 2 12x x x x
A
x
B
x− +=
−( ) −( )=
−+
−,
d'où 1 1 2 2= −( ) + −( ) = +( ) + −( )A x B x A B x A B- .
Nous avons A B+ = 0, d'où A B A B= − =- et - 2 1, d'où B B B− = =2 1, -1, et finalement A = 1.
Ainsi yx
dxx
dx x x C=−
−−
= − − − +∫ ∫12
11
2 1 ln ln .
Comme y 3 0( ) = , nous avons 0 1 2= − +ln ln ,C d'où C = − =ln ln ln .2 1 2
La solution de l'équation différentielle est y x x= − − − +ln ln ln . 2 1 2
49. Méthode des disques :
V R x dx y dxx x
dxa
b
= ( )[ ] = =−∫ ∫ ∫π π π2 2
0 5
2 5
20 5
2 59
3
,
,
,
,
Exercices 3.4 page 269
Or 9
39
3 32x x x x
A
x
B
x−=
−( )= +
−, d'où 9 3 3= −( ) + = +( ) +A x Bx A B x A- .
Nous avons 3 9A = , d'où A A B= + =3 0 et - , d'où B = 3.
Ainsi, Vx x
dx x x= +−
= − −[ ]∫π π3 3
33 3 3
0 5
2 5
0 5
2 5
,
,
,
,ln ln
=−
= −( )
=
=
33
3 5 0 2
35
0 23 25
0 5
2 5
π π
π π
ln ln ln ,
ln,
ln .
,
,x
x
51. a)dx
dtkx N x
dx
x N xk dt
x N xdx k dt kt C= −( ) ⇒
−( )= ⇒
−( )= = +∫ ∫
11
Or 1
x N x
A
x
B
N x−( )= +
−, d'où 1 = −( ) + = +( ) +A N x Bx A B x AN- .
Nous avons 1 = AN, d'où AN
A B= + =10 et - , d'où B
N= 1
.
Par conséquent, 1 1 1 1 1
x N xdx
N xdx
N N xdx
−( )= +
−∫ ∫ ∫
= − −[ ] + = +12 1N
x N x C kt Cln ln
ou encore 1N
x
N xkt Cln ,
−= + où C C C= −1 2.
Comme k N x= = =1250
1000 2, , et lorsque t = 0, nous avons
11000
2998
1250
0ln , = ⋅ + C
d'où Cx
xt=
−
= +
11000
1499
11000 1000
1250
11000
1499
ln ln ln , et ou encore
270 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
ln ln ,
ln ln ,
ln .
et finalement
x
xt
x
xt
x
xt
10004 499
1000499 4
4991000
4
−= −
−+ =
−=
Comme 2 1000 1000 0< < − >x x, et les valeurs absolues sont inutiles, de sorte que
4991000
4x
xt
−= e . En isolant x dans l'expression, nous obtenons 499 1000 4 4x xt t= −e e ,
puis 499 10004 4+( ) =e et tx , et finalement xt
t=+
1000499
4
4
ee
qui est la solution de l'équation
différentielle.
b) x N= =12
500. Nous avons 5001000499
12
499499 2 499
4
4
4
44 4 4=
+=
++ = =e
e
ee
e e et
t
t
tt t t, , , ,
4 4994994
1 55t t= = ≈ln ,ln
, jour.
Exercices 3.5 page 271
Exercices 3.5 - Règle de L'Hospital
1. Règle de L'Hospital : lim .. .
x
R H
x
x
x x→ =
−−
= =2 2 0 0 2
24
12
14
Autre méthode : lim lim lim .x x x
x
x
x
x x x→ → →
−−
= −+( ) −( )
=+
=2 2 2 2
24
22 2
12
14
3. Règle de L'Hospital : lim lim lim .. . . .
x
R H
x
R H
x
x x
x
x
x→∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞ →∞
−+
= − = =5 37 1
10 314
1014
57
2
2
Autre méthode : lim lim .x x
x x
x
x
x→∞ →∞
−+
= −+
=5 37 1
5 37 1
57
2
2 2
5. Règle de L'Hospital : limcos
limsin
limcos. . . .
x
R H
x
R H
x
x
x
x
x
x→ → →
− = = =0 2 0 0 0 0 0 0
12 2
12
.
Autre méthode : limcos
limcos cos
cosx x
x
x
x
x
x
x→ →
− = − ⋅ ++
0 2 0 2
1 1 11
= −+( )
=+( )
=
⋅
⋅
+
= ⋅ ⋅+
= ⋅ ⋅ =
→ →
→
→ → →
limcos
coslim
sincos
limsin sin
cos
limsin
limsin
limcos
.
x x
x
x x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
0
2
2 0
2
2
0
0 0 0
11 1
11
11
1 112
12
7. limsin
limcos. .
θ θ
θθ
θ θ→ →
=( ) ⋅
= ⋅ =0
2
0 0 0
2 2
11 0
10
R H
9. limcos
limsin
limcos. . . .
t t
R H
t t
R H
t t
t
t
t t→ → →
−− −
=−
= = =0 0 0 0 0 0 0
11 1
11e
-e
-e
- -1
11. limlnlog
lim
ln
limln
limln
ln. . . .
x
R H
x x
R H
x
x
xx
x
x
x→∞ ∞ ∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞
+( ) = +⋅
=+( )
= =11
11 1
2
21
21
22
272 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
13. limln
lnlim lim lim
. . . .
y
R H
y y
R H
y
y y
yy y
y
y
y y
y y
y
y→ ∞ ∞ → → →+ + + +
+( )= +
⋅ +( )= +
+= +
+= =
0
2
0
2
0
2
2 0 0 0
21
22 2
12 2
24 22 2
22
1
15. lim ln limln
lim lim lim. .
x x
R H
x x xx x
x
x
x
x
x
xx
→ → ∞ ∞ → → →+ + + + += = = = =
0 0 0 2 0
2
0111
0-
--
17. lim csc cot cos limsin
cossin
cos limcos sin cos
sinx x xx x x
x
x
xx
x x x
x→ → →+ + +− +( ) = − +
= − +
0 0 0
1 1
= + + ⋅ ( ) = + ⋅ + ⋅ ( ) =→ +0 0 0
0 1 1 01
R H
x
x x x x x
x
. ..
limsin cos cos sin sin
cos- -0
1
19. lim ln lnsin lim lnsinx x
x xx
x→ →+ +−( ) =
0 0
Posons f xx
x( ) =
sin. Alors lim lim
sinlim
coslim ln lnsin
. .
x x
R H
x xf x
x
x xx x
→ → → →+ + + +( ) = = = −( )
0 0 0 0 0 0
11 et
= ( )[ ] = ( )[ ] = =→ →+ +lim ln ln lim ln .x x
f x f x0 0
1 0
21. limx
x xx
→+( )
0
1e est une forme indéterminée 1∞.
Posons f x xx x( ) = +( )e1
. Alors ln ln lnln
f x xx
xx
xx x x
x
( ) = +( ) = ⋅ +( ) =+( )
e ee1 1
et lim ln limln
lim lim .. .
x x
xR H
x
xx
x
x
xf xx
xx
x→ → → →( ) =
+( )= +
⋅ +( )= +
+= =
0 0 0 0 0 0
11
11 2
12
e ee e
e
Par conséquent, lim lim lim .ln lim ln
x
x x
x x
f x f xx f x x
→ → →
( ) ( )+( ) = ( ) = = =→
0
1
0 0
20e e e e
23. lim lim. .
x
R H
x
x
x x x→∞ ∞ ∞ →∞
−− +
=−
=3 52 2
34 1
02
De même, lim lim .. .
x
R H
x
x
x x x→ ∞ ∞ ∞ → ∞
−− +
=−
=- -
3 52 2
34 1
02
Exercices 3.5 page 273
25. lim lnx
xx→∞
( )1 est une forme indéterminée ∞0 .
Posons f x x x( ) = ( )ln 1 Alors ln ln ln ln lnln ln
f x xx
xx
xx( ) = ( ) = ⋅ ( ) = ( )1 1
et
lim ln limln ln
lim ln limln
.. .
x x
R H
x xf x
x
xx x
x x→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞( ) = ( ) =
⋅=
⋅=
1 1
11
0
Par conséquent, lim ln lim lim .ln lim ln
x
x
x x
f x f xx f x x
→∞ →∞ →∞
( ) ( )( ) = ( ) = = = =→∞1 0 1e e e
27. limx
xx x
→
−− +( )
1
2 12 1 est une forme indéterminée 00 .
Posons f x x xx( ) = − +( ) −2 1
2 1 .
Alors ln ln lnln
f x x x x x xx x
x
x( ) = − +( ) = −( ) − +( ) =− +( )
−( )−2 1 2
2
2 1 1 2 12 1
1 1 et
lim ln limln
lim. .
x x
R H
xf x
x x
xx x
x
x→ → ∞ ∞ →( ) =
− +( )−( )
= − +⋅ −( )
−( )1 1
2
1
2
2
2 1
1 1
12 1
2 2
1 1-
= −( )−( )
⋅ −( ) = − −( ) =→ →
lim lim .x x
x
xx x
12
2
1
2 11
1 2 1 0-
Par conséquent, lim lim lim .ln lim ln
x
x
x x
f x f xx x f x x
→
−
→ →
( ) ( )− +( ) = ( ) = = = =→
1
2 1
1 1
02 1 11e e e
29. limx
xx→ +
+( )0
11 est une forme indéterminée 1∞ .
Posons f x x x( ) = +( )1 1 . Alors ln ln lnln
f x xx
xx
xx( ) = +( ) = +( ) = +( )
11
111 et
lim ln limln
lim lim .. .
x x
x R H
x xf x
x
xx
x→ → → →+ + + +( ) = +( ) = + =
+=
0 0
1
0 0 0 0
11
11
11
1
Par conséquent, lim lim lim lnlim ln
x
x
x x
f xf x
x f x x
→ → →
( ) ( )
+ + +
→ ++( ) = ( ) = = = =0
1
0 0
11 0e e e e.
274 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
31. lim sinx
xx→ +
( )0
est une forme indéterminée 00 .
Posons f x x x( ) = ( )sin . Alors ln ln sin ln sinln sin
f x x x xx
xx( ) = ( ) = ⋅ ( ) = ( )
1 et
lim ln lim sincos
limcos
sin
. .
x
R H
x xf x x
x
x
x x
x→ ∞ ∞ → →+ + +( ) =
⋅= ⋅
0 0 2 0
21
-1- =
⋅ + ( ) ⋅ ( )= ⋅ + ⋅ =
0 0
22 0 1 0 01
0R H x x x x
x
. . cos sin
cos.
- - -
Par conséquent, lim sin lim lim .lnlim ln
x
x
x x
f xf x
x f x x
→ → →
( ) ( )
+ + +
→ +( ) = ( ) = = = =0 0 0
00 1e e e
33. limx
xx→
−( )+1
1 1 est une forme indéterminée 1-∞ .
Posons f x x x( ) = −( )1 1 . Alors ln ln lnln
f x xx
xx
xx( ) = =
−⋅ =
−−( )1 1 1
1 1 et
lim ln limln
lim lim. .
x x
R H
x xf x
x
x
x
x→ → → →+ + + +( ) =
−= = =
1 1 0 0 1 111 1-1
- -1.
Par conséquent, lim lim lim .lnlim ln
x
x
x x
f xf x
x f x x
→
−( )→ →
( ) ( )
+ + +
→ += ( ) = = =1
1 1
1 1
1e e e-1
35. lim lim ln lim ln ln lim ln lnx
x
x
x x
x
x xtdt t x x
x
x→∞ →∞ →∞ →∞∫ = [ ] = −( ) =
=1
22
22
2
37. limcos
limsin
limcos. . . .
θ θ θ θ θ θθθ
θ θ→ → →
−− −
=−
= = =0 0 0 0 0 0 0
11 1
1e
-e
-e
-11
-R H R H
39. lim limx x
x
x
x
x→∞ →∞
++
= ++
9 11
9 11
Or lim lim ,x x
x
x
x
x→∞ →∞
++
= ++
=9 11
9 11 1
9
de sorte que lim lim lim .x x x
x
x
x
x
x
x→∞ →∞ →∞
++
= ++
= ++
= =9 11
9 11
9 11
9 3
41. limsectan
limcos
cossin
limsinx x x
x
x x
x
x x→( ) →( ) →( )− − −= ⋅ = = =
π π π2 2 2
1 1 11
1
Exercices 3.5 page 275
43. La solution b) est correcte. La solution a) est erronée, puisque la règle de L'Hospital
ne s'applique que si le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers 0 ou vers
±∞ lorsque x → 3, ce qui n'est pas le cas ici.
45. Si nous voulons que f x( ) soit continue en x = 0, il faudra que cx x
xx= −
→lim
sin.
0 3
9 3 35
Or, limsin
limcos
limsin
limcos
.. . . . . .
x
R H
x
R H
x
R H
x
x x
x
x
x
x
x
x→ → → →
− = − = = =0 3 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0
9 3 35
9 9 315
27 330
81 330
2710
Donc c = 27 10 est la valeur recherchée.
47. a) limk
ktr
k→∞+
1 est une forme indéterminée 1∞ .
Posons f kr
k
kt
( ) = +
1 . Alors ln ln ln
lnf k
r
kkt
r
k
tr
kk
kt
( ) = +
= +
=
+
1 11
1
et lim ln limln
lim lim .. .
k k
R H
k kf k
tr
kk
tr
k
r
kk
rtr
k
rtrt
→∞ →∞ →∞ →∞( ) =
+
=⋅ +
⋅
=+
= =1
1
1
1 1 10 0
1
2
2
- -
-
Par conséquent, lim lim limk
kt
k
kt
kA
r
kA
r
kA f k
→∞ →∞ →∞+
= +
= ( )0 0 01 1
= = =→∞
( ) ( )→∞A A A
k
f k f k rtk
0 0 0lim .ln lim lne e e
b) Selon la partie a), lorsque le nombre k de capitalisations dans une année tend vers
l'infini, le capital final après k capitalisations est le même que le capital final avec
capitalisation continue, de sorte que les montants des intérêts sont aussi égaux.
276 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
49. a) La calculatrice graphique
indique une limite voisine
de -0,225.
La limite est une forme
indéterminée 0 0 .
limln cosx
x
x x x x→
−( )− − ( )1
21π
= −( )⋅ + ⋅ − + ( )[ ]
= −+ ( )
=+ ( )[ ]
=−
≈
→ →
→
0 0 1 1
0 0 1 2
2 1
11
1
2 2
21
21
0 225
R H
x x
R H
x
x
x xx
x
x
x x
xx
. .
. .
limln sin
limln sin
limcos
,
π π π π
π π π π-
b) Le graphique de la fonction
yx
x x x x= −( )
− − ( )1 2
ln cos π
admet une asymptote verticale autour
de x = 2 552, .
1
y
x2
1
2
x− ( )( )xxxx
xy
cos ln
1
2
π−−
−=
x
y
( )( )xxxx
xy
cos ln
1
2
π−−
−=
Exercices 3.5 page 277
51. En général, les calculatrices n'ont pas un degré de précision suffisamment élevé pour donner
une approximation acceptable de f xx
x( ) = −1 6
12
cos pour des valeurs voisines de 0.
Par exemple, pour x x= ≈0 1 0 999 999 999 999 56, , cos , , de sorte que sur une calculatrice à 10
décimales de précision, nous aurons cos cos ,x x6 61 1 0= − = et de sorte qu'une calculatrice
graphique indiquera des valeurs de f x( ) égales à 0 pour -0 1 0 1, , .< <x Dans les faits,
limcos
limsin
limsin
limcos
limcos
.. . . .
x
R H
x x
R H
x x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x→ → → → →
− =( ) ⋅
= =( )
= =0
6
12 0 0 0
6 5
11 0
6
6 0 0 0
6 5
5 0
61 6
12 2
6
12 212
53. a) 11
0+ >x
lorsque 1x
> -1, soit x x> <0 ou -1. Le domaine de la fonction est
- ,-1∞] [ ∪ ∞] [0, .
b) Posons f xx
x
( ) = +
1
1. Alors ln ln lnf x
xx
x
x
( ) = +
= ⋅ +
1
11
1 et
lim ln lim ln lim lim lnx x x x
f x xx
xx→ → → →
( ) = ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅ ∞ ∞
-1 -1 -1 -1- - - --1 - =1
11
1
lim lim lim .lnlim ln
x
x
x x
f xf x
xf x x
→ → →
( ) ( ) ∞+
= ( ) = = = = ∞→
-1 -1 -1- - -
-1-e e e11
c) lim ln lim ln limln
x x xf x x
x
x
x→ ∞ → ∞ → ∞( ) = ⋅ +
=
+( )- - -
11 1 1
1
=+( ) ⋅
=+
=→ ∞ → ∞0 0
2
2
1 1 1 1
11 1
R H
x x
x x
xx
. .
lim lim-
-1
-
-
-1
Par conséquent, lim lim lim .ln lim ln
x
x
x x
f x f x
xf x x
→ ∞ → ∞ → ∞
( ) ( )+
= ( ) = = = =→ ∞
- - -e e e e-1
1 1
278 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
55. a)
b) lim limln ln
ln. .
k
k R H
k
kx
k
x x xx
→ →
− = = ⋅ =0 0 0 0
11
11
y
x10 20 30 40 50
5
7,5
2,5
10
-5
-2,5
-7,5
1 =k 5,0 =k
1,0 =k
5,0- =k1- =k
xy ln =
( ) ( )K
1
−=
kx
xf
graphes les ,1,0 et 05,0 pour ±±=k
( ) . ln de celui de nssont voisi de xyxfy ==
Exercices 3.6 page 279
Exercices 3.6 - Intégrales impropres
1. a) L'intégrale est impropre parce qu'une des bornes d'intégration est infinie.
b)dx
x
dx
xarc x arc b arc
b b
bb
b20
20
01 10
20
2+=
+= [ ] = −[ ] = − =
∞
→∞ →∞ →∞∫ ∫lim lim tan lim tan tan π π
= −[ ] = − =→∞
lim tan tanb
arc b arc 02
02
π π
L'intégrale impropre converge.
c) π 2 .
3. a) L'intégrale est impropre parce que l'intégrande présente une discontinuité infinie en
x = 0.
b)dx
x
dx
x
dx
x1 3
1
1 3 1 30
10
-8 -8∫ ∫∫= +
Or dx
x
dx
x
xb
b
b
b
1 3
0
0 1 3 0
2 332
-8 -8 -8- -∫ ∫= =
→ →
lim lim
= − ( )
= −
= ⋅ − =
→ →lim limb b
b b0
2 3 2 3
0
2 332
32
32
632
0 6- -
-8 -6.
D'autre part, dx
x
dx
x
xc c
c c1 3 0 1 3 0
1 2 3 1
0
1 32
= =
→ →∫∫ lim lim
+ +
= ( ) −
= −
= − ⋅ =→ →lim limc c
c c0
2 3 2 3
0
2 332
132
32
32
32
32
0+ +
3 2.
Finalement, dx
x1 3
1 92
-8
-6 +32
-∫ = = .
L'intégrale impropre converge.
c) -9 2 .
280 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
5. a) L'intégrale est impropre parce que l'intégrande présente une discontinuité infinie en
x = 0.
b) x dxx
dxx
b
x
bb
x
b b
b-2e e
-e -e e0
21
0
1
2
2
0
1 2
0
1 2 1ln ln
ln lnlim lim lim∫ ∫= = [ ] = +[ ] = ∞→ → →+ + +
L'intégrale impropre diverge.
c) L'intégrale impropre diverge.
7.dx
x
dx
xx
b
b
b
b
1 0011
1 0011 1
1, ,lim lim= =
→∞
∞
→∞∫ ∫ -0,001-0,001
= +
= + =→∞
lim , ,b b
-1000 10001
0 1000 10000 001 0 001
9.dr
rr dr r
b
b
b
b
44 2 4
40
4
04
1 2
0−= −( ) = −( )[ ]
→ →∫ ∫lim lim- -
-1 2 -
= − +[ ] = + =→limb
r4
4 2 4 0 4 4-
-2
11.dx
x
dx
xarc x
b
b
b
b
1 12 10
1
20
10−
=−
= [ ]→ →∫ ∫lim lim sin
- -
= −[ ] = − =→
lim sin sinb
arc b arc1
02
02-
π π
13.2
12
12 2
-
-2
-
-2dx
x
dx
xbb
−=
−∞→ ∞∫ ∫lim
Or 2
12
1 1 1 12x x x
A
x
B
x−=
−( ) +( )=
−+
+, d'où 2 1 1= +( ) + −( ) = +( ) + −( )A x B x A B x A B .
Nous avons A B A B A B B B A+ = = − = = = =0 2 2 2 1, , , . d' où - et d' où - -1 et
Exercices 3.6 page 281
Il s'ensuit que 2
11
11
12
-
-2
-
-2dx
x x xdx
bb
−=
−−
+
∞→ ∞∫ ∫lim
=−
−+
= − − +[ ]
= −
= − −
= − −
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
→ ∞
∫ ∫lim lim ln ln
lim ln lim ln ln
ln ln lim
bb b
b b
bb
b
b
xdx
xdx x x
x
x
b
b
b
-
-2 -2
-
-2
-
-2
-
-
+
+
11
11
1 1
11
311
31 111 1
3 1 3+
= − =b
ln ln ln .
15.θ
θ θθ θ
θ θθ+
+= +
+∫ ∫→ +
1
2
1
220
1
0 20
1
d dblim
Posons u = +θ θ2 2 . Alors du
dd du
θθ θ θ θ= + = +( ) +( ) =2 2 2 1 1
12
et . De plus, u = 3
lorsque θ θ= = =1 0 0 et lorsque u .
Ainsi, -θθ θ
θ++
= =
=
= −[ ] = − =
∫ ∫ ∫→
→ →
+
+ +
1
2
12
1 12
12 1 2
3 3 0 3
20
1
0
3
0
1 23
0
1 2 3
0
du
du u du
ub
bb
bb
b
lim
lim lim .
17.dx
x x
dx
x x
dx
x x
dx
x x
dx
x xb cb
c
1 1 1 1 10
4
0 40
4
4+( )
=+( )
++( )
=+( )
++( )∫∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞
→ →∞+lim lim
Posons u x= . Alors du
dx x
dx
xdu= =1
22 et .
Nous avons dx
x x
du
uarc u arc x
12
12 22+( )
=+
= =∫ ∫ tan tan . (La constante d'intégration est
inutile ici puisque nous avons des bornes d'intégration.)
Ainsi,
dx
x xarc x arc x
arc arc b arc b arc
arc arc
b b c b
b c
12 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0 22
2 2
00
4 4
0
+( )= [ ] + [ ]= −[ ] + −[ ]= − ⋅ + ⋅ − =
∞
→ →∞
→ →∞
∫ +
+
lim tan lim tan
lim tan tan lim tan tan
tan tan .π π
282 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
19.ds
s s
ds
s sarc s
b bb
b2 11
2
2 1
22
1 1−=
−= [ ]
→ →+ +∫ ∫lim lim sec
= −( ) = − =→ +lim sec sec .b
arc arc b1
23
03
π π
21.2 2
22
22
v vdv
v vdv
b
b
−=
−→∞
∞
∫ ∫ lim
Or 2 2
1 12 12v v v v
A
v
B
vA v B v A B v A
−=
−( )= +
−= −( ) + ( ) = +( ) −, . d' où
Nous avons - 2, d' où -2 et d' où A A A B B= = + = =0 2, .
2 2 2 21
2 2 1 21
21
22
22 22
22
v vdv
v vdv
vdv
vdv
v vv
v
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
−=
−= +
−
= + −[ ] = −
= − −
→∞
∞
→∞
→∞ →∞
→∞
∫ ∫ ∫∫ -
-
lim lim
lim ln ln lim ln
lim ln 22 1 2
21 1
12 2 2 1 2 2
0 2 2 2 2 2 42
ln
ln lim ln ln ln
ln ln ln ln
( )
= −
+ = +
= + =
→∞
ou encore ou
b
b
23.ds
s
ds
sarc
sb b
b b
4 4 22 20
2
2 20 0−
=−
=
→ →∫ ∫lim lim sin
- -
= −
= − =
→lim sin sinb
arcb
arc2 2
02
02-
π π
25.dv
v arc v
dv
v arc vb
b
1 1 1 120
20+( ) +( )
=+( ) +( )
∞
→∞∫ ∫ tanlim
tan
Posons u arc v= +1 tan . Alors du
dv v
dv
vdu=
+ +=1
1 12 2 et .
Nous avons dv
v arc v udu u arc v
1 1
112+( ) +( )
= = = +∫∫
tanln ln tan .
Exercices 3.6 page 283
Ainsi,
dv
v arc v
dv
v arc v
arc v
arc v arc
b
b
b
b
b
1 1 1 1
1
1 1 0
1 2 1 1 2
20
20
0
+( ) +( )=
+( ) +( )
= +[ ]= + − +[ ]= +( ) − = +( )
∞
→∞
→∞
→∞
∫ ∫tanlim
tan
lim ln tan
lim ln tan ln tan
ln ln ln .π π
27.dx
x
dx
x
dx
xb
b
cc -- +
-1 -1
= +→ →∫ ∫ ∫lim lim
0
4
0
4
= [ ] + [ ]= +[ ] + −[ ]= + + − =
→ →
→ →
lim lim
lim lim
b
b
c
b c
x x
b c
0 0
4
0 0
2 2
2 2 1 2 4 2
0 2 4 0 6
- +
- +
- -
- -
-1 c
29. θ θ θ θθ θe e-
-∞
→ ∞∫ ∫=0 0
d db
b
lim
Posons u dv d= =θ θθ et e .
Alors du d v= =θ θ et e , de sorte que θ θ θ θ θθ θ θ θ θe e e e ed d= − = −∫ ∫ et
θ θ θ θθ θe e-
-∞
→ ∞∫ ∫=0 0
d db
b
lim
= −[ ] = − − −( )[ ]= − −( ) = − −
= − = − =
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
∞ ∞ → ∞
lim lim
lim lim
lim. .
b b b
b b
b
b
b b
R H
b b
b
bb
- -
- - -
- -
e e e e
-1 e -1e
-1-e
-1 -1.
θ θ θ 00 1
11
10
284 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
31. e e e -
-
-
-
- x x xdx dx dx∞
∞
∞
∞
∫ ∫ ∫= +0
0
= −
∞∫20
e
-
x dx (puisque e- x est une fonction paire ; voir page 64, exercice 85)
= =
= [ ] = −[ ] = −( ) =
→ ∞
−
→ ∞
→ ∞ → ∞
∫ ∫2 2
2 2 2 1 0 2
0 0
0 0
lim lim
lim lim
b
x
bb
x
b
b
x
b b
b
dx dx-
-
- -
e e
e e e
33. x x dx x x dxb
b
ln lim ln 0
1
0
1
∫ ∫=→ +
Posons u x dv x dx= =ln . et Alors dux
dx vx= =12
2
et , de sorte que
x x dxx
xx
dxx
xx
ln ln ln = − = −∫ ∫2 2 2
2 2 2 4 et
x x dx x x dx
xx
x bb
b
bb
b
b
bb
bb
b
b b
ln lim ln
lim ln lim ln ln
lim ln limln
-14
-14
0
1
0
1
0
2 2 1
0
2 2
0
2
0 2
2 412
114 2 4
2 2
∫ ∫=
= −
= − − −
= − = −
→
→ →
→ →
+
+ +
+ +
== − = − − = =∞ ∞ → →+ +
R H
b b
b
b
b. .
lim lim-14 -4
-14
-14
+ 0 - .0 3 0
214
14
35. tan limsincos
lim ln cosθ θ θθ
θπ
π
π - d
b
b
b
b= = [ ]→ →
∫ ∫20
2
0 2
0
= −[ ] = ∞→
lim ln cos ln cosb
bπ2
0-
L'intégrale impropre diverge.
Exercices 3.6 page 285
Note : Même si les tests de comparaison entre intégrales des pages 236 et 237 sont énoncés pourdes intégrales impropres du premier type, il en existe de semblables pour les intégralesimpropres du deuxième type. Nous y faisons appel dans certains des exercices quisuivent.
37. Posons x = −π θ. Alors dx d x= =- θ π, lorsque θ = =0 0 et x lorsque θ π= .
De plus sin sin sin ,θ π θ= −( ) = x de sorte que sin sin sin
.θ θ
π θ
π
π
π -
d x
xdx
x
xdx
−= =∫ ∫ ∫
0
0
0
Comme 0 1≤ ≤sin x pour tout 0 ≤ ≤x π , nous avons 01≤ ≤sin
.x
x x
Or 1 1
2 2 2 20
0 0 0xdx
xdx x b
bb
b b b
π ππ
π π∫ ∫= = [ ] = −[ ] =→ → →+ + +
lim lim lim , de sorte que cette
intégrale impropre converge.
Il s'ensuit que sin x
xdx
0
π
∫ converge par le test de comparaison directe entre intégrales.
39. x dxx
dxx
dxxx
b
x
b
-2 -- -
e e
e
11
20
2
00
2 1
2
2
= =∫∫ ∫→ +
lnln ln
lim
= [ ] = −( ) = − =→ →+ +lim lim
ln ln ln ln
b
x
b b
b
0
1 2
0
1 2 1 2 20e e e e e- - - -1 -1
L'intégrale impropre converge.
41. Pour 0 0< ≤ ≥t tπ , sin , de sorte que t t t+ ≥sin et, puisque chaque membre de l'inégalité
est positif01≤
+≤
t t tsin.
1
De plus, dt
t0
π
∫ converge (voir l'exercice 37).
Il s'ensuit que dt
t t+∫ sin0
π
converge par le test de comparaison directe entre intégrales.
286 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
43.dx
x
dx
x
dx
x1 1 12 2 21
2
0
1
0
2
−=
−+
−∫∫∫
Or 1
11
1 1 1 12−=
−( ) +( )=
−+
+x x x
A
x
B
x,
de sorte que 1 1 1= +( ) + −( ) = −( ) + +( )A x B x A B x A B .
Nous avons A B A B A B B B B A− = = + = + = = =0 1 1 1 2 1 2, d' où et d' où et , , , .
Ainsi,
-
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x x
x
x
b b
b bb
b
b
b
1 112 1
12 1
12
112
1
12
11
2 10
1
2 10 00
1 0
10
−=
−=
−+
+
= − + +
= +−
→ →
→
→
− −
−
−
∫ ∫ ∫∫lim lim
lim ln ln
lim lnbb
b
b
b = +
−−
= ∞→ −
12
11
11
lim ln ln .
L'intégrale dx
x1 20
1
−∫ diverge donc, d'où dx
x
dx
x
dx
x1 1 120
2
20
1
21
2
−=
−+
−∫ ∫ ∫ diverge aussi (voir la page
233).
45. ln ln ln -1 -1 0
x dx x dx x dx1 0 1
∫ ∫ ∫= +
=
=
∫
∫ ∫→ +
2
2 2
0
1
0
1
0
1
ln (puisque est une fonction paire)
=
x dx x
x dx x dxb
b
ln
ln lim ln .
Posons u x dv dx= =ln . et Alors dux
dx v x= =1 et , d'où
ln lim ln
lim ln
lim ln ln
lim ln .
-1
-1
x dx x x dx
x x x
b b b
b b
bb
b
bb
b
b
= [ ] −
= −[ ]
= − − −( )[ ]
= −[ ]
∫ ∫→
→
→
→
+
+
+
+
1
0
11
0
1
0
0
2
2
2 1 1 1
2
Exercices 3.6 page 287
Or lim ln limln
lim lim .. .
b b
R H
b bb b
b
b
b
bb
→ → ∞ ∞ → →+ + + += = = − =
0 0 0 2 0111
0-
Nous avons donc ln . - -2-1
x dx = −[ ] =∫ 2 1 01
L'intégrale impropre converge.
47. x x x x3 3 30 1 1> ≤ < ∞ + ≥ pour et , de sorte que 01
11
3 3≤+
≤x x
. Or dx
x31
∞
∫ converge (voir
l'exemple 4, page 231). Par conséquent dx
x31
1+
∞
∫ converge aussi selon le test de comparaison
directe entre intégrales (voir la page 236).
49.dv
v
dv
vv v
b
b
b
b
b2 2
22 2 2 2
∞
→∞ →∞ →∞∫ ∫= = [ ] = −[ ] = ∞lim lim lim
Donc cette intégrale impropre diverge.
De plus, lim lim lim lim ,v v v v
v
v
v
v
v
v v v→∞ →∞ →∞ →∞
− =−
=−
=−
=
11
1 1 1 11
1 11 de sorte que
11
2v
dv−
∞
∫ diverge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite (voir la
page 237).
51.dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x60
6 6 6 310
1
10
1
1 1 1 1+=
++
+<
++
∞ ∞∞
∫ ∫∫∫∫ puisque x x x6 6 31+ > = , de sorte que
1
1
16 3
x x+< .
Or dx
x60
1
10
+≥∫ , puisque la fonction
1
10
6x +≥ [ ] sur 0,1 (voir l'exercice 28, page 26).
288 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
De plus, 1
11
6x +≤ [ ] sur l' intervalle 0,1 , d'où
dx
x60
1
11 1 0 1
+≤ ⋅ −( ) =∫ selon l'inégalité max-
min pour les intégrales définies (voir la page 23). Donc, dx
x60
1
1+∫ est comprise entre 0 et 1.
Finalement, 1 1
3 1123
1x
dx∞
∫ =−
= (voir l'exercice 4 page 231) de sorte que
01
112
326
0
<+
< + =∞
∫ dx
x et qu'elle converge.
53.x
xdx
xdx2
13 2
1
1 132
12
∞ ∞
∫ ∫= =−
= (voir l'exercice 4 p. 231)
Donc cette intégrale impropre converge.
De plus, lim lim lim lim ,x x x x
x
xx
x
x
x
x
xx x
→∞ →∞ →∞ →∞+=
+=
+=
+=
2
2
1 11
11
11
1 de sorte que
x
xdx
+∞
∫ 12
1
converge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite (voir la
page 237).
55. cos coscos
.x xx
x xx≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥-1, d' où et pour 2 1
2 10 π
Or dx
x
dx
xx b
b
b
b
b
b= = [ ] = −[ ] = ∞
→∞
∞
→∞ →∞∫ ∫lim lim ln lim ln ln ,π π
π π d'où cette intégrale impropre diverge.
Il en résulte que 2 +∞
∫ cos x
xdx
π
diverge aussi selon le test de comparaison directe entre intégrales
(voir la page 236).
Exercices 3.6 page 289
57. 1 0+ ≥ ≥e e et eθ θ θ pour tout θ θ θ, . d' où e e
01
11≤
+≤
Or d
db
b
b
b
b
bθ θθθ θ
ee -e -e e- - -= = [ ] = +[ ] = + =
→∞
∞
→∞ →∞∫ ∫lim lim lim0 0
0
0 0 1 1, de sorte que cette intégrale
impropre converge.
Il s'ensuit que 1
10
+
∞
∫ e θ θd converge aussi selon le test de comparaison directe entre intégrales
(voir la page 236).
59. e pour x x≥ >1 1, de sorte que 01≤ ≤x x
xe.
Or dx
x1
∞
∫ diverge (voir l'exemple 4 pages 231 et 232), de sorte que e
x
xdx
1
∞
∫ diverge aussi selon le
test de comparaison directe entre intégrales (voir la page 236).
61.dx
dxx b
xb
b
x b
b
b
ee -2e -2e e e
e- - - -1 2 -1 2
1
2
1
2
1
2 2 0 22∞
→∞ →∞ →∞∫ ∫= = [ ] = +[ ] = + =lim lim lim , d'où cette intégrale
impropre converge.
De plus, lim lim lim lim ,x
x
x
x
x
x x
x
xx
x
x
xx x x→∞ →∞ →∞ →∞
− =−
=−
=−
=−
=
1
11
1
1
11 0
1e
e
e
e
e
ee e
puisque lim lim .. .
x x
R H
x x
x
e e→∞ ∞ ∞ →∞= =1
0
Il s'ensuit que dx
xxe −
∞
∫1
converge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par
une limite (voir la page 237).
290 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
63.dx
x
dx
x4 401
21+
=+∞
∞ ∞
∫ ∫-
(puisque 1
14x + est une fonction paire).
Par ailleurs, dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x40
4 4 4 210
1
10
1
1 1 1 1+=
++
+<
++
∞ ∞∞
∫ ∫∫∫∫ , puisque x x x4 4 21+ > = ,
de sorte que 1
1
14 2
x x+< .
Or dx
x40
1
10
+≥∫ , puisque la fonction
1
10 0 1
4x +≥ [ ] sur , (voir l'exercice 28, page 26).
De plus, 1
11 0 1
4x +≤ [ ] sur l' intervalle , d'où
dx
x40
1
11 1 0 1
+≤ ⋅ −( ) =∫ selon l'inégalité max-
min pour les intégrales définies (voir la page 23).
Donc, dx
x40
1
1+∫ est comprise entre 0 et 1.
Finalement, 1 1
2 112
1x
dx∞
∫ =−
= (voir l'exercice 4, page 231), de sorte que
01
1 1 24
0
<+
< + =∞
∫ dx
x et que 0
12 2 4
4<
+< × =
∞
∞
∫ dx
x-
, et que cette intégrale impropre
converge.
65. a) Posons t x= ln . Alors dt
dx x= 1
, de sorte que 1x
dx dt= . De plus, t = 0 lorsque
x t= =1 2 et ln lorsque x = 2.
Ainsi, -dx
x x tdt t dtp p b
p
bln
limln ln
( )= =∫ ∫ ∫→ +
1
2
0
2
0
21
=+
= ( )
−−
−
→
+
→
− −
+ +lim lim
lnln
b
p
bb
p pt
p p
b
p0
1 2
0
1 1
12
1 1
-
- pour p ≠ 1.
Or lim lim .b
p
b
pb
pp
b
pp
→
−
→
−
+ +−= <
−= ∞ >
0
1
0
1
10 1
11 pour et - pour
Exercices 3.6 page 291
Finalement, pour pt
dt t bb b
= = [ ] = ( ) −[ ] = ∞∫ → →+ +1
12
0
2
00
2
0, lim ln lim ln ln ln
lnln - , d'où
l'intégrale diverge.
Par conséquent, dx
x x pln( )∫1
2
converge pour p < 1 et diverge pour p ≥ 1.
b) Comme en a), nous posons t x= ln .
dx
x x tdt t dtp p b
pb
lnlim
ln ln( )= =
∞ ∞
→∞∫ ∫ ∫2 2 2
1 -
=+
=
−− ( )
−
→∞
+
→∞
− −
lim limln
lnb
p b
b
p pt
p
b
p p
-
-
1
2
1 1
1 12
1 pour p ≠ 1.
Or lim lim .b
p
b
pb
pp
b
pp
→∞
−
→∞
−
−= ∞ <
−= >
1 1
11
10 1 pour et pour
Finalement, pour pt
dt t bb
b
b= = [ ] = −[ ] = ∞
∞
→∞ →∞∫11
22
2, lim ln lim ln ln ,ln
ln , d'où
l'intégrale diverge.
Par conséquent, dx
x x pln( )
∞
∫2
converge pour p > 1 et diverge pour p ≤ 1.
67. A dx dxx
b
xb
b
x b
b
b= = = [ ] = +[ ] = + =∞
→∞ →∞
−
→∞∫ ∫e e -e -e e- - -
0 00
0 0 1 1lim lim lim
69. V R x dx dxb
xb
= ( )[ ] = ( )∞
→∞∫ ∫π π2
0
2
0
e -lim
= =
→∞ →∞∫π πlim lim
b
xb
b
xb
dxe -12
e- -2
0
2
0
= +
= +
=
→∞
−π π πlimb
b-12
e e2 012
012 2
292 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
71.1
21
23 3 3
x xdx
dx
x
dx
x−−
≠
−−
∞ ∞ ∞
∫ ∫ ∫ . En effet, l'intégrale à la gauche du signe ≠ converge, alors
que chacune des intégrales à droite diverge.
73. a) e e -13
e -13
e e e e- - - - -9 - -93
3
3
3
3
3
3 913
013
13
x
b
xb
b
xb
b
bdx dx∞
→∞ →∞ →∞∫ ∫= =
= +
= + =lim lim lim
≈ <0 0000411 0 000042, , .
Si x > 3, alors x x x x x x2 2 33 32
> − < ≤, , - et e e- - de sorte que
e e - -3x xdx dx2
33
0 000042< <∞∞
∫∫ , .
Comme e e e - - -x x xdx dx dx2 2 2
0
3
0 3
= +∫∫ ∫∞ ∞
, l'intégrale e -x dx2
0
∞
∫ peut être remplacée par
e -x dx2
0
3
∫ sans que l'erreur introduite soit plus grande que 0,000042.
b) e -x dx2
0
3
0 88621∫ ≈ , .
Exercices réalisés avec Mathématica
75. Fonction erreur
a) Cette fonction est déjà offerte dans Mathématica sous le nom Erf x[ ].
F x_ : = 2e
dt
Tracer F x x, 0, 25 Image 0, 1.25
-t
0
x2
[ ]
[ ] { } → { }[ ]∫ π, ,
b)2e
dt-t
0
2
π∞
∫Erf 0
Erf
F xx
[ ]∞[ ]
[ ]→∞
lim
Exercices 3.6 page 293
Explorer les intégrales de x pLog x[ ]
77. Table x Log x dx, p, - 3, 3p
0
e
[ ] { }[ ]∫
x Log x dx
Tracer Table x Log x p, - 3, 3 x, 0, e Image -2, 2
Style rouge, vert, bleu, jaune, noir, cyan, rouge
p
0
e
p
∫ [ ]
[ ] { }[ ] { }[ → { }
→ { }], , , ,
79. Table x Log x dx, p, - 3, 3p
0[ ] { }[ ]∞
∫
x Log x dx
Tracer Table x Log x p, - 2, 2 x, 0, 5
Image -5, 5 Style rouge, vert, bleu, jaune, noir
p
0
p
∞
∫ [ ]
[ ] { }[ ] { }[→ { } → { }]
, , ,
,
Exercices réalisés avec Maple 6
75. a)
b)
= lim → x ∞
d⌠
⌡
0
x
2e
( )−t2
πt 1
294 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
c)
77. Commandes Maple
seq(["p "=p/2,Int(x^(p/2)*ln(x),x=0..exp(1))=int(x^(p/2)*ln(x),x=0..exp(1))],p=1..4);
seq(["p"=-p/2,Int(x^(-p/2)*ln(x),x=0..exp(1))=int(x^(- p/2)*ln(x),x=0..exp(1))],p=1..4);
,= "p "
12
=d⌠⌡ 0
e
x ( )ln x x29
e( )/3 2
,="p " 1 = d⌠⌡ 0
e
x ( )ln x x14
e2, ,
, = "p "
32 =d⌠
⌡
0
e
x( )/3 2
( )ln x x6
25e
( )/5 2
, = "p " 2 =d⌠⌡
0
e
x2 ( )ln x x29
e3,
, = "p"
-12 = d
⌠
⌡
0
e
( )ln x
xx −2 e
( )/1 2
, ="p" -1 =d⌠
⌡
0
e
( )ln xx
x −∞, ,
, ="p"-32 = d
⌠
⌡
0
e
( )ln x
x( )/3 2 x −∞
,= "p" -2 =d⌠
⌡
0
e
( )ln x
x2 x −∞,
L’intégrale x x dxp ln e
0∫ converge pour des valeurs de p ∈ ∞] [-1,
Exercices 3.6 page 295
79.
, ="p"
32 = d⌠
⌡
0
∞
x( )/3 2
( )ln x x ∞
, ="p" 2 = d⌠⌡
0
∞
x2 ( )ln x x ∞,
, = "p"
-12 = d
⌠
⌡
0
∞
( )ln x
xx ∞
,= "p" -1 = d⌠
⌡
0
∞
( )ln xx
x undefined, ,
, ="p"-32 = d
⌠
⌡
0
∞
( )ln x
x( )/3 2 x −∞
, ="p" -2 = d⌠
⌡
0
∞
( )ln x
x2 x −∞,
L’intégrale x xdxp ln0
∞
∫ ne converge pas.
, ="p"12 =d⌠
⌡ 0
∞
x ( )ln x x ∞
,="p" 1 =d⌠⌡ 0
∞
x ( )ln x x ∞, ,
296 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Chapitre 3 - Exercices récapitulatifs
1. Posons u x= −4 92 . Alors du x dx x dx du= =818
et .
x x dx u duu
C x C4 918
18 3 2
112
4 92 1 23 2
2 3 2− = = + = −( ) +∫ ∫
3. Posons u x= +8 12 . Alors du x dx x dx du= =161
16 et .
x dx
xu du
uC x C
-
8 1
116
116 1 2
18
8 12
1 21 2
2
+= = ⋅ + = + +∫ ∫
5. Posons u t= −9 4 4. Alors du t dt t dt du= =- et - 161
163 3 .
t dt
tu du
uC t C
3-
- - -9 4
116
116 1 2
18
9 44
1 21 2
4
−= = + = − +∫ ∫
7. Posons u = −1 2cos .θ Alors du d d du= ( ) ⋅ =sin sin .2 212
θ θ θ θ2 et
sincos cos2
1 212
12 1
12 1 22
2θ θθ θ
---
-1du du
uC C
−( )= = + =
−( )+∫ ∫
9. Posons u x= cos .2 Alors du x dx x dx du= ( ) ⋅ =- 2 et - sin sin .2 212
sin cos cos212
12
12
2 2x dx du C Cx u u x e - e - e - e= = + = +∫ ∫
11. Posons u x= − 1. Alors du dx= .
2 22
22
21
1x u
u x
dx du C C−−
= = + = +∫ ∫ ln ln
.
Exercices récapitulatifs page 297
13. Posons u arc x= +2 tan . Alors dux
dx=+
112 .
dx
x arc x udu u C arc x C2 1 2
12
+( ) +( )= = + = + +∫ ∫
tan
ln ln tan
15.dt
t
dt
t
dt
t16 9 16 1
916
14
134
22
2−=
−
=−
∫ ∫ ∫
Posons u t= 34
. Alors du dt du dt= =34
13
14
et
dt
t udu arc u C arc t C
16 9
13
1
1
13
13
342 2−
=−
= + =
+∫∫ sin sin
17.4
5 25 16
4
5 251625
425 4
5
22 2
2
dx
x x
dx
x x
dx
x x−
=−
=−
∫ ∫ ∫
= ⋅ + = +425
54 4 5
15
54
arcx
C arcx
Csec sec
19. y y y y y2 2 24 8 4 4 4 2 4− + = − + + = −( ) +
Posons u y= − 2. Alors du dy= .
dy
y y
dy
y
du
uarc
uC arc
yC2 2 2 24 8 2 4 2
12 2
12
22− +
=−( ) +
=+
=
+ = −
+∫ ∫ ∫ tan tan
21. coscos sin sin2 3
1 62
12
66 2
612
x dxx
dx xx
Cx x
C = + = +
+ = + +∫ ∫
298 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
23. tan tan tan tan sec tan sec tan3 2 2 22 2 2 2 2 1 2 2 2t dt t t dt t t dt t t dt t dt = = −( ) = − ∫∫∫∫∫Posons u t= 2 . Alors du dt dt du= =2
12
et .
tan tan sec tantan
ln sec
tan ln sec
3 22
2
212
12
12 2
12
14
212
2
t dt u u du u duu
u C
t t C
= − = ⋅ − ( ) +
= − +
∫∫∫
25.2 2
22
cos
2
dx
x x
dx
x−=∫ ∫sin cos
Posons u x= 2 . Alors du dx= 2 .
22 22
cos
2
dx
x x
du
uu du u u C x x C
−= = = + + = + +∫ ∫ ∫sin cos
sec ln sec tan ln sec tan
27. cot csc csc2
4
3 4
4
3 4
4
3 4
1t dt t dt t dt+ = =∫ ∫ ∫π
π
π
π
π
π
= +[ ]
= + + +
= − + +[ = +−
= +−
⋅ ++
= +−
= +(
-
-
- 2 1 2
ln csc cot
ln csc cot ln csc cot
ln ln ln
ln ln ln
t t π
π
π π π π4
3 4
34
34 4 4
12 12 1
2 12 1
2 12 1
3 2 22 1
3 2 2 ))
29. 1 2 1 1 22 2 2 2 2 2 2− = − −( ) = − + = + =cos cos sin cos sin sin sin sint t t t t t t t
1 2 2 2 2 22
22
2
2
2
2
0
2
− = = =∫ ∫ ∫ ∫cos sin sin sint dt t dt t dt t dt- - -
π
π
π
π
π
π π
Exercices récapitulatifs page 299
(puisque sin t est une fonction paire de t, voir les exercices 1.5, numéro 85, page 64)
= = [ ]
= +( ) = +( ) =
∫2 2 2 2
2 2 2 0 2 2 0 1 2 2
0
2
02sin cos
cos cos .
t dt t -
-
ππ
π
31.x
xdx
xdx x
xdx
2
2 2 2 241
44
41
2+= −
+
= −
+∫∫ ∫
= −
+ = −
+x arc
xC x arc
xC
42 2
22
tan tan
33.2 1
42
41
22 2 2 2
y
ydy
y
ydy
ydy
−+
=+
−+∫ ∫ ∫
Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, nous posons u y= +2 4,
de sorte que du y dy= 2 .
Ainsi,
2 14
1 12 2
12 2
412 2
2
2
y
ydy
udu arc
yC
u arcy
C
y arcy
C
−+
= −
+
= −
+
= +( ) −
+
∫ ∫ tan
ln tan
ln tan .
35.t
tdt
t
tdt
tdt
+−
=−
+−∫ ∫ ∫2
4 4
2
42 2 2
= −( ) ⋅ +−
=−( )
+
+
= − +
+
∫ ∫14 2 2
1
4
1 4
1 22
2
4 22
2
2
2 1 2
2
-2-
-2
-
-1 2t t dt
tdt
tarc
tC
t arct
C
sin
sin
300 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
37.tan
tan sectan
tan sectan sectan sec
x dx
x x
x
x x
x x
x xdx
+=
+⋅ −
−∫ ∫
= −−
= − −
= + +
= + + +
∫ ∫∫∫ ∫
tan sec tantan sec
sec sec tan
sec sec tan
tan sec
2
2 2
2
2
1
1
x x x
x xdx
x x xdx
x dx dx x x dx
x x x C
-1
-
-
39. cot cot ln sinx
dxx
dxx
C4
44
44
=
⋅ =
+∫ ∫
14
41. Posons Z dZ d= =4 4 2tan , sec ,θ θ θ pour -π θ π2 2
< < .
16 16 16 16 12 2 2+( ) = +( ) = +( )[ ]Z-3 2 -3 2 -3 2
tan tanθ θ
=( )
=( )
=164
1 164
1 1642 3 3
sec sec sec,
θ θ θ3 2
puisque secθ > 0 pour -π θ π2 2
< < .
Il s'ensuit que 16464
116
22
3+( ) = =∫ ∫ ∫Z dZd
d-3 2
sec
seccos
θ θθ
θ θ
= + =+
+116 16 16 2
sin .θ CZ
ZC
43. Posons x dx d= =sin , cos ,θ θ θ pour -π θ π2 2
≤ ≤ .
x x2 2 2 21 1− = −sin sinθ θ
= =sin cos sin cos ,2 2θ θ θ θ puisque cosθ > 0 pour -π θ π2 2
≤ ≤ .
Il s'ensuit que dx
x x
dd
2 2 22
1 −= =∫∫ ∫cos
sin coscsc
θ θθ θ
θ θ
= + = − +- -cot .θ Cx
xC
1 2
z
4
2 16 z+
θ
x1
2 1 x−
θ
Exercices récapitulatifs page 301
45. Posons x dx d= =3 3sec , sec tan ,θ θ θ θ pour 02
< <θ π.
x2 2 29 9 9 9 1 3 3− = − = −( ) = =sec sec tan tan ,θ θ θ θ
puisque tanθ > 0 pour 02
< <θ π.
Il s'ensuit que dx
x
d2 9
33−
= ∫∫ sec tantan
θ θ θθ
= = + + = + − +
= + − − + = + − +
∫ sec ln sec tan ln
ln ln ln ,
θ θ θ θ
d Cx x
C
x x C x x C
1
2
1
21
2
39
3
9 3 9
où C C= −1 3ln .
Note : La restriction 02
< <θ π ne modifie en rien la réponse. Vous pourrez vérifier, si vous en
avez la curiosité, que pour -
-π θ θ2
0 9 32< < − =, tanx et dx
xx x C
2
2
99
−= − − +∫ - ln .
Mais l'application de quelques lois algébriques vous convaincra sans peine que cette
réponse équivaut à la précédente.
47. Soit u x dv dx= +( ) =ln .1 et
Alors dux
dx v x=+
=11
et et ,
ln ln
ln ln ln
x dx x xx
xdx
x xx
dx x x x x C
+( ) = ( ) −+
= +( ) − −+
= +( ) − + +( ) +
∫ ∫
∫
1 11
1 11
11 1
+
que nous pouvons aussi transformer en
x x x C x x x C x x x C
C C
+( ) +( ) − + = +( ) +( ) − − + + = +( ) +( ) − +( ) += +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
11
1
ln ln ln ,
.
où
x
3
9 2 −x
302 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
49. Posons u arc x dv dx= = et tan .3
Alors dux
dxx
dx v x=+ ( )
⋅ =+
=11 3
33
1 92 2 et .
arc x dx x arc xx
xdx tan tan3 3
31 9 2= −
+∫∫
Posons maintenant y x= +1 9 2. Alors dy
dxx x dx dy= =18 3
16
et .
arc x dx x arc xy
dy
x arc x y C x arc x x C
tan tan
tan ln tan ln .
3 316
1
316
316
1 9 2
= −
= − + = − +( ) +
∫∫
51. Procédons par intégration tabulaire.
x
x
x dx x x C
x x C
x
x
x
x
x x x x
x
+( )
+( )+( )
−( )
+( )
+( ) = +( ) − +( ) + +
= +( ) − +( ) +[ ] +
∫1
2 1
2
0
1 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2
2
e
e
e
e
e e e e
e
53. Soit u x dv dxx= =cos .2 et e
Alors du x dx v x dx x x dxx x x x= = = + ∫∫- et e et e e e 2 2 2 2 2 2sin , cos cos sin .
Soit u x dv dxx= =sin .2 et e
Alors du x dx v x dx x x x dxx x x x x= = = + −[ ]∫∫2 2 2 2 2 2 2 2cos , cos cos sin cos , et e et e e e e
d'où 5 2 2 2 2 25
2 2 2e e e et e ex x x x
x
x dx x x x dx x x Ccos cos sin cos cos sin .= + = +[ ] +∫ ∫
55. a) Posons u y= −16 2. Alors du y dy= - 2 , d'où y dy du -= 12
.
y dy
yu du
uC y C
- - --1 2
16
12
12 1 2
162
1 22
−= = + = − +∫∫
Exercices récapitulatifs page 303
b) Posons y dy d= =4 4sin , cosθ θ θ pour -π θ π2 2
≤ ≤ .
16 16 16
16 1 4 4 4
2 2
2 2
− = −
= −( ) = = =
y sin
sin cos cos cos ,
θ
θ θ θ θ
puisque cosθ > 0 pour -π θ π2 2
≤ ≤ .
Il s' ensuit que
-4
-
-
y dy
y
dd C
yC
y C
16
4 44
4
416
4
16
2
2
2
−= ⋅ = = +
=−
+
= − +
∫∫ ∫sin coscos
sin cos
.
θ θ θθ
θ θ θ
57. a) Posons u x= −4 2. Alors du x dx= - 2 et x dx du -= 12
.
x dx
x udu u C x C
- - -
12
4
12
1 12
422
−= = + = − +∫∫ ln ln
b) Posons x dx d= =2 2sin , cosθ θ θ pour -π θ π2 2
≤ ≤ .
4 4 4 4 1 42 2 2 2− = − = −( ) =x sin sin cos .θ θ θ
Il s' ensuit que
cos -
-
-
-
x dx
x
dd C
xC
x C
x C
42 2
4
42
4 2
4
2 2 1
2
1
21
2 1 2
−= ⋅ = = +
= − +
= − + +
= −( ) +
∫∫ ∫sin coscos
sinln cos
ln
ln ln
ln ,
θ θ θθ
θθ
θ θ
où - C C x C= + = − +122
12
4ln ln .
y4
2 16 y−
θ
x2
2 4 x−
θ
304 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
59. Posons u x= −9 2. Alors du x dx= - 2 et x dx du -= 12
.
x dx
x udu u C x C
-
1 - -
12
9
12
12
922
−= = + = − +∫∫ ln ln ,
ou encore - ln ln .91
92 1 2
2−( ) + =
−
+x Cx
C
61.1
91
3 3 3 32−=
−( ) +( )=
−+
+x x x
A
x
B
x, d'où 1 3 3 3 3= +( ) + −( ) = −( ) + +( )A x B x A B x A B
Nous avons donc A B A B A B− = = + =0 3 3 1, , , d' où et c'est-à-dire
3 3 116
16
A A A B+ = = = et d' où , .
Par conséquent, -
dx
x xdx
xdx x x C
x
xC
916
13
16
13
16
3 3
16
33
2−=
−+
+= − + +[ ] +
= +−
+
∫∫∫ ln ln
ln
ou encore 16
33
ln . x
xC
+−
+
63.x
x x
x
x x
A
x
B
x2 3 2 2 1 2 1− +=
−( ) −( )=
−+
−, d'où x A x B x A B x A B= −( ) + −( ) = +( ) + −( )1 2 2- .
Nous avons donc - d' où -2 et A B A B A B− = = + =2 0 1, , , d'où - -1 et 2 1 2B B B A+ = = =, .
Par conséquent, x dx
x x xdx
xdx x x C
2 3 2
21
21
12 2 1
− +=
−−
−= − − − +∫∫∫ ln ln .
65. Posons u = cos .θ Alors du dd du
u u=
+ −=
+ −∫ ∫- et
-sinsin
cos cos.θ θ θ θ
θ θ2 22 2
Or 1
21
2 1 2 12u u u u
A
u
B
u+ −=
+( ) −( )=
++
−, d'où 1 1 2 2= −( ) + +( ) = +( ) + +( )A u B u A B u A B- .
Nous avons donc A B A B A B+ = = + =0 2 1, , , d' où - et - c'est-à-dire
B B B A+ = = =2 1 1 3 ou et -1 3, .
Exercices récapitulatifs page 305
Ainsi,
-
- -
sincos cos
ln ln
ln cos ln cos
lncoscos
,
θ θθ θ
θ θ
θθ
d du
u u
udu
udu
u u C
C
C
2 22 213
12
13
11
13
2 1
13
2 1
13
21
+ −=
+ −
=+
+−
= + − −[ ] +
= + − −[ ] +
= +−
+
∫ ∫
∫ ∫
ou encore - 13
12
lncoscos
.θθ
−+
+ C
67.v
v vdv
v
v vdv
v
v v vdv
+−
= +−( ) = +
+( ) −( )∫ ∫ ∫32 8
12
3
4
12
32 23 2
Or v
v v v
A
v
B
v
C
v
++( ) −( )
= ++
+−
32 2 2 2
,
d'où v A v B v v C v v A B C v B C v A+ = −( ) + −( ) + +( ) = + +( ) + +( ) −3 4 2 2 2 42 2 2 2 - .
Nous avons donc − = = + + =4 3 3 4 0A A A B C, , , d' où -
d' où - et 2 - + d' où -B C A B C B C+ = = ( ) = + =3 4 1 1 2, , .
En additionnant les deux équations en B et en C, nous obtenons 2 5 4C = , d'où
C B C= = − =5 8 1 2 1 8 et .
Il en résulte que -
-
-
v
v vdv
vdv
vdv
vdv
v v v C
v v v C
v
+−
= ++
+−
= + + + −[ ] +
= + + + −( )[ ] +
= +
∫ ∫∫∫32 8
12
34
1 18
12
58
12
116
6 2 5 2
116
2 2
116
3
6 5
ln ln ln
ln ln ln
ln22 2 5
6
( ) −( ) +v
vC .
306 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
69.x x
x xx
x
x xx
x
x xx
A
x
B
x
3 2
2 222
222 1 2 1
++ −
= ++ −
= ++( ) −( )
= ++
+−
, d'où
2 1 2 2x A x B x A B x A B= −( ) + +( ) = +( ) + +( )- .
Nous avons donc - d' où et A B A B A B+ = = + =2 0 2 2, , , c'est-à-dire
2 2 2 3 4 3B B B A+ = = = et d' où , .
Par conséquent,
x x
x xdx x
x xdx
xx x C
3 2
2
2
24
3 22
3 1
243
223
1
++ −
= ++( )
+−( )
= + + + − +
∫∫
ln ln .
71.2 21 24
2 82 3
2 82 3
4 2
3 2
2 2
x x x
x xx
x
x xx
x
x x
+ − ++ −
= −( ) ++ −
= −( ) ++( ) −( )
= −( ) ++
+−
2 34 2
xA
x
B
x,
d'où x A x B x A B x A B= −( ) + +( ) = +( ) + +( )2 4 2 4- .
Nous avons donc - d' où et 2 4 0 2 1A B A B A B+ = = + =, , ,
c'est-à-dire 2 1 1 3 2 3B B B A+ = = = ou d' où , .
Par conséquent,
2 21 242 8
2 32
3 41
3 2
323
413
2
3 2
2
2
x x x
x xdx x
x xdx
x x x x C
+ − ++ −
= −( ) ++( )
+−( )
= − + + + − +
∫∫
ln ln .
73. Posons u s= e . Alors du ds dsdu du
us
s= = =e et e
.
Ainsi, ds du
u use −=
−( )∫ ∫1 1.
Or 1
1 1u u
A
u
B
u−( )= +
−, d'où 1 1= −( ) + = +( ) −A u Bu A B u A.
Exercices récapitulatifs page 307
Nous avons donc A A B B A= + = =- et d' où - = 1.1 0,
ds du
u u udu
udu u u C
u
uC C
s
s
s
e- -
e
e
−=
−( )= +
−= + − +
= − + = − +
∫∫∫∫ 1 11 1
11
1 1
ln ln
ln ln
75. Posons u x= . Alors du
dx xdx x du u du x u= = = =1
22 2 2, . et
Par conséquent,
x dx
x
u u du
u
u
udu u u
udu
uu u u C
xx x x C
12
1
21
2 2 22
1
23
2 2 1
23
2 2 1
2
32
32
3 2
+= ⋅
+
=+
= − + −+
= − + − + +
= − + − +( ) +
∫∫
∫ ∫
ln
ln .
77. Posons u x= . Alors du
dx x
dx
xdu= =1
22 et .
Ainsi, cos
cos sin sin .x
xdx u du u C x C∫ ∫= = + = ( ) + 2 2 2
79. Posons u du d= =tan , sec ,θ θ θ 2 pour -π θ π2 2
< < .
Ainsi, 1 12 2 2+ = + = = =u tan sec sec sec ,θ θ θ θ
puisque secθ > 0 pour -π θ π2 2
< < .
du
u
dd
C u u C
1
1
2
2
2
+= =
= + + = + + +
∫∫ ∫secsec
sec
ln sec tan ln .
θ θθ
θ θ
θ θ
u
1
2 1 u+
θ
308 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
81.9
819
9 9
9
9 3 3 9 3 34 2 2 2 2−=
+( ) −( ) =+( ) +( ) −( )
= ++
++
+−v v v v v v
Av B
v
C
v
D
v, d'où
9 9 9 3 9 32 2 2= +( ) −( ) + +( ) −( ) + +( ) +( )Av B v C v v D v v .
En assignant à v la valeur 3, nous obtenons D = =9108
112
.
En assignant à v la valeur -3, nous obtenons C = =9108
112
.
En assignant à v la valeur 0, nous obtenons 9 9 27 27 1 3 3= + + = + +B C D B C D ou ,
d'où B C D= − − = − =1 3 3 1 6 12 1 2.
Finalement, en assignant à v la valeur 1, nous obtenons 9 8 20 40= +( ) + +A B C D,d'où
8 9 8 20 40 9 4 20 12 40 12 0 0A B C D A= − − − = − − − = = et .
Il s' ensuit que
981
12
19
112
13
112
13
12
13 3
112
31
123
16 3
112
33
4 2−=
++
++
−
= ⋅
+ + − − +
=
+ +
−+
∫ ∫∫ ∫vdv
vdv
vdv
vdv
arcv
v v C
arcv v
vC
tan ln ln
tan ln .
83.x
x xx
x
x xx
x
x
3
2 2 22 12
3 22 1
23 2
1− += + + −
− += + + −
−( )= + +
−+
−( )x
A
x
B
x2
1 1 2 ,
d' où -3 2 1x A x B Ax A B− = −( ) + = + +( ).
Nous avons donc A A B= + =3 et - -2, c'est-à-dire - -2, d' où 3 1+ = =B B .
Par conséquent, x dx
x xx
x xdx
xx x
xC
3
2 2
2
2 12
31
11 2
2 3 11
1
− +
= + +−
+−( )
= + + − −−
+∫∫ ln .
85. Posons u x= . Alors du
dx x
dx
xdu= =1
22 et .
Ainsi,
-
-
22
22 2
2 2 22
22
sinsec
sinsec
sin cos
sincos
cos .
x dx
x x
u
udu u u du
u duu
C x C
∫ ∫∫
∫
= =
= ( ) = ⋅ ( ) + = ( ) +
Exercices récapitulatifs page 309
87.d d dθ
θ θθ
θ θθ
θ2 2 22 4 2 1 3 1 3− +=
− + +=
−( ) +∫ ∫ ∫Posons u = −θ 1. Alors du d= θ et
d d du
uarc
uC arc C
θθ θ
θθ
θ2 2 2 22 4 1 3 3
13 3
13
13− +
=−( ) +
=+ ( )
=
+ = −
+∫ ∫ ∫ tan tan ,
ou encore 3
31
3arc C tan .
θ −
+
89. Posons u = +1 2cos .θ Alors du
dd du
θθ θ θ= =- et - 2 2 2
12
sin sin .
Ainsi, sin
cos cos,
21 2
12
12
12
12 1 22
2θ θθ θ
- -
-1-
-1du du
uC
uC C
+( )= = + = + =
+( )+∫ ∫ ou encore
1
2 1 2 1
14
142 2
2
+ −( ) + = + = +cos cos
sec .θ θ
θC C C
91. Posons u x= −2 . Alors du
dxdx du x u= = = −- , - et 1 2 .
Ainsi,
-
-
-x dx
x
u
udu u u du
u uC x x C
x x C x x C
22
2
3 22
1 223
2 4 2
23
2 2 623
2 4
1 21 2 1 2
3 2 1 23 2 1 2
1 2
−= − = −( )
= − + = −( ) − −( ) +
= −( ) − −( ) + = − +( ) +
∫ ∫∫
.
93. ln ln lnx dx x dx x dx− = −( )[ ] = −( )∫∫ ∫1 112
11 2
Soit u x dv dx= −( ) =ln .1 et Alors dux
dx v x=−
=11
et .
12
112
11
12
1 11
1
12
1 1
ln ln
ln
ln ln
x dx x xx
xdx
x xx
dx
x x x x C
−( ) = −( ) −−
= −( ) − +−
= −( ) − − −( )[ ] +
∫∫
∫
Note : ln x − 1 a pour domaine 1, ,∞] [ de sorte que x − >1 0.
310 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
95.Z
Z Z
A
Z
B
Z
CZ D
Z
++( ) = + + +
+1
4 42 2 2 2 , d'où Z AZ Z B Z CZ D Z+ = +( ) + +( ) + +( )1 4 42 2 2.
En assignant à Z la valeur 0, nous obtenons 1 4= B, d'où B = 1 4.
Z A C Z B D Z AZ B+ = +( ) + +( ) + +1 4 43 2
Nous avons 4 1 1 4 0 1 4 0A A B D D B A C= = = = + =, , , , d' où + = , d' où - - et
d' où - -1 4.C A= =
Ainsi, -2Z
Z ZdZ
ZdZ Z dZ
Z
ZdZ
++( ) = + − +
+∫ ∫ ∫ ∫1
4
14
1 14
14
142 2 2
= − −+
−+
= − −+
−
+
= − − +( ) −
+
∫∫
∫
14
14
14
14
1 12
24
12 2
14
1 12
412 2
2 2
2
2
ln
ln tan
ln ln tan
ZZ
Z
ZdZ
ZdZ
ZZ
Z
ZdZ arc
ZC
ZZ
Z arcZ
C..
97. Soit u arc x dvx
dx= = et tan .1
2 Alors dux
dx vx
=+
=11
12 et - .
arc x
xdx
xarc x
x xdx
-
tantan2 2
1 1
1∫ ∫= ++( ) .
Or 1
1 12 2x x
A
x
Bx C
x+( ) = + ++
, d'où 1 1 2 2= +( ) + +( ) = +( ) + +A x Bx c x A B x Cx A.
Nous avonsA A B B A C= + = = = =1 0 0, , . d' où - -1, et
Ainsi,
-
-
-
-
arc x
xdx
xarc x
x xdx
xarc x
xdx
x
xdx
xarc x x
x
xdx
xarc x x x C
tantan
tan
tan ln
tan ln ln ,
2 2
2
2
2
1 1
1
1 11
1 12
21
1 12
1
∫ ∫
∫∫
∫
= ++( )
= + −+
= + −+
= + − +( ) +
ou encore - 1
1 2
xarc x x x Ctan ln ln .+ − + +
Exercices récapitulatifs page 311
99.1 21 2
1
1
2 2
2 2
−+
=− −( )+ −∫ ∫cos
cos
cos sin
cos sinx
xdx
x x
x xdx
=−( ) +−( ) +
= =
= −( ) = − +
∫ ∫∫
∫
1
1
22
1
2 2
2 2
2
22
2
cos sin
sin cos
sincos
tan
sec tan
x x
x xdx
x
xdx x dx
x dx x x C
101.cos
sin sincos
sin sin
cos
sin cos
x
x xdx
x
x xdx
x
x xdx3 2 21−
=−( ) =
⋅ ( )∫∫ ∫ -
= = =
= ( ) + ( ) +
∫ ∫ ∫- - -
1 22
2 2
2 2
sin cos sincsc
ln csc cot
x xdx
xdx x dx
x x C
103. Posons x y= ln , alors dx
dy y= 1
, d'où dy
ydx y x= =, . et e2 2
De plus, ln1 0= → ∞ et x lorsque y → ∞.
Ainsi, ln
ln lim .y dy
yy
y
dy
yx dx x dxx b
xb
e e 3
-= ⋅ ⋅ = =∞ ∞ ∞
→∞∫ ∫ ∫ ∫1
21
20
2
0
1 1
Posons u x dv x= = et e-2 . Alors du dx v x= = et - e-12
2 ,
lnlim
lim
lim .
y dy
y
x
edx
x
b
b x
bx
b
b x x
b
b b b
- e
-e e
-e e
3-=
+
= −
= − − −
∞
→∞
→∞
→∞
∫ ∫1
20
2
0
2 20
2 2
212
21
4
21
40
14
Nous savons que lim lim. .
b b
R H
b b
b→∞ ∞ ∞ →∞
− = =2 4
02 2e-1e
et que lim ,b b→∞
− =14
02e
de sorte que ln
.y dy
y
3
1
0 0 014
14
= − − + =∞
∫
312 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
105.dx
x x x
dx
x x x
dx
x x x
dx
x x2 1
2
2 1 4 4
2
2 1 4 4 1 1
2
2 1 2 1 12 2 2 2−( ) −=
−( ) −=
−( ) − +( ) −=
( ) −( ) −∫∫ ∫ ∫
-
Posons u x= −2 1. Alors du dx= 2 et
dx
x x x
du
u uarc u C arc x C
2 1 12 1
2 2−( ) −=
−= + = − +∫∫ sec sec .
107. Posons u = 4eθ . Alors du d= 4e θ θ et e θ θd du= 14
.
e e eθ θ θθ∫ ∫+ = +( ) = +( ) + = +( ) +3 414
314
33 2
16
3 41 23 2
3 2d u du
uC C
109. Posons u = +3 1θ . Alors du
dθ= 3 et d duθ = 1
3 .
2713
2713
2727
13
2727
3 13 1
( ) = = + = ⋅ +++
∫ ∫θθ
θ d du C Cuu
ln ln
111. Posons u r= . Alors du
dr r= 1
2 et dr r du u du= =2 2 .
dr
r
u du
u udu u u C r r C
121
22
12 2 1 2 2 1
+=
+= −
+
= − + + = − +( ) +∫ ∫∫
ln ln
113.8
49 4
8 7
7 7 42 2
dm
m m
dm
m m−= ×
( ) −∫∫
Posons u m= 7 . Alors du
dmdu dm= =7 7 et .
8
49 48
48
12 2
4722 2m m
dmdu
u uarc
uC arc
mC
−=
−= ⋅ + = +∫ ∫ sec sec
Exercices récapitulatifs page 313
115. limln
lim lim. .
t
R H
t t
t t
tt
t
t
t t→ → →
− +( ) =−
+ = −+( )0 2 0 0 0 0
1 2 12
1 22
2 12 1 2
Or limt
t
t t→
−+( )
= +∞0
2 12 1 2-
et lim .t
t
t t→ +
−+( )
= ∞0
2 12 1 2
-
La limite n'existe pas.
117. limsincos
limsin cos
sinlim
cos cos sincos
. . . .
x
R H
x
R H
x
x x
x
x x x
x
x x x x
x→ → →−= ⋅ + = + ⋅ + ⋅ ( ) = + + =
0 0 0 0 0 0 011 1 1 1 0
02
-
119. limx
xx→∞
1 est une forme indéterminée ∞0.
Posons f x x x( ) = 1 . Alors ln ln lnln
f x xx
xx
xx( ) = = =1 1
et
lim ln limln
lim .. .
x x
R H
xf x
x
x
x→∞ →∞ ∞ ∞ →∞
( ) = = =11
0
Par conséquent, lim lim lim .ln lim ln
x
x
x x
f x f xx f x x
→∞ →∞ →∞
( ) ( )= ( ) = = = =→∞1 0 1e e e
121. -1 1≤ ≤cos ,r d'où -1
lncosln lnr
r
r r≤ ≤ 1
Comme ln ,r → ∞ lorsque rr r
r
rr r r→ ∞ = = =
→∞ →∞ →∞, lim
lnlim
lnlim
cosln
-1 1
et 0 0 selon le
théorème du sandwich.
123. limln
limln
lnlim
ln
. .
x x
R H
xx x
x x
x xx
xx
x→ → →−
−
= − +
−( )
=−
⋅ + −
1 1 0 0 1
11
1 11
11
11
= − ⋅+ −
= −
+ −
=
⋅ + ⋅ +
→ → →
limln
limln
limln
, ,
x x
R H
x
x
x
x
x x x
x
x x x x xx
1 1 0 0 1
11
11
1
11
1
-
=+ +
=--
10 1 1
12
314 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
125. lim tanθ
θθ→ +
( )0
est une forme indéterminée ∞0.
Posons f θ θ θ( ) = ( )tan . Alors ln ln tan ln tanln tan
f θ θ θ θ θθ
θ( ) = ( ) = ⋅ ( ) = ( )1
et
lim ln limln tan
lim tansec
limcos
cossin
. .
θ θ θ θθ θ
θθ
θ
θ θθθ
θ→ → ∞ ∞ → →+ + + +
( ) = ( ) =⋅
= ⋅ ⋅0 0 0
2
2 0 22
1
1
11
fR H
--
= =⋅ + ⋅ ( )→ →+ +
limsin cos
limcos cos sin sin
. .
θ θ
θθ θ
θθ θ θ θ0
2
0 0 0
2- -
-
R H
=−
= =→ +lim
cos sin.
θ
θθ θ0 2 2
2 01
0
Par conséquent, lim tan lim lim .lnlim ln
θ
θ
θ θ
θ θθ θ θ
→ → →
( ) ( )
+ + +
→ +( ) = ( ) = = = =0 0 0
00 1f ff
e e e
127. lim lim lim. . . .
x
R H
x
R H
x
x x
x x
x x
x
x→∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞ →∞
− ++ −
= −+
= − = ∞3 2
2
23 12 3
3 64 1
6 64
129.dx
x
dx
xarc
xb b
b b
9 9 32 30
3
2 30 0−
=−
=
→ →∫ ∫lim lim sin
- -
= −
= − =→
lim sin sinb
arcb
arc3 3
02
02-
π π
131.dy
y
dy
y
dy
y
dy
y2 3
1
2 3
0
2 3 2 3
11
2-1 -1 00∫ ∫ ∫∫= + = (puisque
12 3y
est une fonction paire).
Ainsi, dy
yy dy
yb
b bbb
b2 3
1
0
2 3
0
1 3 11
0
1 32 21 3
2 3 1 3 2 3 0 6-1
- ∫ ∫= =
= ⋅ −[ ] = −( ) =
→ → →+ + +lim lim lim .
133.2
22
2 22u u u u
A
u
B
u−=
−( )= +
−, d'où 2 2 2= −( ) + = +( ) −A u Bu A B u A.
Nous avons -2 2A = , d'où A A B B A= + = = =-1, et d' où -0 1, .
Exercices récapitulatifs page 315
Ainsi,
-
- -
- -
22
1 12
1 12
2
2 3 1
2
23 3
33
du
u u u udu
u udu u u
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
−= +
−
= +−
= + −[ ]
= + −( ) − +( )[ ]
= −
+
∞ ∞
→∞ →∞
→∞
→∞
∫ ∫
∫lim lim ln ln
lim ln ln ln ln
lim ln ln33 1 3 3
= + =ln ln ln ,
puisque lim ln ln lim ln lim ln .. .
b b
R H
b
b
b
b
b→∞ →∞ ∞ ∞ →∞
−
= −
=
=2 2 1
11
135. Procédons par intégration tabulaire.
x
x
x
x
x
x
2
2
2
0
+( )
−( )
+( )
e
-e
e
-e
-
-
-
-
x dx x dx x xb bx
b
xb
b
x x x b
b b b b2
0
2
0
2
0
2
2 22 2
0 021
e e - e e e-e e e
- - - - -∞
→∞ →∞ →∞∫ ∫= = − −[ ] = − −
− − −
lim lim lim
En appliquant la règle de L'Hospital à lim lim ,b b b b
b b→∞ →∞
-e
et -e
2 2 nous obtenons la réponse 0, pour
chaque limite.
De plus, limb b→∞
=-e
0.2
Ainsi, x dxx2
0
2e -∞
∫ = .
137.dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xb
b
4 9 4 9 4 92
4 924 9
4
12 3
2
2 2
0
20
20
20 2
2
0+
=+
++
=+
=+
=+
∞
∞
∞
∞ ∞ ∞
→∞∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫- -
lim
=
= −
= −
=
→∞ →∞
12
23
23
13
23
13
013 2
060
lim tan lim tan tanb
b
barc
xarc
barc
π π
316 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
139. Soit f gθ θ( ) ( ) et définies respectivement par f gθθ
θθ
( ) =+
( ) =1
1
12
et .
lim lim lim lim .θ θ θ θ
θθ
θθ
θθ θ
θθ θ→∞ →∞ →∞ →∞
( )( )
=+
=+( )
=+
=f
g 2 2 2 21 1 1 1 11
Par ailleurs, 1 1
6 66θ
θθ
θ θ∞
→∞ →∞∫ ∫= = [ ] = ∞ d db
b
b
blim lim ln , d'où cette intégrale impropre diverge.
Il en résulte que dθ
θ 26 1+
∞
∫ diverge aussi, selon le test de comparaison entre intégrales
par une limite.
141. Posons u Z= ln . Alors du
dZ Z= 1
, d'où dZ
Zdu u= → ∞, lorsque Z u→ ∞ = et 0 lorsque Z = 1.
Ainsi, ln
lim lim lim .Z
ZdZ u du u du
u bb
b
b
b
b1 0 0
2
0
2 2
2 202
∞ ∞
→∞ →∞ →∞∫ ∫ ∫= = =
= −
= ∞
L'intégrale impropre diverge.
143.dx dx
x x x xe e e e--
-0
+=
+∞
∞ ∞
∫ ∫2 (puisque la fonction 1
e e-x x+ est paire).
Or 2 2 1 212
0
dx dxdxx x
xx
x
xe e
ee
e
e -
0 0+
=+
=+
∞ ∞ ∞
∫ ∫ ∫ .
Posons u x= e . Alors du dx ux= =e , 1 lorsque x u= → ∞0 et lorsque x → ∞.
Ainsi,
-0 0
2 21
21
2 2 0 22
0
2 20
0
dx
e e
du
u
du
u
arc u arc b arc
x x b
b
b
b
b
+=
+=
+
= [ ] = −[ ] = −
=
∞ ∞
→∞
→∞ →∞
∫ ∫ ∫lim
lim tan lim tan tan .π π
L'intégrale impropre converge.
Exercices récapitulatifs page 317
145.dy
dxy y
y ydy dx
y ydy dx Cx x x x= −( ) ⇒
−= ⇒
−( ) = = +∫ ∫e e e e22 1
1 11
Or 1
1 1y y
A
y
B
y−( ) = +−
, d'où 1 1= −( ) + = +( ) −A y By A B y A.
Nous trouvons - d' où -1, et d' où -A A A B B A= = + = = =1 0 1, , .
Ainsi, 1
11 1
11 2y y
dyy y
dy y y C−( ) = +
−
= + − +∫ ∫ - - ln ln et
- e où ln ln , .y y C C C Cx+ − = + = −1 1 2
Comme y = 2 lorsque x = 0, nous avons - e d' où -e -ln ln , ln ln .2 1 2 1 20 0+ = + = − = −C C
La solution de l'équation différentielle est donc - eln ln ln .y y x+ − = − −1 1 2
147.dy
dx x xdy
dx
x x=
− +⇒ =
− +13 2 3 22 2
Or 13 2
12 1 2 12x x x x
A
x
B
x− +=
−( ) −( )=
−+
−, d'où
1 1 2 2= −( ) + −( ) = +( ) + −( )A x B x A B x A B- .
Nous avons A B A B A B+ = = − =0 2 1, , d' où - , et - d'où B B B A− = = =2 1 1, . -1 et
Ainsi, dydx
x x x xdx∫ ∫∫=
− +=
−−
−
2 3 2
12
11
et y x x C= − − − +ln ln . 2 1
Comme y = 0 lorsque x = 3, nous avons 0 1 2 2= − + =ln ln , ln .C C et
La solution de l'équation différentielle est donc y x x= − − − +ln ln ln . 2 1 2
318 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Exercices supplémentaires : théorie, exemples et applications
1. Posons u arc x dv dx= ( ) = et sin .2 Alors du arc xx
dx v x= ⋅−
=21
1 2 et sin .
Ainsi, arc x dx x arc xxarc x
xdx
sin sin
sin.( ) = ( ) −
−∫ ∫2 2
2
2
1
Posons u arc x dvx
xdx x x dx= =
−= −( ) et
- -
-sin .
2
12 1
2
2 1 2
Alors et
dux
dx vx
xxarc x
xdx
arc x xx
xdx
arc x x x C
=−
=−( )
= − −−
= ( ) − − −−
= ( ) − − +
∫
∫
1
1
1
1 22 1
2
1
2 12 1
1
2 1 2
2
2 1 2
2
2
22
2
2
sin
sin
sin ,
de sorte que arc x dx x arc x arc x x x C sin sin sin .( ) = ( ) + ( ) − − +∫ 2 2 22 1 2
3. Posons u arc x dv x dx= = et sin . Alors dux
dx vx=
−=1
1 22
2
et .
Ainsi, x arc x dxx
arc xx
xdx sin sin .= −
−∫ ∫2 2
22 2 1
Pour évaluer l'intégrale du membre de droite de l'égalité,
posons x dx d= =sin cos ,θ θ θ et , pour -π θ π2 2
≤ ≤ .
1 12 2 2− = − = = =x sin cos cos cos ,θ θ θ θ puisque cosθ ≥ 0 pour -π θ π2 2
≤ ≤ .
x
xdx d d
d C
C
arc x x x C
2
2
22
2
2 1 212
12
1 22
14
22
14
22
14
1
−= ⋅ =
= − = −
+
= −
+
= − −( ) +
∫ ∫ ∫
∫
sincos
cos sin
cos sin
sin cos
sin .
θθ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ
Finalement, x arc x dxx
arc x x x x C sin sin arcsin .= − − −( ) +∫2
2
214
1
x
2 1 x−
1
θ
Exercices supplémentaires page 319
5.d d
dθ
θθ
θθ
θθ θ
θ1 1
2 2
2
2
2 2−=
−=
−∫ ∫ ∫tan sincos
coscos sin
= + = +( )
= + +
+
= + + +
∫ ∫1 22 2
12
2 1
12
2 22
2 2 24
coscos
sec
ln sec tan
ln sec tan
θθ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
d d
C
C
7. Posons t dt d= =sin cos ,θ θ et pour -π θ π2 2
≤ ≤ .
1 12 2− = − = =t sin cos cos ,θ θ θ puisque cosθ ≥ 0 pour -π θ π2 2
≤ ≤ .
dt
t t
d d d
− −=
−=
−=
−∫ ∫ ∫ ∫1 12
cossin cos sin
coscoscos
tan.
θ θθ θ
θθθ
θθ
θθ
Posons u du d= =tan sec ,θ θ θ et 2 d'où ddu du
uθ
θ= =
+sec.2 2 1
Alors, dt
t t
du
u u− −=
−( ) +( )∫ ∫1 1 12 2 .
Or 1
1 1 1 12 2u u
A
u
Bu C
u−( ) +( ) =−
+ ++
, d'où
1 1 12 2= +( ) + +( ) −( ) = +( ) + −( ) + −( )A u Bu C u A B u C B u A C .
Nous avons A B+ = 0, d'où A B C B= − =- , ,0 d'où B C A C= − = et 1,
d'où - et - -B B B C− = = =1 1 2 1 2, et A = 1 2.
t
1 2t−
1
θ
320 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Ainsi,
dt
t t udu
u
u
udu
u
udu
du
u
u u arc u C
− −=
−− +
+
=−
−⋅ +
−+
= − − +( ) − +
= − −
∫∫∫
∫ ∫ ∫1
12
11
12
11
12
11
12 2
21
12 1
12
114
112
12
112
2 2
2 2
2
2
ln ln tan
ln tan ln tanθ θθ θ
θ θ θ
θθ
θ
+ − +
= − − − +
= − − +
= −−
−
− + = − − − +
112
12
112
12
12
1 12
12
11
1
1
12
12
112
2
2
2
C
C
C
t
t
t
arc t C t t arc t C
sec
ln tan ln sec
lntan
ln sin ln sin .
9.1
41
4 4 41
2 4
1
2 2 2 24 4 2 2 2 2 2 2 2xdx
x x xdx
x xdx
x x x xdx
+=
+ + −=
+( ) −=
+ +( ) − +( )∫ ∫ ∫ ∫
Les deux facteurs quadratiques sont irréductibles.
1
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2x x x x
Ax B
x x
Cx D
x x+ +( ) − +( ) = ++ +
+ +− +
, d'où
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
3 2
= +( ) − +( ) + +( ) + +( )= +( ) + + + +( ) + − + +( ) + +( )
Ax B x x Cx D x x
A C x A B C D x A B C D x B D-
Nous obtenons le système d'équations linéaires :
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
-2
2 2
2
2
2 2
2
0
0
0
1
1
2
3
4
+
−
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
( )
( )
( )
( )3 2 1 4( ) − ( ) + ( ) donne D = 1 4.
4( ) donne alors B = 1 4.
2 3( ) + ( ) donne -B C D+ + =4 3 0, d'où C = -1 8.
1( ) donne A = 1 8.
Exercices supplémentaires page 321
Ainsi, -
-
14
1 8 1 4
2 2
1 8 1 4
2 2
116
2 42 2
2 42 2
116
2 22 2
21 1
2 2
4 2 2
2 2
2 2
xdx
x
x x
x
x xdx
x
x x
x
x xdx
x
x x x
x
x
+= ( ) +
+ ++ ( ) +
− +
= ++ +
+ +− +
= ++ +
++( ) +
− −
∫ ∫
∫
∫ 22 2
2 2
2
2
2 221 1
116
2 2 2 1 2 2 2 1
116
2 22 2
18
1
− ++
−( ) +
= + +( ) + +( ) − − +( ) + −( )[ ] +
= + +− +
+ +( ) +
x xdx
x x arc x x x arc x C
x x
x xarc x arc
ln tan ln tan
ln tan tan .x C−( )[ ] +1
Note : x x
x x
2
2
2 22 2
0+ +− +
> pour tout x puisque les facteurs quadratiques du numérateur et du
dénominateur sont irréductibles, donc toujours de même signe, et que leur valeur en x = 0,
par exemple, est positive.
11. lim lim sin lim sin sinb
b
b
b
b
dx
xarc x arc b arc
→ → →−= [ ] = −[ ] = − =∫1 2
01
011
02
02- - -
π π
13. lim cosx
xx
→ + ( )0
1 est une forme indéterminée 1∞ .
Posons f x xx( ) = ( )cos .
1 Alors ln ln cos ln cos
ln cosf x x
xx
x
x
x( ) = ( ) = ⋅ ( ) =( )1 1
et
lim ln limln cos
lim cossin
limtan
limsec
lim sec .
. .
. .
x x
R H
x
x
R H
x
x
f xx
xx
xx
x
x
xx
x
x
→ → →
→ →
→
+ + +
+ +
+
( ) =( )
=⋅ ⋅
= = −⋅
= = ⋅ =
0 0 0 0 0
0 0 0 0
2
0
2
1 12
12
12
12
12
12
12
112
-
1
-
- - -
Par conséquent, lim cos lim lim .lnlim ln
x
x
x x
f xf x
x f x x
→ → →
( ) ( )
+ + +
→ +( ) = ( ) = = = =0
1
0 0
1 201
e e ee
-
322 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
15. lim sin lim cos lim cos cos lim cos cosx x x
x
x
x
x xt dt t x x x x
→∞ →∞ →∞ →∞= [ ] = + ( )[ ] = +[ ]∫ - - - --
-
(puisque la fonction cos x est une fonction paire) = ( ) =→∞
lim .x
0 0
17.dy
dxx= cos2 est continue sur l'intervalle 0 4, , π[ ] d'où la courbe est lisse sur cet intervalle.
Ldy
dxdx x dx x dx
x dx x dx x
a
b
= +
= + = + −
= = = [ ]
= −
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫
1 1 2 1 2 1
2 2 2
22
20 1
2
0
42
0
4
0
4
0
4
04
cos cos
cos cos sin
π π
π ππ
19. V dxa
b
= [ ][ ]∫ circonférence du tube hauteur du tube
= ⋅ −
= −
∫
∫
2 3 1
6 1
0
1
2
0
1
π
π
x x x dx
x x dx
Posons u x= −1 . Alors du dx x u= = −( )- et 2 21 .
De plus, x u x u= ⇒ = = ⇒ =0 1 1 0 et .
V u u du
u u u du
u u u du
u u u
= −( )
= − +( )
= − +( )
= − +
= − + − − +( )
=
∫
∫
∫
-
6 1
6 1 2
6 2
63 2
25 2 7 2
623
45
27
0 0 032
2
1
01 2
2 1 2
0
1
1 2 3 2 5 2
0
1
3 2 5 2 7 2
0
1
π
π
π
π
π ππ35
y
x0,2 0,4 0,6 0,8 1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xxy 1 3 −=
Exercices supplémentaires page 323
21. V dxa
b
= [ ][ ]∫ circonférence du tube hauteur du tube
= =∫ ∫2 20
1
0
1
π πx dx x dxx xe e
Posons u x dv dxx= = et e . Alors du dx v x= et = e ,
de sorte que x dx x dx xx x x x xe e e e e∫ ∫= − = − et
V x dx xx x x= = −[ ]= − − −( )[ ] =
∫2 2
2 0 1 2
0
1
0
1π π
π π
e e e
e e .
23. a) Méthode des disques troués :
R x r x x( ) = ( ) =1 et ln , d'où
V R x r x dx
x dx
x x dx
= ( )( ) − ( )( )[ ]= − ( )[ ]
= [ ] − ( )
∫
∫
∫
π
π
π π
2 2
1
2
1
12
1
1
e
e
ee
ln
ln
ln x dx( )∫ 2 s'obtient en posant u x dv dx= ( ) =ln .2 et Alors dux
xdx v x= =2 ln
, et de
sorte que ln ln ln .x dx x x x dx( ) = ( ) −∫ ∫2 2 2
De même, ln x dx∫ s'obtient en posant u x dv dx= =ln , et de sorte que
dux
dx v x= =1 et , et que ln ln ln .x dx x x dx x x x = − = −∫∫
Nous obtenons ainsi :
V x x x x x= −( ) − ( ) − +[ ]= −( ) − − + − − +( )[ ]= − − +[ ] =
π π
π π
π π
e
e e e e
e e
e1 2 2
1 2 2 0 0 2
1 2
2
1ln ln
.
y
x1
xy e =
1
y
1 =y
xz
1
-1
e
xy ln =
324 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
b) Méthode des disques
V R x dx
x dx
x x dx
= ( )[ ]
= −( )
= − + ( )[ ]
∫
∫
∫
π
π
π
2
2
1
2
1
1
1 2
e
e
ln
ln ln .
Or ln lnx dx x x x C = − +∫ (voir l'exemple 4, page 190) et
ln ln ln ln lnx dx x x x dx x x x x x C( ) = ( ) − = ( ) − −( ) +∫ ∫2 2 22 2 (voir l'exercice 46, page
194).
Nous avons donc
e e e
e
e
e
e
V x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x
= − −( ) + ( ) − +[ ]= − + + ( ) − +[ ]= − + ( )[ ]= − + − − +( )[ ]= −( )
π
π
π
π
π
2 2 2
2 2 2 2
5 4
5 4 5 0 0
2 5
2
1
2
1
2
1
ln ln ln
ln ln ln
ln ln
.
25. a) lim ln limln
lim lim. .
x x
R H
x xx x
x
x
x
xx
→ → ∞ ∞ → →+ + + += = = =
0 0 0 2 0111
0-
- et f 0 0( ) = , d'où
lim .x
f x f→ +
( ) = ( )0
0
La fonction f est donc continue à droite en x = 0.
b) Méthode des disques :
V R x dx
x x dx
= ( )[ ]
= ( )
∫
∫
π
π
2
2 2
0
2
ln .
L'intégrale s'obtient par intégration par parties.
Posons u x dv x dx= ( ) =ln .2 2 et Alors du xx
dx vx= ⋅
=2
13
3
ln . et
y
1 =y
xz
1
1 e
xy ln =
Exercices supplémentaires page 325
V x x dx x x dx
xx x
x
xdx
xx x x dx
bb
bb b
bb b
= ( ) = ( )
= ( )
− ⋅ ⋅
= ( )
−
∫ ∫
∫
∫
→
→
→
+
+
+
π π
π
π
2
0
22
0
22
2
0
32
2 32
0
32
2
22
32
13
323
ln lim ln
lim ln ln
lim ln ln
Posons cette fois u x dv x dx= =ln . et 2 Alors dux
dx vx= =13
3
et , de sorte que
Vx
xx
xx
dx
xx
xx
x
bb b b
bb
= ( )
−
−
= ( ) − + ⋅ ⋅
= ( )
→
→
+
+
∫π
π
π
lim ln ln
lim ln ln
ln
0
32
2 3 2 32
0
32
3 3 2
2
323 3 3
323 3
23
13 3
83
2
−− +
− ( ) − +
→ +
169
21627 3
29
2270
32 3 3ln lim ln ln .
b
bb b b b
Or -
-
lim ln limln
limln
limln
lim lim .
. .
. .
b b
R H
b
b
R H
b b
bb
b
b
b b
b
b
b
b
b
b
→ → ∞ ∞ →
→ ∞ ∞ → →
+ + +
+ + +
( ) = ( ) = ( ) ⋅
= = ⋅ = =
0
32
0
2
3 0 4
0 3 0 4 0
3
3 32 1
9
29
2 127
227
0
De même, lim ln limln
b bb b
b
b→ →+ += =
0
3
0 3
29
29
0-
- selon le raisonnement ci-dessus.
Finalement, lim .b
b→ +
=0
3227
0
Nous pouvons enfin conclure que V = ( ) − +
π 83
2169
21627
2ln ln .
27. Posons uy
dv ny dyn=+
= −11
1 et . Alors duy
dy v yn=+( )
=- et 1
1 2 .
Ainsi,
lim lim
lim lim lim .
n
n
n
n n
n
n n
n
n
n
n
ny
ydy
y
y
y
ydy
y
ydy
y
ydy
→∞
−
→∞
→∞ →∞ →∞
+=
+
+
+( )
= −
++( )
= ++( )
∫ ∫
∫ ∫
1
0
1
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
1 1 1
12
01 1
12 1
326 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Or y y yy
yy
nn≥ ⇒ + ≥ ⇒ +( ) ≥ ⇒ ≤
+( )≤0 1 1 1 1 0
12
2 .
De plus, lim lim lim limn
n
n
n
n
n n
ny dy
y
n n n n→∞ →∞
+
→∞
+ +
→∞∫ =+
=+
−+
=+
=0
1 1
0
1 1 1
11
10
11
10 et lim .
ndy
→∞=∫ 0 0
0
1
Il s'ensuit, selon le théorème du sandwich, que lim .n
ny
y→∞ +( )=∫ 1
02
0
1
Finalement, lim .n
nny
ydy
→∞
−
+= + =∫
1
0
1
112
012
29. Si 0 1< <x , alors x x x x x x3 2 3 2 3 30 0< > < >, , , - - et - d'où 4 42 2 3− > − −x x x et
4 4 4 22 3 2 2 2− − > − − = −x x x x x .
Comme 4 0 4 0 4 2 02 2 3 2− > − − > − >x x x x, et pour 0 1< <x , il découle des inégalités
précédentes que 4 4 4 22 2 3 2− > − − > −x x x x et que 1
4
1
4
1
4 22 2 3 2−<
− −<
−x x x x.
Or 1
4 212
06
062
0
1
0
1
−=
= − = − =∫ xdx arc
xarc arc sin sin sin .
π π
Par ailleurs,
1
4 2
12
1
2
12 2
12
12
012 4
02
8
20
1
20
1
0
1
−=
−=
= −
= −
=
∫ ∫xdx
xdx arc
x
arc arc
sin
sin sin .π π
Selon la propriété de dominance des intégrales définies (voir le théorème 1.2.9, page 23)
π π6 4
282 3
0
1
<− −
<∫ dx
x x.
Exercices supplémentaires page 327
31. Posons u f x dv dx= ( ) = et . Alors du f x dx v x= ′( ) = et .
Alors
-
f x dx xf x xf x dx
f f x dx
b a x
b a
( ) = ( )[ ] − ′( )
=
−
−
= −
− [ ]
= −( ) − −
∫ ∫
∫
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π π π π
π π
π
2
3 2
2
3 2
2
3 2
2
3 2
23 2
32
32 2 2
32 2
23 1 1
cos
sin
(( ) = −( ) +π2
3 2b a .
33. Calculons la longueur du quart de cercle d'équation y x= −4 2 situé dans le premier quadrant.
Nous avons dy
dx xx
x
x=
−⋅ =
−1
2 42
42 2- - .
Lx
xdx
x x
xdx
xdx
xdx
arcx
arcb
arc
b
b
b
b
b
= +−
= − +−
=−
=−
=
=
−
∫ ∫
∫ ∫→
→
→
14
44
2
4
24
22
22
2
2
2
0
2 2 2
20
2
20
2
2 20
20
2
-
-
-
-
lim
lim sin
lim sin sinsin 0
22
0= ⋅ − =π π
La longueur du cercle de rayon 2 est 4L, soit 4π .
35. Soit P x ax bx c( ) = + +2 . Alors P c P c P b P b0 0 1 1 0 0 0 0( ) = ( ) = ⇒ = ′( ) = ′( ) = ⇒ = et et et ,
d'où P x ax( ) = +2 1.
Décomposons P x
x x( )−( )3 21
en fractions partielles : ax
x x
A
x
B
x
C
x
D
x
E
x
2
3 2 2 3 2
11 1 1
+−( )
= + + +−
+−( )
.
Pour que l'intégrale soit une fonction rationnelle, il faut que A D= =0 0 et
(puisque A
xdx A x∫ = ln et
D
xdx D x
−= −∫ 1
1 ln qui ne sont pas des fonctions rationnelles).
328 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Ainsi, ax Bx x C x Ex B E x B C x B C x C2 2 2 3 3 21 1 1 2 2+ = −( ) + −( ) + = +( ) + +( ) + −( ) +- ,
d'où C B C= − =1 2 0, d'où B C B a= − =2 2, d'où 1 4 3− = =a a et - .
Le polynôme recherché est P x x( ) = +-3 12 .
37. Soit f x xx
pp( ) = =- 1
pour 1 ≤ < ∞x .
L'aire de la région entre f x( ) et l'axe des x est Adx
x p=∞
∫1
et le volume du solide de révolution
autour de l'axe des x est, par la méthode des disques, V R x dxx
dxdx
xp p= ( )[ ] =
=
∞ ∞ ∞
∫ ∫ ∫π π π2
1
2
12
1
1 .
Or dx
x p1
∞
∫ converge si p > 1 et diverge si p ≤ 1 (voir l'exemple 4 de la section 3.6, page 231).
Donc l'aire de la région est infinie pour p ≤ 1.
De même, dx
x p21
∞
∫ converge si 2 1p > et diverge si 2 1p ≤ .
Donc le volume de révolution est fini si 2 1p > , ou p > 1 2.
Par conséquent, pour que l'aire de la région soit infinie et que le volume de révolution soit fini,
il faut 12
1< ≤p .
39. a) y
x3-5
-1e( ) ( ) 2e - xexf =
Exercices supplémentaires page 329
b) e e e e e e e e
-
-e
--
-e
+
-ex x
aa
x
b
bx
x x x x
dx dx dx dx−( )
∞
∞ ( )∞
∞
→ ∞
( )→ ∞∫ ∫ ∫ ∫= = +lim lim
0
0
Posons u x= e . Alors du dxx= e et
e e e
-e -e
-e
e -ee
-e
e
e
--
-
e+
-e
-
-
e +
- e
-
-e
+
-e b
x
a
u
b
u
a
u
b
u
a b
x
a
b
a
b
a
dx du du−( )
∞
∞
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
∫ ∫ ∫= +
= [ ] + [ ]= +
+ +
= +
lim lim
lim lim
lim lim
1
1
1
1
0
1 1
1
+ +
=0
11
e.
L'intégrale impropre converge.
41.
d'où
e e e e
e e e
2 2 2 2
2 2 2
313
329
349
3
139
313
329
3
x x x x
x x x
x dx x x x dx
x dx x x
cos sin cos cos
cos sin cos
= + −
= +
∫∫
∫
et e e2
2
313
3 3 2 3xx
x dx x x Ccos sin cos .= +( ) +∫
43.
e
e
e -1 9
e e
- e - e -
2
2
2
2 2
2 22
4
3
1 3 3
3
31
33
21
93 4
1
93
x
x
x
x x
x x
x
x
x
x dx x
x x dx
+
−
+
=
⋅
+ ⋅
∫∫
cos
sin
cos
cos sin
cos cos ,
sin
cos
sin
sin
cos
sin
sin sin sin cos
cos sin sin sin ,
3
3 3
9 3
3 3
3 3 9 3
x
x
x
x
x
x
x x dx x x
x x x x dx-
-
-
-
- - - -
+
−
+
= ⋅ ( )
⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )∫
∫
330 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
d'où
sin sin sin cos cos sin sin sin3 3 3 3 9 3x x dx x x x x x x dx - = + + ∫∫− = +∫8 3 3 3 3sin sin sin cos cos sinx x dx x x x x - et
sin sinsin cos cos sin
.33 3 3
8x x dx
x x x xC = − +∫
45.
e e-
e-
e-
ax ax ax axbx dxb
bx ab
bx ab
bx dxsin cos sin sin∫ ∫= ⋅
− ⋅
+ ⋅
1 1 12
22
e -
e e e ax ax ax axbx dxb
bxa
bbx
a
bbx dxsin cos sin sin∫ ∫= + −1
2
2
2
b a
bbx dx
bbx
a
bbxax ax
2 2
2 2
1+
= +
∫ e e
-sin cos sin
e eax
ax
bx dxb a
a bx b bx C∫ =+
−( ) +sin sin cos2 2
47.
49. a) Γ 10 0
( ) = =∞
→∞∫ ∫e e - -t
b
tb
dt dtlim
= [ ] = +[ ] = + =→∞ →∞
lim lim .b
t b
b
b-e -e e- -
0
0 0 1 1
b) Γ x t dtx t+( ) =∞
∫10
e -
Posons u t dv dtx t= = et e - . Alors du xt dx fx t= =−1 et -e- (x est un nombre réel
positif fixé.)
e
e
e
-
-
ax
ax
ax
a
a
bx
bbx
bbx
2 2
1
1
+
−
+
sin
cos
sin
ln ln ln
ln
ax
x x
ax dx x axx
x dx
x ax x C
( ) +
−
( ) = ( ) − ⋅
= ( ) − +
∫ ∫11 1
Exercices supplémentaires page 331
Γ
Γ Γ
x t dt t dt
t x t dx
bx t dx
x x x x
x t
b
x tb
b
x t b t x
b
x
bx t
+( ) = =
= [ ] −
= +
+
= +( ) + ( ) = ( )
∞
→∞
→∞
∞−
→∞
−∞
∫ ∫
∫
∫
1
0
0 0
0 0
00
1
1
0
e e
- e -e
-e
e
- -
- -
-
lim
lim
lim
Remarque : limb
x
b
b→∞
− =e
0 quelle que soit la valeur de x. On dit alors que eb est
« dominant » sur toute puissance bx , en ce sens que eb → ∞ plus rapidement que bx
lorsque b → ∞. (Attention ! Le rôle des lettres est inversé dans le présent contexte : b est
une variable et x est un nombre fixe).
La règle de L'Hospital s'avère un instrument bien utile ici, puisque les indéterminations
du type ∞ ∞ se succèdent ainsi :
lim lim lim lim. . . . . .
b
x
b
R H
b
x
b
R H
b
x
b
R H
b
x
b
b xb x x b x x x b→∞ ∞ ∞ →∞
−
∞ ∞ →∞
−
∞ ∞ →∞
−
= = −( ) = −( ) −( )-e
-e
-e
-e
etc.1 2 31 1 2
Si x est un entier, alors les dérivées successives de bx finissent par arriver à 0 alors
que le dénominateur demeure toujours le même à eb .
Si x n'est pas un entier, alors les dérivées successives de bx finissent par donner un
exposant négatif de sorte que limb
b→∞
exposant au numérateur arrive aussi à 0 alors que eb au
dénominateur tend vers ∞.
c) Soit à démontrer que Γ n n+( ) =1 !.
(1) Vrai pour n = 0, puisque Γ Γ0 1 1 1 0+( ) = ( ) = = !.
(2) Supposons l'énoncé vrai pour n k= quelconque, où k k k> +( ) =0 1 : !.Γ
(3) Alors l'énoncé sera vrai pour n k= + 1.
En effet,
d' après (2)
Γ Γk k k
k k
k
+ +( ) = +( ) +( )= +( )= +( )
1 1 1 1
1
1
!
!.
Il s'ensuit que Γ n n+( ) =1 ! pour tout entier positif n.