Punto medio: x1+x22

;y 1+ y 22

;z 1+z22

Distanza tra A e Bd=√( x1−x2 )2̂+( y1− y2 )2̂+( z1−z2 )2̂Generico piano : ax+by+cz+d=0π

Eq. Piano per P(x0,y0,z0) a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0

Parallelismo tra piani: ∂//∂’ a'

a=b

'

b= c

'

c

Eq. Retta per due punti x−x1x2−x 1

= y− y1y 2− y1

= z−z1z2−z 1

Retta per P assegnati parametri x−x1l

= y− y 1m

= z−z 1n

Equazione parametrica della retta

¿¿¿ ¿

Equazione retta con punto e direzione: {x=x0+tl {y=y0+tm

Condizione di parallelismo tra rette: l'

l=m

'

m=n

'

n

Condizione di parallelismo tra retta e piano: ∂// r al+bm+cn=0

Angolo tra due rette: cos r¿̂s=± ll '+mm '+nn '

√l 2̂+m 2̂+n 2̂√l ' 2̂+m' 2̂+n' 2 ¿

Condizione di perpendicolarità tra rette ll’+mm’+nn’=0

Angolo fra due piani: cos å¿̂ ß=± aa '+bb '+cc '

√a 2̂+b2̂+c 2̂√a' 2̂+b ' 2̂+c ' 2 ¿

Condizione di perpendicolarità tra piani: ∂ perpendicolare ∂’aa’+bb’+cc’=0

Angolo tra retta e piano: senå¿̂ r= al+bm+cn

√a 2̂+b 2̂+c 2̂√l 2̂+m 2̂+n 2̂ ¿

Perpendicolarità tra retta e piano: al= bm

= cn

Distanza di un punto dal piano:

|ax 0+by 0+cz0+d|

√a 2̂+b 2̂+c 2̂

Circonferenza: x^2+y^2+2ax+2by+c=0. C (−a2,−b2¿ r=

12 √a 2̂+b 2̂−4 c

Ellisse:

x 2̂

a 2̂+ y 2̂

b2̂=1

F(-c,0) e F(c,0) c^2=a^2-b^2 e=ca A1A2=2a B1B2=2b

Se fuochi stanno su asse delle ordinate i fuochi si invertono, c^2=b^2-a^2 e=cb e si invertono anche i due assi. Retta tangente:

xxQ

a2̂+ yyQ

b 2̂=1

Iperbole: x 2̂

a 2̂− y 2̂

b 2̂=1

F(-c,0) F(c,0) c^2=a^2+b^2 e=ca A1A2=2a asse trasverso

y=±bax

Se a=b x^2-y^2=a^2 con asintoti y=± x , se ruotata di 45° diventa XY=K.

Se i fuochi stanno sull’asse delle ordinate: x 2̂

a 2̂− y 2̂

b 2̂=−1

B1B2=2b e=cb e fuochi invertiti.

Retta tangente: xxQ

a2̂+ yyQ

b 2̂=1

Parabola: se la direttrice è// asse x: y=ax^2+bx+c F(−b2a;1−∆4a

) d: −1−∆4a

V(−b2a;− ∆4 a

) asse: x=−b2a

Retta tangente in un punto: y-yQ=(2axQ+b(x-xQ)).

Se la direttrice è // asse y: x=ay^2+by+c e le formule si scambiano tutte.

Classificazione delle coniche: a 11 x2+2a 12 xy+a 22 y

2+2a 13 x+2a 23 y+a 33

A=

(a11 a 12 a 13 ¿) (a 12 a 22 a 23 ¿)¿¿

¿¿ det(A)=0 conica degenere det(A) diverso da 0 conica non degenere.

Nel secondo caso si fa il complemento algebrico di A33

(a11 a 12 ¿)¿¿

¿¿

Se è =0 è una parabolaSe è>0 è un ellisse

Se è<0 è un iperbole