LOGO

BILANGAN REALBy Gisoesilo Abudi, S.Pd

BILANGAN REAL

A. OPERASI BILANGAN REAL

B. BILANGAN BERPANGKAT

C. BENTUK AKAR

D. LOGARITMA

U J I A N A K H I R B A B

Sistem Bilangan Real

Bilangan atau angka adalah alat bantu

untuk menghitung pada kehidupan sehari-

hari. Oleh karena itu pengetahuan tentang

bilangan harus diketahui oleh setiap

orang.

Macam-macam Bilangan

1. Bilangan kompleks

2. Bilangan imajiner

3. Bilangan real

4. Bilangan rasional

5. Bilangan irasional

6. Bilangan bulat

7. Bilangan prima

Operasi Pada Bilangan Real

Operasi + dan – pada Bilangan Real

sifat-sifat operasi penjumlahan :

1. Komutatif : a + b = b + a

2. Asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)

3. Elemen identitas : a + 0 = 0 + a = a

4. Invers : invers dari a adalah -a

Untuk operasi + dan – pada bil. Pecahan

Atau dengan cara menyamakan penyebut dari pecahan-pecahan tersebut terlebih dahulu, yakni dengan mencari Kelipatan Pesekutuan Terkecil (KPK) dari penyebut-penyebut tersebut.

Operasi Pada Bilangan Real

Operasi x dan : pada Bilangan Real

sifat-sifat operasi perkalian :

1. Komutatif : a . b = b . a

2. Asosiatif : (a . b) . c = a . (b . c)

3. Elemen identitas : a . 1 = 1 . a = a

4. Invers : invers dari a . = 1, dengan disebut inver perkalian dari a

Pada Operasi x dan : pada Bilangan Real

Berlaku :

a . (-b) = - (ab)

a : (-b) = -

(-a) . b = - (ab)

(-a) : b = -

(-a) . (-b) = ab

(-a) : (-b) =

Contoh1. Hitunglah + !

2. Ubahlah bilangan desimal berulang 2,020202… kedalam bentuk

3. Hitunglah :a). -3 . ( - ) b).

4. Untuk membuat benda kerja diperlukan bagian dari sebatang besi yang panjangnya 4 meter. Jika dibuat sebanyak 50 unit benda kerja, berapa panjang besi yang digunakan seluruhnya ?

Konversi BilanganKonversi Pecahan ke Persen dan sebaliknya

Pecahan dapat dikonversikan menjadi persen dengan cara mengalikan dengan 100%.

Sebaliknya, bilangan persen p% dikonversikan menjadi pecahan dengan cara mengubahnya menjadi pecahan biasa kemudian disederhanakan.

Contoh1. Konversikan pecahan berikut kedalam

persen : a). b).

2. Konversikan bentuk persen berikut ke pecahan : a). 2,5% b). 6%

Aktivitas kelas 1. Hitunglah

a. 7 + 12 – 20

b. 40 : 5 . (-2)

c. 24 . (-2) : 3

d. . 42 : (-3)

e. 3

Aktivitas kelas

2. Konversikan bilangan pecahan berikut

kepersen atau sebaliknya :

a. 50%

b. 12,5%

Aktivitas kelas

3. Konversikan bilangan pecahan berikut ke

desimal atau sebaliknya :

a. 0,482

b. 0,0135

Latihan

Coba Anda kerjakan latihan halaman 9 – 10

no 1-10 Buku Matematika SMK Erlangga

Kelompok Teknologi.

PerbandinganKita dapat membuat perbandingan dari dua besaran yang sejenis, misalnya : tinggi badan, panjang dan lebar.

Hasil bagi kedua besaran dapat ditulis dalam bentuk atau a : b, dengan a dan b merupakan bilangan asli.

1. Perbandingan SenilaiSuatu perbandingan dikatakan senilai jika dua perbandingan nilainya sama.

atau a . d = c. b.

Misal

Panjang kabel (m) Harga per meter (Rp)

123

3.0006.0009.000

Dengan mengamati tabel di atas dapat kita simpulkan :

“Perbandingan panjang kabel pada baris ke-1 dan baris ke-2 = 1 : 2”

“Perbandingan harga kabel per meter pada baris ke-1 dan baris ke-2 = 1 : 2

Jika kita perhatikan perbandingan panjang kabel dan harganya pada baris yang bersesuaian adalah sama.

Contoh 1

Dalam suatu perjalanan sejauh 40 km, sebuah

mobil memerlukan bahan bakar sebanyak 8 liter

bensin. Jika mobil itu menempuh perjalanan

sejauh 120 km, berapa banyak bahan bakar

yang diperlukan ?

PenyelesaianCara I

Perhitungan berdasarkan satuan

Bahan bakar untuk jarak tempuh 40 km = 8 liter.

Bahan bakar untuk jarak tempuh 1 km =

Jadi, bahan bakar untuk jarak tempuh 120 km = 120. .

PenyelesaianCara II

Perhitungan berdasarkan perbandingan.

Diperoleh perbandingan :

Û 40. x = 8 . 120Û 40x = 960Û x = 24

Jadi, bahan bakar yang diperlukan .

Banyak bahan bakar (liter) Jarak tempuh (Km)

8 40

X 120

Contoh 2

Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap

60 km/jam dari kota A ke kota B. jika jarak yang

ditempuh mobil tersebut sejauh 300 km, maka

waktu yang diperlukan untuk sampai di kota B

adalah … jam

PenyelesaianCara II

Perhitungan berdasarkan perbandingan.

Diperoleh perbandingan :

Û 60. t = 1 . 300Û 60t = 300Û t = 5

Jadi, waktu yang diperlukan 5 jam.

Jarak tempuh (km) Waktu (jam)

60 1

300 t

Aktivitas kelas 1. Harga 5 buah kapasitor dengan kapasitas

tertentu adalah Rp30.000,00. berapa rupiahkah Ghafar harus membayar jika ia menginginkan 50 buah kapasitor ?

2. Waktu yang diperlukan seorang teknisi untuk men-tune-up sebuah mobil adalah 4 jam. Jika dalam satu hari ia bekerja selama 9 jam, berapa mobil yang dapat diselesaikan selama satu bulan (asumsi teknisi itu beristirahat selama 1 jam setiap hari)?. Jika biaya tune-up adalah Rp 150.000,00, berapa pendapatan yang diperoleh selama 1 bulan ?

Aktivitas kelas 3. Arus (I) yang mengalir pada suatu hambatan

tetap adalah 2 ampere. Jika pada ujung-ujung hambatan tersebut diberi beda potensial 220 volt (V), berapakah arus yang mengalir jika beda potensialnya diturunkan menjadi 110 V ? Hubungan antara kuat arus, hambatan, beda potensial pada rangkaian tertutup dirumuskan V = I . R

2. Perbandingan Berbalik nilai Suatu perbandingan dikatakan perbandingan berbalik nilai jika dua perbandingan nilainya saling berbalikan.

atau a . c = b . d

Misal

Kecepatan (km/jam) Waktu tempuh (jam)

806040

346

Dengan mengamati tabel di atas dapat kita simpulkan :

“Perbandingan kecepatan pada baris ke-1 : baris ke-2 = 80 : 60 = 1 : 2”

“Perbandingan kecepatan pada baris ke-2 : baris ke-3 = 60 : 40 = 1 : 2

Jika kita perhatikan perbandingan kecepatan dan waktu tempuh pada pada baris yang bersesuaian adalah terbalik.

Contoh 1Kereta Api “Cirebon Express” jurusan Jakarta-Cirebon dalam keadaan normal menempuh perjalanan selama 3,5 jam dari Jakarta ke Cirebon dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam. Karena suatu hal, pada suatu perjalanan kereta berangkat dari Jakarta pukul 10.00 tetapi tiba di tempat tujuan pukul 15.00. berapakah kecepatan rata-rata perjalanan kereta tersebut ?

PenyelesaianLama perjalanan dari pukul 10.00 sampai pukul 15.00 adalah 5 jam.

Diperoleh : 3,5 . 80 = x . 5 280 = 5x x =

Waktu Jarak tempuh (Km)

3,5 80

5 x

Contoh 2Seorang petani mempunyai persediaan makanan untuk 80 ekor ternaknya selama satu bulan. Jika petani tersebut menambah 20 ekor ternak lagi, berapa hari persediaan makanan itu akan habis ?

PenyelesaianDengan perbandingan, diperoleh :

Diperoleh : 30. 80 = x . 100 100x = 2400 x =

Banyak ternak Hari

80 30

(80 + 20) = 100 x

Aktivitas kelas 1. Erni melakukan perjalanan Jakarta – Bogor

mengendarai sepeda motor selama 2 jam dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Jika kecepatan rata-ratanya menjadi 80 km/jam, berapa lamakah ia sampai di Bogor ?

2. Dua kantong berisi coklat dengan jumlah yang sama akan dibagi-bagikan dalam pesta ualng tahun Rita. Kantong pertama dibagikan pada 25 anak dan tiap anak memperoleh jumlah yang sama, yaitu 6 coklat. Jika kantong kedua dibagikan pada 30 anak, berapakah banyak coklat yang diperoleh masing-masing anak ?

Latihan

Coba Anda kerjakan latihan halaman 14 no

1-10 Buku Matematika SMK Erlangga

Kelompok Teknologi.

S k a l a

Jika kita membaca suatu peta, maka disana akan tertulis skala peta.

Misalnya 1 : 2.000.000, artinya jarak 1 cm pada peta tersebut sama dengan 2.000.000 cm pada jarak sebenarnya.

Contoh 1

Jarak dua kota pada peta 12,5 cm. Jika skala peta tersebut 1:500.000, berapakah jarak kedua kota itu sesungguhnya ?.

Penyelesaian

Diperoleh perbandingan senilai : = 1 . X = 12,5 . 500.000 x = 6.250.000 cm x = 62,5 km

Jadi, jarak kedua kota tersebut adalah 62,5 km

Jarak pada peta (cm) Jarak sebenarnya (cm)

1 500.000

12,5 x

Contoh 2

Jarak Jakarta-Yogyakarta 600 km. jika di dalam peta jarak keduanya adalah 15 cm, tentukanlah skalanya !

Penyelesaian

Skala = 15 cm : 600 km

= 15 cm : 60.000.000 cm

= 1 : 4.000.000

Jadi, skala peta tersebut adalah 1 : 4.000.000

Aktivitas kelas

1. Jarak kota A dan kota B pada peta adalah 5 cm. Jika jarak sebenarnya dari kedua kota itu adalah 350 km, berapakah skala yang digunakan ?

2. Skala pada peta 1:2.500.000. Apabila jarak dari Surabaya ke Semarang 150 km, tentukan jarak pada peta.

Latihan

Coba Anda kerjakan latihan halaman 16 no

1-10 Buku Matematika SMK Erlangga

Kelompok Teknologi.

Contoh 1 Aplikasi Bil. RealSeorang pria mewariskan harta sebesar Rp120.000.000 kepada emapat anaknya. Ketiga anaknya yang pertama masing-masing mendapatkan dari seluruh harta warisan. Sedangkan sisanya diberikan kepada anak keempat. Berapakah warisan yang diperoleh masing-masing anak ?

Penyelesaian

Warisan yang diterima anak I

. Rp120.000.000 = Rp40.000.000 Warisan yang diterima anak II

. Rp120.000.000 = Rp30.000.000 Warisan yang diterima anak III

. Rp120.000.000 = Rp24.000.000

Penyelesaian

Warisan yang diterima anak IV

= (1- - - ) . Rp120.000.000

= ().Rp120.000.000

= . Rp120.000.000

= Rp26.000.000

Contoh 2 Aplikasi Bil. RealNeni akan menjual beras sebanyak 75 karung dengan berat tiap-tiap karung 60 kg. Melalui seorang komisioner bernama Husni, mereka menyepakati ketentuan sebagai berikut : tara 1%, rafaksi 5%, dan komisi 10%. Jika harga beras Rp4.000,00 tiap kg, tentukan :

a. Komisi yang diterima Husni

b. Hasil penjualan yang diterima Neni

Penyelesaian

a. bruto = 75 . 60kg = 4.500 kg

tara = 1% . 4.500kg = 45 kg

netto = bruto – tara

= 4.500 – 45 = 4.455 kg

Rafaksi = 5% . 4.455 kg = 222,75 kg

Berat bersih setelah rafaksi

= netto – rafaksi

= 4.455 – 222,75

= 4.232,25 kg

Penyelesaian

hasil penjualan sebelum komisi

= 4.232,25 . Rp4.000,00

= Rp16.929.000,00 Komisi yang diperoleh Husni

= 10% .Rp16.929.000,00

= Rp1.692.900,00

Penyelesaian

b. Hasil penjualan yang diterima Neni

= Rp16.929.000,00 – Rp1.692.900,00

= Rp15.236.100,00

Contoh 3 Aplikasi Bil. RealUntuk membuat speaker aktif diperlukan modal sebesar Rp200.000,00. Jika speaker aktif tersebut dijual dengan harga Rp260.000,00, berapakah keuntungan dan persentase keuntungan dari hasil penjualan tersebut ?

Penyelesaian

keuntungan

= Rp260.000,00 – Rp200.000,00

= Rp60.000,00% keuntungan

= . 100% = 30%

Contoh 4 Aplikasi Bil. RealParamita mendapatkan untung 6% dari harga pembelian sebuah mobil. Jika besarnya keuntungan tersebut Rp7.500.000,00, berapakah harga penjualan mobil tersebut ?

Penyelesaian

Keuntungan 6% = Rp7.500.000,00 Harga pembelian

= . Rp7.500.000,00

= Rp125.000.000,00 Harga penjualan

= Rp125.000.000,00 + Rp7.500.000,00

= Rp132.500.000,00

Latihan

Coba Anda kerjakan latihan halaman 18 - 19

no 1-15 Buku Matematika SMK Erlangga

Kelompok Teknologi.

LOGO

Materi ini bisa Anda download di

soesilongeblog.wordpress.com