sistem bilangan real · pdf filebilangan real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian...
TRANSCRIPT
![Page 1: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/1.jpg)
SISTEM BILANGAN REALARUM HANDINI PRIMANDARI
![Page 2: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/2.jpg)
Bilangan Real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan Irasional
Berikut adalah Skema Bilangan Real
BILANGAN
Bilangan Real
Bilangan Irasional
Bilangan Rasional
Pecahan
Bulat
Bulat Negatif
Cacah
Asli
Nol
![Page 3: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/3.jpg)
DIAGRAM
R
Bilangan Real
Q
Bilangan Rasional
Z
Bilangan Bulat
N
Bilangan Asli
ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ
![Page 4: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/4.jpg)
Tentukan manakah bilangan rasional atau irasional
LATIHAN 1
![Page 5: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/5.jpg)
SIFAT – SIFAT MEDAN
1. Hukum Komutatif
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
2. Hukum Asosiatif
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
3. Hukum Distribusi
𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
4. Elemen-elemen Identitas
5. Invers
![Page 6: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/6.jpg)
SIFAT-SIFAT URUTAN BILANGAN REAL
1. Trikhotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
2. Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
3. Penambahan
Jika x < y ↔ 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑧
4. Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz.
![Page 7: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/7.jpg)
LATIHAN 2
Sederhanakanlah
1.2𝑥−2𝑥2
𝑥3−2𝑥2+𝑥
2.𝑥2−𝑥−6
𝑥−3
3.2
6𝑦−2+
𝑦
9𝑦2−1−
2𝑦+1
1−3𝑦
4.12
𝑥2+2𝑥+
4
𝑥+
2
𝑥+2
5.
𝑥
𝑥−3−
2
𝑥2−4𝑥+35
𝑥−1+
5
𝑥−3
Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak
diantara kedua bilangan itu.
𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑎 <𝑎 + 𝑏
2< 𝑏
KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL
![Page 8: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/8.jpg)
GARIS BILANGAN (INTERVAL)
Misal dua bilangan a dan b serta berlaku sifat urutan a < b digambarkan pada garis bilangan berikut :
a b
Interval yaitu suatu himpunan bagian dari bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tertentu.
![Page 9: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/9.jpg)
DEFINISI INTERVAL DAN NOTASINYA
Notasi Interval : Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
1. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
2. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
3. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
4. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
5. 𝑎,∞ = 𝑥 𝑥 > 𝑎}
6. 𝑎,∞ = 𝑥 𝑥 ≥ 𝑎}
7. −∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 < 𝑏
8. −∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 ≤ 𝑏
9. −∞,∞ = ℝ
KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL
![Page 10: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/10.jpg)
PERTIDAKSAMAAN REAL
Definisi pertidaksamaan satu peubah yaitu bentuk aljabar dengan satu peubah yang dihubungkan dengan relasi urutan
Bentuk Umum :
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)<𝐶(𝑥)
𝐷(𝑥)
Dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) adalah polinom
B(x), D(x) 0
![Page 11: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/11.jpg)
LATIHAN 3
10𝑥 − 7 < 5𝑥 − 2
−8 ≤ 2𝑥 + 6 < 3
𝑥2 − 2𝑥 < 3
![Page 12: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/12.jpg)
HARGA MUTLAK
Misalkan 𝑥 ∈ ℝ. Harga mutlak dari x, ditulis
𝑥 ≔ ቊ−𝑥 , 𝑥 ≤ 0𝑥 , 𝑥 > 0
Sifat-sifat :
Misalkan x dan y bilangan-bilangan Real,
1. 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦
2.𝑥
𝑦=
𝑥
𝑦
3. 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦
4. |𝑎 − 𝑏| ≥ | 𝑎 − |𝑏||
5. 𝑥 ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
![Page 13: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/13.jpg)
Tentukan himpunan penyelesaian:
LATIHAN 4
2
2
1) 2 1 5
2) 3 14 4
3) 2 4 2 3 0
x
x x
x x
![Page 14: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/14.jpg)
Jika a adalah bilangan real dan p adalah bilangan bulat positif, maka:
𝑎1 = 𝑎, 𝑎𝑝 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙∙∙ 𝑎 ∙ 𝑎 (sebanyak p)
Dimana 𝑎 ≠ 0; 𝑎0 = 1, 𝑎−𝑝 =1
𝑎𝑝
𝑎𝑝+𝑞 = 𝑎𝑝𝑎𝑞, 𝑎𝑝−𝑞 = 𝑎𝑝𝑎−𝑞 , 𝑎𝑞 𝑝 = 𝑎𝑝𝑞
𝑎1
𝑞 =𝑞𝑎, dimana a bilangan non-negatif
PANGKAT DAN AKAR
![Page 15: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/15.jpg)
BINOMIAL NEWTON
Jika binomial (a+b) dengan a dan b variabel real yang tidak nol dipangkatkan n dengan n bilangan asli, maka akandiperoleh bentuk 𝑎 + 𝑏 𝑛 yang dijabarkan dalam rumus Binomial Newton sebagai berikut :
𝑎 + 𝑏 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
𝐶𝑘𝑛 𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 =
𝑘=0
𝑛𝑛𝑘
𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 =𝑛0
𝑎𝑛 +𝑛1
𝑎𝑛−1𝑏1 +𝑛2
𝑎𝑛−2𝑏2 +⋯+𝑛𝑛
𝑏𝑛
Dimana𝑛𝑘
= 𝐶𝑘𝑛 =
𝑛!
𝑛−𝑘 !𝑘!
Contoh : Gunakan rumus Binomial Newton untuk menguraikan 𝑥 + 𝑦 4 ?
![Page 16: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/16.jpg)
SEGITIGA PASCAL
0
2
5
3
4
1
![Page 17: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/17.jpg)
1. Jabarkan (2a+b)5!
2. Berapakah Koefisien x9 dari (2-x)12 ?
3. Berapakah koefisien x5 dari (x-3)19?
LATIHAN 5
![Page 18: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/18.jpg)
INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika merupakan suatu teknik pembuktian yang baku di dalam matematika
Melalui induksi matematika kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas
![Page 19: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/19.jpg)
PRINSIP INDUKSI SEDERHANA
Misalkan P(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif.
Kita ingin membuktikan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Untuk membuktikan pernyataan ini, maka kita hanya perlu menunjukkan bahwa :
1. p(1) benar, dan
2. Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar.
Maka dapat disimpulkan bahwa pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli n.
![Page 20: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/20.jpg)
CONTOH INDUKSI MATEMATIKA
1. Buktikan bahwa:
2. Buktikan bahwa:
KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL
1
1 2 3 ... 12
n n n
2
1 1
1 3 4
1 3 5 9
1 3 5 7 16
.
1 3 5 ... (2 1)
dst
n n
![Page 21: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/21.jpg)
PENGGUNAAN INDUKSI MATEMATIKA
Digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu.
Suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan.
KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL
![Page 22: Sistem bilangan real · PDF fileBilangan Real adalah gabungan dari bilangan ... pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk dalam ... (k) benar untuk suatu bilangan asli k dan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020718/5a9c5bb57f8b9aba4a8e33b8/html5/thumbnails/22.jpg)
LATIHAN 6
1. Buktikan bahwa 7n – 2n selalu habis dibagi 5, untuk n adalah bilangan asli.
2. Buktikan:
23 3 3 31 2 3 ... 1 2 3 ...n n