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Modellbildung, Simulation und Populationsdynamik
W. Oehme, Universität Leipzig
Bild: Wikipedia.org User Abubiju
ΔN
Bild: Wikipedia.org User Barbarossa
ΔN
Bild: Wikipedia.org User StefanGe
Bild: Reg Mckenna, UK
FFr
GFr
AFr
x
0
Einweg-Gleichrichtung
Inhalt
1. Einleitung 2. Realexperiment und Modellierung
2.1. Qualitativer Vergleich2.2. Quantitativer Vergleich
3. Modellbildung und Simulation3.1. Gleichungs- und grafikorientierte Modellbildung3.2. Beispiele für den Physikunterricht der Sekundarstufe 2
4. Populationsdynamik5. Ausblick
www.uni-leipzig.de/physikdidaktik
1. Einleitung
Experiment Videodaten
Computer
Videoaufbereitung
Videoanalyse
Diagramm
Videoanalyse
Experiment Messwerte Diagramm
Modellbildung und Simulation
Experiment Modellbildung
Computer
gleichungs- oder grafikorientiertes Modell
Berechnung
Diagramm
Phänomen/Experiment
Videodaten
Computer
Diagramm
besserverstandenes
Phänomen
Modellbildung
Erkenntnisprozess
Videoanalyse Modellbildung und Simulation
Modellbildung und Simulation(moderne Methode der Physik)
Phänomen/Experiment Modell
Ergebnis
Modellieren
Interpretieren Simulieren
2. Realexperiment und Modellierung
2.1. Qualitativer Vergleich
Beispiel: Einweg-Gleichrichtung
Diode
Glättkondensator Lastwiderstand
„Diagramm“
2.2. Quantitativer Vergleich
Beispiel: Fall unter Einfluss des Luftwiderstandes
)()()(
vFgmamvFFFvFFF
G
G
−⋅=⋅−=+=rrr
2~)( vvF
Ansatz: Newtonsche Reibung (Bewegung mit Wirbelbildung)
2vcga ⋅−=
LuftwiderstandcW-Wert
Körper cW Körper cWScheibe 1,1 Pkw 0,25 ... 0,45Kugel 0,45 Lkw 0,6 ... 1,0Schale 1,3 ... 1,5 Motorrad 0,6 ... 0,7Stromlinienkörper 0,06 Rennwagen 0,15 ... 0,2
2LWW 2
1 vAcF ⋅⋅⋅= ρ
cW Formfaktor
A Querschnittsfläche
ρL Dichte der Luft
Modellbildung und Simulation mit Moebius
Freier Fall
Beachtung des Luftwiderstandes
gadtdv
== vdtds
=
vdtds
=2vcgadtdv
⋅−==
Modellbildung und Simulation mit Moebius
Modellbildung und SimulationGesamtergebnis mit Videoanalyse
3. Modellbildung und Simulation
3.1. Gleichungs- und grafikorientierte Modellbildung
3.2. Ausgewählte Ansätze im Physikunterricht der Sekundarstufe 23.2.1. Mechanik: Bewegungen mit Reibung
TurmspringenWurfbewegungen
3.2.2. ElektrizitätslehreEinschalten einer Spule
3.2.3. Mechanische und elektromagnetische Schwingungen
3.1. Gleichungs- und grafikorientierte Modellbildung
Nneu = Nalt + ΔNyalt = yneu + Δy
ΔN
y
t
ΔtΔy
dtdy
Tangente mit Anstieg
Kontinuierliche Veränderung Diskrete Veränderung
y
t
Δy
Δt
ΔNBild: Wikipedia.org User Darkone
Bild: Wikipedia.org User StefanGe
Bild: Wikipedia.org User Abubiju
ΔN
Bild: Wikipedia.org User Barbarossa
Kontinuierliche Veränderungen
y
x
Δx
Δy
dxdy
Tangente mit Anstieg
y
t
Δt
Δy
dtdy
Tangente mit Anstieg
xdxdyyy
yyy
altneu
altneu
Δ⋅+≈
Δ+=
Anstieg der Tangente
tdtdyyy
yyy
altneu
altneu
Δ⋅+≈
Δ+=
Anstieg der Tangente
Euler-Verfahren der Zeitintegration
tdtdvvv
tavvvvvtav
dtadvdtdva
Δ⋅+=
Δ⋅+=Δ+=Δ⋅=Δ⋅=
=
tdtdsss
tvssssstvs
dtvdsdtdsv
Δ⋅+=
Δ⋅+=Δ+=Δ⋅=Δ⋅=
=
Anstieg der Tangente bzw. Änderungsrate
Definitionsgleichung
Gleichungs- und grafikorientierte ModellbildungBeispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
a -> v -> s
)(1.0)(0)(0
)(0)(5
1
2
ststms
smvsma
Startwertettt
tvsstavv
=Δ==
⋅=
⋅=
Δ+=Δ⋅+=Δ⋅+=
−
−
Gleichungsorientierte Modellbildung mit Moebius
Grafikorientierte Modellbildung mit Moebius
Verschiebung
Benennung
Papierkorb
Zustandsgröße
Änderungsrate
Wirkungspfeil
„Rückübersetzung“
„Rückübersetzung“ und Startwerte
Problem bei grafikorientierter Programmierung mit Moebius:
Vereinfachtes und nicht vereinfachtes Modell
3.2. Ausgewählte Ansätze im Physiklehrplan der Sekundarstufe 2
3.2.1. Mechanik: Bewegungen mit Reibung
Fahrphysik
Fallbewegungen mit Luftreibung: Fallschirmspringer, Regentropfen
Fallbewegungen mit Reibung in Flüssigkeiten:Wasserspringer nach dem Eintauchen,Absinkende Kugel
Bild: Flickr.com User Kamalsell
Bild: Behdad Esfahbod, Toronto Canada
Bild: Reg Mckenna, UK
Beispiel: Turmspringen
FINA-Regeln für die Tiefe des Sprungbeckens
5,00 m10 m
3,80 m3 m
3,60 m1 m
BeckentiefePlattform
Problemstellung: Warum wächst die Beckentiefe nicht proportional zur Absprunghöhe?
Bild: Reg Mckenna, UK
Bild: Wikipedia.org User Breesk, UK
Beispiel: 10 m-Sprung
smghv
mvmgh
/14221 2
≈=
=
2*vcam −=⋅
Phase 1: freier Fall aus 10 m Höhe
Phase 2: Tauchphase
Modell: Wirbelbildung -> Newtonsche ReibungAuftriebskraft = Gewichtskraft
Acc
vcvAcF
FFFF
FFFF
WW
WWW
W
AG
WAG
⋅⋅=
⋅=⋅⋅⋅=
−=−=
++=
ρ
ρ
2121 22
rr
rrrr
Annahme: m= 60 kg
2vmc
dtdv
⋅−=
Bild: Reg Mckenna, UK
Grafisches ModellDiskussion:
a) t = 2,0 s -> v < 1,0 m/s und x < 4,0 m
b) Vollkugel: cw = 0,45ρw = 10³ kg/m³A = 0,15 m²
c = 1/2*cw*ρw*A = 35
c) Sprunghöhe 1m:v = 4,5 m/st = 2,0 s ->
v< 1,0 m/s und x<3,0 m
Beispiel: Schräger Wurf
Eleganter: Geschlossene Lösung
Zunächst ohne Luftreibung
Beispiel: Schräger Wurf mit Luftreibung
vvcvvvcF
gmF
FFF
W
G
WG
rrr
rr
rrr
⋅⋅−=⋅⋅−=
⋅=
+=
222
0
yx
y
x
vvv
vv
v
gg
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
r
r
Erweitertes Modell wegen geschwindigkeitsabhängiger Reibung (komplex!)
yy
xx
vvcgmmavvcam
vvcgmam
⋅⋅−⋅−=⋅⋅−=⋅
⋅⋅−⋅=⋅rrr
x
y WFr
vr
GFr
3.2.2. Elektrizitätslehre: Einschaltvorgang an einer Spule
U
UR UL
0)0( =
⋅=
⋅==+
IdtdILU
IRUUUU
L
R
LR
3.2.3 Mechanische und elektromagnetische Schwingungen
Beispiel: Mechanische Schwingung mit ReibungModell: Langsame Schwingung eines Körpers in einer Flüssigkeit
Stokessche Reibung, geeignete Wahl des Ursprungs
xmk
dtdv
xkdtdvm
xkamFF
konsFF
F
AG
⋅−=
⋅−=⋅
⋅−=⋅=
=+rr
rr.Zunächst ohne Reibung:
FFr
GFr
AFr
x
0
vmcx
mk
dtdv
vcxkdtdvm
vcxkamvcFFFF
R
RF
⋅−⋅−=
⋅−⋅−=⋅
⋅−⋅−=⋅⋅−=+=rrr
mit Reibung:Reibungskraft entgegengesetzt zur aktuellen Bewegungsrichtung
FFr
GFr
AFr
x
0
Mechanische Schwingung mit Reibung
Ohne Reibung (ungedämpft) Mit Reibung (gedämpft)
Mechanische Schwingung mit Reibung
4. Populationsdynamik
• Lineares und exponentielles Wachstum• Beschränktes und logistisches Wachstum• Räuber-Beute-Modelle
– Ohne intraspezifische Wechselwirkung (Grundmodell)
– Mit intraspezifischer Wechselwirkung– Phasendiagramme
Bild: Wikipedia.org User Abubiju
Bild: Wikipedia.org User Barbarossa
Bild: Wikipedia.org User Roger McLassus
Lineares und exponentielles Wachstum
1aX =& XaX ⋅= 1&
Die Wachstumsgeschwindigkeit ist konstant. Die Wachstumsgeschwindigkeit wächst proportional zur Population.
Beschränktes und logistisches Wachstum
)1(1 GXXaX −⋅⋅=&
)(1 XGaX −⋅=&
)(1 XGaX −⋅=&
Die Wachstumsgeschwindigkeit verringert sichmit der Annäherung an den Grenzwert G.
Die Wachstumsgeschwindigkeit weicht umso stärkervon der des exponentiellen Wachstums ab, je näher die Population dem Grenzwert G kommt.
Räuber-Beute-ModelleGrundmodell
Quelle: Universität Bonn
Räuber-Beute-SystemeWeg zu den Lotka-Volterra-Gleichungen
XaX ⋅= 1& YaY ⋅−= 2
&
YXbYaYYXbXaX⋅⋅+⋅−=
⋅⋅−⋅=
22
11
&
&
Isolierte Populationen
Population X: Beute mit unbeschränkter Futterreserve
Exponentielles Wachstum
Population Y: Räuber ohne FutterExponentieller Abfall
Wechselwirkende PopulationenLotka-Volterra-Gleichungen
Begegnungsterme
Beute X
Räuber Y
Bild: Wikipedia.org UserManuel Anastácio
Grafikorientierte Modellierung
YXbYaYYXbXaX⋅⋅+⋅−=
⋅⋅−⋅=
22
11
&
&Lotka-Volterra-Gleichungen als Wachstumsraten
Rückkopplung
Rückkopplung
Wechselwirkung
Räuber-Beute-Modelle mit intraspezifischerWechselwirkung
Lotka-Volterra-GleichungenYYcYXbYaYXXcYXbXaX⋅⋅−⋅⋅+⋅−=
⋅⋅−⋅⋅−⋅=
222
111
&
&
PhasendiagrammeY(X)-Darstellung
Population ohne intraspezifische Wechselwirkung
Population mit intraspezifischer Wechselwirkung
Population strebt gegen FixpunktPopulation verläuft stets zyklisch,Verlauf abhängig von den Startwerten
Quelle: Bachelorarbeit D. Oehler, 2009
Logistisches Wachstumkontinuierlich und diskret
)1(GXXaX −⋅⋅=& )1(1 nnn xxcx −⋅⋅=+
GX ≤<0
Kontinuierlich: Verhulst-Gleichung Diskret: Logistische Abbildung
10 << x
3500
=<<
GGX
Künstlich linearisierte Welt
Reale nichtlineare Welt
tsv = )1(
GXXaX −⋅⋅=&
Bild: Wikipedia.org User The weaver
5. Ausblick