bildungsstandards – ihr beitrag zur nachhaltigen entwicklung von kompetenzen im...
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Bildungsstandards – Ihr Beitrag zur nachhaltigen Entwicklung
von Kompetenzen im Mathematikunterricht
Dr. Rainer Heinrich
Sächsisches Staatsministerium für Kultus
Wien, 01.03.2006
Situation in Deutschland
• Nationale Bildungsstandards
• Einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung (national)
• Lehrpläne / Rahmenrichtlinien (regional)
• Prüfungen (regional / zentral oder dezentral)
1. Warum benötigt Deutschland Bildungsstandards?
Vorgeschichtliches:
1997: KMK Beschluss zur Teilnahme Deutschlands an internationalen Vergleichsstudien
(„Konstanzer Beschluss vom Oktober 1997)
PISA und andere Studien zeigten Defizite auf Großes Erschrecken!!!
Was nun?
Bisher gab es in Deutschland (mit Ausnahme der EPA) nur eine Inputsteuerung des Bildungssystems über Lehrpläne.
Eine kritische Sicht von außen fehlte in einigen Bundesländern vollständig. Hinzu kommt, dass die Abschlusszeugnisse Zugangsberechtigungen darstellen, also vergleichbar sein sollten. Bisher gab es gleichwertige Mittlere Bildungsabschlüsse ohne Standards.
KMK-Beschluss vom 23./24.05.2002 in Eisenach:
Standards für den •Primarbereich nach Klasse 4•Hauptschulabschluss nach Klasse 9•Mittleren Schulabschluss nach Klasse 10
2. Was sollen Bildungsstandards leisten?
Legen Kompetenzen fest, die Schüler bis zu einer bestimmten Jahrgangsstufe erworben haben sollen
Konzentrieren sich auf die Kernbereiche eines Faches
Dienen der Schul- und Unterrichtsentwicklung und der externen und internen Evaluation durch Erzeugen von Vergleichsmaßstäben
Aber:
Schulische Bildung geht über Standards hinaus (Persönlichkeitsentwicklung, Werteorientierung)
Lehrpläne weisen Lernziele und Inhalte aus und ordnen diese zeitlich an (beschreiben Weg und Ziel).
Bildungsstandards weisen die Kompetenzen bis zu einem bestimmten Unterrichtsabschnitt des Schülers aus, sie standardisieren aber nicht den Weg zum Ziel.
Für Mathematiker: Es handelt sich sozusagen um kumulierten Kompetenzzustand bis zum Zeitpunkt t
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)0t,Schulzeitt(
3. Besonderheiten:
Fächer: Deutsch, Mathematik, Erste Fremdsprache
- beschreiben erwartete Leistungen im Rahmen von Anforderungsbereichen
- weisen ein mittleres Anforderungsniveau aus
- werden durch Aufgabenbeispiele veranschaulicht
- sind abschlussbezogen
- dienen der Vergleichbarkeit der Abschlüsse bei verschiedenen Schularten und Schulsystemen in Deutschland
Kompetenzen:
Dispositionen zur Bewältigung bestimmter Anforderungen
-Lernen nicht als Aufbau von trägem Wissen sondern als Bewältigung von Anforderungen
- Lernen als kumulativer Prozess
Bildungsstandards im Fach Mathematik
Bildungsstandards im Fach Mathematik
Kompetenzen:
Mathematisch Argumentieren
Probleme mathematisch lösen
Mathematisch Modellieren
Mathematische Darstellungen verwenden
Mit symbolischen, formalen und technischen
Elementen der Mathematik umgehen
Kommunizieren
Bildungsstandards im Fach Mathematik
Kompetenzen: Allgemeine fachliche Ziele des Lehrplanes
Mathematisch Argumentieren - Kritischer Vernunftgebrauch
Probleme mathematisch lösen - Entwickeln der
Mathematisch Modellieren Problemlösekompetenz
Mathematische Darstellungen verwenden - Anschaulichkeit
Mit symbolischen, formalen und technischen - Umgang mit grundlegenden Elementen der Mathematik umgehen mathematischen
Objekten
Kommunizieren - Umgang mit der Fachsprache
Bildungsstandards im Fach Mathematik
Für die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind folgende mathematischen Leitideen zugrunde gelegt:
Zahl
Messen
Raum und Form
Funktionaler Zusammenhang
Daten und Zufall
Bildungsstandards im Fach Mathematik
Anforderungsbereiche:
Reproduzieren
Zusammenhänge darstellen
Verallgemeinern und Reflektieren
Rolle der Aufgabenbeispiele:
Veranschaulichung der Standards
Grundlage für Feststellung des Lernstandes
Keine Prüfungsaufgaben
Darstellung der Spannbreite von Aufgabentypen zur Überprüfung von Kompetenzen
These: Um die Bildungsstandards umzusetzen, muss sich die
Unterrichtskultur weitgehend ändern
Änderungsbedarf weil:
• „Starres“ Bild der Mathematik
• Verfügbarkeit neuer Medien
• Forderung nach neuer Aufgabenkultur
Beispiel für eine Aufgabe aus einem Zentralabitur 1994 Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung .
Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse, Koordinaten der lokalen Extrempunkte und Art der Extrema. Lösung mit GTR:
4x4
1x2x)x(fy
2
)0;4(Pund)0;4(P 21
Der symmetrische Giebel eines Barockhauses soll
rekonstruiert werden. Die Abbildung zeigt den Giebel
in einem Koordinatensystem. Eine symmetrische,
ganzrationale Funktion f beschreibt den oberen
Giebelrand. Die x-Achse ist Tangente an den
Graphen der Funktion f in den Punkten Die Höhe des Giebels beträgt 4m .
a) Begründen Sie, dass die Funktion f mindestens 4. Grades sein muss.
b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion f.
c) Die Giebelfläche soll durch eine Waagerechte Linie in zwei flächengleiche Teilstücke zerlegt werden. Der obere Teil soll mit Ornamenten versehene werden, während im unteren Teil Fenster angebracht werden. Berechnen Sie, in welcher Höhe der Giebel geteilt werden muss.
Beispiel für eine Abituraufgabe 1999
Ein fiktives Beispiel für eine Abituraufgabe
Beschreiben Sie die Form des Giebels mit mathematischen Mitteln.
Ein modernes Mathematikwerkzeug enthält
• Computer-Algebra-System• Tabellenkalkulation• Dynamische Geometrie• 2D- und 3D-Darstellungen
(Funktionsplotter)• Programmierumgebung• Textverarbeitung, Linksoftware,
Lernsoftware
Gründe für den Einsatz von CAS/GTR
• Didaktische Gründeo Entdeckendes Lernen – Experimentieren
o Visualisieren
o Motivieren
o Rechenknecht
o Änderung der Aufgabenkultur
o Fächerverbindendes Arbeiten
Ausgewählte Beispiele für den Unterricht
• 1. Geburtstagsrechnung
• Variante 1:
• Variante 2:
9k10a 365m50)52a(
Fußballspieler
Visualisieren, Motivieren
Fußballspieler
breadth of the goal7,32m
distance to the goal 5m
direction of the motion from the player
Fußballspieler
breadth of the goal:7,32m
distance to the goal5m
direction of the motion of the forward
x m
mx
m5tan
xm
m32,12tan 11
21
Vorsicht KrötenOffene Aufgaben, Experimentieren, Visualisieren
Vorsicht Kröten
Eine Kröte benötigt zum Überqueren einer 7 m breiten Straße bis zu 20 Minuten.
Vorsicht KrötenUnterlege z. B. 200m Straße mit Dezimeterraster. Aller wie viel Sekunden ändert sich das Hüpfschema?
X X
X
X
Vorsicht Kröten
Aller 17 Sekunden ändert sich das Hüpfschema(nach Zeitungsangaben).
s1,17min285,0xminx
1
min20
dm70
Vorsicht Kröten
1. Wie viel Zeit benötigt ein PKW für z. B. 200 m Straße in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit?
sm
6,3
hkm
x
m200sins
Vorsicht Kröteny(1)=200/(x/3.6) Zehnerschritte:
Wie viele „Hüpfschemen“ überrollt der PKW in dieser Zeit? Ablesen der Schnittpunkte bei den Vielfachen von 17 liefert:
Ablesen der Schnittpunkte bei den Vielfachen von 17 liefert: - 85s (5 Schemen) bei 8,5 km/h- 68s (4 Schemen) bei 10,6km/h)- 51s (3 Schemen) bei 14,11 km/h)- 34s ( 2 Schemen) bei 21,2 km/h- 17s (1 Schema bei 42,6 km/h) „Je langsamer ich fahre, um so mehr Kröten treffe ich.“
„Ab 42,6 km/h ist es dann egal, es gibt keinen Unterschied mehr.“
2. Welchen Einfluss hat die Reaktionsgeschwindigkeit der Kröte?
Erdkröten können Objekte bis zu einer Entfernung von 4 m wahrnehmen, innerhalb von 0,5 Sekunden reagieren und bei Gefahr auch springen. Weg eines Autos in einer halben Sekunde:
)min(ss5,06,3
h
kminv
Das heißt, der zurückgelegte Weg des PKW beträgt bei 10km/h 1,38m usw. Ist dieser Weg kleiner als 4m kann die Kröte reagieren.
solve (v/3.6*0.5=4,v) liefert .
Koppelung mit dem vorherigen Modell
h
km30
h
km8,28v
„Der Graph existiert erst ab 30km/h. Dort überfahre ich ca. 1,4 Hüpfschemen und damit die größte mögliche Anzahl von Kröten“
3. Welchen Einfluss hat der Bremsweg des
Fahrzeugführers?
Bremsweg laut Fahrschul-Faustformel:
mins;h
kminv;
100
vs
2
Geschwindigkeit Bremsweg in m
10 1
20 4
30 9
40 16
50 25
Anruf bei der Verkehrspolizei Dresden
• Sie dürfen nicht nur die Gefahr für die Kröte sehen.
• Durch den beim Überfahren der Kröte entstehenden Matsch unter den Reifen wird die Haftreibung wie beim Aquaplaning so verringert, dass Sie die Kontrolle über das Fahrzeug verlieren könnten. Das Zeichen gilt für Ihren Schutz.
4. Wie viele Kröten werden getroffen? 200 m Straße mit 7m Breite: Autoreifen: ca. 20 cm breit überfahrener „Anteil“: Wahrscheinlichkeit, dass 1 Feld getroffen wird:
2dm000.140dm2000dm70
2dm8000dm2000dm22
057,0000140
8000p1
Betrachte 50 Kröten: Wahrscheinlichkeit, dass auf einem Feld eine Kröte sitzt:
Wahrscheinlichkeit, dass Feld mit Kröte getroffen wird: Variation: Bei 10 000 Kröten ist p=0,0041 Welchen Einfluss hat die Anzahl der Hüpfschemen?
00036,0000140
50p2
00002,0ppp 21
Die Summe der Quadratzahlen dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 590. Wie lauten die drei Zahlen?
)entfällt(15x
)zutrifft(13x
1961
)195(11
q4
p
2
px
formula
0195n2n
3I0585n6n3
590I5905n6n3
5904n4n1n2nn
590)2n()1n(n
2
1
2
2;1
2
2
2
222
222
Die Summe der Quadratzahlen dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 590. Wie lauten die drei Zahlen?
Schülerreaktionen
• Sascha A. (14): • Wir haben beschlossen, eine Programmier-AG zu gründen-
und Sie sind unser Chef. • • Claudia Ö. (16): • Ich denke, Mathematik ist genauso cool wie Musik. • • Nicole G. (14): • Meine Mutter hat gesagt, ich soll Ihnen nochmal “Danke”
sagen für das besorgen der Rechner. Und eigentlich soll ich Ihnen einen Schmatz geben, aber das traue ich mir nicht.