Binariųjų sąryšių savybės

Sąryšis R aibėje A vadinamas refleksyviuoju, jeigu a A poros (a, a) R.

Kai a A poros (a, a) R, sąryšis vadinamas antirefleksyviuoju.

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0

0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0

Sąryšis R aibėje A vadinamas simetriniu, jeigu (a, b) R (b, a) R.

Jei (a, b) R & (b, a) R a = b, sąryšis vadinamas antisimetriniu.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0

0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Sąryšis R aibėje A vadinamas tranzityviu, jeigu

(a, b) R & (b, c) R (a, c) R.

a

b

c Teorema

Sąryšis R yra tranzityvus tada ir tik tada, kai

R ○ R R

Sąryšis A pavaizduotas paveiksle, o sąryšis B apibrėžtas matrica.

Kuris sąryšis yra tranzityvus?

1 1 0 0

1 1 1 1

1 0 0 1

1 1 1 1

Sąryšis A nėra tranzityvus, nes trūksta kai kurių sujungimų (dalis jų pažymėta)

Surasime B ○ B (pakelsime antrojo sąryšio matricą kvadratu)

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

* =

Matricoje vietoje nulių atsirado vienetai, t.y. B ○ B B. Sąryšis B irgi nėra tranzityvus

Sąryšis R aibėje A vadinamas pilnuoju, jeigu

a, b A & a ≠ b (a, b) R V (b, a) R.

0 0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1 0

1 0 1 1 0 0 0 1

Sąryšis R-1 = {(a, b): (b, a) R } vadinamas atvirkštiniu sąryšiui R

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 1 0 1 1 1 1 0

0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

1 1 0 0 1 0 0 0 0 1

Matrica transponuojama

Teoremos:

Sąryšis R A2 yra:

a) refleksyvusis IA R;

b) antirefleksyvusis R IA =;

c) simetrinis R = R-1;

d) antisimetrinis R R-1 IA;

e) pilnasis R R-1 IA = UA = A2.

Užduotys savarankiškam darbui