binomni poucak
TRANSCRIPT
BINOMNI POUČAK
ZNATI
- Faktorijela 0! 1 2 ... ,n n n N= ⋅ ⋅ ⋅ ∈
- Binomni koeficijenti ( ) ( ) 0
!, , ,
! !
nnn k N k n
k k n k = ∈ ≤
−
- Svojstva binomnih koeficijenata
- Pascalov trokut
- Binomni teorem: ( ) ( )0
, , ,n
n n k k
k
na b a b a b R n N
k −
=
+ = ∈ ∈∑
ZADACI ZA VJEŽBU:
1. Pojednostavnite izraz do kraja:
a) 5! 6!
7! 4!
⋅=
⋅
b) 10! 8!
10! 9!
−=
−
c) ( )
( )
2 !
1 !
n
n
+=
−
2. Odredite prirodan broj n tako da vrijede
jednakosti:
a) ( )
( )
( )
2 ! 1 !
3 ! 1 !
n n
n n
+=
− −
b) ( ) ( )4 2n n
=
c) ( ) ( )2 2 13 5
1n n
n n−
=−
3. Dokažite identitete:
a) ( ) ( ) ( ) 36 6
1 2 3n n n
n+ + =
b) ( ) ( ) ( ) ( )3
1 7 12 6 11 2 3n n n
n+ + + = +
c) ( ) ( ) ( )11 1
n n nk k k
++ =
+ +
d) ( ) ( ) ( ) ( )22 , 2
2 1n n n n
k nk k k k
++ + = ≤ ≤
− −
(Napomena: u d) koristite rezultat od c.)
4. Odredite racionalne članove u razvoju
binoma: ( )10
5 2− .
5. Odredite koeficijent uz5
x u razvoju
binoma: ( )15
2 x + .
6. Odredite 6. član u razvoju binoma:
a)
9
2
2
y xy
x
−
b)
11
3
3
13
3
x
x
−
.
7. Koji član po redu ne sadrži7
a u razvoju
binoma:
12
233 2
4 3a a
+
.
8. Odredite srednji član razvoja binoma:
a)
16a
x x
−
b)
6
3 2a a
a
+
.
9. Odredite onaj član koji ne sadrži x u razvoju
binoma:
153
x x
−
.
10. Odredite slobodan član u razvoju binoma:17
34
23
1a
a
+
.
11. Zbroj koeficijenata prvog, drugog i trećeg
člana u razvoju binoma2 1
n
x x
+
jednak je
46. Odredite onaj član raspisa binoma koji
ne sadrži x.
12. Zbroj svih binomnih koeficijenata u razvoju
binoma4
1n
x x
+
iznosi 1024. Odredite
onaj član koji ne sadrži x.
13. Ako je u razvoju binoma3 3
5 5
n
x x x
y x y
−
razlika trećeg i prvog binomnog koeficijenta
za 34 veća od drugog, odredit član koji
sadrži3 5
x .
14. U razvoju binoma3
5 3
3
2
n
x x
x x
+
odredite
n ako je koeficijent uz treći član za 51 veći
od koeficijenta drugog člana.