ÖLÇÜ BİRİMLERİ

UZUNLUK ÖLÇÜ BİRİMLERİ

Kilometre (km) = 1000 m

Hektometre (hm) = 100 m

Dekametre (dam) = 10 m

Metre (m) = 1m

Desimetre (dm) =10-1 m

Santimetre (cm) = 10-2 m

Milimetre (mm) = 10-3 m

Yabancıların Kullandığı Uzunluk Ölçüsü Birimleri

Mikron() =10-3mm =10-6 m

Angstörm (A0) =10-8cm = 10-10 m

1 İnch 0,0254 m =1 Parmak

1 Foot =1 Feet(ayak) = 12 inch =0,3048 m

1 Yard (yarda) = 3 Foot = 0,9144 m

1 Kara mili =1760 Yarda 1609 m

1 Deniz mili = (1’ dakikalık meridyen yayı) 1852 m

1 Coğrafi mil =(4 dakikalık meridyen yayı) 7421,5 m

Eskiden Kullanılan Uzunluk Ölçüsü Birimleri

1 Endaze = 0,65 m

1 Arşın (çarşı) =0,68 m

1 Arşın (mimari) =0,758 m

1 Kulaç = 2,5 mimari arşın =1,895 m

1 Fersah =7500 arşın = 5685 m

ALAN ÖLÇÜ BİRİMLERİ

Kilometrekare (km2) =1000000 m2

Hektometrekare (hm2) =10000 m2 =100Ar=1 Hektar

Dekametrekare (dam2) =100 m2 =1 Ar

Metrekare (m2) = 1 m2

Desimetrekare (dm2) = 10-2 m2

Santimetrekare (cm2) = 10-4 m2

Milimetrekare (mm2) = 10-6 m2

1 Dekar =1 Dönüm = 10 Ar =1000 m2

Eskiden Kullanılan Alan Ölçüsü Birimleri

Büyük dönüm =2720 m2

Eski dönüm = 918,672 m2 = 4 Evlek

Evlek = 229,668 m2 = 400 mimari arşın2

Yeni evlek = 100 m2

Yeni dönüm = 2500 m2 = 25 yeni evlek

AÇI BİRİMLERİ

Jeodezide kullanılan açı ölçü birimi grad olmakla beraber Küresel Trigonometri ve Astronomi de derece açı biriminin kullanımı gelenekselleşmiştir. Sıklıkla kullanılan dört açı birimi vardır. Bunlar :

1) Derece 2) Grad3) Radyan4) Milyem

AÇI BİRİMLERİNİN BİRBİRİNE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

D / 180 = G / 200 = R / = M / 3200

BAZI SERİ AÇILIMLARI

Fonksiyon Seri Açınımı Geçerli AralıkSin x =

x- + - +........x radyan (-<x<+)

cos x =1- + - +........

x radyan (-<x<+)

Tan x =x+ + + +........

x radyan (x</2)

Cot x =- - - -........

x radyan (0<x<)

Arcsin x =x+ + +........

(-1=<x=<+1)

Arctan x =x- + - +........

(-<x<+)

e =1+ + + +......

ex =1+ + + +......

ln(1+x) =x- + - +......

x<1

=4*(1- + - +......)

DÜZLEM TRİGONOMETRİ

Sinüs = Kosinüs =

Tanjant = = Kotanjant = =

Sekant = = Kosekant = =

a:karşı dik kenar

b:komşu dik kenar

c:hipotenüs

Sin = a / c cos = b / c

tan = a / b cot = b / a

sec = c / b csc = c / a

-1 sin , cos 1

- tan , cot +

Temel trigonometrik özdeşlikler

sin2 + cos2 = 1 tan = sin / cos

tan * cot = 1 cot = cos / sin

a

c

b

Açıların katları

Açıların trigonometrik oranlarının toplam ve farkları

Açıların toplam ve farklarının trigonometrik oranları

sin ( ) = sin cos cos sin

cos ( ) = cos cos sin sin

tan ( ) =

cot ( ) =

Açıların trigonometrik oranlarının çarpımları

2 sin cos = sin (+) + sin (-)

2 cos sin = sin (+) - sin (-)

2 cos cos = cos (+) + cos (-)

-2 sin sin = cos (+) - cos (-)

I. Bölgedeki Bir Açının Diğer Bölgelerdeki Karşılıkları

I.bölge II.bölge III.bölge IV.bölge

- + 2 -

Eksi açılar

Yarım Açı Formülleri

ÜÇGENLERİN ÖZELLİKLERİ

-Bir düzlem üçgenin her açısı 0g dan büyük ve 200g dan küçüktür.

- Dik üçgenlerde dar açılar birbirini 100g’a tamamlar.

- Eşkenar üçgenlerde üç simetri ekseni olup, her açı 60o’dir.

- Bir üçgende herhangi bir kenar, diğer iki kenar toplamından küçük, farkından büyüktür. Örneğin a kenarı için,

B

A

C

bc

a

-Bir üçgenin iç açıları toplamı 180o (200g), dış açılarının toplamı 900o (1000g)’dır. Genel olarak n kenarlı bir çokgenin iç açılar toplamı (n-2).200g, dış açılar toplamı (n+2).200g’dır.

-Bir üçgende eşit kenarlar karşısına eşit açılar,büyük kenar karşısında büyük açı ,küçük kenar karşısında küçük açı bulunur. Burada söylenenlerin karşıtları da doğrudur.

a b c

a b c

DÜZLEM ÜÇGENLERDE TEOREMLER

1-Sinüs Teoremi

R üçgenin dışına çizilen çevrel çemberin yarıçapı olmak üzere; sinüs teoremi

yukarıdaki şekilde yazılır.

2- Kosinüs Teoremi

A

C B

bc

a

R

O

b-c a b+c

3-Tanjant Teoremi

4-Projeksiyon Teoremi

5-Yarım Açı Teoremi

6-Mollweide Formülleri

7- Yükseklik Formülü

C

a

B A

b

cp q

Üçgende, herhangi bir kenara karşı köşeden indirilen dike o kenara ait yükseklik denir. Şekilde c kenarına C köşesinden indirilen dik c kenarına ait yükseklik olup hc ile gösterilir. Dolayısıyla bir üçgende üç adet yükseklikten bahsedilebilir.ha = c sin = b sin hb = a sin = c sin hc = a sin = b sin

hc

s-a

s-c

s-c s-b

s-b

s-a

r

rr

r

r

A

BC

/2

8- Diğer Teoremler ve Formüller

tan = =

tan = =

tan = =

Dik Üçgenlerde Teoremler

1) Pisagor Teoremi : Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Aşağıdaki ABC dik üçgeninde C açısı dik açıdır. a ve b kenarları dik kenarlar, c kenarı ise hipotenüs olarak adlandırılır.

a2 + b2 = c2

2) 1.Öklid Teoremi :

2.Öklid Teoremi :

h2 = p.q

= +

ÇEMBERLE İLGİLİ BAZI TEMEL BİLGİLER

1)Yay uzunluğu, yarıçap ve merkez açı arasında,

a2 = p.c

b2 = q.c

C

a

B A

h b

c

p q

bR

M

R

2) Merkezden kirişe inilen dik bu kirişi iki eşit parçaya böler. Herhangi bir kirişin ortasından çıkılacak dikme merkezden geçer.

3) Yarıçap R ise Çemberde ; Çevre = 2R, Alan = R2 dir.

4) Bir daire kesmesinin alanı, M noktası dairenin merkezi, = b / R

5)Herhangi bir noktadan çembere çizilecek teğetler birbirine eşittir. (Aşağıdaki soldaki şekil)

Bu doğru çemberi iki noktada keserse bu sekant adını (MB,MD doğruları) alıyor. Bir noktadan çembere çizilen sekantlar arasında da (yukarıda sağdaki şekil)

MA. MB = MC. MD

Eşitliği vardır.

6) Teğet, yarıçapa teğet noktasında diktir.

7)Teğet kiriş açı, aynı yayı gören çevre açıya eşittir.

8) Çevre açı aynı yayı gören merkez açının yarısına eşittir. (M: çemberin merkezi)

MA

T

B

OM

C

B

A

D

M

b

RR

A B

d

S

9) Çapı gören çevre açı diktir.

10) Aynı kirişi gören karşılıklı iki çevre açı toplamı 200g’ dır.

+ = + = 200g

11) Bir noktadan bir çembere çizilen teğet ile sekant arasında aşağıdaki bağıntı vardır.

M

M

B

S

MA

T

sekant

12) Bir çember üzerindeki dört noktanın oluşturduğu dörtgene kirişler dörtgeni denir. Dörtgenin kenar uzunlukları ile köşegen uzunlukları arasında, e * f = a * c + b * d ilişkisi vardır.

13) Kenarları aynı bir çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir.

Bir teğetler dörtgeninde ;1) AB + DC = BC + AD2) Teğetler dörtgeninde açıortaylar bir noktada kesişir. Bu nokta iç teğet çemberin

merkezidir.

3) Teğetler dörtgeninin alanı; FABCD = u r = r

14) Birbirini kesen iki kirişin parçaları arasında a * b=c * d ilişkisi vardır.

D

C

B

Ae

dc

b

a

f

D

C

B

Ac

db

as

A

D

E

F

C

B

H

r

G

O

Kutupsal Koordinatlar İle Dik Koordinatlar Arasında Dönüşüm

Thompson yöntemine göre alan hesabı:

Eğer alanı hesaplanacak şekil bir çokgen ise ya da diğer bir deyişle birden çok üçgen ve yamuklardan oluşuyorsa alan hesabı şöyle yapılır:

2F=a.h1+(h1+h2).b+c.h2+d.h3+(h3+h4).e+f.h4

Koordinat Değerlerine Göre Alan Hesabı (Gauss alan)

YpYp

XpXp

P(,S)P(,S)

P (Yp,Xp) P (Yp,Xp) =

=

X

Y

S

Kutupsal koordinatlar biliniyorsa ,S Yp=S.sin Xp=S.cos

şeklinde dik koordinatlar hesaplanır.Dik koordinatlar biliniyorken kutupsal koordinatlar

Yp,Xp şeklinde hesaplanır.

Kutupsal koordinatlar biliniyorsa ,S Yp=S.sin Xp=S.cos

şeklinde dik koordinatlar hesaplanır.Dik koordinatlar biliniyorken kutupsal koordinatlar

Yp,Xp şeklinde hesaplanır.

A

B C

D

EF

-a- -b- -c--f- -e- -d-

h1 h2

h3h4

Çokgen şeklindeki parsellerin alanı çokgenin köşe noktalarının koordinatlarından yararlanarak tek anlamlı olarak hesaplanabilmektedir. Nokta numaraları formülde sıralı olarak kullanılmak (saat ibresi ya da tersi yönde) üzere n kenarlı bir çokgenin alanı Gauss alan formüllerinden;

F = (yi + yi+1) (xi – xi+1) = (xi + xi+1) (yi+1 – yi)

ya da

F = xi (yi+1 – yi-1) = yi (xi-1 – xi+1)

TEMEL ÖDEVLER

Jeodezik hesaplamalarda çok sık kullanılan temel ödevler dört tanedir. Şimdi bunları teker teker görelim.

I. Temel Ödev: Koordinat taşıma problemi olarak da adlandırılmaktadır. Bu problemde koordinatları belli olan bir A noktasından koordinatı bilinmeyen B noktasına (AB) semt açısı ve kenar uzunluğundan yararlanarak koordinat taşınması amaçlanmaktadır.

Verilenler: A(ya, xa), (AB),

İstenenler: B(yb, xb)

Örnek:

Verilenler: ya , xa , (AB) ,

AB

xa

ya

B

A

y

x

y

(AB) x(AB)

yb

Xb

II.Temel Ödev: Semt ve Kenar hesabı problemi olarak da adlandırılmaktadır. Bu problemde koordinatları belli olan A ve B noktaları arasındaki (AB) semt açısı ve kenar uzunluğunun bulunması amaçlanmaktadır.

Verilenler: A(ya, xa), B(yb, xb)

İstenenler : ,(AB)

Semt hesabı bu şekilde hesap makinesiyle bulunduğunda, (AB) semti –100g ile +100g

arasında olacaktır. Semtin hangi bölgede olduğunu belirleyebilmek için aşağıdaki tabloda gösterilen eklemelerin yapılması gerekir.

Bölge y x Açıya Eklenecek Değer

I + + 0

II + - +200g

III - - +200g

IV - + +400g

Pratik Yol : Semt hesabı hiçbir irdelemeye gerek kalmadan aşağıdaki eşitlikten direkt olarak da bulunabilir.

Örnek:

III. Temel Ödev: Koordinatı bilinen A,B ve C gibi üç nokta arasında oluşan üçgen açısının hesabı olarak da adlandırılmaktadır.

Verilenler: A(ya, xa), B(yb, xb), C(yc, xc)

İstenenler: = açısı

x

(BA)(BC)

B

C

A

IV. Temel Ödev:

Semt taşıma problemi olarak da adlandırılmaktadır. Bu problemde A,B ve C gibi ardışık üç noktanın bulunduğu bir geçki de (AB) semt açısı ve kırık açısından (B noktasında gidiş yönüne göre solda kalan açı) yararlanarak (BC) semt açısının bulunması amaçlanmaktadır.

Verilenler: (AB) semti ve kırık açısı

İstenen: (BC) semti

Yukarıdaki şekle göre (BC) semtini bulabilmek için (AB) semtine açısını ekleyip 200g çıkarmak gerekir. Ancak bu durum yalnız bu şekil için geçerlidir. (BC) semti için genel bir bağıntı yazmak istenirse (AB) + toplam değerine aşağıdaki eklemeler yapılır.

x

B

C

A (BC)

(AB)

(AB)

Pratik Yol :

Semt hesabı için daha basit bir genel bağıntı kullanmak istenirse, her durumda;

(BC) = (AB) + + 200g

eşitliği kullanılır. Bu bağıntıdan bulunacak (BC) değeri bazen 400g, bazen de 800g’dan büyük çıkabilir. Semt açısı tanım gereği 400g’dan küçük olması gerektiğinden hesaplanan semt açısı 400g’dan büyükse 400g, 800g’dan büyük ise 800g çıkarılır.

YAN NOKTA HESABI:Koordinatları bilinen bir AB doğrusu üzerindeki, A başlangıç noktasına göre mesafesi belli bir P’ noktasından çıkılan dikin üzerindeki P noktasının koordinatının bulunması “yan nokta hesabı” olarak adlandırılır.

P

yan noktasının koordinatları şekilden,

Yp = Ya + DP’ + P’E Yp= Ya +AP’ sin(AB) + PP’ cos(AB)

Xp = Xa + AD - EP Xp= Xa +AP’ cos(AB) - PP’ sin(AB)

Verilen dik boyu uzaklığı (PP), A noktasından B noktasına doğru gidişte AB doğrusunun yani hesaplama yönünün sağında ise (+), solunda ise (-) alınarak yan nokta hesabı yapılmalıdır.

Poligon hesabında açı kapanma hatasının sınır (tecviz) değeri

(n : açı ölçümü yapılan nokta sayısı)

Verilenler:A(ya, xa) AP: dik ayağıB(yb, xb): PP: dik boyuİstenenler: P(y,x)

x

yxpyp

EDP

PA

B

.

.

o

Poligon hesabında enine ve boyuna hatalar ve bunların sınır (tecviz) değerleri

formülleriyle hesaplanan boyuna ( fL ) ve enine ( fQ ) kapanma hataları aşağıdaki formüllerle bulunan miktarlardan fazla olamaz.

a )Taban Açılarına Göre Önden Kestirme:

doğrusunun sağında kalan P noktası için yukarıdaki eşitliklerde ve nın işareti eksi alınmalıdır.

b) Açıklık Açıları ile Önden Kestirme:

GERİDEN KESTİRMEDE DELAMBRE YÖNTEMİ

Verilenler : A(Ya,Xa), B(Yb,Xb) ve C(Yc,Xc) koordinatları ve açıları

A fLC’

D

B C

fS

fy

fx

fQ

Y

X

B

ta

A

tb

P

A

P

B

İstenen : P(Yp,Xp) koordinatları

tan tb = ( ) cot ( ) cot ( )

( ) cot ( ) cot ( )

Ya Yb Yc Yb Xc Xa

Xa Xb Xc Xb Yc Ya

Xp = Yc Ya Xa t Xc t

t tb b

b b

tan( ) tan( )

tan( ) tan( )

Yp = Ya + (Xp-Xa) tan(tb- )

UZUNLUKLARLA KESTİRME

Koordinatları hesaplanacak olan noktaya, önden kestirme probleminden farklı olarak doğrultu gözlemleri yerine Sa ve Sb uzunlukları ölçülür. Genelde;

Verilenler: ya , xa , yb , xb ,

Sa , Sb

İstenenler: yp , xp şeklindedir.

Problemin çözümünde birden fazla yol bulunmaktadır. Bunlardan ikisi aşağıda verilmektedir.

a) İkinci temel ödevle ve (BA) değerleri hesaplanır. açısı kosinüs teoremiyle

X kuzey

A

B

C

tb

P

B

P

A

H

q

p

h

Sb

Sa

bulunur. (BP) = (BA) açıklık açısı yardımıyla, P noktasına ait koordinatlar birinci temel ödevle

yp = yb + Sb sin (BP)

xp = xb + Sb cos (BP)

olarak hesaplanır. Benzer şekilde A noktasından ve açısı yardımıyla P noktasına ait koordinatların kontrolü yapılır.

b) P noktası bir yan nokta olarak ele alınır ve problem çözülür. İkinci temel ödevle uzaklığı hesaplandıktan sonra p = ve h = uzaklıkları

;

olarak yazılırsa;

;

katsayıları ile

yp = ya + a p + b h

xp = xa + b p a h

şeklinde P noktasının koordinatları hesaplanır. Yan nokta hesabında olduğu gibi A noktasından B noktasına gidişte P noktası sağda kalıyorsa h yüksekliği (+), solda kalıyorsa h yüksekliği () işaretli alınmalıdır.

YÜKSEKLİKLER

Ortometrik yükseklik (H)

Geometrik nivelman ile geri ,ileri okumalar farklarından hesaplanır. Bir noktanın ortometrik yüksekliğinden ilgili noktanın çekül eğrisi boyunca jeoidden(deniz seviyesinden) olan uzaklığı kastedilir.

Elipsoidal yükseklik(h)

Bir noktanın elipsoidal yüksekliği ilgili noktadan referans elipsoidine indirilen dikin uzaklığıdır. Elipsoidal yükseklik ile ortometrik yükseklik arasında

h = H + N (N:jeoid yüksekliği)

ilişkisi vardır.

B

P

A

H

q

p

h

Sb

Sa

jeopotansiyel yükseklik

[kilogal x metre]

jeopotansiyel yükseklik cinsinden diğer yüksekliklerin ifadesi

[m] ortometrik yükseklik

gp : P noktasında ölçülen yerçekimi ivmesi

[gal] = g[gal] + 0.424 H[km]

ortometrik düzeltme

Nivelman ile bulunan A ve B noktaları arasındaki

geometrik yükseklik farklarına

ortometrik düzeltme getirilir. Burada 0 = 980.6294 olup 45 derece enlemindeki yerçekimi ivmesidir. Başlangıçta bulunan geometrik yükseklik farkına bu düzeltme eklenerek,

şeklinde A ve B noktaları arasında ortometrik yükseklik farkı bulunur. Bu tür ağlarda noktaların ortometrik yükseklikleri HP, hesaplanır.

Büyük bölgesel ağlarda ise nivelman işleminde noktaların dinamik yükseklikleri ya da normal yükseklikleri hesaplanır.

dinamik yükseklik

dinamik yükseklik farkı

ya da

normal yükseklik

normal yükseklik farkı

burada;

= [1 – (1 + f + m – 2f sin2 ) ]

: elipsoid üzerindeki yerçekimi ivmesi

a,b : yer elipsoidinin yarı eksenleri,

f = (a-b)/a geometrik basıklık,

m : ekvatordaki merkezkaç kuvvetin ekvatordaki yerçekimi ivmesine bölümü,

: jeodezik enlem

olarak tanımlanmıştır.

Tek Taraflı Düşey Açı Gözlemleriyle Trigonometrik Yükseklik Belirleme

Bir A noktasından B noktasına yapılan Z’ düşey açı gözlemiyle B noktasının trigonometrik yüksekliği küresellik ve refraksiyon etkileri göz önüne alınırsa;

Karşılıklı Gözlemlerle Trigonometrik Yükseklik Belirleme

Pi ve Pj noktalarına indirgenmiş düşey açılardan yararlanarak, iki nokta arasındaki yükseklik farkı

S ; h yüksekliğindeki yerel yataydaki uzunluk

h = S

ij m

ij

Sh

r

h hZ Z

ijm

j i

ji ij

'

* tan

1

2

KÜRESEL TRİGONOMETRİ

KÜRESEL TRİGONOMETRİ BAĞINTILARI

1- Sinüs Teoremi:

m

2- Kenar Kosinüs Teoremi :cos a cos b cos c + sin b sin c cos

3- Açı Kosinüs Teoremi :cos cos cos sin sin cos a

4- Kotanjant Teoremi (Dört Parça Teoremi )Dört Parça Teoreminin Genel Yazılışı :cos III cos II sin III cot I sin II cot IV

Küresel üçgenin bir kenarından başlamak koşuluyla üçgenin elemanları sırayla (saat ibresi veya tersi yönde) numaralandırılır. Teorem gereği örneğin yukarıdaki şekilde

olduğu gibi numaralandırma yapılabilir;

cos a cos = sin a cot c – sin cot

5-Neper Formülleri (1) :

tan tan tan tan

6- Neper Formülleri (2) :

tan cot tan cot

h h h Sh

r

Z Z

hh h

j i ijm ji ij

m

i j

' tan

':

12

2 ; ortalama yükseklik

S elipsoid üzerindeki uzunlukij

III

c

a

b

CB

A

I)

IIIV

c I II a III IV

7-Tanjant Formülleri :

8- Serret Eşitliği: Bu eşitlik küresel üçgenin eksesini kenarlar cinsinden vermektedir.

tan u

ekses

Küçük küresel üçgenlerin çözümüKüçük küresel üçgenlerin çözümünde; küresel üçgen yerine usulüne uygun olarak seçilecek bir yardımcı düzlem üçgen alınır ve düzlem trigonometri kurallarına göre çözüm yapılır.A)Legendre yöntemi: küresel üçgenin açıları yerine ’ = - /3 şeklinde açılar eksesin üçte biri kadar küçültülmüş düzlem üçgen alınır.

B)Additament yöntemi: küresel üçgenin kenarları yerine S’ = S – S3 / 6R2 şeklinde kenarları küçültülmüş düzlem üçgen alınır.

JEODEZİ FORMÜLLERİ

KÜRE YÜZEYİNDE JEODEZİK HESAPLAMALARSoldner Dik Koordinatlarıyla I. Temel Ödev :

Verilenler: P1(y x, s, 12

İstenenler: P2(y x, 21

Soldner Dik Koordinatlarıyla II. Temel Ödev:Verilenler: P1(y x, P2(y xİstenenler: s, 12, 21

Coğrafi Koordinatlarla I. Temel Ödev:

Verilenler: P1(, s, A12

İstenenler: P2(, A21

Coğrafi Koordinatlarla II. Temel Ödev:Verilenler: P1(P2(İstenenler: s, A12, A21

Soldner Koordinatlarıyla Coğrafi Koordinatlar Arasında Dönüşümler

P(o, o) başlangıçlı bir Soldner (jeodezik dik) koordinat sisteminde koordinatları Y, X olan bir noktanın coğrafi koordinatlarının eldesi ya da bu işlemin tersi aşağıdaki gibi gerçekleştirilir.

a) (Y, X) Jeodezik Dik Koordinatlarından (, ) Coğrafi Koordinatlarının Eldesi

P noktasından ana meridyene inilen dikin F ayak noktasının enlemi,

uzunluk olarak verilen kenarın açısal karşılığı

Neper kuralından

olur. Buradan,

meridyen konvergensi,

Yine aynı üçgende KP kenarı için Neper uygulaması,

ve buradan,

meridyen konvergensi ile azimutla semt arasındaki ilişki A = + şeklinde yazılabilir.Özet olarak;

b) (, ) Coğrafi Koordinatlarından (Y, X) Jeodezik Koordinatlarının Eldesi

Bu dönüşüm probleminde P noktasının Po(o, o) başlangıçlı jeodezik dik koordinat sistemindeki (Y, X) koordinatları istenmektedir.

buradan,

olarak bulunur. Özet olarak uygulama formülleri,

Örnek 1 : Po(o = 39o, o = 35o)başlangıçlı jeodezik dik koordinat sisteminde koordinatları, Y = 42765.053 m X = 83553.792 m olarak verilen P noktasının coğrafi koordinatlarını bulunuz (R = 6373924.115 m).

Örnek 2: Coğrafi koordinatlardan jeodezik dik koordinatların eldesi

Verilenler: Bir P noktasının coğrafi koordinatları = 39o 45 00 = 35o 30 00 şeklinde verilmektedir (R = 6373924.115 m).

İstenenler: Po(o = 39o, o = 35o) başlangıçlı jeodezik dik koordinat sisteminde Y, X koordinatları,

MERİDYEN YAKINSAMASI (KONVERGENSİ)

Kürenin Düzleme Ordinat Koruyan (Cassini-Soldner) Projeksiyonu

Herhangi bir projeksiyon kuralı koymaksızın küresel meridyen dik koordinatları (Soldner dik koordinatları) düzlem koordinatlar gibi işleme tabi tutulursa , kürenin düzleme ordinat koruyan projeksiyonu elde edilir. Bu projeksiyonda düzlem (x,y) ve küresel dik koordinatlar (X,Y) arasındaki ilişki;

x = X y =Y şeklindedir.

Ordinat Koruyan Projeksiyonda Uzunluk İndirgemesi:

Ordinat Koruyan Projeksiyonda Doğrultu İndirgemesi:

Ordinat Koruyan Projeksiyonda Alan İndirgemesi:

’nin x ve y’den hesabı

’nın x ve y’den hesabı

ortalama bir değeri için alan farkı

olur.

KÜRENİN DÜZLEME GAUSS – KRÜGER PROJEKSİYONU

Bu projeksiyonda koordinatlar arasındaki ilişki

şeklindedir. Böylelikle jeodezik dik (soldner) koordinatlarıyla gauss-krüger koordinatları arasındaki ilişki çıkarılmış olur.

Jeodezik Dik (Soldner) Koordinatlardan Gauss-Kruger Koordinatlarının Bulunması

Verilenler: X,Yİstenenler: xg,yg

Gauss- Kruger Koordinatlarından Jeodezik Dik (Soldner) Koordinatların Bulunması

Verilenler: xg, yg İstenenler: X, Y

ya da

Küresel Coğrafi Koordinatlardan Gauss- Krüger Koordinatlarının Hesabı

Bir P noktasının () küresel coğrafi koordinatları bilinmektedir. Bu noktanın o boylam başlangıcına göre Gauss- Krüger (x, y) koordinatları istenmektedir. Boylam farkı olarak,

Küresel meridyen sistemi dik koordinatları cinsinden projeksiyon eşitliği,

ve

Küre üzerinde meridyen sistemi dik koordinatları, coğrafi koordinatlar cinsinden,

şeklindedir. Bu değerler x ve y’li eşitliklerde yerine konulursa,

olur.

Gauss- Krüger Koordinatlardan Küresel Coğrafi Koordinatların Hesabı

Küresel coğrafi koordinatlar küresel meridyen dik koordinatları cinsinden,

Gauss- Krüger koordinatları cinsinden,

Örnek 1:

Verilenler: = 38o 12 24.16 = 31

o 10

Gauss Kruger Projeksiyonunda Uzunluk Deformasyonu

Gauss kruger projeksiyonunda her yönde uzunluk deformasyonu eşit olduğundan (açı koruyan) olma özelliği nedeniyle ölçek;

olur.

Projeksiyon yüzündeki kenar her zaman küredeki karşılığından büyüktür.

Gauss Kruger Projeksiyonunda (Açıklık Açısı) Doğrultu İndirgemesi

Yeryüzündeki açıklık açısıyla projeksiyon düzlemindeki karşılığı arasındaki farka açıklık açısı redüksiyonu denir ve

şeklinde gösterilir.

üzerinde hesap yapılan kenarlar kısa ise redüksiyon bağıntıları daha basit biçime dönüştürülebilir. y1 ve y2 yerine bunların ortalama değeri,

alınırsa

veya

Gauss Kruger Projeksiyonunda Alan Redüksiyonu

Küre yüzeyindeki F alanı ile projeksiyon yüzeyindeki f alanı arasındaki fark aşağıdaki gibidir.

UTM PROJEKSİYONU

Universal Transvers Mercator (UTM) kelimelerinin baş harflerinden oluşan UTM projeksiyonu Gauss-Krüger projeksiyonundan başka bir şey değildir. Ancak koordinatları Gauss-Krüger koordinatlarından türetilen SAĞA ve YUKARI değerler olarak ifade edilir.

Dilim orta meridyeni (L0) ile Dilim Numarası (DN) arasındaki ilişki;

L0 = (DN)*60 – 1830 şeklindedir.

Türkiye’ de ülke nirengi ağına dayalı 1/25000 ölçekli temel haritalar 60 lik dilim genişlikli Gauss-Krüger sistemine göre üretilmiştir. 1/5000 ölçekli Standart Topografik (ST) ve Standart Topografik Kadastral (STK) haritalarda 30 lik dilim genişlikli Gauss-Krüger sisteminde üretilmektedir.

Gauss-Krüger koordinatları bilinen bir noktada UTM koordinatları aşağıdaki gibi hesaplanır.SAĞA = (DN) (500 000 + m0.Yg)YUKARI = m0.Xg (kuzey yarı küre için)YUKARI = 10 000 000 + m0.Xg (güney yarı küre için)m0 = 0,9996

1/5000 ve daha büyük ölçekli haritaların yapılmasında dilim genişliği 30 olan Değiştirilmiş UTM projeksiyonu kullanılmaktadır. Bu projeksiyonda m0 = 1.0000 alınır. SAĞA ve YUKARI değerlerin hesabı UTM projeksiyonunda olduğu gibi hesaplanır. Ancak SAĞA değerin önünde bulunan dilim numarası bu projeksiyonda kullanılmaz.

Örnek : UTM koordinatları aşağıdaki şekilde verilen noktanın Gauss-Krüger koordinatlarını bulunuz.

SAĞA = 36 335 127.111 m

YUKARI = 4 889 701.222 mSAĞA = (DN) (500 000 + m0.Yg)YUKARI = m0.Xg

Dilim numarasının DN = 36 olduğu görülmektedir.

Yg = (SAĞA – 500 000) / m0 = - 164 938.865 mXg = YUKARI / m0 = 4 891 657.885 m

Dilim orta meridyeni;L0 = (DN)*60 – 1830 = 330

30 lik değiştirilmiş UTM koordinatları (m0 = 1.0000 )SAĞA = 500 000 + m0.Yg = 335 061.135 mYUKARI = m0.Xg = 4 891 657.885 m

Örnek : Dilim orta meridyeni L0 = 270 sisteminde değiştirilmiş UTM koordinatları SAĞA = 735 999.113 m YUKARI = 4 349 715.215 molarak verilen noktanın aynı dilimdeki UTM koordinatlarını bulunuz.

DN = (L0 + 183) / 60 = 35Xg = YUKARI / m0 = 4 349 715.215 m (m0 = 1.0000) Yg = (SAĞA – 500 000) / m0 = 235 999.113 m

UTM koordinatlarının hesabı (m0 = 0.9996)SAĞA = (DN) (500 000 + m0.Yg) = 35 735 904.713YUKARI = m0.Xg = 4 347 975.329

Elipsoidal Coğrafi Koordinatlardan Gauss-Krüger Koordinatlarının Bulunması

G = A' B + B' sin2B + C' sin4B + D' sin6B

şeklinde hesaplanır.

G değeri yukarıdaki gibi hesaplandıktan sonra Gauss-Krüger koordinatları coğrafi koordinatlara bağlı olarak (BÖHYY),

xg = G +

yg =

hesaplanabilir. Meridyen yakınsaması açısı derece cinsinden

C = sin B lo {1+1.0153914 x10-4(1+32)cos2B lo2}

şeklinde hesaplanır.

Örnek:B = 39o 00’ 36”L = 39o 30’ 00”Elipsoidal coğrafi koordinatları yukarıdaki gibi verilen noktanın Lo = 36o başlangıçlı sistemdeki xg, yg Gauss-Krüger koordinatlarını ve C meridyen yakınsamasını bulunuz.

Çözüm :

l = L - Lo = 30’ boylam farkı ve B = 39o 00’ 36” enlemi için G değeriG = A' B + B' sin2B + C' sin4B + D' sin6B = 4319686.9818m

t = tan B=0.810073057 , 2 = e’2 cos2B=0.0040865204555 ,

V2 = 1 + 2 = 1.00408652046 N = c / V=6386899.81494 olmak üzere

xg = G + = 4319805.9330m

yg =

= 43309.1669m

C = sin B lo {1+1.0153914 x10-4(1+32)cos2B lo2} = 0.314728011 o = 18’ 53.0208”

Gauss-Krüger Koordinatlarından Elipsoidal Coğrafi Koordinatların Bulunması

Verilenler: Lo sisteminde P(xg , yg ) Gauss-Krüger koordinatlarıİstenenler: Aynı noktanın P(B,L) coğrafi koordinatları ve C meridyen yakınsaması açısı

Çözüm :

Önce BF ayak noktasının enlemi xg = G meridyen yayını gören enlem değeri olarak hesaplanır.

= G / A’

BF = + B''sin2 + C''sin4 + D''sin6 +...

Noktanın elipsoidal coğrafi koordinatları BF ayak noktasının enlemi yukarıdaki gibi hesaplandıktan sonra istenen B,L ve C değerleri aşağıdaki gibi elde edilir.

B = BF -

L = Lo +

C = -

NOT: BF enleminin hesabı, diğer katsayıların hesabında kullanıldığı için çok önemlidir. Bu nedenle yeteri doğrulukta örneğin 0.0001” duyarlıkta hesaplanmalıdır.

Örnek: Gauss-Krüger koordinatları Lo =30o sistemindexg = 4459985.978myg = -47194.977m

olarak verilen noktanın (B, L) elipsoidal coğrafi koordinatlarını bulunuz.

Çözüm :

Önce BF ayak noktasının enlemi xg = G meridyen yayını gören enlem değeri olarak hesaplanır.

= G / A’

BF = + B''sin2 + C''sin4 + D''sin6 = 40.2736032064o

t = tan BF= 0.847269923893 , 2 = e’2 cos2BF = 3.93987011E-3 ,

VF2 = 1 + 2 = 1.00393987 NF = c / V=6387366.28053 olmak üzere

B = BF -

B = 40.2722728869o = 40o 16’ 20.1824”

L = Lo +

L = 29.4451422806o = 29o 26’ 42.5122”

C = - = -0.358700453o = -21’ 31.3216”

olarak bulunur.

GAUSS-KRÜGER PROJEKSİYONUNDA KOMŞU DİLİMLER ARASINDA

KOORDİNAT DÖNÜŞÜMÜ

Dilim dönüşümü için en genel olarak dolaylı dönüşüm yöntemi ile önce I.sistemde verilen (Yg,Xg) Gauss-Krüger koordinatlardan noktanın elipsoidal coğrafi koordinatları (B,L) hesaplanır. Daha sonra bu coğrafi koordinatlardan noktanın II. Sistemdeki Gauss-Krüger koordinatları yukarıda verilen eşitliklerden yararlanılarak hesaplanır.

Örnek: Gauss-Krüger koordinatları Lo =33o sistemindexg = 4891657.885myg = -164938.865m

olarak verilen noktanın Lo =30o derece dilimindeki Gauss-Krüger koordinatlarını bulunuz.

Çözüm : önce yukarıdaki eşitliklerden noktanın coğrafi koordinatları bulunur.BF = 44.1597077 o

B = 44 o08’ 27.9929”L = 30 o 56’ 19.6154”Bulunan bu coğrafi koordinatlardan yine yukarıdaki eşitliklerden noktanın 30 derece dilimindeki Gauss-Krüger koordinatları aşağıdaki gibi bulunur.

xg = 4890019.857myg = +75121.031m

DOĞAL KOORDİNATLAR İLE ELİPSOİDAL KOORDİNATLAR ARASINDAKİ İLİŞKİ

( , , H) doğal koordinatlarından (B,L,h) elipsoidal koordinatlarının eldesi için,

B = - L = - sec Bh = H + N

eşitlikleri kullanılır. Burada ve ilgili noktalardaki çekül sapması bileşenleridir.

, : P noktasının astronomik enlem ve boylamı

B , L : P noktasının elipsoidal (coğrafi) enlem ve boylamı

= : P noktasındaki çekül sapması

= - B : çekül sapmasının güney-kuzey doğrultusundaki bileşeni

= ( - L)cosB : çekül sapmasının doğu-batı doğrultusundaki bileşenini

göstermektedir.

Bir Pi noktasındaki çekül sapmasının açıklık açısındaki bir doğrultudaki bileşeni

= i cos + i sin

şeklinde hesaplanır. Bir noktada bağıl çekül sapması , ya da bunun güney-kuzey doğrultusundaki bileşeni ile doğu-batı doğrultusundaki bileşeni biliniyorsa, i durulan nokta, k bakılan nokta indisi olmak üzere ölçülen doğrultu açısına çekül sapması nedeniyle getirilecek düzeltme

(rik)ç = i tan Bi + (i sin ik - i cos ik)

eşitliği ile verilmiştir. Burada h, ilgili noktaların denizden yüksekliği, S iki nokta arasındaki uzaklık, ik doğrultunun azimutu, Bi ise Pi noktasının elipsoidal enlemidir. Bu indirgeme

Hedef Noktası Yükseltisi Nedeniyle Uygulanacak İndirgeme

(rik)h = sin ik cosBi

eşitliği ile verilmiştir.

Normal Kesit Eğrisinden Jeodezik Eğriye Geçiş İndirgemesi

(rik)j = sin 2ik cosBi

eşitliği ile verilmiştir. Ancak kenar uzunluklarının 100km. yi geçmediği hallerde indirgeme değeri , ihmal edilebilecek bir değer olan 0.01'' nin altında kalır.

Özet olarak fiziksel yeryüzünde ölçülen yatay doğrultuları elipsoid yüzeyine indirgemek için; Çekül sapması indigemesi, Hedef noktası yüksekliği indirgemesi ve Normal kesit eğrisindenÖlçülen Uzunlukların Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi

Fiziksel yeryüzünde Pi ve Pk gibi iki nokta arasında EUÖ ile ölçülen ve meteorolojik düzeltme getirilmiş l eğik uzunluğu önce deniz yüzeyideki lo kiriş uzunluğuna ardından da istenen S uzunluğu elde edilir. İndirgeme işlemi aşağıdaki eşitlikle gerçekleştirilir.

S = 2R arcsin ( )

burada;

HD : Durulan noktanın yüksekliği (Pi)IE : Elektronik uzunluk ölçer aletinin yüksekliği HB : Bakılan noktanın yüksekliği (Pk )TP : Prizma (yansıtıcı, reflektör) yüksekliği l : Meteorolojik düzeltme getirilmiş eğik uzaklıkl0 : Elipsoidin kiriş uzunluğuS : Elipsoid yüzeyine indirgenmiş uzaklıkR = : Çalışma bölgesindeki gauss küresi yarıçapı

Elipsoid

Yeryüzü

O

hi

hk

RR

l0

S

Pk

Pi l

bu indirgeme ile bulunan deniz seviyesindeki S kenarının elipsoid yüzünede indirgenmesi gerekir. Bunun için bu bölgede elipsoidin jeoidden yüksekliğinin (N: jeoid yüksekliklerinin) bilinmesi gerekir. Bu yüksekliklerin bilinmesi fiziksel jeodezinin alanına giren oldukça güç bir sorundur. Buna karşılık genel kanıya göre bu indirgeme değerinin büyüklüğü pratikte rahatlıkla gözardı edilebilir miktardadır. Bu nedenle ölçülen kenarların elipsoid yüzündeki değeri yerine jeoid yüzündeki büyüklükleri ile alınır. Böylelikle elipsoid üzerinde normal kesit eğrisinin uzunluğu elde edilir. Normal kesit eğrisi (S) uzunluğundan jeodezik eğri () uzunluğuna geçiş

= S -

eşitliğinden yararlanılır. Ancak getirilecek bu düzeltme de son derece küçük olduğu için pratikte rahatlıkla göz ardı edilebilir.

Kenar uzunlukları 10km yi geçmeyen ağlarda ölçülen ( l ) eğik uzaklığın düşey açı (Z) ölçüsüyle

ly = l sin Z yataya indirgenmiş uzunlukelde edildikten sonra

S = ly (1- )

şeklinde deniz yüzeyine indirgenmiş uzunluk hesaplanır. Bu biçimde hesaplanan S uzaklığı elipsoid yüzeyindeki jeodezik eğrinin uzunluğu olarak alınabilir. Bu bağıntıda H = (Hi + Hk)/2 kenarın deniz düzeyinden ortalama yüksekliğini gösterir.

Dönel elipsoide ilişkin parametreler

c = a2 / b

Meridyen yönündeki eğrilik yarıçapı: M = c / V3

Meridyene dik yöndeki eğrilik yarıçapı: N = c / V

V2 = 1+e’2 cos2BSoldner küresi yarıçapı Bo enleminde Rs = No

Soldner küresi yarıçapı Bo enleminde değeri alınır.

Normal kesit eğrilik yarıçapı

Parametreler Hayford Elipsoidi WGS84 ElipsoidiBüyük yarıeksen a 6 378 388m 6 378 137.0000m

Küçük yarıeksen b 6 356 911.94613m 6 356 752.3141mKutup noktası meridyen eğrilik yarıçapı c

6 399 936.60811m 6 399 593.6258m

Basıklık f , 1/297 = 0.00336703367 1/298.257223563=0.0033528106

I.eksentrisite e2 0.00672 26700 22333 0.00669437999013II.eksentrisite e’2 0.00676 81701 97224 0.00673949674227

Elipsoidde Meridyen Yayı Uzunluğu Hesabı:

Ekvatordan B enlemine kadar olan yay uzunluğu

G = A' B + B' sin2B + C' sin4B + D' sin6B +...

A' = 111 136 .536 655m/ B' = -16 107.0347m

C' = 16.9762m D' = -0.0223m

Meridyen Yayı Uzunluğundan Enlemin Belirlenmesi:

Ekvatordan B enlemine kadar olan G yay uzunluğu verilmişse

B = + B''sin2 + C''sin4 + D''sin6 +...

= G / A’

A' = 111 136.536 655m/ B'' = 0.144 930 070

C'' = 0.000 213 851 D'' = 0.000 000 432

Elipsoidde alan hesabı:

kuşak alanı

Böylece B1 ve B2 enlemli paralel daireleri arasındaki elipsoid yüzeyinin alanı hesaplanır. İstenen grid alanı

F = z

Elipsoidal coğrafi koordinatlardan Global dik koordinatların hesabı,

(B, L, h) (X, Y, Z)

burada ; N meridyene dik doğrultudaki normal kesit eğrilik yarıçapı, a ve b sırasıyla elipsoidin büyük ve küçük yarı eksenleri e2 ise,

e2 = (a2-b2) / a2

şeklinde hesaplanan birinci dışmerkezlik(eksantrisite) dir.

Örnek : Elipsoidal koordinatları B = 39o , L = 40o ve h = 1200m. olarak verilen noktanın elipsoidal dik koordinatlarını hesaplayınız (Hayford elipsoidine göre).

Global dik koordinatlar verildiğinde elipsoidal coğrafi koordinatların hesabı,

(X, Y, Z) (B, L, h)

eşitlikleri ile gerçekleştirilir (Bektaş,S.,1991). B coğrafi enlemi yukarıdaki ikinci eşitlikten iteratif olarak hesaplanması gerekir. Bo yaklaşık değeri için Bo = arc tan (Z / (X2 + Y2 )0.5 ) değeri alınabileceği gibi her durumda sıfır değeri de alınabilir.

Örnek : Elipsoidal dik koordinatları X= 3803014.704m, Y= 3191108.236m ve Z= 3993138.034m. olarak verilen noktanın elipsoidal coğrafi koordinatlarını hesaplayınız (Hayford elipsoidine göre).

Bo yaklaşık değeri için Bo = 00 değeri alınırsa

Bo = 0oB1 = 39.05443939oB2 = 38.99985402oB3 = 39.00000039oB4 = 39o

Elipsoidal boylam L ve elipsoidal enlem B değeri yukarıdaki gibi bulunduktan sonra h elipsoidal yüksekliği

şeklinde bulunur.

Elipsoidde Enlem Çeşitleri:

Elipsoid üzerinde coğrafi enlemin yanında, çeşitli amaçlarla başka enlemler de tanımlanmıştır. Bunlar; coğrafi enlem (B), indirgenmiş enlem (), jeosentrik enlem () ve izometrik enlem (q) dür.

Jeosentrik yarıçap G = dir. G nin yaklaşık değeri seri açılımından yaklaşık olarak

G = a (1- )

şeklinde hesaplanır.1)Coğrafi Enlem (B): Elipsoidin bir P noktasındaki yüzey normalinin ekvator düzlemi ile yaptığı açıdır.2)İndirgenmiş Enlem (): P elipsoid noktası, dönme eksenine paralel bir doğru ile, elipsoid ile aynı merkezli ve a yarıçaplı bir küre üzerine izdüşürülürse P’ noktası elde edilir. P’ noktasını merkeze birleştiren doğrunun ekvator düzlemi ile yaptığı açıdır.3)Jeosentrik Enlem (): P elipsoid noktasını ile elipsoidin merkezini birleştiren doğrunun ekvator düzlemi ile yaptığı açıdır. Jeosentrik enleme merkezi enlem de denir.4)İzometrik Enlem (q) : Elipsoid üzerinde, coğrafi boylamın diferansiyel artımı dL ‘ ye eşit metrik diferansiyel artımı olan enleme izometrik enlem denir.Coğrafi enleme ve izometrik enleme göre herhangibir elipsoid eğrisinin yay elemanı

dS2 = M2 dB2 + N2 cos2 B dL2 (coğrafi koordinatlara göre)

dS2 = N2 cos2 B (dq2 +dL2 ) (izometrik enleme göre)

şeklinde ifade edilir. O halde coğrafi koordinatlar sistemi izometrik değildir. Yani q izometrik enlemi ile L coğrafi boylamı elipsoid üzerinde F = 0 ve E = G = N 2 cos2 B olan ortogonal bir parametre ağı meydana getirirler. Bunun gerçekleşmesi için izometrik enlem

q =

integralinden hesaplanmalıdır.

Enlem Çeşitleri Arasındaki Bağıntılar

a

B

ab

P

P'

Bir P elipsoid noktasının farklı enlemleri yanda gösterilmektedir.G=OP : Jeosentrik (merkez) yarıçap

O

G

İzometrik enlemle coğrafi enlem arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir.

q = arc tanh (sin B) – e arc tanh (e sin B) Bi+1 = arc sin { tanh [ q + e arc tanh (e sin Bi )] } ( i = 0,1,2, ...)

Iteratif hesaplama için coğrafi enlemin yaklaşık değeri B 0 = arc sin ( tanh q) alınabilir. q izometrik enleminden B coğrafi enlemini direkt olarak iterasyonsuz biçimde aşağıdaki gibi seri açınımından hesaplanabilir.

= arc sin ( tanh q )

B = + C2 sin 2 + C4 sin 4 + C6 sin 6 + C8 sin 8 +.......Bu serideki C katsayıları ;

C2 = 0.193 131 2717o

C4 = 0.000 379 7387o

C6 = 0.000 001 0239o

C8 = 0.000 000 0031o

Yay elemanı formülüKoordinatları q1, q2, q3, ..... qn olan n boyutlu bir koordinat sisteminde en genel yay elemanı formülü;

ds2 =

1) Gauss Eğrilik Ölçütü (K) :Bir yüzey noktasındaki eğrilik ölçüsü K, Gauss’a göre Rmin ve Rmax anaeğrilik yarıçapı olmak üzere;

2)Ortalama Eğrilik Ölçütü (H) :

Bir yüzey noktasındaki iki ana eğriliğin ortalamasıdır.

H =

u, v parametreleri yerine coğrafi koordinatlar kullanıldığında küre ve elipsoid üzerinde değişik yüzey eğrilerinin eğrilikleri aşağıda tablo halinde verilmiştir.

CLAİRAUT DENKLEMİ

Dönel elipsoidde enleme bağlı olarak herhangi bir paralel dairenin yarıçapı, Burada N meridyene dik doğrultudaki eğrilik yarıçapıdır.

Clairaut eşitliği

Clairaut denklemini sözle ifade edecek olursak , bir jeodezik eğrinin geçtiği her noktadaki azimutun sinüsü ile o noktadaki paralel dairenin yarıçapı çarpımı sabittir.

Elipsoidal Jeodezik Dik Koordinatlardan Coğrafi Koordinatların Eldesi

Verilenler: Po(Bo,Lo) başlangıç noktasının koordinatları ve P(x , y)İstenenler : Coğrafi koordinatlar P(B,L) ve meridyen yakınsaması (konvergensi)

Öncelikle ekvatordan itibaren P noktasının meridyene indirilen dikin ayak (H) noktasına kadar olan yay uzunluğu G hesaplanır ve bu G değerine karşılık gelen BF enlemi hesaplanır. Bu durumda G nin hesabı için ekvatordan Po noktasına kadar olan yay uzunluğunu hesaplayıp bu değere P noktasının x değerini eklemek gerekir. Ekvatordan Bo enlemli Po noktasına olan yay uzunluğu

Gp0 = A' Bo + B' sin2Bo + C' sin4Bo + D' sin6Bo +... olur. Buradaki katsayılar;

A' = 111 136 .536 655m/ B' = -16 107.0347m

C' = 16.9762m D' = -0.0223m

hesaplanan Gp0 değerine noktanın x değeri eklenerek

G = Gp0 + x

şeklinde toplam yay uzunluğu G değeri elde edilir. Bu G değerine karşılık gelen BF enlemi ise

BF = + B''sin2 + C''sin4 + D''sin6 +...

serisi elde edilir. Buradaki katsayılar ;

= G / A’

A' = 111 136.536 655m/ B'' = 0.144 930 070

C'' = 0.000 213 851 D'' = 0.000 000 432

BF enlemi yukarıdaki gibi elde edildikten sonra P noktasının istenen coğrafi koordinatları ve meridyen yakınsaması aşağıdaki formüllerden elde edilir. Formüllerdeki F alt indisi bütün hesaplamaların BF enlemiyle yapılacağını göstermektedir.

B = BF -

L = Lo +

C =

t = tan BF , 2 = e’2 cos2BF , V2=1+2 , N = c / V

Coğrafi Koordinatlardan Elipsoidal Jeodezik Dik Koordinatların Eldesi

Verilenler: Po(Bo ,Lo) başlangıç noktasının koordinatları ve P(B, L)İstenenler : Jeodezik dik koordinatlar P(x,y) ve meridyen yakınsaması (konvergensi)

l = L – L0

l boylam farkını göstermek üzere P noktasının jeodezik dik koordinatları (Po başlangıcına göre) aşağıdaki gibi hesaplanır.

x = sin B cosB 2 + sin B cos3B + .......

x = GB + x

y =

= sin B +

Coğrafi Koordinatlardan Elipsoidal Jeodezik Dik Koordinatların Eldesi

Verilenler: Po(Bo ,Lo) başlangıç noktasının koordinatları ve P(B, L)İstenenler : Jeodezik dik koordinatlar P(x,y) ve meridyen yakınsaması (konvergensi)

l = L – L0

l boylam farkını göstermek üzere P noktasının jeodezik dik koordinatları (Po başlangıcına göre) aşağıdaki gibi hesaplanır.

x = sin B cosB 2 + sin B cos3B + .......

x = GB + x

y =

= sin B +

Elipsoit Yüzeyinde Jeodezik Dik Koordinatlar Temel Ödevlerin Çözümü

Jeodezik dik koordinatlar x , y ve (=T) nin yüzey üzerinde s eğrisi boyunca değişim göstermesi, kısaca bu büyüklüklerin, eğrinin x = x (s) , y = y (s) , = (s) olarak birer fonksiyonları olmasıdır. x, y ve daki s eğrisi boyunca değişimler Legendre serisine göre aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

x2 = x1 +

y2 = y1 +

2 = 1 +

yukarıdaki türevler alınıp yerine konduğunda ikinci noktanın koordinatları ve 2 değeri

y = y2 = y1 + v + y

x = x2 = x1 + u + x

= - 2 = 1 +

u = S cos T12 , v = S sin T12 , R1 = t1 = tanB1

olur. Küre ve elipsoit arasındaki farkı altı çizili olan parametreler oluşturmaktadır.

Örnek: I. Temel Ödev ÇözümüVerilenler: x1 = 4374643.614m y1 = 0.000m

S = 69876.8925m T12 = 141o 41’ 55.728”İstenenler : y2 , x2, T21

Önce x1 değerine karşılık gelen enlem değeri için Gauss küresinin yarıçapı hesaplanır.

x1 = 4374643.614m B = 39.505o R = 6374253.344mu = S cos T12 = -54836.8371 v = S sin T12 = 43309.3685m

yukarıdaki formüllerden x = -0.84399m y = -0.53425mx2 = x1 + u + x = 4319805.9329m y2 = y1 + v + y = 43308.8343m

ve T21 = 321.7004878o = 321 o 42 ’ 01.7562 ” olarak bulunur.

Örnek: II. Temel Ödev ÇözümüVerilenler: x1 = 4374643.614m y1 = 0.000m

x2 = 4319805.9329m y2 = 43308.8343mİstenenler : S, T12, T21

Önce xm =(x1 +x2 )/2 değerine karşılık gelen enlem değeri için Gauss küresinin yarıçapı hesaplanır. Xm = 4347224.773m B = 39.258041o R = 6374071.694m

x , y redüksiyonları I.temel ödevdeki eşitliklerden

u = x2 –x1 = -54837.681m; v = y2 – y1 = 43308.8343m ;alarak hesaplanır. x = -0.84399m ; y = -0.53425mT12 = arc tan ((v-y)/(u-x)) = 141 o 41 ’ 55.7279 ” ve S =(v-y)/ sin T12 = 69876.8925m

= 6.0286” ve T21 =2 = 1 + = 321 o 42 ’ 01.7562 ”

Elipsoidal Coğrafi Koordinatlarla Temel Ödev Hesapları

Elipsoidde I. Temel Ödevin Schreiber yöntemiyle Çözümü

Verilenler: Pi(Bi,Li) ve Aik , Sik

İstenenler : Pk(Bk,Lk) ve Aki

Bu yöntemde önce Pk noktasından başlangıç meridyeni üzerine indirilen dikin ayak noktası F nin enlemi BF hesaplanır.

u = S cos Aik , v = S sin Aik

BF = Bi -

Böylece Pk noktasının elipsoidal koordinatları Bk, Lk ve Aki azimutu ,

z = y NF / , y = v – u2v / (6MiNi)

Bk = BF +

Lk = Li +

Aki = Aik +

olarak ifade edilebilir.

tF = tan BF , VF2 = 1 + F

2 = 1 + e’2 cos2BF ve NF = c / VF

Örnek:

Verilenler: B1 = 39o 30’ 18” L1 =39o 00’ 00” S = 69876.8926m A12 = 141o 41’ 55.7301”

İstenenler : B2 , L2, A21

Önce yukarıdaki BF eşitliğinden BF enlem değeri hesaplanır.

BF = 39.011071465o

yukarıdaki formül takımından,

B2 =39.01o = 39o 00’ 36”

L2 =39.5o = 39o 30’ 00”

A21=322.01520988o = 322o 00’ 54.788”

olarak bulunur.

Elipsoidde II. Temel Ödevin Gauss Ortalama Enlem Yöntemiyle Çözümü

Verilenler: Pi(Bi,Li) ve Pk(Bk,Lk)İstenenler : Sik , Aik ve Aki

İkinci temel ödevin elipsoid yüzeyinde çözümü için,

b = Bk – Bi , l = Lk - Li , B = (Bk + Bi ) / 2 B ortalama enlemiyle katsayılar hesaplanır.

u = Sik cos Aik =

v = Sik sin Aik =

A =

yukarıdaki v değeri u değerine bölünürse ,

A ortalama azimut değeri ve istenen azimutlar

Aik = A - A / 2 ve Aki = A + A / 2 Sik kenarı da,

şeklinde kontrollü olarak bulunur.

DENGELEME HESABI

DUYARLIK ÖLÇÜTLERİ

1-Mutlak Hata: Gerçek değeri bilinen bir büyüklüğün n kez ölçülmesi durumunda,

i = Li – (i = 1,2,3,...,n)

Gerçek hata = Ölçü - Gerçek değer

2-Ortalama Hata

3-Olası (muhtemel) Hata: mutlak değer olarak büyüklük sırasına dizilmiş gerçek hata kümesinin medyanı(ortanca değeri) bize olası hatayı verir.

4-Bağıl Hata (oransal, nispi hata): Bağıl hata, hatanın ölçüye oranıdır.

Bağıl Hata =

VARYANS, KOVARYANS ve KORELASYON

Ölçülen büyüklüklerin gerçek değerleri x , y ölçüler Lxi ve Lyi (i=1,2,3....n) olsun . Buna göre;

xi = x - Lxi yi = y - Lyi

gerçek düzeltmeler (sapmalar) ile kuramsal varyans ve kovaryans için

, ,

eşitlikleri geçerli olur.

Ölçülen büyüklüklerin gerçek değerleri bilinmiyorsa deneysel varyanslar ve deneysel kovaryanslar düzeltmeler yardımıyla belirlenir. Ölçülerin aritmetik ortalamaları

,

ve düzeltmeler

vxi = - Lxi , vyi = – Lyi

olduğuna göre ilgili büyüklüklerin deneysel varyansları ve aralarındaki deneysel kovaryans,

, ,

olur.

Deneysel korelasyon katsayısı,

rxy = -1 rxy 1

Hata yayılma kuralı x = F(L1, L2, L3,………, Ln) şeklinde bir fonksiyonu olsun. Ölçülerin hataları sırasıyla 1, 2, 3,………, n olsun. Bu durumda x fonksiyonunun karesel ortalama hatası x

aşağıdaki gibi hataların yayılma kuralından hesaplanır.

x = =

Matris gösterimiyle Hataların yayılma kuralı

f = f(L)df = F dLKff =F KLL FT

olur. Bu bağıntıya genel varyans ve kovaryans yayılma kuralı (genel hata yayılma kuralı) adı verilir.

Matris gösterimiyle ölçülerin f fonksiyonunun kofaktör matrisi aşağıdaki gibi olur.

Düzeltmeler cinsinden varyans

korelasyon varsa

korelasyon yoksa

ölçüler arasında korelasyon yoksa r = 0 ise aritmetik ortalamanın varyansı

Ölçülerin ağırlıklarının farklı olması durumunda

kesin değer ağırlıklı aritmetik ortalama alarak

şeklinde hesaplanır. Bu durumda birim ölçünün ortalama hatası (mo), kesin değerin ortalama hatası (mx) ve ağırlığı pi olan ölçünün ortalama hatası (mi) aşağıdaki gibi olur.

ölçü sayısının (n) bilinmeyen sayısının (u) olduğu bir problem için birim ölçünün ortalama hatası aşağıdaki gibi olur.

Ölçü Çiftlerinden Ortalama Hata Hesabı

Aynı büyüklüğe ait eşit duyarlıklı iki ölçünün ortalaması li ile gösterilirse,

-Ölçü çiftlerinin ağırlıklarının farklı olması durumunda hata hesabı aşağıdaki gibi olmaktadır.

Dolaylı ölçüler dengelemesi

Fonksiyonel model v = A x – l Stokastik Model P = QLL-1

Dengelemenin ilkesi vT QLL-1v = min.

: normal denklemler

: çözüm, x bilinmeyenler vektörüya da kısaltmalar kullanarak,Dolaylı ölçüler dengelemesinin işlem adımları

1- (n) ölçü ve (u) bilinmeyen sayısından fazla ölçü (f = n – u) sayısının belirlenerek dengelemeye karar verilmesi

2- (u) sayıda bilinmeyenin seçilmesi(x,y,z,....)3- bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerinin belirlenmesi(xo,yo,zo,....)4- ölçülerin stokastik modelinin (ağırlıkların) belirlenmesi (P)5- düzeltmelerin biriminin seçilmesi, düzeltme denklemlerinin kurulması ve

gerekiyorsa doğrusallaştırılması (v = A x – l)

6- normal denklemlerin kurulması( ATPA x – ATPl = 0)7- normal denklemlerin çözümü ve bilinmeyenlerin hesabı (x =(ATPA)-1ATPl)8- normal denklem katsayılar matrisinin tersinin hesabı Q =(ATPA)-1 9- düzeltmelerin hesabı(v = A x – l)10-vTPv kontrolları 11-dengeli ölçülerin hesabı ( )

12-sonuç denetimleri ( A x)

13-duyarlık hesapları14-model hipotezinin genel testi ve bilinmeyenlerin anlamlılık testi

NİRENGİ AĞLARININ DENGELENMESİ

Yatay uzunluk ölçüsü (S) için Düzeltme denkleminin yazılması

Pi noktası ile Pj noktası arasında ölçülen Sij yatay uzunluk ölçüsü için yazılacak düzeltme denklemi

vsij = - a dxi – b dyi + a dxj + b dyj – lij -lij = Sij0 -Sij

düzeltme denklemi elde edilir.

Sijo= : yaklaşık koordinatlardan hesaplanan uzaklık

= xoj - xoi = yoj - yoi

a = cos tij0 b = sin tij

0

tijo= arc tan : yaklaşık koordinatlardan hesaplanan açıklık açısı

Yatay doğrultular (r ) için Düzeltme denkleminin yazılması

Pi noktası ile Pj noktası arasında ölçülen r ij yatay doğrultu ölçüsü için yazılacak düzeltme denklemi için

Pi durak noktasındaki sıfır doğrultusunun yaklaşık değeri de o noktadaki yalnızca bir doğrultunun yaklaşık koordinatlardan hesaplanan açıklık açısından doğrultu değerini çıkararak

Zoi = tij0-rij

şeklinde alınabilir.

vrij = -dzi - a dxi – b dyi + a dxj + b dyj – lij -lij = tij0 –(Zoi

+ rij)

[cc/cm] birimli katsayılar aşağıdaki gibi olur.

a = - c= - c b = c = c

Semt ölçüleri ( ) için düzeltme denkleminin yazılması

vij = -a dxi – b dyi + a dxj + b dyj – lij -lij = tij0 –ij

buradaki a ve b katsayıları doğrultu düzeltme denklemlerindeki gibidir.

Açılar () için düzeltme denkleminin yazılması

Şekildeki ijk açı ölçüsünün dengeli değeri tik ve tij açklık açıları arasındaki farka eşittir.

ijk + vijk = arctan - arctan

bu düzeltme denkleminin doğrusallaştırılmasısonucunda vrik ve vrij doğrultuları için yazılacakdüzeltme denklemlerinin farkı elde edilir.

vijk = aijk dxi + bijk dyi -aij dxj – bij dyj + aik dxk + bik dyk – lijk

aijk = -aik + aij bijk = -bik + bij -lijk = tik

0 - tij0 – ijk

buradaki aik , aij ,bik ve bij doğrultu düzeltme denklemi katsayılarıdır. Örneğin

aij = - c bij = c

TEK NOKTA DENGELEMESİ

ÖRNEK:

Nokta Y ( m ) X( m )___ 27 27320.592 23312.451 32 25496.384 21760.503 34 28874.917 21756.765 39 27284.266 20235.390

Şekildeki nirengi ağında 27, 32, 34, 39 noktaları(Y, X) koordinatlarıyla sabit verilmiştir. Ağda oklarla gösterilen doğrultular gözlenmiş ve abriste verilmiştir. 133 noktasının dengeli koordinatlarını hesaplayınız.

Pi

Pj

tik

tij

//X

Pk

ijk

39 34

2732

1011

12

4

5 6

3

2 1

7

8 9

13

1415

16 133 6

ABRİS

Dur. Nok.

Bak.Nok

Koord. Hesaplanan

Açıklıklarto

Gözlenen Doğrultular

r

Zo = to – rZo = [to – r]/n

Yönetilmişdoğrultu = r + Zo

sabit- l =to-

(cc)

27 34 150.02786g 0.00000g 150.02786g

32 255.12274 105.09584 150.02690

133 (220.79295) 70.76351 Zo27 =150.02738 g 220.79089 g +20.6

34 39 251.41693 0.00000 251.41693

27 350.02786 98.61182 251.41604

133 (301.69471) 50.28006 Zo34 =251.41648 301.69654 -18.3

39 32 344.96122 0.00000 344.96122

34 51.41693 106.45528 344.96165

133 (381.47628) 36.51504 Zo39 =344.96144 381.47648 -2.0

32 27 55.12274 0.00000 55.12274

39 144.96122 89.83755 55.12367

133 (97.52483) 42.40162 Zo32=55.12320 97.52482 +0.1

133 27 20.79295 0.00000 20.79295 20.79228 +6.7

34 101.69471 80.90273 20.79198 101.69501 -3.0

39 181.47628 160.68555 20.79073 181.47783 -15.5

32 297.52483 276.73136 20.79347 297.52364 +11.9

Zo133= 20.79228

NOKTA DENGELEMESİ KLİŞESİ

Yaklaşık Koordinat Hesabı Na = 32 Nb= 39Ya = 25 496 384 Yb = 27 284 266 Y=Yb-Ya= 1787.882 a = 97.52482

Nokta No : 133

Y = 26 812.2434

X = 21 811.7056

Hesabı Yapan Kontrol Eden

İsim Mahir S. Temiz S. Bektaş

Tarih 23.12.2001 23.12.2001

İmza

Xa = 21 760 503 Xb = 20 235 390 X=Xb-Xa= -1525.133 b = 381.47648M = Y- X.tan b 1331.15736 R = tan a – tan b 26.00675247Yo=Ya+M tan a / R 26812.213 Xo=Xa+M / R 21811.688 Kenar Hesabı

Nokta Yi Xi Yo = Yi – Yo Xo = Xi – Xo

27 27320.592 23312.451 508.379 1500.763 1584.53134 28874.917 21756.765 2062.704 -54.923 2063.43539 27284.266 20235.390 472.053 -1576.298 1645.46332 25496.384 21760.503 -1315.829 -51.185 1316.824

Düzeltme Denklemlerinin Kurulması

Noktap=(-1)/ =63662Yo/So

2b = - 63662Xo/So

2 sabitler- l [cc]

dx dy düzeltmelerv =a dx+b dy -l

p = 1 dx dy v = dx+ dy-l27 0.67 12.9 -38.1 20.6 2.27 -11.57 11.334 0.67 30.8 0.8 -18.3 5.41 0.24 -12.6

39 0.67 11.1 37.1 -2.0 1.95 11.26 11.232 0.67 -48.3 1.9 0.1 -8.49 0.58 -7.827 1 11.3 -38.5 6.7 1.98 -11.69 -3.034 1 29.2 0.4 -3.0 5.13 0.12 2.239 1 9.5 36.7 -15.5 1.67 11.14 -2.732 1 -49.9 1.5 11.9 -8.17 0.46 3.6

Normal Denklemlerin Kurulması ve Çözümü [pvv] = 351.72A: [paa] = 5953.2605

B: [pab] = -247.9327

C: [pbb] = 4729.1709

D: [-pal] = -970.6531

E: [-pbl] = -1392.4929

F: [pll] = 944.5895

= AC - B2 dx = (BE - CD) / dy= (BD - AE) / Y = Y0 + dy X =X0 + dx28092515.69 0.1757 dm 0.3036 dm 26 812.2434 21 811.7056

[pvv]= F+Ddx+Edymo=

mx=mo. my=mo. mp=

351.28 8.38cc 0.109 dm 0.122 dm 0.164 dm Dengeli DeğerlerBN Gözl.Doğrult v cc Dengeli Dogr. Y = Yi-Y X = Xi -X t = tan-1(Y/X)

27 0.00000 -3.0 0.00000 508.3486 1600.7454 20.79202 1584.504734 80.90273 2.2 80.90325 2062.6136 -54.9406 101.69528 2063.405139 160.68555 -2.7 160.68558 472.0226 -1576.3156 181.47760 1645.471432 276.73136 3.6 276.73202 -1315.8594 -51.2026 297.52404 1316.8553 n : sabit nokta sayısı (4) : istasyonda bakılan nokta sayısı

Koordinat bilinmeyenlerinin ortalama hataları;

Nokta konum hatası:

Hata elipsi:

Hata elipsi,koordinatları dengelenen bir ağ noktasının geometrik yeri için tanımlanmaktadır. Hata elipsinin büyük yarı eksen uzunluğu (aH),küçük yarı eksen uzunluğu (bH) ve büyük yarı eksenin açıklık açısı (H) koordinat bilinmeyenlerinin ters ağırlık matrisi (Qxx) nin elemanlarından;

a H = b H =

H =

w = =Güven elipsi:s : seçilen güven olasılığıf : dengelemenin serbestlik derecesidir.

Güven elipsinin boyutları hata elipsi cinsinden,aG = aH bG = bH G = H

Bağıl (Rölatif) hata elipsi:

qx x = qxk xk + qxi xi - 2qxk xi

qy y = qyk yk + qyi yi - 2qyk yi

qx y = qxk yk + qxi yi - qxi yk- qyi xk

bağıl hata elipsinin elemanları hata elipsinin elemanlarının hesaplanmasına benzer olarak, hata elipsi eşitliklerinde qxx , qyy , qxy yerine qx x , qy y ,qx y yazılırsa bağıl hata elipsinin elemanları elde edilir.

Bağıl güven elipsi:

aBG = aBH bBG = bBH BG = BH

NİVELMAN AĞ DENGELEMESİ

Geçki uzunluğu Si olan Hij ölçüsünün ağırlığı Pi= 1/Si [km]

Geometrik yükseklik farkı ölçüsü (H) için Düzeltme denkleminin yazılması

Pi noktası ile Pj noktası arasında geometrik nivelmanla bulunan Hij ölçüsü için yazılacak düzeltme denklemi

vHij = - dhi + dhj - lij -lij = Hijo - Hij

şeklinde olur.

Hijo = Hoj-Hoi : yaklaşık yüksekliklerden hesaplanan yükseklik farkı

TRİGONOMETRİK NİVELMAN AĞ DENGELEMESİ

Düşey açı ölçüleri (Z ) için Düzeltme denkleminin yazılması

Trigonometrik nivelman işleminin dengeleme modeli üç farklı şekilde kurulabilir.

1- Sabit refraksiyon katsayılı model :

Refraksiyon katsayısı genelde ülkemiz için k= 0.13 olarak sabit alınır.

düşey açı düzeltmelerinin [cc], yükseklik bilinmeyenlerinin de [mm] birimli olacak şekilde düzenlenirse

bij= ref= k

vZij =

2- Değişken refraksiyon katsayılı model :

ki = ko + dki

Zij düşey açı ölçüsü için yazılması gereken düzeltme denklemi,

bij= ref= ko

vZij =

3-Ölçülerin yükseklik farklarına dönüştürülmesi modeli:

Trigonometrik nivelman ağ dengelemesinde yaklaşık çözüm veren daha basit bir model olarak ölçülen uzaklık ve düşey açı ölçülerden hesaplanan yükseklik farklarını geometrik yükseklik farkı ölçüleriymiş gibi değerlendirip geometrik nivelman ağ dengelemesi modeli kullanılabilir. Noktalar arasında yapılan uzunluk ve düşey açı gözlemlerinden yararlanarak aşağıdaki gibi küresellik ve refraksiyon etkileri de göz önünde bulundurularak noktalar arasında olması gereken yükseklik farkları aşağıdaki eşitliklerden bulunur.

Eğik uzunluklar ölçülmüşseHij = dij cos Zij + (1-k) dij

2/(2R) + a - i a : alet yüksekliğii : işaret yüksekliği

Yatay uzunluklar ölçülmüşse

Hij = Sij cot Zij + (1-k)Sij 2/(2R) + a - i

vHij = - dhi + dhj - lij -lij = Hijo -Hij

Hijo = Hoj-Hoi : yaklaşık yüksekliklerden hesaplanan yükseklik farkı

KOORDİNAT DÖNÜŞÜMLERİ

Benzerlik Dönüşümü

AFİN DÖNÜŞÜMÜ

(a6 = Yo)(a3= Xo)

PROJEKTİF DÖNÜŞÜM

(c6 = Yo)

(c3= Xo)

ÜÇ BOYUTLU JEODEZİK AĞLARIN DENGELENMESİ

Eğik uzunluk ölçüleri için düzeltme denkleminin yazılması

Pi noktası ile Pj noktası arasında ölçülen dij eğik uzunluk ölçüsü için yazılacak düzeltme denklemi

vsij = -a dxi – b dyi– c dzi + a dxj + b dyj + c dzj – lij -lij = dij0 -dij

düzeltme denklemi elde edilir.

a = = cos tij0 sin ij

0 b = = sin tij0 sin ij

0 c = =cos ij0

= xoj - xoi = yoj - yoi = zoj - zoi

dijo= : yaklaşık koordinatlardan hesaplanan eğik uzaklık

ijo= arc cos ( ) : yaklaşık koordinatlardan hesaplanan düşey açı

Pi

Pj

dij

tijo= arc tan ( ) : yaklaşık koordinatlardan hesaplanan açıklık açısı

Yatay doğrultular için düzeltme denkleminin yazılması

Pi noktası ile Pj noktası arasında ölçülen r ij yatay doğrultu ölçüsü için yazılacak düzeltme denklemi için iki boyutlu nirengi ağlarındakine benzer olarak

vrij = -dZi -a dxi – b dyi + a dxj + b dyj – lij -lij = tij0 –(Zoi

+ rij)

a = - = - b = =

tijo= arc tan ( ) : yaklaşık koordinatlardan hesaplanan açıklık açısı

Sijo= : yaklaşık koordinatlardan hesaplanan yatay uzaklık

Yöneltme bilinmeyenleri normal denklemlere geçmeden önce indirgenir.Düşey açı ölçüleri için düzeltme denkleminin yazılması

Pi noktasındaki refraksiyon katsayısı ki = ko + dki

vij = -a dxi – b dyi –c dzi + a dxj + b dyj +c dyj – dij /(2R) dki – lij

-lij =ij0 – i j– dij

refraksiyon katsayısı sabit alınmak istenirse yukarıdaki düzeltme denkleminde – dij /(2R) dki terimi geçmez

a = b = c = -