Black Litterman Modelによる最適化東京国際大学　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　渡辺　信一

相場観の表し方

2

投資家は、通常、特定の資産に対して、相場観を持っている。たとえば、株式よりも債券に対して強気だとか、国内資産よりも外国資産に対して強気だとかである。 しかし、たとえば、国内債券に対して強気だとしても、国内債券の期待収益率だけを上げて最適化しても、最適なアセット・アロケーションにはならない。なぜならば、その場合は、外国債券や CBの期待収益率を上げなければ整合的でないし、株式の期待収益率を下げる必要があるからである。 BLMは、このように、投資家の個別資産への相場観（期待収益率）を、アセット・アロケーションに反映させ、かつ、他の資産と整合的に変化させるモデルである。 BLMでは、投資家が、相場観を持っていた場合の最適なアセット・アロケーションを求めることができる。

相場観の表し方

3

 【ケース１】資産１の（無危険資産に対する）期待超過収益率は、３～７％                   である。     　　　　　　→資産１に対して、（絶対的に）強気の相場観を持っている。  【ケース２】資産２と資産３の（無危険資産に対する）期待超過収益率の                     差は、１００BPと４０BPの間である。    　　　　　　→資産２に対して、資産３よりも強気の相場観を持っている。   【ケース３】資産４の（無危険資産に対する）期待超過収益率は、                  マーケット・ポートフォリオ（TOPIX）を２００BP～０BP上回る。      　　　　　→資産４に対して、（インデックスに対して、相対的に）強気の                    相場観を持っている。

相場観の表し方

4

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-5-4.6

-4.2

-3.8

-3.4 -3

-2.6

-2.2

-1.8

-1.4 -1

-0.6

-0.2 0.2

0.6 1

1.4

1.8

2.2

2.6 3

3.4

3.8

4.2

平均 ± ２標準偏差に収まる確率は９５％

95.0)125125()73( 11 PP

5273

1437

95.0)15.027.015.027.0()14.0( 3232 PP7.0

214.0

15.044.01

95.0)5.021'5.021()2'0( 44 mPmP

1220

5.0402

【ケース１】

平均：標準

差：

正規分布を仮定すると、平均 ± ２標準偏差になる確率が９５％であることを利用している。

平均：

準偏差：

正規分布を仮定すると、平均 ± ２標準偏差になる確率が９５％であることを利用している。

　

平均：

標偏差：

【ケース３】

【ケース２】

正規分布を仮定すると、平均 ± ２標準偏差になる確率が９５％であることを利用している。5

相場観の表し方

6

v

N

Nmmmmm

17.05

10011000001

4

3

2

1

4321 ・・・・・・・・・・

2

2

5.000015.00001

,000

~ N

　

　

上記の相場観に基づいて、モデルは、下記の計算を行う。

相場観の表し方

7

［最適計算用マトリックス］

＜「各アセットの期待収益率ー短期金利」のマトリックス＞

( )１ ( )２ ( )３ ( )４ ( )５ ( )６ ( )７ ( )８ ( )９ (10)アセット・クラス 短期金利 国内債券 国内ＣＢ 国内株式 米国債券 欧州債券 米国株式 欧州株式 ｱｼ ｱ゙株式 貸付金( )２ 国内債券 - 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0( )３ 国内ＣＢ - 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0( )４ 国内株式 - 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0( )５ 米国債券 - 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0( )６ 欧州債券 - 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0( )７ 米国株式 - 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0( )８ 欧州株式 - 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0( )９ ｱｼﾞｱ株式 - 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0(10) 貸付金 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

実際には、短期金利を基準にして、超過収益率を算出する。

【参考】　 BLMの出力画面の説明

8

【 BLM出力画面】は、以下のことを表している。  均衡期待収益率とリスク→ヒストリカルな値を自動計算 相関係数行列→ヒストリカルな値を自動計算

【参考】　 BLMの出力画面の説明

9

１．均衡期待収益率とリスク（年率・％）

均衡期待 リスクアセット・クラス 収益率 ( )標準偏差

( )１ 短期金利 2. 0% 1. 0%( )２ 国内債券 5. 0% 4. 2%( )３ 国内ＣＢ 7. 0% 7. 0%( )４ 国内株式 9. 5% 11. 0%( )５ 米国債券 5. 0% 8. 0%( )６ 欧州債券 5. 5% 5. 8%( )７ 米国株式 8. 0% 12. 0%( )８ 欧州株式 7. 0% 14. 0%( )９ ｱｼﾞｱ株式 9. 5% 25. 4%(10) 貸付金 4. 0% 0. 6%

２．相関係数行列

短期金利 国内債券 国内ＣＢ 国内株式 米国債券 欧州債券 米国株式 欧州株式 ｱｼﾞｱ株式 貸付金( )１ 短期金利 1. 00( )２ 国内債券 0. 12 1. 00( )３ 国内ＣＢ - 0. 14 0. 30 1. 00( )４ 国内株式 - 0. 23 0. 23 0. 70 1. 00( )５ 米国債券 0. 41 0. 57 0. 00 - 0. 03 1. 00( )６ 欧州債券 0. 24 0. 85 0. 19 0. 10 0. 52 1. 00( )７ 米国株式 0. 15 0. 23 0. 22 0. 39 0. 11 0. 26 1. 00( )８ 欧州株式 0. 00 0. 15 0. 23 0. 22 - 0. 10 0. 19 0. 69 1. 00( )９ ｱｼﾞｱ株式 - 0. 03 0. 20 0. 26 0. 10 - 0. 17 0. 13 0. 47 0. 68 1. 00(10) 貸付金 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 1. 00

ﾒﾆｭｰ

開始

【参考】　 BLMの出力画面の説明

10

 ①【ケース１】自信度１００％の場合 投資家は、国内債券の（無危険資産に対する）超過期待収益率が２００ BPという相場観を持っている。 この相場観に対する自信は、１００％である。 モデルは、国内債券の（無危険資産に対する）超過期待収益率は１９０ BPとし、短期金利、国内

CB、国内株式、米国債券、欧州債券、米国株式、欧州株式、アジア株式、貸付金の超過期待収益率を１０ BP下げる。

【参考】　 BLMの出力画面の説明

11

→３．リスクプレミアム：均衡収益率 相場観

均衡期待 均衡期待 相場観に 相場観により 相場観考慮後の期待収益率収益率 収益率の よる 期待収益率を 1: (100%)ｹｰｽ 自信度 2: ( )ｹｰｽ 自信度 設定

アセット・クラス ( *) ﾘｽｸﾌﾟﾚﾐｱﾑ ﾘｽｸﾌﾟﾚﾐｱﾑ 単純に変更 (*)との差 (*)との差( )１ 短期金利 2. 0% - - 2.0% 1. 9% - 0.1% 2.0% 0.0%( )２ 国内債券 5. 0% 3.0% 5. 0% 7.0% 6. 9% 1.9% 5.5% 0.5%( )３ 国内ＣＢ 7. 0% 5.0% 5. 0% 7.0% 6. 9% - 0.1% 7.0% 0.0%( )４ 国内株式 9. 5% 7.5% 7. 5% 9.5% 9. 4% - 0.1% 9.5% 0.0%( )５ 米国債券 5. 0% 3.0% 3. 0% 5.0% 4. 9% - 0.1% 5.2% 0.2%( )６ 欧州債券 5. 5% 3.5% 3. 5% 5.5% 5. 4% - 0.1% 5.9% 0.4%( )７ 米国株式 8. 0% 6.0% 6. 0% 8.0% 7. 9% - 0.1% 7.9% - 0.1%( )８ 欧州株式 7. 0% 5.0% 5. 0% 7.0% 6. 9% - 0.1% 6.9% - 0.1%( )９ ｱｼﾞｱ株式 9. 5% 7.5% 7. 5% 9.5% 9. 4% - 0.1% 9.5% 0.0%(10) 貸付金 4. 0% 2.0% 2. 0% 4.0% 3. 9% - 0.1% 4.0% 0.0%

【参考】　 BLMの出力画面の説明

12

②【ケース２】自信度（設定）の場合 　投資家の相場観に対する自信が、１００％でない場合は、以下のようになる。 ここでは、自信度（誤差で表わされる）を０．１に設定している。 投資家は、国内債券の（無危険資産に対する）超過期待収益率が２００ BPという相場観を持っている。 モデルは、国内債券の（無危険資産に対する）超過期待収益率は５０ BPとし、米国債券２０ BP、欧州債券４０ BP、米国株式－１０ BP、欧州株式－１０ BPとなるように修正を行う。

【参考】　 BLMの出力画面の説明

13

( )４．相場観の自信度 誤差

OMEGA 相場観の自信度 ( )２ ( )３ ( )４ ( )５ ( )６ ( )７ ( )８ ( )９ (10)( )誤差を入力 国内債券 国内ＣＢ 国内株式 米国債券 欧州債券 米国株式 欧州株式 ｱｼ ｱ゙株式 貸付金

( )２ 国内債券 - 0.1% 0 0 0 0 0 0 0 0( )３ 国内ＣＢ - 0 0.1% 0 0 0 0 0 0 0( )４ 国内株式 - 0 0 0.1% 0 0 0 0 0 0( )５ 米国債券 - 0 0 0 0.1% 0 0 0 0 0( )６ 欧州債券 - 0 0 0 0 0.1% 0 0 0 0( )７ 米国株式 - 0 0 0 0 0 0.1% 0 0 0( )８ 欧州株式 - 0 0 0 0 0 0 0.1% 0 0( )９ ｱｼﾞｱ株式 - 0 0 0 0 0 0 0 0.1% 0(10) 貸付金 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1%

【参考】　 BLMの出力画面の説明

14

③誤差０．１の意味 相場観に対する自信度の数値は、以下のような意味を持っている。 【 BLM出力画面】では、国内債券が、均衡期待収益率（市場コンセンサス）よりも強気のケースを想定している（３％→５％、超過リスク・プレミアム＝２００ BP）。 また、自信度は、０．１％で設定している。 これは、下記により、国内債券の超過期待収益率を１８０ BP～２２０ BPに設定していることになる。

【参考】　 BLMの出力画面の説明

15

222.28.1

1.048.12.2

02

)2.0(2.0

1.04

)2.0(2.0

平均：

準偏差：

これは、国内債券の期待超過収益率が、９５％の確率で、１８０ BP ～２２０ BP の範囲に収まることを想定していることになる。

また、国内 CB 、国内株式、米国債券、欧州債券、米国株式、欧州株式、アジア株式、貸付金は、期待超過収益率が、９５％の確率で、－２０ BP ～２０ BP の範囲に収まることを想定していることになる。

標偏差：

平均：

【参考】　 BLMの出力画面の説明

16

◎ 制約条件

( )１ ( )２ ( )３ ( )４ ( )５ ( )６ ( )７ ( )８ ( )９ (10)制約条件 短期金利 国内債券 国内ＣＢ 国内株式 米国債券 欧州債券 米国株式 欧州株式 ｱｼﾞｱ 貸付金 上限比率

株式制約条件１ 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 50. 0%制約条件２ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 30. 0%制約条件３ 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 30. 0%制約条件４ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 5. 0%制約条件５ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0. 0%制約条件６ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1. 0%制約条件７ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0%制約条件８ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0%制約条件９ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0%

10制約条件 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0%

最適化開始

④制約条件

【参考】　 BLMの出力画面の説明

17

  （１）危険資産（国内株式＋米国債券＋欧州債券＋米国株式＋欧州株式＋アジア株式）＜５０％ （２）国内株式＜３０％ （３）外貨建て資産（米国債券＋欧州債券＋米国株式＋欧州株式＋アジア株式）＜３０％ （４）国内ＣＢ＜５％ （５）貸付金＝０％ （６）アジア株式＜１％

【参考】　 BLMの出力画面の説明

18

⑤最適解

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

0.0% 5.0% 10.0% 15.0% 20.0% 25.0% 30.0%

期待収益率

標準偏差

リスクとリターン

短期金利国内債券国内ＣＢ国内株式米国債券欧州債券米国株式欧州株式ｱｼﾞｱ株式貸付金効率的フロンティア現在のアセット・ミックス

【参考】　 BLMの出力画面の説明

19

( )１ ( )２ ( )３ ( )４ ( )５ ( )６ ( )７ ( )８ ( )９ (10)期待収益率 標準偏差 短期金利 国内債券 国内ＣＢ 国内株式 米国債券 欧州債券 米国株式 欧州株式 ｱｼﾞｱ 貸付金 合計株式

5. 53% 3. 61% 10. 0% 50. 0% 20. 0% 5. 0% 0. 0% 5. 0% 5. 0% 0. 0% 0. 0% 5. 0% 100. 0%

【参考】　 BLMの出力画面の説明

20

⑥アセット・クラス別構成比率

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

7.31%

7.18%

7.05%

6.92%

6.79%

6.66%

6.53%

6.40%

6.27%

6.14%

6.01%

5.88%

5.75%

5.62%

5.49%

5.36%

5.23%

5.10%

4.97%

4.84%

4.71%

4.58%

4.45%

4.32%

4.19%

4.06%

3.93%

3.80%

3.67%

3.54%

3.41%

3.28%

3.15%

3.02%

2.88%

2.76%

2.62%

2.49%

2.36%

2.23%

期待収益率

アセット・クラス別構成比率

貸付金

ｱｼﾞｱ株式欧州株式

米国株式

欧州債券米国債券

国内株式

国内ＣＢ国内債券

短期金利

構成比

【参考】　 BLMの出力画面の説明

21

この例では、投資家が、国内債券に強気であるため、欧州債券や国内債券、国内CBが多く含まれるポートフォリオになる。 米国債券が選ばれないのは、欧州債券よりも、リスクが高く、期待収益率が低いためである。 リスクを高めることができれば、アジア株式や国内株式が選択される。 （参考文献） １　豊崎恭行、 1993、「相場観を織り込む最適化」、『証券アナリストジャーナル』、 12月 ２  Black Fisher, Robert Litterman, 1992, “Global

Portfolio Optimization” ,Financial Analysts Journal Sep/Oct pp.28-43

最適化計算とは

22

)(' pxx 11'.. xts pRRx '

xp

pRR

資産運用において、最も重要な意思決定が、アセット・アロケーションである。その際、通常は、下記の最適化計算がおこなわれる。

　　　

　　　　　

　ただし、 ：各資産のウェイト・ベトル

：資産間の分散・共散

：ポートフォリのリスク

：ポートフォリオ収益率

：各資産の収益率クトル

最適化計算の実際

23

AAAA ZR

RZv

最適化計算に当たっては、過去の分散・共分散の他に、期待リターンを設定する必要がある。

　　①過去の平均値（長期均衡）　　②投資家の相場観　　③均衡収益率Black Litterman Model では、各資産の超過収益率を下記のように設定する。

ただし、　　 ：超収益

率：衡下のリスク・プレミアム

　　

：独立ァクター

（ 1 ）

：共通ファクター

最適化計算の実際

24

]v[E]Z[E]R[E AAAA

][ ARE

][ ARE ][ZE ][ AvEc

ABBA QRERE ][][

ABQ

　期待値は、以下のようになる。

ここで、 は、均衡リスク・プレミアムを中心にランダムに動く変数と仮定する。

ここで、期待収益率の共分散マトリックスを

ここで、投資家の相場観を下記のように表すことを考える。

：期収益率差

（ 2 ）

のボラティリティは、 の部に分解できる。とこの場合、サンプルの平均ボラティリティ（分散）は、母集団のボラティリティ

よりも小さいので、 c は、小さな値となる。

c と均衡リスク・プレミアムが、期待収率を決める。

したがって、とする。

また、

ただし、

最適化計算の実際

25

][RE ][],[].[][ CBA RERERERE

cN , CBA ,,

ABBA QRERE ][][

ACCA QRERE ][][

'][][. 1 REcREMin

QREPts ]'[.. ・

ここで、次のように、 の分布を考える。

ランダム項の平均値は、正規分布を仮定する。ただし、

　

期待収益率が、下記を満たす条件下での期待収益率の条件付き分布を計算する。　　　

　ここで、下記の最適化を行う。

（ 4）（ 5 ）

最適化計算の実際

26

1

][RE

P

Q

：分散・共分散行列（ヒスリカル・データ）の逆数（ベクトル）

：均衡期待収益率（クトル）

：資産間の期待収益率（ベクトル）

：資産間の期待収益率（ベクトル）

ただし、　　　

：市場均衡値、あるいは、ヒストリカル・リターン（ベクトル）　　

：サンプル平均の分散／母集団の分散（スカラー）c

最適化計算の実際

27

]'[]'['' 1 ・・　・・・・ PQPcPPcr

2i

QPcPPcr 11111 '' ・

　この解が、相場観を織り込んだ期待リターンとなる。詳細は、３　計算例を参照。　　　　

【ケース（ 2 ）】相場観に自信がない場合

が、平均 0 、分散

とする　　　

（ 7）

（ 6 ）

【ケース（ 1 ）】相場観に自信がある場合

（ 5 ）式で、誤差項

計算例

28

【ケース（ 1）】相場観に自信がある場合　相場観に自信がある場合は、下記の最適化を行う。

'][][. 1 REcREMin （ 8）

　

QREPts ]'[.. ・

　（ 9）ただし、

nR

RR

RE・・2

1

][

n

・・2

1

nnn

n

n

・・・・・・・

・・

1

221

11211

計算例

29

knk

n

n

PP

PPPPP

P

・・・・・・・

・・

1

221

11211

kQ

QQ

Q・・2

1

　（ 8）、（ 9）式を解くには、ラグランジュ乗数を使う。

　

QREPREcREM ][']['][ 1 ・

（ 10）

計算例

30

RE '　 M の最小値を求めるために、 で偏微分し、 0 と置く。 と

0''][][

1 PcREREM

0]['

QREPM

・

（ 11）

（ 12）

計算例

31

（ 11）式より、 cPRE ''][

cPRE '''][ '][ PcRE

　　　

　　　

　

　　（ 13）　（ 12）式を（ 13）式に代入する。

QPcPP '

PQPcP 1'

　

　　　

最終的に、下記が、相場観に自信がある場合の投資家の相場観を反映させた期待収益率になる。 '''][ 1 ・・　・ PQPcPPcRE

計算例

32

  相場観に自信がない場合は、下記のような定式化を行う。【ケース（ 2）】相場観に自信がない場合

v

rEPI

Q

誤差項は、下記のようになる。

O

Ocv

Var

　ただし、

2

22

21

ｋ

・・

O

O vQRR BA 1

計算例

33

　最小化するために、下記の設定を行う。

rPEQrPEQrEcrE

rPEQrE

rPEQcrE

rPEQrE

OOc

rPEQrE

rPEQrE

OOc

rPEQrE

vOOc

vL

11

11

1

1'

1'

1'

''

''

計算例

34

　最小値を求めるために、下記のようにする。 0

rEL

具体的には、下記を満たす RE をめる。

0'2 11 rPEQPrEcrEL

したがって、以下のようになる。 QPcPPcrE 1111 ''

最終的に、相場観に自信がない場合の投資家の相場観を反映させた期待収益率は、下記のようになる。 QPcPPcrE 11111 ''