1

BÖLÜM I: KÜME KAVRAMI VE SAYMA

YÖNTEMLERİ

Küme teorisi, matematiğin geliştirilmesi ve öğretiminde gittikçe daha fazla yararlanılan konulardan

biridir. Bu bölümde amaç, olasılık konusunda kullanılacağı kadarı ile, kümelerle ilgili kavramların,

küme işlemlerinin ve olasılığın temel araçlarından olan sayma yöntemlerinin açıklanmasıdır.

1.1 KÜME KAVRAMI

Kümeler genellikle büyük harflerle isimlendirilir ve gösterilirler. Örneğin, A kümesi gibi. Küme

kavramına pek çok örnek verilebilir. Siyasal Bilgiler Fakültesinde okuyan öğrenciler, kitaplığın en üst

rafında yer alan kitaplar, nüfus sıklığı, gelir düzeyi Türkiye ortalamasının üzerinde olan iller,

alfabedeki sesli harfler, 1 ile 2 arasındaki reel sayılar, bir çember üzerindeki noktalar vb birer küme

teşkil ederler. Bunların her birinde küme tarifinin iki unsuru açıkça görülebilir:

- Bir araya gelmiş nesneler,

- Bunları başka nesnelerden kesin şekilde ayıran ve kümenin sınırlarını tayin eden bir kural.

Aşağıda bazı örnekler verilmiştir

Küme Belirtmez Küme Belirtir

Uzun boylu insanlar Boyu 1.50 m'den uzun öğrenciler

Bazı hayvanlar Uçan hayvanlar

Birkaç gün P harfi ile başlayan günler

Tanım (Küme): Kendisine ait olan elemanları ayırt eden bir kural ile birlikte tanımlanmış herhangi bir

nesneler topluluğuna küme adı verilir. Başka bir ifade ile iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme

denir. Buradaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan varlıklar demektir.

1.1.1 Kümelerin Gösterimi

Kümeyi oluşturan varlıklara veya sembollere eleman denir. Bir kümenin eleman sayısı genellikle n

harfi ile gösterilir. Örneğin, A kümesinin eleman sayısı n(A) biçiminde gösterilir. Burada n(A) negatif

olmayan tamsayıdır. Kümeler, liste yöntemi, ortak özellik yöntemi ve Venn şeması yöntemi olmak

üzere üç farklı biçimde gösterilir. Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK

kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme { A, T, Ü, R, K } olur.

Liste Yöntemi: Kümenin elemanları küme parantezi içine yani sembolünün içine alınıp her bir

elemanın arasına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Örneğin,

cbaA ,, A kümesin eleman sayısı, n(A)=3

paabcB ,1,, B kümesinin eleman sayısı n(B)=4’dür.

Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin elemanlarını daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde,

gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

özelligiinxkuraliçinüyeligiKümexA ',:

2

Burada “x:” ifadesi “öyle x’lerden oluşur ki” biçiminde okunur. Bu ifade “x|” biçiminde de

yazılabilmektedir. Örneğin,

xxxA ,5| veya 5| xxA

Venn Şeması Yöntemi: Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına

elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

Venn diyagramları genellikle üç olaya kadar kullanışlıdır. Bu yüzden ispatlarda kullanılmazlar. Üçten

daha fazla olaylar için bu diyagram çakışmaları göstermede yetersiz olabilir.

1.1.2 Küme Yapıları

Kümeler elemanlarının özellikleri açısından ele alındıklarında genel olarak üç sınıfta

değerlendirilebilirler.

Sayılabilir Sonlu Elemanlı Küme: Sonlu elemana sahip bir kümenin her bir elemanına bir tek doğal

sayı karşılık getirilebiliyorsa yani kümenin elemanları numaralandırılabiliyorsa bu kümeye sayılabilir

sonlu elemanlı küme adı verilir. Örneğin,

27,8,1A , YYTYTTYTS ,,,

kümeleri sayılabilir sonlu elemanlı kümelerdir.

Sayılabilir Sonsuz Elemanlı Küme: Sonsuz elemana sahip bir kümenin her bir elemanına bir tek doğal

sayı karşılık getirilebiliyorsa yani kümenin elemanları numaralandırılabiliyorsa bu kümeye sayılabilir

sonsuz elemanlı küme adı verilir. Örneğin:

,...,...,64,27,8,1 3nA

kümesi sayılabilir sonsuz elemanlı bir kümedir. Tam sayılar kümesi Z sayılabilir sonsuz elemanlı bir

kümedir.

Sayılamaz Sonsuz Elemanlı Küme: Elemanları numaralandırılamayan küme sayılamaz. Örneğin,

reel sayılar kümesi sayılamaz

xxxA ,10:

ve aynı zamanda sonsuz elemanlı bir kümedir.

1.1.3.Eşit ve Denk Kümeler

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Elemanları arasında bire bir (1-1) eşleme

(karşılama) olan kümeler ise birbirlerine denktirler Diğer bir ifade ile aynı sayıda elemana sahip olan

kümeler denktir. Fakat bu, aynı sayıda elemana sahip olmalarının iki kümenin denkliği için gerekli şart

3

olduğu anlamına gelmez. Sınırsız elemana sahip olan kümelerde denklik için kesinlikle bir eşleme

bulunmalıdır. Örneğin; sınırsız elemanı olan,

…}{2,4,6,8,=E ve …}{1,2,3,4,=R

kümelerini göz önüne alınsın.

R kümesindeki her eleman 2 ile çarpılarak E kümesi elde edilmiştir. Aralarındaki eşleme kuralı bu

şekildedir. Bundan dolayı R ve E kümeleri denktir. Diğer bir taraftan eleman sayısının eşitliği kriter

olarak alınsaydı bu iki kümenin denk olduğu gösterilemezdi.

A = { 1, 2, 3 } , B = { 1, 2, 3 } ve C = { a, b, c }

A kümesi ile B kümesi eşittir. Bu durumun sembolle gösterimi

A = B.

şeklindedir. A kümesi ile C kümesi denktir. Sembolle gösterimi genellikle:

C º D veya CD

Her eşit küme denktir fakat her denk küme eşit değildir.

Tanım (Kapsama): Eğer A kümesinin her elemanı B kümesi tarafından içeriliyor ise B kümesi A

kümesini kapsar ve A kümesi B kümesinin bir alt kümesidir.

BxAxBA

Diğer bir gösterim ise BA şeklindedir.

Tanım (Eşitlik): Eğer iki küme tamamen aynı elemanlara sahip ise eşittir.

ABBABA ve

1.1.4 Boş Küme

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme {} veya sembolü ile gösterilir. Her

kümenin mutlaka tek bir boş kümesi vardır. Boş küme ancak bir tanedir, yani birden çok boş küme

düşünülemez. (bkz: Ek1.1). Boş kümenin eleman sayısı sıfırdır.

n()=0

1.1.5 Alt Küme

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir

kümesi B kümesinin alt kümesi ise AB biçiminde gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B

kümesi A kümesini kapsıyor biçiminde de ifade edilebilir. B A biçiminde gösterilir. C kümesi D

kümesinin alt kümesi değilse C D biçiminde gösterilir. Örneğin,

Alt Kümenin Özelikleri

Her küme kendisinin alt kümesidir. AA

Boş küme her kümenin alt kümesidir. A

(A B ve B A) ise A = B dir. A = B ise (A B ve B A) dir.

4

(A B ve B C) ise A C dir.

n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı n2 dir.

n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 12 n

1.1.6 Kuvvet Kümesi

A, sınırlı sayıda elemanı içeren bir küme olsun. A'nın bütün alt kümelerinin teşkil ettiği kümeye

Kuvvet kümesi denir ve FA şeklinde gösterilir. Örneğin,

cA ,2,1

olsun. A kümesinin kuvvet kümesi

ccccF ,2,1,.2,,1,2,1,,2,1,A

biçimindedir.

1.1.7 Evrensel Küme

Kümelerle ilgili diğer önemli bir kavram ise evrensel kümedir. Genellikle “E” sembolü ile gösterilir.

Boş kümenin tekliğine karşılık, evrensel küme, her konu veya örnek ile ilgili olarak ayrı ayrı

düşünülmesi gereken bir kavramdır. Meselâ sadece IIBF öğrencileri üzerinde yapılması düşünülen bir

araştırma bakımından IIBF öğrencileri evrensel kümeyi teşkil ederler. Bununla birlikte konu örneğin

Türkiye'deki bütün yüksekokul öğrencilerinin serbest zaman faaliyeti olsaydı evrensel kümeyi de ona

göre genişletmemiz gerekecekti. Herhangi bir konuda evrensel küme belli iken, aynı konuda

düşünülebilecek diğer bütün kümeler bir küme içinde kalırlar. Bu durum bir kümenin başka bir

kümeyi tamamen kapsaması veya başka bir kümenin tamamen içinde bulunması hallerinin

incelenmesini gerektirir.

Evrensel küme Örnekleri:

K = { a, b, c } ise bu kümenin evrensel kümesi E = { a, b, c, d } olabilir.

D = { +, - , x } ise bu kümenin evrensel kümesi E = { +, -, x, / } olabilir.

A = { 1, 7, 9 } ve B = { 11, 13 }

olsun. Bu kümelerin evrensel kümesi Tek Sayılar veya tüm sayılar kümesi olabilir.

1.1.8 Tümleyen küme

Bir A kümesinin tümleyen kümesi

}A x:{x=Ac

biçiminde tanımlanır. 'A notasyonu ile de ifade edilebilmektedir. Tümleyen küme, evrensel küme

içinde A’nın elemanı olmayan bütün elemanları kapsayan kümedir. A ve cA birlikte evrensel kümeyi

teşkil ederler. cA ’nin belirlenebilmesi için E’nin tanımlanmış olması gerekir.

Siyasal Bilgiler Fakültesi öğrencileri E kümesini, üçüncü sınıftaki öğrenciler A kümesini teşkil

etsinler. cA kümesi bu durumda SBF'nin 1,2, ve 4'üncü sınıflarındaki öğrencilerden meydana

gelecektir.

5

Tümleyen Kümenin Özellikleri

cE

Ec

AAcc

özdeşlikleri geçerlidir.

Tanım (Tümleyen): A kümesinin tümleyeni, A kümesinde olmayan tüm elemanların kümesidir.

Bir olayın tümleyeni, o olayın tersidir. Olay neyi temsil ediyorsa, tümleyeni o olayın

gerçekleşmemesidir.

1.2 KÜMELER ÜZERİNDE TANIMLI İŞLEMLER

Kümeler üzerinde tanımlanan üç temel işlem, kesişim, birleşim ve fark işlemleridir. Bu işlemler

aşağıda kısaca açıklanmıştır.

1.2.1 Kesişim İşlemi

A ve B kümelerinin kesişimi BA şeklinde gösterilir ve matematiksel olarak aşağıdaki biçimde

tanımlanır.

BxveAxxBA :

Küme kesişimi için önceki örnek ele alınsın. Üçüncü sınıf öğrencileri kümesini temsil ediyordu.

kümesi ise SBF'deki kız öğrenciler olsun. BA kümesi, üçüncü sınıftaki kız öğrencilerden meydana

gelecektir. Bu kümenin elemanları, hem üçüncü sınıf öğrencisi olmaları dolayısıyla , hem de kız

olmaları dolayısıyla kümesinin elemanlarıdır. Eğer iki küme hiç ortak eleman içermezse bu iki

küme ayrık veya aynı anda imkânsızdır denir. Böyle iki kümenin kesişimi hiç bir eleman

içermediğinden boş kümeyi verir. BA ifadesi A ve B kümelerinin ayrık oluşunun gerekli ve

yeterli şartıdır.

Ayrık kümeler için SBF 1 ye 3'üncü sınıf öğrencileri birer örnek olabilir, çünkü bu fakültede sınıf

geçme usulü yürürlükte olduğundan bir öğrenci aynı anda iki sınıfın birden öğrencisi olamaz.

6

Kesişimin Özellikleri

A

AAA

ABBA

CABACBA

AEA

Teorem: Verilen A1, A2,… kümeleri eğer tüm i≠j için AiAj= ise ikişerli olarak ayrık kümelerdir.

İkiden fazla kümenin, örneğin A, B, C çifterli olarak ayrık olmaları,

BA CA CB

durumunda onların hepsinin de ayrık olduğu

CBA

söylenebilir. Bunun tersi geçerli değildir.

1.2.2 Birleşim İşlemi:

A ve B kümelerinin birleşimi BA şeklinde gösterilir ve matematiksel olarak aşağıdaki biçimde

tanımlanır.

BxveyaAxxBA :

7

Önceki örnek dikkate alınırsa BA kümesi üçüncü sınıf öğrencilerini ve diğer sınıflardaki kız

öğrencileri kapsar.

Birleşim İşleminin Özellikleri

AA

AAA

ABBA

CABACBA

EEA

1.2.3 Fark İşlemi ve Simetrik Fark

A ve kümelerinin farkı BA (veya BA / )şeklinde gösterilir ve matematiksel olarak aşağıdaki

biçimde tanımlanır.

BxveAxxBABAABA c :

BA kümesinin elemanları, A kümesinin elemanı olan fakat B kümesinin elemanı olmayan

elemanlardan oluşur. Bu işlem değişme ve birleşme özelliklerine sahip değildir. Örneğin birleşme

özelliğinin geçerli olmadığı,

CBACBA ////

ifadesinden görülebilir.

A ve B kümelerinin simetrik farkı BA biçiminde gösterilir. Matematiksel olarak anlamı A veya B

kümelerinden sadece bir tanesinin elemanlarından meydana gelecektir. Başka deyişle, BA ’den

BA ’ nin çıkarılması işlemiyle bulunur. Matematik diliyle ifade edilirse;

AxveBxveyaBxveAxxBA :

ABBABA

8

Teorem: Örnek uzayı S üzerinde üç olay (küme) A, B, C tanımlanmış olsun. Burada parantezler işlem

sırasını tanımlar ve oldukça önemlidir. Örneğin (AB)C kümesi A(BC) kümesinden farklıdır.

Değişme (Commutativity): ABBA

ABBA

Birleşme (Associativity) : CBACBA

CBACBA

Dağılma (Distributive) : CABACBA

CABACBA

De Morgan : cccBABA

cccBABA

İspat için bkz. Ek1.2.

Tanım (Sıralı ikili): Herhangi iki x ve y elemanını (x,y) biçiminde yazmaya sıralı ikili ya da ikili denir.

x’e sıralı ikilinin birinci bileşeni, y’ye ise sıralı ikilinin ikinci bileşeni denir.

(a,b) ≠ (b,a) yer değiştiğinde eşit olmaz.

(a,b)=(c,d) burada a=c ve b=d olur.

Tanım (Kartezyen Çarpım): A ve B kümeleri için, birinci bileşen A’dan, ikinci bileşen B’den alınarak

oluşturulacak tüm sıralı ikililerin kümesine A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı, kısaca kartezyen

çarpım denir. AB ile gösterilir.

AB={(x,y)│xϵA ve yϵB}

Örneğin A={1,2,3} B={a,b} kümeleri için kartezyen çarpım:

AB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

9

Örneğin a, b ve c ile gösterilen üç farklı markaya ait bebek maması satan bir dükkan ele alınsın. Bu

dükkanın sahibi belirli bir müşteri tarafından satın alınan marka ile ilgilenmektedir. Müşteri tarafından

her seferinde satın alınan mama, bu rassal deneyin bir denemesidir. Herhangi bir deneme için örnek

uzayı cba ,, ’dir. Belirli bir müşteri için bu rassal deneye ait üç başarılı deneme ele alınsın. Bu üç

denemeye ait örnek uzayı Kartezyen çarpım kümesi olarak düşünülebilir:

321 SSSE cbacbacba ,,,,,,

cccbccacc

cbcbbcabc

cacbacaac

ccbbcbacb

cbbbbbabb

cabbabaab

ccabcaaca

cbabbaaba

caabaaaaa

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

Bu durumda 321 SSS ’dir. Böylece 321 SSS Kartezyen çarpımı kümesi 3iSE (i = 1,2,3 için)

ile gösterilebilir. Eğer 21 SS fakat 213 veyaSSS olsaydı, 321 SSS Kartezyen çarpımı

kümelerin çarpımında sıralama önemli olduğu için 32 SS j ile gösterilebilir fakat 2

3 jSS ile

gösterilemezdi.

Tanım (Kümenin atomları): Herhangi bir A kümesi için evrensel küme

cAAE

şeklinde iki yönlü sınıflanabilir. Bu sınıflama evrensel kümeyi iki ayrık kümeye ayırmıştır. Benzer

şekilde herhangi A ve B kümeleri için dört yönlü bir sınıflama,

cc BBAAE

cccc BABABABA

ve A ve B olayları üzerine üçüncü bir C olayının tanımlanması ile,herhangi bir sekiz yönlü sınıflama,

iki ayrık olayın tanımlanması,

ccc CCBBAAE

CBACBACBACBACBA ccccc =(Ac

ccccccc CBACBACBA

olarak elde edilir.

Böyle bir sınıflamanın bileşenleri atom olarak adlandırılır. Tüm atomlar birbirinden çifterli olarak

ayrıktır. Yukarıdaki örneklerde sırası ile 2, 4, 8 adet atom vardır. Genel olarak n adet küme için 2n adet

10

atom vardır. Bu örnek uzayı üzerine tanımlanan herhangi bir küme bazı atomların birleşimi olarak

yazılabilir.

1.3 SAYMA YÖNTEMLERİ

İstatistik problemlerinde belirli bir durumda, olanaklı bütün seçenekleri ortaya koymak ya da en

azından kaç farklı olanak bulunduğunu belirlemek gereklidir

Sayma yöntemlerinin en sık kullanıldığı problemler, sonlu elemana sahip kümeler üzerine tanımlanan

olaylara bir olasılık atanması durumudur. Genelde sayma problemleri karmaşıktır bu nedenle saymayı

basitleştirmek üzere problem basit parçalara ayrılır. Bu formüller iki temel prensip üzerine

kurulmuştur:

Tanım (Toplama): A ve B ayrık kümeler olmak üzere, bir A kümesi toplam m farklı elemanlı ve B

kümesi ise n farklı elemanlı şekilde tanımlanmış ise (AB) kümesi m+n farklı eleman içerir.

nmBAn (1.1)

Tanım (Çarpma): A kümesi m elemanlı ve B kümesi ise n elemanlı ise ve kümeler ayrık değilse

(eşanlı olarak oluşabiliyor ise), AB kümesi mn eleman içerir.

. nmBAn (1.2)

Tanım (Faktöriyel): Bir pozitif tam sayı n için, n (n faktöriyel) n değerine eşit ve küçük tüm tam

sayıların çarpımıdır.

1231! nnn (1.3)

Burada,

11

n

nn

!!1

olduğundan, 1n için 1!0 olduğu görülebilir. Sayılar büyüdükçe faktöriyel değerini hesaplamak

zorlaşır. Bu nedenle yaklaşık bir hesaplama değeri Stirling tarafından verilmiştir:

2

1

2!

n

nnen (1.4)

Daha güvenilir bir yaklaşım için e-n

yerine

nne 12/1

kullanılabilir.

1.3.1 Örnekleme ve Örnek Uzayındaki Eleman Sayısı Üzerine Etkisi

Kullanılacak sayma yöntemleri elemanların kümeden seçim (örnekleme) yöntemine

a. İadeli seçim (örnekleme)

b. İadesiz seçim (örnekleme)

ve seçim (örneğe çıkış) sırasına

c. Seçim (örneğe çıkış) sırası önemsiz

d. Seçim (örneğe çıkış) önemli

bağımlıdır.

Bir torbada 1’den n’e kadar işaretlenmiş n adet top olduğu ve bunlardan r adedinin farklı koşullar

altında çekildiği varsayılsın. Her bir farklı koşul için tüm mümkün çıktıların sayısının belirlenmesi

aşağıda incelenmiştir:

Durum I. Yerine Koymadan seçim ve sıralama önemli:

Torbadan r adet top çekilir. Fakat her bir çekilen top daha sonraki çekilişten önce torbaya iade

edilmez.. Bu durumda oluşan sıralı r adet (a1,…,ar) sayıda her bir aj farklı sayıdan oluşacaktır gibi

bir kısıt konulmuştur. Sıralama içinde aynı sayı tekrar edemeyeceği için bu sıralama bir

permütasyondur. Diğer bir kısıt ise nr olmalıdır. Bu tip problemlere “Saymanın Temel Kuralı”

doğrudan uygulanmamakla birlikte çözüm,

rnrnnn 11

benzerdir. Bu eşitliğin sol tarafında r adet çarpan vardır. Eşitliğin sağındaki rn sembolü n

sayısından birer küçülerek giden r adet sürekli çarpımı belirtmektedir.

Durum I permütasyon problemi olarak adlandırılan problemin özel halinin tanımlamaktadır.

12

Tanım (İadesiz seçim/Örnekleme): Bir kümeden örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir

sonraki seçimde tekrar kümeye dahil edilmiyorsa yani bir sonraki örnekte gözlenme şansı yoksa bu tip

örneklemeye iadesiz örnekleme denir.

Tanım (Permütasyon): Bir S kümesindeki elemanların iadesiz seçiminde ortaya çıkan her bir farklı

sıralamaya verilen isimdir.

Örneğin 3,2,1S kümesi için permütasyonlarının oluşturduğu küme:

2,1,3,1,2,3,1,3,2,3,1,2,2,3,1,3,2,1pS

Kümenin her bir elemanı bir permütasyona karşılık gelmektedir. Kümenin elemanları incelendiğinde

örneğe çıkış sırasının önemli olduğu görülebilir. Permütasyon Türkçeye seçme ve sıralama olarak

çevrilebilir.

Tanım (Kümenin permütasyon sayısı): Bir S kümesinde n adet eleman var ise farklı seçme ve

sıralamalarının (permütasyonların) sayısı:

!1.2)...1( nnnPnn (1.5)

Kümeden örneğe çekilen eleman sayısı r<n koşulu ile sadece r adet ise farklı seçme ve sıralamalarının

(permütasyonların) sayısı:

rrn nrn

nrnnnP

!

!1)...1( (1.6)

Nesneler bir dairenin etrafında sıralanınca ortaya çıkan permütasyonlara daire permütasyonları denir.

Permütasyon ve faktöriyel arasındaki ilişki ise,

111! rnrnnnn

!rnPrn

Teorem: Bir daire çevresinde sıralanan n farklı nesnenin permütasyon sayısı

!1n

ile hesaplanır.

Durum II. Yerine Koymadan ve Sıralama Önemsiz

Bu örnekleme yapısında çekilen toplar torbaya iade edilmez ve çekiliş sırası önemsiz olup kayıt

edilmez. Sonuç olarak r adet top bir defada çekilmiş olarak düşünülebilir. Böyle bir örnekleme

yapısında n elemanlı bir kümeden elde edilen r elemanlı alt kümeler ile ilgilenilir. Alt kümelerin

sayısını bulabilmek amacıyla ilk olarak Durum I ile bir karşılaştırma yapılması faydalı olacaktır. Eğer

13

r adet top iade edilmeksizin birer birer çekilip sıralanır ise mümkün sıralama sayısı r! olacaktır.

Örneğin n=5, r=3 için 3,2,5 alt kümesi;

2,3,5,3,2,5,2,5,3,5,2,3,3,5,2,5,3,2pS

3!=6 farklı şekilde çekilebilir. Sırlama önemsiz olduğundan n adet eleman içinden r eleman;

!!

!

rnr

n

farklı şekilde çekilebilir.

Tanım (Kombinasyon): Bir S kümesindeki elemanların iadesiz örneklemedeki tüm farklı seçimlerine

verilen isimdir.

Örneğin 3,2,1S kümesi için üç elemanlı farklı seçimlerin (kombinasyonların) oluşturduğu küme:

3,2,1kS

iki elemanlı farklı seçimlerin (kombinasyonların) oluşturduğu küme:

3,2,3,1,2,1kS

Gerçekte kombinasyon, altküme ile aynı anlamı taşır.

Tanım (Kombinasyon sayısı): Bir S kümesinde n adet eleman var ise nr olmak üzere r adet elemanın

faklı seçimlerinin sayısı,

r

n sembolü ile tanımlanır ve n içinden r adet seçim olarak okunur:

!!

!

! rrn

n

rn

P

r

nC nn

rn

(1.7)

ya da

!rr

nnrn

P

PC

eşitlikleri ile tanımlanır.

Bu sayılar aynı zamanda binom katsayıları olarak da adlandırılır. Kombinasyonlar üzerindeki

tartışmaya yakından bakıldığında, aşağıdaki ilişkileri gözlemlenebilir.

n

n

nn

!1!1

!

1 (1.8)

1

!0!

!

!!

!

n

n

nnn

n

n

n (1.9)

14

Son ilişki n adet nesneden alınan r hacimli kombinasyonlarının sayısının, yine n adet nesneden alınan

rn hacimli kombinasyonlarının sayısına eşit olduğunu belirtmektedir. Bu sürpriz değildir, çünkü

n’den r hacim seçildiğinde geriye rn adet eleman kalmıştır.

Permütasyon tüm mümkün seçimlerin (kombinasyonların) kendi içindeki tüm mümkün farklı

düzenlemelerini de bir eleman olarak sayar. Örneğin abc ve acb aynı kombinasyon farklı bir

permütasyondur. Bununla birlikte abc ve abd farklı kombimasyonlardır.

Durum III. Yerine Konarak Örnekleme ve Sıralama Önemli:

Torbadan r adet top çekilir. Fakat her bir çekilen top daha sonraki çekilişten önce torbaya iade edilir.

Topların üzerindeki sayılar çıkış sırasına göre kayıt edilir. Sonuç olarak her r adetlik çekiliş için r adet

sayıdan oluşan bir (a1,…,ar) sıralaması elde edilir. Burada her bir aj, 1 ile r arasındaki herhangi bir

sayı olabilir. Sıralama içinde aynı sayı tekrar edebileceği için bu sıralama bir permütasyon değildir.

Tüm mümkün durumların sayısının elde edilmesi için “Saymanın Temel Kuralı” uygulanarak,

rnEn (1.10)

bulunur. Torbadan topun çekilmesi ile altı zarın atılması ya da tek bir zarın arka arkaya altı defa

atılması arasında herhangi bir fark yoktur.

Tanım (İadeli seçim): Bir kümeden örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir sonraki seçimde

tekrar kümeye dahil ediliyorsa yani örneğe girme şansı yine varsa bu tip örneklemeye iadeli örnekleme

denir.

Durum IV. Gruplara Ayrılabilen n Elemanın Permütasyonu

Torbadaki toplardan n1 adedinin Renk 1, n2 adedinin Renk 2,…, nr adedinin Renk r ile boyandığı

varsayılsın. Renklerin ayırt edilebidiği fakat aynı renkli topların ayırt edilemediği bilinmektedir. Renk

gruplarındaki eleman sayılarının toplamı

nnnn k 21

torbadaki top sayısına eşittir. Bu n adet topun ayrıştırılabilir kaç düzenlemesi vardır?

Örnek olarak n1=2, n2=2, n=4 ve renkler de sarı ve lacivert olsun. Elde edilebilecek farklı

düzenlemelerin sayısı 6 olarak belirlenir:

Yukarıdaki soruyu analitik olarak cevaplamak için tüm topların ayrıştırılabildiği Durum I ile bir

karşılaştırma yapılabilir. Renklendirilen toplar aynı zamanda numaralandırılır ise hepsi birbirinden

ayrıştırılabilir hale gelir. Bu durumda tüm mümkün düzenlemelerin toplam sayısı, Durum I

kullanılarak, n! olarak belirlenir. Renk 1 ile boyanan n1 adet top numaralar yardımı ile n1! adet farklı

düzenlemeye, Renk 2 ile boyananlar ise n2! adet farklı düzenlemeye sahip olacaktır. Bir renk için elde

edilen her bir düzenleme bir diğer rengin herhangi bir düzenlemesi için serbestçe birleştirilebileceği

15

için “Saymanın Temel Kuralı” kullanılarak birlikte oluşturabilecekleri düzenleme sayısı (işaretler

dikkate alındığında) n1!n2!... nr! bulunabilir. Araştırılan konu işaretlerin olmadığı sadece renklerin

olduğu bir durumdaki düzenleme sayısı olduğundan bu sayı,

!!!

!

21

,,, 21

r

nnnnnnn

nP

r (1.11)

formülü ile elde edilir, bkz. E1.3.

Eğer 1.11 eşitliliğinde r ve rn adet iki tip nesne varsa, bu eşitlik çok özel bir durum haline gelir;

rnrnrn Crnr

nP

!!

!, (1.12)

Yani n adet nesnenin r ve rn adet iki farklı permutasyonlarının sayısı, n adet nesnenin r hacimli

kombinasyonlarının sayısına eşittir.

r

n

rn

n

Bu sonuç önceki verilen durumu desteklemektedir.

Teorem: Herhangi bir pozitif tam sayı n ve r = 0,1,2,…,n için

rn

n

r

n (1.13)

elde edilir, bkz. E1.4

Örnek: 10

4

, 4

1

4

verilmişken,

3

4 ve

4

4 değerlerini bulunuz.

41

4

34

4

3

4

ve 1

0

4

44

4

4

4

Alternatif olarak, n elemandan herhangi biri ele alınsın. Eğer bu eleman seçilen r elemana dahil

edilmez ise bu r adet eleman

r

n 1 farklı şekilde seçilebilir. Eğer dahil edilirse diğer r-1 adet eleman

1

1

r

n farklı şekilde seçilebilir. Böylece, r adet eleman

1

11

r

n

r

n farklı şekilde seçilebilir.

Teorem: Herhangi bir pozitif tam sayı n ve r = 0,1,2,…,n-1 için

1

11

r

n

r

n

r

n (1.14)

elde edilir, bkz. E1.5

Açıkça görülmektedir ki bir kümeden, o kümedeki elemandan daha fazla elemana sahip bir alt küme

seçilemez. n ve r pozitif bir tam sayı ve r > n ise

0

r

n

16

sonucu elde edilir.

Teorem: Herhangi bir pozitif tam sayı n ve r = 0,1,2,…,n için

!

11

k

knnn

k

n

(1.15)

elde edilir, bkz. E1.6.

Durum V. Yerine Konarak ve Sıralama Önemsiz

Torbadan r adet top çekilir. Fakat her bir çekilen top daha sonraki çekilişten önce torbaya iade edilir.

Topların üzerindeki sayılar çıkış sırası dikkate alınmadan kayıt edilir. Bu problemin çözümü için

farklı bir yaklaşım gereklidir. Aşağıda bu yaklaşım bir örnek üzerinde açıklanacaktır. Örnek için

3 rn alınsın. Tüm mümkün durumlar aşağıdaki Tablo 1.1’de listelenmiştir.

Her çekim işleminden sonra çekilen numara sütununa bir kontrol işareti () konur. İşaret

sayısı deneme sayısına r eşit olup bu değer top sayısından n fazla olabilir. Numaralara ait

kontrol işaretleri arasındaki boşlukları belirtmek amacıyla çubuklar (|) kullanılmıştır. Ortadaki üç

sütun son sütunda özetlenmiştir. Bu sütun incelendiğinde üç kontrol ve iki çubuk için tüm mümkün

durumların dikkate alındığı görülmektedir. Toplam sayı, Durum III n=5, r=3, ya da Durum IV n=5,

n1=3, n2=2 ile elde edilebilir. Sonuç olarak 5!/3!2!=10.

Durum V deki problem r adet kontrol ve n-1 adet çubuğun tüm mümkün düzenlemeleri problemine

dönüştürülerek çözülmüştür. Eğer n adet mümkün durum var ise ve bu mümkün durumların her biri

tabloda olduğu gibi bir kutu ile tanımlanmışlar ise kutular arasında n-1 adet çubuk vardır. Durum IV

için tanımlanan formüller uygulandığında çıktıların mümkün sayısı:

1

11

n

rn

r

rnEn (1.16)

ile elde edilebilir.

Tablo 1.1

1 2 3

111 ||

112 ||

113 ||

122 ||

123 ||

133 ||

222 ||

223 ||

233 ||

333 ||

17

Yukarıda açıklandığı üzere kullanılacak sayma yöntemleri gerçekleştirilen seçim yöntemine faklılık

gösterebilir. Farklı seçim durumları için örnek uzayındaki eleman sayıları aşağıdaki şekilde

hesaplanabilir.

İadesiz Örnekleme İadeli Örnekleme

Sıra Önemli )!(

!

rn

n

n

r

Sıra Önemsiz

r

n

r

rn 1

Tabloda verilen durumları açıklamak amacıyla aşağıda 44 adet sayı içinden çekilebilecek 6 adet sayı

için karşılaşılabilecek farklı örnek uzaylarının eleman sayıları hesaplanmıştır:

a. İadesiz sıralama önemli: Temel sayma teoremine göre ilk sayı 44 farklı şekilde, iadesiz olduğundan

ikincisi 43 farklı şekilde seçilebileceğine göre altı adet sayı;

444342414039=(44!/38!)=5.082.517.440

farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,

)!(

!

rn

n

bulunur.

b. İadeli sıralama önemli: Seçilen sayı tekrar iade edildiği için her bir çekiliş 44 farklı şekilde

yapılabileceğinden altı adet sayı,

444444444444=446=7.256.313.856

farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,

nr

bulunur.

c. İadesiz sıralama önemsiz: Sıralamanın önemsiz olduğu durumlarda, örnek uzayındaki eleman sayısı

azalır. Altı adet sayı 654321 farlı şekilde ortaya çıkabilir. Eğer sıralama önemsiz ise bu

durumların tümü örnek uzayındaki tek bir elemana karşılık geldiğinden, bu sayı sıralamanın önemli

olduğu durumda karşılaşılan örnek uzayından bölünerek düşülür ve sonuç olarak sıralama önemsiz ise

altı adet sayı,

18

052.059.7!6!38

!44

123456

394041424344

farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,

!!

!

rrn

n

r

n

bulunur.

d. İadeli sıralama önemsiz: Örnek uzayı belirlemenin en zor olduğu durumdur. Cevap olarak hemen

446/654321 olduğu söylenebilir, fakat bu sonuç yanlıştır. Bu durumu saymak için 44 adet sayı

yan yana yerleştirilmiş her biri bir diğerinden bir karton ile ayrılmış kutular olarak düşünülebilir ve altı

adet sayı kağıtlara yazılıp kutuların içine konulur. Mümkün durumların sayısı, 44 kutu içine konacak 6

adet kağıdın farklı mümkün durumlarının sayısına eşit olacaktır. Kutuları ayıran kartonlardan ilki ve

sonuncusunun oynadığı bir rol yoktur. 44 adet kutu 45 adet kartona sahiptir fakat 43 adet karton

dikkate alınır. Bunlara ilave olarak 6 adet kağıt mevcuttur. Sonuç olarak 43+6=49 adet nesne vardır ve

bunlar 49! Kadar farklı yerleşime sahiptir. Bununla birlikte sıralama önemli olmadığından kağıtlar için

6! ve kartonlar için 43! kadar durum elenmelidir. Sonuç olarak sıralama önemsiz ise altı adet sayı,

816.983.13!43!6

!49

farklı şekilde belirlenebilir.

1.4.2 İki terimli (Binom) ve Çok terimli (Multinomial) Teoremleri

Pozitif bir tam sayı olan n için nyx ifadesinin tüm elemanları yan yana çarpıldığında, ortaya çıkan

her terim x’lerin ve y’lerin çarpımından oluşur. Örneğin,

yxyxyxyx 3

yyyyyxyxyyxxxyyxyxxxyxxx

3223 33 yxyyxx

ifadesinin ortaya çıkan terimleri x3, x

2y, xy

2 ve y

3 formundadır. Katsayıları 1, 3, 3 ve 1’dir. Örneğin

xy2’nin katsayısı 3

2

3

’tür. Bu sayı y’nin ikinci kuvvetini içeren faktörün kaç farklı şekilde

seçilebileceğini göstermektedir. Benzer şekilde x2y’nin katsayısı 3

2

3

’tür. Bu sayı y’nin birinci

kuvvetini içeren faktörün kaç farklı şekilde seçilebileceğini göstermektedir. x3 ve y

3’ün katsayıları ise

10

3

ve 1

3

3

’dir.

19

Daha genel bir ifadeyle, n pozitif tam sayısı için nyx ifadesinin tüm elemanları yan yana

çarpıldığında rrn yx teriminin katsayısı

r

n’dir. Bu da y’nin r-inci kuvvetini içeren faktörün kaç

farklı şekilde seçilebileceğini göstermektedir. Burada

r

n ifadesine binom katsayısı denmektedir. İki

terimli nyx ifadesinin açılımı basit kombinasyon metodu kullanılarak gerçekleştirilip daha sonra

çok terimli durum için genelleştirilecektir.

Gerçekte bu problem iki gruba bölünmüş (x ve y) n adet çarpanın ortaya çıkış sayısını bulmak olarak

da tanımlanabilir.

Teorem: Pozitif n tam sayısı için

rrnn

r

nyx

r

nyx

0

(1.17)

elde edilir, bkz. E1.7.

Örnek: 10

5

, 5

1

5

ve 10

2

5

verilmişken,

3

5,

4

5 ve

5

5 değerlerini bulunuz.

102

5

35

5

3

5

, 5

1

5

45

4

4

5

ve 1

0

5

55

5

5

5

elde edilir.

Teorem: Pozitif n ve m tam sayıları için

k

nm

rk

n

r

mk

r 0

(1.18)

elde edilir, bkz. E1.8.

Binom katsayılarına ait bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir:

rn

r

ny

r

ny

0

1 (1.19)

rrn

r

ny

r

ny 11

0

(1.20)

n

r

n

r

n

0

2 (1.21)

n

r

r

r

n

0

10 (1.22)

İki terimli açılım, çok terimli açılım,

nkxxx 21

için genellenebilir. Açılımın k adet bileşenin çarpımından oluşan terimlerin,

20

kn

k

nnxxcx 21

21

önündeki c katsayısı eşitlik (1.11) kullanılarak,

!!!

!

21 rnnn

n

ve sonuç olarak açılım

k

k

nnn

n

k

nn

k

n

k xxxnnn

nxxx

,,

21

21

21

21

21

!!!

! (1.23)

şeklinde elde edilir.

21

BÖLÜM 1 EKLER

Ek1.1Teorem: Boş küme ancak bir tanedir

İspat: Boş kümenin tek oluşunu göstermek için, ve 'nın birer boş küme olduğunu varsayılsın.

'nun içinde bulunmayan herhangi bir elemanı olmadığından dır. Benzer şekilde da

yazılabilir. Oysa bu iki ifadenin aynı anda sağlanması ancak olması, yani boş kümenin tekliği

halinde mümkündür

Ek1.2 De Morgan teoreminin ispatı

Sadece De Morgan Kuralların ilki ispatlanacaktır. İspat iki aşamalıdır. İlk adımda

cccBABA olduğu gösterilsin:

cBAx olsun. Bu durumda BAx olmalıdır. Sonuç olarak; Ax ve Bx .

Bu nedenle cAx ve

cBx , diğer bir deyişle; cc BAx bulunur. İlk adımın sonucu:

cccBABA

İkinci adımda ccc BABA olduğu gösterilsin:

cc BAx olsun. Bu durumda

cAx ve cBx olmalıdır. Sonuç olarak; Ax ve

Bx . Bu nedenle BAx , diğer bir deyişle; cBAx bulunur. İkinci adımın sonucu:

ccc BABA

Her iki adımın sonucu birlikte değerlendirildiğinde:

ccc BABA .

E1.3İspat: !!!

!

,,,2121 kk nnn

n

nnn

n

k

k

n

nnnn

n

nnn

n

nn

n

n 121

3

21

2

1

1

22

!!

!

!!

!

!!

!

!!

!

121

121

32!13

21

212

1

11 kkk

k

nnnnnn

nnnn

nnnnn

nnn

nnnn

nn

nnn

n

!!!

!

21 knnn

n

E1.4 İspat: birbirinden farklı n elemandan oluşan bir kümeden r adet elemandan oluşan bir alt küme

seçildiğinde, geriye n-r elemandan oluşan küme kalır. Dolayısıyla r adet elemanı seçme yolu kadar n-r

elemanı bırakma yolu vardır. Teoremin ispatı cebirsel olarak şu şekilde yapılabilir:

!!

!

!!

!

rrn

n

rnnrn

n

rn

n

r

n

rnr

n

!!

!

n çift olduğunda r = 0,1,2,…,2

n için ve tek olduğunda da r = 0,1,2,…,

2

1n için binom katsayıları

hesaplandığında, geriye kalan binom katsayıları bu teorem ile elde edilebilir.

E1.5 İspat: nyx ifadesinde x = 1 alındığında

11111111

nnnnyyyyyy

yazılabilir ve ny1 ’deki yr’nin katsayısı ile en son elde edilen 11

11

nn

yyy ifadesindekinin

katsayıları birbirine eşitlenebilir. İlkinde yr’nin katsayısı

r

n ve ikincisinde ise y

r’nin 1

1

n

y

ifadesindeki katsayısı

r

n 1 ve y

r-1’in 1

1

n

y ifadesindeki katsayısı

1

1

r

n’in toplamına eşittir.

Böylece,

1

11

r

n

r

n

r

n

elde edilir ve ispat tamamlanır.

E1.6 İspat:

!

111

k

knnn

k

n k

k

knk 11

E1.7 İspat: n

nn

x

yxyx

1

Burada z=y/x alınarak

nnnzxyx 1

23

rz1 çarpanı r=1, 2,…,n için açılarak,

zz 11 z

1

1

0

1

22211 zzz

2

2

2

1

2

0

2zz

3233311 zzzz

32

3

3

2

3

1

3

0

3zzz

nnznzz 11

nzn

nz

nz

nn

2

210

Sonuç olarak:

rn

r

nz

r

nz

01

rn

r

nnn zr

nxzx

01

rn

r

n

n

n

x

y

r

nx

x

yx

0

1

n

nn

n

n

x

y

n

n

x

yn

x

ynnx

x

yx

2

2

2101

rrnn

r

nyx

r

nyx

0

elde edilir.

E1.8 İspat: Bir önceki teorem ile aynı teknik kullanılarak aşağıdaki denklemin her iki tarafındaki yk

ifadesinin katsayıları bir birine eşitlenebilir.

nmnmyyy

111

nmy

1 teriminde y

k ifadesinin katsayısı

k

nm’dur. nm

yy 11 ’de yk ifadesinin katsayısı ise

nmnm

yn

ny

nny

m

my

mmyy

101011

ilk faktördeki ve ikinci faktördeki terimlerin çarpımlarının toplanmasıyla elde edilir. Böylece yk

ifadesinin katsayısı

24

022110

n

k

m

k

nm

k

nm

k

nm

rk

n

r

mk

r 0

elde edilir ve ispat tamamlanır.