Proyecto de matemáticasLeydi Elizabeth cruz Pérez

Juan bruno puch

[Año]S e c u n d a r i a g e n e r a l # 1 7

Experimento aleatorio

En estadística, un experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Ej: Lanzamiento de un dado). Este tipo de fenómeno es opuesto al fenómeno determinista, en el que conocer todos los factores de un experimento nos hace predecir exactamente el resultado del mismo. Por ejemplo, conociendo la altura desde la que se arroja un móvil es posible saber exactamente el tiempo que tardará en llegar al suelo en condiciones de vacío.

Propiedades

Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones:

Es posible conocer previamente todos los posibles resultados (el espacio muestral, constituido por diferentes sucesos) asociados al experimento.

Es imposible predecir el resultado exacto del mismo antes de realizarlo.

A cada realización de un experimento se le llama experiencia o prueba.

Controversia

Existe cierta controversia sobre si los fenómenos aleatorios existen realmente o simplemente surgen del desconocimiento de los factores que desencadenan el mismo o de las leyes físicas que lo rigen. Por ejemplo, si en el lanzamiento de un dado conociéramos exactamente la fuerza, altura al suelo y ángulo del lanzamiento, las dimensiones exactas del dado y las propiedades del suelo, se podría mediante complejos cálculos conocer el resultado final. Es por esto que algunas veces se define un fenómeno aleatorio como aquel en el que pequeños cambios en sus factores producen grandes diferencias en su resultado.

Esto no quiere decir necesariamente que exista un completo determinismo científico, sino que en ocasiones el azar es consecuencia de la ignorancia de un suceso o de la incapacidad para procesar toda la información que se tiene.

Algunas propuestas realizadas desde la física, como la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica sostienen que a nivel atómico existen los fenómenos aleatorios genuinos, aunque otras interpretaciones como la de David Bohm atribuyen la aleatoriadad aparente de los fenómenos cuánticos a la ignorancia de ciertas condiciones (las teorías cuánticas deterministas reciben el nombre de teorías de variables ocultas).

Recientemente ha aparecido la propuesta de que algunos sistemas físicos, en concreto los sistemas macroscópicos caóticos podrían ser genuinamente no-computables aunque deterministas, eso implica que aún siendo deterministas no es posible calcular con seguridad su evolución futura, mostrando un comportamiento aparentemente aleatorio.

Experimentos aleatorios

Cuando lazamos un dado no sabemos qué número va a salir; sin embargo, si lanzamos una piedra al aire estamos seguros de que caerá al suelo.

Es decir, en algunos experimentos podemos saber lo que va a ocurrir y en otros no.1. A los experimentos en los cuales no sabemos lo que va a ocurrir se les llama experimentos aleatorios.

2. A los otros, aquellos en los que sí podemos decir lo que va a ocurrir, se les llama experimentos deterministas.

Espacio muestral

Al conjunto de todos los resultados que pueden obtenerse al realizar un experimento aleatorio se le llama espacio muestral y lo representaremos por E.

Ejemplos:

Todos los juegos de azar son experimentos aleatorios. Como ejemplos podemos poner:Lanzar una moneda al aire podrá salir cara o cruz.Sacar una bola de una urna que contiene bolas de distinto color, si no vemos su interior,Obtener una carta de una baraja, etc...

Sucesos

En el experimento que consiste en lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6, el espacio muestral será:E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Consideramos ahora algunos subconjuntos de él, por ejemplo:1. Salir par = {2, 4, 6}

2. Salir impar = {1, 3, 5}

Ejemplos:Consideremos los experimentos aleatorios siguientes:Lanzar una moneda. Se puede obtener cara (que representaremos por C) o cruz (que representamos por X). El espacio muestral es E = { C, X }Lanzar un dado de quinielas. Se puede obtener 1, X, 2. El espacio muestral es E = {1, X, 2}Lanzar un dado. Se puede obtener uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 y el espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }Obtener una carta de una baraja.

Se puede obtener as, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, sota, caballo o rey, de cada uno de los cuatro palos oros, copas, espadas y bastos. Es decir el espacio muestral estaría formado por 40 elementos que se corresponden con las cuarenta cartas de la baraja.Girar la flecha de la rueda como la de la imagen.Se puede obtener 1, 2, 3 y 4. El espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4}Si lanzamos dos monedas el espacio muestral estaría formado por los posibles resultados de cara (C) o cruz (X) de cada una de las dos monedasy sería E = {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}, es decir por cuatro elementos

En todo experimento hay algunos sucesos destacados que reciben un nombre particular. Por ejemplo, si de una baraja nos quedamos sólo con los oros y extraemos una carta:

1. Es imposible que salga copas. A este suceso se le denomina: Suceso Imposible

2. Es seguro que salga oros. A este suceso se le denomina: Suceso Seguro

3. Si sacamos una carta de la baraja completa, ¿puede ser a la vez oro y copas?. No, porque no hay una carta de dos palos a la vez. En este caso hablaremos de: Sucesos incompatibles

A los subconjuntos del espacio muestral se les llama sucesos.

4. e. Si sacamos una carta de toda la baraja, ¿puede ser que salga espadas y rey a la vez? Sí, porque cuando sacamos una carta puede ser de cualquier palo y de cualquier valor. A estos sucesos se les denomina: Sucesos compatibles

Probabilidad

Probabilidad experimental

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable.

La frecuencia relativa del suceso A:

Hay ocasiones donde no podemos conocer todos los resultados posibles. En esas situaciones donde acceder a la probabilidad matemática exacta es imposible de encontrar, se acude a la probabilidad experimental, que permite establecer un valor basado en la reiteración del suceso y el análisis de los resultados obtenidos. Cuantas más veces repitas la experiencia, te aproximarás cada vez más a un valor real. Sin embargo, como la experiencia puede repetirse infinidad de veces ese resultado nunca será exacto. El resultado obtenido se expresa en porcentaje.

Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el

experimento crece.

Supongamos que realizas la experiencia de lanzar la moneda 100 veces, y observas que cae boca abajo 43 veces. Entonces, podrías afirmar que existen 43 posibilidades entre 100 de que esa moneda caiga de esa manera o, lo que es lo mismo, que existe un 43% de probabilidad. En otras palabras, la cantidad de lanzamientos conforma el espacio muestral, es decir la muestra sobre la cual se sacará la probabilidad. Si siguiéramos tirando infinitamente ese espacio muestral sería otro y los resultados variarían. Se supone que, en ciertas situaciones, una cantidad mayor a 100 es suficiente para afirmar una probabilidad.

De esta manera, lo que se presenta como en forma de azar puede ser predeterminado, aunque no siempre se acierte.

El experimento

Para que lo entiendas mejor, te proponemos que realices tú mismo la siguiente prueba:

1. Toma un trozo de papel y forma con él un cono.2. Dibuja en otro papel una tabla de dos columnas, en la primera deberá decir “de lado” y en la segunda “sobre la base”. 3. Lanza el cono que has hecho anteriormente al aire, de tal manera que caiga sobre una superficie plana. Quedará de lado o sobre su base. ¡No cuentes con que caiga de punta! De acuerdo como caiga, haz una rayita en la columna de la tabla que corresponda.4. Repite el punto anterior 50 veces.

¿Cuál fue el resultado?

Ahora, de acuerdo con lo que has apuntado en la tabla, contesta a las siguientes preguntas. ¡Ojo! Tus repuestas deben estar expresadas en porcentaje.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el cono caiga de lado?2. ¿Y sobre su base?3. Realiza el ejercicio 50 veces más. Ahora, basándote en 100 eventos ¿cuál es la probabilidad de que el cono caiga de lado?4. ¿Y sobre su base?5. Los resultados de las preguntas 1 y 2 ¿son parecidos a los de la 3 y 4?

Ejemplo: En una encuesta realizada a 500 profesores de la ciudad de Chiclayo, se encontró que 320 de ellos se encuentran trabajando en escuelas no estatales. Hallar la probabilidad que al seleccionar aleatoriamente un profesor, esté trabajando en una escuela no estatal.Sea el evento A: profesor que trabaja en una escuela no estatal Veces que ocurrió A = 320Total de veces que se repitió el experimento = 500

2. Figura de tres y cuatro lados

Los polígonos.

La denominación de polígono — palabra compuesta de poli , del griego: muchos; y gonos del griego: ángulos — se aplica a las figuras geométricas planas, delimitadas por el cruce de tres o más líneas rectas; lo cual conforma una superficie definida por 3 o más lados, los cuales forman entre sí la misma cantidad de ángulos.

Los polígonos se clasifican según tres criterios:

Por la igualdad o desigualdad de lados:

Polígonos regulares — cuando todos los lados son de igual extensión;Polígonos irregulares — cuando por lo menos alguno de los lados es de extensión distinta.

Por la cantidad de lados, aunque por referencia a la igual cantidad de ángulos:

Triángulos — los que tienen 3 lados y 3 ángulos.Cuadriláteros — los que tienen 4 lados y 4 ángulos.Pentágonos (del griego: penta: cinco) — los que tienen 5 lados y 5 ángulos.Exágonos (del griego: exa: seis) — los que tienen 6 lados y 6 ángulos.Heptágonos (del griego: hepta: siete) — los que tienen 7 lados y 7 ángulos.Octógonos — los que tienen 8 lados y 8 ángulos.Encágonos — los que tienen 9 lados y 9 ángulos.Decágonos — los que tienen 10 lados y 10 ángulos.Undecágonos — los que tienen 11 lados y 11 ángulos.Dodecágonos — los que tienen 12 lados y 12 ángulos.Con más de 12 lados, se denominan indicando el número de lados.

Por la existencia de una o más líneas que los dividan en mitades iguales:

Polígonos simétricos — los que tienen uno o más ejes de simetríaPolígonos asimétricos — los que no tienen ningún eje de simetría

Triángulos.

El triágulo es el polígono delimitado por tres lados; y que en consecuencia contiene tres ángulos, con sus respectivos vértices.

Clases de triángulos.

Los triángulos se clasifican:

En consideración a sus lados, en:

o Triángulos equiláteros — cuando sus tres lados son iguales.

o Triángulos isósceles — cuando solamente dos de sus lados son

iguales.o Triángulos escalenos — cuando sus

tres lados son desiguales.

En consideración a sus ángulos, en:

o Triángulos acutángulos — cuando sus tres ángulos son agudos.

o Triángulos rectángulos — cuando tienen un ángulo recto.

o Triángulos obtusángulos — cuando tienen un ángulo obtuso.

Altura de los triángulos.

Cualquiera de los lados de un triángulo puede tomarse como su base, es decir, como el lado que queda en posición horizontal respecto del observador. En geometría se acostumbra designar el lado que se toma como base de un triángulo, como lado AB. Denominación que también afecta al ángulo que está en cada extremo de la base; y por lo tanto se designa como C el ángulo superior, que se denomina vértice del triángulo.

En geometría es usual designar la altura de una figura empleando la letra H, probablemente con referencia a la palabra francesa hauteur (se pronuncia: otér), que precisamente significa altura.

a altura de un triángulo, es la distancia que existe entre el lado tomado como base, y el vértice del triángulo; representada por una línea que saliendo del vértice es perpendicular a la base

Teorema relativo a la suma de los ángulos externos de un triangulo

"La suma de las medidas de los 3 ángulos externos de un triángulo cualquiera siempre es igual a 360ºDem:

d + e + f = 360º

Obsérvese que: d + a = 180º Por sere + b = 180º ángulosf + c = 180º suplementarios

Semejanza de triángulos

Relación entre dos figuras geométricas que tienen la misma forma, aunque distinto tamaño. Entre los elementos (puntos, rectas, ángulos,…) de esas dos figuras se establece una relación por la que cada elemento f le corresponde otro de f´Dos figuras semejantes f y f´ cumplen con las siguientes relaciones métricas:Proporcionalidad de Segmentos: entre dos figuras semejantes, los pares de segmentos correspondientes son proporcionales. Si A, B, C son puntos de f y A’, B’, C’ los correspondientes puntos de f entonces se cumple que:

La razón de proporcionalidad K se llama razón de semejanza. Por ejemplo, entre dos figuras semejantes cuya razón de semejanza es 2, cada segmento de la primera es de longitud doble que el correspondiente segmento de la segunda.Razón de dos Segmentos de Recta: Es el cociente de sus longitudes.

Encontrar el valor de X

  Si y solo si 3X = 4(6)3X = 24X = 24 = 8

3

La razón de a es = =

Proporción:

Es la igualdad de dos razones.Igualdad de Ángulos:Entre dos figuras semejantes, los ángulos correspondientes son iguales.Si A, B, C son puntos de f y A´, B´, C´, los correspondientes puntos de f, entonces se cumple que:

Relación entre Volúmenes:

El cociente entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de la semejanza.

Dos polígonos son semejantes si sus lados son proporcionales y sus ángulos respectivamente iguales.Para saber que dos triángulos son semejantes basta comprobar que se cumple alguna de las condiciones siguiente llamadas criterios o casos de semejanza de triángulos.

Criterio 1: Tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales.Criterio 2: Tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.Criterio 3: Tienen tres lados proporcionales.

Teorema de Pitágoras

"En cualquier triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de lo catetos".Ilustración: a c C2= a2 + b2 Dem: Trafiquemos el triangulo rectángulo tomado de la

De la hipotenusa como base y luego tracemos su altura.  

Designemos Por x la distancia de un vértice al punto en que la altura se toca con la hipotenusa. La distancia de dicho punto al otro vértice es por tanto c-x.La altura así trazada determina rectángulos semejantes.

Cuadriláteros

Son cuadriáteros todos los polígonos delimitados por cuatro lados; y que en consecuencia contienen cuatro ángulos, con sus respectivos vértices.

Clases de cuadriláteros.Los cuadriláteros se clasifican en consideración a la posición que ocupan sus lados, en:

Paralelogramos — cuando los dos pares de sus lados son paralelos entre sí.Trapecios — cuando solamente dos de sus lados son paralelos entre sí.Trapezoides — cuando ninguno de sus lados es paralelo a otro.

Los paralelogramos son:

El cuadrado — cuyos cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos son rectos.El rectángulo — que tiene iguales dos lados, y los otros dos distintos pero iguales entre ellos (por lo cual es usual decir que son iguales dos a dos) y cuyos cuatro ángulos son rectos.El rombo — cuyos cuatro lados son iguales pero tiene dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos iguales.El romboide — que tiene sus lados iguales dos a dos, pero tiene dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos iguales.

Altura de los cuadriláteros.

Polígono de cuatro lados. La suma de sus ángulos interiores es 360. los cuadriláteros tienen dos diagonales.

Se clasifican en paralelogramos si tienen los dos pares de lados opuestos iguales entre si.

Los paralelogramos son: los cuadrados (cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos), rectángulos (los cuatro ángulos rectos) rombos (cuatro lados iguales) romboides (no tienen los lados iguales ni los cuatro ángulos rectos).

Clasificación:

Paralelogramo: cuadrilátero cuyos dos pares de lados son iguales entre si. Para ver el gráfico seleccione la opción "descargar" del menú superior

Trapecio: cuadrilátero con solamente dos lados opuestos paralelos y dos no paralelos. Para ver el gráfico seleccione la opción "descargar" del menú superior

Trapezoide: cuadrilátero que no es paralelogramo ni trapecio, no tiene ningún par de lados paralelos.

La altura de los paralelogramos, se determina indistintamente tomando como base cualquiera de sus lados, y consiste en la distancia perpendicular entre la base, y el lado opuesto. Naturalmente, en el cuadrado la altura siempre será equivalente al lado, por ser todos iguales. En el rectángulo, cuando el lado menor sea la base la altura será el lado mayor; y viceversa.

En el rombo, el romboide y el trapecio, la altura será la distancia perpendicular entre los lados paralelos.

Paralelogramos

Clasificación:

Rectángulo: es el paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos iguales; pero en cuanto a sus lados son iguales solamente los opuestos. Para ver el gráfico seleccione la opción "descargar" del menú superior

Cuadrados: Paralelogramo que tiene iguales sus cuatro ángulos y sus cuatro lados. Para ver el gráfico seleccione la opción "descargar" del menú superior

Rombos: paralelogramos con sus cuatro lados iguales e iguales solamente los ángulos opuestos. Para ver el gráfico seleccione la opción "descargar" del menú superior

Romboide: paralelogramo en que solamente son iguales entre si los lados opuestos así como también los ángulos opuestos. Para ver el gráfico seleccione la opción "descargar" del menú superior

Propiedades:

"la diagonal de un paralelogramo divide a este en dos triángulos iguales".

Los pares de los lados opuestos son iguales, los pares de ángulos opuestos son iguales, cada dos ángulos contiguos son suplementarios, sus diagonales se cortan en sus puntos medios.

Características:

Cuadrados: sus cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos son rectos.Rectángulos: sus cuatro ángulos son rectos.Rombos: sus cuatro lados son iguales.Romboides: sus cuatro lados no son iguales y no tienen ningún ángulo recto.

3. Equilibrio

Equilibrio estático

Con escasa importancia en el mundo deportivo, se puede definir como la capacidad de mantener el cuerpo erguido sin moverse.

Equilibrio dinámico

Con una importancia más directa sobre el deporte, se define como la capacidad de mantener la posición correcta que exige el tipo de actividad que sea, casi siempre en movimiento. En definitiva, podemos decir que para que una acción pueda ser equilibrada y lo más positiva y eficaz posible, entes debemos haber calculado sobre la marcha o incluso antes de ella, la dirección, el contrario, etc. Medición del equilibrio

Esta cualidad puede ser evaluada en función de las dos clases que conocemos de equilibrio.

Equilibrio estático

Podemos medirlo mediante el test descrito por Lerwin y Fernández (obra citada) que se realiza en las escuelas primarias de Miami, Florida. Este test consiste en realizar la balanza. Adelantando el tronco y colocándolo paralelo al suelo, a la vez que se eleva una pierna por detrás, mirando siempre el frente. Se trata de mantener la posición 10 segundos con el siguiente Baremo: Si se mantiene. 4 puntos.Si se duda ligeramente. 3 puntos.Si pierde el equilibrio más de una vez. 2 puntos.Si no es capaz de mantenerlo en ningún momento. 1 punto.

Equilibrio dinámico Lo podemos evaluar con un test utilizado en el mismo sitio que el del equilibrio estático, escuelas primarias de Miami, Florida, y que consiste en caminar sobre una barra de equilibrio de 3,60 metros de largo y a una altura de 15 cms. del suelo. Situándose en un extremo, se deben realizar tres pasadas. La primera, recorriendo el trayecto de frente hasta el otro extremo y la segunda y tercera colocándose lateralmente y en ambos sentidos. (Fig. 7.3)

Ecuación

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.

Descripción y ejemplos

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1 Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita, normalmente la x).Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4 Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).Ejemplos:

3x + 1 = x - 2 1 - 3x = 2x - 9.x - 3 = 2 + x.X/2 = 1 - x + 3x/2Son estas últimas las ecuaciones que vamos a resolver en esta lección. Solución numérica

Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.

En el ejemplo podemos probar con valores:

x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:

Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = número. Así:

3x - x = -1 - 2; 2x = - 3; x = -3/2 ó x = -1,5.

Efectivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 -2; -4,5 + 1 = -3,5. ¡Cierto!.

Decimos en este caso que la ecuación tiene solución

Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior: 3x + 1 = x - 2.

- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:

3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1,

Que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"

- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2: 2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".  Ejercicio 2.- Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo la ecuación: 1 - 3x = 2x - 9.

Escribe en la siguiente escena, en la línea donde ahora ves escrita la ecuación anterior, la ecuación de este ejercicio. Fíjate en la ecuación del ejercicio 1 la forma de escribir 3x, se escribe 3*x.Comprueba el punto donde la recta corta al eje X. El valor de x debe coincidir con el obtenido numéricamente. (Habrás obtenido que la solución es x = 2)

Ecuaciones que no tienen solución Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:x - 3 = 2 + x.Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x. Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.En la escena siguiente, observarás que no se representa ninguna recta, luego la ecuación no representa a ninguna recta y por tanto no existe el punto de corte con el eje X, luego no existe la solución.

Ejercicio 4.- Resuelve numéricamente, comprobando que no tiene solución la ecuación:3x - 2 + x = 5x + 1 - x En la escena anterior cambia la ecuación actual por esta, observando que no se representa ninguna recta, luego no existe la solución. Ecuaciones con infinitas soluciones

Ejercicio 5.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación: 2x-1 = 3x + 3 - x - 4Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿qué significa ahora?. La igualdad que has obtenido es cierta pero se te han eliminado la x. ¿Cuál es la solución?.

Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x!. Compruébalo sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución). Este tipo de ecuaciones se denominan identidades 

4. Áreas y ecuaciones

Longitud de una circunferencia

E jemplo

Calcular l a longitud de una rueda de 90 cm de diámetro .

Área de un c í rcu lo

E jemplo

La longitud de una c ircunferencia es 43 .96 cm. ¿Cuá l es e l área de l c írculo?

Longitud de un arco de c i rcunferencia

Ejemplo

Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.

Área del sector circular

Ejemplo

Hal lar el área del sector c i rcular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscr i to , siendo 4 cm el radio de la circunferencia .

Área de un segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB

− Área del tr iángulo AOB

Sobre un c írculo de 4 cm se traza un ángulo central de 60°. Calcular el área

del segmento c i rcular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

Área de una corona circular

El área de una corona circular es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor .

Ejemplo

En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

Área de un trapecio circular

El área del t rapecio c ircular es igual al área del sector c i rcular mayor menos el área del sector c i rcular menor .

Ejemplo

Dadas dos circunferencias concéntr icas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del t rapecio c ircular formado.

Área de la lúnula

  El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados. Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula:  

  

Área del triángulo = (base. altura) / 2

  El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro

ángulos son de 90 grados cada uno. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

    Área del cuadrado = lado al cuadrado

  

El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:       Área del rectángulo = base. Altura

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90ª. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del rombo = (diagonal mayor. Diagonal menor) / 2

 

El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2

  El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:  

Área del paralelogramo = base. Altura

   

El pentágono regular es un polígono de cinco lados iguales y cinco ángulos iguales  

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del pentágono = (Perímetro. Apotema) / 2  

  El hexágono regular es un polígono de seis lados iguales y seis ángulos iguales.Los triángulos formados, al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros.   El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:    Área del hexágono = (perímetro. Apotema) / 2

 

 

Porcentajes

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que significa “de cada 100”). Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %. Por ejemplo: "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32 % y significa treinta y dos de cada cien.

El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similar sólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene de un símbolo que representaba "Ciento" (c. 1425).

El porcentaje es un tanto por ciento (cien unidades), por lo que se concluye que es una cantidad que corresponde proporcionalmente a una parte de cien. Por

Ejemplo: que si va a perder México del 90% dijo que no y del 10% dijo que si

1) Las temperaturas recogidas en un determinada ciudad durante el mes de Enero se muestran en la siguiente tabla:

Temperatura en º C

19 20 21 22 23 24

Números de dais 7 9 6 4 3 2a. ¿Cuántos días hizo por encima de 21ºC? ¿Cuántos por debajo

de 23ºC? ¿Cuántos días hizo la temperatura máxima?b. Calcula la media, la moda y la mediana.

2) Se realizó una encuesta a un grupo de personas para comprobar si habían visto la película que obtuvo más premios Goya ese año. Los resultados se reflejan en la gráfica:

125

175

0

50

100

150

200

SI NO

OPINIÓN

Nº

de

resp

ues

tas

a) ¿Cuántas personas contestaron a la encuesta?b) Elabora la tabla de frecuencias correspondiente.

3) A partir de la siguiente gráfica estadística de gustos deportivos:

0

1

2

3

4

5

6

atletismo ciclismo baloncesto natación

a) Calcular la tabla de frecuencias.b) ¿A qué porcentaje de las personas no le gusta el ciclismo?

Agricultura 1.870.000Industria 2.587.000Construcción 789.000Servicios 5.394.500

4) Estos son los datos sobre ocupación de la población por sectores económicos:

a) ¿Cuántos trabajadores hay en total?b) Calcula la frecuencia relativa en porcentaje de cada sector

económicoc) Representa estos datos en un diagrama de barras

5) La siguiente tabla refleja las calificaciones de 30 alumnos en un examen de Matemáticas:

nota 2 4 5 6 7 8 9 10Nº alumnos 2 5 8 7 2 3 2 1

a. ¿Cuántos alumnos aprobaron? ¿Cuántos alumnos sacaron como máximo un 7?¿Cuántos sacaron como mínimo un 6?

b. Calcular la nota media, la moda y la mediana

6) Las calificaciones obtenidas por los 32 alumnos de una clase de 3º de ESO en una prueba de Matemáticas vienen dadas por la siguiente tabla:

Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10Alumnos 1 2 4 5 4 6 5 4 1a) Elabora la tabla de frecuencias completa.b) ¿Qué porcentaje de alumnos aprueba la materia?c) ¿Qué porcentaje obtiene más de 8 puntos?d) Dibuja un diagrama de barras de frecuencias relativas.e) Dibuja un polígono de frecuencias acumuladas.

7) En la siguiente tabla se recoge el número de veces que un grupo de usuarios de un ambulatorio han tenido que acudir a su médico en el último año.a) ¿Cuántas personas han ido el médico 7 veces en el último año?¿Cuántas

han ido 4 veces?b) ¿Qué porcentaje de personas ha ido al médico más de 6 veces?c) Calcular la moda y el número medio de visitas al médico en el

ambulatorio.d) Dibujar un diagrama de barras.

Nº de visitas al médico

Nº de personas

1 103 255 437 3110 1212 4

8) La siguiente gráfica recoge la cantidad de parejas de zapatos de mujer vendidas en una tienda a lo largo del día:

0

5

10

15

20

25

30

35

36 37 38 39 40

Nº de zapato

Nº

de

par

es v

end

ido

s

a) ¿Cuántas parejas de zapatos del número 37 se han vendido?b) Pasa los datos a una tabla de frecuencias absolutas.c) ¿Cómo se llama la gráfica que nos han dado?d) ¿Qué porcentaje de zapatos vendidos eran números del 39 o 40?e) Dibuja un polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

9) En una encuesta a 35 personas se les preguntaba sobre sus preferencias a la hora de leer novelas. Los resultados se recogieron en la siguiente gráfica:

Preferencias de tipos de novelas

02468

1012141618

aventuras amor misterio ciencia-ficción

humor

a) Construye la tabla de frecuencias.b) Dibuja sobre el gráfico un diagrama de barras.c) ¿A qué porcentaje de las personas encuestadas les gustan las

novelas de amor?¿Y las de ciencia-ficción?d) ¿Cuál es la moda?

43

5460

64 65 67 68 6873 74 77 79 79 84 89

Japón

Core

a d

el S

ur

Luxem

burg

o

Austr

alia

Esta

dos U

nid

os

España

Suiz

a

Rein

o U

nid

o

Ale

mania

Bélg

ica

Hola

nda

Fra

ncia

Gre

cia

Din

am

arc

a

Suecia

10)En el siguiente estudio se analizan los sueldos que ganan las mujeres en la industria en diversos países del mundo, en porcentaje sobre lo que gana los

hombres:

a) Si una mujer en Suiza gana 1300 francos, ¿cuánto gana un hombre en el mismo puesto y con la misma categoría profesional?

b) Un hombre, por término medio, gana en España un sueldo mensual de 1102 euros netos. ¿Canto ganaria si fuse mujer?

Las TIC contribuyen al 15,26 % del crecimiento del PIB español y al 65,74 % Del avance de la productividad del trabajo

Si se hubieran eliminado las ineficiencias que todavía persisten y las nuevas tecnologías hubiesen sido utilizadas a pleno rendimiento, en el período 1995-2002 la tasa anual del crecimiento del PIB en España hubiese sido superior en 1,8 puntos porcentuales (el 5,14% en lugar del 3,3%) y la productividad del trabajo hubiese crecido anualmente un 2,4% en lugar del 0,6%, según los principales resultados de la obra de la Fundación BBVA-Ivie “Las nuevas tecnologías y el crecimiento económico en España”

%

La participación del valor añadido de los sectores productores de bienes TIC en el valor añadido total del sector privado se situó en España, en el año 2001, en el 8,1%, cifra inferior al 8,6% de la UE-14 y al 9,6% del conjunto de los veinticinco países que integran actualmente la OCDE

Como país usuario, el grado de penetración de las TIC en España se encuentra todavía a cierta distancia de los países más avanzados: el 50 % de los españoles no se siente capacitado para utilizar un ordenador y el 70% no sabe utilizar instrumentos ni equipos tecnológicos; además, el porcentaje de empresas con conexión a Internet y portal web sólo supera el 50% en la Comunidad de Madrid

Las importantes mejoras de los niveles educativos de los trabajadores en los últimos años tampoco se traducen en un uso intenso de las TIC debido a la falta de preparación del profesorado en nuevas tecnologías, a los empleos de baja calidad o precarios, que dificultan la adquisición de capital humano específico, y a la sobre cualificación

Las empresas Intensivas en uso TIC presentan las tasas más elevadas de crecimiento, son las que más empleo generan y las que realizan el mayor esfuerzo de acumulación de capital

Gráfico 1. Participación del valor añadido TIC en el valor añadido total del

sector privado.

1995 y 2001

Porcentaje

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

1995 2001

Fuente: OCDE.

ESPAÑA COMO PAÍS USUARIO DE TICComo país usuario de bienes TIC, el grado de penetración en la economía española todavía se encuentra a distancia de los países más avanzados. España arrancó más tarde y más despacio en la implantación de las TIC, por lo que arrastra hoy un retraso significativo.Dos hechos destacan de la observación del gráfico 2. En primer lugar, España se encontraba en 2000 en una de las posiciones más rezagadas en el contexto de los países pertenecientes a la OCDE en el peso de la inversión en TIC respecto a la inversión total (no residencial). No obstante, España se sitúa por delante de países más desarrollados que el nuestro, como Francia, Austria o Bélgica. En segundo lugar, aunque todos los países han incrementado la inversión en TIC, existen diferencias muy notables entre ellos, siendo líderes Estados Unidos y Finlandia en la penetración de las nuevas tecnologías en su economía. Teniendo en cuenta que en Estados Unidos los efectos positivos sobre el crecimiento de la productividad sólo comenzaron a hacerse patentes a mediados de los años noventa –cuando su nivel de dotaciones era muy superior al que tiene España en la actualidad– puede conjeturarse que todavía no se ha alcanzado el umbral a partir del cual comienzan a ser visibles los impactos positivos de las nuevas formas de capital tecnológico.

Gráfico 2. Inversión en TIC en los países de la OCDE. 1980-2000

Porcentaje de FBCF no residencial

EL RETRASO EN EL USO DE LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS

Fuente: Colecchia and Schreyer (2001), FBBVA-Ivie, OECD y Van Ark et al. (2002)

EEUU

Finland

ia

Austra

lia

Reino U

nido

Suecia

Canad

á

Holand

a

Aleman

ia

Dinamarc

a

Unión E

urope

aIta

liaJa

pón

Grecia

Irland

a

ESPAÑAFran

ciaAus

tria

Bélgica

Portug

al0

10

20

30

40

1980 1990 2000

Varias razones pueden explicar el retraso relativo en el uso de las nuevas tecnologías, según explica el estudio de la Fundación BBVA-Ivie. Su rápida difusión en la sociedad, propiciada por la fortísima caída de los precios, especialmente de los ordenadores, se produjo sin que existiera una población y un tejido empresarial preparados para asimilar las nuevas técnicas. España accedió más tarde que el resto de los países desarrollados a la generalización de la educación obligatoria; este hecho es de singular importancia, ya que implica que un porcentaje elevado de adultos no se benefició de una educación formal mínima necesaria para iniciarse, en ese momento o posteriormente, en el manejo de las TIC.

En el año 1985, cuando la revolución tecnológica ya se consideraba imparable, más del 60% de la población ocupada tenía como máximo estudios primarios y el 12% eran analfabetos. Las importantes mejoras educativas experimentadas por los jóvenes, así como su mayor familiarización con las nuevas tecnologías, permiten esperar mejoras en este sentido. En 2004, el porcentaje de trabajadores que tenían como máximo estudios primarios aún era de, aproximadamente, el 20% (Cuadro 1).

Cuadro 1. Estructura del empleo por niveles educativos

Porcentaje

1985 1990 1995 2000 2002 2004

TOTAL 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Analfabetos y sin estudios 12,02 10,83 7,08 4,97 3,63 3,09

Estudios primarias 51,57 38,77 31,02 20,80 18,35 16,29

Bachiller elemental/EGB/ESO 15,79 20,80 24,28 26,81 28,14 28,37

Bachiller superior/BUP y COU/Bachillerato

7,77 9,12 9,97 12,08 12,48 13,78

FP I y II / CF grado medio y superior

2,82 8,03 12,17 16,10 16,57 16,60

Anterior a superior 5,16 6,37 7,41 8,51 9,32 9,42

Superiores 4,87 6,07 8,07 10,73 11,51 12,45

Fuente: INE y elaboración propia.En la gráfico 3 se comprueba que la utilización de las nuevas tecnologías depende sobre todo del nivel de estudios del usuario. Casi el 90% de las personas con estudios universitarios ha utilizado el ordenador en los últimos tres meses, frente al 10% de las personas con educación primaria. Del mismo modo, el uso de Internet crece también con el nivel educativo.

Gráfico 3. Uso de las tecnologías de la información en España por niveles

educativos. 2004

Porcentaje

No

obstante, a pesar de las mejoras educativas, en 2003 todavía un 70% de la población española admitía no saber utilizar instrumentos y equipos tecnológicos, que son los que se utilizan en puestos de trabajo específicos, en especial en empleos con contenidos tecnológicos medio/altos, y el 50% ordenadores. En la Unión Europea, sólo los ciudadanos de Portugal y Grecia presentan conocimientos menores en el uso de ordenadores (Gráfico 4).

Gráfico 4. Proporción de personas que consideran que no pueden usar un ordenador o instrumentos/equipos científico-tecnológicos. Enero/Febrero 2003

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Sin estudios Educación Primaria Primera etapa deEducación

Secundaria

Segunda etapa deEducación

Secundaria

FP de GradoSuperior

Educación Superior Otros

Personas que han utilizado el ordenador en los últimos 3 meses

Personas que han utilizado Internet en los últimos 3 meses

Personas que han comprado a través de Internet en los últimos 3 meses

Por tanto, el retraso en la universalización de la educación en España es uno de los principales factores que dificultan el aprovechamiento de las ventajas que ofrecen las TIC. El segundo factor del retraso está asociado a una estructura productiva española que todavía se encuentra fuertemente dominada por las pequeñas y medianas empresas, con un peso importante de actividades tradicionales de bajo valor añadido. Se trata de empresas acostumbradas a competir sobre la base del coste, gracias a salarios relativamente bajos, y con un empresariado que, debido a su edad, no tuvo tampoco las oportunidades de acceder a los niveles superiores de formación que poseen ahora muchos de los empresarios más jóvenes y los directivos profesionales.

El gráfico 5 es una muestra de la reducida presencia de las TIC en las empresas españolas. El porcentaje de empresas con conexión a Internet y portal web alcanza en el mejor de los casos el 60% en el sector servicios de las Islas Baleares. Sólo en la Comunidad de Madrid el porcentaje supera el 50% para la totalidad de las empresas. Le siguen, por este orden, Cataluña, País Vasco, Navarra y Baleares.

Gráfico 5. Porcentaje de empresas con conexión a Internet y sitio web por

Comunidades Autónomas. 2003

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%

Ceuta y Melilla

Canarias

Castilla-La Mancha

Extemadura

Murcia

Aragón

Galicia

Comunidad Valenciana

Castilla y León

Andalucía

Asturias

Rioja

Cantabria

Baleares

Navarra

País Vasco

Cataluña

Madrid

Industria y construcción Servicios Total

En el reducido uso de Internet influye también su coste de acceso, que en España es el doble que en Estados Unidos, Francia y Canadá. El gráfico 6 muestra el coste en dólares de acceso a Internet por franja horaria. El coste se da en Paridad de Poder Adquisitivo (PPA), es decir, descuenta los niveles de precios generales de cada uno de los países. El coste de Internet en España es similar al de Holanda y algo menor que el de Portugal.

Gráfico 6. Coste de acceso a Internet por franja horaria. Septiembre 2002

Cesta OCDE por 40 horas $ EE.UU PPA (IVA incluido)

EL CAPITAL HUMANO

Las importantes mejoras que se han producido en la composición por niveles educativos de los ocupados en los últimos años no parecen estar ofreciendo los frutos deseables en el uso de las TIC y ello fundamentalmente por tres razones: la existencia de un problema de sobre cualificación de los recursos humanos en algunos puestos de trabajo, la falta

de preparación del profesorado y los empleos de baja calidad o precarios. El fenómeno de la sobre cualificación impide rentabilizar el capital humano de muchos jóvenes porque su mayor preparación no puede ser aprovechada

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Diurna Nocturna

por un tejido productivo orientado a actividades que, en ocasiones, no requieren estos niveles de formación. El fortísimo crecimiento, en los últimos años, del empleo en la construcción y la hostelería son ejemplos muy ilustrativos de las dificultades de aprovechamiento del capital humano.España no parece tener problemas más graves de dotaciones de nuevas tecnologías en las escuelas. Los datos indican que el país está muy próximo a los valores medios de la Unión Europea, cuando no son superiores. En cambio, el profesorado no parece haber hecho el esfuerzo suficiente para reconvertir sus procedimientos pedagógicos, incorporando con naturalidad las nuevas técnicas en el proceso de aprendizaje. En el año 2000, el 34,4% del profesorado español reconocía no alcanzar el nivel de usuario en el conocimiento de las nuevas tecnologías, y tan sólo contestaban tener conocimientos avanzados el 8,7% y el 2,6% respectivamente.

LAS TIC EN EL CRECIMIENTO ESPAÑOL

Para medir el impacto de las nuevas tecnologías en el crecimiento económico, el estudio de la Fundación BBVA-Ivie clasifica las ramas de actividad en cuatro grupos en función de la intensidad de uso de las TIC: Intensivas en uso TIC; No Intensivas en uso TIC; Otras no Intensivas en uso TIC (entre las que se encuentran la agricultura, la pesca, las industrias extractivas y la construcción) y No Mercado. Además, distingue entre el papel desempeñado por la acumulación de capital no tecnológico (no-TIC) y tecnológico (TIC).En el periodo 1985-2002 las TIC en España muestran una contribución importante al crecimiento económico y a la productividad, aunque todavía no han agotado toda su potencialidad. Los efectos positivos se reflejan en los dos resultados siguientes. En primer término, en el periodo 1995-2002 la inversión TIC ha contribuido anualmente al 15,26 % del crecimiento del PIB español y al 65,74% del avance de la productividad del trabajo. En segundo lugar, en el mismo periodo, la contribución de la inversión TIC al crecimiento de la producción del sector más intensivo en el uso de las nuevas tecnologías fue de un 23,05% y a la productividad del trabajo de un 104,79%.

Sin embargo, los efectos potenciales de la revolución TIC no se han presentado en toda su dimensión todavía. La ausencia de un sector productor TIC, el retraso en la introducción de las nuevas tecnologías, la falta de cualificación de la población ocupada, o la ausencia de inversiones complementarias en las empresas, se apuntan como posibles causas del desfase y tienen su reflejo en la contribución negativa a la productividad total de los factores al crecimiento. Sin estas consecuencias negativas, es decir, si la nuevas tecnologías hubieran sido utilizadas a pleno rendimiento –como previsiblemente lo terminarán siendo en el futuro-, y si se eliminaran todos los factores adicionales que afectan negativamente a la utilización

eficiente de los recursos, la tasa de crecimiento anual del PIB hubiera sido 1,8 puntos porcentuales superior (el 5,14% en lugar de 3,32%) y la productividad del trabajo hubiera crecido anualmente un 2,4% en lugar del 0,6%.

Cuadro 2.

Contabilid

ad del crecimiento. 1995-2002 (Porcentajes)

Total

ramasIntensivas uso TIC

No intensivas

uso TIC

Otras no intensivas

uso TIC

No mercado

1. Crecimiento de la producción (=2+8+16+17) 3,32 4,23 2,78 3,43 2,60

2. Contribución del capital (=3+7) 1,23 1,74 1,20 0,51 0,89

3. TIC (=4+5+6) 0,51 0,98 0,34 0,07 0,31

4. Software 0,12 0,28 0,05 0,01 0,04

5. Comunicaciones 0,14 0,32 0,09 0,02 0,02

6. Hardware 0,24 0,38 0,20 0,04 0,25

7. No TIC 0,73 0,77 0,86 0,44 0,58

8. Contribución de las horas trabajadas 2,07 2,65 2,08 1,97 1,33

9. Crecimiento de la productividad del trabajo (= 10+16+17) 0,60 0,62 0,07 0,95 0,88

10. Contribución de las dotaciones de capital por hora trabajada (=11+15) 0,58 0,78 0,57 0,01 0,50

Gráfico 7. Contribución del capital TIC al crecimiento económico 1995-2002

CONTRIBUCIÓN DEL CAPITAL TIC

CRECIMIENTO DE LA PRODUCCIÓN

15,26%

CRECIMIENTO DE LA PRODUCTIVIDAD

65,74%

CONTRIBUCIÓN DEL CAPITAL TIC EN RAMAS INTENSIVAS

EN USOS TIC

CRECIMIENTO DE LA PRODUCCIÓN

EN SECTOR TIC 23,05%

CRECIMIENTO DE LA PRODUCTIVIDAD

DEL SECTOR TIC 104,79%

TOTAL DE LA ECONOMÍA

SECTOR TIC

11. TIC (=12+13+14) 0,39 0,65 0,27 0,06 0,28

12. Software 0,09 0,18 0,04 0,01 0,03

13. Comunicaciones 0,09 0,17 0,06 0,01 0,01

14. Hardware 0,21 0,31 0,17 0,04 0,23

15. No TIC 0,19 0,13 0,30 -0,05 0,22

16. Cualificación fuerza del trabajo 1,83 2,53 1,43 1,12 2,35

17. PTFR -1,82 -2,69 -1,93 -0,18 -1,97

Cuadro 3. Contribución al crecimiento de la producción 1995-2002

Porcentajes

Total ramas Intensivas uso TIC

1. Crecimiento de la producción (=2+8+16+17) 100,00 100,00

2. Contribución del capital (=3+7) 37,14 41,14

3. TIC (=4+5+6) 15,26 23,05

4. Software 3,59 6,54

5. Comunicaciones 4,30 7,64

6. Hardware 7,38 8,87

7. No TIC 21,88 18,09

8. Contribución de las horas trabajadas 62,48 62,54

16. Cualificación fuerza del trabajo 0,55 59,76

17. PTFR -0,55 -63,44

Cuadro 4. Contribución al crecimiento de la productividad del trabajo

1995-2002

Porcentajes

Total ramas

Intensivas uso TIC

9. Crecimiento de la productividad del trabajo (= 10+16+17) 100,00 100,00

10. Contribución de las dotaciones de capital por hora trabajada (=11+15) 97,90 125,13

11. TIC (=12+13+14) 65,74 104,79

12. Software 14,45 28,36

13. Comunicaciones 15,50 26,81

14. Hardware 35,79 49,62

15. No TIC 32,15 20,34

16. Cualificación fuerza del trabajo 307,45 407,50

17. PTFR -305,34 -432,63

Gráfico 8. Fuentes del crecimiento de la productividad del trabajo. 1995-2002

Fuente: Fundación BBVA-Ivie.

En el cuadro 4 y en el gráfico 8 se observa que en los últimos años el factor determinante del aumento de la productividad en España, en las ramas intensivas en uso TIC, han sido las mejoras educativas de los trabajadores. Por otro lado, la inversión en capital no tecnológico junto con la falta de eficiencia en el uso de las nuevas tecnologías (PTFR) han actuado como freno de la productividad del trabajo.

La economía española, y especialmente las ramas englobadas en la categoría Intensivas en uso TIC, han realizado un esfuerzo muy importante en la acumulación de capital TIC en los últimos años. Sin embargo, no parecen haber superado el umbral a partir del cual los beneficios superan a los costes de ajuste; este retardo también se produjo en la economía estadounidense. Si éste fuera el único problema, todo consistiría en esperar a recoger sus frutos en el futuro; sin embargo, esta obra advierte que es muy probable que haga falta algo más: una reorientación de la producción.

La expansión iniciada a partir de mediados de los noventa se alimentó por el crecimiento ininterrumpido del empleo y la cualificación de los trabajadores, lo que representó un alivio de dos de los problemas más acuciantes de la economía española hasta entonces. Sin embargo, el rasgo más negativo de

Ramas intensivas en uso TIC:1. Energía eléctrica, gas y agua 2. Industria del papel, edición y artes gráficas 3. Equipo electrónico, eléctrico y óptico 4. Transportes y comunicaciones 5. Intermediación financiera 6. Servicios empresariales7. Sanidad y servicios sociales privados8. Otras actividades sociales y servicios

1 2 3 4 5 6 7 8-14,0

-12,0

-10,0

-8,0

-6,0

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

PTF RCualificación

Capital productivo TIC por hora trabajadaCapital productivo no TIC por hora trabajada

este proceso fue el lento avance de la productividad. Los dos factores que influyeron en su ralentización fueron la desaceleración de la acumulación de capital no-TIC y el mal comportamiento de la Productividad Total de los Factores Residual (PTFR), variable que aproxima el crecimiento técnico una vez se ha descontado la mejora en la cualificación del trabajo. Por el contrario, durante este prolongado periodo de expansión la acumulación de capital TIC contribuyó positivamente al sostenimiento de la productividad.

Índice

Instrucciones:

Estructura de los capítulos Los distintos materiales de apoyo con unos pequeños Para el estudio, una enseñanza y el aprendizaje de las matemáticasEn las escuelas educación de la secundarias.

Enfoque

Experimento aleatorios ……………………………………………………….. 3

Figuras de tres y cuatro lados …………………………………………………8

Equilibrio ………………………………………………………………………….12

Áreas y ecuaciones …………………………………………………………….. 19

Porcentajes ……………………………………………………………………….. 29

Presentación

Cuando era una niña muy pequeña aprendiste como todas las personas a distinguir formas, a reconocer patrones y a contar todo a través de un juego. Es muy curioso, como a medida que alguien avanzas en los estudios el entusiasmo por estas actividades, que son la base de lo que conoces como las matemáticas, disminuyen.

Al escribir este libro, vemos tu esfuerzo hemos buscado acerté al mundo de las matemáticas de modo que atreves de tu propia experiencias puedas ver que son interesantes, fáciles de entender y de aprender. Pretendo demostrarte que se puede, ser fáciles las matemáticas al jugar domino cuando se corre un maratón, al construir pirámides de plastilina y de muchas otras formas, y que la curiosidad y la imaginación son herramientas muy valiosas para darlas.

Otro aspecto que hemos precurado es ofrecerte al guano ejemplos de la estrecha relación que las matemáticas tiene todo lo que las personas hemos y nos interesan: desde su aplicación en la biografía, la física y otras ciencias, hasta lo útiles que resultan para facilitar distintas tareas de la vida cotidiana, pasando por su papel en la historia y sus relaciones en la lengua escrita y hablada.

Lucha por lo que más quieres que sean las matemáticas.