bỘ mÔn duyỆt ĐỀ cƢƠng chi tiẾt bÀi giẢng chủ...

BỘ MÔN DUYỆT

Chủ nhiệm Bộ môn

Tô Văn Ban

ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG

(Dùng cho 45 tiết giảng)

Học phần: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Nhóm môn học: Toán Cao cấp

Bộ môn: Toán

Khoa : Công nghệ thông tin

Thay mặt nhóm môn

học

Nguyễn Thị Thanh Hà

Thông tin về giáo viên

TT Họ tên giáo viên Học hàm Học vị

1. Hy Đức Mạnh Giảng viên TS

2. Nguyễn Thị Thanh Hà Giảng viên chính ThS

3. Phạm Tiến Dũng Giảng viên chính TS

4. Đào Trọng Quyết Giảng viên TS

5. Bùi Quốc Hưng Giảng viên ThS

6. Thiều Lê Quyên Trợ giảng ThS

7. Phan Thị Hương Giảng viên ThS

Địa điểm làm việc: Bộ Môn Toán, P1408, Nhà A1 (Gần đường HQ Việt)

Điện thoại, email: 069 515 330, [email protected]

Bài giảng 1: Tập hợp + Ánh xạ + Số phức

Chương I Mục I.1 + I.2.

Tiết thứ: 1-3 Tuần thứ: 1

- Mục đích, yêu cầu:

Nắm sơ lược về Học phần, các chính sách riêng của giáo viên, địa chỉ của

giáo viên, bầu lớp trưởng học phần.

Nắm được các khái niệm về Lo gic mệnh đề, tập hợp, các phép toán trên

tập hợp, các khái niệm ánh xạ, cấu trúc đại số…..

Vận dụng giải được các bài tập đơn giản về tập hợp, ánh xạ, cấu trúc đại

số.

- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, tự học, tự nghiên cứu.

- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 3 tiết; Tự học, tự nghiên cứu: 6 tiết

- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công

- Nội dung chính:

Giới thiệu môn học

I.1. Logic, tập hợp, ánh xạ, số phức (2 tiết)

Logic mệnh đề

Khái niệm mệnh đề, ví dụ.

Các phép toán trên mệnh đề:

Tuyển, hội, kéo theo, phủ định, tương đương.

Các công thức

Tập hợp

Giới thiệu về khái niệm tập hợp, cách mô tả tập hợp, ví dụ minh họa, khái

niệm tập con, tập rỗng, tập hợp bằng nhau, ví dụ minh họa.

Các phép toán trên tập hợp:

Hợp hai tập hợp: A B { x: x A hoặc x B} .

Giao hai tập hợp: A B x : x A . và x B

Hiệu hai tập hợp: A \ B x A và x B

Phần bù của A trong U ký hiệu là: A = U \ A

B

A

(a) (b)

http://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Venn_A_intersect_B.svg

Hình 1.1. Lược đồ Venn: (a) - giao, (b )- hợp, (c) - hiệu, (d ) - phần bù

Tính chất của các phép toán:

Tính chất giao hoán: A B B A, A B B A.

Tính chất kết hợp: A (B C) (A B) C ,

A (B C) (A B) C.

Tính chất phân phối: A (B C) (A B) (A C),

A (B C) (A B) (A C).

Quy tắc De Morgan: A B A B; A B A B .

Khái niệm tích Đêcác, các ví dụ

- Định nghĩa 1: Giả sử A và B là hai tập hợp. Tích Decac của A và B ký

hiệu là AxB , là tập hợp các phần tử có dạng (a,b) trong đó a A, b B :

A B a,b : a A, b B

- Định nghĩa 2: Tích Decac n – ngôi:

1 2 n 1, 2 n 1 1 2 2 n nA A ... A a ,a ,...,a : a A ,a A , ...,a A

Ánh xạ:

Định nghĩa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh, các ví dụ

- Định nghĩa 1: Cho hai tập hợp A, B. Ta nói ánh xạ f từ A vào B, viết

f : A B nếu mỗi phần tử a A được đặt tương ứng với duy nhất một phần tử

b B . Khi đó b được gọi là ảnh của a qua f, viết b = f(a). A gọi là tập xác định

của ánh xạ f.

Ký hiệu f A B là tập tất cả các b B sao cho tồn tại a A để f(a) =b. f(A)

là tập ảnh của ánh xạ f.

Với b B , tập 1f b a A : f a b gọi là tập đảo ảnh của b.

- Định nghĩa 2: Ánh xạ f :A B gọi là đơn ánh nếu:

1 2 1 2 1 2a ,a A,a a f a f a .

A

A

(d)

A B

A\B

(c)

Ánh xa f :A B gọi là toàn ánh nếu 1b B:f b , tức là

b B, a A sao cho f(a) = b.

Ánh xạ gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.

- Định nghĩa 3: giả sử có hai ánh xạ f :A B và g : B C . Tích ( hay

hợp thành) của ánh xạ f với ánh xạ g là một ánh xạ g f : A C được xác định

như sau: g f a g f a , a A

- Bổ đề: Tích của các đơn ánh ( toàn ánh ) là các đơn ánh ( toàn ánh). Do

đó tích của các song ánh là song ánh

Các ví dụ

Ánh xạ ngược:

- Định nghĩa 4: Ánh xạ g : B A được gọi là ánh xạ ngược của anh xạ

f : A B và viết 1g f nếu A Bg f 1 ; f g 1 .

- Định lý tồn tại ánh xạ ngược: Để ánh xạ f :A B có ánh xạ ngược điều

kiện cần và đủ là f là song ánh.

I.2. Số phức

Sơ lƣợc về cấu trúc đại số

Định nghĩa phép toán trong trên tập A. Các tính chất của phép toán trong:

tính kết hợp, phần tử trung hòa, phần tử nghịch đảo.

Khái niệm nhóm, nhóm Abel. Các ví dụ.

Khái niệm vành, vành giao hoán. Các ví dụ.

Khái niệm trường. Các ví dụ: trường Q, R.

- Yêu cầu SV chuẩn bị:

Đọc trước GT[1]: trang 5- 15, 20 – 28, 47 – 53. TLTK [1]: trang 9-14

Bài tập về nhà chương I: GT[2], TLTK[2]

Giáo trình:

1. Toán học cao cấp (Tập 1) , Nguyễn Đình Trí, NXB Giáo dục, Hà Nội - 2007

2. Bài tập ĐSTT, Nguyễn Xuân Viên, Nguyễn Hoài Anh, Nguyễn Thị Thanh

Hà, Nxb QĐND, Hà Nội – 2010

Tài liệu tham khảo

1. Đại số tuyến tính, Nguyễn Xuân Viên, HVKTQS, Hà Nội - 1996.

2. Bài tập Toán học cao cấp tập 1, Nguyễn Đình Trí, NXB Giáo dục, Hà Nội -

2007.

Bài giảng 2: Số phức (tiếp) + Bài tập

Chương I Mục I.3



Nắm được các khái niệm cơ bản về số phức: dạng đại số, dạng lượng giác

của số phức, các phép toán về số phức, lũy thừa và khai căn số phức.

Biết vận dụng giải các bài tập về số phức

Giải thành thạo các bài tập về tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số.

- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, thực hành chữa bài tập, tự

học, tự nghiên cứu.

- Thời gian: Lý thuyết: 1t; Bài tập : 2 tiết; Tự học tự nghiên cứu: 4 tiết



I.3. Số phức (1 tiết – tiếp)

Trường số phức C:

- Định nghĩa dạng đại số của số phức.

- Các phép toán trên tập số phức: Cộng 2 số phức, nhân hai số phức

- Khái niệm mặt phẳng phức, dạng lượng giác của số phức. Nhân, chia số

phức dạng lượng giác.

- Lũy thừa bậc n, khai căn bậc n số phức:

Lũy thừa bậc n số phức (Công thức Mauvra): lũy thừa bậc n của

z r(cos isin ) là n nz r (cosn isinn )

Định lý ( căn bậc n của số phức): Căn bậc n của số phức z r(cos isin ) có

đúng n giá trị kw , k 0,1,2,...,n 1 cho bởi công thức

nk

k2 k2w r cos isin

n n

- Ý nghĩa hình học cả căn bậc n của số phức z.

- Ví dụ về lũy thừa và khai căn số phức.

Trong HGT & ĐSTT trường là một trong hai trường cố định: trường số

thực hoặc trường số phức

Bài tập (2 tiết): Mục I.1

Bài 1.6; 1.7(a, c, e); 1.9; 1.16(a, b); 1.21(a, b); 1.23(a): TLTK[2]

Bài 1.1.1(a, b, d); 1.1.11(b, d): GT[2]

Gợi ý:

1.6. Dùng biểu đồ

1.7. Dùng các phép toán suy luận logic

1.9. Hình chữ nhật có 4 đỉnh: (1,2), (1,3), (2,2), (2,3).

1.16. Dùng định nghĩa ánh xạ để chứng minh.

1.21. Dùng đinh nghĩa ánh xạ và suy luận logic để chứng minh

1.23. Dùng định nghĩa ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, song ánh để chứng minh.

1.1.1. Chứng minh bằng phương pháp lập bảng giá trị chân lý.

1.1.11. Chứng minh theo định nghĩa.


Đọc trước GT[1], trang: 54 – 65, TLTK[1]: trang 33 – 38;

Chuẩn bị trước các bài tập mục I.1 đã cho.

Bài giảng 3: Bài tập chƣơng I + Ma trận

Chương I Mục I.2, II.1



Củng cố lý thuyết, giải thành thạo các bài tập về cấu trúc đại số và số

phức.

Học viên nắm được các khái niệm cơ bản về ma trận, các phép toán trên

ma trận và các tính chất tương ứng

Biết cách thực hiện các phép toán về ma trận

- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, tự học, tự nghiên cứu

- Thời gian: Lý thuyết: 1t; Bài tập: 2t; Tự học tự nghiên cứu: 4t.



Bài tập: Số phức. (2 tiết)

Bài 1.2.6 (a, b, c); 1.2.7(a); 1.2.14; 1.2.15; 1.2.17; 1.2.21(a, b, c): GT[2]

Bài 2.15(a, c, f, l); 2.16: TLTK[2]

Gợi ý:

1.2.6.

a. A không là nhóm vì 1 .

b. A không là nhóm vì mọi phần tử trong không có nghịch đảo.

c. * *, không phải là nhóm

1.2.7.

a. m,nM (K); là nhóm.

1.2.14.

a. 1 18i

b. 10 11i

c. 1

i2

d. 1 i

1.2.15. Dùng biểu diễn lượng giác của số phức để chứng minh.

1.2.17. Dùng định nghĩa

1.2.21.

a. n n n

2 cos isin4 4

b. n n

cos isin3 3

c. 492 (1 i 3)

2.15.

a. cos0 isin0

c. cos isin2 2

f. 3 3

2 cos isin4 4

l. 5 5

2 cos isin3 3

2.16. 1 i 3 (1 i 3)( 3 i) 1

z ( 3 i)23 i ( 3 i)( 3 i)

, đưa về dạng lượng giác, dùn

công thức Mauvra: 100 1 3z i

2 2 .

II.1. Ma trận và các phép toán trên ma trận (1 tiết)

Định nghĩa ma trận

Định nghĩa ma trận cấp (m,n) trên trường K:

11 12 1n

21 22 2nij

m1 m2 mn

a a ... a

a a ... aA , a K

.....

a a ... a

Ma trận vuông cấp n trên trường K:

11 12 1n

21 22 2nij

n1 n2 nn

a a ... a

a a ... aA , a K

.....

a a ... a

- m,nM (K) - Tập tất cả các ma trận cấp (m,n) trên trường K.

- nM (K) - Tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường K.

Ma trận đường chéo cấp n là ma trận vuông cấp n có các phần tử nằm ngoài

đường chéo chính bằng 0:

1

n

d

d

Ma trận tam giác trên là ma trận vuông ma tất cả các phần tử phía dưới đường

chéo chính đều bằng 0:

11 12 1n

22 2n

nn

a a ... a

0 a ... aA

... ... ... ...

0 0 ... a

Ma trận tam giác trên là ma trận vuông ma tất cả các phần tử phía dưới đường

chéo chính đều bằng 0:

11

21 22

n1 n2 nn

a 0 ... 0

a a ... 0A

... ... ... ...

a a ... a

Ma trận chéo cấp n mà mọi phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1 gọi

là ma trận đơn vị cấp n. Ký hiệu là

1

E

1

Ma trận chuyển vị

Ma trận đối xứng

Các phép toán trên ma trận

Phép cộng ma trận: Cho ma trận

ij m nA a ,

ij m n

B b . Khi đó ma

trận ij mxnC c gọi là tổng của hai ma trận A và B và viết C = A + B, nếu

ij ij ijc a b .

Tính chất.

Phép nhân ma trận với một số K : Giả sử K ,

ij m nA a . Ta định

nghĩa

ij m nA a

Tính chất.

Nhân hai ma trận: Tích của ma trận

ij m pA a với ma trận

ij p n

B b là

ma trận

ij m nC AB c trong đó

p

ij ik kj

k 1

c a b

Tính chất.

- Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc trước TL[1], trang 92 – 99, chuẩn bị các bài tập

còn lại của chương I.

Bài giảng 4: Định thức

Chương II Mục II.2



Học viên nắm được khái niệm về định thức cấp n

Nắm được các tính chất của định thức

Nắm được và biết các cách tính định thức, định thức của tích hai ma trận.


- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 3t; Tự học, tự nghiên cứu: 3t.



II.2. Định thức (3 tiết)

Định nghĩa định thức của ma trận vuông cấp n:

11 12 1n

21 22 2nij

n1 n2 nn

a a ... a

a a ... aA , a K

.....

a a ... a

Xét phần tử ija , bỏ đi hàng i, cột j, ta được ma trận con cấp n – 1. Ký hiệu ma

trận đó là ijM , và gọi nó là ma trận con ứng với phần tử ija .

Định thức của ma trận A là một số ký hiệu là |A| hoặc detA xác định bởi:

ni j

ij ij

j 1

A ( 1) a M ; 1 i n

Đặc biệt với n = 1, chẳng hạn A=[a] thì |A| = a

Ví dụ: Tính các định thức sau bằng định nghĩa

1) Tính định thức cấp hai bằng cách khai triển theo hàng 1:

1 1 1 2a b

( 1) a.d (1) b.c ad bcc d

2)Tính định thức sau bằng cách khai triển theo hàng 2:

2 1 2 2 2 3

1 2 32 2 1 3 1 2

0 2 5 ( 1) 0. ( 1) 2. ( 1) 5 122 1 1 1 1 2

1 2 1

Quy tắc tính nhanh định thức cấp ba.

Các tính chất của định thức

tdetA detA

Đổi chỗ hai hàng (hai cột) của định thức thì định thức đổi dấu

Định thức có hai hàng (hai cột) bằng nhau thì bằng 0

Định thức có hai hàng ( hai cột) giống nhau thì bằng 0

Nhân một hàng (một cột) của định thức với số k, thì định thức được nhân

với k

Nếu một hàng (một cột) của định thức có nhân tử chung, ta có thể đưa

nhân tử chung đó ra ngoài dấu định thức.

Định thức có hai hàng (hai cột) tỉ lệ thì bằng 0

…..

Cách tính định thức:

Cách tính định thức theo định nghĩa:

Ví dụ : Tính

1 1

1 4 5 1 4 55 9

D 2 3 1 0 5 9 1.( 1) 8431 39

8 1 1 0 31 39

Cách tính định thức bằng biến đổi sơ cấp

Ví dụ : Tính định thức :

1 1 0 1 1

1 2 0 1 1

..... 31 1 1 1 1

2 1 0 1 1

1 2 1 2 1

Ví dụ khác…..


Đọc trước GT[1]: trang 100 – 108; TLTK[1]: trang 49 – 68; nghiên cứu trước

các ví dụ mẫu

Bài giảng 5: Hạng của ma trận + Bài tập: Ma trận




Học viên khái niệm hạng của ma trận, cách tìm hạng của ma trận bằng

biến đổi sơ cấp,

Nắm được khái niệm ma trận nghịch đảo, điều kiện tồn tại ma trận

nghịch đảo và cách tìm ma trận nghịch đảo.

Từ đó học viên biết vận dụng giải thành thạo các bài tập liên quan.


- Thời gian: Lý thuyết: 2t; Bài tập: 1t; Tự học, tự nghiên cứu: 5t.



II.3. Hạng của ma trận (2 tiết)

Khái niệm hạng của ma trận:

Định nghĩa hạng ma trận: rankA,

Tính chất.

Thuật toán tìm hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp:

Vì hạng của ma trận không thay đổi qua các biến đổi sơ cấp nên dễ dàng chứng

minh được tính đúng đắn của thuật toán tìm hạng ma trận bằng biến đổi sơ cấp

sau:

Bằng các biến đổi sơ cấp hàng và cột của ma trận có thể đưa ma trận về

dạng có một số phần tử khác 0 ở khác hàng, khác cột. Số các phần tử khác

không này là hạng của ma trận. Trong khi thực hiện biến đổi sơ cấp: Nếu trên 1

hàng nào đó chỉ có 1 phần tử khác 0, thì tự động khoanh 0 cho các phần tử khác

trên cột của phần tử khác 0 này. Tương tự cho cột nếu trên 1 cột nào đó, chỉ có

một phần tử khác 0 tự động khoanh 0 cho các phần tử khác trên hàng của phần

tử khác 0 này.

Trường hợp ma trận A phụ thuộc tham số, ta thực hiện phương pháp

Gauss đến khi gặp trường hợp mà trên 1 hàng hoặc 1 cột nào đó có thừa số

chung phụ thuộc tham số thì dừng lại biện luận hai trường hợp sau:

- Thừa số chung này bằng 0, khi đó tham số có giá trị cụ thể, bài toán được

giải quyết.

- Thừa số chung này khác 0, tiến hành giản ước nó đi và tiếp tục phương pháp

Gauss.

Qui ước: Lấy hàng i của ma trận nhân với a rồi cộng vào hàng j ta viết là:

ahi + hj, tương tự aci + cj là lấy cột i nhân với a rồi cộng vào cột j, ʘ là ký hiệu

phần tử đã được tự động khoanh 0.

Ví dụ : Tìm hạng của ma trận

1 0 0 1 1 0 0 1 0 0

0 1 1 2 0 1 1 2 0 1A

1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 1

4 2 3 1 0 1 2 3 0 0 0 0

.

Vậy rankA = 3

Ma trận nghịch đảo. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

Định nghĩa ma trận nghịch đảo:

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo:

Định lý: Ma trận ij n n nA (a ) M K khả nghịch khi và chỉ khi detA 0

Chứng minh :

Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:

1 2 0

A 0 3 1

0 1 2

Ta có A 5 0 tồn tại 1A . Ta có

11 21 311 *

12 22 32

13 23 33

A A A 4 4 21 1 1

A A A A A 0 2 1A 5 5

A A A 0 1 3

Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp

Bổ đề 1: Nếu ma trận (cấp n) A là ma trận khả nghịch thì chỉ bằng các

phép biến đổi sơ cấp hàng ( hoặc cột) của A có thể đưa A về ma trận đơn vị.

Bổ đề 2: Mỗi phép biến đổi sơ cấp hàng của ma trận A là tương đương

nhân về bên trái A với một trong các ma trận không suy biến sau:

Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp:

- Dùng các biến đổi sơ cấp hàng đưa: 1A E E A

Ví dụ: Tìm A-1

với

1 1 1 3

0 1 0 0A

2 2 4 5

1 1 2 3

Biến đổi sơ cấp ma trận hàng:

1 1 1 3 1 0 0 0 1 1 1 3 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

2 2 4 5 0 0 1 0 0 0 2 1 2 0 1 0

1 1 2 3 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1

1 1 1 0 2 1 3 7

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 0 1 2

1

2 1 3 7

0 1 0 0A

1 0 0 1

0 0 1 2

Bài tập: Ma trận ( 1 tiết)

Bài 2.1.18(a, b); 2.1.20(a, b): GT[2]

Gợi ý: Sử dụng các phép toán trên ma trận để tính toán

2.1.18. a. 1 m n

0 0

; b.

1 0

0 1

1 0

2.1.20. a.

9 0 0

0 9 0

0 0 9

; b.

0 0 2 9

0 0 0 6

0 0 0 0

0 0 0 0

Bài 3.14(d,e); 3.18: TLTK[2]

Gợi ý:

3.14. Dùng quy nạp

a. 1 n

0 1

; b. cosn sin n

sin n cosn

3.18. 2 0 0f (A) A 5A 3E f (A)

0 0

- Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc trước TL[1], trang: 109 – 114, 122 – 124, 127 –

129. TLTK[1]: trang 72 – 77, đọc và nghiên cứu trước các ví dụ mẫu.

Chuẩn bị bài tập phần ma trận đã cho.

Bài giảng 6: Bài tập: Định thức




Củng cố các kiến thức về định thức,

Học viên vận dụng tốt lý thuyết để giải các bài tập về định thức,

- Hình thức tổ chức dạy học: Thực hành chữa bài tập

- Thời gian: Bài tập : 3t; Tự học, tự nghiên cứu: 3t.



Bài tập về tính định thức (3 tiết)

Bài 3.3(a, b); 3.4; 3.8; 3.11(c, d, e, f, h): TLTK [2]

Gợi ý:

3.3. Dùng định nghĩa định thức: a. 1; b. 2

3.4: Dùng tính chất đổi hàng của định thức

3.8: Dùng tính chất tách định thức thành tổng các định thức

3.11: Dùng các tính chất đưa định thức về dạng tam giác trên, kết hợp với khai

triển định thức theo hàng (cột).

c. 48; d. 1; e. 160; f. 12; h. 3 32(x y )

Bài 2.2.3 (a); 2.2.4; 2.2.9; 2.2.14 (a,c,f); 2.2.15(a,c): GT[2]

Gợi ý:

2.2.4: Khai triển theo hàng 1, sau đó tiếp tục khai triển theo hàng cuối cùng của

các định thức nhận được ta có:

22

2 3 2 32

22

1 2 0 0 0

1 z z0 0 1 z z

det A ... 2 z 1 z 2(z 1) 21 2 z 1 z

z z 10 0 z z 1

3 4 0 0 0

2003 6009(det A) 2

2.2.9: Dùng tính chất của định thức: Lấy cột 1 nhân 104, cột 2 nhân 10

3, cột 3

nhân 102, cột 4 nhân với 10, rồi cộng tất cả vào cột cuối cùng, ta được cột cuối

cùng gồm các phần tử chia hết cho 17.

2.2.14: Dùng biến đổi sơ cấp đưa định thức về dạng tam giác trên

a. (-153);

c. (28/81):

f. (1) Biến đổi sơ cấp: theo thứ tự

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6( 0,1)h h ,( 0,1)h h , ( 0,1)h h , ( 0,1)h h , ( 0,1)h h ,

2.2.15:

a. (n 1( 1) .n! ) Lấy hàng thứ n nhân với (-1) rồi cộng vào tất cả các hàng

trên, được định thức ma trận tam giác dưới.

c. n 1a (n 1)b (a b) . Cộng tất cả các hàng lên hàng 1, đưa thừa số

chung a (n 1)b ra ngoài định thức, sau đó lấy hàng 1 nhân với –b rồi cộng

vào các hàng khác, suy ra định thức tam giác trên.


Chuẩn bị trước bài tập phần định thức đã cho trước.

Bài giảng 7: Hệ phƣơng trình tuyến tính




Nắm được khái niệm về hệ phương trình tuyến tính: Hệ Gauss, hệ thuần

nhất, hệ tổng quát.

Nắm được phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.



- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công.


II.4. Hệ phƣơng trình tuyến tính (3 tiết)

Hệ Gauss và công thức Crame

Hệ n phương trình tuyến tính n ẩn: k kA x b (1)

Hệ (1) có detA 0 là hệ Gauss;

Công thức nghiệm của hệ Gauss là: 1k kx A b

Công thức nghiệm Crame là: jx

j

det Ax ; j 1,2,...,n

det A

Ví dụ : Giải hệ

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 1

2x x 2x 3

x x 3x 3

Ta có det A 2 0

1

2

3

x1

x2

x3

det Ax 1

det A

det Ax 1

det A

det Ax 1

det A

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát.

Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn kA x b

Có

111 12 1n

21 22 2n 2

m1 m2 mn m

ba a ... a

a a ... a bB A b

... ... ... ... ...

a a ... a b

là ma trận mở rộng của hệ.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ thuần nhất kA x 0

Định lý: Hệ n phương trình tuyến tinh thuần nhất n ẩn Ax =0 có nghiệm không

tầm thương khi và chỉ khi detA = 0.

Hệ nghiệm cơ bản, cách tìm hệ nghiệm cơ bản.

Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Phương pháp Gauss là phương pháp thực hành giải hệ m phương trình tuyến

tính tổng quát n ẩn; trong đó m, n là hai số nguyên dương tùy ý. Thực chất của

phương pháp Gauss là phương pháp loại trừ ẩn số bằng biến đổi tương đương hệ

phương trình. Ba phép biến đổi tương đương hệ phương trình đó là:

i) Đổi chỗ hai phương trình

ii) Nhân hai vế của một phương trình với số K, 0 .

iii) Lấy hai vế của phương trình nhân với số K rồi cộng tương ứng vào

phương trình khác.

Rõ ràng các phép biến đổi tương đương trên chỉ tác động đến các hệ số của các

phương trình mà không tác động đến các ẩn số, vì thế khi thực hiện phương

pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính người ta không viết các ẩn số mà chỉ

viết ma trận hệ số của các phương trình. Ma trận đầu tiên của phương pháp

Gauss giải hệ m phương trình n ẩn tổng quát: k kA x b có dạng:

11 12 1n 1

21 22 2n 2

m1 m2 mn m

a a ... a b

a a ... a bA b

... ... ... ... ...

a a ... a b

Nếu hệ không thuần nhất thì các ma trận của phương pháp Gauss có gạch sọc

ngăn cách với cột hệ số tự do. Hàng thứ i của ma trận là hàng hệ số của phương

trình thứ i được viết theo thứ tự các ẩn số 1 2 nx ,x ,...,x . Nếu không có gạch sọc

ngăn cách người ta hiểu là hệ thuần nhất. Ba phép biến đổi tương đương hệ

phương trình nói trên tương ứng với ba biến đổi sơ cấp của ma trận A b .

Giả sử 11a 0 , khi đó ta thực hiện

Bước 1: Lấy hàng thứ nhất nhân với 21

11

a

a rồi cộng vào hàng thứ hai, ta ký hiệu

211 2

11

ah h

a , và tiếp tục 31

1 311

ah h

a ,…, m1

1 m11

ah h

a , kết quả sau bước 1 ta

nhận được ma trận của phương pháp Gauss là :

11 12 1n 1

22 2n 2

m2 mn m

a a ... a b

0 a ... a b

... ... ... ... ...

0 a ... a b

Phương trình có chứa 11a 0 mà ta dùng để loại trừ ẩn 1x ra khỏi các phương

trình còn lại được gọi là phương trình gốc. Như vậy sau bước 1 ta đã loại được

một ẩn 1x ra khỏi các phương trình thứ 2, 3, …, m. Các phương trình gốc được

đưa lên theo thứ tự các bước 1, 2,…Sau không quá n – 1 bước ta sẽ nhận được

hàng cuối cùng khác không có dạng sau:

11 12 1r 1n 1

22 2r 2n 2

rr rn r

r 1

a a ... a ... a b

0 a ... a ... a b

... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... a ... a b

0 0 ... 0 ... 0 b

... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... 0 ... 0 0

Trường hợp 1: r 1b 0 hệ phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: r 1b 0 , hệ có nghiệm. Số ẩn tự do n – r bằng số n trừ đi số

phương trình r khi kết thúc phương pháp Gauss. Cho các ẩn tự do các giá trị tùy

ý trong K ta sẽ nhận được tất cả các nghiệm của hệ phương trình. Nghiệm của

hệ phương trình phụ thuộc các ẩn tự do gọi là nghiệm tổng quát. Để tìm nghiệm

của hệ ta giải ngược từ dưới lên theo các phương trình gốc. Khi hệ thuần nhất có

nghiệm khác 0 thì hệ có hệ nghiệm cơ bản. Hệ có n – r nghiệm có thể tìm được

bằng cách cho n – r bộ giá trị các ẩn tự do sao cho ma trận thành lập từ các hàng

giá trị này là ma trận khả nghịch. Đơn giản nhất là cho ma trận n – r bộ giá trị

các ẩn tự do là ma trận đơn vị n rE M K .

Khi giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số, ta áp dụng

phương pháp Gauss như trên cho đến khi gặp trường hợp trên một hàng nào đó

của ma trận có thừa số chung phụ thuộc tham số thì dừng lại biện luận như trong

thuật toán tìm hạng của ma trận đã mô tả cặn kẽ ở mục II.3.

Ví dụ: Giải hệ

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 2 5

2 2 3 5 2

7 9 4 3

3 2 7 7

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

Hệ có nghiệm duy nhất (1,1,1,1)

Ví dụ: Giải và biện luận hệ:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 1

x x x 1

x x x 1

- 1 , hệ có nghiệm tổng quát: 1 2 3 2 3x 1 x x ; x , x tùy ý

- 2 , hệ vô nghiệm

- 1, 2 , hệ có nghiệm duy nhất: 1 2 3

1x x x

2

- Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc trước GT[1], trang: 115 – 122, 125 – 126, 130 –

133. Đọc và nghiên cứu trước các ví dụ mẫu.

Bài giảng 8: Bài tập: Hạng của ma trận + Hệ PTTT

Chương II Mục II.3, II.4



Củng cố các kiến thức về hạng của ma trận, ma trận nghịch đảo, hệ

phương trình đại số tuyến tính,

Từ đó học viên dụng tốt lý thuyết để giải các bài tập về tìm hạng của ma

trận, ma trận nghịch đảo và giải hệ phương trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp.

- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận , thực hành chữa bài tập

- Thời gian: Lý thuyết: 2t; Bài tập : 1t; Tự học, tự nghiên cứu: 35t.



Bài tập hạng của ma trận (1 tiết)

Bài 3.43 (a, b) : TLTK[2]

Bài 2.1.45 (a, b); 2.1.46(a, b, c): GT[2]

Gợi ý: Áp dụng thuật toán tìm hạng của ma trận

3.43. a. rankA = 2; b. rankA = 3.

2.1.45. a. rankA = 3; b. rankA = 3

2.1.46. a. rankA = 1 nếu m = 0; rankA = 2 nếu m = -3; rankA 3 néu m 0,-3

b. rankA = 1 nếu m = 1; rankA = 3 nếu m = -3; rankA 4 néu m 1,-3

Bài tập ma trận nghịch đảo (1 tiết)

Bài 2.1.47 (a, b, h ,l); 2.1.53(a, f, g): GT[2]

Gợi ý: Áp dụng thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp:

2.1.47.

a. 1 2

1 1

b.

0 1 1

1 1 0

1 0 0

h.

1 0 2 3

0 1 1 1

0 0 1 3

0 0 0 1

l.

2 1 7 3

0 1 0 0

1 0 1 0

0 0 2 1

2.1.53.

a. 1 1

0 0

f.

1 1

0 3

1 1

g. 1 2 1 0

5 6 9 8

Bài tập hệ phƣơng trình tuyến tính (1 tiết)

Bài 2.3.5 (a, b); 2.3.6(a, b, d); 2.3.7(a): GT[2]

Gợi ý: Sử dụng công thức nghiệm Crame, phương phápgiải hệ phương trình

bằng biến đổi sơ cấp

2.3.5.

a. (1, -1, 1);

b. (1, 2, 3)

2.3.6.

a. Nghiệm tổng quát: 1 2 1 23 4 1 2

x 9x 2 5x x 10x , x , x ,x tùy ý;

11 11

(0,1, 1,1)

b. Nghiệm TQ: 4 4 41 2 3 4

1 13x 8x 6 15 6xx , x , x ,x tùy ý

7 7 7

(2,2,3, 1) .

a. Hệ vô nghiệm

2.3.7. a. 1 , hệ có nghiệm 1 2 3

1 2x 0, x , x

3 3

3 , hệ có nghiệm 1 2 3

1 1x x , x

8 2

1, 3 , hệ vô nghiệm


Chuẩn bị các bài tập mục II.3, II.4 đã cho trước

Bài giảng 9: Trị riêng, vec tơ riêng của ma trận + Bài tập mục II.4




Nắm được các khái niệm về phương trình đặc trưng của ma trận, trị riêng

vec tơ riêng của ma trận.

Nắm được cách tìm trị riêng, vec tơ riêng của ma trận, khái niệm chéo hóa

ma trận

Từ đó giúp học viên vận dụng tốt lý thuyết để giải các bài tập tìm trị

riêng, véc tơ riêng và chéo hóa ma trận.

Củng cố và giải thành thạo các bài tập về giải hệ PTTT

- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận , thực hành chữa bài tập

- Thời gian: Lý thuyết: 2t; Bài tập : 1t; Tự học, tự nghiên cứu: 5t.



II.5. Trị riêng, vec tơ riêng của ma trận (2 tiết)

Trị riêng, véc tơ riêng của ma trận

Khái niệm trị riêng, véc tơ riêng của ma trận:

Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số gọi là trị riêng của ma trận A nếu:

nAx x, x có nghiệm 1 2 nx (x ,x ,...,x ) (0,0,...,0) , véc tơ x này

được gọi là véc tơ riêng của A ứng với trị riêng

Phương trình đặc trưng:

Đa thức đặc trưng của ma trận A: A E

Phương trình đặc trưng của A là: A E 0

Tìm vec tơ riêng của ma trận.

Ví dụ: Tìm trị riêng, vec tơ riêng của ma trận

1 1 0

A 0 2 0

0 1 1

Phương trình đặc trưng: 21,2 3( 1) (2 ) 0 1, 2

Với 1,2 1 , véc tơ riêng 1 2 3(x ,x ,x ) thỏa mãn hệ phương trình thuần nhất:

1 k(A E)[x ] 0 là: 1 2e ( ,0,0), e (0,0, )

Tương tự, với Với 3 2 , véc tơ riêng tương ứng là ( , , )

Chéo hóa ma trận.

Ma trận chéo hóa được

Định nghĩa: Cho ma trận Avuông cấp n gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một ma

trận khả nghịch P sao cho 1P AP là ma trận chéo, ta gọi P la ma trận làm chéo

hóa A.

Chéo hóa ma trận

Định lý: Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để A chéo hóa

được là A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Thuật toán chéo hóa ma trận

- Tìm n vecto riêng độc lập tuyến tính của A: 1 2 np ,p ,...,p .

- Lập ma trận P có 1 2 np ,p ,...,p là các cột.

- Ma trận 1P AP là ma trận chéo với 1 2 n, ,..., là các phần tử chéo liên

tiếp, trong đó i là trị riêng tương ứng của ip , i 1,2,...,n.

Ví dụ: Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận

3 2 0

A 2 3 0

0 0 5

Bài tập mục II.4: Hệ PTTT (1 tiết – tiếp)

Bài 2.3.7 (b); 2.3.9(a, d); 2.3.10(a) : GT[2]

Bài 3.42 (a, b) : TLTK[2]

Gợi ý:Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp hệ phương trình tuyến tính

2.3.7.

b. 1 , nghiệm tổng quát: 1 2 3 4

2 3 4

x 1 x x x

x ,x , x tùy ý

3 , hệ vô nghiệm

3, 1 , hệ có nghiệm duy nhất: 1 2 3 4

1x x x x

3

2.3.9.

a. 1 , nghiệm tổng quát:

2 1

3 1

1

x x

x x

x tùy ý

, hệ nghiệm cơ bản: (1,1,-1)

1 , hệ có nghiệm duy nhất: 1 2 3 4x x x x 0

d. 3 , nghiệm tổng quát:

1 2

3 2

4 2

2

x x

x x

x x

x tùy ý

, hệ nghiệm cơ bản: (1,1,1,-1)

3 , hệ có nghiệm duy nhất: 1 2 3 4x x x x 0

2.3.10. Ma trận 3X M ( ) có vec tơ cột thứ j là 1 2 3(x ,x ,x ) thỏa mãn hệ

phương trình tuyến tính k jA x b (j 1,2,3) , với bj là cột thứ j của B> bằng

phương pháp biến đổi sơ cấp giải ba hệ phương trình ta có:

2 a b 1 c 1

X 1 a 1 b 2 c ; a,b,c tùy ý

a b c

3.42.

a. Hệ thuần nhất có số ẩn (4) nhiều hơn số phương trình (3), nên có vô số

nghiệm, và do đó có nghiệm không tầm thường.

b. Hệ thuần nhất vuông có định thức của ma trận hệ khác 0, nên hệ chỉ có

nghiệm tầm thường.

- Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc trước GT[1], trang: 319 – 324, đọc và nghiên cứu

trước các ví dụ mẫu.

Chuẩn bị tiếp các bài tập mục II.4.

Bài giảng 10: Bài tập mục II.4 + II.5

Chương II Mục II.4, II.5



Củng cố các kiến thức về giải hệ PTTT, các kiến thức về trị riêng, vec tơ

riêng của ma trận.

Từ đó giúp học viên vận dụng tốt lý thuyết để giải các bài tập về hệ

phương trình tuyến tính, về trị riêng véc tơ riêng và chéo hóa ma trận.

- Hình thức tổ chức dạy học: Thực hành chữa bài tập

- Thời gian: Bài tập : 3t; Tự học, tự nghiên cứu: 3t.



Bài tập hệ phương trình tuyến tính (1 tiết – tiếp)

Bài 2.3.17(a, b); 2.3.18(a, b); 2.3.19(b): GT[2]

Gợi ý:

2.3.17.

a. a b

X , a,b tùy ý0 a

. Đặt 1 2

3 4

x xX

x x

là ma trận cần tìm. Phương

trình AB = BA cho ta hệ: 1 4

2 43

x x; x b, x a tùy ý

x 0

b. a 3b 2b

X , a,b tùy ýb a

2.3.18.

a. a a

X ; a tùy ýa a

b. b a

X ; a,b tùy ýa b

2.3.19. 1 2 3

1 4

x x 2x 0

x x 0

Gọi 1 1 2 2 3 3 4 4k x k x k x k x 0 là một phương trình thuần nhất cần tìm.

Vì nó nhận các ai làm nghiệm nên khi thay tọa độ các ai vào phương trình ta

được hệ 4 phương trình tuyến tính thuần nhất 4 ẩn 1 2 3 4k ,k ,k ,k . Giải hệ suy ra

các ki. Từ đó suy ra hệ cần tìm.

Bài tập trị riêng, véc tơ riêng của ma trận (2 tiết)

Bài 7.1(1, 7, 11); 7.5(2, 3, 4); 7.6(2, 3, 5): TLTK[2]

Gợi ý:

7.1.

1. 1 3 x (1,2)

2 1 y (0,1)

7. 1,2,3 1 x (0,1, 1)

11. 1 3 x (1,2,2)

2,3 1 y (1,2,1)

7.5.

2. 1 1 , vec to riêng x (1,3)

2 1 , vec tơ riêng y (0,1)

Ma trận làm chéo hóa A là: 1 0

P3 1

1 1 0P AP

0 1

3. 1 0 , vec to riêng x (0,1, 1)

2 1 , vec to riêng y (1,0,0)

3 2 , vec tơ riêng z (0,1,1)

Ma trận làm chéo hóa A là:

0 1 0

P 1 0 1

1 0 1

1

0 0 0

P AP 0 1 0

0 0 2

4. 1 2 , vec to riêng x (1,1,0)

2,3 3 , vec to riêng y (0,1,0), z ( 2,0,1)

7.6.

2. Các trị riêng 1 1 , vec tơ riêng 1v (1,1,1)

2 2 , vec tơ riêng 2v (2,3,3)

3 3 , vec tơ riêng 2v (1,3,4)

Ma trận A có đủ 3 vec tơ riêng độc lập tuyến tính, nên A chéo hóa được.

3. A không chéo hóa được

4. Các trị riêng 1,2 0 , vec tơ riêng 1 2v ( 1,0,3), v (0,1,0)

2 1 , vec tơ riêng 3v (0,0,1)

Ma trận A có đủ 3 vec tơ riêng độc lập tuyến tính, nên A chéo hóa được.


Chuẩn bị tiếp các bài tập mục II.4, bài tập mục II.5 đã cho.

Bài giảng 11: Không gian véc tơ và không gian con véc tơ (1 tiết)

+ Kiểm tra chƣơng II

Chương III Mục III.1.



Giúp học viên nắm một cách khái quát và đầy đủ các khái niệm về không

gian véc tơ, không gian véc tơ con, không gian sinh bởi hệ véc tơ.

Từ đó học viên biết vận dụng giải các bài tập về không gian véc tơ, không

gian con véc tơ.

Đánh giá kết quả học tập giữa kỳ của học viên

- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, kiểm tra đánh giá.

- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 1t; Kiểm tra đánh giá: 2t; Tự học, tự nghiên

cứu: 4t.



III.1. Không gian véc tơ, không gian con véc tơ (1 tiết)

Không gian vec tơ, không gian con véc tơ

Không gian véc tơ

- Định nghĩa không gian vec tơ (V,K) trên trường K.

- Tính chất

Ví dụ về các không gian véc tơ thường gặp:

- Kn – Không gian tọa độ n chiều: n

1 2 n iK x (x ,x ,...,x );x K,i 1,n

- Mm,n(K) – Không gian các ma trận cấp (m,n) trên trường K.

- [x] - Không gian các đa thức với hệ số thực;

Không gian véc tơ con

- Định nghĩa không gian véc tơ con.

- Điều kiện nhận biết không gian véc tơ con.

- Các ví dụ về không gian véc tơ con quan trọng.

- n[x] - Không gian các đa thức hệ số thực có bậc n ,…

Không gian con sinh bởi hệ véc tơ: 1 2 mL(a ,a ,...,a ) trong không gian véc

tơ V,K .

Kiểm tra đánh giá giữa kỳ chƣơng II (2 tiết)


Đọc trước GT[1], trang: 194 – 208, đọc và nghiên cứu trước các ví dụ, bài tập

mẫu. Tự ôn tập theo hướng dẫn của giáo viên để kiểm tra chuong II.

Bài giảng 12: Không gian véc tơ và không gian con véc tơ (2 tiết – Tiếp) +

Không gian Euclid

Chương III Mục III.1, III.2



Hoc viên nắm một cách đầy đủ các khái niệm về hệ độc lập, phụ thuộc

tuyến tính.

Nắm được khái niệm cơ sở và chiều của không gian véc tơ, tọa độ của véc

tơ đối với cơ sở,

Nắm được khái niệm tích vô hướng, không gian Euclid, cơ sở trực

chuẩn…

Từ đó biết vận dụng lý thuyết giải bài tập.





III.1. Không gian véc tơ, không gian con véc tơ (2 tiết – tiếp)

Cơ sở và chiều của không gian véc tơ

Hệ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính, các ví dụ

Khái niệm cơ sở của không gian véc tơ; Tọa độ của véc tơ đối với cơ sở

Định lý cơ bản về cơ sở: Mọi cơ sở trong không gian hữu hạn chiều có

cùng số vec tơ. Số các vec tơ đó gọi là chiều của không gian. Chiều của không

gian vec tơ V ký hiệu là dimV.

N0 – Không gian nghiệm của hệ PTTT thuần nhất kA x 0 , m,nA M (K) .

Cơ sở và chiều của không gian nghiệm của hệ PTTT thuần nhất

Cơ sở và chiều của không gian sinh bởi hệ véc tơ 1 2 mL(a ,a ,...,a ) : là hệ

con độc lập tuyến tính lớn nhất trong đó.

Tọa độ của véc tơ khi đổi cơ sở

Ma trận chuyển cơ sở

Giả sử (V,K) là KGVT hữu hạn chiều, 1 2 ne ,e ,...,e là cơ sở cố định V. Giả sử

1 2 nf ,f ,...,f là cơ sở khác của V. Khi đó tồn tại ijc K để:

n

j kj k

k 1

f c e ; j 1,2,...,n.

Hay

1 11 1 21 2 n1 n

2 12 1 22 2 n2 n

n 1n 1 2n 2 nn n

f c e c e ... c e

f c e c e ... c e

..... ..... .....

f c e c e ... c e

Ma trận

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

c c ... c

c c ... cC

... ... ... ...

c c ... c

gọi là ma trận chuyển cơ sở từ 1 2 ne ,e ,...,e sang cơ sở 1 2 nf ,f ,...,f . Ở đây cột

thứ j của C là tọa độ của fj theo cơ sở 1 2 ne ,e ,...,e . Ma trận chuyển cơ sở là

ma trận không suy biến.

Khi đó:

11 12 1n

21 22 2n1 2 n 1 2 n 1 2 n

n1 n2 nn

c c ... c

c c ... cf ,f ,...,f e ,e ,...,e e ,e ,...,e C

... ... ... ...

c c ... c

Với t

k k 1 nf f f ,...,f là ma trận hàng hình thức mà các phần tử của nó là

các véc tơ cơ sở.

Bây giờ giả sử 1 2 nx ,x ,...,x , 1 2 ny ,y ,..., y là tọa độ của x trong cơ sở

1 2 ne ,e ,...,e , 1 2 nf ,f ,...,f tương ứng. Khi đó:

1 1

2 2

n n

x y

x yC

x y

Đây là biểu thức tọa độ của cùng một vec tơ trong 2 cơ sở khác nhau của không

gian vec tơ.

Hạng của hệ véc tơ

Khái niệm hạng của hệ véc tơ: Hạng của hệ vec tơ 1 2 ma ,a ,...,a được ký

hiệu là 1 2 mrank a ,a ,...,a bằng số chiều của không gian con vec tơ

1 2 mL a ,a ,...,a . Nghĩa là:

1 2 m 1 2 mrank a ,a ,...,a dimL a ,a ,...,a

Định lý về hạng của ma trận

Giả sử ij ijmxnA a ; a K là ma trận cấp (m,n).

Ký hiệu ni i1 i2 inh a ,a ,...,a K , i 1,2,...,m là m véc tơ hàng của ma trận A.

Còn mj 1j 2 j mjc a ,a ,...,a K , i 1,2,...,n là n véc tơ cột của ma trận A.

Định lý: Hạng của ma trận A bằng hạng của hệ các véc tơ hàng và cũng bằng

hạng của hệ các véc tơ cột. Như vậy:

1 2 m 1 2 nrankA rank{h ,h ,...,h } rank{c ,c ,...,c }

Hạng của hệ vec tơ:

Hạng của hệ véc tơ 1 2 ma ,a ,...,a bằng sô vec tơ con độc lập tuyến tính lớn nhất

tùy ý trong 1 2 ma ,a ,...,a . Có thể lấy một hệ con độc lạp tuyến tính lớn nhất tùy

ý trong 1 2 ma ,a ,...,a làm cơ sở của không gian 1 2 mL a ,a ,...,a sinh bởi hệ véc

tơ 1 2 ma ,a ,...,a .

Bài toán tìm cơ sở và chiều của không gian 1 2 mL a ,a ,...,a được đưa về bài

toán tìm hạng của ma trận A thành lập từ các hàng (hoặc các cột) tọa độ của các

vectơ ak. Khi thực hiện phương pháp Gauss tìm hạng của ma trận A có liên quan

đến tìm cơ sở và chiều của không gian vectơ, ta không được đổi chỗ các hàng

(cột). Số phần tử khác không trong ma trận cuối cùng của phương pháp Gauss

nằm ở khác hàng, khác cột mà trên các hàng có số thứ tự 1 2, ,..., ki i i thì các vectơ

1 2, ,...,

ki i ia a a có thể lấy làm cơ sở của 1 2 mL a ,a ,...,a . Chú ý ở đây ta tìm cơ sở

trong số các vectơ đã cho 1 2 ma ,a ,...,a .

Ví dụ: Cho 1 2 3 4a (2, 1,1,1), a ( 1,2,1,1), a (1,1,2,2), a (2,2,4,4)

là các vectơ trong 4 . Ta hãy tìm cơ sở của 1 2 3 4L L a ,a ,a ,a .

Trước hết ta thành lập ma trận A từ các hàng tọa độ của các véc tơ theo thứ tự

1 2 3 4a ,a ,a ,a là:

2 1 1 1

1 2 1 1A

1 1 2 2

2 2 4 4

Áp dụng thuật toán tìm hạng của ma trận, ta có ma trận sau:

2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 2 1 1 3 3 0 0 0 3 0 0A

1 1 2 2 3 3 0 0 0 0 0 0

2 2 4 4 6 6 0 0 0 0 0 0

Cho ta cơ sở của 1 2 3 4L L a ,a ,a ,a là 1 2a (2, 1,1,1), a ( 1,2,1,1) .

III.2. Không gian Euclid (1 tiết)

Tích vô hướng và không gian Euclid

Tích vô hướng:

Định nghĩa: E là không gian vec tơ trên trường số thực . Ánh xạ f : E E

gọi là tích vô hướng trên E nếu: a,b E, !f a,b , ký hiệu f(a,b) =(a,b) thỏa

mãn các điều kiện sau:

i) a,b b,a

ii) a,b a,b

iii) a,b c a,b a,c

iv) a,a 0, a,a 0 a 0

Không gian Euclid: Không gian véc tơ thực n chiều có trang bị tích vô

hướng gọi là không gian Euclid.

Ví dụ: Trong không gian tọa độ n chiều ℝn, với :

1 2 n 1 2 nx x ,x ,...,x , y y ,y ,..., y , ta có tích vô hướng:

n

1 1 2 2 n n i i

i 1

x, y x y x y ... x y x y

Khoảng cách, độ dài, góc.

Độ dài của véc tơ:

Định nghĩa: E là không gian vec tơ có tích vô hướng và u E , thì số

u u,u gọi là độ dài của vec tơ u.

Tính chất của độ dài

Khái niệm khoảng cách

Góc giữa hai véc tơ

Góc của hai vec tơ x, y trong không gian Euclid E là góc : 0 mà

x, ycos

|| x || . || y ||

Khi 2

thì cos 0 (x, y) 0

2

, và ngược lại.

Trong không gian Euclid E. Hai véc tơ a, b gọi là trực giao ( vuông góc) với

nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0.

Cơ sở trực chuẩn

Hệ trực giao: Hệ các véc tơ 1 2 na ,a ,...,a khác 0 trong không gian Euclid E

được gọi là hệ trực giao nếu các véc tơ của chúng trực giao với nhau từng đôi

một.

Hệ trực chuẩn: Hệ 1 2 ma ,a ,...,a được gọi là hệ trực chuẩn các véc tơ nếu

nó là hệ trực giao và tất cả các véc tơ của hệ đều có độ dài bằng 1.


Đọc trước GT[1], trang: 222 – 235, đọc và nghiên cứu trước các ví dụ , bài tập

mẫu.

Bài giảng 13: Bài tập: III.1

Chương III Mục III.1



Củng cố các kiến thức về không gian vec tơ và không gian con véc tơ,

Giúp học viên giải quyết thành thạo các bài tập về không gian véc tơ,

không gian con véc tơ, tọa độ của véc tơ đối với cơ sở và các bài tập về hạng của

hệ véc tơ

- Hình thức tổ chức dạy học: Thực hành chữa bài tập.

- Thời gian: Bài tập: 3t; Tự học, tự nghiên cứu: 3t.



Bài tập mục III.1. Không gian véc tơ và không gian véc tơ con

Các bài tập về nhận biết không gian véc tơ, kiểm tra không gian véc tơ con

Các bài tập về cơ sở và chiều của không gian véc tơ, tọa độ của véc tơ đối

với cơ sở

Các bài tập về hạng của hệ véc tơ

Bài 5.2(a, b, c); 5.3(a, b) : TLTK[2]

Bài 3.1.10 (a, b); 3.1.11(a, c); 3.1.12(a, b); 3.1.30(a, b); 3.1.31(a); 3.1.32(a);

3.1.33(a); 3.1.37(a); 3.1.41 : GT[2]

Gợi ý:

5.2. a. Có; b. Không; c. Có

5.3. a. Không; b. Có

3.1.10. a. Độc lập tuyến tính; b. Phụ thuộc tuyến tính

3.1.11. Xét mỗi ma trận như là một véc tơ trong k

a. Phụ thuộc tuyến tính

c. Độc lập tuyến tính

3.1.12. Xét mỗi đa thức trong n[x] : n n 1

n n 1 1 0f (x) a x a x ... a x a như

là một véc tơ n n 1 1 0(a ,a ,...,a ,a ) trong n 1.

a. Độc lập tuyến tính

b. Độc lập tuyến tính

3.1.30.

a. 1 2 4a ,a ,a , dimL 3

3 1 2 5 1 2 4a a a ( 1,1,0); a a a a (1, 1,1)

b. 1 2 3a ,a ,a , dimL 3

3.1.31. Xem mỗi ma trận như một véc tơ trong không gian p, p m.n .

a. 1 2 3A ,A ,A , dimL 3

3.1.32. Xem mỗi đa thức trong n[x] như một véc tơ trong không gian n 1

chiều với tọa độ theo thứ tự là các hệ số n n 1 1 0(a ,a ,...,a ,a ) .

a. 1 2f (x),f (x) , dimL 2

3.1.33. Đưa về bài toán tìm hạng của ma trận theo tham số.

a. Với 1 , cơ sở của L là 1 2a ,a

Với 1 , cơ sở của L là 1 2 3 4a ,a ,a ,a

3.1.37. Trước tiên tìm nghiệm tổng quát của hệ, từ đó suy ra hệ nghiệm cơ bản

a. Cơ sở của không gian nghiệm:

(1,2,1,0,0), ( 1,1,0,1,0), (1, 1,0,0,1) , Không gian nghiệm có số chiều là 3.


Chuẩn bị trước các bài tập mục III.1 đã cho.

Bài giảng 14: Đƣờng bậc hai và mặt bậc hai + Bài tập II.2




Nắm được các dạng chính tắc của đường bậc hai trong mặt phẳng,

Nắm được các dạng chính tắc của mặt bậc hai trong không gian.

Biết cách nhận dạng các đường bậc hai, mặt bậc hai quen biết, làm cơ sở

cho các môn học liên quan.

- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thực hành chữa bài tập, tự học, tự

nghiên cứu.

- Thời gian: Lý thuyết: 2t; Bài tập, thảo luận: 1t; Tự học, tự nghiên cứu: 5t.



III.3. Đƣờng bậc hai và mặt bậc hai (2 tiết)

Các dạng chính tắc của đường bậc hai

Đường bâc hai tổng quát trong mặt phẳng hệ trục tọa đô Decartes cho bởi

phương trình:

2 2 2 2 2Ax 2Bxy Cy 2Dx 2Ey F 0 (A B C 0) (1)

Dùng các phép biến đổi tuyến tính (nhóm các bình phương) ta đưa (1) về

một trong các đường Conic ( đường tròn, elip, parabol, hypebol), elip ảo, cặp

đường thẳng cắt nhau hoặc đường cong suy biến thành một điểm.

Các dạng chính tắc của mặt bậc hai

Mặt bậc hai tổng quát trong không gian hệ trục tọa độ Decartes cho bởi

phương trình:

2 2 2Ax By 2Cz 2xDy 2Exz 2Fyz 2Gx 2Hy 2Kz L 0 (2)

Bằng các phép biến đổi hệ trục tọa độ có thể đưa (2) về một trong các dạng

chính tắc sau:

Mặt cầu: 2 2 2 2x a y b z c R

Mặt elipxoit: 2 2 2

2 2 2

x y z1 a,b,c 0

a b c

Elipxoit ảo: 2 2 2

2 2 2

x y z1 a,b,c 0

a b c

Mặt hypeboloit một tầng: 2 2 2

2 2 2

x y z1 (a,b,c 0)

a b c

Mặt hypeboloit hai tầng: 2 2 2

2 2 2

x y z1 (a,b,c 0)

a b c

Mặt paraboloit eliptic: 2 2x y

2z (p,q 0)p q

Mặt paraboloit hypebolic: 2 2x y

2z (p,q 0)p q

Mặt trụ bậc hai:

Trụ elip: 2 2

2 2

x y1

a b

Trụ hypebol: 2 2

2 2

x y1

a b

Trụ parabol: 2y 2px

Mặt nón bậc hai: 2 2 2

2 2 2

x y z(a,b,c 0)

a b c

Bài tập mục III.2.

Bài 5.31; 5.32; 5.34; 5.37; 5.38; 5.40: TLTK[2]

Gợi ý:

5.31.

a. -5; b. 0

5.32. 20

5.34.

a. Không

b. Không

c. Có

d. Không

5.37

a. k = -3; b. k = -2, k = -3

5.40. 1

( 34,44, 6,11)3249


Đọc trước GT[1], trang: 168 – 188, đọc và nghiên cứu trước các ví dụ, bài tập

mẫu.

Chuẩn bị trước các bài tập mục III.2. đã cho.

Bài giảng 15: Bài tập mục II.2 + Ôn tập, kiểm tra chƣơng III




Củng cố các kiến thức về đường cong bậc hai và mặt cong bậc hai,

Từ đó giúp học viên vận dụng thành thạo giải các bài tập liên quan.

Kiểm tra đánh giá chương III.

Dặn dò ôn tập trước khi thi kết thúc học phần..

- Hình thức tổ chức dạy học: Thực hành chữa bài tập, kiểm tra đánh giá

- Thời gian: Bài tập, thảo luận: 2t; Kiểm tra đánh giá: 1t; Tự học, tự nghiên

cứu: 3t.



Bài tập phần đƣờng bậc hai và mặt bậc hai (2 tiết)

Bài 4.5 (a, c, d, e, g, i); 4.6(a, b); 4.7; 4.8; 4.10; 4.11.

Gợi ý

4.5.

a. Mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ xOz, cách nó khoảng d = 2,

về phía y < 0.

c. Mặt cầu tâm (2,-3,5), bán kính R = 7

d. Gốc tọa độ.

e. Phương trình không có ý nghĩa hình học.

g. mặt phẳng đi qua trục Oz và đường thẳng x = y trong mặt phẳng xOy.

i. Ba mặt phẳng tọa độ.

4.6.

a. Tâm (3,-4,-1), bán kính R = 4.

b. Mặt cầu ảo.

4.7. Tâm (1,6,0), bán kính R = 5.

4.8.

a. Bán trục 3, 3,

Các đỉnh: (2,3,0),(2, 3,0),(2,0, 3),(2,0, 3)

4.10.

a. 2y 24z 0, x 0;

b. 2x 30z, y 0;

c. x y x y

0, 0, z 02 25 5

4.11.

a. x 0,(0,0,0)

b. 2y 0, z x;

c. 2z 0, y x;

Kiểm tra chƣơng III (1 tiết)

Tổng kết


Chuẩn bị bài tập mục III.3. Ôn tập kiến thức chương III.

Ôn tập toàn bộ kiến thức môn học để thi kết thúc học phần

Nắm chắc thời gian, địa điểm phòng thi kết thúc môn học.

bỘ mÔn duyỆt ĐỀ cƢƠng chi tiẾt bÀi giẢng chủ...

Documents