bolum-4-kristal optigi€¦ · boyutsuz formda karekteristik denklem e j yi parantez dışına...

© 2008 HSarı 1

FZM450 Elektro-Optik

4.Hafta

Işığın Elektromanyetik Tanımlanması-3:

Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi

© 2008 HSarı 2

4. Hafta Ders İçeriği

• Işığın kristal içinde ilerleyişi• İzotropik olmayan kristaller

• Kübik kristaller• Tek Eksenli Kristaller• Çift Eksenli Kristaller

• Optik eksen tanımı• Çift kırılma

© 2008 HSarı 3

Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-1Kristalin diğer ortamlardan, elektromanyetik dalganın ilerleyişi düşünüldüğünde, en önemli farklılığıkristallerin elektriksel olarak anizotropik özellik gösterebilmesidir yani farklı yönlerdeki elektriksel

özelliği farklı olabilmektedir

Bunun anlamı uygulanan elektrik alan ile kristalin polarizasyonu (kutuplanması) izotropik kristallerde olduğu gibi bir skaler (χ) ile elektrik alanın (E) çarpımı gibi basit değildir

P nin E ye bağlılığı tensör nicelik olarak ifade edilebilir.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

y

x

z

y

x

E

EE

P

PP

.

333231

232221

131211

0

χχχχχχχχχ

ε

Bunu P=εoχE şeklinde yazabiliriz. Burada χ alınganlık tensörüdür ve en genel olarak

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

χχχχχχχχχ

χ

Bu kutuplanma kristalin yönelimine bağlıdır P=εoχE

Bunun optoelektronikteki en belirgin sonucu ışığın kristal içersindeki ilerleyişi kristalin yönelimine oldukça bağımlı oluşudur.

P=εoχE χ=tensör (kristal)

P=εoχE χ=skaler (izotropik ortam)

© 2008 HSarı 4

Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

100

010

001

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

33

22

11

00

00

00

χ

χ

χ

χ

Buna karşı gelen yerdeğiştirme vektörü D ise D=εo(1+χ)E=εE,

Sıradan ve soğurucu olmayan bir kristal için bu tensör simetriktir ve her zaman 3 tane temel eksen bulunabilir

ve ε=εo(1+χ)

Durum-I: İzotropik Madde

EE κεε o==iD

(ε, κ skaler)

P=εoχE (χ skaler)Dx=εo[κxxEx+ κxyEy + κxzEz]Dy=εo[κyxEx+ κyyEy + κyzEz]Dz=εo[κzxEx+ κzyEy + κzzEz]

jj

ijoi ED ∑=

=3

1κε

x

y

z

Burada κ maddenin boyutsuz dielektrik sabitidir

Durum-II: İzotropik olmayan Maddeler (Soğurma yok)

(ε, κ tensör)P=εoχE (χ tensör)

EE κεε o==iD

© 2008 HSarı 5

Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-3Durum-II: İzotropik olmayan Maddeler (Soğurma yok)

Dx=εο[κxxEx+ κxyEy + κxzEz]Dy=εο[κyxEx+ κyyEy + κyzEz]Dz=εο[κzxEx+ κzyEy + κzzEz]

Bu durumda yani anizotropik madde içinde D, E’ye paralel değildir (tensörel özellikten)

jj

ijoi ED ∑=

=3

1κε

şeklinde yazabiliriz. Benzer şekilde D alanını matriks notasyonunda da aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

1 111 12 13

2 0 21 22 23 2

31 32 333 3

.D ED ED E

κ κ κε κ κ κ

κ κ κ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

33

22

11

000000

κκ

κκ ij

Eğer yukarda kullandığımız x-y-z koordinat sistemini kristalin eksenleri cinsinden ifade edresek κ matrisidiyagonal dışındaki bileşenleri sıfır olur ve daha basit bir görünüm kazanır.

© 2008 HSarı 6


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

33

22

11

000000

κκ

κκ ij

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

11

11

11

000000

κκ

κκ ij

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

33

11

11

000000

κκ

κκ ij

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

33

22

11

000000

κκ

κκ ij

Durum-I Kübik sistem( Bakır, gümüş, sodyum Al metal sistemleri)

Durum-III Çift eksenli kristal sistem(Mika)

Durum-II Tek eksenli kristal sistem( Kuartz, Kalsit)

κ11≠ κ22≠ κ33

κ11≠ κ33

o

nεεκ ==

κ11=κ22 =κ33

© 2008 HSarı 7


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

11

11

11

000000

κκ

κκ ij

Durum-I Kübik sistem( Bakır, gümüş, sodyum Al metal sistemleri)

00

==∇ερ.D

0=∇.B

t∂∂

−=×∇BE

t∂∂

=×∇DH

jijo Eκε=iD

( ) ( ) ( ) ( )o oDx xE xB xH

t t t tμ μ∂ ∂ ∂ ∂∇ ∇ = − ∇ = − ∇ = −

∂ ∂ ∂ ∂).()( 2 EExEx ∇∇+−∇=∇∇

2

22 ).(

tDEE o ∂

∂−=∇∇+∇− μ

DE ∇≠∇.

Kristal içinde Maxwell denklemlerini yazıp çözüm bulmaya çalışalım

Burada B=μoH σij=0

Vektörel eşitliği kullanırsak

BuradaÇünkü izotropik ortamda ε skaler olmasına karşın anizotropik ortamda ε matrisdir ve E ile D birbirine paralel değildir!

Ödev: Matematiksel olarak E ile D nin paralel olmadığını gösteriniz

A=kBA//B

A=CB

© 2008 HSarı 8


zE

yE

xE

zyxzyyyxyzyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇)()()(

. 321κκκDDDD

0).( ≠∇∇ E

2

22 ).(

tDEE o ∂

∂−=∇∇+∇− μ

).( trkie ω−= oEE).( trkie ω−= oDD

).( trkie ω−= oHH

EE ik=∇.

)z

)y

)x

kEkEkEE iii (ˆ(ˆ(ˆ)..(∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇∇ kji

Burada dielektrik sabitler κ1y, κ2y ve κ3y ortak değillerdir

olduğu için dalga denklemini buna göre çözmemiz gerekecektir.

Hangi durumda yukardaki denklem dalga çözümlüdür? Çözümümüzün dalga formunda olduğunu kabül edersek

Yukardaki ifadede

© 2008 HSarı 9


[ ]......(ˆ(ˆ(ˆ ) +=+∂∂

=++∂∂

=∂∂ ++

xxxi(k

xzzyyxx EkkekEkEkEk x iiiiiiiizkykx zy )

x)

x)

xiii kE

[ ] [ ] [ ] [ ]kEk.kEkEkEE =++=∇∇ zyx kkk kji ˆˆˆ)..(

2

22 ).(

tDEE o ∂

∂−=∇∇+∇− μ

[ ] 22

2 )(to ∂

∂−=−+∇−

Dk.EkE μ

Herhangi bir maddede k.D=0 fakat en genel olarak k.E≠0

x-bileşeni için

Işığın anizotropik ortamda ilerleyişini belirleyen dalga denklemi

© 2008 HSarı 10


Homojen ve izotropik madde için k.E=0 ve D=εE olduğundan

0+k2E=μoω2εE

(k2-μoω2ε)E=0

Bu denklemin çözümünün

k2-μoω2ε=0 εμω

ok1

2

2

= fazok

νεμ

ω==

1

ˆ ˆ ˆ ˆk k k k k n kv c n cω ω ω

= = = =

=> =>

İzotropik madde (bütün doğrultularda aynı elektriksel özellik gösteren) için bulduğumuz denklemi çözelim

E)k.k()e )tr.k(i −=∇=∇ ω−o22 (EE

[ ] DEk.kk.Ek 2( ωμo=+− )

[ ] 22

2 )(to ∂

∂−=−+∇−

Dk.EkE μ

).( trkie ω−= oEE

© 2008 HSarı 11


k~ knk ˆ~ =

kc

k ~ω=

2 22

2 2. ( . ) ok k E k k E Dc cω ω μ ω⎡ ⎤− + =⎣ ⎦

İşlemleri kolaylaştıracak boyutsuz bir nicelik tanımı yaparsak

boyutsuz bir vektör, yönü yayılma yönünde, büyüklüğü ise kırılma indisi n’e eşit.

2~~ nkk =

[ ] 22

2 )(to ∂

∂−=−+∇−

Dk.EkE μ

E)k~.k~(c

kE.kE 22

2 ω−=−=∇

[ ] [ ]Ek~.k~c

E.k.k 22ω

=

ˆ ˆ ˆ( )k k k k nkv cω ω

= = =

[ ] 22

2 )(to ∂

∂−=−+∇−

Dk.EkE μ2

22o oD Dt

μ μ ω∂− =∂

© 2008 HSarı 12

Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-82~~ nkk =

[ ] jijojijiii EEDE.Ekk κεμεμμ ooocn

c===+− 2

2

2

~~1

0)~(~2 =−− jiji EE κjji Ekkn

⎩⎨⎧

≠=

=jiegerjieger

ij 01

δ jiji EE δ=

0)~(~2 =−− jijjij EE κδ jji Ekkn

0~~( 2 =−− jijij E)κδ ji kkn2( )ij i j ij ijn k k Mδ κ− − ≡

0ij jM E =

( ) 0ij jM n E =

Boyutsuz formda karekteristik denklem

Ej yi parantez dışına nasıl alırız? Kranecker delta notasyonunu kullanarak elektrik alanları

şeklinde yazabiliriz

1 11 1 12 2 13 3j jM E M E M E M E= + +

n: Öz değerlerEj: Öz fonksiyonlar

Enc

E)k~.k~(c

22

2

2

2 ω=

ω

2 22

2 2. ( . ) ok k E k k E Dc cω ω μ ω⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ i ij j o o ij j

D E Eε μ ε κ= =

x xx x xy y xz zD E E Eε ε ε= + +

© 2008 HSarı 13


ij j jA E aE=

( ) 0ij ij jA a Eδ− =

Bu bir özdeğer probleminden başka birşey değildir. Yani genel olarak

Burada a özdeğer, Ej’ler ise öz fonksiyonlardır.

( ) 0ij jM a E =

detMij(a)=0 ifadesinden özdeğerler bulunur: a1 , a2 gibi

( ) ( )ij ij ijA a M aδ− ≡

11 12 1 1

21 22 2 2

A A E Ea

A A E E⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ij j jA E aE=özdeğerler İfadesinde kullanılarak öz fonksiyonlar jE bulunur

© 2008 HSarı 14


0~0~ˆ~

3

2

1

==

=

kk

ink

jj

ii

knk

knkˆ~ˆ~

=

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

11

11

11

000000

κκ

κκ ij

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=00000000

~~2n

kk ji

2 211 11

2 211 11

2 211 11

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

ij

n nM n n

n n

κ κκ κ

κ κ

⎡ ⎤− − ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦

00000000

000

000

00000000 111

3

2

111

=++=++

=++⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ E

EEE κκ

x

yz

k

Mij matrisi

detMij=0 ifadesinden özdeğerleri bulabiliriz. Bu özdeğerler:

κ11[(κ11-n2)2]=0 => n2=κ11 veya n=( κ11)1/2

Daha önce bulunan sonuçlarla aynı!

Elektrik alanı (yani her öz değere karşı gelen öz fonksiyonları) bulmaya çalışalım:

E1=0, E2=keyfi, E3=keyfi (Ex=0, Ey ≠0, Ez ≠0)

k~

Kübik sistem için yukardaki denklemleri uygulayalım. k’nın yönünün x-doğrultusunda olduğunu kabül edelim (k=î)

Boyutsuz niceliği

x

yz

k

E

© 2008 HSarı 15


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

33

11

11

000000

κκ

κκ ij

0~0~ˆ~

3

2

1

==

=

kk

ink

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=00000000

~~2n

kk ji

2 211 11

2 211 11

2 233 33

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

ij

n nM n n

n n

κ κκ κ

κ κ

⎡ ⎤− + + ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎣ ⎦⎣ ⎦

x

yz

k

Tek eksenli (uniaxial) sistem (bir yöndeki optik özellik diğer iki yöndekinden ayrı olan sistemler):Tek eksenli sistemde x-y düzlemi aynı fakat z-yönünü farklıdır. κ matrisi

k’nın x-doğrultusunda olduğunu kabül edelim

Dij matrisi

Özdeğerleri bulmaya çalışırsak:DetMij(n)=0 => κ11[(κ11-n).(κ33-n)]=0 => Birbirinden farklı iki çözüm vardır, bunlar:

n1=κ11 ve n2=κ33

n1=(κ11)1/2≡no => o-ışını [normal ışın (ordinary-ray)]n2=(κ33)1/2≡ne => e-ışını [anormal ışın (extraordinary ray)]

© 2008 HSarı 16


0)(000000

000

000

0000000

31133

111

3

2

1

1133

11

=−++=++

=++⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− o

o

o

o

o

E

E

EEE

κκ

κ

κκ

κ

11 1 11 1

11 33 2 11 33 2

3

0 0 0 0 0 00 0 0 0 ( ) 0 00 0 0 0 0 0 0 0

e e

e e

e

E EE EE

κ κκ κ κ κ

⎡ ⎤ + + =⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥− = ⇒ + − + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ + + =⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Alanlara bakalım(öz fonksiyonlar):

E1=0, E2=keyfi, E3=0 (alan vektörü ilerleme yönünde sıfır, alan y-yönünde kutuplanmıştır)

E1=0, E2=0, E3=keyfi (elektrik alan z-yönünde kutuplanmıştır!)

x

yz

k, no

E

x

yz

k, ne

E

n=(κ33)1/2≡ne e-ışını (anormal ışın) durumunu inceleyelim. Bu değere karşı gelen alan vektörleri

n=(κ11)1/2≡no o-ışını (normal ışın) durumu için:

11 1

11 33 2

0 0

( ) 0

o

o

E

E

κ

κ κ

≠ ⇒ =

− ⇒ =

© 2008 HSarı 17


x

yz

k, ne

E

Bu sonuçlar bize tek eksenli sistemde aynı anda iki tane ilerleyen dalga olduğunu söylemektedir.

Bu ışın demeti x-yönünde ilerlemesine rağmen alan yönü y-yönündedir ve no gibi kırılma indisini görmektedir. Bunun yanında diğer alan yönü z-doğrultusunda olup y-yönündeki alandan farklı olarakne kırılma indisini görmektedir. İki dalga aynı maddede ilerlemesine karşın elektrik alanının nasıl kutuplandığına bağlı olarak farklıiki kırılma indisi görmektedir.

© 2008 HSarı 18

Optik Eksen

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

33

11

11

000000

κκ

κκ ij

x

z, (optik eksen)y

x ve y eksenleri aynız ekseni ise farklı (optik eksen)

Optik olarak izotropik olan maddelerde tek bir kırılma indisi vardır, ışık her yönde aynı hızla yayılır ve ışığınhızı kristaldaki yayılma doğrultusundan bağımsızdır.

Optik olarak izotropik olmayan maddelerde ise, örneğin tek eksenli optik sistemlerde, ışık kristaldeki yayılma doğrultusuna bağlı olarak farklı kırılma indisleri görebilir ve buna bağlı olarak da farklıdoğrultularda farklı hızlarla ilerler

Tek eksenli optik kristallerde ışığın gördüğü kırılma indisine bağlı olarak bu doğrultuları ayırd etmek için bu ışınlardan birine “normal ışın”, diğerine “anormal” ışın denir.

Işık z doğrultusunda ilerlerse elektrik alan ister x, isterse y doğrultusunda olsun ışık kristal içinde aynı hızda ilerler. Ancak ışık x veya y doğrultusunda ilerlerse, E alanın y veya z de oluşuna bağlıolarak kristal içinde farklı doğrultularda ilerler

© 2008 HSarı 19

Çift Kırılma

Tek eksenli malzemelerde ışığın gördüğü kırılma indisi elektrik alanın yönelimine bağlı olarak farklıolacaktır. Böyle malzemeler, farklı indislere sahip olduklarından Çift kırıcı malzemeler denir.

© 2008 HSarı 20

Çift KırılmaŞimdi tek eksenli bir sistemde genel bir duruma bakalım. Optik eksen (z) boyunca değilde optik eksen ile belli bir açı (φ) yaparak ilerleyen bir elektromanyetik dalgayı düşünelim

x

z, (optik eksen)

yφφ

φ

cos~sin~

0~

3

2

1

nk

nk

k

=

=

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=2

2

2

2

000000

nn

nn ijδ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

33

11

11

000000

κκ

κκ ij

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

φφφφφφ

222

222

coscossin0cossinsin0

000~~

nnnnkk ji

2( )ij i j ij ijn k k Mδ κ− − ≡

211

2 2 211

2 2 233

0 00 (sin 1) sin cos0 sin cos (cos 1)

ij

nM n n

n n

κκ φ φ φ

φ φ κ φ

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

Karekterisrik denklemde yukardaki ifadeleri kullanırsak Dij matrisi

Eğer bir ışık demeti z-y doğrultusunda ilerlerse o-ışını φ açısından bağımsız olarak no kırılma indisini görecektir. Ancak e-ışını hareket doğrultusuna bağlı olarak farklı n indisini görecektir.

© 2008 HSarı 21

Çift Kırılma

Optik eksen

none

Optik eksen

neno

φ

Pozitif tek eksenli kristal neno

no

Optik olarak izotropik kristal no

2

2

2

2

2

cossin)(

1

oe nnnφφ

φ+=

x

z, (optik eksen)

yφ

Çift kırılmada kırılma indisinin küçük olduğu eksene hızlı eksen,büyük olduğu eksene yavaş eksen de denir

ne < no durumunda ne hızlı eksen, no ise yavaş eksendir

© 2008 HSarı 22

Çift Kırılma

ko

k1

k2

φ1

φ2

ko

kφ

İzotropik Madde Anizotropik Madde

Optik Eksen

Hava

Kristaln2

Hava

yz

k, (no, ne)

E

© 2008 HSarı 23

Çift Kırılma

E

O E

O

E

OE

O

E

O E

O

Tek eksenli pozitif Tek eksenli negatif

EO

Anormal ışınNormal ışın

© 2008 HSarı 24

Çift KırılmaDaha önce de belirtildiği gibi normal cam optik olarak izotropik olduğu için ışığın cam içindeki ilerleyişi yöndenbağımsız olarak her doğrultuda aynıdır ve bildiğimiz adi cam tek bir kırılma indisi ile ifade edilebilir. Tek eksenli optik kristaller yukardaki hesaplamalarda da görüldüğü gibi ışığın bu kristallerdeki ilerleme yönüne bağlı olarak farklı kırılma indisine sahiptirler.

Bu indisler sırası ile normal (no) ve anormal (ne) kırılma indisleridir. Tek eksenli kristallere kalsit (CaCO3), kuartz (SiO2) ve KDP (potasyum dihidrojen fosfat, KH2PO4) örnek olarak verilebilir. Tek eksenli bir kristalde kırılmaindisleri farklı olduğu için ışığın ilerleme hızı ışığın kutuplanma doğrultusuna ve ilerleme yönüne bağlı olacaktır. Bu tip kristaller çiftkırıcı (birefringent) veya çift kırılma indisli (doubly refracting) olarak bilinir.

Kuartz için no ve ne değerleri Kalkita için no ve ne değerlerino=1,5443 no=1,6584ne=1,5534 ne=1,4864Faz hızı vo>ve Faz hızı vo

© 2008 HSarı 25

Çift Kırılma

Optic axis

e-ray

o-rayA

B

Optic axis

e-ray

o-ray

Optic axis A

B Optic axisθ

E1E2

E1

E1

E2E2

The Wollaston prism is a beam polarization splitter. E1 is orthogonal to the plane ofthe paper and also to the optic axis of the first prism. E2 is in the plane of the paperand orthogonal to E1.© 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)

Çift kırıcı maddeler optoelektronikde sıkça kullanılır. Bu maddeler özellikle ışığı kutuplamada, değişik dalga plakalarında (örneğin yarım dalga, çeyrek dalga plakalarında) ve ışığın modülasyonunda

kullanılmaktadır.

bolum-4-kristal optigi€¦ · boyutsuz formda karekteristik denklem e j yi parantez dışına...

Documents