Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Mirjana Mikec

Broj e

Diplomski rad

Osijek, 2011.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Mirjana Mikec

Broj e

Diplomski rad

mentor: doc. dr. sc. Tomislav Marosevic

Osijek, 2011.

Sadrzaj

1 Uvod 4

2 Broj e 5

2.1 Definicija broja e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Iracionalnost broja e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Transcendentnost broja e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Racunanje broja e 17

3.1 Povijest broja e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Izracunavanje broja e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Eulerova relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Neke primjene i zanimljivosti broja e 28

5 Sazetak 32

6 Summary 33

7 Zivotopis 34

3

1 Uvod

U ovom diplomskom radu cemo poblize razmotriti realni broj e. Broj e je cudesan kao i broj

π, ali se znatno kasnije pojavljuje u matematickoj povijesti, sto cemo u nastavku rada detaljnije

spomenuti. Iako je simbol e uveo tek matematicar Euler, te ga zbog toga mnogi nazivaju Eu-

lerovim brojem, broj e je baza prirodnog ili Napierovog logaritma lnx (lat. logaritmus naturalis)

te se cesto u literaturi naziva i Napierovim brojem.

U drugom poglavlju cemo navesti dvije matematicke definicije broja e te dokazati da su one

valjane. Broj e iznosi priblizno e ≈ 2.71828182845..., iracionalan je i transcendentan, sto cemo

i pokazati u istom poglavlju ovog diplomskog rada.

U sljedecem, trecem poglavlju iznosimo povijesni pregled otkrica i nastanka broja e, te izracunavanje

broja e kroz povijest do na odredeni broj tocnih decimala. Nakon toga govorimo nesto vise o

Eulerovoj relaciji.

U zadnjem cetvrtom poglavlju ovog rada promatramo neke primjene broja e, kao i nekoliko

zanimljivosti vezanih uz broj e.

4

2 Broj e

Broj e je baza prirodnog ili Napierovog logaritma lnx (lat: logaritmus naturalis) , stoga

ga cesto nazivamo Napierovim brojem, iako je simbol e uveo tek matematicar Euler pa ga iz

tog razloga neki nazivaju i Eulerovim brojem. Broj e iznosi otprilike e ≈ 2.71828182845...,

iracionalan je i transcendentan, sto cemo i pokazati u ovom poglavlju. Prije toga cemo navesti

definiciju broja e, a zatim dokazati valjanost te definicije. Napomenimo da je osnovni skup kojeg

koristimo u ovom radu skup realnih brojeva R.

2.1 Definicija broja e

Definicija 2.1 Limes niza αk =(

1 +1

k

)kje broj koji se oznacava s e, tj.

e = limk→∞

(1 +

1

k

)k.

Buduci da stroga matematicka definicija broja e proizlazi iz konvergencije tog niza realnih

brojeva, potrebno je dokazati njegovu konvergenciju. Da bismo to i uspjeli dokazati, potrebno

je navesti pomocne definicije i tvrdnje koje cemo koristiti u dokazu.

Teorem 2.1 Za svaki racionalni broj ν > 1 i svaki realni broj h > −1 vrijedi Bernoullijeva

nejednakost

(1 + h)ν ≥ 1 + νh. (2.1)

Dokaz teorema moze se vidjeti u [1].

Definicija 2.2 Niz realnih brojeva (an) je geometrijski ako je omjer svakog clana i clana ispred

njega konstantan, tj. ako vrijedi

anan−1

:= q, ∀n ∈ N.

Broj q naziva se kvocijentom geometrijskog niza.

Teorem 2.2 Zbroj prvih n clanova geometrijskog niza (an) s kvocijentom q 6= 1 iznosi

Sn =1− qn

1− qa1.

Dokaz: Prema [7], ako od jednakosti Sn = a1 + a1q + · · ·+ a1qn−1 oduzmemo jednakost

qSn = a1q + a1q2 + · · ·+ a1q

n imamo Sn(1− q) = a1(1− qn), odakle za q 6= 1 dobivamo trazenu

formulu.

�

5

Definicija 2.3 Niz realnih brojeva (an) je rastuci ako za svaki prirodni broj n vrijedi

an ≤ an+1.

Definicija 2.4 Niz realnih brojeva (an) je odozgo omeden ako postoji broj M takav da za svaki

prirodni broj n vrijedi

an ≤M .

Teorem 2.3 Svaki rastuci odozgo omeden niz realnih brojeva je konvergentan.

Dokaz se nalazi u [7].

�

Teorem 2.4 Neka su (an) i (bn) konvergentni nizovi. Ako je an ≤ bn za svaki prirodni broj n,

onda je:

limn→∞

an ≤ limn→∞

bn.

Dokaz se nalazi u [7].

�

Sada kad smo naveli pomocne definicije i teoreme, potrebno je dokazati konvergenciju niza

kojim je definiran broj e u Definiciji 2.1.

Teorem 2.5 Niz realnih brojeva s opcim clanom αk =(

1 +1

k

)kje konvergentan.

Dokaz: Prema [9], stavimo li u Bernoullijevoj nejednakosti (2.1) h =1

k + 1, ν =

k + 1

kdobivamo (

1 +1

k + 1

) k+1k> 1 +

1

k + 1· k + 1

k= 1 +

1

k.

Potenciranjem obje strane ove nejednakosti sa k izlazi(1 +

1

k + 1

)k+1

>(

1 +1

k

)ktj. αk+1 > αk pa je niz (αk) rastuci.

6

Buduci da je niz rastuci, treba samo pokazati postojanje gornje granice. Uz primjenu

Bernoullijeve nejednakosti (2.1) sa h = 1, ν = 1 +2

kvrijedi:

41k = 2

2k = 2−121+ 2

k =1

2(1 + 1)1+

2k >

1

2

[1 + 1

(1 +

2

k

)]= 1 +

1

k

Potenciranje sa k daje:

4 >(

1 +1

k

)k= αk,

tj. broj 4 je gornja granica niza (αk).

Time smo pokazali da je ovaj niz rastuci i omeden, pa je prema Teoremu 2.3 konvergentan.

�

Primjedba 2.1 Za svaki niz (an) realnih brojeva za koji vrijedi da je limn→∞

|an| = ∞ i za sve

α, β ∈ R moze se pokazati da vrijedi

limn→∞

(1 +

α

an

)βan= eαβ.

U nastavku pokazimo neke varijante niza kojim se definira broj e:

• Pomocu Definicije 2.1 pokazimo da vrijedi

limk→−∞

(1 +

1

k

)k= e

Uvodenjem supstitucije k = −1− t, dobivamo

limk→−∞

(1 +

1

k

)k= lim

t→+∞

( −t−1− t

)−1−t= lim

t→+∞

(1 + t

t

)1+t=

= limt→+∞

(1 +

1

t

)t(1 +

1

t

)Def 2.1

= e · 1 = e.

• Uvedimo supstituciju1

k= t; tada k →∞⇔ t→ 0+,

pa imamo

limt→0+

(1 + t)1t = e.

Takoder vrijedi

limt→0−

(1 + t)1t = e.

• Pomocu Primjedbe 2.1 lako mozemo pokazati da je

limk→∞

(1− 1

k + 1

)k+1

= e−1,

jer k →∞, (k + 1)→∞, α = −1, β = 1.

7

Odatle slijedi da je (limk→∞

(1− 1

k + 1

)(k+1))−1

=(e−1)−1

= e.

Nakon sto smo definirali broj e, dokazat cemo jos jedan teorem koji daje pogodnu formulu za

racunanje broja e na racunalu.

Teorem 2.6 Broj e jednak je sumi sljedeceg konvergentnog reda realnih brojeva:

e =∞∑k=0

1

k!.

Dokaz:

Prema [9], neka je (αk) niz iz Definicije 2.1, tj. e = limk→∞

(1 +

1

k

)ki limk→∞

αk = e.

Definirajmo niz (βk) na sljedeci nacin

βk = 1 + 1 +1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

k!=

k∑r=0

1

r!. (2.2)

Uocimo da vrijedi

1

r!=

1

1 · 2 · 3 · · · r≤(1

2

)r−1.

Odavde je

βk < 1 +[1 +

1

2+(1

2

)2+ · · ·+

(1

2

)k−1].

Izraz u uglatoj zagradi predstavlja zbroj prvih k clanova geometrijskog niza s kvocijentom q = 12

pa prema Teoremu 2.2 vrijedi

βk < 1 +1−

(12

)k1− 1

2

= 1 +1−

(12

)k12

odnosno, jer je 0 <(1

2

)k< 1,

βk < 1 + 2[1−

(1

2

)k]< 3.

Dakle, pokazali smo da je niz (βk) omeden. Takoder, za sve k

βk − βk−1 =1

k!> 0 tj. βk−1 < βk

ovaj niz je i rastuci. Buduci da je prema Teoremu 2.3 rastuci omeden niz konvergentan, niz (βk)

je konvergentan.

8

Oznacimo granicnu vrijednost ovog niza s e, tj. neka je

limk→∞

βk =∞∑k=0

1

k!= e.

Sada trebamo pokazati da je e = e.

Uzmimo binomnu formulu

(x+ y)m = xm +

(m

1

)xm−1y +

(m

2

)xm−2y2 + · · ·+

(m

m− 1

)xym−1 + ym

i uvrstimo x = 1, y =1

ki m = k.

Tada dobivamo

αk = 1 +

(k

1

)1

k+

(k

2

)(1

k

)2+ · · ·+

(k

k

)(1

k

)k= 1 + k

1

k+k(k − 1)

2!

(1

k

)2+ · · ·+ k(k − 1) · · · 1

k!

(1

k

)k= 1 + k

1

k+

1

2!

k

k

(k − 1)

k+ · · ·+ 1

k!

k

k

(k − 1)

k· · · 1

k

= 1 + 1 +1

2!

(1− 1

k

)+ · · ·+ 1

k!

(1− 1

k

)· · ·(

1− k − 1

k

). (2.3)

Osim prva dva, reprezentativni clan sume u danom nizu je sljedeceg oblika:

1

r!

(1− 1

k

)(1− 2

k

)· · ·(

1− r − 1

k

)≤ 1

r!(2.4)

Napomenimo da nejednakost vrijedi, jer se u svakoj zagradi nalazi pozitivan broj manji od 1.

Iz (2.3) i (2.4) slijedi

αk ≤ 1 + 1 +1

2!+ · · ·+ 1

k!

odnosno, zbog (2.2) je

αk ≤ βk, ∀k. (2.5)

Buduci da (2.5) vrijedi za svaki k, iz Teorema 2.4 dobivamo

e ≤ e. (2.6)

Sada nam preostaje jos pokazati da vrijedi i e ≥ e. U tu svrhu uocimo da za svaki r < k vrijedi

αk ≥ 1 + 1 +1

2!

(1− 1

k

)+ · · ·+ 1

r!

(1− 1

k

)(1− 2

k

)· · ·(

1− r − 1

k

),

jer je (k−r) zanemarenih clanova iz (2.3) pozitivno. Kada k pustimo u beskonacnost, a r drzimo

fiksnim, jer je limk→∞

1

k= 0 dobivamo

e ≥ 1 + 1 +1

2!+ · · ·+ 1

r!= βr.

9

Ukoliko i r pustimo u beskonacnost dobivamo

e ≥ e. (2.7)

Iz (2.6) i (2.7) slijedi

e = e,

odnosno

e =∞∑k=0

1

k!. (2.8)

�

Iz formule (2.8) ocito je da za bilo koji prirodni broj k vrijedi odgovarajuca aproksimacija

e ≈ 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+ · · ·+ 1

k!,

s odredenom greskom aproksimacije.

Napomena: Prema [15], broj e takoder se moze prikazati u obliku beskonacnog veriznog ra-

zlomka

e− 1 = 1 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +1

4 +1

1 +1

1 +1

6 +1

. . .

.

= [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...]

10

2.2 Iracionalnost broja e

Iracionalni1 brojevi su oni brojevi koji se ne mogu zapisati pomocu omjera dvaju cijelih

brojeva (razlomka), tj. brojevi kojima je decimalni zapis beskonacan i nije periodican. Do pojma

iracionalnosti dosli su pitagorejci dokazavsi da je duljina dijagonale kvadrata nesumjerljiva s

duljinom stranice kvadrata, sto je ekvivalentno cinjenici da√

2 nije racionalan broj. Pojam

se do 16. stoljeca odnosio na duzine, ne na brojeve. Iracionalni brojevi dugo nisu smatrani

ravnopravnima s racionalnim brojevima, a njihovu ravnopravnost prvi su prihvatili Bombelli

(1530.-1572.) i Stevin (1548.-1620.).

Vec smo ranije spomenuli da je broj e iracionalan. Sada cemo tu tvrdnju i dokazati. U dokazu

iracionalnosti broja e koristit cemo Maclaurinovu formulu, koja je specijalan slucaj Taylorove

formule kada je x0 = 0.

Teorem 2.7 Neka je funkcija f : 〈a, b〉 → R klase Cn i neka je x0 ∈ 〈a, b〉. Tada za svaki

x ∈ 〈a, b〉 postoji ϑ ∈ 〈0, 1〉 takav da je

f(x) = f(x0) +(x− x0)

1!f ′(x0) +

(x− x0)2

2!f ′′(x0) + · · ·

+(x− x0)n−1

(n− 1)!f (n−1)(x0) +

(x− x0)n

n!f (n)(x0 + ϑ(x− x0)). (2.9)

�

Za x0 = 0 formula (2.9) prelazi u Maclaurinovu formulu

f(x) = f(0) +x

1!f ′(0) +

x2

2!f ′′(0) + · · ·+ xn−1

(n− 1)!f (n−1)(0) +

xn

n!f (n)(ϑx). (2.10)

Teorem 2.8 Broj e je iracionalan.

Dokaz: Prema [8], ako uvrstimo funkciju f(x) = ex za koju vrijedi

f(x) = f ′(x) = f ′′(x) = · · · = f(x)(n−1) = f(x)(n) = ex

u Maclaurinovu formulu (2.10) dobivamo

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ · · ·+ xn−1

(n− 1)!+xn

n!eϑx.

Za x = 1 dobivamo

e = 1 +1

1!+

1

2!+ · · ·+ 1

(n− 1)!+eϑ

n!. (2.11)

Pretpostavimo da je broj e racionalan.

Tada je on oblikap

q, gdje su p i q prirodni brojevi. Ako pomnozimo (2.11) s (n − 1)!, jer je

(n− 1)! visekratnik svih nazivnika prvih n razlomaka u (2.11), dobivamo

e(n− 1)! = m+eϑ

n,m ∈ N. (2.12)

Prema [7], mozemo uzeti da je e < 3, te za n ≥ 3 vrijedi

1lat.irrationalis-nerazmjeran

11

eϑ

n< 1

zbog cega desna strana u (2.12) nije cijeli broj. Ukoliko za n vrijedi n ≥ q + 1, tj. n − 1 ≥ q

onda je (n − 1)! djeljiv s q pa je lijeva strana jednakosti (2.12) prirodan broj. Dakle, za n sa

svojstvom da je n ≥ 3 i n ≥ q + 1 dobivamo da je lijeva strana jednakosti (2.12) cijeli broj, a

desna strana nije, sto je kontradikcija.

Dakle, broj e je iracionalan.

�

2.3 Transcendentnost broja e

Definicija 2.5 Broj x0 nazivamo algebarskim brojem ako postoje prirodni broj n i cijeli

brojevi a0, a1, ..., an, an 6= 0 takvi da je

a0 + a1x0 + a2x20 + ...+ anx

n0 = 0,

tj. ako je x0 korijen algebarske jednadzbe s cjelobrojnim koeficijentima. Broj koji nije algebarski

naziva se transcendentnim brojem2.

Dakle, transcendentan broj je realni broj koji ne zadovoljava ni jednu algebarsku jednadzbu s

cjelobrojnim koeficijentima. Svi transcendentni brojevi su iracionalni i u teoriji se mogu zapisati

kao decimalni brojevi s beskonacno mnogo decimala koje se ne ponavljaju. Vec smo dokazali da

je broj e iracionalan. U ovom poglavlju cemo pokazati i da je transcendentan.

Primjedba 2.2 Oznacimo sa Am, m = n + |a0| + |a1| + ... + |an|, n ∈ N, a0, a1, ..., an ∈ Zskup svih algebarskih brojeva koji su rjesenje jednadzbe a0 + a1x0 + a2x

20 + ... + anx

n0 = 0. Taj

skup je konacan pa je skup A =∞⋃m=1

(Am) svih algebarskih brojeva prebrojiv. Prema tome, skup

T = AC svih transcendentnih brojeva je neprebrojiv.

Konstrukcija transcendentnog broja ne da se svesti na konstrukciju korijena bilo koje algebarske

jednadzbe kojoj je stupanj konacan prirodan broj. Takav broj se moze konstruirati samo pomocu

transcendentnih krivulja.

Euler je medu prvima definirao transcendentne brojeve u danasnjem smislu. Liouville je 1844.

prvi dokazao egzistenciju transcendentnih brojeva, a 1851. je dao prvi decimalni prikaz takvog

broja, tzv. Liouvilleovu konstantu:

2lat.transcendere-prekoraciti

12

∞∑k=1

(10−k!) = 0.11000100000000000000000100...

Teorem 2.9 Broj e je transcendentan.

Dokaz: Prema [8], pretpostavimo da je e algebarski broj. Tada postoji prirodni broj N i cijeli

brojevi a0, a1, · · · , aN takvi da vrijedi

a0 + a1e+ a2e2 + · · ·+ aNe

N = 0. (2.13)

Neka je

g(x) = e−x.

Za ovako definiranu funkciju g vrijedi

(e−x)′ = −e−x, (e−x)′′ = e−x, (e−x)′′′ = −e−x, · · · , (e−x)(n) = (−1)ne−x.

Ukoliko takvu funkciju g(x) uvrstimo u formulu

α

∫ 1

0

f(αx)g(n+1)(αx)dx = f(α)g(n)(α)− f ′(α)g(n−1)(α) + · · ·

+ (−1)nf (n)(α)g(α)−[f(0)g(n)(0)− f ′(0)g(n−1)(0) + · · ·+ (−1)nf (n)(0)g(0)

], (2.14)

koja je izvedena iz poznate formule za parcijalnu integraciju u [8, 13.str], dobivamo

(−1)n+1α

∫ 1

0

f(αx)e−αxdx = (−1)n[e−α(f(α)+f ′(α)+· · ·+f (n)(α)

)−(f(0)+f ′(0)+· · ·+f (n)(0)

)].

(2.15)

Uvedimo oznaku

F (x) = f(x) + f ′(x) + f ′′(x) + · · ·+ f (n)(x) (2.16)

i pomnozimo (2.15) s (−1)n+1eα. Tada je

αeα∫ 1

0

f(αx)e−αxdx = eαF (0)− F (α)

tj.

eαF (0) = F (α) + αeα∫ 1

0

f(αx)e−αxdx. (2.17)

13

Pomnozimo li jednadzbu (2.13) s F (0) i uvrstimo (2.17), dobivamo

0 =N∑k=0

akekF (0) = a0F (0) +

N∑k=1

akekF (0)

= a0F (0) +N∑k=1

akF (k) +N∑k=1

kakek

∫ 1

0

f(kx)e−kxdx, (2.18)

odnosno

a0F (0) +N∑k=1

akF (k) = −N∑k=1

kakek

∫ 1

0

f(kx)e−kxdx. (2.19)

Ideja dokaza je da odabiranjem povoljnog polinoma f postignemo da desna strana jednakosti

(2.19) postane po apsolutnoj vrijednosti manja od 1, a lijeva strana cijeli broj razlicit od nule

(koji je onda po apsolutnoj vrijednosti veci ili jednak 1). Kontradikcija koju bismo tada dobili

opovrgnula bi pocetnu pretpostavku.

Propozicija 2.1 Neka je h polinom s cjelobrojnim koeficijentima. Tada za polinom

f(x) =xm−1h(x)

(m− 1)!, m ∈ N,m ≥ 2

vrijedi:

1. f (s)(0) = 0, s < m− 1;

2. f (m−1)(0) = h(0);

3. m|f (s)(r), s ≥ m, r ∈ Z.

Dokaz : Vidjeti u [8].

�

Neka je za proizvoljni prosti broj p

h(x) = (x− 1)p(x− 2)p · · · (x−N)p.

Tada polinom

f(x) =xp−1h(x)

(p− 1)!, (2.20)

zadovoljava uvjete Propozicije 2.1 pa vrijedi

f (s)(0) = 0, s = 0, 1, 2, ..., p− 2,

f (p−1)(0) = h(0) = [(−1)NN !]p,

p|f (s)(r), s ≥ p, r ∈ Z.

14

Uocimo, polinom f definiran s (2.20) je stupnja n = Np + p − 1. Tada zbog (2.16) i prvog

uvjeta iz Propozicije 2.1 vrijedi

F (0) = f (p−1)(0) + f (p)(0) + · · ·+ f (Np+p−1)(0).

Ako ovu jednakost pomnozimo s a0 i uvrstimo drugi uvjet iz Propozicije 2.1 dobivamo

a0F (0) = a0

[(−1)NN !

]p+ a0f

(p)(0) + · · ·+ a0f(Np+p−1)(0). (2.21)

Buduci da je a0 cijeli broj, prema trecem uvjetu Propozicije2.1 zakljucujemo da su clanovi

a0f(p)(0), ..., a0f

(Np+p−1)(0) cijeli brojevi djeljivi s p. Prostih brojeva ima beskonacno mnogo, pa

mozemo odabrati prosti broj p za koji vrijedi

p > a0 i p > N. (2.22)

Tada broj a0

[(−1)NN !

]psigurno nije djeljiv s prostim brojem p, pa ni cijela desna strana u

(2.21) nije djeljiva s p. Dakle, a0F (0) je cijeli broj koji nije djeljiv s p.

Korolar 2.1 Ako je x0 nultocka polinoma f kratnosti r, onda je x0 nultocka polinoma

f (s), s = 0, 1, ..., r − 1, pri cemu se pod f (0) podrazumijeva sama funkcija.

�

Buduci da je k = 1, 2, · · · , N nultocka polinoma f kratnosti p, prema Korolaru 2.1 vrijedi

f (s)(k) = 0, s ≤ p− 1, k = 1, 2, ..., N .

Stoga je

F (k) = f (p)(k) + f (p+1)(k) + · · ·+ f (Np+p−1)(k).

Iz treceg uvjeta iz Propozicije 2.1 slijedi da je F (k) cijeli broj djeljiv s p pa je i suma

N∑k=1

akF (k)

djeljiva s p, jer su ak, k = 1, 2, ..., N , cijeli brojevi. Dakle, na lijevoj strani jednakosti (2.19)

nalazi se broj koji je zbroj jednog cijelog broja koji nije djeljiv s p i jednog cijelog broja koji

je djeljiv s p pa je on cijeli broj koji nije djeljiv s p (zbog cega je razlicit od nule). Tada je

apsolutna vrijednost toga cijelog broja barem 1 pa za desnu stranu jednakosti (2.19) mozemo

zapisati ∣∣∣− N∑k=1

kakek

∫ 1

0

f(kx)e−kxdx∣∣∣ ≥ 1. (2.23)

15

Promotrimo sada funkciju f(kx). Uocimo da za x ∈ [0, 1] i nenegativne cijele brojeve

r, k ≤ N vrijedi

|kx− r| ≤ N .

Prema (2.20) slijedi

|f(kx)| = 1

(p− 1)!|kx|p−1|kx− 1|p|kx− 2|p · · · |kx−N |p

(2.24)

≤ NNp+p−1

(p− 1)!<N (N+1)p

(p− 1)!

Buduci da vrijedi 0 < e−kx ≤ 1 dobivamo∣∣∣− N∑k=1

kakek

∫ 1

0

f(kx)e−kxdx∣∣∣ ≤ N∑

k=1

∣∣∣kakek ∫ 1

0

f(kx)e−kxdx∣∣∣

≤N∑k=1

k|ak|ek∫ 1

0

|f(kx)|e−kxdx <N∑k=1

k|ak|ek∫ 1

0

N (N+1)p

(p− 1)!dx

<N (N+1)p

(p− 1)!

N∑k=1

k|ak|ek =(N (N+1))p−1

(p− 1)!NN+1

N∑k=1

k|ak|ek.

Kako je

limp→∞

(NN+1)p−1

(p− 1)!= 0,

postoji prosti broj p za koji vrijedi

(NN+1)p−1

(p− 1)!<

1

NN+1∑N

k=1 k|ak|ek. (2.25)

Naposlijetku dobivamo da je

∣∣∣− N∑k=1

kakek

∫ 1

0

f(kx)e−kxdx∣∣∣ < 1. (2.26)

Ako su za prosti broj p zadovoljene nejednadzbe (2.22), onda vrijedi (2.23), a ako je zadovol-

jena nejednadzba (2.25), onda vrijedi (2.26). Za dosta velik prosti broj p bit ce zadovoljene i

nejednadzbe (2.22) i nejednadzba (2.25), a tada (2.23) i (2.26) vode u kontradikciju.

Dakle, broj e je transcendentan.

�

16

Veza izmedu iracionalnih i transcedentnih brojeva dana je iducom propozicijom:

Propozicija 2.2 Svaki transcendentan broj je iracionalan. Obrat ne vrijedi.

Dokaz:

Dovoljno je uociti da je svaki racionalan brojp

q, p, q ∈ Z, q 6= 0 rjesenje algebarske jednadzbe

p− qx = 0.

�

Obrat ne vrijedi, tj. postoje iracionalni brojevi koji nisu transcendentni, primjerice,√

2,√

3, ...

su ustvari korijeni iz racionalnih brojeva pa su kao takvi algebarski brojevi jer je n

√pg

korijen

algebarske jednadzbe p− qxn = 0.

Iz Propozicije 2.2 slijedi da ukoliko dokazemo transcendentnost nekog broja, odmah slijedi i

iracionalnost toga broja. Stoga bi bilo dovoljno da smo u ovom radu dokazali samo transcen-

dentnost broja e. No, iracionalnost ovog broja je njegovo vaznije svojstvo koje je dokazano prije

transcendentnosti, tako da smo za svako svojstvo naveli zaseban dokaz.

3 Racunanje broja e

U ovom poglavlju cemo ukratko izloziti povijest broja e, dakle, njegovo prvo spominjanje i

razvoj do danas. Potom cemo spomenuti neke poznate relacije s brojem e.

3.1 Povijest broja e

Broj e se javlja relativno kasnije u matematickoj povijesti. Tek u 17. stoljecu je doslo

do prvih otkrivanja logaritama. John Napier (1550.-1617.) potrosio je dvadeset godina na

kontrukciju tablice logaritama koja je objavljena 1619. godine pod nazivom ”Mirifici Logarith-

morum Canonis Constructio”. Svoju tablicu logaritama sastavio je jos 1614. godine, a bila je

jako teska za citati. Napieru je matematika bila samo hobi, a njegov cilj je bio pojednostaviti

trigonometrijske racune koristene u astronomiji i navigaciji, tj. svesti mnozenje na zbrajanje.

Slika3.1 Napierova ideja o logaritmima

17

Napierova ideja je sljedeca: Kako je prikazano na Slici 3.1, promatramo duzinu AB i DE kao

polupravac koji ide u beskonacnost. Neka se tocke C i F pocinju istovremeno kretati od A i

D, duz ovih linija, s istom pocetnom brzinom. Pretpostavimo da se C krece brzinom numericki

jednakoj preostaloj udaljenosti od B, a F se krece ravnomjernom brzinom. Tada Napier definira

DF kao logaritam od CB, tj. DF = x i CB = y, te slijedi

x = NapLogy.

Da bi izbjegao racun s decimalnim brojevima, Napier je uzeo da je duljina duzine AB jed-

naka 107, za najbolju tablicu sinusa dostupnu njemu tada produzenu za sedam mjesta. Tako

je Napierova prva tablica logaritama zapravo tablica vrijednosti sinusa, gdje se sinus promatra

kao polutetiva u krugu radijusa 107.

Numericki izrazeno koristeci modernu notaciju dobiva se sljedece.

Buduci da je AB = 107 slijedi da je AC = 107 − y pa prema tome

brzina C = −dydt

= y.

Sada imamody

y= −dt, sto kad integriramo dobijemo

lny = −t+ c.

Procjenjujuci konstantu integracije supstitucijom t = 0 dobivamo da je c = ln107, odakle je

lny = −t+ ln107.

Sada

brzina F =dx

dt= 107,

pa je x = 107t. Prema tome

NapLogy = x = 107t = 107(ln107 − lny) = 107ln(107

y) = 107log1/e(

y

107).

Napierov logaritam je padajuca funkcija. Kako je u pocetnom trenutku udaljenost koju C treba

preci jednaka 107, slijedi da je

NapLog107 = 0.

Iz opisane interpretacije moze se pokazati da vrijedi:

NapLog(107(10−7x)n) = nNapLogx.

18

U tadasnje vrijeme nije se znalo da je u bazi Napierovog logaritma broj e. Danas se uzima

da je upravo Napierov logaritam bili prirodni logaritam, cija je baza broj e. (Povijesno uveden

Napierov logaritam je padajuca funkcija, a prirodni logaritam je rastuca.)

Napierov suvremenik Henry Briggs (1561.-1631.) bio je profesor geometrije na Oxfordu i

saznao je za Napierovu konstrukciju. Napier se slozio s njegovim prijedlogom kako bi puno

jednostavniji bili logaritmi s bazom 10 kojima je nultocka broj 1. Tako je nakon Napierove

smrti, on nastavio svoj rad i 1624. godine objavio svoju tablicu ”Arithmetica Logarithmica”

za dekadske logaritme, koji su zbog toga poznati kao Briggsovi logaritmi, te je dao numericku

procjenu log10e, ali e nije kao takvog spominjao u svom radu.

Istovremeno s Napierom, logaritme je otkrio i svicarski mehanicar i urar Joost Burgi (1552.-

1632.). On je neovisno o Napieru, sastavio svoju tablicu logaritama i objavio ju 1620. godine,

6 godina poslije Napiera. Iako, neki izvori tvrde da je svoju tablicu poceo konstruirati jos

1588. godine, dakle 6 godina prije nego Napier. Radio je kao urar na carskom dvoru u Pragu,

gdje je imao prilike susresti Keplera, pa se pretpostavlja da je svoju tablicu logaritama objavio

vjerojatno na nagovor Keplera. Medutim, ova dva covjeka su imala potpuno razlicit pristup pri

konstrukciji logaritama; kod Napiera opis je bio geometrijski, a kod Burgija je bio algebarski.

Ukratko, Burgi promatra eksponencijalnu funkciju x = ay s bazom a = 1.0001 te promjene

4x koje uzrokuju male pomake promjena eksponenata y za 4y = 1 (dakle promatra odnos

x +4x = ay+1, tj. 4x = 10−4x). Buduci da je lako racunati (x +4x)-eve za svaki pocetni x

(jer iz prethodnog iduci dobivamo pomicanjem zareza za 4 mjesta ulijevo i pribrajanjem prirodne

vrijednosti), lako se dobiva tablica x, 4x y-a za y = 0, 1, 2, .... Pritom vrijedi da je x1x2 = x3

tocno ako je y1+y2 = y3. Ukoliko uzmemo bolju razdiobu y-a (npr. y104

), dobivamo novu tablicu

za eksponencijalnu funkciju x = (a1)y s a1 = a10000 = (1 + 10−4)10

4. Ponavljanjem takvog pos-

tupka dobit cemo u bazi aproksimacije za broj e.

Slika3.2 Povrsina ispod hiperbole =1.

1647.godine francuski matematicar Saint-Vincent je

racunao povrsinu ispod istostrane hiperbole i nije

poznato je li uopce shvatio vezu s logaritmima i

je li naisao na broj e. Vec 1661. nizozem-

ski matematicar Huygens je shvatio taj odnos,

koji je pazljivo promatrao kod istostrane hiperbole

xy = 1 i logaritma. Broj e je takav da je

povrsina ispod istostrane hiperbole od 1 do e jednaka

1.

Takoder, Huygens je definirao krivulju, koju je nazvao logaritamska. No, u danasnjoj termi-

nologiji, ona bi bila eksponencijalna s formulom y = kax.

19

1668. godine Nicolaus Mercator objavio je rad ”Logarithmotechnia” u kojem se nalazi

razvoj

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+ · · · .

i tako prvi otkrio razvoj funkcije u red potencija. Iz tog razloga se Mercator smatra zacetnikom

teorije redova. On je prvi upotrijebio izraz prirodni logaritam za logaritme baze e. Ali ni tada

se broj e nije pojavio kao samostalan.

1683.godine Jacob Bernoulli je razmatrao problem kamata na kamatu i pokusavao naci

limn→∞

(1 +

1

n

)n. Binomnim teoremom je pokazao da se granica nalazi izmedu 2 i 3, sto se

smatra prvom procjenom broja e. Buduci da je broj e definiran spomenutim nizom, mozemo

reci da je to i prva definicija broja e limesom. Napomenimo da je danas logaritam funkcija, a

nekada je bio samo pomoc u racunanju. Mozda je Jacob Bernoulli prvi shvatio inverznost loga-

ritamske i eksponencijalne funkcije, ali je James Gregory prvi povezao logaritme i eksponente.

1690. godine se broj e prvi put samostalno pojavio kada je Leibniz u pismu Huygensu upotri-

jebio slovo b umjesto danasnjeg e.

1731. godine Euler je u svom pismu Goldbachu uveo simbol e za ”broj ciji je hiperbolni log-

aritam jednak 1”. On je najvjerojatnije izabrao simbol e ili zato sto je to prvo slovo rijeci

exponential ili zato jer je to bilo prvo neiskoristeno slovo abecede (slova a, b, c i d vec su se

primjenjivala drugdje u matematici). Postoje pretpostavke da je on uveo slovo e jer je to prvo

slovo njegovog imena, no one su malo vjerojatne jer se zna da je Euler bio iznimno skroman

covjek: cesto je odgadao objavljivanje svojih radova kako bi pruzio priliku svojim kolegama i

studentima da dodu do istih zakljucaka.

1748. godine objavio je rad ”Introductio in analysin infinitorum” gdje su bile objavljene sve

njegove ideje vezane uz broj e. Dokazao je:

• e = 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ · · ·

• e = limn→∞

(1 +

1

n

)n• Eulerova formula eix = cosx + isinx. U posebnom slucaju kada je x = π dobiva oblik

eiπ = −1.

U navedenom djelu, procijenio je e na cak 18 decimalnih mjesta. Takoder, Euler je naveo

prosirenje broja e u verizni razlomak i zamijetio odredenu strukturu u razvoju. Naime, on je

dao dva verizna razlomka:

20

e− 1

2=

1

1 +1

6 +1

10 +1

14 +1

18 +1

. . .

i

e− 1 = 1 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +1

4 +1

1 +1

1 +1

6 +1

. . .

.

Iako nije naveo dokaz da se koeficijenti (clanovi) veriznog razlomka nastavljaju u beskonacnost

(sto i je tako), ali znao je da ukoliko se dokaze ta tvrdnja, to ce znaciti da je broj e iracionalan.

Buduci da su veriznom razlomku broja e−12

prvih nekoliko koeficijenata jednaki 6,10,14,18,22,...

(svaki put dodaj 4), znaci da broj e−12

(i broj e) ne moze biti racionalan. Za tu tvrdnju mozemo

reci da je pocetak razmatranja broja e kao iracionalnog, ali zapravo je tek 1873. Charles Her-

mite dokazao da broj e nije niti algebarski broj.

Kako su prolazile godine, tako je i rasla znatizelja za odredivanje sto vise decimala broja e.

1854. Shanks je prvi izracunao velik broj decimala broja e. Glaisher je dokazao da je prvih

137 decimala koje je Shanks izracunao bilo tocno, a nakon korekcije, Shanks je izracunao tocnih

205 decimala. Napomenimo da je potrebno cak 120 pribrojnika reda 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ · · · za

200 tocnih decimala.

Broj znamenaka broja e je rastao dramaticno tijekom proslog stoljeca. Danas (2011.) pomocu

racunalne tehnike i specijalnih numerickih algoritama znamo 1 000 000 000 000 decimala broja

e. U Tablici 1. dajemo povijesni pregled izracunavanja broja e.

21

Tablica 1: Prikaz izracunatih decimala broja e kroz povijest do danas, izvor [14]

Datum Broj znamenaka Osoba

1748. 18 Leonhard Euler

1853. 137 William Shanks

1871. 205 William Shanks

1884. 346 J. Marcus Boorman

1946. 808 nepoznat

1949. 2 010 John von Neumann (na ENIAC)

1961. 100 265 Daniel Shanks i John Wrench

1978. 116 000 Stephen Gary Wozniak (na Apple II)

1. travanj 1994. 10 000 000 Robert Nemiroff i Jerry Bonnell

svibanj 1997. 18 199 978 Patrick Demichel

kolovoz 1997. 20 000 000 Birger Seifert

rujan 1997. 50 000 817 Patrick Demichel

veljaca 1999. 200 000 579 Sebastian Wedeniwski

listopad 1999. 869 894 101 Sebastian Wedeniwski

21. studeni 1999. 1 250 000 000 Xavier Gourdon

10. lipanj 2000. 2 147 483 648 Shigeru Kondo i Xavier Gourdon

16. srpanj 2000. 3 221 225 472 Colin Martin i Xavier Gourdon

2. kolovoz 2000. 6 442 450 944 Shigeru Kondo i Xavier Gourdon

16. kolovoz 2000. 12 884 901 000 Shigeru Kondo i Xavier Gourdon

21. kolovoz 2003. 25 100 000 000 Shigeru Kondo i Xavier Gourdon

18. rujan 2003. 50 100 000 000 Shigeru Kondo i Xavier Gourdon

27. travanj 2007. 100 000 000 000 Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo

6. svibanj 2009. 200 000 000 000 Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo

21. veljaca 2010. 500 000 000 000 Alexander J. Yee

5. srpanj 2010. 1 000 000 000 000 Shigeru Kondo i Alexander J. Yee

22

3.2 Izracunavanje broja e

U ovom poglavlju cemo opisati jedan nacin odredivanja broja e, odnosno njegovih decimala,

bez koristenja racunala. Dakle, prema [4] umjesto e uzmemo vrijednost(

1+1

N

)Nza neki veliki

broj N : sto je veci N, to je bolja aproksimacija.

Na primjer, e5 je priblizno (1 +

1

2000

)2000·5=(

1 +5

10000

)10000Opcenito, ex je priblizno

ex ≈(

1 +x

N

)N(3.1)

za jako veliki N.

Prema binomnom teoremu, razvoj(

1 +x

1000

)1000bi bio jednak

= 1 +1000

1!

( x

1000

)+

1000 · 999

2!

( x

1000

)2+

1000 · 999 · 998

3!

( x

1000

)3+ · · ·

= 1 +x

1!+ 0.999

x2

2!+ 0.999 · 0.998

x3

3!+ · · ·

Uzimajuci sve vecu i vecu vrijednost broja N, priblizavamo se tocnoj formuli

ex = 1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · ·

Posebno, za x = 1 broj e ima zgodan oblik,

e = 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ · · ·

koji smo u radu vec spomenuli, a koji ce nam pomoci izracunati e sa znatnom tocnoscu.

23

Postupak je sljedeci:

1.00000 00000 podijeli s 1

1.00000 00000 podijeli s 2

0.50000 00000 podijeli s 3

0.16666 66667 podijeli s 4

0.04166 66667 podijeli s 5

0.00833 33333 podijeli s 6

0.00138 88889 podijeli s 7

0.00019 84127 podijeli s 8

0.00002 48016 podijeli s 9

0.00000 27557 podijeli s 10

0.00000 02756 podijeli s 11

0.00000 00251 podijeli s 12

0.00000 00021 podijeli s 13

0.00000 00002 sve zbroji prema gore

2.71828 18286

Kao sto vidimo, greska je u samo jednoj decimali i to tek na desetom mjestu.

Spomenimo da racunanje decimala broja e danas moze biti puno jednostavnije i brze ukoliko

se sluzimo racunalom i gotovim programom s ugradenim numerickim algoritmima. Primjerice,

u programskom jeziku Mathematica dovoljno je upisati svega nekoliko naredbi kojima zadamo

koliki broj decimala broja e zelimo da program ispise i to je sve.

Postupak je ovakav:

In[]:= Exp[1]

Out[] = e

In[]:= N[%, 2011]

Out[] =

2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535

475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956

307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841

675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618

386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969

772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679

468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680

331825288693984964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970

198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509

24

961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796

104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902353043699418491463

140934317381436405462531520961836908887070167683964243781405927145635490613031

072085103837505101157477041718986106873969655212671546889570350354021234078498

193343210681701210056278802351930332247450158539047304199577770935036604169973

297250886876966403555707162268447162560798826517871341951246652010305921236677

194325278675398558944896970964097545918569563802363701621120477427228364896134

225164450781824423529486363721417402388934412479635743702637552944483379980161

254922785092577825620926226483262779333865664816277251640191059004916449982893

150566047258027786318641551956532442586982946959308019152987211725563475463964

479101459040905862984967912874068705048958586717479854667757573205681288459205

413340539220001137863009455606881667400169842055804033637953764520304024322566

135278369511778838638744396625322498506549958862342818997077332761717839280349

465014345588970719425863987727547109629537415211151368350627526023264847287039

207643100595841166120545297030236472549296669381151373227536450988890313602057

248176585118063036442812314965507047510254465011727211555194866850800368532281

83152196003735625279449515828418829478761085263981395599006738

Rezultat je ispis broja e s prvih 2011 decimalnih mjesta.

3.3 Eulerova relacija

Slika3.3 Leonhard Euler

Leonhard Euler (Basel, 15. travnja 1707. - Pet-

rograd, 18. rujna 1783.) bio je svicarski matematicar,

fizicar i astronom. Svoju znanstvenu djelatnost razvio

je u Berlinu i Petrogradu, gdje je drzao katedru fizike i

matematike. Njegova aktivnost nije stala ni kada je osli-

jepio, jer je tada diktirao svoje radove. Napisao je oko

900 radova. Napravio je vazna otkrica na polju infinitez-

imalnog racuna i teorije grafova. On je takoder uveo

mnoge moderne matematicke nazive i notacije, posebno

za matematicku analizu, kao sto je pojam matematicke

funkcije. Prvi je uveo oznaku f(x), gdje f prima vrijednost argumenta x. Razvio je teoriju

redova, uveo tzv. Eulerove integrale, rijesio mnoge diferencijalne jednadzbe, a u diferencijalnoj

geometriji dao je prvu formulu zakrivljenosti ploha (Eulerov poucak). Posebno su vazna dva

njegova istrazivanja u hidrodinamici, gdje je razvio teoriju turbina. Proucavao je sirenje zvuka

i svjetlosti.

25

Smatramo ga najvecim matematicarom 18. stoljeca, a i jednim od najvecih matematicara svih

vremena. Pierre-Simon Laplace je napisao izjavu koja objasnjava utjecaj Eulera na matem-

atiku: ”Read Euler, read Euler, he is our teacher in all things.”, sto se s vremenom prevodilo

kao ”Read Euler, read Euler, he is the master of us all.” Euler je takoder uveo notaciju za

trigonometrijske funkcije, slovo e za bazu prirodnog logaritma , grcko slovo Σ za sumu i oznaku

i za imaginarnu jedinicu.

Slika3.4 Broj eiϕ

1748. godine u djelu ”Introductio in analysin infinitorum”, Euler je ujedinio vezu izmedu

trigonometrijskih funkcija i kompleksnih eksponencijalnih funkcija do koje je dosao koristeci

De Moivreovu formulu

(cosϕ+ isinϕ)n = cos(nϕ) + isin(nϕ)

i dobio

eiϕ = cosϕ+ isinϕ. (3.2)

Iako je povijesno tek poslije otkrivena Eulerova formula, preko nje se lako moze doci do De

Moivreove. Ukoliko (3.2) potenciramo sa n imamo

(eiϕ)n = ei(ϕn) = cos(nϕ) + isin(nϕ)

sto je jednako De Moivreovoj formuli.

Najpoznatija Eulerova relacija

eiπ + 1 = 0 (3.3)

je poseban slucaj formule (3.2) kada je ϕ = π. Ta jednakost je najslavnija u svoj matematici jer

objedinjuje brojeve e, π, i, 0 i 1.

Pojasnimo malo Eulerovu relaciju. Prema [4], Eulerova relacija se moze identificirati kao niz

s opcim clanom(

1 +iπ

N

)N, gdje vrijedi da sto je N veci, to je niz blize -1.

26

Slika 3.5 Isjecak i trokut postaju gotovo jednaki.

Geometrijski, ideja je da trokut na desnoj strani Slike 3.5, ciji je vrh na 1 + iπN

, je pribliznog

oblika kruznom isjecku na istoj slici s lijeve strane, kojemu je duljina luka jednaka πN

. N kopija

takvih kruznih isjecaka cini pravi polukrug, kao sto je prikazano na Slici 3.6.

Slika 3.6 Zasto je eiπ = −1?

Na prikazanoj slici vidimo da se Eulerova relacija (3.3) temelji na izrazu(

1 +iπ

N

)Nsto je

predstavljeno s odgovarajucim N trokutima slicnog, ali rastuceg oblika. Kako raste N, tako se

broj takvih trokuta povecava te zajedno cine polukrug, kao sto se vidi na Slici 3.5.

27

4 Neke primjene i zanimljivosti broja e

Primjer 1: Priblizno racunanje faktorijela

Faktorijel je matematicka funkcija kojom se izracunava produkt prirodnih brojeva od 1 do n, i

oznacava se s n! . Na dzepnim racunalima mozemo izracunati najveci faktorijel broja 69, dakle

69!. Vece faktorijele od navedenog racunamo priblizno preko Stirlingove formule (vidi [14])

n! ∼√

2πn(ne

)n.

Primjer 2: Ekonomija (iz [8])

Ukoliko u neku banku ulozimo pocetni kapital A0 uz dekurzivnu godisnju kamatnu stopu p,

vrijednost pocetnog kapitala na kraju n-te godine iznosi

An = A0

(1 +

p

100

)n.

Ako dekurzivnu godisnju kamatnu stopu p obracunavamo k puta godisnje primjenom relativne

kamatne stope, vrijednost pocetnog kapitala nakon n godina iznosi

An,k = A0

(1 +

pk

100

)kn.

Granicni iznos do kojeg pocetni kapital A0 moze uz dekurzivnu godisnju kamatnu stopu pk

za

n godina narasti dobivamo granicnim prijelazom na obracunska razdoblja manja od godine, tj.

kada k →∞. Tada, uz supstituciju α = p100

dobivamo

An,k → A0 limk→∞

(1 +

α

k

)kn= A0e

αn.

Primjerice, tijekom jedne godine uz slozeno dekurzivno godisnje ukamacivanje s godisnjom ka-

matnom stopom 100 (α = 1) iznos od 1000 kuna moze narasti do najvise 1000 · e kuna.

Primjer 3: (vidi [11]) Netko je napisao n pisama, zatvorio ih u kuverte, a zatim na slucajan

nacin ispisao adrese. Odredimo vjerojatnost da je barem na jednoj kuverti napisana tocna

adresa.

Rjesenje: Neka je Ak, k = 1, 2, ..., n dogadaj da je na k -toj kuverti napisana tocna adresa. Trazi

se:

p = P (A1 + A2 + · · ·+ An)

a pri tome se dogadaji A1, A2, ..., Ak ne iskljucuju. Ocigledno je

P (Ak) =1

n

(n− 1)!

(n− 1)!=

(n− 1)!

n!

P (AkAj) = P (Ak) · P (Aj/Ak) =(n− 1)!

n!· 1

n− 1=

(n− 2)!

n!

28

P (AkAjAi) = P (Ak) · P (Aj/Ak) · P (Ai/AkAj) =(n− 1)!

n!· 1

n− 1· 1

n− 2=

(n− 3)!

n!

· · ·

P( n∏k=1

Ak

)=

1

n!

Slijedi da je

p = P( n∑i=1

Ai

)=

(n

1

)(n− 1)!

n!−(n

2

)((n− 2)!

n!

)+

(n

3

)((n− 3)!

n!

)− · · · =

= 1− 1

2!+

1

3!− · · ·+ (−1)n−1

1

n!= 1−

(1− 1

1!+

1

2!− 1

3!+ · · ·

)≈ 1− 1

e

priblizno za velike n.

Primjer 4: Realni broj e1/e je rjesenje Steinerova problema: za koju vrijednost x je x1/x maksi-

mum?

Euler je dokazao da funkcija xxxx···

, gdje visina tornja eksponenata tezi u beskonacnost, ima

limes ako je x izmedu e−e i ovog broja (vidi [13]).

Primjer 5: Realni broj eπ je transcendentan (vidi [13]).

Primjer 6: Nije poznato je li realni broj πe racionalan ili iracionalan (vidi [13]).

Primjer 7: Kako zapamtiti sto vise znamenaka broja e?

Broj e je zanimljiv po tome sto je iracionalan, sadrzi beskonacno mnogo znamenaka koje se

ne ponavljaju. Stoga, da bi ponekad impresionirali sebe ili druge ljude oko sebe, trudimo se

zapamtiti sto je vise znamenaka moguce. Sada cemo navesti nekoliko nacina koji nam u tome

mogu pomoci.

Jedan od nacina kako zapamtiti prvih nekoliko znamenaka broja e jest taj da znamenke ras-

tavimo na odredenim mjestima i kao takve ih zapamtimo. Recimo,

2.7 1828 1828 45 90 45

gdje 2.7 pamtimo kao pocetak broja e, 1828 kao godinu i to dva puta, a 45-90-45 kao kuteve u

jednakokracnom pravokutnom trokutu.

29

Sljedeci nacin se odnosi na pamcenje recenica kod kojih su duljine rijeci znamenke broja e.

Ovdje cemo ih navesti nekoliko (vidi [14]):

1. ”To disrupt a playroom is commonly a practice of children” (10 znamenaka)

2. ”It enables a numskull to memorize a quantity of numerals” (10 znamenaka)

3. ”We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: ’ !’

when first it was found, yes, loudly ’ !’. My students perhaps will compute , use power or

Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant” (40 znamenaka).

30

Literatura

[1] D. BLANUSA, Visa matematika, 1.dio, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1965.

[2] F. M. BRUCKLER, Povijest matematike 1, Sveuciliste J.J. Strossmayera, Osijek, 2007.

[3] F. M. BRUCKLER, Povijest matematike 2, Sveuciliste J.J. Strossmayera, Osijek, 2010.

[4] J. H. CONWAY, R. K. GUY, The Book of Numbers, New York, 1996.

[5] J. DELAC-KLEPAC, Sto je to prirodno u broju e?, Poucak 26(2006),73-75.

[6] H. EVES, Great Moments in Mathematics-Before 1650, The Mathematical Association of

America,1983.

[7] D. JUKIC, R. SCITOVSKI, Matematika 1, Sveuciliste J.J. Strossmayera, Osijek, 2000.

[8] M. JUKIC, Transcendentnost broja e i π, Sveuciliste J.J. Strossmayera, Osijek, 2001.

[9] M. JUKIC, Broj e, Osjecka matematicka skola 1(2001), 79-85.

[10] M. PEZER, J. MATEJAS, Brojevi π, e, i kroz povijest, Matematicko-fizicki list 1/241,

2010/11, 7-14.

[11] S. V. VUKADINOVIC, Zbirka resenih zadataka iz teorije verovatnoce, Privredni pregled,

Beograd, 1990.

[12] E. W. WEISSTEIN, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics,E, Boca Raton, 1999.

[13] D. WELLS, Rjecnik zanimljivih i neobicnih brojeva, Sveucilisna knjizara, Zagreb, 2005.

[14] http://en.wikipedia.org/wiki/E (mathematical constant), 27.6.2011.

[15] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html, 27.6.2011.

31

5 Sazetak

U ovom diplomskom radu smo razmatrali broj e.

Najprije smo ga definirali pomocu niza realnih brojeva danog opcim clanom αk =(

1 +1

k

)k,

potom smo dokazali konvergenciju toga niza. Nakon toga smo broj e definirali pomocu sume

konvergentnog reda e =∞∑k=0

1

k!, te smo dokazali valjanost te definicije.

Sljedece sto smo dokazali bila su dva najbitnija svojstva broja e, a to su iracionalnost i transcen-

dentnost. Prema Propoziciji 2.2, koja kaze da je svaki transcendentan broj ujedno i iracionalan,

mogli smo dokazati samo transcendentnost broja e. No, iracionalnost je takoder njegovo bitno

svojstvo, pa je u radu naveden dokaz i za to svojstvo.

U sljedecem poglavlju smo spomenuli povijesni pregled broja e, od prvih zapazanja prirodnih

logaritama pa sve do danas. Radu smo prilozili Tablicu 1., na kojoj se vidi kako je s vremenom

rastao broj izracunatih decimala broja e, od samih pocetaka kada su se izracuni decimala radili

na papiru do danas kada se to sve lako moze izracunati uz dovoljno dobro opremljeno racunalo.

Nakon toga smo, uz kratak Eulerov zivotopis, opisali njegovu najpoznatiju relaciju eiπ + 1 = 0,

koja je svakako jedna od najslavnijih u svoj matematici, jer objedinjuje brojeve e, π, i, 0 i 1.

U zavrsnom dijelu rada smo naveli neke primjene broja e, te nacine kako sto lakse upamtiti

prvih nekoliko znamenaka broja e.

32

6 Summary

In this thesis we consider the number e.

At first, we define it by means of a sequence of real numbers, given by the general element

αk =(

1 +1

k

)k, and then we prove the convergence of this sequence.

Then we define the number e with the sum of convergent series e =∞∑k=0

1

k!, and we have proved

the validity of this definition.

Next, we proved two most important properties of number e, such as irrationality and tran-

scendence. According to Proposition 2.2, which says that every transcendental number is also

irrational, we could prove only a transcendence of number e. But, the irrationality is also its

essential characteristic, so there is a proof for this property also in this thesis.

In the next section, we mentioned a historical overview of the number e, the first observations

of natural logarithms until today. In this work we attached Table 1, which shows that during

the time, the number of calculated digits of number e is growing, from the very beginning when

they worked decimal calculations on paper until today when all this can easily be calculated

with enough well-equipped computer. After that, we, along with a brief biography of Euler,

described his most famous relation eiπ + 1 = 0, that is certainly one of the most famous in all

mathematics because combining numbers e, π, i, 0 and 1.

In the final part of the work we have indicated some use of number e, and better ways to

memorize the first few digits of number e.

33

7 Zivotopis

Zovem se Mirjana Mikec (rod. Gelencir). Rodena sam 30. sijecnja 1986. u Osijeku. Pohadala

sam i zavrsila Osnovnu skolu Hinka Juhna u Podgoracu, a nakon toga Opcu gimnaziju u Sred-

njoj skoli Isidora Krsnjavoga u Nasicama.

Od 2004. pohadam Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike na Odjelu za matem-

atiku, Sveuciliste J. J. Strossmayerra u Osijeku.

2006. sam se udala, imam dvoje djece i stalno prebivaliste u Antunovcu.

34