Sveuciliste Josipa Jurja StrossmayeraOdjel za matematiku

Ines Culek

Glazba i matematikaDiplomski rad

Osijek, 2015.

Sveuciliste Josipa Jurja StrossmayeraOdjel za matematiku

Ines Culek

Glazba i matematikaDiplomski rad

Mentor:izv. prof. dr. sc. Ivan Matic

Osijek, 2015.

Sadrzaj

1 Uvod 2

2 Povijest 4

2.1 Harmonija svijeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Jednoliko ugadanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Povijest zapisivanja glazbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Harmonija 6

3.1 Pitagorejska ljestvica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Dobro ugodeni glasovir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 ”Z-board” i ”Lira spectrum” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Alikvote 14

4.1 Upoznavanje s orkestrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Alikvote ili visi harmonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3 Fourierova teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Mjera i ritam 19

5.1 Glazba, razlomci i skola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Matematika u glazbi 24

6.1 Simetrija u glazbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.2 Fibonaccijevi brojevi i zlatni rez u glazbenim dijelima . . . . . . . . . . 26

6.3 Math rock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.4 Matematika i instrumenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.5 Glazba Mobiusove trake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Zakljucak 32

8 Sazetak 37

9 Summary 38

10 Zivotopis 39

1

1 Uvod

”Ne bi li se glazba mogla opisati kao matematika osjecaja, a matematika kao glazba

uma?”

James Sylvester

Sto je glazba, a sto matematika?

Kao sto je tesko definirati sto je matematika tesko je definirati i sto je glazba.

Glazba je za mnoge ljude neverbalna forma komunikacije koja dotice ljudski intelekt i

moze izazvati duboke i burne emocije. Glazbom smo okruzeni svakodnevno dok ma-

tematiku puno ljudi smatra enigmom. Ono sto se od matematike uci u skoli dovodi

do vjerovanja da je matematika strogo racionalna i bezdusna znanost. Kako su onda

matematika i glazba povezani?

Slicnosti su u tome sto obje imaju strogo intelektualne, duhovne i kreativne temelje.

Matematiku vezujemo uz brojeve i kalkulatore, iako je matematika zapravo misaona

znanost. Matematika nam pomaze u rjesavanju problema, izgradnji modela, uocavanju

veza i uzoraka. Matematika je nacin razmisljanja, stav koji imamo kad se susretnemo

s necim sto ne razumijemo. Elegancija i ljepota matematike lezi u nacinu jednos-

tavnosti, logicnosti i nacinu razmisljanja i zakljucivanja. Matematicki koncepti i jed-

nadzbe su povezane s dizajnom i oblikom instrumenata, ljestvicama i kompozicijama, te

razlicitim svojstvima zvuka i zvucne produkcije. Jednako vrijedi i za glazbu. Napisati

melodiju, pronaci pravi prstomet za sviranje, nastimavanje instrumenata, pronalazenje

pravog kljuca, ritam, tempo i sl. Nacin razmisljanja prilikom sviranja je jednak nacinu

razmisljanja pri nekom matematickom dokazu ili postupku.

Takoder i matematika i glazba imaju posebne koncepte i simbole. Sto je ton? Sto je

broj? Niti jedan od ova dva pojma ne mozemo definirati, ali ako razumijemo sto su,

definicije nam nisu potrebne.

Glazba se prenosi putem zvuka. Kako bi mogli razumjeti glazbu, moramo znati barem

osnovno o pojmu zvuka i kako ga mi dozivljavamo. Prema fizikalnoj definiciji zvuk je

gibanje valova u elasticnom mediju. Zvuk nastaje titranjem cestica oko ravnoteznog

polozaja, a niz pobudenih cestica stvara zvucni val. Prema opcoj definiciji zvuk su me-

hanicki titraji koje covjek moze cuti, odnosno to su podrazaji koje detektira nas slusni

aparat. To je subjektivni dozivljaj zvuka, koji se u istom smislu koristi i u glazbi.

Covjek je gotovo stalno okruzen zvukovima. No koje cemo tocno zvukove nazvati

glazbom, tesko je definirati. Glazba je definirana kao umjetnost ciji je medij zvuk

koji je organiziran u vremenu, uglavnom po nekom planu. Neki glazbu definiraju kao

kombinaciju zvukova koji su organizirani u tri dimenzije, a to su melodija, ritam i

harmonija. Tada se postavlja pitanje mozemo li rap (Rytham And Poetry) nazvati

glazbom? Glazba je subjektivan dozivljaj pojedinca, pa je najjednostavnije reci da je

glazba sve ono sto pojedinac voli slusati.

2

U radu cemo reci nesto o povijesti matematike i glazbe, u kojoj glavnu ulogu ima Pi-

tagora, zatim cemo reci nesto o harmoniji i njenoj vezi s matematikom. U cetvrtom

cemo poglavlju reci sto su to alikvote i koja je njihova veza s glazbom i matematikom,

te Fourierovim transformacijama. U poglavlju nazvanom mjera i ritam primjetiti cemo

kako nam je potrebno poznavanje matematike kako bi znali citati i razumjeti glazbu

i vidjeti primjer koji nam govori kako to mozemo iskoristiti u nastavi matematike. U

posljednjem cemo poglavlju navesti glazbena djela u kojima mozemo pronaci mate-

maticke uzorke poput simetrije, Fibonaccijevog niza, te zlatnog reza. Na kraju nam

ostaje jos jedino zakljucak i popis literature.

3

2 Povijest

2.1 Harmonija svijeta

Gotovo sve znanosti, pa tako i matematika i glazba, svoje pocetke imaju u staroj

Grckoj. Glazba je bila grana matematike, matematicka disciplina poput geometrije ili

aritmetike jer se bavila odnosima izmedu brojeva, omjerima i proporcijama.

Pitagorina temeljna ideja bila je da su harmonija koju cujemo, harmonija koju vidimo

i svaka druga harmonija zapravo matematicka harmonija. Izucavajuci harmoniju u

glazbi, stari Grci dosli su do zakljucka da je u osnovi svega postojeceg broj. Priroda

je svemir, odnosno red i ljepota, a njegovo je nacelo broj.

Pitagora je roden u 6. stoljecu prije Krista na otoku Samosu. Bio je sin draguljara

Mnesarha. Geometriju je naucio u Egiptu, o omjerima i brojevima je ucio u Fenikiji,

a poduku iz astronomije je dobio u Kaldeji, glavnom sredistu anticke astronomije.

Predaja kaze da je Pitagora cuo konsonantne intervale kvinte, kvarte i oktave dok je

prolazio kraj kovacnice slusajuci zvukove koji su dolazili od udarca cekica u nakovanj.

Eksperimentirajuci sa zategnutim zicama razlicitih duljina, Pitagora je dosao do zakona

malih brojeva. Primjerice, krenemo li od neke zice odredene debljine, onda visina tona

koju ce ona proizvoditi ovisi o njenoj duzini. Sto je zica kraca, to je ton visi. Ako zicu

skratimo na njenu polovinu (odnos 2:1) ton e ce skociti za oktavu. Ako je skratimo

za jednu trecinu (3:2) ton ce skociti za kvintu, a ako ju skratimo za jednu cetvrtinu

(4:3) ton e ce biti visi za kvartu. Ako ”visinu” tona procjenjujemo kao odnos njegovih

frekvencija, kada skracujemo duzinu zice mi joj zapravo povecavamo frekvenciju. Iz

toga izvodimo zakljucak da su Pitagorejci otkrili da je odnos frekvencija izmedu nekog

tona i tona koji je za oktavu visi 1:2, izmedu tona i njegove kvinte odnos je 2:3, itd.

Upravo ovi rezultati su Pitagorin najtrajniji doprinos teoriji glazbe.

Pitagorejsko shvacanje harmonije svijeta razvijalo se dalje, sve do ”De Harmonice

Mundi.” Johannes Kepler (1571.-1630.) njemacki matematicar i astronom najpoznatiji

je po svojim zakonima planetarnog gibanja. Kepler je svoju novu astronomiju opisao

kao ”nebesku fiziku”, te kao dopunu Aristotelovom djelu ”Na nebesima.” Osim toga

u svom djelu iz 1619. bavi se i harmonijom svijeta. U grckom jeziku harmonija znaci

sklad, suzvucje, uskladenost, jedinstvo u mnogostrukosti. . . U svom djelu Kepler se bavi

pravilnostima u trodimenzionalnoj geometriji, principu konsonance u glazbi, Suncevim

sustavom, te trazi red i harmoniju u Suncevom sustavu. Kepler je to nazvao ”pjesmom

koju kozmos pjeva svom gospodaru i sredistu, svom solarnom logosu”.

Keplerova je ideja bila da planeti emitiraju neku vrstu glazbe, gdje je visina tona

proporcionalna brzini kretanja planeta. Sto je planet dalji od Sunca, to se njegova

brzina kretanja smanjuje, time vece staze odgovaraju dubljim tonovima, a one blize

Suncu visim. Nebeski zbor koji je Kepler stvorio sastoji se od tenora (Mars), dva basa

(Satrun i Jupiter), soprana (Merkur) i dva alta (Venera i Zemlja).

4

2.2 Jednoliko ugadanje

Ovako racunanje, pomocu Pitagorinih kvinti i omjera, uz neke manje promjene, zadrzalo

se sve do 17. stoljeca. Naime, bilo je nemoguce mijenjati tonalitet i svaki puta stimeri

su morali dolaziti na scenu. Ovaj nedostatak je ispravio Marin Mersenne (1588. –

1648.) francuski teolog, filozof, matematicar i glazbeni teoreticar koji se ujedno naziva

i ”otac akustike”. Osim sto je u povijesti matematike poznat po brojevima oblika 2p−1,

gdje je p prost broj, Mersenne je naime kao rjesenje za ovaj nedostatak ponudio jedno-

liko temperiranu skalu u kojoj svaki poluton u svakoj oktavi ima odnos frekvencija 12√

2.

Napretkom u glazbenoj teoriji i matematickim modelima za nastimavanje instru-

menta, te sa sve vecom glazbenom produkcijom, matematika i glazba su, barem u

pogledu nastimavanja instrumenta, izgubili onu blisku vezu koju su imali. Glazbenici

su naucili nastimavati svoje instrumente pomocu sluha radije nego uceci matematicke

omjere, te se glazba oslobodila matematicke dominacije.

2.3 Povijest zapisivanja glazbe

Osim u pogledu nastimavanja instrumenata, nastanka ljestvice i slicno, matematika

i glazba slicni su i u pogledu ritma i mjere. Kao i matematicke oznake, koje nisu

imale danasnji oblik i nacin zapisivanja glazbenih djela mijenjao se tokom vremena.

Za zapisivanje glazbe u Mezopotamiji i staroj Grckoj koristila su se slova abecede. U

srednjem vijeku su se za oznacavanje visine,melodije, mjere i tempa, te u manjoj mjeri

ritma koristile posebne oznake zvane neume, a notno je crtovlje imalo 4 crte. U 11.

stoljecu talijanski benedektinac Guido d’Arazzo poceo se sluziti prvim slogom stihova

kako bi zapamtio visinu i imena tonova i upravo to se smatra pocetkom solmizacije.

Solmizacija je tehnika za ucenje glazbenih tonova prilagodenih pjevanju i glasi do, re,

mi, fa, so, la, ti, do (C, D, E, F, G, A, H, C). Tek u 13. stoljecu pojavljuju se crtane

note koje su tada bile u obliku kvadratica ili rombova, dok su se u 18. stoljecu note

pojavile u danasnjem obliku; ovalne i crne u notnom crtovlju koje se sastoji od 5 crta

sa oznakama za dinamiku i tempo.

5

3 Harmonija

Zvuk se sastoji od vertikalne i horizontalne komponente. Horizontalna komponenta je

ritam, melodija i slicno, a vertikalna su akordi, odnosno ono sto se dogada u kratkom

vremenskom razdoblju. Akord cine tri ili vise tonova razlicite visine koji zvuce isto-

dobno ili odvojeno, ako pritom ostavljaju dojam suzvucnosti. Harmonija je izraz koji

u glazbi oznacava dio glazbene teorije koja se bavi proucavanjem akorda.

Pojam intervala i glazbene ljestvice od iznimne su vaznosti u teoriji glazbe. Zamislimo

si segment glasovirskih tipki koji sadrzi dvije grupe (jedna od dvije, a druga od tri) crne

tipke i 8 bijelih tipaka, te se periodicno ponavlja. Niz od 8 bijelih tipaka cini interval

koji se naziva oktava, dok je niz od 5 bijelih tipaka je kvinta. Niz od cetiri bijele tipke

cini kvartu. Ranije smo rekli da su neki intervali konsonantni, a drugi disonantni. Sto

to tocno znaci?

Osnovni pojmovi vezani uz harmoniju su konsonanca i disonanca. Laicki i jednostavno

receno konsonantni tonovi su oni koji su nam ugodni uhu, a disonantni oni koji stvaraju

napetost kod slusaca i traze neko rjesenje. Za dva tona koja su konsonantna, koja nam

zvuce ugodno, kazemo da su u harmoniji, da su harmonicni. Na pitanje kada su dva

tona konsonantna, a kada disonantna odgovor nam daje Pitagorin zakon malih brojeva.

Pitagorin zakon malih brojeva 1. Dva tona su konsonantna ako im frekvencije

stoje u odnosu malih prirodnih brojeva.

Osnovni i najjednostavniji model za zvuk je graf funkcije sinus, kojem je x os

vrijeme, a y os tlak. Vrijedi formula:

P = A · sin(2πft)

gdje je P tlak u decibelima,A je amplituda u decibelima, t je vrijeme u sekundama,f

je frekvencija u Hercima i T je period, T = 1f. Pogledajmo konsonatnost i disonatnost

Slika 1: Zvucni val prikazan grafom funkcije sinus kojemu je amplituda 60 dB, a frek-vencija 100 Hz

matematicki. Grafom funkcije sinus pokazana su dva intervala. Prva slika (Slika 2 )

pokazuje nam graf dva konsonantna tona, a druga Slika 3 graf dva disonantna tona.

6

Slika 2: Konsonantni tonovi (C i G)

Slika 3: Disonantni tonovi (C i F])

Na prvoj slici mozemo uociti da se dio grafa ponavlja, odnosno periodican je, dok

na drugoj slici vidimo da nema nikakvih pravilnosti. To bi takoder moglo biti jedno

vizualno i matematicko objasnjenje zasto nam neki tonovi zajedno zvuce ugodno, a

neki ne. Najbolji primjer uhu ugodnih intervala su terca i kvinta, dok je jedan od

najneugodnijih sekunda ili septima.

3.1 Pitagorejska ljestvica

Slika 4: Glasovirske tipke s oznacenim tonovima i polutonovima

Ljestvica je niz tonova razvrstanih u oktave koji se sastoji od 12 polutonova. (Slika

4 ) Ako izmedu dva tona imamo jos jedan ton (crnu tipku) radi se o cijelom tonu, dok

na primjer izmedu E i F nema tona, odnosno tipke, pa se radi o polutonu.

Postoji puno razlicitih ljestvica, no najpoznatije dijatonske (one koje imaju 12 polu-

tonova) su durska (jonska) i molska (eolska). Obje ljestvice mozemo pronaci jos kod

starih Grka.

U 13. stoljecu francuska je akademija Notre Dame proglasila kako se do tocne ljestvice

moze doci samo koristenjem Pitagorinih savrsenih kvinti. Naime, njihov je stalni omjer

”bozanski“, 3 : 2 gdje 3 predstavlja Sveto Trojstvo, a 2 stoji za razne dualizme (neba

i zemlje, dobra i zla, duha i tijela ).

Zvuk nastaje titranjem nekog tijela i siri se kao val. Zvucni val ima svoja bitna svojstva.

Jedno od njih je i frekvencija. Frekvencija f je broj punih titraja koje tocka napravi u

jedinici vremena. Dogovorno, uzeti cemo da je frekvencija tona C jedinicna. Tada je

velicina intervala jednaka omjeru njihovih frekvencija. Vrijedi sljedece: C-osnovni ton

7

ili tonika, F-kvarta ili subdominanta, G-kvinta ili dominanta i c oktava.

C D E F G A H C1 9

88164

43

32

2716

243128

2

Pitagorejska ljestvica, kao i svi tonovi kromatske ljestvice mogu se dobiti jednostavnim

matematickim postupkom koji koristi iskljucivo dvije cinjenice: frekvencije osnovnog

tona i tona koji je za oktavu visi odnose se 1:2. Odnosno, ako osnovni ton ima frek-

venciju f, tada kvinta gore ima frekvenciju 32

f, a oktava gore frekvenciju 2f. Ako

frekvenciju tona C uzmemo kao osnovu, tj. kao 1, dobivamo redom sljedece frekvencije

C ] D [ E F ] G ] A B H c11

21782048

98

3227

8164

43

729512

32

65614096

2716

169

243128

21

Tablica dobivenih omjera za Pitagorino ugadanje

Polutonovi ovako dobivene skale nisu jednaki. Ako taj postupak nastavimo do-

biti cemo sve medutonove, da bi na kraju ponovno dobili C. Krenemo li od tona C i

pomicemo se za kvintu gore, zbog cuvanja raspodjele cijelih tonova, odnosno poluto-

nova unutar ljestvice, redom cemo morati raditi ispravke i to tako da cemo dodavati

povisilicu na sedmi ton nove ljestvice. Taj postupak nas vraca na pocetni ton i najljepse

se moze pokazati pomocu kvintnog kruga.(Slika 5 ) Od svakog od tih tonova mozemo

graditi ljestvicu.

Slika 5: Kvintni i kvartni krug

Pitagorejska ljestvica je matematicki tocna u odnosu na pocetni ton od kojega smo

krenuli, ali ako pokusamo promijeniti tonalitet, pokazuje svoje nedostatke.

Zamislite da smo oktavu podijelili jednoliko naN jedinica i tako dobili tonove 1, 2, 3, . . . , N−2, N − 1. Ako je n < N i ako su n i N relativno prosti, onda je 0, 1, 2, . . . , N − 1 =

0 · n, 1 · n, 2 · n, . . . , (N − 1) mod n.

To znaci da n- ugadanje: 0→ n→ 2n→ · · · → (N−2) ·n→ (N−1)n daje sve tonove

8

nase jednolike N -ljestvice s polutonovima duljine 1. Pitagorino ugadanje (n + x) –

ugadanje uz (Nx < 1) izgleda ovako:

0→ (n+ x)→ (2n+ 2x)→ · · · → [(N − 2)n+ (N − 2)x]→ [(N − 1)n+ (N − 1)x].

Ono daje N tonova koji se ne poklapaju sa jednolikima i koji cine polutonove razlicitih

duljina.

U teznji za dobrim ugadanjem i neogranicenim transpozicijama, dobro ugodene skale

sve su se vise priblizavale jednolikoj skali koja je u 20. stoljecu nadvladala sve druge.

Najkoristenije bile su”artimeticka“ i

”geometrijska“ skala koju je pocetkom 16. stoljeca

predlagao Henricus Grammateus. Nazive su dobile zbog podjele cijelog tona, ovisno o

tome gledamo li aritmeticku ili geometrijsku sredinu.

Artimeticka skala izrazena je u sljedecem primjeru u centima. Cent je logaritamska

jedinica mjere koja se koristi za intervale. Primjerice kod jednolikog ugadanja poluton

tj. interval izmedu C i C] iznosi 100.

C ] D [ E F ] G ] A B H c0 99 204 303 408 498 597 702 801 906 1005 1110 1200

Geometrijska skala

C ] D [ E F ] G ] A B H c0 102 204 306 408 498 600 702 804 906 1008 1110 1200

Razliku vidimo samo u polutonovima. Odnosno ako si zamislimo klavir, u crnim

tipkama.

3.2 Dobro ugodeni glasovir

Ovaj nedostatak su glazbenici u 17. stoljecu ispravljali tako da su svaki put kada

bi trebali svirati u drugom tonalitetu stimeri dolazili na scenu i ponovno nastimavali

instrumente. Matematicko objasnjenje za ovaj problem je da ako krenemo od tona

C i napravimo puni krug u kvintnom krugu i ponovno stignemo do tona C, to nije

sasvim tocan C koji je za sedam oktava visi od polaznog. Taj ton C trebao bi imati

frekvenciju (27 = 128) puta vecu od polazne, a ako idemo 12 kvintnih skokova dobijemo

(32)12 = 129.746. Rjesenje za taj problem dao je Marin Mersenne koji je u svojoj knjizi

Harmonie Universelle predlozio jednako – ugodenu skalu i kompozicije su se mogle bez

problema transponirati iz jednog tonaliteta u drugi. Cijena njegove jenoliko ugodene

skale bila je da kvinte vise nisu matematicki savrsene, ali odstupanja su bila vrlo mala.

Johann Sebastian Bach ( 1685. – 1750.) je bio odusevljen time te je napisao ”Dobro

ugodeni glasovir” (” Wohltemperiertes Klavier”) sa po 24 preludija i fuga, svaka u

razlicitim tonalitetu. Giacomo Gorzanis virtuoz na lutnji, 1567. napisao je zbirku od

24 plesne suite koja za razliku od Bachovog ”Dobro ugodeni glasovir” uistinu pokazuje

9

prave mogucnosti transponiranja. Roselli se 1588. zalagao za univerzalno ugadanje svih

instrumenata koje bi omogucilo slobodno transponiranje, ali i kombiniranje razlicitih

glazbala i glasova u zajednickim izvedbama. To je do kraja prihvaceno tek u nasem

stoljecu.

Zasto oktava ima bas 12 polutonova? Pitagorini tocni intervali 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6

prirodno vode takvoj podjeli, no mogu dovesti i do sedamnaesttonske raspodjele.

Odabrati cemo prvi ton i njegovu cemo frekvenciju promatrati kao jedinicnu. Ljudski

glas se najcesce krece u rasponu od dvije oktave. To znaci da frekvencije oktava u

skladu s Pitagorom izgledaju ovako

2−3 ← 2−2 ← 2−1 ← 1→ 2→ 22 → 23 .

Kada njima, u skladu s Pitagorom, dodamo kvinte i njima odgovarajuce oktave, dola-

zimo do beskonacno mnogo tonova unutar oktave koji su zadani omjerima oblika

12m· (3

2)n m,n ∈ Z = 0,±1,±2, . . .

Nijedan od tih tonova se ne poklapa s osnovnim tonom vec ovaj postupak stalno gene-

rira nove tonove. Naravno mozemo stati pri n-tom tonu ako se on, vracen u osnovnu

oktavu, priblizno poklapa s osnovnim tonom (buduci da je tocno poklapanje nemoguce).

Npr. Za 7. i 12. ton imamo sljedece aproksimacije:

124· (3

2)7 = 1, 068 ≈ 1 i 1

27· (3

2)12 = 1, 041 ≈ 1.

Znacenje prve aproksimacije je da bi Pitagorin ton c poistovjetili sa C, dok druga,

bolja, se svodi na poistovjecivanje tonova Es i D. U jednolikom temperiranju prva

aproksimacija znaci da smo kvintu u jednolikoj skali sa 7 tonova aproksimirali cetvrtim

tonom, jer vrijedi 124· (3

2)7 ≈ 1 tj. 3

2= 2

47 . Druga aproksimacija znaci da smo kvintu, u

jednolikoj skali sa 12 polutonova, aproksimirali sa 7. polutonom. Postavlja se pitanje

je li u jednolikoj skali s n tonova kvintu moguce jos bolje aproksimirati m-tim tonom

za neki drugi broj jednolikih tonova n i neki drugi redni broj kvinte m. Problem se

svodi na izracunavanje mn

koji sto bolje aproksimira x koji je zadan s

32

= 2x tj. x = log232

=log ( 3

2)

log 2.

Buduci da je broj x ovako zadan iracionalan, moguce ga je aproksimirati razlomkom,

a najbolji nacin je pomocu veriznih razlomaka.

Verizni razlomak je ”razlomak” oblika:

q0 +1

q1 + 1q2+

1

q3+1

q4+...

10

gdje su q0, q1, q2, . . . prirodni brojevi koje nazivamo kvocijentima tog veriznog razlomka

koji se jednostavnije zapisuje

[q0, q1, q2, . . . ].

Ako realni broj x zapisemo u obliku veriznog razlomka (konacnog ili beskonacnog),

tada su pocetni komadi tog veriznog razlomka zapravo razlomci:

x0 = [q0] = q0, x1 = [q0, q1] =m1

n1

, x2 = [q0, q1, q2] =m2

n2

xk = [q0, q1, q2, . . . , qk] =mk

nk.

Ovi razlomci su najbolje aproksimacije broja x danim nazivnikom. Neki razlomakmn

bolje aproksimira broj x od xk = mk

nksamo ako je n > nk.

Kako bi pronasli rjesenje za nas problem optimalnog broja polutonova u oktavi, sveli

smo nas problem na problem pronalazenja razlomka koji najbolje aproksimira x =log ( 3

2)

log 2. Taj broj cemo iskazati u obliku veriznog razlomka:

log (32)

log 2= 0 +

1log 2

log (3/2)

= 0 +1

log (3/2)(2/3)2log 3/2

= 0 +1

log (3/2)+log((2/3)·2)log 3/2

= 0 + 1

1+log (4/3)log (3/2)

= 0 + 11+ 1

log (3/2)log (4/3)

= · · · = 0 + 11+ 1

1+ 1log (4/3)log (9/8)

.

Ponavljajuci postupak dobivamo:

x =log (3/2)

2= [0, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5, . . . ].

Aproksimacije su sljedece:

x0 =0

1x1 =

1

1x2 =

1

2x3 =

3

5x4 =

7

12x5 =

24

41. . .

Optimalno rjesenje daje nam aproksimacija u kojoj je 12 polutonova sa 7. tonom kao

kvintom, jer je 2712 = 1.498 omjer kojem odgovara 700 centa koji je samo 2 centa

udaljen od savrsene kvinte. Ako zelimo dobiti korektne kvarte, matematicki cemo

dobiti racunanjem verizne aproksimacije broja :

x =log 4

3

log 2= [0, 2, 2, 2, . . . ],

koje redom iznose:0

1

1

2

2

5

5

12.

Primjetimo kako je najbolja aproksimacija 512

s 12 polutonova i petim tonom kao kvar-

tom. No krenemo li racunati korektne terce, najbolja podjela oktave je na 19 poluto-

nova. U takvoj bi skali izvrsna mala terca bila peti ton, velika terca sesti ton i jedva

11

podnosljiva kvinta (695 cent) jedanaesti ton. Kako najvise konsonantnosti ipak sadrzi

12-tonska skala, oktava je podijeljena na 12 polutonova i glasovir je dobio svoj sadasnji

izgled.

3.3 ”Z-board” i ”Lira spectrum”

Hrvatski skladatelj, aranzer, gitarist i inovator Zoran Scekic, ujedno i koautor knjige

Matematika i muzika u suradnji sa Zvonimirom Sikicem uspio je rijesiti tisucljetni pro-

blem u glazbi tako sto je na temelju Pitagorinih nacela pronasao revolucionaran nacin

nastimavanja instrumenata. Scekic je postavio novi teorijski sustav geometrijskih ljes-

tvica koji mijenja nacin ugadanja insturumenta kakvog do sada poznajemo. Primjenom

matematickih zakona na podrucju glazbe uspio je preciznu harmoniju prirodnih inter-

vala uciniti dostupnu glazbenoj praksi.

Prvi instument je mikrotonalna klavijatura nazvana ”Z-board” koji je osmislio i izra-

dio u San Diegu 2009. godine. nakon kojeg je uslijedio drugi izum ”Lira Spectrum”,

aktivna instalacija koja reproducira glazbu i crteze. Trenutno radi na medunarodnom

projektu ”Panmonizam” u cijem je fokusu mikrotonalna glazba. Jednostavnim i pris-

tupacnim nacinom, kroz ovaj projekt, otkrivaju se zajednicki korijeni znanosti i umjet-

nosti, te kroz discipline kao sto su matematika, glazba, animacija i mehanika opisuje

se jedan jedini fenomen: odnos dviju ili vise frekvencija.

Taj fenomen u razlicitim disciplinama ima razlicite nazive. U glazbi to su akord i ri-

tam, u matematici slozeno harmonijsko gibanje ili Lissajousova krivulja, u slikarstvu

odnos boja. Isti taj fenomen cini osnovu mnogih drugih tehnologija i disciplina poput

telekomunikacija, strojarstvo, arhitektura, medicina. . . .

Slika 6: Z-board

U 19. stoljecu francuski fizicar i matematicar Jules Antoine Lissajous (1822.-1880.)

utemeljio je opticku metodu mjerenja razlike frekvencije dvaju vibrirajucih tijela. Zraka

svjetlosti koja se odbija od zrcala koje je pricvrceno na vibrirajucu vilicu za ugadanje i

12

Slika 7: Harmonograf Lira Spectrum

koja se zatim odbija od drugog zrcala koje je pricvrsceno za okomitu vibrirajucu vilicu

za ugadanje (obicno druge visine, stvarajuci tako interval) na zidu stvara vrlo pra-

vilne i kompleksne geometrijske krivulje. Te se krivulje nazivaju Lissajousove krivulje.

Ovo je otkrice dovelo do pojave harmonografa. Harmonograf je mehanicko pomagalo

koje koristi njihala i crta geometrijske krivulje, odnosno najcesce Lissajousove krivulje.

Sluzbeni izumitelj harmonografa je Hugh Blackburn (1823. - 1909.), skotski mate-

maticar, no samom izumu je pridonijelo vise osoba. ”Lira Spectrum” je harmonograf

koji je izumio Zoran Scekic. Dok crta, ona takoder proizvodi glazbu u intonaciji i ritmu

koji su analogni slici.

Slika 8: Slike dobivene harmonografom

13

4 Alikvote

4.1 Upoznavanje s orkestrom

Orkestar je instrumentalni glazbeni ansambl koji je podijeljen u cetiri sekcije: gudaci,

drveni puhacki instrumenti, limeni puhacki instrumenti i udaraljke. Vodi ih najcesce

dirigent, no te se kroz povijest mijenjalo. Takoder postoje i razlicite vrste orkestara,

od nesto manjeg klasicnog do simfonijskog, odnosno filharmonijskog orkestra. Osim

navedenih sekcija, orkestrima se mogu pridruziti pjevaci, zbor, klaviristi, te razni so-

listi.

Orkestar je u pocetku bio luksuz za aristokrate, no vremenom se prosirivao. Simfo-

nija je svoj uspon dozivjela u 19. stoljecu. Glazbenici su najcesce morali prikupljati

glazbenike za orkestar. Nazalost, krajem 20. stoljeca, razvojem popularne glazbe,

popularnost klasicne glazbe i orkestara opada. Novi trend je ponovna popularizacija

klasicne glazbe i klasicnih instrumenata kroz njihovo ukljucivanje u danasnju popu-

larnu i modernu glazbu.

Gudacka sekcija je najveca u orkestru. Gudacki instrumenti napravljeni su od drveta,

tijela su im suplja kako bi zvuk mogao vibrirati unutar njih i sviraju se sa gudalom

napravljenim od dlake iz konjskog repa, a mogu se svirati i prstima. Instrumenti koji

cine gudacku sekciju su: violina, viola, violoncelo i bas.

Drvani i limeni puhacki instrumenti sviraju se na isti nacin, tako da svirac puse zrak

u njih. Razlika je sto su napravljeni od razlicitih materijala. Sekciju drvenih puhackih

instrumenata cine flauta, oboa, klarineti fagot, dok sekciju limenih puhackih instrume-

nata cine: truba, rog, trombon i tuba.

Sekciju udaraljki cine bubnjevi raznih vrsta, gong, timpani, ksilofon, te je cak i glasovir

smjesten medu udaraljke. Ton na glasoviru dobijemo pritiskom tipke koja podize mali

cekic, koji zatim udara od zicu.

4.2 Alikvote ili visi harmonici

Kao sto je zraka svijetlosti kompleksna i sastavljena od duginih boja, tako su i zvuci

koje cujemo kompleksni, odnosno sastavljeni od puno cistih zvukova. Nas sluh raz-

dvaja kompleksan zvucni val na spektar jednostavnih valova. Boja ljudskog glasa je

upravo zato specificna. Kada prepoznajemo neciji glas, mi zapravo uspijevamo detek-

tirati specificni, osobni spektogram.

Na isti nacin kada netko odsvira odredeni ton na violini, flauti ili klaviru mi cujemo

da su to tonovi iste visine, ali potpuno razlicite boje. Upravo za boju tona odgovorni

su tzv. alikvotni tonovi ili visi harmonici koji se cuju pored osnovnog tona i po tome

se zvuk oboe razlikuje od zvuka violine ili zvuk klavira od zvuka gitare.

Frekvencija titranja jednog vala je 131 Hz, tu vibraciju mi cujemo kao ton c. Frekven-

cija dvostrukog vala je 262 Hz i mi tu frekvenciju cujemo kao c1. Frekvencija trostrukog

14

vala dala bi ton g1, cetverostruki bi proizveo c2, peterostruki e2, a sesterostruki g2.

Ako ovih sest tonova odsviramo istovremeno dobiti cemo akord koji sadrzi trozvuk c +

e + g koji je temelj zapadne harmonije. Osim temeljne frekvencije za koju vidimo da

odreduje visinu tona, akordi uvijek sadrze i vise frekvencije u sve slabijem intenzitetu.

To su alikvotni tonovi koji daju cijelu skalu tonova i zvuku daju puninu. Kada bi uzeli

jednostavni sinusni ton, to bi zvucalo prazno i umjetno. Takav ton moze se proizvesti

elektronicki, ali nijedno glazbalo ne proizvodi takve tonove. (Slika 11 )

Ako je osnovni ton frekvencije, alikvotni tonovi koje stvaraju instrumenti je spektar

tonova manje jacine cije su frekvencije cjelobrojni visekratnici od f: 2f, 3f, 4f,. . . Boja

tona odredenog instrumenta ovisi o raspodjeli jacine tih alikvota. I ovo objasnjava

Pitagorin zakon malih brojeva:

Pitagorin zakon malih brojeva 2. Tonovi koji su u harmoniji sa osnovnim tonom

su upravo tonovi cije su frekvencije zastupljene u spektru alikvotnih tonova.

Poklapanja alikvotnih tonova dobro objasnjavaju Pitagorin zakon malih brojeva,

no ne vrijede za suglasnost jednostavnih tonova, odnosno onih koji uopce nemaju visih

harmonika, a kako nemaju zajednickih frekvencija, jednostavni bi tonovi trebali biti

disonantni.

Objasnjenje Pitagorinog zakona malih brojeva ponudili su Galileo (1564. – 1642.) i

njemacki fizicar Herman von Helmholtz (1821. – 1894.), tek je poslije istrazivanja

Plompa i Levelta (1965.) potpuno razjasnjena matematicka i fizicka pozadina koja

stoji iza fenomena konsonantnosti. Helmholtz je objasnjenje konsonantnosti ponudio

u svojoj knjizi On the sensation of tones. Rekao je kako je disonanca posljedica udara

sto ih stvaraju bliske frekvencije alikvota. Konsonantnost je definirao kao odsustvo tih

udara. Rezultati Plompa i Leveleta 1965. su potvrdili da ako cujemo jednostavne zvu-

kove, onda se zvuci bliskih frekvencija dozivljavaju kao disonantni, a klasicni intervali

kao terca, kvarta ili kvinta kao konsonantni.

4.3 Fourierova teorija

Postavlja se pitanje kako zica moze vibrirati na vise razlicitih frekvencija u isto vrijeme?

Glazbu u fizikalnom smislu cine zvukovi koji nastaju titranjem nekog tijela, odnosno

izvora zvuka. Ti titraji tada stvaraju zvucne valove koji se krecu kroz zrak (vodu, metal

ili neki drugi medij) i dolaze do naseg uha. Glavna svojstva zvucnog vala su amplituda,

intenzitet i frekvencija. Nase usi vibriraju slicno izvoru zvuka, te nam omogucavaju

da cujemo razlicite zvukove. Ljudsko uho moze razlikovati zvukove po boji, glasnoci

i visini. Takoder, postoji i raspon intenziteta koje ljudsko uho uopce cuje, a krece se

od praga cujnosti (0 dB) do praga bola odnosno (130 dB). Frekvencija je pojam koji

15

se veze uz periodicne zvucne valove, kao sto su tonovi. Ako je p periodicna funkcija

temeljnog perioda T , tada je 1T

frekvencija zvucnog vala.

Svojstva zvucnog vala utjece na to kako mi dozivljavamo zvuk. Periodicne zvucne

valove definiramo kao ton, dok neperiodicne cemo dozivjeti kao buku. Intenzitet vala

(amplituda) dozivjeti cemo kao glasnocu, visinu predstavlja frekvencija vala, a na boju

utjece oblik vala. Rastav zvucnog vala u Fourierov red zove se jos i harmonijska analiza.

Joseph Fourier (1768. - 1830.) francuski je matematicar i fizicar po kojemu su Fourierov

red i Fourierove transformacije dobile ime. Najvazniji uvjet pri razvoju funkcije u

Fourierov red je da je ona periodicna, stoga ako je u pitanju neperiodicna funkcija,

moramo ju napraviti periodicnom. Neka je p : [0,∞〉 → R. Rekli smo kako periodicne

zvucne valove dozivljavamo kao tonove. Nasa funkcija p predstavlja jedan zvucni val.

Zelimo vidjeti kako oblik vala djeuje na nas dozivljaj boje tona. Ovakvu periodicnu

funkcija, temeljnog perioda T mozemo zapisati u obliku sume trigonometrijskog reda

p(t) = p0 +∞∑n=1

An · sin(

2nπt

T+ φn

),

gdje se koeficijenti Fourierovog reda p0, An, φn racunaju iz izraza:

p0 =1

T

∫ T

0

p(t)dt, An =√a2n + b2n, sinφn =

an√a2n + b2n

, cosφn =bn√a2n + b2n

,

gdje su

an =2

T

∫ T

0

p(t) cos

(2nπt

T

)dt, bn =

2

T

∫ T

0

p(t) sin

(2nπt

T

)dt,

za proizvoljni n ∈ N, te koeficijenti An monotono padaju prema 0 kada n tezi u

beskonacno.

Kako nas zanimaju glavne ideje, necemo ulaziti u detalje i diskutirati o razlicitim

vrstama konvergencije ovog reda.

Prvi clan p1(t) = A1 · sin(2πtT

+ φ1

)pripadnog Fourierovog reda zovemo osnovni ili

fundamentalni ton, dok se ostali clanovi nazivaju alikvotni tonovi ili visi harmonici.

Funkcija p1 je periodicna s temeljnim periodom T , njena je frekvencija 1T

, sto je zapravo

jednako frekvenciji pocetnog zvucnog vala. Kako su alikvotni tonovi spektar tonova

cije su frekvencije cjelobrojni visekratnici frekvencije osnovnog tona, tada frekvencije

visih harmonika redom iznose: 2T, 2T, 3T, 4T, . . . . Neki alikvotni tonovi se ne moraju ni

pojaviti u Fourierovom redu iz razloga sto neki koeficijenti An mogu biti jednaki 0.

Osnovna frekvencija tona A je jednaka svim instrumentima, no taj isti ton A zvucati

ce drugacije na tubi, nego na primjerice oboi. Mozemo zakljuciti kako na dozivljaj boje

tona utjece distribucija alikvotnih tonova ili matematicki velicina koeficijenata An i φn,

za n ≥ 2.

Pomocu matematike i Fourierove analize glazbu mozemo vidjeti i tako prepoznati.

16

Osnovna ideja je gledati na val kao na funkciju frekvencije, a ne funkciju vremena. Ton

osim osnovnog tona ima i alikvotne tonove, no nas ne zanimaju svi tonovi, vec nas

zanimaju samo oni odredene frekvencije. Recimo da zelimo smanjiti niske i pojacati

visoke frekvencije. Mozemo to uciniti pomocu osnovnog ekvilizatora koji zapravo koristi

Fourierove transformacije. Tesko je iscitati iz samog spektra tonova o kojoj se melodiji

radi. Glazba nema samo jedan ton, vec se cijeli spektar tonova mijenja kroz vrijeme.

Fourierovu analizu mozemo primjeniti na jedan mali dio zvuka i prikazati ga kao graf.

Na Slici 9 vidimo pocetak Beethovenove 5. simfonije. Takoder, jako dobro se vide visi

harmonici, na primjer oko 100 Hz mozemo vidjeti osnovni ton i isti taj ton na 200

Hz, 300 Hz,. . . Vidimo kako se jedan visi ton ponavlja par puta, onda imamo ravnu

liniju nizih tonova, tocno kako i zvuci pocetak najpoznatije Beethovenove simfonije. U

ovakvom prikazu ga mozemo prepoznati, no iz cijelog spektra ne bi uspjeli iscitati kako

se radi o ovom dijelu.

Slika 9: Ludwig van Beethoven: Simfonija broj 5 u c-molu

Na primjer, na Slici 10 mozemo vidjeti kako izgleda cijeli spektar tonova na primjeru

John Williamsovog Imperial Marcha. Vecini je ova kompozicija poznatija kao tema pri

pojavljivanju Darth Vadera iz sage Star Wars, no iako ju vecina zna, na slici cijelog

spektra, tesko ju je prepoznati, zapravo nemoguce.

Ne mozemo uvijek na ovaj nacin prepoznati o kojoj se pjesmi/skladbi radi. Na Slici

11 vidimo nejasne oblike i ne mozemo prepoznati nikakav uzorak. Mogli bi reci da ovo

nije glazba, no radi se o elektronickoj glazbi u kojoj ova analiza ne vrijedi jer su veliki

skokovi i osim toga ne postoje tako jasni alikvotni tonovi, posto su alikvotni tonovi

svojstveni klasicnim instrumentima, te ljudskom glasu.

17

Slika 10: John Williams: Imperial March, poznatija kao tema Darth Vadera iz sageStar Wars

Slika 11: Skrillex: Bangarang

18

5 Mjera i ritam

”Najnuznija, najteza i glavna stvar u glazbi je vrijeme.”

Wolfgang Amadeus Mozart

Slika 12: Mala glazbena recenica

Na Slici 12 vidimo jednu glazbenu recenicu koja pocinje s kljucem i mjerom. Vec na

sam pogled mozemo reci da je za razumijevanje glazbe potrebna matematika, osobito

razlomci. Cijela nota ima dvije polovinke, 4 cetvrtinke, 8 osminki. Jedna polovinka

ima 2 cetvrtinke, 4 osminke, itd. Mjera nas neobicno podsjeca na razlomak, sto u neku

ruku i jest. Mjera je broj koji nam govori koliko doba ima u svakom taktu (gornji broj)

i koja nota je jedinica mjere (donji broj). Kad bi primjerice uzeli sesnaistinke umjesto

osminki, imali bi vise nota za odsvirati, zbog cega bi melodija zvucala brze. U svakoj

mjeri postoje i dobe koje se naglasavaju. Koje note i koju mjeru koristimo utjece na

ritam. Ritam je nizanje tonova po trajanju (ne smije ga se mijesati s tempom, tempo

odreduje skladatelj na pocetku skladbe i on vise pridonosi ugodaju.

Vecina ljudi nije svjesna da je matematicka pozadina notnog teksta u sustini graf funk-

cije u prilagodenom polulogaritamskom koordinatnom sustavu gdje os x predstavlja

vrijeme, a os y logaritam frekvencije tona. Polulogaritamski prikaz se cesto koristi kad

su u pitanju frekvencije. Pri tome su sva mjesta na kojima funkcija ima konstantnu

vrijednost oznacena pomocu notnih vrijednosti.

Rekli smo ranije da cemo na razliku u visini dva tona gledati kao odnos njihovih frek-

vencija. Primjerice ton A2 ima frekvenciju 440Hz, ton A3 koji je za oktavu nizi 220Hz,

a ton A2 koji je jos nizi 110Hz. Ako ta tri tona postavimo u koordinatni sustav kojemu

je os x vrijeme, a os y frekvencija, imali bi razlicite razmake izmedu tonova A2 i A3,

tj. A3 i A4. Prema tome, prirodno je da u grafickom prikazu glazbe u nekoj vrsti

koordinatnog sustava biljezimo logaritme frekvencija u ovisnosti o vremenu. Uzmimo

redom f1 : f2 = f3 : f4. U tom slucaju vrijedi da je log 1– log 2 = log 3– log 4.

5.1 Glazba, razlomci i skola

U 5. razredu osnovne skole ucenici se upoznaju s razlomcima. Ucenici ponekad

znaju imati problema sa samim pojmom razlomka, zatim racunanju s razlomcima,

usporedivanjem razlomaka i slicno. Upravo iz tog razloga, ucenicima se ovo gradivo

nastoji pribliziti raznim metodama i primjerima iz svakodnevnog zivota, primjerice

19

Slika 13: Prikaz glazbenih kljuceva u polulogaritamskom sustavu. Horizontalne linijeudaljene su za malu ili veliku tercu. Ravne horizontalne linje prikazuju frekvencijupojedinih tonova. Mjera na horizontalnoj osi vremena govori nam kakav je tempo.

dijeljenjem pizze, cokolade, torte iil slicno. Jedan od takvih primjera i metoda je kom-

binacija glazbe i matematike.

Potrebno je ucenike prvo upoznati s notama i njihovim izgledom krenuvsi od cijele note,

zatim polovinka, cetvrtinka, osminka, te sesnaestinka. Nakon toga ucenike upoznajemo

sa 4/4 mjerom, sto znaci da u svakom taktu mora biti 4 dobe. U toj mjeri cijela nota

je jedan udarac i iznosi 4 dobe koje mozemo naglas brojati (1 2 3 4). Polovinka vrijedi

dvije dobe, iz cega slijedi da moramo imati dvije polovinke kako bi dobili 4 dobe i opet

mozemo brojati glasno, prvi udarac (1 2), drugi udarac (3 4). Na kraju u toj mjeri 1

dobu vrijedi cetvrtinka, svaki udarac je jedna doba.

Za uvjezbavanje ovih pravila razred mozemo podijeliti u tri skupine, jedna broji ci-

jele note, druga polovinke i treca cetvrtinke, pritom imajuci na umu dobe i njihovo

brojanje. Grupe se mogu izmjenjivati kako bi svi uspjeli brojati sve dobe. Takoder

ucenici mogu raditi u paru i napisati dva-tri takta vlastitih kombinacija nota, pritom

vodeci racuna da uvijek imaju 4 dobe u taktu. Nakon toga sve radove mozemo spojiti

u cjelinu i slicno kao u prethodnom zadatku ih zajedno izvesti.

Vazno je da ucenici shvate kako za note vrijede ista pravila kao i za razlomke. U sva-

kom taktu zbroj svih nota mora davati jednu cijelu notu. Znanje mozemo provjeriti

pitanjima:

Koliko sestnaestinki ima jedna cetvrtinka?

Odgovor: Cetiri.

Koliko traje jedna cetvrtinka?

Odgovor: Jednu dobu.

Koliko osminki ima jedna cetvrtinka?

20

Odgovor: Dvije.

Koliko traje jedna osminka?

Odgovor: Ako jedna cetvrtinka traje jednu dobu, a jedna cetvrtinka je dvije osminke,

onda jedna osminka traje pola dobe.

Jedan od zadataka moze biti i krug, odnosno kruzni dijagram, koji predstavlja jednu

Slika 14: Primjer zadatka sa kruznim dijagramom koji predstavlja jednu cijelu notu

cijelu notu. Razlicite velicine kruznih isjecaka ce predstavljati razlicite note, te ucenici

moraju popuniti kruzni dijagram kako god zele koristeci dane kruzne isjecke. (Slika

14 )

Na sljedecoj strani nalazi se primjer radnog lista koji mozemo iskoristiti u nastavi. Za-

daci se sastoje od nacrtanih nota ili napisanih vrijednosti nota, a ucenik treba nacrtati

ili napisati vrijednost nota, te zbrojiti tako da u svakom zadatku zbroj iznosi 1 cijelo

(Radni list).

Razlomke i note mozemo povezati i sa gradivom decimalnih brojeva ili postotaka. Tako

ce na primjer cijela nota iznositi 1, odnosno 100%. Polovinka vrijedi 12

cijele note, to

je 50% ili 0.5. Analogno dalje za svaku notu. Iz toga slijedi da zadatke mozemo

kombinirati po potrebi, te ucenicima pribliziti gradivo razlomaka, decimalnih brojeva

i postotaka. (Slika 15 )

21

Slika 15: Primjer zadatka

22

RADNI LIST

Popunite prazna mjesta odgovarajućim notama ili brojevima i provjerite daje li zbroj 1.

Primjer:

Zadatak 1.

ZBROJ =

Zadatak 2.

ZBROJ =

Zadatak 3.

ZBROJ =

6 Matematika u glazbi

6.1 Simetrija u glazbi

Pitanje ugadanja je samo jedan aspekt u kojem matematicko razmisljanje ulazi u sferu

glazbenog svijeta. No, glazba se ne sastoji samo od nota i harmonije, bitnije su pro-

mjene nota u vremenu, odnosno ritam i melodija, gdje je matematika opet prisutna.

Nije samo glazbeni zapis u velikoj mjeri temeljen na matematickim konceptima, vec i

u glazbi mozemo pronaci odredene aritmeticke i geometrijske uzorke.

Mnoga glazbena djela su na neki nacin simetricna. Najcesci tipovi simetrije koji se

javljaju u glazbenim djelima su:

1. Osna simetrija- ravnina simetrije je obicno horizontalni ili vertikalni pravac, obicno

je jasno vidljiva u zapisu glazbenog djela (Slika 16 )

2. Translacija- posljedica translacije u glazbi je zapravo ponavljanje osnovnog dijela

Slika 16: Osna simetrija tona razlicite visine, os simetrije je horizontalna os koja ”pro-lazi” tonom srednje visine

dane kompozicije (Slika 17 )

3. Rotacija- u glazbi se odnosi na ponavljanje kojem je kraj jednog dijela pocetak

Slika 17: Translacija istog tona po visini

drugog, a pocetak prvog dijela, kraj drugog.

Glazbeno djelo je napisano u odredenoj mjeri, ima svoj tempo, tonalitet i dinamiku.

Dinamika djela je zapravo intenzitet djela, njegova glasnoca. Simetriju mozemo pronaci

u dinamici djela, tempu, visini tonova; odnosno simetrija melodije, harmoniji, tonali-

tetu, te u samoj formi djela.

U preludiju (Libero, Slika 18 ) simetrija je skrivena, no u drugom djelu valceru (Guisto)

24

Slika 18: G. Kurtag, Preludij i valcer u C duru, note

simetrija je izgradena iz prvog dijela, odnosno iz preludija. Na ton C1 mozemo gledati

kao na centar simetrije koju autor naglasava na samom kraju. Ako krenemo od tona

C1 oktave u suprotnim smjerovima jedna drugu postepeno prate. Ritam ovog valcera

je translativan, dok je dinamika osnosimetricna obzirom na vertikalnu os.

Postoje brojni primjeri raznih vrsta simetrije u glazbenim djelima. Johann Sebastian

Bach (1685.-1750.) je njemacki barokni skladatelj koji je iza sebe ostavio veliki opus

cijenjenih glazbenih djela, kanona, misa, simfonijskih djela i koncerata. U brojnim

Bachovim djelima mozemo pronaci razne primjere simetrije, neka od njih su: Toccata

u D duru, Crab Canon kojeg cemo spomenuti kasnije u potpoglavlju 6.5, te Concerto,

poslije Telemanna, drugi stavak. Njegovo djelo The Musical Offering/Das Musikalische

Opfer sastoji se od 5 stavaka, to su redom po obliku glazbenog djela: ricecar (preteca

fuge, instrumentalno polifonsko djelo), pet kanona, trio sonata (oblik glazbenog djela

pisan za dva solo melodijska instrumenta i bas), trio sonata, pet kanona i ricecar.

Odnosno, u Bachovim djelima takoder mozemo pronaci i simetriju u formi glazbenog

djela. Potrebno je napraviti zasebno istrazivanje kako bi se vidjeli svi primjeri sime-

trije u Bachovim djelima. Poseban oblik glazbenog djela u kojima je cesto prisutna

simetrija, najcesce translacija i neka vrsta osne simetrije je i rondo.

25

Simetrija u harmoniji najvise se pojavljuje u Mozartovim djelima, odnosno u njegovim

Sonatama u C duru, u D duru, u G duru, no nesto vise o Mozartu i njegovim djelima

reci cemo u potpoglavlju 6.2.

U Landleru Franza Schuberta (1797.-1828.), austrijskog kompozitora osim sto postoji

simetrija u harmoniji, takoder se pojavljuje i simetrija u tonalitetu. Kompozicija krece

iz E dura, zatim prelazi u B dur i na kraju se vraca u E dur.

6.2 Fibonaccijevi brojevi i zlatni rez u glazbenim dijelima

Jako zanimljiv aspekt matematickih koncepata u glazbenim dijelima je pojava Fibo-

naccijevih brojeva i teorija o zlatnom rezu ( φ =√5−12≈ 0.61803398 . . . )

Fibonaccijev niz je ime dobio po talijanskom matematicaru Fibonacciju. On je 1202.

godine u svom djelu Liber Abaci upoznao zapadnu Europu sa nizom koji je po njemu

dobio ime. Poznati niz koji dobivamo tako da je sljedeci broj u nizu zbroj prethodna

dva; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . u Fibonaccijevoj knjizi zapravo predstavlja idealan,

iako bioloski nemoguc, rast zecje populacije. Ako idemo dovoljno daleko u nizu i gle-

damo omjere susjednih brojeva priblizavamo se tzv. zlatnom rezu.

Zlatni rez je broj φ = 1+√5

2= 1.6180339 . . . . Njegova najpoznatija interpretacija je ona

geometrijska: Podjela jedne linije na dva nejednaka dijela se nalazi u omjeru zlatnog

reza, ako je omjer duljine cijele linije naprama duljine veceg dijela, jednaka omjeru

duljine veceg dijela naprama duljine manjeg dijela. Zlatni rez se mnogo upotrebljava u

umjetnosti, posebno u slikarstvu, gdje glavni elementi dijele duljinu ili sirinu slike po

zakonu zlatnog reza. Osim u umjetnosti, omjer zlatnog reza, te Fibonaccijev niz moze

se pronaci i u prirodi, arihtekturi, u omjerima ljudskog tijela i dizajnu.

Istrazivanja su otkrila da se isti koncept moze pronaci i u glazbenim kompozicijama.

Zlatni rez - izrazen pomocu Fibonaccijevog niza, koristi se kako bi se generirale pro-

mjene u ritmu ili za razvoj melodije.

Konkretno, ove pravilnosti mozemo pronaci u prvom stavku Bartokovog djela ”Kon-

cert za gudace, udaraljke i celestu” gdje se glavni dio, odnosno klimaks djela nalazi u

55-tom taktu od ukupno njih 89 ( 89 = 55 + 34, 89 : 55 = 1.6181818 . . . ). Takoder u

uvodnom dijelu na ksilofonu mozemo cuti Fibonaccijev niz u ritmu: 1 : 1 : 2 : 3 : 5 :

8 : 5 : 3 : 2 : 1 : 1. Nadalje Rothwellova istrazivanja (1977.) otkrila su primjere zlatnog

reza u raznim glazbenim razdobljima. Iako se sama djela razlikuju po ritmu, melodiji,

razdoblju i kompozitorima, lokacija vaznih dogadaja u djelu poput promjene ritma,

klimaksa, dinamike ili tempa obicno kompoziciju dijele na dva dijela ili simetricno ili

u omjeru zlatnog reza.

Najpoznatiji primjer je zbor ”Haleluja” iz ”Mesije”, Georga Friedricha Handela koji

se sastoji se od 94 takta. Jedan od najvaznijih dogadaja je ulazak solo truba (”King

of Kings” ) koji se dogada izmedu 57-og i 58-og takta, tocno nakon 813

cijelog djela.

26

U oba dijela ovog velikog djela mozemo pronaci slicne omjere. Primjerice nakon 813

prvih 57 taktova, odnosno na 34. taktu pojavljuje se tema” The kingdom of glory. . . ”

koja oznacava vazan dio ovog dijela, te takoder nakon 813

drugog dijela od 37 taktova,

to je 79. takt (”And He shall reign. . . ”) opet se pojavljivanjem solo truba naglasava

vazan dio. Tesko je tvrditi je li Handel toga stvarno bio svjestan i je li to namjerno

napravio, ali svakako mozemo primjetiti da fenomen zlatnog reza nije strogo vizualan,

vec ga mozemo i cuti.

Jos jedno istrazivanje [12] da se u skoro svim Mozartovim (1756. - 1791.) sonatama za

klavir, omjer ekspozicije i provedbe i repeticije poklapa sa zlatnim rezom. U Mozar-

tovo vrijeme sonatni oblik sastojao se od dva dijela: ekspozicije, u kojoj se upoznajemo

sa temom djela i provedbe i repeticije u kojem se tema razvija i ponavlja. Mozart je

svoje djelo podijelio po pravilu zlatnog reza gdje je ekspozicija kraci dio, u odnosu na

provedbu i repeticiju. Mozart je zasigurno toga bio svjestan, jer postoje dokazi da je

bio nadaren za maetmatiku. Njegova je sestra Maria Anna, Marianne odnosno Nannerl

od milja, rekla kako je njen brat uvijek piskarao brojeve i formule za vjerojatnost na

marginama svojih djela (Fantasia and Fugue in C Major). Ipak, Mozart je bio genije i

nikad necemo sa sigurnoscu moci tvrditi je li on namjerno svoje sonate pisao po pravi-

lima zlatnog reza ili je jednostavno zlatni rez cuo i osjetio, bez koristenja matematike.

Ludwig van Beethoven (1770.-1827.) njemacki je kompozitor i pijanist koji je tokom

svog zivota postao gluh. Postavlja se pitanje kako je ipak mogao skladati takva pre-

divna djela? Njegovo djelo Mjeseceva sonata krije matematicke uzorke ispod naoko

jednostavne melodije. Beethoven je sam rekao ”Uvijek imam sliku u glavi kada skladam

i pratim njene linije”. Beethoven ne samo da vidi sliku, bez da cuje glazbu, vec ju i

osjeti. Ako uzmemo 12 polutonova ljestvice i pogledamo interval koji se naziva trijada.

Trijadu cine tri tona C, F], A i oni su konsonatni. Naravno da zvuce ugodno uhu, no

Beethoven je u jednom od svojih poznatijih djela, Mjesecevoj sonati koristio tonove

koji su disonatni, no svejedno kada slusamo djelo zvuci nam ugodno. Iako mozemo

pronaci matematicki uzorak u djelima, jos uvijek je velika nepoznanica zasto glazba

ima takav utjecaj na nas, zasto neke kompozicije zvuce tuzno, dok nas neke raduju?

Zasto nam disonanca zvuci u ovom primjeru ugodno, a zapravo matematicki i subjek-

tivno, odsvirani van konteksta kompozicije, nam zvuce neugodno?

Fibonaccijevi brojevi pojavljuju se i u djelu francuskog skladatelja Claudea Debussya.

Roy Howat je skotski pijanist i muzikolog specijaliziran za francusku glazbu. U svom

djelu Debussy in Proportion govori o Fibonaccijevom nizu i uzorku koji je pronasao u

Debussyevim djelima. Howat govori kako Debussy pri skladanju koristi matematicke

modele u vec postojecoj sonatnoj formi svojih djela. Howat kaze kako se Debussyeva

djela mogu podijeliti na dijelove koji su u omjeru zlatnog reza i to pomocu Fibonacci-

jevog niza.

Osim u klasicnoj glazbi, primjeri Fibonnacijevog niza prisutni su i u drugim glazbenim

27

zanrovima, u sadasnje vrijeme. Tool je americki band iz Los Angelesa, osnovan 1990.

godine i po glazbenom zanru spadaju u progresivni rock/metal. Pjesma Lateralus je

naslovna pjesma njihovog treceg albuma i ujedno i njihov treci singl. Glazba i rijeci

ove pjesme prozeti su Fibonaccijevim nizom. Pjesma je poznata po posebnim mjerama

i odgovarajucim uzorcima u rijecima. Mjera u kojoj je refren ove pjesme mijenja se od

9/8, zatim 8/8 do 7/8 i bas zbog toga pjesma se isprva trebala zvati 987, zbog mjera,

a i 987 je 16. clan Fibonaccijeva niza, no ipak su je preimenovali u Lateralus. Ako

poblize pogledamo uvod u pjesmu i refren, te podijelimo fraze u odnosu na ritam i

melodiju, tada vidimo kako se Fibonacci pojavljuje u broju samoglasnika u rijecima.

Takoder, uvod pjesma zavrsava nakon 1 minute i 37 sekundi, nakon cega krecu stihovi.

Odnosno, stihovi zapocinju 1 minutu + 0.618 minute, sto je nakon zaokruzivanja ot-

prilike 37 sekundi.

Hip hop duo Black Star u svojoj pjesmi Astronomy (8th light) takoder ima Fibonnacijev

niz u svojim rijecima:

”Now everybody hop on the one, the sounds of the two

It’s the third eye vision, five side dimension

The 8th Light, is gonna shine bright tonight”

6.3 Math rock

Osim u glazbi, matematika je posluzila i kao inspiracija za nastajanje novog glazbenog

smjera.

Math rock je ritmicki kompleksan smjer eksperimentalnog rocka i indie rocka. Ka-

rakteriziraju ga kompleksni, atipicni ritmovi, kontrapunkt, neparne mjere, disonantni

akordi i nezgrapne melodije. Glazba nema toliko tipicnih elemenata rock glazbe, vec

je vise spontana i ima prizvuk jazza. Unatoc tome je proracunata i instrumentalni

riffovi na gitari se zapravo pojavljuju u tocno odredeno vrijeme. Zvuk ove vrste glazbe

moze zvucati cak i pomalo kaoticno iako je u pozadini zapravo stroga matematicka

struktura.

Stil se pojavio 80-ih godina 20 stoljeca pod utjecajem King Crimsona i Stevea Reicha.

Neki od ranijih utjecaja su bendovi poput Black Flag i Nomeansno. U rubriku math

rock spadaju i bendovi: 65daysofstatic, And So I Watch You From Afar, Maybeshewill,

Bloc Party, Foals, Paul Newman, Russian Circles, Tool. . .

6.4 Matematika i instrumenti

Osim u glazbi, zlatni rez se upotrebljava i u izradi instrumenata. Clanovi obitelji Stra-

divarius su najpoznatiji po izradi najkvalitetnijh gudackih instrumenata. Najpoznatiji

po izradi je bio Antonio Stradivari (1644.-1737.). Stradivari je u izradi svojih instru-

28

menata koristio zlatni rez i njegove violine su vrlo trazene, cak i sad, zbog izvanredne

kvalitete i boje tona. Jody Espina bavi se izradom piskova za saksofon i u svoje piskove

je takoder ”ugradila” zlatni rez. Rezultat je jasniji, glasniji, puniji zvuk i lako je za

svirati kroz njega.

6.5 Glazba Mobiusove trake

Slika 19: Mobiusova traka

Mobiusova traka (Slika 19 ) je matematicki objekt koji ima vrlo zanimljiva svojstva

i primjenu, ne samo u matematici, vec i u umjetnosti i ostalim znanostima.

Zamislimo si 12 polutonova ljestvice, u oktavama, poredane po visini, kao na brojev-

nom pravcu, od nizih prema visima. Ako promatramo akorde, smatramo da svi tonovi

C pripadaju istoj klasi tonova (medusobno su ekvivalentni). Ako sve tonove C uzi-

mamo kao ekvivalentne, matematicki to bi bilo kao da gledamo sve one tonove C koji

su kongruentni modulo 12. Ovo vrijedi za svaki od 12 polutonova u oktavi. Nadalje,

ako ti tonovi pripadaju istoj klasi, mozemo reci kako se nizanjem oktava zapravo vr-

timo u krug.

Pogledajmo sada akorde. Zbog jednostavnosti, gledati cemo akorde od dva tona. Za-

mislimo si sada koordinatni sustav kojem su x i y os zapravo ovih 12 polutonova oktave.

(Slika 20 )

Glavna dijagonala x = y predstavlja iste tonove. Pravac y = x + c, gdje je c ∈ Nkonstanta koja nam daje akorde ili intervale tonova koji se razlikuju za tu konstantu.

Pravci okomiti na pravac x = y dati ce nam iste akorde, samo u opadajucem poretku.

Sto ako zelimo gledati obje osi na nacin da nam opet svi akordi, bez obzira na poredak

tonova, budu smjesteni u istu klasu? Ako zarolamo u jednom pravcu dobijemo cilindar,

te zavrtimo li zatim u drugom pravcu dobivamo torus. (Slika 21 )

No problem sa torusom je sto su na primjer akord C i E, te E i C dvije razlicite tocke,

a trebale bi biti ista tocka. Trebamo promijeniti nase tijelo kako bi C i E i E i C bili ista

tocka. Vratimo se na primjer s koordinatnim osima.(Slika 22 ) Presavijemo papir po

glavnoj dijagonali, matematicki identificirali smo tocku s koordinatama (x, y) s tockom

(y, x). Papir cemo izrezati i zamotati tako da se svi akordi istih tonova nalaze na rubu.

29

Slika 20: Koordinatni sustav s polutonovima. Crveno je istaknuta glavna dijagonalana kojoj se nalaze akordi istih tonova

Slika 21: Torus-crveno je glavna dijagonala , dvije tocke predstavljaju C i E, tj. E i Cinterval

Rezultat ovog postupka je Mobiusova traka. (Slika 23 )

Slika 22: Prije presavijanja po glavnoj dijagonali

30

Slika 23: Mobiusova traka s tonovima

Primjer za slusanje: J.S.Bach - Crab Canon on Mobius strip [11]. Kanon je

viseglasna skladba u kojoj melodiju pocetnog glasa u odredenom vremenskom raz-

maku ponavljaju ostali glasovi. Bachov kanon je viseglasna kompozicija u kojoj su

dvije napisane glazbene recenice komplementarne i jedna je zapravo ista kao druga, ali

gledana od kraja, slicno kao palindrom.

31

7 Zakljucak

”Mozda su matematika i muzika jedno te isto. . . samo sto se jedno vidi a drugo

cuje. . . Muziku ne mozes vidjeti, matematiku ne mozes cuti.”

Abdulah Sidran

Glazba je jedna od najstarijih sastavnica ljudske kulture. Kao i filozofija i matematika.

Jos u 6. stoljecu pr. Kr. Pitagora je govorio o vezi tih znanosti, a kasnije je i Aristotel u

svojoj Metafizici govorio o vezama izmedu ovih znanosti, spominjuci pritom Pitagoru.

Po njima brojevi su temelj svega, na njima se zasniva harmonija svemira. Kasnije

istu ideju spominje, te o njoj pise i Johannes Kepler, prema kojem su nebeska gibanja

vjecna polifonija. Prva matematizacija, bila je matematizacija glazbe. Ako se glazbeni

svijet, koji je naoko strogo osjecajan, bez puno racionalnosti i pravila, moze prikazati

brojevima, moze i sve ostalo. Od tuda i Pitagorina izjava, koju je mozda do sada bilo

tesko shvatiti: ”Sve je broj ”.

Johannes Kepler u svom je djelu Harmonija svijeta (De Harmonice Mundi) napisao:

”Nebeska gibanja nisu drugo do vjecna polifonija koju opazamo umom, a ne uhom.”

Takoder u podnaslovu ovog dijela postavlja pitanje: ”Koji planeti u nebeskoj harmoniji

pjevaju sopran i alt, a koji tenor i bas?” Odgovor na Keplerovo pitanje sada mozda

ipak ima vise smisla: ”Merkur je sopran, Venera i Zemlja su altovi, Mars je tenor, a

Saturn i Jupiter basovi.”

Slika 24: Harmonija svijeta

Ljepota je ugradena u matematiku, jednako tako ljepotu i harmoniju je, kao sto

smo vidjeli u primjerima, moguce iskazati pomocu matematike. Biti matematicar,

ne znaci samo vidjeti brojeve u svemu. Biti matematicar znaci vidjeti uzorke i pre-

poznati ljepotu. Glazbenici obicno ne pokazuju isto zanimanje za matematiku, kao

32

matematicari za glazbu. Ono sto povezuje matematiku i glazbu mora imati veze sa

nacinom razmisljanja, sa stavom jednog matematicara i sa zanimanjem za rjesavanje

problema. Zaista, matematicari cijene ljepotu i jednostavnost u pronalazenju sto jed-

nostavnijih i ljepsih dokaza. Osjecaj kojeg matematicar dobije nakon sto uspjesno rijesi

neki problem ili dokaze teorem, slican je ushitu i osjecaju kojeg dozivljava glazbenik

dok izvodi djelo na pozornici.

Kroz poglavlja rada vidjeli smo da je matematika u pozadini nastanka ljestvica i zasto

ljestvica ima bas 12 polutonova. Od Pitagorina ugadanja i prirodne intonacije, dosli

smo do jednolikog ugadanja koje se pokazalo jednostavnijim, iako zapravo uhu zvuci

kao da je rastimano. Zbog toga pjevaci i sviraci ponekad nesvjesno teze Pitagorinom

jednostavnijem i cistijem zvuku, odnosno teze prirodnoj intonaciji.

Objasnivsi pojmove konsonatnosti i disonatnosti na primjeru dva grafa na kojem su

prikazani sinusi danih konsonatnih i disonatnih intervala i vizualno smo vidjeli razliku

ta dva pojma, te primjetili matematicku vezu. Poput Beethovena koji je glazbu ”vi-

dio”, poput slike koju je opisivao.

Brojni umjetnici poput velikog Ludwiga van Beethovena su u svoja djela ugradili ma-

tematiku koristeci zlatni rez i Fibonnacijev niz. Od Bacha koji je napisao svoje 24

fuge kao posvetu jednolikom ugadanju, preko Handela, pa sve do Mozarta koji je bio

ne samo vrhunski skladatelj koji je svoja djela protkao ljepotom matematike, vec je

bio i matematicar koji je na marginama svojih djela cesto imao napisane matematicke

formule.

Alikvotni tonovi odgovorni su za boju i lijep ton koji proizvode instrumenti. Ako je

osnovni ton frekvencije, alikvotni tonovi koje stvaraju instrumenti je spektar tonova

manje jacine cije su frekvencije cjelobrojni visekratnici od f: 2f, 3f, 4f,. . . , a boja tona

je povezana s rasporedom jacina alikvotnih tonova.

Mjera koja se nalazi na pocetku svakog glazbenog djela nas mozda najvise tjera na

pomisao povezanosti matematike i glazbe, pogotovo sto nas u velikoj mjeri podsjeca

na razlomke. Ritam, kojeg ne smijemo pomijesati sa tempom kojeg zadaje skladatelj,

je nizanje tonova po trajanju i upravo on nas u glazbi nosi, da plesemo, da se krecemo.

Stoga, mozemo reci da matematiku treba pjevati i plesati.

Istrazivanja su pokazala da djeca koja su svirala neki instrument, cesto pokazuju bo-

lje vjestine koje su potrebne za rjesavanje zagonetki, igranje saha ili izvodenje mate-

matickih zakljucaka. Takoder je u nekim istrazivanjima bilo primjeceno da postotak

studenata koji su isli u glazbenu skolu prije fakulteta je bio oko 11% veci medu stu-

dentima matematike. Matematika pomaze da bolje razumijemo glazbu, no istrazivanje

pokazuje da i slusanje glazbe[9] (posebno Mozart) moze poboljsati intelektualne spo-

sobnosti, koncentraciju, a samim time i matematicke sposobnosti.

Mozemo istrazivati skrivene matematicke uzorke glazbenih djela, no jos uvijek je tesko

razumjeti zasto i kako ti uzorci na nas djeluju, pa se osjecamo tuzno, napeto, osjecamo

33

ljutnju ili srecu slusajuci neko djelo? Matematika i glazba su bogati primjeri svjetova

koji se opiru algoritmizaciji, jer traze sustinski ljudski intelekt, kreativnost i imagina-

ciju.

34

Literatura

[1] Apagyi M., Symmetries in music teaching, Computer Math. Applic, Vol. 17, No.

4-6, 1989. dostupno na:

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0898122189902551

[2] Beer M., How do mathematics and music relate each other?, Brisbane, 1998.

[3] Benson D., Music: A mathematical offering, Web version, 2008.

[4] Burazin K., Jankov J., Glazba titrajuce zice, Osjecki matematicki list, 14; 1-22,

Osijek, 2014.

[5] Clair, Natalya St., Music and math: The genius of Beethoven, dostupno na:

http://ed.ted.com/lessons/music-and-math-

the-genius-of-beethoven-natalya-st-clair

[6] Hart G., Mathematical Impressions: Making Music With a Mobius Strip, dostupno

na:

https://www.simonsfoundation.org/multimedia/

mathematical-impressions-making-music-with-a-mobius-strip/

[7] Heimiller J., Where Math meets Music, 2002., dostupno na:

https://musicmasterworks.com/WhereMathMeetsMusic.html

[8] Hunt P., Mozart and Mathematics, dostupno na:

http://www.electrummagazine.com/2013/06/mozart-and-mathematics/

[9] Lurch D., The Mozart Effect: A Closer Look, dostupno na:

http://lrs.ed.uiuc.edu/students/lerch1/edpsy/mozart_effect.html

[10] Madarasz Sz. Rozalia, Matematika i muzika, Novi Sad, 2009.

[11] Marshall C., The Genius of J.S. Bach’s “Crab Canon” Visualized on a Mobius

Strip, dostupno na:

http://www.openculture.com/2013/02/the_genius_of_js_bachs_

crab_canon_visualized_on_a_mobius_strip.html

35

[12] May M., Did Mozart Use the Golden Section?, dostupno na:

http://www.americanscientist.org/issues/

id.590,content.true/postComment.aspx

[13] Meisner G., Acoustics and the Golden Ratio, dostupno na:

http://www.goldennumber.net/acoustics/

[14] Mujic E., Harmonija sfera Johannesa Keplera, dostupno na:

http://nova-akropola.hr/kultura/astronomija-

harmonija-sfera-johannesa-keplera/

[15] Peterson M., Mathematical Harmonies, Colorado, 2001.

[16] Reid H., On Mathematics and Music, dostupno na:

http://www.woodpecker.com/writing/essays/math+music.html

[17] Stortz Branch L., Adventures in Music: Musical Math, dostupno na:

http://www.fwsymphony.org/education/materials/1415_musical_math.pdf

[18] Sikic Z., Scekic Z., Matematika i muzika, Profil, Zagreb, 2013.

36

8 Sazetak

Stari Grci su glazbu smatrali strogo matematickom disciplinom. U pitagorejskoj skoli

glazba je bila na istom nivou kao i aritmetika, geometrija i astronomija. Glazba je bila

znanost zvuka i harmonije, a njezina se umjetnicka strana cesto zanemarivala. Kasnije,

procvjetom glazbene umjetnosti, glazba dobiva vaznu ulogu u zivotu svakog covjeka.

Glazbom smo okruzeni svakodnevno, u njoj pronalazimo utjehu, slavimo, veselimo se,

osjecamo, a u isto vrijeme ona je blisko povezana sa matematikom za koju mislimo da

je strogo racionalna znanost. U radu vidimo u kojoj su mjeri zapravo matematika i

glazba povezani, te kako tu vezu upotrijebiti u nastavi matematike.

37

9 Summary

In ancient Greece music was considered as a strictly mathematical discipline. In Pyt-

hagorean school music was equal to arithmetic, geometry and astronomy. At that time

music was science of sound and harmony and her artistic value was not appreciated.

Later, with the rise of music as a form of art, music got one of the central roles in a life

of every human. We are surrounded with music on a daily basis, music comforts us,

we celebrate with it, enjoy it and feel it and at the same time music is closely related

with mathematics, science that we believe is strictly rational. This paper show us links

between math and music, and how can we use that in teaching mathematics.

38

10 Zivotopis

Rodena sam 6. ozujka 1990. godine u Osijeku. Zivim u Donjem Miholjcu gdje sam

pohadala Osnovnu skolu Augusta Harambasica (1996.-2004.) i Osnovnu glazbenu skolu

- smjer gitara (1998.-2004.). Ljubav prema glazbi postoji oduvijek, a ta se ljubav

vjerovatno najvise razvila za vrijeme sviranja gitare u glazbenoj skoli. Nakon zavrsetka

osnovne skole upisujem se u Srednju skolu Donji Miholjac - smjer opca gimnazija

(2004.-2008.). U srednjoj skoli sudjelujem na natjecanjima iz matematike i povijesti,

te po zavrsetku srednje skole s odlicnim uspjehom, 2008. godine, odlucujem upisati

sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike na Odjelu za matematiku u

Osijeku. Oduvijek mi se cinilo da su matematika i glazba u nekoj mjeri povezane i

od pocetka studija postojala je zelja jednog dana saznati vise o tome, te da upravo to

bude tema diplomskog rada.

39