中学校数学科 2年生 1式の計算 [問題]中学校数学科 2年生 1式の計算 [問題]...

中学校数学科

２年生

１式の計算

[問題]

中学校

年組号氏名

第２学年１式の計算

■知識・技能の習得を図る問題年組号氏名

■全国学力・学習状況調査① Ａ問題

１次の(1)から(3)までの各問いに答えなさい。【H19】

(1) (２ x ＋７ y)－２(x －３ y)を計算しなさい。

(2) a ＝５， b ＝－４のとき，式３ a ＋５ b の値を求めなさい。

(3) 等式２ x ＋３ y ＝９を，y について解きなさい。

２次の(1)から(4)までの各問いに答えなさい。【H20】

(1) a ＝４， b ＝－３のとき，式 ab の値を求めなさい。

(2) n を自然数とするとき，いつでも奇数になる式を，下のアからオの中から１つ選びなさい。

ア n ＋１イ２ n ウ２ n ＋１エ３ n オ３ n ＋１

(3) 等式 x ＋２ y ＝６を，y について解きなさい。

(4) 下のアからエの中に，３ a ＋４ b という式で表されるものがあります。それを１つ選びなさい。

ア１辺 a ｃｍの正三角形と１辺 b ｃｍの正方形を，それぞれ針金で１個ずつ作ったときの針金の全体の長さ(ｃｍ)

イ３人が a 円ずつ出し合ったお金で，b 円のりんごを４個買ったときの残った金額(円)

ウ３ｇの袋に a ｇの品物を入れ，４ｇの袋に b ｇの品物を入れたときの全体の重さ(ｇ)

エ３分間に a ℓの割合で水が出る蛇口と，４分間に b ℓの割合で水が出る蛇口から，水をじやぐち

同時に１分間出したときの水の量(ℓ)




■全国学力・学習状況調査② Ａ問題

３次の(1)から(3)までの各問いに答えなさい。【H21】

(1) ３ x ×(－４ xy) を計算しなさい。

(2) 連続する３つの自然数の和は，文字 n を使って次のように表すことができます。n ＋(n ＋１)＋(n ＋２)このとき，文字 n が表すものを，下のアからエまでの中から１つ選びなさい。

ア連続する３つの自然数のうち，最も大きい自然数

イ連続する３つの自然数のうち，中央の自然数

ウ連続する３つの自然数のうち，最も小さい自然数

エ連続する３つの自然数の平均

(3) 下の図で，底辺の長さ a，高さ h の三角形の面積 S は，次のように表されます。

１S ＝－ ah

２

高さを求めるために，この式を，a について解きなさい。


４

３ x２y÷ －８

１ x

３

５x－７y－

２

４x－３y


■練習問題①

１次の(1)から(6)までの各問いに答えなさい。

(1) を計算しなさい。

(2) (－２ x) ×３ y を計算しなさい。


(4) 等式 V ＝ π r ｈを，h について解きなさい。

(5) x ＝３， y ＝－４のとき，式３(２ x －５ y)－２(４ x －６ y ）の値を求めなさい。

(6) ３つの数 a ， b ， c が，次の①から③のすべての条件を満たすとき，a ， b ， c の符号を正しく表しているものをアからエの中から選んで記号で答えなさい。

① ab ＜０ ② ab ｃ＞０ ③ a ＜ b

ア a は＋，b は－，c は＋

イ a は－，b は＋，c は－

ウ a は－，b は－，c は－

エ a は＋，b は－，c は－

２

１

３２


４

３ x２y÷ －８

１ x ÷ －３

２ x


■練習問題②

２次の(1)から(6)までの各問いに答えなさい。

(1) (３ x －４ y)－ (２ x ＋ y)を計算しなさい。


(3) ８ ab ÷(－２ b) ×５ a を計算しなさい。

(4) 等式 S ＝ (a ＋ b ） h を，a について解きなさい。

(5) x ＝－２，y ＝－５のとき，式４ x －３ y の値を求めなさい。

(6) 多項式５ x －３ y ＋４から，ある多項式の２倍を引こうとしたら，間違えて２倍をたしてしまったので，答えが，１１ x －７ y ＋６になりました。このとき，正しく計算した答えをアからエの中から記号で選びなさい。

ア８ x －５ y ＋２

イ８ x －５ y ＋５

ウ－ x ＋ y ＋５

エ－ x ＋ y ＋２

１

４

１

３

２２

１

２

２

中学校数学科

２年生

１式の計算

[解答]

中学校

年組号氏名


■知識・技能の習得を図る問題[解答] 年組号氏名


１

(1) (２ｘ＋７ｙ）－２（ｘ－３ｙ）＝２ｘ＋７ｙ－２ｘ＋６ｙ

＝２ｘ－２ｘ＋７ｙ＋６ｙ

＝１３ｙ

(2) ３ａ＋５ｂ＝３×５＋５×(－４)

＝１５－２０

＝－５

(3) ２ｘ+ ３ｙ＝９

３ｙ＝９－２ｘ

ｙ＝ｏｒ

２

(1) ａｂ＝４×(－３)

＝－１２

(2) ウ２n+１

(3) ｘ＋２ｙ＝６

２ｙ＝６－ｘ

ｙ＝ｏｒｏｒ

(4) ア３ａ＋４ｂ

イ３ａ－４ｂ

ウ３＋ａ＋４＋ｂ

エ答えア

９－２ｘ

３

６－ｘ

２

ａ

３+ｂ

４

－２ｘ＋９

３

－１

２ｘ＋３３－

１

２ｘ




■全国学力・学習状況調査② Ａ問題

３

(1) ３ｘ×（－４ｘｙ）＝－（３×４×ｘ×ｘ×ｙ）

＝－１２ｘ２ｙ

(2) 連続する３つの自然数では，最も小さい自然数より１大きいものが中央の自然

数である。また，最も小さい自然数より２大きいものが最も大きい自然数である。

したがって，文字ｎが表すものは最も小さい自然数であるので，よって答えはウ。

(3) 左辺と右辺を入れかえて,

両辺に２をかけると，

両辺をｈでわると，

１

２ａｈ＝Ｓ

ａｈ＝２Ｓ

ａ＝２Ｓ

ｈ



■練習問題①

１

(1) ＝

＝

＝

＝ｏｒｏｒ

(2) (－２ｘ) ×３ｙ＝４ｘ ×３ｙ

＝１２ｘｙ

(3) ＝ ÷

＝

＝－６ｘｙ

(4) Ｖ＝ πｒｈ

左辺と右辺を入れかえて πｒｈ＝３Ｖ

両辺を３倍して πｒｈ＝３Ｖ

πｒで割ってｈ＝

(5) ３(２ｘ－５ｙ)－２(４ｘ－６ｙ）＝６ｘ－１５ｙ－８ｘ＋１２ｙ

＝－２ｘ－３ｙ

ｘ＝３，ｙ＝－４を代入

＝－２×３－３×(－４)

＝－６＋１２

＝６

(6) アａは＋，ｂは－，ｃは＋ａｂｃ＜０

イａは－，ｂは＋，ｃは－

ウａは－，ｂは－，ｃは－ａｂ＞０

エａは＋，ｂは－，ｃは－ａ＞ｃしたがって答えイ

５ｘ－７ｙ

３－４ｘ－３ｙ

２

２

１

３２

２５ｘ－７ｙ

６－３４ｘ－３ｙ

６

２５ｘ－７ｙ－３４ｘ－３ｙ

６

１０ｘ－１４ｙ－１２ｘ＋９ｙ

６

－２ｘ－５ｙ

６－２ｘ＋５ｙ

６－１

３ｘ－

５

６ｙ

２

２

３ｘ２ｙ

４－ｘ

８

－３ｘ２ｙ

４×８

ｘ

２

πｒ２３Ｖ

１

３２

２

３

４ｘ２ｙ÷ －

１

８ｘ



■練習問題②

２

(1) (３ｘ－４ｙ)－ (２ｘ＋ｙ) ＝

＝

＝

＝ｏｒ

(2) ＝

＝

＝９ｙ

(3) ８ａｂ ÷(－２ｂ) ×５ａ＝８ａｂ ÷４ｂ ×５ａ

＝

＝１０ａ

(4) Ｓ＝ (ａ＋ｂ）ｈ

左辺と右辺を入れ替えて (ａ＋ｂ)ｈ＝Ｓ

両辺を２倍して (ａ＋ｂ)ｈ＝２Ｓ

両辺をｈで割ってａ＋ｂ＝

ｂを移行してａ＝－ｂ

(5) ｘ＝－２，ｙ＝－５を代入して４ｘ－３ｙ＝４×(－２)－３×(－５)

＝４×(－２)－３×２５

＝－８－７５

＝－８３

(6) 間違えた答えから，もとの数を引いて

１１ｘ－７ｙ＋６－(５ｘ－３ｙ＋４) ＝１１ｘ－７ｙ＋６－５ｘ＋３ｙ－４

＝６ｘ－４ｙ＋２

２で割って３ｘ－２ｙ＋１

５ｘ－３ｙ＋４から３ｘ－２ｙ＋１の２倍を引くと

５ｘ－３ｙ＋４－２(３ｘ－２ｙ＋１) ＝５ｘ－３ｙ＋４－６ｘ＋４ｙ－２

＝－ｘ＋ｙ＋２

答えエ

３

４ｘ２ｙ÷ －

１

８ｘ ÷ －

２

３ｘ

１

４

１

３

２２

１

２

３３ｘ－４ｙ

１２－４２ｘ＋ｙ

１２

３３ｘ－４ｙ－４２ｘ＋ｙ

１２

９ｘ－１２ｙ－８ｘ－４ｙ

１２

ｘ－１６ｙ

１２１２

１ｘ－

４

３ｙ

３ｘ２ｙ

４÷ －

ｘ

８÷ －

２ｘ

３

３ｘ２ｙ

４×８

ｘ×２ｘ

３

２２

８ａｂ２× ５ａ４ｂ２

２

１

２

２Ｓ

ｈ

２Ｓ

ｈ

２２

中学校数学科

２年生

１式の計算

[指導に当たって(教師用)]

中学校

年組号氏名


■知識・技能の習得を図る問題

■全国学力・学習状況調査Ａ問題

■学年２年

■単元２－１式の計算

■ねらい１整式の加法と減法の計算をすることができる

文字式に数値を代入して式の値を求めることができる

等式を目的に合うように変形することができる

２文字式に数を代入して式の値を求めることができる

事象を式に表すことができる

関係を表す式を，等式の性質を用いて目的に応じて変形できる

与えられた文字式を具体的な事象と関連付け，その意味を読み取ることが

できる

３簡単な整式の加法，減法及び単項式の乗法，除法の計算ができる

数量及び数量の関係をとらえるために文字式を利用することができる

目的に応じて，簡単な式を変形することができる

１

(1) 与えられた式と計算した後の式に，具体的な数を代入し，式の値が一致す

るかどうかを基に計算の結果を確かめる習慣をつけることが大切である。

面積図などを用いて分配法則の意味について理解することが大切である。

例えば，次のような長方形の面積の関係を文字式に表すことが考えられる。

その際には，ｘが小数，分数である場合であっても，分配法則が成り立つこ

とを確認することが大切である。

小学校で分配法則を学習する際に「(○＋□)×△＝○×△＋□×△」とい

う形を用いている。中学校では，○の代わりに文字を用いて分配法則を表す

ことから，文字を用いた式でも具体的な数を当てはめ，生徒自身が分配法則

が成り立つことを確かめるようにすることが考えられる。

(2) 小学校では，□や○や言葉の式に数を当てはめることを学習してきている。

中学校で式の値を学習する際には，小学校で□や○，あるいは言葉の式に数

を当てはめていたのと同様に，文字式に数を代入すればよいと気付くように

指導することが大切である。

ノートを１冊，２冊，……買ったときの代金を求める場面などで，変化す

る数を文字に置き換えていくことを通して文字が導入される。これとは逆に，

文字式に順に数を代入すると，もとの場面を再現できることを確認すること

３

ｘ５

３

ｘ５

３



も大切である。

式の値を求めることは，文字式の学習だけでなく方程式や関数の学習にお

いても重要であるので，様々な文字式で式の値を確実に求められるようにす

ることが大切である。

(3) 「ある文字について解く」ことの意味が分からない生徒に対しては，ｘにつ

いての一次方程式を解いてｘの値を求めることが「ｘについて解くこと」で

あることから，一次方程式の解き方と関連付けて指導することが大切である。

例えば，一次方程式「２ｘ＋５ｙ＝９」を解いてｘの値を求めることが「ｘにつ

いて解くこと」であることを明らかにし，その解き方にしたがって，等式「２

ｘ＋３ｙ＝９」などをｘについて解いた後，生徒が同じ等式をｙについて解く活

動を取り入れることが考えられる。

目的に合うように等式を変形することの意味が分からない生徒に対しては，

具体的な事象において式を変形する活動を通して，そのよさを実感できるよ

うすることが大切である。例えば，長方形の縦の長さａを求める式をつくる

場合は，長方形の周の長さを表す式「ℓ＝２(ａ＋ｂ)」を変形するとつくりや

すいことを取り上げ，式を目的に合うように変形するよさを実感できるよう

にすることが考えられる。

「ｙについて解く」ことの意味は分かっているが，等式を正しく変形できな

い生徒に対しては，自ら誤りに気付き，修正する活動を取り入れることが大

切である。例えば，等式を変形した後，等式の右辺の文字に具体的な数を代

入して式の値を求め，もとの等式の同じ文字にもその数を代入して式の値を

求める。そして，この２つの値を比べることを通して，関係を表す式の変形

の誤りに気付くようにすることが考えられる。

２

(1) 式の値を求めることの意味を理解できるようにすることが大切である。

例えば，単に式の値を求める計算をするだけでなく，具体的な場面で数量

の関係を表している式に数を代入し，その式の値がその場面で何を表してい

るかを確かめる活動を取り入れることが考えられる。

省略された演算記号を意識して，式をよむことができるようにすることが

大切である。例えば，ａｂを「ａ×ｂ」，を「ａ÷ｂ」，を「a×a」とするなど，

基本的な式の表現について省略された演算記号を指摘する活動を取り入れる

ことが考えられる。

(2) 言葉を使った式を手がかりにして，数量の関係を文字式で表現できるよう

にすることが大切である。

本問題を使って授業を行う場合には，偶数を「２×(自然数)」，奇数を「（偶

数）＋１」とみるなど，言葉を使って式に表し，それを文字式で表現する活動

を取り入れることが考えられる。

文字式に数を代入して，自らの判断を確かめることができるようにするこ

とが大切である。本問題を使って授業を行う場合，ｎが任意の自然数である

ａ２


ことを確かめた上で，選んだ式のｎに１や２などを代入して，いつも奇数に

なるかを判断する活動を取り入れることが考えられる。

(3) 一元一次方程式の解き方と関連付けて，「ある文字について解くこと」の意

味を理解できるようにすることが大切である。

本問題を使って授業を行う場合，等式にｘ＝１を代入したｙについての一次

方程式１＋２ｙ＝６を解き，その解き方にしたがって，等式ｘ＋２ｙ＝６をｙにつ

いて解く活動を取り入れることが考えられる。

目的に合うように等式を変形することの意味を理解するために，具体的な

事象と関連付けられるようにすることが大切である。

本問題を使って授業を行う場合，ｘ＋２ｙ＝６は周の長さが６の二等辺三角形

の底辺ｘと等辺ｙの関係を表す式とみなすと，「ｙについて解くこと」が等辺の

長さの求め方とその結果に当たることを確かめた上で，変形の途中の等式を

具体的な事象と関連付けて確認する活動を取り入れることが考えられる。

等式の変形の正誤を，具体的な数を代入して確かめることができるように

することが大切である。

例えば，本問題で，ｙ＝－ｘ＋３と誤って変形した場合，求めた等式にｘ＝３

を代入するとｙ＝０になるのに対して，もとの等式の左辺ｘ＋２ｙにｘ＝３，ｙ＝

０を代入すると右辺６と等しくならないことから，等式の変形の誤りを確認す

る活動を取り入れることが考えられる。

(4) 省略された演算記号を意識して，文字式の意味をよみとることができるよ

うにすることが大切である。

本問題で，選択肢ウやエを選択した生徒に対しては，３a＋４bを「３かけるa

と４かけるbの和である」ことを言葉で説明することを通して，文字式の意味

をよみとる活動を取り入れることが考えられる。

数量の関係を文字式で表すときに，文字を具体的な数に置き換えることに

よって，演算を正しく決定できるようにすることが大切である。

例えば，本問題で，選択肢ウを選択した生徒に対しては，３ｇの袋に１００ｇ

の品物を入れ，４ｇの袋に２００ｇの品物を入れたときの全体の重さを求めるが（３

＋１００）＋（４＋２００）となることから，ウの式が３＋a＋４＋bとなることを確認

する活動を取り入れることが考えられる。

文字式を具体的な事象に即して言葉に表し直すことができるようにするこ

とが大切である。

本問題を使って授業を行う場合，３a＋４bの項３aを「３×（正三角形の１辺の

長さ）」，項４ｂを「４×（正方形の１辺の長さ）」と表したり，加法の記号＋を「長

さの和（全体）」と表したりすることで，文字式の意味を具体的な事象に即し

てとらえる活動を取り入れることが考えられる。


３

(1) 文字式の計算技能を確かなものにする単項式どうしの乗法では，正の数と

負の数の乗法や文字の累乗の計算の表し方を踏まえて正確に計算することが

大切である。

指導に当たっては，計算過程を振り返り，文字式の計算がどのようなきま

りをもとになされているかを理解できるようにすることが考えられる。

(2) 数量の関係を文字式で表したり，文字式をよんだりすることができるよう

にする。数量の関係を文字式で表したり，文字式で表された事柄や関係をよ

んだりすることが大切である。

指導に当たっては，具体的な数や言葉を使った式を利用して数量の関係を

とらえ，文字式で表したり，その意味を解釈したりする場面を設定すること

が考えられる。例えば，連続する３つの自然数の和を「１＋２＋３＝１＋(１＋１)

＋(１＋２)」とみたり，自然数ｎに対して,ｎ＋１やｎ＋２はいつもｎよりも大きい

自然数を表すとみたりして，式ｎ＋(ｎ＋１)＋(ｎ＋２)の意味を解釈できるように

することが考えられる。

(3) 目的を明確にして等式を変形することができるようにする。

２つ以上の文字を含む等式の変形では，式変形の目的を明確にするととも

に，ある文字について解くことの意味を理解し，等式の性質などの根拠にも

とづいて正しく変形することが大切である。指導に当たっては，具体的な場

面で目的に応じて式を変形することの意味や，変形して得られた式を利用す

ることのよさを感得できるようにすることが大切である。例えば，二等辺三

角形の内角の和に関する式２ｘ＋ｙ＝１８０(ｘを底角の大きさ，ｙを頂角の大き

さとする。)を，底角の大きさを求めるために，ｘについて解いた式

１８０－ｙｘ＝

２

に変形できるようにすることなどが考えられる。

中学校数学科

２年生

１式の計算

[問題]

中学校

年組号氏名



■数学的な思考力・判断力・表現力をはぐくむ問題年組号氏名

■全国学力・学習状況調査① Ｂ問題

１太郎さんは，連続する３つの自然数の和がどんな数になるかを調べています。【H19】

１，２，３のとき，１＋２＋３＝６

２，３，４のとき，２＋３＋４＝９

３，４，５のとき，３＋４＋５＝１２

これらの結果から，連続する３つの自然数の和は３の倍数になることを予想し，この予想

が正しいことを下のように説明しました。

【太郎さんの説明】

連続する３つの自然数のうち，最も小さい数を n とすると連続する３つの自然数は，n ， n ＋１， n ＋２と表される。連続する３つの自然数の和は，

n ＋(n ＋１)＋(n ＋２)＝ n ＋ n ＋１＋ n ＋２＝３ n ＋３＝３(n ＋1)

n ＋１は自然数だから，３(n ＋１)は３の倍数である。

次の(1)，(2)の各問いに答えなさい。

(1) 太郎さんの説明の最後の式３(n ＋1)から，連続する３つの自然数の和は３の倍数である

ことのほかに分かることがあります。下のアからオの中から１つ選びなさい。

ア連続する３つの自然数の和は奇数である。

イ連続する３つの自然数の和は偶数である。

ウ連続する３つの自然数の和は最も小さい数の３倍である。

エ連続する３つの自然数の和は中央の数の３倍である。

オ連続する３つの自然数の和は最も大きい数の３倍である。


(2)【太郎さんの説明】から，

連続する５つの自然数の和は５の倍数になる

ことが予想されます。太郎さんの説明を参考にして，このことが正しいことの説明を完成

しなさい。

【説明】

連続する５つの自然数のうち，最も小さい数を n とすると，連続する５つの自然数は，n ， n ＋１， n ＋２， n ＋３， n ＋４と表され

る。

連続する５つの自然数の和は，

n ＋(n ＋１)＋(n ＋２)＋(n ＋３)＋(n ＋４)＝ n ＋ n ＋１＋ n ＋２＋ n ＋３＋ n ＋４



■全国学力・学習状況調査② Ｂ問題

２あるサッカー大会では，５チームが他のすべてのチームと１回ずつ試合をし，下の表のよ

うな結果になりました。【H19】

勝った試合数負けた試合数引き分けた試合数

Ｐチーム２２０

Ｑチーム３１０

Ｒチーム２０２

Ｓチーム０３１

Ｔチーム１２１

この大会では，次のようにして順位が決められました。

【順位の決め方】

１試合ごとに勝ったチームには３点，負けたチームには０点，引き分ける

と両チーム１点ずつ与え，合計点数の多いチームを上位として順位を決める。


次の(1)から(3)までの各問いに答えなさい。

(1) 前ページの順位の決め方にしたがうと，Ｒチームの合計点数は何点になりますか。

(2) この大会で１位になったのはどのチームですか。下のアからオの中から１つ選びなさい。

アＰチーム

イＱチーム

ウＲチーム

エＳチーム

オＴチーム

(3) この大会の順位は，前ページの順位の決め方から，勝った試合数を a，引き分けた試合数を b とするとき，３ a ＋ b の値で決まります。麻衣さんは，この大会の順位の決め方について，次のように言っています。

負けたチームは０点とすることを変えずに，勝った場合や引き分けた場合

に与える点数を変えると，順位が変わると考えて，新しい式をつくりました

その式で合計得点を計算すると，ＱチームとＲチームの合計得点が同じで

両チームが１位になりました。

ＱチームとＲチームの合計点数が同じで，両チームが１位になるような式を a，b を使って表しなさい。また，その式で，ＱチームとＲチームが同点で１位になることを説明し

なさい。



■全国学力・学習状況調査③ Ｂ問題

３直樹さんは，２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の和が

どんな数になるかを考えています。【H20】

２１のとき２１+１２＝３３

３５のとき３５+５３＝８８

４７のとき４７+７４＝１２１

８２のとき ①

上で調べたことから，直樹さんは，次のことを予想しました。

【直樹さんの予想】

２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の

和は，１１の倍数になる。


(1) 上の ① に当てはまる式を書きなさい。

(2) 直樹さんの予想が正しいことの説明を完成しなさい。

１１の倍数であることを説明するには，

１１と自然数の積になることをいえばいいんだ。

【説明】

２けたの自然数の十の位の数を x，一の位の数を y とすると，２けたの自然数は，１０ x ＋ y十の位の数と一の位の数を入れかえた数は，１０ y ＋ xと表される。したがって，それらの和は，

(１０ x ＋ y)＋(１０ y ＋ x)

(3) 直樹さんは，２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差

は，どんな数になるかを考えてみたいと思い，いくつかの場合を調べました。

４１のとき４１-１４＝２７

５３のとき５３-３５＝１８

８２のとき８２-２８＝５４

⋮ ⋮

これらのことから，２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数

の差について，どのようなことが予想できますか。前ページの直樹さんの予想のように，「～

は，…… になる。」という形で答えなさい。ただし，５５のように，十の位の数と一の位の

数が等しい数は考えないことにします。




■全国学力・学習状況調査④ Ｂ問題

４健治さんは，次の図のように，３段に並んでいる○の１段目に連続する３つの自然数

を順に入れました。そして，隣り合う２つの数の和を２段目の○に入れ，同じようにし

て３段目の数を求めました。【H21】

健治さんは，２４＝４×６，４４＝４×１１であることから，１段目にどんな連続する３つの自

然数を順に入れても，３段目の数はいつも４の倍数になることを予想しました。


(1) 連続する３つの自然数を２１，２２，２３とするとき, 下の図の①に当てはまる数を求めな

さい。

(2) 「１段目にどんな連続する３つの自然数を順に入れても，３段目の数はいつも４の倍数

になる。」という健治さんの予想が正しいことの説明を完成しなさい。

【説明】

(3) 上の説明で，２段目の２つの数は，２ n ＋１，２ n ＋３と表されています。このことから，２段目の２つの数について，いつもいえることがあります。下のアからオまでの中から正

しいものを１つ選びなさい。

ア２段目の２つの数は，連続する偶数である。

イ２段目の２つの数は，連続する奇数である。

ウ２段目の２つの数は，奇数と偶数である。

エ２段目の２つの数は，一の位の数が１と３である。

オ２段目の２つの数は，十の位の数が等しい。



■練習問題①

１太郎さんは，ある月のカレンダーを見ていて，数の間にある関係について調べています。

カレンダー

日月火水木金土

１２３４

５６７８９１０１１

１２１３１４１５１６１７１８

１９２０２１２２２３２４２５

２６２７２８２９３０３１

１

８のとき，１＋８＋１５＝２４

１５

１０

１７のとき，１０＋１７＋２４＝５１

２４

１３

２０のとき，１３＋２０＋２７＝６０

２７

これらの結果から，カレンダーの上から３つの自然数の和は，３の倍数になることを予想

し，この予想が正しいことを，次のように説明しました。

【太郎さんの説明】

３つの自然数のうち，最も小さい数を n とすると，３つの自然数は，n ， n ＋７， n ＋１４と表される。３つの自然数の和は，

n ＋(n ＋７)＋(n ＋１４)＝ n ＋ n ＋７＋ n ＋１４a＝３ n ＋２１a＝３(n ＋７)

n ＋７は自然数だから，３(n ＋７)は３の倍数である。



(1) 太郎さんの説明の最後の式３(n ＋７)から，３つの自然数の和は３の倍数である

ことのほかに分かることがあります。下のアからオの中から１つ選びなさい。

ア３つの自然数の和は奇数である。

イ３つの自然数の和は偶数である。

ウ３つの自然数の和は最も小さい数の３倍である。

エ３つの自然数の和は中央の数の３倍である。

オ３つの自然数の和は最も大きい数の３倍である。

(2) 太郎さんの説明から，

カレンダーの上から５つの自然数の和は５の倍数になる

ことが予想されます。太郎さんの説明を参考にして，このことが正しいことの説明を完成

しなさい。

【説明】

５つの自然数のうち，最も小さい数を n とすると，５つの自然数は，n ， n ＋７， n ＋１４， n ＋２１， n ＋２８と表される。

５つの自然数の和は，

n ＋(n ＋７)＋(n ＋１４)＋(n ＋２１)＋(n ＋２８)＝ n ＋ n ＋７＋ n ＋１４＋ n ＋２１＋ n ＋２８



■練習問題②

２けいたさんとかりんさんは，円Ｏ，円Ｐ，円Ｑの円周からできる道路を使って，Ａ地点か

らＢ地点まで，買い物に行く道のりについて会話をしています。

円Ｐの半径を a ｍ，円Ｑの半径を b ｍとして，あとの問いに答えなさい。

【けいたとかりんの会話】

けいた

かりん

イから行った方が断然近いよ。

アから行っても，イから行っても同じよ。

A ＢＯＰ

ア

イ

Q


(1) けいたくんが考えるイの道のりを求めなさい。

(2) かりんさんは，どちらから行っても，距離は等しいといっています。そのわけを説明し

なさい



■練習問題③

３花子さんが，２けたの自然数とその数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差につ

いて，次のような発見をしました。

まず，最初の自然数の十の位の数を a，一の位の数を b とすると，１０ a ＋ b となるわ。そうすると，一の位の数と十の位の数を入れかえた数は，１０ b ＋ａとおけるから，２つの数の差をとると，（１０ a ＋ b ）－（１０ b ＋ a) a＝１０ a ＋ b －１０ b － a

＝９ a －９ b＝９（ a － b ）

９×整数となるのでこれは９の倍数になるのよ。

これを聞いていた太郎君も，新しい発見をしました。

花子さんの方法を利用して，太郎君の発見が正しいことを，文字式や言葉を使って説明しな

さい。ただし，はじめの３けたの自然数は，百の位の数を a，十の位の数を b，一の位の数を cとして考えなさい。

花子さんのを聞いて，ぼくも考えてみたよ。３けたの自然数で発見した

よ。それは，一の位の数が０でない３けたの自然数と，一の位の数と百の

位の数を入れかえた自然数と差は，必ず９９の倍数になるんだ。例えば，

最初の自然数が９５２とすると，

９５２－２５９＝６９３

＝９９×７

となって，９９の倍数ということが言えるんだ。

私は，発見したわ。一の位の数が０でない２けたの自然数に関することよ。

実は，この自然数と一の位の数と十の位の数を入れかえた自然数の差は，９の倍

数になるのよ。

このことを，文字を使って説明するわ。



■練習問題④

４次は，花子さんと太郎君が割り算について会話をしています。あとの問に答えなさい。

【花子さんと太郎さんの会話】

花子さん：わり算で，わられる数とわる数，商とあまりの関係はどうなってたかなあ。

太郎君：一般に次のような関係があるんだよ。

（わられる数）＝（わる数）×（商）＋（あまり）・・・（☆）

花子さん：えーと，難しいなあ。具体的に数字で考えてみるわ。例えば，１３を５，６，７

でわってみると，次のような式になるよね。

１３÷５＝２あまり３・・・①

１３÷６＝２あまり１・・・②

１３÷７＝１あまり６・・・③

だから，（☆）のようにあらわすと，

①より，１３＝５×２＋３

②より，１３＝６×２＋１

a③より，ア

なるほど。（☆）の意味がよく分かったわ。

太郎君：その通りです。では次のような問題を考えてみよう。今，自然数Ａ，Ｂがある。

Ａは５でわると商がｍであまりが１，Ｂは５でわると商がｎであまりが４になる

とき，Ａ＋Ｂが５の倍数になることを説明してみよう。

花子さん：難しそうだけど，やってみるわ。（☆）の式を使えばいいから・・・

(1) アにあてはまる式を答えなさい。

(2) 花子さんの説明の続きを，完成させなさい。


中学校数学科

２年生

１式の計算

[解答]

中学校

年組号氏名



■数学的な思考力・判断力・表現力をはぐくむ問題[解答] 年組号氏名

■全国学力・学習状況調査① Ｂ問題

１

(1) エ連続する３つの自然数の和は中央の数の３倍である。

(2) 【説明】

連続する５つの自然数のうち，最も小さい数をｎとすると，

連続する５つの自然数は，ｎ，ｎ＋１，ｎ＋２，ｎ＋３，ｎ＋４と

表される。

連続する５つの自然数の和は，

ｎ＋（ｎ＋１）＋(ｎ＋２)＋(ｎ＋３)＋（ｎ＋４）

＝ｎ＋ｎ＋１＋ｎ＋２＋ｎ＋３＋ｎ＋４

＝ｎ＋ｎ＋ｎ＋＋ｎ＋ｎ＋１＋２＋３＋４

＝５ｎ＋１０

＝５(ｎ+２)

ｎ＋２は自然数だから，５(ｎ＋２）は５の倍数である。



■全国学力・学習状況調査② Ｂ問題

２

(1) Ｒチームは２勝０敗２引き分けだから

Ｒチーム：２×３＋２×１＝８

(2) 勝った試合を３点，負けた試合を０点，引き分けた試合を１点とすると

Ｐチームは，３×２＝６

Ｑチームは，３×３＝９

Ｒチームは，３×２＋１×２＝８

Ｓチームは，１×１＝２

Ｔチームは，３×１＋１×１＝４答えイＱチーム

(3) 勝った試合を２点，引き分けた試合を１点とすると

式は２ａ＋ｂとなる。

【説明】

合計得点を求める式を２ａ＋ｂとするとき，

Ｐチームは，２×２＝４

Ｑチームは，３×２＝６

Ｒチームは，２×２＋２×１＝６

Ｓチームは，１×１＝１

Ｔチームは，１×２＋１×１＝３

したがって，合計得点を求める式を２ａ＋ｂとすると

ＱチームとＲチームが同点で１位になる。



■全国学力・学習状況調査③ Ｂ問題

３

(1) ８２＋２８＝１１０

(2)

【説明】

２けたの自然数の十の位の数をｘ，一の位の数をｙとすると，

２けたの自然数１０ｘ＋ｙは，

十の位の数と一の位の数を入れかえた数１０ｙ＋ｘは，

と表される。したがって，それらの和は，

（１０ｘ＋ｙ）＋（１０ｙ＋ｘ）＝１０ｘ＋ｙ＋１０ｙ＋ｘ

＝１１ｘ＋１１ｙ

＝１１（ｘ＋ｙ）

よって，１１×自然数になるので，１１の倍数になる。

(3) ２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差は，

９の倍数になる。



■全国学力・学習状況調査④ Ｂ問題

４

(1) ２１＋２２＝４３,２２＋２３＝４５

よって，４３＋４５＝８８

(2)

【説明】

（２ｎ＋１）＋（２ｎ＋３) ＝２ｎ＋１＋２ｎ＋３

＝４ｎ＋４

＝４（ｎ＋１）

よって，４×自然数なので,４の倍数になる。

(3) ２ｎが偶数を表すので，２ｎ+１と２ｎ+３はともに奇数を表す。かつ，これらは連続する奇

数になっているので,答えはイである。



■練習問題①

１

(1) エ３つの自然数の和は中央の数の３倍である。

(2) 【説明】

５つの自然数のうち，最も小さい数をｎとすると，

５つの自然数は，ｎ，ｎ＋７，ｎ＋１４，ｎ＋２１，ｎ＋２８

と表される。

５つの自然数の和は，

ｎ＋(ｎ＋７)＋(ｎ＋１４)＋(ｎ＋２１)＋(ｎ＋２８)

＝ｎ＋ｎ＋７＋ｎ＋１４＋ｎ＋２１＋ｎ＋２８

＝ｎ＋ｎ＋ｎ＋ｎ＋ｎ＋７＋１４＋２１＋２８

＝５ｎ＋７０

＝５(ｎ＋１４)

ｎ＋１４は自然数だから，５(ｎ＋１４)は５の倍数である。



■練習問題②

２

(1) 円周の求め方は，直径×πだから

円Ｐについては，円周の半分だから２ａ×π× ＝２ａ×π×

＝πａ

円Ｑについては，円周の半分だから２ｂ×π× ＝２ｂ×π×

＝πｂ

よって，けいたさんが行く道のりは,あわせて πａ＋πｂ (ｍ)

(2) 【説明】

けいたさんの行く道のりは，πａ＋πｂ (ｍ)

かりんさんの行く道のりは，円Ｏの円周の半分だから

(２ａ＋２ｂ)×π× ＝(２ａ＋２ｂ)×π×

＝ π(２ａ＋２ｂ)

＝πａ＋πｂ（ｍ)

けいたさんの行く道のりとかりんさんの道のりは，πａ＋πｂ(ｍ)となるので

どちらから行っても，距離は等しい。

１８０

３６０

１

２

１８０

３６０

１

２

１８０

３６０

１

２

１

２



■練習問題③

３

３けたの数を，１００ａ＋１０ｂ＋ｃとする。また,一の位の数と十の位の数を入れかえた数は,

１００ｃ＋１０ｂ＋ａとなる。よって，

（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）－（１００ｃ＋１０ｂ＋ａ）＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ－１００ｃ－１０ｂ－ａ

＝９９ａ－９９ｃ

＝９９（ａ－ｃ）

９９×整数になるので,これは９９の倍数になる。



■練習問題④

４

(1) （☆）の式を参考にすると, １３＝７×１＋６

(2) Ａ＝５ｍ＋１, Ｂ＝５ｎ＋４となるので，

Ａ＋Ｂ＝（５ｍ＋１）＋（５ｎ＋４）

＝５ｍ＋１＋５ｎ＋４

＝５ｍ＋５ｎ＋５

＝５（ｍ＋ｎ＋１）

よって，５×自然数となるので，５の倍数になるわ。

中学校数学科

２年生

１式の計算


中学校

年組号氏名



■数学的な思考力・判断力・表現力をはぐくむ問題

■全国・学力状況調査Ｂ問題

■学年２年

■単元２－１数の計算

■ねらい１説明を振り返って考えることができる

発展的に考え，その結果を説明することができる

２与えられた情報を的確に処理することができる

問題解決のための構想を立てたり，その構想を振り返って改善したりする

ことができる

事柄が成り立つ理由を数学的な表現を用いて説明することができる

３事柄が成り立つ理由を，方針にもとづいて説明することができる

発展的に考え，予想した事柄を説明することができる

４事柄が成り立つ理由を説明することができる

説明を振り返って考えることができる

１

(1) ある命題が成り立つことを文字式を用いて説明する場面では，その説明を

振り返って文字式から新たな性質をよみとることができるようにすることも

大切である。

その際には，式だけでなく，どの数を文字でどのように表したかを確認し

た上で，文字式の意味をよみとることができるようにする。本問題では，「最

も小さい数をｎとする」ことを確認することで，３ (ｎ＋１)が「真ん中の数ｎ＋

１の３倍である」ことを的確によみとらせることが考えられる。

文字式に具体的な数を代入し，式の値を手がかりとして文字式の意味を帰

納的に考えられるようにすることが大切である。本問題では，ｎに自然数を

代入し，３ (ｎ＋１)の値を調べることで，「いつも偶数や奇数になる」ことが誤

りであることに気付いたり，ｎ＋１が連続する３つの自然数の中央の数である

ことを帰納的に見付けたりすることが考えられる。

(2) 事柄が成り立つことを説明するためには，結論となる事柄を明確にし，そ

のことが正しいことを説明するためには何がいえればよいかを逆向きに考え

るなどして，見通しをもって説明を構想し，評価・改善できるようにするこ


例えば，「まず，５，１０，１５，２０など具体的な数によって，５の倍数が『５

×□』や『□×５』の形で表されることを明確にする。そして，５の倍数で

あることを説明するためには，文字式を『５×□』や『□×５』の形に変形し，

□の部分が自然数であることを示せばよい。」というように見通しをもてるよ

うにすることが考えられる。

問題の条件などを変えて発展的に考える際に，説明する結論や根拠の要素

のうち，もとの説明と変わる点を，文脈に即して的確に解釈できるようにす

ることが大切である。本問題では，連続する「３つの自然数」を「５つの自


然数」に変えると，３ (ｎ＋１)の３が５に，ｎ＋１がｎ＋２に変わり，和が５ (ｎ＋２)

になることをとらえることによって，根拠として「 n ＋２が自然数である」

ことが必要であることに気付くことができる。

２

(1) 日常的な事象において目的に応じて情報をよみとり，数学的に処理する活

動を取り入れることが大切である。

例えば，本問題でＲチームの合計点数を求めるように，順位の決め方にし

たがって，与えられた表から必要な情報をよみとり，適切に処理する機会を

設けることが考えられる。

（2) 情報を処理する際には，確実で能率のあがるものが求められる。確実な方

法であっても，時間や手間のかかるものであった場合には，より能率のあが

る方法を工夫することが大切である。

問題では，各チームの点数を比べてＱチームが１位としてもよいが，勝ち

負け表で勝った試合数とそれに対応する点数(３点)に着目し，Ｐ，Ｑ，Ｒチ

ームのいずれかに絞り込み，さらに負けた試合や引き分けた試合に着目する

と，Ｑチームが１位であると判断できる。

(3) 問題の条件に基づいて試行を繰り返し，条件に合うものを考案する活動を

取り入れることが大切である。

本問題では，問題に対して何をどのようにすればよいのかわからない生徒

に対しては，まずは教師が実際に式をつくって試行してみせ，それに倣って

生徒自身が式をつくり，見通しをもって試行を繰り返すことが考えられる。

例えば，仮に得点を求める式を「３ａ＋２ｂ」に変えた場合，ＱチームとＲチー

ムの得点を求め，同点にならないことを示し，その上で，どのように式を変

えれば同点で１位になるかについて，生徒自身が見通しをもって試行を繰り

返すようにする活動が考えられる。

問題の解決では答えを求めることとともに，なぜその答えでよいのかを明

らかにしていくことが大切である。その際，与えられた情報を表や図に整理

すると，解決に必要なアイデアをとらえやすくなり，理由を説明する活動を

充実させることができる。

本問題では，試行を繰り返して得点の式を見いだすだけでなく，勝敗表を

つくると，Ｑ，Ｒチームの勝敗がＱ(○，○，○，×)，Ｒ(○，○，△，△)

になることから，○と△２つが等しくなるように得点の式を決めればよいと

気付くようにすることが考えられる。

３

(1) 与えられた問題場面について具体的な数を用いるなどして，考察の対象を

明確にとらえ,表現できるようにすることが大切である。

本問題を使って授業を行う場合には，予想「２けたの自然数と，その数の十

の位の数と一の位の数を入れかえた数の和は，１１の倍数になる。」が成り立


つかを，例えば，具体的な数４２で確かめるとともに，それを「４２＋２４＝６６」

と表現する活動を取り入れることが考えられる。

(2) 事柄が成り立つことを説明するために，結論とその根拠を，文字式や言葉

を用いて記述できるようにすることが大切である。

本問題を使って授業を行う場合には，例えば，１１ (ｘ＋ｙ)で終わっている説

明を取り上げ，結論「１１ (ｘ＋ｙ)は１１の倍数である。」と，その根拠「ｘ＋ｙ

が自然数である。」が必要であることを明らかにして，よりよい説明に手直し

する活動を取り入れることが考えられる。

(3) 数や図形に関する性質を考察する場面において，成り立つ性質を予想でき

るようにすることが大切である。

例えば，数の性質を下のような例を調べることを通して帰納的に見いだす

場面や，和の場合をもとに差の場合の性質を類推する場面などにおいて，生

徒が自由に予想し，その予想を表現する活動を取り入れることが考えられる。

４１－１４＝２７＝９×３

５３－３５＝１８＝９×２

８２－２８＝５４＝９×６

数や図形に関する性質を予想し，「～は，……になる（である）。」という

形で主語（説明する前提や根拠）と述語（説明される結論）を明確にして表

現できるようにすることが大切である。

本問題を使って授業を行う場合には，「９の倍数になる。」や「数の差は９

の倍数になる。」など，主語が明確に表現できていない予想を取り上げ，この

表現では相手に予想した内容を正確に伝えられないことから，条件を明確に

して主語と述語を表現することの大切さを実感できる活動を取り入れること

が考えられる。

証明や説明を振り返ったり，条件を変えたりすることで，考察の対象に関

する新しい性質を予想できるようにすることが大切である。

本問題を使って授業を行う場合には，問題の条件を和から差に変えたり，

２けたの自然数を３けたに変えたりするなど，発展的に考えるための視点を

示した上で，生徒自らがその視点を用いて新たな性質を予想する活動を取り

入れることが考えられる。

今までに学んだ事柄に関連付けながら，いくつかの数に共通する規則を見

いだすことができるようにすることが大切である。

例えば，４１－１４や５３－３５を計算して得られる２７や１８などの２けたの数

が，かけ算九九表でみたときには「９の段」に表れることを見いだし，「２け

たの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差は，９

の倍数になる。」と予想していく活動を取り入れることが考えられる。


４

(1) 予想した事柄を別の場合で確かめることを大切にする。

数や図形について成り立ちそうな事柄を帰納的に見いだす活動においては，

予想した事柄について，別の場合でも成り立つかどうかを確かめることが大

切である。そうすることで，予想の誤りに気づき予想を見直したり，より確

かな予想であることを確認して説明や証明の必要性を実感したりできるよう

になる。指導に当たっては，本問題で示されている２つの場合から，「３段目

の数の一の位の数は４になる。」や「３段目の数は１段目の中央の数の４倍に

なる。」という予想をした場面において，別の数を１段目に入れてもその予想

が成り立つかどうかを確かめる活動を取り入れることが考えられる。例えば，

１段目に１，２，３を入れた場合，３段目の数は８となって，前者の予想は

成り立たないが，後者の予想は成り立つことを確かめる機会を設定すること

が考えられる。

(2) 文字式を活用して，事柄が成り立つ理由を説明できるようにする。

整数の性質などがいつも成り立つことを説明する際には，文字式を活用し，

根拠を明らかにして，それにもとづいて結論を導くことが大切である。また，

このことによって，筋道立てて説明し伝え合う活動を充実させることにもな

る。指導に当たっては，根拠を明らかにし，それにもとづいて結論を導く過

程を重視する必要がある。例えば，設問(2)で，計算結果４(ｎ＋１)をもとに，

「４（ｎ＋１)は４の倍数である。」ということを示すために，４の倍数が４×（自

然数）の形で表されることから，根拠として「ｎ＋１が自然数だから」を示す

必要があることを確認する場面を設定することが考えられる。また，この説

明は「３段目の数はいつも４の倍数になる。」という予想が正しいことを示す

ものなので，結論を「４(ｎ＋１)は４の倍数である。」と表現するだけではなく，

「したがって，３段目の数は４の倍数である。」まで表現できるようにするこ


(3) 説明を振り返って新たな性質を見いだすことができるようにする。

文字式を用いて説明する学習では，ある事柄を文字式を用いて説明するだ

けでなく，文字式による説明を振り返り，そこから新たな性質を見いだすこ

とが大切である。そうすることで，数や図形の性質などを見いだし，発展的

に考える活動に意欲的に取り組むことにつながる。指導に当たっては，例え

ば，設問(2)において，３段目の数として計算された４ (ｎ＋１ )に着目して，ｎ

＋１は連続する３つの自然数の中央の数を表していることから，「３段目の数

は１段目の中央の数の４倍である。」という性質を見いだす機会を設定するこ

とが考えられる。また，設問(3)のように，２段目の数の２ｎ＋１と２ｎ＋３は連

続する奇数であることと，３段目の数は４の倍数であることとをあわせて，「連

続する２つの奇数の和は，４の倍数である。」という性質を見いだす機会を設

定することもできる。さらに，本問題において，連続する数を入れる○の段

数を「３」から「４」，「５」に変えたり，「連続する自然数」を「連続する偶

数」や「連続する奇数」に変えたりして，発展的に考え，新たな性質を見い

だす機会を設定することもできる。

中学校数学科

２年生

２連立方程式

[問題]

中学校

年組号氏名

第２学年２連立方程式

５x＋７y＝３あ２x＋３y＝１あ

y＝３x－１　あ３x＋２y＝１６あ

２x－３y＝１あ３x＋２y＝８あ



１次の(1)から(5)までの問いに答えなさい。

(1) 二元一次方程式 x － y ＝１の解である x，y の値の組について，下のアからエの中から正しいものを１つ選びなさい。【H20】

ア解である x，y の値の組はない。イ解である x，y の値の組は１つだけある。ウ解である x，y の値の組は２つだけある。エ解である x，y の値の組は無数にある。

(2) １個１２０円のりんごと１個７０円のオレンジを合わせて１５個買ったら，代金の合計は１６

００円になりました。買ったりんごの個数とオレンジの個数を求めるために，りんごの個

数を x 個，オレンジの個数を y 個として連立方程式をつくりなさい。ただし，つくった連立方程式を解く必要はありません。【H19】

(3) 連立方程式を解きなさい。【H19】





■練習問題①

１解が（ x ， y ）＝（－１，４）になる連立二元一次方程式を一つつくりなさい。

２解が（ x ， y ）＝（２，１）になる連立方程式を次のアからオの中からすべて選びなさい。

ア２ x ＋ y ＝1 イ３ x ＋４ y ＝１０ウ２ x －３ y ＝7x －２ y ＝８４ x ＋３ y ＝１１３ x ＋４ y ＝２

ウ２ x －３ y ＝7 エ３ x －２ y ＝5 オ３ x －２ y ＝４３ x ＋４ y ＝２ y ＝－２ x+1 x ＝－３ y ＋５

３次の連立方程式を解きなさい。

３（ x ＋ y －１）－４ y ＝５０．０６ x ＋０．０４ y ＝１６(1) (2)

５ x －３（２ x － y －３）＝１７ x ＋ y ＝３００

０．２ x －０．３ y ＝０．７(3) １１１－ x ＋－ y ＝－４３６



■練習問題②

ax ＋ by ＝１４連立方程式解が（ x ， y ）＝（３，２）のとき，

bx － ay ＝８

定数 a ， b の値を求めなさい。

２ x ＋３ y ＝５・・・①５連立方程式１をＡさん，Ｂ君がそれぞれの方法で解を

y ＝－ x －３・・・②２

求めた。あなたなら，どちらの方法で解きますか。

ＡさんＢ君

あなたなら，どちらの方法でときますか。ＡさんかＢ君か答えて，その方法で連立方程式を解きな

さい。

私は②の式が，＝

の形になっている

ので，まず，②の式

を①の式に代入し

て，解いていくわ。

ぼくは，②の式に分数

があるので，両辺を２

倍して，式を整理して

加減法で解くけどな

あ。


中学校数学科

２年

２連立方程式

[解答]

中学校

年組号氏名




１

(1) 二元一次方程式２ｘ－ｙ＝１の解は,この等式を成り立たせる文字ｘ,ｙの値の組である。こ

の等式を成り立たせる文字ｘ,ｙの値の組は無数にあり，エになる。

(2) りんごとオレンジの個数と，代金について式をつくるとよい。

ｘ＋ｙ＝１５

１２０ｘ＋７０ｙ＝１６００

５ｘ＋７ｙ＝３・・・①(3)

２ｘ＋３ｙ＝１・・・②

①×２－②×５ｙ＝－１を①に代入して，ｘ＝２

１０ｘ＋１４ｙ＝６ (ｘ，ｙ)＝(２，－１)

－）１０ｘ＋１５ｙ＝５

ｙ＝－１

ｙ＝３ｘ－１・・・①(4)

３ｘ＋２ｙ＝１６・・・②

①を②に代入して，ｘ＝２を①に代入して，ｙ＝５

３ｘ＋2(３ｘ－１)＝１６ (ｘ，ｙ)＝(２，５)

３ｘ＋６ｘ－２＝１６

９ｘ＝１８

ｘ＝２

２ｘ－３ｙ＝１・・・①(5)

３ｘ＋２ｙ＝８・・・②

①×３－②×２ｙ＝１を①に代入して，ｘ＝２

６ｘ－９ｙ＝３ (ｘ，ｙ)＝(２，１)

－）６ｘ＋４ｙ＝１６

－１３ｙ＝－１３

ｙ＝１




■練習問題①

１２ｘ＋３ｙ＝１０（例）など

ｘ－ｙ＝－５

２実際にそれぞれ，ｘ＝２，ｙ＝１を代入して確かめるとよい。

答えはイとオ

３

３（ｘ＋ｙ－１）－４ｙ＝５・・・① ０．０６ｘ＋０．０４ｙ＝１６・・・①(1) (2)

５ｘ－３（２ｘ－ｙ－３）＝１７・・・② ｘ＋ｙ＝３００・・・②

①より３ｘ－ｙ＝８・・・①’ ①×１００より

②より－ｘ＋３ｙ＝８・・・②’ ６ｘ＋４ｙ＝１６００・・・①’

①’＋②’×３より ①’－②×４より

３ｘ－ｙ＝８６ｘ＋４ｙ＝１６００

＋）－３ｘ＋９ｙ＝２４－）４ｘ＋４ｙ＝１２００

８ｙ＝３２２ｘ＝４００

ｙ＝４ｘ＝２００

①’に代入して，ｘ＝４ ②に代入してｙ＝１００

よって，（ｘ，ｙ）＝（４，４）よって，（ｘ，ｙ）＝（２００，１００）

０．２ｘ－０．３ｙ＝０．７・・・①

(3) １１１－ｘ＋－ｙ＝－・・・②４３６

①×１０２ｘ－３ｙ＝７・・・①’

②×１２３ｘ＋４ｙ＝２・・・②’

①’×３－②’×２より

６ｘ－９ｙ＝２１

－）６ｘ＋８ｙ＝４

－１７ｙ＝１７

ｙ＝－１

①’に代入してｘ＝２

よって，（ｘ，ｙ）＝（２，－１）


ａｘ＋ｂｙ＝１・・・①４に（ｘ，ｙ）＝（３，２）を代入すると，

ｂｘ－ａｙ＝８・・・②

①より，３ａ＋２ｂ＝１・・・①’

②より，－２ａ＋３ｂ＝８・・・②’

①’×２＋②’×３より，

６ａ＋４ｂ＝２

＋）－６ａ＋９ｂ＝２４

１３ｂ＝２６

ｂ＝２

①’に代入してａ＝－１

よって，（ａ，ｂ）＝（－１，２）

２ｘ＋３ｙ＝５・・・①

５１ｙ＝－ｘ－３・・・②

２

Ａさんを選んだ場合：②を①に代入して，Ｂ君を選んだ場合：②×２より

１－ｘ＋２ｙ＝－６・・・②’２ｘ＋３（－ｘ－３）＝５２

３ ①＋②’×２より２ｘ＋－ｘ－９＝５２

２ｘ＋３ｙ＝５

７＋）－２ｘ＋４ｙ＝－１２－ｘ＝１４２

ｘ＝４７ｙ＝－７

①に代入してｙ＝－１ｙ＝－１

よって（ｘ，ｙ）＝（４，－１） ①に代入して, ｘ＝４

よって，（ｘ,ｙ）＝（４，－１）

中学校数学科

２年生

２連立方程式


中学校

年組号氏名


■知識・技能の習得を図る問題

■全国学力・学習状況調査Ａ問題

■学年２年

■単元２－２連立方程式

■ねらい二元一次方程式とその解の意味を理解することができる

数量の関係をとらえ，連立二元一次方程式を立式することができる

簡単な連立二元一次方程式を解くことができる

１

(1) 方程式の解の求め方を指導する際に，解の意味を理解できるようにすること

が大切である。

方程式の解が，その等式を成り立たせる数や数の組であるとともに，二元一

次方程式においては解が無数にあることを理解することが大切である。指導に

当たっては，方程式の解を求める手続きの習熟を図ることだけでなく，様々な

数や数の組を方程式に代入するなどして解を試行錯誤しながら探したりするこ

とや，一次関数の学習の中で，二元一次方程式を一次関数の式とみて直線のグ

ラフとして表し，その直線が通る格子点だけではなく，その直線上にあるすべ

ての点が解であることを確かめたりすることが考えられる

(2) 方程式を立式するために，図や表を生かして，数量の関係を視覚化できるよ

うにする問題の解決に方程式を利用する際には，数量の関係をとらえ，問題に

示された条件を方程式で表現できるようにすることが必要である。

指導に当たっては，問題場面を整理するために線分図や表を利用して，数量

の関係を視覚的にとらえ，方程式の立式に役立てるようにすることが大切であ

る。

(3) この問題は，簡単な連立二元一次方程式を解くことができるかどうかをみる

ものである。

ここでは，文字を１つ減らして一元一次方程式に変形し，２つの二元一次方

程式を同時に満たす値の組を求めることになる。連立二元一次方程式を

解くことは，一次関数のグラフの交点を求めるなどの際に必要である。ここで

は，代入法を適切に使って，連立二元一次方程式を解くことができるようにす

ることが大切である。

(4) ここでは，加減法を用い連立二元一次方程式を解くことの学習で，一方の文

字を消去し，既習の一元一次方程式に帰着させるために，加減法や代人法を適

切に使うことができるようにすることが大切である。

指導に当たっては，いくつかの連立二元一次方程式を加減法と代人法で解き，

それぞれの解き方を比較して，加減法と代人法に共通する考えを理解したり，

それぞれの解き方のよさを実感したりできるようにすることが考えられる。



(5) ここでは，かっこがある連立二元一次方程式や小数，分数が含まれている連

立二元一次方程式を解く学習である。

両辺を何倍かして係数を整数にして，解くことができるようにすることが大

切である。かっこがある問題や分数や小数を含む問題は，苦手意識をもってい

る生徒も多い。小数が出てきた場合は両辺を１０倍，１００倍・・・などする

ことや，分母が異なる分数が出てきた場合は，その最小公倍数を両辺にかける

とよいことを理解すれば，整数係数の連立二元一次方程式を解くことと，全く

同じであることに気付かせたい。

中学校数学科

２年生

２連立方程式

[問題]

中学校

年組号氏名



■練習問題①

１太郎さんと花子さんは，次の【問題】を考えました。あとの問いに答えなさい。

【問題】

Ａ地点からＢ地点を経てＣ地点まで，１７０ｋｍの道のりを自動車で行くのに，

Ａ，Ｂ間を時速３０ｋｍ，Ｂ，Ｃ間を時速７０ｋｍで走ると，３時間かかりました。

Ａ，Ｂ間，Ｂ，Ｃ間を走った時間はそれぞれ何時間ですか。

(1) 太郎さんと花子さんはそれぞれ次のような連立方程式をつくり求めようとしました。太

郎さんと花子さんは，それぞれ何を x，y とおいて連立方程式をつくったのか答えなさい。

【太郎さん】【花子さん】

x ＋ y ＝３ x ＋ y ＝１７０３０ x ＋７０ y ＝１７０ ax a y

－＋－＝３３０７０

(2) 太郎さんと花子さんのどちらかの連立方程式を使って解きなさい。


中学校数学科

２年

２連立方程式

[解答]

中学校

年組号氏名




■練習問題①

１

(1) 太郎さんの方程式…Ａ，Ｂ間を走った時間をｘ時間，Ｂ，Ｃ間を走った時間をｙ時間と

している。

花子さんの方程式…Ａ，Ｂ間の道のりをｘｋｍ，Ｂ，Ｃ間の道のりをｙｋｍとしている。

(2) 太郎さんの方程式で解いた場合花子さんの方程式で解いた場合

ｘ＋ｙ＝３・・・①

３０ｘ＋７０ｙ＝１７０・・・②

－）３０ｘ＋７０ｙ＝１７０

ｙ＝２を①に代入して

①× ３０－②

(ｘ，ｙ)＝(１，２)

Ｂ，Ｃ間を走った時間…２時間

Ａ，Ｂ間を走った時間…１時間

３０ｘ＋３０ｙ＝９０

－４０ｙ＝－８０ｙ＝２

，ｘ＝１

ｘ＋ｙ＝１７０・・・①

３０

ｘ＋７０

ｙ＝３・・・②

②× ２１０－①× ３

Ａ，Ｂ間を走った時間…

－）３ｘ＋３ｙ＝５１０

ｘ＝３０を①に代入して，ｙ＝１４０

Ｂ，Ｃ間を走った時間…

７ｘ＋３ｙ＝６３０

４ｘ＝１２０ｘ＝３０

３０

３０

１４０

７０

＝１

＝２

１時間

２時間

中学校数学科

２年生

３一次関数

［問題］

中学校

年組号氏名

２－３一次関数



１次の(1)，(2)の各問いに答えなさい。【H19】

(1) 下のアからオの中に，yが x の一次関数であるものがあります。正しいものを１つ選びなさい。

ア面積が６０ｃｍ２の長方形で，縦の長さが x ｃｍのときの横の長さ y ｃｍ

イ水が５ℓ入っている水そうに，毎分３ℓの割合でいっぱいになるまで水を入れるとき，

水を入れ始めてからの x 分後の水の量 y ℓ

ウ身長 x ｃｍの人の体重 y ｋｇ

エ６ｍのリボンを x 人で同じ長さに分けるときの１人分の長さ y ｍ

オ午後 x 時の気温 y ℃

(2) 下のアからオの中に，一次関数 y ＝－３ x ＋２のグラフがあります。正しいものを１つ選びなさい。

アイウ

エオ

y y

y

xＯ

y

xＯ

xＯ

Ｏ

y



■全国学力・学習状況調査② Ａ問題aまなぶ

２学さんは，家から７００ｍ離れた公園までいきました。

下の図は，学さんが家を出発してからの時間と，進んだ距離の関係を表したグラフです。

【H19】


(1) 上のグラフから，家を出発して２分後までは１００ｍを一定の速さで進んだことが分か

ります。家を出発してから２分間進んだ速さは毎分何ｍですか。

(2) 家を出発して２分後の地点から公園まで行ったときの速さは毎分何ｍですか。

３下の図で，直線①は方程式 x ＋ y ＝５のグラフ，直線②は方程式 x － y ＝１のグラフです。

x ＋ y ＝５グラフの点Ａから点Ｅの中に，連立方程式の解を座標にもつ点があります。

x － y ＝１

下のアからオの中から正しいものを１つ選んで記号で答えなさい。

ア点Ａ

イ点Ｂ

ウ点Ｃ

エ点Ｄ

オ点Ｅ

x

y



■全国学力・学習状況調査③ Ａ問題

４下の図の直線は，比例 y＝２ xのグラフを表しています。【H20】

このグラフのうち，x の変域を－1≦ x ≦２に対応する部分を，下の図の点線（）の上に，太線（）でかきなさい。

また，太線の両端を印で示しなさい。

y

x

x

y



■全国学力・学習状況調査④ Ａ問題

５次の(1)，(2)の各問いに答えなさい。【H20】

(1) 一次関数 y ＝２ x －３のグラフの傾きを求めなさい。

(2) 下の表は，ある一次関数について，x の値と y の値の関係を示したものです。y を x の式で表しなさい。

x ・・・－２－１０１２・・・y ・・・－１２５８ 11 ・・・

６二元一次方程式２ x ＋ y ＝６の解を座標とする点の全体を表すグラフを，下のアからエの中から１つ選びなさい。

アイ

ウエ

x

yy

x

y

x

y

x



■全国学力・学習状況調査⑤ Ａ問題

７下の図は，長さ１２ｃｍの線香が燃え始めてからの時間と，線香の長さの関係を表した

グラフです。【H20】


(1) 線香が燃え始めてから２ｃｍ燃えるのにかかった時間を，下のアからオの中から１つ選

びなさい。

ア１分イ２分ウ４分エ１１分オ２０分

(2) 線香が燃え始めてから１８分後の線香の長さを求めなさい。



■全国学力・学習状況調査⑥ Ａ問題

８次の(1)から(3)までの各問いに答えなさい。【H21】

(1) 下のアからオまでの中に，傾きが－３，切片が２である一次関数のグラフがあります。

それを１つ選びなさい。

アイウ

エオ

(2) 水が５ℓ入っている水そうに，毎分３ℓの割合で，いっぱいになるまで水を入れます。

水を入れ始めてから x 分後の水そうの水の量を y ℓとするとき，y を x の式で表しなさい。

(3) 真一さんは，次のような，一次関数を学習したときのメモの一部を見つけました。

そこで，このメモから xと y の関係がどのような式で表されていたかを考えました。この x と y の関係を表す式を，下のアからオまでの中から１つ選びなさい。

ア y ＝３ x ＋１

イ y ＝－３ x －２

ウ y ＝－２ x －５

エ y ＝－２ x －３

オ y ＝－３ x ＋１

y

xＯ

x

y

Ｏ

x

y

Ｏx

y

Ｏ

x

y

Ｏ



■全国学力・学習状況調査⑦ Ａ問題

９下のアからエまでの中に二元一次方程式２ x ＋ y ＝６の解を座標とする点の全体を表したものがあります。それを１つ選びなさい。【H21】

アイ

ウエ

y

x

y

x

y

x

y

x



■練習問題①

１次の(1)，(2)の各問いに答えなさい。

(1) 下のアからオの中に，y が x の一次関数であるものがあります。正しいものをすべて選びなさい。

ア３０ｋｍの道のりを，時速 x ｋｍで進んだときにかかる時間 y 時間

イ１本１００円の鉛筆を x 本買って，１０００円出したときのおつり y円

ウ昼休みに x 人の友だちと話をする時間 y 分

エ底辺の長さが x ｃｍ，高さが１２ｃｍの三角形の面積 y ｃｍ２

オ x 分運動したときに消費されるカロリー消費量 y ｋｃａｌ

(2) 下の方眼用紙に，一次関数 y ＝３ x －２のグラフをかきなさい。また，下の①の直線の式を求めなさい。

x

y



■練習問題②

２かりんさんはウォーキングで１０００ｍ離れたゴールを目指しました。

下の図は，かりんさんがスタートしてからの時間と，進んだ距離の関係を表したグラフで

す。


(1) 上のグラフから，スタートしてから２分後までは４００ｍを一定の速さで進んだことが分

かります。スタートしてから２分間進んだ速さは毎分何ｍですか。

(2) スタートして２分後の地点からゴールまで行ったときの速さは毎分何ｍですか。

３次の(1)から(3)の各問いに答えなさい。

(1) 方程式の x ＋ y＝３のグラフをかきなさい。

(2) 方程式の３ x － y ＝１のグラフをかきなさい。

x＋ y ＝３(3) グラフから連立方程式

a

３ x － y ＝１

の解を求めなさい。

y

x

１０００

９００

８００

７００

６００

５００

４００

３００

２００

１００

Ｏ１２３４５（分）

（ｍ）



■練習問題③

４次の(1)，(2)の各問いに答えなさい。

(1) 次の一次関数のグラフをかきなさい。

① y ＝ x －２（－１≦ x ≦３）

② y ＝－ x＋２

(－３≦ x ≦３)

③ y ＝－３ x－６(－３≦ x ≦－１)

(2) (1)の３つの直線で囲まれた三角形の面積を求めなさい。ただし，面積の単位は考えな

いものとします。

(3) 次の①，②のグラフの式と変域を求めなさい。

１

３

y

x

②

①

y

x



■練習問題④

５次の(1)，(2)の各問いに答えなさい。

(1) グラフが次のようになる一次関数の式を，それぞれ求めなさい。

① 傾きが４で，切片が－３の直線

② ２点（－６，１），（２，－３）を通る直線

(2) 下の表は，ある一次関数について，x の値と y の値の関係を示したものです。y を x の式で表しなさい。

x ・・・１２３４５・・・

y ・・・－２０２４６・・・

６下の①，②，③の二元一次方程式の解を座標とする点全体を表すグラフを，下のアからエ

の中から記号で選びなさい。

ア３ x －２ y ＝８イ x－２ y ＝２ウ３ x ＋２ y ＝１２エ x ＋４ y ＝－８

①

②

③ x

y



■練習問題⑤

７下の図は，プール掃除のために，深さが８０ｃｍのプールから水を抜き始めてからの時間と，

水面までの高さの関係を表したグラフです。

次の(1)から(3)の各問いに答えなさい。

(1) 水を抜き始めてから２０ｃｍ水を抜くのにかかった時間を，下のアからオの中から１つ選

びなさい。

ア４分イ６分ウ８分エ１０分オ１２分

(2) 水を抜き始めてから２０分後のプールの水の深さを求めなさい。

(3) 水がすべてなくなるのは，何分後になりますか。時間を求めなさい。



■練習問題⑥

８次の(1)，(2)の各問いに答えなさい。

(1) 一次関数 y ＝３ x ＋１に平行で，切片が－４であるグラフをかきなさい。

(2) 水が５０ℓ入っている水そうから毎分５ℓの割合で水を抜いていきます。このとき，次の

問いに答えなさい。

① 下の表を完成させなさい。

時間(分) ０１２３４

残りの水の量(ℓ)

② すべての水がなくなるのは，何分後ですか。時間を求めなさい。

③ 水を抜き始めてから x 分後の，水の量を y ℓとして，y を x の式で表しなさい。また，変域を求めなさい。

y

x



■練習問題⑦

９けいたさんが，５ｋｍ離れた駅から家まで歩いていきます。駅を出発してから x 分後にいる地点から家までの道のりを y ｋｍとして

中学校数学科 2年生 1式の計算 [問題]中学校数学科 2年生 1式の計算 [問題]...

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