1

5. Транспортна задача от затворен тип. Намиране на начален

опорен план на транспортна задача: метод на северозападния ъгъл,

метод на минималния елемент. Метод на потенциалите за намиране

на оптимален опорен план на транспортна задача

Дадени са:

няколко пункта A1, A2, A3, …, Am, наречени условно производители,

които разполагат с еднородна продукция в съответни количества a1, a2, …,

am;

няколко пункта B1, B2, B3, …, Bn – потребители, с потребности

(заявки) b1, b2, …, bn от тази продукция;

транспортните разходи в матрица

11 12 1

1 2

n

m m mn

c c c

C

c c c

, където

cij са разходите за превоз на единица продукция от пункта Ai до пункта Bj.

2

Търси се такава програма на превозите, която при минимални

транспортни разходи задоволява потребностите на всички потребители,

като се разпределя цялата производствена продукция.

За разрешимост на задачата е необходимо и достатъчно:

1 1

m n

i ji j

a b

,

т.е. сумата от наличностите да бъде равна на сумата от потребностите.

Транспортна задача, за която това условие е изпълнено се нарича

транспортна задача затворен тип. В противен случай транспортната задача

е отворен тип.

За нагледност транспортната задача се представя във вид на таблица,

която се нарича разпределителна таблица:

3

B1 B2 … Bn ai

A1

x11

c11

x12

c12 …

x1n

c1n a1

A2

x21

c21

x22

c22 …

x2n

C2n a2

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

Am

xm1

cm1

xm2

cm2 …

xmn

cmn am

bj b1 b2 … bn Z

4

Задача 1. Фирма притежава четири завода за производство на брашно

В1, B2, B3, B4 чийто възможности за преработка на суровина са съответно

220, 300, 450 и 130 т.

Тази суровина е налична в три склада A1, A2 и A3, чийто наличности в

даден момент са съответно 340, 440 и 320 т.

Транспортните разходи за превоз на един тон суровина са дадени в

следната матрица на транспортните разходи

3 4 5 2

6 1 2 3

4 5 3 1

C

.

Да се състави план на превозите, при който разходите са минимални.

5

Решение. Попълваме разпределителната таблица по следния начин:

B1 B2 B3 B4 ai

A1

3

4

5 2 340

A2

6

1

2 3 440

A3

4

5

3 1 320

bj 220 300 450 130 1100

1100

6

I. Проверка дали модела е затворен: 3 4

1 1

440 340 320 1100, 320 200 450 130 1100i ji j

a b

Модела е затворен, защото

3 4

1 1i j

i j

a b

.

II. Построяване на начален опорен план

II.1. Правило на северозападния ъгъл

Всяко попълване на товар започва винаги от най-левия горен

ъгъл на таблицата.

7

No 1 B1 B2 B3 B4 ai

A1

220

3

120

4

-

5

-

2 340

120

A2

-

6

180

1

260

2

-

3 440

260

A3

-

4

-

5

190

3

130

1 320

130

bj 220 300

180

450

190 130 Z1 =2540

Общите транспортни разходи са:

Z1 = 3.220+4.120+1.180+2.260+3.190+1.130=2 540.

8

II.2. Правило на минималния елемент

Всяко попълване на товар започва винаги от клетката с най-

малък транспортен разход.

No 1 B1 B2 B3 B4 ai

A1

220

3

4

120

5

2 340, 120

A2

5

300

1

140

2

3 440, 140

A3

4

5

190

3

130

1 320, 190

bj 220 300 450, 310,

120 130 Z1 =2540

9

Всяко базисно решение в модела на транспортната задача

закрит тип включва r = m + n – 1 базисни променливи, т.е.

броя на пълните клетки трябва да е m + n – 1

За примера, който разглеждаме r = 3 + 4 –1 = 6. Трябва да имаме 6

пълни клетки в таблицата (Пребройте ги!)

III. Метод на потенциалите за намиране на оптимален план

III.1. Намиране на потенциалите

Само за пълните клетки определяме потенциалите от

равенствата: ui+vj = cij.

10

Обикновено полагаме един от потенциалите (в чийто ред или стълб

има най-много пълни клетки) за 0.

No 1 B1

v1= -2

B2

v2= -1

B3

v3= 0

B4

v4= -2

ai

A1

u1=5

220

3

-

4

120

5

-

2 340

A2

u2=2

-

5

300

1

140

2

-

3 440

A3

u3=3

-

4

-

5

190

3

130

1 320

bj 220 300 450 130 Z1 =2540

11

III. 2. Изчисляване на индексните оценки

За клетките без товар изчисляваме индексните оценки от

равенствата:

Dij = ui + vj – cij.

Обикновено се движим последователно по редовете на

транспортната таблица.

D12 = u1 + v2 – c12 = 5 – 1 – 4 = 0

D14 = u1 + v4 – c14 = 5 – 2 – 2 = 1>0

D21 = u2 + v1 – c21 = 2 – 2 – 5 = – 5

D24 = u2 + v4 – c24 = 2 – 2 – 3 = – 3

D31 = u3 + v1 – c31 = 3 – 2 – 4 = – 3

D32 = u3 + v2 – c32 = 3 – 1 – 5 = – 3

12

Критерий за оптималност. Един план на транспортна задача е

оптимален, когато индексните оценки на празните клетки са ≤ 0.

Индексните оценки, които са положителни се наричат неблагоприятни

индексни оценки.

III. 3. Преминаване към нов опорен план

От клетката с най-неблагоптиятна индексна оценка построяваме цикъл

по следното правило: може да се движим нагоре, надолу, наляво и надясно,

като смяната на посоката се осъществява само в пълни клетки, докато се

върнем в началната клетка.

Редуваме знаците + и – по върховете на цикъла, като започваме с +

от началната клетка.

13

No 1 B1

v1= -2

B2

v2= -1

B3

v3= 0

B4

v4= -2

ai

A1

u1=5

220

3

4

120-t

5

+t

2 340

A2

u2=2

5

300

1

140

2

3 440

A3

u3=3

4

5

190+t

3

130-t

1 320

bj 220 300 450 130 Z1 =2540

Определяме стойността на товара t, който разпределяме, да е равна на

най-малкия от товарите за клетките със знак – .

14

За примера, който разглеждаме min{120,130} 120.t В клетките,

върхове на цикъла, където имаме + добавяме товар t, където имаме –

изваждаме товар t. Получаваме нова таблица. Повтаряме алгоритъма от III.1.,

дотогава, докато се изпълни критерия за оптималност.

No 1 B1

v1= -1

B2

v2= -1

B3

v3= 0

B4

v4= -2

ai

A1

u1=4

220

3

4

5

120

2 340

A2

u2=2

5

300

1

140

2

3 440

A3

u3=3

4

5

310

3

10

1 320

bj 220 300 450 130 Z2 =2420

15

Пресмятаме индексните оценки на празните клетки:

D12 = – 1; D13 = – 1; D21 = – 4; D24 = – 3; D31 = – 2; D32 = – 3.

Всички индексни оценки са ≤ 0, следователно полученият опорен план е

оптимален.

Записваме: Z min = 2420; Xопт =

220 120

300 140

310 10

.

16

Задача 2. Фирма Гранд притежава четири завода за производство на

вино В1, B2, B3, B4 чийто възможности за преработка на грозде са съответно

350, 200, 450 и 100 т. Тази суровина е налична в три склада A1, A2 и A3,

чийто наличности в даден момент са съответно 460, 340 и 300 т.

Транспортните разходи за превоз на един тон грозде са дадени в

следната матрица на транспортните разходи

4 5 7 2

6 2 3 4

5 6 9 2

C

.

Да се състави план на превозите, при който разходите са минимални.

17

Решение. Попълваме разпределителната таблица по следния начин:

B1 B2 B3 B4 ai

A1

4

5

7 2 460

A2

6

2

3 4 340

A3

5

6

9 2 300

bj 350 200 450 100 1100

1100

18

Модела е затворен, защото 3 4

1 1

a bi ji j

. Построяване на начален

опорен план по правилото на минималния елемент

No 1 B1 B2 B3 B4 ai

A1

350

4

-

5

10

7

100

2 460

360, 10

A2

-

6

200

2

140

3

-

4 340

140

A3

-

5

-

6

300

9

-

2 300

100

bj 350 200 450

310, 300 100 Z1 =5190

19

Пресмятаме r = 3 + 4 –1 = 6 – 6 пълни клетки в таблицата.

No 1 B1

v1=4

B2

v2=6

B3

v3=7

B4

v4=2

ai

A1

u1=0

350

4

5

10

7

100

2 460

A2

u2=-4

6

200

2

140

3 4 340

A3

u3=2

5

6

300

9

2 300

bj 350 200 450 100 Z1 =5190

20

Изчисляваме индексните оценки Dij = ui + vj – cij:

D12 = u1 + v2 – c12 = 0 + 6 – 5 = 1 > 0

D21 = u2 + v1 – c21 = – 4 + 4 – 6 = – 6

D24 = u2 + v4 – c24 = – 4 + 2 – 4 = – 6

D31 = u3 + v1 – c31 = 2 + 4 – 5 = 1 > 0

D32 = u3 + v2 – c32 = 2 + 6 – 6 = 2 > 0

D34 = u3 + v4 – c34 = 2+ 2 – 2 = 2 > 0

21

No 1 B1

v1=

B2

v2=

B3

v3=

B4

v4=

ai

A1

u1=

350

4

5

10

7

100

2 460

A2

u2=

6

200-t

2

140+t

3 4 340

A3

u3=

5

+t

6

300-t

9

2 300

bj 350 200 450 100 Z1

=5190

Определяме стойността на товара t, който разпределяме, да е равна на

най-малкия от товарите за клетките със знак – : min{200,300} 200.t

22

Получаваме нова таблица.

No 2 B1

v1=4

B2

v2=4

B3

v3=7

B4

v4=2

ai

A1

u1=0

350

4

5

10

7

100

2 460

A2

u2=-4

6

2

340

3 4 340

A3

u3=2

5

200

6

100

9

2 300

bj 350 200 450 100 Z2=4790

D12 = – 1; D21 = – 6; D22 = – 2; D24 = – 6; D31 = 1; D34 = 2.

23

No 2 B1

v1=4

B2

v2=4

B3

v3=7

B4

v4=2

ai

A1

u1=0

350

4

5

10+t

7

100-t

2 460

A2

u2=-4

6

2

340

3 4 340

A3

u3=2

5

200

6

100-t

9

+t

2 300

+t

bj 350 200 450 100 Z2=4790

Пресмятаме товара, който ще преразпределяме: min{100,100} 100.t

Планът е изроден, ако броят на пълните клетки е по-малък от n + m – 1. Тук

планът е изроден – броят на пълните клетки след разнасяне на товара е 5.

24

Освобождаваме клетката с по-голям транспортен разход. Поставяме товар нула 0

в клетката с по-малък транспортен разход и я смятаме за клетка с товар (пълна

клетка) .

No 3 B1

v1=4

B2

v2=6

B3

v3=7

B4

v4=2

ai

A1

u1=0

350

4

5

110

7

0

2 460

A2

u2=-4

6

2

340

3 4 340

A3

u3=0

5

200

6

9

100

2 300

bj 350 200 450 100 Z3=4590

25

D12 = 1; D21 = – 6; D22 = 0; D24 = – 6; D31 = – 1; D33 = – 2.

No 3 B1

v1=3

B2

v2=5

B3

v3=6

B4

v4=1

ai

A1

u1=0

350

4

+t

5

110

7

0-t

2 460

A2

u2=-4

6

2

340

3 4 340

A3

u3=0

5

200-t

6

9

100+t

2 300

bj 350 200 450 100 Z3=4590

26

Пресмятаме товара, който ще преразпределяме: min{0,200} 0.t

No 4 B1

v1=4

B2

v2=5

B3

v3=7

B4

v4=1

ai

A1

u1=0

350

4

0

5

110

7

2 460

A2

u2=-4

6

2

340

3 4 340

A3

u3=1

5

200

6

9

100

2 300

bj 350 200 450 100 Z4=4590

27

D14 = – 1; D21 = – 6; D22 = – 1; D24 = – 7; D31 = 0; D33 = – 1.

Всички индексни оценки са ≤ 0, следователно полученият опорен план е

оптимален.

Записваме : Z min = 4590; Xопт =

100200

340

1100350

.

Забележка: Ако някоя от индексните оценки е нула (например Dps = 0),

то съществува алтернативен оптимален план. Той се получава като

построим цикъл от клетката [p, s] и разнесем полученият товар.

В случая D31 = 0. Построяваме алтернативния план с

min{350,200} 200.t

28

No 4 B1

v1=3

B2

v2=4

B3

v3=6

B4

v4=0

ai

A1

u1=0

350-t

4

0+t

5

110

7

2 460

A2

u2=-4

6

2

340

3 4 340

A3

u3=1

+t

5

200-t

6

9

100

2 300

bj 350 200 450 100 Z4=4590

29

No 5 B1

v1=3

B2

v2=4

B3

v3=6

B4

v4=0

ai

A1

u1=0

150

4

200

5

110

7

2 460

A2

u2=-4

6

2

340

3 4 340

A3

u3=1

200

5

6

9

100

2 300

bj 350 200 450 100 Z4=4590

30

Отговор:

Zmin = 4590;

Xопт =

100200

340

1100350

,

X’опт =

150 200 110

340

200 100

.

31

Задача 3. По зададените стойности решете транспортната задача:

No B1 B2 B3 ai

A1

5

5

2 7

A2

2

3

4 13

A3

9

6

4 10

bj 10 15 5

Отговор:

Z min = 109;

Xопт =

2 5

10 3

10

.