第章信号検出理論...fa/tohoku u 「無線伝送工学」 1 第2章信号検出理論...

FA/Tohoku U 「無線伝送工学」 1

第2章信号検出理論

通信工学専攻安達文幸

参考書・斎藤：ディジタル無線通信の変復調，1章と2章，電子情報通信学会，

1996年・安達著：通信システム工学，朝倉書店，2007年

「無線伝送工学」


目次2.1 整合フィルタ

2.1.1 ディジタル通信システムのモデル

2.1.1 S/Nを最大とする整合フィルタ

2.1.3 整合フィルタの伝達関数

2.1.4 整合フィルタの実現法

2.1.5 符号判定

2.1.6 最大事後確率判定

2.1.7 最尤判定

2.2 最適送受信系

2.2.1 伝送系の基底帯域モデル

2.2.2 ナイキスト伝送系

2.2.3 ナイキスト基準

2.2.4 ナイキストフィルタ

2.2.5 伝達関数の送受信フィルタへの最適配分

2.3 誤り率

2.3.1 ディジタル伝送における判定誤り

2.3.2 ASKの誤り率

2.3.3 BPSKの誤り率

2.3.4 FSKの誤り率

2.3.5 C/NとEb/N0との関係


２．１整合フィルタ


ディジタル通信システムのモデル

雑音

通信路には熱雑音があり，受信機内部でも雑音が発生する．

雑音によって受信データが“0”“1”や“1”“0”へ誤ってしまう

場合がある．

フィルタの役割送信フィルタ：変調信号を帯域制限する．

受信フィルタ：符号判定時点のS/Nを最大にする．

情報源ディジタル

変調

通信

路受信者

送信信号受信信号

雑音受信

メッセージメッセージ

送信フィルタ

受信フィルタ

判定

送信機受信機


S/Nを最大とする整合フィルタ

整合フィルタ

誤りの原因は通信路途中で加わった雑音である．符号判定時点の信号対雑音電力比S/Nを最大にできれば誤り率を最小化できる．

このためには，受信機で雑音電力を最小化でき，かつ受信信号に歪を発生させない受信フィルタが必要である．これが整合フィルタである．

受信フィルタ

HR(f)判定

標本時点ts “0”, “1”

)()()( sososo tntstr

受信信号s(t)

雑音n(t)

r(t)


データシンボル±1を時刻t=0で送信したときについて考える．

受信フィルタ入力は信号s(t)と雑音n(t)との和である．雑音は電力スペクトル密度N0/2の白色雑音であるとする．

を導出する．　を最大にする

ので表す．符号判定時点関するを●受信フィルタの伝達

とも実関数である．および　ここで，

　　

次式のように表せる．●受信フィルタ入力は

)(S/N)(

)()(),()()()(

fHfH

tntstrtntstr

R

R

HR(f)

白色雑音n(t)の電力スペクトル密度N0/2

0-fc fcf

2PSKを用いるときのs(t)の例


）．ある（エネルギーとは同じで

ルギーとビットのとき，シンボルエネただし，

　　

●シンボルエネルギー

．ここで，

その他　

．まり，することを考える．つ

番目のシンボルを送信く　一般性を失うことな

被変調信号表現●

その他　

を用いる．を有する送信フィルタ●矩形インパルス応答

bs

s

s

n

c

T

EE

PTdttsE

EI

TttfsPts

jjQIsn

Ttth

2PSK

)(

1 ,0

0 ),2cos(2)(

010

2PSK

,00 ,1

)(

2

0

000

)(thT)(0 ts

)2cos(2 tfP c

)(ts

2PSK被変調信号の生成

2PSK波形s(t)

“s0=-1”

“s0=+1”

tt=0 t=T

t


整合フィルタの伝達関数

フィルタ出力のS/Nの定義

周波数スペクトル密度を用いた表現

dffHN

dfftjfHfS

tnE

ts

NS

dffHNtnE

dfftjfHfSts

fSts

R

sR

so

so

Rso

sRso

20

2

2

2

20

2

|)(|)2/(

|2exp)()(|

)(

)(

|)(|)2/()(

)2exp()()()(

)()(

　　　　

であるから

　　　　

とするとのフーリエ変換を

22)(/)(/ soso tnEtsNS


シュワルツの不等式

最大S/N

は任意の実数　　　

る条件はここで，等号が成立す

　　　

kfAkfB

dffBdffAdffBfA

),(*)(

)()()()( 222

dffHN

dffHdffS

dffHN

dfftjfHfS

NS

ftjfHfBfSfA

R

R

R

sR

sR

20

22

20

2

)(2/

)()(

)(2/

2exp)()(

S/N2exp)()(),()(

　　

は次式のようになる．を代入すると，

　　　

シュワルツの不等式に


である．のときただし，

　　

，次式を得る．エネルギーであるからは受信されたシンボル

　　

ここで

　　

従って，

bs

s

EENE

N

dffS

NS

dttsdffS

N

dffS

NS

PSK2

22/

)(

)()(

2/

)(

00

2

max

22

0

2

最大S/Nを得ることができる受信フィルタの伝達関数


ばれる．タは整合フィルタと呼このような受信フィル

　　

は次式になる．

ルタの伝達関数を最大とする受信フィであったから，

　　　

は任意の複素数），のときで（

　　

等号が成立するのはシュワルツの不等式で

sR

sR

ftjfSkfH

ftjfHfBfSfAk

fAkfB

2exp)()(

S/N2exp)()(),()(

)(*)(

M, Shwartz, W. R. Bennett, and S. Stein, Communication systems and techniques, Inter-University Electronics Series, Vo. 4, McGraw-Hill Book Company,


整合フィルタのインパルス応答hR(t)

)()(2exp)(

)(2exp)(

2exp)()(

2exp)()(

ttskdfttfjfSk

dfttfjfSk

dfftjfHth

ftjfSkfH

ss

s

RR

sR

　　　　　

　　　　　

　　

で与えられる．インパルス応答は次式より，整合フィルタの

　　

関数は●整合フィルタの伝達

フーリエ変換ス応答は伝達関数の逆●フィルタのインパル

t

s(t)

0 Tt

hR(t)

0 tmT-tm

標本時点

整合フィルタの出力応答ro(t)


整合フィルタhR(t)

r(t) ro(t)

dttsnktn

dttsskts

ttskth

ttskth

dthntn

dthsts

tntsdthrtr

so

so

sR

sR

Ro

Ro

ooRo

)()()(

)()()(

)()(

)()(

)()()(

)()()(

)()()()()(

　　

となるので

　

であるから●整合フィルタでは，

　　

ただし

　　

●フィルタ出力応答

s()

0

hR(t-)

TTtt s stt

整合フィルタと等価な出力を得る相関検波

時刻t=tsにおける整合フィルタ出力ro


dttstnktn

Ekdttskts

ttnttsr

so

sso

sosoo

)()()(

)()(

)()(

2

ただし

ことに注意．

であるは実関数なのでただし，を得ることができる．

出力により，整合フィルタ積分する相関検波

乗算しおき，それと入力とをを受信機側で生成して●参照信号

)()()(

detection)n correlatio()(

tststs

ts

r(t)

相関検波

ro(ts)積分器

)(tsk


2PSKのとき

2個の波形のどれか一つが送信されるのが2PSK伝送である．送信パルスが矩形であるとき，2PSK信号は

下図のようになる．得る相関検波の構成は

合フィルタ出力を）であることから，整が実関数（●

になる．の存在区間もの参照信号

に選べば，相関検波であるから，●

である．は送信データシンボルである．ここで，

　　　　　　　その他

　　　　

)()()(

~0)(

)()(

1

,00 ,2cos2)(

0

0

tststs

Tttsk

Ttttskth

s

TttfsPts

ssR

c

r(t)

相関検波

ro積分器 ro積分器

0)/1( sT

)2cos(2 tf c)2cos()/2()( 0 tfsTtsk c

r(t)

2PSK整合フィルタ出力


のとき　

のとき　　

の値●

音．は整合フィルタ出力雑　ここで，

　　　　

　　　　

　

●したがって

に選ぶ．で，は任意の定数であるのここで，

　

参照信号を用いると

に対するであるが，に対する参照信号は●

　

●受信信号

12

12

2

2cos)(22cos22

)()(

/22cos2)(

1)(1

)(2cos2)(

)(

0

0

0

00

20

00

0

snP

snPr

rn

nsP

dttftnT

dttfT

sP

dttstrkr

TkktfPkts

stss

tntfsPtr

tr

o

oo

o

o

o

Tc

Tc

o

c

c


dttfthtnT

sdtthT

Pr

tfthT

tsk

tTP

kk

ttskth

tfthsPts

tntstrs

th

cTTo

cT

s

sR

cT

T

)2cos()()(2)(12

)2cos()(2)(

0

221

)()(

)2cos()(2)(

)()()()1(

)(

02

0

0

　

●以上より

となる．

　

の参照信号はとする．整合フィルタまた，

のように選ぶ．では任意の定数であるのである．

パルス応答は●整合フィルタのイン

である．

　

ここで，　

　

信号はの送信を考える．受信の表現データシンボル

用いるとき（ただし，実関数）をタ●一般的な送信フィル

r(t)= s(t)+ n(t)ro積分器

)2cos()(2)( tfthT

tsk cT 参照信号

2PSK整合フィルタ

．を用いた（白色雑音）

　

ここで

　　　

　　　

　

のガウス雑音である．で分散は平均●

のとき　

のとき　　

であるから

　　

●ここで

2)()(

2cos)(2

2cos2cos)()()(2

4

2cos2cos)()()()(4

0

12

122

1)(1

0

02220

20

222

20

00

2

NtntnE

TN

dttfthTN

tddttftfththttTN

tddttftfththtntnET

nE

n

snP

snPnsPr

dtthT

cT

ccTT

ccTTo

o

o

ooo

T


白色雑音

f

0

N0/2


符号判定

2PSK伝送で，s0= +1が送信されたのか， s0= 1が送信されたのか，如何に判定したらいいか？

下図のような， s0= +1に対する整合フィルタを用いる受信機での符号判定について述べる．

r(t) 積分器

T

co dttftrT

r0

)2cos()(2

符号判定1or 1ˆ0 s

)2cos()/2( tfT c


最大事後確率判定(Maximum a posteriori probabilitydecision:MAP判定）

を導出しよう．●次に

である．は事前確率

である．ここで，を探索することと等価を最大とする

判定はら，報には無関係であるか●分母の確率は送信情

　　

ると次式を得る．の定理を用いて変形す●

である）．またはであるから判定（

るのがが送信されたと判定すを最大とする●事後確率

)|() ()(

)|()( MAP

)()|()()|(

Bayes11PSK2 MAP

)|(

0

0

00

000

00

00

srpyprobabilitprioriasp

dsrpsp

rpsrpsprsp

sssrsp

o

o

oo

o

o

FA/Tohoku U 「無線伝送工学」 21)()2/()(

2/)(

)2cos()2cos()(4

)2cos()2cos()]()([4

)2cos()(2|

0221

2

)2cos()(2112)2cos()(2

PSK2

0

0

0 02

0 02

2

0

22

0

0

0000

tNtRNtn

dtdftftRT

dtdftfntnET

dttftnT

EnE

nsPs

nsP

dttftnT

dtT

sPdttftrT

r

nn

T Tccnn

T Tcc

Tcon

oo

o

Tc

TTco

　　　

，の白色雑音であるからがは電力スペクトル密度ところで，

　　　　

　　　　

　

は●雑音の分散（電力）

成分．でガウス分布する雑音平均

は項である．一方，第項は信号成分ここで，第

　　　

　

は伝送における相関出力いる●矩形送信パルスを用


2

20

0

002

0

00

220

0 0202

2)2(exp

21)|(

)|()/(

2

)2(cos2

)2cos()2cos()(2

n

o

no

on

o

Tc

T Tccn

sPrsrp

srpTN

sPr

TNdttf

TN

ddtftftTN

　　

はる．従って，のガウス分布をしてい

で，分散がは平均値出力●以上より，相関検波

　　　　　　

　　

●従って，


要である．よび雑音電力推定が必判定では，信号電力お●

することが分かる．を探索することに帰着を最大とする

　　

判定は，であることから，結局

　　

●そこで

　にする．

の対数も最大はを最大とする●ところで

MAP

)](ln[2

MAP

)](ln[22

22

)2()](ln[

)|()()|()(

0

002

0022

2

2

20

0

00000

s

spsrP

spsrPPrsPrsp

srpspssrpsp

on

onn

o

n

o

oo


最尤判定(Maximum likelihood decision:ML判定）

●MAP判定では判定の中に事前確率を用いるが，これは未知であることが

一般的である．また，信号電力や雑音電力の測定が必要になる．

●そこで，符号出現率が全ての符号で等しい（例えば2値PSKのとき，p(s0=+1)=p(s0=-1)=0.5）とみなして，条件付確率p(r|s0)を最大とするs0を求めるのが，ML判定である．

0 if 10 if 1

ML2

)2(

]2/)2(exp[2

1)|(

)|(

0

02

0

2200

0

o

o

oo

non

o

o

rr

s

srsPr

d

sPrsrp

dsrp

　

．判定は次のようになる値のときの●

定することに等しい．信号が送信されたと判

を最大とするを最小，すなわち●この判定は，

る．が送信されたと判定すが最大となる信号

判定する．つまり

が送信されたとを最大とする率●すなわち，条件付確


２．２最適送受信系

2.2.1 伝送系の基底帯域（ベースバンド）モデル

2.2.2 ナイキスト伝送系

2.2.3 ナイキスト基準

2.2.4 第１基準を満足するナイキストフィルタ

2.2.5 送受信フィルタへの伝達関数の最適配分

伝送系の基底帯域（ベースバンド）モデル


拡張）が複素関数の場合にも　（

番目のデータシンボル：

　　

ただし

　

ここで

　

系の変調の場合系や●多値

　

に表せる．を用いて，次式のよう

低域表現号は次式のような等価●ディジタル被変調信

)(1)(1

1][

)()(~

)(~2)()(2)(~

QAMPSK)2exp()(~Re)(

)(~

2

2

thdtthT

jQIE

mjQIs

mTthsts

tsPtjQtIPts

tfjtsts

ts

TT

mm

mmm

Tmm

mm

c


2PSK，2ASKと2FSKの波形

TmtmTtjQtI

)1()()(

fdt

td

)(21

“1”“0”

I

Q“1”“0”

2値送信データ

“1” “1”“1”“0”

(c) 2FSK

(b) 2ASK

(a) 2PSKt

0 T 2T 3T 4T

“1”

“0”

等価低域表現

2PSK

2ASK

2FSK


TmtmTj

jtsm

)1("0" 00"1"01

)(~

のとき送信データ　

のとき　送信データ

TmtmTftjftj

tsm

)1("0"2exp

"1"2exp)(~


のとき　　送信データ

TmtmTjj

tsm

)1("0"01"1"01

)(~




2PSK受信信号表現

dttsktrr

tsts

tsrs

tntntsPtr

tfjtrtrtrtr

mTthsts

tfjtsPts

ssmT

mo

mm

m

om

m

c

Tmm

cmm

m

m

)()(

)()(

)(

)(~)(~)(~2)(~)]2exp()(~Re[noise signal)(

)(~)()()(~

)]2exp()(~2Re[)(

　　

であることに注意）

は実関数であるからより（ただし，は，整合フィルタ理論

整合フィルタ出力の送信波形に整合した●データシンボル

　等価低域表現

は帯域通過雑音のであり，＝　ただし，

　　

を用いて表すとをその等価低域表現●受信信号

　　

ただし

　　

はを送信する被変調信号●データシンボル

．を判定するものとするボルで発生したデータシン●時刻


　　

　　

値のとき　　　　

．判定は次のようになる●したがって，

　

ここで

　

は出力に対する整合フィルタとおくと，●上式で，

　　　

　　

するとの周波数成分）を無視倍の項●搬送波周波数の

であることに注意）は実関数であるから，　（

　　　　　　　

　

●ここで

0]~Re[ if10]~Re[ if1

ˆ2]~Re[

maxˆ

ML

)()(~1~

~Re)()(~1Re

2//2

)(~)(~Re22

)](~Im[)](~Im[)](~Re[)](~Re[22)()(

2(2)()()(

)2sin()](~Im[)2cos()](~Re[2

)2sin()](~Im[)2cos()](~Re[)()(

o

ommo

mm

To

momTo

om

m

mmmo

c

mmm

cmcm

ccm

rr

ssrs

s

dtmTthtrT

r

drddtmTthtrT

r

rdPTk

dttstrPk

dttstrtstrPkdttstrkr

ftststs

tftstftsP

tftrtftrtstr


なる．構成は次の図のようにを用いるときの受信機●実関数 )(thT

cos(2fct)

- sin(2fct)

hT(t) I(t)

Q(t)

ディジタル変調

2値(0,1)送信

データ系列

Im

Qm

)2exp()(~Re)(

tfjtntn

c

通信路

積分器

P2

ML符号判定

hT(t)

2cos(2fct)

-2sin(2fct)

)](~Re[ tr

)](~Im[ tr

)()/1( mTthT T

積分器

ms

]~Re[max

ˆ mmm

m srd

s

)()/1( mTthT T

]~Re[ mr

]~Im[ mr

)2exp()(2Re

)2exp()(~Re)(

tfjmTthsP

tfjtsts

cm

Tm

cデータシンボル

sm=Im+jQm


送信フィルタのインパルス応答hT(t)が複素関数である一

般的な場合の信号伝送系の等価低域表現は下図のようになる．

)(~ tn

通信路

積分器

送信フィルタ

HT(f)

P2

)()/1( mTthT T

m

m mTtsts )()(

送信パルス系列

m

Tm mTthsPts )(2)(~

ML符号判定

ms)(~ tror~

]~Re[maxˆ mo

mm sr

dd


ナイキスト伝送系

これまでは，送信フィルタのインパルス応答をhT(t)としたときの整合フィルタを考えた．このときの整合フィルタのインパルス応答は hR(t)=hT

*(-t) であることが分かった．つまり，HR(f)=HT

* (f)である．

しかし，hT(t)をうまく設計しないと，前後のデータシンボルからの干渉（これは符号間干渉とよばれる）影響を受けてしまう．受信フィルタ出力S/Nを最大化しつつ，符号間干渉をなくすにはどのような送受信フィルタを用いればよいか？

これは，送信フィルタと受信フィルタの総合伝達関数H(f)=HT(f)HR(f) をどんな関数にすればよいか，という問題に帰着する．

ただし，受信フィルタは整合フィルタであることがS/N最大の条件（つまり，HR(f)=HT

* (f)）であるので，この問題は送信フィルタをどう設計すれば良いかということに帰着する．


T秒毎に発生するデータシンボル系列{smを送信＋受信低域通過フィルタを用いる通信路で伝送する．

標本時点以外の送信符号からの干渉を受けないようにするためには，受信フィルタ出力波形のT秒ごとの標本系列{rmが元の系列{smと完全に等しくなればよい．

このような伝送系をナイキスト伝送系と呼ぶ．

t

フィルタ出力{rm}

送信＋受信フィルタ1T t

フィルタ入力

H(f)=HT(f)HR(f)

m

m mTtsts )()(

+1

-1

+1

-1

02T

3T4T 5T

1T02T

3T4T 5T

2PSKの例


ナイキスト基準

第1基準

総合インパルス応答h(t)が，t=0を除いて等間隔零交差するための条件．すなわち，h(t)をt=mTで標本化した標本値をhmとすると

第2基準

標本点間の中点t=(2m-1)T/2でインパルス応答が零交差するための条件（自乗余弦フィルタでは=1のとき満足する）．

第3基準

インパルス応答の１標本区間の積分値が入力信号振幅に比例するための条件（Sinc(fT)の逆数を伝達関数とするフィルタのときこの条件を満たす）．

otherwise ,0

0 ,1)(

mmThhm

参考文献：W.R.Bennet and J.R.Davey（甘利省吾監訳）：ﾃﾞｰﾀ伝送,ラティス刊，1966.FA/Tohoku U 「無線伝送工学」 36

第１基準を満足するナイキストフィルタ

フィルタの伝達関数をH(f)

周波数領域表現

H(f)が|f|<1/(2T)のみ値を持つならH(f)=T, |f|<1/(2T),（理想矩形フィルタ）である．そうでなければ無数の解があり得る．

T

Tk

k

TTk

TTk

m

dffmTjTkfH

dffmTjfH

dffmTjfHmThh

2/1

2/1

2/1/

2/1/

)2exp()/(

)2exp()(

)2exp()()(

TTkfHm

hk

m

)/( otherwise ,0

0 ,1


h(t)=Sinc(t/T) を持つフィルタ総合のインパルス応答は t=mT, m=..-2, -1, 1, 2,….でh(t)=0となり，他の送信データシンボルからの影響を受けない

フィルタの伝達関数H(f)は理想矩形であるので作りにくい

Tt

TtTtth/

/sin)/(Sinc)(

- 1/(2T) 1/(2T)0

H(f)T

0 2TT-T-2Tt

h(t)1

elsewhere ,02/1 ,

)2exp()/(Sinc)(

TfT

dtftjTtfH

f


自乗余弦フィルタ理想矩形フィルタは作りにくいので，次式のような伝達関数を持つ自乗余弦フィルタが良く用いられる．はロールオフファクタである．

elesewhere ,02

12

1 ,2

12

cos

210 ,

)( 2

　　　T

fTT

fTT

TfT

fH

理想矩形フィルタ

f0

H(f)

)2/()1( T )2/()1( T

T


総合のインパルス応答h(t)

=0のとき理想矩形フィルタ．=1のときナイキストの第2基準を満たす．

で零交差する．およびは )2/()12(,0,)()/2(1)/cos(

/)/sin()( 2

TmmmTtthTtTt

TtTtth


送受信フィルタへの伝達関数の最適配分

最適伝送系のフィルタ伝達関数HT(f)とHR(f)

PTk

t

dffHth

dffHT

dtthT

tkth

ftjkfHPfHfHfH

fHfHPfS

ftjfSkfHNS

m

T

T

mT

mTRT

T

mR

211

0

1)(1)0(

1)(1

1)(11

)(

2exp)(2)()()(

)()(2)(

2exp)(*)(/

2

2

2

　　

であることから，

　　ンパルス応答　　総合フィルタのイ

た，でないといけない．ま

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　正規化送信電力

件としてが，送信フィルタの条あるから自由に選べる

は設計パラメータでと．また，は実関数であるとする●ここで，

　　

は直ちにルタの伝達関数であるから，総合フィ

　　

ルタの伝達関数はを最大とする受信フィ●受信フィルタ出力の


TfHfH

Tf

TTfTT

TfT

fH

dffH

TfHfHfHfHfHTfH

fH

dffH

TfHfHfHfH

TR

T

TRT

T

TRT

/)()(

elesewhere ,02

12

1 ,2

12

cos

210 ,

)(

1)(

/)()(/)()(,)()(

)(

1)(

/)()()()( 2

　

　　　

　

●自乗余弦フィルタ

　　　

を実数関数とすれば●

　　　

●以上より

ルート・ナイキストフィルタを用いるディジタル変調器


)()( ,1][

)(2)()(2

)()(2)(~)2sin()()2cos()(2

])2exp()(~[Re)(

2 fHTfHsE

mTthsPmTthjQIP

tjQtIPts

tftQtftIP

tfjtsts

Tm

mTm

mTmm

cc

c

　　

　　　

cos(2fct)

- sin(2fct)

ルート・ナイキストフィルタ


I(t)

Q(t)

s(t)ディジタル

変調

2値(0,1)送信

データ系列

Im

Qm

P2

データシンボルsm=Im+jQm


ルート・ナイキストフィルタで帯域制限したI(t)とQ(t) を用いるときの電力スペクトル密度


fc

f

fc +1/Tfc -1/T

Ps(f)矩形パルス応答を有する送信フィルタ

1)(

)()(

)(/)()( 2

dffP

fHTfH

fHTfHfP

s

T

Ts

fc

f

1/T-1/T

Ps(f)

帯域幅(1+)/T


まとめ

整合フィルタ符号判定点でのS/Nを最大にするフィルタ

送信パルス波形の時間逆関数をインパルス応答とするフィルタ

符号間干渉をなくし，かつ受信フィルタ出力点のS/Nを最大にする条件

送信と受信フィルタの和である総合フィルタをナイキスト第1基準を満足するナイキストフィルタにする

最適な送信フィルタと受信フィルタは，ナイキストフィルタの伝達関数を等分に分配するルート・ナイキストフィルタである


２．３誤り率

2.3.1 線形伝送における判定誤り

2.3.2 ASKとFSKの誤り率

2.3.3 C/NとEb/N0との関係


2PSKの誤り確率

誤りの原因は通信路途中で混入した雑音である．

受信系の構成

整合フィルタ

ML符号判定

標本時点tm=mT

)(~ ts受信信号

雑音 )(~ tn 1ˆPSK2

msのとき

dtmTthtrT

r To )()(~1~

]~Re[max

ˆ mom

m srs

s


整合フィルタの構成

“sm=+1”に整合した整合フィルタ

積分器

“0”

t=0 t=(m+1)T“1” t

整合フィルタ

ML符号判定

標本時点tm=mT

)(~)(~~momoo tntsr

受信信号

雑音

P2

P2

)(~ ts

)(~ tn

の例PSK2

)(~ tr

)()/1( mTthT T )(~ ts

]~Re[1

maxˆ

mo

mm sr

ss


dtdhthT

ntnET

dtthtnT

EnE

nsPss

dtthT

nsP

dtthtnT

dtthT

sPdtthT

trr

sm

Tt

TT

Ton

o

moo

om

TTmTo

m

)()(1)(~)(~1

|)()(~1|~2

~22~~1

1)()/1(

~2

)()(~1)(12)(1)(~~

10

0

*

2*22

2

*2*

　　　

　

分散は雑音成分であり，そのは複素ガウス分布する項●第

で，項は信号成分●第

を用いた．ただし，

　　　

　

タの出力はに整合した整合フィル●

）．を考える（送信された被変調信号

で，る．また，簡単のため●等価低域表現を用い


　　

　のとき値　　　

判定は●したがって，

　　

は密度関数

の条件付確率が送信されたときのている．の複素ガウス分布をし

で，分散がは平均値出力●以上より，相関検波

　　　　

　　

である．従って，から，　

であるの白色複素ガウス雑音は電力スペクトル密度●ところで，

0]~Re[ if10]~Re[ if1

ˆPSK2]~Re[

maxˆ

ML

2

2exp

21)(

)(

/222

2|)(|12

)()()(122

)(2)(~)(~2)(~

2

22

02

020

*02

0

0

o

ommo

mm

n

mo

nmo

om

mm

T

TTn

rr

ssrs

s

sPrsrp

rprs

TNsPr

TN

dtthTT

N

ddththtTT

NtNntnE

Ntn


矩形インパルスパルス応答を用いるときの2PSK信号の等価低域表現（Q(t)=0であることに注意）

sm=+1に整合した整合フィルタ（実数部のみ）

“0”t=mT t=(m+1)Tt

P2

P2

“1” t=mT t=(m+1)T

)(~ ts整合

フィルタ

標本時点tm=mT

omo nsPr ~2~ 受信信号

雑音 )(~ tn

)(~ tr

積分器

)(1 mTthT T

Re[.]

)(~ tsm

)()(~ mTthsts Tmm


整合フィルタの出力は下図のようになる．

送信信号s(t)

送信データ “1” “1”“1”“0”

t

“1”整合フィルタ


符号判定


sm=+1に整合した整合フィルタの出力の確率密度関数

は下図のようになる．整合フィルタの出力が正であればsm=+1，負であればsm=-1が送信されたと判定できる．

0

sm=+1を送信sm=-1を送信

2Eb-2Eb or~

mo srp ]~Re[


x

bbb

bnn

bNE

Pnn

P

nnnn

bb

dttxerfc

NEerfcNEp

NEerfcdxPx

p

NEerfcdttdyy

dyydxPx

p

ppNEp

b

2

00

00 2

2

10

02

2 2

2

2

2

20

2

2

01

01100

exp)/2(

/21/

/21

2

2exp

21

/21exp1

2exp

21

2exp

21

2

2exp

21

5.05.0)/(

0

　　

ここで

　　

より

　

誤り率


10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 5 10 15

誤り率の比較

PSKASKFSK

Eb/N0(dB)

ASK

FSK

PSKビッ

ト誤

り率

2ASKと2FSKの誤り率

整合フィルタ出力roの統計的性質


02

0*

02

0

0

*2

*22

*

*2*

4|)(~|2)(~)(~)(22

)(2)](~)(~[

2)(~

)(~)(~)](~)(~[)(~)(~~2

~21)(~1

~2

)(~)(~)(~)(~)(~)0(~~

)(~

NEdttsNddtststN

tNntnE

Ntn

dtdstsntnEdttstnEnE

ntsk

nE

dttstndttsdttstrrr

ts

smmmn

mmmon

o

m

os

mmmoo

m

　

である．従って，から，　

であるの白色複素ガウス雑音は電力スペクトル密度ところで，

　

その分散は

であり，る雑音成分項は複素ガウス分布す項は信号成分で第●第

とした．に選び，参照信号をただし，

　　　

　

出力はに整合したフィルタの●送信信号

る．●等価低域表現を用い


である．　

値伝送のときであり，はシンボルエネルギー　ここで，

　　　　　　　

　　　

はの条件付確率密度関数されたときの

が送信を符号判定に用いる．るから，●信号成分は実数であ

される．の複素ガウス分布で表で，分散は平均●以上より，

bs

s

s

so

s

n

so

nmo

o

mo

snso

EMEME

ENEr

EN

Ersrp

rsr

ENEr

)(log

,4

}2]~[Re{exp

41

2

}2]~[Re{exp

21)]~[Re(

]~[Re]~[Re

422~

2

0

2

0

2

2

02

0

0.16nn

0.16

2Es

)]~(Re[ mo srp

or~


2ASKの誤り率

sm=1が送信されたときの整合フィルタ出力の確率密度関数

bE20

sm=1を送信sm=0を送信

a or~

mo srp ]~Re[

)(~ ts“1”整合フィルタ

標本時点tm=mT

obo nEr ~2~ 受信信号

雑音 )(~ tn

)(~ tr

積分器

Ptsm 2)(~*


sm=1が送信されたときの判定誤り

x

b

b

b

ENaEaE bb

aE

bb

a

b

b

b

obs

dttxerfc

xerfcEa

ENaE

erfcdttdxEN

xEN

dxEN

xEN

dxENEx

ENp

rxEE

b

bb

b

2

0

2

42

2

2 0

2

0

)2(

0

2

00

2

001

exp)/2(

2

42

21exp1

4exp

41

4exp

41

42

exp4

1

]~[Re2

0

2

　　

補関数である．

差は次式で定義される誤は判定の閾値．ここで，

　　　　

　

とおくと，誤り率はである．値伝送であるので

bE20


a or~

mo srp ]~Re[

sm=0が送信されたときの判定誤り

このときは雑音のみが受信されるから


ba bb ENaerfcdx

ENx

ENp

0

2

0

2

010 42

14

exp4

1

bE20


a or~

mo srp ]~Re[


最小平均誤り率

の関数になる．電力スペクトル密度比

ネルギー対雑音ビット当たりの信号エで与えられる．

　　　

誤り率は

となり，はシホールドを最小とする判定スレ

　　　

）ときの出現確率が等しい（と　

　

　　

1

)/5.0()2/1()/(

5.05.0)/(0.5"1""0"

00

01100

NEerfcNEp

EaapppNEp

bbb

bb

bb

0 a=Eb 2Eb

or~

mo srp ]~Re[


2FSKの誤り率

ここでは見とおしを良くするため，等価低域表現を用いていないことに注意して欲しい．

同期検波



判定

“1”, “0”)()()( tntstr 信号と雑音


-

cos(2f1t)

積分器

rd

f0=fc-ff1=fc+f

t0 T

t0 T

2値データ“1”

2値データ“0”

)2cos(2 1tfP )2cos(2 0tfP


検波器各部の出力

送信信号s(t)

送信データ “1” “1”“1”“0”

t



整合フィルタ出力差rd

符号判定

)2cos(2 0tfP )2cos(2 1tfP


整合フィルタ出力の差

2値データ“1”が送信されているものとする．

oo

T

T

T

Td

ns

dttftftn

dttftftfP

dttftftntfP

dttftftrr

雑音成分信号成分　　

　　　　

　　　

　　　

　

001

0011

2

0011

001

)}2cos()2){cos((

)}2cos()2cos()2({cos2

)}2cos()2)}{cos(()2cos(2{

)}2cos()2){cos((


TffTff

TffTff

TfTf

TP

dttfftff

tfPsT

o

)(2})(2sin{

)(2})(2sin{

4)4sin(

22

})(2cos{})(2cos{)4cos(1

22

01

01

01

01

1

1

0 0101

1

無視できるほど小さい

は整数．となる．ただし

　　　

選ぶととなるように周波数をここで

l

TPs

lfTTff

o 22

5.0201


T

T

T

Ton

no

To

dtdfftftfntnE

dffn

dttftftnE

dttftftnEnE

nE

dttftftnn

0 01

01

001

001

2

001

22

20

01

)}2cos()2{cos()}2cos()2)]{cos(()([

)}2cos()2){cos((

)}2cos()2){cos((

)}2cos()2){cos((][

0][

)}2cos()2){cos((

　　　　　　　　　　　　

　　

を求める．である．分散の平均は


)2/())(2cos())(2cos(

)4cos()4cos(2)4/(

)}2cos()2{cos()2/(

)()2/()]()([,)(

0

00101

010

0

2010

2

0

TN

dtffff

tftfN

dttftfN

ttNntnE

tn

T

T

n

　　

　　

以外は零になるのでに関する積分はであるから，

その自己相関関数はは白色雑音でありここで，


整合フィルタ出力差rdの分布

TNTPr

TNrp

TNTPr

TNrp

TN

TPTPr

dd

dd

n

d

0

2

0

0

2

0

02

}2/2{exp1)"0"(

}2/2{exp1)"1"(

2/,

2/22/2"01"2

　

　

次式で与えられる．条件付確率密度関数は

率変数になり，そののガウス分布に従う確分散がで

）（は平均がが送信された時の）（値データ

0 rd

“1”を送信“0”を送信

判定スレシホールド

"0"or"1"drp

2/2 TP2/2 TP


平均誤り率

)/5.0(5.0)/(

01

)/5.0(5.0

21

21}2/2{exp1

)/5.0(5.0}2/2{exp1

5.05.0

00

0

00

0

2

010

00

0

2

001

0110

NEerfcNEp

NEerfc

NPTerfcdr

TNTPr

TNp

NEerfcdrEN

TPrEN

p

ppp

bbb

b

dd

bdb

d

b

b

　

従って，であることが分かる．“の判定誤り率は同じ“と“より，“

　　　　

　　　

ここで

　


誤り率の比較

判定誤り

通信路に混入した雑音により， “1”→“0”に誤る場合と“0”→“1”に誤る場合があるが，通常，この2つの確率は

等しい（二元対象通信路と言う）．誤り率

FSKNEerfcPSKNEerfcASKNEerfc

NEp

b

b

b

bb

　　　

　　　　　

　　　

)/5.0(5.0)/(5.0

)/5.0(5.0)/(

0

0

0

0


C/NとEb/N0との関係


1シンボル当たりのエネルギーEsと1ビット当たりのエネルギー Ebの関係

bbs

b

sb

b

Ts

s

TETEP

TMT

MEEEMM

TPdtthPE

E

//

)(log11)/(log

1log1

)(

1

2

2

2

2

　

以上より

　

ビット長との関係はシンボル長とまた，

　

はギービット当たりのエネルから，ビットだけ送信できる

シンボルで，値変調であるとするとである．もし

　

はルギーシンボル当たりのエネ


搬送波電力対雑音電力比C/N

MkTBN

kEN

TBSTBN

BtsN

tsNC

jQIEdtthT

mTthjQItjQtI

tfjtjQtIPts

n

bn

n

n

mmT

mTmm

c

200

22

22

log ,1)/()(/

/)()(

1][ ,1)()1/(

)()()()(

)]2(exp)}()({2Re[)(

受信フィルタ

HR(f)判定

標本時点tm=mT “0”, “1”

)(ts

)()()( momomo tntstr

受信信号

n(t)雑音

r(t)


kdBNCdB

NE

NE

kNC

TBTB

kNE

NC

B

b

b

n

n

b

n

100

0

0

log10][][

1

　　

あるいは

　　

であるので整合フィルタのとき

　　

は等価雑音帯域幅


第2章問題


問題2.1送信パルスが下図のような余弦波であるとする．このときの整合フィルタのインパルス応答hR(t)とフィルタ出力so(t)を求めよ

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.5 0 0.5 1 1.5

2PSKﾊﾟﾙｽの時間波形

Acos(8t/T)-Acos(8t/T)

t/T

x A

elesewhere ,0

0 ),/8cos()(

TtTtAts　

問題2.2


よ．を求め，それを利用せ

に関する条件付確率が送信されたときのヒント：

ルス応答である．送信フィルタのインパ

は表現，は受信信号の等価低域は整合フィルタ出力，

　

を示せ．ただし，

ることであることが送信されたと判定すを最大とするは，

判定の判定を考える．シンボルに送信された第時刻

)|~(~

)()(~

)()(~1~

]~Re[

ML

moom

T

To

mmo

m

srprs

thtr

dtmTthtrT

r

dsr

smmTt


問題2.32PSK伝送において，“1”に整合した整合フィルタを用い，その出力の正負で符号判定することがML判定になっていることを示せ．

ヒント：整合フィルタ出力が複素ガウス変数になっていることを利用せよ．

．インパルス応答である

は送信フィルタの表現，は受信信号の等価低域ただし，

　

次式で与えられる．整合フィルタの出力は

)()(~

)()(~1~

thtr

dtmTthtrT

r

T

To


問題2.42PSK伝送で，+1が送信されたときの誤り率と-1が送信されたときの誤り率を求め，それらが等しいことを示せ．

問題2.5ルートナイキスト自乗余弦フィルタの正規化雑音帯域幅Bnは，Tをシンボル長とするとBnT=1であることを示せ．


dffHB

BNdffHNN

BN

Rn

nR

n

2

02

0

)(

)(

　　　

これより

　　　

表せる．を用いて次式のように帯域幅

は等価雑音出力の雑音電力（補足）受信フィルタ

第 章 信号検出理論...fa/tohoku u 「無線伝送工学」 1 第2章 信号検出理論...

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