前回の復習

m k

並進運動

2

2

2

2

2,

d x kx

d

d xm kx

d

t m

t

　

22

20

d xx

dt

22

mT

k

2

2

22

2,

dk

dt

d k

dt

I

I

　

22

20

d

dt

22

IT

k

回転運動

剛体の回転運動 質点の並進運動

x

x

m I

位置　 　　 　　回転角　

速度　 　　 　　角速度　

質量　 　　 　　慣性モーメント　

p m L Ix 角運動運動量 　　 　 量　 　

x zmx F I N 運動方程式　 　　 　　2 21 1

22mx I運動エネルギー　　 　　 　　

例題

2

2 z

d

dtI N

実体振り子の運動方程式と周期？

sinMgh

N r F G

o

h

Mg

2

2( 1)

dI Mgh

dt

　　

22

20

d

dt

　,

Mgh

I

0( ) sin( )t t . 2cf T

g　 　

（単振り子）

I

Mh ：相当　 単振り子の長さ

次回： I の求め方！

22 I

TMgh

Quiz p. 70 [問]

21

3I M ← See p. 71

Quiz（解答例）

2

3 /

( / 2)I Mg Mg

g

力学エネルギー保存則から

1

2

2.9 慣性モーメントの計算

2

i i

i

I m r ：慣性モーメント

Moment of inertia

p.68-69

2I r dV

例1 細い一様の棒（１D）

回転軸①

x x dM dx

2

0dx xI

(1) 回転軸①の場合 (2) 回転軸②の場合

回転軸②

/ 22

/ 2dxI x

21

3I M

2.9 慣性モーメントの計算

例1 細い一様の棒（１D）

回転軸①

x r dM dx(1) 回転軸①の場合

(2) 回転軸②の場合

回転軸②

＊ 回転軸①の場合の別解

[定理１] 重心軸の IG

との関係（p.72） 2

GI I M

2

2GI I M

2.9 慣性モーメントの計算

2

i i

i

I m r ：慣性モーメント

Moment of inertia

p.68-69

2I r dV

例2 一様な薄い円盤（２D）

2

02

a

z r rI rd

(1) 回転軸 z の場合 x

y

Ma

r

dr

3

0

4

2

2

2

4

1

2

a

r dr

a

Ma

　　　　　　　　

2.9 慣性モーメントの計算

例2 一様な薄い円盤（２D）

2

0(2 sin )( si( ) n )cosyI a a ad

　　

(2) 回転軸 y の場合（or x 軸） x

y

Ma

sindx ad

ad

z x yI I I

[定理2] 薄い円盤

慣性モーメント z x yI I I

xy

z

2.9 慣性モーメントの計算

例３ 一様な球（３D）

2 2( sin ) ( sinc ) )( osz aI a ad

　　

z

2

0 0(2

)1

z M aI 　　　円盤 ( 例２)

2

0

0

2 2

2 2

( )

( )

a

M

a z

a z dz

( ) ( )a

z za

I I

球 円盤

0

2 2( )

a

a z

2

:

I M

　

回転半径

2.10 剛体の平面運動

2

2sin

d

dtMg

xFM 並進運動：

例） 円盤の運動 a

M R

F

x 重心の並進運動を調べる

x a

2

2N a

dI

dF

t

回転運動：

①

②

③

①，②から F を消去！ 21

2I Ma

①+②/a 1

sin2

Mx Ma Mg

Mg

情報工学基礎実験Iのテーマ５

（力学現象）の時，使える！

2.10 剛体の平面運動

a

M

Mg

R

F

x

重心の並進運動を調べる

1sin

2Mx Ma Mg

例） 円盤の運動

0

0 0t x

初期条件

：

21sin .

3x g t const

2.10 剛体の平面運動

a

M

Mg

R

F

x

エネルギー保存則を調べる

sinMg

( 0 0)E x t ; 　＝ ( )E x ？

21

2Mx

重心の並進運動エネルギー

回転による運動エネルギー

2

2 22

1

2

1 4sin

2 9

2sin

3

x

t

Mg

M

M g

2

2

2

1

2

1 1

2 2

1sin

3

I

xMa

a

Mg

2

2sin

3

1sin

3

x

t

g t

x g

＋

保存則OK!

例） 円盤の運動

21

2I

Quiz

p. 74 [問]

回転軸

a

解析力学とは

2

2

2

2

22

2

( )

1( ) ( )

2

d x Um if F

dt x

d x dm mx K mx

d

U

x

d K

d

d xm F

d

t d

t

t t x

　　　　　　 　

• 物体の運動をニュートン力学と別の原理で考える．

• しかし，その原理はニュートン力学と同等である．

• 複雑な問題に役に立つ．

( , ) ( ) ( )L x x K x U x

0 0

d K U

dt x x

d K U

dt

d L L

dtx x x x

　　　 ラグランジュ

の方程式

例題

2

2sin ,

d sm mg

ds

t 　　

2

2sin 0

d g

dt

2

2

) : ( 1)

sin

0

i if s

g

ma

dt

l

d

l

　

　　　

　　 　　　

0 n ,si ( )tg

　

22T

g

　

s 0 s

l

m

W=mg

mgsin

2

2 21

1( ) ( )

2

(1 cos )

( (1 cos )

o

)

(1 c s )2

K

L

m v

U m

g

g

m

h

m

　　　　　　

2

0

( ) s

sin 0

in 0

d L L

dt

dm mg

t

g

d

0d L L

dt x x

( , ) ( ) ( )L x x K x U x

0d L L

dt

( , ) ( ) ( )L K U

y

x

2m

2m m

x ?

y ?

2 2 2

2 2

12 2 ( ) ( )

2

2 2 ( ) ( )

(5 2 3 ) ( )2

L mx m y x m y x

g mx m y x m y x

mx xy y mg x y

ラグランジュの方程式から

(5 ) 0

( 3 )

0

00

d L L

dt x x

d

m x y g

m x y gL L

dt y y

2

2

1

14

1

7

x gt

y gt

( , ) ( ) ( )L x x K x U x

0;

0, 0

t

x x

初期条件

（滑車の慣性モーメントは無視する場合）

例題

Report 14

過程を省略せず，解答までの詳細を記述すること！

例） 円盤の運動 a

M

Mg

R

q

F

x

3.重心運動の速度（ẋ），移動距離（x） を求めよ．

1. 重心運動の運動方程式を示せ．

4. エネルギー保存則を証明せよ．

2. 回転運動の運動方程式を示せ．