前回の復習 k m - 九州工業大学前回の復習 k m 並進運動 2 2 2 2 2, d x k x d dx m...
TRANSCRIPT
前回の復習
m k
並進運動
2
2
2
2
2,
d x kx
d
d xm kx
d
t m
t
22
20
d xx
dt
22
mT
k
2
2
22
2,
dk
dt
d k
dt
I
I
22
20
d
dt
22
IT
k
回転運動
剛体の回転運動 質点の並進運動
x
x
m I
位置 回転角
速度 角速度
質量 慣性モーメント
p m L Ix 角運動運動量 量
x zmx F I N 運動方程式 2 21 1
22mx I運動エネルギー
例題
2
2 z
d
dtI N
実体振り子の運動方程式と周期?
sinMgh
N r F G
o
h
Mg
2
2( 1)
dI Mgh
dt
22
20
d
dt
,
Mgh
I
0( ) sin( )t t . 2cf T
g
(単振り子)
I
Mh :相当 単振り子の長さ
次回: I の求め方!
22 I
TMgh
2.9 慣性モーメントの計算
2
i i
i
I m r :慣性モーメント
Moment of inertia
p.68-69
2I r dV
例1 細い一様の棒(1D)
回転軸①
x x dM dx
2
0dx xI
(1) 回転軸①の場合 (2) 回転軸②の場合
回転軸②
/ 22
/ 2dxI x
21
3I M
2.9 慣性モーメントの計算
例1 細い一様の棒(1D)
回転軸①
x r dM dx(1) 回転軸①の場合
(2) 回転軸②の場合
回転軸②
* 回転軸①の場合の別解
[定理1] 重心軸の IG
との関係(p.72) 2
GI I M
2
2GI I M
2.9 慣性モーメントの計算
2
i i
i
I m r :慣性モーメント
Moment of inertia
p.68-69
2I r dV
例2 一様な薄い円盤(2D)
2
02
a
z r rI rd
(1) 回転軸 z の場合 x
y
Ma
r
dr
3
0
4
2
2
2
4
1
2
a
r dr
a
Ma
2.9 慣性モーメントの計算
例2 一様な薄い円盤(2D)
2
0(2 sin )( si( ) n )cosyI a a ad
(2) 回転軸 y の場合(or x 軸) x
y
Ma
sindx ad
ad
z x yI I I
[定理2] 薄い円盤
慣性モーメント z x yI I I
xy
z
2.9 慣性モーメントの計算
例3 一様な球(3D)
2 2( sin ) ( sinc ) )( osz aI a ad
z
2
0 0(2
)1
z M aI 円盤 ( 例2)
2
0
0
2 2
2 2
( )
( )
a
M
a z
a z dz
( ) ( )a
z za
I I
球 円盤
0
2 2( )
a
a z
2
:
I M
回転半径
2.10 剛体の平面運動
2
2sin
d
dtMg
xFM 並進運動:
例) 円盤の運動 a
M R
F
x 重心の並進運動を調べる
x a
2
2N a
dI
dF
t
回転運動:
①
②
③
①,②から F を消去! 21
2I Ma
①+②/a 1
sin2
Mx Ma Mg
Mg
情報工学基礎実験Iのテーマ5
(力学現象)の時,使える!
2.10 剛体の平面運動
a
M
Mg
R
F
x
エネルギー保存則を調べる
sinMg
( 0 0)E x t ; = ( )E x ?
21
2Mx
重心の並進運動エネルギー
回転による運動エネルギー
2
2 22
1
2
1 4sin
2 9
2sin
3
x
t
Mg
M
M g
2
2
2
1
2
1 1
2 2
1sin
3
I
xMa
a
Mg
2
2sin
3
1sin
3
x
t
g t
x g
+
保存則OK!
例) 円盤の運動
21
2I
解析力学とは
2
2
2
2
22
2
( )
1( ) ( )
2
d x Um if F
dt x
d x dm mx K mx
d
U
x
d K
d
d xm F
d
t d
t
t t x
• 物体の運動をニュートン力学と別の原理で考える.
• しかし,その原理はニュートン力学と同等である.
• 複雑な問題に役に立つ.
( , ) ( ) ( )L x x K x U x
0 0
d K U
dt x x
d K U
dt
d L L
dtx x x x
ラグランジュ
の方程式
例題
2
2sin ,
d sm mg
ds
t
2
2sin 0
d g
dt
2
2
) : ( 1)
sin
0
i if s
g
ma
dt
l
d
l
0 n ,si ( )tg
22T
g
s 0 s
l
m
W=mg
mgsin
2
2 21
1( ) ( )
2
(1 cos )
( (1 cos )
o
)
(1 c s )2
K
L
m v
U m
g
g
m
h
m
2
0
( ) s
sin 0
in 0
d L L
dt
dm mg
t
g
d
0d L L
dt x x
( , ) ( ) ( )L x x K x U x
0d L L
dt
( , ) ( ) ( )L K U
y
x
2m
2m m
x ?
y ?
2 2 2
2 2
12 2 ( ) ( )
2
2 2 ( ) ( )
(5 2 3 ) ( )2
L mx m y x m y x
g mx m y x m y x
mx xy y mg x y
ラグランジュの方程式から
(5 ) 0
( 3 )
0
00
d L L
dt x x
d
m x y g
m x y gL L
dt y y
2
2
1
14
1
7
x gt
y gt
( , ) ( ) ( )L x x K x U x
0;
0, 0
t
x x
初期条件
(滑車の慣性モーメントは無視する場合)
例題