宇宙工学基礎 - 東京工業大学lss.mes.titech.ac.jp/~matunaga/keplerorbitpptv2.pdftokyo...

Tokyo Institute of Technology

Laboratory for Space Systems (LSS)

宇宙工学基礎（軌道の基礎）

松永三郎

機械宇宙学科・機械宇宙システム専攻



ニュートンニュートンニュートンニュートンのののの法則法則法則法則

第第第第１１１１法則法則法則法則））））力力力力がががが作用作用作用作用しないしないしないしない限限限限りりりり、、、、質点質点質点質点はははは静止静止静止静止ないしはないしはないしはないしは一定速度一定速度一定速度一定速度でででで運運運運動動動動するするするする。（。（。（。（慣性慣性慣性慣性のののの法則法則法則法則））））

→→→→ 慣性空間慣性空間慣性空間慣性空間、、、、慣性座標系慣性座標系慣性座標系慣性座標系のののの定義定義定義定義

第第第第2法則法則法則法則））））慣性座標系慣性座標系慣性座標系慣性座標系におけるにおけるにおけるにおける質点質点質点質点のののの運動運動運動運動

(1)

F：：：：全作用力全作用力全作用力全作用力，，，， p=mv：：：：並進運動量並進運動量並進運動量並進運動量（（（（質量質量質量質量とととと速度速度速度速度のののの積積積積））））慣性系慣性系慣性系慣性系をををを規準規準規準規準としてとしてとしてとして時間微分時間微分時間微分時間微分をををを行行行行ううううことにことにことにことに注意注意注意注意

第第第第3法則法則法則法則））））全全全全てのてのてのての作用作用作用作用にはにはにはには、、、、向向向向きがきがきがきが反対反対反対反対でででで大大大大きさのきさのきさのきさの等等等等しいしいしいしい反作用反作用反作用反作用がががが

存在存在存在存在するするするする。（。（。（。（作用作用作用作用・・・・反作用反作用反作用反作用のののの法則法則法則法則））））

( )ppF ɺ==

td

d



２２２２体問題体問題体問題体問題のののの基本微分方程式基本微分方程式基本微分方程式基本微分方程式

２２２２つのつのつのつの質点質点質点質点にににに関関関関するするするする運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式

Fr −=22ɺɺm

Fr =11 ɺɺmr

rr

rrF ˆ

12

12 FF =−

−=外力外力外力外力：：：：

rr ˆ11

12

Fmm

+−=ɺɺ

ニュートンニュートンニュートンニュートンのののの万有引力万有引力万有引力万有引力：：：：万有引力定数:,2

21 Gr

mmGF =

2体問題体問題体問題体問題のののの基本微分方程式基本微分方程式基本微分方程式基本微分方程式：：：： 03=+

r

rr µɺɺ

( ) 重力定数:21 mmG +=µ

： m1に対するm2の運動方程式

⇒r//ˆ,12 rrrrrrr ==−=



基本微分方程式基本微分方程式基本微分方程式基本微分方程式のののの特徴特徴特徴特徴

03=+

r

rr µɺɺ

1) r を –r に変えても式は不変 ⇒ m2に対するm1の運動方程式でもあるt を –t に変えても式は不変 ⇒ 時間反転で物理は不変

2) 質量m1+m2を固定原点とする単位質量muの運動を表す:

3)外力（重力）はスカラー・ポテンシャルで表せる :

4)質量中心という考えは運動方程式を導く際に必要としない

5) ２つの質点という仮定は、球対称質量分布を持つ球対称物体へ拡張可能=> つまり、ニュートンの２体問題は、太陽、地球、月などの球状物体に高い精度

で適用可能（テキストの問参照レポート課題）

03=+ rr

rmm uu

µɺɺ

rVV

V

r

µµ −=−=

∂∂−=−= ,grad

3 r

rrɺɺ



運動運動運動運動のののの積分積分積分積分

n次元 2階常微分方程式

( )t,,xxFx ɺɺɺ =

=

nx

x

x

⋮

2

1

x

=

nF

F

F

F⋮

2

1

( )txx =

( ) （時間に対して不変）const.,, =tG xx ɺ

となるのを運動運動運動運動のののの積分積分積分積分と呼ぶ例：2体問題では、エネルギーと角運動量が運動の積分

上式で 2n 個の積分が存在すれば、系を完全可積分完全可積分完全可積分完全可積分と呼ぶ例：2体問題では、

したがって、2n=2×3=6個の積分が完全解を持つために必要

( )tG ,,xx ɺが上式の解のとき、任意の関数の中で

=

3

2

1

x

x

x

x xx

F3

µ−=rx =



２２２２体問題体問題体問題体問題のののの運動運動運動運動のののの積分積分積分積分：：：：面積分面積分面積分面積分 c

昇交点方向

cs /

軌道面

赤道面

昇交点方向方向

f

ai

Ω

北極点方向bi

ci

ri

r

i

ωu

k

θ

j

γ

i

i

軌道面垂直方向（面積分方向）

03=+ rr

r

µɺɺ

( )を計算すると×r

0=×rr ɺɺ

これを変形して、の形にする( ) 0d

d=

t

( ) ( ) 0d

d

d

d=×⇔×=×+×=× rrrrrrrrrr ɺɺɺɺɺɺɺɺ

tt

より0=× rr

一定==× crr ɺ ：面積分(area integral)

角運動量保存則を表し、特に、cを角運動量ベクトル（軌道面ベクトル）と呼ぶ

幾何学性質：cは運動の軌道面に垂直、言い換えれば、軌道面が存在する



２２２２体問題体問題体問題体問題のののの運動運動運動運動のののの積分積分積分積分：：：：エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー積分積分積分積分h

( ) :を計算する⋅rɺ 03=

+ rrrr

µɺɺɺ・

( )

( )( )

に注意して・・

・・

・・

==

−=

−

=

rrrrrrrr

rrrr

ɺ

ɺɺɺɺɺ

33 d

d

2d

d

d

dd

d

2

1

rttrt

tµµµµ

一定・ ==− hr

µrr ɺɺ

2

1

運動エネルギー位置エネルギー（ポテンシャル・エネルギー）

エネルギー積分h ： 2体エネルギー（ケプラー・エネルギー）とも呼ぶ

22

2vE =

⋅=

rr ɺɺ rV

µ−=

+= hr

vµ

2速さ：無限遠 ∞→r

）

>

=

<

=∞0if2

0if0

0if

hh

h

h

v

虚数

>

=

<

双曲線軌道（開軌道）

放物線軌道（開軌道）

期的）楕円軌道（閉軌道、周

0

0

0

h

h

h

VEh +=

hr

v =−µ2

2

1



２２２２体問題体問題体問題体問題のののの運動運動運動運動のののの積分積分積分積分：：：：ラプラスラプラスラプラスラプラス（（（（レンツレンツレンツレンツ））））積分積分積分積分 f

rrc ɺ×= 03=+ rr

r

µɺɺ×

( ) 03

=××+×⇒ rrrrc ɺɺɺr

µ

( ) zxyzyxzyx ⋅−⋅=×× を用いて

( ) ( )[ ] 03

=−+× rrrrrrrc ・・ ɺɺɺɺr

µ

( )rcrc ɺɺɺ ×=×td

d ( ) ( )[ ]rrrrrrr

⋅−⋅=

ɺɺ

3d

d

rrt

µµ

0d

d=

+× rrcrt

µɺ frrc −==+× 一定

r

µɺ

次の関係式に注意して

即ち :ラプラス（レンツ）積分

f ををををラプラスベクトルラプラスベクトルラプラスベクトルラプラスベクトル（（（（離心率離心率離心率離心率ベクトルベクトルベクトルベクトル））））

大大大大きさがきさがきさがきさが離心率離心率離心率離心率にににに比例比例比例比例（（（（後述後述後述後述））））



運動運動運動運動のののの積分積分積分積分 c, , , , f 間間間間のののの関係関係関係関係

0=fc・c と f は互いに垂直：＝＞ f は軌道面内にある

f の姿勢方向は3つの角（オイラー角）で表現できる

近点引数

軌道傾斜角

昇交点角

　

:

:

:

ω

Ωi

昇交点方向

cs /

軌道面

赤道面


f

ai

Ω

北極点方向bi

ci

ri

r

i

ωu

k

θ

j

γ

i

i


f, rのなす角を θ とすると、その内積は

θcosfr=⋅rf

( ) rcr µµ −=−×⋅=⋅ 2rrcrf ɺ

：円錐曲線を表す

θ :真近点離角、 :離心率、 :半直弦

一方、

したがって θω+=uθ

r

ri

ti

β

θi

ni

ω

ai

f

cs /

µf

e =µ

2cp =

θθµ

µcos1

cos1

/2

e

p

f

cr

+≡

+=



運動運動運動運動のののの積分積分積分積分 c, , , , h, , , , f 間間間間のののの関係関係関係関係

( ) ( ) ( ) ( )rrrcrrcrcff ⋅+×⋅+×⋅×=⋅=2

22 2

rrf

µµɺɺɺfの関係式より、

( )( ) ( )( ) ( )( )zywxwyzxwzyx ⋅⋅−⋅⋅=×× zyxzyx ⋅×=×⋅ を用いて

22222 22

µµµ

+=+

−⋅= hcr

cf rr ɺɺ

−−=

2

22

12 µµ

µf

h

cまたは ( )21 eap −=

変形して

µ

µ

=

−=

⋅=

項右辺第

項右辺第

項右辺第

3

22

1

2

2

cr

c rr ɺɺ

）長半径（または半長径:2h

aµ−≡



軌道面軌道面軌道面軌道面のののの姿勢姿勢姿勢姿勢とととと宇宙機宇宙機宇宙機宇宙機s/cのののの位置位置位置位置のののの関係関係関係関係

昇交点方向

cs /

軌道面

赤道面


f

ai

Ω

北極点方向bi

ci

ri

r

i

ωu

k

θ

j

γ

i

i


θω+=uθ

r

ri

ti

β

θi

ni

ω

ai

f

cs /

軌道軌道軌道軌道のののの形形形形・・・・大大大大きさきさきさきさ

軌道軌道軌道軌道のののの向向向向きききき

古典的軌道要素：オイラーの軌道６要素

軌道上軌道上軌道上軌道上のののの位置位置位置位置

θ = 真近点離角 true anomaly

a = 長半径（半長径） semimajor axis

e = 離心率 eccentricity

= 昇交点赤径 right ascension of the ascending node

i = 軌道傾斜角 inclination

ω = 近点引数 argument of periaposis

Ω



運動運動運動運動のののの積分積分積分積分（（（（中間中間中間中間））））まとめまとめまとめまとめ

frrc

rr

crr

−=+×

=−⋅

=×

r

hrµ

µ

ɺ

ɺɺ

ɺ

2

1

−−=

=⋅

2

22

12

0

µµ

µf

h

c

fc

1.運動の積分（計7個）

3個1個3個

2.拘束条件式（計2個）

1個

1個

独立な積分の個数（自由度）は、７－２＝５個

であり、完全積分にはもう1個必要

備考：対称性により、力学性質が決まる１）中心力 → 系の回転対称性 ⇒ 角運動量保存則（c=一定）

２）時間を陽に含まない → 時間の平行移動に関する対称性 ⇒ エネルギー保存則３）隠れた対称性 ⇒ ラプラスベクトル f の保存（特に方向）



ケプラーケプラーケプラーケプラー方程式方程式方程式方程式：：：：第第第第6666番目番目番目番目のののの運動運動運動運動のののの積分積分積分積分

( ) ( ) ( )( ) ( )( )rrrrrrrrrrrrcccrr ɺɺɺɺɺɺɺ ⋅⋅−⋅⋅=×⋅×==⋅⇒=× 2c

hr=−

µrr ɺɺ・

2

1 ( ) rrrr ɺɺ ⋅=⇒⋅= rrt

rt d

d

d

d 2 ( )222 22 rr

rhrc ɺ−

+=µ

( ) rrft dd =

0<hh

rz2

µ+= dz

zh

f

hzdth

2

2

2

2/2

−

−=−±

µ

( )

−−−

−=+−± −

hf

z

hz

h

fth

2/cos

22const.2 12

2µ

2

2

1

2

2sin,

2/cos z

h

f

f

hE

hf

zE −

=

= −

( ) EeEKta

sin3

−=+µ ：ケプラー方程式（楕円）；位置と時刻の関係が求められる

を用いて：

の形にして、時間と積分定数の関係を求めるのが目標

と仮定して、変数変換：を行うと：

積分して：

定義： const. = K : 第6番目の定数

近点通過時刻:ptt =定義： ( ) ( ) ⇒−=−= 平均近点離角:3 pp ttntta

Mµ

EeEM sin−=

（双曲線）（放物線） 0,0 >= hh の場合も同様に導出可能

n: 平均運動

（楕円）



円錐曲線のまとめ



円錐曲線のまとめ１



円錐曲線のまとめ２



円錐曲線のまとめ3



ケプラー軌道要素のまとめ






Ω

n：平均運動 mean motion

)( TtnM −=




ν, θ = 真近点離角 true anomaly

E = 離心近点離角 eccentric anomaly

M = 平均近点離角 mean anomaly

t = 観測時刻 the time of observation

T, tp =近点通過時刻 the time of perifocal passage



ケプラー軌道要素のまとめ１






ケプラー軌道要素のまとめ２





Ω



ケプラー軌道要素のまとめ３

n：平均運動 mean motion

)( TtnM −=


ν, θ = 真近点離角 true anomaly

E = 離心近点離角 eccentric anomaly

M = 平均近点離角 mean anomaly

t = 観測時刻 the time of observation

T, tp =近点通過時刻 the time of perifocal passage

宇宙工学基礎 - 東京工業大学lss.mes.titech.ac.jp/~matunaga/keplerorbitpptv2.pdftokyo...

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