Đặc tả hình thức - tuyen nguyentuyennguyen.info/formalspec/02-sets_and_relations.pdf ·...

LOGO

Đặc tả hình thức

Nguyễn Thị Minh Tuyền

Tập hợp và quan hệ

Nguyễn Thị Minh Tuyền 1


Tập hợp (Set)

v Tập các đối tượng rời rạc (không có thứ tự).

v Một tập hợp được tạo ra từ một miền (domain) các đối tượng mà trong đó tất cả các đối tượng có cùng kiểu (type) §  Tập hợp có tính đồng nhất.

v Ví dụ: §  {2,4,5,6,…} §  {red, yellow, blue} §  {true, false} §  {red, true, 2}

2 Nguyễn Thị Minh Tuyền

Miền đối tượng

tập hợp các số nguyên. tập hợp các màu. tập hợp các giá trị boolean.

không phải tập hợp.


Giá trị của một tập hợp

v Là tập hợp các phần tử của tập hợp. v Hai tập A và B là bằng nhau nếu

§  Mọi phần tử của A đều là phần tử của B. §  Mọi phần tử của B đều là phần tử của A. §  Ký hiệu: A = B §  Ví dụ:

•  {a, b, c} = {c, b, a}

v x ∈ S nghĩa là “x là một phần tử của S”. §  Ví dụ:

•  x∈{x, y, z} •  50∈N



Giá trị của một tập hợp

v x ∉ S nghĩa là “x không phải là một phần tử của S”. §  Ví dụ: 10∉{1,7,20}

v Tập rỗng, ký hiệu {}



Định nghĩa tập hợp[1]

v Định nghĩa tập hợp bằng cách liệt kê §  PrimaryColors == {red, yellow, blue} §  Boolean == {true, false} §  Evens == {…, -4, -2, 0, 2, 4, …}



Định nghĩa tập hợp[2]

v Định nghĩa tập hợp bằng cách mô tả thuộc tính mà các phần tử của nó phải có.

v Ký hiệu: §  { x : S | P(x) } §  Hình thành một tập các phần tử từ một tập hợp/miền

S trong đó các phần tử phải thỏa mãn vị từ (predicate) P.

v Ví dụ: §  {x : N | x < 10} Các số nguyên nhỏ hơn 10 §  {x : Z | (∃y : Z | x = 2y)} Tập các số nguyên chẵn §  {x : N | false} Tập rỗng các số tự nhiên

Các số chẵn Tập rỗng các số nguyên



Cardinality

v Cardinality (#) của một tập hữu hạn là số phần tử của tập đó.

v Ví dụ: §  # {red, yellow, blue} = 3 §  # {1, 23} = 2 §  # Z = ?

v Cardinality cũng có thể được dùng để định nghĩa các tập vô hạn nhưng ở đây chúng ta chỉ xem xét cardinality cho các tập hữu hạn.



Các phép toán trên tập hợp

v Hợp (Union):

v Giao (Intersection)

v Hiệu(Difference)


X !Y ! {e | e" X or e" Y }{red}!{blue} = {red,blue}

X!Y " {e | e# X and e# Y }

{red,blue}!{blue, yellow} = {blue}

X \ Y ! {e | e" X and e# Y }{red, yellow,blue} \ {blue, yellow} = {red}


Bài tập

v Chứng minh rằng §  #(A∩B) + #(A∪B) = #(A) + #(B)



Tập con (subset)

v Tập con là tập hợp chứa các phần tử của một tập hợp khác §  X ⊆ Y iff {e | e∈X⇒ e∈Y}

v Ví dụ:

v Một tập con nghiêm ngặt S của một tập hợp A được định nghĩa bằng §  S ⊂ A

v So sánh hai tập hợp §  A = B iff {A⊆B ⋀ B⊆A}


{1, 7, 9,12, 25}! Z{1,3, 7}! {1,2,3, 5, 7}


Tập lũy thừa (Power Set)

v Tập lỹ thừa của một tập hợp S (viết là Pow(S)) là tập hợp các tập con của S.

v Ví dụ:

v Chú ý: với mọi tập S, ∅ ⊆S §  vì vậy, ∅ ⊆Pow(S)


Pow(S) ! {e | e" S}

Pow({a,b,c}) = {!,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}

{abc}}


Bài tập

v Biểu diễn các tập con sau bằng cách mô tả thuộc tính của nó §  Tập các số lẻ §  Tập các số lẻ > 0 §  Tập bình phương của các số nguyên.Ví dụ {1,4,9,…}

v Biểu diễn các thuộc tính trên tập hợp mà không sử dụng toán tử # §  Tập có ít nhất 1 phần tử §  Tập rỗng §  Tập có chính xác 1 phần tử §  Tập có ít nhất 2 phần tử §  Tập có chính xác hai phần tử



Phân hoạch tập hợp (Set Partitioning)

v Các tập hợp không giao nhau nếu chúng không có chung phần tử nào.

v Khi mô hình hóa, chúng ta sẽ lấy một tập S nào đó và chia những phần tử của nó thành những tập con không giao nhau thì gọi là phân hoạch tập hợp.

v Mỗi phần tử của S thuộc về duy nhất một tập hợp.


Soup Chips & Salsa Steak Pizza Sweet & Sour Pork Cake Apple pie Ice Cream


Ví dụ

v Tập hợp ban đầu: Person, Residence §  Phân chia Person thành Child, Student, Adult

§  Phân chia Residence thành Home, DormRoom,

Apartment


Child

Student Person

Adult

DormRoom

Residence Home

Appart


Bài tập

v Biểu diễn các thuộc tính sau của cặp các tập hợp §  Hai tập hợp không giao nhau §  Hai tập hợp được hình thành bằng cách phân hoạch

một tập thứ ba.



Biểu diễn quan hệ (relationship)

v Hữu ích khi chỉ đến các giá trị có cấu trúc §  Một nhóm các giá trị được hạn chế/giới hạn cùng

nhau §  Ví dụ: struct, record, object fields

v Alloy là một ngôn ngữ tính tính toán dựa vào các quan hệ.

v Tất cả các mô hình của Alloy sẽ được xây dựng dựa vào quan hệ.



Product v Cho sẵn hai tập A và B, product của A và

B, thường ký hiệu là A x B, là tập tất cả các cặp có thể (a,b) sao cho

v Ví dụ: §  PrimaryColor: {red, green, blue} §  Boolean: {true, false} §  PrimaryColor x Boolean:


A!B " {(a,b) | a # A and b# B}

(red, true),(blue, true),(green, true),

(red, false),(blue, false),(green, false)

!

"##

$##

%

&##

'##


Quan hệ - Ví dụ v Khái niệm về quan hệ khá thông dụng

trong đời sống hằng ngày. v Ví dụ:

§  X là tập các phụ nữ, Y là tập các nam giới §  Quan hệ vợ-chồng R có thể được xem như là một

quan hệ của X và Y. §  Đối với một quý bà: §  Đối với một quý ông: §  x liên quan tới y bởi R nếu x là vợ của y. §  Để định nghĩa quan hệ R: liệt kê tập hợp tất cả các

cặp có thứ tự(x,y) sao cho x liên quan tới y bởi R. Tập hợp các cặp có thứ tự như vậy là một tập con của

X x Y. 18 Nguyễn Thị Minh Tuyền

x ! Xy ! Y


Quan hệ nhị phân (Binary relations)

v Cho hai tập không rỗng A và B. Một quan hệ nhị phân R từ A đến B là một tập con

v Hay nói cách khác, R là một phần tử của Pow(A x B),


R ! A"B


Quan hệ bậc n

v Một quan hệ bậc ba (ternary relation) R giữa A, B và C là một phần tử của Pow(A x B x C).

v Ví dụ: §  FavoriteBeer : Person x Beer x Price §  FavoriteBeer == {(John, Miller, $2), (Ted,Heineken,

$4), (Steve, Miller, $2)} v Quan hệ bậc N (N-ary relations) với n>3 được định nghĩa tương tự (n là bậc của quan hệ).



Quan hệ nhị phân - Ví dụ 1 §  Một gia đình A có 5 người con: Amy, Bob, Charlie,

Debbie, and Eric. §  A = (a, b, c, d, e). §  Quan hệ brother - sister Rbs:

Rbs={(b, a), (b, d), (c, a), (c, d), (e, a), (e, d)} §  Quan hệ sister-brother Rsb:

Rsb = {(a, b), (a, c), (a, e), (d, b), (d, c), (d, e)} §  Quan hệ brother Rb: Rb={(b, b), (b, c), (b, e), (c, b), (c, c), (c, e), (e, b), (e, c), (e, e)} §  Quan hệ sister Rs:

Rs={ (a, a), (a, d), (d, a), (d, d)}



Quan hệ nhị phân - Ví dụ 2

v Đồ thị của phương trình

Là một quan hệ nhị phân trên R. Đồ thị là một hình ellipse. v Quan hệ nhỏ hơn (a<b) Là một quan hệ nhị phân trên R. Vì nó là một tập con của R2=RxR, quan hệ là tập


x2

9+y2

4=1

{(a,b)! R2 | a is less than b}.


Quan hệ nhị phân - Ví dụ 3

v Một hàm f : X -> Y v Được xem là một quan hệ nhị phân từ

X đến Y. Quan hệ nhị phân là đồ thị của nó.


G( f ) := {(x, f (x)) | x ! X}" X #Y


Quan hệ nhị phân

v Miền định nghĩa (definition domain) của quan hệ §  Tập những phần tử đầu tiên

v Ví dụ: §  Rbs={(b, a), (b, d), (c, a), (c, d), (e, a), (e, d)} §  domain(Rbs) = {b, c, e}

v Ảnh (image) của quan hệ §  Tập những phần tử cuối cùng.

v Ví dụ: §  image (Rbs) = {a, d} §  Với {(1,blue), (2,blue), (1,red)}: miền? ảnh?



Cấu trúc những quan hệ thường gặp


One

Many One-to-Many

One One

One-to-One

Many

One

Many-to-One

Many

Many Many-to-Many


Hàm (Functions)

v Hàm là một quan hệ F bậc n+1 không chứa hai chuỗi khác nhau với cùng n phần tử đầu tiên, nghĩa là với n = 1

v Ví dụ: §  {(2, red), (3, blue), (5, red)} §  {(4, 2), (6,3), (8, 4)}

v Thay vì F: A1 x A2 x … x An x B, chúng ta viết F: A1 x A2 … x An -> B


!(a1,b1)" F,!(a2,b2 )" F, (a1 = a2 # b1 = b2 )


Bài tập

v Tập nào sau đây là hàm? §  Parent == {(John, Autumn), (John, Sam)} §  Square = {(1, 1), (-1, 1), (-2, 4)} §  ClassGrades = {(Todd, A), (Virg, B)}



Quan hệ vs. Hàm


John

Lorie

Autumn

Sam

Parent

Many-to-Many

1 -2 -1

4 1

Square

Many-to-One

Todd

Virg

A B

ClassGrades

One-to-One

Một hàm là một quan hệ X-to-one


Những loại hàm đặc biệt

v Xét một hàm f từ S đến T §  f là toàn phần (total) nếu nó được định nghĩa cho tất

cả các giá trị của S.


Total Function


Những loại hàm đặc biệt

v Xét một hàm f từ S đến T §  f là bộ phận (partial) nếu nó được định nghĩa cho

một số giá trị của S.


Giá trị đầu vào này không được định nghĩa Partial Function

Chú ý: Hàm rỗng là một hàm bộ phận


v Ví dụ: §  Squares : Z -> N, Squares = {(-1,1), (2,4)}


Abs = {(x, y) : Z !N |( x < 0 and y = !x ) or ( x " 0 and y = x )


Các loại hàm đặc biệt

v Một hàm f: S -> T là §  one-to-one (injective) nếu không có phần tử ảnh nào được nối với nhiều phần tử miền.

§  onto (surjective) nếu ảnh của nó là T. §  Bijective nếu nó vừa là injective và surjective.



Các cấu trúc hàm


Injective Function

Surjective Function

Đặc tả hình thức 34 Nguyễn Thị Minh Tuyền

Bijective onto

Non-injective and non-surjective Injective and non-surjective (injection, or one-to-one)


Bài tập

v Xác định loại hàm/quan hệ sau:


Abs = {(x, y) : Z !N | (x < 0 and y=-x) or (x " 0 and y=x)}

Squares : Z !N, Square = {(-1,1),(2,4)}


Các trường hợp đặc biệt


Onto

Total Functions

One-to-One

Partial Functions

Relations


Sử dụng hàm như một tập hợp

v Hàm là các quan hệ vì vậy nó là các tập hợp.

v Có thể áp dụng cho tất cả các phép tính thường dùng. §  ClassGrades == {(Todd,A), (Jane,B)} §  #(ClassGrades {(Matt,C)}) = 3


U


Bài tập

v Các phép toán nào sau đây không giữ được tính chất hàm, onto, one-to-one? Cho ví dụ §  ⋂ ? §  ⋃ ? §  \ ?



Tổ hợp quan hệ (Relation composition)

v Sử dụng hai quan hệ để tạo ra một quan hệ mới. §  ánh xạ miền của quan hệ thứ nhất với ảnh của quan

hệ thứ hai §  Cho trước s: A x B và r: B x C, ta sẽ có s;r : A x C

v Ví dụ: §  s == {(red,1), (blue,2)} §  r == {(1,2), (2,4), (3,6)} §  s;r = {(red,2), (blue,4)}


s;r ! {(a,c) | (a,b)" s and (b,c)" r}


Tập đóng của quan hệ(Relation Closure)

v Tập đóng của một quan hệ r: S x S (được viết là r+)

v là những gì có được khi tiếp tục điều hướng (navigating) qua r cho đến khi ta không thể đi xa hơn được nữa.

v Ví dụ: §  GrandParent == Parent;Parent §  Ancestor == Parent+


r+ ! r" (r;r)" (r;r;r)"...


Chuyển vị quan hệ (Relation Transpose)

v Dễ thấy, chuyển vị của một quan hệ: §  r: S x T (được viết là ~r) §  Là những gì có được khi đảo ngược thứ tự của tất cả

các cặp trong r.

v Ví dụ: §  ChildOf == ~Parent §  DescendantOf == (~Parent)+


~ r ! {(b,a) | (a,b)" r}


Bài tập

v Phép toán quan hệ nào sau đây không giữ được tính chất hàm, onto, one-to-one? Cho ví dụ. §  quan hệ cộng gộp §  quan hệ đóng §  chuyển vị quan hệ


Đặc tả hình thức - tuyen nguyentuyennguyen.info/formalspec/02-sets_and_relations.pdf ·...

Documents