c teorija merenja iii deo

V. Pavlović – PREDAVANJA IZ TEORIJE MERENJA, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu

1

Trougaona raspodela

Grafički prikaz trougaone raspodele je dat na donjoj slici.

Za trougaonu raspodelu je karakteristično sledeće:

1) Interval mogućih vrednosti je ograničen, tj. važi [ ]maxmin x,xx ∈ , odnosno [ ]a,ax +−∈ µµ , gde

je a - poluširina intervala [ ]maxmin x,x . Van pomenutog intervala je verovatnoća nalaženja

rezultata: 0=P .

2) Postoji nagomilavanja rezultata merenja oko srednje vrednosti µ unutar intervala, tj. postoji veća

verovatnoća za pojavu malih nego za pojavu većih odstupanja od µ ;

3) Postoji takva simetrija u raspodeli rezultata merenja, levo i desno od µ , da funkcija raspodele ima

trougaoni oblik.

Za površinu ispod funkcije raspodele važi uslov normiranja: ( ) 1∫+

−+− ==

a

a

a,a dxxpPµ

µµµ . Sa druge strane, ta

površina se može izraziti kao: ( ) 1=⋅= maxxpaP , odakle sledi da je: ( )a

xp max1= .

Matematički opis funkcije ravnomerne raspodele se može prikazati kao:

( ) ( )

( )

+≤≤−+

≤≤−−−

+>−<

=

.axzaa

xa

xazaa

ax

axiaxza

xp

µµµ

µµµµµ

2

2

0

Ovde treba primetiti da jednačina: ( ) ( )2a

axxp

−−= µ predstavlja jednačinu prave levo od µ na grafiku

trougaone funkcije raspodele, dok jednačina: ( ) ( )2a

xaxp

−+= µ predstavlja jednačinu prave desno od µ na

istom grafiku.

Dokaz (neobavezno!)- Ako na grafiku trougaone raspodele označimo tri karakteristične tačke: ( )0,aA −µ , ( )a/,B 1µ i

( )0,aC +µ , onda je jasno da koeficijent pravca prave koja prolazi kroz A i B iznosi: ( ) ( )( ) 21

10

1

aaa

xx

xpxpk

AB

AB =−−

−=

−−=

µµ. Analogno,

koeficijent pravca prave koja prolazi kroz B i C iznosi: 221

ak

−= . Imajući to u vidu, sledi da se za pravu levo od µ može pisati:

( ) ( )[ ]axkxp −−=− µ10 , tj. sledi da jednačina prave levo od µ glasi: ( ) ( )[ ]axa

xp −−= µ2

1 . Za pravu desno od µ se može pisati:

( ) ( )[ ]xakxp −+=− µ20 , tj. jednačina prave desno od µ glasi: ( ) ( )[ ]xaa

xp −+= µ2

1 .

( )xp

xa−µ a+µµ

a

1


2

Standardna merna nesigurnost, u slučaju merenja na koje se može primeniti trougaona funkcija raspodele, se može prikazati kao:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6

222 adxxpxdxxpxdxxpxu

a

a

a

a

=⋅⋅−+⋅⋅−=⋅⋅−= ∫∫∫+

−

+

−

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µµµ .

Dokaz (neobavezno!)- Ukoliko se pri integraljenju koristi smena: ( ) tx =− µ , može se konstatovati da se izraz za u svodi na:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ).

aaa

a

aaa

a

aaa

aU

a

a

tatatt

adttatdtatt

a

dttatdtatta

dxxaxdxaxxa

dxa

xaxdx

a

axxdxxpxdxxpxu

U

aa

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

6612

12

4

1

3

12

3

2

4

21

433

0

4

01

4334

11

11

22

2

444

2

4334

2

0

0

4

0

30304

20

320

232

0

20

22

222

22

2222

==⋅=

−=

+−=

−+++−=

=

−++=

−++=

=

−++=

−+−++−−=

=⋅−+⋅−+⋅+−⋅−=⋅⋅−+⋅⋅−=

−−−

−

+

−

+

−

+

−

∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

µµµµ

µµµµµµ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

Sledi da je kod trougaone raspodele rezultata merenja ispunjeno:

6ua = .

To znači da kod trougaone raspodele rezultata merenja proširena merna nesigurnost pri izražavanju rezultata

merenja sa pouzdanošću od 100% iznosi: 6uaU == . Tada je vrednost faktora obuhvata: 6=k . Dakle,

važi sledeće:

Pošto kod trougaone raspodele postoji verovatnoća od %P 100= da se svaki rezultat

merenja nađe u intervalu [ ] [ ]66 uμ,uμaμ,aμ +−=+− , to znači da postoji

verovatnoća od %P 100= da se svaki rezultat merenja nađe u intervalu [ ]U,U +− µµ ,

ako je 6uU = , tj. ako je faktor obuhvata 6=k .

Ukoliko se u slučaju trougaone raspodele rezultata

merenja razmotri pitanje kolika je verovatnoća da

rezultat merenja padne u interval [ ]u,u +− µµ , onda se

dobija:

( ) ( ) ( ) %,dxxpdxxpdxxpPu

u

u

u

u,u 65650 ==+== ∫∫∫+

−

+

−+−

µ

µ

µ

µ

µ

µµµ

Dokaz - Površina osenčenog dela na grafiku trougaone funkcije raspodele se može prikazati kao zbir površine pravougaonika i trougla.

Visine tog pravougaonika je određena izrazom: ( ) ( ) ( ) ( )22 a

ua

a

auupxp

−=−−−=−= µµµ , dok širina iznosi u2 . Visina pomenutog trougla

je data izrazom: ( ) ( )22

1

a

u

a

ua

aupp =−−=−− µµ , a osnovica je u2 . Sledi da površina celog osenčenog dela iznosi:

( ) 6501626

112

22

2

2

2

2

22,

u

a

a

u

a

uuau

a

uu

a

uaP =−=

−=−=+−= .

a

1

( )xp

x

6

au=

a−µ a+µu−µ u+µ

6

au=

µ


3

Dakle, za trougaonu raspodelu važi prikaz u sledećoj tabeli:

Generalno se može reći da se trougaona raspodela koristi u sledećim slučajevima:

1) Kod direktnog merenja:

a) za određivanje standardne merne nesigurnosti ( u ), ako se direktno merenje vrši jednom i

ako pri tome nije primenljiva ravnomerna raspodela. Takav je slučaj npr. kod merenja vremena hronometrom (štopericom). Naime, merna nesigurnost koja potiče od

trajanje uključivanja i isključivanja štoperice utiče na našu procenu vremenskog intervala trajanja nekog događaja.

Zato tu, pored uticaja merne rezolucije štoperice, imamo i uticaj trajanja uključivanja i isključivanja na konačni rezultat

za posmatrani vremenski interval, pa se ne koristi ravnomerna raspodela, već trougaona raspodela.

b) za određivanje ukupne proširene merne nesigurnosti (U ), ako se direktno merenje vrši

više puta.

2) Kod indirektnog merenja, za određivanje ukupne proširene merne nesigurnosti (U ):

a) ako je broj ponovljenih merenja relativno mali, ili

b) ako indirektno merena veličina zavisi od malog broja međusobno nezavisnih direktno

merenih veličina.

Gausova raspodela

Grafički prikaz Gausove raspodele je prikazan na donjoj slici.

Za Gausovu rasodelu je karakteristično da postoji nagomilavanja rezultata merenja oko srednje

vrednosti µ unutar intervala, tj. da postoji veća verovatnoća za pojavu malih nego za pojavu većih odstupanja

od vrednosti µ , pri čemu funkcija raspodele ima zvonasti oblik (postoji zvonasta simetrija raspodele rezultata

oko µ ).

Pri nekim realnim merenjima, dobijena raspodela eksperimentalnih rezultata može da se aproksimira

Gausovom raspodelom, naročito u oblasti za koju postoji verovatnoća od P ≤ 99,7 % da se rezultat merenja

nađe u njoj. Slučajevi realnih merenja pri kojima se koristi Gausova raspodela su oni slučajevi za koje je

ispunjeno:

- da su merni rezultati uslovljeni velikim brojem međusobno nezavisnih parametara (npr. u slučaju kada

indirektno merena veličina zavisi od većeg broja direktno merenih veličina), i/ili

- da je broj merenja dovoljno veliki.

interval : kuU ±=± µµ k verovatnoća (P) da se rezultat

merenja nađe u posmatranom intervalu

6u±µ 6 100 %

u±µ 1 65 %

µ µ+u µ+2u µ+3u µ-u µ-2u µ-3u

P = 68,3%

P = 95,45%

P = 99,73%

( )xp

x


4

Za Gausovu raspodelu važi prikaz u sledećoj tabeli:

Inače, u prirodi je česta pojava da raspodela vrednosti određenog parametra ima veoma sličan oblik kao

Gausova raspodela. Zato se Gausova raspodela zove još i normalna raspodela. Kao primeri u kojima realna

raspodela može da se aproksimira Gausovom, mogu se navesti:

- raspodela koncentracije određene vrste isparenja u okolini određenih fabrika,

- raspodela veličine kamenčića na šljunkovitoj plaži,

- raspodela visina muškaraca u jednom narodu (i analogno, raspodela visine žena u datom narodu),

- raspodela visina određene vrste poljskog cveća, raspodela težine šumskih jagoda itd.

MERNA NESIGURNOST KOD DIREKTNOG MERENJA KOJE SE VRŠI JEDNOM

Ovde je reč o slučaju kada nema razloga da se direktno merenje ponavlja, jer se pri ponavljanju ne očekuje odstupanje za više od jednog najmanjeg podeoka na datom instrumentu. Takav je primer

merenja visine stuba tečnosti katetometrom u vežbi br. 1, ili merenja visine stuba žive u manometarskoj cevi u

vežbi br. 2 i br. 3, kao i merenja temperature u vežbama 3 i 4, merenja mase u vežbi br. 4, ili merenja ugla u

vežbi br. 5, itd. Ovde se pretpostavlja da nema uticaja spoljašnjih faktora na posmatranu direktno merenu

veličinu, ili da je on zanemarljiv u datim merenjima. Merna nesigurnost tada zavisi samo od rezolucije mernog instrumenta. Takva merna nesigurnost spada u mernu nesigurnost tipa B. Proširena merna nesigurnost tipa B se označava sa: BU . Inače, u mernu nesigurnost tipa B spada i nesigurnost koja je

utvrđena kalibracijom instrumenta (navodi se u specifikaciji instrumenta), nesigurnost parametara čije su

vrednosti uzete iz tablica ili druge literature, nesigurnost koja se javlja usled uticaja spoljašnjih faktora na datu

merenu veličinu (npr. nesigurnost usled uticaja promene temperature ili pritiska i sl.) itd., pri čemu ni u jednom

od navedenih primera nije reč o nesigurnosti koja se određuje statističkim metodama (na osnovu većeg broja

merenja).

Ukoliko se direktno merenje vrši jednom i ukoliko se može smatrati da merna nesigurnost pri tom merenju potiče samo od rezolucije mernog instrumenta, onda za pouzdanost pri izražavanju rezultata merenja od 100 % važi:

Dakle, u navedenom slučaju se na osnovu najmanjeg podeoka na mernom instrumentu određuje proširena merna nesigurnost1 za dato merenje, a onda se standardna merna nesigurnost

izračunava kao: 3BB

BU

k

Uu == , jer za direktno merenje koje se vrši samo jednom raspodela rezultata

merenja ima oblik koji odgovara pravougaonoj (ravnomernoj) raspodeli. Ovakva standardna merna nesigurnost tipa B se često zove i standardna merna nesigurnost datog instrumenta. Npr. pri direktnom merenju dužine metrom je mmU B 1= , dok je pri merenju dužine nonijusom: mm,U B 020= ili npr.

mm,U B 050= , zavisno od podele na skali nonijusa. Ako se dužina ili debljina mere mikrometarskim

zavrtnjem, onda je mm,U B 010= .

1 Ovde i svuda u daljem tekstu će biti reči samo o proširenoj mernoj nesigurnosti pri izražavanju rezultata sa maksimalnom pouzdanošću.

interval : kuU ±=± µµ k verovatnoća (P) da se rezultat

merenja nađe u posmatranom intervalu

u±µ 1 68 %

u2±µ 2 95 %

u3±µ 3 99,7 %

=BU vrednosti najmanjeg podeoka na instrumentu kojim je izvršeno merenje.


5

Napomena: U specijalnim slučajevima (izuzeci od pomenutog pravila), kada za određivanje standardne merne

nesigurnosti kod direktnog merenja koje se vrši jednom nije primenljiva ravnomerna raspodela, koristi se

trougaona raspodela. Npr. takav slučaj imamo kod merenja vremena (merenje vremenskog intervala trajanja

nekog procesa tj. događaja). Pri takvom merenju se unosi merna nesigurnost i pri uključivanju štoperice i pri

isključivanju štoperice. Reč je o pravilnoj proceni trenutka uključivanja štoperice, ali i trenutka isključivanja. Pri

tome, standardna merna nesigurnost koja potiče od procesa uključivanja štoperice jeste nesigurnost

tipa B, ali se određuje kao: 611

/Uu BtBt = , a analogno važi i za standardnu mernu nesigurnost koja

potiče od procesa isljučivanja štoperice: 612

/Uuuu BtBtBtBt === . Za vrednost BtU se može uzeti

vrednost od 0,2s, ili eventualno vrednost najmanjeg podeoka na datoj štoperici. Vrednost od 0,2 s se

uzima zato što je primećeno da uvežban i iskusan eksperimentator pri uključivanju ili isključivanju štoperice

tokom merenja vremenskog intervala pravi odstupanje koje nije veće od 0,2 s. Ukoliko je vrednost najmanjeg

podeoka na štoperici ≤ 0,2 s, onda se uzima: s,U Bt 20= , a ukoliko je vrednost najmanjeg podeoka na štoperici

> 0,2 s, onda se za BtU uzima ta vrednost podeoka.

Inače, iako merenje trajanja vremenskog intervala spada u direktna merenja, standardna i proširena

merna nesigurnost se ipak određuju drugačijom metodom nego što je to uobičajeno kod većine direktnih

merenja. Naime, zbog pomenutog unošenja merne nesigurnosto i pri uključivanju i pri isključivanju štoperice,

pri proračunu standardne merne nesigurnosti vremenski interval između uključenja i isključenja štoperice

treba predstaviti kao razliku dva vremena (vremena 1t koje je proteklo od nekog proizvoljno izabranog

početnog trenutka do uključenja štoperice i vremena 2t koje je proteklo od istog proizvoljno izabranog

početnog trenutka do isključenja štoperice). Zato se standardna merna nesigurnost koja se odnosi na merenje

trajanja nekog procesa (događaja) proračunava prema izrazu koji se koristi kod indirektnog merenja. Iz

standardne merne nesigurnosti se onda određuje proširena merna nesigurnost za izmeren vremenski interval,

što je analogno uobičajenoj proceduri pri razmatranju merne nesigurnosti kod indirektnog merenja.

MERNA NESIGURNOST KOD DIREKTNOG MERENJA KOJE SE VRŠI VIŠE PUTA

Reč je o slučaju kada se očekuje da se pri ponovljenom merenju javi razlika u vrednostima (odstupanje) za više od jednog najmanjeg podeoka na datom instrumentu. Takav je npr. slučaj merenja

prečnika žice koja nema idealno istu debljinu celom svojom dužinom (žica nije izrađena kao idealan cilindar, a

izvesna promena u obliku je uzrokovana i njenim čestim podvrgavanjima torziji), pa se zato prečnik žice meri

na tri mesta. Takođe, taklav je slučaj merenja vremena trajanja nekog procesa, gde postoji subjektivna procena

trenutka početka i završetka procesa (početak i završetak ne registruje senzor, već njih procenjuje

eksperimentator), pa ponovljeno merenje može dati odstupanje u rezultatima koje je veće od najmanjeg

podeoka na štoperici.

Merna nesigurnost kod takvog merenja spada u tzv. kombinovanu mernu nesigurnost, koja se sastoji od tzv. merne nesigurnosti tipa A i merne nesigurnosti tipa B. Standardna merna nesigurnost kod takvog merenja se označava sa cu (kombinovana standardna merna nesigurnost) i ona se određuje

preko izraza2:

22BAc uuu += .

U tom izrazu, standardna merna nesigurnost tipa A ( Au ) potiče od činjenice da je merenje neke veličine

vršeno više puta i da je time sagledan neki uzorak populacije za tu veličinu, što znači da je tada moguće uspostaviti određenu statistiku u mernim rezultatima. Zato se Au određuje na osnovu statističkih

metoda i najčešće se za procenu Au koristi standardno odstupanje srednje vrednosti uzorka:

2 Kombinovana standardna merna nesigurnost za veličinu koja je direktno merena više puta može u opštem slučaju da sadrži i više od jedne

merne nesigurnosti tipa B za datu veličinu.


6

( )( )1

1

2

−

−==

∑=

nn

xxSu

n

isi

xA S,

gde je n- broj ponovljenih direktnih mereja date veličine. Vidi se da merna nesigurnost tipa A zavisi i od broja

merenja (n) i od samog uzorka populacije (od vrednosti: nx...,,x,x 21 ) .

U gornjem izrazu za kombinovanu standardnu mernu nesigurnost figuriše i član koji se odnosi na standardnu mernu nesigurnost tipa B. Za taj član u najvećem broju slučajeva (slučajevi kada je

primenljiva ravnomerna raspodela za mernu nesigurnost tipa B) važi relacija: 3/Uu BB = . Dakle, za

ukupnu standardnu mernu nesigurnost direktnog merenja koje se vrši n puta najčešće važi:

( )

( )2

1

2

31

+−

−=∑

= B

n

isi

cU

nn

xx

u .

Napomena: Postoje i drugačiji slučajevi, koji spadaju u izuzetke, kao što je to kod direktnog merenja vremena trajanja nekog

procesa (događaja). Već je pominjano da je tada prikladnije koristiti relaciju 6/Uu BB = , koja odgovara trougaonoj

raspodeli, kao i da se pri takvom merenju unosi merna nesigurnost i pri uključivanju štoperice i pri isključivanju štoperice,

pa se stoga javljaju dve merne nesigurnosti tipa B, koje imaju istu brojnu vrednost. Zato se pri n puta ponovljenom merenju

vremena trajanja određenog broja oscilacija nekog oscilatornog sistema (matematičkog klatna, torzionog klatna i sl.), koristi

sledeći izraz za kombinovanu standardnu mernu nesigurnost:

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )2

1

22

2

2

11

2

22

21

2

62

1661

+

−

−=

+

+

−

−=++=

∑∑== Bt

n

isi

BtBt

n

isi

BtBtAtct

U

nn

ttUU

nn

ttuuuu .

Ovde se prvi član u izrazu odnosi na mernu nesigurnost tipa A, a drugi i treći član se odnose na mernu nesigurnost tipa B

koja potiče od procesa uključivanja i isključivanja štoperice, respektivno.3

Za proračun ukupne proširene merne nesigurnosti kod direktnog merenja koje se vrši više puta se generalno primenjuje trougaona raspodela (videti ranije napomene o primeni trougaone raspodele),

nezavisno od toga da li je za mernu nesigurnost tipa B primenjena ravnomerna ili trougaona raspodela u nekom

konkretnom primeru merenja. Dakle, kod direktnog merenja koje se vrši više puta generalno važi:

cc uU 6= .

Primer - Određivanje ukupne standardne i ukupne proširene merne nesigurnosti pri direktnom

merenju prečnika žice mikrometarskim zavrtnjem, pri čemu je merenje ponovljeno n=3 puta.

Izražavanje konačnog rezultata za prečnik žice.

Neka je merenjem prečnika žice utvrđeno da važi:

redni br.

merenja id (mm) sd (mm) ( )2si dd − (mm2)

( )∑=

−3

1

2

isi dd

(mm2)

1 1,01

0,993

2,89

4,67⋅10-4 2 0,98 1,69

3 0,99 9⋅10-6

3 U laboratorijskim vežbama koje prate ovaj kurs će se vršiti indirektno merenje perioda oscilovanja. U sledećem odeljku, koji je posvećen

indirektnom merenju, biće prikazano kako se određuje merna nesigurnost pri tom merenju.


7

Ukupna standardna merna nesigurnost ovakvog merenja je kombinovana merna nesigurnost i za nju važi:

( )

( ) ( ) mm,mm,mm,U

dd

uuu dBisi

dBdAdc 010503

010

133

10674

3133

2242

3

1

2

22 =

+

−⋅⋅=

+

−⋅

−=+=

−=∑

.

mm,mm,uU dcdc 030025706 ≈== .

Konačni zapis rezultata merenja u ovom primeru glasi:

( )mm,,d 030990 ±= .

Pri tome, relativna proširena merna nesigurnost iznosi: %,,

,

d

Ud 3030990

030 =≈= .

MERNA NESIGURNOST KOD INDIREKTNOG MERENJA

Opšti slučaj podrazumeva situaciju u kojoj se na osnovu direktnog merenja više fizičkih veličina: nx...,,x,x 21 , određuje indirektno merena veličina preko određene formule, tj. preko neke

zavisnosti: ( )nx...,,x,xfy 21= .

Standardna merna nesigurnost pri indirektnom merenju pomenute veličine y se određuje prema opštem izrazu4:

( ) ( ) ( ) ( )

.ux

y...u

x

yu

x

y

xux

y...xu

x

yxu

x

yxu

x

yu

nn

nn

n

ii

iy

22

22

2

2

21

2

1

22

22

2

21

22

11

22

⋅

∂∂++⋅

∂∂+⋅

∂∂=

=⋅

∂∂++⋅

∂∂+⋅

∂∂=⋅

∂∂= ∑

=

gde je

∂∂

ix

y- parcijalni izvod veličine y po veličini ix . Konačni izraz koji se dobija za yu , polazeći od

poslednjeg izraza, zavisi od konkretne formule za ( )nx...,,x,xfy 21= .

Bitno je primetiti da, u navedenom opštem izrazu za standardnu mernu nesigurnost pri indirektnom

merenju veličine y, član ( )ixu2 može biti tipa B, ili kombinovanog tipa, tj. ( )ixu2

može biti:

- 2Bu , ako se ix meri direktno samo jednom;

- 222BAc uuu += , ako se ix meri direktno više puta.

Ukupna standardna merna nesigurnost indirektno merene veličine je u opštem slučaju kombinovana merna nesigurnost. To se odnosi na situaciju kada:

1) indirektno merena veličina zavisi od dve ili više direktno merenih veličina, i/ili

2) kada indirektno merena veličina zavisi od jedne direktno merene veličine, ali se ona meri više puta.

Primer situacije u kojoj indirektno merena veličina zavisi od jedne direktno merene veličine, ali se ona

meri više puta, imamo kod određivanja poluprečnika žice na osnovu prethodnog ponovljenog direktnog

merenja prečnika žice (u 8. vežbi). Primer situacije u kojoj indirektno merena veličina zavisi od više direktno

merenih veličina koje se mere po jednom imamo u vežbi br. 1 koja se odnosi na određivanje gustine nepoznate

tečnosti pomoću hidrometra.

4 Izvođenje ovog izraza je prikazano u praktikumu za lab. vežbe iz predmeta Fizika i merenja.


8

Veza između standardne merne nesigurnosti i proširene merne nesigurnosti pri indirektnom merenju neke veličine y je oblika kuU = , pri čemu vrednost faktora k zavisi od toga da li veličina y

zavisi od malog ili velikog broja direktno merenih veličina, kao i od toga da li je broj ponovljenih merenja mali ili dovoljno veliki. Ako je u pitanju mali broj direktno merenih veličina i mali broj

ponovljenih merenja, onda je primenljiva trougaona raspodela ( 6=k ), dok je u suprotnom pogodnije

koristiti Gausovu raspodelu ( 3=k ).

Primer 1 - Određivanje ukupne standardne i ukupne proširene merne nesigurnosti pri indirektnom

merenju poluprečnika žice, pri čemu je direktno merenje prečnika žice izvršeno mikrometarskim zavrtnjem 3

puta. Izražavanje konačnog rezultata za poluprečnik žice.

Neka je merenjem prečnika žice, pomoću mikrometarskog zavrtnja, dobijeno: 0111 ,d = mm, 9802 ,d = mm i

9903 ,d = mm. Srednja vrednost prečnika žice je: mm,ddi

is 99303

1 3

1

== ∑=

, a odatle sledi da je srednja

vrednost poluprečnika žice: mm,d

r ss 49650

2== . Polazeći od relacije

2s

sd

r = i opšte formule za određivanje

standardne merne nesigurnosti indirektno merene veličine, dobija se da za standardnu mernu nesigurnost pri

određivanju poluprečnika žice važi:

dddr uuud

ru ⋅=⋅

=⋅

∂∂=

21

21 2

22

2

.

Sa druge strane, već je u ranijem primeru pokazano da važi:

( )

( )2

1

2

22

31

+−⋅

−=+=∑

= dB

n

isi

dBdAdU

nn

dd

uuu ,

pri čemu je ovde 3=n i mm,UBd 010= . Dakle, može se pisati:

( )

( )

( )

( ) mm,U

rrU

dd

uuuu dBisi

dBisi

dBdAdr3

2

3

1

22

3

1

2

22 102553213331332

121

21 −== ⋅≈

+−⋅

−=

+−⋅

−=+=⋅=

∑∑.

Pošto indirektno merena veličina u ovom primeru (poluprečnik žice) zavisi samo od jedne direktno merene

veličine (samo od prečnika žice, po formuli 2/dr ss = ) i pošto je broj merenja mali ( 3=n ), onda je za proračun

proširene merne nesigurnosti rU pogodnija trougaona raspodela nego Gausova, pa se proširena merna

nesigurnost za r može odrediti preko relacije:

6rr uU = .

Za brojne vrednosti koje su navedene u ovom primeru se dobija: mm,mm,U r 010012860 ≈= .

Konačni zapis za vrednost poluprečnika žice glasi: ( )mm,,r 010500 ±= .

Primer 2

Neka je indirektnim merenjem određena veličina 212 xxy += . Pri tome je jednim merenjem metrom:

određeno mmx 2321 = , dok je jednim merenjem nonijusom određeno: mm,x 7542 = . Treba dati konačni zapis

za veličinu y .


9

Iz činjenice da je 1x mereno metrom sledi: mmU x 11

= , a iz činjenice da je 2x mereno nonijusom

sledi: mm,U x 0502

= . Pošto su i 1x i 2x merene samo po jednom, onda će njihove merne nesigurnosti biti

merne nesigurnosti tipa B, za koje važi:

311

/Uu xx = i 322

/Uu xx =

Izraz za ukupnu standardnu mernu nesigurnost za veličinu y se svodi na:

mm,mm,mmUU

uuux

yu

x

yu

xxxxxxy 1551

3

0501

3

14

31

3412

222222222

2

2

22

1

21

2121=

+

=

=+

=+=

∂∂+

∂∂=

Pošto indirektno merena veličina, y , u ovom primeru zavisi samo od dve direktno merene veličine i pošto je

izvršeno samo po jedno merenje direktno merenih veličina, onda je za proračun proširene merne nesigurnosti

yU pogodnija trougaona raspodela nego Gausova, pa se proširena merna nesigurnost za y može odrediti

preko relacije: mmmm,uU yy 382926 ≈== .

Za vrednost veličine y se dobija: mmmm,xxy 469754682 21 ≈=+= .

Konačni zapis za vrednost veličine y glasi: ( )mmy 3469 ±= .

Relativna proširena merna nesigurnost iznosi: %,,y

U y 600060469

3 =≈= .

Primer 3

Neka je indirektnim merenjem određena veličina bac ⋅= 2, gde su a i b direktno merene veličine. Treba

odrediti standatrdnu mernu nesigurnost za veličinu c i relativnu standardnu mernu nesigurnost.

Polazeći od definicije standardne merne nesigurnosti indirektno merene veličine, može se konstatovati da važi:

( ) ( ) 242222222222

22

42bababac uaubauauabu

b

cu

a

cu +=+=

∂∂+

∂∂= .

22

224

42

24

22

2

24222

444

+

=+=

⋅

+=

b

u

a

uu

ba

au

ba

ba

ba

uauba

c

u baba

bac .

Primer 4

Neka se posmatra spektar z-tog reda koji nastaje pri prolasku bele svetlosti kroz transmisionu difrakcionu

rešetku. Pomoću uglomera, čiji najmanji podeok iznosi o,10 , konstatovano je da ugao pod kojim se vidi

svetlost plave boje sa leve strane centralnog difrakcionog maksimuma iznosi: Lθ , dok ugao pod kojim se

vidi svetlost iste boje sa desne strane centralnog difrakcionog maksimuma iznosi: Dθ . Odrediti standardnu

mernu nesigurnost za srednju vrednost ugla pod kojim se vidi svetlost plave boje.

Srednja vrednost ugla pod kojim se vidi svetlost plave boje u spektru z-tog reda je: 2

DLs

θθθ += . Onda važi:

22

22

2

1

2

1DL uuu

S θθθ

+

= . Pošto su i Lθ i Dθ direktno izmereni jednom, istim uglomerom čiji najmanji

podeok iznosi o,10 , onda je:

3

10

3

ougl

uglDL,U

uuu ==== θθθθ . Dakle, važi:

6

10

62322

2

1

2

12

2

1

2

1

2

1

2

1 22

22

22

22

22 o

uglugluglugluglugluglDL

,UUuuuuuuuu

S=====

=

+

=

+

= θθθθθθθθθθ .


10

Primer 5

a) Jedno merenje perioda oscilovanja klatna:

Neka se period oscilovanja matematičkog klatna određuje indirektnim putem, tako što se jednom meri

vreme trajanja većeg broja oscilacija ( oscn ) i zatim period računa prema relaciji: oscn/tT = . Treba

odrediti standardnu mernu nesigurnost i proširenu mernu nesigurnost pri takvom merenju perioda.

U ovom primeru treba imati u vidu da se pri merenju vremena trajanja nekog broja oscilacija unosi

nesigurnost i pri uključivanju štoperice i pri isključivanju, pa pri proračunu standardne merne nesigurnosti

vremenski interval između uključenja i isključenja štoperice treba predstaviti kao razliku dva vremena

(vremena 1t koje je proteklo od nekog proizvoljno izabranog početnog trenutka do uključenja štoperice i

vremena 2t koje je proteklo od istog proizvoljno izabranog početnog trenutka do isključenja štoperice).

Dakle, može se pisati: ( ) oscn/ttT 12 −= , odakle sledi:

22

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

12

1212

11

+

=

−+

=

∂∂+

∂∂=

osc

t

osc

tt

osct

oscttT n

u

n

uu

nu

nu

t

Tu

t

Tu .

Ovde važi: Bttt uuu ==12

, pri čemu je 6Bt

Bt

Uu = , gde se za BtU može uzeti najmanji podeok na štoperici,

ili vrednost od 0,2 s kao vrednost odstupanja koju unosi u merenje vešt eksperimentator pri uključenju i pri

isključenju štoperice. Sledi:

266

221

2

22

2

2

osc

Bt

osc

Bt

osc

BtBt

oscT

n

U

n

U

n

uu

nu =

=

=

= .

Pošto je period indirektno merena veličina koja zavisi samo od jedne direktno merene veličine, onda je veza

između TU i Tu definisana preko trougaone raspodele, pa važi:

26osc

BtTT n

UuU == .

b) Više puta ponovljeno merenje perioda oscilovanja klatna (n puta ponovljeno merenje):

U ovom slučaju, pretposlednji izraz u prethodnom pasusu se menja zato što se, pored merne

nesigurnosti tipa B, mora uračunati i merna nesigurnost tipa A pri određivanju perioda oscilovanja. Ako je

merenje perioda oscilovanja vršeno n puta, onda važi:

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

2

1

221

2

2

1

2

21

2

62

162

1

62

1

12

1

1

+

−

−=

+

−

−

=

=

+−

−=+

−

−==

∑∑

∑∑

==

==

osc

Bt

n

isi

osc

Bt

n

i osc

si

Bt

n

isi

oscBt

n

isi

oscosc

tT

n

U

nn

TT

n

U

nn

n

tt

U

nn

tt

nu

nn

tt

nn

uu

c teorija merenja iii deo

Documents