Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

I. Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:Cho đường cong (C): y = f(x)

1. Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đường cong (C) tại điểm M

Phương pháp: Tính f ’( )

=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm M :

(d):

2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đường cong (C) biết tiếp tuyến đó đi

qua điểm A

Phương pháp: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến=> tiếp tuyến có dạng: (d): y = kx + b

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A nên:

=>

=> (d): Vì (d) tiếp xúc với (C) nên ta có hệ phương trình:

(I)

Giải hệ phương trình (I) ta tìm được giá trị của kTừ đó suy ra phương trình tiếp tuyến: (d):

3. Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đường cong (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc là kChú ý: - Nếu (d) // (d’): y = k’x + b’ thì: k=k’ - Nếu (d) vuông góc (d’): y = k’x + b’ thì: k.k’ = 1 => kPhương pháp: Hệ số góc tiếp tuyến bằng k

=> , giải phương trình tìm nghiệm , thay vào hàm số ta được

Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến:

(d):

Ví dụ: Cho hàm số (C): 1. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn U của nó.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-2;7)3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng

Giải: 1.

=> Điểm uốn là: U(0;1) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn U(0;1) là:

2. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (d) Vì (d) đi qua điểm A(-2;7) nên: (d): (d) tiếp xúc với (C)

Vậy:

3. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (d) Vì (d) song song với đường thẳng nên

-

=> (d):

-

=> (d):

Bài tập: Bài 1: Cho hàm số

a/ Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm .

b/ Lập phương trình các tiếp tuyến của đồ thị , biết rằng tiếp tuyến vuông góc với

đường thẳng .

Bài 2: Cho hàm số:

Chứng tỏ rằng qua điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến . Lập phương trình

các tiếp tuyến đó.

Bài 3: Cho hàm số:

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .

b/ Viết phương trình tiếp tuyến với , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần

lượt tại 2 điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.(Đại học khối A năm 2009)

II. Bài toán về điểm cố định: 1. Dạng 1: Tìm điểm cố định của hàm số (C): y = f(x,m) ( với m là tham số ) khi m thay đổi

Phương pháp: Gọi M là điểm cố định của hàm số khi m thay đổi

=> (1)Biến đổi (1) về dạng phương trình theo ẩn m: A.m = B M luôn là điểm cố định của (C) với mọi m

(I)

Giải hệ (I) ta suy ra được tọa độ ,

=> M luôn là điểm cố định của (C) khi m thay đổi

Ví dụ: Cho hàm số . Tìm điểm cố định của hàm số khi m thay đổi.

Giải: Gọi M là điểm cố định của hàm số khi m thay đổi

Vậy: Với mọi giá trị của m hàm số đã cho luôn có 2 điểm cố định là và

. 2. Dạng 2: Tìm giao điểm cố định của 2 hàm số khi m thay đổi (C): y = f(x) (d):

Phương pháp: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): (1)Biến đổi (1) về dạng phương trình theo ẩn m: A.m = B Giao điểm cố định cần tìm có hoành độ là nghiệm của hệ:

Ví dụ: Cho hàm số (C): . CMR đường thẳng (d): luôn đi qua 1

điểm cố định của đường cong (C) khi m biến thiênGiải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

, đk:

Giao điểm cố định của (C) và (d) có hoành độ là nghiệm của hệ phương trình:

=> Vậy: Với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (C) tại 1 điểm cố định là M(-1;-1)Bài tập: Bài 1: Cho hàm số . Lập phương trình tiếp tuyến tại các điểm

cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi .

Bài 2: Cho hàm số (C) và đường thẳng (d): . CMR (C) và (d)

luôn cắt nhau tại 1 điểm cố định khi m biến thiên.

III. Bài toán về tâm đối xứng của đồ thị:Cho hàm số

Dạng 1: CMR đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng.Dạng 2: CMR đồ thị hàm số nhận điểm uốn (nếu có) làm tâm đối xứng (đối với các hàm số bậc 3)Phương pháp: Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận

hay U là điểm uốn. Công thức tịnh tiến đồ thị hàm số về gốc I hay U:

Hàm số sau khi tịnh tiến về gốc I hay U có dạng: Xét

hàm số là hàm lẻ đồ thị nhận tâm I hay U làm tâm đối xứng.

Chú ý: - Nếu thì là hàm số chẵn - Nếu thì là hàm số lẻ

Ví dụ 1: Cho hàm số

CMR giao điểm I của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

Giải: Tiệm cận đứng :

Tiệm cận ngang:

=> I

Tịnh tiến về gốc I:

Ta có:

hàm số lẻ hàm số có đồ thị đối xứng qua tâm I

Ví dụ 2: Cho hàm số (C)CMR điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị (C)Giải: Ta có:

Điểm uốn là: U(-1;-2)

Tịnh tiến về gốc U:

Ta có: hàm số lẻ hàm số có đồ thị đối xứng qua tâm U

Bài tập:

Bài 1: Cho hàm số . CMR đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 đường tiệm

cận làm tâm đối xứng.

Bài 2: Cho hàm số . CMR đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối

xứng.

IV. Bài toán về giao điểm của 2 đường:1. Dạng 1: Cho hàm số: (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C). Dựa vào đồ thị hàm số đã vẽ biện luận số nghiệm của phương trình.Phương pháp:

- Biến đổi phương trình về dạng vế trái là hàm số có đồ thị đã vẽ, vế phải là đường thẳng chứa tham số song song với trục Ox.

- Dựa vào đồ thị đã vẽ biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số.

Ví dụ: Cho hàm số (C)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm thực

phân biệt. Giải:

1. Tự làm2. Ta có: (1)

Dựa vào đồ thị (C) đã vẽ, phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Vậy: Với thì phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.

2. Dạng 2: Cho các hàm số (C): (d):Biện luận theo tham số m số giao điểm của (C) và (d).Phương pháp: Viết phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): (1)Biến đổi phương trình (1) về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba, bậc bốn trùng phương… Vận dụng các kiến thức về giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai… để biện luận số giao điểm của các đường.

* Các kiến thức cần nhớ:1. Hệ thức Viet: Phương trình bậc hai nếu có 2 nghiệm phân biệt , thì:

2. Cho điểm và điểm - Khoảng cách giữa 2 điểm A và B là:

- Gọi là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

Ví dụ1: Cho hàm số (C)

1. Với các giá trị nào của m đường thẳng (d): cắt đồ thị của hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt.

2. Gọi A và B là 2 giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi M biến thiên.

Giải: 1. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d):

ĐK:

(1) (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

Vậy: Với thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.

2. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Ta có: =>

Vì nên:

=>

ĐK:

.

.

Vậy: Tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB là đường thẳng với

Ví dụ 2: Cho hàm số (C)

Với giá trị nào của m, đường thẳng đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số đã cho:

a) Tại 2 điểm phân biệt.b) Tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị.

Giải: đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc là m

=> :

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và là:

Đk: (1)

a) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1

Vậy: Với thì cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

b) cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị

(*)Đặt: Ta có: (1)

Điều kiện (*)

Vậy: Với thì cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)

Ví dụ 3: Cho hàm số (C)

Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d): cắt (C) tại 2 điểm thuộc cùng 1 nhánh của (C) Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

Đk:

(1)(d) cắt (C) tại 2 điểm thuộc cùng 1 nhánh của (C)

Hay (*)

Đặt:

(1)

(2)

Điều kiện (*)Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu

Vậy: Với , thì (d) cắt (C) tại 2 điểm thuộc cùng 1 nhánh của (C)Bài tập:

Bài 1: Cho hàm số . Chứng minh đường thẳng luôn cắt đồ thị

hàm số tại 2 điểm phân biệt.

Bài 2: Cho hàm số

a/ Với các giá trị nào của , đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 2 điểm

phân biệt ?b/ Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn khi thay đổi

Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số

tại 2 điểm phân biệt sao cho .

(Đại học khối B năm 2009)

Bài 4: Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị hàm số

tại 2 điểm phân biệt sao cho trung điểm của đoạn thẳng thuộc

trục tung.

(Đại học khối D năm 2009)

Bài 5: Cho hàm số (C)

Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)