cac phan tu

GiỚI THIỆU VỀ CÁC PHẦN TỬ

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều – đại lượng vật lý quan tâmthay đổi dọc theo một tọa độ: truyền nhiệt dọctheo thanh, dòng chảy dọc theo kênh dẫn, kếtcấu dàn các thanh,...

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

Phạm Huy Hoàng

A. Phần tử một chiều tuyến tính


L

xxN

uxNuuL

x

L

uuu

L

uubua

L

==

+=+=−+=

−==⇒

=+=→===→=

+=

)(2;L

x-1(x)1N

2)(21(x)1N21)uL

x-(1x12

1u(x)

12;12ubLau(L)x

1uau(0)0x

bxau(x)

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều tuyến tính


L

x

L

xxN

uxNu

uL

x

L

x

L

uux

L

uuu

L

uubx

L

uuua

xx

xx

1)(2;L

x-

L1x

1(x)1N

2)(21(x)1N

2)1(1)uL

x-

L1x

(1x121

121u(x)

12;112

12u2bxa)2u(2x

1u1bxa)1u(1x

bxau(x)

−=+=

+=

−++=−+−−=

−=−−=⇒

=+=→==+=→=

+=

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều tuyến tính – Phần tử tham chiếu


2

1)(2;

2

-1)(1N

2)(21)(1N)u(

ξξξξ

ξξξ+==

+=

N

uNu

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều tuyến tính – Biến đổi hình học


1122

122

−−=

++=

L

x

L

x

xLL

x

ξ

ξ

2

1

L1x-x

)1()1(

)1(

12x1x-x

+=⇒

−−+−−=

−ξ

ξx

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều tuyến tính – Biến đổi hình học


Ldx

djJacobianInverse

L

d

dxJJacobian

2;

2==== ξ

ξ

)1)((2)1)((1

2)(21)(1

2)(21)(1

++−=+=+=

xNxN

xNxN

xNxNx

ξξξξξ

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều tuyến tính – Nội suy đại lượng vật lý


)1)((2)1)((1

2)(21)(1

2)(21)(1

++−=+=+=

xNxN

xNxN

xNxNx

ξξξξξ

22

112

12)(21)(1)(

2)1(1)11(2)(21)(1)(

uuuNuNu

uL

x

L

xu

L

x

L

xuxNuxNxu

ξξξξξ ++−=+=

−++−=+=

Phạm Huy Hoàng

Biến dạng và ứng suất trên thanh chịu kéo nén


L

uuEE

L

uuu

Lu

Lu

dx

dNu

dx

dN

dx

du

12

122

11

12

21

1

−==

−=+−=+==

εσ

εBiến dạng

Ứng suất

Phạm Huy Hoàng

Vector tải nút tương đương


∫+=

∫+=

2

1

)(2)().(22

2

1

)(1)().(11

x

xdxxNxqPPxNF

x

xdxxNxqPPxNF

Quy đổi tảivề các nút

Tải tập trungTải phân bố

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều bậc hai: 3 node, 3dof (1dof/node)


)23)(13(

)2)(1()(3

)32)(12(

)3)(1()(2;

)31)(21(

)3)(2()(1

3u23c3ba)3u(

3)(32)(21)(1u(x)2u22c2ba)2u(

1u21c1ba)1u(

xxxx

xxxxxN

xxxx

xxxxxN

xxxx

xxxxxN

xxx

uxNuxNuxNxxx

xxx

−−−−=

−−−−=

−−−−=

=++=

++=⇒=++=

=++=

2cxbxau(x) ++=

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều bậc hai: Phần tử tham chiếu


2

)1()(3

1

)1)(1()(2

2

)1()(1

3)(32)(21)(1)u(

ξξξ

ξξξ

ξξξ

ξξξξ

+=

−−+=

−=

++=

N

N

N

uNuNuN

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều bậc hai: Biến đổi hình học


)1)((30).(2)1)((1

3)(32)(21)(1

3)(32)(21)(1

+++−=++=++=

xNxNxN

xNxNxN

xNxNxNx

ξξξξξξξ

32

122212

12xxx

xJJacobian

++−−=

∂∂= ξξξξ

Phạm Huy Hoàng

Nội suy đại lượng vật lý


)(1)(3

3

1)(

3

1)(

xNxNi

ixiN

iixiNx

−=

∑=

=

∑=

=

ξξ

ξ

iui

iNuiui

xiNxu ∑=

=∑=

=3

1)()(

3

1)()( ξξ

Phạm Huy Hoàng



∫+=b

adxxiNxqPPxiNiF )()().(

Quy đổi tảivề nút i

Tải tập trungTải phân bố

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tứ giác tuyến tính: 4 nodes

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

∑=

=⇒

−+−=−=

−== 4

1),(),(

4321;14

;12;1

iiuyxiNyxu

ab

uuuuD

b

uuC

a

uuBuA

CbAu

DabCbBaAu

BaAu

Au

+=+++=

+==

+++=

4

3

2

1

DxyCyBxAu

Phạm Huy Hoàng



ab

xayyxN

ab

xyyxN

ab

ybxyxN

ab

ybxayxN

)(),(4;),(3

;)(

),(2;))((

),(1

−==

−=−−=

∑=

=4

1),(),(

iiuyxiNyxu

∑=

=4

1),(),(

iivyxiNyxv

Phạm Huy Hoàng



)0(

)0(.

)0(

)(),(4;

)0(

)0(.

)0(

)0(),(3

;)0(

)(.

)0(

)0(),(2;

)0(

)(.

)0(

)(),(1

:'

−−

−−=

−−

−−=

−−

−−=

−−

−−=

b

y

a

axyxN

b

y

a

xyxN

b

by

a

xyxN

b

by

a

axyxN

rulesLagrange

∑=

=4

1),(),(

iiuyxiNyxu

∑=

=4

1),(),(

iivyxiNyxv

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tứ giác tuyến tính:


ab

yyxx

yyxx

yyxxyxN

ab

yyxx

yyxx

yyxxyxN

ab

yyxx

yyxx

yyxxyxN

ab

yyxx

yyxx

yyxxyxN

)1)(2(

)12)(21(

)1)(2(),(4

;)1)(1(

)12)(12(

)1)(1(),(3

;)2)(1(

)21)(12(

)2)(1(),(2

;)2)(2(

)21)(21(

)2)(2(),(1

−−−=−−

−−=

−−=−−

−−=

−−−=−−

−−=

−−=−−

−−=

∑=

=4

1),(),(

iiuyxiNyxu

∑=

=4

1),(),(

iivyxiNyxv

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tứ giác tuyến tính: Phần tử tham chiếu


4

)1)(1(

)]1(1][1)1[(

)]1()[1(),(4

;4

)1)(1(

)]1(1)][1(1[

)]1()][1([),(3

;4

)1)(1(

]1)1)][(1(1[

)1)](1([),(2

;4

)1)(1(

]1)1][(1)1[(

)1)(1(),(1

ηξηξηξ

ηξηξηξ

ηξηξηξ

ηξηξηξ

+−=−−−−

−−−=

++=−−−−−−−−=

−+=−−−−

−−−=

−−=−−−−

−−=

N

N

N

N

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tứ giác tuyến tính: Phần tử tứ giác cong


αθθθ

αθθθ

αθθ

θθθθθ

αθθ

θθθθθ

R

rrrN

R

rrrN

R

rr

rr

rrrN

R

rr

rr

rrrN

)1)(2(),(4

;)1)(1(

),(3

;)2)(1(

)21)(12(

)2)(1(),(2

;)2)(2(

)21)(21(

)2)(2(),(1

−−−=

−−=

−−−=−−

−−=

−−=−−

−−=

Phạm Huy Hoàng

Biến đổi hình học


),(4),(3),(2),(1

4

1),('

);,(4),(3),(2),(1

4

1),('

4

1),(

;4

1),(

yxNyxNyxNyxNi

iyxiNM

yxNyxNyxNyxNi

iyxiNM

iiyiNMy

iixiNMx

++−−=

∑=

=

−++−=

∑=

=

∑=

=

∑=

=

ηη

ξξ

ηξ

ηξ

Phạm Huy Hoàng



∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∑= ∂

∂∑= ∂

∂

∑= ∂

∂∑= ∂

∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

yy

xxj

JacobianInversei

iyiN

iixiN

iiyiN

iixiN

yx

yx

J

Jacobian

ηξ

ηξ

ηη

ξξ

ηη

ξξ

:

4

1

4

1

4

1

4

1

:

Phạm Huy Hoàng



∫∫=∫∫ ηξηξηξ ddJyxfdxdyyxf )det()],(),,([),(

Miền thực

, biến x, y

Miền tham chiếu

, biến ηξ ,

Phạm Huy Hoàng

Nội suy đại lượng vật lý


∑=

=

∑=

=

4

1),(),(

4

1),(),(

iiuyxiNyxu

iiuiNu ηξηξ

Thực

Tham chi ếu

Phạm Huy Hoàng



MTMX

NPTPX

N

eSdxdyyxpTNiF ][][),(][ ++∫=

r

Miền chịu tải phân bố

Tải tập trung

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: 3 nodes


( ) ( )

( )

( )b

y

b

yyxN

a

x

a

xyxN

b

y

a

x

ab

yxyx

b

y

a

x

b

y

a

xyxN

1,3

1,2

1132111,1

−=

−=

−−−=−−++=

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: phần tử tham chiếu


( )( )( ) ηηξ

ξηξηξηξ

==

−−=

,3

,2

1,1

N

N

N

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: tọa độ diện tích


=

331221111

det2

1

yx

yx

yx

A

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )A

xxyyyxyxyxyxN

A

xxyyyxyxyxyxN

A

xxyyyxyxyxyxN

212211221,3

231133113,2

223322332,1

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: tọa độ diện tích


A

yicxibiaiN

2

++=

12321312213

31213231132

23132123321

33x122x111x1

det2

1

xxcyybyxyxa

xxcyybyxyxa

xxcyybyxyxa

y

y

y

A

−=−=−=−=−=−=−=−=−=

=

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: Biến đổi hình học


13;02;01

03;12;01

3

1),(;

3

1),(

3

1),(;

3

1),(

======

∑=

=∑=

=

∑=

=∑=

=

ηηηξξξ

ηηξξ

ηξηξ

iiyxiN

iiyxiN

iiyiNy

iixiNx

M thuộc ph ần tử thực

M’ thu ộc ph ần tử tham chi ếu

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: Biến đổi hình học


∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∑= ∂

∂∑= ∂

∂

∑= ∂

∂∑= ∂

∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

yy

xxj

JacobianInversei

iyiN

iixiN

iiyiN

iixiN

yx

yx

J

Jacobian

ηξ

ηξ

ηη

ξξ

ηη

ξξ

:

3

1

3

1

3

1

3

1

:

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: Nội suy đại lượng vật lý


∑=

=

∑=

=

3

1),(),(

3

1),(),(

iiuyxiNyxu

iiuiNu ηξηξ

Thực

Tham chi ếu

Phạm Huy Hoàng



MTMX

NPTPX

N

eSdxdyyxqTNiF ][][),(][ ++∫=

r

cac phan tu

Documents