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0083
MATEMÁTICA APLICADA
À GESTÃO
CADERNO DE TESTES FORMATIVOS
MARIA ALICE FILIPE
2006
1
ÍNDICE NOTAS PRÉVIAS .................................................................................................. 2
CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS..................................................................... 4
ALGUNS CONCEITOS SOBRE SÉRIES............................................................ 6
TESTES FORMATIVOS COM RESOLUÇÃO...................................................22
TESTE FORMATIVO Nº 1 E RESOLUÇÃO........................................................ ..23
TESTE FORMATIVO Nº 2 E RESOLUÇÃO......................................................... .40
2
NOTAS PRÉVIAS
Os alunos que queiram tirar dúvidas ou confirmar a resolução de exercícios, deverão contactar a docente responsável pela disciplina: Maria Alice Filipe R. Fernão Lopes, nº9-2º Dto. 1269-001 LISBOA Tel: 213150041/808200344 Fax: 213150183 e-mail: [email protected] Horário de Atendimento: 2ª feira – 14 h –18 h 3ª feira – 11 h -13 h e 13h30m às 16h30m Manual adoptado: Cálculo, Vol. I
James Stewart, Pioneira, Thomson Learning 1. A maior parte dos assuntos tratados no livro até ao capítulo 4 (inclusivé),
consideram-se como sendo já dos conhecimentos dos alunos, constituindo revisões.
2. Não são objecto de avaliação os seguintes assuntos tratados no manual:
2.1. Funções hiperbólicas (cap. 3 - 3.9, pag. 246)
2.2. O método de Newton (cap. 4 - 4.9, pag. 345)
2.3. Volumes (cap. 6 - 6.2, pag. 440)
2.4. Cálculo de volumes por cascas cilíndricas (cap. 6 - 6.3, pag. 451)
2.5. Trabalho (cap. 6 - 6.4, pag. 456)
2.6. Integração usando tabelas e sistemas algébricos computacionais (cap. 7 - 7.6, pag. 505)
2.7. Integração aproximada (cap. 7 - 7.7, pag. 512)
2.8. Mais aplicações de integração (cap. 8, pag. 540 até ao fim do capítulo) 3. Nos exames não é permitida a utilização de qualquer tipo de calculadora nem de
qualquer formulário. Como o livro adoptado tem no final de cada capítulo exercícios que utilizam calculadora e/ou programas informáticos específicos da Matemática, o aluno pode não os fazer.
3
4. Como o manual é uma tradução brasileira, convém ter em atenção que há termos e expressões que em português se dizem de outra forma. Por exemplo, "sequência" corresponde em português a "sucessão"; "integral", em português, é uma palavra masculina, etc.
5. Há também algumas notações e designações que usaremos de forma diferente. Por
exemplo, para intervalo aberto, em vez de (a,b), usaremos ]a,b[. Em vez de "antiderivada" de uma função f(x), falaremos em primitiva de f(x) e representaremos por Pf(x) ou ∫ dxf(x) . Representaremos as funções trigonométricas inversas por, por exemplo, arcsenx, em vez de sen-1x, etc..
6. Sugere-se o estudo cuidadoso das aplicações do Cálculo, principalmente à
Economia. 7. O assunto das séries, abordado na pag. 7 do manual, está mais desenvolvido no
Vol. II do livro com os mesmos título e autor do manual indicado. Como não se considera ser de avaliação um estudo exaustivo das séries, mas apenas o que é indicado no programa, seguem em anexo uns apontamentos sobre o referido assunto.
Pré-requisitos básicos: 1. Ter bom domínio de cálculo mental (lembra-se que não é permitida a utilização da
máquina de calcular nos exames, nem tabelas ou formulários); 2. Saber resolver equações e inequações, em particular as que contém o operador
módulo; 3. Ter conhecimentos de trigonometria (incluindo o conhecimento das funções
trigonométricas inversas: arcsenx, arccosx, arctgx, arccotgx); 4. Saber calcular limites de funções reais de variável real (incluindo sucessões); 5. Conhecer e aplicar bem as regras de derivação; 6. Conhecer as representações gráficas de algumas funções básicas, tais como,
polinomiais (pelo menos até ao 3º grau), exponencial, logarítmica e trigonométricas.
Nota: Todos estes conhecimentos são considerados como já adquiridos a nível do ensino secundário (12º ano). No entanto, para se iniciar o estudo desta cadeira, considera-se que previamente deve rever os assuntos referidos. A maior parte deles vai ser novamente tratada, mas de uma forma mais um pouco mais aprofundada e alargada.
4
CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS (a partir de 2003-2004)
1. Séries de números reais
1.1. Definições. Generalidades 1.2. Séries geométricas
2. Funções reais de variável real 2.1. Generalidades (revisões de conceitos) 2.2. Gráfico de funções 2.3. Operações com funções. Função composta. Função inversa 2.4. Tipos de funções:
Funções polinomiais, funções de potências, funções racionais, função exponencial, função logarítmica, funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas
3. Limites e derivadas 3.1. Cálculo de limites de funções. Assímptotas verticais, horizontais e oblíquas 3.2. Continuidade. Propriedades. Teoremas sobre funções contínuas 3.3. O declive da tangente de uma curva e a derivada. Taxas de variação e
significado económico 3.4. Função derivada 3.5. Derivada da função composta. Derivada da função inversa 3.6. Regras de derivação 3.7. Derivada de ordem superior à 1ª 3.8. Diferencial de uma função. Aproximações lineares
4. Aplicações da diferenciação 4.1. Estudo da monotonia de funções. Cálculo de máximos e mínimos 4.2. Teoremas fundamentais do cálculo diferencial 4.3. Indeterminações e a regra de L'Hôpital 4.4. Estudo da concavidade de funções. Cálculo de pontos de inflexão 4.5. Esboço de gráficos de funções 4.6. Aplicações em Economia
5. Primitivação 5.1. Definição, existência e principais propriedades 5.2. Técnicas de primitivação
5.2.1. Primitivas imediatas 5.2.2. Primitivação por partes 5.2.3. Primitivação de fracções racionais 5.2.4. Primitivação por substituição
6. Integração 6.1. Definição e existência. Cálculo de áreas 6.2. A integração e a primitivação 6.3. O integral definido. Propriedades 6.4. O Teorema fundamental do cálculo. Integrais indefinidos 6.5. Integração por partes e por substituição 6.6. Integrais impróprios de 1ª espécie e de 2ª espécie 6.7. Aplicações económicas da integração
5
Manual: • Cálculo, Vol. I
James Stewart, Pioneira, Thomson Learning Bibliografia: • Cálculo, Vol. II
James Stewart, Pioneira, Thomson Learning • Cálculo com Geometria Analítica, Vols. I e II
Swokowski, Makron • Mathematics for Economic Analysis
Knut Sydsaeter, Peter J. Hammond, Prentice Hall International Editions • Análise Matemática - Leituras e exercícios
Carlos Sarrico, Gradiva • Introdução à Análise Matemática
Campos Ferreira, Gulbenkian • Problemas e exercícios de Análise Matemática
Demidovich, Mc Graw-Hill • Cálculo - Curso intensivo
Frank Ayres; Elliot Mendelson, Shaum's easy outlines, Mc Graw-Hill • Álgebra Elementar - Curso intensivo
Murray R. Spiegel; Robert Moyer, Shaum's easy outlines, Mc Graw-Hill
6
Alguns conceitos sobre SÉRIES
Consideremos uma sucessão de termos a1, a2, …. , an, ….
O termo an é designado por termo geral da sucessão. Muitas vezes identificamos a
sucessão pelo seu termo geral, isto é, simplificamos a linguagem, dizendo que
estamos a tratar de uma sucessão an, em vez de dizer que a sucessão referida tem por
termo geral an.
Com os termos de uma sucessão an, podemos construir outra sucessão, procedendo da
seguinte forma:
s1 =a1
s2=a1+a2
s3=a1+a2+a3
.
.
.
sn=a1+a2+ … +an=∑=
n
iia
1
.
.
A esta sucessão, de termo geral sn, daremos o nome de sucessão das somas parciais.
Se a sucessão tiver infinitos termos, é chamada de série infinita ou simplesmente
série, podendo ser representada por ∑+∞
=1nna ou por ∑ na .
Diz-se que o termo geral da série ∑ na é an. Os limites inferior e superior do
símbolo somatório (Σ) são, respectivamente, n=1 e +∞. Sem perda de generalidade,
também se pode considerar que a série pode não começar em n=1, mas num outro
valor inteiro, tal como 0.
7
Como a sucessão das somas parcias, sn, pode ter ou não limite, diremos,
respectivamente, que a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente,
isto é, se existir nn
s+∞→
lim , diremos que ssnn
=+∞→
lim é a soma da série.
Exemplos:
1) Seja a série ∑+∞
=1nn =1+2+3+ … +n+ ….
Esta série é divergente, porque é impossível encontrar um limite finito para sn.
Note-se que os termos da sucessão que é termo geral da série, an=n, estão em
progressão aritmética de razão 1.
Numa progressão aritmética tem-se rnaan )1(1 −+= .
A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão aritmética de
razão r, cujo primeiro termo é a1, é dada por ( )nn aans += 12.
Como em relação à série dada se tem a1=1, r=1, então, sn, é dada por 2
)1( +nn .
Como, ∞=+
∞→ 2)1(lim nn
n, concluimos então que a série é divergente.
2) Seja a série ∑∞
= +1 )1(1
n nn. Vamos mostrar que esta série é convergente.
Comecemos por escrever sn:
)1(1
431
321
211
+++
⋅+
⋅+
⋅=
nnsn L
Esta expressão pode ser simplificada se decompusermos )1(
1+nn
na diferença de
duas fracções:
)1(1+nn
=1+
−n
bna . Desembaraçando de denominadores vem 1=a(n+1)-bn, ou
seja, 1=(a-b)n+a. Donde a=b=1.
Assim, )1(
1+nn
=1
11+
−nn
8
Então tem-se ∑∞
= +1 )1(1
n nn=∑
∞
=
+−
1 111
n nn
Donde,
+−+
−
−++
−+
−+
−=
1111
11
41
31
31
21
211
nnnnsn L =
111+
−n
Logo, s= 11
11limlim =
+−=
nsn
Portanto a série dada é convergente e ∑∞
= +1 )1(1
n nn=1
Todas as séries ∑∞
=1nna ,cujo termo geral ,an, se possa decompor na diferença de dois
termos gerais, tais que an=un-un+p, p∈Ν, são chamadas séries telescópicas,
redutíveis ou de Mengoli.
Tem-se então ∑∞
=1nna = ( )∑
∞
=+−
1npnn uu .
Mostra-se sn=u1-p un+p.
Assim, estas séries são convergentes se existir lim un+p (ou seja, se existir lim un,
pois o limite de uma sucessão, quando existe, é único). Caso não exista o limite, as
séries são divergentes.
Assim, a soma da série é s=u1-p lim un.
3) Seja a série ∑+∞
=1 21
nn = LLL +++++++++ n2
1641
321
161
81
41
21
Vamos mostrar que esta série é convergente e calcular a sua soma.
Comecemos por notar que o termo geral da série é uma progressão geométrica de
razão 1/2.
O termo geral de uma progressão geométrica de primeiro termo a1, de razão r é
an= 11
−⋅ nra .
Mostra-se que a soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão
geométrica, de primeiro termo a1 e razão r é, sn, dada por
rras
n
n −−
⋅=1
11 .
9
Se aplicarmos esta fórmula para calcular o termo geral da sucessão das somas
parciais da série dada, tem-se:
n
n
ns
−=
−
−
⋅=211
211
211
21
Atendendo a que
>∞
−=±=
<
=∞→
111
1110
lim
rserserserse
r n
n, tem-se
s= 101211limlim =−=
−=
n
ns .
Fica desta forma provado que a série dada é convergente e pode escrever-se
∑+∞
=1 21
nn =∑
+∞
=
1 21
n
n
=1.
De um modo geral, uma série da forma ∑∞
= pn
nr , ( 0Np ∈ , ℜ∈r ) é chamada série
geométrica.
Uma série geométrica é convergente se |r|<1 e a sua soma é rrs p
−⋅=1
1.
Se |r|≥1, a série é divergente.
Estas séries têm muitas aplicações, nomeadamente em Economia.
4) Seja a série ∑∞
=1
1n n
= L++++41
31
211 . Vamos mostrar que esta série, conhecida
como série harmónica, é divergente.
10
Vamos escrever alguns termos da sucessão das somas parciais:
11 =s
2112 +=s
221
41
41
211
41
31
2114 +=
+++>
+++=s
=
++++
+++>
++++
+++=
81
81
81
81
41
41
211
81
71
61
51
41
31
2118s
231
21
21
211 +=+++=
+++
+++
+++=
161
91
81
51
41
31
21116 LLs >
+++
+++
+++>
161
161
81
81
41
41
211 LL =
241
21
21
21
211 +=++++
De modo análogo, pode mostrar-se que 25132 +>s ,
26164 +>s e em geral
21
2
ns n +> . Logo, +∞=∞→
nsn
2lim .
Como ns2
é o termo geral de uma subsucessão de sn, então sn não tem limite e a
série harmónica é divergente.
As séries da forma ℜ∈∑+∞
=
αα ,11n n
são chamadas séries de Dirichlet. A série
harmónica é uma série de Dirichlet em que α=1.
Mostra-se que as séries de Dirichlet são convergentes para α>1 e divergentes para
α≤1.
Em resumo, até agora, estudámos 3 tipos particulares de séries:
As séries de Mengoli (redutíveis ou telescópicas)
As series geométricas
As séries de Dirichlet
Dada uma qualquer destas séries, sabemos dizer qual a sua natureza, isto é, se é
convergente ou divergente. Em relação às duas primeiras, caso sejam
convergentes, sabemos calcular as suas somas.
11
Vamos agora enunciar três teoremas importantes.
Teorema 1 - Critério geral de convergência
Se a série ∑ na for convergente, então 0lim =na .
A recíproca deste teorema não é verdadeira. Por exemplo, 01lim =n
e a série
harmónica é divergente.
Podemos utilizar este teorema para fazer o teste de divergência para várias séries.
Por exemplo, a série ∑∞
= +22
2
45n nn é divergente, porque 0
51
45lim 2
2
≠=+n
n .
Teorema 2 - A natureza de uma série não se altera se lhe modificarmos (suprimindo
ou acrescentando, por exemplo) um número finito de parcelas.
Demos já alguns exemplos de séries, cujo primeiro termo não correspondia a n=1.
Consideremos ainda o exemplo seguinte:
Prtende-se saber qual a natureza da série ∑+∞
=43
1n n
.
Comecemos por considerar a série de Dirichlet ∑+∞
=13
1n n
= ++++641
271
811 ∑
+∞
=43
1n n
.
Esta série é convergente (3>1). Assim, ∑+∞
=43
1n n
é convergente, pois as quatro primeiras
parcelas representam um número real.
Teorema 3 - Se ∑ na e ∑ nb forem séries convergentes, então também são
convergentes
∑ nca , em que c é uma constante real
( )∑ + nn ba
( )∑ − nn ba
12
e tem-se
∑ nca =c∑ na
( )∑ + nn ba =∑ na +∑ nb
( )∑ − nn ba =∑ na -∑ nb
Também se pode mostrar, por exemplo, que a soma de duas séries divergentes é uma
série divergente, que a soma de uma série convergente com uma divergenteé uma
série divergente.
Exemplo: Calcular a soma da série ( )∑∞
=
+
+1 21
13
nnnn
.
Pelo teorema 3, tem-se
( )∑∞
=
+
+1 21
13
nnnn
= ( )∑ ∑∞
=
∞
=
++1 1 2
11
3n n
nnn= ( )∑ ∑
∞
=
∞
=
++1 1 2
11
13n n
nnn
Como já vimos em exemplos anteriores as duas séries em que se decompôs a série
dada, ∑∞
= +1 )1(1
n nn e ∑
+∞
=1 21
nn são convergentes, sendo a soma de cada uma delas 1.
Assim, a soma de ( )∑∞
=
+
+1 21
13
nnnn
é s=3×1+1=4.
13
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Estude a natureza das seguintes séries
1.1. ∑+∞
=
−
0
12 32n
nn
Resolução:
Vamos mostrar que a série ∑+∞
=
−
0
12 32n
nn é uma série geométrica.
∑+∞
=
−
0
12 32n
nn =∑ ∑+∞
=
+∞
=−
=
0 01 3
4334
n n
n
n
n
. À parte a constante 3, que não afecta a natureza da
série, trata-se de uma série geométrica de razão 4/3>1. Logo, a série é divergente. 1.2. Escrever como um número fraccionário de termos inteiros o número 2,3(17).
Resolução:
Este número é uma dízima infinita periódica
2,3(17)=2,3171717 …= LL +++=+++ 53 1017
1017
102300017,0017,03,2 =
=
+++++ LL n220 10
110
110
1100017
1023 = ∑
∞
=
+
0
2
101
100017
1023
n
n
=
∑∞
=
+=
0 1001
100017
1023
n
n
Vamos calcular a soma da série n
n∑
∞
=
0 1001 . Como 1/100 <1, a série é convergente e
tem-se 99
100
10011
1100
1 0
=−
⋅
=s
Donde, 2,3(17)=495
114799
100100017
1023
=⋅+
14
1.3. Calcular, se possível, a soma da série ∑∞
= ++12 34
2n nn
.
Resolução:
∑∞
= ++12 34
2n nn
=2 ∑∞
= −++12 144
1n nn
=( )∑
∞
= −+12 12
12n n
= ( )( )∑∞
= ++−+1 121212
n nn=
= ( )( )∑∞
= ++1 3112
n nn.
Vamos mostrar que ( )( )∑∞
= ++1 311
n nn é uma série de Mengoli.
( )( ) 31311
+−
+=
++ nb
na
nn
Desembaraçando de denominadores, vem sucessivamente:
1=a(n+3)-b(n+1)
1=(a-b)n+3a-b
a-b=0 e 3a-b=1
Donde, a=b=1/2.
Assim, ( )( )∑∞
= ++1 311
n nn=∑
∞
=
+−
+1 32/1
12/1
n nn= ∑
∞
=
+−
+1 31
11
21
n nn
Fazendo 1
1+
=n
un , vem 3
12 +
=+ nun .
A soma de ∑∞
=
+−
+1 31
11
21
n nn é
41
11lim2
21
21
=
+−=
ns
A soma da série dada é
∑∞
= ++12 34
2n nn
= ( )( )∑∞
= ++1 3112
n nn=2. ∑
∞
=
+−
+1 31
11
21
n nn=
21
412 =⋅
15
1.4. Estudar a natureza da série ∑∞
=
+1 52ln
n nn .
Resolução:
Vamos começar por calcular o limite do termo geral.
021ln
52limln
52lnlim ≠=
+=
+ nn
nn
Como o limite do termo geral é diferente de 0, então a série é divergente.
2. Ache os valores de x para os quais convergem as seguintes séries. Se possível, para
esses valores de x calcule a soma de cada uma das séries.
2.1. ( )∑∞
=
−0
4n
nx 2.3. ( )∑∞
=
+
1 23
n
n
n
x
2.2. ∑∞
=0n
n xtg
2.4. ∑∞
=0
1n
nx
Resolução:
Todas as séries dadas são geométricas. Vamos escrevê-las na forma ∑ nr e
determinar a razão r de cada uma, determinando os valores de x para os quais o
módulo de r é menor que 1, para que as séries sejam convergentes.
Estas séries, cuja soma, quando existe, é função de x, são designadas por séries de
potências e desempenham um papel muito importante no Cálculo.
16
2.1. ( )∑∞
=
−0
4n
nx
A razão desta série é x-4. Donde para a série ser convergente tem que
sucessivamente verificar-se
53141
14
<<<−<−
<−
xx
x
Para os valores de x no intervalo ]3,5[, a soma da série é
( )xx
xs−
=+−
−=5
141
14 0
2.2. ∑∞
=0n
n xtg = ( )∑∞
=0n
ntgx
A razão desta série é tgx. Para a série ser convergente tem que ter-se tgx<1
ou -1<tgx<1. Tendo em atenção a função tgx, as condições verificam-se para
ππππ kxk +<<+−44
, k∈Ζ.
Para estes valores de x, a soma da série é
( )tgxtgx
tgxs−
=−
=1
11
10
2.3. ( )∑∞
=
+
1 23
n
n
n
x =∑∞
=
+
1 23
n
nx
A razão desta série é 2
3+x . Para que a série seja convergente tem que ter-se
12
3<
+x . Sucessivamente vem 15
23223
−<<−<+<−
<+
xx
x
Para os valores de x de ]-5,-1[, a soma da série é
13
231
12
3++
−=+
−⋅
+=
xx
xxs
17
2.4. ∑∞
=0
1n
nx=∑
∞
=
0
1n
n
x
A razão desta série é 1/x. Para a série ser convergente tem que ter-se 11<
x ou
x >1. Ou ainda x<-1 ou x>1. Para estes valores de x a soma da série é
111
11 0
−=
−
=
xx
xx
s .
3. As reservas mundiais de certo minério estimam-se em 1000 milhões de toneladas.
No ano de 2003, são consumidos 9 milhões de toneladas do minério em causa.
3.1. Supondo que o nível de consumo se mantém constante, quantos anos durará a
reserva?
3.2. Quantos anos durará a reserva, se o consumo aumentar 5% em cada ano?
3.3. Quantos anos durará a reserva, se o consumo diminuir 1% em cada ano?
Resolução: 3.1. Se as reservas de minério são 1000 milhões de toneladas e se o consumo for
de 9 milhões em cada ano, então o número de anos que a reserva deverá durar,
obtém-se calculando 1119
1000≈ . Assim, a reserva durará cerca de 111 anos.
3.2. Vejamos o seguinte quadro em que se registam os anos de consumo e os
respectivos consumos (em milhões de toneladas).
1º ano 9
2º ano 05,19905,09 ×=×+
3º ano ( ) 205,1905,1905,005,19 ×=××+×
4º ano ( ) 322 05,1905,1905,005,19 ×=××+×
n-ésimo
ano
105,19 −× n
18
A reserva esgotar-se-á quando o consumo total for igual a 1000 milhões de
toneladas, isto é, ao fim de n anos em que 105,19 −× n =1000. Por tentativas,
chega-se a n=38 (aproximadamente).
3.3. Vamos fazer um quadro idêntico ao anterior, mas tendo em conta a diminuição
do consum em 1% em cada ano.
1º ano 9
2º ano 99,09901,09 ×=×−
3º ano 299,0999,0901,099,09 ×=××−×
4º ano 399,09 ×
n-ésimo
ano
199,09 −× n
Para que a reserva se esgotasse teria que acontecer 199,09 −× n =1000. Ou seja,
11010099
=
n
, o que é impossível. Assim, a reserva nunca se esgota.
4. Determinada autarquia constrói anualmente 200 casas e, também em cada ano,
consegue vender 3/4 delas, ficando as restantes disponíveis.
Supondo que os ritmos de construção e de venda se mantêm constantes, qual será a
tendência do mercado imobiliário, a longo prazo?
Resolução:
À semelhança do problema anterior vamos construir um quadro em que indicamos
o número de anos de construção e o número de casas construídas em cada um
desses anos.
19
1º ano 200
2º ano
+=+
411200200
41200
3º ano
++=
++
2
41
411200
411200
41200
n-ésimo ano ∑
=
−−
=
++
++
n
i
in
1
112
41200
41
41
411200 L
Como se pretende calcular a tendência do mercado a longo prazo, vamos supor que
n tende para infinito. Ou seja, vamos estudar a série ∑∞
=
−
1
1
41200
n
n
.
Como se vê facilmente a série é uma série geométrica e tem-se
∑∞
=
−
1
1
41200
n
n
= ∑∞
=
×
1 414200
n
n
= 266
411
1414200 ≈
−××× .
A longo prazo a autarquia deverá ter para vender cerca de 266 casas.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Seja 13
2+
=n
nan .
Verifique:
1.1. se an é convergente;
1.2. se ∑∞
=1nna é convergente.
20
2. Estude a convergência das seguintes séries e, se possível, calcule as suas somas:
2.1. ∑∞
=
−
1
1
325
n
n
2.2. ( )∑∞
=
−−
1
1
43
nn
n
2.3. ∑∞
=
−−
1
183n
nn
2.4. ∑∞
= +1 5n nn
2.5. ∑∞
= +1 )2(1
n nn
2.7. ∑∞
= +1 1ln
n nn
2.6. ( ) ( )( )∑∞
=
+1
2,01,02n
nn
2.8. ∑∞
=
+
1 623
nn
nn
3. Calcule os valores de x para os quais as séries seguintes são convergentes. Calcule
a soma de cada série para esses valores de x:
3.1. ∑∞
=1 3nn
nx
3.2. ∑∞
=14
n
nn x
3.3. ∑∞
=1
1n
nx
21
RESPOSTAS:
Abreviaturas D=divergente; C=convergente; s=soma 1.
1.1. C
1.2. D
2.
2.1. C; s=15
2.2. C; s=1/7
2.3. D
2.4. D
2.5. C; s=3/4
2.6. C; s=17/36
2.7. D
2.8. C; s=3/2
3.
3.1. -3<x<3; s=x/(3-x)
3.2. -1/4<x<1/4; s=1/(1-4x)
3.3. |x|>1; s=x/(x-1)
22
TESTES FORMATIVOS E RESOLUÇÃO
23
TESTE FORMATIVO Nº 1 1. Ache o domínio das funções seguintes e justifique por que são contínuas em
todos os pontos dos seus domínios:
1.1. 2252)( tttf −+=
1.3. ( )1)( 2 −= xarcsenxF
1.2. 1
)(+
=x
xsenxh
1.4. ( )xexH cos)( =
Resolução:
1.1. Df={x∈ℜ: 25-t2≥0}=[-5,5]
Esta função é contínua em Df, porque é a soma de uma função polinomial com
uma racional. Sabe-se que são contínuas todas as funções polinomiais para
qualquer x real e são também contínuas as funções racionais nos seus domínios.
1.2. Dh={x∈ℜ: x≠-1}
Esta função é contínua em Dg, porque é o quociente entre sen x, uma função
contínua em ℜ, e uma função polinomial, que é também contínua em ℜ.
1.3. DF={x∈ℜ: -1≤x2-1≤1}={x∈ℜ: 0≤x2≤2}
Resolvendo a inequação x2≤2, vem sucessivamente:
x2≤2 ⇔ x2-2≤0
x2-2 é, graficamente, uma parábola virada para cima, cujos zeros são 2± . Assim,
x2-2≤0 para os valores de x tais que 2− ≤x≤ 2 .
Donde, DF= [ ]2,2−
A função F(x) é contínua em todos os pontos do seu domínio, porque é a função
composta da função contínua arcsen u, com u=x2-1, uma função contínua, por ser
uma função polinomial.
24
1.4. DH={x∈ℜ: x≥0}
A função H(x) é contínua em todos os pontos do seu domínio, porque é uma
função composta de funções contínuas.
2. Quais das funções seguintes são prolongáveis por continuidade em a?
2.1. 2
82)(2
+−−
=x
xxxf , a=-2
2.3. 464)(
3
++
=x
xxf , a=-4
2.2. 77)(
−−
=xxxf , a=7
2.4. xxxf
−−
=9
3)( , a=9
Resolução:
Uma função f diz-se prolongável por continuidade num ponto a (ou, tem uma
descontinuidade removível em a), se existir )(lim xfax→
.
A função
=≠
=→
axsexfaxsexf
xgax
)(lim)(
)( diz-se um prolongamento por continuidade
de f(x).
Assim, para cada uma das funções dadas, contínuas em todos os pontos, excepto
em x=a, vamos ver se existe )(lim xfax→
. Note-se que a não pertence ao domínio de
cada uma das funções dadas, f(x), e que )(lim xfax→
=00 . Vamos ter que, para cada
caso, levantar a indeterminação.
2.1. Vamos começar por decompor x2-2x-8 em factores:
x2-2x-8=0 ⇔ 2
622
3242 ±=
+±=x ⇔ x=-2 ∨ x=4
Assim, ( )( ) 62
42lim2
82lim2
2
2−=
+−+
=+
−−−→−→ x
xxx
xxxx
Logo, f(x) é prolongável por continuidade em a=-2.
25
2.2. Atendendo a que
<−−≥−−
=−077077
7xsexxsex
x , tem-se
<−≥
=7171
)(xsexse
xf
Assim, 1)(lim7
=+→
xfx
e 1)(lim7
−=−→
xfx
.
Como não existe o limite de f(x) em a=7, f não é prolongável por continuidade
nesse ponto.
2.3. Vamos começar por decompor x3+64 em factores:
Como x=-4 é um zero de x3+64, pela regra de Ruffini vem:
1 0 0 64
-4 -4 16 -16
1 -4 16 0
Assim, x3+64=(x+4) (x2-4x+16)
Pela fórmula resolvente, podemos constatar que x2-4x+16 não tem raízes reais.
Assim, ( )( ) 964
1644lim464lim
2
4
3
4=
++−+
=++
−→−→ xxxx
xx
xx
Logo, f(x) é prolongável por continuidade em a=-4.
2.4. Vamos começar por fazer a substituição seguinte: tx = . Donde, x=t2.
Quando x→9, t→3 e tem-se:
( )( ) 61
333lim
93lim
93lim
32
39=
+−−
=−−
=−
−→→→ tt
ttt
xx
ttx
Logo, f(x) é prolongável por continuidade em a=9.
3. Prove que as equações seguintes têm pelo menos uma raiz real:
3.1. x5-x2+2x+3=0
3.2. 3
15+
=−x
x
26
Resolução:
A resolução destes exercícios baseia-se no teorema do valor intermédio (ou
teorema de Bolzano). (manual, pag. 129)
3.1. Seja f(x)=x5-x2+2x+3. Esta função está nas condições do teorema de Bolzano
em ]-∞,+∞[, porque Df=ℜ e f é contínua em ℜ. Tem-se também que
( ) −∞=++−−∞→
32lim 25 xxxx
e ( ) +∞=++−+∞→
32lim 25 xxxx
Então, existe um intervalo fechado [a,b] (a<b), tal que f(a)<0 e f(b)>0. Pelo
teorema do valor intermédio, fazendo N=0, existe pelo menos um c, a<c<b, tal
que f(c)=0. Ou seja, a equação dada tem pelo menos uma raiz real.
3.2. Seja 3
15)(+
−−=x
xxf .
Comecemos por calcular o domínio de f:
Df={x∈ℜ: x-5≥0 ∧ x≠-3}=[5,+∞[.
Em x=5, tem-se f(5)=-1/8. Por outro lado, +∞=+∞→
)(lim xfx
.
Como f(x) é contínua em todos os pontos de Df, então existe um intervalo
fechado, tal como [5,b], em que f(5)<0 e f(b)>0. Logo, f está nas condições do
teorema de Bolzano. Fazendo N=0, existe pelo menos um c, 5<c<b, tal que
f(c)=0. Ou seja, a equação dada tem pelo menos uma raiz real.
4. A função custo para uma certa mercadoria é
C(x)=84+0,16x-0,0006x2+0,000003x3
4.1. Calcule e interprete C’(100).
4.2. Compare C’(100) com o custo de produzir o 101º artigo.
4.3. Escreva a equação da recta tangente ao gráfico de C(x) em x=100.
4.4. Calcule o valor de x para o qual C tem um ponto de inflexão. O que
significa esse valor?
4.5. Faça o gráfico da função custo.
27
Resolução:
4.1. Se C(x) é a função custo de uma mercadoria, C’(x) é o custo marginal, isto é, a
taxa de variação instantânea da variação do custo em relação ao número de
unidades produzidas:
custo marginal = )(lim0
xCdxdC
xC
x′==
∆∆
→∆
Para a função custo dada, tem-se:
C’(x)=0,16-0,0012x+0,000009x2
Donde, C’(100)=0,13. Se o número de unidades produzida for 100, a taxa de
variação de C(x) é 0,13.
4.2. Fazendo ∆x=1 e se x for muito grande comparado com ∆x, então tem-se
C’(x)≈C(x+1)-C(x).
Ou seja, o custo marginal de produção de x unidades é aproximadamente igual ao
custo de produção de mais uma unidade.
Para a função custo dada, tem-se, como já vimos, C’(100)=0,13.
Atendendo à expressão da função custo tem-se C(101)=97,130303 e C(100)=97.
Vem então, C(101)-C(100)=0,130303≈ C’(100)
Tendo produzido 100 artigos, produzir o 101º é aproximadamente igual à taxa de
variação do custo em relação ao número de unidades, isto é, C’(100).
4.3. A equação da recta tangente em x=100 é dada por
y=C(100)+C’(100) (x-100)
ou y=97+0,13(x-100)
ou y=0,13x-84
4.4. O ponto de inflexão de C(x) é o zero da sua 2ª derivada.
Sendo C’(x)=0,16-0,0012x+0,000009x2, tem-se C’’(x)=-0,0012+0,000018x
Donde, C’’(x)=-0,0012+0,000018x=12×10-4+18×10-6x=0. Vem x=200/3≈67.
28
Vamos agora verificar que a função C tem um ponto de inflexão em x=200/3≈67,
atendendo ao sinal de C’’(x):
0 200/3 +∞
C’’(x) - 0 +
C(x)
Quando C’’(x)<0, C’(x) é decrescente, quando C’’(x)>0, C’(x) é crescente. Ou seja, o
custo marginal começa por decrescer até ao ponto de inflexão, (67,C(67)), começando
a crescer a partir desse valor.
4.5. A função custo dada é uma função polinomial de grau 3. Como só faz sentido ter-
se x≥0, tem-se que o domínio de C(x) é o conjunto dos valores de x, tais que x≥0.
Vamos agora calcular o limite de C(x) quando x tende para infinito:
+∞=+∞→
)(lim xCx
Em seguida, vamos estudar a monotonia de C(x) e pesquisar a existência de
extremos.
Atendendo a que C’(x)=0,16-0,0012x+0,000009x2=-16×10-2-12×10-4x+9×10-6x2,
pode verificar-se que C’(x) não tem zeros:
6
884
101810576101441012
−
−−−
××−×±×
=x
Como C’(x) é graficamente uma parábola virada para cima, então C’(x)>0, para
todo o x. Assim, C(x) é sempre crescente.
Por último, atendendo ao estudo da concavidade feito em 4.4. e ao ponto de
inflexão aí calculado, graficamente C(x) é da forma:
y
84
0 66,7 x
(66,7≈67)
29
5. Se y=f(u) e u=g(x), onde f e g são funções três vezes diferenciáveis, mostre que
2
22
2
2
2
2
dxud
dudy
dxdu
duyd
dxyd
⋅+
=
Deduza uma fórmula idêntica para 3
3
dxyd .
Resolução:
Comecemos por formar a função composta seguinte:
x u=g(x) y=f(u)
g f
h=fog
Pela regra da derivada da função composta vem:
dxdu
dudy
dxdy
×=
Para calcular 2
2
dxyd , vamos começar por designar
dudy por i(u) e construir de modo
idêntico a função composta seguinte:
x u=g(x) z=i(u)
g i
j=iog
Atendendo a que 2
2
dxyd
dxdz
= , vem:
=×+×
×=×+×
=
= 2
2
2
2
2
2
2
2
dxud
dudy
dxdu
dxdu
duyd
dxud
dudy
dxdu
dudy
dxd
dxdy
dxd
dxyd
= 2
22
2
2
dxud
dudy
dxdu
duyd
×+
×
Vamos proceder de forma idêntica para calcular 3
3
dxyd .
30
3
3
dxyd =
=×+×
+
×
+
×
=
3
3
2
22
2
22
2
2
2
2
dxud
dudy
dxud
dudy
dxd
dxdu
dxd
dxyd
dxdu
dxyd
dxd
dxyd
dxd
= 3
3
2
2
2
2
2
2
2
22
3
3
2dx
uddudy
dxud
dxdu
duyd
dxdu
dxud
duyd
dxdu
dxdu
duyd
×+⋅×+⋅×+
× =
= 3
3
2
23
3
3
3dx
uddudy
dxdu
duyd
dxdu
duyd
×+⋅⋅+
×
6. Calcule, caso existam, os seguintes limites, utilizando a regra de L’Hôpital, se
necessário:
6.1. senx
tgxxx
+→0
lim
6.7. ( )tgx
xsenx
+→0lim
6.2. x
xx
lnlnlim∞→
6.8. bx
x xa
+
∞→1lim
6.3. )0(11lim
1≠
−−
→b
xx
b
a
x
6.9. x
xx ln1
2ln
lim +
∞→
6.4. xtgxxsenx
x1
1
0 22lim −
−
→ +−
6.10. xx
x
3cos7seclim
2
⋅−
→π
6.5. 3
2
0
21
limx
xxe x
x
−−−
→
6.11. ( )xxxx
x−−++
+∞→
22 1lim
6.6. ( )xex x
x−⋅
∞→
/1lim
31
Resolução:
6.1. senx
tgxxx
+→0
lim =00
1º Processo:
senxtgxx
x
+→0
lim = 211coslimlim00
=+=+→→ senx
xsenx
senxx
xx
2º Processo:
Utilizando a regra de L’Hôpital, tem-se:
senxtgxx
x
+→0
lim = 21
11cossec1lim
2
0=
+=
+→ x
xx
6.2. x
xx
lnlnlim∞→
=∞∞
Pela regra de L’Hôpital, vem:
xx
x
lnlnlim∞→
= 01ln1
lim =∞→
xxx
6.3. )0(11lim
1≠
−−
→b
xx
b
a
x
Pela regra de L’Hôpital, vem:
bax
ba
bxax
xx ba
xb
a
xb
a
x===
−− −
→−
−
→→ 11
1
11limlim
11lim
6.4. xtgxxsenx
x1
1
0 22lim −
−
→ +−
É de notar que sen-1x e tg-1x são as funções trigonométricas inversas,
respectivamente, de senx e tgx. Podem ser escritas como, respectivamente,
arcsenx e arctgx.
32
Assim, xtgxxsenx
x1
1
0 22lim −
−
→ +− =
00 .
Tem-se xtgxxsenx
x1
1
0 22lim −
−
→ +− = 1
1212
2
2lim
22lim
00=
−−
=−
−=
−−
→→
xarctgx
xarcsenx
arctgxxarcsenxx
xx
6.5. 3
2
0
21
limx
xxe x
x
−−−
→=
00
Pela regra de L’Hôpital, vem:
3
2
0
21
limx
xxe x
x
−−−
→= 2
0 31limx
xe x
x
−−→
=611lim
61
61lim
00=
−=
−→→ x
ex
e x
x
x
x
6.6. ( )xex x
x−⋅
∞→
/1lim = ( ) 11
1lim1lim/1
0/1
/1 =−
=−→+∞→
x
eexx
x
x
x
6.7. ( )tgx
xsenx
+→0lim =00
Sabe-se que sen xtgx=e tgx ln(senx)=( )
gxsenx
e cotln
.
Assim, ( )tgx
xsenx
+→0lim =
( ) ( )∞∞
→== +→
+eee gx
senxgx
senx
x
x cotlnlim
cotln
0
0lim
Pela regra de L’Hôpital, vem:
( ) 0coslim1
cos
limcot
lnlim0
200
=−=−
=+++ →→→
xsenx
xsen
senxx
gxsenx
xxx
Donde, ( ) ( )
1lim 0cotlnlim
cotln
0
0 === +→
+→eee gx
senxgx
senx
x
x
33
6.8. bx
x xa
+
∞→1lim =1∞
Atendendo a que bx
x xa
+
∞→1lim =
bx
x xa
+
∞→1lim .
Como ax
xe
xa
=
+
∞→1lim , então
bx
x xa
+
∞→1lim = abe
6.9. x
xx ln1
2ln
lim +
∞→=∞0
Vamos proceder de forma idêntica à da alínea 6.7.:
x
xx ln1
2ln
lim +
∞→= x
xx
x
x
xee ln1lnlim2lnln
ln12ln
lim +⋅
+
+∞→
+∞→=
Pela regra de L’Hôpital, vem:
11
1
limln1
lnlim ==+ +∞→+∞→
x
xx
xxx
Assim, x
xx ln1
2ln
lim +
∞→= 22ln =e
6.10. xxx
3cos7seclim
2
⋅−
→π
=00
7cos3coslim
2
=−
→xx
x π
Pela regra de L’Hôpital, vem:
=−
→xx
x7cos3coslim
2π 7
37733lim
2
=−−
−
→xsenxsen
x π
34
6.11. ( )xxxxx
−−+++∞→
22 1lim =∞-∞
Multiplicando e dividindo a expressão ( )xxxx −−++ 22 1 pelo seu
conjugado, vem:
( )xxxxx
−−+++∞→
22 1lim =
xxxxx
xxxxxxxx
xx −+++
+=
−+++
+−+++∞→+∞→ 2222
22
112lim
11lim =
122lim2lim
22==
+ +∞→+∞→ xx
xxx
xx
7.
7.1. Mostre que a equação
+−
2cos23 xx π =0 tem exactamente uma raiz real.
7.2. Prove a identidade 2
211 π
−=+− xarctg
xxarcsen .
7.3. Prove a desigualdade babsenasen −≤− para todo a e b.
Resolução:
A resolução destes exercícios baseia-se nos teoremas do valor intermédio (ou teorema
de Bolzano), de Rolle e do valor médio (ou teorema de Lagrange) e corolários.
(manual, pags. 129, 288, 289)
7.1. Seja
+−=
2cos23)( xxxf π
Esta função é contínua e diferenciável em ℜ e tem-se: f(1)=1 e f(0)=-1.
Pelo teorema de Bolzano, f tem pelo menos uma raiz real em ]0,1[. Vamos
mostrar que f não pode ter mais que um zero nesse intervalo nem noutro
qualquer.
Por absurdo, vamos supor que f tem 2 zeros ]0,1[. Sejam a e b esses zeros. Então,
f(a)=f(b)=0. Pelo teorema de Rolle, existe pelo menos um número c, c∈]a,b[, tal
que f’(c)=0.
35
Vamos agora calcular f ’(x):
−=′ xsenxf
223)( ππ
Sabemos que para todo o x se tem:
12
1 ≤
≤− xsen π
2222ππππ
≤
≤− xsen
2222ππππ
≤
−≤− xsen
23
223
23 ππππ
+≤
−≤− xsen
Como 02
3 >−π , então f’(x)>0. Logo, não existe nenhum c, c∈]a,b[, tal que
f’(c)=0.
Também como f’(x)>0, f(x) é uma função crescente em ℜ, pelo que o zero de
f(x) tem que estar num intervalo [x1,x2]⊆[0,1].
Fica deste modo provado que a equação dada tem exactamente uma raiz real.
7.2. Seja 2
211)( π
+−+−
= xarctgxxarcsenxf
Comecemos por calcular Df:
Df=
≥∧≤
+−
≤− 01111: x
xxx
1111
111
111 −≥
+−
∧≤+−
⇔≤+−
≤−xx
xx
xx
101
201
1101111
11
−>⇔≤+
−⇔≤+
−−−⇔≤−
+−
⇔≤+− x
xxxx
xx
xx
01
201
1101111
11
≥+
⇔≥+
++−⇔≥+
+−
⇔−≥+−
xx
xxx
xx
xx
36
Atendendo a que se tem que ter x≥0, então conjugando esta condição com as
anteriores, vem Df=[0,+∞[.
Vamos agora calcular f’(x):
( )
( ) ( ) ( )( )
0)1(
1
1111
212
1
2
111
12
)(
2
222
2
2
==+
−
+−−+
+
=+
⋅−
+−
−
+=′ L
xx
xxxx
xx
xx
xxf
Por um corolário do teorema de Lagrange, sabemos que se f’(x)=0 para todo o x
do domínio de f, então f(x)=C, em que C é uma constante. Vamos mostrar que
C=0.
Por exemplo, fazendo x=1 obtém-se
024
202
120)1( =+−=+−=πππarctgarcsenf .
Logo, C=0. Fica deste modo provada a identidade para todo o x do domínio de f.
7.3. Para provar a desigualdade babsenasen −≤− para todo o a e b, vamos usar o
teorema do valor médio (ou teorema de Lagrange).
Seja f(x)=sen x.
f é contínua em ℜ, logo é contínua num intervalo fechado qualquer [a,b]. (Sem
perda de generalidade, vamos supor que a<b).
f é diferenciável em ℜ, logo é diferenciável no intervalo ]a,b[.
Pelo teorema do valor médio, existe pelo menos um c∈]a,b[, tal que
abafbfcf
−−
=′ )()()( , a<c<b.
Ou seja, como f’(x)=cos x, então ab
asenbsenc−−
=cos .
Como 0≤|cos c|≤1, tem-se
1cos ≤−−
=ab
asenbsenc ou abasenbsen −≤− ou babsenasen −≤− .
Fica deste modo provada a desigualdade dada.
37
8. Faça o estudo e faça o esboço do gráfico da função f(x)=x+2arctg x.
Resolução:
Para fazer o estudo e esboçar o gráfico de uma função f vamos proceder da seguinte
forma:
- calcular do domínio
- pesquisar a existência de assímptotas
- calcular os pontos de intersecção com o eixo dos xx’ (zeros de f) e com o eixo
dos yy’
- estudar a monotonia e extremos (máximos e/ou mínimos relativos)
- estudar a concavidade e pontos de inflexão
- fazer o esboço do gráfico
O esboço do gráfico pode ser feito à medida que se vão obtendo resultados.
Assim, para f(x)=x+2arctg x, vem:
Atendendo a que arctg x, graficamente é:
y
π/2
0 x
π/2
1º - Domínio: Df=ℜ
2º - Assímptotas:
A função f não tem assímptotas verticais.
Vamos pesquisar a existência de assímptotas horizontais:
( ) +∞=++∞→
xarctgxx
2lim e ( ) −∞=+−∞→
xarctgxx
2lim
Como f não tem assímptotas horizontais, vamos ver se tem assímptotas oblíquas:
38
( ) ππ=⋅=⋅−+=
=+=+=+
=
+∞→
+∞→+∞→
2212lim
101lim212lim
xxarctgxb
xxarctg
xxarctgxm
x
xx
Donde, quando x tende para +∞, a função f tem assímptota horizontal de equação
y=x+π.
( ) ππ−=
−⋅=⋅−+=
=+=+=+
=
−∞→
−∞→−∞→
2212lim
101lim212lim
xxarctgxb
xxarctg
xxarctgxm
x
xx
Donde, quando x tende para -∞, a função f tem assímptota horizontal de equação
y=x-π.
Graficamente tem-se:
y
0 x
3º - Intersecção com os eixos coordenados
• Zeros:
x+2 arctg x=0 ⇔ x=0 (poder-se-ia mostrar que f não tem mais nenhum zero,
recorrendo aos teoremas de Bolzano e Rolle).
• Intersecção com o eixo yy’:
f(0)=0
4º - Monotonia; extremos
01
121)( 2 >+
+=′x
xf
Como f’(x)>0 para todo o x real, f(x) é sempre crescente e não tem extremos.
39
Assim, graficamente, tem-se:
y
0 x
5º - Concavidade; pontos de inflexão
Atendendo a que ( ) 122 121
1121)( −
++=+
+=′ xx
xf , vem
( )( )
001
4122)( 22
22 =⇔=+
−=+⋅⋅−=′′ − xxxxxxf
Vamos agora estudar o sinal de f’’ (x):
Se x<0, f’’ (x)>0. Logo, f(x) tem a concavidade virada para cima.
Se x>0, f’’ (x)<0. Logo, f(x) tem a concavidade virada para baixo.
Assim, f tem um ponto de inflexão em x=0, com f(0)=0.
Então, o gráfico de f é:
y
0 x
40
TESTE FORMATIVO Nº 2
1. Calcule um valor aproximado de 5 33 , usando uma aproximação linear.
Resolução:
Calcular um valor aproximado de 5 33 , com recurso a uma aproximação linear, é o
mesmo que usar a noção de diferencial de uma função f(x) num ponto a.
Consideremos a função 5)( xxf = , cuja derivada é 5 451)(x
xf =′ e
consideremos o valor da função em a=32, isto é, 232)32()( 5 === faf .
Assim, usando o conceito de diferencial, tem-se: f(33)≈f(32)+f’ (32) (33-32).
Então
5 455
32513233 +≈ ou
8012335 +≈ ou 0125,2335 ≈
2. Determine a expressão de uma função f que verifique as seguintes condições:
2.1. f’(x)=x3-3x2+1 , f(1)=2
2.2. f’’(x)=sen(2x) , π
π 14
=
′f , 1
4=
πf
Resolução:
2.1. f’(x)=x3-3x2+1 , f(1)=2
A função f(x) é uma primitiva (ou antiderivada) de f'(x).
Vamos usar a notação )(xPg equivalente à notação ∫ dxxg )( .
f(x)= ( ) CxxxxxP ++−=+− 34
23
413
Atendendo a que f(1)=2, tem-se 21141)1( =++−= Cf . Donde, C=
47 .
Assim, 47
4)( 3
4
++−= xxxxf
41
2.2. f’’(x)=sen(2x) , π
π 14
=
′f , 1
4=
πf
( ) ( ) 11 2cos212)( CxCxsenPxf +−=+=′
Atendendo a que π
π 14
=
′f , tem-se
πππ 102
cos21
4 11 =+=+−=
′ CCf .
Assim, ( )π12cos
21)( +−=′ xxf .
( ) ( ) 212
4112cos
21)( CxxsenxPxf ++−=
+−=
ππ
Atendendo a que 14
=
πf , tem-se
141
41
41
241
4 222 ==++−=+⋅+−=
CCCsenf π
πππ
Donde, ( ) 11241)( ++−= xxsenxf
π
3. Determine, dentro de intervalos contidos nos respectivos domínios, as
expressões gerais das primitivas das funções definidas por:
3.1. 38
52 +xx
3.4. 2793 23
3
−+− xxxx
3.2. ( )221
1x+
3.5. ( )36ln 2 ++ xx
3.3. xgxtg
cot1+
3.6. ( )43
1xxx +
42
Resolução:
3.1. P38
52 +xx = ( ) Cx
xxP ++=+
38ln165
3816
165 2
2
3.2.
P( )221
1x+
( ) ( ) ( )( ) { ( )
43421vuxxxParctgxxxxParctgx
xxP
xxP
xxxP
′
−−+−=+−=
+−
+
+=
+
−+=
222222
2
22
2
22
22
12211
111
11
Vamos resolver à parte a primitiva, atendendo a: Pu v’=uv-Pu’ v
Sendo:
=′=
1uxu
( )
( )
+−=
−+
=
+=′−
−
2
12
22
11
11
12
xxv
xxv
vem
P ( )221
1x+
= Cxarctgx
xarctgxx
Px
xarctgx +
−
+−=
++
+⋅−− 222 12
11
11
121
3.3. Pxgxtg
cot1+ =
= ( ) ( ) ( ) CxxtgxxPxxsenPxPtgxPtgxtgxPtg +−+−=−+=+=+ cosln1sec
cos1 22
43
3.4. P2793 23
3
−+− xxxx
A função a primitivar é uma fracção racional, em que o grau do numerador é igual ao
do denominador. Vamos começar por dividir o numerador pelo numerador, para
depois decompor o denominador em factores.
x3 x3 -3x2 +9x -27
-x3 +3x2 -9x +27 1
3x2 -9x +27
Assim,
2793 23
3
−+− xxxx =1+
27932793
23
2
−−−+−xxx
xx =1+3 2793
9323
2
−−−+−xxx
xx
Atendendo a que x=3 é uma raiz do denominador, pela regra de Ruffini, vem
1 -3 9 -27
3 3 0 27
1 0 9 0
Donde
1+3 2793
9323
2
−−−+−xxx
xx =1+3 ( )( )9393
2
2
+−+−
xxxx
( )( )( ) ( )39
939393
2
22
2
−+
++
+−
=+−
+−
xxx
cbxx
axxxx
( ) ( )( )3993 22 −+++=+− xcbxxaxx
Fazendo x=3, vem a=1/2. Substituindo este valor encontrado para a na igualdade
anterior, vem
( ) cxbcxbxx 3329
2193 22 −−++
+=+−
44
Donde,
211
21
=⇒=+ bb
393 −=⇒=− cc
Assim, P ( )( )
+−
+−+
939331 2
2
xxxx =P1+3P ( )( )93
932
2
+−+−
xxxx =x+3P
+
−+
− 9
321
321
2x
x
x=
=x+3
+
⋅−+
⋅+−
13
9
31
339
2221
31
21
22x
Px
xPx
P =
=x+ ( ) Cxarctgxx +
−++−
39ln3ln
23 2
3.5. P ( )36ln 2 ++ xx = P 1⋅ ( )36ln 2 ++ xx
Vamos fazer esta primitiva por partes, fazendo u= ( )36ln 2 ++ xx e v'=1.
Assim, tem-se:
( )( )
+=
++
′++
=′
++=
91
99
9ln
22
2
2
xxxxxu
xxu
==′
xvv 1
Donde
P1⋅ ( )36ln 2 ++ xx = ( )36
136ln2
2
+⋅−++
xPxxxx =
( ) ( ) 2/122 3622136ln −
+⋅−++= xxPxxx ( ) ( ) Cxxxx ++
−++=
2136
2136ln
2/122 =
( ) Cxxxx ++−++= 3636ln 22
45
3.6. P ( )43
1xxx +
Vamos fazer esta primitiva por substituição:
1112
12
12txtxtx
=′⇒=
= (12=m.m.c.(2,3,4))
P ( )43
1xxx +
=P ( ) ( ) 112
112121 2
9
1111
346 +=
+=⋅
+ ttP
tttPt
ttt
t2
-t2 -t t + 1
-t t - 1
t +1
1
++−=
+ 11112
112
2
ttP
ttP = ( ) ( ) CxxxCttt
+++−=+
++− 1ln61ln
212 12126
2
4. Calcule a área da região do plano limitada por
34,2 2 ≤≤−−≤ yxx
Resolução:
Vamos começar por representar a região dada, atendendo às equações dadas.
222 ≤≤−⇔≤ xx
444 22222 =+⇔=−⇔=−− yxyxyx
A equação x2+y2=4 representa graficamente uma equação de centro na origem e
raio 2. A circunferência tem dois ramos de equações 24 xy −−= e 24 xy −=
Assim, tem-se:
444 22222 ≤+⇔≥−⇔≤−− yxyxyx
46
A região cuja área se pretende calcular é a região a tracejado representada na
figura:
y
3
2
-2 0 2 x
-2
A área é dada por:
( )∫−
−+2
2
243 dxx
Para calcular o valor deste integral, vamos aplicar a parte 2 do teorema
fundamental do cálculo (ou fórmula de Barrow). Temos então que começar por
calcular uma primitiva da função integranda.
( ) 22 4343 xPxxP −+=−+
Para calcularmos 24 xP − teremos que recorrer a uma substituição
trigonométrica:
x 2
t
24 x−
sentxxsent 22
=⇒=
2xarcsent =
tx cos2=′
txxt cos242
4cos 22
=−⇒−
=
47
24 xP − = ttPttP coscos4cos2cos2 =⋅
Vamos fazer ttP coscos por partes.
−=′=
sentutu cos
==′
sentvtv cos
ttP coscos = ( ) tPttsenttPtsenttPsentsent 222 coscoscos1coscos −+=−+=+
Donde
( )ttsenttPttsenttP +=⇒+= cos21coscoscos2 22
ttsenttP += cos2cos4 2
224 2 xarcsenxx +
−=
24 xP −22
4 2 xarcsenxx +−
=
Donde
( )∫−
−+2
2
243 dxx =2
2
2
2243
−
+
−+
xarcsenxxx =
ππ+=⋅+=−−++++= 12
2212)1(06106 arcsenarcsen
5. De um modo geral, desiganam-se por integrais indefinidos os integrais da
forma
∫)(
)(
)(xb
xa
dttf .
5.1. Se a(x) e b(x) forem funções diferenciáveis e f(t) for contínua para todo o
x, prove que ′
∫
)(
)(
)(xb
xa
dttf = ( )( ) ( )( ) )()( xaxafxbxbf ′⋅−′⋅ .
5.2. Use 5.1. para calcular:
5.2.1.
⋅∫ dt
ttsene
dxd x
x
t2
3
2
48
5.2.2. dtduudxd x sent
∫ ∫
+
0 1
42
2
1
Resolução:
5.1. Para mostrar que ′
∫
)(
)(
)(xb
xa
dttf = ( )( ) ( )( ) )()( xaxafxbxbf ′⋅−′⋅ , vamos supor que
F(t) é uma primitiva de f(t). Atendendo a que ′
∫
)(
)(
)(xb
xa
dttf = [ ]( )′)()()( xb
xatF e pela
regra da derivada da função composta, vem
[ ]( )′)()()( xb
xatF ( ) ( )( ) ( ) ( ) )()()()()()( xaxafxbxbfxaFxbF ′⋅−′⋅=′−= , como
queríamos mostrar.
5.2. tendendo-se a 5.1., tem-se:
5.2.1.
⋅∫ dt
ttsene
dxd x
x
t2
3
2
=
=xxsene
xxsenex
xxsenex
xxsenedt
ttsene xxxx
x
x
t64
23
6
2
423232
2
3
3232 ⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅=
′
⋅∫
5.2.2. dtduudxd x sent
∫ ∫
+
0 1
42
2
1
Seja ∫ +=sent
duutf1
41)( . Vamos começar por calcular
∫x
dttfdxd
0
)( :
∫x
dttfdxd
0
)( = )(xf = ∫ +senx
duu1
41
Então, dtduudxd x sent
∫ ∫
+
0 1
42
2
1 = xxsenduudxdxf
senx
cos11)( 4
1
4 ⋅+=
+=′ ∫
49
6. Calcule o valor dos seguintes integrais, sempre que possível:
6.1. ( )∫
+∞
+22/33
1 dxx
6.5. dxe x∫+∞
∞−
−
6.2. dxsenx
x∫
4/
0
cosπ
6.6. ( )
dxxx∫
+∞
+0 11
6.3. ∫2
0
2 ln dzzz
6.7. dxx
e x
∫1
0
6.4. dxx
x∫ −
−2
0 323
6.8. ∫+∞
∞−
dxx2cos
Resolução:
Todos os integrais dados são impróprios. Uns são impróprios de 1ª espécie (a função
integranda é limitada no intervalo de integração que é ilimitado), outros são
impróprios de 2ª espécie (a função integranda é ilimitada no intervalo de integração
que é limitado) e ainda outros são mistos ou impróprios de 3ª espécie (a função
integranda é ilimitada no intervalo de integração que é ilimitado).
Qualquer destes integrais resolve-se recorrendo a limites. Quando cada um desses
limites existe o integral diz-se convergente; caso contrário, diz-se divergente.
6.1. ( )∫
+∞
+22/33
1 dxx
Este integral é impróprio de 1ª espécie.
( )∫+∞
+22/33
1 dxx
( )∫ −
+∞→+=
a
adxx
2
2/33lim
( )5
25
13
1lim22/1
3lim2
2/1
=
−
+−=
−+
=+∞→
−
+∞→ ax
a
a
a
50
6.2. dxsenx
x∫
4/
0
cosπ
Este integral é impróprio de 2ª espécie.
dxsenx
x∫
4/
0
cosπ
( ) ( )
==
→
−
→∫ 2/1
limcoslim2/1
0
4/2/1
0
senxdxsenxxaaa
π
−=
→senasen
a 0lim
42 π =
4/32222 ==
6.3. ∫2
0
2 ln dzzz
Este integral é impróprio de 2ª espécie.
∫2
0
2 ln dzzz ∫→
=2
2
0lnlim
aadzzz
Vamos calcular o integral por partes, atendendo à fórmula
[ ] ∫∫ ⋅′−⋅=′⋅b
a
ba
b
a
dxvuvudxvu , em que u=u(x) e v=v(x)
Fazendo:
=
=′
3
3
2
zv
zv
=′
=
zu
zu1
ln
Assim:
∫∫ ⋅−
=
→→→
23
0
23
0
22
0
1lim31ln
3limlnlim
aaaaaadz
zzzzdzzz =
23
0
3
0 3lim
31lnlim2ln8
31
aaa
zaa
−
−=
→→
Como aaa
lnlim 3
0→ é uma indeterminação do tipo 0×∞, vamos recorrer à regra de
L'Hôpital para levantar a indeterminação:
aaa
lnlim 3
0→0lim
31
3
1
limlnlim0
20
30
=−=−
==→
−→
−→
aaa
aa
aaa
51
Assim, tem-se:
=
−
−
→→
23
0
3
0 3lim
31lnlim2ln8
31
aaa
zaa
−=
−−
312ln
380
38
312ln
38
6.4. dxx
x∫ −
−2
0 323
Este integral é impróprio de 2ª espécie, pois x=3/2 não pertence ao domínio da
função integranda.
dxx
x∫ −
−2
0 323
∫∫ −−
+−
−=
→→
2
2/302/3 323lim
323lim
bb
a
adx
xxdx
xx
Vamos calcular uma primitiva da função integranda. Como esta é uma fracção
racional, em que o grau do numerador é igual ao do denominador, então temos
que começar por dividir o numerador pelo denominador.
Começamos por atender a que
233
21
323
−
−⋅=
−−
x
xx
x
x -3 x -3/2
-x +3/2 1
-3/2
Vem então
233
21
323
−
−⋅=
−−
x
xx
x =
−
−+
232/31
21
x
P
−
−+
232/31
21
x=
−−
23
1231
21
xPP =
−−
23ln
23
21 xx
Donde
∫∫ −−
+−
−→→
2
2/302/3 323lim
323lim
bb
a
adx
xxdx
xx =
52
−−+
−−=
→→
2
230
23 2
3ln23lim
23ln
23lim
21
bb
a
a
xxxx =
=
−−−−++
−−
→→ 23ln
23lim
23ln
232
23ln
23
23ln
23lim
21
23
23
bbaaba
=
= 10ln23
23
23ln
232
23ln
230ln
23
23
21
=
+−−++−
6.5. dxe x∫+∞
∞−
−
Este integral é impróprio de 1ª espécie.
Atendendo a que
≥
<=
−
−
0,0,
xseexsee
ex
xx
graficamente, xe− é da forma
y
1
0 x
Como esta função é par, tem-se:
dxe x∫+∞
∞−
− = [ ] 21lim2lim2lim220
00
=
−−=−== ∫∫ −
+∞→
−
+∞→
−
+∞→
+∞−
aa
a
ax
a
x
a
x eedxedxe
6.6. ( )
dxxx∫
+∞
+0 11
Este integral é impróprio de 3ª espécie. Vamos desdobrá-lo em dois integrais, um
impróprio de 2ª espécie e outro de 1ª espécie.
53
( )dx
xx∫+∞
+0 11 =
( )dx
xx∫ +
1
0 11 +
( )dx
xx∫+∞
+1 11 =
( )dx
xxaa∫ +→
1
0 11lim
( )dx
xx
b
b∫ +
++∞→ 1 1
1lim
Vamos calcular uma primitiva da função integranda recorrendo ao método de
substituição, fazendo
txtxtx2
2
=′=⇒=
Tem-se também:
btbx
txatax
→⇒→
→⇒→→⇒→
11
Assim,
( )dx
xxa∫ +
1
11 = ( )∫ ⋅
+
1
2112
a
dtttt
= ∫ +
1
2112
a
dtt
De modo análogo se escreve para o
outro integral.
Vamos agora calcular uma primitiva da função integranda.
tarctgt
P =+ 211
Donde,
( )dx
xxaa∫ +→
1
0 11lim
( )dx
xx
b
b∫ +
++∞→ 1 1
1lim = [ ]10
lim2 aa
tarctg→
+b
btarctg
1
lim2
+∞→
=
−+=
4242 πππ =π
6.7. dxx
e x
∫1
0
Este integral é impróprio de 2ª espécie.
dxx
e x
∫1
0
= dxx
e
a
x
a∫
→
1
0lim = dxe
xx
aa∫
→
1
0 212lim = [ ]1
0lim2 a
x
ae
→= ( )12lim2
0−=
−
→eee a
a
Nota:
Atender a que ( )x
x2
1=
′
54
6.8. ∫+∞
∞−
dxx2cos
Este integral é impróprio de 1ª espécie. Como a função integranda é par, tem-se:
∫+∞
∞−
dxx2cos = ∫ ∫+∞
+∞→=
0 0
22 coslim2cos2a
adxxdxx .
No exercício 4., foi já calculada uma primitiva de cos2x:
( )1cos21cos2 += tsentxP
Assim, [ ] ( ) 11coslim1coslimcoslim200
2 −+=+=+∞→+∞→+∞→
∫ asenatsentdxxa
aa
aa
Este limite não existe. Logo, o integral dado é divergente.
7. Seja f a função real de variável real definida por f(x)=ex.
7.1. Determine a função h(x) tal que f(2x)4
f(x)(x)h+
=′ e 4
3h(x)limx
π=
−∞→.
7.2. Estude a natureza do integral ∫+∞
0
23 dx)f(xx
Resolução:
7.1. Atendendo a que f(x)=ex, vem 2x
x
e4e(x)h+
=′ .
Então, h(x)=P C2earctg
41
2e1
eP41
e4e x
2x
x
2x
x
+
=
+
=+
.
Atendendo a que 4
3h(x)limx
π=
−∞→, vem
43C
43C0C
2earctg
41lim
x
x
ππ=⇔=+=
+
−∞→
Donde, h(x)=4
32earctg
41 x π
+
55
7.2. dxexlimdxexdx)f(xx22 x
0 0
a
0
3
a
x323∫ ∫ ∫+∞ +∞
+∞→==
Vamos agora calcular a primitiva da função integranda:
C. A.
Puv'=uv-Pu'v
=
=′
=′=
2
2
x
x2
ev
2xev2xuxu
P { ( ) ( ) ( )1xe21eex
21P2xeex
212xexP
21ex 2xxx2xx2
v
x
u
2x3 2222222
−=−=−==′321
Então ( )[ ] +∞=−=∫ +∞→+∞→
a
0
a
02x
a
x3
a1xelim
21dxexlim
22
(Fórmula de Barrow)
Conclui-se que o integral dado é divergente.
FIM