cae diplomski-numerička simulacija strujanja fluida u teslinoj turbini

7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini

http://slidepdf.com/reader/full/cae-diplomski-numericka-simulacija-strujanja-fluida-u-teslinoj-turbini 1/94

Zenica, 2015

UNIVERZITET U ZENICIMašinski fakultet u Zenici

Katedra za konstrukcije i CAD tehnologije

CAE – Računarske simulacije

Delić Emir

Numerička simulacija strujanja fluida u

Teslinoj turbini

Diplomski rad

Mentor:

Prof. Dr Senad Balić



IZJAVA

Izjavljujem da sam samostalno uradio ovaj rad uz pomoć znanja koje sam stekao na

Mašinskom fakultetu u Zenicu i korištenjem navedene literature

Delić Emir



BIBLIOGRAFSKA KARTICA RADA

NAUČNO PODRUČJE RADA: Tehničke nauke

NAUČNO POLJE RADA: Mašinstvo

NAUČNA GRANA RADA: Računarske simulacije

USTANOVA U KOJOJ JE IZRAĐEN RAD: Univerzitet u Zenici, Mašinski fakultet u Zenici

NAZIV ODSJEKA FAKULTETA: Inženjerski dizajn proizvoda

MENTOR RADA: prof. Dr. Senad Balić

DATUM ODBRANE RADA:.18. 07. 2015

ČLANOVI KOMISIJE ZA ODBRANU RADA:

1. Prof. Dr Amra Talić-Čikmiš, predsjednik,

2. Doc. Dr Ibrahim Plančić, član,

3. Prof. Dr Senad Balić, član i mentor,

4. v.as.mr. Josip Kačmarčik , sekretar.



SADRŽAJ

Lista slika ............................................................................................................. i

Lista tabela ......................................................................................................... iv

REZIME .............................................................................................................. 1

1 Uvod – Opis Tesline turbine ........................................................................ 2

2 Analitička i eksperimantalna istraživanja prema (Rice, Analytical andExperimental Investigation of Multiple-Disk Turbines, 1965) ...................... 4

3 Ciljevi CFD analize Tesline turbine............................................................ 9

4 Matematičke osnove CFD metode ............................................................ 11

4.1 Uvod .................................................................................................................... 11

4.2 Opći oblik zakona očuvanja fizikalnog svojstva u materijalnom volumenu 14

4.3 Konvekcijski i difuzijski protoci kroz kontrolnu površinu ............................ 16

4.4 Metoda konačnih volumena .............................................................................. 18

4.5 Integralni oblici zakona očuvanja za proizvoljni volumen i kontrolnivolumen ............................................................................................................... 23

4.6 Modeli diskretizacije .......................................................................................... 25

4.6.1 Ojlerov model ................................................................................................. 26

4.6.2 Lagranžov model ........................................................................................... 29

4.7 Matematički model ............................................................................................ 31

4.8 k-ε model turbulencije ....................................................................................... 33

5 CFD analiza strujanja fluida u razmatranoj Teslinoj turbini ............... 37

5.1 3D model i njegova ograničenja ....................................................................... 37

5.2 Numerička mreža ............................................................................................... 39

5.3 Granični uslovi ................................................................................................... 44

5.3.1 Granični uslov na ulazu u turbinu ............................................................... 44

5.3.2 Granični uslov na površinama diskova ........................................................ 45



5.3.3 Granični uslov na izlazu iz turbine .............................................................. 46

5.4 Optimizacija mreže ............................................................................................ 47

5.5 Rezultati CFD analiza ....................................................................................... 50

5.6 Uticaj bezdimenzionalnog parametra protoka /∙ na efikasnost

turbine ................................................................................................................. 51

5.7 Uticaj bezdimenzionalnog parametra brzine ω∙r0v0 na efikasnost turbine . 58

5.8 Utjecaj hrapavosti diskova na efikasnost turbine ........................................... 60

5.9 Utjecaj broja diskova na efikasnost turbine .................................................... 62

5.10 Vizualizacija rezultata CFD analiza ................................................................ 64

6 Zaključnja razmatranja ............................................................................. 82

Literatura .......................................................................................................... 84



i

Lista slika

Slika 1.1 Rotor Tesline turbine ................................................................................................. 2

Slika 1.2 Tok fluida kroz Teslinu turbinu ................................................................................. 3

Slika 2.1 Koordinatni sistem ..................................................................................................... 4

Slika 2.2 Efikasnosti Tesline turbine za različite bezdimenzionalne parametre protok a .......... 7

Slika 2.3 Efikasnost Tesline turbine za različite bezdimenzionalne parametre brzine .............. 8

Slika 3.1 Efikasnost Tesline turbine u zavisnosti od parametra protoka i parametra brzine;

rezultati za: r 0/b=50 i f=0.05 .................................................................................. 10

Slika 4.1 Procedura pri rješavanju problema numeričkom simulacijom ................................ 12

Slika 4.2 Konvektivni i difuzijski potok kroz elementarnu površinu dS ................................ 17

Slika 4.3 Dio diskretiziranog područja proračuna .................................................................. 19

Slika 4.4 Metoda konačnih volumena dijeli prostor na kontrolne volumene u čijim središtima

se nalaze čvorovi u kojima računamo vrijednosti varijabli ................................... 26

Slika 4.5 Ojlerovski metod diskretizacije fluida ..................................................................... 26

Slika 4.6 Dva različita pristupa u podjeli prostora na kontrolne volumene ........................... 27

Slik a 4.7 Označavanje korišteno pri izvođenju aproksimacija površinskih integrala ............ 27

Slika 4.8 Lagranžov metod diskretizacije fluida ..................................................................... 29

Slika 4.9 Matematički opis fizikalnog modela ....................................................................... 31

Slika 5.1 Prikaz stvarnog diska i pojednostavljenog diska korištenog u CFD analizi ............. 37

Slika 5.2 Prikaz Tesline turbine sa jednim parom diskova ...................................................... 38

Slika 5.3 Pristup formiranju i vrste geometrijski mreža u 2D situaciji [4] .............................. 40

Slika 5.4 Dobra i loša diskretizacija unutar graničnog sloja [4] ............................................. 40

Slika 5.5 Šematski prikaz strukture graničnog sloja [4] .......................................................... 41

Slika 5.6 Loša i dobra diskretizacija po debljini graničnog sloja [4] ....................................... 42

Slika 5.7 Mreža između diskova .............................................................................................. 43

Slika 5.8 Mreža između dva diska ........................................................................................... 44



ii

Slika 5.9 Granični uslov brzine na ulazu u mlaznicu turbine .................................................. 45

Slika 5.10 Granični uslov obrtanja diskova ............................................................................. 46

Slika 5.11 Granični uslov atmosferskog pritiska na izlazu iz turbine ...................................... 47

Slika 5.12 Prikaz vrijednosti parametra y+ .............................................................................. 49

Slika 5.13 Prikaz mreža pripremljenih za CFD analize ........................................................... 50

Slika 5.14 Mjerači na vanjskom i unutrašnjem radijusu.......................................................... 53

Slika 5.15 Utjecaj bezdimenzionalnog parametra protoka na efikasnost turbine .................... 55

Slika 5.16 Moment na diskovima i na unutrašnjem djelu statora ............................................ 57

Slika 5.17 Efikasnost vs. bezdimenzionalni parametar protokaQ/ω∙r0

3

sa unutrašnjim zidomstatora kao idealnim ................................................................................................ 58

Slika 5.18 Efikasnost η vs. bezdimenzionalni parametar brzine ω∙r0/v0 ................................ 60

Slika 5.19 Srednja visina neravnina R z .................................................................................... 61

Slika 5.20 Uticaj hrapavosti zidova diskova i statora na efikasnost turbine ............................ 62

Slika 5.21 Uticaj broja diskova na efikasnost turbine.............................................................. 64

Slika 5.22 Raspored brzine fluida između rotora Tesline turbine za parametreQ/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=12; r0/b50;Parametri simulacije 3.;Tabela 8. .............. 65

Slika 5.23 Konture ukupnog pritiska sa iso linijama (Total Presure) na površini diskova, za

parametre simulacije Q/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=12; r0/b50; Broj diskova N=4; Parametri simulacije 3.;Tabela 11. .......................... 66

Slika 5.24 Tangencijalni napon na površini diskova; za parametre simulacije

Q/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=12; r0/b50; Broj diskova N=4; Parametri simulacije 3.;Tabela 11. .......................... 67

Slika 5.25 Raspored brzine na izlazu fluida iz diskova; ; za parametre simulacijeQ/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=12; r0/b50; Broj diskova N=4; Parametri simulacije 3.;Tabela 11. .......................... 68

Slika 5.26 Raspored brzine na izlazu iz diskova; za parametre simulacija

Q/ω∙

r03=0.001;

ω∙

r0/v0=1;

r0/

b=50; Parametri simulacije 3.;Tabela 4. ................. 69



iii

Slika 5.27 Raspored brzine na izlazu iz diskova; za parametre simulacijaQ/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=1; r0/b50; Parametri simulacije 3.;Tabela 4. ............... 70

Slika 5.28 Raspored brzine na izlazu iz diskova; za parametre simulacija

Q/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=12; r0/b50; Parametri simulacije 3.;Tabela 8. ............. 70

Slika 5.29 Putanja fluida na izlazu iz mlaznice; za parametre simulacijeQ/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=12; r0/b=50; Broj diskova N=4; Parametri simulacije 3.;Tabela 11. ............................ 72

Slika 5.30 Linije koje su korišćene za dobijanje profila brzina između diskova duž rotora ... 73

Slika 5.31 Profil brzina između diskova; ; za parametre simulacija

Q/ω∙r03=0.001;ω∙r0/v0=1;r0/b50; Parametri simulacije 3.;Tabela 4. ................ 74

Slika 5.32 Profil radijalne komponente brzine između diskova; za parametre simulacijaQ/ω∙r03=0.001;ω∙r0/v0=1;r0/b50; Parametri simulacije 3.;Tabela 4. ................ 75

Slika 5.33 Profil radijalne komponente brzine između diskova; za parametre simulacijaQ/ω∙r03=0.001;ω∙r0/v0=14;r0/b50; Parametri simulacije 4.;Tabela 8. .............. 76

Slika 5.34 Linija kroz središte rotora korištena za XY Plots.................................................... 77

Slika 5.35 Promjena ukupnog, statičkog i dinamičkog između diskova; za parametresimulacije Q/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=1; r0/b50; Parametri simulacije 3.;Tabela 4.

................................................................................................................................. 77

Slika 5.36 Shematski dijagram koji prikazuje razliku između impulsne i reakcijske turbine []

................................................................................................................................. 78

Slika 5.37 Stepen iskorištenja turbine vs. stepen reaktivnosti turbine ..................................... 78

Slika 5.38 Promjena ukupnog i statičkog pritiska kroz rotor ................................................... 79





iv

Lista tabela

Tabela 1. Koeficijenti k – ε modela turbulencije .................................................................... 36

Tabela 2. Geometrijski parametri rotora sa slike 5.2 (iznad) ................................................... 39

Tabela 3. Poređenje rezultata ................................................................................................... 51

Tabela 4. Parametri izvršenih simulacija za različite vrijednosti parametre protoka Q/(ω∙r03)

................................................................................................................................. 52

Tabela 5. Prikaz rezultata simulacije i proračuna za parametre turbine /∙

0.001;∙/ 1 ; / 50; . 3) ............................................ 54

Tabela 6. Prikaz rezultata simulacije i proračuna za parametre turbine /∙ 0.00025;;∙/ 1 ; / 5 0 ) .................................................................... 56

Tabela 7. Vrijednost moment na diskovima i unutrašnjem djelu statora (slika 5.16) ............ 57

Tabela 8. Parametri simulacija za različite vrijednosti parametra brzine ω∙r0/v0 ................... 59

Tabela 9. Stupnjevi hrapavosti površine i srednje visine neravnina ........................................ 61

Tabela 10. Parametri simulacija za različite vrijednosti hrapavosti R z .................................... 61

Tabela 11. Parametri simulacija za različit broj diskova ......................................................... 63



1

REZIME

Teslina turbina je nekonvencionalna turbomašina sa rotorom sastavljenim od diskova,

a razmjena količine kretanja između fluida i rotora obavlja se dejstvom smicajnih sila izmeđufluida i diskova. Postoji veliki broj radova sa analitičkim i eksperimentalnim rezultatima koji

razmatraju strujanje u Teslinoj turbini. U ovom radu dati su rezultati dobijeni analitički i

eksperimentalnim istraživanje (Rice, Analytical and Experimental Investigation of Multiple-

Disk Turbines, 1965) i rezultati do bijeni numeričkom dinamikom fluida. Optimizacija dizajna

Tesline turbine urađen je korištenjem softverskog paketa za kompjutersku dinamiku fluida

(CFD) Flow Simulation, SolidWorks, Dassault Systemes, 2014. Urađen je veliki broj

numeričkih simulacija strujanja u Teslinoj turbini sa različitim geometrijskim, strujnim i parametrima brzine. Nakon optimiziranja, pokazali smo da efikasnost Tesline turbine je veća

za manje parametre protoka, a najbolja efikasnost od 93 %, postignuta je za parametar protoka

∙ 0.001 i parametra brzine ∙ 1/4.

Ključne riječi: Teslina turbina, numerička dinamika fluida, disk, granični sloj

SUMMARY

Tesla turbine is an unconventional turbomachinery with rotor composed od disks, where

momentum exchange between fluid and rotor is a accomplished with action od shere forces

between fluid and disks. There are a lot of papaers with analytical and experimental results,

that consider flow in Tesla turbine. This paper presents the results obtained by analyticaly and

experimental research by (Rice, Analytical and Experimental Investigation of Multiple-Disk

Turbines, 1965) and results obtained with computational fluid dynamics (CFD). Optimization

of design is done by using Computational Fluid Dynamics (CFD) software package Flow

Simulation, SolidWorks, Dassault Systemes, 2014. A large number of numerical simulations of

flow in Tesla turbine was done with different geometical, velocity, and flow parametars. After

the optimization, we shown that the efficiency of Tesla turbine is larger for smaller flow

parameters, and the best efficiency of 93% was achieved for the flow parameter∙ 0.001

and velocity parameter∙ 1/4.

Key words: Tesla turbine, numerical fluid dynamics, disk, boundary layer



2

1 Uvod – Opis Tesline turbine

Teslina turbina je nekonvencionalna turbomašina s rotorom sastavljenim od diskova,

kod koje se razmjena količine kretanja obavlja djejstvom tangencijalnih sila između fluida idiskova. Kod konvencionalnih turbomašina razmjena količine kretanja između fluida i rotora

obezbjeđuje se lopaticama. Rotor Tesline turbomašine, Slika 1.1 (below), sastavljen je od više

tankih, ravnih, blisko postavljenih paralelnih diskova upravnih na osovinu.

Slika 1.1 Rotor Tesline turbine [1]

Rotor se smješta u blisko postavljeno kućište, da bi formirao hidrauličnu ili gasnu

turbinu, hidrauličnu pumpu ili kompresor. Fluid ulazi u turbinu kroz mlaznicu i usmjerava se

u međuprostor između diskova, približno tangentno na obim rotora, Slika 1.2 (below).



3

Slika 1.2 Tok fluida kroz Teslinu turbinu [2]

Između diskova fluid se kreće po spiralnim putanjama, približavajući se osi obrtanja da

bi napustio rotor kroz otvore na diskovima, a zatim strujeći u aksijalnom pravcu paralelno sa

osovinom napušta turbinu. Pri svom kretanju između diskova fluid djeluje silom trenja na

bočne površine diskova, što za rezultat daje obrtni moment na osovini turbine, pri čemu fluid

izlazi iz turbine sa manjom energijom od one sa kojom je ušao. Kada se pojavio početkom

prošlog stoljeća, ovaj pronalazak nije izazvao veću pažnju s obzirom na mogućnost primjene

u praksi. Međutim u posljednjih nekoliko decenija u nekim specijalnim oblastima javljaju se

zahtjevi k oje konvencijalne turbomašine nisu mogle da ispune, a koje se odnose na rad sa vrlo

viskoznim fluidima, rad sa dvokomponentnim fluidima, izostanak pojave kavitacije u ovakvoj

vrsti turbomašina i druge prednosti. Zbog navedenih prednosti Teslina turbina nalazi primjenu

i tamo gdje ne daje najbolje performanse i koeficijent iskorišćenja.



4

2

Analitička i eksperimantalna istraživanja prema (Rice, Analytical and

Experimental Investigation of Multiple-Disk Turbines, 1965)

Profesor na Arizona State University,Arizona,U.S.A. Warren Rice izvršio je analitička i

eksperimentalna istraživanja Tesline turbine. On je koristio koeficijent trenja kao glavni

parametar koji uzima u obzir viskozni efekat da bi izbjegao opširne i komplikovane NS

jednačine. Rice je povezao tečenje fluida u cijevima sa tečenjem fluida između dva korotirajuća

diska. Za analizu su korištene idealizacije koje podrazumjevaju:

Podrazumjeva se tok bez trenja kroz mlaznicu do prostora između diskova,

Uniforman tok fluida se podrazumjeva na vanjskom radijusu diska,

Aksijalno simetričan,dvodimenzijalan tok se javlja na plohama diska,

Volumen između diskova je ispunjen vodom,

Glatki, paralelni diskovi se rotiraju konstantnom ugaonom brzinom,

Kućište rotora ne ograničava kretanje i nema curenja fluida,

Izlazni tok je uniforman.

Slika 2.1 Koordinatni sistem [3]

Slika 2.1 (above), prikazuje koordinatni sistem korišten za ovu analizu. Rice je razvio

jednačine za kretanje fluida između dva diska na osnovi fluidnog djelića ograničenog čvrstim

diskovima, sa vanjskim radijusom r o, i debljinom b. Sile koje se uzimaju u obzir su sile od



5

pritiska i smičućeg napona dok se masene sile zanemaruju da bi se pojednostavila analiza.

Bezdimenzionalne jednačine kretanja su slijedeće:

∙ 4 ∙ ∙ ∙ 1 2 ∙ ∙ ∙ 0 (2.1)

1 ∙ ∙ 2 1 4 2 1 1 2 ∙ ∙ ∙

0

(2.2)

gdje je:

odnos tangencijalnih brzina

bezdimenzionalna radijalna koordinata

Ω ugaona brzina

v0 je tangencijalna brzina na vanjskom obodu diska

Q je volumni protok za jedno par diskova diskova

pr je pritisak na r koordinati

Jednačina (2.1) opisuje kinetičku prirodu tok kroz turbinu a jednačina (2.2) opisuje

promjenu radijalnog pritiska. Jednačina (2.1) i (2.2) predstavljaju obične diferencijalne

jednačine koje se ne mogu riješiti analitički nego samo nekom od numeričkih metoda za

rješavanje diferencijalnih jednačina ili upotrebom nekog od programa za numeričko rješavanje

kao što su MatCad,MatLab,Mathematica,itd.

Bezdimenzijonalni parametri turbine koji su uključeni u gornje jednačine su:

Koeficijent trenja, f

Odnos širine i visine rotora,



6

Odnos brzina,

Parametar protoka,

∙

Za zadate bezdimenzionalne parametre turbine pomoću programa MatCad v.14, nađena

su rješenja običnih diferencijalnih jednačina (2.1) i (2.2); vrijednosti bezdimenzionalne brzine

y, i promjena pritiska u radijalnom pravcu ∆, su određeni za date bezdimenzionalne

vrijednosti koordinate x.

Karakteristika toka kroz turbinu, Rejnoldsov broj Re, se računa primjenjujući gustinu ρ,

dinamički viskozitet μ, brzinu na obodu v0, i hidraulični prečnik d h=2b.

2 (2.3)

Nakon što se odredi vrijednost Rejnoldsov broj Re, na osnovu apsolutne hrapavosti

površine diskova ε, očitava se vrijednost koeficijenta trenja f sa modijevog dijagrama.

Kompletna promjena pritiskat

p kroz turbinu je određen proširenjem izrazar

p sa

vrijednosti promjene pritiska duž mlaznice n p , izvedenog u općem bezdimenzijalnom obliku

kao:

∆ 12 2 (2.4)

∆

∆

∆

(2.5)

Slijedeći ovo, vrijednost bezdimenzijalnog rada W , je određena koristeći

slijedeću jednačinu:

∙ 1 (2.6)

Stepen iskorištenja η, je određena kao odnos bezdimenzijalnog rada i

bezdimenzijalne ukupne promjene pritiska:



7

∆

(2.7)

Na slici 2.2 data je zavisnost stepena iskorištenja η od bezdimenzionalne koordinate x,

za različite parametre protoka∙.

Slika 2.2 Efikasnosti Tesline turbine za različite bezdimenzionalne parametre protoka

Sa slike 2.2 (above) vidimo sa je stepen iskorištenja veći što je bezdimenzionalni

parametar protoka manji. Drugi parametar od interesa pri analizi Tesline turbine je

bezdimenzionalni odnos brzina . Na slici 2.3 (below) data je zavisnost stepena iskorištenja

od bezdimenzionalne koordinate x, za različite vrijednosti bezdimenzionalnog parametra .



8

Slika 2.3 Efikasnost Tesline turbine za različite bezdimenzionalne parametre brzine

Sa slike 2.3 uočavamo da se najveći stepen iskorištenja postiže kada je vrijednost

bezdimenzinalnog parametra protoka 1.



9

3 Ciljevi CFD analize Tesline turbine

Cilj ovakvih analiza je je optimiziranje dizajna Tesline turbine i time utvrditi uticaj

pojedinih geometrijskih parametara, strujnih parametara i ugaone brzine na efikasnost turbine.

Šezdesetih godina prošlog stoljeća pojavio se veliki broj teorijskih i eksperimentalnih

istraživanja Tesline turbine, od kojih je jedna od najvažnih dat u [12]. U ovom istraživanju

viskozni efekti uzeti su u obzir empirijskim koeficijentom trenja fluida koje povezuje

koeficijent trenja fluida u cijevima sa trenjem fluida između dva diska, što je dovelo do

pojednostavljenja komplikovanih NS jednačina. Promjena pritiska i brzine kroz rotor data je

dvijema običnim diferencijalnim jednačinama, što uz jednostavne granične uslove u mnogome

pojednostavljuje rješenje problema strujanja fluida između dva rotirajuća diska.

Rješenje je parametrizirano koristeći sljedeće parametre: parametar protoka Q/(ωr 03);

odnosa vanjskog i unutrašnjeg radijusa r 0/r i; i parametra brzina v0/(ωr 0), dok su rezultati

prezentovani za fiksan parametar r o/b=50. Istraživanje je pokazalo da efikasnost rotora može

biti visoka, čak i preko 95%. Međutim da bi se postigli tako velika efikasnost rotora, parametar

protoka mora biti što manji, što znači da za veće protoke potrebno je koristiti veći broj diskova.



10

Slika 3.1 Efikasnost Tesline turbine u zavisnosti od parametra protoka i parametra brzine;

rezultati za: r 0/b=50 i f=0.05 1

Iz prethodnog dijagrama vidimo da efikasnost Tesline turbine raste sa smanjenje

parametra protoka. Zbog toga prvo ćemo izvršiti više simulacija sa različitim parametrima

protoka za jedan par diskova, radi uštede u vremenu i računarskim resursima, za to vrijeme

nećemo mijenjati ostale parametre turbine. Nakon toga za parametar protoka za koji smo dobili

najbolju iskoristivost turbine, mijenjati ćemo parametar brzine da bi utvrdili na koji način ono

utiče na efikasnost turbine. Nakon toga postavlja se pitanje na koji način utiče hrapavost površine na efikasnost turbine pošto smo sve prethodne simulacije izvršili sa idealnim

površinama, izvršiti ćemo par simulacija u kojim ćemo varirati hrapavost površine diskova i

odrediti na koji način to utječe na efikasnost turbine.

1 Slika zbog nemogućnosti pristupu orginalnom radu preuzeta iz [3]



11

4

Matematičke osnove CFD metode

4.1 Uvod

Parcijalne diferencijalne

jednačine:

o Nelinearne

o Nema općeg

analitičkog rješenja

Turbulencije:

o Stohastička priroda

Mehanika fluida je teorijsko eksperimentalna znanost. Teorijski pristup se temelji na

analitičkom rješavanju matematičkih modela strujanja fluida. Analitičko rješenje daje

kompletan uvid u fiziku nekog problema, a jednom određeno analitičko rješenje je pogodno za

analizu pojedinih parametara u matematičkom modelu. Pod analitičkim rješenjima

podrazumijevamo i rješenja koja su prikazana razvojem u red specijalnih funkcija (poput

Besselovih funkcija, Čebišljevih polinoma i sl.) ili s pomoću eliptičnog integrala, koja se

računaju numerički, jer takva numerička rješenja možemo odrediti sa željenom tačnošću.

Na žalost većina problema vezanih za strujanje fluida opisana je nelinearnim

parcijalnim diferencijalnim jednačinama, koje nemaju opće analitičko rješenje. To posebnovrijedi za turbulentno strujanje, koje se zbog stohastičke prirode toga strujanja niti ne može

opisati analitički. Npr. analitičko rješenje Navier -Stokesovih jednačina moguće je odrediti

samo za slučaj laminarnog strujanja i to u vrlo ograničenom broju slučajeva. Navier –

Stokesove jednačine koje opisuju strujanje fluida između dva diska, također nelinearne, tako

da ne postoji analitičko rješenje takvih jednačina.

To su osnovni r azlozi što su se problemi mehanike fluida u prošlosti uglavnom rješavali

uz pomoć eksperimentalnog pristupa. Eksperimentalnim pristupom dobiva se ograničen broj

Teorijski

pristup

Računarska

(Numerička)

Dinamika fluida

Eksperimentalni

pristup



12

informacija o nekoj pojavi ( bilo integralnih veličina poput protoka, sile, momenta, snage i sl.

ili podatke o brzini, tlaku, temperaturi i sl. u konačnom broju tačaka područja strujanja). Iz

jednog rezultata mjerenja ne može se zaključivati o uticaju pojedinog parametra, kao što se to

može u slučaju analitičkog rješenja. Naravno, ponavljanjem eksperimenta za različite

kombinacije vrijednosti uticajnih parametara moguće je stvoriti sliku o pojavi.

Razvojem računara stvorili su se uvjeti za numeričko rješavanje matematičkog modela

koji opisuje strujanje fluida, čime se počinje razvijati treća grana mehanike fluida: Računarska

dinamika fluida. Iako se ova grana mehanike fluida temelji na teorijskom pristupu ima puno

sličnosti i s eksperimentalnim pristupom, jer se iz jednog numeričkog rješenja nekog problema

ne može zaključivati o uticaju pojedinih parametara.

Slika 4.1 Procedura pri rješavanju problema numeričkom simulacijom [4]

Svaka simulacija započinje definicijom problema i izborom odgovarajućeg

matematičkog modela. Matematički model je najčešće prikazan parcijalnih diferencijalnih

jednačina. Takav sistem jednačina ima opće rješenje (kad bismo ga znali ono bi sadržavalo



13

određen broj konstanti (funkcija) integracije), a posebno rješenje je definirano početnim i

rubnim uvjetima specifičnim za promatrani problem (početni i rubni uvjeti definiraju funkcije

integracije čineći rješenje jedinstvenim). Naravno kada se radi o komercijalnim programima

tada je matematički model već ugrađen u računarski program, a korisnik putem sučelja može

odabrati podvarijante modela koja odgovara njegovom problemu.

Drugi korak u numeričkoj simulaciji je numerički riješiti postavljeni matematički

model. Numeričko rješavanje sastoji se iz tri koraka. U prvom se diskretizira područje

proračuna ( područje proračuna se podjeli na određen broj manjih volumena, a svakom

volumenu se dodijeli jedan ili više čvorova u kojima će se računati vrijednosti polja fizikalnih

veličina, koja se pojavljuje u jednačinama matematičkog modela). Rezultat diskretizacije

prostora nazivamo geometrijskom mrežom. U nastavku ne definiranoj geometrijskoj mreži potrebno je diskretizirati parcijalne diferencijalne jednačine matematičkog modela,

uvažavajući specifične rubne uvjete. Diskretizaciju jednačina provodi se nekom od metoda

(metodom konačnih volumena, metodom konačnih elemenata, metodom konačnih razlika i sl.).

Rezultat diskretizacije parcijalne diferencijalne jednačine na zadanoj geometrijskoj mreži je

sustav algebarskih jednačina (ako je polazna diferencijalna jednačina linearna dobija se i sistem

linearnih algebarskih jednačina, inače nelineranih). Nelineralni sustav jednačina rješava se

iterativnim postupkom koji u sebi sadrži rješavanje sistem linearnih algebarskih jednačina.

Nakon što je numeričko rješenje dobiveno, slijedi njegova analiza, koja podrazumjeva

prikaz, skalarnih, vektorskih i tenzorskih polja, integracija protoka, sile, momenta, toplinskih

tokova i sl., te dijagramski prikaz željenih veličina. U organizacijskom smislu numerička

simulacija se provodi kroz tri programa: predprocesor, procesor i postprocesor.

Predprocesor je računarski program za generiranje geometrijske mreže. Jasno je da se

pri generiranju mreže treba voditi računa i o rubnim uvjetima. Na primjer poznato je da ugraničnom sloju koji nastaj pri opstrujavanju tijela, postoje veliki gradijenti fizikalnih veličina,

što zahtjeva popunjavanje tog područja manjim volumenima. Ovo je veoma značajno za

numeričku simulaciju Tesline turbine, zbog uskog prostora između diskova, tako da područje

uz diskove treba biti područje gušće podjele mreže. Također veliki gradijenti brzine i pritiska

mogu se očekivati u području izlaska fluida iz mlaznice i ulazak u prostor između diskova, kao

i izlazak fluida iz diskova, tako da na tome području mreža treba biti gušća nego ne nekim

drugim podr učjima. Generiranje geometrijske mreže u geometrijski složenijim

trodimenzionalnim problemima uopće nije trivijalan posao, a samo generiranje mreže čini



14

znatan dio ukupnog vremena za provedbu simulacije. Može se reći da je problematika

generiranja mreže zasebni dio računarske dinamike fluida, i da se danas još uvijek intenzivno

radi na automatskom generatoru geometrijske mreže koja bi na temelju rubova područja

proračuna i zadanih rubnih uvjeta izradio mrežu koja udovoljava svim zahtjevima numeričkog

rješavanja matematičkog modela. Danas postoje i algoritmi koji rade sa adaptivnim mrežama

(mrežama koje se u postupku rješavanja automatski progušćuju u području velikih gradijenata,

odnosno proređuju u područjima gdje se rješenje ne mijenja značajno). Jasno je da u toj

koncepciji generiranja mreže treba biti obavljeno u istom programu koji rješava jednačine

matematičkog modela.

Procesor je program koji numerički rješava željeni matematički model sa zadanim

početnim i rubnim uvjetima. Može biti koncipiran tako da ima fiksnu ugrađeni matematičkimodel (a korisnik putem sučelja bira hoće li koristiti puni model ili neki od njegovih dijelova)

poput komercijalnih programa Fluent, Flow Simulation, ili se temelji na objektivnom

programiranju gdje korisnik praktično slobodno zadaje matematičke model koji će se rješavati

poput programa OpenFoam. Ova druga koncepcija je puno bolja ako se uzme u obzir da će se

razvojem računala naoko različita područja mehanike kontinuuma sve više integrirati u smislu

istovremenog rješavanja strujanja višekomponentnog, višefaznog fluida, uz izmjenu topline,

hemijsku reakciju i promjenu faza i to uz elastičnu granicu, gdje je potrebno računati i poljenaprezanja i deformacije u čvrstoj fazi.

Postprocesor je program koji je u principu opće namjene a služi za vizualizaciju

rezultata proračuna, odnosno za izračunavanje pojedinih integralnih veličina.

4.2

Opći oblik zakona očuvanja fizikalnog svojstva u materijalnom volumenu

Ekstenzivna fizikalna veličina

(koja može biti masa, energija, količina kretanja,

entropija i sl.) se može definisati po jedinici mase (specifično fizikalno svojstvo) /

ili po jedinici volumena /. S obzirom da je masa definirana gustoćom

vrijedi , odakle je Φ .

Općenito zakon očuvanja fizikalnog svojstva se može iskazati riječima: Brzina

promjene neke fizikalne veličine unutar materij alnog volumena jednaka je izvoru i l i ponoru

tog fizikalnog svojstva. Izvor može biti raspodijeljen po prostoru ili po površini materijalnog

volumena (u tom slučaju izvor se prikazuje fluksom vektora kroz površinu, a taj površinski



15

integral primjenom Gaussove formule uvijek se može svesti na volumenski integral). Ako se

sa φ označi specifično fizikalno svojstvo (izraženo po jedinici mase), tada se može napisati:

š

(4.1)

Površinski dio izvorskog člana najčešće je povezan s difuzijskim procesima koji su

posljedica postojanja gradijenta fizikalnog svojstva (npr. provođenje topline kroz granicu

materijalnog volumena zbog postojanja gradijenta temperature). Ako se

označi koeficijent

difuzije, tada se može pisati:

(4.2)

Brzina promjene fizikalnog svojstva unutar materijalnog izvoda, tj. lijevu stranu

jednačine (4.1), može se prikazati i u obliku

(4.3)

Uvrštavanjem izraza (4.2) i (4.3) u izraz (4.1) slijedi integralni oblik zakona očuvanja

za materijalni volumen uz .

{ + } č (4.4)

Ako u gornjoj jednačini smanjimo materijalni volumen do veličine čestice fluida i

podijelimo cijelu jednačinu s diferencijalnim volumenom, dolazimo do diferencijalnog oblika

zakona očuvanja:



16

Γ +

⏟ č (4.5)

4.3

Konvekcijski i difuzijski protoci kroz kontrolnu površinu

Promotrimo sada pobliže karakteristike konvek cijskog i difuzijskog protoka fizikalnog

svojstva kroz elementarnu površinu , kontrolnog volumena prikazanog na slici 4.2

(below). Konvekcijski protoka kroz elementarnu površinu je definiran izrazom:

(4.6)

U kojem označava projekciju brzine na smjer normale, odnosno označava visinu

volumena fluida koji proteče kroz površinu u vremenu (osjenčani volumen na slici 4.2).

Unutar toga volumena sadržaj je određen količinom fizikalnog svojstva, te je prolaskom

osjenčanog volumena kroz površinu pronesena i ta količina fizikalnog svojstva od

kontrolnog volumena prema njegovoj okolini. Protok je po definiciji jednak prenesenoj količini

u jediničnom vremenu, a omjer volumena i vremena čini volumenski protok, a volumenski

protok pomnožen s gustoćom maseni protok. Očito je konvekcijski protok fizikalnog svojstva

razmjeran masenom protok fluida kroz površinu (jačina konvekcije) i vrijednosti fizikalnog

svojstva na površini i pozitivan je kada vektor brzine gleda u smjeru vektora vanjske

normalne, odnosno kada fluid napušta kontrolni volumen. Pozitivni protok fizikalnog svojstva,

dakle, označavaju iznošenje fizikalnog svojstva iz kontrolnog volumena. Ovaj protok je

jednosmjeran i uvijek se odvija u smjeru vektora brzine.



17

Slika 4.2 Konvektivni i difuzijski potok kroz elementarnu površinu dS [4]

Difuzijski protok kroz elementarnu površinu je definiran izrazom

≈ (4.7)

Iz kojeg je jasno da difizijski protok zavisi od derivacije u smjeru normale. Ako se na

normali dvije simetrično smještene točke udalje za

, od kojih je jedna unutar kontrolnog

volumena u kojoj je , a druga izvan (o okolini) u kojoj je , aproksimacijom

usmjerene derivacije dobija se da se difuzijski protok sastoji iz dva dijela: jednog pozitivnog

koji govori o prenosu fizikalnog svojstva iz kontrolnog volumena u okolinu i drugi negativni

koji govori o dotoku fizikalnog svojstva iz kontrolnog volumena u okolinu. Naravno da se oba

protoka događaju istovremeno, a neto protok jednak je njihovoj razlici. Ako je veće od kontrolni volumen će predavati fizikalno svojstva okolini, i obrnuto. Ako je jednako

neće biti difuzijskog protoka. Dakle, za razliku od konvekcijskog protoka koji je

jednosmjeran, možemo uočiti simetrični karakter difuzije po kojem se prenos istovremeno

događa u oba smjera. Odnos veličine / se naziva jačina difuzije i očito je da se izborom

po volji malog uvijek može dobiti po volji velika jačina difuzije.

Dakle za slučaj pozitivne konvekcije (fluid izlazi iz kontrolnog volumena) definirane

kao (gdje je normalna komponenta brzine na kontrolnoj površini) kontrolni volumen

će predavati okolini fizikalno svojstvo konvekcijskim protokom

i difuzijski protok



18

/, te primiti iz okoline fizikalno svojstvo difuzijskim protokom /.

Odnosom jačine konvekcije i jačine difuzije je definiran Pecletov broj

(4.8)

Naravno, ako želimo Pecletov broj koristiti kao kriterij važnosti konvekcijskog i

difuzijskog prijenosa, onda ne možemo veličinu birati prizvoljno. Uzimajući u obzir da se

jačina konvekcije množi s , a jačina difuzije s razlikom , veličina u definiciji

Pecletova broja ćemo tada definirati kao udaljenost na kojoj je razlika istog reda

veličine kao i

. U tom slučaju male vrijednosti Pecletova broja označavaju dominantnost

difuzijskog transporta, a velike vrijednosti dominantnost konvekcijskog transporta.

4.4

Metoda konačnih volumena

Metoda konačnih volumena je poput metode konačnih elemenata integralna metoda

koja se temelji na integriranju konzervativnog oblika transportnih jednačina

Č č č ( = ) ⏟č (4.9)

po konačnim volumenima na koje je podijeljeno područje proračuna. Integral jednačine

(4.9) po konačnim volumenima prema slici 4.3 (below) je

ž ∑ (4.10)



19

Slika 4.3 Dio diskretiziranog područja proračuna [4]

Iz jednačine (4.10) je jasno da je brzina promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar

konačnog volumena razmjerna brzini protoka tog fizikalnog svojstva kroz granicu konačnog

volumena i brzini nastajanja (izvor) i nestajanja (ponor) tog fizikalnog svojstva unutar

konačnog volumena. Protok fizikalnog svojstva je definiran kao pozitivan kad se odvija od

konačnog volumena prema okolini, a minus ispred integrala kazuje da će se uslijed takvog

protoka sadržaj fizikalnog svojstva unutar konačnog volumena smanjivati.

U izrazu (4.10) pojavljuju se volumenski i površinski integrali, koje se mogu

aproksimirati prema integralnom teoremu o srednjoj vrijednosti. Tako bi npr. uz . integral u članu koji označava lokalnu promjenu mogli pisati (uz ∆ ∆

∆∆ (4.11)

gdje je srednja vrijednost fizikalne veličine unutar konačnog volumena. Ako se

pretpostavi da je konačni volumen dovoljno mali, tada se promjena veličine unutar konačnog

volumena može aproksimirati lineranom raspodjelom, tj. prvom potencijom razvoja u Taylorov

red oko vrijednosti u čvoru C, u obliku



20

(4.12)

gdje je

vektor položaja bilo koje tačke unutar kontrolnog volumena. Uvrštavajući

(4.12) u (4.11) slijedi

∆∆ ∆ ⏞∆ ∆∆ ∆ (4.13)

Integral u drugom članu desne jednačine (4.13) je po definiciji umnožak vektora

položaja težišta volumena i volumena ∆. Ako je tačka C težište volumena ∆ drugi član

desne strane izraza (4.13) otpada, pa se zaključuje da će se za slučaj linearne raspodjele unutar ∆ biti . Slično vrijedi i za integral izvorskog člana koji se može aproksimirati

∆ ∆ (4.14)

gdje je srednja vrijednost izvorskog člana unutar volumena ∆.

Površinski integral u izrazu (4.10) označava protok fizikalnog svojstva uslijed

konvekcije i difuzije kroz površinu konačnog volumena. Vektor konvekcijskog toka je

definiran izrazom , a vektor difuzijskog je . Ova dva vektora u općem slučaju nisu

kolinearna, a njihov zbir čini ukupni vektor toka . Protok fizikalnog svojstva doprinosi samo

normalna komponenta vektora toka .

∆ ∆

∆

∆ (4.15)

gdje je srednja vrijednost proizvoda na površini ∆, a srednja vrijednost normalne

derivacije polja na površini ∆. U izrazu na normalnu derivaciju je uobičajeno uvesti

bezdimenzijsku koordinatu ∆ , gdje je ∆ udaljenost čvora C i N prema slici 4.3, a

srednja vrijednost proizvoda aproksimirati proizvodom srednje vrijednosti, pa se može

pisati:



21

∆ ∆ ΔΔ

(4.16)

gdje je ∆ jačina konvekcije, tj. maseni protok fluida kroz površinu ∆, a jačina difuzije. Omjer ∆ ∆ se naziva lokalni Pecletovim brojem, za

razliku od Pecletova broja koji bi se dobio svođenjem polazne diferencijalne jednačine (4.15)

na bezdimenzijski oblik, u kojem bi karakteristična duljina bila definirana kao udaljenost na

kojoj je promjena istog reda veličina kao i karakteristična vrijednost za konvekcijski

transport, te bi tako definirani Pecletov broj služio za ocjenu važnosti pojedinog transporta.

Očito je lokalni Pecletov broj manji što su volumeni sitniji (manji

Δ), čime lokalni uticaj

difuzijskog transporta postaje uticajni. Teorijski gledano u graničnom prijelazu kada ∆ težinuli konvekcija postaje zanemariva, što znači da ostaje uticajni samo članovi s drugom

(najvišom) derivacijom, što zovemo principijelnim dijelom parcijalne diferencijalne jednačine,

a kod ispitivanja karaktera diferencijalne jednačine samo se taj dio analizira. S obzirom da je

u jednačini (4.15) sve poznato osim polja , jačina konvekcije i difuzije u izrazu (4.16) se

mogu izračunati, a jedino su nepoznanice srednje vrijednosti i normalne derivacije

/ na površini

∆. S obzirom da se u numeričkom postupku pamte i računaju samo

čvorne vrijednosti polja i to u glavnim čvorovima, biti će potrebno definirati (aproksimirati)

tražene vrijednosti na stranicama konačnih volumena s pomoću vrijednosti u glavnim

čvorovima, a to se naziva šemom diferencije ili numerička šema. Aproksimacija će biti

najtačnija ako se te vrijednosti definiraju u težištu površine ∆. Ako se izrazi (4.11), (4.14) i

(4.16) uvrste u jednačinu (4.10) slijedi:

∆

= ∆ (4.17)

gdje suma po označava zbrajanje po svih stranica konačnog volumena.

Primjenom neke od šema diferencije, koje koriste samo čvorne vrijednosti i za

aproksimaciju i / , izraz (4.16) se može prikazati u obliku

∆ , (4.18)



22

gdje koeficijent zavisi od primjenjene šeme diferencije, kao što će poslije biti

pokazano. Uvrštavanjem (4.18) u (4.17) dobija se:

∆ ∑ − ∑ − ∆ ili

∆ − ∆

(4.19)

gdje je centralni koeficijent

− (4.20)

U općem slučaju izvorski član može biti nelinearna funkcija od . Ako se jednačina

(4.19) integrira nekom eksplicitnom metodom (Eulerovom ili prediktor korektor metodom)

tada izvorski član ostaje originalno zadan kakav je, a ako se primjenjuje implicitna metoda,

uobičajeno je izvorksi član linearizirati u obliku ∆ , kako bi se dobila linearna

algebarska jednačina, npr. za slučaj potpuno implicitne metode i navedene linearizacijeizvorskog člana, jednačina (4.19) bi izgledala

∆ −∆ ∑ − ∑ − ili

∆∆ −

− ∆∆

(4.21)

− ∆∆ (4.22)

Jednačina (4.21) je linearna algebarska jednačina dobivena diskretizacijom integrala po

konačnom volumenu s centralnim čvorom C. Ako se postupak ponovi za sve konačne

volumene unutar područja proračuna dobiti će se sistem linearnih algebarskih jednačina u

kojem su nepoznate vrijednosti polja

. Broj jednačina je jednak broj konačnih volumena,



23

odnosno broju nepoznatih čvornih vrijednosti polja . Sistem jednačina se može simbolički

zapisati u matričnom obliku

[] [] (4.23)

gdje je [] matrica sistema u kojoj kolone čine koeficijenti i iz jednačina oblika

(4.21), pri čemu su koeficijenti na glavnoj dijagonali, označavaju vektor nepoznatih

(čvornih vrijednosti polja ), a [] vektor desne strane u kojeg ulaze sve poznate veličine

(zadnja dva člana desne strane jednačine (4.21)). Polje mora zadovoljavati rubne uvjete, koje

će trebati ugraditi u diskretizirane jednačine prije njihovog rješavanja. Informacije o rubnim

uvjetima se pretežno ugrađuju kroz desnu stranu sistema jednačina. Naravno ako je izvorski

član bio nelinearna funkcija od , tada će se numerički postupak nužno imati iterativni

karakter, pa će sistem linearnih jednačina trebati riješiti više puta unutar jednog vremenskog

koraka. Naravno, umjesto linearizacije izvorskog člana je moguće koristiti i druge metode za

rješavanje nelinearnih jednačina, poput Newtonove metode.

4.5 Integralni oblici zakona očuvanja za proizvoljni volumen i kontrolni volumen

Polazna osnova za metodu konačnih volumena čine integralni oblici osnovnih zakona,

za volumen koji ne mora biti materijalni. Najčešće se radi o kontrolnom volumenu (koji je

nepromjenjive veličine, položaja i oblika), a može se raditi i o volumenu koji je promjenjiv u

vremenu (npr. promjenjivi volumen u unutrašnjosti cilindra motora pri analizi jednog takta),

kada govorimo o proizvoljnom volumenu.

Razlika između proizvoljnog i materijalnog volumena je u tome što kroz granicu

proizvoljnog volumena postoji protok mase. Ako uočimo u nekom trenutku jedna materijalni

volumen u polju strujanja, tada možemo zamisliti i jedan proizvoljni volumen koji se u tomtrenutku poklapa s materijalnim volumenom. U trenutku poklapanja svi volumenski i

površinski integrali po ta dva volumena su isti (dakle i sadržaj fizikalnog svojstva u ta dva

volumena su isti). S obzirom da se granica materijalnog volumena giba brzinom kretanja

čestica fluida, a proizvoljni volumen brzinom , već u idućem trenutku će se volumeni

razlikovati, pa će i sadržaj fizikalnog svojstva u ta dva volumena biti različit. Iz toga

zaključujemo da će i brzine promjene sadržaja fizikalnih svojstava u ta dva volumena biti

različit. Brzina promjene fizikalnog svojstva u proizvoljnom volumenu definirana je izrazom



24

∫ ∫(

+

)

(4.24)

Dok je prema izrazu (4.3)

(4.25)

S obzirom da se u trenutku poklapanja dvaju volumena površinski i volumenski integrali

ne razlikuju, oduzimanjem gornjih izraza dobija se

{∫ [ ] ∫ (4.26)

Primjenom izraza (4.26) na opći oblik zakona održanja (4.1) i (4.2) dolazi se do

integralnog zakona očuvanja za proizvoljni volumen

(4.27)

Volumenski integral na lijevoj strani jednačine predstavlja brzinu promjene fizikalnog

svojstva unutar proizvoljnog volumena, površinski integrali označavaju konvekcijski i

difuzijski protok fizikalnog svojstva kroz granicu proizvoljnog volumena (konvekcijski protokse odvija relativnom brzinom ), a integral na desnoj strani jednačine doprinos izvora

odnosno ponora fizikalnog svojstva. U gornjoj jednačini se brzina pomicanja površine

proizvoljnog volumena, smatra poznatom, te je moguće izračunati brzinu promjene zapremine

proizvoljnog volumena.



25

(4.28)

Numerički postupa se češće primjenjuje na kontrolni volumen (KV), koji je nepomičan

( 0), pa iz izraz (4.28) slijedi da je zapremina kontrolnog volumena konstantna ., što znači da se operator vremenskog deriviranja ispred integrala po kontrolnom

volumenu slobodnu može uvesti pod integral i primijeniti samo na podintegralnu funkciju. U

tom slučaju jednačina (4.27) prelazi u sljedeći oblik općeg integralnog zakona očuvanja za

kontrolni volumen

ℎ š

(4.29)

Primijetimo da su integralni oblici općeg zakona očuvanja (4.4) za materijalni volumen

i gornji izraz za kontrolni volumen, slični jer se izrazi razlikuju samo za područje integracije.

Ako se u nekom trenutku kontrolni i materijalni volumen poklapaju, vrijednosti integrala će

biti potpuno jednake. Razlika je samo u fizikalnom tumačenju pojedinih članova. Prvi član ugornjoj jednačini označava ukupnu brzinu promjene fizikalnog svojstva unutar kontrolnog

volumena, dok istovjetni član za materijalni volumen označuje samo dio ukupne promjene

sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena nastao usljed vremenske promjene

polja . Isto tako član ∫ označava promjenu fizikalnog svojstva unutar

kontrolnog volumena nastalu usljed protoka fluida kroz kontrolnu površinu (naime fluid

napuštajući kontrolni volumen iznosi sa sobom fizikalno svojstvo i obrnuto pri utjecanju ga

unosi).. Kroz materijalnu površinu nema protoka fluida, a istovjetni član u jednačini zamaterijalni volumen označava dio ukupne promjene fizikalnog svojstva unutar materijalnog

volumena nastao kretanjem materijalnog volumena. Pomicanje volumena, on napušta određeni

prostor, a određeni osvaja. Budući je gustoća fizikalnog svojstva u tim prostorima različita,

dolazi do promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena.

4.6 Modeli diskretizacije

Postoje dva načina za modeliranje fluida: Ojlerov i Lagranžov.



26

4.6.1 Ojlerov model

Ojlerov model diskretizira fluid kad rešetku konačnih volumena. Jednačine očuvanja se

primjenjuju na svaku od ćelija.

Slika 4.4 Metoda konačnih volumena dijeli prostor na kontrolne volumene u čijim središtimase nalaze čvorovi u kojima računamo vrijednosti varijabli [5]

U centru svake ćelije se nalazi čvor u kojem se izračunavaju vrijednosti varijabli (u

nekim slučajevima neke od vrijednosti se postavljaju na stranice ćelija). Ostale vrijednosti se

dobijaju interpolacijom, površinski i volumni integrali se aproksimiraju prikladnim kvadratnim

formulama. Kao rezultat dobiva se algebarska jednačina za svaku ćeliju u kojoj se pojavljuju

neke vrijednosti susjednih ćelija. Ova metoda podržava bilo kakav tip mreže te je prikladna i

za kompleksnu geometriju.

Slika 4.5 Ojlerovski metod diskretizacije fluida [6]

Najčešći pristup je definiranje ćelija odgovarajućom mrežom i određivanjem računskog

čvora u centru ćelije. Moguće je definirati (za strukturne mreže) čvorne lokacije prvo i onda



27

konstruisati ćelije oko njih, tako da stranice ćelija uvijek leže na jednakoj udaljenosti od

susjednih čvorova. Prednost prvog pristupa je da ta čvorna vrijednost predstavlja srednju

vrijednost ćelije s većom tačnošću (drugog reda) od drugog pristupa, s obzirom da je čvor

postavljen na centru ćelije. Prednost drugog pristupa je u tome da aproksimacija derivacije na

stranicama ćelija su tačnije kad su stranice postavljene na polovini između dva čvora. Prva

varijanta je češće korištena u praksi.

Slika 4.6 Dva različita pristupa u podjeli prostora na kontrolne volumene [7]

Za rješavanje sistema jednačina ovom metodom potrebne su aproksimacije površinskih

i volumenskih integrala. U nastavku će biti ukratko opisani načini aproksimacije u 2D prostoru.

Na slici 4.7 (below) prikazana je korištena notacija.

Slika 4.7 Označavanje korišteno pri izvođenju aproksimacija površinskih integrala [7]

Površina ćelije sastoji se od 4 ( u 2D prostoru) ravne stranice, označene sa malim

slovima koja odgovaraju njihovim smjerovima ( engleski nazivi e, w, n, s) u odnosu na čvor P

koji se nalazi u centru ćelije. Tok kroz granice ćelija se tada može zapisati kao suma integralakroz sve četiri stranice:



28

, (4.30)

gdje je

komponenta konvektivnog ili difuzivnog vektora toka u smjeru normale na

stranicu ćelije. Zbog održavanja zakona očuvanja, bitno je da se ćelije ne preklapaju, tj. da

svaka stranica ćelije je unikatna za svaku od dvije ćelije koje leže sa svake njezine strane.

Za računanje površinskog integrala potrebno je poznavati integrant duž cijele površine. Ta informacija nije dostupna, osim u čvorovima (koji se nalaze u centrima ćelije) te je

potrebno aproksimacija koja se odvija u dva koraka:

Integral se aproksimira izrazima sastavljenim od vrijednosti varijabli na jednom ili više

lokacija na stranicama ćelija,

vrijednost na stranicama ćelija se aproksimiraju do vrijednosti u čvorovima (centrima

ćelija).

Najjednostavnija aproksimacija integrala je pravila središnje tačke: integral je aproksimiran

kao produkt integranta u središtu stranice ćelije (što je samo po sebi aproksimacija srednje

vrijednosti površine) i područja stranice ćelije:

(4.31)

Ovakva aproksimacija integrala je drugog reda tačnosti i zahtjeva vrijednost integranta na lokaciji „e“. S obzirom da vrijednosti od nije poznata lokaciji „e“, potrebno ju je dobiti

interpolacijom. Da bi se sačuvala tačnost drugog reda koje donosi pravila središnje tačke,

vrijednosti

treba se izračunati postupkom koji je isto tako barem drugog reda tačnosti.

Drugi način aproksimacije površinskog integrala drugog reda tačnosti u 2D prostoru je

pravilo trapezoida, koje vodi do izraza:

≈ 2 ∙ (4.32)

U tom slučaju potrebno je izraziti tok u kutovima ćelija.



29

Za aproksimaciju višeg reda, tok mora biti računat na više od dvije lokacije.

Aproksimacija četvrtog reda je Simpsonovo pravilo, koje aproksimira integral kao:

≈ 6 ∙ 4 (4.33)

Kao što je uočljivo iz jednačina, za izračunavanje su potrebne tri lokacije. Za dobivanje

vrijednosti na tim lokacijama je potrebno interpolacija višeg reda, barem kubična.

Ovakav pristup je možda najjednostavniji za shvaćanje i programiranje. Svi izrazi koje

je potrebno aproksimirati imaju fizikalno značenje, zbog čega je ta metoda popularna među

inženjerima. Nedostatak metoda je taj što metoda integracije višeg reda je teže razviti u 3D

prostoru.

4.6.2 Lagranžov model

Lagranžov model prikazuje fluid kao skup konačnog broja čestica koje se slobodno

kreću po prostoru, dakle nisu ograničene mrežom. Svaka čestica je opisana svojim položajem,

brzinom te vektorom dobivenim sumiranjem svih sila koje djeluju na nju (na primjer

gravitacija).

Slika 4.8 Lagranžov metod diskretizacije fluida [6]

Modeliranje međudjelovanja tih čestica sa svrhom da se ponašaju poput fluida može se

izvesti na više načina. Najčešće korištena metoda jest smoothed-particle hydrodynamics

(SHP). Ona se temelji na skupu čestica čija svojstva (brzina, sile, pritiska, itd.) se „zaglađuju“



30

određenim funkcijama sa svojstvima susjednih čestica ako su one unutar tzv. „radijusa

zaglađenja“. U simulacijama fluida po uzoru na Navire-Stokesove jednačine izračunavaju se

utjecaji viskoznosti, pritiska, te naravno drugih sila poput gravitacije ili čvrstih objekata.

Slika 4. 8. Primjer lagranžovog sistema, čestice se slobodno kreću prostorom, nisu ograničenemr ežom [8]

Prednost ovog model jeste znatno manja zahtjevnost u smislu memorije i kapaciteta

računara, stoga se ovakva metoda više koristi u interaktivnim simulacijama i video igrama.

Glavni nedostatak je veća „grubost“ simulacije što onda za posljedicu ima manju

uvjerljivost. Rješenje je naravno povećanje količine čestica međutim onda naravno raste i

računarska kompleksnost. Još jedna zadatak je što je očuvanje nestišljivosti fluida teže

izvodivo jer se jednačina za tlak ne rješava na cijelom fluidu kao u ojlerovskom modelu već

samo unutar prije spomenutog „radijusa zaglađenja“. Danas je najzastupljeni metod konačnihvolumena Ojleov metod, dok je Lagranžov metod još uvjek u razvoju, tako da u teksta kada

govorimo o metodu konačnih volumena podrazumjevamo Ojlerov metod.



31

4.7

Matematički model

Slika 4.9 Matematički opis fizikalnog modela [4]

Svaka simulacija se temelji na matematičkom modelu, koji označava matematički opis

fizikalnog modela. Fizikalni model obuhvaća niz pretpostavki (hipoteza) pri aproksimaciji

stvarnog svijeta. Najčešća pretpostavka koja se koristi u opisu strujanja fluida je da je fluid

kontinuum. Kontinuum je zamišljena tvar koja bi u potpunosti ispunjavala prostor i zadržavala

fizikalna svojstva i za slučaj infinitezimalno malog volumena.

Naravno da je to idealizacija koja ne odgovara stvarnom svijetu, jer je materija

diskretne strukture (sastoji se od atoma ili molekula), te se smanjivanjem volumena ne mogu

definirati makroskopska svojstva (poput gustoće, viskoznosti i sl.) u smislu hipoteze

kontinuuma, pa se više ne može koristiti hipoteza o fluidu kao kontinuumu, već se mora

analizirati gibanje pojedinih molekula. Naravno za problem strujanja u kojima je dimenzija

područja strujanja dovoljno velika u odnosu na međumolekularni razmak ( tačnije put koji bi

molekula prevalila između dva sudara) hipoteza kontinuuma je dovoljno dobra aproksimacija

stvarnog svijeta. No i pored hipoteze kontinuuma, potrebno je uvesti još niz pretpostavki poput

homogenosti i izotropnosti fluida.



32

Homogenost podrazumjeva da su fizikalna svojstva ista u svim tačkama fluida. Tako

ćemo npr. zrak smatrati homogenom smjesom plinova jer je udio pojedinih plinova koji čini

zrak jedan te isti u svim tačkama fluida. Izotropnost podrazumjeva da su fizikalna svojstva

fluida ista u svim smjerovima. Zrak smatramo homogenom mješavinom plinova i tretiramo ga

kao jednokomponentni fluid, no za slučaj da je npr. koncentracija kisika i dušika različita u

različitim tačkama, morali bi ga promatrati kao višekomponentni fluid, i modelirati miješanje

tih komponenti. Ako se u strujanju pojavljuje promjena faze to također treba dodatno

modelirati.

Često je moguće zanemariti promjene fizikalnih veličina u nekom od smjerova pa se

problem od trodimenzionalnog (3D) svodi na ravanski ili osnosimetričan (2D), ili pak za

strujanje u cijevima, gdje imamo uzdužnu koordinatu puno veću od poprečnih, čak na jednodimenzijsko (1D). Nadalje strujanje je u stvarnosti uvijek manje ili više nestacionarno

(vremenski promjenjivo), a na onome ko modelira strujanje je da odluči je li moguće uvesti

pretpostavku o stacionarnosti, koje pojednostavljuje problem. Strujanje fluida u prirodi je

najčešće turbulentno (izrazito nestacionarno strujanje sa slučajnim pulsacijama fizikalnih

veličina, pa se polje u turbulentnom strujanju ne mogu opisati analitički), a laminarno strujanje

se u prirodi pojavljuje samo pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja. Pri problemu toka

fluida oko tijela mogu se pojaviti oba vida strujanja (laminarno u blizini tačke zastoja, a uostatku područja turbulentno).

Modeliranje turbulencije je jedno veliko područje samo za sebe, danas postoje različite

razine pristupa (od direktnog rješavanja Navier-Stokesovih jednačina – DNS, preko

modeliranja malih pulsacija i direktnog rješavanja velikih-LES (Large Eddy Simulation), do

modeliranja svih turbulentnih pulsacija uz pomoć pristupa temeljenom na Reynoldsovom

osrednjavanju jednačina – RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes)). U klasi RANS modela

postoji više razina modela od modela u kojima se rješavaju jednačine za turbulentno naprezanje

(RSM – Reynolds stress models) do najjednostavnih modela temeljenih na Bossinesqovoj

hipotezi i modeliranju turbulentne viskozonosti. Turbulentna viskoznosti se modelira s pomoću

dva parametra turbulencije, čija raspodjela može biti definirana s pomoću diferencijalne ili

algebarske jednačine. Najpoznatiji modeli s dvije jednačine su k – ε i k – ω modeli, a s jednom

jednačinom Spalart – Almaras model. U nekim slučajevima kada su inercijeske sile puno veće

od viskoznih (npr. kretanje broda na valovima) moguće je uticaj viskoznosti zanemariti, čime

se pojednostavljuje matematički model. Dakle može se zaključiti da je svaki stvarni problem



33

potrebno fizikalno modelirati, pri čemu je potrebno uzeti u obzir sve značajne fenomene za

promatrani problem. Rezultati fiziklanog modeliranja (uvođenje određenih pretpostavki i

zanemarivanje nebitnih efekata) rezultira matematičkim modelom, koji je za problem strujanja

fluida zapisan sustavom parcijalnih diferencijalnih jednačina.

Pri modeliranju se balansira između jednostavnosti matematičkog modela (da bude što

jednostavnije za riješiti),ali i bolji fizikalni model (koji će što vjer nije opisivati stvarnost, tj.

modelirati sve relevantne fenomene u pojavi). Ako za strujanje Tesline turbine uvedemo

aproksimacije nestišljivog i stacionarnog toka tada ćemo pojednostaviti početne Navier –

Stokesove jednačine u cilindričnim koordinatama na jednostavni oblik:

∙

1

(4.34)

I jednačine kontinuiteta:

0 (4.35)

Prethodne jednačine u potpunosti opisuju stacionaran tok nestišljivog fluida između dva

rotirajuća diska.

4.8 k-ε model turbulencije

U dvodimenzionalnim tankim slojevima sa izraženim gradijentima u profilu

osrednjenih brzina promjena u smjeru strujanja su dovoljno spore da se turbulencija sama

prilagođava lokalnim uvjetima. U slučaju kada konvekcija i difuzija uzrokuju razlike između

produkcije i destrukcije turbulencija, npr. u strujanju sa recirkulacijom, kompaktna algebarska

prezentacija duljine miješanja više nije održiva. Zbog velikih gradijenata koji se mogu

očekivati na izlazu iz mlaznice i interakciji fluid i diskovi izabran je ovaj model turbulencije.

k – ε model se fokusira na mehanizam koji utječe na turbulentnu kinetičku energiju. Standardni

k – ε model sadrži dvije jednačine, jedna za k i jedna za ε , baziranu na relativnim procesima

koji uzrokuju promjene tih varijabli. U tim jednačinama se potpuno odvojeno rješavaju dvijenove varijable: brzina turbulencije izražena kinetičkom energijom turbulencije k i turbulentna



34

dužina izražena količinom disipacije turbulencije ε. Derivacija transportnih jednačina za k i ε

provodi se pod pretpostavkom da je cijelo područje domene modela potpuno turbulentno, a

efekti molekularne viskoznosti su zanemareni te je stoga ovaj model primjenjiv samo za

potpuno turbulentno strujanje. To je polu-empirijski model kod kojeg se izvod jednačina

modela zasniva na fenomenološkim zaključcima i empiriji.

U k-ε modelu, dakle postoje dvije diferencijalne jednačine, a to su jednačine turbulentne

kinetičke energije i jednačine energije disipacije. Prema definiciji, turbulentna kinetička

energija k predstavlja kinetičku energiju pulsirajuće brzine:

12 ∙ ′′ (4.36)

Turbulentna disipacija energije ε uvijek je pozitivna veličina, te je prema definiciji

jednaka:

′′ (4.37)

Tačnu jednačinu za k dobija se skalarnim množenjem transportne jednačine pulsirajuće

brzine sa samom pulsirajućom brzinom:

∙ ′

′ ′′ ′

′ ′ (4.38)

U prethodnoj jednačini mogu se prepoznati tipični članovi općeg zakona očuvanja

fizikalnih svojstava:

L – lokalna promjena k

K – konvektivna promjena k

G – produkcija/destrukcija k putem masenih sila



35

P – produkcija k prenosom energije strujanja

ε – disipacija k u toplinu putem viskoznog (molekularnog) naprezanja

D – molekularna i turbulentna difuzija

Molekularna difuzija označava difuzni transport k putem viskoznosti. Turbulentna

difuzija sastoji se od dva člana, od kojih prvi označava difuziju uslijed kaotičnog miješanja

čestica fluida, a drugi difuziju uslijed pulsirajućeg pritiska. S obzirom da se ε u jednačini (4.39)

pojavljuje s negativnim predznakom, označava ponor, odnosno smanjenje kinetičke energije

turbulencije, tj. brzinu njene pretvorbe u unutarnju energiju. Sada se može napisati modelska

jednačina za k :

(4.39)

Modelska jednačina za ε, za razliku od jednačine za k , se manje oslanja na tačnu

derivaciju utjecajnih članova, a više na koeficijente koji su ovisni o empiri jskim

pretpostavkama:

∙ (4.40)

∙ (4.41)

Veličina ε /k u jednačini (4.40) predstavlja recipročnu vrijednost karakteristične

turbulentne veličine. Ovako jednostavnu zapisanu jednačinu za ε lako je implementirati unutar

CFD koda. Po pitanju prezentacije fizikalnih zbivanja, ona je ograničena, no danas još uvijek

ne postoji univerzalna modifikacija modelske jednačine, koja bi davala prihvatljive rezultate

za sve tipove strujanja. U tabeli 1 prikazani su koeficijenti k – ε modela turbulencije.



36

Tabela 1. Koeficijenti k – ε modela turbulencije 2

Najslabija tačka k – ε modela je ε jednačina, budući da se modeliranje ove jednačine ne

može verificirati mjerenjima.

2 Izvor: Foschio, D. (2012). Utjecaj modela turbulencije na rezultate numerič ke simulacije izgaranja

ugljene prašine. Diplomski rad, Zagreb: Fakultet strojarstva i brodogradnje, Sveučilište u Zagrebu

0.09 1.44 1.92 0.8 -0.373 1 1.3



37

5 CFD analiza strujanja fluida u razmatranoj Teslinoj turbini

5.1 3D model i njegova ograničenja

Dimenzije diskova tokom proračuna kao i ostalih parametara tokom simulacija

određene su na osnovu proračuna, koje je dato u poglavlju 2.

Pošto bi kompletan 3D model turbine sa određenim broj diskova i sa prihvatljivom

rezolucijom mreže zahtijevao velike računarske resurse i dosta vremena, onda simulacije

počinjemo sa pojednostavljenim modelom od samo jednog para diskova. Kod ovog modela

pojednostavili smo diskove, tak o što smo pojednostavili izlazne rupe u blizini osovine, kao što

je to prikazano na slici 5.1 (below).

Slika 5.1 Prikaz stvarnog diska i pojednostavljenog diska korištenog u CFD analizi

a) stvarni disk, b) pojednostavljeni disk

Mlaznica iz koje fluid približno tangentno na obim diskova ulazi u međuprostor

diskova, također je pojednostavljena. U ovoj analizi biti će izostavljen uticaj zazora između

statora i rotora, kao i uticaj gubitaka i pada pritiska u interakciju fluida pri izlasku iz mlaznice

sa obodom diska. Na slici 5.2 (below) prikazan je model sa jednim parom diskova koji je

korišten u CFD analizi.



38

Slika 5.2 Prikaz Tesline turbine sa jednim parom diskova

Tokom analize nisu mijenjani geometrijske parametre rotora kao što su: vanjski radijus, unutrašnj radijus , razmaka između diskova . U slijedećoj tabeli 2.2 prikazani su

geometrijski parametri rotora.

.



39

Tabela 2. Geometrijski parametri rotora sa slike 5.2 (above)

Parametri rotora Dimenzija [mm]

Vanjski radijus

100

Unutrašnji radijus 25

Razmak između diskova b 2

Geometrijski parametri

/ 50

/ 0.25

5.2

Numerička mreža

U pravilu se diskretizacijom područja proračuna formiraju konačni volumeni koji se

međusobno dodiruju (ne preklapaju se) i u potpunosti ispunjavaju područje proračuna. Skup

konačnih volumena se još naziva i geometrijskom mrežom. Geometrijska mreža može bit i

struktuirana, ili nestrukturirana. Položaj svakog volumena u području proračuna je opisan

parom indeksa (u trodimenzionalnoj situaciji su potrebna po tri indeksa). U nestrukturiranim

mrežama ne postoji pravilo za numerisanje čvorova, pa treba voditi računa koji čvor je kojem

susjedni, što komplicira programiranje metode. Metoda konačnih volumena je tačnija na

strukturiranim mrežama nego na nestrukturiranim (za isti broj volumena) te kad god je moguće

treba koristiti strukturirane mreže. Osnovni nedostatak strukturiranih mreža je da ne dopuštaju

lokalno usitnjavanje mreže, a ne postoji automatski generator mreže za složene geometrije, kao

što je slučaj s nestrukturiranim mrežama.



40

Slika 5.3 Pristup formiranju i vrste geometrijski mreža u 2D situaciji [4]

Temeljem opisa metode konačnih volumena, može se reći da bi idealna geometrijskamreža trebala imati slijedeća svojstva:

Čvorovi bi trebali biti u težištu konačnih volumena za potrebe što tačnije aproksimacije

volumenskih integrala

Spojnica čvorova treba probadati stranice konačnog volumena u njenom težištu, za

potrebe što tačnije aproksimacije površinskih integrala.

Slika 5.4 Dobra i loša diskretizacija unutar graničnog sloja [4]

Težište stranica bi trebalo biti na polovini spojnice susjednih čvorova, za potrebe što

tačnije interpolacije



41

Spojnica bi trebala biti okomita na stranicu konačnog volumena, jer se tada difuzijski

protok meže modelirati bez potrebe za interpolacijom gradijenata iz centralnih čvorova

na stranicu konačnog volumena.

Posebno, prvi čvor do granice područja proračuna treba ležati na okomici na granicu povučenu iz težišta rubne stranice, zbog tačnije ugradnje rubnih uvjeta.

Naravno da sve ove uvjete zadovoljavaju samo mreže sastavljene iz elemenata

pravilnog oblika (npr. kvadrata u 2D ili kocke u 3D), u mrežama koje opisuju složeniju

geometriju, nikad nisu zadovoljeni svi nabrojani uvjeti. Pošto je u programu Flow

Simulation generiranje mreže polu automatski ne možemo uticati na sve navedene uvjete, ali

za simulaciju Tesline turbine generiranje mreže uz same diskove je od velike važnosti zbog

uticaja graničnog sloja.

Slika 5.5 Šematski prikaz strukture graničnog sloja [4]

Unutarnji dio graničnog sloja, koji uključuje viskozni podsloj, prijelazni sloj i inercijski

podsloj, zauzima 10 do 15% debljine graničnog sloja. U viskoznom podsloju se može

zanemariti turbulentna viskoznost, a profil brzine je linearan, dok se u inercijskom podsloju

može zanemariti molekularna viskoznost, a profil brzine slijedi logaritmski zakon. Pri visokim

vrijednostima Reynoldsova broja uz tijelo se formira granični sloj unutar kojeg postoje veliki

gradijenti, i gdje će mreža biti gusta. Što je Reynoldsov broj veći granični sloj će biti tanji, pa

će geometrijska mreža ovisiti o Reynoldsovu broju. Pri analizi strujanja tipa graničnog sloja,

neće se moći izbjeći upotreba izduženih elemenata kao što je to prikazano ispod na slici 5.6

(below) mreže između dva diska, jer je granični sloj tanak a dugačak. Jasno je da maksimalna



42

duljina konačnog volumena u mnogome zavisi od zakrivljenosti stijenke. Što je stijenka

zakrivljenija, to će konačni volumeni trebati biti manji da bi spojnice između dva susjedna

volumena prolazio što bliže težištu stranica, kao što je to prikazano na slici 5.4 (na stranici 40)

kao kriteriji „vidljivosti“ čvora. Pošto je geometrija Tesline turbine sastoji od ravnih površina

onda konačni volumeni u blizini diskova mogu biti duži jer neće narušavati kriteriji

„vidljivosti“ čvora.

Po debljini graničnog sloja treba smjestiti dovoljan broj volumena, da se dobro opišu

gradijenti veličina, a za područje izvan graničnog sloja, gdje su gradijenti manji, mogu se

koristiti veći volumeni. Međutim prelaz s malih na velike volumene treba biti kontinuiran da

bi se faktor linearne interpolacije uvijek bio blizu vrijednosti 0.5, kao što je to prikazano na

slici 5.6 (below).

Slika 5.6 Loša i dobra diskretizacija po debljini graničnog sloja [4]

Mreža između diskova je napravljena tako da je što je to više moguće ispoštovana gore

navedena teorijska razmatranja povoljnih i negativnih faktora diskretizacije prostora. Između

diskova je postavljeno dovoljan broj konačnih volumena, koji su gušći i uži uz čvrstu granicu

diska radi očekivanih većih gradijenata u graničnom podsloju. Da bi se efekti u graničnom

sloju Tesline turbine za slučaj turbulentnog toka, a većinom je tok između diskova turbulentnog

karaktera, pravilno tretirao pri korištenju standardnog k-ε model, parametar + u blizini zida

diskova mora ispunjavati uslov + < 5 (Haroutunian i Engelman (1991), citirano prema [9])



43

Slika 5.7 Mreža između diskova

Također je korištena bolja podjela mreže na obodu diskova, gdje se također može

očekivati veći gradijenti pri izlazu fluida iz mlaznice i ulazak u prostor između diskova. Mreža

na izlazu iz diskova, također je finija radi promjena koje se mogu očekivati pri izlasku fluida

iz diskova i promjene smjera toka fluid, gdje fluid počinje strujati u aksijalno pravcu i napuštati

turbinu.



44

Slika 5.8 Mreža između dva diska

5.3 Granični uslovi

5.3.1

Granični uslov na ulazu u turbinu

Granični uslovi se postavljaju pomoću alatke Boundary Conditions. Unutar

Boundary Conditions, pod Faces to Apply the Boundary Condition odabrana je ulazna

površina mlaznice, pod opcijom Flow Openings označeno je Inlet Velocity. Pod opcijom

Flow Parameters označeno je Normal to Face gdje je odabrana vrijednost brzine normalne

na ulaznu površinu mlaznice. Pod opcijom Turbulence Parameters označena je vrsta

turbulentnog modela kao Turbulent Energy and Dissipation.



45

Slika 5.9 Granični uslov brzine na ulazu u mlaznicu turbine

5.3.2 Granični uslov na površinama diskova

Unutar opcije Boundary Conditions, pod Faces to Apply the Boundary

Condition označene su unutrašnje površine diskova koje su u kontaktu sa fluidom, slika 5.10

(below), pod Wall označeno je Real Wall , pod Wall Motion odabrana je opcija

Angular Velocity i izabrana vrijednost ugaone brzine od 100 rad/s koja u svim simulacijama

ostala ista. Postavljanjem graničnog uslova obrtanja diskova na ovaj način definisali smo

tangencijalnu brzinu fluida na površini diskova.



46

Slika 5.10 Granični uslov obrtanja diskova

5.3.3 Granični uslov na izlazu iz turbine

Unutar opcije Boundary Conditions, pod Faces to Apply the Boundary

Condition, označena je izlazna površina diskova, slika 5.11, pod Pressure Openings

odabran je statički pritisak sa referentnom vrijednošću od 101 325 Pa.



47

Slika 5.11 Granični uslov atmosferskog pritiska na izlazu iz turbine

5.4 Optimizacija mreže

Prethodno smo spomenuli bezdimenzionalni koeficijent udaljenosti zida i njegovu

važnost za ispravno tretiranje graničnog sloja uz diskove a samim tim i ispravnosti simulacije.

Bezdimenzionalni parametar udaljenosti zida y+ za granični sloj može se definisati na slijedeći

način:

≡ ∗ (5.1)



48

Gdje je ∗ brzina trenja uz zid, y udaljenost do najbližeg zida, je gustina fluida,

dinamički viskozitet fluida. Karakteristična brzina, nazvan brzina trenja ∗, može se definisati

na slijedeći način:

∗ ≡ √ (5.2)

Gdje je i , tangencijalni napon i gustina fluida uz zid, respektivno.

Pošto FlowSimulation nema parametar y+, ali ima sve parametre koji figurišu u

prethodne dvije formule, tako da je jedno od rješenja napraviti takav parametar u inženjerskoj

bazi podataka ili izbaciti sve parametra u Excel i onda u kombinacijom prethodne dvije formule

izračunati parametar y+. U našem slučaju smo se odlučili za prvu varijantu i definirali novi

parametar pomoću opcije FlowSimulation – Tools – Engineering Database – Custom-

Visualization Parameters

Parametar y+ smo vizualizirali tako smo povukli crtu uz samu površinu diska a onda

pomoću opcije XY Plot označili novo kreirani parametar y+ i rezultate prebacili u Excel .

Vrijednosti parametra uz samu površinu diskova ne smije prelaziti vrijednosti

+ < 5 prema

preporukama s ciljem ispravnoga tretiranja graničnog sloja a samim time i ispravne simulacije.

Na slici 5.12 prikazana je vrijednost parametra y+ za parametre simulacije 3. (tabela 4.).



49

¸¸

Slika 5.12 Prikaz vrijednosti parametra y+

Sa slike 5.12 (above) vidi se da vrijednost parametra y+ ne prelazi vrijednost 5, što je i

zahtjev koji treba biti ispunjen za pravilno tretiranje graničnog podsloja. Također vrijednost

parametra y+ je veća na izlazu iz mlaznice gdje je brzina fluida veća, i na izlazu fluida iz

diskova gdje dolazi do promjene pravca strujanja fluida i većih turbulencija.

Također je izvršena i simulacija sa većim brojem elemenata i sa manjim brojem

elemenata. Nakon toga su rezultati tih simulacija uspoređeni pomoću opcije FlowSimulation

– Results – Compare... Mreže koje smo poredili su prikazane na slici 5.13 (below).



50

Slika 5.13 Prikaz mreža pripremljenih za CFD analize

a) mreža sa 1 116 061 kontrolnih volumena, b) mreža sa 514 271 kontrolnih volumena

Mrežu između diskova nismo mijenjali i ona izgleda identično i za model sa

kvalitetnijom mrežom i sa slabijom mrežom a prikazana je slici 5.7 (na stranici 43), jer smo

prethodno utvrdili da ta mreža zadovoljava kvalitetu u pogledu zahtjeva za parametrom y+

odnosno dobro pokrivaju dešavanja u graničnom podsloju koji je od izuzetne važnosti zbog

velikih gradijenata u samom graničnom sloju. Tako da nam ostaje samo da utvrdimo da li

kvalitetnija mreža a koju smo dobili povećanjem fluidnih elemenata u x i y pravcu utječe na

rezultate simulacije. U tabeli ispod prikazani su rezultati tih simulacija.

5.5

Rezultati CFD analiza

U tabeli 3. dat je pregled CFD analize turbina sa različitim brojem konačnih volumena,

s ciljem utvrđivanja razlike između rezultata a samim tim i optimalnog broja elemenata.



51

Tabela 3. Poređenje rezultata

Surface Average Goal (Value)

Turbina

Q/(ωr₀ᶟ)=0.001 sa

1.116.061 fluidnih

elemenata

Turbina

Q/(ωr₀ᶟ)=0.001 sa

514.271 fluidnih

elemenataPritisak na ulazu u mlaznicu [Pa] 227628.5282 229471.920

Volumni protok na ulazu u mlaznicu [m^3/s] 0.0001 0.000

Brzina na ulazu u mlaznicu [m/s] 10 1

Pritisak na obodu diska [Pa] 195994.8475 197501.07

Brzina na obodu diska 9.185590706 8.97911926

Pritisak na unutršnjem radijus diska [Pa] 103270.7162 103292.633

Brzina na unutrašnjem radijus diska [m/s] 5.998378407 5.88253110

Pritiska na izlazu iz turbine [Pa] 101285.4379 101284.88

Volumni protok na izlazu iz turbine [m^3/s] -9.99997E-05 -0.00010000

Brzina na izlazu iz turbine [m/s] 0.7292126 0.7475862

Moment na diskovima [N*m] 0.06605489 0.06851846

Pad pritiska kroz turbinu [Pa] 126343.0902 128187.037Pad pritiska kroz rotor [Pa] 92724.13132 94208.4426

Efikasnost [ ] 0.524099436 0.53582596

Iz tabele 3. vidimo da se rezultati sa modelom od 514. 271 fluidnih elemenata i modelom

sa 1.116.061 fluidnih elemenata, što je otprilike duplo veći broj fluidnih elemenata, me

razlikuju puno što vodi do zaključka da je daljnje povećanje kvalitete mreže nije potrebno. Sve

ostale simulacije za različite parametre /∙, urađene su sa istom kvalitetom mreže i

otprilike svi modeli su imali oko 500.000 fluidnih elemenata.

5.6 Uticaj bezdimenzionalnog parametra protoka /∙ na efikasnost turbine

Kao prvi parametar od interesa koji je praćen tokom simulacija je bezdimenzionalni

parametar protoka definisan slijedećim izrazom:

/∙ (5.3)

Gdje je:

Q – protok kroz turbinu;

ω – ugaona brzina obrtanja diskova;

– vanjski poluprečnik diska.

Prema slici 3.1 (na stranici 10) vidimo da efikasnost turbine je veća što je

bezdimenzonalni koeficijent protoka izraz (5.3) manji, zbog toga je prvo izvršeno višesimulacija kod kojih smo mijenjali parametar protoka. Geometrijske karakteristike kao što su



52

vanjski radijus , razmak između diskova b, unutrašnji radijus , ugaona brzina obrtanja

diskova ω, ostali su isti tokom simulacija kao u tabeli 4.. Parametar protoka je mijenjan tako

što smo mijenjali površinu poprečnog presjeka mlaznice, s tima da je širina mlaznice ista kao

razmak između diskova

i ona je ostala nepromijenjena tokom simulacija. Na taj način nismo

uzeli u obzir tokom simulacija interakciju fluida pri izlasku iz mlaznice sa obodom diskova.

Tabela 4. Parametri izvršenih simulacija za različite vrijednosti parametre protoka Q/(ω∙r 03 )

Simulacijabr.

Parametar protoka/∙

Parametar

brzine ∙ /

Odnos/

Vanjski

radijus Ugaona brzina

obrtanjadiskova /

Površinamlaznice

A[mm2] (širinax dužina)

Odnos vanjskog iunutrašnjeg

radijusa/

1. 0.00025 1 50 0.1 100 2.5 (2 x 1.25) 0.25

2. 0.0005 1 50 0.1 100 5 (2 x 2.5) 0.25

3. 0.001 1 50 0.1 100 10 (2 x 5) 0.25

4. 0.002 1 50 0.1 100 20 (2 x 10) 0.25

5. 0.003 1 50 0.1 100 30 (2 x 15) 0.25

Prvo će se uporediti rezultate simulacije za jedna parametar protoka npr. za parametar

Q (ω∙r 03 )⁄ =0.001 sa parametrima koje smo dobili proračunom. Za tu svrhu pratit ćemo brzinu

i pritisak na ulazu u turbinu, na obodu diska, na unutrašnjem radijusu i moment na diskovima.

Da bismo odredili parametre na obodu diska i unutrašnjem radijus diskova postavili smo

mjerače na ta mjesta kao što je to prikazano na slici 5.13 (na stranici 50).



53

Slika 5.14 Mjerači na vanjskom i unutrašnjem radijusu

U tabeli 5. prikazani su rezultati numeričke analize i proračuna za parametre simulacije

pod brojem 3.



54

Tabela 5. Prikaz rezultata simulacije i proračuna za parametre turbine ∙ 0.001; ∙ 1; 50; . 3 )

CFD Analiza Proračun Razlika

Surface Average Goal Unit Value

Pritisak na ulazu u mlaznicu [Pa] 229471.9207

Pritisak na obodu diska [Pa] 197501.076

Pritisak na unutrašnjem radijusu diska [Pa] 103292.6333

Pritisak na izlazu iz turbine [Pa] 101284.883

Volumni protok na ulazu u mlaznicu [m 3/s] 0.0001

Volumni protok na izlazu iz turbine [m 3/s] -0.000100003

Brzina na ulazu u mlaznicu [m/s] 10

Brzina na obodu diska [m/s] 8.979119261

Brzina na unutrašnjem radijusu [m/s] 5.882531108 6.08 0.197469

Brzina na izlazu iz turbine [m/s] 0.74758621

Moment na diskovima [N*m] 0.068518469 0.085 0.016482Pad pritiska kroz turbinu [Pa] 128187.0378 136900 8712.962

Pad pritiska kroz rotor [Pa] 94208.44266 87000 7208.443

Efikasnost [ ] 0.535825968 0.618 0.082174

Iz tabele 5. se vidi da rezultati koje smo dobili simulacijom i proračunom dosta slični,

tako rezultati pada pritiska kroz turbinu i rotor se razlikuju u manje od 10 %, brzina na izlazu

iz diskova simulacijom iznosi 5.88 m/s dok proračunom iznosi 6.08 m/s, moment na diskovima

su također slični. Nakon što smo detaljno prikazali rezultate za parametre simulacije 3. (tabela

4.) i uporedili ih sa onim dobijenim proračunom, na narednoj slici 5.15 prikazati ćemo uticaj promjene parametra Q (ω∙r 0

3 )⁄ na efikasnost.



55

Slika 5.15 Utjecaj bezdimenzionalnog parametra protoka na efikasnost turbine

Sa slike 5.15 vidimo da rezultati numeričkog proračuna dobro prate rezultate dobijene

proračunom, ali samo do određene kritične vrijednosti parametra protoka Q (ω∙r 03 )⁄ , gdje

daljnje smanjenje parametra ne vodi povećanju efikasnosti kako je to prikazano na slici 3.1 (na

stranici 10). Da bismo bolje analizirali ove rezultate prikažimo rezultate simulacije npr. za

parametar Q (ω∙r 03 )⁄ =0.00025 u slijedećoj tabeli 6. i rezultate koje dobijemo proračunom.



56

Tabela 6. Prikaz rezultata simulacije i proračuna za parametre turbine ∙ 0.00025; ∙ 1; 50 )

Surface Average Goal Name Unit CFD Analiza Proračun

Pritiska na ulazu u turbinu [Pa] 195621.5991

Pritiska na obodu diska [Pa] 156866.4215

Pritiska na unutrašnjem radijusu diska [Pa] 101668.5868

Pritiska na izlazu iz turbine [Pa] 101314.4383

Volumni protok na ulazu [m 3/s] 2.5E-05

Maseni protok na ulazu [kg/s] 0.024939043

Volumni protok na izlazu [m 3/s] -2.50012E-05

Brzina na ulazu u turbinu [m/s] 10 10


Brzina na unutrašnjem radijus diska [m/s] 2.722409391 4.2

Brzina na izalzu iz turbine [m/s] 0.314871131

Moment na diskovima [N*m] 0.004430556 0.022

Surface Bulk Average Goal Name

Brzina na ulazu u turbinu [m/s] 10


Brzina na unutrašnjem radijus diska [m/s] 2.739906197

Brzina na izlazu iz turbine [m/s] 0.409810206

Equation Goal Name

Pad pritiska kroz turbinu [Pa] 94307.16081 114600

Pad pritiska kroz rotor [Pa] 55197.8347 64740

Efikasnost [ ] 0.19 0.78

Iz tabele 6. vidimo da se rezultati najviše razlikuju u momentu, dok su rezultati par

pritiska kroz turbinu i rotor kao i brzine na unutrašnjem radijusu diska (na izlazi fluida iz rotora)

poprilično odgovaraju onima u proračunu. Ako znamo da u Ojlerovoj jednačini za moment

koja je također korištena u proračunu za izračunavanje momenta figuriraju maseni protok i

proizvod vanjskog radijusu i brzine na ulazu u turbinu i unutrašnjeg radijusa i brzine na izlazu

iz rotora:

∙ ∙ ∙ (5.4)

a ti parametri se ne razlikuju puno u rezultatima koje smo dobili proračunom i CFD

analizom, postavlja se onda pitanje otkud tolika razlika u moment na diskovima. Ako

upotrebimo CFD rezultate iz tabele 6. i uvrstimo ih u jednačinu (5.4) dobijamo:

0.02494∙ 10∙0.12.72∙0.025 0.023 (5.5)



57

Iz izraza (5.5) vidimo da je moment koji smo dobili puno bliže momentu koji trebamo

dobiti proračunom. Ako označimo u programu Flow Simulation pomoću alatke Surface

Parameters umjesto diskova označimo i unutrašnji dio statora kako je to prikazano na slici 5.16

(below).

Slika 5.16 Moment na diskovima i na unutrašnjem djelu statora

I označimo kao parametar moment dobijamo slijedeću vrijednost:

Tabela 7. Vrijednost moment na diskovima i unutrašnjem djelu statora slika 5.16 (above)

Iz tabele 7. vidimo da je vrijednost momenta skoro identična izrazu (5.5) iz čega

zaključujemo da proračunom nije uzet u obzir gubitak koji se dešava interakcijom fluida sa

unutrašnjim dijelom statora zbog čega tolika razlika u momentima dobijenim proračunom i

CFD analizom. Taj gubitak je upravo veći za manje vrijednosti parametre Q (ω∙r 0

3 )

⁄, što i jeste

logično jer je tada mlaznica uža, pa zbog toga i onaj nagli pad efikasnosti dobijen CFD

Integral parameters

Parameter Value X-component Y-component Z-component Surface Area [m 2]

Torque [N*m] 0.023079073 -0.000381701 -0.00106448 0.023051351 0.060387093



58

analizom sa slike 5.15 (na stranici 55) u odnosu na proračun. Ako sada izvršimo analize

podrazumijevajući da je taj unutrašnji zid statora idealan zid, što znači da na njemu neće biti

gubitaka momenta dobit ćemo slijedeće rezultate.

Slika 5.17 Efikasnost vs. bezdimenzionalni parametar protoka Q (ω∙r 03 )⁄ sa unutrašnjim

zidom statora kao idealnim

Sa slike 5.17 (above) vidimo da je sličnost rezultata, sada kada unutrašnji zid statora

smatramo idealnim, dosta velika i rezultati proračuna prate rezultate CFD analize. iz toga

zaključujemo da u proračunu nisu uzeti u razmatranje gubici u interakciji fluida sa unutrašnjim

zidom statora, a ti gubici u stvarnoj turbini mogu biti još i veći jer u ovoj analizi n ije uzeto u

razmatranje postojanje zazora između statora i rotora.

5.7 Uticaj bezdimenzionalnog parametra brzine ω∙r 0 v0⁄ na efikasnost turbine

Drugi parametar od interesa kojeg smo pratili tokom simulacija je bezdimenzionalni

parametar protoka i njegov uticaj na efikasnosti turbine:

∙ ⁄ ...(5.6)

gdje je:

ω – ugaona brzina obrtanja diskova

– vanjski poluprečnik diska

– brzina na ulazu u mlaznice.



59

Tokom simulacija mijenjali smo bezdimenzionalni parametar brzine (ω∙r 0 ) v0⁄ za više

različitih parametara protoka Q(ω∙r 03 ) i pratili kako se mijenja efikasnosti turbine. U slijedećoj

tabeli 8. dati su svi parametri od interesa za izvršene simulacija.

Tabela 8. Parametri simulacija za različite vrijednosti parametra brzine (ω∙r 0 )/v0

Na slici 5.18 (below) dati su rezultati simulacija iz prethodne tabele 8.

Simulacijabr.

Parametar

protoka/∙

Parametar

brzine ∙ /

Odnos/

Vanjski

radijus

Ugaona

brzina

obrtanja

diskova / Površinamlaznice

A[mm2] (širinax dužina)

Odnos

vanjskog i

unutrašnjegradijusa/

1. 0.0005 1 50 0.1 100 5 (2 x 2.5) 0.25

2. 0.0005 ½ 50 0.1 100 5 (2 x 1.25) 0.25

2. 0.001 1 50 0.1 100 10 (2 x 5) 0.25

3. 0.001 ½ 50 0.1 100 5 (2 x 2.5) 0.25

4. 0.001 ¼ 50 0.1 100 2.5 (2 x 1.25) 0.25

5. 0.002 1 50 0.1 100 20 (2 x 10) 0.25

6. 0.002 ½ 50 0.1 100 10 (2 x 5) 0.25

7. 0.002 ¼ 50 0.1 100 5 (2 x 2.5) 0.25

8. 0.002 ⅛ 50 0.1 100 2.5 (2 x 1.25) 0.25



60

Slika 5.18 Efikasnost η vs. bezdimenzionalni parametar brzine (ω∙r 0 )/v0

Sa slike 5.18 se da zaključiti da je efikasnost najveća za vrijednosti bezdimenzionalnog

parametra (ω∙r 0 )/v0 1/4, što znači da naše simulacije Tesline turbine pokazuju da se najbolja

efikasnost postiže ne za vrijednost bezdimenzionalnog parametra protoka (ω∙r 0 )/v0 1, kako

to pokazuje proračun, već za vrijednost (ω∙r 0 )/v0 1/4. Razlog tome može biti što proračun

ne uzima u obzir određene gubitke kao što smo to pokazali na parametru protoka, gdje rezultati

simulacija i proračuna skoro poklapaju ali za slučaj kada smo zanemarili gubitke u interakciji

fluida sa unutrašnjim zidom statora, odnosno kada smo taj zid smatrali idealnim.

5.8 Utjecaj hrapavosti diskova na efikasnost turbine

Sve simulacije dosada smo radili sa pretpostavkom idealno glatkih zidova turbine sa

parametrom hrapavosti površine R z =0. Postavlja se pitanje kako promjena hrapavosti zidova

turbine utiče na efikasnost turbine. Za tu svrhu izvršiti ćemo par simulacija gdje ćemo za fiksne

ostale parametre turbine mijenjati parametra hrapavosti površine R z . U programu

FlowSimulation hrapavost površine je definisana parametrom srednje visine neravnine R z , koja

predstavlja razliku srednjih aritmetičkih vrijednosti visina pet najviših i pet najnižih tačaka

profila na referentnoj dužini l.



61

Slika 5.19 Srednja visina neravnina R z 3

∑ −∑ || ...(5.7)

U slijedećoj tabeli 9. dati su stupnjevi hrapavosti površina.

Tabela 9. Stupnjevi hrapavosti površine i srednje visine neravnina

Stupanj

hrapavosti N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12

R z [μm] 0.1 0.2 0.4 0.8 1.6 3.2 6.3 12.5 25 50 100 200

Za naše simulacija odabrali smo parametre srednje visine neravnina R z koje odgovaraju

kvaliteti površina N5 i N10. Svi parametri od interesa u simulacijama sa različitimvrijednostima hrapavosti površina dati su u narednoj tabeli 10.

Tabela 10. Parametri simulacija za različite vrijednosti hrapavosti R z

Na slici 5.20 (below) dati su rezultati za simulacije u prethodnoj tabeli 10.

3 Preuzeto iz helpa programa SolidWorsk 2014.

Simulacijabr. Parametar

protoka ∙

Parametar

brzine ∙

Odnos

Vanjski

radijus

Ugaona

brzina

obrtanja

diskova

Površinamlaznice

A[mm2]

(širina x

dužina)

Odnos

R z

[μm]

1. 0.002 ¼ 50 0.1 100 5 (2 x 2.5) 0.25 0

2. 0.002 ¼ 50 0.1 100 5 (2 x 2.5) 0.25 1.6

3. 0.002 ¼ 50 0.1 100 5 (2 x 2.5) 0.25 50



62

Slika 5.20 Uticaj hrapavosti zidova diskova i statora na efikasnost turbine

Sa slike 5.20 (above) se vidi da sa povećanjem hrapavosti efikasnost turbine se

smanjuje, ali taj uticaj nije značajan za manje vrijednosti hrapavosti R z što se vidi sa početka

dijagrama gdje za vrijednosti R z koja odgovara kvaliteti površine N5 dobijamo skoro istu

efikasnost kao i u slučaju kada smo zidove smatrali idealno glatkim. Daljnje smanjenje

kvalitete površine na N10 dovodi do značajnog smanjenja efikasnosti, što vodi do zaključka da

pri konstrukciju Tesline turbine ili pumpe treba težiti što boljoj kvaliteti obrađenih površina što

se pogotovo odnosi na kvalitetu površina diskova.

5.9 Utjecaj broja diskova na efikasnost turbine

Do sada smo vidjeli kako na efikasnosti turbine utječu prom jene parametra protoka i

brzine, kao i kvaliteta obrađenih površina diskova i statora. Sve simulacije dosada smo vršili

za jedan par diskova, slika 5.2 (u poglavlju 3D model i njegova ograničenja na stranici 37),

radi uštede u vremenu i računarskim resursima ali sada se postavlja pitanje kako povećanje

broja diskova utiče na efikasnost turbine.

Zbog toga ćemo sada izvršiti par simulacija gdje ćemo za fiksne ostale parametre turbine

povećavati broj diskova kako bi dobili sliku o uticaju povećanja broja diskova na efikasnost.

U ovim simulacijama uzeti ćemo u obzir i uticaj interakcije fluida sa obodima diskova pri

izlasku iz mlaznice, jer kod svih prethodnih simulacija širina mlaznice bila je jednaka

rastojanju između diskova tako da fluid nije dolazi u interakciju sa obodom diskova. Pošto kod

simulacija uticaja broja diskova uzimamo u obzir kompletnu širinu rotora zajedno sa



63

diskovima, mlaznica će biti uža za iste vrijednosti protoka i brzine nego sa jednim parom

diskova.

Svi parametri simulacija od interesa dati su u slijedećoj tabeli 11.

Tabela 11. Parametri simulacija za različit broj diskova

Na slijedećem dijagramu dati su rezultati simulacija sa parametrima iz prethodne tabele

11. Kod ovih simulacija fiksirali smo bezdimenzionalni parametra protoka Q(ω∙r 03 ) na

vrijednost 0.001 kao i vrijednost bezdimenzionalnog parametra brzine (ω∙r 0 )/v0 na vrijednost

½. Pošto se protok računa po jednom međurastojanju između diskova tako za tri diska imamodva međurastojanja između diskova tako da je protok duplo veći nego za dva diska gdje imamo

jedno međurastojanje. Kod prve simulacije debljina diskova nije ni uzeta u razmatranje jer je

širina mlaznice upravo jednaka međurastojanju između diskova, a kod ostale dvije simulacije

debljina diskova je uzeta u razmatranje tako kod npr. druge simulacije širina mlaznice je 7 mm,

od čega 4 mm otpadaju na dva međurastojanja između diskova i 3 mm na t ri diska po jedna

mm. Na taj način smo uzeli u razmatranje i interakciju fluida sa obodom diskova.

Simulacijabr.

Parametar protoka/∙

Ukupni protok

krozturbinu

Brojdiskova

N

Debljinadiskova t

[mm]

Parametar brzine ∙ /

Odnos/

Vanjskiradijus

Ugaona brzinaobrtanjadiskova

/

PovršinamlazniceA[mm2]

(širina xdužina)

Odnosvanjskog i

unutrašnjegradijusa/

1. 0.001 0.0001 2 - ½ 50 0.1 100 5 (2 x 2.5) 0.25

2. 0.001 0.0002 3 1 ½ 50 0.1 100 10 (7 x 1.43) 0.25

3. 0.001 0.0003 4 1 ½ 50 0.1 100 15 (10 x 1.5) 0.25



64

Slika 5.21 Uticaj broja diskova na efikasnost turbine

Sa dijagrama vidimo da na efikasnost ne utječe negativno povećanje broja diskova,

naravno da za kompletniju sliku treba izvršiti simulacije sa dosta većim brojem diskova da bi

se vidjelo koja je gornja granica kada daljnje povećanje diskova nema smisla i dovodi od

smanjenja efikasnosti.

Povećanje efikasnosti koje se može uočiti na dijagramu pri povećanju broja diskova

može se objasniti užom mlaznicu zbog toga što debljina diskova sada ulazi u kompletnu širinurotora a uža mlaznica dovodi do povećanja referentnog radijusa koji predstavlja dužinu od

težišta mlaznice do ose obrtanja a znamo da referentni radijus ulazi u empirijske formule za

moment i impulsnih i reakcionih turbina.

Veći referentni radijus dopušta fluidu veću razmjenu količine kretanja sa diskovima, što

objašnjava i veću efikasnosti za manje parametre protoka što se može vidjeti i sa slike 5.17 (na

stranici 58) , gdje za manje parametre protoka imamo veću efikasnosti.

5.10 Vizualizacija rezultata CFD analiza

U ovom odjeljku je dat prikaz alata raspoloživih u softveru SolidWorks Flow

Simulation za vizualizaciju rezultata CFD analiza.

Jedna od najboljih alatkih za vizualizaciju toka fluida je Flow Trajectories koja

nam pokazuje putanju fluida od ulaza u mlaznicu do izlaza iz turbine.



65

Slika 5.22 Raspored brzine fluida između rotora Tesline turbine za parametre

Q

ω∙r 03 =0.001; ω∙r 0

vo= 1

2; r 0

b=50;Parametri simulacije 3.;Tabela 8.

Sa slike 5.22 se vidi da fluid ima najveću brzinu na ulazu u rotor odakle fluid postepeno

gubi na brzini kako predaje svoju količinu kretanja diskovima. Također možemo uočiti da je

putanja fluida između diskova spiralna i da je region sa najvećom brzinom zbog ventilatorskog

ef ekta rotora pri izlasku fluida iz mlaznice i ulasku u međuprostor između diskova, a taj efekat

je također opisan u teoretskim i eksperimentalnim razmatranjima Tesline trubine.

Još jedna od jako dobrih alatki za vizualizaciju rezultata je Cut Plots, koji nam

služi da prikažemo određene vrijednosti od interesa kao presjek kroz površinu. Ovom prilikom

pomoću te alatke prikazati ćemo vrijednost Total Presure koja predstavlja vrijednost energije

pritiska, brzine i visine u bernulijevoj jednačini izraženu u jedinici za pritisak Pa na površini

diskova. Na tak način možemo vidjeti promjenu energije fluida kroz rotor i mlaznicu, a također

prikazati ćemo linije sa istom vrijednošću Total Presure.



66

Slika 5.23 Konture ukupnog pritiska sa iso linijama (Total Presure) na površini diskova, za parametre simulacije

Q

ω∙r 03 =0.001;

ω∙r 0

vo =

1

2 ;

r 0

b =50; Broj diskova N=4; Parametri simulacije 3.;Tabela 11.

Sa slike 5.23 vidimo da je vrijednost ukupnog pritiska najveća na ulazu u mlaznicu,

također možemo vidjeti da je raspored ukupnog pritiska aksijalno simetričan poprimajući

koncentrične vrijednosti neposredno poslije izlaska iz mlaznice, prije toga mlaznica uzrokuje

nesimetričnost.

Slijedeću alatku koju ćemo upotrijebiti je Surface Plots, koja nam može poslužiti

kao za prikaz određenih parametra na određenim površinama, u našem slučaju parametar

tangencijalnog napona na površini diskova.



67

Slika 5.24 Tangencijalni napon na površini diskova; za parametre simulacije

Q

ω∙r 03 =0.001;

ω∙r 0vo

=1

2;

r 0 b

=50; Broj diskova N=4; Parametri simulacije 3.;Tabela 11.

Prikaz raspodjele tangencijalnog napona sa slike 5.24 (above), može nam pomoći da

odredimo područja u kojima tok proizvodi najveći moment. U ovom slučaju transfer ener gije

je veći nakon mlaznice i na unutrašnjem radijus diskova na mjestu gdje fluid izlazi iz diskova.



68

Slika 5.25 Raspored brzine na izlazu fluida iz diskova; ; za parametre simulacije

Qω∙r 0

3 =0.001; ω∙r 0vo = 1

2 ; r 0 b =50; Broj diskova N=4; Parametri simulacije 3.;Tabela 11.

Na slici 5.25 (above) prikazan je raspored brzine na unutrašnjem radijusu diskova, gdje

vidimo da je vektor brzina veći uz diskove, ali i vrtloženje do kojeg dolazi na izlazu fluida iz

rotora što doprinosi povećanju gubitaka. Također možemo prikazati i vektor brzina na

unutrašnjem radijusu za jedna par diskova gdje je slika možda malo jasnija od prethodne što se

tiče pravca vektora.



69

Slika 5.26 Raspored brzine na izlazu iz diskova; za parametre simulacija Q

ω∙r 03 =0.001;

ω∙r 0vo

=1;r 0 b

=50; Parametri simulacije 3.;Tabela 4.

Prikaz putanje fluida od ulaza u mlaznicu do izlaza iz turbine za različite parametre

brzine (ω∙r 0)/v0, može nam dati određene odgovore na rezultate koje smo dobili a koji govore

da je maksimalna efikasnosti postiže za vrijednosti za toga parametra (ω∙r 0)/v0=1/4.



70


ω∙r 03 =0.001;

ω∙r 0vo

=1;r 0 b



ω∙r 03 =0.001;

ω∙r 0vo

=1

2;

r 0 b




71

Sa dvije prethodne slike 5.27 i 5.28 (na stranici 70) vidimo putanje fluida između

diskova za dva različita parametra brzine (ω∙r 0)/v0=1 i (ω∙r 0)/v0=1/2, dok je parametar protoka

ostao isti. Kao najveća razlika uočava se da fluid mnogo više struji po obodu diska za

vrijednosti parametra (ω∙r 0)/v

0=1, slika 5.27 (na stranici 70) što je i logično jer tada je veća

jednakosti centrifugalnih i centripetalnih sila koje djeluju na fluid. Zbog tog strujanja po obodu

diska i dolazi do većih gubitaka zbog interakcije fluida sa unutrašnjom površinom statora.

Naredno mjesto od interesa za efikasnost turbine je mjesto izlaska fluida iz mlaznice i

ulazak u međuprostor između diskova, gdje zbog interkacije fluida sa obodom diska može doći

do turbulencija i većih gubitaka.



72

Slika 5.29 Putanja fluida na izlazu iz mlaznice; za parametre simulacije Q

ω∙r 03 =0.001;

ω∙r 0vo

=1

2;

r 0 b

=50; Broj diskova N=4; Parametri simulacije 3.;Tabela 11.

Sa slike 5.29 (above) vide se putanje fluida pri izlasku iz mlaznice i ulasku u

međuprostor između diskova, vidimo da diskovi predstavljaju prepreku toku fluida na samom

izlasku iz mlaznice što doprinosi gubicima. Zbog toga treba voditi računa pri konstrukciji

ovakvih turbina da debljina diskova bude što manja tako da diskovi stvaraju što manji otpor.

Još jedna od alatki koja nam može poslužiti za dobijanje što više informacija o toku

fluida unutar turbine je XY Plots. Pomoću alatke XY Plots odrediti ćemo profil brzina

između diskova i to na različitim pozicijama duž rotora. Za tu svrhu povući ćemo linije između

rotora i to tri, na obodu diskova, na sredini diskova i na unutrašnjem radijus, kao što je to

prikazano na slici 5.30 (below).



73

Slika 5.30 Linije koje su korišćene za dobijanje profila brzina između diskova duž rotora

Označiti ćemo ove linije i izabrati parametar brzine i izbaciti ga u Excel i na taj način

dobiti profil brzina između diskova.



74

Slika 5.31 Profil brzina između diskova; ; za parametre simulacija Q

ω∙r 03 =0.001;

ω∙r 0vo

=1;r 0 b


Površina između profila brzina na ulazu u rotor i izlazu iz rotora proporcionalna jerazvijenom momentu na diskovima rotora, što znači da je iskoristivost turbine veća što je ta

površina veća i obratno. Sa slike 5.31 (above) možemo uočiti da je površina između profila na

ulazu u rotor i profila na sredini rotora dosta veća nego od sredine do izlaza iz rotora, što vodi

do zaključka da se većina transfera ener gije sa fluida na diskove posredstvom viskoznosti

odvija u prvom djelu rotora. Poznato je da tangencijalna komponenta brzine proizvodi moment

, dok radijalna komponenta brzine pravi samo gubitke. Zbog toga daćemo profil i za radijalnu

komponentu brzine kao što smo to uradili na slici 5.31 (above).

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

B r z i n a ( m / s )

Aksijalna pozicija između diskova(m)

Na ulazu u rotor Na sredini rotora Na izlazu iz rotora



75

Slika 5.32 Profil radijalne komponente brzine između diskova; za parametre simulacija Q

ω∙r 03 =0.001;

ω∙r 0vo

=1;r 0 b


Sa slike 5.32 se može uočiti promjena pravca radijalne komponente brzine koja jeizraženi ja u unutrašnjosti rotora, a ta pojava se slaže sa izvještajima (Matsch (1968), citirano

prema [9]) za laminarno rješenje toka između diskova. Takva pojava promjene pravca radijalne

komponente brzine a prema također se može sresti za slučaj Tesline pumpe za slučaj Re b=20.

Pošto znamo da radijalna komponenta brzine utječe samo na gubitke, uporediti ćemo radijalne

komponente brzina sa prethodne slike za parametar (ω∙r 0)/v0=1 i za parametar (ω∙r 0)/v0=1/4 za

koji imamo veću efikasnost, slika 5.18 (na stranici 60).

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

R a d i j a l n a k o m p o n e t a b r z i n e ( m / s )

Aksijalna pozicija između diskova [m]




76

Slika 5.33 Profil radijalne komponente brzine između diskova; za parametre

simulacija Q

ω∙r 03 =0.001;

ω∙r 0vo

=1

4;

r 0 b


Vidimo da za parametar (ω∙r 0)/v0=1/4, slika 5.33, nema promjene pravca radijalne

komponente brzine na ulazu u turbinu, plava crta, a i promjena pravca radijalne komponente

brzine u unutrašnjem djelu rotora je manje izražena, što može biti razlog većoj iskoristivosti za

tu vrijednost parametra.

Prikazat ćemo još parametre dinamičkog, statičkog i ukupnog pritiska na linije koja

prolazi kroz središte između diskova., slika 5.34.

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

R a d i j a l n a k o m p o n e n t a b r z i n e ( m / s )

Aksijalna pozicija između diskova (m)




77

Slika 5.34 Linija kroz središte rotora korištena za XY Plots

Slika 5.35 Promjena ukupnog, statičkog i dinamičkog između diskova; za parametre

simulacije Q

ω∙r 03 =0.001;ω∙r 0vo =1;

r 0 b =50; Parametri simulacije 3.;Tabela 4.

Sa slike 5.35 (above) vidimo kako se mijenja ukupni, dinamički i statički pritisak duž

rotora. Najbitnije promjena ovdje je promjena statičkog pritiska kroz rotor, jer od njega zavisi

vrsta turbine. Turbine dijelimo na impulsne i reakcijeske, pri čemu kod impulsnih turbina

cjelokupan pad pritiska se javlja u mlaznici odnosno nema pada pritiska kroz rotor, dok kod

reakcijskih turbina cjelokupan pad pritiska se dešava pri kretanju fluida kroz rotor. Na slici

5.36 (below) shematski je prikazana razlika između impulsnih i reakcijskih turbina.

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

(Pa)

Radijalni položaj duž rotora (m)

Ukupni pritiska [Pa] Statički pritisak [Pa] Dinamički pritisak [Pa]



78

Slika 5.36 Shematski dijagram koji prikazuje razliku između impulsne i reakcijske turbine[10]

Eksperimentalna istraživanja Tesline turbine pokazuju da ona može raditi u dijapazonu

od čisto impulsne do čisto reakcijske turbine, ali da je najčešće većim djelom impulsna. Iz

teorije turbomašina poznato je da impulsne turbine imaju veći stepen iskorištenja od reakcijskih

turbina, kao što to prikazuje slika 5.37 (below).

Slika 5.37 Stepen iskorištenja turbine vs. stepen reaktivnosti turbine

Stepen reaktivnosti turbine definišemo na slijedeći naćin:



79

č č (5.6)

Upravo zbog ove zavisnosti stepena reaktivnosti turbine i efikasnosti turbine je

interesantna promjena statičkog pritiska kroz rotor , koja nam može reći da li je turbina više

impulsna ili reakcijska, odnosno što je razlika između promjene ukupnog i statičkog pritiska

duž rotora veće turbina je više reakciona i obrnuto . Zbog toga ćemo u narednom dijagramu

dati promjenu statičkog i ukupnog pritiska kroz rotor za više različitih parametara brzine

(ω∙r 0)/v0 a pri istoj vrijednosti parametra protoka Q/(ω∙r 03)=0.001.

Slika 5.38 Promjena ukupnog i statičkog pritiska kroz rotor

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

P r i t i s a k [ P a ]

Radijalni položaj duž rotora [m]

Q/(ω∙r₀³)=0.001; (ω∙r₀)/v₀=1; R=0.73

Ukupni pritiska Statički pritisak



80



Sa slika 5.38, 5.39, 5.40, vidimo da za manje vrijednosti parametra brzine (ω∙r 0)/v0

razlika između statičkog i ukupnog pritiska kroz rotor je manja što prati i manji koeficijent

reaktivnosti turbine R. Manji koeficijent reaktivnosti, znaći veća efikasnost turbine čemu

odgovaraju i rezultati koje smo dobili simulacijama, slika 5.18 (na stranici 60), tako imamo

najveću efikasnosti za vrijednosti parametra (ω∙r 0)/v0=1

4

;Q

ω∙r o3 =0.001 od preko 90% dok je

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

500000

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08



Q/(ω∙r₀³)=0.001; (ω∙r₀)/v₀=1/2; R=0.57

Ukupni pritisak Statički pritisak

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

1000000

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08



Q/(ω∙r₀³)=0.001; (ω∙r₀)/v₀=1/4; R=0.35

Ukupni pritisak Statički pritisak



81

koeficijent reaktivnosti turbine najmanji upravo za te parametre, slika 5.40 (above), i iznosi

R=0.35.



82

6

Zaključnja razmatranja

Realizacijom CFD analize Tesline turbine smo utvrdili:

Da gubici Tesline turbine pri interakciji sa statorom mogu biti veliki i da su

posebno izraženi za manje vrijendosti bezdimenzionalnog parametra protoka∙ a pri vrijednosti bezdimenzionalnog parametra brzine∙ 1. Gubici od

statora su zanemareni u proračunu Tesline turbine, što dovodi do značajnih

odstupanja rezultata proračuna i izvršenih CFD analiza za manje odnose∙,

dok za veće odnose odstupanja nisu toliko velika, slika 5.15 (stranica 55). Nakon

što smo zid statora smatrali idealnim dobijeni rezultati CFD analize dobro prate

rezultate proračuna, slika 5.17 (na stranici 58).

CFD analizom Tesline turbine za različite vrijednosti bezdimenzionalnog

parametra brzine ∙ ⁄ , utvrdili smo da se najveći stepen iskorištenja postiže

za vrijednost ∙ ⁄ 1/4, a ne kako je proračunom sugerirana vrijednosti ∙ ⁄ 1. Razlog tome su upravo pojednostavljenja koja su korištena pri

analitičkom razmatranju strujanja u Teslinoj turbini poglavlje 2., i

zanemarivanjem gubitaka u interakciji fluida sa statorom, a upravo za vrijednosti

bezdimenzionalnog parametra brzine ∙ 1⁄ , fluid ima takvu putanju da

je više u kontaktu sa statorom, zbog ujedačenijeg odnosa centripetalne i

centrifugalne sile koje djeluju na fluid, što dovodi do povećanja gubitaka upravo

za taj odnos ∙ ⁄ 1, slika 5.27 (na stranici 70.) i 5.28 (na stranici 70).

Analizom uticaja hrapavosti na efikasnost Tesline turbine, utvrdili smo da

stupanja hrapavosti diskova Tesline turbine nebi trebao biti veća od N5, što znači

da diskove treba fino obraditi što poskupljuje cijenu izrade ovakve turbine.

Ovim se nameće upotreba keramičkih diskova koje su veće predlagali neki drugi

autori (Rice, Tesla turbomachinery, 1991)

Pošto je efikasnost Tesline turbine veći što je parametar protoka manji, nameće

se upotreba ovakve turbine za male hidroelektrane gdje teško može izboriti

mjesto u konkurenciji sa Peltonovom i Turgo turbinom koje imaju efikasnosti i

preko 95% (Bryan, 2011).



83

Zbog navedenih problema u postizanju visokog stepena efikasnosti i primjene u

praksi ovaj pronalazak nije izazvao veću pažnju svojim pojavljivanjem

početkom prošlog stoljeća. Međutim u posljednje vrijeme pojavili su se zahtjevi

koje konvencionalne turbomašine nisu mogle da ispune, a koje se odnose na rad

sa vrlo viskoznim fluidima, rad sa dvokomponentnim mješavinama, lako

uravnoteženje, nizak nivo buke, jednostavna izrada, niska cijena. Tu se prije

svega misli na pomoćne pokretače u projektilima i pogonske uređaje na

satelitima. Zbog prednosti koje su nabrojane, Teslina turbina nalazi primjenu i

tamo gdje ne daje najbolje performanse i koeficijent iskorištenja, kao što su

pokretači za ispitivanje drugih mašina pri velikim brojevima obrtaja, u

ispitivanjima uređajima na zemlji koji rade sa specijalnim fluidima, kao

pokretače za alate koji rade sa vazduhom, i kao pomoćni uređaji za automobile i

avione. (Kozić, 2009)

Zbog navedenih mogućnosti primjene Tesline turbine potrebno je nastaviti

razvoj i poboljšanja iste s posebnim naglaskom na poboljšanje dizajna mlaznice

i izlaza iz turbine gdje zbog promjene toka fluida i pojave vrtloženja gubici

mogu biti veliki. Zbog toga na izlazu iz Tesline turbine može se postaviti difuzor

s ciljem smanjenja takvih gubitaka, takva poboljšanja nisu razmatrana u ovom

radu i njihov uticaj na efikasnost ostaje nepoznat, što može biti tema nekih

budućih istraživanja.

Ovaj rad pokazuje da CFD analiza može znatno skratiti i smanjiti troškove

konstruisanja turbine željenih karakteristika, jer je moguće u razumnom

vremenu napraviti veći broj numeričkih simulacija, sa različitim geometrijskim

i strujnim parametrima i na taj način doći do rješenja bliskog optimalnom koje

se u ovom radu pokazalo rješenje sa parametrima

∙ 0.001 i ∙ 1/4 sa efikasnošću od 93 %. Daljnji korak u konstruiranju

Tesline turbine bi bio pravljenje eksperimentalnoga modela i dotjerivanje

finalne konstrukcije.



84

Literatura

[1] Gyroscope.com (2015). Tesla turbine. [Internet] Dostupno na:

http://www.gyroscopes.co.uk/d.asp?product=TESLATURBINE3 [Pristupljeno 12. maj

2015].

[2] HowStuffWorks (2008). How the Tesla turbine works. [Internet] Dostupno na:

http://auto.howstuffworks.com/tesla-turbine3.htm [Pristupljeno 12. Maj 2015].

[3] Bryan, P. Ho-Yan (2011). Tesla Turbine for Pico Hydro Applications. Guelph

Engineering Journal . Str. 1-8

[4] Džijan, I. (2010). Računalna dinamika fluida. [E-book]. Dostupno na:

https://www.fsb.unizg.hr/hydro/web_pdf/Racunalna_dinamika_fluida/RDF_Predavanje_2010

_2011.pdf [Pristupljeno 20. Mart 2015].

[5] Štargel, K. (2006). Vizualizacija simulacije dinamike plinovitih fluida. Diplomski rad,

Zagreb: Fakultet elektrotehnike i računarstva, Sveučilište u Zagrebu.

[6] Bašić, J. O računalnim metodama za simulaciju dinamike fluida. [prezentacija]. Dostupno

na: https://elearning.fesb.hr/pluginfile.php/71089/mod_resource/content/1/CFD-metode-

uvod.pdf [Pristupljeno 05. Aprila 2015].

[7] Ferziger, J. H. i Perić M. (2002). Computational Methods for Fluid Dynamics. 3. izd.

Berlin: Springer

[8] Ljubej, T. (2013). Animacija toka fluida. Diplomski rad, Zagreb: Fakultet elektrotehnike i

računarstva, Sveučilište u Zagrebu.

[9] Rey, A. F. (2004). Numerical Simulation of the Flow Field in a Friction-Type Turbine

(Tesla Turbine). Diplomski rad, Beč: Institute of Thermal Powerplants, Vienna University of

Technology

[10] Wikipedia (2015). Turbine. [internet] Dostupno na:

https://en.wikipedia.org/wiki/Turbine [Pristupljeno 15. Maj 2015].

[11] Kozić, M. [2009]. Numeričko istraživanje strujanja u Teslinoj turbini. Tehnička

dijagnostika. Vol. 8 (1), str. 11-16

[12] Rice, W. (1965). Analytical and Experimental Investigation of Multiple-Disk Turbines.

Journal of Engineering for Power . Vol. 87, str. 29-36.C. A. Lack, Urban Wind Turbines,

Master Thesis, Tallin Univeristy of Technology, Tallin, 2010.

[13] Breiter M. i. Pohlhausen K. (1962). Laminar flow between two parallel rotating disks.

Virginia: Armed services technical information agency.

http://www.gyroscopes.co.uk/d.asp?product=TESLATURBINE3


http://auto.howstuffworks.com/tesla-turbine3.htm


https://www.fsb.unizg.hr/hydro/web_pdf/Racunalna_dinamika_fluida/RDF_Predavanje_2010_2011.pdf



https://elearning.fesb.hr/pluginfile.php/71089/mod_resource/content/1/CFD-metode-uvod.pdf




https://en.wikipedia.org/wiki/Turbine











[14] Jeffrey, S. A. (1990). A model for fluid flow between parallel, corotating annular disks.

Diplomski rad, Dayton: University of Dayton

[15] Rice, W. (1991). Tesla turbomachinery. Arizona State University, IV International

Nikola Tesla Symposium. USA 23.-25. Septembra 1991. godine

[16] Tesla, N. 6. Maj, 1913. Turbine. SAD. Patent broj 1,061,206

[17] Flow Simulation, Dassault Systèmes SolidWorks Corp, 2014

cae diplomski-numerička simulacija strujanja fluida u teslinoj turbini

Documents