cal 4

คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย ….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 40

พื้นที่ใตโคง กรณีที่ 1 푊 เปนพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวย

푦 = 푓(푥) , 푥 = 푎, 푥 = 푏 โดยที่ 푎 < 푏

และกราฟไมตัดแกน 푥 ดังรูป

พื้นที่ใตโคง = 푤 = 푓(푥)푑푥푏

푎

กรณีที่ 2 푊 เปนพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวย 푦 = 푓(푥) , 푥 = 푎, 푥 = 푑 โดยที่ 푎 < 푑

และกราฟ ตัดแกน 푥 ดังรูป

พื้นที่ใตโคง = 푤 = 푓(푥)푑푥푏

푎+ 푓(푥)푑푥

푐

푏

+ 푓(푥)푑푥푑

푐

กรณีที่ 3 푊 เปนพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวยกราฟ

푦 = 푓(푥) และ 푦 = 푔(푥), 푥 = 푎 , 푥 = 푑

โดยที่ 푎 < 푑 และกราฟไมตัดกัน ดังรูป

พื้นที่ใตโคง = 푤 = [푓(푥) − 푔(푥)]푑푥푏

푎

กรณีที่ 4 푊 เปนพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวยกราฟ

푦 = 푓(푥) และ 푦 = 푔(푥)

โดยที่กราฟไมตัดกัน 2 จุดที่ 푥 = 푎 , 푥 = 푏 ดังรูป

พื้นที่ใตโคง = 푤 = [푔(푥) − 푓(푥)]푑푥푏

푎

กรณีที่ 5 푊 เปนพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวยกราฟ 푦 = 푓(푥) และ 푦 = 푔(푥) โดยที่กราฟไมตัดกัน 3 จุดที่ 푥 = 푎 , 푥 = 푏 , 푥 = 푐 ดังรูป พื้นที่ใตโคง = 푤

푤 = [푔(푥) − 푓(푥)]푑푥 + [푔(푥) − 푓(푥)]푑푥

สิ่งที่ตองจดจําและทําความเขาใจใหมากๆคือ

1) ถา 퐹(푥) = 푓(푥)푑푥 แลว 퐹 (푥) = 푓(푥)

2) 푓(푥)푑푥 = 퐹(푏) − 퐹(푎)

3) 푤 = 푓(푥)푑푥

โดยที่ 푤 คือพื้นที่ใตเสนโคงถึงแกน 푥 ใชชวงตั้งแต 푥 = 푎 ถึง 푥 = 푏 พื้นที่เหนือแกน 푥 มีคา + หรือ 푤 มีคาเปน + และพื้นที่ใตแกน 푥 มีเคร่ืองหมาย − หรือ 푤 มีคาเปน −

f(x)

+

ba

y

x

ba x-

f(x)

dc+-

ba

y

x-

f(x)

f(x)

x

y

a b

g(x) +

g(x)

ba

y

x-

f(x)

g(x)b

a

y

x

f(x)

c

f(x)

x

y

abg(x)


퐸푥53 จงหาพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวย 푓(푥) = 9 − 푥 และ 푦 = 0 วิธีทํา กราฟ 푓(푥) = 9 − 푥2 ตัดแกน 푥 จะมี คา 푦 = 0

ดังนั้นจะไดวา 9 − 푥2 = 0 ∴ 푥 = ±3

นั่นคือ กราฟตัดแกน 푥 ที่จุด (−3,0), (3,0)

ดังนั้น พื้นที่ใตโคงของกราฟ (푊)

ตั้งแต 푥 = −3 ถึง 푥 = 3 ไดแก

푊 = (9 − 푥 )푑푥 = 9푥 −푥3

3−3

푤 = |(27 − 9) − (−27 + 9)| = 36 퐴푛푠.

퐸푥54 จงหาพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวย 푓(푥) = 푥 + 4 และ 푥 = −3, 푥 = 2 วิธีทํา กราฟ 푓(푥) = 푥2 + 4 , 푥 = −3, 푥 = 2 ดังรูปกราฟตอไปนี ้

푊 = (푥 + 4)푑푥 = 푥3 + 4푥 2

−3

푤 =83 + 8 − (−9 − 12) =

953 퐴푛푠.

53. จงหาพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวย 푓(푥) = 푥 − 25 และ 푦 = 0 54. จงหาพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวย 푓(푥) = 푥 + 9 และ 푥 = −1, 푥 = 4

g x = 9-x2

x

y

3-3

f x = x2+4

-3 2

y

x

+


퐸푥55 จงหาพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวย

푓(푥) = 4 − 푥 , 푦 = 0, 푥 = −3, 푥 = 4

วิธีทํา กราฟ 푓(푥) = 4 − 푥2 ตัดแกน 푥 จะมี คา 푦 = 0

ดังนั้นจะไดวา 4 − 푥2 = 0 ∴ 푥 = ±2

นั่นคือ กราฟตัดแกน 푥 ที่จุด (−2,0), (2,0)

ดังนั้น พื้นที่ใตโคงของกราฟ(푊)

ตั้งแต 푥 = −3 ถึง 푥 = 4 ไดแก

푊 = (4 − 푥 )푑푥 + (4 − 푥 )푑푥 + (4 − 푥 )푑푥

= 4푥 −푥3

−2−3 + 4푥 −

푥3

2−2 + 4푥 −

푥3

4 2

푤 =−16

3− (−3) +

163

− (−163

) + −163

−163

푤 =−73 +

323 + −

323 =

73 +

323 +

323 =

713

푤 = 23.66 ตารางหนวย 퐴푛푠.

55. จงหาพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวย 푓(푥) = 25 − 푥 , 푦 = 0, 푥 = −2, 푥 = 6

2-2

f(x)=4-x2y

x-3 4

- -+



푓(푥) = 푥 , 푔(푥) = 푥

วิธีทํา หาจุดทีก่ราฟ 푓(푥) = 푥2 และ 푔(푥) =

푥3ตัดกันดังนี้

กราฟทั้งสองจะตัดกันเม่ือ 푓(푥) = 푔(푥)

∴ 푥 = 푥

∴ 푥 − 푥 = 0

∴ 푥 (푥 − 1) = 0

∴ 푥 = 0 , 1

ดังนั้น พื้นที่ใตโคงของกราฟ(푊) มีรูปดังนี้

푊 = [푓(푥) − 푔(푥)]푑푥 = [푥 − 푥 ]푑푥

푤 =푥3 −

푥4

10 =

13 −

14 − 0

=1

12 ตารางหนวย 퐴푛푠.

56. จงหาพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวย

푓(푥) =4 − 푥

4 และ 푔(푥) =4 − 푥

2

0 1g x = x3

f x = x2



푓(푥) = 4푥 + 1 และ 푔(푥) = 4푥 + 1

วิธีทํา หาจุดตัดของกราฟ

푓(푥) = 4푥2 + 1 และ 푔(푥) = 4푥 + 1


∴ 4푥 + 1 = 4푥 + 1

∴ 푥 = 푥 ∴ 푥 − 푥 = 0

∴ 푥(푥 − 1) = 0 ∴ 푥 = 0 , 1


푊 = [푓(푥) − 푔(푥)]푑푥

= [(4푥 + 1) − (4푥 + 1)]푑푥

푊 = [(4푥 − 4푥)]푑푥

=4푥

3 −4푥

210

=43 −

42 − 0 1

0

=8 − 12

6 =23 ตารางหนวย 퐴푛푠.

57. จงหาพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวย

푓(푥) = 4 − 푥 และ 푔(푥) = 푥 + 2

B

Ay=4x+1

y=4x2+1

B

Ay=4x+1

y=4x2+1

B

A

y=4-x2

y=x+2

B

A

y=4-x2

y=x+2



푓(푥) = 푥 และ 푔(푥) = √푥

วิธีทํา หาจุดทีก่ราฟ 푓(푥) = 푥3 , 푔(푥) = √푥


∴ 푥 = √푥

∴ 푥 − √푥 = 0 ∴ 푥 − 푥 = 0

∴ 푥 푥 − 1 = 0 ∴ 푥 = 0 , 1


푊 = [푓(푥) − 푔(푥)]푑푥

= [푥 − √푥]푑푥

=푥4 −

푥32

푑푥

=푥4 −

2푥3

10

푤 =14 −

23 − 0

=3 − 8

12 =5

12 ตารางหนวย 퐴푛푠.

58. จงหาพื้นที่ใตโคงที่ลอมรอบดวย 푓(푥) = 푥 และ 푔(푥) = √푥

x

y y=x3

y= x

B

A

x

y y=x3

y= x

B

A

y

xB

A y= x

y=x2

y

xB

A y= x

y=x2

cal 4

Education