calcolo delle probabilità (riassunto veloce) -...
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Teoria assiomatica della probabilità
• S = spazio campionario = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento
• evento elementare = un qualsiasi elemento di S
• evento = un qualunque sottoinsieme Edello spazio campionario S
• si dice che l’evento E si è realizzato se il risultato dell’esperimento è un elemento di E
Operazioni con gli eventi
• somma logica (o unione):
• prodotto logico (o intersezione):
• evento contrario il complementare di A
rispetto a S:
• A e B si dicono incompatibili (o
mutuamente esclusivi) se
BA∪
BA∩
A
∅=∩ BA
Definizione formale (assiomatica) della probabilità
• Sia S uno spazio campionario• Sia P una funzione a valori reali definita
sui sottoinsiemi di S (eventi) a valori reali tale che:– 0 ≤ P(E) ≤ 1– P(S)=1– Per ogni coppia di eventi E1 ed E2
incompatibili si haP(E1 U E2) = P(E1)+P(E2)
P(E)P(E) si dice probabilitsi dice probabilitàà delldell’’evento evento EE
Se S contiene infiniti elementi
La terza condizione diventa
• Per successioni di eventi E1, E2, … a due a due incompatibili, cioè t. c. Ei ∩ Ej = Ø se i ≠ j si ha
( )∑∞
=
∞
=
=
11 i
i
i
i EPEP U
Relazioni elementari• Probabilità del complementare
12 EE ⊂
( ) ( )EPEP −=1
• Monotonia
)()( 21 EPEP ≥
• Unione e intersezione
P(E1UE2) = P(E1) + P (E2) - P(E1∩E2)
( ) 0=∅P
La definizione classica
• Se S è uno spazio campionario formato da eventi elementari equiprobabili la probabilitàdi un evento E è data da
P(E) = # elementi di E / # elementi di S
= # casi favorevoli / # casi possibili
Esercizio: compleanni
• Calcoliamo la probabilità che scegliendo a caso n persone almeno due di esse festeggino il compleanno lo stesso giorno.
• Ipotesi operativa: i bambini nascono con la stessa probabilità in ognuno dei 365 giorni dell’anno.
• A = {almeno due delle n persone festeggiano il compleanno lo stesso giorno}
Esercizio compleanni
• Calcoliamo la probabilità di = { tra gli n compleanni non ve ne sono due uguali}
• # eventi possibili = # n-uple formate scegliendo tra i 365 giorni = 365n
• # eventi favorevoli a = # n-uple formate scegliendo tra i 365 giorni senza ripetizioni = 365 * 364 * …* (365 – n +1)
A
A
( )365
1365
365
3641
365
)1365(364365 +−⋅⋅⋅=
+−⋅⋅⋅=
nnAP
nL
K
Fissiamo il compleanno
• Vogliamo calcolare la probabilità dell’evento B = {tra n persone almeno una ha il mio stesso compleanno}
• Calcoliamo la probabilità del complementare
( )n
n
n
BP
==
365
364
365
364
( )n
BP
−=
365
3641
compleanni.xls - Foglio3!A1
Calcolo delle probabilità(probabilità condizionata)
Laboratorio di Bioinformatica
Corso A
aa 2005-2006
Probabilità condizionata
• La probabilità di un evento può variare quando si aggiungono informazioni, ad esempio il fatto che un altro evento si èverificato.
Esempio: lancio di un dado
• Prima di lanciare un dado, la probabilità di ottenere il numero 5 è 1/6.
• Supponiamo che dopo il lancio del dado una persona mi riferisca che il numero uscito èdispari.
• La probabilità, per effetto della nuova informazione è salita a 1/3.
• L’informazione acquisita mi ha portato a “rinnovare” lo spazio campionario dall’iniziale S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a S' = {1, 3, 5} .
Probabilità condizionata
• Si definisce probabilità di un evento Acondizionata (o subordinata) all'evento B, e s'indica P( A | B ), la probabilità del verificarsi di A nell'ipotesi che B si sia verificato.
Probabilità condizionata
S
A∩B
BA
Dobbiamo restringere a Dobbiamo restringere a BB lo spazio campionario e lo spazio campionario e
ridefinire su ridefinire su BB la probabilitla probabilitàà. La sola parte di . La sola parte di A A
significativa resta significativa resta A A ∩∩ B.B.
)(
)()|(
BP
BAPBAP
∩=
In altre parole
• La formula precedente si può leggerecome
)()|()( BPBAPBAP ⋅=∩
)()|()( APABPBAP ⋅=∩
TeoremaTeorema delladella probabilitprobabilitàà
compostacomposta
Eventi indipendenti• Da un mazzo di carte da briscola si estrae una carta.
La probabilità che sia fiori è 10/40 = 1/4.
• Se so che la carta estratta è una figura, la probabilità
che si tratti di una carta di fiori rimane 3/12=1/4.
A = "esce una carta di fiori"
F = "esce una figura"
p(A) = 1/4 = p(A|F)
• Il verificarsi di F non modifica la probabilità che A si
verifichi.
• Si dice allora che i due eventi sono indipendenti
Eventi indipendentiDue eventi A e B si dicono (stocasticamente)
indipendenti quando la conoscenza del verificarsi di uno dei due non dà alcunainformazione sul verificarsi dell’altro.
)|()( BAPAP = )|()( ABPBP =oo
Due Due eventieventi AA e e B B sisi diconodicono ((stocasticamentestocasticamente) )
indipendentiindipendenti quandoquando sisi verificaverifica unauna delledelle due due
condizionicondizioni equivalentiequivalenti
Eventi indipendenti(ancora una definizione)
Due eventi A e B si dicono(stocasticamente) indipendenti quando
)()()( BPAPBAP ⋅=∩
ATTENZIONE!
• Non confondere eventi indipendenti con eventi incompatibili.
• Se due eventi sono incompatibili ilverificarsi di uno dei due esclude ilverificarsi dell’altro quindi non sonoindipendenti. Ad esempio
• A= esce testa
• B= esce croce
Teorema di Bayes
• Sia { A, B } una partizione dell’insiemecampionario, cioè una coppia di eventi tali che
∅=∩=∪ BAeSBA
• Supponiamo di conoscere P(A)>0 e P(B)>0
• Sia C un terzo evento del quale si conoscono
P(C | A) e P(C | B)
Teorema di Bayes• Se si verifica C, qual è la probabilità che si sia
verificato A?
)(
)()|(
CP
CAPCAP
∩=
)(
)()|(
CP
APACP ⋅=
)()(
)()|(
BCPACP
APACP
∩+∩
⋅=
)()|()()|(
)()|(
BPBCPAPACP
APACP
⋅+⋅
⋅=