calcul des ponts metalliques

8/3/2019 Calcul Des Ponts Metalliques

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CALCUL

DE S

PONTS M É T A L L I Q U E S

-~ ,., ,.._--



CALCUL

D ES

PONTS MÉTALLIQUESA POUTRES DROITES ET CONTINUES

l 'AIt

,G. PIARRON DE MONDESIR

I N G ÉN IE U R D E S P O NT S E T C HA U S S É E S ,

ATTACHÉ A LA GRANDE SOCIÉTÉ DES CIIEAIINS DE FER RUSSES.



AVANT-PROPOS.

---<K>~~



Y I A Y A N T - P R O P O S .

C e t t e m é th o d e a é té 's im p l i f ié e : to u t r é c e m m e n t p a r M . B re s s e ) in g é n ie u r

d e s p o n t s e t c h a u s s é e s .

E n r é s u m é , d a n s l 'é ta t a c tu e l d e la q u e s t io n , le c a lc u l d 'u n p o n t m é t a l - '. .

l iq u e d e n + 4 t r a v é e s d é p e n d d e la d é te rm in a t io n d e n in c o n n u e s p a r n

é q u a t i o n s .

C 'e s t c e t te d é t e rm in a t io n " q u i d e v a i t s e fa i r e a r i th m é t iq u e m e n t e t p o u r

c h a q u e c a s p a r t ic u 1 ie r ) q u e n o u s s o m m e s p a r v e l lu i l e f f e c tu e r a lg é b r iq u e -

m e n t , e t d 'u n e m a n iè r e g é n é r a le , a v e c le c o n c o u r s d e c e r t a in e s s é r ie s d o n t

la lo i d e f o rm a t io n e s t a u s s i s im p le q u e le c a lc u l ' n é c e s s a i r e i l le u r 'é ta b l is -

s e m e n t .

L e s fo rm u le s g é n é r a le s q u e n o u s d o n n o n s ic jc o n s t i t u e n t d o n c u n e n o u -

v e l le m é th o d e a f f r a n c h ie d e s c o m p l ic a t io n s e t d ~ s c h a n c e s d 'e r r e u r d e l 'é l i -

m in a t io n , e t a v e c la q u e l le o n p e u t m a in te n a n t p .b o r d e r le c a lc u l d 'u n p o n t

d 'u n n o m b r e q u e lc o n q u e d e t r a v é e s .



A V A N T -P R O PO S . rI!,

Le troisièm e contient des applications. des form ules à des exemples.

Le quatrièm e traite spécialem ent le cas des travées égales.

Enfin le cinquième donne des formqles pour les ponts encastrés sur les

culées) et la solution du problème des p o n t s équilibrés) c 'est-à-d ire d esponts dont le travail est le même pour toutes les travées sous l'influence

d'une surcharge nulle ou uniform ément répartie.

Ga tc hi na (Ru ss ie ), d éc emb re , 18 59 .



PONTS MÉTALLIQ,UES

A POUTRES. DROITES.

CHAPITRE I.

--Q-O~O~

É T A B L IS S E M E N T D E F O R M U L E S G ÉN É R A L E S P O U R L E C A L C U L D 'U N P O NT M É T A L L IQ U E

A P O U T R E S D R O IT E S E T C O N T IN U E S .

I. Résum é de la théorie de la flexion des poutres m étalliques. ,~ Cons id ér on s unepoutre m étallique de form e prism atique reposant horizontalem ent sur n + 2 a pp uis,et appartenant à un pont de n + 1 travées (fig. 1). '



P O N T S ilIETALLIQUES A P O U T R E S DROITES.

SO USl'influence des poids qui la chargent, la poutre tend à fléchir vers le m ilieu

des travées et àse roidir sur les piles. Elle exerce sur chaque point d'appui une pres-

sion dont la valeur ne saurait être déterm inée à pr ior i.

En supposant les appuis supprim és, et la poutre suspendue Pal' des poids égaux aux

p 'ress ions dont il s'agit, l'état d'équilibre de la poutre ne sera point changé, et chaque

pression pourra être rem placée par une tension dirigée verticalem ent de bas en haut,

et à laquelle on donne le nom de réaction.

Ce sont ces réactions que nous désignerons par les lettres: B, B" B" Bn' Bn+"La pou tre é ta nt a in si su sp endu e d ev ie nt u n c o r p s entièrement l t"b l'e.Les cond it ions

d e so n é qu ilibre sero nt do nné es p ar 'les é qu atio ns g én érales d 'éq uiÙbre d 'un c o r p s

entièrelnent l ibre soumis à l'action de forces F, Ces équations sont au nombre de six,

s avoi r (* ):

~

~F~=O (1);~M~F=O (4);

~Fy=O (2);~MyF=O (5);

):F,=O (3);~MzF=O (6).

~F ~ e st la s omme des c ompos an te s d es fo rc es F su iv an t l'a xe d es x.

~M "F est la som 'm e des m om ents de ces forces pris par rapport à l'axe des x.L es trois prem ières équations exprim ent que le corps ne peut ~e m ouvoir parallèle-

m ent il lui-m êm e dans aucune direction, et les trois dernières qu'il ne peut tourner sur



P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S . 3

(N ous supposons ièi la sectioIioo' faite à 'gauche du point d 'in fle xio n i, où lacou rbe déc rite par la tr avée ces se d 'ê tr e C () llv exepou r deven ir concave .)L 'éq uilibre d e la p ou tre sera détru it.

.

Les f ib re s d e la p artie s up ér ie ure ~o de la sec tion 00', lesqueUes dans l'é ta t d 'éq~i -lib re é ta ie nt a llo ng ée s, te nd ront à s e r ac courc ir . C elle s d e la p ar tie in fé rie ure ~o', qui

é ta ient r accourcie s, tend ront au con tr air e à s 'a llonger . D 'un autr e côté , la par tie gauched e la p ou tre sc iée restan t su sp en du e, sera it e ntraîn ée d e b as en h au t.P ou r rétab lir l'é qu ilib re , il fa ut e t il su ffit:10D 'appliquer à chaque fibre tendant à se raccourcir une force A dirigée dans le

sens de cette fibre, agissant de gauche à droite et capable de la m aintenir dans sa po-sitionprimitive; .

2° D 'appliquer une force sem blable A ' agissant de droite à gauche à chaque fibre

t endant à s 'a ll onger ; \

3° D 'app lique r sur l'axe~, con tenant le s f ib re s neutres qui n 'o nt s ub i n i a llo ng emen tni raccourcissem ent, une }orce verticale H .. agissan,t dans le sens de la gravité etcapab le de ma in tenir l'équ ilib re ver tic al du sys tème.. La pou tre é ta nt a in si s us pendue e t s cié e re ste ra e n équ ilib re s ou s l'a ctio n d es :fo rc esexlérieures qui sont toutes verticales, et des forces intérieures qui peuvent êtrec on sid érée s comme p arallèles à u n p la n v ertic al p ara llè le lu i-m ême au x arê tes d e la



4 P O N T S l\ IÉ T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

J~as econde équ atio n d 'é qu ilib re p re nd la f orme suiv an te , e n obs erv an t q ue ~A s in (/.

= ~A' sin(/. :..

~m-tp + p",x + B,,- :EmR= 0;

d'où l'on déduit :

H" ,= :E" 'R ~tn--tp p",x.

La forceH " est ce que l'on nomme l 'ef fort tranchant dan s la s ec tio n 00'. Elle tend àsép arer d eu x section s v oisin es en les so llic itan t à glisser l'u ne su r l'au tre su iv an t laverticale.Si dans l'équation précédente nous faisonsx=o, nous aurons pour la valeur de

l'effort tranchant à droite de lamème

p ile, q uan tité q ue n ou s ap pellero ns H" ,:

/

Hm=~"'R-~m-lp.

(L 'effort tranchant à gauche de la mèmepile sera désigné par H 'm ')

N ous pourrons donc écrire en général :

H"=H",-p,,,x.



P O N T S MÉTALLIQUES A rOF InES D R O I T E S . 5

de rupture sur la mème.pile, quantité que nous désignerons par M m, la valeur sui-

vante:

Pl ~Mm = ~m-!

'2 + ~m-!(p~m-!l!) - ~m-I(R~nHl).

L 'é qu atio n d es moments p eu t d on c s 'é crire a in si d 'u ne maniè re g én éra le :

. P x2~MzA+~M.A/=Mm-Hmx+ ; .

Il n ou s r es te main te nant à d éfin ir le moment d 'é la stic ité ~M.A + ~M.A/.

Si l'on soum et une tige de fer de longueur L et de section S à l'action d'une force Aqui tend à l'allonger, et si l'on désigne par i l'allongem ent produit, on rem arqueraque les variations de A et de i seront proportionnelles, tant que la force A ne dépas-s er a pas 1 ;) k ilogrammes par m illimè tr e qua rr é.

Si - donc on désigne par E ce rapport constant de la force à l'allongem ent dans ceslim ite s, on aura:

ALE=sr'



6 P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

- E n ~ p p liq ua n t cette f o rm u le a u x f ib r e s d e la s e c t io n 0 0 ' ( / ig . 2 ) , n o u s f e r o n s :

S=dw pour la fibre A,

et

S = dw' pour la fibre A ! . ,

N o u s a u r o n & d e p lu s :

i vet

t v'---,L p-p

en désignant par v et v' les distances des fibres A et A 'à la fibre neutre ~, et par p l e

rayon de courbure de la poutre au poiJ;lt o ù est faite la section 00'.

Nous pou rro ns don c é crire :.

EA = - vdÜ!

p et A '= ~ v'dw'.- p .

L a prem ière éq uation d'éq uilibre dev iend ra:

"i.vdw = "i.v'dw'.



P O NT S M É T A L L IQ UE S A P O U T R E S D R O IT E S . 7

et p our po uv oir év alu er le trav ail?' p ar m illim ètre q uarré d e la fib re la p lu s fatig uéed e la se ctio n 00', il faut, de plus, exprim er p en fonction de 1'.P our ex prim er p en fo nctio n d e x, il s uff it d e re co urir à la fo rmu le c on nu e:

3

[1+(~) ]2

P= d'y'dx~

Les f lexions des tr av ée s é tant g énér al ement t rè s-pe tit es , Navie r, l 'a ut eu r d e l a théo-

rie d e la fle xi~ n d es p ou tre s, n ég lig e le qu arré d e la ta ng en te .~ ~, e t é crit s imp lemen t:

1p= d2y'

dx 2

Pour exprimer maintenant p en fonction de 1', si nous désignons par Il l a d is tance

de la fibre extrêm e à l'axe neutre, nous aurons:\

Eh1'-'-'-;p d'où

Ehp=-.

l'



8 P O N T S MI~TALLlQ1JES A rO liT R E S D R O IT E S .

La deuxièm e est celle des efforts franchants. Q u().nd Hm sera déterm iné, elle don-

nera la valeur de cette force qui tend à rompre les fibres en agissant normalement à

l eur d ir ec tion .

La troisièm e est celle de~ m om ents. Q uand on connaîtra H", et M"" elle donnera la

. valeur du m om ent de rupture en un pont quelconque de la (m + l ) é m e trav ée; et .en

comparant cette valeur à celle du moment d'élasticité~, on connaîtra le travai~ parm illim ètre quarré de la fibre la plus fatiguée.

Le calcul d'un pont métallique dépend donc de la déterm ination des moments de

rupture et des efforts tranchants sur les appuis. .

L e problèm e à résoudre présente en réalité trois groupes d'inconnues: les réactions,

les efforts tranchants et les m om ents de~rupture. U n groupe quelconque étant connu,

0 11en d éd uira les d eu x autres au m oy en d es relatio ns su ivan tes:

1 ° E f fo r t s t r a n c h a n ts e t r n O m e n ts e n f o n c t io n d e s r é a c t io n s .

M =0;

PlMI

: e . - ~ R I ,'2 '

M. ='~?Pl Pl -:SI (R~ll ), . 1..

H=R;

HI = H+Rl ~P=1:IR-P;



P O N T S M ÉT A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S . 9

3 °. R é a c t io n s e t , e f f o r t s t r a n c h a n t s e n [o n c t io n d e s m o m e n ts ..

-

M t PR=-Y+2";

.

( :1 :1 ) M ~ + P t + P .R f = M 1 I+Z; - Z ; " 2 2 '

R - - M f + M ( ! . + ! . ) - M 3 + P 2 + P f .i -Il 2 1 1 ' 1 2 1 2 2 2 . '

R ,= - M 2 + M a ( ! . + ! . ) - M 4 + P 3 + P i ;l~ l, l a la 2 2 .

H = _ M t + ~ .1 2 '

H_ M t - M 2 1 P t:

1 - Il T " F , '

H _ M 2 - M 3 + P 2 .. 2 - 1 2 2 . '

H _ M 3 -M 4 + P a .3 - la 2 '

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -'. .

"

. . . . . . . . . . . . . . . .R m = _ M m - t + M m ( ~ + i ) _ M m " - l + ~ m + P m _ l ;

I m - t , Im-l lm lm . 2H m

M m - M m + l + P m

lm 2.

L e s v a le u r s d e H m e t d e M ",e n fo n c t io n d e s r é a c t io n s r é s u l t e n t d e la d é f in i t io n e l le -

m êm e d e s e f f o r t s t r a n c h a n t s e t m om e n ts d e r u p tu r e .

I l e n e s t d e 'm ê m e d e la v a le u r d e R " , e n fo n c t io n d e s e f f o r t s t r a n c h a n ts .L a " a le u r d e M m e n fo n c t io n d e s e f f o r t s t r ;m ch a n t s s e d é d u it im m é d ia te m en t d e

l 'é q u a t io n d 'é q u i l ib r e d e s m o m e n ts d a n s la q u e l le i l s u f f i t d e fà i r e x lm-t'

Les deux derniersgroupesde'formules se.déduisent d e s deux précédents .



1 0 P O N T S M É TA LL IQ U ES A r O U T R E S D R O l T E S .

III. É qu ation fo ndamen ta le exprim an t qu e les .courbes d écrites pa r d eu x tra vées voi-

sin es o nt m êm e ta ng ente su r la p ile q ui les sêp are. - Reportons-nous à l'équation géné-

rale d 'éq uilib re d es m om ents:

d2 y Pmx'0dX 2 = Mm--Hmx+T'

Si nous intégrons cette équation une prem ière fois, J.1ous obtiendrons la relation, suivantepour la déterminat ion de la valeurde la tangen te en un po in tque lconque de

la co urb e d écrite p ar la (m +1 )ème travée:

dy= ~ (M x - H;,.x '+ Pmx3

+ C).dx 0 '1 ' 2 ' 6

Pour dé te rmine r la cO nstan te C ,.in tég ro ns U ne seco nd e fo i& , n ous au ro ns:

,- ,

1 (MmX2.

Hm,

XS

+ P, ,

~x,

4+,., "'~),-- ; ~ -6 24 Y>4,'

Ici la co nstan Je est n ulle, p arce q ue, d 'ap rès l'h yp oth èse admise d ès le d éh 1.1) lapou tr e repose hor izon ta lemen t sur s es appu is , e t que y : ;; :; : pouf a::~().



P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

2° Pour la tangente de la (m +, i)ème travée sur la (m +,1 )ème ,pile ~

11 '

1 (1\1",1"" H";[,,,2,""

P ml",2)/ "'+ 1 = = -; 2 - ~ +---s- .~

S i m ain te nan t, d an s ce tte d ern iè re é qu atio n , n ou s rempla ço ns m par m -1, nous

aurons;Pour la tangente de la mernetrav ée s ur lamème pile:

f ~ ~ (Mm-jm-l ~

II.n-.tlmo.] +Pm_l1m_t2 )- s 2 38'

En égalant ensemble les valeurs de lm et de t'm, nous obtiendrons la relation SU I-

vante:

~ (M _Hm lm- Pmlm), + l.Ll' (M - 2Hm-Jm-1+

Pm_l1m_l) = O.2 m 3 12 2 m- l

'3 4

T elle' e st l'é qu atio n fo nd am en ta le d e rac co rd em en t q ui e xp rim e q ue ,les co urb esdéc rite s .par deUx tr avées c{)nsécutiveson t même tangen te sur Ja p ile qui le s sépare, ou



i2 P O N T S M ÉT A L L IQ UE S A P O U T R E S D R O IT E S .

3 ° E n pren an t les momen ts po ur inc on nue s:

.~[Mm_'m (Mm-Mm+1 + Pm) + Pmlm

J +3 lm 21 12

+ 'm-1 [M - 2lm-1 (Mm-1 - Mm +. P

m- 1 )+p"'-1lm-1

] - 02 m- 1 3 l .2 . 4 .- .

1»-1 ~(M')

Cette d ernière éq uatio n a é té do nn ée p ar M . B resse, in gén ieu r de s p o.n ts et chau s-. sé es n . E lle d ev ie nt a prè s ré du ctio .n s :

Mm-1'm_1 + 2{lm-1+ lm)Mm + Mm,)m =1 (Pm-11m_1'+Pmlm2). (M')

IV . Valeurs généra les des rêac tions , e ffor ts t ranchants e t moments de rupture sur tes.p ile s e t cul ée s en fonc tions des poid s e t ouver tu re sdes tl'a vées . - Nous a'Vo.nsmainte-

n an t le c ho ix e ntre le s é qu atio ns d e ra cc ord emen t (R '), (H ') e t (M ')p ou r re èh erc he r laso .lut iondu prob lème énoncé c i-dessus .L a dernière est évidemment plus sim ple que les deux autres, et l'o.n p eut en co.n-

clure, à priori, qu'e lle doit donne r lieu à des calculs mo .in s comp liqué s.Mais la méthode d 'é limina tion que nous no .us proposons d 'emplo .) 'e r s impli fie cons i-



P O N T S M ÉT A L L IQ U E S A ,P O U T R E S D R O IT E S .

P oùr sim plifier les calculs, no~s poserons d'abord les égalités suivantes:

Z l Z IIIIX I=-

Z; et2-

Z; eta=-z ; cx,,=[; CXn-1[i a" = f;

1 2 . 3 4.' -', ~-J n

p.,___ ll ,,'

1 p' Il . ,z ZIO.

Z2,()a=4; o~=z:; '()n-l-z,,~t;' () " =T,.;

19 19 ' ' ,/2. ' Z9,a=-=; ,.="'::; '''-I---:--

Z '

,,,=[;

.la l. n-I"8,=~; 0 -~. 0 =~..

l..n- l -

.~n--1n

-ln'

f3

. . A . ,8. . . . . . . . . . o ' . ". . . . '.

X Z"-2 In-..

',,-t=,; X" ---:--Z"'::';. .n-l n

In-IWn=-'.

l"

Il est facile de voir m ainteuant que les n éq uatio ns d e ra cco rd emelit d on t il ~ 'ag itp eu ven t se mettre so us la fo rm e su iv an te :

. .

( '2 )+ 'R ' P ( + 3+32 ) + Pt

R i + 3~ 1 + 2CXl 1 = ,i 2 CX l ':letl "4'(] )



H POl\~ S MÉTALLIQUES A POUTRES DRO IT ES .

R [ 1 + 3( etn + b" + '(,,+ + X..+<ù,,)+ 2<Ù,,2+ 3<ù..(et..+b"+ y"+. + X..) +

+Rj [1 + 3(bn+r" + + Xn+<Ùn) 2oo n2+3oo ,,(b,,+Yn + Xn))+

+ R2[1+3 (Yn+ .+X,,+ <Ùn) 2 00 "+ 3oo "(y ,, +'1.,,)]+ +R"-1 (1+ 300n2oon2)+ Rn=

-P[l +3(~+()n+1"+ ""'+'1...+00..)+200"2+300,,~ +bn+Y, ,+""'+Xn)]+

+pj[l+ 3 (~+Y n+'''''+X n + oon)+ 2oon2+3oon~ + Y . . + . , . . , + X,,)J ++ P2[1+3(~+Bn"'+Xn+oo,, ) + 2oon2+3oo"(ï+8,,+. .. +Xn)] +.. . +P"-1( i+~oon+~!ùn2)+

+ ~n. (n).~

.D e l'équation (1) nous tirerons immédiatem ent R, en fonction de R .

En reportanteett.evaleur de R, dans l'équation (2)) nous aur6nségalement R2cnfonc tion de R .

.

E n rép étan t ces su bstitutÏo ns d an s les éq uatio ns su ivan tes, n ou s ob tiend ro ns su cces-

siv emen t R3, R" .,'... R n en fonction deR .

Ces calculs ne tarder-aient pas à devenir inextricables, car les divers coefficients

de PI, P2, ..,.. et de R comprendraient bien vite un llom brede term es considérable.



P O N T & M É T A L L I Q U E S cAPOUTIŒS D R O I T E S . 15

Da = i;

D . -- 2+°.;

. .~ . -'. ! '- . '-:'" . . . '.,' . . . ". ' . .. .

. . .-. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . ! .. .. .. . . .. .. . .. . . .- . ~. . . .. .. . .- .- .. .. . .. . .. . . . .. . . . .Dn = ( 2+ 2wn )Q n- 1 " ", ," ", wnDn -2 ; ..

".. . .' . . . . . .. . . . . .. . . .. .. .. .

,-'

. ..

. .'.~ ;l, . ~ . ..

'".. .. . '.. .. .. ..

.'. .. 1-.. ..

'".. .. . 1-.- . . . .. .. . <fi,.

' '"...' '. .- .. "

. .. . .

Kfl~'!= 1 ; ,

Kn-' . 2+Xn-l;

Kn = (2 +2w n)Kn-1 - W "K n-2;°n-1 -- 1 ;

0" -,2+w".

"

On obtiendra ainsi a v e c le c oncours d e c es s érie s:

,,' ..' .',

,P PI "., . ( + )]RI -[4+Ctl'o+Ao+'t'1 +A ')]4 + 4-[f +Ct,'t'o 'rI" (J )

, . ' .' p. . 'pP

R2, - [C tl('t'o+A o+ 't'1 +A I)+ CX 2('t'1+AI + 't'2+A2)]'"4 + [3+ 62(61+B tl] 41+ :t,2+,

.

+ [Ctl (' t'O' t'1)+~2('t '1+ 't '2}]R. '(~)



1 6 P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

Le momen t su r la cu lée droite étant nu ], n ous au ro ns l'équ atio n

Pl:En - + :En-1(P~"II) :En(R:Enl) = O.

2

En remp la çan t d an s c ette é qu atio n R , , R" R" Rn par leu rs valeurs ên fonction

de R données par les équations précédentes, on obtiendra, tâules réductions faites:

- 1. 1-R =4 P + 4(%~ ( IXnA"P-6nB"PI + '( nCnP2-~nDnP2+"' " +WnQ"P "~ 1 + P ,,).

"n

(C )

Nota. On prendra le signe + pour P" quand le nom bre des travées sera im pair.

La formule générale (C) permet tr a de calcu le r tr ès -s i,mp lemen t e t t rè s- rapidemen tla valeur de R, réaction sur la culéegàuche ,en fonction des poids des travées etdesdiversindicesdessériesen '!",A,B, C , et Odon! les termes sont des fonctionsdesouverturesdestravées. '

La valeu r de R une foi sc a lculée , l es formule s p récédente s donne ront c el le s de tou te sl es réact ions sur l es ' pi le s.

,

Pour obtenir la valeur générale de la réaclion R ,,+"sur la culée droite, il sùffit de

poser l 'équation.



P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .17

Nous obtiendrons un groupe de n équ atio ns en tre les in co nn ues H, H" H2 , H"lesq ue lles so nt au n ombre d .e n + 1.Ces n équationsde raccordementpeuventse mettre sous la forme suivante :

(3 . 3 .) PIH(3!Xi+21X1')+Hl =P. 21X2+ 41X1 + 4. (1 )

,

H(3!X2+3!X262)H!{362 +2(22) +H2=P(~1X2+ ~1X/)2)+ PI G

62 +~ 62')+ ~2. (2 )

H (3e ta+ 3lXala)+H l{3bJ + 3bJla)+ B 2(31a+ 2Ia')+ B J = P (~ as + ~aala + PI(~ 6a+ § (313) +

+P2 (§ la + ~ Ya') + ~a. (3)

H (:3a4 + 31XA) + HI{3b4+ 3(;41;.)+ H2(3 14+ 3y.84)+ H a(3a4+28/) +fJ4= P (~:(4 +~ (4134)+

+PIG 6. + ~ 64134)+P2(~Y4+ ~ 14134 )P s (~ 84 +~ 8/) + ~4~' (4)"



1 8 P O N T S M ÉT A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

fI a = cxa('t2+A2+'ts+As) ~ -ba(B2+B s) ~1 +Y S(C2+CS) ~2_+ ~s -Ct3('t2+ 'tS)H . (3 )

H. = - -C t. ('t s+As+ 't .+A .) f + b.(B s+B 4) ~ 1 -Y 4(C S+C .) ~2 + 84(D s+D 4)~3 + ~. +

+ cx4('ts+t.)H.(4)

. . . . . . . . . ' . . . . . . .' . . . . . . . . .. -. <:. -".'. . . . . . . . . . . . . . . . . .

H" = + CX,,( 't "-1A"-1 + 'tn +An) ~ +bn(B n_l+Bn) ~1+ y ,,{C" -1+C ,,) ~ 2 + 8,,(D"-1+Dn) ~s+...

P"-1 P,,-- )W,,(0"-1+0,,) T +4 +O:n('t"_I+'t"H. .(n)

Exprim ons que le- moment sur la culéedroite est nul au moyen de la formuleg én éra le, q ui d on ne les momen ts en fo nctio n d es e ffo rts tran ch an ts (p ag e 8 ), et n ou s




E n continuant ces substitutions, et en faisant usage des séries, nous obtiendronstrès-facilemen t les v aleu rs de tou s les momen ts en fo nctio n d e R .Ces v ale ur s s 'é criro nt a lo rs a in si q u'il s uit:

1.M ,= 4(2P-4R); (0 )

Mi = ~ [ -('t, +A ,) rx IP+P I + 41X,'t,R ]. (J )

1 .M a

.

f [1X! (' t2+A2 )p -b2B2P, +P2-41X2' t2R]. (2 )

M . . t[-Gl3('ta+A3)P+b3B3P'-"{3C3P2+P3+4iX3't~R]. (3 )

. . . -. . . .. . . .. . .- .. . . . .. . . .. .. . .. . . . io.. . . .. . .. . .. . . .. .. .. .8 ..

1M.. = ';' [+G I"-l('tn-1 + A n-,)P +b,,-,B ,,-,P, +ln-iC n-IP 2 +~ "-ID "-IP3+ -X ,,_,K "-IP "-2+




C ette dernière form e esf la plus avantageuse pour le calcul. N ous croy.ons doncin utile d e d év elo pp er ic i le s a utre s v ale urs e n fo nc tio n d ire cte d es poid s e t o uv ertu re sdes t ravées.Ces formules sont applicables à un pont d'un nombre quelconque Je travées

inégales.

v. Formules p ou r lcs p on ts à tra vées sym éL riq ues. -- Quand les travees serontsym étriques par rapport à l'axe du pont, les calculs pourront être sim plifiés en ce

sen s q u'au lieu de calcu ler les séries de la p ag e 15 ju sq u'à l'in dice n, on pou rra s'a r-

r ête r à l'indic e~ou à l'indic e ~ t. : , su iv an t q ue le n omb re d es trav ée s se ra impair

ou paI r..

Nou s a llo ns c on sid ére r s ép arément c es d eux c as .

Suppo sons d 'a bo rd qu'il s 'a giss e d 'u n pon t s ymétriq ue d e 2n + 1 travées.(N ous désignerons par des indices les réactions; poids ct m om ents de la partie

droite).

~ e m om ent Mn sur la nèmep ile po urra s'ex prim er d es d eu x man ières su iv antes enl 'onctionde~réactîonsR et R '. .

l~-I [+



2 2 P O N T S l \ IÜ T A L L IQ U E S A P Q U T R E S D R O IT E S .

Et la seconde :

R' = 4~ [('tn + An):XnP-bnBnPI +'YnCnP2 - + tù nOnP n- 1 +Pn + tù nP 'n -1 + ,'+

Ctn'tn-l

'

+ 'Yncn-1P '2-bnBn-1P'1 + ( 'tn-l+An-I )<XnP'J-2 R.:~n-l

En éga la nt e ns emb le " ce s d eux vaJ eu rs de R ', e t e n fa is an t ,le s ré ductions indiqué es(p ag e 1 6) p ou r la v ale urg én éraJe d e ~+1, on tro uv e:

'1 1R = 4

P +4 . ( 2 + .2 ) [ ( 't n A n ~ ' tn - 1 A ! '. ,. J < X n P - ( 't n B n - ' t n - IB n - l ) b n P I + ( ' t n C n - ' t n - 1 C t H h n P 2 -

,-

(ln 'tn-

,~n - l 1

-

- + ( ' t n O n - ' t n - l ) t ù n P n - 1 + ( ' t n - ' t n - l ) P n + ( ' t n - l - ' t n - 2 ) ( Ù n 2 p ' n - l + + ( 't 2 - 't l ) 'Y n ~ P ' 2 -"

,

- ( ' t l - 1 ) b n 2 P '1 + G t n 2 P ' ] . ( 8 i )

T elle est la form ule qui donn era la valeul'.de]a réactio n sur la culéegaucbe d'unpon t symé tr ique de 2n +1 travées.

Sile pont sym étrique a 2n + 2 tra vées, les momen ts su rIes tro is p iles ce l1 tra lesétant M n, M n+ 1 et M'n' on prendra successivement les valeurs des moments Mn et Mn+ 1

en fonction de R et dé R ', et, en faisant une élim ination sem blable, on obtiendra la



P O N T S M B T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

Les co effic ien ts e e t À so nt d on nés p ar les d eu x séries:23

60 = 1 ;

61=4;

62 = 15 ;

63 = 56 ;

6. =209;

Ào= 1 ;ÀI=3.;

À2- 11 ;

À3= 41 ;

À. = 153;

.. .. .. . . . !. . . .. . . " .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. -. .. ..

6n = 46n_1 - On-2 ; Àn = 4Àn-1 - À,n-2'

L es form ules de la page 15 qui do nnen tles réactions. p rennen t alors lafo rm e sui-lnte:

'11 = - (13P+PI) -6R.4

1.= -(-42P+7Pi+P2)+24R.- 4

3= ~(156P -18P I +7P 2+ .P S) -90R .

1.= - l-582P+66PI-18P2+7Ps+P.)+336R.4

(1 )

(2 )

(3 )

(4 )




Enfin celles d e la p a g e 20 qui donnent 1eRm om ents de rupture prendront la form e

suivante:

1 .M I = - ( 2 P -4 R ) .

4

i ..M ~ =

L i

( - 7 P + P t + 4 X 4 R ) .

. M 3 = ~ ( 2 6 P -3Pt + P 2 - , - 4 X H m ) .4

i.

M 4 = - ( - 9 7P +H P I - 3 ?2 +P 3 + 4X 5 6 R ).4 .

"-. . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . .' .. - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ",

-". . . . . .

i . . .

.

M n = 4 [ + ( À n - I +6n-,)P +Àn-2PI + Àn-3P2 + -3Pn-2 + Pn-j + 46n-;-IR].

(1 )

(2 )

. (3 )

(4 )

(n )



P O :' ;T S l\ I È T A L L IQ U E S A P O U TR ES D R O IT E S . 25

CHAPITRE II.

~~oo--

D IS q U S S IO N D E S F O RM U L E S G É N É R A L E S D O NN É E S A U C H A P IT R E P R E M IE R .

VIL P rincipes générau x qui dériven t d es form ules. - S i l'o n se rep orte à la fo rmule(G ),

qui donne la valeur de la réaction sur la culée gauche d'un pont m étallique de n + 1

tra vé es , on re connaîtr a (ie suite que tous les indices pairs de P sont affectés dusigne +. et tous les indices im pairs du signe -.

.



2 6 P O NT S M ÉT A L L IQ UE S A P O UT R E S D R O IT E S .

Il e st é vid en t é ga lement q ue le s c oe ffic ie nts d e Pm+t , Pm+3 ' e tc .. .s eron t a ffec té s dusigne -, et ceux de P m+ 2 , P m+4'

etc... d u sig ne + d an s cette même v aleur d év elo pp ée.Nous tirerons de là cette prem ière conclusion: que pour obtenir le m axim um de la

réaction sur la mêmepile, il est nécessaire de charger la travée située immédiatem ent à

droite de cette pile, ainsi que les travées suivantes de deux en deux.

Si m aintenant au lieu d'exprim er Rmen fonction de R , nous l'exprim ons en fonction

de Rn+t' réaction sur la culée droite, nous arriverons par le même raisonnement àcette conclusion: que pour obtenir le m axim um de la réaction sur la mêmepile il faut

n éc es sa iremen t c ha rg er la tr av ée s itu ée imméd ia temen t à g au ch e d e c ette p ile 1 ainsi

que les travées suivantes de deux en deux.

L'hypothèse, qui donne le m axim um de la l'faction sur une pile quelconque, consiste

donc à charger. les deux travées adjacentes, puis toutes les autres de deux en deux à

droite et à gauche d e cette pile. L e m inim um co rrespon d à t'h yp othèse inverse.

T el est le deux ièm e principe général. ,

I l e st f ac ile de voi r que les deux hypothè se s c i-de ssus donnent éga lemen t l e maximumet le m inim um du m om ent de rupture sur la pile.C onsidérons en effet le term e général dep form ules de la page 20, relatives aux

momen ts d e ru ptu re, no us p ourro ns l'écrire ain si:

Mm = lm-ci(Vm+ P"'-I+ 4etm-I't.'-IR).



P O X T S ~ IÉ T A L L lQ U E S A P à U T R E S D R O IT E S .C }-

~ i

M "'+ l =1 ; ( V m + 1+ P m + 4 a m " m R ) .

Le m om ent dont il s'agit pourra donc s'écrire ainsi:

RlYm +""4 ('m - 'tm-1) ( a v e c l e !>igne- si m est pair) ,

m fa is an t:

Ym= ln~-l(Vm+Pm-l)+ ; Vm+1 '

Comme on a : 'm > 'm-1, et que Ym ne contient aucun ind~ce de P supérieur à 'Ill-1 ,

1 est évident que quelle que soit la valeur de 'Ill, tous les termes en P""P "'+, , e tc ... s e-

'ont affectés du signe -, et tous les termes en P m+l' P "'+3' etc... seront affectés au:o ntraire d u sig ne + d an s la v aleu r d év elo pp ée d u momen t d on t il s'ag it. .

Pou r o bten ir le momen t d e ru pture max imum au centre d e la ('Ill+ f )èmetravée,equelm om ent est négatif, il faut donc charger toutes les travées de la partie droite de

leux en deux à partir de la ('Ill+ 1 r i m e inclllsivement. .

En exprim ant le mom ent dont il s'agit en fonction de la réaction sur la culée droite,)Il démontrerait de même que le maximum de ce moment correspond à la surcharge



28 Pü:lTS ~ IÉ T A L L IQ U E S A p o u m E S D RO IT E S .

L 'effo rt tran chan t à g au ch e a p ou r ex pressio n:

HI = lH",- M"'-I + P"'-I'" l"'-I',

. 2 '

Son maXImum correspond au maximum absolu de M m et au n1llUl11um relatif

deMm-J '

c'est-à-dire à la m êm e hypothèse que le m axiÎnum de Rm et de J\TIIIV oir le

ta ble au des hypothès es ),

Les m axim a et les m inim a des efforts tranchants sur une pite correspondent donc aux

m êm es hypothèses que les m axim a et les m inim a des l'éactions et m om ents de rupture

s ur c ette p ile .

C 'est le cinquièm e principe général déduit des form ules.

L es diverses hypothèses qui donnent les m axim a et les m inim a des ~éactions, efforts

tranchants et m om ents de rupture, sont figurées sur le tableau ci-après:

~I I M2 Ma Mr , Mo 1116 M7 Ma

R Ri R2 Ra Rr , R5 R6 R7 Rs Rg

H H'IHI H '2H2 H 'aH3 H'r,Hr, H 'oH 5 H '6 Hs II'7 H7 II'g HS H 'g~ ;---------------

P Pi P2 Pa Pr , P5 P6 P7 Ps

--~-~----



P O :\ T S M É T A L L IQ UE S A P O U T R E S D l lO IT E S . 29

complet de la courbe enveloppe des moments de rupture maxima tant positifs que

n ég atifs d es d iv erse s tra vé es .

P renons pour exem ple la quatrièm e travée:

1° L'hypothèse n° 2 donnera les m om ents négatifs m axim a de la partie centrale dec ette tr av ée .

2° L'hypothèse n° 5 donnera les m on).ents positifs m axim a sur la troisièm e pile etsur la partie gauche voisine de cette pile.

3° L 'hypothèse n° 6 donn'jra les m om ents positifs m axim a sur la quatrièm e pile et

sur la partie droite voisine de cette pile.

C es trois prem ières hypothèses correspondent au cas où la quatrièm e travée est char-

gée. Les courbes qu'eJles donnent doivent être tracées avec le m êm e patron de para-

bo leayan t po ur param ètre+2s, en désignant par p, le poids perm anent, et par S la

. P3

su rch arg e u nifo rm émen t rép artis su r la lo ng ueu r d e la q uatrièm e trav ée.En ren versa nt les 'p arties d e p arab ole situ ées au -d esso us d e l'a xe d es x, on obtien-

dra, au moyen de ces trois premières hypothèses, un premier tracé de la courbeen velo pp e d e la q uatrième tra vée rep ré sen tée su r la fig . 3 .

Figure 3.



3 i} P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

Pour com pléter ce tracé, il est nécessaire de considérer trois autres hypothèses dans

lesquelles la quatrièm e travée ne sera pas chargée et tendra, au contraire, à se roidir

le plus possible, de façon à donner les m axim a que nous cherchons aux environs des

points b et c.

{°L'hypothèse n° 5 bi s correspondant au minimum absolu du moment sur la pile

n° 3 et au maximum relatif du moment sur la pile n° 4, c'est-à-dire à la plus grandevaleur de ce m om ent quand 1a quatrièm e travée n'est pas chargée,. donnera une courbe

aplatie dont l'axe sera aussi rapproché que possible de la pile n° 3 et q-~lÏviBndra

r ec oupe r l'a rc ef a ussi h au t q ue p ossib le.

2° L'hypothèse n° 6 bis-

donne ra, p ar d es ra iso ns semblab le s, u n a rc a plati q ui v ie n-d ra recou per l'arc ab le plus près possible du point a.

3° Enfin, l'hypothèse n° 1 correspondant a,u m inim um absolu négatif ou, suivant les

cas, au maximum absolu positif du moment vers le centre de la travée, donnera unecourbe qui, dans certains cas, pourra passer au-dessus des points d'intersection de la

courbe de l'hypothèse n° 2 ou des courbes des hypothèses nO ' 5 et 6 avec celles des

h yp othèses n o' 5 bis et 6 bis,.

Ces trois dernIères courbes devront être tracées avec le m ême patron dê parabole

t,2

ay an pour p arametre -'-.Pa



P O N T S il IÉ T A L L IQ U E S A P O U T R E S D RO IT E S . 31

h yp oth èses nOS5 et 6, n'entreront pas généralement dans le tracé de la courbe enve-

loppe (voir l'éppre du pont sym étrique de onze travées, planche 1).

D ans la pluparÎdes cas la courbe enveloppe se com posera des cinq arcs correspon-

d an ts au x hypoth ès es nOS2, 5, 6, 5 bis et 6 bz's:

II pourra m êm e arriver, pour de grandes travées dont le poids perm anent sera su-

périeur à sa surcharge, que les arcs des paraboles n° 5 bis et 6 bis se tro uv eron t eux -mêmes suppl'imés. ,

C e cas se présente pour les deux travées centrales du pont B ritannia.

Quant à la courbe enveloppe de la prem ière travée, elle ne peut comprendre plus

d e tro is arcs d e p al'abo les co rrespo nd an ts au x h ypo th èses nOS1, 2 et 3.

Le nom bre des hypothèses nécessaires au tracé com plet de la coul'he enveloppe

d'lm pont de (n + 1) travées symétriques ou égales sera Il+ 3 ou n + 2, suivant que

le nom bre des travées sera pair ou im pair.



3~ PO;';TS M ÈT A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

CHAPITRE lIt

- - - O - O ~ Q < I - - : - - -

A P P L IC A T IO N D E S F O RM U L E S A D E S E X E M P L E S .

IX . V é r i f i c a t i o n des c a lc u ls d u p o n t c o n s t r u i t sur l'A llier pour la tm versee du che-

m in de fer de M oulins à M o n t l u ç o n . - L e p o n t m é ta l l iq u e c o n s t r u i t à M o n t lu ç o n e s t

d éc r i t d a n s les Nouve lles Annales de la cons truct ion d 'Oppe rmann, ju ille t 1859, e t re -p résen té d an s la fig ure 5 .



P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S . 33

Va leur s d es rapport s; a ,Ë , ï , à , E , < p , X e t ( ù .

-l - 7 3

-. , G )~ Otl - - - - - 0 .4 iJ 6 ,~ tI .

~ 1 6 0 .'

0 :, = 0:'S=a4=aS = & 6 = a 7 = a l , . 0. 45 6 .2 1 )0 .

lO :a = - = 1 .,.'

la

II6 2 = T = 1 .

2

6 s = 6 4 =b 5 -~ ô _ 67 = 6 2= 1 .,

II 1 6 0':) s

= - = - =

2 . 1 9 1 , 7 8 1 .ls 7 3

1 3 = " ( . - " ( 5 = "( 6 = " ( 7 = 1.

la = ~ = 2 . 1 9 1 , 7 8 1 .la

~ 4 = ~ S - ~ 6 = ~ 7 - 1 .

- l~ s = - r = 2 , H H , 7 8 1 .

"s

E o = E 6 = E , = 1 .

E a = ~ = 2 . 1 9 1 , 7 8 1 ..

' f '6 = ' f '7 = 1 .

1 0' f' a =

~= 2 . 1 9 1 , 7 8 1 .

/ ls

X 7 . 1 , w . - t- 2 .1 91 ,7 81 .a

l-X a ' f 2 . 1 9 1 , 7 8 1 .

s

< > o » : ~

TA BLEA U DES SÉR ÎES 't', 'A , B, C, D, E, F, KET O.



3 4 P O ~ T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

B , , 1 -

B 2 = 2 + b 2 = 3 .

B s = ( 2 + 2 Y s ) B s -Y s = 1 1 .

B . = ( 2 + 2 3 . ) B s - o . B s = 4 1 .

B o = ( 2 + 2 e 5 )B . - e 5 B s = 1 5 3 .

B s = ( 2 + 2 'P s )B 5 - 'P s B . = 5 7 1 .

B 7 = ( 2 + 2 X 7 )B s - X 7 B 5 = 2 , 1 3 1 .

B s = ( 2 + 2 w s ) B 7 - w s B s = 1 2 . 3 5 1 , 8 6 3 , 6 7 1 . . . . .

D s = ,1 .

D . = 2 + o . = 3 .

D 5 = ( 2 + 2 e 5 )D . - e ~ - H .

D s = ( 2 + 2 'P s ) D 5 - 'P s D . = 4 1 -

D 7 = ( 2 + 2 X 7 )D s - X 7 D 5 - 1 5 3 .

D s = ( 2 + 2 w s )D 7 - w s D s = 8 8 6 ;8 21 ,9 6 5 . . , . . .

F s = L

F s = 2 + ' f s = 3 .

C 2 - 1 .C s = 2 + y s = 3 .

C .= ( 2 + 2 0 . ) C s - °.= 1 1 .

C 5 = ( 2 + 2 s 5 )C . - e ~ C s= 4 1 ;

C s = ( 2 + 2 'P s )C s - ' P s C . = 1 5 3 .

C 7= ( 2 + 2 X 7 )C S- X 7 C 5 = 5 7 1 .

C s - ( 2 + 2 w s)C 7 - w sC s = 3 , 3 0 9 , 6 7 1 , 5 0 9 . . . . . . . .

E , , - 1 .

E o - 2 + s 5 = 3 .

E s : . : - ( 2 + 2 t j 's ) E o - 'P s = '1 1 .E 7 - ( 2 + 2 X 7 )E s X 7 E s - 4 1 .

E s= ( 2 + 2 w s )E 7 - w sE s= 2 3 7 ,6 1 6 ,4 5 1 . . . . . . .

K s = 1 .



P O } \ T S M ET A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S . 3 ";)

Les valeurs des moments de rupture sur les piles seront données par les formules

de la page 20 :

Mi =4 .5625(2P-4R) .

1\12= -10(-2.449,492P + P, + 5_315,31~ R).

1\13= 10(8.885,469P - 3Pj +P2 -19.436,250 R).

1\14 .10( - 33.092 ,383 P + 11 Pi-3P2 + P s +7 2.1 129 ,6 87 R ).

(1 )

(2 )

(3 )

(4 )

Celles des efforts tranchants sur les piles seront données par les formules de la

page 18 :

Hi = O.840,498P+ 0 .2[)Pj -1.442,891 R .

H2- -2.833,741 P +Pi + 0.25P2 + 6 .187 ,891 R .

Hs = 10.494,463P - 3.50Pi + P2+ O.2[)Ps -22.966,484 R.H4=-156.576,445P + 13P,-3.50P2 +Ps +0.25P4 + 85.678,047R'. '

(1 )(2 )

(3 )(4 )

Ê tab lisso ns m ain ten an t, au m oyen d es form ules p récéd en tes~ les éq uatio ns-d es cin q

p rem ières trav ée s su iv an t les h ypoth èse s nOS1 et 2, et nous en déduirons les moments



3 6 P O N T S M E T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

Équa tionde la tro is ièmeravée. . . . - . . . . . . .d2 y

Edo = 576,64 7 ~ H4,263x+2.775x2 ,

- .

M 01IEN TN ÉG ,\.T IF 1IIA XIlIlU l\1 D E L A T RO ISIÉ ME TR AV ÉE. =-098,610'm.00;

- d2 yÉquationde la cinquièmetravée. . . . . . ., . . .. E

d~2 .477,606-1H,006x+2, 775x2;

M Ol\IENT NÉGATIF l\IAxIM tm DELA CiNQUlÉlIIETRAVÉE. =-652,200'''.00;

~~oo---

HYPOTHÈ sE N ° 2 . - S l1rchargedes travées nO '2, 4, 6 et $.

P-Ps. 28,287'.50;

R= - 20.657k.40PI = Ps= Po=P7- 222,000k.00; P2=P. = P6=62,000.,00;(1IIINIMUM) 1\11- 634,755''''.00; HI

.. H6,1Hik.00;

Ms= 484,612.00; Hs= 111,330.00.

É quationde la deuxièm eravée. . . . . . . . '. ' ..d2 y

Edé . = 634,755-H6,1l5x::j-2,77ox2.



P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S . 3 7

M . l ' in g é n ie u r Frémaux, d a n s le c o m p te r e n d u q u ' i l .a p u b l ié d a n s le s L V o n v e l l e s

Annales d e la c o n s t r u c t io n , é v a l u e à 503,333km ,00 le m om ent de rupture maximwn de s

travées, et à 740, O OO km ,0 le m oment de rupture maximum sur les piles; ce qui cor- -

respond à un travail de 5\80 par m illimètre quarré vers le centre des travées et de

6\40 surIes piles.

Le mom ent sur les piles est calculé comme si les travées étaient encastrées, et le

m om ent vers le centre des travées est obtenu en supposant l'encastrem ent de la travée

complet en ce qui eoncerne le poids mort, et incomplet en ce qui concerne la sur-

charge.

On voit que les résultats obtenus au m oyen de cette m éthode appt'oxim ative sont

s en sib lement d iff ére nts d e c eu x in diq ué s c i-d es su s.

L e tr av ail maximum est en effet de 7\30 pour la cinquième travée et de 8\00 sur

la quatrièm e pile. -

La d iffé re nc e.e st d 'è nv iron 25 p . 100 .-

C ette vérification est la "m eilleure preuve que l'on puisse donner en faveur de l'uti-

lité de form ules générales qui perm ettent de 'calculer aU ssi exactem ent que possible"

le travail d 'nn pont m étallique, quel que soit le nom bre de ses travées.

E lle nous conduit en outre àune rem arque que nous croyons utile de signaler ici.



m. m . m m m ;m .1=25.00 11=30.00 12=30.00 13= 30.00 1 4= 3 5.0 0 15=.40.00

~. k k. L k.'

L

1

1,000.00;

!

1,200.00;P2 =

f

1,200.00

f

1,200.0,0;P4=j

1,500.00;

1

:2,000.00;P= Pl= Ps= p. -.-

:4,000,00;,000.00; 3,200.00; 3,200.00 3,200.00; 3' ,500.00;.

!

25,000.00;

!

36,000.00; .\36,000.00; 136'000.00. j 52,500.00;

j 5t,000.00;.p= Pl = P2 = P3== P4= F:;=

\ 75,000.00; 96,000.00; 96,000.00; 96,00000; ( 172,500.00; 16,0,000.00;

38 POi\TS M ÉT A L L IQ U E S A P O U T R E S D H O IT E S .

F i g u r e 6 .

R R I R 2 R s R 4 R 5

,.l ' '~l)IO

<le..

,"1" "1

B' 5

Nota. Chaque rail est supposé porté par une seule poutre, et les poids indiqués ci-

dessus sont ceux relatifs à une poutre, soit à la m oitié d'une voie,

Pour ce cas particulier, la form ule (S i) prend la form e suivante:P . 1

'"H = -+

(2 ' 2 ) [ ( 't 5A 5 -' t 4 A 4 )C C 5 P -( ' t 5 B 5 . . , ' t 4 B 4 ) b 5 P l+ (' t : .C 5 -' t : 4 C 4 h.P 2 -( ' t : 5D 5 -' t 4 D 4 )8 .P s +4 4CC5't:. -'t:4

'

+ ( 't .E5 -'t :4 )0 .P" - ( 't .- 't4)P . + ( 't4""" :' t:S )0 .2p '4 -{' t3 - 't2)52P'+ ( 't :2 -' tlh 12P '2 - ('t l-1 )b .2P '1++CC52pIJ. (8;)



P O N T S M ÉT A L L IQ UE S A P O U T R E S D R O IT E S . 39

TABLEAUDES SÉRIES'!", A, B, C, D ET E.

"0 = 'J;JI

"1= 3 = 3.666,667;

M'

.'

"2 =3~ 1 3.66 6,6 67;

1 rJ3 '

"3= - = 51.00;3

-1,244

~ ~ ).

". - ;;-- - 177,114,286,j

"" =34,821

= 621.803 ,071 ;il6 .

C2= 1 ;C3=3; .

72 ~

C.= -;: ;-: :: ;: ::10.28D,714;

-2,013

- " 946 4 "'9 '. - --;;--

6 - 3D . ., :::: ,D

Ao= 1;17

AI - (3 =2.833,.333;

31

A2= '3 =10.333,333;

. 77 . .Aa -:2' =38.00;

A -93 9

~ I34 J~" ' 8 "~',,--- .1!j,~, DI ,7

A.=52,067

=469.3482-14'11 2 . '.'

Da= l ;20

D. -7 = 2.857,J43;

5MD. = 56 = 9.839,286;

BI=1;

B2=3;

Ba= 11 ;

26 8B.= 7- = 38.285,7H;

7,001R = - = 'J33.946,42\J,1')6

E.=l;

E23

" 87 "= - =~. D ,8



4 0 P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

Celles des efforts tranchants SUI' les piles seront données par les formules de la

page 18 :

Hj = 1.319,444P+ O.2 oP ! - 3.888,889R;

H 2= - 5.902,778P + P! + O.25P2+ 14.444,444R;

H3~ 23.645,833P - 3.50P!+ P2 + 0.25Ps-53.888,889R;

H .,= - 82.8 08 ,8 76P+10.561 ,2 23P! -284G ,937P2 + 0 .8 36 ,5 31 P a+ O.25P. + 154.530,612R;H" = 228.965,683P- 32.293,526P!+ 8.668,521P2 --2.380,581P3 + O.847 ,656P. +O.25P5-

- 52 1. 91 2,9 46R .

Les diverses hypothèses de surcharges que nous aurons à considérer seront au

nom bre de douze, et sont représentées dans le tableau ci-après:

R R! B2 Ba BI , Bo B'. B '. B 'a B'2 B'! B '

I I_I \ , ~

1 1

.

- "'"''-''''''' -1""'"

N° 1. lU axim um de B et des travées im pai~es.

N° 2 . l\lin im um d e R .l\la xim um d es tra vé es p air es.



PO:'i'TS M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S , ,41

H YPOTHÈ SE . N ° 1.- Surcharge d e$ travée$ nO S1,3, 5, 7, 9 et 11.

,P = 75,000'.00;

Pi = 36,000.00;

P2, 96,000.00;

P3= 36,000.00;

P" = 122 ,500 .00;p~= 80,000.00;

P' = 75,000'.00;

P ' i = 36,000.00;

P '2 = 9 6,0 00 .0 0;pIS= 36,000~OO;

p'. = 122,000.00;

R ( lI u.xmun ) = 52,253k.00 (1);

H 2~49,097'.00; 1\12= 178,290''''.00;

H ,,=59,597.00; 1\1,,=230,370 .00;

d! yÉ qu ation de la p rem ière travée.. . . . . . . . . 0: - 9 = - 32,238x + 1.500x!;

X'

Abscissesdes p ointsd 'in flex io n.. . . . . . . . i = 0; il = 21"'.492;

A bscisse de l'axe de la parabole des m om ents. . . . . . . . --::-- 1 0"'.746;MOllIENTÉGATIFAXHlU lIl. . . . ., . . , . = - 175,21/)k"'.00;M~m ent de rupture sur l a première pile. . , . . . . . . .:-' ~31,550k".OO .

Équa ti on de la t ro is ième t ra vé e. . . . , . . . . . 0: ~~ = 178,290-,-49,097x+1)600x2;



4 2 P O NT S l\ 1 É T A L L IQ UE S A P O U T R E S D R O IT E S .

HYPOTHÈSE N ° 2 . , . . - S u r c h a r g e d e s travées n O ' 2 , 4 , 6 , 8 e t 1 0 .

P = 2 5 ,0 0 0 " °0 ;P , = 9 6 , 0 0 0 . 0 0 ;

.P t = 3 6 ,0 0 0 .0 0 ;

P a = 9 6 , 0 0 0 . 0 0 ;

P 4 = 5 2 , 5 0 0 . 0 0 ;

P 5 = 1 6 0 , 0 ~ 0 . 0 0 ;

p l= 2 5 , 0 0 0 ' . 0 0 ;

P 'i - 9 6 , 0 0 0 . 0 0 ;

P '2 = 3 6 ,0 0 0 . 0 0 ;

p la = 9 6 ,0 0 0 .0 0 ;

P I4 = 5 2 , 5 0 0 . 0 0 ;

R (~IINIl\IUM) - 4 ,9 5 9 '. 0 0 .

. H , = 4 .9 ,0 6 2 '. 0 0 ; M , = 1 8 9 , 0 1 2 ' m . o O " ;

H a = 4 8 ,9 6 0 .0 0 ; 1 \ 1 a-

1 7 2 ,3 6 3 . 0 0 ;

H 5 - 8 0 ,0 0 0 .0 0 ; M 5 3 9 9 ,4 5 0 .0 0 .

d 2 yÉ q u a t io n d e la d e u x iè m e t r a v é e . . . . . e

d x 2 =1 8 9 , 0 1 2 ~ 4 9 , 0 6 2 x + 1 , 6 0 0 x 2 ;

A b s c is s e sd e sp o in t s d ' in f le x io n . . . . . . . . i i= 4 m . 3 7 5 ; i ' , = 2 6 m . 2 8 5 ;A b s c is s e d e l 'a x e d e l a p a r a b o le d e s m o m e n t s . . . = 1 ( ) m . 3 3 2 ;

MOMENTÉGATIFAX IMUM.. . . .. . . . . . . . = ' -- 187,084 '' '' .00 ;

M om ent de rupture sur la deuxièm e pile. . . . . . . . . = 157,152'''.00;



P O N T S l \ IÉ T A L L IQ U E S A P O U T R ES D R O IT E S . B

HYPOTHÈSEN° 3 . ~ Surcharge des travées nO ' 1, 2, 4,6, 8 et 10 .

P = 75,000'.00;

P1 = 96,000.00;

P2= 36,000.00;

P3 = 96,000.00;'P . = 52,500.00;

P~ = 160,000.00;

P' = 25,000".00;

P', = g6 ,000 . 00 ;

P '2= 36 ,000 .00 ;

p la - 9 6,0 00 .0 0;p'. = 52,500.00;

R (3)=R ( lI IINDlUlIl )+0 .438 ,i04X50,OOO=

- :- 4 ,939.50 + 21,935.20 = 26,3 74k. 7 0.

H, = a\!,298k.00; 1\'1_,= 265,625km.00.

d2yÉquation de la prem ière travée. . . . . . . . . . ~ dx2 = ~ 26,874.70x + 1,500x!;

Abscissed e l'axe d e la p arab ole d esm oments. . . . . . - 801.9::>8;

MO llIE NT D E RUP TURE 1IIA XIlIlU lIIS UR LA PRE lIIlÈ RE P IL E. . = 265,625'°'.00.

Equatio n d e la d euxième t ra vé e. . . . . . . . .Abscisse de l'axe de la parabole des moments.. .

Mome nt d e ru ptu re su r la d eu xièm e p ile. . . .

d2 y

.€dx 2 = 2~t),625 - 52,298x + 1 ,600x2 j

...= 1601,343;

. , . =- 136,685"".00.




HYPOTHÈSE N ° 4 . - S u r c h a r g e d e s : t r a v é e s n O S 2 , 3 , 5 , 7 , 9 e t 1 L

P = 2 5 , 0 0 0 ' . 0 0 ;

P i = 9 6 , 0 0 0 . 0 0 ;

P 2 = 9 6 ,0 0 0 .0 0 ;

P 3 = 3 6 , 0 0 0 . 0 0 ;

P 4 = 1 2 2 ,5 0 0 . 0 0 ;

P 5 = 8 0 , 0 0 0 . 0 0 .

P ' = 7 0 , 0 0 0 ' . 0 0 ;

P 'l= 3 6 , 0 0 0 .0 0 ; .

P '2 = 9 6 , 0 0 0 . 0 0 ;

P 's = 3 6 , 0 0 0 . 0 0 ;

P '4 = 1 22 ,5 00 .0 0 ;

H ( 4 ) = R ( 3 b i s ) - 0 .0 6 4 ,6 2 4 X 6 0 ,0 0 0 == 1 0 ,3 0 2 .8 0 - 3 ,8 7 7 .4 0 = 6 , 4 2 5 ' .4 0 ;

H i = 4 3 , 2 8 3 ' . 0 0 ;

1 1 2 = 5 5 , 9 5 â \ O O ;

M l = 1 5 1 , 8 6 8 ' ' ' ' , 0 0 ;

1\'12 - .: 2 3 : 3 , 5 7 3 ' ' ' ' . 0 0 .

d2 yÉquation de la deuxièm~travée. . . . . . . . . E

dx 2 - 101,868-43,283x+1,600X2;Abs cissed e l'a xe d e l a p ara bo led es momen ts. . . . . . - 13m.52fi;,

l\iO l\IE NT D EIJ.U PT UIJ.E M AX Il\IU M SU IJ.L A D EU XIÈME P IL E. .= 2 9:3 ,573 km ;OO.

Équa tion de la tr ois ième t ravé e. . . . . . . . . E ~~ = 293,378-53,955x+ 1 ,600x!;

Abscisse de l'axe de la parabole des m om ents. . . . . = 16m.861;



P O ~ T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .d2 y

É quationde la troisièm e~ ravée.. . . . . . . . . e,dx '

- 42,101 - J2,637x + 600x\

A bscisse de l'axe de la parabo le des m om en ts,' . . .~. .'= 1Om ,530;

M om entde rupture sur la t roisième pile. .. . .. . = 202,g94km.OO;

<>Q»<~

45

II Y POTHÈS E N ° 5. - Surcharge des travées nOS1, 3, 4, 6, 8 et '10.

P = 75,OOOk.00;

P, = 36,0°9.00;p. - 96,000.00;P3= 96,000.00;P. = 52,500.00;

Po = 160,000.00;

p' = 25,000k.00;

P ', = 96,000.00;

p' . = 35,000 .QO;pI S= 96,000.00;

p'. = 52,500 .00j

H ( 1 » )= R ( 4 b I s ) + 0 .017 ,341 X 60,000 == 30,71)2.1.0+ 1,040.50 = 31,7\)2k.60.

H.= 42,6 67 ",0 0; l\I. = 137 ,4 66 "" .0 0;

H3= ;54,1 59 '.0 0; 1 \1 3 297,456km.00;

d'yÉquationde la troisièm etravée. . . . . . . . . edx '

137,4G6-42,667x+J,600x';

Abscisse de l'axe de la parabole des moments. . . . . = 13".333 j

MO~IENT DE RUPTURE lUAxmuu SUR LA TROISIÈJIEPILE. . = 297,4i}6km.00.



4 6 P O N T S l \ IÈTALLIQUES A P Ù U T R E S D RO IT E S .

'" , t. d 2 yÉqu atio nd e l a trO lS !emeav ee.. . . . . . . . E - = l 97 ,977 -2a,926x + 600x';

dx 'Abscisse de l'axe de la parabole des m om ents. . . . . . = l 9"'.940 ;

MOl\lENT DE RUPTURE l\IINBlUl\I SUR LA TROISIÈi\lE PILE. . = 20,t8iJkm.00.

d2 yÉquation de la quatrième travée. . . . . . . . .Edx' = 20, 181$ -9 ,961$x+ 600x';

Absc is se d e l'a xe d e la p arà bo le d es moments . . . . . - 8m.300;

Momen t d e ru ptu re s ur la q ua trième p ile . . . . - 261,232k"'.00.

O.o~OO-----

HYPOTHÈSE° 6 . - S urch arge des tra vées nOS2, 4, 5, 7,9 et 11.

P = 21:>,000'.00;

Pi -96,000 .00;p. = 36, 000 .00 ;p3 = 96,000.00;

P4 = 122 ,000 .00 ;

P' = 71$,000\00;

P'i:""- 36,000.00;

p '. - 9 6,0 00 .0 0;pl a = 36,000.00;

P ' 4= 122.1$00.00; Ha = 40,297'.00; M3 - H 7,34 6'm .0 0;

R(6)=R(1$bis)-0.004,740X60,000 == 0,384.90 - 284.40 = 1$,100k.1$O.



P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S :47

HYPOTHÈSE° 6 bis. - S1t rc /z arge des tr av ee s nOS1, 3, 6, 8' el 10.

P = 75,00°"°0;Pl = 36,000.00;P2= 96,000.00;

i's = 36,000.00;

P. = 52,500.00;Po = 160,000.00;

P ' = 25,00°"°0;P 'l = 96,000 .00;

P'2= 36-,000.00;P ' s= 96,000.00;

p'. = 52,500.00;

R (6 b i s ) = R (3)+0.004,740X60,OOO=

= 31,792.60 + 284.40 = 32,077k.OO,

----

Ha = 23,827k.OO; Mg = 200,059k"' .00;

H . = :l4)342k:00; 1\;1,= 25,240<"' .00.

Équ atio nd ela q uatrit-m erav ée. . . . . . .. . È.~ ~ = 200,01S9-23,827x+ 600x ':

Abscisse de l'axe de la parabole des m om ents. . . . . - 19m.856;

MOMENT DE RUPTURE MINIl\IUM SUR LA QUATRIÈME PILE . . . = 2a,240k"'.00.

É q uation de la cinq uième t ravée . . . . . . ., - d 2 ! J - 20 ,240-14 ,842x + 750x!;<.dx'-

A ~scissede l'axe de la parabole des m om ents. . . . . . ~ 9"'.895.

M om entde rupture Sur la cihquièm e pile. . . . . . . = 424.,510km.oo.



& ,8 P O N T S M É T A L L IQ U E S A :P O U T R E S D RO IT E S .

Équationde la sixièmetravée.. . . . . . . . . edd2~

= 543,694-84,759x+2)000x2;x-

Abs cis se d e l'a xe d e la p ar ab ole d es momen ls"

. . . = 21m.190;

Moment de rupture sur la sixième pik . . . . . . . . = 303,334'm.00.

:;0»;00--

HYPOTHÈSE° 7 bis. - S urc ha rg e d es tra vé es-n o, 2, 4, 7, 9 et 11 .

P = 25,0 00 '.0 0;PI = 96,000 .01 );

P2 = 36,000.00;

PB= 96,000 .00 ;

P. = 52)500 .00 ;

P5 =80,000.00,

P" = 75,000"00;p' ! = 36,000.00;

P'2 - 9 6,0 00 .0 0;

P ' 3= 36,000.00;

p'. =t22,BOO .po;

R (7 b i s ) = R (6) - 0.001,587X 70,000 == 5 ,1 00 .5 0 - 1 11 .1 0= 4,989'.40.

H. = 27,076\00; M . = 206,9B'm .oo;

JI~=5a,H 5'.OO; 1\15= i77,990'm.oo.

d2 y .

Éqq atio n d e la c in qu ième lr av ée . . , ,'"

, .e'd:p2 = 2,06 ,9J :- 27 ,076$+ 750x!;

A bscisse de l'axe de la parabole des m om ents.. . . . . . = 18m,051;

l\10M E~T:PE R UP'f!JR E l\1I)V IlUU l\I SU R L ll C IN QU I~M E P~LE, . :- 1 77 ,9 90 km .o o.



P O N T S M ÉT A L L IQ U E S A P O U T R E S D H O IT E S . 4 ! " Y

C H A P IT R E IV .

- - - , - - - < > - O ~ ~

P O N T S A T R A V É E S ~ G A L E S .

X I . E ta b l i8 s e m e n t d 'u n t a b le a u lJ o u r le o a lo u l d e s p o n t s à t r a v é e s é g a le s . - A l 'a id e

c le s f ormule s donné es ( ch ap itr e l, pages 23 et 24) pour les ponts à travées égales, tous

les élém ents nécessaires au tracé de la courbe ~nv~loppe d'un pont de cette catégo-



50 PO::\TS M ÉTAL LIQ UES A POU TRES DRO ITE S,

La colonne 7 donne le prem ier maximum relatif de ce moment, c'est-à.dire la

plus grande valeur qu'il puisse atteindre quand la travée située à gauche de la pile,

n 'e st p as c ha rg ée .

La colonne 8 donne le deuxièm e m axim um relatif, c'est-à-dire la plus grande va-

leur du m om ent quand la travée ,située à droite de la pile n'est pas chargée.

La colonne 9 donne le m inimum absolu du moment sur la pile.

La colonne 10 donne le prem ier m inim um relatif, c 'est-à-dire la plus petite valeur

du moment pour le cas où la travée située à gauche de la pile est chargée:

La colonne 11 donne le deuxième minimum relatif, soit la plus petite valeur du

moment pour le cas où la travée située à droite de la pile est chargée.

L a colonne '13 donne le m axim um absoll). négatif de la travée.

Enfin la colonne 14 donne l'abscisse de l'axe de la parabole des m om ents négatifs

maxima.Les huit éléments donnés par les colonnes 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13 etilf suffisent

pour le tracé com plet de la courbe enveloppe des m om ents.

Prenons pour exemple la troisième travée d'un pont comprenant au moins sept

t ravées égales . .

Les six paraboles que l'on devra tracer pour obtenir la courbe enveloppe de cette



ü 2 P O N T S MÉTALLIQUES A P O U T R ES DllOITES.

Les faits principaux qui sont m is en évidence dans ce deuxièm e tableau peuvent se

ré sume r a in si:

1° Pou r le sponts d 'un nombre impair d e tr avées, l a réac tion sur la culée"a en di-m inuant, au fur et à m esure que le nombre des travées augm ente, depuis 0,50P.jus-qu'à un certain nom bre lim ite dont la valeur est :

R= - O .394,337 P.

2° P ou r les po nts d 'u n n ombre p air d e trav ées, cette réactio n "Vau con traire en au g-m entant depuis 0.375P jusqu'à la m êm e lim ite R = :

3° L a réaction sur la culéeest plus grand~ pour un pont de 2n + 1 travées que pourdes ponts de2n et de 2n + 2 travées.

4° L es réactions sur les piles de num éro im pair sont toutes plus graildes, et cellessur ~es piles de num éro pair toutes plus petites que P. Les prem ières vont en dim i-nuant, etles secondes en augm entant au fur et à m esure qu'on se rapproche du m i-

lieu d upo nt.L eu rs valeu rs co nverg ent v ers le p oid s' P .

5 ° Les momen ts d e rup tu re , s oit v ers le c en tr e d es tr av ée s, s oit s ur le s p ile s,- su iv en tici les lois q ue n ou s av on s d éjà sig nalées p où r les momen ts d e ru pture max ima.

6° L es m om ents négatifs des travées im paires sont tous plus grands, et ceux des



P O \T S M ET A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S . 53

go Dans ~e cas d'un nombre Ïnfini de travées, la proportion lim ite des moments

négat if s des deux p remiè re s tr avée s s era it:~

0.077,751 -"2 4033894 - -. 9 ...... ,

"'".

et celle des m om ents sur les deux prem ières pÏles :

O.1OEJ)662 . , .077 3~O = 1.366 ,

o. , ü ". .

Ces deux proportions augm entent au fur et à m esure que le nom bre des travéesdiminue.

L a prem ière atteint la valeur 3.20 pour un pont de trois travées, et la deuxièm e lavaleur 1.50 pour un pont de quatre travées. .



B i P O N T S MtTALLlQUES A P O U T R ES D R O IT E S .

C H A P IT R E V .

- ~ . . ) ~ o ~

P O N T S E N C A S T R É S E T P O N T S É Q ù 1 L lD R É S .

X I V . F o rm u te s p o u r te s p o n t s e n c a s t r é s s u r t e s c u t é e s . - Considérons un pont de

n + 1 tra vé es e nca stré su r le s d eu x c ulé es , c 'est-à-d ire d an s d es co nd itio ns telles q uela tan gen te d e la tra vée ex trême so it n ulle su r lac ulé e.



P O :'1 T S M E T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .- .

B 5

Écrivons m aintenant l'équation de la prem ière travée suivant la m éthode deM. Clapeyron:

q!y- M - (Mo-

.

Mt + ~) . px.

'dx 2 - 1 0 l . 2

x +2.

Nou s ex primero ns q ue la tan ge nte su r la cu lé e est n ulle e n é criv an t:

Mol- (Mo - Mt+.~) ~ .+

P.

l2= .

2 l 2 6 24 0

D 'oÙ nous tir er on s:

PlMt = -'- - 2Mo'

4

(0 )

Nou s au ro ns ég alemen t:

1\.1 -P,,!,,

M'V - - 2 .- 4 . 0 (n+1)



5 5 P O N T S MÉTALLIQUES A P O U T R E S D R O IT E S .

1Mn = :J (+ a"-IAn-IP +6n-IBn-IPI + Yn-IC,,-IP2 + + P"-I) + ("n-I + An-I)Mo. (n-J)

1\1 '0= ~ (+ anAnP+ b"B "PI + 'Y nC "P.+ - (ù..OnP~-l+ Pn)+ ("n + An)Mo' (n )

L'équation (n + 1 ) donne ra ensuite ;

11\10= 4(2 +"A -= -

...

=-A)[(2An-An-l)a"P-(2B,,-Bn-l)bnP1+(2C,,-C,,_Ji'nP2-

"t'n 11. "tn-l n-l

- '"'' + (20" -1) P"-I + P"J. (G ')

Nota. On prendra le signe + pour Pn quand le nom bre des travées sera im pair.

Les. moments sur les points d'appui étant connus, on en déduira les efforts tran-

chants au m oyen de la formule;

H =Mm-Mm;'1 +

Pmn.

-lm ~ '

et u n momen t q ue lco nq u,e p ar la fo rmu le ;



Ta = TI , (1 )

TI = T2 . (2 )

T~ = Tg . (3 )

TII-I = Til' (n )

r,8 P O N T S M ÉT A L L IQ UE S A P O U T R E S D R O IT E S .

X V I . P ro b lè rn e d e s p o n ts é q u il ib ré s . - .N o u s a l lo n s main te na nt tra ite r la que stion àce dernier point de vue en recherchant la solution dè ce problème:

Déterminer le s ouvertures d e s t r a v é e s d'un p o n t métall iquede manière que tous- le smomen ts de rup ture v e r s t e centred e s t r a v ée s so ientégaux entre eux, dans l ' h y p o -

tltèse d 'u ne su rch arg e n ulle o u u nifo rm ém en t rép artie su r to ut le p on t.

, Il est év iden t à p rio ri q ue les ou vertu res d evron t être sym étriq ues par rapp ort à

l'axe d u po nt.

Le nombre des travées sera de 2n + 1 ou de 2n +2.

Nommons To, T" T2, . . . . Til les moments de rupture des ire, 2", 3", ..,. etne travées, qu'il s'agit de rendre égaux.

Nou s p ose ro ns le s é qu atio ns:

Les inconnues du problème sont ici les quantités




ou bien:

P"'-l -Hm-I = Hm.

Si nous désignons par H'm l'effort tranchant à gauche de la mém.pile, nous aurons:

Hfm = P"'~l - Hm_l'

Don c, en résum é, l'équ atio n (m ) dn groupe que nous considérons se réduit à :

H",-Hfm'

En d 'au tres term es, le p ro blème d on t n ou s rec herch on s la so lu tio n c onsiste à d é-te rm in er le s ouv ertu re s d es tra vé es , d e man iè re que le s e ffo rts tra nchants à d ro ite e t àgauche de chaque pile soiept égaux entre eUX, ainsi que le représente la . f i .

.

gure 7 .

Figure '7 ,

R Il,

A

Jl2 Ra R"

tH H'I III H'2 a2 Hf3 lIa




laquel le s e rédu it à :

R = P -P1 ,

0 2

R em plaçons d'abord P par I1.,P" nous aurons:

2a -1R=~P1,

Remp la çons e ns uite R par la v ale ur g én éra le donné e (p ag e 22) fo rmu le (S i) :

'1 1R ="4P + 4al('tI'-'i)

[( 'I :{AI- 'i)a IP -( 't1 ~ 1)P I + a/P '],

laquelle dev ient, en r emp laçant P e t P ' par I1.,P ;e t en développan t:

R =PI (a + 2a14 +7aI3+3al~-2al -1 )1 4a/+8aI2+3al '

e t nous obtiendrons l 'équa tion :

10ClI"+ 9ClI3_10Cl1!-4ClI 1 0;



POl'iTS M É T A L L IQ U E S A P O UT R E S D R O IT E S . t!

e t e n développan t:

3ot j3+ 6ot j! -4 otj +'1R = Pj4(2otj2+ 3otj-1)

.

La valeur générale de R donnée page 23, form ule (8/, èst :

R = ~P + t ) [(A 2'tj-A j)(.(1 P -(B 2'tj--1) PI + ('tj - 1) P'j _(.(j2 p'J.4 4(.(j'tj 't2-1

On a d 'ailleurs, dans le cas qu e nous considérons:

P=P'=(.(jPI; 't2=7+8(.(j; A2=7+4(.(j; B2=3.

Cette valeur de R se réduit donc à :

R - P6"j~+12(.(j3+6(.(j2-(.(j-l

-j

~(4otI3 +7(.(j2+3otj).

En ég alan t en semb le les d eu x v aleu rs d e R, on obtient:

12(1/5 - 28(1/ - 40otl3 + 24~/ + 20IXI - 4 = 0;



6 2 P O N T S MÉTALLIQUES A P O U T R ES D RO IT E S .

X V I I . Solution générale du pl'oblèm e des ponts équilibrés en abaissant les points d'ap-

pui su r le s c ulé es. - A utant la solution générale du problèm e présente de difficultésde calcul quand tous les appuis sont de niveau, autant elle devient sim ple quand onaba is se le n iveau des culée s d 'une cer ta ine quant ité .C ons id éro ns en effet le p on t en cas tré d e 12+ 1 tra vé es é ga le s e t é ga lemen t c ha rg ée s

représenté dans la~figure 8. '

R=L R'=~2 V3

Figure 8. 2,13

~,,,,,~_L-- --

M,_=:;~-- - - - - -

_M._",,~- - - - - -, M : ' ~ l L - c - - M ~ _ : ~ - - - - - J ":,,,"'ii

. i 1 11,'

i ii t,'. if

p p p p

L 'éq uation d'équilibre de la pœm ière travée sera:



P O N T S ? lI É T A L L IQ U E S A P O U T R ES D R O IT E S . 62

d'où l'on tire:

0 - V3-i 1- .2{a

Pou r d éte rm in er la v ale ur d e IÇ l lè ch e ai, i l suf fi ra de fai re dans l 'équa tion (f):

V3-1x=-l.2V3

On obt iend ra a in si, toute s r éduc tions f ai te s:

II,ai-P.- 8646 "

C eci posé, si nous seions la poutre au point i, où Pad io n d es fo rc es in té rie ure s e stn ulle , il n ou s su ffira , p ou r ré ta blir l'é qu ilib re , d 'a pp liq ue r a u poin t i une fo rce ver ti -

cale R dirigée de bas en haut et égale à :

pl-V3 - -1 pl

-p l



t).i P O X T S M ÉT A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

La deuxième con sis te à é ta blir le s appuis s ur le s culé es en con tr e-b as d es appuis su r

les piles d 'une quantité ég ale à : 8~~€'à d on ne r a ux trav ées ce ntra le s la même ouv er-

ture t e t aux deux tra vé es 'd e r iv e l'o uvertu re : 1+f!,.

3t=0.7 887 ...l.

2v3 .Dans lè prem ier systèm e, les valeu rs de <x"b2' ,/" e tc ., e tc., sero nt v ariab le s a vec

le nom bre des travées, la première restant évidemment aux environs de 0,79 etle s autre s aux env irons de l'u nité .

.

D ans le second, <X .p ren d u ne v aleu r co nsta nh~=0 .7 88 7..., et les au tres rap po rtss on t égaux à l'u nité .

Celu i-c i nou s para ît d evoir ê tre con sid ér é comme la vérita ble s olu tion du p roblèmedes pon!s équi librés .

Il nous reste à établir des form ules pour les ponts équilibrés suivant ce derniersystème.

XVIII. Formules pour te s pon ts équ ili brés . - Con sid éro ns le p on t é qu ilib rére pré -senté d ans la figure 9.



P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

R, M" M 2, en fonction de l'ouverture t et des p oids p, P" .. . p', et p' uniformé-ment répa rt is .

Nota. Le poids 7r sera égalsoi t au poidspermanentp, soitau poids tot; l p+ s , sui-van t qu'o n aura équilibré le pon t so us l'influen ce de son p ro pre po ids, o u sou s l 'in-f luence d 'une sur charge génér ale .

Le pon t don t il s'a git é ta nt s )'métrique , nou s dev rons c on sid érer su cc essiv emen t lecas d e 2n + 1 et de 2n + 2 travées.

Nou s au ro ns b eso in d an s les d eu x cas d u co nco urs d es séries su iv an tes:

60 - 1;

6, = 4;

6. = 15;63= 56 ;

~o = 1;À , = 3.;

À. = 11 ;

À3= 41 ;,

. . . " . . . . . " .. . . "p

. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .an = 46 ". ,. , - 6n,,-2; Àn , 4Àn-l - Àn-2'

'to= 1; Ao= 1;A1=2+etl;

A. = 4A, - 1 = 7 + 4etl;"1 = 2 + 221 ;

". = 4"1-1= 7+ 821;

6")



'6 6 P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

In tégron s un e d eux ièm e fo is, n ou s au ro ns:

Rx3 px~ey= - - + - + ex + D.

6 . 24

7t l~La constante D est égale à

86 4.

_Pour déte rmine r la constante C , f ai sons x=rl.J; nous aurons y é tant nul:

Ra 3[3 ~l ~ l "=-~ + E2- + Cœl ~6 ~4 . 1 + 864'

d'où:

Ral!l" Pâ.13[3 'Ttl:'C=-----.6 24 864al

L 'équation de la ta ngen te s era donc:

dy Rx! px3 Ral!l! pœl3l3 'ltlSe = - - .



P O N T S M ÉT A L L IQ U E S A P O U T R E S D R O IT E S .

Remplaçons dans c e t t e équation:

67

R pal' -MI +

(1.sPI

(1.11 2'

et

HI par Mi-Mt + pl1 2 '

e t nou s obtie nd rons , toute s réductions fa ite s:

(2 + 2a )M + M=/'J}plt+PIZ!

+ ~, ,1 . 1:1 4 144al '

équ ation qu i n e diffère d e l'équ ation g én érale (1) d e la p ag e 20 q ue p ar l'ad dition d u'TCtterme

1441%1'

Quant aUX relatiQ ns exprim ant que les travées centrales se raccordent sur les piles

qui les séparent, elles conservent évidemment la. form e générale des équations de la

page 20, attendu que les appuis sur lespiles sont tous de niveau.



6 8 P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R E S H R O IT E S .

Éliminons avec le concours des sér ie s, e t nous obti endrons:

1\11= ~ (2rJ.l~pl- ltrJ.1R).

4(1 )

Mi = i [- ("1+ A1)rJ.12pl+ Pll + ltrll"lR + 3~~J. (2 )

l

[. 2 lt7tl

]\13=- ("2+A.)rJ.lpl-3p,l+pi-4rJ.l"2R-- .'lt. . 361X1

1\14 = f [- ("s+As)rJ.I~pl+ l1Pll.: - 3P2 l+ Psl + 4rJ. I"sR+

~::~l .

(3 )

(4 )

. . . . .". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

:M n =~ [+ ("n -:l + An -l)r J.l~ pl+ Àn -2 Pll+ Àn -S P2 l+ À n-4 Psl+ ... + 1 1Pn-sl- 3 PH l + Pn-ll+

- A :. On-27tl

]!j,rJ.l"n-IR + 36rJ.l .

. (n )

Pour déterm iner actuellem ent la valeur deR , nous procéderons ici, comme nousl 'a vons fait au chapi tr e 1erpou r l'é tabl is semen t des fo rmu le s symé tr ique s (8; J e t (81')'etnous aurons:



P O N T S :llÉTALLIQUES A P O U T R ES D RO IT E S . 6 9

C e s d e u x fo rm u lé s s 'a p p l iq u e n t à pa rtir d e tro is e t q uatre trav ee s. L eu rs résu lta tsso nt rigou reu sem ent exacts, po ur l'h ypo thèsé d'un e surch arg e nu lle ou . gén érale, en ce

sens qu 'elles do nnent tou jo urs:

R = pl; M l = M2= M3= =Mn -:-~~!.

2V 3

La formule (Qp)ne p eu t p as s 'a pp liq ue r a u pon t é qu ilib ré d e d eux tra vé es . L aré ac -tio n su r la cu lée g au ch e d e ce sy stèm e d e p on t s'o btie ndra d irectem en t en p osan t lest ro is équa tions su ivantes :

lMl = - (2pl - 4R).

4(f ) Ml-: (2p/ - 4R').4

(2 )

Rl~ pl3 7':l3 R'[2 pp td3

3" -8+ 8641X143 - 8+ 8641X/,0. (3 )

L ' é q u a t i o n (3) exprim e que les deux travées ont m êm e tangente sur la prem ière pile.

Il e st e ss en tie l d e rema rque r que t désigne ici , non plus FOliverturedes t ravées cen-tr àle s, ma is b ien l'ouver tu re r ée lle des deux tr avée s du pon t considéré.



7 0 P O N T S M É T A L L IQ U E S A P O U T R ES D RO IT E S .

le s mêmes que c elle s re la tiv es a ux pon ts 8 !métriq ue s, s au f l'a dd itio n d 'u n te rme con --s tant f onction de 'i t'.

-o-o~~

Le temps nous manque pour établir, pour les calculs des ponts équilibrés, un ta ...: .

bleau sem blable à celui que nous avons établi pour les ponts à travées égales.

--O<>~O""""""



CONCLUSION.



7 2 C O N C L U S IO N .

co nstru cteu rs co nsiste d an s l'étab lissem en t d 'u n pont équ il ibré, c 'es t-à -d ire d 'u n p on t

dont toutes les travées centrales auront la m êm e ouverture 1, dont les deux travées de.

riv e a uro nt u ne o uv ertu re é ga le à ~ (1+ ;"3)=0,7887... 1, ef don t les appuis su r les

culées seront établis en contre-bas des appuis sur les piles -d'une quantité égale, 'T i"a 8640.

}'1N.



T A B L E D E S M A T IÈ R E S o

<>Q~<><>---

CHA.PITBE IEB, - É TA BL IS SEMENT D E FO RMUL ES G ÉN ÉRALE S POUR L E CAL CU LD 'U N



7 4 T A B L E D E S M A T IÈ R E S .

CHAPITRE IV . - P O N T S A T R A V É E S É G A L E S . . . . . . . . . . . . . . , . . . . .

X I . É t a b l is s e m en t d 'u n ta b le a u p o u r le s c a lc u ls d e s p o n t s i l t r a v é e s é g a le s . . . . . . . .X I I . R e m a r q u e s s u r le t r a v a i l d e s p o n ts i l t r a v é e s é g a le s . . . . . . . . . . . . . . . . .

X I I I . T r a v a i l d 'u n p o n t i l t r a v é e s é g a le s e t é g a le m e n t c h a r g é e s . . . . . . . . . . .

CH.&PITRE V . - P O : ' lT S E N C A S T R É S E T P O N T S É Q U IL IB R É S . . . . . . . . . . . . .

X IV . F o rm u le s p o u r le s p o n ts e n c a s t r é s s u r l e s c u lé e s . . . . . . . . . . . . . .

X V . In flu e nc e d e l 'e n ca s t r e m en t s u r le s c u lé es q u a nd le s t r a v é es s o n t é ga le s . . . . . . . .X V I . P r o b lè m e d e s p o n t s é q u i l ib r é s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X V I I . S o lu t io n g é n é r a le d u p r o b lè m e d e s p on ts é qu il ib ré s e n a b a is s a n t le s p o in ts d 'a p p u i s u r

l e s c u lé e s . . . . . . . . . . . . . . '. ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .X V I II . F o rm u l e s p o u r le s p o n t s é q u i l i b r é s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C O N C L U S IO N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F IN D E L A T A B L E D E S M A T IÈ R E S .

4 9

4 9

5 1

S I

M

5 4 -

5 6

5 8

62

64 -

71



Pages Lignes ou endro it s des pages

1 6 6

Id . id .

1 7 1 2

1 8 1 4 -

2 0 1 3

2 4 4

2 5 5

2 6 6

2 7 7

2 8 8

3 3 1 1

Id . a v a n t - d e r n i è r e ,

A u lieu de : Lisez:

o " D n P ~ , o n D n P s .

f o r m u l e (C), fo rm u le (G ) .

3 2 3 !~ w , , W n .

'"f o r m u l e (C), f o r m u le ( G ) .

id . id .

1 l-( \ ' ~ J . . . . ) .4 " " ' / 1

id . id .

id . id .

id . id .

i d . id .

' 1 = 2 + 2 a l , '1 = 2 + 2 "'1 '

1 0 1 9 2 2 3 , 1 0 1 9 2 3 3 .

E R R A T A o

calcul des ponts metalliques

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