flambage des panneaux raidis metalliques
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Planche 1
FLAMBAGE DES PANNEAUX RAIDIS METALLIQUESFLAMBAGE DES PANNEAUX RAIDIS METALLIQUES
1. Généralités
1.1 Définition
1.2 Mise en évidence du flambage
1.3 Modes de rupture
2. Calcul d ’un panneau raidi soumis à de la compression pure
2.1 Méthodologie
2.2 Calculs préliminaires
2.3 Tenue statique du panneau
2.4 Détermination de la charge de cloquage de la peau
2.5 Détermination de la charge de flambage du super-raidisseur
2.6 Détermination des charges de flambages locales ou semi-locales du raidisseur
3. Exemple
Planche 2
4. Calcul d’un panneau soumis à du cisaillement pur
4.1 Résistance après flambage d ’un panneau raidi en cisaillement. Théorie de la tension
diagonale incomplète
4.2 Exemple de calcul d ’un panneau raidi en tension diagonale incomplète
4.3 Méthodologie
5. Calcul d ’un panneau en compression et cisaillement
5.1 Méthodologie
5.2 Principe de calcul
6. Conclusion
Planche 3 1. Généralités
1.1 Définition
Un panneau raidi, c’est une « peau » plane ou courbe sur laquelle on a disposé des « raidisseurs » parallèles à
la direction de la contrainte normale dominante.
Les raidisseurs constituent des membrures longitudinales solidaires de la peau sur toute leur longueur. Ils
peuvent être de 2 types :
- soit « cousus » au moyen de vis, rivets, on parle alors de « raidisseurs rapportés » ,
- soit usinés dans une plaque épaisse ou soudés, on parle alors de « raidisseurs intégrés ».
Les panneaux raidis comportent aussi des membrures transverses dont la fonction est de fournir des appuis et
de reprendre les efforts de pression. Pour les caissons, on parle de raidisseurs et de nervures et pour les
fuselages, on parle de lisses et de cadres.
On appelle « maille » les quadrilatères délimités par les lisses et les cadres.
Pas inter-lisses
membrures Pas inter-cadres
Planche 4
1.2 Mise en évidence
Il est possible de mettre en évidence les phénomènes de cloquage et flambage par essai. Ces essais sont
souvent réalisés pour valider les résultats obtenus par calcul.
On considère un panneau plan raidi. Ce panneau est équipé de jauges et de rosettes qui permettent de
donner les contraintes en des points particuliers du panneau.
L’analyse des changements de pente permet de mettre en évidence :
- le flambage local (cloquage de la maille),
- le flambage général (flambage du panneau)
Planche 5
a/ Flambage local ou cloquage
L ’analyse des changements de pente sur les jauges de contrainte montre que le flambage est apparu pour
pour une charge de l’ordre de -42000 N.
Les jauges sont collées sur la peau, en milieu de maille, coté sup et coté inf.
Relevé de jauges de contraintes
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Effort appliqué ( kN )
Mic
rod
éfo
rmati
on
s
Planche 6
Soit dans la section AA :
- Peau sup :
- Peau inf :
V/I
Mf
S
F
V/I
Mf
S
F
avec F : l ’effort appliqué
M : moment de flexion dû au déport de ligne neutre
E : le module de Young
e: l ’épaisseur de la plaque
I: le moment d ’inertie
Lors d ’une sollicitation en compression, le déplacement dû au moment de flexion tend à écarter la ligne
neutre du plan moyen ce qui a pour conséquence d’augmenter les contraintes en peau sup et de diminuer
les contraintes en peau inf. Ceci explique la divergence observée sur le graphique précédent entre des
jauges interne et externe.
N N
MtMt
Déplacement de la ligne neutre
Position initiale
A
A
1
2
Planche 7
b/ Flambage général
L'analyse des jauges confirme l'atteinte du flambage général car on constate très clairement l'apparition
d'une flexion divergente dans les raidisseurs.
Le flambage général conduit à la ruine de la structure.
-8000
-7000
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
Effort appliqué (kN)
Relevé de jauges de contraintes
Planche 8
1.3 Modes de rupture
On distingue 2 types d ’instabilité:
- instabilité de la peau (cloquage de la peau). Cette instabilité est admise dans une certaine
mesure.
- instabilité des super-raidisseurs. Elle est proscrite car elle conduit à la ruine de la structure.
• flambage de colonne,
• flambages locaux
Planche 9
a/ Instabilité de la peau
Les tôles minces plissent sous des charges de
compression et/ou de cisaillement relativement faible. En
compression, la peau est saturée quand sa contrainte de
cloquage est atteinte. L’excédent de charge est alors
repris par les raidisseurs.
Ce type d ’instabilité ne conduit pas à la ruine de la
structure. Cependant, on évite généralement que ce
phénomène apparaisse avant 80% de CL.
Flambage local du revêtement d ’un fuselage sous l ’effet
de l ’effort tranchant et de la flexion du fuselage
Planche 10
b/ Instabilité générale
Elle se produit lorsque les raidisseurs ne sont plus capables de reprendre le surplus d ’effort induit par le
cloquage de la peau. La rupture se produit dans le raidisseur soit par flambage local soit par flambage de
colonne.
Ce phénomène est très brutal voire explosif, il conduit à la ruine de la structure.
Flambage en compression d ’un panneau isolé en
tôle mince avec raidisseurs rapportés
Rupture par flambage en flexion et effort
tranchant d ’une partie arrière de fuselage
d ’appareil de transport
Planche 11 2. Calcul d’un panneau raidi soumis à de la compression pure
2.1 Méthodologie
On a montré que le comportement d ’un panneau raidi soumis à un champ de compression pouvait se
décomposer en 3 états :
- un état stable,
- un premier état stable avec le cloquage ou le plissement de la peau,
- un second état instable avec le flambage du super-raidisseur ou du raidisseur qui conduit à la
ruine de la structure.
La méthodologie du calcul est la suivante :
- détermination de la contrainte statique admissible du panneau (tenue du panneau pour un état
stable),
- détermination de la charge de cloquage de la peau,
- détermination des charges de flambage du super-raidisseur (flambage de colonne),
- détermination des charges de flambage locales et semi locales du raidisseur.
Planche 12
2.2 Calculs préliminaires
Le but de ce premier chapitre est de déterminer les caractéristiques matériau du super-raidisseur. Ce type de
calcul est nécessaire si le raidisseur est rapporté et que le matériau qui le constitue est différent du matériau
de la peau.
On utilise alors des sections corrigées, de manière à se ramener au cas simple d ’une poutre constituée
d’un matériau fictif homogène.
Les calculs nécessitent la prise en compte du comportement élasto-plastique des matériaux. On utilise pour
cela le modèle de Ramberg et Osgood:
Avec E: le module de Young en compression
Et: le module tangent
Es: le module sécant
0.2 : la limite élastique en compression
n : le coefficient de Ramberg et Osgood
n
.
.E
20
0020
sE
E
n
E
n
E st
11
Planche 13
1/ Calculs préliminaires : détermination des sections, des inerties et des centres de gravité
a/ Caractéristiques géométriques de la peau :
b/ Caractéristiques géométriques du raidisseur:
²)mm(S p
)mm(Wp
3
)mm(I p
4
: Section de la peau
: Moment statique de la peau
: Inertie de la peau
²)mm(Sr
)mm(Wr
3
)mm(Ir
4
: Section du raidisseur
: Moment statique du raidisseur
: Inertie du raidisseur
Planche 14
2/ Détermination les caractéristiques du « super-raidisseur équivalent »
a/ Matériau fictif homogène :
Le module d ’élasticité du matériau « fictif homogène » est donné par :
r
total
rp
total
p
fictif ES
SE
S
SE **
b/ Moment statique du « super raidisseur » :
r
fictif
rp
fictif
pW*
E
EW*
E
EW
Planche 15
c/ Centre d ’inertie du « super raidisseur » :
total
fictif
S
Wd
d/ Moment d ’inertie au centre de gravité du « super raidisseur » :
r
fictif
rp
fictif
pI*
E
EI*
E
EI
Planche 16
2.3 Tenue statique de la structure
On se limite, dans cet exemple , au comportement statique de la structure. Dans le cas d ’un « dimensionnement
avion », il est nécessaire de vérifier la tenue du panneau en fatigue, tolérances aux dommages...
On détermine les contraintes, en fonction des caractéristiques matériau des différentes parties du « super-
raidisseur ».
On a une « contrainte moyenne »:
"moyenne"
fictif
p
p *E
E
totale
"moyenne"S
F
La contrainte dans la peau vaut :
La contrainte dans le raidisseur vaut : "moyenne"
fictif
rr *
E
E
Connaissant la contrainte admissible des matériaux de la peau et du raidisseur, on vérifie la tenue de la
structure.
Planche 17
2.4 Détermination de la charge de cloquage de la peau
Pour ce type de calcul, se référer au chapitre « Panneaux plans / panneaux courbes »
Planche 18
2.5 Détermination de la charge de flambage du super-raidisseur
Deux cas peuvent se présenter :
- la maille est stable,
- la maille n’est pas stable.
a/ La maille est stable
C ’est le cas le plus simple : elle reprend une partie de l ’effort en fonction de sa rigidité et de sa section (cf.
calculs préliminaires).
b/ La maille est instable
Dans ce cas, la partie de la maille qui aura flambé ne reprendra plus d ’effort. En effet, dès qu’une zone est
instable, elle ne se charge plus. Tous les efforts supplémentaires doivent donc passer dans les zones
stables.
Pour déterminer la stabilité du super-raidisseur, il est nécessaire de connaître l ’état de la maille et donc « la
largeur travaillante ».
Planche 19
Pour déterminer la largeur travaillante, le moyen le plus simple est de soustraire à la section initiale S0 les
sections de peau qui ne travaillent pas.
Largeur travaillante
Peau instable
Fpeau
suprai
Connaissant la section travaillante, il suffit de déterminer la charge critique de flambage à l ’aide de la
formulation d ’Euler.
Planche 20
c/ Calcul de la largeur travaillante
Il est possible de déterminer la largeur travaillante en appliquant la formule de Karman.
Formule de Karman
Le rapport entre la largeur travaillante et le pas des raidisseurs est fonction du rapport entre la contrainte
réelle de la peau et la contrainte critique de cloquage de la peau :
peau
peauclo
p
c
.
2
25.0
Avec c : largeur travaillante
p : le pas des raidisseurs
peau : la contrainte réelle dans la peau
clopeau : la contrainte de cloquage de la peau
Planche 21
Le flambage du super-raidisseur se produit lorsque la valeur de contrainte de flambage général de la maille
travaillante est égale à la contrainte courante dans le super-raidisseur.
Ce qui conduit à résoudre de manière itérative l ’équation suivante :
SL
EI
2
2
avec EI et S fonction de « c » la largeur travaillante:
d/ Détermination de la contrainte de flambage
Effort et effort critique de flambage
en fonction de la contrainte moyenne
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
0 50 100 150 200 250 300 350Contrainte moyenne (MPa)
Eff
ort
(N
)
Planche 22
Remarque : il est possible d ’utiliser des approches conservatives en pré-dimensionnement :
- on suppose que toute la maille est instable,
- on utilise de la règle des « 15é ». On considère alors que la largeur travaillante est égale à
deux fois « 15é » avec é épaisseur fond de maille (15e de chaque coté de la fix). Cette solution
conservative est régulièrement utilisée.
Planche 23
2.6 Détermination des charges de flambage locales ou semi-locales du raidisseur
On a considéré jusqu’à présent que le raidisseur était stable, le dernier point à vérifier est donc la tenue de
cette structure.
On décompose cette opération en 3 étapes :
- stabilité locale des différents éléments constituant le raidisseur,
- flambage inter-fixations,
- déversement du raidisseur,
- crippling.
Planche 24
Semelle
âme
talon
Bord tombé
Flambage local
Flambage inter-fixations
Déversement
Stabilité d ’un raidisseur
Crippling
Planche 25
a/ Stabilité des éléments constituant le raidisseur
On vérifie la stabilité du talon et de l ’âme du raidisseur.
Flambage local du talon :
On considére que la liaison âme-talon est un appui simple (solution
conservative), la contrainte de flambage est donnée par :
2
2
2
)1(12..
t
t
e
ctalonl
eEK
Avec E: le module d ’Young
: le coefficient de correction de plasticité
lt: la largeur du talon
et: l ’épaisseur du talon
Kc : le coefficient de flambage (dépend de la géométrie et des C.L.)
ue: le coefficient de poisson dans la zone élastique
Planche 26
Remarques :
1/ le coefficient de flambage dépend du type de raidisseur. On en distingue principalement 2 :
les raidisseurs avec ou sans bord tombé.
En fonction de la géométrie (largeur du talon, épaisseur du talon, surface du bord tombé, inertie
du bord tombé), on détermine Kc.
Ce coefficient est de l ’ordre de 4 avec bord tombé
0.4 sans bord tombé
2/ Le coefficient de correction de plasticité dépend également de la présence ou non d ’un bord
tombé.
3/ Pour le cas d ’un talon courbe, la contrainte critique de flambage est exprimée en fonction du
rayon, de l ’épaisseur du talon. Le coefficient de flambage est de l ’ordre de 0,6.
4/ La géométrie du bord tombé à une influence directe sur les résultats, il est donc nécessaire de
le dimensionner . Ces dimensions sont fonction de celles du talon et sont optimisées pour
assurer les conditions d ’appuis.
Planche 27
Flambage local de l ’âme:
La contrainte critique de flambage est donnée par :
2
2
2
)1(12..
a
a
e
câmeh
eEK
Avec E : le module d ’Young
: le coefficient de correction de plasticité
ha: la hauteur de l ’âme
ea: l ’épaisseur de l ’âme
Kc : le coefficient de flambage
ue: le coefficient de poisson dans la zone élastique
Planche 28
Remarques :
1/ le coefficient de flambage dépend de la géométrie (hauteur, épaisseur et inertie). Ce
coefficient est de l ’ordre de 4.
2/ Le coefficient de correction de plasticité dépend également de la présence ou non d ’un talon
et est déterminé de la même façon que pour les talons.
Le dimensionnement sera repris dans le cours « flambage local des ailes d ’un profilé ».
Planche 29
b/ Déversement du raidisseur
Sous le flambement du talon, l ’ensemble du raidisseur peut être entraîné dans sa déformation.
La contrainte critique de déversement est donnée par :
tt
td
EIm
Lm
S
EI42
42
2
Avec E : le module d ’Young
It : Inertie du talon
St : la section du talon
L : la longueur
m : le nombre de demi-onde
: le module de fondation linéaire (fonction de l ’âme)
3
4
âme
âmeâme
h
eE
Planche 30
Pour minimiser la contrainte de déversement, on détermine m tel que :
0
dm
d d
Soit : 4
0
tI.E
Lm
La valeur m0 ainsi définie a peu de chance d ’être entière. On fera donc le calcul avec les 2
valeurs entières qui entourent m0 et on prendra pour la suite la valeur qui minimise le plus la
contrainte de déversement.
Planche 31
c/ Flambage inter-fixations
Ce phénomène de flambage correspond à une instabilité de la semelle du raidisseur entre 2 fixations (rivets).
p
es
ep
La contrainte critique de flambage est donnée par :
22
.12
pK
eEc
Avec E : le module d ’Young
n: le coefficient de correction de plasticité
p: le pas entre les 2 fixations
K : le coefficient d encastrement dépendant du type de fixation
e : épaisseur considérée (semelle ou panneau)
Planche 32
d/ Crippling
Le crippling est la somme des capacités portantes des éléments qui constituent le profilé.
La contrainte de crippling est donnée par :
i
ii
criS
S
Avec i : contrainte critique de flambage de l ’élément i
Si: section de l ’élément i
Planche 33
Stabilité de la maille
Stabilité du super-raidisseur
oui
non Largeur travaillante
Stabilité du raidisseur
Stabilité du talon
Stabilité de l ’âme
Stabilité inter-fixations
Crippling
CHARGE A RUPTURE= min ( i )
Synoptique récapitulatif du calcul d ’un panneau raidi en compression
Déversement
Planche 34
3. Calcul d’un panneau plan sous un chargement de compression
Les caractéristiques matériau de la peau (2024 T42 pl) sont : épaisseur : 4 mm
E=69000 MPa / 0.2 =260MPa / np=17
Les caractéristiques matériau du raidisseur (7175 T73511) sont : épaisseur : 4 mm
E=71000 MPa / 0.2=340MPa / nr=27
Le pas des lisses est de 180 mm. Le pas des cadres est de 530 mm.
La liaison entre le raidisseur et la peau est assurée par des rivets (K=0.66) espacés de 25 mm.
Le chargement est de 200 MPa.
30
180 mm 25 mm
Planche 35
1/ Calculs préliminaires :
²720 mmSp
4960 mmI p
b/ Caractéristiques géométriques du super raidisseur:
²940 mmSsr
a/ Caractéristiques géométriques de la peau :
34800 mmWsr
mmS
Wd
sr
sr 1.5
CDGaummIsr
455542
Planche 36
r
total
rp
total
p
fictif ES
SE
S
SE **
MPaE fictif 6946871000*220720
22069000*
220720
720
c/ Matériau fictif homogène :
Le module d ’élasticité du matériau « fictif homogène » est donné par :
d/ Contrainte dans la peau
MPap 6.198200*69468
69000
e/ Contrainte dans le raidisseur
MPap 4.204200*69468
71000
Planche 37
2/ Charge de cloquage de la peau
Détermination (formules approchées) du coefficient de flambage en compression simple :
soit a : la longueur de la plaque,
b : la largeur de la plaque (chargement).
Si a/b >1 alors K=4
sinon :
Les coefficients a1, a2 et a3 sont fonctions des conditions aux limites
Dans le cas d ’une plaque appuyée sur les 4 cotés, a1 = a2 = 1 et a3=2
3
2
2
2
1 ** aa
ba
b
aaK
La contrainte de flambage est donnée par :
2
b
eKEclo
Dans notre cas, le rapport a/b=2.9 est supérieur à 1 donc K=4
Planche 38
Si on suppose que l’on est dans le domaine élastique alors le coefficient de correction de plasticité vaut
1.
La charge de cloquage de la peau est donc égale à :
MPab
eKEclo 136
180
4*69000*4
22
La peau est donc instable : 68.06.198
136RF
Il sera donc nécessaire de déterminer la largeur travaillante pour calculer la charge de flambage
du super raidisseur.
Planche 39
3/ Stabilité du super -raidisseur
Il faut ensuite déterminer la charge de flambage du super-raidisseur.
La peau est instable, il est donc nécessaire de calculer la largeur travaillante. Pour ce faire, on procède
par itérations (l ’effort passant dans le super-raidisseur est fonction de la largeur travaillante). Voir
courbe sur planche 21.
On trouve finalement un effort de 138029 N soit une contrainte moyenne relative à la section totale :
MPaf 8.146
Le super-raidisseur est donc instable (flambage de colonne). On vérifie cependant les autres
charges critiques afin de savoir s ’il s ’agit de la charge critique minimum.
Planche 40
4/ Stabilité de l ’âme du raidisseur
Dans le cas d ’un raidisseur sans bord tombé, on prend Kc=0.43
MPah
eEK
a
a
e
câme 39034
4
)33.01(12
71000**1*43.0
)1(12..
2
2
22
2
2
Détermination de la charge de flambage
L ’âme est donc stable
Planche 41
5/ Stabilité inter-fixations
La contrainte critique de flambage est donnée par :
MPapK
eE sc 260
25*66.0
4
12
69000*1
.12
2222
Il n ’y a pas de risque de flambage inter-fixations car nous sommes largement au dessus du
chargement.
Remarque: Dans ce cas, il faudrait prendre en compte le coefficient de correction de plasticité
4/ Déversement du raidisseur
Il n ’y a pas de talon, donc pas de contrainte critique de déversement du talon !
Planche 42
7/ Conclusion
Cloquage de la peau: 136 MPa
Flambage du super raidisseur : 146.8 MPa
Flambage local de l ’ame : 390 MPa
Flambage inter-fixations >> 260 MPa
Crippling >335 MPa
Le panneau périra par flambage de colonne du super-raidisseur pour un chargement de 146.8 MPa
6/ Crippling
On a : MPaS
S
i
ii
cri 3354*254*34
260*4*25390*4*34
Le crippling ne pose pas de problème.
Planche 43
4. Calcul d ’un panneau plan soumis à du cisaillement pur
On distingue 3 types de comportement pour les panneaux raidis conçus pour passer du cisaillement dans le
plan de la peau :
- les panneaux en cisaillement stable,
- les panneaux en tension diagonale pure,
- les panneaux en semi-tension diagonale ou tension diagonale incomplète.
4.1/ Résistance après flambage d ’un panneau raidi en cisaillement - Théorie de la
tension diagonale incomplète
Considérons un panneau raidi sollicité en cisaillement. Pour une valeur de contrainte t=tc, on observe
l ’apparition de plis orientés sensiblement à 45°par rapport aux bords.
t
t
t
t
Planche 44
Ce mode de déformation s ’explique par l ’ existence d ’une direction principale de compression Y=-tc.
C ’est cette contrainte de compression qui est à l ’origine de l ’instabilité et qui explique l ’orientation des
plis.
txy=-tc
txy=tc
t
y=-tc
y=tc
2a
a
X
Y
X traction Y compression pure
tc
tc
Si on augmente la charge au delà de t=tc, le panneau ne s ’effondre pas malgré l ’apparition des
plis. Ceci s ’explique par une modification du mode de travail de la structure qui se traduit par une
surcharge des raidisseurs.
Planche 45
Théorie de la tension diagonale incomplète
Considérons le diagramme de Mohr et faisons croître progressivement le cisaillement appliqué au
panneau raidi. Le diamètre du cercle de cisaillement simple croît jusqu’à la valeur critique correspondant
à l ’apparition de l ’instabilité (Y=-tc). Ensuite, pour t>tc, le revêtement conserve sa valeur maximale de
compression Y=-tc et supporte l ’augmentation de cisaillement à condition d ’admettre qu’apparaissent
des contraintes normales de traction sur les bords (qui ont pour effet de déplacer sur l ’axe le centre du
cercle de Mohr).
O
tXY
w X=2t-tc Y=-tc
t
Planche 46
Les contraintes principales deviennent : X=2t-tc et Y=-tc
Le chargement du panneau est indiqué sur la figure ci-dessous :
Pour les bordures du panneau, tout se passe comme si le revêtement se comportait comme une
membrure tendue et appliquait sur les bordures, outre le flux de cisaillement, des charges
transversales réparties de valeurs (t-tc).e.
t-tc
t
t
t
t-tc
t-tc
t-tc
t
Planche 47
Remarques préliminaires :
1/ Le flux de cisaillement varie d ’un point à l ’autre de la structure (variation d ’épaisseur de la
maille, de la semelle de membrure…), il est en principe connu au centre de la maille. Or il n ’existe
pas de méthode de calcul qui permette de calculer les variations du champ de tension. Il faut se
ramener à des cas élémentaires par simplifications.
2/ Si les marges obtenues par calculs sont inférieures à 15%, il est nécessaire de confirmer les
résultats par essais, ce qui traduit le manque de fiabilité de la méthode.
4.2/ Méthodologie
a/ Détermination du facteur de tension diagonale
Le facteur de tension diagonale est donné à partir du taux de chargement de la maille Rs. Le taux
de chargement de la maille est le rapport entre la contrainte nominale de cisaillement et la
contrainte critique de plissement (calculée de la même manière que pour les panneaux soumis à
de la compression pure).
1
143430
43430
.
s
.
s
R
Rk si 1
pl
sRt
t
0k si 1pl
sRt
t
Planche 48
b/ Détermination de la largeur travaillante
La notion de largeur travaillante est identique à celle utilisée pour les panneaux soumis à un
champ de compression.
On n ’utilise plus la formulation de Karman mais la formulation de NACA :
21 iniale.tetravaillan
tetravaillan
L)k(l
c/ Détermination des contraintes dans le super-raidisseur
Il est possible d ’utiliser une méthode simplifiée qui donne la déformation de tension diagonale
dans la peau si l ’on considère que l ’angle des plis est voisin de 45° :
peauE
kkt
u 11
La contrainte passant dans les membrures peut être déterminer à l’aide d ’abaques.
Planche 49
On détermine, de même:
- les contraintes dans la maille (critère de tresca),
- les contraintes au droit du raidisseur,
- les contraintes dans le raidisseur.
Remarque : la contrainte dans le raidisseur n ’est pas constante et est maximale entre les 2 membrures
transverses.
d/ Contraintes admissibles
Flambage local
Le mode de rupture par flambage inter-fixations n ’existe pas quand la peau travaille en tension
diagonale. Le flambage local naturel ne peut donc se produire que dans le raidisseur.
Planche 50
Flambage local forcé ou « forced crippling »
Il s ’agit en fait de flexion amplifiée parce que la semelle du raidisseur est sollicitée transversalement par
les ondulations de la peau, son bord libre tend à épouser ces ondulations tandis que l ’arête qu ’elle
forme avec l ’âme reste rectiligne.
Dés lors, aux contraintes de compression dues à la tension diagonale s ’ajoutent des contraintes locales
de flexion dues aux charges transverses induites par la déformée de la peau, amplifiée par la
compression.
Les ondes provoquées par le plissement des mailles
du panneau induisent la déformation locale de la
semelle du raidisseur .
Ce phénomène est d ’autant plus accentué que
l ’épaisseur de la semelle est faible devant celle du
panneau.
Ce phénomène est avec le cisaillement de la peau
l ’une des 2 causes principales de rupture.
Planche 51
Le flambage forcé se produit quand la compression max dans le raidisseur atteint une valeur
déterminée au moyen d ’une expression empirique et qui intègre les phénomènes de plasticité du
matériau.
Avec : e ’sr : épaisseur de la semelle de raidisseur
Ecr : le module d’Young en compression du raidisseur
e ’p : épaisseur de la peau
Ecp : le module d’Young en compression de la peau
k : le facteur de tension diagonale
0.2 : la limite élastique en compression du raidisseur
31
32
20
20
0020
0510
/
cp
'
p
CR
'
cr/
cr
.
.m
E.e
E.ek.
.E
.
Planche 52
Flambage du super raidisseur
La vérification de la tenue vis à vis du flambage de colonne se fait en comparant la contrainte moyenne
de compression et la contrainte critique de flambage. Cette dernière est calculée à partir des
caractéristiques géométriques et des contraintes dans le super raidisseur (planche 48)
Remarque sur le calcul de la contrainte critique de flambage: Il faut tenir compte d ’une particularité
des panneaux plans en tension diagonale : lorsque la flexion s ’amorce, la tension diagonale tend à s ’y
opposer. Tout se passe comme si la colonne était liée à une fondation élastique.
Le coefficient d ’encastrement doit tenir compte de cette particularité.
Rupture de la peau
La rupture en fond de maille est donnée par le critère de Tresca et la rupture au niveau de la liaison peau-
raidisseur :
avec R la contrainte à rupture en traction.
2
Radm.max
t
Planche 53
5. Calcul d ’un panneau plan en compression et cisaillement
5.1 Méthodologie
Pour déterminer la charge de plissement des mailles et la charge de rupture d ’un panneau à raidisseurs
rapportés en compression et cisaillement, il faut calculer ces mêmes valeurs en compression pure puis
en cisaillement simple.
On obtient alors :
- les contraintes de plissement de la maille en compression simple et cisaillement simple,
- les charges à rupture en compression simple et cisaillement simple.
On admet que la charge à rupture de la peau en cisaillement simple n ’est pas modifiée par la présence de
la charge de compression. Par contre, les déformations induites par les plis de tension diagonale dans la
semelle des raidisseurs rapportés affectent les sections transverses des super-raidisseurs et donc la charge
admissible en compression, autrement dit : le flambage local forcé interagit avec le flambage de colonne.
Planche 54
On obtient alors une courbe d ’interaction du type :
P adm
P adm init
P
t adm t t rupt peau t fl local forcé
t
P
Courbe d ’interaction
Planche 55
a/ Détermination du taux de chargement, facteur de tension diagonale
On détermine le taux de chargement en compression, le taux de chargement en cisaillement
simple et on combine le tout pour obtenir le taux de chargement sous sollicitations combinées :
2
4 22
scc RRRR
et Rc : le taux de chargement en compression
Pcp.init : l ’effort en début de plissement
Rs : le taux de chargement en cisaillement
tcp.init : la contrainte en début de plissement
init.cp
cP
PR
init.cp
sRt
tAvec : et
5.2 Principe de calcul
Planche 56
b/ Détermination de la largeur travaillante
On procède de façon identique :
- détermination de la largeur travaillante en compression,
- détermination de la largeur travaillante en cisaillement,
- détermination de la largeur travaillante pour des sollicitations combinées.
c/ Vérification de la tenue des différentes parties constituant le panneau
On vérifie de la même façon la contrainte dans les membrures, dans les super-raidisseurs, et
dans les cadres :
- détermination des contraintes en compression,
- détermination des contraintes en cisaillement,
- détermination des contraintes pour des sollicitations combinées.
Planche 57
d/ Détermination des efforts admissibles
On utilise le diagramme présenté au paragraphe 5.1
6. Conclusion
Pour les cas de chargements combinés, on calcule la tenue de la structure pour chaque cas de charge
élémentaire et on applique un coefficient d ’interaction.
Pour un pré-dimensionnement rapide, il est possible d ’utiliser des abaques.
Les méthodes numériques sont nécessaires pour les chargements en cisaillement, combinés et/ou pour des
structures géométriquement complexes. De même, il est souvent nécessaire de valider les résultats par essai .