calcules des portiques. méthodes des déplacements
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CHAPITRE II
CALCUL DES PORTIQUES
PAR LA MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS
HEI 4 BTPHautes Etudes d’Ingénieur13, rue de Toul59046 Lille Cedex
Un portique est un assemblage de poutres dont les lignes moyennes appartiennent à un plan (Oxy) et qui sont chargées dans ce plan. Le point d’assemblage de plusieurs poutres s’appelle un nœud.Les poutres sont considérées comme encastrées aux nœuds, on dit ainsi que les nœuds sont rigides.
I. Définitions
II. Conventions de signes sur les éléments poutres
II.1 Déplacements des nœuds
En un nœud i d’une poutre, le déplacement i à 3 composantes (ou 3 degrés de liberté)
u2
v2
2
u1
v11
i
i
i
θ
v
u
i
II. Conventions de signes sur les éléments poutres
II.2 Eléments de réduction
Chaque section droite est sollicitée par un effort normal N, un
effort tranchant T et un moment fléchissant µ. Dans les sections
extrêmes, les sens positifs sont les suivants:
N2
T2
µ2
N1
T1µ1
II.3 Forces extérieures
X2
Y2
M2
X1
Y1
M1
III. Définition des vecteurs force et déplacement nodaux
Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et déplacement {}
s’écriront:
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
F
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
Notre objectif est d’établir la relation de rigidité d’un élément
poutre, c’est-à-dire:
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
v
u
v
u
K
FK
dimension 6x6
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
a) Matrice de rigidité due aux efforts selon x* (cf chapitre précédent)
2
1
2
1
u
u
11
11
LEA
X
X
Soit:
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
000000
000000
001001-
000000
000000
001-001
LEA
M
Y
X
M
Y
X
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*
On impose une rotation 1 au nœud 1 en bloquant les autres
déplacements
Le moment M1 nécessaire pour produire 1 est (p 21) :
M2
M1
11 L
4EIM
Mt/1=0 M1+M2+Y2L=0 122L
6EIY
De plus, on a Y1+Y2=0 121L
6EIY
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
Il produit un moment M2 au nœud 2 : 12 L
2EIM
1 2
1
1 2
Y1 Y2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*
De même, on impose une rotation 2 au nœud 2 en bloquant les autres
déplacements
Le moment M2 nécessaire pour produire 2 est :
M2
M1
22 L4EI
M
Mt/2=0 M1+M2-Y1L=0 221L
6EIY
De plus, on a Y1+Y2=0 222L
6EIY
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
Il produit un moment M1 au nœud 1 : 21 L2EI
M
21
2
21
Y1 Y2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*
En superposant les deux cas, on obtient:
2
2
2
1
1
1
22
22
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
400
200
600
600
000000
200
400
600
600
000000
M
Y
X
M
Y
X
LEI
LEI
L
EI
L
EI
LEI
LEI
L
EI
L
EI
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*
On impose un déplacement v1 au nœud 1 et on bloque tous les autres
déplacements
Nous avons des moments (2.4 p 23)
1
2v1 M2
M1 1 2
1212
21 vL
6EIL
vv
L6EI
MM
Mt/2=0 M1+M2-Y1L=0 131 vL
12EIY
De plus, on a Y1+Y2=0 132 vL
12EIY
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
Y1 Y2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*
De même, on impose un déplacement v2 au nœud 2 et on bloque tous
les autres déplacements
Nous avons des moments
2
1 v2 M2
M1 21
2212
21 vL
6EIL
vv
L6EI
MM
Mt/1=0 M1+M2+Y2L=0 232 vL
12EIY
De plus, on a Y1+Y2=0 231 vL
12EIY
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
Y1 Y2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*
En superposant les deux cas, on obtient:
2
2
2
1
1
1
22
33
22
33
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
06
006
0
012
0012
0
000000
06
006
0
012
0012
0
000000
M
Y
X
M
Y
X
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
Conclusion : La matrice de rigidité de l’élément poutre en repère
local est obtenue en superposant les cas a), b) et c):
2
2
2
1
1
1
22
2323
22
2323
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
460
260
6120
6120
00L
EA00
LEA
260
460
6120
6120
00L
EA00
LEA
M
Y
X
M
Y
X
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
LEI
L
EILEI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
e*K
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local
Cas particuliers : La poutre est rigide-articulée ou articulée-rigide (p 63-65)
IV.2 En repère global
La matrice de rotation est la suivante:
100
0
0
Au nœud 1 (par exemple), nous avons les relations:
1
1
1
1*
1*
1*
M
Y
X
M
Y
X
1
1
1
1*
1*
1*
v
u
v
u
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global
Pour la poutre 1-2, on peut donc écrire :
FFsoit
M
Y
X
M
Y
X
100000
0000
0000
000100
0000
0000
M
Y
X
M
Y
X
*
2
2
2
1
1
1
2*
2*
2*
1*
1*
1*
De même, on a : *
En repère local, la relation de rigidité s’écrit :
On cherche à établir la relation de rigidité en repère global, soit :
*** FeK
FeK
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global
On a la relation de rigidité en repère local :
et : *
De plus :
La relation de rigidité en repère global s’écrit :
*** FeK
** F eK
FF*
F* eK
Ou encore : F*1 eK
Comme on a : t 1
F* etK
global repèreen rigidité de matrice
eK
V. Transformation des chargements en forces nodales
La relation {F}=[Ke].{} qu’on doit résoudre n’est valable que
lorsque les forces {F} sont appliquées aux nœuds.
Une charge répartie ou concentrée (en travée) doit donc être
décomposée en forces nodales appelées forces de blocage.
On cherche donc à déterminer i et j qui correspondent aux
réactions des nœuds au chargement considéré (p 71 à 75).
M2M1
Y1 Y2
p
21
l
M2M1
Y1 Y2
p
21
l
12
plM
2
plY
0X
2*
1
*
1
*
1
*
1
12
plM
2
plY
0X
2*
2
*
2
*
2
*
2
8
plM
2
pY
0X
*
1
*
1
*
1
*
1
8
plM
2
pY
0X
*
2
*
2
*
2
*
2
VI. Equation d’équilibre d’un élément poutre
Les équations d’équilibre d’un élément poutre chargé entre les nœuds
s’écriront:
zj
yj
xj
j
zi
yi
xi
i
M
P
P
M
P
P
et
jjjjijij
ijijiiii
KK
KK
Où i et j sont les systèmes de forces extérieures qui sollicitent
directement les nœuds i et j :
Forces de blocage
Forces de raideur
VII. Effet thermique sur les poutres
Les expressions en repère local des forces de blocage sont les
suivantes :
La relation de rigidité avec effet thermique dans les poutres s'écrit
alors :
0
0
TEA-
0
0
TEA
**
ji
(e)j
(e)jj
)(
jji
)(
ji(e)j
(e)i
(e)ij
)(
iji
)(
ii(e)i
KKF
KKF
ee
ee
VIII. Tableau de localisation
e i j EA/L 12EI/L3 6EI/L2 4EI/L
…. …. …. …. …. …. …. …. …. ….