cálculo de límites - profesorgonzalo.files.wordpress.com · cálculo de límites: 1.límite de la...
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Cálculodelímites:
1.Límitedelasucesión
€
an( ) =1n
Estasucesiónconvergea0.
€
limn→∞
1n
= 0
2.Límitesdesucesionesdetérminogeneral
€
an( ) =1nm
siendo m ∈ N*;
Ejemplos:
€
an =1n2: 11; 14;19; 116; 125;...
an =1n3: 11;18; 127; 164; 1125
;...
an =1n7: 11; 1128
; 12187
; 116384
; 178125
;...
Estassucesionesconvergentodasacero:
€
limn→∞
1nm
= 0
Ejemplos:
€
limn→∞
1n2
= 0
limn→∞
1n3
= 0
limn→∞
1n7
= 0
3.Límitesdesucesionesdetérminogeneral
€
an( ) = nm( ) siendo m ∈ N*;
Ejemplos:
€
an = n2 :1;4;9;16;25;...an = n3 :1;8;27;64;125;...an = n7 :1;128;2187;16384;78125;...
Estassucesionessondivergentesysulímitees
€
+∞ :
€
limn→∞
nm( ) = +∞
Ejemplos:
€
an = limn→∞
n2( ) = +∞
an = limn→∞
n3( ) = +∞
an = limn→∞
n7( ) = +∞
4.Límitesdesucesionesdetºgeneral
€
an( ) =Knm
siendo m ∈ N y k unnúmeroreal.
Ejemplos:
€
an =−3n2: −31;−34;−39;−316;...
an =1000n3
: 10001;10008;100027
;100064
;1000125
;... Estassucesionessonconvergentesysulímitees0,independientementedelvalordeK:
€
limn→∞
Knm
= 0
Ejemplos:
€
limn→∞
−3n2
= 0
limn→∞
1000n3
= 0
5.Límitesdesucesionesdetºgeneral
€
an( ) = Knm( ) siendo m ∈ N y k unnúmeroreal(distintodecero).
Ejemplos:
€
an = −2n2 :− 2;−8;−18;−32;...an =100n3 :100;800;2700;6400;12500;...
EstassucesionessondivergentesysulímitedependedeKdelamanerasiguiente: SiK>0,lasucesiónesdivergenteamásinfinito. SiK<0,lasucesiónesdivergenteamenosinfinito.
€
limn→∞
K ⋅ nm( ) =+∞ si K > 0−∞ si K < 0
Ejemplos:
€
limn→∞
−2n2( ) = −∞
limn→∞
100n3( ) = +∞
6.Límitesdesucesionesdetºgeneral
€
an( ) = P n( ) siendo P(n) un polinomio .
Ejemplos:
€
an = −2n2 + 30n : 28;52;72;88;...an = n3 − 3n + 5 : 3;7;23;57;115;...
Estassucesionessondivergentesysulímitedependedelcoeficienteprincipaldelpolinomio,K(coeficientedeltérminodemayorgrado): SiK>0,lasucesiónesdivergenteamásinfinito. SiK<0,lasucesiónesdivergenteamenosinfinito.
€
limn→∞
P(n)( ) =+∞ si K > 0−∞ si K < 0
,siendo P(n) = Knm + pm−1nn−1 + ...+ p1n + p0
Ejemplos:
€
limn→∞
−2n2 + 30n( ) = −∞ Porque K es − 2, negativo( )
limn→∞
n3 − 3n + 5( ) = +∞ Porque K es1, positivo( )
Observación,elprimerejemplo,divergeamenosinfinito,ysinembargo,siobservamoslosprimerostérminosnodaesasensación,parececreciente:
€
an = −2n2 + 30n : 28;52;72;88;...¿quépasa?Sidibujamoslasucesiónenunsistemadecoordenadas,poniendoenlasx’slas
posiciones(n)yenlasy’slostérminos(an),vemosqueaunqueenlosprimerostérminosescreciente,despuéscambialatendencia:
7.Límitesdesucesionesdetºgeneral
€
an( ) =1
P n( )
siendo P(n) un polinomio .
Ejemplos:
€
an =1
−2n2 + 30n: 128; 152; 172; 188;...
an =1
n3 − 3n + 5: 13;17; 123; 157; 1115
;...
Estassucesionessonconvergentesysulímitees0:
€
limn→∞
1P(n)
= 0
Ejemplos:
€
limn→∞
1−2n2 + 30n
= 0
limn→∞
1n3 − 3n + 5
= 0
‐700
‐600
‐500
‐400
‐300
‐200
‐100
0
100
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425262728
8.Límitesdesucesionesconstantes
€
an( ) = K siendo K un nº Real.
Ejemplos:
€
an = −23 :− 23;−23;−23;−23;...an =1274 :1274;1274;1274;1274;1274;...
EstassucesionessonconvergentesysulímiteesK:
€
limn→∞
K( ) = K
Ejemplos:
€
limn→∞
−23( ) = − 23
limn→∞
1274( ) =1274
9.Límitesdesucesionescuyotérminogeneralesuncocientedepolinomios
€
an( ) =P(n)Q(n)
siendo P(n) y Q(n) polinomios.
Ejemplos:
€
an =3n2 − 2nn +1
:12;83;214;8;656;...
an =3n +12n2 + 4
:23; 712; 511;1336; 827;...
an =3n4 − 56n4 + 3n3
:−29; 43120
; 3481; 7631728
;...
EstecasorequieredesglosarlasdiferentesposibilidadesrespectoalosgradosdelospolinomiosP(n)yQ(n):
€
P(n) = bpnp + bp−1n
p−1 + ...+ b1n + b0 ,esdecir,esunpolinomiodegradopycoeficientesbp,bp1,…,b1,b0(ejemplo:enP(n)=3n6+4n5‐2n3+n‐1;elgradopes6ylocoeficientessonb6=3,b5=4,b4=0,b3=‐2,b2=0,b1=1,b0=‐1)
€
Q(n) = cqnq + cq−1n
q−1 + ...+ c1n + c0 ,,esdecir,esunpolinomiodegradoqycoeficientescq,cq1,…,c1,c0Entonces,Dependiendodelosgrados(pyq)loslímitesseránlossiguientes:Caso1:p>q.Sucesióndivergente.
€
limn→∞
P(n)Q(n)
=
+∞ Si bp > 0−∞ Si bp < 0
Caso2:p<q.Sucesiónconvergenteallímite0.
€
limn→∞
P(n)Q(n)
= 0
Caso3:p=q.Sucesiónconvergenteallímite
€
bpcp.
€
limn→∞
P(n)Q(n)
=
bpcp
Ejemplos:
€
limn→∞
3n2 − 2nn +1
= +∞;Porque 2 >1 y3 > 0
limn→∞
3n +12n2 + 4
= 0;Porque1< 2
limn→∞
3n4 − 56n4 + 3n3
:36
=12;Porque 4 = 4 y los coeficientes son 3 y 6
EJEMPLOS:Utilizandolos9tiposdelímiteanteriorescalculaloslímitessiguientes:
€
a) limn→∞
3n4n +1
€
b) limn→∞
34n +1
€
c) limn→∞
3n6
4n3 + n7 +1
€
d) limn→∞
3n8
€
d) limn→∞
5 − 1n6
€
e) limn→∞
4n3 − 2(n4 +1)( )
€
f ) limn→∞
−2π ⋅ n3( )
€
g) limn→∞
5n−4( )
€
h) limn→∞
6 n2 − 3( )2
4n3 +1
€
i) limn→∞
34n +1
− 2n
€
j) limn→∞
4n2
4n n − 2( )
€
k) limn→∞
3+ 5n − 6 + 5n( )( )
€
l) limn→∞
4 − n7
3n2 2n −1( ) n3 + 3n( )
€
m) limn→∞
2n − 6 n −1( )4n − 3
€
n) limn→∞
n −1( ) 3n − 2( )( )
€
ñ) limn→∞
−3( )
€
o) limn→∞
3n −1( ) 2n +1( ) 5n2 + 2( )3
4 n +1( )7
€
p) limn→∞
n7 + 6n5 +14 n + 3( ) 5n − 34( )3
€
q) limn→∞
5n2 − 55n
⋅3n
€
r) limn→∞
3n2: 5n
2
n + 2
€
s) limn→∞
2n − 1n
: 3n2 + 7( )
€
t) limn→∞
4 − 1n
+3n − 5n + 9
€
u) limn→∞
7n − 43n
+ 2
:
4n3
€
v) limn→∞
3− 2 n − 3( ) +2
n − 2
€
w) limn→∞
3n4n +15n2
2
€
x) limn→∞
4n( )