tema 10 .-lÍmites de funciones y continuidad y continuidad.pdf · ayuda de la calculadora:...

TEMA 10 .-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I

___________________________________________________________________________________________ I.E.S. “Valle del Saja” (Segundo Polanco Lequerica)

1

TEMA 10 .-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD 11.1 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

Una sucesión de números reales es un conjunto de números (a1, a2, a3, ... , en, .......), donde cada ai recibe el nombre de término de la sucesión.

Se acostumbra a representar la sucesión por el conjunto ordenado de sus términos, o bien mediante un término general ( an ).

Ejemplo:

2, 4, 6, 8, 10, 12, ........ an = 2 n

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..... an = 1/ n

0, 3, 8, 15, 24, 35....... an = _______

0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ..... an = _____

Calcula los términos de las sucesiones: 1

2;

2

1;

12

1

n

nnc

n

nnb

nna

Una sucesión es creciente si cada término es menor o igual que el siguiente, es decir an < an+1

Ejemplo: a n = 2 n 2, 4, ,6, 8,10 ,.....

Una sucesión es decreciente si cada término es mayor o igual que el siguiente, es decir an > an+1

Ejemplo: ,......10

1,

8

1,

6

1,

4

1,

2

1

2

1

nna

11.2 APROXIMACIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE

Vamos a acercarnos al concepto de límite hallando algunos términos de distintas sucesiones con la ayuda de la calculadora:

Sucesión de término general n

an4

1

a1 a2 a3 …. a10 ... a100 ...

0,25 0,125 0,083 …. 0,025 … 0,0025

Los términos se acercan al número 0. El límite de la sucesión es cero.

Sucesión de término general bn = n2

a1 a2 a3 …. a10 ... a100 ...

1 4 9 …. 100 … 10.000



2

Los términos se hacen cada vez mayores . La sucesión no tiene límite real, diremos que el límite es +∞

Sucesión de término general 12

2

n

ncn

a1 a2 a3 …. a10 ... a100 ...

0,5 0,8 0,9 …. 0,990 … 0,999

Los términos se acercan al número 1. El límite de la sucesión es 1.

De un modo general, la sucesión (an) tiene por límite el número a cuando, a medida que n toma valores cada vez mayores, los términos de la sucesión se aproximan más al número a.

Una de las sucesiones mas importantes dentro de las matemáticas es la sucesión cuyo término

general es : n

nn

a

11 . Si utilizamos la calculadora , obtenemos:

441406,24

11;37037,2

3

11;25,2

2

11;211

4

4

3

3

2

21

aaaa

;.....716924,21000

11;704814,2

100

11;48832,2

5

11

1000

1000

100

100

5

5

aaa

Esta sucesión tiene límite y es el número irracional e = 2,71828182845904523536.......

11.3 LÍMITES DE FUNCIONES. IDEA INTUITIVA

Sea la función f(x)= x2 . Si los valores de x se acercan a 2, ¿a qué valor se aproximan los valores correspondientes de f(x)?

Realizamos las siguientes tablas:

Es decir, cuando nos acercamos a 2 , tanto por la izquierda como por la derecha, la función se acerca a 4. Entonces escribiremos:

x→ 2 - 1 1,9 1,99 1,999 ...

Valores de f(x) 1 3,6 3,96 3,996 ....

x → 2 + 3 2,1 2,01 2,001 ...

Valores de f(x) 9 4,4 4,04 4,004 ....

2

42lim

x

x



3

Sea la función f(x)= E(x) (parte entera de x) . Si los valores de x se acercan a 2, ¿a qué valor se aproximan los valores correspondientes de f(x)?


Observando las tablas podemos deducir que los valores de f(x) no se aproximan a ningún valor fijo, aunque por la izquierda de 2 se aproximan a 1 y por la derecha de 2 se aproximan a 2. En este caso diremos que la función no tiene límite en x = 2. Ahora bien, sí podemos considerar los límites laterales: Límite por la izquierda de 2: Límite por la derecha de 2:

Sea la función x

xxf

1)(

. Si los valores de x se acercan a -∞, ¿a qué valor se

aproximan los valores correspondientes de f(x)?. ¿y si se acercan a +∞?


Por tanto ( algunos autores ponen 1- , es decir se acerca a 1 pero siempre por debajo de 1)

x → 2 - 1 1,9 1,99 1,999 ...

Valores de f(x) 1 1 1 1 ....

x → 2 + 3 2,1 2,01 2,001 ...

Valores de f(x) 3 2 2 2 ....

x → -∞ -1 -10 -100 -1000 ...

Valores de f(x) 0 0,9 0,99 0,999 ....

x → +∞ 1 10 100 1000 ...

Valores de f(x) 2 1,1 1,01 1,001 ....

2

1)(lim

x

xE

2

2)(lim

x

xE

x

x

x1

1lim



4

( algunos autores ponen 1+ , es decir se acerca a 1 pero siempre por encima de 1) Observar que : De un modo general: Una función f(x) tiene por límite el número L en x = u cuando a medida que los valores de x se acercan a u ( tanto por la izquierda como por la derecha), la función se acerca a L. u puede ser : a ; + ∞ ; - ∞ L puede ser : un número real , + ∞ o - ∞ Si consideramos la posibilidad de límites laterales, u además puede ser a+ y a- En la definición de límite sólo intervienen los valores que toma la función en la proximidad de u, pero no en x = u, en el que la función puede tomar un valor cualquiera e incluso no estar definida.

11.4 LÍMITES DETERMINADOS E INDETERMINADOS

El límite de una función se puede calcular hallando los límites de cada uno de los términos que intervienen en la función y operando con ellos. Según que el resultado tenga sentido o no, existen dos posibilidades:

a) Para ello consideremos la función 1

1)(

2

x

xxf

Para x = 3, tenemos 413

132

, luego

Es decir, el límite está determinado.

x

x

x1

1lim

0

1lim

x

x

x

0

1lim

x

x

x

ux

Lxf

)(lim

3

41

12lim

x

x

x



5

b) Para x =1 , tenemos ?0

0

11

112

. El cociente no tiene sentido. El límite está

indeterminado.

Límite indeterminado no significa que no exista, sino que no se puede calcular directamente hallando los límites de cada uno de los términos.

A continuación se indican los resultados que no tienen sentido en las operaciones aritméticas:

Racionales Exponenciales

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º

0

k

0

0

0 1 0 00

En estos casos el límite se calcula transformando la expresión mediante métodos determinados. No obstante en la mayoría de los casos, los límites son determinados.

11.5 LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES

a) Indeterminación )0(0

kk

Consideremos . Vemos que no es una operación válida en ℝ. En este caso se

deben calcular los límites laterales y

Puesto que son distintos, decimos que la función NO tiene límite en x = 1.

Si fueran iguales a +∞ o a -∞, ese sería el límite.

b) Indeterminación 0

0

Consideremos . El cálculo directo del límite en x = 1 no es una operación válida en ℝ.

1

0

1

1

1lim

x

x

1

1

1lim

x

x

1

1

1lim

x

x

xf x

x

3 -1( )

- 1



6

Esta función se transforma en otra equivalente factorizando numerador y denominador.

Es decir la indeterminación 0

0 de funciones racionales desaparece factorizando el

numerador y el denominador y simplificando.

c) Indeterminación

Consideremos .El cálculo directo del límite en x = +∞ nos da

que no

es una operación válida en ℝ.

Esta función se transforma en otra equivalente dividiendo numerador y denominador por x2.

Es decir la indeterminación

de funciones racionales desaparece dividiendo numerador y

denominador por la mayor potencia del denominador.

d) Indeterminación


, que no es una operación válida en ℝ.

Esta función se transforma en otra equivalente sin más que operar.

Es decir la indeterminación de funciones racionales desaparece operando.

111

3)1(lim)1(

)1)(12(lim

1

13lim 2

xxx

xxx

xxx

x

x

xx

x

xx

x

xx4

2

11

2

114

lim12

124lim

12

124)(

x

xxxf

xx

x

xx

x

xx8

3

18lim

3

152lim

x x

xf x x

2- 5 1

3( ) -



7

11.6 LÍMITES DE FUNCIONES IRRACIONALES

e) Indeterminación 0

0

Consideremos . El cálculo directo del límite en x =0 no es una operación válida en ℝ.

Esta función se transforma en otra equivalente multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada del denominador

Es decir la indeterminación 0

0 de funciones irracionales desaparece multiplicando y

dividiendo la función por la expresión radical conjugada.

f) Indeterminación


que no

es una operación válida en ℝ.

Esta función se transforma en otra equivalente dividiendo numerador y denominador por x.

Es decir la indeterminación

de funciones racionales desaparece dividiendo numerador y

denominador por la mayor potencia del denominador.

0000

2)11(lim)1(1

)11(lim

)11)(11(

)11(lim

11lim

xxxx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

xxf

11)(

x x

112x x x

1x 1

lim lim

x

xxxf

2)(



8

g) Indeterminación

Consideremos .El cálculo directo del límite en x = +∞ nos da que no es una operación válida en ℝ.

Esta función se transforma en otra equivalente sin más que multiplicar y dividir la función por la expresión radical conjugada. Es decir la indeterminación de funciones irracionales desaparece multiplicando y

dividiendo la función por la expresión radical conjugada .

h) Indeterminación 0·∞

Esta indeterminación se resuelve transformándola en una del tipo 0

ó del tipo 0

.

i) Indeterminación 1∞

Esta indeterminación se resuelve aplicando la propiedad siguiente:

Ejemplo:

x x x

2 2x x x x x xx 12x x x

22 2x x x x x x

lim lim lim

xxxxf 2)(

lim g(x) f(x)-1lim f(x) = 1lim f(x) = e

lim g(x) =

g(x)x a

x a

x a

x a

lim 1+3x-1 lim

x + 1 2 2x + 4lim - 1 lim lim

x - 1 x - 1 x - 1

lim 1 + 3x = e e e

x + 1lim = e e e e

x - 1

2

x

x 0

x 2

x

(x 2) (x 2)

2 6x

x xx 0 x 0

x x x

6

2



9

11.7.- DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

La idea intuitiva de continuidad de una función implica una variación suave de la función, sin saltos bruscos que rompan la gráfica de la función,

(De una manera sencilla, una función es continua en un intervalo [a ,b] si se puede dibujar desde a hasta b sin levantar el lápiz del papel).

Una función es continua es x = a cuando la TVA se aproxima a 0 al aproximarse a cero el incremento de la variable.

Ahora bien la expresión anterior puede escribirse como:

Por tanto:

Una función es continua en el punto x = a si se verifica:

Existe el límite de f(x) en x = a

Existe f(a), es decir a pertenece al dominio de f(x)

Los valores anteriores coinciden:

0)()(

0

lim

afhaf

h

)()(lim)()(

0

lim0)()(

0

lim afxf

ax

afhaf

h

afhaf

h

)()(lim)(

afxf

axaxencontinuaesxf



10

Si la función no es continua en un punto, es discontinua.

Del mismo modo que definimos el límite lateral, podemos definir continuidad lateral:

11.8.- DISCONTINUIDADES Una función es discontinua en un punto cuando no existe el límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo. Se llama discontinuidad de salto o de 1ª especie en un punto cuando existen los límites laterales en él y son distintos, o al menos uno de ellos es infinito. La diferencia entre los límites laterales se llama salto de la función. ( puede ser salto finito o infinito)

Ejemplo:

12

12)(

xsix

xsixf

La función es continua en todos los puntos menos en x = 1, donde los límites laterales son distintos.

)()(lim)(

afxf

axaxencontinuaesxf

)()(lim)(

afxf

axaxencontinuaesxf

3)(

1

lim;2)(

1

lim

xf

x

xf

x



11

Se llama discontinuidad de 2ª especie en un punto cuando no existe alguno, o ninguno, de los límites laterales de la función en ese punto Se llama discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo o no está definida. El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

Ejemplo:

11

13

11

)(

xsix

xsi

xsix

xf

La función es continua en todos los puntos menos en x = 1, donde el límite es distinto del valor de f(x).

De una forma resumida: Una función es discontinua en x = a si se verifica una de las siguientes condiciones: a) Si 1ª ESPECIE b) 2ª ESPECIE c) Si EVITABLE

x a x alim f(x) lim f(x)

)1(32)(

1

lim fxf

x

Si no existe o / y x a x alim f(x) lim f(x)

x alim f(x) f(a)



12

11.9- ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Una recta r es una asíntota de una función f(x) si la distancia de un punto P(x,y) de su gráfica a la

recta r tiende a 0 cuando x tiende a un determinado valor o a ± .

Existe tres tipos de asíntotas : VERTICALES, HORIZONTALES Y OBLICUAS

Las asíntotas verticales (AV) son rectas verticales de la forma x = k ( en este caso la función no puede cortarlas)

Se localizan en los valores de x a cuyo alrededor la función tiende a + o - .

Una función puede tener infinitas asíntotas verticales y en el caso de las funciones racionales las asíntotas verticales se hallan en los valores de x que anulan el denominador , pero no el numerador.

Ejemplo: Calcular las asíntotas verticales de 2

2x+1f(x)=

x -5x+6 Solución: x = 2 ; x = 3

Calcular las asíntotas verticales de f (x) = Ln ( x +5 ) Solución: x = -5

Las asíntotas horizontales (AH) son rectas horizontales de la forma y = k ( en este caso la función si puede cortarlas, incluso en varios puntos).

Se localizan estudiando el comportamiento de f(x) en + o - ( es decir estudiamos lo que ocurre para valores muy grandes o muy pequeños de x). Si este valor es se aproxima a un valor finito k tenemos la asíntota horizontal y = k.

Una función tiene como máximo dos asíntotas horizontales correspondientes al comportamiento

de f(x) en + y - . Aunque la gráfica puede cortar a la AH , normalmente, la gráfica permanece por encima o por debajo de la AH.

Es conveniente estudiar si la función se aproxima por encima o por debajo a la AH.

Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de 2

2

3 xf(x) =

x + 1 Solución: y = 3

Las asíntotas oblicuas (AO) son rectas oblicuas de la forma y = m x + n ( en este caso la función también puede cortarlas). Una función sólo puede tener dos como máximo.

Se localizan estudiando el comportamiento de f(x) en + o - ( es decir estudiamos lo que ocurre para valores muy grandes o muy pequeños de x). Si este valor se aproxima a un valor de la forma mx+n tenemos una AO.

Entonces:

“Una función racional tiene una AO si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador”.

Para calcular su ecuación dividiremos el numerador entre el denominador.

Una función puede tener como máximo dos AH o dos AO. Si tiene AO no puede tener AH en un mismo “lado” ( +∞ y -∞ ) y viceversa. Sin embargo puede tener infinitas AV.

Ejemplo: Calcular las asíntotas oblicuas de 2

x - x + 1f(x) =

x Solución: y = x –1

x x

f(x)m lim n lim f(x) mx

x

tema 10 .-lÍmites de funciones y continuidad y continuidad.pdf · ayuda de la calculadora:...

Documents