calculo diferencial - capitulo 4 - jesus del valle

Captulo 4Aplicaciones de la derivada

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Contenido breve Mdulo 20 Interpretaciones geomtrica y fsica de la derivadaEn una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y terminan empatados. El teorema del valor medio permite demostrar que sus velocidades fueron iguales en algn instante de la carrera.

Mdulo 21 Valores extremos de una funcin de variable real Mdulo 22 Teorema del valor medio (TVM) para derivadas

PresentacinEn el captulo anterior se presentaron todas las herramientas bsicas como medio para resolver una serie de problemas en los que interviene la derivada, que son de gran importancia prctica y que de otra forma no podran ser resueltos. En este captulo se exponen las aplicaciones ms elementales e interesantes de la derivacin a problemas del anlisis matemtico (estudio de la variacin de las funciones, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexin y, en general, el trazado completo de curvas), de la geometra (rectas tangentes y normales), de la fsica (movimiento variado) y en problemas de la vida diaria en los cuales se precisa minimizar costos, obtener beneficios mximos, etc., y para ellos la teora de la derivacin proporciona informacin suficiente. Mdulo 23 Criterio de la primera derivada Mdulo 24 Criterio de la segunda derivada Mdulo 25 Anlisis y trazado de curvas Mdulo 26 Problemas de mximos y mnimos Mdulo 27 La derivada como razn de cambio Mdulo 28 La diferencial Ejercicios Captulo 4, mdulos 20 al 28

20Interpretaciones geomtrica y fsica de la derivadaIntroduccinEl problema de la tangente a una curva en uno de sus puntos es muy antiguo y se remonta a la poca del gran matemtico griego Arqumedes (287-212 a.C.). El problema de la velocidad instantnea es ms reciente. Creci con los intentos de Keppler (1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento. Estos dos problemas, el uno geomtrico y el otro fsico, en apariencia no estn muy relacionados; sin embargo, conducen al mismo lmite de cocientes incrementales, esto es, al concepto de derivada.Si un clavadista se lanza desde una plataforma situada a S0 pies de altura con una velocidad v0 (hacia arriba), cundo llegar al agua y con qu velocidad? El modelo clsico presentado al final del mdulo da la respuesta.

Objetivos del mdulo1. Interpretar la derivada de una funcin en un punto como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa la funcin en dicho punto. 2. Interpretar fsicamente la derivada s(t) como la velocidad de una partcula que se mueve sobre una lnea recta mediante la funcin s(t), que permite calcular para cada t el espacio recorrido s. 3. Interpretar s(t) como la aceleracin de la partcula.

Preguntas bsicas1. Determine las ecuaciones de la recta tangente LT y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuacin y = f ( x ) = x 2 8, en el punto P (3, 1). 2. Si un objeto es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una altura S0 (pies), con una velocidad inicial v0 (pies/s), y si s es la altura sobre el piso despus de t segundos, puede demostrarse que la posicin S como funcin del tiempo viene dada por S = f (t ) = 16t 2 + v0 t + S0 . 3. Supngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s. a. Cundo el objeto alcanza la altura mxima? b. Cul es la altura mxima? c. Cundo llega al piso? d. Con qu velocidad llega al piso? e. Cul es su aceleracin en el instante t = 2 s?

Contenidos del mdulo20.1 Interpretacin geomtrica de la derivada 20.2 Interpretacin fsica de la derivada

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Mdulo 20: Interpretaciones geomtrica y fsica de la derivada

20.1 Interpretacin geomtrica de la derivadaUno de los problemas histricos que dieron origen al clculo infinitesimal es muy antiguo: data del gran cientfico griego Arqumedes (287-212 a.C.), se llama problema de las tangentes y se describe a continuacin. Se da una curva cuya ecuacin referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (figura 20.1).

Figura 20.1

Sea P un punto fijo de la curva y Q un punto mvil de la curva y prximo a P. La recta que pasa por P y Q se denomina recta secante. Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces la posicin lmite (si existe) de la secante se denomina recta tangente a la curva en P. Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son, respectivamente, P ( c, f (c) ) ,

Q ( c + h, f (c + h) ) (figura 20.2), entonces la pendiente de la recta secante PQdenotada por msec PQ viene dada porf (c + h ) f ( c ) . h

msec PQ = tan =

En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical) es la recta cuya pendiente mT viene dada pormT = lim msec PQ = limP Q h0

f (c + h) f (c ) = f (c). h

Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

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Captulo 4: Aplicaciones de la derivada

Vea el mdulo 20 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

Figura 20.2

De esta forma, la ecuacin de la recta tangente a la curva en P ( c, f (c) ) esy f (c) = f (c)( x c) (forma punto-pendiente de la recta) (seccin 2.4, apndice II).

Ejemplo 20.1 Determine las ecuaciones de la recta tangente LT y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuacin y = f ( x ) = x 2 8 en el punto P (3, 1). Solucin Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (figura 20.3).

Figura 20.3


Mdulo 20: Interpretaciones geomtrica y fsica de la derivada La pendiente de LT viene dada por dy mT = = f (3). dx P (3,1) 1 2 1 2 Pero f ( x) = 2 (2 x)( x 8) = x x 82

.

As que mT = f (3) = 3. Usando ahora la forma punto-pendiente de la ecuacin de la recta (seccin 2.4, apndice II) se tiene entonces que para LT, y 1 = 3( x 3) 3 x y 8 = 0 es la ecuacin de la recta tangente.1 Ahora, como mT mN = 1, se deduce que mN = . 3

Usando nuevamente la forma punto-pendiente de la ecuacin de la recta se tiene1 que, para LN, y 1 = ( x 3) x + 3 y 6 = 0 es la ecuacin de la recta normal. 3

Ejemplo 20.2 Encuentre la ecuacin de la recta normal a la curva de ecuacin y = f ( x ) = x 3 + 1, que es paralela a la recta de ecuacin x + 12 y 6 = 0. Solucin En la figura 20.4 aparece la grfica de la curva y de la recta dada.

Figura 20.4


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Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Si se denota por LN la recta normal, como LN es paralela a x + 12 y 6 = 0 se tiene que mN = 1 . 12

Para determinar la ecuacin de LN hace falta conocer el punto P(x1, y1) de tangencia. Para ello, se usa el hecho de que mT = 12 (mT: pendiente de la tangente). De otro lado, mT = f ( x1 ) = 3x12 . As que 3 x12 = 12 x1 = 2. Este ltimo resultado indica que existen dos puntos de tangencia, a saber: P1 (2, 9) y P2 ( 2, 7). En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las condiciones iniciales del problema. Una de ellas pasa por P1 (2, 9) y tiene pendientemN = 1 1 . Su ecuacin viene dada por y 9 = ( x 2) x + 12 y 110 = 0. 12 12 1 . Su ecuacin viene dada 12

La otra pasa por P2 ( 2, 7) y tiene pendiente mN = por y (7) = Ejemplo 20.31 ( x (2)) x + 12 y + 86 = 0. 12

Encuentre la ecuacin de la recta tangente a la curva 8( x 2 + y 2 ) 2 = 100( x 2 y 2 ) en el punto (3, 1). Solucin En primer lugar note que 8(32 + 12 ) 2 = 100(32 12 ), lo cual indica que el punto (3, 1) pertenece a la curva. dy Ahora, mT = dx . (3,1)

Para determinar Esto es,

dy se usa derivacin implcita en la ecuacin 8( x 2 + y 2 ) 2 = 100( x 2 y 2 ) . dx

16 ( x 2 + y 2 ) ( 2 x + 2 y y ) = 100 ( 2 x 2 yy ) .

32 x 3 + 32 x 2 yy + 32 xy 2 + 32 y 3 y = 200 x 200 yy .

y ( 32 x 2 y + 32 y 3 + 200 y ) = 200 x 32 x3 32 xy 2 .

de donde y =

dy 200 x 32 x3 32 xy 2 . = dx 32 x 2 y + 32 y 3 + 200 y


Mdulo 20: Interpretaciones geomtrica y fsica de la derivada

200 3 32 33 32 3 12 600 864 96 360 dy mT = = = = . Por tanto, 2 3 288 + 32 + 200 520 32 3 + 32 1 + 200 1 dx (3,1)9 . 13

Es decir, mT =

As que la ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1) viene dada pory 1 = 9 ( x 3) 9 x + 13 y 40 = 0. 13

20.2 Interpretacin fsica de la derivadaVelocidad promedio y velocidad instantnea Si se conduce un vehculo de una ciudad A a otra B, separadas entre s 100 km, en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 km/h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado. Pero, durante el viaje, el velocmetro marc con frecuencia lecturas diferentes de 50 km/h. Inicialmente marc 0, a veces subi hasta 60 y al final volvi a marcar 0. Surge entonces la siguiente pregunta: qu es lo que en realidad marca el velocmetro? No marca la velocidad promedio, sino la llamada velocidad instantnea. Considere un ejemplo ms preciso. Sea P un objeto que cae al vaco. Los experimentos demuestran que si un objeto parte del reposo en cada libre, la posicin S del objeto, como funcin del tiempo, viene dada porS = 1 6 t 2 (S en pies, t en segundos).

As, en el primer segundo cae 16 pies y en el siguiente segundo cae 16 (2)2 = 64 pies. Por tanto, en el intervalo de t = 1 s a t = 2 s, P cae (64 16) pies, de manera que su velocidad promedio ser:V prom = 64 16 pies . = 48 2 1 s

En el intervalo de t = 1 s a t = 1.5 s, P cae (16 (1.5)2 16) pies. En consecuencia, su velocidad promedio ser:

V prom =

16(1.5) 2 16 20 pies = = 40 . 1.5 1 0.5 s

En forma similar, en los intervalos de tiempo de t = 1 s a t = 1.1 s, y de t = 1 s a t = 1.01 s, P caer, respectivamente, (16 (1.1)2 16) pies y (16 (1.01)2 16) pies, y sus velocidades promedio sern, respectivamente:


201


Vprom =

16(1.1)2 16 3.36 pies = = 33.6 , 1.1 1 0.1 s 16(1.01)2 16 0.3216 pies = = 32.16 . 1.01 1 0.01 s

Vprom =

Lo que se ha hecho hasta ahora es calcular la velocidad promedio sobre los intervalos de tiempo cada vez ms cortos pero prximos a 1 s. Cuanto ms nos aproximamos a t = 1 s, mejor ser la aproximacin a la velocidad (instantnea) en el instante t = 1 s. Los nmeros 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedio, hacen sospechar que la velocidad instantnea es de 32 pies/s. El ejemplo anterior nos permite definir de una manera ms precisa los conceptos de velocidad promedio y de velocidad instantnea. Supngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posicin S en cada instante t es una funcin S = f (t). En el instante t = c, el objeto est en f (c). En el instante prximo t = c + h, el objeto est en f (c + h) (figura 20.5). Por tanto, la velocidad promedio durante este intervalo es:Vprom = f (c + h ) f ( c ) . h

Y se define la velocidad instantnea V en el instante t = c as:V = lim V prom = limh 0 h 0

f (c + h) f (c ) = f (c). h

Figura 20.5


Mdulo 20: Interpretaciones geomtrica y fsica de la derivada Observacin Existe una distincin tcnica entre las palabras velocidad y rapidez. La velocidad tiene un signo asociada a ella, es decir, puede ser positiva o negativa. La rapidez se define como el valor absoluto de la velocidad. As por ejemplo, si un objeto se mueve a lo largo del eje coordenado de modo que su posicin en cualquier instante t satisface la ecuacinS = f (t ) = 2t 2 12t + 8,

entoncesv(t ) = dS = 4t 12. dt

As, v(2) = 4 cm s,v(3) = 0, v(4) = 4 cm s.

De esta forma, la rapidez en t = 2 s es 4 = 4cm s. El medidor de la mayora de los automviles es un rapidmetro (celermetro) y siempre da valores no negativos. Ahora se quiere dar una interpretacin fsica de la segunda derivada

d 2S , que dt 2 mide la razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir,

d 2 S d dS dv = = y que se llama aceleracin. Si la denotamos por la letra a, dt 2 dt st dt entonces: a= d 2 S d dS dv = = . dt 2 dt st dt

En el ejemplo anterior:S = f (t ) = 2t 2 12t + 8,

v=a=

dS = 4t 12, dtdv = 4 cm/s 2 . dt

Esto significa que la velocidad aumenta a razn constante de 4 cm/s cada segundo y escribimos 4 cm/s2.


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Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Problemas de cada de los cuerpos Si un cuerpo es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una altura S0 (pies), con una velocidad inicial v0 (pies/s), y si S (pies) es la altura sobre el piso despus de t segundos, entonces puede demostrarse que la posicin S como funcin del tiempo viene dada porS = f (t ) = 16t 2 + v0 t + S0 .

Esto presupone que el experimento tiene lugar cerca del nivel del mar y que se desprecia la resistencia del aire. La figura 20.6 ilustra la situacin.

Figura 20.6

Supngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s. a. Cundo el objeto alcanza la altura mxima? b. Cul es la altura mxima? c. Con qu velocidad llega al piso? d. Cul es su aceleracin en el instante t = 2 s? Solucin Como S0 =160 y v0 = 64, la ecuacin de movimiento viene dada porS = f (t ) = 16t 2 + 64t + 160 (S: pies y t: s).

(1)

As, v =a=

dS = 32t + 64, dt

(2) (3)

dv = 32. dt


Mdulo 20: Interpretaciones geomtrica y fsica de la derivada a. El objeto alcanza la altura mxima en el instante en el cual la velocidad es cero. As que,

32t + 64 = 0 t = 2 s.Al sustituir en (1), se tiene que b. c.S = 16(2) 2 + 64(2) + 160 = 224 pies (altura mxima).

El objeto golpea el piso cuando S = 0. Esto es, 16t 2 + 64t + 160 = 0 t 2 4t 10 = 0,

de donde, t =

4 16 + 40 = 2 14. 2

El objeto llega al piso a los t = 2 + 14 s. Al sustituir este valor de t en (2) se obtienev = 32(2 + 14 ) + 64 119.73 pies s.

El objeto llega al piso con una rapidez de 119.73 pies/s. d. De acuerdo a (3), la aceleracin permanece constante e igual a 32 pies/s2. Esta es la aceleracin de la gravedad cerca del nivel del mar.


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21Valores extremos de una funcin de variable realIntroduccinJoseph Louis Lagrange

Se ha visto en el mdulo 20 que la existencia de la derivada de una funcin en un punto c significa geomtricamente que la curva y = f (x) tiene una recta tangente en el punto (c, f (c)) y adems mT = f (c). Este hecho permite determinar, entre otros, aquellos puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuacin f(x) = 0. Una mirada atenta a la siguiente figura permite visualizar de manera intuitiva los elementos que son objeto de estudio en esta primera parte, como los siguientes: f (c1) es el mayor valor que toma la funcin en un intervalo abierto que contiene a c1. Se dice entonces que f (c1) es un mximo relativo de f (x). Ntese, adems, que en el punto P1(c1, f (c1)) la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, esto es, f '(c1 ) = 0. Igualmente, f (c3) es el mayor valor que toma la funcin en un intervalo abierto que contiene a c3. As que f (c3) es otro mximo relativo de f (x).

Joseph Louis Lagrange naci el 25 junio de 1736 en Turn y falleci el 10 de abril de 1813 en Pars.


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Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Sin embargo, en el punto la derivada de f (x) no existe (se presenta un pico), lo cual indica que en un punto donde ocurre un mximo relativo no necesariamente debe anularse la derivada. f (c2) es el menor valor que toma la funcin en un intervalo abierto que contiene a c2. Se dice, entonces, que f (c2) es un mnimo relativo de f (x). De la misma manera que en el caso anterior en el punto P2(c2, f (c2)),ocurre que f(c2) = 0. Si se comparan ahora todos los valores que toma la funcin f (x) en el intervalo [a, b], se puede notar de la figura que f (a) es el menor valor y que f (c3) es el mayor valor. A f (a) y f (c3) se les llama, respectivamente, el mnimo absoluto y el mximo absoluto de f (x) en [a, b]. Los conceptos antes mencionados sern presentados aqu en forma rigurosa, as como las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relativos. Al final se enunciar un teorema y se dar un procedimiento para determinar los extremos absolutos de una funcin continua en un intervalo cerrado.

Objetivos del mdulo1. Usar la derivacin en el trazado de curvas en lo concerniente a la determinacin de los extremos de una funcin. 2. Notar la diferencia entre un extremo relativo y un extremo absoluto.

Preguntas bsicas1. Los puntos A y B estn situados uno frente al otro y en lados opuestos de un ro recto de 300 m de ancho. El punto D est a 600 m de B y en su misma orilla (figura 21.2). Una compaa de telfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es 25% ms caro bajo el agua que por tierra, cmo se debe tender el cable para que el costo total sea mnimo?

Contenidos del mdulo21.1 Valores mximos y mnimos de una funcin de variable real 21.2 Extremos relativos 21.3 Extremos absolutos


Mdulo 21: Valores extremos de una funcin de variable real

21.1 Valores mximos y mnimos de una funcin de variable realDefiniciones Sea f una funcin de variable real y sea c D f (dominio de f). Entonces: i. f (c) es un valor mximo relativo de f si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que f (c) f ( x), para todo x I . ii. f (c) es un valor mnimo relativo de f si existe un intervalo abierto I que concontiene a c tal que f (c) f ( x), para todo x I . iii. f (c) es un valor mximo absoluto de f, en un intervalo I, si f (c) f ( x), para todo x I . iv. f(c) es un valor mnimo absoluto de f, en un intervalo I, si f (c) f ( x), para todo x I . A los valores mximos y mnimos relativos de una funcin se les llama extremos relativos. A los valores mximos y mnimos absolutos de una funcin se les llama extremos absolutos. Observaciones Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultneamente extremo relativo, como sucede por ejemplo con f (c3) en la funcin cuya grfica aparece en la figura de la pgina 207. El llamado teorema de los valores extremos enunciado al final del mdulo garantiza la existencia de extremos absolutos para una funcin continua en un intervalo cerrado [a, b]. A pesar de que estos valores son nicos, la funcin puede tomarlos en diferentes puntos del intervalo.

Joseph Louis Lagrange Astrnomo y matemtico franco-italiano, Lagrange era de ascendencia francesa, aunque naci y se cri en Italia. De nio, en el colegio, se encontr con un ensayo de Edmund Halley sobre anlisis matemtico y al momento decidi dedicarse a esta ciencia. La habilidad matemtica de Lagrange fue reconocida por Leonhard Euler a partir de un memorando que recibi de aqul sobre el clculo de variaciones, sobre el que el propio Euler ya haba trabajado. Tan impresionado qued Euler por esta obra, que permiti que fuera publicada antes que la suya. Lagrange aplic su facilidad matemtica a una sistematizacin de la mecnica, que ya haba comenzado con Galileo. Utilizando el anlisis de las variaciones, dedujo unas ecuaciones muy generales con las que se podan resolver todos los problemas de la mecnica. Tambin dedujo la forma de aplicar las matemticas a los movimientos de sistemas que influan en ms de dos cuerpos, tales como el sistema Tierra-Luna-Sol y el de Jpiter con sus cuatro lunas. La revolucin francesa tambin le dio una oportunidad de prestar un servicio a la ciencia, al recibir el encargo de dirigir una comisin que estudiara un nuevo sistema de pesos y medidas. Como resultado apareci el sistema mtrico decimal, el ms lgico de los sistemas de medidas que jams se han inventado.

21.2 Extremos relativosEl siguiente teorema establece una condicin necesaria para que una funcin tenga un extremo relativo en un punto en el cual f es derivable. Teorema 1: Condicin necesaria para extremos relativos (f tiene un extremo relativo en x = c f (c) = 0) Sea f una funcin que tiene un extremo relativo en c para el cual f (c) existe. Entonces, f (c) = 0.


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Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Demostracin Caso 1 Si f es la funcin constante, el teorema es evidente.Vea el mdulo 21 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

Caso 2 Supngase que f no es constante y que adems f tiene un mximo relativo en c. Como f (c) existe, entonces, de acuerdo a la observacin hecha a la definicin (2) del mdulo 9, f (c ) = lim x climx c

f ( x ) f (c ) existe, y adems, xc

f ( x ) f (c ) f ( x ) f (c ) f ( x ) f (c ) = lim = lim = f (c). (1) + xc x c xc xc xc

Siendo f (c) un mximo relativo, existe un intervalo I = (x1, x2) que contiene al punto c y tal quef (c) f ( x), para todo x I f ( x) f (c) 0, para todo x I .

Si x c + , entonces x c > 0.f ( x ) f (c ) f ( x ) f (c ) 0 lim 0 (ejercicio propuesto 5, captulo 1), x c+ xc xc

As que

f (c) 0.

(2)

Igualmente, si x c , entonces x c < 0 .f ( x ) f (c ) f ( x ) f (c ) 0 lim 0 (ejercicio propuesto 5, captulo 1), x c xc xc

As que

f (c) 0.

(3)

De (2) y (3) se concluye que f (c) = 0. Caso 3 Supngase que f no es constante y que adems f tiene un mnimo relativo en c. La demostracin es similar a la del caso 2 y se deja por tanto como ejercicio para el lector. Observaciones El teorema anterior significa geomtricamente que si una funcin f tiene un extremo relativo en c, y f (c) existe, entonces la recta tangente a la curva en el punto (c, f (c)) es horizontal (figura 21.1a).


Mdulo 21: Valores extremos de una funcin de variable real

Figura 21.1

El recproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, en una funcin se puede cumplir que f (c) = 0 para algn punto c de su dominio, y sin embargo f no presenta extremos relativos en c, como sucede por ejemplo con la funcin f (x) = x3 (figura 21.1b).


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Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Note que f ( x) = 3x 2 , f (0) = 0, pero la funcin no presenta ni mximos ni mnimos relativos en el origen puesto que a la izquierda del origen f es negativa y a la derecha f es positiva. Mas aun, una funcin puede tener un extremo relativo en un punto y ni siquiera ser derivable all, como sucede por ejemplo con la funcin f ( x) = x (figura 21.1c) que tiene un mnimo relativo en x = 0, pero f (0) no existe (observacin a de la seccin 10.1). Definicin Sea f una funcin definida en un intervalo abierto I. Un punto c I se llama valor crtico de f si f (c) = 0 o f (c) no existe. As por ejemplo, para la funcin y = f ( x) = (3 x 2) 3 x = (3 x 2) x1 3 se tiene que:1 y = f ( x) = 3 x1 3 + (3x 2) x 2 3 , 3 = 3x1 3 + 3x 2 12 x 2 = . 3x 2 3 3x 2 3

Los valores crticos de f son, por tanto, x = 0 y x = 1/6 (por qu?).

21.3 Extremos absolutosEl siguiente teorema, que se enuncia sin demostracin, es de gran importancia en la teora de extremos de una funcin. Aunque tiene una fcil interpretacin geomtrica, exige para su demostracin elementos de clculo avanzado que estn ms all del alcance de este texto. Teorema 2: Teorema de los valores extremos Toda funcin continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mnimo absoluto y mximo absoluto). El alumno puede verificar grficamente el teorema 2 intentando dibujar la grfica de una funcin que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b]. Cada intento lo llevar a la conviccin de que la propiedad enunciada en el teorema siempre se cumple. Observacin El teorema 2 garantiza la existencia de extremos absolutos para una funcin continua en un intervalo cerrado, pero no dice cmo determinarlos. Sin embargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultneamente extremo relativo se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo. Una regla prctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una funcin continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:


Mdulo 21: Valores extremos de una funcin de variable real 1. 2. 3. Se determinan los valores crticos c1, c2, c3, ...,cn de f (resolviendo f ( x) = 0, o donde f (x) no existe). Se calcula f (a) y f (b). Mximo absoluto de f = max { f (a), f (b), f (c1 ), f (c2 ),..., f (cn )} . Mnimo absoluto de f = min { f (a), f (b), f (c1 ), f (c2 ),..., f (cn )} . Ejemplo 22.1 Determine, si existen, los extremos absolutos (mximo y mnimo) de la funcinf ( x ) = x 4 8 x 2 + 16 en el intervalo [3, 2].

Solucin Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de mximo y mnimo absoluto est garantizada por el teorema 2. Para determinarlos se aplica la regla prctica dada en la observacin del mismo teorema. Considere los valores crticos por medio de la derivadaf ( x ) = 4 x 3 16 x = 0 4 x ( x 2)( x + 2) = 0

x = 0, x = 2, x = 2 son los nicos valores crticos.Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:f (3), f (2), f (0) y f (2),f ( 3) = ( 3) 4 8(3) 2 + 16 = 81 72 + 16 = 25,f (2) = 24 8 22 + 16 = 16 32 + 16 = 0,

f (0) = 04 8 02 + 16 = 16, f (2) = ( 2) 4 8(2) 2 + 16 = 16 32 + 16 = 0.

Mximo absoluto de f en [3, 2] es f ( 3) = 25. Mnimo absoluto de f en [3, 2] es f ( 2) = f (2) = 0. Ejemplo 21.2 Determine, si existen, los extremos absolutos de la funcin f ( x ) = 1 ( x 3) 2 3 en el intervalo [5, 4]. Solucin La continuidad de f en el intervalo [5, 4] garantiza la existencia de extremos absolutos de f en dicho intervalo. Se deben determinar primero los valores crticos por medio de la derivada

Escuche el audio Lagrange, un genio amable en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.


213

Captulo 4: Aplicaciones de la derivadaCuidado con los valores extremos

f ( x) =El deseado mximo o mnimo ocurre siempre en el nmero crtico. Tal vez est pensando que cuando slo hay un nmero crtico es intil comparar el valor con l los valores extremos del intervalo. Por desgracia, eso no es siempre cierto. En 1945, dos prestigiosos ingenieros aeronuticos dedujeron una funcin como modelo del alcance de un avin. Su intencin era usarla para maximizar el alcance. Encontraron un nmero crtico (correspondiente a repartir todo el peso del avin en las alas) y argumentaron que deba dar el mximo alcance. El resultado fue el famoso avin Flying wing. Aos ms tarde se vio que ese nmero crtico corresponda a un mnimo de la funcin alcance. En defensa de los ingenieros hay que decir que no disponan de las tcnicas de clculo actuales. Curiosamente, ese diseo recuerda mucho al bombardero B-2 Stealth. Esta historia sali a la luz con motivo de la construccin del B-2. La moraleja es evidente: compruebe los valores de la funcin en los nmeros crticos y en los extremos del intervalo. No acepte, por supuesto, aun cuando haya un solo nmero crtico, que el nmero crtico proporciona el mximo o el mnimo que est buscando.

2 . 3( x 3)1 3

El nico valor crtico de f es x = 3, donde la derivada no existe (note que f (x) = 0 carece de solucin). Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:f (5), f (4) y f (3),f (5) = 1 (5 3) 2 3 = 1 (8) 2 3 = 3, f (4) = 1 (4 3) 2 3 = 1 1 = 0,

f (3) = 1 (3 3) 2 3 = 1 0 = 1.

Mximo absoluto de f en [5, 4] es f (3) = 1. Mnimo absoluto de f en [5, 4] es f (5) = 3. Ejemplo 21.3 Considere la funcin f definida por3x 4 f ( x) = 2 x 2 si si 3 x 0 para todo x en (c, b), f (c) no es un extremo relativo (figura 23.1d). Si f ( x) < 0 para todo x en (a, c) y f ( x) < 0 para todo x en (c, b), f (c) no es un extremo relativo (figura 23.1f).

b.

c.

d.


Mdulo 23: Criterio de la primera derivada


231


Figura 23.1

Demostracin a. Si f ( x) > 0 en (a, c), se tiene por el teorema 1 que f es creciente; en consecuencia, para todo x tal que a < x < c se tiene que f (x) < f (c). (1)

Ahora, como f ( x) < 0 en (c, b), entonces f es decreciente (teorema 1) y, de esta forma, para todo x tal que c < x < b se cumple que f (c) > f (x). (2)

De (1) y (2) se concluye que f (c) > f (x) para todo x en (a, b) y esto significa que f (c) es un mximo relativo. b. Esta demostracin es similar a la parte a.


Mdulo 23: Criterio de la primera derivada c. Si f ( x) > 0 en (a, c) y f ( x) > 0 en (c, b), entonces por el teorema 1 se tiene que f (x) < f (c) para todo x en (a, c) y f (c) < f (x) para todo x en (c, b), de lo cual se concluye que f (c) no puede ser ni mximo ni mnimo relativo. Esta demostracin es similar a la parte c.

d.

Observacin En el lenguaje corriente, las partes a y b del teorema 2 se expresan, respectivamente, en la siguiente forma: Si la derivada pasa de positiva a negativa, el valor crtico corresponde a un mximo relativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva, el valor crtico corresponde a un mnimo relativo. En los ejemplos resueltos 1, 2 y 3 del mdulo 25 se ilustra cmo determinar para la grfica de una funcin dada los intervalos donde crece y donde decrece la curva, as como tambin los extremos relativos. Para ello se explica el mtodo grfico que es mucho ms expedito que el mtodo analtico. Ilustramos, sin embargo, la aplicacin de los dos teoremas de la seccin, justificando lo que se plantea en la pregunta bsica en el inicio del mdulo. Ejemplo 23.1 El contenido de informacin o entropa de una fuente binaria (tal como un telgrafo que trasmite puntos y lneas), cuyos dos valores ocurren con probabilidades p y(1 p), se define como: H ( p) = p ln p (1 p) ln (1 p), donde 0 < p < 1. 1 Pruebe que H (p) tiene un mximo en p = . 2

SolucinH ( p ) = 1 ln p p 1 1 1 p . ln(1 p ) + (1 p) = ln 1 p p p

De esta manera,H ( p ) = ln 1 p 1 p 1 =0 = e0 = 1 p = es el nico valor crtico. p p 2 1 p , p

Para analizar el signo de la derivada, se debe tener en cuenta el signo de dependiendo de que 0 < p 2 p 1 > p + p 1 p > p 1 p > 1, p

y, en consecuencia, H ( p) = ln

1 p > 0, lo que indica, de acuerdo al teorema 1, que p 1 < p < 1, entonces 2

la funcin H (p) es creciente en dicho intervalo. Si1 < 2 p 1 < p + p 1 p < p

1 p < 1, p

y, en consecuencia, H ( p ) = ln

1 p < 0, 1 lo que indica, de acuerdo al teorema 1, p

que la funcin H (p) es decreciente en dicho intervalo. Como la derivada pasa de positiva a negativa en p = 1 2, el teorema 2 garantiza que en p = 1 2 la funcin H (p) tiene un mximo relativo.


24Criterio de la segunda derivadaIntroduccinAs como los puntos mximos y mnimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente, o viceversa, los llamados puntos de inflexin de una curva (cuando existen) se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva. Como vimos en el mdulo 23, la monotona de una curva coincide con el signo de la primera derivada; igualmente, como veremos ahora, la concavidad coincide con el signo de la segunda derivada. Completaremos de esta forma todos los elementos tericos necesarios para el trazado de una curva con todos sus elementos, lo cual ser el objetivo principal del mdulo 25.Un avin comienza a descender desde una milla de altura y situado a cuatro millas de la pista. Es posible determinar una funcin polinmica p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d que describe la trayectoria suave del aterrizaje.

Objetivos del mdulo1. Establecer, usando la segunda derivada, otro criterio para determinar extremos relativos de una funcin. 2. Usar la segunda derivada para determinar los intervalos de concavidad de una curva y dnde ocurren posiblemente los llamados puntos de inflexin. 3. Completar los elementos tericos necesarios para el trazado de curvas.

Preguntas bsicas1. Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Supongamos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulan en el mismo intervalo. Sean F ( x) = ln f ( x), y G ( x) = ln g ( x). a. b. c. d. e. Si F es cncava hacia arriba, lo es f necesariamente? Si f es cncava hacia arriba, lo es F necesariamente? Si f y g son cncavas hacia arriba, puede asegurarse que ( f + g) lo es? Si f y g son cncavas hacia arriba, puede asegurarse que ( f g) lo es? Si F y G son cncavas hacia arriba, puede asegurarse que ln ( f g) lo es?

Analice sus respuestas.

Contenidos del mdulo24.1 Concavidad y puntos de inflexin 24.2 Teorema 1: Criterio de la segunda derivada para concavidad 24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

235


Mdulo 24: Criterio de la segunda derivada

24.1 Concavidad y puntos de inflexinAntes de presentar la definicin precisa de concavidad, se harn algunas observaciones de tipo intuitivo. Considere la funcin f cuya grfica aparece en la figura 24.1. Note que la curva que f representa tiene tangente en todos sus puntos.

Figura 24.1

Se observa que en los puntos cercanos a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por debajo de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cncava hacia abajo en el punto x1. Igualmente se observa que en los puntos cercanos a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por encima de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad cambia se conoce con el nombre de punto de inflexin de la curva. A pesar de que las ideas que se acaban de presentar son ms de carcter visual que analtico, stas pueden demostrarse analticamente utilizando el teorema del valor medio para derivadas y el criterio de monotona (vea el ejemplo 1 de este mismo mdulo). Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones: Definiciones Sea f una funcin derivable en un punto c. i. f es cncava hacia arriba en c o cncava positiva en c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x c, se cumple queZ ( x) = f ( x) f (c)( x c) f (c) > 0yc yt

(figura 24.2a). Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

237


Vea el mdulo 24 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

Figura 24.2

yc: y de la curva; yt : y de la tangente. ii. f es cncava hacia abajo en c o cncava negativa en c si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x c, se cumple queZ ( x) = f ( x) f (c)( x c) f (c) < 0 (figura 24.2b).

iii. iv.

f es cncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexin si existe un intervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los subintervalos (a, c) y (c, b).

Se usar el smbolo para denotar que una curva es cncava hacia arriba o cncava positiva. Igualmente, se emplear el smbolo para denotar que una curva es cncava hacia abajo o cncava negativa.


Mdulo 24: Criterio de la segunda derivada El siguiente teorema, que se enuncia sin demostracin, establece una condicin suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

24.2 Teorema1: Criterio de la segunda derivada para concavidadSea f una funcin dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I. Entonces: i. ii. Si f ( x) > 0 para todo x I , f es cncava hacia arriba en I. Si f ( x) < 0 para todo x I , f es cncava hacia abajo en I.

Observaciones 1. En muchas ocasiones el teorema anterior se enuncia diciendo que el signo de la concavidad coincide con el signo de la segunda derivada.

2.

En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin existir punto de inflexin; en este caso, simplemente se dice que hay inflexin sin existir punto de inflexin. La grfica de la figura 24.3 indica esta posibilidad. All se muestran inicialmente los intervalos de concavidad para una curva dada.

Figura 24.3

Note que los puntos A (c1, f (c1)), B (c2, f (c2)), C (c3, f (c3)) son puntos de inflexin. En c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexin. Como es de suponer, los puntos para los cuales f ( x) = 0 o f ( x) no existe, son candidatos viables para ser puntos de inflexin. Puede suceder que para un valor de c del dominio de una funcin se cumpla que f (c) = 0, y sin embargo el punto P (c, f (c)) no es punto de inflexin. Considere, por ejemplo, la funcin definida por f (x) = x4, cuya grfica aparece en la figura 24.4. Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

Escuche el audio Un problema para detectives en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

239


Figura 24.4

Como f ( x ) = x 4 , f ( x) = 4 x 3 , f ( x) = 12 x 2 . Para c = 0, f (0) = 12 (0) 2 = 0. Sin embargo, el punto P (0, f (0)) = P(0, 0) no corresponde a un punto de inflexin, puesto que para valores de x anteriores y posteriores a x = 0, f (0) > 0, y no cambia la concavidad de la curva. A continuacin se enuncia, sin demostracin, un teorema conocido como el criterio de la segunda derivada para extremos relativos, el cual permite, en algunos casos, determinar de una manera ms fcil si un valor crtico dado corresponde a un mximo o a un mnimo relativo.

24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremos relativosSea f una funcin dos veces derivable en un intervalo abierto I, y sea c un punto de I, tal que f (c) = 0. Entonces: i. ii. Si f (c) < 0, entonces f presenta un mximo relativo en c. Si f (c) > 0, entonces f presenta un mnimo relativo en c.

Observacin Si f (c) = 0, entonces la naturaleza del valor crtico c no queda determinada, como lo ilustran los siguientes casos: La funcin f (x) = x4 satisface f (0) = 0 y f (0) = 0. Sin embargo, f (x) presenta un mnimo relativo en x = 0 (figura 24.5a).


Mdulo 24: Criterio de la segunda derivada Igualmente, la funcin g (x) = x4 satisface g (0) = 0 y g (0) = 0. Sin embargo, g (x) presenta un mximo relativo en x = 0 (figura 24.5b). Tambin la funcin h (x) = x3 satisface h(0) = 0 y h(0) = 0, pero h (x) es creciente en todo el eje real y no presenta extremo relativo en x = 0 (figura 24.5c).

Figura 24.5

El teorema 2 tiene mayor utilidad en los problemas de optimizacin en los cuales, para un valor crtico dado, se analiza si corresponde a un mximo o mnimo relativo, sin determinar los cambios de signo de la primera derivada.


241

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada En los ejercicios resueltos 1, 2 y 3 del mdulo 25 se ilustra cmo determinar para la grfica de una funcin dada los intervalos de concavidad, as como tambin los posibles puntos de inflexin. Para ello se explica el mtodo grfico que es mucho ms expedito que el mtodo analtico. Ilustramos, sin embargo, la aplicacin de los dos teoremas de la seccin, justificando lo que se plantea en la pregunta bsica en el inicio del mdulo. Ejemplo 24.1 Utilice el TVM para probar que la grfica de una funcin f cncava hacia arriba siempre est por encima de su recta tangente, es decir, demostrar que:f ( x) > f (c) + f (c)( x c), siempre que x c.

Solucin Caso 1: Supongamos que x > c.f ( x ) f (c ) = f ( a ), para algn a (c, x ). xc

Por el TVM,

De aqu, f ( x) f (c) = f ( a)( x c), para algn a (c, x).

(1)

Ahora, como f es cncava hacia arriba, de acuerdo al teorema 1, f > 0 ( f ) > 0, y por el teorema de monotona (teorema 1, mdulo 23) f es creciente en el intervalo(c, x). Es decir, c < a < x f (a) > f (c).

(2 )

De (1) y (2) se deduce entonces que f ( x) f (c) = f (a )( x c) > f (c)( x c). Por tanto, f ( x) > f (c) + f (c)( x c), para x > c.

Caso 2: Supongamos que x < c.f (c ) f ( x ) = f (a ), para algn a ( x, c ). cx

Por el TVM,

De aqu, f (c) f ( x) = f (a )(c x), para algn a ( x, c).

(1)

Ahora, como f es cncava hacia arriba, de acuerdo al teorema 1, f > 0 ( f ) > 0, y por el teorema de monotona (teorema 1, mdulo 23) f es creciente en el intervalo( x, c). Es decir, x < a < c f (c) > f (a).

(2 )


Mdulo 24: Criterio de la segunda derivada De (1) y (2) se deduce que f (c) f ( x) = f (a )(c x) < f (c)(c x). Es decir, f ( x) < f (c) + f (c)(c x) f ( x) > f (c) + f (c)( x c). Por tanto, f ( x) > f (c) + f (c)( x c) para x < c. En consecuencia, f ( x) > f (c) + f (c)( x c), siempre que x c. Ejemplo 24.2 Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Supongamos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulan en el mismo intervalo. Sean F ( x) = ln f ( x) y G ( x) = ln g ( x). a. b. c. d. e. Si F es cncava hacia arriba, lo es f necesariamente? Si f es cncava hacia arriba, lo es F necesariamente? Si f y g son cncavas hacia arriba, puede asegurarse que (f + g) lo es? Si f y g son cncavas hacia arriba, puede asegurarse que (f g) lo es? Si F y G son cncavas hacia arriba, puede asegurarse que ln (f g) lo es?

Solucin a. La pregunta puede formularse de la siguiente manera: Si F ( x) > 0, entonces f ( x) > 0?f ( x) En primer lugar, si F ( x) = ln f ( x), entonces F ( x) = f ( x) , yF ( x ) = f ( x) f ( x) ( f ( x)) 2 . f ( x) 2

F ( x) > 0

f ( x) f ( x) ( f ( x)) 2 > 0, f ( x) 2

f f ( f ) 2 > 0 (puesto que el denominador siempre es positivo),

f >

( f )2 > 0 (puesto que ( f ) 2 > 0 y f > 0), f

f es cncava hacia arriba.


243

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada b. No necesariamente. Considere por ejemplo la funcin f ( x ) = x 2 definida en el intervalo (1, 2).f ( x) > 0, para todo x (1, 2).2 2 y F ( x) = 2 < 0, lo que indica que x x

Como F ( x ) = ln x 2 , entonces F ( x) = F es cncava hacia abajo. c.

Como f es cncava hacia arriba, entonces f ( x) > 0. Como g es cncava hacia arriba, entonces g ( x) > 0. De otro lado, ( f + g ) = f + g > 0, lo que indica que (f + g) es cncava hacia arriba.

d.

No necesariamente. Considere por ejemplo las funciones f ( x ) = x 2 y g (x) = (1 x)2, definidas en el intervalo (0, 1), f ( x) = 2 x, f ( x) = 2 > 0, lo que indica que f es cncava hacia arriba en el intervalo (0, 1). Tambin, g ( x) = 2(1 x), g ( x) = 2 > 0, lo que indica que g es cncava hacia arriba en el intervalo (0 , 1). De otro lado, si H ( x ) = ( f g )( x ) = x 2 (1 x ) 2 = x 2 2 x 3 + x 4 ,H ( x ) = 2 x 6 x 2 + 4 x 3 , H ( x) = 2 12 x + 12 x 2 ,

1 H = 2 6 + 3 = 1 < 0, 21 lo que indica que es cncava negativa en las cercanas de x = . 2

e.

Sea H ( x) = ln ( f g )( x) = ln f ( x) + ln g ( x) = F ( x) + G ( x). Por tanto, H ( x) = F ( x) + G ( x), y como por hiptesis F ( x) > 0, G( x) > 0, se sigue que H ( x) > 0, lo que indica que H ( x) = F ( x) + G ( x) es cncava hacia arriba.


25Anlisis y trazado de curvasIntroduccinEl tratamiento que se ha dado a la graficacin de funciones ha sido casi elemental. En la mayora de los casos, las grficas indicadas corresponden a funciones conocidas: polinmicas, exponenciales, trigonomtricas, logartmicas, etc., cuyo trazo se ha hecho marcando un nmero suficiente de puntos que las caracterizan. Sin embargo, si la ecuacin que se quiere graficar es complicada o se quiere de la misma una grfica ms precisa, esa tcnica sera inadecuada. Por esta razn, los elementos del clculo vistos hasta ahora (lmite, continuidad y derivada) se convierten en una poderosa herramienta para trazar una curva con todos sus elementos. El objetivo bsico de este mdulo es incluir todas estas ideas en el proceso de graficacin.La reputacin histrica de Maria Agnesi fue distorsionada por el hecho de que en sus Instituzioni analitiche trabajara con la cbica de Agnesi o curva sinusoidal versa (versiera en italiano), que se tradujo al ingls, por un error del traductor, Colson, como la bruja de Agnesi (Colson tradujo el trmino versiera por witch, la palabra inglesa que significa bruja).

Objetivos del mdulo1. Incluir los temas vistos hasta ahora del clculo en el proceso de graficacin. 2. Trazar la grfica de una curva con todos sus elementos: dominio, intersecciones, asntotas, extremos relativos, monotona, concavidad y puntos de inflexin.

Preguntas bsicas1. Sea f una funcin continua en todo el eje real. La figura adjunta es el grfico de f(x) (grfico de la funcin derivada, no de la funcin).


245

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Responda las siguientes preguntas acerca de f(x) (no de f ): a. b. c. d. e. Dnde f es creciente y dnde es decreciente? Dnde f es cncava hacia arriba y dnde es cncava hacia abajo? Cules son sus valores crticos y dnde ocurren sus extremos relativos? Dnde estn los puntos de inflexin para f ? Suponiendo que f (0) = 1, dibuje una funcin que verifique las condiciones expuestas.

Contenidos del mdulo25.1 Anlisis y trazado de curvas 25.2 Ejemplos resueltos sobre trazado de curvas


Mdulo 25: Anlisis y trazado de curvas

25.1 Anlisis y trazado de curvasEl objetivo principal de los mdulos anteriores era el de proporcionar los elementos tericos necesarios para el anlisis y el trazado de la curva asociada a una funcin. Esto se reduce generalmente a la determinacin de los siguientes elementos: Dominio natural de definicin de la funcin y = f ( x). Posibles puntos de discontinuidad. Interceptos de la curva con los ejes coordenados: a. Interceptos con el eje x: se hace en la ecuacin y = 0 y se resuelve la ecuacin resultante para x. b. Interceptos con el eje y: se hace en la ecuacin x = 0 y se resuelve la ecuacin resultante para y. Asntotas de la curva: verticales, horizontales y oblicuas. Intervalos donde crece y decrece la curva, extremos relativos de f, analizando el signo de f ( x). Intervalos de concavidad y posibles puntos de inflexin analizando el signo de f ( x). Este anlisis permite construir la grfica de la funcin (a veces resulta conveniente ir trazando los elementos de la grfica simultneamente con el anlisis). Observaciones Si la curva que se desea analizar y trazar corresponde a una funcin par, es decir,f ( x) = f ( x), la curva es simtrica con respecto al eje y. En consecuencia, slo es suficiente analizar la funcin y construir su grfica nicamente para valores positivos de la variable x, pertenecientes al dominio de la funcin.

Si la curva corresponde a una funcin impar, es decir, f ( x) = f ( x), ser suficiente analizar la funcin para los valores positivos de la variable x. La grfica de una funcin impar es simtrica con respecto al origen de coordenadas. En los ejemplos 25.1, 25.2, 25.3 y 25.4 de la seccin 25.2 se analiza y se traza la grfica de algunas funciones con todos los elementos mencionados anteriormente.

25.2 Ejemplos resueltos sobre trazado de curvasEjemplo 25.1 Trace la curva correspondiente a la funciny = f ( x) = x2 + 3 x2 + 3 = . x 2 4 ( x 2)( x + 2)Escuche el audio Traducttore tradictore en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

(1)


247

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Solucin Determinemos los elementos fundamentales de la curva, como son: 1.Vea el mdulo 25 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

Dominio natural de f (x) Los nicos valores de x para los cuales no existe la funcin son x = 2 y x = 2 (valores de x que anulan el denominador). De esta forma, D f = {2, 2} .

2.

Interceptos

i.

x2 + 3 x 2 + 3 = 0 . Esta ltix2 4 ma ecuacin no tiene solucin real, lo que indica que la curva no corta al eje x.Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): 0 = Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): y = corta al eje y en el punto P (0, 3 4).

ii.

02 + 3 3 = . Por tanto, la curva 2 0 4 4

3.

Asntotas i. Verticales: como la funcin es racional, son aquellos valores de x que anulan el denominador de (1). En este caso las rectas verticales x = 2 y x = 2 son asntotas verticales de la curva. Adems, lim f ( x) = lim + +x 2 x 2

x2 + 3 = +, x2 4x2 + 3 = , x2 4 x2 + 3 = , x2 4

x 2

lim f ( x) = lim x 2

x 2

lim+ f ( x) = lim+x 2

x 2

lim f ( x) = limx 2

x2 + 3 = +. x2 4

ii.

x2 + 3 = 1, se deduce que y = 1 x2 4 es una asntota horizontal de la curva. De otro lado, comoHorizontales: como lim f ( x) = lim x x

f ( x) =

x2 + 3 7 =1 + 2 , x2 4 x 4

se deduce que los valores de la funcin para valores grandes de x en valor absoluto son mayores que 1, lo cual indica que la curva siempre est por encima de la asntota.


Mdulo 25: Anlisis y trazado de curvas En la figura 25.1 se indica el intercepto de la curva con el eje y, y el comportamiento de la curva cerca de las asntotas.

Figura 25.1

iii. 4.

Oblicuas: no tiene (por qu?).

Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos Para ello, se hace el anlisis de la primera derivada.f ( x) = 2 x( x 2 4) 2 x( x 2 + 3) 14 x . = 2 ( x 2 4) 2 ( x 4) 2

Como (x2 4)2 > 0 (positivo), el signo de la derivada slo depende del signo del factor (14 x). As: Signo de (14 x) o signo de f ( x ) +++++++++++++| 0 El diagrama indica que f ( x) es creciente en ( , 0] , y que f ( x) es decreciente en [0, +). En consecuencia, x = 0 corresponde a la abscisa de un punto mximo relativo.Pm (0, f (0)) Pm (0, 3 4).

5.

Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexin Para ello, se utiliza la segunda derivada. Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

249

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Si f ( x) =14 x 42 x 2 + 56 . f ( x) = ( x 2 4) 2 ( x 2)3 ( x + 2)3

Como 42x2 + 56 > 0 (positivo), el signo de la segunda derivada depende del signo de los factores del denominador. Signo de ( x 2)3 | ++++++++++++++ 2 Signo de ( x + 2)3 |++++++++++++++++++++ 2 Signo de f ( x) +++++++++| |+++++++++++++++ 2 2 El signo de la segunda derivada indica que:f ( x) es cncava hacia arriba (+) en (, 2) (2, +), f ( x) es cncava hacia abajo () en (2,2).

En los puntos x = 2 y x = 2 la concavidad cambia de signo, lo cual indica que hay inflexin, pero no existe punto de inflexin (por qu?). La figura 25.2 recoge toda la informacin obtenida y proporciona una aproximacin muy buena a la grfica de la funcin dada.

Figura 25.2


Mdulo 25: Anlisis y trazado de curvas Ejemplo 25.2 Trace la curva correspondiente a la funciny = f ( x) = ( x + 1)3 x3 + 3x 2 + 3x + 1 = . ( x 1) 2 x2 2 x + 1

(1)

Solucin 1. Dominio natural de f (x) El nico valor de x para el cual no existe f es x = 1 (valor de x que anula el denominador). As que D f = {1} = (,1) (1, +). La funcin es continua para todo x 1, por ser el cociente de dos polinomios. 2. Interceptos i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): 0 =( x + 1)3 x = 1. Luego el ( x 1) 2

punto P (1, 0) es el intercepto de la curva con el eje x. ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): y =(0 + 1)3 = 1. Luego el punto (0 1)2

Q(0,1) es el intercepto de la curva con el eje y.

3.

Asntotas i. Verticales: el nico valor de x que anula el denominador es x = 1 y sta es la nica asntota vertical de la curva. De otro lado:x 1

lim f ( x) = lim + +x 1

( x + 1)3 tiende a 8(+) +, ( x 1)2 tiende a 0(+)( x + 1)3 tiende a 8(+) +. ( x 1) 2 tiende a 0(+)

x 1

lim f ( x) = lim x 1

ii. iii.

Horizontales: no tiene (por qu?). Oblicuas: como el grado del numerador es 3, una unidad ms que el grado del denominador que es 2, la curva tiene una asntota oblicua de la forma y = mx + b. Para determinarla, se efecta la divisin entre el numerador y el denominador y se obtiene

x3 + 3x 2 + 3x + 1 12 x 4 = ( x + 5) + 2 . x2 2x + 1 x 2x + 1Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

251

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Por tanto, y A = x + 5 es la asntota oblicua de la curva. Para estudiar el comportamiento de la curva cerca de la asntota se estudia la diferencia yC y A , para un mismo valor de x, en donde yC es la ordenada de la curva y yA es la ordenada de la asntota. Esto es,

yC y A =

x3 + 3x 2 + 3x + 1 12 x 4 ( x + 5) = 2 . 2 x 2x + 1 x 2x + 1

Si x > 0, entonces yC y A > 0, lo que indica que para valores grandes de x (positivos), la curva est por encima de la asntota. Si x < 0, entonces yC y A < 0, lo cual indica que para valores grandes de x (negativos) la curva est por debajo de la asntota. En la figura 25.3 se ilustran los interceptos de la curva con los ejes coordenados, as como tambin el comportamiento de la curva cerca de las asntotas.

Figura 25.3

4.

Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos Para ello se hace el anlisis del signo de la primera derivada.f ( x) = 3( x + 1) 2 ( x 1) 2 2( x 1)( x + 1)3 ( x + 1)2 ( x 5) = . ( x 1) 4 ( x 1)3

El signo de f ( x ) depende de los signos que poseen los factores ( x 5) y (x 1)3, puesto que ( x + 1) 2 es siempre positivo.


Mdulo 25: Anlisis y trazado de curvas Signo de (x 5) | +++++++++++ 5 Signo de (x 1)3 |+++++++++++++++++++++++ 1 Signo de f ( x) +++++++ | |++++++++++++ 1 5 El signo de f ( x ) indica que: f crece en los intervalos ( ,1) y [5, +) y f decrece en el intervalo (1, 5]. En x = 1, f ( x) no existe, pero como el punto no pertenece al dominio de f, la curva en l solamente cambia de monotona conservando su comportamiento asinttico. x = 5 corresponde a un mnimo relativo. Pm (5, f (5)) = Pm (5,13.5). 5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexin Para ello se analiza el signo de la segunda derivada f ( x) .24( x + 1) . ( x 1)4

f ( x) =

El signo de f ( x) slo depende del signo del factor (x + 1), puesto que 24 y( x 1) 4 son siempre positivos.

Signo de (x + 1) | ++++++++ +++++++++ 1 El signo de f ( x) indica que:f ( x) es cncava hacia abajo () en (, 1], f ( x) es cncava hacia arriba () en [1, +) .

El punto PI (1, f (1)) corresponde a un punto de inflexin, es decir, en PI(1, 0) la curva cambia de concavidad. En la figura 25.4 se traza la curva con todos los elementos as obtenidos.


253


Figura 25.4

Ejemplo 25.3 Trace la grfica de la funciny = f ( x) = 2sen x + cos 2 x, para x en [0,2 ].

(1)

Solucin Como slo interesa la parte de la grfica correspondiente al intervalo [0, 2 ], nicamente se tienen en cuenta para su anlisis los siguientes elementos: 1. Continuidad La funcin es continua en el intervalo [0, 2 ] por ser suma de funciones continuas. 2. Interceptos i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): se resuelve para x.2 sen x + cos 2 x = 0 2 sen x + 1 2 sen 2 x = 0, 2 sen 2 x 2 sen x 1 = 0.

Al resolver la ltima ecuacin reducible a cuadrtica se obtiene por la frmula general:

sen x =

2 4 + 8 1 3 = . 4 2



La ecuacin sen x = Si sen x =

1+ 3 carece de solucin (por qu?). 2

1 3 , entonces x + 0.37 y x = 2 0.37. 2

Por tanto, los interceptos de la curva con el eje x son los puntosP ( + 0.37, 0) y P2 (2 0.37,0). 1

ii. 3.

Con el eje y (se hace x = 0 en (1)). As, y = 2sen 0 + cos 0 = 1.

Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos Se obtienen analizando el signo de la primera derivada o f ( x).f '( x) = 2 cos x 2sen 2 x = 2 cos x 4sen x cos x, f '( x) = 2cos x (1 2sen x).

El signo de la derivada depende del signo de los factores cos x y (1 2sen x) en el intervalo [0, 2 ]. Ahora, cos x es positivo si x pertenece al primero o al cuarto cuadrante, es decir, cos x > 0 si x (0, 2) (3 2, 2 ); cos x es negativo si x pertenece al se-

3 gundo o al tercer cuadrante, es decir, cos x < 0 si x , 2 2sen x > 1 2 siempre que

. Ahora, como

6

1 si 6

5 x , 6 6

5 x , . 1 2sen x < 0 si 6 6

Tambin, sen x < 1 2 siempre que 0 < x 0 si

6

o

5 < x < 2 ; por tanto, 6

5 x 0, , 2 . 6 6 Al llevar esta informacin al diagrama adjunto se puede escribir:


255

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Signo de 2 cos x en [0, 2 ] ++++++++++++++++| | ++++++++++ 0

2

3 2

2

Signo de (1 2sen x) en [0, 2 ] ++++++| | ++++++++++++++++ 0

6

5 6

2

Signo de f ( x ) en [0, 2 ] ++++++| | +++++++++++++ | |++++++++++++ 0

6

2

5 6

3 2

2

El signo de f '( x) indica que f (x) es creciente en los intervalos 0, , 6 3 y , 2 . 2

5 2, 6

f ( x) es decreciente en los intervalos , y 6 2

5 3 6 , 2 .

Del diagrama anterior se puede concluir tambin que:

3 corresponde a un mximo relativo, es decir, P , es un 6 2 punto mximo de la curva.x= 6 5 5 3 corresponde a un mximo relativo, es decir, Q , es 6 6 2 un punto mximo de la curva. x=

corresponde a un mnimo relativo, es decir, R ,1 es un 2 punto mnimo de la curva.x= 2

Finalmente,3 3 corresponde a un mnimo relativo, es decir, T , 3 es 2 2 un punto mnimo de la curva. x=


Mdulo 25: Anlisis y trazado de curvas 4. Intervalos de concavidad. Puntos de inflexin Para ello se analiza el signo de la segunda derivada f ''( x).f ( x) = 2sen x 4cos 2 x,= 2sen x 4(1 2 sen 2 x ), = 2(4sen 2 x sen x 2).

(2)

Para hallar los posibles puntos de inflexin, se resuelve la ecuacinf ( x) = 0 . Es decir, 2(4sen 2 x sen x 2) = 0.

Resolviendo esta ltima ecuacin reducible a cuadrtica, se obtiene 1 + 33 0.84 8 sen x = 1 33 0.59 8

(3)

Mediante una calculadora, o una tabla de funciones trigonomtricas, se pueden obtener los siguientes valores aproximados de x:

x 1; x 1; x + 0.63 y x 2 0.63.Para determinar si estos valores de x corresponden a posibles puntos de inflexin, se hace necesario analizar el signo de la segunda derivadaf ( x) = 2(4sen 2 x sen x 2).

Los valores dados en (1) permiten escribir f'' ( x) as: 1 + 33 1 33 f'' ( x) = 2(4sen 2 x sen x 2) = 2 sen x sen x . 8 8

Mediante consideraciones similares a la hechas para f ( x), se puede obtener la informacin que aparece en el diagrama siguiente:


257

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada 1 + 33 Signo de sen x 8

|+++++| 0 1( 1) 2

1 33 Signo de sen x 8

+++++++++++++++++++++| |+++++++ 0 Signo de f ''( x) |+++++| |+++++++++++++| 0 1( 1) ( + 0.63) (2 0.63) 2 ( + 0.63) (2 0.63) 2

El signo de f ( x) indica que:f ( x) es cncava negativa () en [0,1] [ 1, + 0.63] [2 0.63, 2 ], f ( x) es cncava positiva () en [1, 1] [ + 0.63, 2 0.63].

Adems, se obtienen los siguientes puntos de inflexin:(1, 1.27); ( 1, 1.49); ( + 0.63, 0.7) y (2 0.63, 0.87).

Con la informacin dada en los cuatro puntos anteriores se puede trazar una buena aproximacin a la curva correspondiente, como aparece en la figura 25.5.

Figura 25.5


Mdulo 25: Anlisis y trazado de curvas Ejemplo 25.4 Analice y grafique la funcin y = f ( x) = senh x = Solucin 1. Dominio El conjunto de los nmeros reales, dominio comn de las funcionese x y e x .

e x e x . 2

(1)

2.

Interceptos i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)):senh x = 0

e2 x 1 = 0, 2e x

e 2 x 1 = 0,

e2 x = 1 x = 0.De esta manera, la curva pasa por el origen. ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)):y = senh 0 = 0.

3.

Continuidad La funcin y = senh x es continua en todo el eje real por ser combinacin de funciones continuas.

4.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento Puesto que Dx (senh x) = cosh x, del ejemplo 14.1i de la seccin 14.3 se tiene que Dx (senh x) > 0 y esto indica que la funcin es creciente en el intervalo(, +).

La funcin no posee valores crticos, ya que la derivada existe y es diferente de cero en todo el eje real. 5. Anlisis de la concavidad Puesto que Dx (Dx (senh x)) = Dx (cosh x) = senh x, del ejemplo 14.1ii de la seccin 14.3 se deduce que Dx (Dx (senh x)) < 0, siempre que x < 0, y por tanto la curva es cncava hacia abajo en el intervalo (, 0).


259

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Igualmente, del mismo ejemplo, se deduce que Dx (Dx (senh x)) > 0, siempre que x > 0, lo cual indica que la curva es cncava hacia arriba en el intervalo(0, +).

El punto P (0, 0) es un punto de inflexin de la curva, puesto que all cambia la concavidad. 6. Lmites en el infinitox x Puesto que xlim e = +, y xlim e = 0, se deduce que + +

x +

lim senh x = +.

x x Igualmente, puesto que xlim e = 0, y xlim e = +, se deduce que

x

lim senh x = .

Con la informacin anterior podemos trazar la grfica de la funcin y = f (x) = senh x, como se muestra en la figura 25.6.

Figura 25.6

Haciendo un anlisis similar se pueden trazar las grficas de las dems funciones hiperblicas, como aparecen en la figura 25.7.




261




Figura 25.7


263


26Problemas de mximos y mnimosIntroduccinLa teora de mximos y mnimos que se ha expuesto en los mdulos anteriores no solamente es til para el trazado de curvas, sino que hay mltiples e interesantes aplicaciones a los problemas de las ciencias, la ingeniera y la economa. En lo que sigue se considerarn algunos problemas cuya solucin es un extremo absoluto de una funcin definida en un intervalo cerrado. Para ello se usa el teorema 2 del mdulo 21 (teorema de los valores extremos), el cual garantiza la existencia de un valor mximo absoluto y de un valor mnimo absoluto de una funcin continua en un intervalo cerrado. Tambin, en muchos problemas que surgen en la prctica, los intervalos no son cerrados, pero la teora expuesta anteriormente da soluciones satisfactorias. Al final del captulo se propondrn numerosos ejercicios, que al resolverlos el lector, afianzarn su razonamiento matemtico.La construccin de cajas y envases implica, entre otras cosas, minimizar la cantidad de material empleado. Por ejemplo, de todas las cajas cilndricas con un mismo volumen, la que tiene una altura igual al dimetro de la base es la de menor rea (ejemplo 26.3).

Objetivos del mdulo1. Ilustrar con ejemplos el uso de la derivada en problemas de mximos y mnimos (problemas de optimizacin) que son de relevancia en diferentes reas de la ingeniera.

Preguntas bsicas1. Se necesita construir un recipiente cilndrico con tapa y que ha de contener un volumen especfico V. Cules deben ser las dimensiones (altura y radio de las tapas) que minimizan el rea total?

Contenidos del mdulo26.1 Algunas pautas para resolver problemas de mximos y mnimos 26.2 Problemas que incluyen un extremo absoluto 26.3 Problemas que incluyen un extremo relativo


265


26.1 Algunas pautas para resolver problemas de mximos y mnimosSe enumeran a continuacin algunos pasos que son tiles al abordar un problema de esta naturaleza.Vea el mdulo 26 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

1. Hacer hasta donde sea posible un dibujo en el que se indiquen las variables que intervienen en el problema. 2. Determinar la funcin que se debe maximizar o minimizar, as como el intervalo en el cual est definida. 3. Utilizar la informacin del problema para expresar la funcin obtenida en el paso 2, en trminos de una sola variable. 4. Utilizar la regla prctica dada en la observacin al teorema 2 de la seccin 21.3 para encontrar extremos absolutos. 5. Determinar la naturaleza del valor crtico mediante el teorema 2 del mdulo 24, conocido como el criterio de la segunda derivada, el cual permite, en algunos casos, determinar de una manera ms fcil si un valor crtico dado corresponde a un mximo o a un mnimo relativo. Se ilustra el procedimiento anterior con algunos ejemplos.

26.2 Problemas que incluyen un extremo absolutoEjemplo 26.1 Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un crculo y con la otra un cuadrado. Cmo debe ser cortado el alambre para que: a. La suma de las reas de las dos figuras sea mxima. b. La suma de las reas de las dos figuras sea mnima. Solucin Supngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos. Si x es la longitud de la circunferencia, entonces 100 x es el permetro del cuadrado (figura 26.1).

Figura 26.1


Mdulo 26: Problemas de mximos y mnimos Por tanto, el radio de la circunferencia es100 x x . y el lado del cuadrado es 4 2

Si A (x) es la funcin que representa la suma de ambas reas, se tiene que:A ( x) = 1 2 1 x + (100 x) 2 ; 0 x 100. 4 16

(1)

Puesto que A (x) es una funcin continua en el intervalo [0, 100], entonces existe un valor mximo y un valor mnimo de A (x) en [0, 100]. Al derivar (1) e igualar a cero, se obtienen los valores crticos. En efecto:A( x) ==

1 1 . 2 x + . 2 (1) (100 x), 4 16x 100 x 100 =0 x= , 2 8 4+

es el nico valor crtico y pertenece al intervalo [0, 100] (por qu?). Adems, por el criterio de la segunda derivada, dicho valor corresponde a un mnimo relativo. Ahora, los valores mximo y mnimo de A (x) est entre los valores A (0), A (100) y

100 A . Pero, 4 + 1 1 1002 . 02 + (100 0) 2 = , 4 16 16

A (0) =

A(100) =

1 1 1002 . 1002 + (100 100)2 = , 4 16 41 1 100 = + 4 4 + 162

100 A 4+

100 100 2 100 = . 4 + 16 + 4 2

Como 4 < 16 < 16 + 4 , entonces dad se deduce que

1 1 1 < < , y de esta ltima desigual16 + 4 16 4

1002 1002 1002 100 < < A 16 + 4 16 4 4+

< A (0) < A (100).

De esta manera, la ltima desigualdad indica que el rea mxima se obtiene para x = 100, o sea, no partiendo el alambre y formando con l una circunferencia, mientras que el rea mnima se obtiene partiendo el alambre a una distancia100 4 +


267

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada de uno de sus extremos, y formando con esta primera parte una circunferencia y con la parte restante Ejemplo 26.2 Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. Cul debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea mximo? Cul es el volumen de la caja? Solucin Sea x la longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (figura 26.2 a), donde 0 x a . 2400 un cuadrado. 4 +

Figura 26.2

Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la figura 26.2b. Ahora, volumen de la caja = rea de la base altura. Esto es,a V ( x) = (a 2 x) 2 x = 4 x3 4ax 2 + a 2 x; 0 x . 2

(1)

Puesto que V (x) (funcin a maximizar) es una funcin continua en el intervalo


Mdulo 26: Problemas de mximos y mnimos

a 0, 2 , entonces V (x) alcanza un valor mximo y un valor mnimo en dicho intervalo. Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero se obtienen los valores crticos. En efecto:V ( x) = 12 x 2 8ax + a 2 = (2 x a ) (6 x a ) = 0.

a 2 a 6x a = 0 x = 6 2x a = 0 x =

valores crticos

Para analizar la naturaleza de los valores crticos, se utiliza el criterio de la segunda derivada, as: V ( x) = 24 x 8a,

a a V = 24 8a = 4a > 0, 2 2lo cual indica que x = mente el resultado).a corresponde a un mnimo relativo (interprete geomtrica2

a a V '' = 24 8a = 4a < 0, 6 6a corresponde a un mximo relativo. 6

lo cual indica que x =

En consecuencia, el volumen mximo se obtiene recortando en las esquinas de la cartulina cuadrados de lado a 6 y de esta forma se obtiene una caja cuyo volumen viene dado pora a 2 3 a V = a 2 = a. 6 6 27 6 2

26.3 Problemas que incluyen un extremo relativoEjemplo 26.3 Se necesita construir un recipiente cilndrico con tapa y que ha de contener un volumen especfico V. Cules deben ser las dimensiones (altura del cilindro y radio de las tapas) que minimizan el rea total? Solucin En la figura 26.3 aparece el cilindro y las dimensiones por determinar.


269


Figura 26.3

Si se denota por V (constante) el volumen del cilindro, se tiene, de acuerdo a la frmula conocida de la geometra,V = x 2 y,

y de aqu, y =

V

x2

.

( 1)

La funcin a minimizar es el rea total, esto es,AT = 2 x 2 + 2 xy.

( 2)

Sustituyendo (1) en (2) se puede escribir la funcin a minimizar en trminos de una sola variable, as:AT ( x) = 2 x 2 + 2Vx 1 , con x ( 0, + ) .

De esta forma,

AT ( x) = 4 x 2Vx 2 =

4 x3 2V 4V , AT ( x) = 4 + 3 . 2 x x

3 El nico valor crtico de AT ( x) se obtiene resolviendo la ecuacin 4 x 2V = 0, o

sea que el nico valor crtico de AT ( x) corresponde a x = Ahora, de acuerdo al criterio de la segunda derivada, V 4V AT 3 = 12 > 0, 3 2 = 4 + V 3 2

3

V . 2

lo que indica que x =

3

V corresponde a un mnimo relativo. 2


Mdulo 26: Problemas de mximos y mnimos De otro lado, sustituyendo en (1) este valor de x, se obtiene y =V = 23 V . 2

3

V 2

2

Por tanto, el recipiente ms econmico se consigue eligiendo la altura del cilindro igual al dimetro de la base. Ejemplo 26.4 Dos pasillos de 6 y 9 pies de ancho estn unidos en ngulo recto (figura 26.4). Encuentre la longitud de la barra recta ms larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por una esquina. Solucin Supngase que la barra puede pasar horizontalmente, cuando est en la posicin en que aparece en la figura 26.4.

Figura 26.4

Si (radianes) denota el ngulo que forma la barra con el pasillo menor, entonces

ser el ngulo que forma con el pasillo mayor. 2 La longitud deseada es la longitud L mnima de la barra:L = AC = AB + BC.

(1)AB AB = 9sec . 9 BC BC = 6 csc . 6

En el tringulo APB se tiene que sec = En el tringulo BQC se tiene que csc =

(2)

(3)


271

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene la funcin a optimizar:L( ) = 9sec + 6csc ; 0 < < 2.

(4)

Note que L + cuando 0+ o ( 2 ) (por qu?). Por tanto, L( ) = 9sec tan 6 csc cot (RD15 y RD16),9 sen 6 cos , cos cos sen sen

L( ) =

=

9sen 6cos 9sen 3 6cos3 = , cos 2 sen 2 sen 2 cos 2

= =

3cos3 (3tan3 2) , sen 2 cos2 3cos (3tan 3 2) . sen 2 2 2 = tan 1 3 ; 0.718 (rad). 3 3

(5)

As que L( ) = 0 tan =

3

Ahora, el signo de L( ) slo depende del signo del factor (3tan 3 2). Para ello, considere la grfica de la funcin tangente (figura 26.5a) y en la cual se ha sealado el valor de tan para 0.718.


Mdulo 26: Problemas de mximos y mnimos

Figura 26.5

A la izquierda de 0.718, tan

2 , con lo cual 3

2 3 tan 3 2 > 0 L( ) > 0. 3

Del anlisis anterior se deduce que 0.718 (rad) corresponde a un mnimo relativo de L (), cuya grfica se parece a la de la figura 26.5b. Esto significa que el valor mnimo absoluto de L (y, por tanto, la longitud mxima de la varilla en cuestin) es:L (0.718) = 9 sec (0.718) + 6 csc (0.718).

Un procedimiento algebraico para obtener el valor exacto de L es el siguiente: como2 sec = 1 + tan 2 = 1 + 32/3

=

32 / 3 + 2 2 / 3 ,y 31/ 3

3 csc = 1 + cot 2 = 1 + 2

2/3

=

22 / 3 + 32 / 3 , 21/ 3


273

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada se tiene que:L = 9 sec + 6 csc ,

=

9 3

1/ 3

(3

2/3

+ 22 / 3 )1/ 2

1/ 2

+

6 2

1/ 3

(3

2/3

+ 22 / 3 )

1/ 2

= 3 ( 32 / 3 + 22 / 3 )

2 3 31/ 3 + 21/ 3 (factor comn) 32 / 3 + 22 / 3

= 3 ( 32 / 3 + 22 / 3 ) = 3 ( 32 / 3 + 22 / 3 )

1/ 2

3/ 2

,

es la longitud de la barra que cumple las condiciones del problema.


27La derivada como razn de cambioIntroduccinGeorge Plya

Los conceptos de crecimiento y de decrecimiento de funciones se aplican tambin a funciones que varan con el tiempo; si la variable y depende del tiempo t, entoncesdy dt se llama razn de cambio con respecto al tiempo. En particular, si y mide una distancia, se llama velocidad.

George Plya naci el 13 de diciembre de 1887 en Budapest, Hungra, y muri el 7 de septiembre de 1985 en Palo Alto, Estados Unidos.

Nuestro inters est centrado en una amplia variedad de razones de cambio con respecto al tiempo: la razn con la que el agua fluye en un depsito, la razn con la cual crece o decrece su altura, la razn en la cual se separan dos mviles despus de pasar por un punto especfico P, etc. Cuando la variable y est dada en trminos de t, basta con derivar y calcular luego el valor de la derivada en el tiempo requerido. Pero en la mayora de los casos la variable y est ligada (relacionada) con otras variables de las cuales conocemos su razn de cambio.

Objetivos del mdulo1. Usar la derivada como razn de cambio en problemas de variables ligadas, las cuales presentan variacin con respecto al tiempo.

Preguntas bsicas1. Un puente est construido perpendicularmente a la direccin de un ro recto y a una altura de 5 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centro C del puente (figura 27.3) a una velocidad de 12 m/s. En ese mismo instante, una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s dista 100 m del punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera contina perpendicular al ro, cul es la velocidad a la cual se estn separando la lancha y el auto 8 s despus de que aqulla pas por el punto P?

Contenidos del mdulo27.1 Variables relacionadas, variables ligadas o razones afines 27.2 Problemas resueltos sobre variables relacionadas


275


27.1 Variables relacionadas, variables ligadas o razones afinesLos problemas en que intervienen derivadas de variables relacionadas entre s se llaman problemas de variables ligadas, o de variables relacionadas, o razones afines, y es tpico en ellos que:Vea el mdulo 27 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

i. Ciertas variables estn relacionadas en una forma determinada para todos los valores de t que se consideran en el problema. ii. Se conozcan los valores de algunas o de todas las variables y de sus derivadas para un instante dado. iii. Se pida hallar la derivada de una o de varias de las variables en dicho instante. Las variables que intervienen en un problema dado pueden considerarse como funciones del tiempo, y si se derivan con respecto a t las ecuaciones que las ligan, las igualdades obtenidas expresan la forma en las cuales estn relacionadas las derivadas de estas variables. De acuerdo con lo anterior, se pueden sealar en la solucin de este tipo de problemas los siguientes pasos: 1. De ser posible, hacer una figura que ilustre la situacin propuesta. La figura que se traza debe indicar la situacin en cualquier instante t y no precisamente en el instante particular. 2. Determinar cules son las variables que intervienen en el problema y representarlas por medio de letras como x, y, z, h, etc. 3. Establecer las ecuaciones que relacionan entre s la diferentes variables que intervienen en el problema. 4. Obtener las relaciones necesarias entre las variables y sus razones instantneas de cambio, derivando adecuadamente las ecuaciones planteadas en el paso 3. 5. Sustituir los valores particulares de variables y derivadas dados en el problema y despejar las variables o derivadas que interesan. Todo lo anterior se ilustra con los siguientes ejemplos.

27.2 Problemas resueltos sobre variables relacionadasEjemplo 27.1 A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m de radio y 16 m de altura entra agua a una razn de 50 cm3/s. a. A qu velocidad est subiendo el nivel del agua cuando ste se encuentra a 4 m de altura?


Mdulo 27: La derivada como razn de cambio b. A qu velocidad est cambiando el radio en ese mismo instante? Solucin En la figura 27.1 aparece el cono con las dimensiones dadas y una porcin del volumen en cualquier instante t.

Figura 27.1

Desgnese por: V: volumen (en cm3) de agua en el tanque en el instante t (s). x: radio (en cm) de la seccin del cono al nivel del lquido en el instante t. y: altura del agua (en cm) en el instante t . cm3 dV Datos: dt = 50 s . George Plya El primer trabajo de George Plya fue como profesor particular. En un principio no se sinti especialmente atrado por las matemticas, sino por la literatura y la filosofa. Su profesor de filosofa le sugiri que siguiera cursos de fsica y de matemticas para mejorar su formacin filosfica. Este consejo marc para siempre su carrera. Las magnficas lecciones de fsica de Lorn Etvs, y las no menos excelentes de matemticas de Lipt Fejr, influyeron decisivamente en su vida y obra. En 1940, huyendo de Hitler, Plya y su esposa suiza (Stella Weber) se trasladaron a Estados Unidos. Plya hablaba (segn l, bastante mal), adems del hngaro, su idioma natal, alemn, francs e ingls y poda leer y entender algunos ms. Fue uno de los hombres mticos en la historia de las matemticas modernas y su enseanza a travs de problemas. Sus principales obras son: Cmo plantear y resolver problemas, Matemticas y razonamiento plausible, La dcouverte des mathmatiques y Anlisis matemtico. Cuando se le preguntaba cmo haba llegado a ser matemtico, sola decir, medio en broma, medio en serio: No era lo suficientemente inteligente para ser fsico, y demasiado para ser filsofo, as que eleg matemticas que es una cosa intermedia. Fue un viajero impenitente (aunque nunca condujo automviles) que curiosamente descubri a los 75 aos de edad las comodidades de los viajes en avin, cruzando el Atlntico y el continente varias veces.

El volumen del agua en el instante t viene dado por1 V = x 2 y. 3

(1)

De la semejanza de los tringulos ODE y OBC se deduce que y = 4x 16 y = y 4 x x = 4 (2) (3)

a.

Puede formularse la pregunta as:dy = ?, cuando y = 4 m = 400 cm. dt


277

Captulo 4: Aplicaciones de la derivadady consiste en expresar V en (1) en trminos dt nicamente de la variable y (usando (3)) y derivando en ambos lados con respecto a t.

Una manera simple de calcular

As,1 1 y 3 V = x2 y = y = y 3 3 4 482

dV dy y 2 dy = 3y2 = dt 48 dt 16 dtdV 16 dy dt . = y2 dt

De donde, de acuerdo a las condiciones del problema,cm3 dy s = 1 = dt (400 cm)2 200 16 50

cm , s

(5)

lo cual indica que la altura crece a esa velocidad. b. Puede formularse la pregunta as:dx = ?, cuando y = 4 m = 400 cm x = 100 cm. dt

Una manera sencilla de encontrar la solucin consiste en derivar ambos miembros de (3) con respecto a t. As,

dx 1 dy 1 1 cm 1 cm = = = , dt 4 dt 4 200 s 800 s

(6)

lo cual indica que el radio crece a esta velocidad. Otra manera de obtener la solucin consiste en expresar V en (1) en trminos nicamente de la variable x (usando (2)) y derivar en ambos lados con respecto a t. (Verifique!) Ejemplo 27.2 Un vigilante situado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura observa un bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 pies/s. Con qu rapidez cambia el ngulo formado por la visual con respecto al bote cuando ste se encuentra a 300 pies de la base del faro?


Mdulo 27: La derivada como razn de cambio Solucin En la figura 27.2a aparecen las variables que intervienen en el problema. x: distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t. : ngulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t.

pies dx = 20 Ntese que cuando B se acerca a P , entonces es de esperar dt s que tambin decrece.

Figura 27.2

De la figura 27.2a se tienetan = x x = 250 tan . 250

(1)

Derivando ambos miembros de (1) con respecto a t, se tienedx d = 250 sec2 , dt dt

de dondedx d dt = . dt 250 sec2

(2)

En el caso particular que interesa, x = 300. As que tan =300 6 = (figura 27.2b). 250 5


279

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Usando la identidad trigonomtrica 1 + tan 2 sec 2 , se puede escribir en este caso:25 + 36 61 6 sec2 = 1 + = = . 25 25 52

(3)

Escuche el audio Los diez mandamientos del profesor segn Plya en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

De otro lado,

dx pies = 20 . dt s

(4)

Sustituyendo (3) y (4) en (2), se tiene finalmente qued = dt 2 rad 20 = , 61 61 s 250 25

lo cual indica que el ngulo decrece (como era de esperar) a una velocidad de aproximadamente 0.0327 rad/s. Ejemplo 27.3 Un puente est construido perpendicularmente a la direccin de un ro recto y a una altura de 5 m sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centro C del puente (figura 27.3) a una velocidad de 12 m/s. En ese mismo instante una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 m/s dista 100 m del punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera contina perpendicular al ro, cul es la velocidad a la cual se estn separando la lancha y el auto 8 s despus de que aqulla pas por el punto P? Solucin El problema se plantea desde el momento en el cual la lancha pasa exactamente por el punto P debajo del puente. En ese instante han trascurrido 5 s y por tanto el auto se encuentra en el punto M de la figura. En primer lugar se definen las variables que varan con el tiempo. x: distancia que recorre la lancha despus de pasar por el punto P. y: distancia que recorre el auto desde el momento en que la lancha pasa por el punto P. w: distancia de C a R. z: distancia de R a T (distancia que separa la lancha del auto). Como los tringulos CRT y CPR son rectngulos en C y P, respectivamente, se tiene, de acuerdo a la relacin pitagrica,z 2 = w2 + (60 + y ) 2 .

(1) (2)

Tambin,

w2 = 52 + x2 .


Mdulo 27: La derivada como razn de cambio

Vea la animacin Problema del puente en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

Figura 27.3

De acuerdo con las condiciones del enunciado, cuando han transcurrido 8 s el auto est en el punto T y la lancha en el punto R. As que, en ese instante, x = 160 m e y = 96 m. La pregunta del problema puede formularse de la siguiente forma: x = 160 m y y = 96 m dz = ?, cuando dx m dy m dt = 12 dt = 20 s ; dt s

Para responderla, se sustituye (2) en (1) y luego se deriva en ambos lados con respecto al tiempo. Esto es:z 2 = 25 + x 2 + (60 + y ) 2 ,

2z

dz dx dy = 2 x + 2(60 + y ) . dt dt dt

De aqu,dz = dt x dx dy + (60 + y) dt dt . z


281

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Remplazando los valores particulares, se obtiene finalmente:(160 m) 20 m m + (154 m) 12 s s = 5.048 m 22.72 m , 2 2 2 s 49.341 s 5 + 160 + 154 m

dz = dt

lo que indica que la lancha y el auto se estn separando a una velocidad de aproximadamente 22.72 m/s. Ejemplo 27.4 Una piscina cuyas medidas son las indicadas en la figura 27.4, tiene agua hasta 4 pies de profundidad en el extremo ms hondo. a. Qu porcentaje de la piscina est llena? b. Si se echa agua en ella a razn de 10 pies3/min, a qu ritmo sube el nivel del agua en el instante para el cual hay agua hasta 4 pies de profundidad?

Figura 27.4

Solucin a. Se debe calcular inicialmente el volumen total de la piscina. ste corresponde al volumen de un slido cuya base es un trapecio con las siguientes medidas: base mayor, 9 pies; base menor, 4 pies; espesor, 20 pies. Por tanto, Vp = (rea de la base) (espesor).Vp = (9 + 4) 40 20 = 5.200 pies3 . 2

Ahora, el porcentaje de piscina llena corresponde al volumen Vll del slido que aparece indicado en la figura 27.5. Vll = rea de la base (espesor).Vll = 4L 20 = 40 L pies3 . 2

Vea la animacin Vaciado y llenado de tanques en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.


Mdulo 27: La derivada como razn de cambio

Figura 27.5

Como los tringulos ADB y PDC son semejantes, se tiene la siguiente proporcin:5 40 = L = 32 pies. 4 L

As que Vll = 40 32 = 1.280 pies3 . Usando una regla de tres simple se establece: Si Vp = 5.200 pies3 corresponde al 100%.1.280 100% 24.61% 5.200 Supngase que en un instante t determinado el volumen de piscina llena corresponde al volumen del slido que aparece en la figura 27.6, en el cual y (nivel vertical) y x (nivel horizontal) estn creciendo con respecto al tiempo.Vll = 1.280 pies3 corresponde a x =

b.

Figura 27.6

Se tiene entonces que V = Peroy x = x = 8 y. 4 32

yx 20 = 10 x y. 2

(1) (2)


283

Captulo 4: Aplicaciones de la derivada Sustituyendo (2) en (1) se puede escribir V = 80 y2. Derivando en ambos lados de (3) con respecto a t se tienedV dy = 160 y . . dt dt

(3)

dV dy De donde = dt . dt 160 y

Como

dV = 10 pies 3 min y y = 4 pies, se tiene finalmente dtdy 10 1 pies = = . dt 160 4 64 min

sta es la velocidad a la cual crece el nivel del agua en ese instante. Puede verificarse fcilmente (verifique!) que el nivel horizontal x tambin est creciendo en ese mismo instante a una razn de 1 8 pies/min.


28La diferencialIntroduccinEn el siguiente mdulo se usa la derivada para estimar el cambio de una funcin y, por tanto, el valor resultante de la funcin. El razonamiento que se har ser geomtrico, apoyado en la interpretacin de la derivada como la pendiente de la recta tangente. Es decir, una pequea porcin del grfico de una funcin derivable en torno a un punto P parece casi recto y se asemeja a un pequeo segmento de la recta tangente en P. Esto sugiere utilizar la tangente para estimar la variacin del valor de la funcin causada por una pequea variacin en x.A finales de 1830, el fisilogo francs Jean Poiseuille descubri la frmula que se usa hoy en da para predecir cunto hay que expandir el radio de una arteria parcialmente obstruida para restaurar el flujo normal.

Objetivos del mdulody para la derivada, no como smbolo dx completo, sino como smbolos separados dy y dx. 2. Deducir las frmulas diferenciales a partir de las reglas de derivacin y usarlas en la solucin de problemas de aproximaciones y en la estimacin de errores en algunos problemas caractersticos en las ciencias.

1. Dar significado a la notacin de Leibniz

Preguntas bsicas1. Usando diferenciales demuestre que3

8+h 2 +

h para h pequeos. 12

2. Cul

calculo diferencial - capitulo 4 - jesus del valle

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