1

2

Resolver detalladamente cada ejercicio:

1. Si f(x)= {

, hallar { (

(

Solución:

a) Hallemos los límites unilaterales alrededor de x= -2 para la función

f(x).

(Límite de una constante)

(Límite de una constante de una

función)

( (Límite de una función potencia)

=

(

=

(

Como ( (

Podemos concluir por teorema que: (

3

Por otro lado:

b) Hallemos los límites unilaterales alrededor de x=2 para la función

f(x).

(

(Límite de una constante por una

función)

=

( (Límite de una función potencia)

=

(

=

( (Límite de una resta de funciones)

(Límite de una función identidad y de

una constante)

(

Como ( ( podemos concluir que:

( No existe por teorema.

4

2. Hallar

(

)

√

Solución:

Como (

( y

(

)

√

√

√

Tenemos que

(

√

Presenta la forma indeterminada

Resolvemos la indeterminación para calcular el límite.

(

√

(

(

)

√

Cambio de Variable:

O=

Despejando

Aplicamos la propiedad del coseno de una suma:

(

( (

)

√

(

√

√

(

( √

√

(

√

(

(

√

(

5

√

(

)

√

(

)

√

(

)

√

3. Hallar

Solución:

Como ( (

Y (

Tenemos que

tiene la forma indeterminada

Resolvemos la indeterminación para calcular el límite.

(

(

(Conjugada)

( (

( (

6

(

( (

( (

( )

(

)

(

)

(

4. Hallar K sabiendo que la función es continua en -2

f(x) {

Solución:

( (Límite de una potencia)

(

(

Por otro lado:

( (Límite de una resta de funciones)

(Límites de una constante

por una función)

7

(Límite de una potencia y de la

función identidad)

(

(

( (

Como la función es continua en -2 se debe cumplir la segunda condición de

continuidad.

(

(

Para que el ( exista.

El valor de K es

5. Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación

Solución:

Despejando y de la ecuación

Obtenemos:

8

(

√ √

| | √

√

Podemos observar que la gráfica de la ecuación dada es la de las dos funciones

anteriores las cuales denotaremos como:

( √

( √

Por conveniencia hallamos el dominio de estas funciones. Ambas tienen el mismo

dominio.

( (

(

√

Resolveos la inecuación racional

por el método de Sturm.

Calculemos las raíces:

9

VP VP VP

++++++++++++++++ ---------------------------- ++++++++++++

En el intervalo ( tomamos el valor de prueba -3 y obtenemos:

(

En el intervalo ( tomamos el valor de prueba 0 y obtenemos:

En el intervalo ( tomamos el valor de prueba 2 y obtenemos:

(

De aquí se obtiene que la solución de la inecuación racional

, es:

Solución:

( ⦌ (

Luego

( (

( ⦌ (

Asíntotas verticales: El único punto que es candidato a proporcionar

asíntotas verticales es 1.

Como las funciones no están definidas en los puntos próximos y por la

izquierda de 1, solo debemos calcular los límites a la derecha de 1 en

ambas funciones.

√ √

10

√

√ (

√

√

√ √

Positivamente.

Por tanto √

√

√

Por otro lado, ( √

√

√

En consecuencia, x=1 es una asíntota vertical y es única.

Asíntotas Horizontales:

(

√

√

√

√

11

√

( √

√

√

Por otro lado:

(

√

√

Luego e son asíntotas horizontales.

6. Sea ( . Calcular ( por definición.

Solución:

( ( (

(Definición de la derivada)

( ( ⦌ ⦌

( (

12

(

(Límite de sumas)

7. Hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio.

( {

Solución:

Calculemos el límite de la función f alrededor de -1. Como es una función

definida por trozos debemos calcular los límites unilaterales.

(

Por otro lado

( (Límite de una suma)

(

Para que la función f sea continua en -1 se debe cumplir que:

13

( (

(I)

Análogamente calculemos los límites unilaterales alrededor de 3.

(

(

Por otro lado

(

Para que la función f sea continua en 3 se debe cumplir que:

(

(

(II)

De (I) y (II) formamos el siguiente sistema de ecuaciones:

{ (

14

Sustituyendo el valor de b en (I) obtenemos el valor de a.

(