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Cálculo Diferencial em IRn
(Cálculo diferencial em campos escalares)
José António Caldeira Duarte
DMAT
16 Maio 2001
Conteúdo
1 Cálculo Diferencial em Campos Escalares 2
1.1 Derivadas Parciais de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Derivadas Parcias de Ordem Superior à Primeira . . . . . . . 61.3 Diferenciabilidade de Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . 71.4 Derivada Dirigida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 O vector Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 16/Maio/2001
1 Cálculo Diferencial em Campos Escalares
O conceito fundamental desta secção é o de derivada de um campo escalar.
1.1 Derivadas Parciais de 1a Ordem
Considere-se uma função z = f(x, y) definida num subconjunto D de IR2 eseja (a, b) um ponto interior de D. Fixando y em b, está-se a restringir odomínio da função aos pontos que pertencem a D e se encontram sobre arecta y = b do plano XOY ; a correspondência
x→ f(x, b)
define então uma função de uma única variável x.
a
O b
x
y
c
zO gráfico da função
z=f(x,y)
a
O b
x
y
c
z
O gráfico
da função f(x,b)
Se esta função for derivável no ponto x = a, tem-se que a sua derivadanesse ponto é dada por
limh→0
f(a+ h, b)− f(a, b)h
.
É a este limite (caso exista) que se dá o nome de derivada parcialda função f (x, y) em ordem a x, no ponto (a, b). Simbolicamente érepresentada por
f ′x (a, b) ,∂f
∂x(a, b) ou (Dxf) (a, b)
Podemos interpretar geometricamente este conceito da seguinte forma:A função f(x, b) foi obtida fixando o valor da variável y em b na função
f(x, y); então o seu gráfico será obtido pela intersecção do gráfico da funçãoz = f(x, y) com o plano vertical y = b.
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A derivada parcial de f em ordem a x no ponto (a, b), sendo a derivadada função real de variável real z = f(x, b), representará o declive da rectatangente ao seu gráfico no ponto (a, b, c).
a
O b
x
y
c
z
A recta tangente
ao gráfico da função
f(x,b) no ponto (a,b,c).
O gráfico
da função f(x,b)
De forma análoga define-se a derivada parcial de f (x, y) em ordem a yno ponto (a, b). Fixando x em a, a transformação
y → f(a, y)
define uma função de uma só variável y;
a
O b
x
y
c
z
O gráfico
da função f(a,y)
se esta função for derivável no ponto y = b, a sua derivada nesse ponto édada por
limk→0
f(a, b+ k)− f(a, b)k
que representa a derivada parcial de f (x, y) em ordem a y no ponto
(a, b).
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Simbolicamente esta derivada parcial é representada por
f ′y (a, b) ,∂f
∂y(a, b) ou (Dyf) (a, b) .
Geometricamente, f ′y (a, b) representa o declive da recta tangente ao grá-fico de z = f(a, y) no ponto (a, b, c).
a
O b
x
y
c
z
O gráfico da função
f(a,y)
A recta tangente
ao gráfico da função
f(a,y) no ponto (a,b,c).
As definições apresentadas mostram que as derivadas parciais, caso exis-tam, obedecem às já conhecidas regras de derivação para as funções reaisde variável real; isto significa que para derivar em ordem a x uma funçãodas variáveis x e y, a variável y deve ser encarada como uma constante e,reciprocamente, para obter a derivada em ordem a y, a variável x deve sertratada como constante.
Exemplo 1 No caso de função f (x, y) = y2 + xy + 4x3, ter-se-á
f ′x (0, 1) =[df
dx
(12 + x1 + 4x3
)]x=0
=
[df
dx
(1 + 12x2
)]x=0
= 1
f ′y (0, 1) =[df
dy
(y2 + 0 + 0
)]y=1
=
[df
dy(2y)
]y=1
= 2.
Exemplo 2 Calcular as derivadas parciais da função f (x, y) definida por
f (x, y) =
{x+ y x = 0 ∨ y = 01 x �= 0 ∧ y �= 0
no ponto (0, 0).Como em qualquer vizinhança de (0, 0) existem pontos onde a função
é definida por um dos ramos, e pontos onde é definida pelo outro ramo,
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(qualquer vizinhança de (0, 0) contém pontos que se encontram sobre os eixosonde a função é definida pela expressão x + y, e pontos que não pertencemaos eixos, onde a função assume o valor 1),
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
as derivadas parciais terão que ser calculadas utilizando a definição.Tem-se então,
f ′x (0, 0) = limh→0
f(h, 0)− f(0, 0)h
= limh→0
h− 0h
= 1
f ′y (0, 0) = limk→0
f(0, k)− f(0, 0)k
= limk→0
k − 0k
= 1.
Repare-se que no exemplo anterior ambas as derivadas parciais de fexistem na origem, mas a função não é continua neste ponto; de factolim
(x,y)→(0,0)f(x, y) não existe.
Contrariamente ao que se verifica para as função reais de variável real,em que a existência de derivada finita num ponto implica que a função sejacontinua. nesse ponto, em campos escalares a existência de derivadas parciaisfinitas não implica continuidade.A definição de derivada parcial generaliza-se com facilidade a campos
escalares de IRn em IR.
Definição 1 Seja f : D ⊆ IRn → IR e (a1, a2, . . . , an) ∈ intD. Chama-se derivada parcial de f em ordem à variável xi, 1 ≤ i ≤ n, no ponto(a1, a2, . . . , an), e representa-se por
∂f
∂xi(a1, a2, . . . , an), ao limite
limh→0
f(a1, a2, . . . , ai + h, . . . , an)− f(a1, a2, . . . , ai, . . . , an)h
.
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1.2 Derivadas Parcias de Ordem Superior à Primeira
Considere-se agora uma função f : D ⊆ IR2 → IR que admite derivada parcialem ordem a x, num conjunto de pontos E ⊆ D. A cada ponto de E podemospois associar um número real - a derivada parcial de f em ordem a x nesseponto. Obtém-se assim uma nova função de E em IR, que se chama a funçãoderivada parcial de f em ordem a x, e que se representa por ∂f
∂xou f ′x.
De uma forma análoga se poderia definir a função derivada parcialem ordem a y, ∂f
∂you f ′y.
Exemplo 3 A função f (x, y) = x3y2 − 3xy admite como funções derivadasparciais
f ′x = 3x2y2 − 3y
f ′y = 2x3y − 3x
Como novas funções f ′x e f′y podem admitir por sua vez, derivadas parciais.
Assim, a derivada parcial de f ′x em ordem a x, num ponto (a, b) ∈ D′ será
limh→0
f ′x(a+ h, b)− f ′x(a, b)h
e representa-se por f ′′x2(a, b) ou ∂2f
∂x2(a, b).
A derivada parcial de f ′x em ordem a y, no ponto (a, b) será calculada por
limk→0
f ′x(a, b+ k)− f ′x(a, b)k
que se representa por f ′′xy (a, b) ou∂2f
∂y∂x(a, b).
As derivadas parciais da função f ′y, em ordem a x e em ordem a y, sãorespectivamente,
∂2f
∂x∂y(a, b) = f ′yx (a, b) e
∂2f
∂y2(a, b) = f ′′y2 (a, b)
Note que ∂2f
∂y∂x(a, b) e ∂2f
∂x∂y(a, b) são abreviaturas das notações
∂2f
∂y∂x(a, b) =
∂
∂y
(∂f
∂x(a, b)
),
∂2f
∂x∂y(a, b) =
∂
∂x
(∂f
∂y(a, b)
).
Às derivadas f ′′x2, f ′′xy, f
′′y2e f ′′yx chamam-se as derivadas parciais de 2
a
ordem da função f .
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Exemplo 4 No exemplo anterior,
f ′′x2 = 6xy2
f ′′xy = 6x2y − 3
f ′′yx = 6x2y − 3
f ′′y2 = 2x3
A partir das derivadas de 2aordem podem ser definidas as derivadas de3a ordem e assim sucessivamente.As derivadas f ′′xy e f
′′yx costumam ser designadas por derivadas mistas e em
certas condições dá-se a igualdade entre elas, como acontece no exemplo an-terior. O teorema que apresentamos a seguir, sem demonstração, estabelecealgumas condições em que se dá essa igualdade.
Teorema 1 (Schwarz) Se existirem f ′x, f′y e f
′′xy numa vizinhança de (a, b)
e se f ′′xy for contínua nesse ponto, então também existe f ′′yx (a, b) e
f ′′xy (a, b) = f′′yx (a, b) .
Dem. Omitida.
1.3 Diferenciabilidade de Campos Escalares
Da mesma forma que a diferenciabilidade de uma função real de variávelreal, num certo ponto a do seu domínio, está associada à existência de umarecta tangente ao gráfico da função no ponto (a, f (a)), a diferenciabilidadede um campo escalar de IR2 em IR, num ponto (a, b) do seu domínio, estáassociada à existência do plano tangente ao gráfico desse campo escalar no
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ponto (a, b, f (a, b)).
b
a
O b
x
y
c
z O plano tangente
ao gráfico da função
z=f(x,y)
no ponto (a,b,c).
De acordo com a figura, é natural esperar que o plano tangente contenha asrectas cujos declives são as derivadas parciais da função em ordem a x e emordem a y, no ponto (a, b). Sendo as equações cartesianas dessas rectas{
y = bz − f(a, b) = f ′x(a, b)(x− a)
e {x = az − f(a, b) = f ′y(a, b)(y − b) ,
a equação do plano que as contém é
f′
x(a, b)(x− a) + f′
y(a, b)(y − b)− (z − f(a, b)) = 0. (1)
No entanto, a existência do plano tangente não depende apenas da existên-cia das derivadas parciais como facilmente se pode concluir pelo exemploseguinte.
Exemplo 5 A função f (x, y) =√|xy|, cujo gráfico pode ser visto na figura
seguinte, admite derivadas parciais finitas na origem,
f′
x(0, 0) = f′
y(0, 0) = 0.
Apesar disso, intuitivamente percebe-se que não tem sentido falar da exis-tência de plano tangente ao gráfico da função no ponto (0, 0, 0), donde esta
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função não é diferenciável na origem.
O plano tangente ao gráfico de uma função no ponto (a, b, f(a, b)) só serádefinido se a diferença entre o valor da função num ponto (a + h, b + k) deuma vizinhança de (a, b), e a cota nesse ponto, do plano definido pela equaçãof′
x(a, b)(x− a) + f ′y(a, b)(y − b)− (z − f(a, b)) = 0, for um infinitésimo coma distância entre os pontos (a, b) e (a+ h, b+ k), isto é, se
lim(h,k)−→(0,0)
f(a+ h, b+ k)− [f(a, b) + hf ′x(a, b) + kf ′y(a, b)]√h2 + k2
= 0.
b
c
z
a
O b
x
yb+k
a+h
f(a+h,b+k)
f(a,b)+hf’x(a,b)+kf’y(a,b)
f(a+
h,b
+k
)- f
(a,b
)-hf’x(a
,b)-
kf’y(a
,b)
(h,k)
Concluindo, diremos que f é uma função diferenciável em (a, b),ponto interior do domínio de f , se e só se existirem as derivadas parciaisf′
x(a, b) e f′
y(a, b), e além disso
lim(h,k)−→(0,0)
f(a+ h, b+ k)− f(a, b)− hf ′x(a, b)− kf ′y(a, b)√h2 + k2
= 0. (2)
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Exemplo 6 Para provar que a função f (x, y) = x2y2 é diferenciável em(0, 0) comecemos por calcular f ′x (0, 0) e f
′y (0, 0):
f ′x (x, y) = 2xy2 e f ′y (x, y) = 2yx
2 ⇒ f ′x (0, 0) = 0 e f′y (0, 0) = 0.
Vamos agora demonstrar que
lim(h,k)→(0,0)
f (0 + h, 0 + k)− f (0, 0)− hf ′x (0, 0)− kf ′y (0, 0)√h2 + k2
= 0.
Para isso vamos utilizar a definição de limite; neste caso,
lim(h,k)→(0,0)
f (0 + h, 0 + k)− f (0, 0)− hf ′x (0, 0)− kf ′y (0, 0)√h2 + k2
= 0⇔
lim(h,k)→(0,0)
h2k2√h2 + k2
= 0⇔
∀δ > 0,∃ε > 0 :√h2 + k2 < ε⇒
∣∣∣∣ h2k2√h2 + k2
∣∣∣∣ < δ.Ora, ∣∣∣∣ h2k2√
h2 + k2
∣∣∣∣ = h2k2√h2 + k2
≤ (h2 + k2)2
√h2 + k2
=(h2 + k2
) 23 ;
Então, fazendo ε = δ3
2 fica provado que, quando√h2 + k2 < ε,∣∣∣∣ h2k2√
h2 + k2
∣∣∣∣ ≤ (h2 + k2) 23 < ε 23 = (δ 32)2
3
= δ.
Repare-se agora que da relação 2 podemos concluir que
lim(h,k)−→(0,0)
f(a+ h, b+ k)− f(a, b)− hf ′x(a, b)− kf′
y(a, b) = 0,
ou, equivalentemente,
f(a+ h, b+ k) = f(a, b) + hf′
x(a, b) + kf′
y(a, b) +R (h, k) , com (3)
lim(h,k)−→(0,0)
R (h, k) = 0.
A igualdade 3 pode ainda ser expressa na forma
f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +[f′
x(a, b) f′
y(a, b)] [ h
k
]+R (h, k) ;
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fazendo
α = (a, b) , v = he1 + ke2
e designando por Dfα a aplicação linear de IR2 em IR representada matri-cialmente por
[f′
x(a, b) f′
y(a, b)]tem-se
f (α+ v) = f (α) +Dfα (v)+R (v) ,
o que sugere a definição seguinte.
Definição 2 Seja f : D ⊆ IR2 → IR e α =(a, b) ∈ intD. f é diferenciávelem α se e só se existir uma bola aberta centrada em α e de raio r, Br(α) ⊆D,e uma aplicação linear Dfα de IR
2 → IR, tais que:
f (α+ v) = f (α) +Dfα (v) +R (v) , (4)
com lim‖v‖→0
R (v)
‖v‖ = 0,
para qualquer vector v ∈IR2 que satisfaça a condição ‖v‖ < r.
A aplicação linearDfα referida na definição anterior diz-se o diferencial,derivada ou derivada total de f em α e representa-se habitualmente porf′
(α).O teorema que enunciamos a seguir mostra que esta definição é equiva-
lente à apresentada inicialmente.
Proposição 2 Seja f : D ⊆ IR2 → IR e α =(a, b) ∈ intD. Se f é diferen-ciável em α, então a aplicação linear Dfα é representada matricialmente por[f′
x(a, b) f′
y(a, b)].
Dem. Seja Dfα =[s1 s2
], α = (a, b) , v = he1 + ke2. A relação 4
pode então ser escrita na forma
f(a+ h, b+ k) = f(a, b) + s1h+ s2k +R (h, k) . (5)
Fazendo h = 0 na relação anterior, tem-se
f(a, b+ k) = f(a, b) + s2k +R (0, k)⇒f(a, b+ k)− f(a, b)
k= s2 +
R(0, k)
k.
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Como limk→0
R(0,k)k
= 0, conclui-se que
limk→0
f(a, b+ k)− f(a, b)k
= s2 ⇒s2 = f
′
y(a, b).
Fazendo agora k = 0 na relação 5, tem-se
f(a+ h, b) = f(a, b) + s1h+R (h, 0)⇒f(a+ h, b)− f(a, b)
h= s1 +
R(h, 0)
h.
Como também limh→0
R(h,0)h
= 0, conclui-se que
limk→0
f(a+ h, b)− f(a, b)h
= s1 ⇒s1 = f
′
x(a, b).
A equação 4, válida para ‖v‖ < r, é chamada a fórmula de Taylor de1aordem para f (α+ v) e fornece uma aproximação linear, Dfα (v) , paraa diferença f (α+ v)− f (α) . Desprezando R (v) podemos escrever
f (α+ v)− f (α) ≈ Dfα (v) .
O erro que se comete ao fazer esta aproximação é portanto igual a R (v) ,que é um termo de ordem inferior a ‖v‖ quando ‖v‖ → 0.Era isto, aliás, o que já acontecia com as funções reais de variável real.
Relembrando um pouco este assunto, dizer que uma função real de variávelreal, f , pode ser aproximada linearmente em x = a, será poder escrevê-la nafórmula de Taylor com resto de primeira ordem:
f (a+ h) = f (a) + f ′ (a)h+R1 (x) , com lim|h|→0
R1 (h)
h= 0
Repare-se que na vizinhança de a, a aproximação linear de f (x) é a função
f(x) = f (a) + f ′ (a) (x− a) = f ′ (a)x+ [f (a)− f ′ (a) a]
que representa a equação de uma recta com declive f ′ (a) e ordenada naorigem [f (a)− f ′ (a) a].
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Exemplo 7 A função f (x) = ex, numa vizinhança do ponto 0, tem comoaproximação linear a função y = x+ 1. Como df = f ′ (x0) dx então
�f ≈ f ′ (x0)� x.
Assim,
ex − e0 ≈ e0 (x− 0) ,
resultando
ex ≈ x+ 1.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-1 -0.5 0.5 1x
Exemplo 8 A função do exemplo 6, f(x, y) = x2y2, tem como aproximaçãolinear numa vizinhança do ponto (0, 0), o plano tangente de equação z = 0.
Isto significa que numa vizinhança de (0, 0), x2y2 ≈ 0.
Vamos agora apresentar a generalização dos resultados anteriores, a cam-pos escalares definidos em IRn.
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Definição 3 Seja f : D ⊆ IRn → IR e α =(α1, . . . ,αn) ∈ intD. f édiferenciável em α se e só se existir uma bola aberta centrada em α e deraio r, Br(α), e uma aplicação linear Dfα de IR
n → IR, tais que:
f (α+ v) = f (α) +Dfα (v) +R (v) , (6)
com lim‖v‖→0
R (v)
‖v‖ = 0,
para qualquer vector v ∈IRn que satisfaça a condição ‖v‖ < r.
Proposição 3 Seja f : D ⊆ IRn → IR e α =(α1, . . . ,αn) ∈ intD. Se f édiferenciável em α, então a aplicação linear Dfα é representada matricial-mente por [
f′
x1(α) . . . f
′
xn(α)
].
Dem. Exercício.
Vimos anteriormente que a existência das derivadas parciais não garantea diferenciabilidade de um campo escalar; mas o mesmo não se passa com aderivada total.
Proposição 4 Seja: f : D ⊆ IRn → IR e α ∈ intD. Se f é diferenciável emα então f é contínua neste ponto.Dem. Pretende-se mostrar que lim
x→αf (x) = f (α) , ou de outro modo,
que limv→0
f (α+ v) = f (α)Como f é diferenciável em α, tem-se
f (α+ v) = f (α) +Dfα (v) +R (v) ,
com lim‖v‖→0
R (v)
‖v‖ = 0.
Fazendo v→ 0, na expressão anterior, resulta
limv→0
f (α+ v) = limv→0
f (α) + limv→0
Dfα (v) + limv→0
R (v) =
= f (α) .
pois por hipótese limv→0
R (v) = 0 e qualquer aplicação linear é uma função
contínua.
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A afirmação recíproca não é verdadeira! Existem funções contínuas quenão são diferenciáveis como o exemplo 5 mostra!Nem sempre é fácil verificar se uma função é diferenciável recorrendo à
definição. Tem interesse, por isso, conhecer condições suficientes que garan-tam a diferenciabilidade de uma função.
Proposição 5 Seja f um campo escalar definido num subconjunto D deIRn e α ∈ intD; se todas as derivadas parciais de f são continuas numavizinhança de α então f é diferenciável nesse ponto.Dem. Omite-se a demonstração deste resultado.
Exemplo 9 A função f (x, y) = x2 + 2xy + y2 é diferenciável em qualquerponto de IR2, pois
f ′x = 2x+ 2y e f′y = 2x+ 2y
são funções contínuas em qualquer ponto de IR2.
Interessa agora apresentar a definição de um conceito que será frequente-mente utilizado daqui em diante.
Definição 4 Quando uma função admite derivadas parciais continuas atéà ordem p em todos os pontos de um conjunto S, diz-se de classe Cp emS e representa-se por f ∈ Cp (S). Se uma função tiver derivadas parciaiscontínuas, de qualquer ordem em todos os pontos de um conjunto S, diz-sede classe C∞, nesse conjunto. Uma função diz-se de classe C0 no conjuntoS se for contínua em S.
Em face desta definição podemos pois afirmar que uma função de classeC1 numa vizinhança de um ponto (a, b) é diferenciável nesse ponto.
Exemplo 10 Nas figuras seguintes representam-se campos escalares comdiferentes comportamentos na vizinhança da origem: f (x, y) = xy
x2+y2(des-
contínuo), g (x, y) = xy2
x2+y2(prolongável por contínuidade mas com prolonga-
mento não diferenciável), h (x, y) = xy3
x2+y2(com prolongamento por con-
tinuidade diferenciável). O campo escalar, w (x, y) = x3+3xy2− 15x− 12y,constitui um exemplo de uma aplicação C∞ (“suave”).
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-4-2
02
4
x
-4
-2
0
2
4
y
-0.5
00.5
f (x, y) = xy
x2+y2
-4-2
02
4
x
-4
-2
0
2
4
y
-2
0
2
g (x, y) = xy2
x2+y2
-4-2
02
4
x
-4
-2
0
2
4
y-10
0
10
h (x, y) = xy3
x2+y2
-4-2
02
4
x
-4
-2
0
2
4
y-500
0
500
w (x, y) = x3 + 3xy2 − 15x− 12y
1.4 Derivada Dirigida
Neste parágrafo iremos apresentar o conceito de derivada segundo a direcçãode um vector. Tendo em atenção, que a derivada de uma função pode serencarada como a taxa de variação instantânea da função, o que se pretendeestudar é qual a variação do campo escalar quando passa de um ponto a paraum ponto x , de uma vizinhança de a.Por exemplo, se f (a, b) representar a temperatura de um ponto (a, b)
numa sala com um aquecedor e uma janela aberta, é evidente que se nosmovermos do ponto (a, b) em direcção à janela a temperatura irá diminuir,mas se nos movermos em direcção ao aquecedor, aumentará.Duma forma geral, um campo escalar varia de acordo com a direcção
segundo a qual se passa de um ponto para outro.
Exemplo 11 Seja f(x, y) = x2 + 2y2 um campo escalar de duas variáveiscuja representação gráfica é a superfície parabólica representada na figura
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seguinte.
1◊2
A função na origem assume o valor 0. Quando se passa do ponto (0, 0) parao ponto (1, 1), (segundo a direcção da recta y = x), a função nesse pontotoma o valor 3. Mas, quando de (0, 0) passamos ao ponto (
√2, 0), segundo
a direcção do eixo OX, f(√2, 0) = 2. Repare-se que os pontos considerados,
(1, 1) e (√2, 0), estão à mesma distância da origem; a função, no entanto,
“cresce mais rapidamente” na direcção da recta y = x, do que segundo o eixodos xx.
Sendo f : D ⊆ IR2 → IR, (a, b) um ponto interior de D, e v = (v1, v2)um vector unitário1 qualquer de IR2, define-se derivada da função f noponto (a,b), segundo a direcção do vector v, como
limt→0f ((a, b) + t (v1, v2))− f (a, b)
t
e representa-se por f ′v(a, b).
Em termos geométricos, esta derivada pode ser interpretada da seguinteforma:
(x, y) = (a, b) + t (v1, v2) , t ∈ IR,
é a equação vectorial de uma recta s que passa no ponto (a, b) e tem a direcçãodo vector v = (v1, v2);
f ((a, b) + t (v1, v2))
é a restrição da função f a esses pontos.
1Diz-se que v é um vector unitário se e só se a sua norma é igual a 1(‖v‖ = 1).
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O gráfico desta restrição pode ser obtido intersectando o gráfico de f(x, y)com um plano que contenha o ponto (a, b), o vector v e seja paralelo ao eixoOZ.
a
O b
x
y
c
z
v
O gráfico da função
z=f(a,b)+t(v1 ,v2)
a
O b
x
y
c
z
v
A recta tangente ao
gráfico da função
z=f(a,b)+t(v1 ,v2)
f ′v(a, b) representará o declive da recta tangente ao gráfico de
z = f ((a, b) + t (v1, v2))
no ponto (a, b, f (a, b)) .Por outras palavras, a derivada dirigida de uma função f , num ponto α
e segundo um vector v, representa a taxa de variação instantânea da funçãof nesse ponto e segundo a direcção do vector v.
Exemplo 12 Calculemos a derivada da função f (x, y) = 3x2+2y, segundoa direcção do vector v = (3, 5), no ponto (1, 1); o vector v não é um vectorunitário, pelo que vamos começar por definir um vector que tenha a mesmadirecção e o mesmo sentido de v mas com norma igual a 1; esse vector podeser o versor de v (representado por ev):
ev=
(3√34,5√34
).
f ′ev(1, 1) = lim
t→0
f[(1, 1) + t
(3√34, 5√
34
)]− f (1, 1)
t=
= limt→0
f(1 + 3√
34t, 1 + 5√
34t)− f (1, 1)
t=
= limt→0
3(1 + 3√
34t)2+ 2
(1 + 5√
34t)− (3 + 2)
t=
= limt→0
1
1156
√34(952 + 27
√34t)=14
17
√34
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A definição apresentada generaliza-se facilmente para uma função definidanum subconjunto de IRn.
Definição 5 Seja f : D ⊆ IRn → IR, α ∈ intD e v um vector qualquerde IRn; Chama-se derivada de f no ponto α, segundo o vector v, erepresenta-se por f ′
v(α), ao seguinte limite quando este existe:
limt→0f (α+ tv)− f (α)
t
Chama-se derivada de f no ponto α segundo a direcção do vector v a derivadasegundo o versor ev de v.
As derivadas parciais de um campo escalar constituem casos particularesde derivadas direccionais; de facto, fazendo v = ei, i = 1, . . . , n, na definição5 obtemos
f ′ei(α) =
∂f
∂xi(α) .
1.5 O vector Gradiente
Neste parágrafo iremos admitir que a função f : D ⊆ IRn → IR é diferenciávelem α ∈ intD. Nestas condições define-se vector gradiente da função fno ponto α e representa-se por
�f (α) ou gradf (α) .ao vector cujas componentes são as derivadas parciais de f no ponto α,(
∂f
∂x1(α) , . . . ,
∂f
∂xn(α)
).
Repare-se que, sendo (e1, . . . , en) a base canónica de IRn,
�f (α) = ∂f
∂x1(α) e1 + · · ·+ ∂f
∂xn(α) en.
Exemplo 13 Calculemos o gradiente da função f (x, y) = 3x2+2y, no ponto(1, 1);
f ′x (x, y) = 6x⇒ f ′x (1, 1) = 6 e f′y (x, y) = 2⇒ f ′y (1, 1) = 2.
Assim
gradf (1, 1) = �f (1, 1) = (6, 2) = 6e1 + 2e2.
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Vejamos agora algumas propriedades do vector gradiente.
Proposição 6 Se f : D ⊆ IRn → IR, for diferenciável em α, então:
f ′v(α) = �f (α) |v .
Dem. Sendo f : D ⊂ IRn → IR diferenciável em α, tem-se
f (α+ tv) = f (α) +Dfα (tv) +R (tv)
com
limt→0R (tv)
‖tv‖ = 0.
Ora
f ′v(α) = lim
t→0f (α+ tv)− f (α)
t=
= limt→0
[Dfα (v) +
R (tv)
t
]=
= Dfα (v) =
= �f (α) |v.
Em resumo, a derivada segundo um vector de uma função diferenciável podeser obtida pelo produto interno entre o vector gradiente e o vector em questão.
Proposição 7 Nas condições da proposição anterior,
f ′v(α) = �f (α) |v = ‖�f (α)‖ ‖v‖ cos θ, (7)
em que θ é o ângulo entre os vectores �f (α) e v.Dem. Resulta imediatamente da caracterização de produto interno através
da noção de norma e ângulo entre dois vectores.
Proposição 8 A taxa de variação máxima de um campo escalar verifica-sena direcção e do vector gradiente (se �f (α) �= 0) e o valor absoluto destataxa de variação é igual à norma do vector gradiente, isto é,
|f ′e(α)| = ‖�f (α)‖ .
20 16/Maio/2001
Dem. Seja v um vector de norma 1; a igualdade 7 toma então a forma
f ′v(α) = �f (α) |v = ‖�f (α)‖ cos θ.
Assim, a derivada segundo a direcção de v, f ′v(α), é maxima quando
o vector v tiver a direcção e do vector �f (α) , pois nestas circunstânciascos θ = 1. Mas a derivada segundo a direcção de e, f ′
e(α), traduz precisa-
mente a taxa de variação do campo escalar nesta direcção. Por outro lado,nesta direcção, |f ′
e(α)| = ‖�f (α)‖ .
Exemplo 14 Qual a direcção de maior crescimento da função f (x, y) =x2 − y2, no ponto (0, 1)?A direcção procurada é a direcção do vector gradiente de f em (0, 1),
�f (0, 1) = (0,−2) .
yx
z
x2 -y2 =0
x2 -y2 =1
1
-1
-1 1
x2-y2=-4
x2 -y2=-1
2
2
x2 -y2 =4
A curva de nível que passa
no ponto (0,1).
O vector gradiente
“f(0,1).
Esta resposta é perfeitamente consistente com os gráficos apresentadosanteriormente; de facto, se as linhas de nível representam o lugar geométricodos pontos onde a função assume um valor constante, e o gradiente apontana direcção de maior crescimento, sendo f uma função “razoavelmente bemcomportada”, é natural esperar que o gradiente da função num determinadoponto, e a curva de nível que passa nesse ponto sejam perpendiculares.
O teorema que apresentamos a seguir para n = 3, e cuja demonstraçãoserá deixada como exercício, traduz esta importante propriedade do vectorgradiente.
Proposição 9 Seja f : D ⊆ IR3 → IR uma função diferenciável em (a, b, c) ∈intD; então �f (a, b, c) é perpendicular à superfície de nível da função f quepassa nesse ponto.Dem. Exercício.
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Exemplo 15 Determinemos a equação do plano tangente à superfície esféri-ca x2 + y2 + z2 = 3 no ponto (1, 1, 1).É de fácil verificação que o ponto referido pertence à superfície indicada.
Por outro lado, designando por f a função definida por
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2,
sabemos que o vector gradiente de f no ponto (1, 1, 1) ,
∇f(1, 1, 1) = (2, 2, 2)
é normal à referida superfície no ponto em questão Assim a equação do planotangente será:
(x− 1) 2 + (y − 1) 2 + (z − 1) 2 = 0.
As equações normais da recta normal à superfície no ponto (1, 1, 1) serão:
x− 12
=y − 12
=z − 12
Generalizando este exemplo, suponha-se, agora, que uma dada superfícieé caracterizada pela equação F (x, y, z) = C e que P = (a, b, c) é um pontoda referida superfície. Nestas circunstâncias sabemos que v =gradF (a, b, c)será um vector normal à superfície em P . Assim a equação do plano tangentee as equações da recta normal à superfície serão, respectivamente:
1. Equação do Plano Tangente à superfície F (x, y, z) = C em P =(a, b, c) :
(x− a) ∂F∂x(a, b, c) + (y − b) ∂F
∂y(a, b, c) + (z − c) ∂F
∂z(a, b, c) = 0
2. Equações da Recta Normal à superfície F (x, y, z) = C em P = (a, b, c):
x− a∂F∂x(a, b, c)
=y − b
∂F∂y(a, b, c)
=z − c
∂F∂z(a, b, c)
.
Exemplo 16 Consideremos agora o campo escalar z = f (x, y). Deter-minemos a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (a, b, f (a, b))bem como as equação cartesianas da recta perpendicular ao seu gráfico nesseponto.
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Nesta situação, os pontos do gráfico da função f são caracterizados pelacondição f (x, y)− z = 0. Fazendo F (x, y, z) = f(x, y)− z, tem-se
∂F∂x(a, b, f (a, b)) = ∂f
∂x(a, b) ,
∂F∂y(a, b, f (a, b)) = ∂f
∂y(a, b) ,
e∂F∂z(a, b, f (a, b)) = −1.
1. Equação do plano tangente à superfície z = f (x, y) em (a, b, f (a, b)) :
z = (x− a) ∂f∂x(a, b) + (y − b) ∂f
∂y(a, b) + f (a, b) .
2. Equações da recta normal à superfície z = f (x, y) em (a, b, f (a, b)) :
x− a∂f
∂x(a, b)
=y − b∂f
∂y(a, b)
=z − f (a, b)
−1
Referências
[1] Apostol, T. M., Calculus, Reverté, 1977;
[2] Azenha, Acilina e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencial Integral em IR eIRn, McGraw-Hill, 1995;
[3] Lima, Elon Lages, Curso de Análise (Vol 1 e 2), IMPA, Projecto Euclides,1995;
[4] Piskounov, N., Calcul Différentiel et Intégral, MIR, 1976;
[5] Taylor, A. E., Advanced Calculus, Xerox College Publishing, Mas-sachusetts, 1972;
[6] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995;
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