Zacatlán, Puebla 2012

Calculo diferencial

Historia de las matemáticas

La historia de las matemáticas tiene comoorigen desde que el hombre tiene lanecesidad de comparar un fruto recolectadocon una piedra o con cualquiera otroobjetivo que cubriera su necesidad dealimentarse dando inicio a la actividad de lasmatemáticas.

Las matemáticas han visto su evolución ydesarrollo de acuerdo a las necesidades delhombre en conocer su entorno y ponerlo asu servicio. En tal situación los números sonuna herramienta fundamental, el primersistema de numeración conocidosaproximadamente 4000 años A.C. (Sumerios)utilizan base sexagesimal, los sistemasRomano y Mayas son de base 5, el sistemaarábigo de base 10 el cual utilizamosactualmente.

Sistema de numeraciom Maya

El período Clásico de las matemáticas ocurrióentre el XVII y VII A.C. en la antigua Grecia talvez influenciado por los pueblos de Egipto yMesopotamia.

Historia del Cálculo

La palabra cálculo deriva del latíncalculus que significa piedra, este términocauso una confusión, fue utilizado por larelación a las piedras que utilizaba el ábacoRomano, Los primeros en hablar de cálculoinfinitesimal fueron los griegos con las

paradojas de Zeno y el método deexhausción o agotamiento de Arquímedes.

La caída de cuerpo libre y la balística jugaronun papel muy importante, a esto aportes seles adjudican a Leonardo Da Vinci y Tarta glíainvestigando la trayectoria de un proyectildisparado desde un cañón. Estos problemasdieron paso o acercamiento de la derivadacomo una razón de cambio en los casos delestudio del movimiento de los astros, lamedición del tiempo, de aéreas encerradasbajo la curva y de las tangentes de la curva.

Trayectoria de un proyectil

Estos antecedentes dieron paso para queNewton con su “Cálculo de Fluxiones” pueslas variables de su Geometría Analítica lasconsiderara como cantidades fluyentes, quevarían con respecto al tiempo. Y a lascantidades que fluían les llamo “Fluentes” y ala velocidad de cambio le llamo “Fluxión”. En1671 introdujo la notación ẋ, ẏ y ẑ para lasFluxiones de las fuentes x, y, z.Por su parte Leibniz tratando de buscar unlenguaje universal “Característicasuniversales”, tal vez su mayor contribución alcálculo. Este lenguaje por sencillo queparezca necesita ser comprobar. Sus trabajosmatemáticos estaban estrechamenterelacionados con sus ideas filosóficas, enrelación a sus publicaciones fueron muyposteriores aun más que las de Newton,debido a que no escribía en forma ordenada,salvo algunas publicaciones.

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APLICACIÓN DE LA DERIVADA

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

Con cierta frecuencia nos encontramos conla necesidad de buscar la mejor forma deresolver problemas. En muchas ocasiones através de los poderosos mecanismos decálculo diferencial es posible encontrarrespuesta a estos problemas, que de otromodo parecería imposible su solución.

Entre los valores que puede tener unafunción (y) puede haber uno que sea el masgrande y otro que sea el mas pequeño. Aestos valores se les llama respectivamentepunto máximo y punto mínimo absolutos.

Si una función continua es ascendente en unintervalo y a partir de un punto cualquieraempieza a decrecer, a ese punto se le conocecomo punto critico máximo relativo, aunquecomúnmente se le llama solo máximo.

Por el contrario, si una función continua esdecreciente en cierto intervalo hasta unpunto en el cual empieza a ascender, a estepunto lo llamamos punto crítico mínimorelativo, o simplemente mínimo.

Una función puede tener uno, ninguno ovarios puntos críticos.

Curva sin máximos ni mínimos,función sin máximos ni mínimos (Creciente).

Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos nimínimos (decreciente).

Función con un máximo curva con unmáximo y un mínimo

Curva con un mínimo curva con variosmínimos y máximos

La pendiente de la recta tangente a unacurva (derivada) en los puntos críticosmáximos y mínimos relativos es cero, ya quese trata de una recta horizontal.

En los puntos críticos máximos, las funcionestienen un valor mayor que en su entorno,mientras que en los mínimos, el valor de lafunción es menor que en su entorno.

En un punto critico máximo relativo, al pasarla función de creciente a decreciente, suderivada pasa de positiva a negativa.

En un punto crítico mínimo relativo, lafunción deja de decrecer y empieza a sercreciente, por tanto, su derivada pasa denegativa a positiva.

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

Para conocer las coordenadas de los puntoscríticos máximos y mínimos relativos en unafunción, analizaremos dos mecanismos:

Criterio de la primera derivada,utilizado para una función continua ysu primera derivada tambiéncontinúa.

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Obtener la primera derivada.

Igualar la primera derivada a cero yresolver la ecuación.

El valor o valores obtenidos para la variable,son donde pudiera haber máximos omínimos en la función.

se asignan valores próximos(menores y mayoresrespectivamente) a la variableindependiente y se sustituyen en laderivada. Se observan los resultados;cuando estos pasan de positivos anegativos, se trata de un puntomáximo; si pasa de negativo apositivo el punto crítico es mínimo.

Cuando existen dos o más resultados para lavariable independiente, debe tener laprecaución de utilizar valores cercanos acada uno y a la vez distante de los demás, afin de evitar errores al interpretar losresultados.

Sustituir en la función original (Y) el olos valores de la variableindependiente (X) para los cualeshubo cambio de signo. Cada una delas parejas de datos así obtenidas,corresponde a las coordenadas de unpunto crítico.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Este método es más utilizado que el anterior,aunque no siempre es más sencillo. Se basaen que en un máximo relativo, la concavidadde una curva es hacia abajo y enconsecuencia, su derivada será negativa;mientras que en un punto mínimo relativo, laconcavidad es hacia arriba y la segundaderivada es positiva.

Este procedimiento consiste en:

Calcular la primera y segundaderivadas

Igualar la primera derivada a cero yresolver la ecuación.

Sustituir las raíces (el valor o valoresde X) de la primera derivada en lasegunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si lasegunda derivada resulta negativa, hay unmáximo.

Si el resultado fuera cero, no se puedeafirmar si hay o no un máximo o mínimo.

Sustituir los valores de las raíces dela primera derivada en la funciónoriginal, para conocer lascoordenadas de los puntos máximo ymínimo.

APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOSRELATIVOS EN LA SOLUCION DEPROBLEMAS

Existen muchos campos del conocimiento(aritmética, geometría, economía, física,biología, industria, etc.) donde se presentanproblemas que se resuelven aplicando losconceptos de máximos y mínimos del cálculodiferencial.

Para resolver los problemas a partir de losdatos existentes, es importante en primerlugar, encontrar la expresión matemática dela función que represente el problema ycuyos valores máximos o mínimos se deseanobtener.

Si la expresión matemática contiene variasvariables, deberá plantearse en función deuna sola; las condiciones del problema debenaportar suficientes relaciones entre lasvariables, para poderse expresar a todas

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ellas en función de una sola variableindependiente.

Una vez que se tenga la función en la formay=f(x), se aplican las normas ya estudiadas.

En muchos problemas prácticos resulta muysencillo identificar cuales valores críticos danmáximos o mínimos; y en consecuencia, yano será necesario aplicar el procedimientocompleto.

Es conveniente construir la grafica querepresente la función en cuestión, a fin deverificar los resultados obtenidos.

Integrantes: Ing. Servando francisco Martínez,Ing. Daniel Márquez Trejo, Ing. David LópezAmador. Universidad Popular Autónoma delEstado de Puebla.

BibliografíaApuntes Historia de las matemáticasMCF Germán Martínez Hidalgo

Sitio web consultadoCálculo Diferencialhttp://html.rincondelvago.com/maximos-y-minimos.html

El 17 de junio de 2012