calculo diferencial resumen
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resumen de funciones - limites y derivadasTRANSCRIPT
Funciones
Una función se define como una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida denominado Dominio le corresponde un sólo elemento en el conjunto de llegada denominado Co dominio. El Rango corresponde a los valores del Co dominio que están relacionados con los elementos del Dominio.
Al analizar una función que maneje las variables (x,y) es conveniente hacerle los siguientes tópicos
1) Dominio2) Rango3) Cortes con el eje y, x = 04) Cortes con el eje x, y = 05) Simetría con el eje y (análisis de paridad)6) Simetría con el origen (análisis de imparidad)7) Asíntotas verticales8) Asíntotas horizontales9) Asíntotas oblicuas10) Criterio de la primera derivada11) Criterio de la segunda derivada12) Trazo o grafica
Hay que especificar que existen funciones que no se les analizan todos los tópicos mencionados anteriormente. Por ejemplo los análisis de asíntotas son exclusivos para funciones racionales.
Funciones Polinomicas
Son funciones de la forma f ( x )=a1 xn+a2 x
n−1+…k Las más conocidas y manejadas están:
I. Función constante ó de grado cero f ( x )=kII. Función lineal ó de grado 1 f ( x )=ax+b
III. Función cuadrática ó de grado 2 f ( x )=a x2+b x+cIV. Función cúbica ó de grado 3 f ( x )=a x3+b x2+cx+d
Función constante
Ejemplo: f ( x )=3
Dominio x∈ (∞ ,∞ ) Rango y∈ {3 } Corte en y, x=0 (0,3) Corte en x, y=0no tiene
Función lineal
Ejemplo: f ( x )=2x−6
Dominio x∈ (∞ ,∞ ) Rango y∈ (∞ ,∞ ) Corte en y, x=0 f (0 )=2 (0 )−6=−6corte :(0 ,−6) Corte en x, y=00=2 x−6 x=3corte :(3,0)
Función cuadrática
Esta función tiene por modelo f ( x )=a x2+bx+c
Dominio x∈ (∞ ,∞ )
Rango : Es necesario calcular la coordenada en x del vértice xV=−b2a
Si a > 0 y∈ [ yV , ∞ ) Si a < 0 y∈ (−∞ , yV ] Corte en y, x=0 Corte en x, a x2+bx+c=0
Ejemplo: sean las funciones
Elementos f ( x )=−x2+16 g ( x )=x2−6 x
Dominio x∈ (∞ ,∞ ) x∈ (∞ ,∞ )xV xV=0 xV=¿3yV yV=−0+16=16 yV=(3)2−6 (3 )=−9
Vértice (0,16 ) (3 ,−9 )Rango (−∞, 16 ] [−9 , ∞ )
a > 0 un corte en x f(x) = x3 a < 0 un corte en x f(x)= -x3
Como –f(x)=f(-x) entonces es una función impar y tiene simetría con el origenComo –f(x)=f(-x) entonces es una función impar y tiene simetría con el origen
Corte en y, x=0 (0,16) (0,0)
Corte en x,y=0 −x2+16=0 x2−6 x=0(-4,0) y (4,0) (0,0) y (6,0)
Simetría en y f (−x )=−x2+16 si g (−x )=x2+6 x no
Función cubica
Esta función tiene por modelo f ( x )=a x3+b x2+cx+d
Dominio x∈ (∞ ,∞ ) Rango y∈ (∞ ,∞ ) Corte en y, x=0 Corte en x, a x3+b x2+cx+d=0
Función racional
Son de la forma f ( x )= P (x)Q(x )
conQ ( x )≠0
Dominio x∈ R− {los valoresde xque hacenaQ (x )=0}
Los valores que no pertenecen al dominio corresponden con las asíntotas verticales
Rango
Caso 1 El grado de P (x )=Q ( x )
Si es posible despejar a x en función de y, obteniéndose una expresión de la
forma g ( y )= R( y )S ( y )
Rango y∈R−{los valores de y quehacen aS ( y )=0}
Los valores que no pertenecen al rango corresponden a las asíntotas horizontales
Caso 2 El grado de P (x )≠Q ( x )
No es posible hacer una generalización para estos casos ya que es necesario tener más información a partir de su grafica para obtener su rango. Sin embargo es importante analizar el caso en que
P ( x )>Q ( x ) ya que se puede generar una asíntota oblicua de la forma
y=mx+b
Para obtener la ecuación de la recta asociada con la asíntota oblicua se
calcula primero el límite m=limx→∞
f (x)
x el cual proporciona la pendiente de
ésta.
Para obtener el valor de b se procede a usar la siguiente expresión b=lim
x→∞[ f ( x )−mx ]
Ejemplo1:Sea f ( x )=2x−2x−3
Dominio x∈ R− {3 }
Rango al despeja a x en función de y se obtiene
x=3 y−2y−2
Rango: y∈R−{2 }
Corte en y, x=0 f (0 )=3 (0 )−20−2
=1(0,1)
Corte en x, y=02 x−2=0 x=1(1,0)
Asíntota vertical x=1
Asíntota horizontal y=1
No tiene asíntota oblicua
No tiene ningún tipo de simetría
Ejemplo 2:Seag ( x )= x
x2−25
Dominio x∈ R− {−5,5 }
Rango como no se puede despejar a x en función de y se debe realizar su grafica de lo cual se puede deducir que es y∈R
Corte en y, x=0 g (0 )= 00−25
=0 (0,0)
Corte en x, y=0x=0(0,0)
Asíntotas verticales x=−5 y x=5
Asíntota horizontal y=0
Puesto que limx→+∞
g (x )=¿ limx→−∞
g (x )=¿0¿¿
No tiene asíntota oblicua
No tiene ningún tipo de simetría
Ejemplo 3:Seag ( x )= x2
x−2
Dominio x∈ R− {2 }
Rango como no se puede despejar a x en función de y se debe realizar su grafica de lo cual se puede deducir que es y∈ (−∞, 0 ]∪ [8 ,∞ )
Corte en y, x=0 g (0 )= 00−2
=0(0,0)
Corte en x, y=0x=0(0,0)
Asíntota vertical x=2
Asíntota horizontal no tiene
Puesto que limx→+∞
g (x )=+∞ pero limx→−∞
g ( x )=¿−∞¿
Asíntota oblicua de la forma y=mx+b
Para obtener la ecuación de la recta asociada con la asíntota oblicua se
calcula primero el límite m=limx→∞
f (x)
x el cual proporciona la pendiente
de ésta.
m=limx→∞
f (x)
x=limx→∞
x2
x−2x
=limx→∞
x2
x2−2x=limx→∞
x2
x2
x2
x2−2xx2
=1
Para obtener el valor de b se procede a usar la siguiente expresión
b= limx→∞
[ f ( x )−mx ]=limx→∞ [ x2
x−2−x ]= limx→∞
x2−x2+2x
x−2=limx→∞
2x
x−2
limx→∞
2 xx
xx−2x
=2
La asíntota oblicua es y=x+2
No tiene ningún tipo de simetría
Funciones trigonométricas
Se destacan las senoidales
f ( x )=Asen(kx±∅ ) o bien f ( x )=Acos (kx ±∅ )
A=Amplitud
k=Factor de periodicidad
Corresponde al número de veces que aparece la función en un lapso de 2π rad
T=PeriodoT=2πk
∅=Desfase.
Si ∅>0la función está adelantada y comienza antes de x = 0
Si ∅<0 la función está atrasada y comienza después de x = 0
Dominio x∈ R
Rango y∈ [−A , A ]
Corte en y. x=0
Corte en x, y=0
Si es seno x=∅ i+nπk
con n = 0,1,2,3,…
Si es coseno x=∅ i+(2n+1 )2
πk
con n =0,1,2,3,…
Ejemplo 1 f ( x )=4 sen(2 x−π3)
Dominio x∈ R
Rango y∈ [−4,4 ]
k=2T=2 π2
=π 2 x−π3=0luego x=∅ i=
π6
Corte en y, x=0 f (0 )=4 sen (2 (0 )− π3 )=−2√3 (0 ,−2√3 )
Corte en x, y=0 x=∅ i+nπk= π6+n πk=π6
+n π2
Para n = 0 x=π6
( π6 ,0)Para n = 1 x=
π6+ π2=23π ( 23 π ,0)
Para n = 2 x=π6+π=7
6π ( 76 π ,0)
Ejemplo 1 f ( x )=3cos ( 14x+ π2
)
Dominio x∈ R
Rango y∈ [−3,3 ]
k=14T=2 π
14
=8 π 14x+ π2=0luego x=∅ i=−2π
Corte en y, x=0 f (0 )=3cos ( 13 (0 )+ π2 )=0(0,0)
Corte en x, y=0 x=∅ i+
(2n+1 )2
πk=−2 π+
(2n+1 )2
π14
=−2 π+(4n+2)π
Para n = 0 x=−2 π+(4 (0 )+2 ) π=0 (0,0)
Para n = 1 x=−2 π+(4 (1 )+2 )π=4 π (4π ,0)
Para n = 2 x=−2 π+(4 (2 )+2 )π=8 π (8 π ,0)
Funciones trascendentales
Se refieren a las funciones exponenciales y logarítmicas
Función exponencial
Son de la forma f ( x )=ax
Dominio x∈ R
Rango y∈ (0 ,∞ )
Corte en y x=0 (0,1)
Corte en x no existe
No presenta ningún tipo de simetría
Ejemplos
f ( x )=( 12 )x
Dominio x∈ R
Rango y∈ (0 ,∞ )
Corte en y x=0 (0,1)
Corte en x no existe
No presenta ningún tipo de simetría
g( x )=(3 )x
Dominio x∈ R
Rango y∈ (0 ,∞ )
Corte en y x=0 (0,1)
Corte en x no existe
No presenta ningún tipo de simetría
Función logarítmica
Son de la forma f ( x )=loga x
Dominio x∈ (0 ,∞ )
Rango y∈R
Corte en y no existe
Corte en x y=0(1,0)
No presenta ningún tipo de simetría
Ejemplo
f ( x )=log2 x
Dominio x∈ (0 ,∞ )
Rango y∈R
Corte en y no existe
Corte en x y=0(1,0)
No presenta ningún tipo de simetría
f ( x )=log(13 )x
Dominio x∈ (0 ,∞ )
Rango y∈R
Corte en y no existe
Corte en x y=0(1,0)
No presenta ningún tipo de simetría
Inversa de una función
Toda función f ( x ) que sea uno a uno posee una función inversa f−1(x) tal que el dominio de f ( x ) es igual al rango de f−1(x) y viceversa
Ejemplo: halle la inversa de la función f ( x )=4 x2 , x∈ [0 , ∞ )
Esta función es uno a uno ya que para el dominio especificado existe un único valor de f ( x ) para cada valor de x
Su rango es y∈ [0 , ∞ )
Para hallar la función inversa se cambia la f ( x ) por x y se despeja a f ( x ) entonces:
x=4 ( f ( x ) )2 Despejando se tiene f−1 (x )=√ x4
Al graficar simultáneamente a f ( x ) y f−1 (x ) se tiene:
Funciones trigonométricas inversas
Para este tipo de funciones es necesario restringir su dominio para que sean uno a uno y se analizan para los siguientes intervalos:
f ( x )=sen x si− π2≤ x≤
π2
Su grafica y su inversa corresponden a:
g ( x )=cos x si0≤x ≤π
Su grafica y su inversa corresponden a:
El área A es el perímetro es
X
Y
h ( x )= tan x si−π2≤x ≤
π2
Su grafica y su inversa corresponden a:
Solución de problemas
1) Para proteger un terreno rectangular se precisaron 2.000 m de alambre. Si una dimensión es X exprese el área A en función de X
Al despejar a Y en función de X se obtiene: Y=1.000−XY al remplazar dicha expresión en la función de área A se tiene:
A=YX=(1000−X ) X Simplificando se obtiene:
A (X )=−X2+1000 X
oX
8
o
XX
12
2) Exprese la longitud de la cuerda L de una circunferencia de 8 cm de radio en función sus distancia X al centro de la misma
Del triangulo formado por el radio de 8 cm, la distancia de la cuerda al centro X y la mitad de la longitud de la cuerda L que es rectángulo y la hipotenusa es el radio de la circunferencia.Entonces:
82=X2+( L2 )2
Despejando a L se tiene:
L(X )=√(256−4 X 2)
3) En cada uno de los vértices de una placa cuadrada de 12 cm de lado se cortan pequeños cuadrados de X cm de lado. Expresa el volumen V de la caja sin tapa que se puede formar en función de X
De la figura se puede observar que el volumen de la caja viene dado por el área de la base (12−2 X )2 y la altura X
V=X (12−2 X )2
Simplificando se tiene:
V (X )=−4 X3−48 X+144
4) El número de bacterias en un cultivo en función del tiempo T ( en horas) se modela con la expresión F (T )=500eT Determina:a) La población inicialb) La población después de 2 horasc) El tiempo necesario para que la población se triplique
X
25°
L L
Y
a) La población inicial corresponde cuando T=0 y en este caso
F (0 )=500e0=500bacterias
b) L a población después de dos horas cuando T= 2 horas es:
F (2 )=500e2=3694,5bacterias
c) El tiempo necesario para triplicar la población se halla despejando el tiempo de la siguiente expresión
3(500)=500eT O bien 3=eT Aplicando logaritmo natural se tiene que:
T=ln (3 )=1,0986horas=1hora5minutos 55 segundos
5) El costo de producir X kg de un producto viene dado por la función C ( X )=3 X2+5 Halle la función de utilidad U de dicho producto si cada kg se vende a 15 U$
La función de utilidad U se determina hallando la diferencia de los ingresos menos los costos. Luego:
U=15 X−(3 X 2+5 )Simplificando se tiene:
U (X )=−3 X2+15 X−5
6) Determina el área A de un triangulo isósceles en función de su altura X si se quiere que su perímetro sea de 5000m y sus ángulos congruentes son de 25°
Despejando a L en la última expresión se tiene:
L= Xsen 25°
de esta forma se remplaza en la expresión de Y así:
El área del triangulo es A=2(XY )
El perímetro es 5.000m=2 L+Y luego:
Y=5000−2 L Del triangulo rectángulo
sen25 °= XL
Y=5000− 2 Xsen25 °
Finalmente se remplaza en la expresión del área y se
obtiene:
A=2 ( XY )=2(X (5000− 2 Xsen25 ° )) Simplificando se tiene que:
A (X )=10000 X− 4 X2
sen 25°
Algebra de funciones
Las funciones se pueden operar mediante las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y composición
Mediante un ejemplo se explicará dichas operaciones
Sean las funciones f ( x )= 2
√ xg ( x )=x2−25 determine el dominio de las
siguientes funciones
a) f (x)+g(x )b) f ( x ) . g (x)c) f ( x )÷g ( x )d) g ( x )÷ f ( x )e) ( f ° g )(x )f) (g° f )(x )g) (g° g )( x)
Solución
a) f ( x )+g ( x )= 2
√x+ x2−25 dominio x∈(0 ,∞)
b) f ( x ) . g ( x )= 2
√ x(x2−25) dominio x∈(0 ,∞)
c) f ( x )÷g ( x )=
2
√xx2−25
= 2(x2−25 )√ x
dominio x∈ R− {−5 ,0 ,5 }
d)g ( x )÷ f ( x )= x2−25
2√x
=(x2−25 )√ x
2 dominio x∈ [0 , ∞ )
e) ( f ° g ) ( x )= 2
√x2−25 dominio x∈ (−∞ ,−5 )∪ (5 ,∞ )
f) (g° f ) ( x )=( 2√ x )2
−25=4x−25 dominio x∈ (−∞ ,0 )∪ (0 ,∞ )
g) (g° g ) ( x )=(x2−25 )2−25 dominio x∈ R
Limite de funciones
Se entiende por límite de una función a la tendencia que esta experimenta al ser evaluada en un valor que se encuentre lo más cerca posible de la vecindad de un número específico del dominio de dicha función.
Por ejemplo si evaluamos a la función f ( x )= xx−1
para x cercanos al valor de 4 se
tiene lo siguiente:
Acercamiento Valor de x Evaluación resultado
Por la izquierda de 4
x=3,93,93,9−1 1,34
x=3,993,993,99−1 1,33
x=3,9993,9993,999−1 1,33
Por la derecha de 4
x=4,14,14,1−1 1,32
x=4,014,014,01−1 1,33
x=4,0014,0014,001−1 1,33
Al observar los resultados se puede concluir que la función tiende a 1,33 = 43
si x se acera
al valor de 3 y se escribe de la forma
limx→3
xx−1
=43
Este límite se pudo obtener directamente sustituyendo el valor de x = 3 en la función. Sin embargo existen casos en los que al remplazar el valor se obtiene una indeterminación
matemática. La cual puede ser resuelta con procedimientos específicos como se muestra a continuación
Formas indeterminadas de los límites
Forma indeterminada 00
Para eliminar esta indeterminación se debe utilizar factorización, racionalización o algún teorema.
Ejemplo1 limx→−1
1−x2
x+1 si se sustituye directamente el valor de x = -1 en la función se
obtiene la forma indeterminada 00
Así que en este caso se debe factorizar
limx→−1
(1−x )(1+ x)x+1
= limx→−1
(1−x )=1+1=2
Ejemplo2 limx→3
2 x2−5 x−33−x
si se sustituye directamente el valor de x = 3 en la
función se obtiene la forma indeterminada 00
Así que en este caso se debe factorizar
limx→3
2 x2−5 x−33−x
=limx→3
(4 x2−5 (2 x )−6 )23−x
=limx→3
(2x+1 ) ( x−3 )
3−x=¿
limx→3
(−1 ) (2 x+1 )=(−1 ) (2 (3 )+1 )=−7
Ejemplo3 limx→2
√4−x−√2x−2
si se sustituye directamente el valor de x = 2 en la función
se obtiene la forma indeterminada 00
Así que en este caso se debe racionalizar
usando la conjugada del numerador y después factorizar
limx→2
√4−x−√2x−2
× √4−x+√2√4−x+√2
=limx→2
(4−x )−2( x−2 ) (√4−x+√2 )
¿ limx→2
(−1 )(x−2)( x−2 ) (√4−x+√2 )
=limx→2
−1(√4−x+√2 )
=−12√2
=−√24
Ejemplo4 limx→ 1
2
2 x3−x2+2x−1
x−12
si se sustituye directamente el valor de x = 12
en la
función se obtiene la forma indeterminada 00
Así que en este caso se debe hacer una
división por x−12
en el numerador para eliminar la indeterminación así:
Se toman los coeficientes del polinomio del numerador y se divide por x = 12
usando la
regla de Ruffini
2 -1 2 -1 121 0 1
2 0 2 0
El polinomio del numerador queda factorizado así:
(x−12 ) (2 x2+2 x )
El limite queda entonces:
lim x→
12
(x−12 ) (2x2+2 x )
(x−12 )=lim
x→12
(2 x2+2x )1
=2( 12 )2
+2( 12 )=12 +1=32
Ejemplo5 limx→2
x−23√ x−3√2
si se sustituye directamente el valor de x = 2 en la función se
obtiene la forma indeterminada 00
Así que en este caso se debe racionalizar el
denominador por lo que le falta para convertirlo en una diferencia de cubos perfectos
limx→2
x−23√ x−3√2
×( ( 3√ x)2+ 3√2 x+ ( 3√2 )2 )( ( 3√ x)2+ 3√2 x+ ( 3√2 )2 )
=limx→2
( x−2 ) ( ( 3√ x )2+ 3√2x+( 3√2 )2 )(x−2 )
limx→2
( ( 3√x )2+ 3√2x+( 3√2 )2)=( ( 3√2 )2+ 3√2(2)+ ( 3√2 )2 )=3 3√4
Forma indeterminada ∞∞
Para solucionar esta indeterminación se recomienda dividir todos los miembros de la expresión por el término que tenga el grado mayor.
Ejemplo1 lim
x→∞+¿ 2√x−25 3√x−3√x
¿
¿ si se sustituye directamente el valor de x = ∞ en la función
se obtiene la forma indeterminada ∞∞
Así que en este caso se debe dividir cada
término entre √ x ya que tiene el grado mayor
lim
x→∞+¿2 √x
√x− 2
√x
53√x√x
−3√x√x
=¿ lim
x →∞+¿2−
2
√ x56√ x
−3= 2−00−3
=−23
¿
¿ ¿¿
¿
Ejemplo2 limx→∞
x2−5x 4+3x−x2+5
si se sustituye directamente el valor de x = ∞ en la
función se obtiene la forma indeterminada ∞∞
Así que en este caso se debe dividir
cada término entre x4 ya que tiene el grado mayor
limx→∞
x2
x4−5 x
4
x4+ 3x4
x
x4− x2
x4+ 5x4
=limx→∞
1x2
−5+ 3x4
1x3
− 1x2
+ 5x4
=0−5+00−0+0
=¿−5−0
=∞ ¿
Como los grados de los términos mayores tanto en el numerador y denominador son pares la función no experimenta cambio de signos al tender al infinito tanto por la derecha como por la izquierda, así que su tendencia está definida por la división de los signos de los coeficientes de dichos términos.
Ejemplo3 limx→∞
2x4+20x6+4 x
si se sustituye directamente el valor de x = ∞ en la función
se obtiene la forma indeterminada ∞∞
Así que en este caso se debe dividir cada
término entre x6 ya que tiene el grado mayor
limx→∞
2x4
x6+20x6
x6
x6+4 x
x6
=limx→∞
21x2
+ 20x6
1+4 1x5
=0+01+0
=0
Ejemplo4 limx→∞
2 x4
1+4 x si se sustituye directamente el valor de x = ∞ en la función se
obtiene la forma indeterminada ∞∞
Así que en este caso se debe dividir cada término
entre x4 ya que tiene el grado mayor
limx→∞
2x4
x4
1x4
+4 xx4
=limx→∞
21x4
+ 4x3
= 20+0
=no existe limite
En este caso el límite no existe ya que la función sufre cambio de signos al acercarse al infinito tanto por derecha como por la izquierda. Esto se debe a que el grado término con mayor exponente en el denominador es impar
Forma indeterminada ∞−∞
Este tipo de indeterminación se debe convertir a la forma ∞∞
Ejemplo 1 lim
x→1+¿( 5
x2−1−
2
x3−1 )¿¿
al sustituir por1 se obtiene la indeterminación ∞−∞ y
se debe convertir a la forma ∞∞
haciendo la sustracción algebraica
limx→1+¿ 5
x2−1−
2
x3−1= limx→1+¿ 5 (x3−1)−2( x2−1)
( x2−1 )( x3−1 ) = lim
x→ 1+¿5 x3−5−2 x2+2
( x2−1 )(x3−1 )¿
¿ ¿
¿ ¿
¿
limx→1+¿ 5x3−5−2x2+2
(x2−1) (x3−1)=00¿
¿En este caso es necesario factorizar el numerador para solucionar
esta nueva indeterminación
limx→1+¿ 5 (x−1 )(x2+ x+1 )−2 ( x−1) ( x+1)
( x−1) ( x+1) ( x−1)( x2+x+1)= limx →1+¿ 5 x2+3 x+3
( x2−1)( x2+x+1)¿
¿¿
¿
5+3+30
=∞
En el numerador y denominador el grado es par así que no se presentan cambios de signo en la función al acercarse a 1 por la derecha.
Ejemplo 2 limx→∞
√ x2+x−x al sustituir por ∞ se obtiene la indeterminación ∞−∞ y se
debe convertir a la forma ∞∞
mediante racionalización
limx→∞
√ x2+x−x× √ x2+x+x√ x2+x+x
=limx→∞
(x2+x−x2 )
√ x2+x+x=
limx→∞
x
√x2+x+x=∞∞
Se divide cada término por x que tiene el grado mayor
limx→∞
xx
√ x2x2+ xx2+ xx=
limx→∞
1
√1+ 1x2+1=11+1
=12
Ejemplo 3 lim
x→∞+¿( x3
x2+1− x)¿
¿ al sustituir por ∞ se obtiene la indeterminación ∞−∞ y
se debe convertir a la forma ∞∞
mediante sustracción algebraica
limx→∞+¿( x3
x2+1− x)= lim
x →∞+¿( x3−x3−1x2+1 )= lim
x→∞ +¿( −1
x2+1)=−1
∞=0¿
¿¿
¿¿
¿
Forma indeterminada 1∞
Esta indeterminación se resuelve utilizando el número irracional e=2,71828…
Si limx→a
(f ( x))g (x)=1∞Entonces elimx →a
[ f ( x )−1] g (x)
Ejemplo 1 limx→∞ (5 x−35x+3 )
2x+8
al sustituir x =∞ se obtiene la forma indeterminada 1∞
entonces usando número irracional e se tiene:
elimx →∞ [5 x−35x+3
−1 ]2x +8=e
limx →∞ [5 x−3−5 x−35x+3 ]2 x+8
=elimx →∞ [−6(2x+8)5 x+3 ]
=e
limx→∞
−12 xx
−−48x
5xx
+3x
e
limx →∞
−12−48x
5+3x =e
−125 = 1
e125
Ejemplo 2 limx→0
(1+sen x )1x al sustituir x =∞ se obtiene la forma indeterminada 1∞
entonces usando número irracional e se tiene:
elimx →0
[1+senx−1 ] 1x=e
limx→ 0
[sex ] 1x=e1=e
Continuidad de una función en un punto
Para que una función sea continua en un valor debe cumplir las siguientes condiciones:
1) Que exista en dicho valor 2) Que exista el límite de la función en dicho valor3) Que el resultado de las condiciones 1 y 2 sea el mismo
Ejemplo 1: analice la continuidad de la función en x = 2 y x = 5
f ( x )={ −3 x+10 s i x≤2x2−4x−2
si2<x≤5
−0.5 x2+25 si x>5
Análisis para x = 2
1) f (2 )=−3 (2 )+10=−6+10=4
2) limx→2
f ( x )=¿
3) Como los resultados en las condiciones 1 y 2 son iguales la función es continuas en x = 2
Análisis para x = 5
1) f (5 )=25−45−2
=7
2) limx→5
f ( x )=¿
El límite no existe La función es discontinua en x = 5
Observemos su grafica
En x = 5 se tiene un discontinuidad no removible ya que no existe el límite en dicho valor
Ejemplo 2: Analiza la continuidad de la siguiente función en x = -3
f ( x )={−x2+10 si x∈ R− {−3 }5 si x=−3
1) f (3 )=5
2) limx→−3
f ( x )= limx→−3
−x2+10=−(−3)2+10=1
3) Como f (3 )≠ limx→−3
f ( x )
La función no es continua en x = -3 y corresponde a una discontinuidad removible
Observemos su grafica
Derivada de funciones
Tasa de variación media en un intervalo de la variable dependiente [a ,b ]
Se define como la razón entre el incremento de la variable dependiente de una función sobre su respectivo incremento de su variable independiente. Su valor coincide con la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final del intervalo que se estudia. Matemáticamente se expresa así:
Sea una función y=f (x ) entonces su tasa de variación media es ∆ y∆ x
=f (b )−f (a)b−a
Ejemplo 1 halle la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se plantean
a) f ( x )=4 x+5 en 1) [4,6 ] y 2) [−2,5 ]
b) f ( x )=−4 x2+5 x+3 en 1) [−1,0 ] y 2) [−2,5 ]
Solución
a) Para f ( x )=4 x+5
1) En x∈ [4,6 ] ∆ y∆ x
=f (6 )−f (4)6−4
=4 (6 )+5−4 (4 )−5
2=4
2) En x∈ [−2,5 ] ∆ y∆ x
=f (5 )−f (−2)5−(−2)
=4 (5 )+5−4 (−2 )−5
7=4
Como se puede notar la tasa de variación media de esta función siempre es constante y corresponde con la pendiente de dicha recta.
b) Para f ( x )=−4 x2+5 x+3
1) En
x∈ [−1,0 ] ∆ y∆ x
=f (0 )−f (−1)0−(−1)
=−4 (0 )2+5 (0 )+3+4 (−1 )2−5 (−1 )−3
1=9
2) En
x∈ [−2,5 ] ∆ y∆ x
=f (5 )−f (−2)5−(−2)
=−4 (5 )2+5 (5 )+3+4 (−2 )2−5 (−2 )−3
7=−7
En este caso la tasa de variación media no es constante por tratarse de una función cuadrática
Una aplicación de la tasa de variación media en Física se le denomina velocidad media y corresponde a la razón del desplazamiento sobre el tiempo transcurrido desde la posición inicial hasta la posición final.
v⃗= variacionde posiciónvariacionde tiempo
=∆ x⃗∆ t
=x⃗ (t f )− x⃗ (t 0)t f−t o
Variación instantánea de una función
Esta se presenta cuando la evaluar la tasa de variación media de una función se utilizan intervalos de variación de la variable independiente cercanos a cero.
Se puede definir entonces como el límite de la variación media de una función cuando las variaciones de la variable independiente tienden a cero. Matemáticamente se expresa así:
Seauna función y=f (x)entonces la tasa de variación instantánea de f(x) en [a ,b ]es:
lim ¿b→a
f (b )−f (a)b−a
¿ ¿ lim ¿∆ x→ 0∆ y∆ x
¿
Ejemplo 1 halle la tasa de variación en el valor que se pide
a) f ( x )=4 x+5 en 1) x = 5 y 2) x = 0
b) f ( x )=−4 x2+5 x+3 en 1) x = -3 y 2) x = 2
Solución
a) Para f ( x )=4 x+5 en cualquier x se le debe agregar un ∆ x muy pequeño entonces
lim ¿∆ x→0f (x+∆ x )−f ( x)x+∆ x−x
=lim ¿∆ x→04 ( x+∆ x )+5−4 x−5
∆ x¿¿
lim ¿∆ x→04∆ x∆ x
=4 ¿
La variación instantánea es constante para cualquier x
1) En x = 5 lim ¿∆ x→0∆ y∆ x
=4¿
2) En x = 0 lim ¿∆ x→0∆ y∆ x
=4¿
b) Para f ( x )=−4 x2+5 x+3 en cualquier x se le debe agregar un ∆ x muy pequeño entonces:
lim ¿∆ x→0f (x+∆ x )−f ( x)x+∆ x−x
=lim ¿∆ x→0−4(x+∆x )2+5 (x+∆x )+3+4 x2−5 x−3
∆ x¿¿
lim ¿∆ x→ 0−4 x2−8 x ∆ x−4 ∆ x2+5 x+5∆ x+3+4 x2−5x−3
∆ x¿
lim ¿∆ x→0−8 x ∆ x−4∆ x2+5∆ x
∆ x=lim ¿∆x→0
∆ x (−8 x−4∆ x+5)∆ x
=−8 x+5¿¿
1) En x = -3 lim ¿∆ x→ 0∆ y∆ x
=−8 x+5=−8 (−3 )+5=29¿
2) En x = 2 lim ¿∆ x→ 0∆ y∆ x
=−8 x+5=−8 (2 )+5=−11¿
En este caso la tasa de variación instantánea no es constante por tratarse de una función cuadrática
Una aplicación de la tasa de variación instantánea en Física se le denomina velocidad instantánea y corresponde al límite de la razón del desplazamiento sobre variaciones de tiempo cercanas a cero.
v⃗ (t )=lim ¿∆t →0∆ x⃗∆ t
=lim ¿∆t→0x⃗ ( t+∆ t )− x⃗ (t)
∆ t¿¿
Derivada de una función
La derivada de una función, se define geométricamente como la pendiente de la recta tangente en un punto especifico.
Matemáticamente:
Sea una función y=f ( x ) la derivada de y respecto a x es:
f ´ ( x )=limh→0
f ( x+h )−f (x )h
DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD
Si una función es continua en un punto la función no necesariamente es derivable en dicho punto pues puede tener un cambio brusco. Como es el caso de la función valor absoluto f ( x )=|x| en x = 0 la cual es continua en dicho valor pero no es derivable porque no es posible trazar una única reta tangente en dicho punto.
Reglas para derivar
A continuación se muestran las principales reglas para derivar funciones
Derivadas básicas
siu=f ( x ) , v=f (x ) y k=constante
ddxk=0 Derivada de una constante
ddxkx=k
ddx
(xn )=nxn−1
ddx
(uv )= ddx
(u ) v+u ddx
( v ) Derivada del producto de funciones
ddx ( uv )=
ddx
(u ) v−u ddx
( v )
v2 Derivada del cociente de funciones
ddx
(u )n=nun−1 ddx
(u ) Regla de la cadena
Derivada de las funciones trigonométricas
ddxsenu=cos u du
dx ddxcosu=−senu du
dx
ddxtanu=sec 2u du
dx d
dxcotu=−csc2u du
dx
ddxsecu=sec u tanu du
dx d
dxcsc u=−csc ucotu du
dx
ddxsen−1u= 1
√1−u2dudx
ddxcos−1u= −1
√1−u2dudx
ddxtan−1u= 1
1+u2dudx
ddxcot−1u= −1
1+u2dudx
ddxsec−1u= 1
|u|√u2−1dudx
ddxcsc−1u= −1
|u|√u2−1dudx
Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas
ddxku=ku du
dxln k d
dxeu=eu du
dx
ddxlog ku=
logk e
ududx
ddxln u=
dudxu
ddxuv=v uv−1 du
dx+uv lnu dv
dx
Derivada de las funciones hiperbólicas
ddxsenhu=cos hu du
dx d
dxcosh u=senhu du
dx
ddxtanhu=sech2u du
dx d
dxcoth u=−csch2u du
dx
ddxsechu=−sechu tanhu du
dx d
dxcschu=−csch ucothu du
dx
Veamos un ejemplo
Halle la derivada de la siguiente funcion
y=sen (cos ( lnxx+1 )) dydx
=cos (cos ( lnxx+1 )) ddx (cos ( lnxx+1 ))dydx
=cos (cos ( lnxx+1 ))[−sen( lnxx+1 ) ddx ( lnxx+1 ) ]dydx
=cos (cos ( lnxx+1 ))(−sen( lnxx+1 ))[ ddx lnx ( x+1 )− ddx
( x+1 )lnx
( x+1 )2 ]dydx
=cos (cos ( lnxx+1 ))(−sen( lnxx+1 ))(1x
( x+1 )−lnx
( x+1 )2 )dydx
=cos (cos ( lnxx+1 ))(−sen( lnxx+1 ))( 1+1x−lnx
( x+1 )2 )Recta Tangente y Normal a una curva
El procedimiento para encontrar dichas ecuaciones consiste en:
Derivar la función Encontrar la pendiente de la recta en punto de la curva especificado Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva Halla la ecuación de la recta normal a la curva
Ejemplo Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y=x3−6 x en el punto (-2, 4)
Se deriva la función dydx
=3 x2−6
Se calcula la pendiente de la recta tangente en x = 2
m=3 (−2)2−6=6
Se calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en x = -2
y=mx+b
4=6 (−2 )+b b=4+12=16
La ecuación de la recta tangente es: y=6x+16
Se calcula la ecuación de la recta normal a la curva en x = -2
La pendiente de la recta normal es m=−16
y=mx+b
4=−16
(−2 )+b b=4−13=113
La ecuación de la recta normal es: y=−16x+ 113
En la siguiente grafica se puede observar la función con la recta tangente y la recta normal en el punto (-2, 4)