calculo grafico y nomografia

ENCICLOPEDIA CIENTIFICAPU BLICAD A BA JO LA DIRECCIÓ N D E L D -. TO ULO U SE

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Cálculo Gráfico y Nomografía

POR DI. D'OCAGNE

ByPriale

D a n ie l JORRO, e d it o r , M a d r id

http://WWW.FREELIBROS.COM

ENCICLOPEDIA CIENTÍFICAí'UOUOADA ÍIAJÜ LA DMKiXJKS.-í

dol 0r< Toulouse, Director de Laboratorio en la Escuela de Estudios Superiores.

Secretario general: H. Piéron, Profesor agregado de la Universidad.

BIBLIOTECA DE MATEMÁTICAS APLICADASDivector: M. D'Ocagne,

Ingeniero en Jefe de Caminos, Canales y Puertos, Profesor en la Escuela Politécnica y en la Escuela de Caminos

CÁLCULO 6EÁÍIC0Y

NOMOGRAFÍA

ENCICLOPEDIA CIENTÍFICA

T O M O S P U B L I C A D O S

Busquet (H.)— La función Sexual. T raducción de Anselmo González. M adrid , 191;?.

Duprat (G\ L .)—Solidaridad social. T raducoión de F . Pe'yró Garrió. M ad rid , 1913.

Guyot (I.) — El comercio y los comerciantes. T raducción de Rafael U rbano. M adrid, 1914.

Mazzareila ( J .)— Los tipos sociales y el Derecho. T raducción de Carlos G. Posada. M adrid, 1918.

Ocagne ‘‘M.l — Cálculo gráfico. Traducción de L uis G u tié rrez del A rroyo. M adrid. 1914.

Richard (Gastón)__Pedagogía experimental. T raducción deA nselm o González. M adrid, 1913.

Vailaux (Camilo).—El suelo y él Estado (Geografía social). T raducción de Carlos G. Posada. M adrid, 1914.

E stas obras constan de tomos de 400 a 500 páginas, tam año 3.9 X 12, con o sin figuras en el texto, encuadernados en te la con planchas.

P recio de cada tomo: i pesetas.

Cálculo GráficoY

N O M O G R A F Í A

POR

m . d ’o c a c n e

nntEsusHO im w n ük camisos. <;anambm y rc-Kuros, i’KOKEíiOj! es t.A nsoirr.i.A roí.iconica v en i.a escoki,a »g caminos

C o n 146 figu ra s.

TRAPUCCIÓIT I>E

LUIS GUTIÉRREZ DEL ARROYO

M A D R ID : D A N IE L JO R R O , ED ITO R

2 3 , C A L L E D E LA PA Z, 2 8

ES FIÍOl'IKDAP

5.981,—Tipolifc. L. Faure.—M adrid.—Teléfono 2.056.

P R Ó L O G O

Sobre la aplicación del método gráfico al arte del cálculo 1

La aplicación de las matemáticas a un objeto práctico conduce, en último análisis, al cálculo numérico de ciertas cantidades incógnitas, ligadas a cantidades dadas por relaciones (fórmulas o ecuaciones 2) conocidas.

Debemos tratar, para proceder lo mejor posible, de reducir esta determinación numérica, de la cual no interesa más que el resultado, a la operación más sencilla la más rápida, así como la menos sujeta a error.

L ección in a u g u ra l del cu rso l ib re d© Cálculo Gráfico y Nomografía, a b ie rto en la S o rbona el 1.“ de M arzo de 1907y cuyo d esa rro llo co n stitu y o el p re se n te vo lum en .

L a s llam ad as al ín d ic e b ib lio g rá fico q u e va a l final del v o lum en se in d ic a n p o r el n o m b re d e l a u to r en le tra b a s ta rd illa ,

a Se ha hecho m u y g e n e ra l la c o s tu m b re d e d e c ir fórmula o ecuación, s e g ú n q u e la re lac ió n em p lead a h a g a con o ce r la in c ó g n ita ba jo fo rm a e x p líc ita o im p líc ita .

J

2 CÁLCULO GRÁFICO

El empleo del método gráfico ha revelado, desde este punto de vista, su particular eficacia, y parece que habrá de imponerse más aun cada día, por lo menos, y esto es lo que ocurre generalmente en la práctica, siempre que la aproximación relativa no necesite pasar de 0,001, ó, todavía más, do 0,0001.

Apenas podremos citar más excepciones, respecto a esto, que, de una parte, ciertos cálculos de Astronomía, de Geodesia o de Física matemática, que deben ofrecer una precisión por lo menos igual a la que permiten alcanzar los instrumontos de medida más perfectos; de otra, los cálculos financieros, cuando se trata de fijar definitivamente la suma por la cual se regula una cierta transacción, pues los intereses que entran en juego no permiten ningún sacrificio sobro la aproximación llevada hasta los céntimos, cualquiera que sea la importancia de la suma considerada.

Aun en las aplicaciones de este género, está muy lejos ol método gráfico do carecer de toda utilidad. En los cálculos científicos de precisión proporciona, sin esfuerzo, ya ciertos valores iniciales moditicables por los métodos conocidos do aproximaciones sucesivas, bien, por el contrario, ciertos términos correctores cuyo valor no influye más que sobre un pequeño número de decimales. En el terreno financiero permite la discusión rápida de ciertas operaciones quo no den lugar a cálculos llevados hasta el final—y para los cuales las máquinas de calcular serán preciosos auxiliures—más que en ol momento do la realización.

Pero hay un inmenso campo donde, dado el grado de aproximación prácticamente útil, el método gráfico casi

PRÓLOGO 3

puede bastar por completo: es el de la ciencia del ingeniero, tomando este término en su acepción más general; y precisamente por los servicios prestados a esta ciencia y por los que se prevé que pueda aún prestarle, es porlo que goza hoy de una importancia indiscutible.

Yamos a ver que esta intervención de lo gráfico en el dominio del cálculo puede tener lugar bajo dos formas que conviene separar claramente una de otra, no porque no existan entre ellas punios de contacto evidentes, sino poique responden en realidad a concepciones teóricas esencialmente distintas y, sobre todo, porque se traducen en la práctica en procedimientos operativos completamente diferentes.

A decir vordad, esta distinción no se ha afirmado definitivamente hasta una fecha muy reciente 1. Esto es, por lo demás, lo que ha ocurrido siempre en la elaboración de todas las ramas de la ciencia pura o aplicada, pues el progreso de las ideas conduce fatalmente a una nueva ordenación de las nociones que en un principio se han presentado un poco confusamente al espíritu humano.

Entiéndase, pues, que aunque en el bosquejo que vamos a presentar de la génesis de nuestro asunto, nos esforzamos en separar lo que se refiere a cada uno de estos órdenes de ideas, en realidad, sus desenvolvimientos históricos no han estado tan separados.

1 Véase: O., 11.

4 CÁLCULO GRÁFICO

I

El primer modo de reducción de los elementos del cálculo al método gráfico, se basa en la sustitución de los números sometidos al cálculo por segmentos de rectas, cuyas longitudes representan aquellos segmentos, cuando se ha elegido una cierta unidad; sobre estos segmentos se efectúan construcciones que dan por resultado otros segmentos, cuyas longitudes dan a conocer los valores de las incógnitas.

Tal es la esencia del Cálculo gráfico propiamente dicho, del cual vamos a ocuparnos primeramente. Supone, como se ve, la ejecución, en cada caso, de un dibujo hecho, es necesario decirlo, con el mayor cuidado posible. Se dirige, pues, sobre todo a los que están acostumbrados al dibujo de precisión; pero siendo, en cierto modo, habitual este dibujo en las oficinas de ingenieros se puede prever que no será en ellas rechazado este procedimiento de cálculo.

Se puede, acaso, confundir el origen de este cálculo por medio de líneas, con el mismo de la geometría clásica, en la cual toda propiedad métrica de una figura plana puede ser utilizada para la ejecución de un cierto cálculo. Así es como, por ejemplo, al descubrir su célebre teorema del cuadrado de la hipotenusa, Fitágoras

PRÓLOGO 5

nos ha dado el medio de efectuar, por una construcción muy sencilla, las operaciones

Va* + b* J V« - — h'¿

Para realizar las construcciones geométricas, los instrumentos de que nos servimos son la regla y el compás, a los cuales ha venido a añadirse la escuadra, que introduce ñtiles simpííficaciouea en los trazados, pero cuyo empleo no es, de ningún modo, indispensable. En realidad, se podría prescindir también de la regla y no recurrir más que al empleo del compás, como lo ha demostrado el italiano Mascheroni, eu su Geometría del Com- passo (1787). Sin desconocer el interés de tal tentativa, no podemos ver en ella más que una simple curiosidad matemática. Otros geómetras, entre los cuales conviene citar sobre todo a Schooten (1656), el mismo Mascheroni (1753), Servois (1804), G. de Lonchamps (1890), han intentado, por el contrario, no hacer uso más que de la regla solamente; pero ésta no permite, como el compás, recorrer todo el campo de las construcciones geométricas. El ilustre Poncelet ha hecho esta curiosa observación: que para que la regla pueda después intervenir sola, basta que un círculo cualquiera, pero de centro determinado, haya sido previamente trazado, de una vez para todas, en el plano de la figura. Esta idea ha sido después desarrollada por Steiner.

Cualquiera que sea el papel predominante, ya de la regla, ya del compás, la cuestión que se plantea es ésta: ¿Todas las relaciones de magnitud, expresables analítica

6 CÁLCULO GRÁFICO

mente, pueden traducirse en construcciones geométricas realizables por medio de la regla y el compás?

La respuesta a esta cuestión, ya bien averiguada hoy, es negativa, y las razones que la establecen han sido expuestas por M. Félix Klein 1 con una gran sencillez:

«La condición necesaria y suficiente para que una expresión analítica pueda ser construida con la regla y el compás, es que se deduzca de magnitudes conocidas por operaciones racionales o por raíces cuadradas en número finito.

»Por consiguiente, para demostrar que una magnitud no puede ser construida con la regla y el compás, bastará hacer vor que la ecuación que la determina no es resoluble por un número finito de raíces cuadradas.

»Con mayor razón ocurrirá lo mismo cuando la ecuación del problema no es algebráiea...» 2.

Si, pues, se demuestra que un cierto número no puede ser raíz de niuguna ecuación algebráiea de coeficientes enteros, queda establecido por ello la imposibilidad de su constrncción con la regla y el compás. Esto es lo ocurrido con el número n , relación de la circunferencia al diámetro, gracias a los admirables trabajos de Hermite, completados en este punto particular por M. Liademann, que han probado definitivamente la imposibilidad de la cuadratura del círculo.

1 Lecciones sobre ciertas cuestiones de Geometría elemental, de M. K le in , reed itadas en francés por M. J . G riess, P arís , N ony y V u ibert, 1896.

* Loe. cit., pág. 12.

PRÓLOGO 7

No se puede, por tanto, pensar en construir rigurosamente, por modio de la regla y el compás, un segmento de recta que tenga la misma longitud que un arco de círculo dado. Pero hay que detenerse un instante en esta palabra: rigurosamente. Cuando se habla de las construcciones proporcionadas por la Geometría clásica, se supone quo realizan las condiciones ideales fijadas por los enunciados de los teoremas correspondientes. Pero esto está muy lejos do ocurrir así. Basta, para convencerse de ello, reflexionar un instante en cómo se trasladan al dibujo las longitudes obtenidas por medio de una cierta escala métrica (cuya división está ya generalmente afectada de pequeños errores). La precisión así obtenida— apenas es necesario indicarlo,—lejos de ser indefinida es, por el contrario, muy rápidamente limitada, aunque no sea más que por el espesor mismo de los trazos que nos sirveu para figurar en el papel las líneas ideales de la geometría. ¿Se puede responder generalmente de la décima de milímetro? Sería muy aventurado asegurarlo. Pero, además, ordinariamente, estamos muy lejos de necesitar en la práctica una precisión llevada hasta ese punto. Entonces, si una construcción, no rigurosa sino aproximada, nos da a conocer el resultado con un error que permanece inferior, ya a la tolerancia admitida según el objeto propuesto, ya a las menores desviaciones susceptibles de caer bajo la comprobación directa de nuestros sentidos, esta construcción aproximada tendrá para nosotros el mismo valor que una construcción rigurosa. Así, por ejemplo, a falta de la rectificación rigurosa, teóricamente imposible, de un arco de círculo, podemos recurrir a un trazado aproximado con toda la preci

8 CÁLCULO GRÁFICO

sión de que tengamos necesidad, y decir, por consiguiente, que la cuadratura del círculo puede ser •prácticamente realizada 1.

Síguese de aquí que los procedimientos del cálculo gráfico tendráu más amplitud que los que derivan de la estricta aplicación de las proposiciones rigurosas de la geometría, y, por consiguiente, que el campo de sus aplicacioues será de más vasta extensión.

II

Además de todo esto, la simple acumulación de las construcciones, tan diversas, deducidas de ios elementos de Geometría, no hubiesen bastado para constituir lo que puede llamarse un cuerpo de doctrina. Era necesario, para esto, codificar de algún modo un número restringido de construcciones fundamentales susceptibles de aplicaciones extensas, desarrollándose según una marcha sistemática.

La primera tentativa que parece haberse hecho seriamente en este sentido, es debida a uu ingeniero de Caminos francés, Cousinery, y se remonta al año 1839 2. Esta tentativa, seguramente interesante, hubiese merecido ser, por lo menos, alentada. Pasó, sin embargo, casi inadvertida; la reforma no estaba aún madura. Para que

1 Véase especia lm en te la construcoión, m uy sencilla , rep ro d u c id a más ade lan te (fig. 60), q u e hem os dado p a ra este objeto.

s Cousinery.

PRÓLOGO 9

una doctrina dirigida a un objeto práctico llegue a imponerse, es necesario que responda a una especie de necesidad preexistente de ias ramas de aplicación a que se dirige. Esto no ocurría, hacia 1840, con el cálculo gráfico preconizado por Cousinery. Fue necesario, para llegar a ello, que veinte años más tarde se obtuviese la prueba de la eficacia del mótodo gráfico en una aplicación particular: la determinación de las dimensiones de las diversas partes de una obra, mediante el conocimiento de los esfuerzos que han de resistir. Esta aplicación había, por otra parte, dado origen a una doctrina especial cons- , truída por Culmann, la estática gráfica l .

A decir verdad, la determinación puramente geométrica de las condiciones de estabilidad y de resistencia había tentado antes de Culmann los esfuerzos de diversos sabios o ingenieros, a la cabeza de los cuales es preciso citar a Poncelet, y después a Saint-Guilhem, Móry y otros. «Pero, como ha hecho observar SI. Favaro, sus investigaciones, limitadas a ciertas cuestiones especiales, no han dado por resultado la obtención de los principios generales que hubiesen podido servir, de base a verdaderos métodos» 2.

Estos principios generales debían derivar del empleo sistemático de ciertas nociones fundamentales antiguamente adquiridas, pomo las del polígono do las fuerzas, de Yarignon, y del polígono funicular, de las cuales no se había en un principio advertido la utilización posible para este objeto. Por lo menos, no se había notado el

1 Culmann.“ Favaro, in tro d u cc ió n al tom o I .

10 CÁLCULO GRÁFICO

grado de generalidad que podía alcanzar esta utilización; pues diversos ensayos aislados habían precedido al de Culmann, debidos a Lamé y Clapeyron, entonces jóvenes ingenieros de Minas, en comisión en San Pctersburgo (1826), a Taylor, simple delineante en casa del constructor inglés Cochrane, a Maequorn Rankine, a Clerk Maxwell; *pero, sobre todo, al capitán de ingenieros francés Michon, cuyas lecciones, desde 1843, en la escuela de aplicación de Metz «completamente conformes, dice M. Pavaro, con el espíritu de los métodos de la estática gráfica, presentan la primera aplicación directa de las propiedades del polígono de las fuerzas y del polígono funicular al estudio de la estabilidad de las bóvedas y de los muros de revestimiento».

Sin embargo, a Culmann es a quien corresponde incontestablemente el honor de haber fundado definiva- mente, con su enseñanza en la Escuela Politécnica, de Zurich, a partir de 1860, la estática gráfica como cuerpo de doctrina, dicho sea sin rebujar en nada el mérito de' los que han contribuido desde entonces a perfeccionar la teoría y a extender sus aplicaciones, entre los cuales es necesario citar, en primera fila, a Mohr, Cremona y M. Mauricio Lévy.

La estática gráfica, a causa de su objeto especial, se sale del cuadro de nuestras lecciones, limitado a los principios generales del cálculo gráfico, independientemente de tal o cual aplicación particular; pero no podíamos aquí pasarla en silencio, pues de su difusión data el favor concedido por los técnicos al empleo del dibujo para el cálculo.

Los autores de los grandes tratados de estática gráfi

PRÓLOGO 11

ca, empezando por Culmann (quieu, en esta ocasión ha exhumado los antiguos ensayos de Cousinery) han creído útil exponer, a título de prolegómenos, algunos principios generales de cálculo gráfico. Por otra parte, la extensión adquirida por la noción primitiva, bajo la forma de las curvas funiculares que permitían efectuar gráficamente verdaderas integraciones, hizo prever la posibilidad de nuovas generalizaciones. Era necesario, para esto, que estas diferentes nociones se desprendiesen completamente del carácter un poco mecánico que tenían desde su origen, y fuesen fundadas sobre una base puramente geométrica.

Esta nueva reforma ha sido la obra de un sabio ingeniero belga, M. Massau, quien, en una serie de notables Memorias, aparecidas de 1878 a 1890 1 ha constituido definitivamente un método general de integración gráfica, absolutamente exento de toda sujeción con respecto a la estática. En la obra de M. Massau, marcada con el sello del espíritu de un gran investigador, la exposición de los principios no está separada de las aplicaciones, de gran amplitud y de interés considerable, pero con las cuales están un poco confundidos. Nos ha parecido que separándolas de este conjunto para encadenarlas segdn un orden más didáctico, se podía, para la mayoría de los estudiantes, darles mayor valor. Y si hemos modificado un poco el orden y las demostraciones del autor, ha sido con el objeto de asegurar más completamente la unidad del punto de vista en que hemos querido colocarnos, tratando de constituir una especie de elementos de cálculo

1 Massau, 1.


gráfico—integración inclusive—análogos a lo que son los elementos de Algebra clásica, tal como se enseñan en Francia, en las clases de Matemáticas especiales.

.Indiquemos aún, con dos palabras, otros procedimientos de cálculo gráfico, análogos al precedente, pero que utilizan la representación de los números por segmentos cuya longitud no les sea proporcional, sino que estó ligada a ellos por ciertas funciones de uso corriente, como el logaritmo (escala logarítmica) o las potencias enteras (escalas parabólicas).

M. Mehmke ha realizado interesantes investigaciones sobre el empleo en el cálculo gráfico de la escala logarítmica 1 y M. F. Boulad 2, con objeto de ciertas aplicaciones a los cálculos de resistencia, ha hecho un feliz uso de las escalas parabólicas.

III

Llegamos ya al segundo modo de intervenir el método gráfico en el dominio del cálculo. Es, como hemos dicho, esencialmente distinto del precedente, y, sin embargo, todo lo que de él se conocía hasta est09 últimos tiempos, había permanecido mezclado con los principios del cálculo gráfico propiamente dicho, del cual apenas se le distinguía. Hoy ha conquistado a su vez una autonomía propia bajo la forma de cuerpo de doctrina, que ha recibido el nombre de nomografía. Es fácil hacer compren*

1 Véase, más adelan te , tiúms. 22 y 98.4 V éase núm . 75.

PRÓLOGO 13

der a priori lo que constituye su esencia por medio de una comparación familiar.

Todo el_ mundo conoce los gráficos por medio de los cuales el' Observatorio Central Meteorológico indica la repartición de las alturas barométricas en una fecha dada. Sobre estos mapas figuran tres sistemas de líneas, provistas cada una de una cierta numeración; los meridianos, cuya cota es la longitud; los paralelos, cuya cota es la latitud; las líneas llamadas isóbaras, que unen todos los puntos en que la altura barométrica alcanza un mismo valor, inscrito como cota al lado de cada una de ellas. He aquí, pues, un número, la altura barométrica que depende de otros dos, la longitud y la latitud, que es fu n ción de ellos, como diceu los matemáticos {sin que este término implique la menor idea de causalidad), y del cual se conoce su valor leyendo simplemente la cota de una cierta linea, la isóbara, que pasa por el punto de encuentro do las otras dos, el meridiano y el paralelo, acotados por medio de los valores de los números dados. Este sencillo ejemplo basta para hacer comprender cómo estando trazados ciertos sistemas de líneas acotadas (aquí, los meridianos, los paralelos y las isóbaras), una simple lectura de cota, guiada por una cierta relación de posición (aquí, el paso de tres líneas por un punto), permite obtener el valor del número buscado. En este ejemplo, este número está determinado empíricamente, y las líneas acotadas trazadas sobre la cuadrícula de los datos no sirven más que para registrar los resultados de ciertas observaciones físicas. Pero podría muy bien tratarse de un número determinado por un cierto cálculo ofectuado con dos números dados, y, en este caso, las líneas acota

14 CiÍLOÜLO GRÁFICO

das tendrían por objeto, no solamente registrar, sino determinar los resultados de este cálculo correspondientes a todos los valores de los datos comprendidos en el cuadro considerado. El trazado de estas lineas se réduce entonces a ciertas construcciones que ai matemático corresponde conseguir todo lo sencillas y rápidas que sea posible.

Se coucibe, desde luego, que los sistemas acotados podrán ser empleados en mayor númoro, haciéndolos, si es necesario, móviles los unos con relación a los otros, sujetos a relaciones de posición más o monos complicadas, y que así se formaráu tablas gráficas acotadas o nomogramas aplicables a cálculos efectuados con un número de datos cada vez mayor, y comprendiendo relaciones de forma cada vez más generales. El estadio de estos nomogramas es lo que constituye el objeto de la nomografía.

Siendo la construcción de Jos nomogramas resultado de un dibujo, síguese de aquí que la aproximación que con ellos se obtiene estará dentro de los mismos límites que la del cálculo gráfico propiamente dicho. Ya hemos visto, por otra parte, que en la práctica osta aproximación es muy suficiente en la mayoría de los casos. Pero hay de una disciplina a la otra esta diferoncia capital: que e! nomograma nos da la expresión numórica de una cierta relación matemática a Ja vez para todos los valores que pueden tomar los datos en los límites fijados por su cuadro, mientras que las construcciones del cálculo gráfico deben ser rehechas para cada nueva elección de los datos.

Los cuadros acotados del tipo de cuadrícula preceden-

PRÓLOGO 15

teniente descrito, llamados también ábacos 1, que constituyen la forma en cierto respecto más natural del nomograma, y durante mucho tiempo, ia más corriente, tienen su origen en la consideración de las coordenadas de Descartes. Es digno de notarse también que al imaginar este sistema de coordenadas, el gran filósofo creyó más bien poner el arte de las construcciones geométricas al servicio del álgebra, que reducir el estadio de las cuestiones geométricas a deducciones puramente analíticas, y, sin embargo, evolucionando en este último sentido, ha sido cómo, para bien del progreso do nuestros conocimientos, ha podido mostrar el método su maravillosa fecundidad. Sin embargo, no es menos cierto que las aplicaciones mucho más modestas a que se prestan en el campo nomográfico, acaso respondan más exactamente a la concepción primitiva del ilustre inventor.

EL primer ensayo sistemático de reducción de las operaciones de cálculo al empleo de ábacos cuadriculados, parece debido a Pouchet (1795), aunque so puedan encontrar antes que él algunos ejemplos aislados, y hasta de cierta importancia, como el que se oncuentra. en las curiosas Longitud Tables y Horary Tablas, de Margetts, publicadas en Londres en 1791 2.

Por lo demás, hasta unos cincuenta años más tarde, el empleo de las tablas gráficas de cálculo no comenzó a

1 A p e sa r de su etim olog ía , que lo refiere a un tab le ro de ajedrez ien g rie g o oste té rm ino se em plea ta m b ién frecu en tem en te p a ra d e s ig n a r do un m odo g en era l u n nom ogram a.

a L a ex is ten c ia de estas tab la s nos ha sido rev e lad a por el in g en ie ro iefe de H id ro g ra fía M. Favé.


extenderse en las prácticas corrientes, a raíz de los trabajos del ingeniero de caminos Lalanne, quien, en 1843, introdujo en su construcción ingeniosas simplificaciones. Estas simplificaciones procedían del principio llamado de la anamorfosis, que permitía en muchos casos sustituir al cuadro primitivo que contenía ciertos sistemas de curvas, otro cuadro, especie de imagen deformada del primero, sobre el cual todas estas curvas se han convertido en rectas, Por lo demás, M. Massau es quien, en 1884, ha llevado este principio al más alto grado de generalidad.

Para el caso eu que cada uno de los sistemas acotados que figuran en el cuadro estó formado de rectas paralelas, M.. Lallemand, sustituyéndolas sobre sus abacos exa- gotudes, por tres ejes concurrentes trazados sobre un transparente que se mueve conservando la misma orientación, ha indicado en 1886 el origen de numerosos perfeccionamientos desde el punto de vista de las disposiciones prácticas y de generalizaciones interesantes relativas a ecuaciones que contienen datos en n ó mero cualquiera; de forma muy especial, a la verdad, estas ecuaciones son, sin embargo, frecuentes en la práctica,

Pero desde 1884 se abrió un nuevo campo a la nomografía con 1a. introducción do la noción de puntos alineados. Parece a primera vista que hay algo de ilógico en que la idea, de recurrir sistemáticamente para las necesidades del cálculo a simples puntos acotados en lugar de líneas acotadas, se haya presentado en último lugar. Es, sin embargo, fácil comprender la razón de ello. La línea acotada ha nacido, puede decirse, del agrupamiento

PRÓLOGO 17

de una infinidad de puntos 011 el que se puede considerar que un cierto elemento, dependiente de la posición, de cada uno de ellos, tiene un mismo valor. EL punto acotado puede igualmente ser considerado en cierto modo como el lugar común de una infinidad de rectas, para cada una de las cuales cierto elemento ligado a su posición tiene también un mismo valor. En el caso de las Líneas acotadas, es el punto el que se toma como elemento primordial del plano, y en el de los puntos acotados es la recta. .Los matemáticos dirán que, en el primer caso, la interpretación geométrica de los hechos analíticos tiene lugar en el campo puntual, y en el segundo caso, que tiene lugar en el campo tangencial. Ahora bien, nosotros estamos más habituados a ver en el primero de estos campos que en el segundo; de ahí el orden que ha seguido la génesis de estas diversas ideas.

Desde el punto de vista práctico, los nomogramas de puntos alineados ofrecen la ventaja de hacer más rápida y más precisa, trazada una recta entre dos puntos acotados, la lectura de cota del punto en que aquélla encuentra a una tercera escala, que discernir en medio de una red de líneas acotadas las que concurren en un mismo punto, y seguir cada una de ellas entre este punto de concurso, y el en que su cota se encuentra inscrita. Pero lo que tiene más valor aun os la posibilidad de hacer coexistir sobre un mismo nomograma sistemas de puntos acotados en número, por decirlo así, indefinido, posibilidad que 110 existe en los sistemas de líneas acotadas; de donde una mayor flexibilidad al mismo tiempo que un campo de generalización mucho más vasto. La extensión y las aplicaciones nuevas que ha recibido el método

2


desde que ha aparecido, prueban por otra parte más que todas las disertaciones que sobre 61 pudieran hacerse 1.

Además, el estudio de las ecuaciones reductibles a la forma que corresponde a cualquier variedad de nomograma de alineación, ha hecho nacer una teoría matemática de un interés intrínseco, que se ha enriquecido todavía últimamente con los trabajos del ingeniero H. So- reau y del profesor M. Clark. Más aun, tal es la generalidad de los caracteres algebráicos así puestos en evidencia, que no hay, por decirlo así, n i D g u n a ecuación sacada de las aplicaciones prácticas que se escape a ella. Siempre se podría, por lo demás, si por azar una ecuación no llenase las condiciones exigidas, referirla aproximadamente a ella, ai menos entre límites suficientemente aproximados; el capitán Lafay ha indicado para esto un procedimiento gráfico interesante 2.

En fin, la consideración de la recta móvil, que sirve para tomar las alineaciones y que puedo suponerse trazada sobre un plano transparente (cuyo movimiento con relación al plano fijo que lleva las escalas tiene tres grados de libertad) conduce naturalmente a la idea de trazar sobre este transparente, o aun sobre varios transparentes superpuestos, líneas menos sencillas y hasta sistemas de elementos acotados, pudiendo dar lugar a relaciones do posición más complicadas entre elementos cada vez más numerosos. Esta sumaria indicación basta para hacer entrever la extensión de los horizontes que

1 V éase O.,14.* Lafay.

PRÓLOGO 19

se abren aún aute nosotros en el campo de la Nomografía i .

Nota bene.— Por tener que ajustarse a las dimensiones del presente volumen, las figuras que siguen no deben ser consideradas más que como imágenes de los dibujos o nomogramas, tales .como debieran ser efectivamente construidos en la práctica.

1 Se puedo, por otra parto, extender este campo a ciertas máquinas de calcular en las cuales se han establecido conexiones mecánicas entre escalas funcionales. Estas máquinas, a la cabeza de las cuales es necesario citar las muy notables de M. L. Torres para la resolución de laa ecuaciones, aparecen así como verdaderos nomogramas mecánicos.

IN TR O D U CCIÓ N

Sobre algunas nociones de Geometría analítica.

1. Coordenadas cartesianas.—Para referir un punto P de un plano a dos ejes Ox y O y situados de cualquier modo en este plano, se puede trazar por el punto P paralelas P A y PB a dos direcciones fijas A,r y ±Vt respectivamente conjugadas de O* y O #, y considerar los segmentos x ~ O A, y — OB así determinados sobre los ejes.

A estos segmentos, o mejor, a los números, con su signo, que expresan su magnitud y su sentido (cuando se ha elegido una cierta unidad de longitud), se les llama las coordenadas de P en el sistema de ejes considerado.

Cuando los ejes Ox y O y son rectangulares, lo más natural es tomar las direcciones \ x y respectivamente perpendiculares a Ox y a O y, o, lo que es lo mismo, paralelas a Oy y a Ox.

Cuando los ejes no son rectangulares, lo más frecuente, para la elección do y de a es sujetarse a la última condición expresada, es decir, tomar a paralela a O y y A paralela a Ox- (fig. 1).

22 CALCOLO g r á f ic o

Pero se podría también—y, de hecho, encontraremos ejemplos de ello en lo que sigue—atenerse a la primera

forma, tomando ^ y respectivamente perpendiculares a Ox y O y. Las coordenadas así obtenidas podrían llam arse ortogonales.

Es, por otra parte, bien fácil el paso del uno al otro sistema. Si, en efecto, sien

do o; el ángulo de los ejes, llamamos x e y las coordenadas oblicuas ordinarias definidas por estos ejes, g y i) las coordenadas correspondientes a las direcciones y \ respectivamente perpendiculares a los mismos, se ve inmediatamente que se tiene

S = x -\-y eos o>7] = y -\-x eos »

I — r, eos <j>

Fifi. 1.

de donde x

.v =

sen ’ u>— ? eos «sena e>

Basta reemplazar x e y por estos valores en la ecuación cartesiana ordinaria de una línea cualquiera para obtener la ecuación de esta línea en 5 y ij; se ve que esta sustitución no altera el grado de la ecuación transformada; en particular, la recta tiene una ecuación en £ y r¡ de primer grado.

Pero se puede también obtener, muy sencillamente, una determinación directa de la recta por medio de las coordenadas g, *¡.

INTRODUCCIÓN 23

Estableceremos para ello la relación fundamental siguiente:

Sean tres ejes Og, Or¡, 0?, completamente arbitrarios, con un mismo origen O, y sobre cada uno de los cuales fijaremos un sentido positivo, indicado por una ílecha (fig. 2). El ángulo que la dirección Orí forma con Og, y que nosotros representa-remos por gy¡, queda así defin ido sin ambigüedad 1 lo mismo ocurre

-''N,con y¡£ y con Esto supuesto, si se proyecta un punto cualquiera, M., en m , m ' y m " sobro los tres ejes, y si llamamos g, r¡, £ a las longitudes, tomadas con sus signos, de Om, Om ', Om " , se tiene la relación general

/ \ /N(1) g sen r,Z + ’I sen ?g + ? sen — OSi, en efecto, w, «/, &>" son los ángulos que OM forma

con los tres ejes, osta relación se reduce a''V A

eos tu sen v¡í + eos <d' sen ££ 4 - eos cu" sen gv¡ = 0 A hora , se tiene

<a — cu — gv¡

(ti -

S? * 5=7

® -- ( e i + í c )

2* — ( í ¡ + í s )

1 R ecordem os q u e e s te án g u lo es el m enor quo h ab ría que d esc rib ir , haciendo g ira r en el sen tid o d irec to !a p a r te positiva de l eje Og p ara hacerla co in c id ir con la po sitiv adel eje O r,.

CALCULO g e Af ic o

y la sustitución de estos valores en la expresión precedente la transforma en una identidad, como se ve inmediatamente desarrollándola con relación a eos w y sen ta .

Como caso particular, haremos notar que si 0(¡ es la bisectriz del ángulo gO-r¡, que llamaremos 26, se tiene

61 = 20,

y la relación se convierte en

(2) 5 -M = 2S.coMsuscoptible, bajo esta forma, de una verificación inmediata.

Basta suponer r constante en la relación (1) para que el punto 41 describa una recta perpendicular a O?, cuya relación, en la cual g y y¡ son las únicas variables, nos da la ecuación de aquella recta en este sistema de coordenadas.

Observación.—Tres vectores dirigidos respectivamente,A

según Mm, Mm', I m " , y proporcionales a sen v¡£, / \ / \

sen £§, sen teniendo una resultante nula, se ve que la relación (1) oxpresa para estos vectores el teorema de lo9 momentos, tomados éstos con relación al origen O.

2. Coordenadas tangenciales. Principio de dualidad.—La ecuación cartesiana de una recta puede, en general, ponerse bajo la forma

ux + vy -f- 1 = OEsta recta está completamente determinada cuando se

conocen los valores de los parámetros u y v. Definiendo

INTRODUCCIÓN 2 5

cada uno de estos pares de números («7 v) una recta, así como cada par de números (x, y) definen un punto, puede decirse que u y o son las coordenadas do la recta correspondiente.

Así como s>i x e y están ligados por una cierta ecuación, el punto correspondiente está situado sobre una cierta línea que puede ser considerada como definida por esta ecuación en x e y; del mismo modo, cuando u y v están ligados por una cierta ecuación, la recta correspondiente es tangente a una cierta línea que puede ser considerada como definida por esta ecuación en u y v.

CJna ecuación en x é y, que define, según esto, el conjunto de los puntos de una línea, es la ecuación puntual de esta línea; análogamente, a una ecuación en u y v, definiendo el conjunto de tangentes de una línea, se le llama la ecuación tangencial de esta línea; de aquí el nombre de coordenadas tangenciales dado a u y v.

Si en la ecuación anterior se dan a u y v valores fijos a y b, todos los sistemas de valores de x e y que satisfacen a la ecuación

ax by + 1 — 0

definen los puntos de la recta de coordenadas a, b; so tiene, pues, así la ecuación puntual de esta recta.

Análogamente, ai en esa ecuación se dan a x e y valores fijos a y b} todos los sistemas de valores de u y v que satisfagan a la ecuación

att -(- bv + 1 = o

definirán las rectas que pasan por el punto de las coor

2 6 CÁLCULO GRÁFICO

denadas a y b; se tiene, pues, así la ecuación tangencial de este punto.

Notemos, además, que la condición algébrica para que tres rectas concurran en un punto en el primer caso, o para que tres puntos estén en línea recta en el segundo, es idénticamente la misma, la cual puede escribirse

a b i a' b' l a" b" 1

0

Se ve así que, segiin que las coordenadas corrientes se las considere, ya como coordenadas puntuales, ya como tangenciales, se puede de las mismas condiciones algébricas doducir interpretaciones geométricas diferentes. Las dos figuras que traducen las mismas ecuaciones, una en el campo puntual, la otra en el tangencial, se llaman correlativas la una de la otra. A los puntos de una corresponden las rectas de la otra y recíprocamente.

Como toda relación geométrica puede, mediante el empleo de las coordenadas puntuales, traducirse algébricamente, bastará sustituir, en las ecuaciones que sirven para expresarla, las coordenadas tangenciales a las coordenadas puntuales, e interpretar geométricamente las ecuaciones así modificadas, para obtener una relación geométrica correspondiente. En esta especie de correspondencia es en lo que consiste el principio de dualidad. Principio de gran fecundidad en lo que se refiero a la transformación de las propiedades de las figuras, especialmente de las propiedades proyectivas, gracias a la igualdad existente entre la relación anharmónica de cua

INTRODUCCIÓN 27

tro puntos de una de las figuras y la de las cuatro rectas correspondientes de la figura correlativa.

Pero, para el objeto que nosotros nos proponemos, concluiremos solamente de todo lo que precede, la posibilidad, dada una figura compuesta de rectas, de sustituirla por una figura compuesta de puntos, y tal, que si tres rectas de la prim era figura pasan por un mismo punto, los tres puntos correspondientes de la segunda están sobre una m ism a recta.

Para construir esta segunda figura, dada la primera, es preciso conocer la interpretación geomótrica de las coordenadas de una recta, tales como acabamos de definirlas. Esta interpretación es inmediata.

Si llamamos M y N a ios puntos en que la recta

ux 4- vy - f 1 = 0 c o r ta respectivamente a los ejes Q x y O y (fig. 3), y hacemos sucesivamente

y —0 y # = 0

tendremos

1 [U OM ’ V ~ ON

Las coordenadas tangenciales así definidas se llaman pliickerianas, del nombre del geómetra que ha hecho un empleo sistemático de ellas. Estas coordenadas constituyen un instrumento analítico de primer orden. Prácticamente, tienen el defecto de no representar directamente longitudes de segmentos, de suerte que, si determinando

en una figura las coordenadas puntuales, se quiere construir la figura correlativa 1, es necesario, para ello, tomar las inversas de todos los segmentos que representan estas coordenadas, para obtener los que representan estas mismas coordenadas consideradas como tangenciales. Esta es una complicación que convendrá mucho evitar. La cuestión se reduce a encontrar un sistema de coordenadas tangenciales que permita la aplicación del principio de dualidad (es decir, en el cual el punto teuga una ecuación de primer grado), pero que representen directamente segmentos de recta. Vamos a ver por qué análisis lógico se puede llegar al conocimiento de un tal sistema.

3. Diferentes sistemas de coordenadas tangenciales ligadas a coordenadas cartesianas.—La ecuación de una recta cualquiera del plano puede ponerse bajo la forma

(au-\- bv-\- c) x + (a u -)~ b 'v -{ -c ) y -f- a u + b"v -f c" — 0,

siendo u y v parámetros variables de una recta a otra, los cuales, por consiguiente, podrán ser considerados como coordenadas de esta recta, y todos los demás coeficientes, constantes de las cuales se podrá disponer arbitrariamente.

Observemos, desde luego, que con estas coordenadas

28 OÁLCÜLO GRÁFICO

1 Es m uy fácil de ver que cada figura y la sim étrioa de la o tra respecto del origen son polares reciprocas con re la ción al círculo de radio 1, ouyo centro está en el origen.

INTRODÜÓCIÓN 29

u j v la ecuación del punto será de primer grado *, pues para todas las rectas (u, v) que pasan por un punto (x} y) dado, se tendrá (escribiendo simplemente la ecuación precedente bajo otra forma):

(ax-\-a 'y -\-a") u + ib x + b'y + b") v + cx + c'y-\-c” ~ 0

Busquemos ahora la significación geométrica de estas coordenadas u y v. Para ello, consideremos las rectas

(A) ax + a’y + a" = 0(B) b x b ' y - \ - b " — 0(C) c x -f- c’y -4* o” = 0

y supongamos que estas rectas formen un triángulo ABC (designando cada vértice por la misma letra que el lado opuesto), lo que supone el determinante

a b e a V d a" b" c"

diferente de 0.

1 D e aq u í se deduoe que la ecuación en n y v de una cu rva de la clase n s e rá de g rado n. E n efecto, estando defin idas las coordenadas de las tan g e n te s trazadas desde un punto a una cu rv a p a r las ecuaciones en U y en v de este punto y de esta ourva, y siendo la p rim era de estas de p r im er grado, s i la seg u n d a es d e grado n la s so luciones com unes serán en núm ero de n; diolio de otro modo, desde el pu n to se podrán traza r n tan g en te s a la curva, y é s ta será de la clase n. E n p a rticu la r, u n a eouaoión de segundo grado anu y v defin irá u n a cónica.

so o Al o u l o g r á f ic o

Sean H y N los puntos en que la recta considerada encuentra a las (B) y (A) (fig. 4).

Las coordenadas del punto N, satisfaciendo a la vez a las ecuaciones

(A) u + (B) v 4* (C) = 0 y (A) = Osatisfarán también a

(B)« + (C) = 0

Ahora, las distancias NH y NK del punto N a (B) y a (C) son proporcionales a los resultados obtenidos por sustitución de las coordenadas de este punto en los primeros miembros de las ecuaciones de estas rectas (representadas por las mismas notaciones). Por otra parte, se tiene

UH = NC sen CNK = NB sen B.

La última ecuación escrita da, pues,

siendo ¡l una constante de La cual es indtil escribir la expresión detallada.

Se tendrá igualmente, considerando el punto M:

. M AU = A

INTRODUCCIÓN 31

MC

Si se toma una porción particular 4f0 Nü de la recta MN, se tiene:

, MCA No B0 MoC' V o ~ ' x N UC ’

y las expresiones encontradas para u y v pueden ponerse bajo la forma

MoC . MA N 0C . N BU - (til nT . V VoM 0A , M C ’ No B _ q

Para encontrar, a partir de esto, el sistema plückeria- no, basta llevar la recta (C) al infinito, porque entonces, tendiendo la9 relaciones

M A N BMv A ■y NoB

a 1, se tiene en el límite

«o • Mo C v0 . No Cu — M C ’ N C

Se puede, además, escoger siempre la recta M^Nq de manera que

«o. M0C =* ve ■ N0C = 1,


a fin de obtener las expresiones mismas do Plücker:

1 1U~ CM ’ v '~' CN *

Al adoptar este caso particular del triángulo de referencia, hemos hecho desaparecer los numeradores de las

, , *. ■ MA NBexpresiones de u y de v proporcionales a y -^q-«Para que las coordenadas de u y v sean directamente proporcionales a los segmentos son, por el contrario, los denominadores, los que, por una particularización del triángulo de referencia, hay que hacer desaparecer. Ahora, esta particularización es evidente; consiste, manteniendo la recta (C) a distancia finita, en llevar el vértice C al infinito, es decir, en tomar las rectas (A) y (B) paralelas. En estas condiciones, las relaciones

RToO NoCMC ^ NC ’

tendiendo hacia la unidad, y la recta M0N0 pudiendo siempre escogerse de modo que

Uo _ _ Vo _ 1M0A ~ NoB - ’

se tiene en el límite

![ = AM, v = BN.

Así, las coordenadas tangenciales que representan directamente segmentos de recta, y que dan para el punto una ecuación lineal en « y v, son las definidas como

INTRODUCCIÓN 83

sigue: Dados dos ejes paralelos, cada uno con un origen, A y B (fig. 5), si If y N son los puntos en que una recta cualquiera corta a estos ejes, tomaremos como coordenadas de esta recta los segmentos

u — A M , v = B N .

Tales son las coordenadas tangenciales llamadas paralelas, de las que aquí haremos uso exclusivamente.

4. Coordenadas paralelas.—Con el empleo de estas coordenadas se puede construir un sistema general de geometría analítica, que se prestaría a útiles aplicaciones pero nosotros, de toda su teoría, sólo tendremos en cuenta aquéllo que nos sea indispensable para lo que sigue.

Para construir el punto definido por la ecuación

(1) au -f- bv -j- c — 0,

basta conocer dos sistemas de soluciones en u y v de esta ecuación, y tomar el punto de encuentro de las dos rectas que tienen por coordenadas cada uno de estos sistemas.

Hagamos, en particular, de una parte, u = 0, de otra, v = 0, en osta ecuación; sean v = y u — <*, los valores correspondientes de la segunda coordenada, es decir

* O. 2.8


Si, atendiendo al signo, se toman, sobre los ejes A m

A Q = a, B R = p,

tendremos el punto P buscado, como intersección de las rectas AH y BQ (fig. 6).

Si, además, pusiéramos explícitos los valores de « y p en la ecuación (1), ésta podría escribirse

( ! ') - + -£- = 1.

Es preferible, generalmente, recurrir a ejes cartesianos, para la construcción del punto P.

Los que nosotros emplearemos uniformemente en lo que sigue—a menos de especificar lo contrario—pueden definirse así: como origen O, el punto medio de AB, tomando esta recta por eje de las x con sentido positivo de O hacia B; el eje O y paralelo a los ejes A lt y Bv y del mismo sentido positivo; se representará) además, el segmento OB por 6. En estas condiciones, siendo las ecuaciones de las rectas BQ y AR, respectivamente

y Bu, los segmentos

INTRODUCCIÓN 35

so deduce inmediatamente, reemplazando a y p por 6us valores anteriores,

a - b

(2)

X = — 8

y = —

a + & ’ c

a + b'

Así, el conocimiento de la ecuación (1) de un punto, en coordenadas paralelas, implica immediatamente el de sus coordenadas cartesianas definidas por las fórmulas (2). A estas dos fórmulas sencillas casi so limita lo esencial que hay que tener en cuenta de la teoría de las coordenadas paralelas para comprender las aplicaciones que van a hacerse en lo que sigue.

Notemos todavía que, según los valores de a y 3, escritos más arriba, las ecuaciones anteriores de las rectas AB. y BQ pueden escribirse

(3)2b Sy -f- c ( x + 8) = 0, 2 « 8 y — c ( x — í) — 0.

Observación.—Se pueden obtener las fórmulas (2) por el procedimiento puramente elemental siguiente:

Si la recta H P divide el intervalo entre AM y BN en la relación

A H bHB a '

se tiene, en el trapecio A M N B ,

AM —H P b H P — BN - a

o a . AM-j- b • BN — (a + b) . HP;

es decir, poniendo AM = u, BN = H P = y,

au -f- bv = (a + &)y-

Si, pues, la recta MN varía pasando por el punto P, supuesto fijo, lo que equivale a tomar a y como constante, so vo, poniendo

(a + b)y — — c,

que se tiene:

an 4- bv 4* c = 0.

Esta última ecuación es, pues, perfectamente aplicable a todas las rectas (u, v) que pasan por el punto P de ordenada


y = «+& ’

situado sobre la paralela H P a los ejes y tal que

(4) A JL — Jlw IIB a '

o, poniendo OH = x, OB = 8,

s -f- x _ b

es decir6- — x a'

a + b '

INTRODUCCIÓN 87

Así se encuentran, pues, las fórmulas (2) anteriores.Se ve, además, que la relación desempeña aquí el

mismo papel que el coeficiente angular en las coordenadas cartesianas 1; el carácter geométrico común a los d iversos puntos para los cuales esta relación os la misma, consiste en su situación sobre una misma recta paralela a los ejes A u y Bv.

En particular, si a — b, el punto correspondiente está en el infinito, y la ecuación correspondiente

a (u — v) c = O

define una dirección, aquélla cuyo coeficiente angular está dado por

V — 11 _ c28 2 a a •

5. Sistemas de puntos.— Si la posición de un punto sobre un plano depende de un parámetro variable «, los coeficientes de la ecuación en u y v de este punto se expresan en función de este parámetro, y esta ecuación se escribe:

u f (a) v y (a) -(- t}> (a) = 0.

La posición del punto correspondiente a cada valor

1 P ara la traducción geom étrica com parada do los mismos símbolos, de una p arte en coordenadas cartesianas, do otra, en coordenadas paralelas, véanse los capítulos IX y X de la obra O., 2.

del parámetro a puede ser definida en coordenadas cartesianas por medio de las fórmulas (2) en las cualos a, b, c, estarían reemplazadas por sas valores en función de a, y la eliminación do « entre estas fórmulas haría conocer la ecuación cartesiana del lugar del punto variable.

Pero se puede tambión determinar esté logar por su ecuación en u y v, obtenida por la eliminación de a entre la ecuación del punto variable y su derivada tomada con relación a <x.

Este problema es, en efecto, analíticamente el mismo que el que, en el campo correlativo, consisto en encontrar la envolvcnté de una recta que depende de un parámetro variable.

Si la ecuación es do primer grado en u y v, puede escribirse:

(1) u + «v = o,

representando U y V funciones liueales en u y v. Es claro que, en esto caso, el punto («) se oncuentra sobre la recta que une los puntos

U = 0 y V — O.

Si la ecuación es de segundo grado en «, puede escribirse:

(2) U + a V + «*W = 0.

El lugar del punto ( «) es entonces la curva cuya ecuación en u y ?>, es:

V a — 4UW = O,

INTRODUCCIÓN se

ecuación que define una cónica l . Esta ecuación se interpreta, por lo demás, geométricamente, de un modo análogo a la ecuación correlativa en coordenadas cartesianas. Así como ésta define una cónica tangente a las rectas U = 0, y W = 0 en los puntos en que son cortadas por la recta V = 0, del mismo modo, en coordenadas u y v, se tiene una cónica que pasa por los puntos U = 0 y TV = 0, en los cuales las tangentes son las rectas que los unen con el punto Y = 0.

Es, además, esencial hacer notar que un sistema de segundo grado puede ser engendrado por la intersección de dos haces de rectas que proyectan cada uno un sistema de primer grado. Si, en efecto, se considera el punto que corresponde a un valor particular a0 de a, punto cuya ecuación es:

se ve que las coordenadas de la recta que une este punto con un punto cualquiera (a) del sistema, satisfaciendo a la vez a las ecuaciones (2) y (4), satisfacen también a su diferencia, la cual, dospués de la supresión del factora. — a„, diferente de 0, será

y define un sistema de primer grado situado sobre la recta que une los puntos Y = 0 y W = 0 . Por consiguiente, tomando dos valores particulares de a, a cada uno de los cuales corresponderá un haz de primer grado, defini

(4) U + a0V + a„»W=0,

(5) V + {a + *o) w = O,

1 Véase la uota de la pág. 29.

do por una puntual tal como (5), se engendrará el sistema de segundo grado.

El mismo procedimiento reduciría la construcción de un sistema do nésimo grado a ia de dos sistemas del (n — i)<5s¡mo. por consiguiente, por aplicación repetida de este procedimiento, se ve que se puede construir un sistema de grado cualquiera partiendo de sistemas exclusivamente de prim er grado. Esta observación será ampliamente utilizada eu lo sucesivo.

6. Transformación homográfica más general,—Recordemos primeramente quo el producto de dos determinantes del m\9mo orden puede ponerse bajo la forma de un determinante de este orden, aplicando la regia que se expresa eu el caso en que son de tercer orden, por la relación

«i bi ci | l m n a i b j c iai bi cs X : 1' ni' ri a ib 9c aas bu cB ¡ 1" m" n" atb» c i

con (para i = 1, 2, 3),

, a'i — l a¡ - f m bi + »( I ) b'i ~ v a i + m' b¡ + n cit

I c i — l"ai 4 - m“bi 4* »"c,.

Si se representan estos tres determinantes por 4, D j A\ de modo que

a .d = a \

INTRODUCCIÓN 41

se ve que, si D es diferente de 0, el ser A — 0 supone a ' = O, y recíprocamente.

Ahora, si a, b, o se consideran, de un modo general, como las coordenadas homogéneas de un punto P , A = 0 expresa que los tres puntos P^, P 2, P3, están en línea recta, y lo mismo A' = 0 para los tres puntos P'-j, P '2, P '3. Por consiguiente, las fórmulas (1) (en las que se puede hacer abstracción del índice i) definen una tran sformación en la cual se corresponden los puntos P y P ' de tal suerte que si tres puntos están en línea recta en la prim era figura, lo m ismo ocurrirá con sus correspondientes en la segunda. Una transformación de este género se llama homográfica.

En lugar de considerar, según acabamos de hacer, a,b, c, como las coordenadas homogéneas de un punto, se las puede considerar como los coeficientes de la ecuación de un punto en coordenadas tangenciales, y, más particularmente, en coordenadas paralelas, teniendo en cuenta que, en este segundo caso como en ol precedente, la condición de estar en línea recta loa tres puntos se expresa por

a — 0.

Se puede ver que las dos figuras, geométricamente distintas, así definidas, son homográficas una de la otra, En efecto, si a ', b ' , c’, son las coordenadas homogéneas del punto para el cual a, b, c son coeficientes de la ecuación en coordenadas paralelas, las fórmulas (2) del número 4 muestran que se tiene:

« == — 8 (a — 6), b‘ — — c, c' — a + b,

fórmulas comprendidas en Jas del grupo (1) anterior, haciendo

l = — 6, m — B, n = 0,1' = (i, m = 0, n = — 1.1“ = 1, m" = 1, «" — 0.

Esto muestra que considerando los valores do a, b, e, ya como coordenadas homogéneas, ya como coeficientes de ecuaciones en u y v, se obtendrá la misma figura mediante ol empleo de coeficientes l, m , n, en el primer caso, l0, m Q) « 0, en el segundo, ligados unos a otros por las relaciones

l — — & { lo -— l o ) , l ■—- — l Ol l ==z lo "i- 2 Oj

y lo mismo para m y n.Recordemos en fin, que la transformación homográfica

—como es fácil de verificar—conserva la relación auhar- mónica, es decir que a cuatro puntos en línea recta de una figura, corresponden, sobre la transformada, otros cuatro puntos también en línea recta, cuya relación an- harmónica es la misma que la de los cuatro primeros.

Observación.— Las coordenadas de la transformada homográfica más general de un punto eucierran bajo forma homogénea los 9 coeficientes l, m, n " \ dependen, pues, en realidad de 8 parámetros. Esto muestra, puesto que la posición de un punto sobre un plano depende de2 parámetros, que pueden darse arbitrariamente las transformadas de 4 puntos cualesquiera.


LIBRO PRIMERO

C Á L C U L O G R Á F I C O

CAPITULO PRIMERO

a h i t & i é t i c a y á l g e b r a g r á f i c a s

A.— Operaciones aritméticas.

7. Escalas métricas.—Para operar gráficamente con números, conviene primeramente representar cada uno de ellos por un segmento de recta del cual expresa su longitud medida con una cierta unidad—escogida arbitrariamente—que llamaremos el módulo.

La operación, que consiste en pasar de un número al segmento correspondiente, o al contrario, exige el empleo de una escala métrica obtenida repitiendo consecutivamente un cierto número de voces, sobre una recta, el módulo elegido.

Cada uno de los segmentos unitarios puede ser dividido en un mismo número de partes iguales, gubdivididas

44 CALCULO g r a f i c o

estas mismas a su vez, a condición de no descender a intervalos gráficos demasiado pequeños. El medio milímetro es un limite del que parece no puede pasarse prácticamente. Aun convendrá, en general, no descender más abajo del milímetro, por la razón, considerando la interpolación visual, que daremos más adelanto.

Estrictamente, una escala métrica no permite representar más que un número exactamente compuesto de unidades del orden decimal correspondiente a su menor intervalo. Por ejemplo, si el módulo es de 1 cm., una escala de 1 metro de largo, dividida en milímetros, no permite representar más que números que varíen de 0 a 100 por intervalos de 0,1. El número 36,25, por ejemplo, no está efectivamente representado sobre la escala; no es difícil, sin embargo, tomar sobre esta escala el segmento correspondiente, teniendo en cuenta que es muy fácil colocar mentalmente entredi trazo correspondiente a 36,2 y el que corresponde a 30,3, los dos efectivamente m arcados, el punto que dividiría su intervalo en dos partes iguales. Esta intercalación mental de trazos intermediarios entre ios que están efectivamente marcados, lleva el nombre de interpolación visual. TJn operador ejercitado llega a practicar fácilmente, a simple vista, la interpolación a 1/4 o un 1/5 sobre una escala milimó- trica; puede, además, pretender alcanzar el 1/10 ayudándose de una lente. Con el medio milímetro apenas se puede contar, a simple vista, mas que en la interpolación al 1/2, y esto es lo que prueba que, en el caso de las escalas métricas, no hay gran ventaja eu descender más allá del intervalo del milímetro, a menos— lo que también ocurre—que la naturaleza de la cuestión limite pre-

(¿saínente la aproximación que se busca a la mitad de la unidad correspondiente al intervalo del milímetro; lo cual sucederá, especialmente, si se trata de ulimeros que expresen cantidades de moneda y si el milímetro de la escala corresponde al décimo.

Se puede, además, obtener rigurosamente (dentro de los límites do precisión, por lo menos, que lleva consigo la ejecución del dibujo) la aproximación correspondiente al intervalo do 0,mm, 1, y esto gracias a uu artificio que no deja do tener cierta analogía con el nonius empleado para la lectura de las divisiones do ios instrumentos de precisión, y el que puedo llamarse, por consiguiente, un nonius gráfico.

Si una escala está dividida en centímetros, es inútil subdividir cada uno de ellos en milímetros; basta efectuar esta subdivisión en un centímetro suplementario, colocado antes del 0 de la escala, y que constituye lo que se llama la contra-escala. Así es como están construidas las escalas métricas adjuntas a las cartas geográficas. El segmento comprendido, por ejemplo, entre el trazo 7 de la escala y el 4 de la contra-escala representa entonces el número 74 (si el módulo se ha tomado igual al milímetro).

Coloquemos ahora paralelamente una a otra dos de estas escalas (fig. 7) y dividamos !a zona de separación en diez partes iguales por ejt>s paralelos. Los trazos de división que correspondan, eu estas escalas, a un mismo número de centímetros se prolongarán con rectas, llamadas de correspondencia, perpendiculares a la dirección común de las escalas. Unamos ahora por oblicuas los trazos 0,1, 2, 3, ... do la contra-escala quo lleva el eje superior

ARITMÉTICA Y ALGEBRA GRÍFIOAS 45

46 CALCULO GRAFICO

respectivamente a los trazo9 1, 2, 3, 4, ... de la contraescala que tiene el eje inferior, afec- taudo estas oblicuas de la numeración de la primera. De este modo determinamos sobre ios ejes intermedios—yendo de arriba a abajo— contra-escalas cuyos orígenes están respectivamente separados 0 ™ 1, 0 mm, 2, 0 mmj 3, ... del 0 de la escala correspondiente; es decir, que si las escalas intermedias están numeradas de 1 a 9, yendo de arriba a abajo, los trazos do la contra-escala, sobre el eje de orden n, estarán retirados 0 “ “ , n con relación a la posición que ocuparían normalmeu- se sobre este eje. Si, pues, tomando como módulo el milímetro, se quiere obtener el segmento representativo del número 36,4, basta tomar sobre la horizontal que lleva el número 4 la distancia entre la oblicua cuyo número es 6 y la línea de correspondencia que lleva el 3.

Inversamente, si se quiere evaluar la longitud de un segmento (ya sea tomada por medio de un compás, ya

fíí?. 7. Por dos trazos marcados en el borderectilíneo de una hoja de papel) se

busca, en el sistema que acaba de ser definido, la escalaen la cual, colocado uno de los extremos de este seg-

cuento sobre una de las líneas de correspondencia, su otra extremidad cao, lo más rigurosamente posible, sobre una de las oblicuas. Si, por ejemplo, sobre la horizontal que lleva el número 6, las do9 extremidades caen respectivamente sobre la línea de correspondencia número 2 y la oblicua número 7, se leerá 27,6.

En la práctica del cálculo gráfico, toda longitud inferior al dócirao de milímetro, puede considerarse como absolutamente despreciable.

Cualquiera que sea el procedimiento, gráfico o simplemente visual, por medio del cual se efectúa la interpolación, se ve que, en cada caso, los números no están gráficamente determinados, sino con un cierto grado de aproximación que depende de la escala admitida. Se comprende, pues, que cuando se habla del segmento representativo de un número dado, se trata del número más próximo exactamente represen¿afíle por medio de la escala de que se dispone. Así es como deberá entenderse esta expresión en todo el resto de esta obra.

Los procedimientos gráficos do cálculo no son, pues, como los procedimientos numéricos, susceptibles de una aproximación indefinida. En general, vistas las dimensiones del campo a que se les aplica, no permiten representar más que números expresados (en unidades, por lo demás, de un orden decimal cualquiera) por medio de3 cifras significativas, o 4 a lo sumo. Conviene añadir que esta aproximación es muy suficiente en una multitud do casos prácticos, especialmente en la mayoría de los que interesan a los ingenieros. Para Jas aplicaciones que exigen el conocimiento de un gran número de cifras, como las referentes a l$i Astronomía o a las operaciones

ARITMÉTICA Y .ÁLGEBRA GRAFICAS 47

financieras, daa aún la posibilidad de obtener, en una primera aproximación, ciertos resultados que los métodos conocidos permiten en seguida corregir para obtener mayor exactitud.

Observación.—Resulta de lo que precede, que no habrá que distinguir, desde el punto de vista del cálculo gráfico, los números racionales de los que no lo son, debiendo tanto unos como otros, para sor representados por medio de una escala métrica, ser reemplazados por el número más aproximado exactamente representable por medio de las menores divisiones de esta escala.

48 o í l c d l o g r á f i c o

B’

.....Ja

b

8. Operaciones fundamentales de la Aritmética.—Para efectuar la adición y la sustracción aritméticas, reducidas a una sola operación, la suma algébrica, por la

consideración de las cantidades positivas y negativas, basta, haciendo corresponder a cada signo un sentido convencional, llevar unos a continuación de otros, los vectores representativos (conforme a lo visto en

_ el número precedente) do los números dados, y en un sentido correspondiente a su signo.

Ocurre frecuentemente, cuando se deben adicionar sucesivamente varios de estos vectores, ser preferible, a medida que se introduce cada uno de ellos, pasar a un nuevo eje paralelo al precedente. La figura 8 muestra esta construcción para la suma

Fij?. 5»

a -f l> — c +1 A,

cuyo valor está, represeutado por la ordenada final O '" D " '; las ordenadas intermedias O ' B ' y O " C " hacen conocer las samas parciales o - f 6 y a-f -A — o.

La multiplicación y la división resultan de la observación siguiente: si entre dos paralelas mM y wN a Oí/ (n las que llamaremos constantemente en el resto de esta obra líneas de correspondencia), separadas por el intervalo m n — a (fig. 9), trazamos una recta MN de coefi

ARITMÉTICA Y ALGEBRA GRÁFICAS 49

ciente angular b, la diferencia NH o c de las ordenadas de los puntos 31 y N es igual a ab. Para tener la dirección de coeficiente angular b, basta, además, habiendo tomado sobre la parte negativa de Ox el segmento OP igual a la unidad de longitud, llevar sobre Oy el segmento OQ igual a b, tomado con su signo, y trazar P Q 1. La recta MN es paralela a PQ.

En lo sucesivo, para mayor simplificación nos limita

* Es claro que se puede constru ir el triángulo O P Q en cualquier parte del plano, conservando su orientación, puesto que la recta P Q no in terv iene más que con su d irección.


remos a decir que la rocta MN, así construida, tiene Ja dirección b.

Inversamente, si los datos fuesen c y a, bastaría trazarla paralela PQ a MN para tener, sobre Oy, el cociente b de c por a.

Hemos supuesto hasta ahora que los segmentos m n , OQ y H jJ (respectivamente iguales a a, b, c) estaban medidos con una misma unidad de longitud. Poro la comodidad de las aplicaciones obliga casi siempre a adoptar para estos segmentos, medidos según O ce, O y, o las líneas de correspondencia, unidades de longitud (o módulos) diferentes, cuyas magnitudes, evaluadas con la misma fracción de metro, se representarán por «, p, y . No hay, en este caso, cambio alguno que hacer en la construcción precedente, a condición que la longitud 5 del segmento OP, expresada también con esa fracción de metro, sea tal que

= y 5.

En efecto, estando entonces representadas las longitudes de los segmentos m n , OQ, HN, referidas a la misma unidad, por a a, b ¡i, e y , respectivamente, el paralelismo de las rectas MN y PQ se expresa por

c y _ b p a * — 5 ’

o, en virtud de la relación precedente

c — ah.

Esta es la construcción fundam ental sobre la cual va

a basarse todo el cálculo gráfico, tal como lo consideraremos aquí.

El punto P se llama el polo de la construcción y el segmento PO — 8, su base. Síguese de aquí que, en las aplicaciones, se escogerán para «, p y v (de donde so deduce 5) los valores más sencillos posibles segán las exigencias a que haya que satisfacer.

Notemos además, que, permaneciendo p y 5 los mismos, * y y pueden ser multiplicadas por un mismo factor.

Queda, pues, sobreentendido en todo el resto de esta obra, que los segmentos contados sobre Ox, sobro O y o sobre las líneas de correspondencia, estáu medidos respectivamente con los módulos a, p, y» siendo la base 8

i * P iguala

Cuaudo algunos de estos módulos deban escogerse iguales entre sí, lo advertiremos previamente. Salvo estos casos, estos diversos módulos, de un modo general, so supondrán siempre desiguales.

9. Suma de productos. Media.—A partir de M0 llevemos sobre O a:, unos a continuación de los otros, los intervalos M oWj , n ii m<¿, m ^} ... (fig. 10) respectivamente iguales a a t , a 2, « s ,-- tomados con su signo, y a partir de Mo, construyamos una línea quebrada M0MiM2M3... cuyos vértices estén sobre las líneas de correspondencia de m i} m 2, m 3)... y cuyos lados tengan sucesivamente las direcciones b2, b3}... (obtenidas llevando estas cantidades en Oj i j , O n 2, O n 8,... sobre O y).

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA GRÁFICAS 51

52 ClLOtJLO GRÁFICO

En virtud de la construcción fundamental, tenemoi

Wil 1M i = ££i frj, Na My “ Élg j,

y, por consiguiente.

« iMi — aib i,«i¡ Ms = a¡ b¡ + a2 b,,

di a M $ — u i b i a 2 b 2 ~{“ ^3 t •

Para simplificar, diremog que el polígono es de direcciones bit b2, b3)... y resumiremos con una

Fig. lo.

palabra su construcción diciendo que está tendido sobre las líneas de correspondencia de viif ?h2,

Para tener ia media

fli b\ a<i hj -{*■ di b»dt U ¡ ~\~ Uí ’

basta dividir el número que representa m 3 Ms por el número que representa M0m 3, os decir, trazar por el polo P Ja paralela. P^o a M0MS. Ei segmento Ojio representa la media buscada.

La construcción es, por lo demás, completamente general, medianto la consideración de los signos correspondientes a los segmentos.

Sea, por ejemplo, efectuar la operación

a-íbi-^r as bt aa — «i

Se escribirá

(— «») (■—■ bi) H- *2c— ------------------- ¡---------------— ai -J- a*

y la construcción será la que indica la figura 11, cuya

ARITMÉTICA Y ALGEBRA GRÁFICAS 58

notación, después de lo dicho, es lo bastante clara para que no haya que insistir más en ella; los datos son:

M o»h = — «i y WiíMi— aa,0 (1 , — — i>, y O n a = = 5 >;

el resultado,

O no => c.

54 OÍLCÜLO GRlFICO

10. Series recurrentes.—Esta construcción nos da un procedimiento muy sencillo de cálculo gráfico de los términos sucesivos'de una serie recurrente.

Vamos a indicarlo pora el caso de las seríes de segundo orden (tal como aparecen en algunos problemas de resistencia de materiales), pero su generalidad es evidente.

Sea, pues, la serie definida por la escala de recurrencia

«„*=*

y los valores de los términos iniciales y u 2.Después de haber llevado (figura 12) JSI0 = h,

m i — k, y O i» t 0 ^ 2 = « 2; 60 traza, paralelamente a los vectores P n x y P n 2, el polígono M0M1M2; si so ha hecho de modo que y == basta proyectar M<¡ sobre O y en i*3, para tener Ojj.8 = « 3. De igual manera se deduce de u 2 y de u 8 por medio del polígono M0M'2M3 cuyos lados son paralelos a P p 2 y y de la proyectante Ms n4; se tiene O i*4 — ^£4, y así sucesivamente.


B.— Sistemas de ecuaciones lineales.

11. Esquema gráfico de ecuaciones lineales. S istemas escalonados.—Sea una ecuación lineal cualquiera que, para mayor simetría en los trazados subsiguientes, escribiremos:

«o 4- «i z\ + ciiZi + ... 4 a„ z n — o.

Si, on la forma que constituye el primer miembro, damos a x i} *2í... ¡tn im sistema de valores cualesquiera, podemos obtener el valor que toma entonces esta forma aplicándole la construcción explicada en el núm. 9, y que es la siguiente: después de llevar sobre O® los intervalos O m 0) n i0 m i t m 2, ... m „ _ t m n respectivamente iguales a a 0, a \ , « 2 ,.- a n (6g- 13), se tenderá sobro las líneas de correspondencia de los puntos m 0, m ir m z, ... m n , el polígono OMoMjMjj ... M„ de direcciones 1, x t , x 2, ...

La ordenada final ra„ Mn da a conocer el valor buscado.

Cuando se hace variar el sistema de valores escogido para x i t x %,... z„t los plintos m 0, m i , m 2, ... m n no cambian (como tampoco el punto M0). Su conjunto constituyo lo que puede llamarse el esquema gráfico, o más simplemente, el esquema de la forma que constituye el pri-


raer miembro de la ecuación considerada. A todo sistema de valores de x if z 2, ... corresponde un polígono tendido sobre este esquema.

Si el sistema considerado satisface a la ecuación correspondiente, el punto M„ coincido con el punto m„. Diremos entonces que el polígono tendido sobre el esquema cierra este esquema.

Se observa inmediatamente que, según la construcción, la ordenada íw0M0 es igual al segmento que mide a0 (según el módulo y ). Este punto, independiente del sistema de valores de x if *2, ... z„ puede ser tomado como punto inicial del polígono variable l f 0iT1i r 2 — M„( y como definiendo con los puntos m 0) m i) ... m„ el esquema de la ecuación considerada.

El problema de la resolución gráfica de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas so reduce, pues, a esto: después de trazados los esquemas de las n ecuaciones paralelamente los unos a los otros, cerrar estos esquemas por medio de polígonos que tengan todos las mismas direcciones.

ARITMETICA Y ALGEBRA GRAFICAS Oí

La solución de este problema es inmediata si las n ecuaciones se presentan bajo !a forma : 1

+ « ! * , = 0,3 , ^ 3 • . 2 _+ a a - f a 2 = 0,O 1 i i 1 3 3 1

3 , 3 i 5 . 3 z, = 0.O ' | i 1 2 3 * 3 3 1

< + < * , + < *a + < * 3 + ... + <*„ = o,

en cuyo caso constituyen lo que se puede llamar un sistema escalonado.

Construyamos, en efecto, los esquemas de e s ta s d iv e rs a s ecuaciones llev an d o (fig. 14), de una parte (mod. a), los segmentos m l — a ) ;O 1 t 1m m — a a y m* a 3; m 3 = a 3, m 3 m 3 = a \0 | i*' i i 3 7 O I I t 3 3y = a 3 de otra parte (mod. y ), las ordenadas

DI.

K ,ni*> XTX

lH <v-,"y.(mT

s ni m¡{

mi mí7 \ ?> ».i wi \ v

r 2

Fig. U.

1 Aquí, y en todo el resto del párrafo, en el que no hay confusión posible, los índices superiores son simples Indices de orden, como los índices inferiores, y no exponentos de potencias. Los índices superiores hacen referencia a las ecuaciones, loa inferiores a las incógnitas.

58 CALCOLO GRÁFICO

tomados desde luego unos y otros con su signo. Para cerrar el esquema de la 1.» ecuación, basta trazar la recta llevada esta dirección en M’l í ’ sobre el esquema de la 2.a ecuación, basta, para cerrar éste, trazar la recta M’-m*; llevadas en M’ M* y en las dosprimeras direcciones obtenidas sobre el esquema de la 3.* ecuación, basta, para cerrar 6ste, trazar la recta M y así sucesivamente. Trazando por el polo P las paralelas P ^ , P ^ 2> IVa> — a las direcciones así sucesivamente obtenidas, se tiene en O ti*, 0 | i 2, 0 ¡ i3, ... (mod. p) los valores de las incógnitas x t , z 2, %a> ... buscadas.

12. Eliminación gráfica.—Si se trata de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, do forma cualquiera, se puede siempre, por eliminaciones sucesivas convertirle en la forma escalonada anterior. Supongamos, para mayor generalidad, las n ecuaciones completas, es decir, conteniendo cada una las n incógnitas. Hó aquí como se procede: entre una de las n ecuaciones, la pésima f p0r ejemplo, y cada una de las n — 1 restantes, se podrá eliminar separadamente una misma incógnita,

por ejemplo; las n — 1 ecuaciones resultantes no contendrán más que las tí — 1 incógnitas x if ... Operando de la misma manera en estas n — 1 ecuaciones con la incógnita %n- i} se obteudrán, aparte de la n — 1 Ó8ima' conservada tal como es, n — 2 ecuaciones, no conteniendo más que x t , x 2, ... 2, 7 así sucesivamente. Se ve que conservando solamente cada vez la última ecuación del último grupo obtenido, se acabará por

tener n ecuaciones conteniendo cada una, respectivamente, 1, 2, ... n — 1 y « incógnitas, es decir, constituyendo, en el sentido anteriormente definido, un sistema escalonado.

La resolución de un sistema cualquiera de ecuaciones lineales se reducirá, pues, a una serie de operaciones puramente gráficas si se sabe eliminar gráficamente una incógnita z n entre dos ecuaciones tales como

«o + a¡ 2 i -}- «3 2» -+• • • • "4- = O,b o - \ - b iZ i - \ - b » Z t - ) r ••• 4 b n Z n — 0.

El principio de esta eliminación descansa en la pro-

ARITMÉTICA T ÍLQEBRA ORÍFICAS 59

0 \ ct, ce / ce

o" \ r , n / r \ /r „ ,

< \ / -/ \

t»(\ / O . ¡Pl /?». 'Pn

Fi;. 15.

piedad algébrica de que todo sistema de valores de x if z 2> ... que satisfagan a la vez a las dos ecuaciones precedentes, satisfacen también a

“4“ ( an -4- ^ b n ) Z n — 0 ,

teniendo X un valor cualquiera. Si se dispone de este valor de modo que anule el coeficiente a„ -)- x¿»„ de x n , esta incógnita quedará eliminada.

Sean, ahora, O k 0 » 1 ... «„ y O ' - Pn (8g- 15),

los esquemas de las dos ecuaciones dadas, obtenidos llevando, de una parte, O « 0 — # 0, a 0« 1 = a t , . . . « n - 1 «» = an ; de otra, O' ¡30 == 60, p0 p4 = b i} . . .

— i P» — b„. Unamos los puntos correspondientes por transversales a 0 ¡i0, «4 p *, . . . a„ f Si timamos ahora una paralela cualquiera a los ejes de I03 dos primeros esquemas, estas transversales determinan sobre esta paralela un conjunto de puntos que constituye el esquema de ana ecuación de la forma

(a0 4- X&o) + («» + ■+■ . . . + (an -j- X6„ ) z„ = 0.

En efecto, si de un modo general, ponemos

V<-i ~ Tí =

y si ponemos, además,

0 0 " - 3lO" O' — '

la propiedad enunciada en la Observación del núm. 4 muestra que (1 -f- x) = a¡ .

Bastará entonces hacer pasar el eje 0"YoYi ... por el punto de encuentro de las transversales «B_ j P„_i y «* P» para que, de la ecuación resultante, quede eliminada Esta ingeniosa construcción es debida a M. F.-J. van den Berg 1 ,

Si las rectas a „ _ i p „ - i y «n p„ se cortan bajo un ángulo muy pequeño, se puede, para obtener un punto del eje resultante, tomar sobre el eje 0 ” un segmento

1 Van den Berg.

P '»-iP 'n igual a P„_i y tal que las transversales y an P’t. se corten bajo mejor ángulo. Se

conseguirá el máximum de este áugulo cuando los puntos medios de los segmentos a „ _ i a„ y p '„ - i P '„ estón sobre una misma perpendicular a la dirección común de los ejes.

Ejemplo de aplicación.—La figura 16 muestra la aplicación del método precedente a la resolución del sistema

Zi~f - z» = 4 ,2^1 — Za ~\~4tZs ■— 2j3z, - f 2Zi — Zg = 8 ,

al cual corresponden los esquemas Otj On y Om, construidos con 9 — 8 — 20mm, * = y = 10 mm. La eliminación de x 3 entre O,, y 0 „ da 0 1V., entre O n y Om da Ov ; la elimiuación de %<¡ entre 0 I7 y 0 T da 0^ . Las ecuaciones de esquemas O Ov y Om forman un sistema escalonado cuya resolución está indicada con rectas de trazos. Se encuentra

z i — 0,25, Z i —— 1,5, Z z 0,1í)

Observación I .—Se puede, si así se prefiere, llevar los segmentos representativos sobre cada eje, a partir del origen, en lugar de llevarlos unos a continuación de otros. En este caso, para eliminar x k> hay que hacer pasar el.eje de la ecuación resultante por el punto de encuentro de la transversal de índice k y de la que une los orígenes.

Observación I I .—Puesto que se puede, en cada ecuación, hacer variar proporcionalmente todos los coeficientes, habrá libertad para adoptar un módulo diferente para el esquema de cada una de ellas, o, lo que viene a ser lo


mismo, habiendo trazado un cierto esquema para una de

estas ecuaciones, se le puede sustituir por otro, proyectando el primero, a partir de un punto S cualquiera, so

Pig

. 16

.

bre un eje paralelo. En particular, si se toma el nuevo eje simétrico del primero con relación al punto S, se ve que se puede invertir el sentido del primer esquema trazado, lo que puede ser útil cuando, con la primera disposición adoptada, el punto de encuentro de las dos transversales que determinan el eje resultante se encuentra fuera de los límites del dibujo.

M. Parid Boulad, que había encontrado, por su parte, y siu previo conocim ien to de 61, el principio de M. Van den Berg, ha deducido de esto una variante del método.

Habiendo unido al punto S (fig. 17) los puntos 1, 2, 3 , ... que limitan los segmentos representativos de los co efic ien tes de una ecuación, todos lleva- i?,dos a partir del orí"gen O, se puede suponer el eje que contiene estos segmentos situados en el infinito. En este caso, las transversales que unen los puntos situados sobre este eje a los V , 2 ', 3 ', ... que, sobre otro eje de origen O', corresponden a otra ecuación, acaban por confundirse con las paralelas trazadas por 1 ', 2 ', 3 ', ... a los rayos S I, S2, S3, ... Y como la transversal que une los orígenes viene a ser la paralela trazada por O' a SO, se ve que para eliminar z k es preciso hacer pasar el eje resultante por el punto de encuentro 0 " de las paralelas a SO y a S&, trazadas por O' y k ' . El punto O” es, además, el origen del eje resultante.

13. Resolución general de un sistema de ecuaciones lineales.—En lo que precede hemos referido el sis-


64 OÁ LCULO O R Í FICO

tema propuesto a la forma escalonada por eliminaciones sucesivas, para poder así resolverlo por el sencillo procedimiento indicado en el ntim. 11. Pero M. Massau hadado a conocer1 un método de falsa posición que permite resolver un sistema cualquiera sin recurrir a eliminación alguna.

Este método puede fundarse sobre un lema algebráico casi evidente, qite se enuncia así:

Si, pura cada uno de los sistemas de valores (en número infinito) de las n variables z i} z 2> ..., z„ que satisfacen a las n — 1 ecuaciones

s, + « * 2 , + ■ • • +

a\ + + al z> + • •1 + M » 3 ° ’

an -1 _|_ an -1 2 _j_ an - l ^ = 0i

se forman las funciones lineales

U = hiZi -f- biZj + . . . - f 6n antV — C iZ i 4* C tü i + c n 2n,

existe entre U y Y una relación lineal

M J + nV + v = 0,

en, la cual X y y. son independientes de los términos constantes a*, a ', . . . a " “ 1.

1 Massau, 2.

a r it m é t ic a y á l g e b r a g r á f ic a s 65

Basta, para verlo, eliminar z ly x..¿, . . . x„ entre las n -f- l ecuaciones escritas, lo que da:

- u b i K • - K- V ei ct

ai al ai ■ ■ «»ai al al a2

an ~ü1 a n -

ii a » ~ \

i a’l ~ 1

y notar que el desarrollo de este determinante tiene la forma enunciada, siendo, además, los menores que corresponden a U y V, independientes de a‘ t a , ... «" ~ 1 que no figuran más que en la primera columna.

Vlg. 16.

Visto esto, después de constiuído el esquema O ... m n (fig. 18) de una n éuima ecuación

+ * „ - o ,

tendamos sobre este esquema un polígono M0M .\ . . .cuyas dilecciones satisfagan a las n — 1

OG CALCULO GltÁFICO

ecuaciones precedentes. De un modo general, la ordenada del vértice M'< está dada por

Sí - « ; + < + • - • + a'¡

Luego, en virtud del lema anterior, existo entre Cí_iy uua relación lineal tal quo

' i £*—i + Ia¿ + '‘ i — °>

y como y t. son las coordenadas paralelas de larecta 31'( , resulta, según lo que liemos visto enel núm. 4, que cuando se hace variar el sistema de lasdirecciones x if z<>, . . . z„ satisfaciendo siempre a lasn — 1 primeras ecuaciones, el ladoiI'<_i M'< gira alrededor del punto fijo P<,

Imaginemos, pues, un segundo polígono

M , M ”, ... M"»—i M "n ,

tendido sobro el mismo esquema y cuyas direcciones satisfagan también a las n — 1 primeras ecuaciones. Sus lados nos darán, por sil encuentro con los lados correspondientes del primero, los n — 1 puntos de giro P 1;V i . • • P «—i .

Si, pues, partiendo do m „ , se tiendo sobre el esquema un polígono cuyos lados sucesivos

■fttti ¿I t. — 1 « üí M — 1 Mn -ü) • • •

pasen, respectivameuto por los puntos P„ , P„ _ a • • •

y que termino en M0, las direcciones de este último polígono satisfacen a la vez a las n ecuaciones consideradas. Basta, pues, trazarles paralelas por el polo para tener sobro O y (mod. £) loa valores de las incógnitas buscadas.

Esto supone, como se ve, que so han podido formar dos sistemas do valores x2, . . . x n que satisfagan a la s« — 1 primeras ecuaciones. Si, dándose arbitrariamente el valor de una de ellas, se quieren tener los valores correspondientes de las otras n — 1 , so debe resolver un sistema de n — 1 ecuaciones lineales.

Dicho de otro modo, la construcción do M. Mnssau reduce la resolución gráfica de un sistema do n ecuaciones lineales a la de dos sistemas do n — 1 ecuaciones; por consiguiente, repitiendo el procedimiento, a la do 2" ~ 1 ecuaciones no conteniendo cada una más quo una incógnita.

Observación.—En virtud do la última parto del lema algebráico anterior, cuando se hacen variar solamente los términos constantes a'„, a \, . . . los coeficientes \ i y jij no cambian; por consiguiente, en virtud del penúltimo párrafo de la Observación del núm. 4, los polos P¡ se mueven permaneciendo sobre las mismas líneas do correspondencia.

14. Marcha sistemática para la aplicación ¿el método.— El mismo M. Massau lia dado 1 también una indicación sumaria sobro una manera sistemática do aplicar su método para obtener el resultado buscado por una vía lo más rápida posible. Nosotros vamos a desarrollar

ARITMÉTICA Y XLOKDRA G ALFICAS C7

1 Massau, 2, núm. 1G.

68 OÁLOtTLO aRXFIOO

aquí esa indicación. Conduce, partiendo d e» sistemas de soluciones que satisfacen a la primera ecuación, a determinar sucesivamente n — 1 sistemas que satisfacen a las dos primeras, después n — 2 sistemas que satisfacen á las tres primeras, y así* sucesivamente hasta el sistema único que satisface al conjunto de las n ecuaciones dadas *, que es lo que se busca.

Se puede observar desde luego que, si por un procedimiento cualquiera se han podido obtener dos sistemas de direcciones S 4 y S ' 1 teniendo comunes las n — k primeras direcciones y cerrando los esquemas de las A; — 1 primeras ecuaciones, se deduce de ello inmediatamente un sistema 2 * que cierra los esquemas de las k primeras ecuaciones y que tiene también comunes con S t y S'^ las n — k primeras direcciones. En efecto, sobre los esquemas de las k primeras ecuaciones tendamos, a partir de los puntos iniciales JIJ , H ’ , . . . M J- 1 , polígonos paralelos a las n — k primeras direcciones comunes a S{ y S 't ; estos polígonos terminan, respectivamente, sobre las n — k ésim!VB líneas de correspondencia en puntos , M“( _ k . . . M* _ fc, que podemos tomar asu vez como puntos iniciales de l¿ esquemas parciales extendiéndose sobre los k intervalos restantes. Los sistemas s* y formados por las 1c últimas direcciones de S4 y S% cierran los le — 1 primeros de estos sistemas parciales; sabemos, pues, deducir de aquí (núm. 13) un sistema o.j que cierra los k esquemas parciales: y las direcciones de este sistema unidas a las n — k primeras no modificadas, forman un sistema de n direcciones que cierran los k primeros esquemas tomados integralmente.

1 iíl sistema se supone compatible y determinado; los que ea la práctica se encuentran, nunca son de otro modo. La marcha que aquí se indica para sor empleada por la vía gráfica, nos parece recomendable, aun para cuando se opere por la vía numérica.

A esta primera observación hay que añadir una segunda, que constituye con ella toda la economía del procedimiento; consiste en que, si se conoce ahora otro sistema cualquiera S2 de direcciones, que cierre los esquemas de las A;— 1 primeras ecuaciones, se deduce inmediatamente de ello un nuevo sistema S 2 que cierra los de las k primeras. En efecto, según lo que precede, si a este sistema S2 se asociase un segundo S' 2 que tuviera comunes con él las n — k primeras direcciones, se podría determinar, como acabamos de ver, el sistema z 2, deduciendo o2 de los sistemas parciales s2 y s \ como a, ha sido deducido de y s \ Ahora, en virtud de la Observación del número precedente, no habiendo cambiado los intervalos, los k — 1 nuevos centros de giro necesarios a esta transformación están sobre las líneas de correspondencia de los k — 1 centros que, do los sistemas y s't , han permitido deducir . Estas líneas de correspondencia determinan, pues, los nuevos centros sobre los I: —. 1 últimos lados del polígono tendido paralelamente a S2 sobre el esquema de la k ialma ecuación sin que haya que recurrir realmente al sistema S'2; este puede, pues, suprimirse para el paso del sistema S2 que satisface a las k — 1 primeras ecuaciones, al sistema s 2 que satisface a las k primeras.

Todo lo que acaba de decirse muestra que del conocimiento de p sistemas de direcciones satisfaciendo a las k — 1 primej-as ecuaciones, se puede deducir el de p—L sistemas que satisfagan a las k primeras ecuaciones, siempre que dos de estos p siste?nas tengan comunes las n — k primeras direcciones.

De aquí, la marcha, sistemática que nos ocupa: se empieza por formar n sistemas de direcciones S¡, SJ, . . .

que cierran el“ esquema de la primera ecuación y tales que y S 1 + x tengan comunes sus p — 1 primeras direcciones para p >■ 2. En v irtud de lo que precede, y comenzando por tomar primero S 1 _ 1 y (que, tcnien-

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA GRAFICAS 69

70 CÁLCULO GRAFICO

do comimos las n — 2 primeras direcciones, ciarán un centro de giro en el último intervalo) se deducirán n — 1 sistemas SJ, SJ, . . . S?,_i cerrando el esquema de las2 primeras ecuaciones y tales que S ^y S ’ 4. 1 tendrán comunes las p — 2 primeras direcciones para p >• 3. De óstos so deducirán igualmente SJ, S*', SJj, . . . S’ _ a cerrando el esquema de las 3 primeras ecuaciones y tales que S j, y 4.1 tendrán comunes las — 3 primeras direcciones para p > 4; y así sucesivamente hasta S", que, cerrando el esquema de las n ecuaciones, nos dará la solución buscada.

Ahora, para formar de la manera más sencilla posible los sistemas iniciales S¡, SJ, . . . S('(, llenaudo las condiciones exigidas, lo mejor parece formar por medio de dos rectas solamente (6g. 19): una, paralela a Ox,

Fig. 19.

partiendo del punto inicial para terminar en la línea do correspondencia do índice p — 1 (lo que equivale a hacer = x 2 = . . . — , = 0) , que encuentra enel punto IT _ t al punto terminal m'n sobre Ox (lo que equivale a hacer xp = * ¿ , + 1 = . . . — z„ ).

Se puede, además, notar que la determinación de cada uno de los n — 1 sistemas S2 exige un centro do giro, cada uno de los n — 2 sistemas Ss, 2 centros, . . . el sistema S„ , n — 1 centros. El húmero total de los centros

ARITMÉTICA Y ÁLGKliRA GRÁFICAS 71

utilizados para la resolución de un sistema de n ecuaciones lineales es, pues, en el caso general, igual a

l (» — J i + 2 (» — 2» ■+• O (n — 8) -j- . .. -|- (n — !) i í»4- 1) n (n— I)

“ o

es decir, al coeficiente de x3 en el desarrollo de

(l + x) >* -I-1.

Pero el sistema de las n ecuaciones podrá ofrecer tal particularidad que resulte de ella una sensible disminución de este número. Más adelante (uiim. 15) se encontrarán diversas indicaciones respecto a esto.

Ejemplo de aplicación.—La figura 20 muestra la aplicación del método al sistema

*i ■+ 2 2» -f- = 4,2Zi — Zí + éZt> = 2,3«, -f- 2z* — = 3,

ya tratado por otro procedimiento en el núm. 12. Aquí,además, se han tomado « == p = 10 mm, y — 5“ m,5 = 20mm. Los cuatro centros que exige esta resolución han sido rodeados cada uno de un pequefio círculo; dos están fuera do los límites de la figura, en las direcciones que indican las flechus. Esto nos conduce a mostrar cómo se pueden utilizarlos centros inaccesibles por estar fuera de los límites del dibujo. Entre dos lincas de correspondencia A1), A 'D ' (fig. 21), consideremos dos pares do rectas AA', BB', do una parte, CO', 1)1)', de otra, cortándose respectivamente eu los puntos P y Q, situados sobre una misma línea do correspondencia; las rectas AB',

T i CÁLCULO GRÁFICO

BA', de una parte, CD', DC', de otra, se cortan en puntos Pl7 Qlf situados también sobre una línea de corres-

Figr. 20.

pondencia conjugada de PQ con relación a AI) y A 'D '. Si, pues, el punto P está definido, fuera de ios límites del dibujo, por el encuentro de las rectas AA' y BB' prolongadas, se puede construir P* y trazar su línea de correspondencia. Esto hecho, para unir el punto D al

ARITMÉTICA T ÁLGEBRA GBjÍFICAS 73

punto de encuentro inaccesible de CC' y de la iínea decorrespondencia de P, no habrá más que

punto P el que hubiese que unir con D,se aplicaría ia cons- fíb. 21.tracción precedente,haciendo coincidir CC' con una de las rectas AA' o BB'.

15. Sistemas de forma especial. Reducción del número de centros.—Cuando el sistema dado ofrece ciertas particularidades de forma, se puede reducir el número C* + 1 de centros que exige la solución general. Examinaremos sucesivamente dos casos de importancia en la práctica.

Primer caso particular. Sistema de n ecuaciones de las cuales n — 1 son homogéneas.—Sea, por ejemplo, n', — «Ü — . . . = - 1 = 0 . Supongamos que hemosobtenido un solo sistema de valores de x2, . . . x„ , satisfaciendo a estas n — 1 primeras ecuaciones. Vamos a ver que es inútil buscar un segundo sistema, como exigiría la solución general. En efecto, siendo los valores de x 2, . . . x-,t buscados proporcionales a los que han sido determinados, se podrá siempre disponer de la base 8 de modo que los coeficientes angulares de las direcciones obtenidas sean iguales a ios valores buscados. Para

trazar LC' que corta la línea de correspon-

es la recta buscada. Si fuese el mismo

u CÁLCULO GRAFICO

esto, partiendo del punto terminal m JJ de la n4”1™ 11 ecuación, tendamos sobre el esquema de osta ecuación un polígono, cuyas direcciones sucesivas, marchaudo hacia el origen, sean los valores que acaban de obtenerse para

, *» — i, - • • Obtenemos asi, sobre la línea do correspondencia del punto »?”, el punto H", y bastará que este sea precisamente el punto inicial del esquema, para que este último quede cerrado; esto ocurrirá, segúu lo que se ha visto anteriormente (uúm. 1 1 ), si el segmento mj*Hj es precisamente igual a a» (según el módulo y )- Ahora, no habiendo hasta aquí intervenido este módulo para nada en la construcción, se ie puede dar la magnitud necesaria para ello. No queda más que determinar los valores numéricos correspondientes de x1, . . .

, por medio do un eje O y de módulo ¡5 y de un polo P, a la distancia 8 de O, pudiendo ser p y 5 arbitraria - riamente escogidos, a condición de que «p = y8, loque equivale a decir que se puede elegir libremente uno u otro. En general se elige p, para poder deducir 5 por la relación

cuya traducción gráfica es inmediata.Como, asociando por el procedimiento de Van den

Berg (núm. 1 2 ) cada una de las n — 1 primeras ecuaciones a la n“5®11““ se puede siempre hacer desaparecer el término constante de cada una de ellas, so ve que en todos los casos se puede utilizar esta simplificación, refiriendo la resolución de un sistema de n ecuaciones a la

ARITMÉTICA Y ÁLGEDEA GRÁFICA8 75

de un sistema de n — 1 , y reduciendo, por consiguiente, el ndmero de centros de C’ + 1 a C* .

Notemos, además, que para obtener un sistema de valores de x it %2, . . . x n que satisfagan a las n — 1 primeras ecuaciones, estamos en libertad de imponer a este sistema una condición suplementaria cualquiera; esta observación será utilizada más adelante en el ejemplo de aplicación.

2.° Caso 'particular. Sistema (le ecuaciones escalonado.—El escalonamiento considerado en el núm. 1 1 consistía en la introducción sucesiva de las diversas incógnitas, de una ecuación a otra, partiendo de una primera ecuación que no contenía más que una sola incógnita. Se pueden igualmente considerar sistemas escalonados a partir de una ecuación que coutenga fc incógnitas; en este caso, las incógnitas contenidas en las le últimas ecuaciones comprenden la i , y como, cuando sedan arbitrariamente, x if . . . las n — fc+ 1primeras ecuaciones proporcionan, sin ninguna falsa posición, o condición suplementaria, los valores de x k , ** + i , ••• x n i que, con los precedentes, formen un sistema que satisfaga a las n — k -}- 1 primeras ecuaciones, se ve que pueden obtenerse directamente k sistemas de valores de **, *2) . . . x„ satisfaciendo a las n — / » + 1 primeras ecuaciones. Bastará partir de aquí para formar por falsas posicionos k — 1 sistemas que satisfagau a las

1 Esto no im plica que todas ellas necesariam ente contengan todas las n incógnitas, pues algunas de las incógnitas de índice inferior pueden haber desaparecido de alguna eouaoióiti lo q u e no hace cam biar absolutam ente nada de lo que aquí se dioe.

76 CÀLCOLO GRÁFICO

n — k-\- 2 primeras ecuaciones, después k — 2 que satisfagan a las n — k -f- 3, y, finalmente, un sistema que satisfaga a las n ecuaciones. El número de falsas posiciones es entonces ei mismo que si se tratase de resolver k ecuaciones con k incógnitas.

En particular, si el escalonamiento comienza por una ecuación con 2 incógnitas, bastarán dos falsas posiciones.

Este es el caso especialmente del cálculo de los momentos de una viga continua sobre apoyos múltiples, cálculo que el teorema do los tres momentos reduce a la resolución de un sistema de ía forma

a!. -f- a I zy -\- a\ Zi — 0,

al + *, + a\ z, + a\ zj ~ °>n\ + ^ z3 + aj a ]z i = 0,

«Ó‘ _ 1 + < - 2 z„ -2 + < Z [ zn_ i + a" - 1 = O,< + < - i * » -i + «2 *» = O.

La resolución de este sistema por el procedimiento indicado, muestra que en total no se necesita más que un solo centro determinado sobre el esquema de la última ecuación por los dos sistemas cualesquiera, formados directamente, que satisfacen a las n — 1 primeras ecuaciones.

Ejemplo de aplicación.—Tomaremos como ejemplo el problema del puente de Wheatstone en el caso de la figura 2 2 en la cual (designando las letras i las intensidades de la corriente en los diferentes hilos, y las letras r

a r it m é t ic a y Al g e b r a g r Apic a s 77

las resistencias) las notaciones están suficientemente explícitas *.

c

Si E es la diferencia potencial entre los puutos A y ,D, las ecuaciones del problema son:

íl) ie = ti -(- i$,(II) ii — ii ia >(III) ¿4 = ¿ a —{— ts,(IV) = r5ia + r , i>,(V) r j i t + Viii — rti* -4* r»H,(VI) r, ii + r j j j -f f-oú = E,

de donde, siendo conocidas las 6 resistencias r y la diferencia de potencial E, se trata de deducir las 6 intensidades i.

Observemos primero que de estas 6 ecuaciones las 5 primeras son homogéneas; el sistema está, pues, dentro

1 Massau, 2. En este folleto (ntim. 17) está tratado el problema por un método especial, fundado en la consideración de las líneas de los niveles potenciales y de sus derivadas gr¿fioas. Nos ha parecido interesante hacer ver con qué sencillez el método general, cuyo principio ha dado el m isino M. Massau, perm ite resolver este problema, mediante el artificio que refiere el sistem a a la forma escalonada, aquí considerada.

78 ClLCÜLO GRÁFICO

del primer ejemplo anterior. Podemos, en consecuencia, prescindiendo de la última ecuación, tratar de satisfacer a las 5 primeras, imponiendo a las incógnitas i una condición suplementaria cualquiera, por ejemplo, la expresada por la ecuación

(VI bis) r t ti •+■ »"sis =

siendo X una cantidad a la cual haremos corresponder en el esquema un segmento arbitrariamente escogido. Hecho esto, añadiendo esta ecuación a las 5 primeras anteriores, escribiremos el sistema como sigue:

(VI bis) rv i, -j-r t i 2 =(II) t i — i t — t» = 0,(IV) rt ia — r , i t — rA i 4 = 0,(III) t j — i 4 i» — 0,( V bis) r t Í 4- \ - r t i i — /~,(I) i»— »'« = 0.

Las 5 primeras forman un sistema escalonado de 5 incógnitas, comprendido en el segundo caso particular anterior, y comenzando por una ecuación con dos incógnitas. Podremos, pues, resolverlo por medio de dos falsas posiciones que conducen, sobre el esquema do la última ecuación, a un solo centro. Los valores de e i 6 transportados gráficamente sobro et esquema do la 6.® darán-¿0.

Resta llevar los valores de i i f e ¿ 0 a la última del sistema inicial. Ahora, en el esquema de la primera ecuación del sistema escalonado, so tiene ya sobro la última Unen de correspondencia el segmento representativo do X igual (según la forma misma de esta ecuación) a r ± ¿i -|- r 2 i 2. Basta, pues, añadirle r 6 ¿e (cosa fácil, puesto que i 6 acaba do ser determinado) para obtener ei segmento representativo de E.

Sólo falta, según la observación hecha anteriormente,

ARITMÉTICA Y ALGEBRA GRAFICAS 79

escoger ol módulo y con el cual la medida de este segmento sea precisamente igual a E para deducir de 6! la base 5 y, por consiguiente, el polo P. Las paralelas a las direcciones últimamente obtenidas para i ir *2, . . . i 0, trazadas por este polo determinan sobre Oy (mod. p) los valores buscados para estas cantidades.

Las operaciones gráficas que hay que efectuar en ios esquemas de las 6 ecuaciones están indicadas en la figura 23. La cantidad auxiliar 7. está representada sobre los esquemas de las ecuaciones (VI bis) y (Y bis), por los segmentos Ow0 y 3 w '0.

Los dos sistemas de valores arbitrariamente escogidos para i i} i 2, i3, ji5, trazados sobre los esquemas (VI (II), (IV), (III), (V bis) (línea de puntos y línea de trazos) dan sobre el último de estos esquemas el centro del cual so deducen, retrocediendo, tas direcciones correspondientes a los valores buscados do estas cinco incógnitas. Transportando e í 5 sobro el esquema de (I) so tiene ¿0; en fin, i Ci, i 2, i 4 transportados sobre el esquema de (VI), a partir del punto terminal, dan ol punto inicial M0; el módulo y debe elegirse de manera que el número que mide 0Mo sea igual al valor dado de E. Para esto, habiendo llevado el módulo « en 0 « sobre el esquema de (VI) y el segmento representativo de E (mód. p) sobre O//, se traza a H 0<* por E una paralela que corta a Ox en P. La9 paralelas a las direcciones i k trazadas por P cortan a O// en puntos cujas ordenadas, medidas con el módulo (J, sou iguales a los valores i k buscados.

16. Empleo de Intervalos variables. Esquemas radiantes.— Partiendo de la consideración de los polinomios súmatenos definidos en el nüm. €, hemos obtenido en el núm. I I la representación de las formas lineales

<*0 -f- ® a 2» "I- ■ - .' H” &n Zn I

haciendo corresponder los coeficientes a0, a iy . . . oM a

Fig. 23.

los intervalos, coutados según Ox, entre las líneas de correspondencia, *y los valores de Jas variables a las ordenadas contadas sobro O y, o, lo que viene a ser lo mismo, a las direcciones de los lados del polígono sumatorio tendido sobre estas líneas de correspondencia.

Evidentemente, hubiéramos podido — aunque esto soa menos natural—proceder de contrario modo. En este segundo sistema de representación, a los coeficientes a0, ait . . . a„ corresponden direcciones fijas para los lados del polígono sumatorio, a las variables z2, . . . %„ intervalos variables entre las líneas de correspondencia. II. I 1. Boulad se ha dedicado a resolver, por medio de este sistema de representación, los diversos problemas que se refieren a los sistemas lineales. Nos proponemos indicar aquí algunas de sus ingeniosas soluciones. ,

Ocupémonos primero do la eliminación. Así como, precedentemente, el esquema de una ecuación lineal estaba constituido por los segmentos representativos de los coeficientes a0, ai} . . . a„ , llevados sobro un mismo eje, estará constituido nquí por las direcciones representativas de estos coeficientes, partiendo de un mismo punto P 1. A un tal esquema le llamaremos radiante.

Eutonces, el teorema correlativo del de Van den Berg (núm. J 2) será el siguiente: Si los raijos correspondientes de los esquemas radiantes da dos ecuaciones

(la Ui 2 1 -f- (l? -\~ . . . -j- a>¡ Zn = 0,

b o -f- 2j -f- b i Zv -f- . . . -f- bn Zn " 0,

ARITM ÉTICA T Xr.GEBRA O R IF IC A S S í

1 Para obtener estas direcciones, se toma el punto P a la distancia 6 de Oy, sobre el cual se lleva a partir de O loa segmentos representativos de <Jo, «i, . . . an (mod. £), y se une el punto P a los extremos de estos segmentos.

o

82 CÁLCULO GRÁFJCO

•partiendo, respecti vamente, de los puntos P y P ' se cortan dos a dos en los 'puntos 0 , 1 , 2 , . . . n, basta unirestos punios a un punto cualquiera P " de la reda PP ' para tener el esquema radiante de mui eciuición que .<te satisface al mismo tiempo que las precedentes.

La demostración de este teorema es inmediata. En efecto, siendo a i y bi los coeficientes angulares de las rectas que unen el punto i a los polos P y P ' (fig. 24), si se toma el punto P " de tal modo que

P " Pp, p „ = X, se tiene parael coeficiente angular c¿ de la recta ¿P "

( l 4 - X K j = a¡ 4 X l)4 ,

y esto basta para establecer la proposición.Ahora, para eliminar la incógnita xn , basta tomar el

punto P " sobre P P ' do manera que la recta n ¥ " sea paralela a Ox.

'De aquí, por eliminaciones sucesivas, un nuevo medio de reducir un sistema dado a la forma escalonada simple

a; + «; z, — o,rt’ + z -j- z — ü,O 1 I I ».1 2 9 7"Ü + rtí z , + al z ' + al z% = °-

Conocidos entonces los coeficientes de estas diversas ecuaciones por sus esquemas radiantes, se obtienen los valores de las incógnitas x i) x2, *s, . . . por la construcción siguiente:

a r it m é t ic a y Al g e b r a g r á f ic a s 83

Habiendo tomado sobre Ox (fig. 25) el segmento0 0 = a, se tiende sobre la línea de correspondencia del punto 0, a partir de O, el polígono de direcciones (as¿, a¡)? lo que da sobre Ox el punto terminal 1 , y 0 1 ==z1; sobre las líneas de correspondencia de 0 y de 1 se tiende, a partir de O, el polígono de direcciones (a\, a \ , a]), lo que da sobre Ox el punto terminal 2, y 1 2 = *a> y así sucesivamente.

i _ni3

0 Jl• — ■— V)

Fig. 25.

M. Tí. Boulad ha observado igualmente que este modo de representación implica tambión un teorema correlativo del de Massau (núro. 13), permitiendo referir la resolución de un sistema cualquiera de n ecuaciones a la resolución de dos sistemas de n — 1 ecuaciones.

Sea, en efecto, (fig. 26)un polígono cuyas direcciones sean los coeficientes a ? > • • • w"_i> a » d© la Ké8ima ecuación y cuyos intervalos x \ , x \ , . . . x'„ satisfacen a las otras n — 1 ecuaciones. Las coordenadas del vértice M'( de este polígono son:

Zt ¿a + • •• + ■*<»

Vi = ( ! • + « , + a., \ 4 - • • • 4 - « j z'i-

Luego, en virtud del lema algébrico del núm. 13, existe entre x¡ e y ( una relación lineal tal como

Xi x < + í*< Vi + v< = °;

dicho de otro modo: cuando se cambia el sistema z \ , . . . x 'n satisfaciendo siempre a las n — 1 ecuaciones p rim eras, el punto describe una recta a¡ . Se puede añad ir todavía que esta recta A{ conserva una dirección fija

si se hacen variar solamente lo8 térm inos constantes a'0¡ a \ , . . . a ? ~ l , puesto que los coeficientes X{ y (i< son^ independientes de ellos.

Dos sistemas de valores {x,\ x ' \ y (x " ,x ") que satisfacen a las n — 1 ecuaciones prim eras determ inan las recta9 a 2, . . . A»—i , a„. El punto de encuentro de esta últim a con O a: es el punto term inal m „ del polígono resolvente para la « é8im® ecuación. Tendiendo, a p a itir de esto punto sobre las rectas A„ —i , . . . a8, a un polígono cuyos lados sean de direcciones (aJ| y a j ¡ _ t , . . . a ” ), se obtienen los puntos M „ _ iM n_ a, ... M | U 0, cuyos intervalos sucesivos hacen conocer las raíces buscadas (mod. «).

C-— Ecuaciones de cualquier grado.

17. Esquema de los polinomios enteros de cualquier grado.— Habiendo afectado cada uno de los cuatro lados de un cuadrado de uu sentido positivo, marcado


por una flecha, y de un índice 0, 1, 2 y 3 (6g. 27), y conviniendo en llevar los segm entos do índice 4 p -j- 1 paralelam ente a la flecha de índice i, o en sentido contrario, según que sean positivos o negativos, construyamos el esquema del polinomio Fig. 87.

aoZ* 4- «i 2" “ 1 4- «»2" ~ 24 ••• 4 a„_ i z + an>

trazando sucesivamente los segmentos

Momo, ... »«„ — i >«„ ,

representativos, según esta convención, de los coeficientes a0, a t , ... a„ medidos con el mismo módulo. Esto equivale a tomar « = y y, por consiguiente, p = 8 , representando siempre este último segmento la distancia del polo P, al origen O. La figura M0 m 0 ... w » _ i m n así obtenida, llamada ortógono, constituye el esquema gráfico del polinomio de grado n dado.

Hecho esto, tracemos otro ortógono, partiendo igualmente del punto 3f0, y cuyos vórtices sucesivos 3I1,

M„ estén sobro los lados *n0m1r ..del precedente. Estojo expresaremos diciendo

simplemente que este segundo ortógono está tendido sobro el primero.

Si el lado MoM j es paralelo a la dirección x, es decir, a la recta que une el polo P al extremo del segmentó x llevado a partir de O sobre O y (mód. p), se tiene w 0M1 = a 0»; luego, adoptando ahora como sentido positivo el de la flecha 1 , se tiene también — a0x,y por consiguiente, Mi m i — a0x-\-ai .

Como la dirección x con relación al eje M0»í0 está dada por M0M1, se tendrá esta dirección * con relación al eje M1?»1, perpendicular al primero, trazando por M4 !a perpendicular M1 i l 2 a M0M1. Entonces se tiene

W i M j = a ¡)z = ’ao«’ + <tiZ,

siendo el sentido positivo el del eje M0m0 primitivo; adoptando ahora como sentido positivo el de la flecha 2, se tiene también M = a0x 2 UfX, y, por consiguiente,

Ms»ij = a<12a -j- aiZ -j- «*•

Continuando del mismo modo, se ve que

M» m» — a«zn 4- aiZn~ l + • • ■ +•<!„_i* + <*„.

Luego, la distancia (contada positivamente según la flecha de Indice i si w = 4p -f- «) del último vértice del ortógono tendido sobre el esquema, para cierta dirección z, al punto terminal de este esquema, hace conocer (módulo <x) el valor que toma el polinomio para el valor considerado de z.

Tal es el teorema que Birve de fundamento al método

de Lilii, que a continuación se expone, para la resolución de las ecuaciones de cualquier grado.

18. Resolución de ecuaciones de cualquier grado.Se tendrá una raíz de la ecuación,

« t í » + « i 2 * '“ 1 + ■ • • + « „ _ ! * + «ti = 0 ,

si para este valor de x, el polinomio del primer miembro toma el valor O, es decir, si el último vórtice M„ del ortógono tendido sobre el esquema de este polinomio, coincide con el punto terminal m n de este esquema, en cuyo caso se dice que el esquema está cerrado por el ortógono.

En general, no se podrá obtener este valor de z, más que por tanteos. Se dará arbitrariamente un valor a próximo a la raíz x 0 buscada {que en la práctica se conoce casi siempre aproximadamente); esto conduce a trazar arbitrariamente el primer lado M0M, del ortógono trazado sobre el esquema. Se comprobará en qué punto

termina el ortógono obtenido, a partir de este primer lado, por un giro de noventa grados sobre los sucesivos del esquema, y se modificará progresivamente la dirección del primer lado MqHj hasta que el punto M„ venga a coincidir con el punto terminal ?nn del esquema.

Estos tanteos se facilitan mucho por un artificio indicado por Lili 2 cuando publicó su método, y que consiste

a r it m é t ic a y A i.g b b h a o r í k io a 8 87

1 Lili. V éase también: Arnoux et Deny; de este último es de quien hemos tomado el térm ino de ortógono.

s Lili, pág. 361. Sobre otro aparato destinado a facilitar los tanteos, véase también Arnoux.

88 oXlc ü lo o r íf ic o

en hacer uso de un transparente provisto de una cuadrícula de malla tupida (al milímetro, por ejemplo) que se aplica sobre el esquema de la ecuación, y sobre el cual es muy fácil seguir a simple vista los lados sucesivos de un ortógono que tonga sus vórtices sobre el esquema sin tener que truzar efectivamente e¡»te ortógono.

Se puede también obtener muy aproximadamente la solución buscada por una construcción gráfica auxiliar, cuando se ha logrado trazar sobre el esquema dos ortó- gonos terminando en puntos H„ y 3 1 situados a distinto lado del punto terminal m„ . Después de trazar, por el polo P, a los primeros lados de estos ortógonos, paralelas que cortan a O y en (i y n', se trazan por estos puntos perpendiculares a este eje, sobre las cuales se llevan, respectivamente a un lado y otro del eje, los segmentos iiv = Mn m„ y (iV = 1T„ m„ . Si la recta w’ corta a O y en (i0, Ojio es muy sensiblemente igual a la raíz buscada, como se puede además verificar trazando sobre el esquema el ortógono, cuyo primer lado es paralelo a Pn„. Esto es, como se ve, una nueva aplicación del principio de donde procede el método de aproximación por partes proporcionales para la resolución de las ecuaciones numéricas.

Además, cuando la ecuación so reduce al 2." grado, se obtiene la solución sin tanteos. Sea, en efecto, M0w0to1i« 2 (fig. 28) el esquema de la ecuación

a» 2* + «i z + «» — O,

y MqMuMjj el ortógono que corresponde a una de la9 raíces, coincidiendo M¡¡ con Siendo recto el ángulo

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA GRÁFI0A8 89

M,

en M1; este punto estará sobre el círculo que tiene M0rn2 por diámetro, de donde se deduce la construcción siguiente: se describe sobre i l 0m4 como diámetro ■un círculo que corta a m0m2 e7i Mt y M'*; si las paralelas a M0 M4 y MqM'í trazadas por el polo P cortan a Oy en (i, y p',, las raíces vendrán dadas en magnitud y signo por 0 [ii y Oii\(mód. fi = PO).

Es muy fácil, por otra parte, justificar esta construcción de un modo completamente elemental. Basta, en efecto, establecer que las raíces son iguales a

0 II M„

K\

h, . / y y\\ ¡ Xi

h; / \M ,¡L---" 'ii»2 ‘ •

Fi*. 28.

m;

Míq M 1 M ■] ’•wq

dicho de otro modo, que

■»o M'i M o »> o

«¿o M i -|- í« o3J 'i = — « i ,

y m0 W j . tu» M ’i = a»«»,

igualdades evidentes en la figura 28, si se observa que el círculo de diámetro H 0mz2 Pasa Pur el pi° H de la perpendicular bajada a M0ra0 desde ?«a.

Observemos, de paso, que el mótodo precedente da el medio de extraer gráficamente las raíces ?i<ía!m8‘ , operación que conduce a resolver la ecuación

z n - a = ú.

90 CÁLCULO GUXFICO

Bu particular, ea el caso del segundo grado, se encuentra así !a construcción clásica basada sobre la propiedad fundamental de la altura del triángulo rectángulo.

En el caso general, se puede gráficamente (como se liaría algébricamente) rebajar en una unidad el grado de la ecuación, en cuanto ba sido determinada una raíz x0. Se sabe, en efecto, que se tiene:

ao zn - f a, z n~ l - f . . . + ai¡_ l z + an— (* — *«) ( a, zn~ l + a, zn~ l +• . . . « ',_ ,)

siendo

aií = «o /di — flo ¿o tfi

a, = zl + a3 0 0 1 I 0 1 1

fl« - l = «„ ^ r l + a, z’l ~2 + ... +

Ahora, según lo que se ha visto en el número precedente, estas diversas cantidades están respectivamente dadas, sobre el gráfico, por M0m0, M1w 1, M2w 2, - . .

Basta, pues, construir, a partir del pauto M0, el ortógono cuyos lados sucesivos son equipolentes a estos segmentos sucesivos, tomados con su signo, para obtener el esquema del polinomio a \x n~ 2 -{-. . . -(- ® l_ i, <lue se tratará a su vez de la misma manera i . Se continuará así hasta que se llegue a un poli

1 Cremona, 1, pág.47.—Aquí, la observación se completa con esta otra (pág. 74): que si z0 y Z\ son dos raíces de f(z) ~ 0, de suerte que los ortógonos de z<> y de z, cierren el esquema de f(z), los lados correspondientes de estos dos

a r itm étic a v Alg eb r a g r á f ic a s 91

nomio de 2 .° grado, cuyas raíces se obtendrán como acaba de decirse (fig. 28). Nuuca habrá, pues, que hacer más que n — 2 ensayos para obtener todas las raíces de una ecuación de grado n, suponiendo, además, todas las raíces reales. En particular, bastará un solo ensayo para una ecuación de 3.er grado. La figura 29 muestra, como ejemplo, la aplicación del método a la ecuación

2* — 2* — 1,59 2 + 1,26 = 0,

de 3a cual solamente la raíz — 0,7 se ha obtenido por tanteo sobre el esquema M0w 0 por medio del ortógono MoMíMaMs- Las otras dos, determinadas en seguida como raíces de la ecuación de 2 .° grado, cuyo esquema es (obtenido llevando w,m, —M,wí,y m \in \ — M,m t\ son %\ — 1,5 y x"— —1,2. Además, aquí hemos tomado el polo P coincidiendo con el punto inicial M0, lo que evita el trazar las paralelas a las rectas

M M , M M \ M m ".0 17 0 17 0 i

Por otra parte, cuando en una aplicación práctica hay que resolver una ecuación de grade superior, es raro que haya necesidad de determinar más de una raíz, además

ortógonos se cortan en puntos que forma otro ortógono que (prescindiendo de una rotaoión de los ejes y un cambio de módulo) puede ser considerado como el esquema de

f fí) z ) • En la práctica, es preferible el procedimiento de reduooión arriba indicado.

92 CÍLCULO onírico

aproximadamente conocida de antemano, lo que impide que pueda confundirse con otra. Y todavía, cuando el grado de la ecuación es impar, esta raíz es con frecuencia la única real que poseo la ecuación.

y ............

/ " M, Ti., ' V '1'»

/ M,

i / . •••

..U*

0 y

\ / /

< - .........." " " "

vi«, üa

19. Transformación por la abscisa.—El sistema de representación do los polinomios que acaba de indicarse puede sustituir a ia escritura algébrica. El esquema gráfico define completamente el polinomio; pero se necesita una nueva construcción, sobre este esquema, para cada

valor atribuido a la variable si se quiere tener el valor correspondiente del polinomio, sin poder abrazar de una ojeada las variaciones simultáneas de estos dos elementos. Si tuviéramos necesidad de esto, babrfa que recurrir a la curva representativa obtenida cuando se consideran los valores del polinomio como ordenadas correspondientes a los valores de la variable tomados como abscisas. Vamos a ocuparnos ahora de la construcción de tal curva por trazados lineales. La haremos derivar de un modo de transformación propuesto, en 1761, para este objeto, por J.-A. ven Segner 4:

Sea (M) una curva cuya ecuación, referida a los ejes Ox y O y, es

y = F (re),

estando además, si se quiere, la abscisa x y la ordenada y medidas con módulos diferentes « y ¡5. Llamaremos transformada directa por la abscisa de la propuesta, la curva (M4) cuya ecuación sea

y , = jo F (x).

A su vez, la curva (M), se llamará la transformada inversa por la abscisa de la curva (M-j).

La construcción que permite pasar del punto M al punto (fig. 30), e inversamente, resulta iumediata-


1 Segner. L a m ism a construcción ha sido tam bién inven tad a por B ellav itis (Favaro, pág. 204). Sa encon trará más adelan te (núm. 75) el p rincip io de una construcción comp letam ente d iferen te .

9.4 CÁLCULO GRÁFICO

mente de la construcción fundamental del núm. 8, que se puede además aplicar haciendo coincidir el polo con

Si sobre este eje tJY se toma el punto m ' de igual ordenada que M, trazando la paralela Mm ' a Ox, basta trazar Om ' para obtener sobre la línea de correspondencia del punto 1L el punto Esta construcción resulta además inmediatamente de la semejanza de ios triángulos OíwMí y O U » /, que da, en efecto,

oFiff. 80.

el origen O, lo que equivale a llevar la base 5 en 0 0 sobre la parte positiva de Oa:. El origen O se llama entonces el polo, y la línea de correspondencia UV el eje de la transformación.

m M i U m 'O m ~ 0 0

o __ yX 1

Es fácil, además, conocer la relación que existe entre las tangentes en M y M* a las curvas (M) y (M^). Las ecuaciones de estas tangentes, son, en efecto:


o, teniendo en cuenta la igualdad de definición,

(2) Y — ¿cy = + x - ~ j (X — x).

Eliminando entre las ecuaciones (1) y (2) (multi- eando la primera por — x y sumando), se obtiene

Y (1 — x) = y (X — x),

que es la ecuación de la recta m m '.Esta recta mm' pasa, pues, por el punto de encuentro

ile las tangentes en M y en 1 1 1 a las curvas (1 1 ) y (Mi). Este teorema permite, cuando se conoce una de las dos tangentes, construir inmediatamente la otra. Para la aplicación de e9te teorema, hay necesidad, sin embargo, de considerar aparte los casos siguientes:

1.° Si el punto M está sobre O y, en cuyo caso el punto se confunde con O, la tangente en Mt se confunde con Om ‘(fig. 31). Inversamente, si se da el punto M* en O, el punto M es indeterminado, a no ser que se conozca la tangente en a la curva que describe este punto. En efecto, en y¡8. 8i.este caso, según lo que acabamos de ver, si la tangente en O a esta curva corta al eje U"V en m ‘, el punto II es el punto de O y de igual ordenada que m !.

2 .° Si el punto M se encuentra sobre U V (6g. 32), los puntos H, Mj y m ' están confundidos, y no puede

96 CÍLCÜLO GRÁFICO

aplicarse Ja propiedad anterior de las tangentes en M y en M4; pero se puede notar que en este caso, la tangente M1 T1 y la paralela a MT trazada por U se corlan sobre el eje 0 y. En efecto, según su ecuación (2 ), la tangente M * ^ tiene por ordenada on el origen:Flg. 82.

<lydx

(biendo aquí x igual a 1 ), y lo mismo la paralela MT trazada por U, que tiene aquí por ecuación,

dydx

3.° Si ol punto M se encuentra sobre Ox, (fig. 33), los puntos M, Mi y m están confundidos, y la propiedad fundamental de las tangentes tampoco es aplicable; pero, en este caso, la tangente MT y la paralela a M1 T 1 traxada por U se cortan sobre O y. En efecto, según su ecuación (1 ), la tangente MT tiene por or-

d¡)F¡ff. »3.

denada en el origen x -£ 2 (siendo aquí y igual a 0), 3

lo mismo la paralela a MdTt trazada por U, que tienen aquí por ecuación,

dy

■ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA GRÁFICAS 97

Observación I .—Hemos supuesto la ordenada, y contada a partir de O x; hubiéramos podido también suponerla contada a partir de una curva do referencia (/«) cualquiera (fig. 34). Para efectuar la construcción por la cual se enlazan los puntos M y M’,, basta tomar un eje O 'x ' instantáneo cualquiera (por ejemplo, paralelo a O#). Tomándolo dirigido según la tangente en m a la curva (m) de referencia, se tiene la ventaja do poder, cuando se pasa a la posición infinitamente próxima, considerar el pinito m como moviéndose a lo largo do este eje, y, por consiguiente, que con el eje O 'x ' así escogido, la propiedad arriba demostrada para las tangentes subsiste.

Observación I I .— Si se suponen iguales los módulos a y p, es fácil encontrar la relación entre los radios do curvatura R y R4 de las curvas (M) y (M t) . La igualdad de definición derivada dos veces da, en efecto,

fl*t/i _ <> jjjL _l d *V i x -1 ~ <lx 1 x d x * '

o, llamando 8 y 9 t los ángulos de las tangentes MT y M,T con O#,

Ricos30i ■ tg 0 4- ¡{eosio 1

20. Curva representativa de un polinomio.—Interpolación parabólica gráfica.—-Ahora estamos ya en condiciones de construir la ordenada, correspondiente a un

Flg. 34.

valor cualquiera de x, de la curva representativa del polinomio

<xaz" + « r z" •• 2 + rc„.Para esto no tendremos que hacer sino una aplicación

repetida de la transformación por la abscisa a partir delina recta paralela a Ox; pero si se quiere que las ordenadas de las transformadas sucesivas puedan ser medidas con el mismo módulo 1, se necesita, a partir de la primera transformación, tomar y~ P y, por consiguiente, 5=ot.

Habiendo, pues, elegido un primer eje O ^ ., do abscisas (fig. 35) y trazado por el punto Mt a la unidad de

distancia (0 1U 1 = «mm) la pa- •” > ratela TJ V a O y, tomemos una

abscisa cualquiera O = x. A esta abscisa corresponde, sobre la recta Or)ce,i de ordenada a („ un punto M0 cuyatransformada 31 por la abscisa tiene por ordenada a„ %. Hagamos descender el origen, una cantidad O^O.» — «.j 2. Con relación al eje 0 2¿r2

pi». 85. punto II j tiene por ordenada________ Oo2 -|-aj,

1 Esto no es absolutam ente necesario; se puede tomar para Y valo r Y i d iferen te de $5. Pero, en este caso, a la segunda transform ación, debiendo tom arse y , para módulo fl, las ordenadas de la nueva transform ada deberán m edirse con Vs ta l que «Yi — Ys5j de igual modo, las de la te rcera con Y i ta l que ct y a = Y s 5 , y a s í sucesivam ente.

8 Si a i fuese negativo, el descenso negativo equivaldría a una elevación.

ARITMÉTICA Y Á LG E B R A GRÁFICAS 9S)

y su transformada por la abscisa

«i z.

Bajemos de nuevo 0 2 la cantidad 0 20<| = n2, y así sucesivamente. Finalmente, et punto 3f„ reforido al ejeO ,( + i a.„+i tendrá por ordenada

íi(ií” + íi]?’l_ 1 -|- ■. ■ + „ _ i a o„ .

Repitiendo la misma construcción para un cierto número de valores x, atribuidos a la abscisa, se obtiene !a curva representativa de este polinomio referido a los ejes 0 „4-1 x„ -f- 1 y O„ + 1 y; esta curva es una parábola general de orden n. En todo lo que sigue, designaremos tal parábola con la notación n M .

Observemos, como aplicación del primero de los tres casos particulares examinados en el núrn. 1 0 , que, de una manera general, la parábola n„ pasa por el punto 0„ , en que su tangente es On TJ„_ L.

Puesto que la ecuación de una parábola n„ contiene n -(- 1 parámetros, se necesitan n -)- .1 condiciones geométricas simples para determinarla; por ejemplo, es necesario conocer p puntos y las tangentes en q de estos puntos, si

}> + 1 = » + 1 •

El problema que consiste, dados estos p puntos y estas q tangentes, en construir el punto (con su tangente) correspondiente a una abscisa cualquiera, es el de la interpolación parabólica gráfica.

100 CALCOLO q r Af ic o

La Solución descansa en el principio siguiente: de los elementos dados, por medio de n — 1 transfor

maciones inversas por la abscisa, se deducen dos puntoso un panto y una dirección, que determinan una recta que, por las n — 1 transformaciones directas exactamente contrarias a las precedentes, da la parábola general de orden n buscada.

Para efectuar las n — 1 transformaciones inversas, se toma cada voz por origen uno de los puntos dados por la transformación precedente, lo que conduce a anular en el polinomio correspondiente el término constante; de esta manera, dividiendo por z, so obtiene un po'inomio entero en x de grado inferior en una unidad. Esto es lo que permite obtener las reducciones sucesivas de que acabamos de hablar.

Cada uuo de los puntos, excepto el tomado por origen, dará un punto correspondiente de la transformada inversa, y toda tangente en uno de estos puntos una tangente correspondiente; este enunciado puede además reducirse a su primera parte si se considera un punto y la tangente en 61 como el conjunto de dos puntos infinitamente próximos.

El punto tomado por origen no da ningún punto correspondiente de la transformada: sin embargo, si se tiene, entre los datos, la tangente en este punto es como si se conociese otro punto (infinitamente próximo a éste), y este otro punto debe dar uno de la transformada. So está entonces, en efecto, en el primer caso particular del mim. 19, y la construcción indicada en este sitio permite deducir de la tangente en el origen de la curva dada, el punto de la transformada inversa situado sobre el eje O y.

21. Aplicación a la representación de resultados de observaciones físicas.—Cuando se ha determinado por observaciones físicas, la manera de variar una magnitud y respecto de otra magnitud x, se empieza, para encontrar la ley de esta variación, por marcar sobre un plano los puutos cuyas coordenadas (medidas si es necesario con módulos diferentes # y p) están dadas por los pares de valores de x e y, y se trata de determinar la ecuación de la línea media sobre la cual vienen a situarse estos puntos, tratando primero de referirla aproximadamente a la forma de un polinomio algébrico y entero: dicho de otro modo, se procura hacer pasar por los puntos encontrados una n „ cuyo orden sea notablemente inferior al número l í de estos puntos. Si estos puntos están sensiblemente dispuestos sobre una n „ — 1 aplicaciones de la transformación inversa por la abscisa 1 con una base 8 cualquiera (pudiendo además variar de una transformación a otra) siempre que se tome de cada vez por origen uno de los últimos puntos obtenidos, darán

X — n -f- 1

puntos sensiblemente en línea rec ta . Trabando esta recta media A, se podrá, recoriendo en sentido contrario la cadena de las transformaciones precedentemente efectuadas, determinar tantos nuevos puntos como se quieran de la n „ con la cual se realiza la interpolación gráfica.


1 E s ta s constru cc io n es se rán m ucho m ás fáciles si se opera so b re u n a hoja de p apel cu ad ricu lad o a l m ilím etro .

102 CÁLCULO GKÁF1CO

Poro, en la práctica, lo que se busca en general, son los valores numéricos de los coeficientes de la ecuación

;/=>«„ + r t , . í ’* ~ 1+ x 4 an ,

de esta ir„ referida a los ejes primitivos que llamaremos 0 „ + i x„ + l y 0„ + l / / . Para obtenerlos, es necesario poder efectuar, en sentido contrario, la construcción indicada en la figura 35 pasando del eje 0 „ + 1 a;n + 1 a On x n , después a O „ _ i* „ _ t ( y as* sucesivamente hasta 0 0 ^o- Los segmentos O0 O 4, . . . On O„ + i, tomados positivamente de arriba hacia abajo, harán conocer los coeficientes a0, . . . « „s i se les mide con elmódulo p *.

Pasando de la recta A precedentemente obtenida a la parábola n M> se podrá determinar, como se ha dicho más arriba, no solamente el punto 0 „ en que esta parábola n„ encuentra al eje On _|_i y, sino también la tangente en esto punto que, según la construcción indicada en el número precedente, es indispensable para determinar 0 „ _ i por la transformación cuyo polo está en (>„ . Sin embargo, esta transformación no dará a conocer la tangente en On_ t a la parábola II „ _ i que determina, y que, a su vez, será necesaria para la construcción subsiguiente del punto On_ 2. Será preciso, para obtenerla, procediendo con un número suficiente de puntos de Jln-xcom o se ha

1 Esto supone que se ha tomado, como más arriba, a = lo que im plica Si no fuese así, los m ódulos serían d iferentes para los d iversos segm entos O 0O ,, OiO», . . . , O n —l O n , conform e se ha explicado en la no ta 1.a do la pág ina 98.

ARITMÉTICA Y ¿LGEBRA ORIFICAS 103

hecho con los d e n „ , llegar, por repetición sucesiva del procedimiento, a una recta A' que, por la marcha inversa de las transformaciones efectuadas, permitirá obtener la tangente en 0„ _ i a Renovándose esta necesidaden el paso de cada punto 0 K_ ¿ al siguiente, se ve que, en el caso general, no dejará de ser la construcción bastante larga. Pero, basta frecuentemente, una interpola-

Fig. 86.

ción de segundo grado, a veces de tercero. Y en estos dos casos, en el primero sobre todo, la construcción toma una forma verdaderamente sencilla.

Sea, por ejemplo, determinar los coeficientes a0, a it «2, de la n 2 que pasa por los puntos Á 2, B 2, C2 referidos a 0 3a;s y O3y (fig. 36). Para obtener la recta designada anteriormente por A, basta, tomando A 2 por polo y

lO i CÁLCULO GRÁFICO

la Jínea de correspondencia de C2 como eje de la transformación, construir la transformada inversa B \ de B2 (estando C'^ confundido con C2). La recta A es, entonces,

que corta a O3 y en 0 \ . La transformada directa O'j (con el mismo polo Az y el mismo eje C2Cj) es 0 2 i, y la tangeuto en este punto Ü2 T2. Encontrando esta tangente en al eje CJ3V (cnja abscisa es igual al módulo a), la proyección do U.J sobro 0 :ii/ haco conocer ()i . Para obtener la recta transformada de la II2, basta tomar la transformada inversa A d de A 2 para el polo y el ejo II, V. Esta recta corta a Ü4V en U0 que so proyecta en O0 sobro O\y . Entonces los coeficientes buscados vienen dados por los segmentos OdO*, 0 ()2, 0 20 -i (tomando el sentido positivo de arriba hacia abajo). En la figura 36, construida con los módulos a = 2ora, p = l ctn 2, se tiene a f)= 1,5, «! = — 4, a¡¡ = 5. Con relación a los ejes (>3*3 y O-Ayz escogidos, los puntos A2, B2, C2, pertenecen, pues, a la n 2 representativa de

1 , óx's — 4x-\-ñ .

En el caso de una interpolación de tercer orden, basta además, determinar (como se ha indicado más arriba) la tangente en el punto de partida O3.

’ R epitiendo la m isma construcción a p a r tir de varios puntos obtenidos em píricam ente, tom ados sucesivam ente por polos A ,, se obtienen o tras tantas determ inaciones del mismo punto 0 2; lo que, en ta l caso, ofrece el medio de au m entar la precisión efectuando la compensación de estas diversas determ inaciones.

* X.a figura original lia sido reducida al cuarto para la im presión.

a r it m é t ic a y Al g e b r a g r Af io a s 105

22. Imagen logarítmica de un polinomio. - En todo lo que precede—y ese es el carácter esencial del cálculo gráfico ordinario—los números han sido representados, mediante las escalas métricas, por segmentos de recta cuyas longitudes les son proporcionales. So puedo imaginar otro sistema de cálculo gráfico en el cual todo número estó ropresontado por un segmento proporcional a una función dada de este número, definida gráficamente por medio de una escala apropiada. Resultará ordinariamente de esto una complicación inútil; en algunos casos, sin embargo, con una elección conveniente de la escala funcional utilizada, puedon obtenerse ciertas ventajas especiales. Así es como, por ejemplo, 3£. Mehmke ha llegado u considerar un sistema de cálculo gráfico fundado en el empleo de una escala logarítmica

Esta escala está definida del siguiente modo: a partir de un mismo origen se llevan sobre un oje segmentos proporcionales a log n, para diferentes valores de n, inscribiendo cada vez el valor de n al lado de la extremidad del sogmento correspondiente. El origen lleva necesariamente la cota 1 , puesto que log. 1 — 0, y el módulo de la escala es igual a la distancia entre este punto do cota 1 y el punto de cota 10 2. Para tener el segmento representativo del número n basta, pues, tomar sobre esta escala, el segmento comprendido entre los puntos de cotas 1 y n, y recíprocamente.

Sabido esto, si se considera como abscisa el segmento representativo de x¡ como ordenada el de f(x), tomados uno y otro en esta escala logarítmica, se obtiene la imagen logarítmica de esta función. En particular, la ima

1 MehmJce. V erem os más lijo s (núm. 75) que todavía sepuede hacer in te rv en ir con u tilidad o tras escalas funcionales en el cálculo gráfico propiam ente dicho.

4 So tra ta aquí de logaritm os vulgares. P a ra más d e ta lles sobre las escalas logan'tm ioas, véase núm . 49.

106 CÁLCULO g r á f ic o

gen de un monomio tal como a x n soríi una recta cuyo coeficiente angular será igual a n, y la ordenada en el origen a lo^ a . Construir esta imagen conduce, en efecto, a poner

x — los y = log agn ,

y se tiene y = nx-\- log«.

En este modo do representación, la operación más sencilla do efectuar gráficamente es la multiplicación (o la división), puesto que basta adicionar los segmentos representativos de los factores p-.fra obtener el del producto. Por el contrario, aquí la adición (o la sustracción), resulta una operación transcendente. Para efectuarla,II. Mehmlre ha propuesto el procedimiento siguiente que puedo ser considerado como una interpretación gráfica do) principio do los logaritmos de adición, propuesto primero por Leonelli *, encontrado más tarde por G-auss 2,

Como se puede escribir:

log (a + b) = log b + log ( 1 + ~ ) ,

se ve qu6, si se pone:

log — = log b — log a = log í ,

se tiene: log («-(-&) = log b + log 1 -+■ •

Construyamos, pues, una curva tal (fíg. 87) que si con

1 Suplem ento logarítm ico; B urdeos, año X I (1802).5 Zach’s monntlichc Korrespondenz, t . X X V I, pág . 498

( 1812).

ARITMÉTICA Y ALGEBRA GRAFICAS 107

el módulo de la escala logarítmica de que nos servimos, la abscisa de un punto es .c = log t, su ordenarla sea:

?/=\og ( J + .

A esta curva la llamaremos Fig. ;¡t.logarítmica de adición.

Si, en la escala logarítmica, tomamos el segmento que separa los puntos a y 6, este segmento, igual en virtud de la construcción de la escala, a log b — log a, lo será a log t. Si luego este segmento se lleva como abscisa sobre la fig, 37, la ordenada correspondiente será igual a

log ( l H- y ) ’ y bastará añadirla al segmento representativo de log b para tenor el de log (a - j- b).

Luego, para tener la imagen de la suma de dos funciones, 7jjí y Z2, conociendo las do cada una de estas funciones, bastará para todo valor de la abscisa, efectuar sobre las ordenadas la operación precedente, que puede enunciarse así: tomando como abscisa de la curva de la figura 37, la diferencia de las ordenadas de las imágenes (Zf) y (Z2), y midiendo la ordenada correspondiente, basta añadirla a la mayor de las dos ordenadas precedentes para obtener la ordenada del punto correspondiente de la imagen (Z4—|—Z2).

Sea, por ejemplo, construir la imagen logarítmica de n tx ^ - \ - a *;*. Las de los dos monomios a tx? y a t x5* son rectas de construcción inmediata, como se ha visto más arriba; aplicándoles la construcción que acabamos de indicar, se deducirá la imagen curva de

(i z ■+■ z • t \ 1 a uSe puede, por repetición de la misma operación, cons


truir de igual modo la imagen de un polinomio entero ono, de un número cualquiera de términos. En particular, la figura 38 muestra la imagen logarítmica del polinomio

1 _ — 10,1 ir ' + 2 V a' + l,5 .r

deducida de las tres rectas imágenes de sus tres términos.

Para sustituir al empleo de la curva logarítmica de adi-

Fis- ,s8- ción, M. Brauor ha imaginadoun compás especial de tres

ramas (fig. 39) construido de tal manera que si la separación de las puntas I y II es igual a log t, la de las puntas Tí y III es igual alog 1 -|— . Bicho deotro modo, si las puntas I y II están colocadas en los extremos de las ordenadas (para igual abscisa) de las imágenes componentes, la punta III cae sobre el punto correspond ien te de la imagen resultante.

Fig. !)&.

ISTKGRAOIÓ.S GKÁFrOA

CAPITULO II

A .— Prop iedades fundamentales de las curvas integrales.

23. Definición de las curvas integrales.—Para representar geomót rica mente ía función

V = /'<*),

en el sistema cartesiano, haciendo uso de dos ejes Ox y 0 y {núm. 1 ) (que nosotros dibujaremos, en general, perpendiculares, pero que pueden suponerse formando un ángulo cualquiera), se puede, a menos de necesidades particulares, adoptar para las abscisas, contadas según Ox, y para las ordenadas, contadas según O y, módulos diferentes que representaremos respectivamente, como basta ahora, por a y .

En estas condiciones, la integral de la función f(x) entre x Q y es el número que expresa el área comprendida entre la curva representativa de esta función, el eje Ox y las ordenadas que corresponden a las abscisas x 0 y


:c\, cuando se toma por unidad de superficie el paralelogramo de dimensiones « y p, superficie que designaremos por [x ¡sj t . Esta condición quedará sobrentendida en todo lo que sigue.

Entonces, la curva C, representativa de esta integra), o curva integral de la curva representativa C de la función f(x), será una curva tal que la diferencia de sus ordenadas (medidas con un cierto módulo y) correspondientes a dos abscisas cualesquiera, sea igual en número al área (medida con el módulo |a(3]) limitada entre las mismas abscisas por la curva C y el eje O*.

Para simplificar el lenguaje en lo que sigue, diromos que la curva C t es una integral de la curva C.

Añadamos que supondremos siempre—lo que ocurrirá en todas las aplicaciones quo vamos a considerar—la función f(x) finita y uniforme (pero no necesariamente continua) en el intervalo en que se hace la integración.

La ecuación de la integral C if cuando se pone en evidencia la constante arbitraria c, puede escribirse:

Geométricamente, la introducción de la constante arbitraría equivale a decir que se puede hacer pasar la integral Ci por un punto At arbitrariamente escogido (figura 40). Si, por este punto, se traza una paralóla al eje Oí/’, se ve, según la definición misma de la integral, que

’ E ste paralelógramo, cuyos lados son paralelos a Ox y O y, se convierte en un rectángulo en el caso de ejes rectangulares, y en este caso, su superficie es efectivamente igual a » p ™ 1.

INTEGRACIÓN GRAFICA 111

la diferencia de ordenadas H 'B 1 (medida con el m ódulo y ) y el área a A B ¿ (medida con el módulo [«pj) so expresan por el mismo número. P a ra mayor sencillez, diromos que la ordenada relativa H B 4 es igual al área « A B í. Esta expresión, incorrecta en sí misma, pero cayo sentido queda bien precisado en lo que precede, se impone por una evi dente necesidad de simplificación de lenguaje.

Si, del mismo modo, construimos la integral C, de otra curva C , a partir del mismo punto inicial A 1, vemos que la diferencia de ordenadas B.¡ es, según la misma convención de lenguaje, igual al área A A 'B 'B com prendida entre las curvas C y C '.

Las curvas C y C ' pueden estar constituidas por los dos arcos de un contorno sim plemente enlazado, limitados en los puntos A y B en que este contorno toca a sus ta n gentes paralelas a O y (fig. 41). E l segmento B 1B '1 es entonces igual al área encerrada en el contorno.

Observación J. — Si C se confunde con O .r, es una recta paralela a Ox.

Si C es una recia paralela a O .r, C t es una recta de dirección determinada.

Si C os u n a re c ta c u a lq u ie ra , C* es u n a p a rá b o la de seg u n d o g rado .

E n efecto:

P a ra // = (>, so t ie n e :# , =-* ,:■ y — (lo, • i/i «= «o X -j- r tj,» //=«(>./' + a i , » yt = ' ~ ^ ---}- a , * -+- « s ;

siendo a 0, a { , a 2, co n s ta n te s a rb itra r ia s re sp ec tiv am en te p a ra e l 1 .°, el 2.° y el te rc e r caso.

E n g en e ra l, la in te g ra l de u n a p a ráb o la II „ es u n a parábo la H „ + 1, d e te rm in a d a a p a rto de u n a tras lac ió n p a ra le la a Oír/.

Observación I I .— Si dos cu rv as C y C t , p a rtie n d o del m ism o p u n to A, tien en en este p u n to u n co n tac to de o r den n , su s in te g ra le s C, y C \, tra z a d a s a p a r t i r del m ismo p u n to A 1, tien en en este p u n to u n con tac to de o rden n - 1-1. Si, en efecto , x 0 es la ab sc isa del p u n to A , la d ife ren c ia de las o rd en ad as y ' e y de C ' y C , p ró x im as a l p u n to A , e s tá d ad a p o r

v ' — y — f- (X — ;>•«>“ 1 -f-. . .

de d onde , p u esto q u e la c o n s ta n te de in te g ra c ió n es la m ism a en los dos casos,

' / •.»< i - i

E n p a r tic u la r , la in te g ra l de la ta n g e n te en u n p u n to de C es la p a ráb o la I I 2 o scu la triz de C., en el p u n to corre sp o n d ien te , etc.

24. Integrales de diversos órdenes.— Si C 4 es unain te g ra l de la c u rv a C, se puede, de ig u a l m odo, consi-

112 CÁLCULO G RÁ FICO

i n t e g r a c i ó n g r à f i c a 113

dorar u n a in tegral C 2 de C , constru ida a p a r tir do un punto cualqu iera A 2, después una in tegral C 3 de C 2, y asi sucesivam ente. E stas in tegrales sucesivas C 2, C 3, ... se llam arán in tegrales de 2, 3, ... orden do la cu rva C. N ada im pide, adem ás, suponer las o rdenadas de estas d iversas in teg ra les m edidas con m ódulos d iferentes

V eam os cual es la significación geom étrica de la in teg ral C „ re la tiva a la curva dada C. P a ra esto, establezcam os un lema:

Dado un arco A B de cu rva (cuyo origen A podemos tom ar siem pre sobre el eje O y), llam arem os momento de orden n del á rea lim itada por esto arco, con relación a BZ>, y rep resen tarem os por i*„ la in tegral

Y i , Y*> • • • Y „ ,

= J V (a; — i ) ” <l 6 ,

donde £ es la abscisa del punto móvil en tre A y B , y que, cuando los ejes son rec tangu-lares, se confunde con la e x - apresión del m om ento de ordenn, tal como se defino habitual- Am ente, del área ÜAB¿> con relación al eje B¿> (fig. 42).

Dicho esto, observem os que se tiene:

K¡k. 42

y n ( x — i y l 1 í?g==»iji »1—1«

.114 CALCULO GRXFICO

y, por consiguiente,

siendo c una constante de integración.Como se confunde numéricamente con el área

0 A B 6, es decir, a excepción de una constante de integración, con la ordenada del punto de la primera integral A , B t que corresponde al punto B, se deduce, que 1

y,. + l = ^ + r . i

representando P „ un polinomio arbitrario, de grado n en x. Así, pues, prescindiendo de este polinomio arbitrario, las ordenadas de la integral representan losnocientes por n! de los momentos de orden n del área limitada por la curra dada hasta la línea de referencia correspondiente.

Si C„ + i y C'„ + i son las integrales de orden n -j-.l de C y C , obtenidas haciendo uso a cada iutegración del mismo punto inicial, el polinomio P„ será el mismo para y n y para y'n, y se tendrá:

Ahora, — p‘n representa el momento de orden n, tomado con relación a la línea de correspondencia termi

1 Recordemos que 1h notación n i representa la factorial1 .2 .3 . . . n.


nal, del área comprendida, a partir de la línea de correspondencia del punto A, entre las curvas C 7 C'. Se puede, pues, decir que el segmento determinado sobre una linea de correspondencia cualquiera por las integrales C„+i y C'n + i partiendo del mismo punto A ,1 + 1 es igual (mód. y « + 1) al cociente por 11! del momento de orden n, tomado con i-elación a esta línea de correspond ida , del área comprendida entre las curvas C y C' en el intervalo de esta línea de correspondencia y de la del punto A.

En particular, si se toma para C ' el eje Ox, C '„ + 1 es una parábola n „ , teniendo con Cn + i en el punto B„ un contacto de orden n {Observación I I del núm. 23), y se ve que la diferencia de las ordenadas de la n 1 éaimo. integral C„ +l y de la parábola- II „ que le es osculatrix en el punto inicial A„ + j, multiplicada por n!, hace conocer el momento de orden n del área O A B b con relación a J3 b .

E s preciso no olvidar, para la aplicación de estos teo rem as, que las d iferencias y„ + i — + í deben m edirsecon el m ódulo T„ + 1 .

Pero puesto que yn + í — y'„ + x debe ser multiplicada por n! para dar el momento , se tendrá directamente este momento midiendo y„ | i — +. 1, no con el módu

lo Y„ +.1 , sino con el módulo -

Si se quiere que los momentos se tomen, 110 con relación a la línea de correspondencia Bé que limita las áreas, sino con relación a una línea de correspondencia H 27/ cualquiera, basta prolongar cada arco, tal como AB por la ordenada final tib y el segmento bk de 0 ¿c, no al

116 CXl.CtTLO GRÁFICO

terando esto los momentos tomados con relación a A H Z> puesto que el segmonto bh da con 0 / un área nula.

Pero las integrales do bh, considerado como unido por la ordenada Bb al arco A £ , son perfectam ente determ inadas. L a prim era es la paralela a O í trazada por B4; la segunda, la tangente en B2 al arco A 2B 2, y así sucesivam ente, hasta la q Ue es ja parábola n „ os-culatriz en B „ + 1 al arco A n + i B , + i .

Se deduce inm ediatam ente de aquí que el momento de orden n, tomado con relación a una linea de correspondencia cualquiera, del área comprendida entre C y C! en el intervalo de las líneas de correspondencia de los puntos A i/ B (si las curvas C „ + i y C 'n + 1 parten del mismo punto A „ + i ) es igual al producto por n! del segmento determinado sobre H 2h por las parábolas de orden n osculatrices a C„ + 1 y C '„ + 1 en B„ + ! y B 'n+ i.

E n particular:El momento de l.er orden con relación a H 2h es igual

al segmento H 2H / 2 determinado sobre H 2h por las tangentes en B a y B '2 a C 2 y C '2 (fig. 42).

De dondo se deduce este corolario:[ja linca de correspondencia del centro de gravedad Gr

del área considerada pasa por el punto de encuentro T2 de las tangentes en B 2 y B '2 a tas integrales pues, con relación a esto oje, el momento de l . or orden es nulo.

Interpretación particular en el caso de los problemas de equilibrio elástico.— A unque en el presente volumen, estudiamos el cálculo gráfico solo considerado en general, independientem ente de cualquiera aplicación p articular, no podríamos dejar de señalar aquí la m anera de

INTEGRACIÓN GRÁFICA 117

intervenir, en el campo de la resistencia de materiales, la noción do las integrales sucesivas que acabamos de considerar.

Si las ordenadas comprendidas entro C y C ' representan la carga continua soportada por una viga, las comprendidas entre C, y C ' representan los esfuerzos cortantes correspondientes, las comprendidas entro C y C ' los momentos flectores.

Si a la carga continua se añaden cargas aisladas, pudiendo ser de cualquier signo (las reacciones de apoyos intermedios pueden, por ejemplo, considerarse como cargas negativas), el esfuerzo cortante debe, en el sentido de cada uno de ellos, sufrir una variación, tomada con su signo, equivalente. De aquí resultará, en la línea de los esfuerzos de fractura bruscas discontinuidades, según las líneas de correspondencia respectivas, que producirán en la línea de tos momentos flectores, puntos angulosos.

'Pero hay más: si la fibra media do la viga no cargada es una recta horizontal, las ordenadas comprendidas entre C 3 y C'3 dan a conocer las inclinaciones de la fibra deformada, y las comprendidas entre C* y C '4 las ordenadas de esta misma fibra. Si, pues, se ha hecho primero coincidir 0 * con la fibra media, y si se ha tenido cuidado de tomar cada vez sobre Ox el punto inicial de la nueva integral, de manera que coincidan las integrales sucesivas de 0 * con O x mismo, la integral C 4 da el perfil de la fibra media deformada, es decir, lo que se llama la linea elástica (prescindiendo del cambio do escala de las abscisas y de las ordenadas)1 .

25. Tangente a la Integral.— La definición de la integral dada en el uúm. 23 muestra que //1 puede ser considerada (prescindiendo de una constante, ordenada de)

1 Massau, libro V, núm. 689.

118 CALCOLO (IH A h ig o

pun to in icial A.j) como la sum a de una infinidad de ele- m entos infin itam ente pequeños yd.r. S i se efectúa esta

sum a m ediante la construcción indicada en el núm . 9, se ve, pasando al lím ite, que la tan g en te MÍ 'J1 en cada punto Mj de la curva integral C 4 (fig. 43) es paralela a la recta que une el polo P a la proyección n del

punto correspondiente I f de la curva C sobre O y.Recordem os, adem ás, que si las abscisas se miden con

el m ódulo « , las ordenadas de la curva C (que se tom an sobre O y) con el módulo p y las ordenadas de la in tegral

con el m ódulo y , la base P O , o 5 , de la in tegración está dada por

Observemos que si, por el punto M, se traza una p a ra lela AIS a la tangen te H /J '^ y , por consigu ien te a P p , el segm ento S m es constante e igual a 8. Sobre esta propiedad se basa el in tógrafo que se describe en el sigu iente núm ero .

L a construcción an te rio r perm ite verificar inm edia tam ente las observaciones siguientes, traducciones gráficas de proposiciones de análisis bien conocidas:

1 .° Según que la ordenada de C sea positiva o n eg ativa, la in teg ra l Cit yendo en el sentido de las x positivas, se elevará o descenderá cou relación a Ox, y, por

INTEGRACIÓN «REPICA 119

consiguiente, en los puntos que corresponden a aquéllos en que la curva C encuentra a 0 :f , se ve que la integral C) tiene su tangente paralela a Oar: punto M* (fig. 44).

2 .° Sobre una línea de correspondencia en que la curva C presente una discontinu idad , la integral C i presenta un punto anguloso: punto M ', (fig. 44).

3.“ Según que la curva C suba o baje con relación a Oa; tomado en el sentido positivo, la integral C i vuelve su concavidad al lado positivo o negativo de O y, y, por consiguiente, si la tangente a C es paralela a O*, en el punto correspondiente de C f hay inflexión: punto (figura 44).

4.° Si se hace partir del mismo punto A* las integrales de dos curvas que pasau por el punto A , estas integrales son tangentes en A {.

Esto 110 es, por otra parte, más que un caso particular de la Observación I I del núm. 23.

Observación.— La construcción precedente, efectuada en sentido inverso, permite, en todos los casos, obtener punto por punto la curva C devivada de una curva dada C|. Se ve, en efecto, que si la paralela a la tangente en H'i a C t traxada por el polo IJ, corta al efe O¡/ en p (figura 43) la paralela a O x traxada pór ¡x corta a la línea de correspondencia de-Mt en el punto 11 correspondiente de la curva C.

120 C .ÍLC Ü LO O R IF IC O

2 (>. Principio del intègrafo.— Sobre la propiedad fun dam ental de la tangente a la c u rra in teg ra l, dem ostrada en el núm ero precedente, es tá fundado el instrum ento llam ado intègrafo x, que perm ite traza r m ecánicam ente la in tegral partiendo de la curva C.

Este instrum ento tiene por órgano esencial una ruedecilla aplicada contra un plano horizontal y cuyo eje está colocado eu una a rm adura provista de un árbol vertical. Un esfuerzo horizontal ejercido sobre este árhol se d e s com pone en dos, uno norm al al plano de la rueda, que sodestruye por el fro tam iento, el otro d irigido según este plano y que determ ina el m ovim iento de aquélla.

EL intègrafo puede reducirse esquem áticam ente 3 a lo siguiente: el lado 8 »« de la escuadra móvil S m M resbala

a lo largo del eje O;* (fig. 45); alo largo de una corredera p rac ticada en el lado m M t puedeu deslizarse: 1 .° un estilete M obligado a m overse, adem ás, en la corre-

__ dera del árbol SM que g ira a lre dedor del pun to S a distancia constan te de m , 2 .° un árbol vertical que lleva el eje A 1 B 1 do

u n a ruedecilla J.l suficientem ente com prim ida co n tra el plano horizontal sobre el cual se coloca el aparato . E ste eje y la b a rra A B que, por construcción es p e rpend icu lar a S M , están unidos por un paralelogram o a r

1 Abdank-Abakanowicz.* Se dará unu descripción detallada en el volumen do la

Knciclopedia que trata del Cálculo mecánico.

INTEGRACION GRÁFICA 121

ticulado, fie modo que el piano en el cual se efectúa la rotación de la rueda R es siempre paralelo a SM. Esta rueda (cuyo borde está biselado de modo que pueda surcar ligeramente el papel sobre el cual se apoya) se desplaza siempre en la dirección de este plano (cuando so mueve la escuadra a lo largo de Ox) a causa de la libertad del deslizamiento del árbol que la soporta a lo largo de m H. De aquí resulta que el punto de contacto M, de esta rueda y del plano describe sobre este una cur- vu cuya tangente os en cada momento paralela a S i l . Si, pues, se ha tomado Sm igual a la basfe 5 de la integración, la curva que describe Mt es la integral de la curva C que describe M 1.

Si se dispone de esto aparato, los procedimientos gráficos dados a continuación para la construcción aproximada de las integrales resultan superfinos; pero, a causa de su precio elevado, no puede considerarse como de uso absolutamente corriente; de donde, el interés de los procedimientos que no exigen más que la regla y el compás.

27. Centro de curvatura de la integral.—-En el pto- sonte número supondremos los ejes rectangulares.

Para aplicar la fórmula que hace conocer el radio de

1 Se puede, además, colocar el estilete con el que se sigue la. curva C en un punto cualquiera invariablemente unido aM, y el punzón que describe en un punto invariablemente unido a Mi (esto es lo quo ocurre en el modelo que construye la casa Corradi); de esto resultará, simplemente una desviación de Ci con relación a C dada por el intervalo entro las líneas de correspondencia do los puntos iniciales de estas dos curvas.

122 cjAl c u l o g r Xk ic o

curvatura en un punto de una curva plana, se debei suponer las abscisas y ordenadas expresadas por medii una misma unidad de longitud, sea, por ejemplo, la qu- ha servido para expresar los módulos a, p, f . Designe mos entonces por X, Y, Z, los números que representa« la abscisa común y las ordenadas de los puntos M y Mt ligados a los precedentes por las relaciones

X == s t Y = ?//, Z = y z.

La construcción de la tangente a la integral, obtenida en el uúm. 25, muestra que se tiene (aplicando a las derivadas tomadas con relación a X la notación de Lagrange):

siendo 6 la base de la integración. Por consiguiente, la expresión del radio de curvatura R , de C i, ea decir

TI, = I l + J g l í .y :

puede escribirse: R, .= 8 .Y’

»

Y , **

Si 8 y 6, son los ángulos que las tangentes en M y en M1 a las curvas C y forman con el eje Ox, esto da

INTEGRACIÓN ÜKÍF1CA 123

Estando el centro de curvatura. (JL de la curva (figura 46) proyectado ortogonalmente en ja', sobre la lí- nea de correspondencia de M-t, después en n',' sobre la normal Mt pj, el primer miembro de esta ecuación representa la proyección de sobre O re; el segundo representa la sub- tangeute m T. Resulta de esto que el ■punto i»'* se proyecta en T sobre Ox;lo cual, por el trazado TV'-i ¡¡■‘i h-.1( da la construcción buscada del centro de curvatura 1.

Esta construcción nos vuelve a dar inmediatamente el tercer corolario del núm. '25. Se ve, además, que si la tangente en M es perpendicular a 0;c, el punto M, sobre Ci es de retroceso (punto M'" de la figura 44).

28. Ordenada y abscisa medias.—Consideremos un arco de curva AB referido a los ejes Ox y O y (fig. 47). Si la paralela IJ a Ox determina un paralelogramo alJb de igual área que aACñb, el lado de este paralelogramo paralelo a Oi/es la ordenada media del arco AB. Si, pues, h es la longitud del segmento ab medido con el

1 Al dar por primera vez esta construcción (Nouv. Ann. de M a th 3.a serie, fc. VII, 1888, pág. 488), hemos hecho notar que si la ourva C se reduce a una recta que corta a Ox en T, Ci es una parábola do segundo grado cuyo eje es la paralela a Oy trazada por T. Se encuentra así una conatruu- oión clásica del centro de Curvatura de la parábola.

1'2-í c á l c u l o '] n n X i'reo

módulo «, e Y la de la ordenada media medida con el módulo p, se tiene:

i>¡/tlx.

La integral de la paralela IJ a Ort es, segán lo que se lia visto, en el mim. 23 (Observación 1), una línea recta. Si hacemos pasar esta recta por At , debe necesaria - mente tener su extremo en B1; puesto quo, por definición, las áreas definidas por la recta IJ y el arco AB

tienen igual valor entre las lineas de correspondencia Al y BJ. Dicho de otro modo, la cuerda At Bt es integral de la línea IJ . De aquí resulta, en virtud dol teorema del número 25, quo la cnerda Aj Bt es paralela a la roela que une el polo de la integración al punto de encuentro de IJ y de O y.

Cambiando los papeles de O-r y O y, se defino de igual modo la abscisa media cuya longitud X (mód. «) es dada, si k es la longitud de a’b' {mód. p), por

INTEGRACIÓN C.ftXpiCA 12S

Supongamos tomadas la ordenada y la abscisa medias on m U y vi' V sobre las paralelas a O v/ y O a; trazadas por el punto medio de la cuerda AB. Diremos que los puntos ( J y T son respectivamente los ceñiros de ordenada y de abscisa media del arco A.B. Es fácil de ver que la recta ti Y que une estos centros es paralela a la cuerda AB.

En efecto, tenemos, para área del segmento comprendido entre el arco AB y su cuerda

Area ACB = Area « ACB&— Area «ABfc,

o, llamando Yo la longitud de *¡M {mód. {¡), y teniendo en cuonía los convenios hechos en el niim. 23.

Area A O B = /i (Y — Yo).

Do igual modoAve» ACH = A-(X — X,),

llamando X n la longitud do m' M (mód. a). Do aqui resulta:

h (Y — Y.,) = AMX—X«),

o bien, obsorvando que Y —Y0 y X —X 0 miden MU y MV, respectivamente con ios módulos p y *,

MU HA MV ~ HB ’

que demuestra la proposición enunciada.Se puede, en fin, observar que las tangentes m A jjr

a la integral A4 se cortan sobre la línea de correspondencia K L del centro de abscisa media V.

En efecto, por definición, las areas a'ACBb' y a'KLb’ son iguales. Restándoles a ambas el paralelogramo a’ÁHb' para añadirles el paralelogramo tfHB¿>, se ve que las áreas «ACB6 y «A KLB 6 son también iguales. Resulta de esto, que la integral de la línea AKLB partiendo de A-i, constituida por dos rectas que se cortan sobre KL, termina en Bt .

Ahora, las integrales de AK y de AB son tangentes en At (4.“ corol. del núm. 25); también lo son las deBL y BA en Bt . Las dos rectas cortándose sobre KL, que constituyen la integral de AKLB, son, pues, las tangentes AÍT1 y E jT j a la curva A-iB*, y la proposición está demostrada.

29. Ordenada media de un arco parabólico.— Si elarco AB pertenece a una parábola H „ cuya ecuación sea

y — «.i 4- a i x -r + ■ •■ +«„ .<•" ,

suponiendo (lo cual no influye nada en la generalidad del resultado) al eje O// confundido con la línea de correspondencia equidistante de A y B y el módulo de O.s igual a la mitad de A. B (lo que da para los puntos A y B las abscisas —f y + 1 ), un cálculo muy fácil, muestra que la ordenada media viene dada por

V — n . 4_ _l a>¡‘\ - « . + y + " • + 2p + í *

representado por 2p el mayor número par inferior o igual

INTEGRACIÓN GRXVIOA 127

a n. Ahora, si dividimos el intervalo comprendido entre A y B en 2p partes iguales, vemos que, dejando aparte la ordenada y0 situada sobre O y, las otras 2 p ordenadas correspondientes a los puntos de división (comprendiendo los extremos A y B) se distribuyen en pares formados por dos ordenadas simétricas con relación a O?/ y teniendo cada uno una suma que se expresa por medio de los coeficientes de índice par. De un modo general

y_ , + yt - 2«. + ¿ «, (^ -)4 + • • ■ + « « „ ( y ) ” '

Se sigue de aquí que ios p -\- l coeficientes n0, a2,. . . podrán expresarse por medio de las p sunias * /-< + yt y de La fórmula anterior se transformará entonces en

Y = Xt„| + SfXt (*K + »,),

y se ve que permanece la misma, ya sea n igual a 2p o a 2p~\~ 1., lo que significa que la misma fórmula de Cotes sirve para una n ,p y una l l3l)+1

1 Esta propiedad puede tomar la forma geométrica siguiente: Si, habiendo tomado sobre una parábola rc,Pl 2p-M puntos cuyas ordenadas sean equvlixtantcs, se hace pasar por estos puntos una parábola n,¡,+, cualquiera, la suma algébrica de las áreas comprendidas entre tas dos parábolas, en el intervalo de las ordenadas extremas, es nula. Hemos enunciado esto teorema en los Noiwelles A males de Mathématiques (4.a serie, t. V,19()5, pág. 240). Después de esto, hemos sabido que njon- sieur Mansión, por su parte, había hecho la misma observación que utiliza desde hace varios años en su Curso de la Univorsidad de Gante.

128 CÁLCULO GRAFICO

El cálculo desarrollado para el caso en que p = 1 parábolas n 2 y II3) único que nos intoresa, da

Y - + -jj-,además

y = o. — - « 3 >»1 -- rt„ +«! + « ! +«.! í

de donde

v -, + !/, ~ - no + 2«j iy, puesto que

■*'. = \ >resulta:

Y = * v " + y~ ' + y - 6

La traducción gcomótrica de esta fórmula es inmediata: si OC es la ordenada media y 0 de! arco AB (figura 48), que la cuerda AB encuentra en M, el centro U de ordenada media

oes tal que MU = -^- M C.il

Pero este centro de ordenada media puede igual

mente deducirse de un modo muy sencillo de las tangentes al arco en sus extremos A y B, y esta nueva construcción será la que utilizaremos más lejos (núm. 30).

i n t e g r a c i ó n g r á f i c a 129

Estando, en efecto, la ordenada en el origen de la tangente en (*, y), dada por

r* = y ~ x 4 f = *• ~ “• ** - 2u'* S'

ne deduce de aquí que

r¡ 4- vi = 2a — 2«.1 —i 1 1 I 0 t

y, por consiguiente, que

y__ r ,- , + *), -t-2 (y _ , + y,)0

fórmula que se interpreta así: S i W es el punto medio tlcl ¡tegmento ST de la ordenada media comprendida en

tro las tangentes AS y BT, se tiene MU = - ~ MW, oJtambién el centro de ordenada media U *e confunde con el centro de, gravedad del triángulo WAB 1.

Observemos de paso que, según resulta de osto, el punto W, cualquiera que sea !a parábola l l 3 trazada porA, C, B, es el simétrico de Jí con relación a C.

Así, la construcción precedente es siempre aplicable, ya pertenezca el arco AB a una n 2 o a una W3. Única

1 Xfassuu, 1, núm. 25. M. Massau estableció eate resultado partiendo de la fórmula de Cotes especial para et caso de una «s, distinta, por consiguiente, de la que se aplica■x nuu n 3. La propiedad de que hemos partido nosotros-Uoné la ventaja de reunir los dos casos en una sola demostración.

S

130 CÁLOUliO g r á f ic o

mente, en el primor caso, las tangentes en A y B se cortan sobre la línea de correspondencia equidistante de A y B. Dicho de otro modo: los puntos S y T y, por consiguiente, también el puDto W están confundidos en uno solo.

B .— Trazado gráfico de las Integrales.

HO. Polígonos Inscritos y circunscritos a una integral.—Imaginemos la curva que so trata de integrar di

vidida en arcos sucesivos AB, BC, . . . {fig. 49) de los cuales se sabe obtener los centros de ordenada media U, W, . . . Proyectemos los puutos A, B, . . . U, W, . . . en a', b', . . . u ’, w ‘, . . . sobro O y y tomemos sobre la parte negativa de Ore el polo P, a una distancia 5 delorigen dada por 5 = ——, si a, p y y son los módulosrespectivamente escogidos para las x, las // y las Se verá, además, on la observación que va al final de este


número cómo, o a la práctica, se puetle, para obtener la disposición más conveniente, determinar y y 5 cuando « y p son dados.

Según el primer teorema del núm. 28, si por el punto inicial A t , arbitrariamente escogido para la curva integral, se traza la paralela A1 B1 a Fu', Bd pertenece a la curva integral; lo mismo para C\ obtenido por medio de la paralela B1C.1 a Pw/, y así sucesivamente. Luego trazando, a partir de A., un polígono cuyos vértices se encuentren sobre las líneas de correspondencia de los puntos B, C, . . . y cayos lados sean paralelos a los vectores P u ', Pw', . . se obtiene un polígono inscrito en la integral de la curva ABC.

Además, en virtud del teorema del núm. 25, las tangentes en B4, Ctj . . . son respectivamente paralelas a P a ', P¿>', Pe', y se obtiene así un polígono A1Si T1 ... circunscrito a la integral. Este polígono circunscrito puede, además, construirse directamente sin que ¿aya necesidad de trazar previamente el polígono inscrito. Para convencerse de ello, basta observar que, según el tercer teorema del núm. 28, sus vértices St , T*, . . . caen sobre las líneas de correspondencia de los centros V, Z, . . . de abscisa media de ios arcos AB, BC, . . . cuyos centros, según el 2 .° teorema del mismo número, se deducen inmediatamente de los centros de oídenada media 17, W ,... supuestos conocidos.

Eú general, no se sabrá determinar rigurosamente los centros IT, W ,.. pero dividiendo convenientemente el arco que se va a integrar, se podrán siempre obtener estos puntos con una aproximación suficiente. La primera idea que so ocurre consiste en dividir el arco total en ar-

.182 CÁLCULO G R ÁFIC O

eos parciales AB( BC, . . . bastante pequeños para que cada uno de ellos se confunda sensiblemente con su cuerda, en cuyo caso los centros U, W, . . . son respectivamente los puntos medios de AB, B C ,. . . Pero se pueden considerar también arcos parciales menos pequeños, cuya curvatura, por consiguiente, sea más pronunciada, asimilando cada uno de ellos a un arco parabólico que le sea tangente en sus extremos.

£ 1 arco parabólico de menor grado por medio del cual se puede satisfacer esta condición es, en general, de tercer orden, a menos que las tangentes en los extremos del arco se encuentren sobre la línea de correspondencia equidistante de estos extremos, en cuyo caso, este orden desciende al segundo. Tanto en un caso como en otro, el centro de ordenada media viene dado por la construcción que está al tinal del mlm. 29. £1 gráfico mismo muestra si los puntos S y T (y, por consiguiente, el punto W) (fig. 48) están confundidos en uno sólo.

Cuando se han determinado así los polígonos inscritos y circunscritos a la integral, se puede trazar ésta como se hace con las curvas obtenidas por puntos, en los dibujos de geometría descriptiva, dejándose guiar, como se dice, por el sentimiento de la continuidad.

Tal es el método propuesto por M. Massau para el trazado aproximado de la integral *. Es, como se ve, puramente gráfico, es decir, independiente de toda propiedad geométrica particular de la curva que ha de integrarse, y se aplica, por consiguiente, trátese o no de una función que se sepa integrar analíticamente. Sin embargo, cuau-

1 Massau, 1 , libro I, cap. Y, §§ 1 , 2 , 3.


do se trata de polinomios enteros, se puede, como se verá más adelante {sección O), emplear trazados teóricamente rigurosos. Pero, teniendo en cuenta los pequeños errores de trazado inseparables de toda construcción gráfica, no hay, en realidad, desde el punto de vista práctico, sensible ventaja en esto.

Observación I .—La construcción del centro de ordenada media del arco A.B, supone el conocimiento de las tangentes en A y B.

Si estas tangentes no están determinadas rigurosamente, se puede siempre obtener el punto de encuentro de cada una de ellas, con la línea de correspondencia intermedia MU (fig. 48) valiéndose de lo que se llama una curva de error. Si, por ejemplo, se une el punto A a un punto P variable sobre la curva dada 1, y si, a partir del punto Q en que la recta AP corta a MU, se lleva sobre sobre esta recta el segmento Q R = AP, el lugar del punto R (curva de error) cortará a MU en el punto S situado sobre la tangente buscada. Si, además, se han obtenido dos posiciones, do R próximas a MU, y a distinto lado de esta recta, bastará unirlos por una recta para obtener el punto S sobre MU, lo que equivale a reemplazar un arco muy pequeño de la curva de error que contiene el punto S por su cuerda.

Observación I I .—Estando los módulos #, p y y adoptados para las x, las y (ordenadas de C) y las ]j\ (ordenadas de Ct). ligados a la base 8 , u OP, de la integración, por la relación

«P = y5?

si se llevan estos módulos en 0 « sobre la parte negativa de Ox, Op y Oy sobre O y (fig. 50), se ve que las rectas

1 H ágase la ¿gu ra .

134 c Xl c d l o GRjÍFICO

«Y y Pg son paralelas; esto permite, dados « y p, determinar el polo r si se da el módulo y , o recíprocamente.

Podemos, además, elegirlo de tal modo, que la integral que parte de At termine sensiblemente en un punto B4, fijado de antemano sobre la línea de correspondencia de la extremidad B dol arco que se va a integrar. En efecto, según el primer teorema del núm. 28, la cuerda At Bt do la integral es paralela a PK, si OK os igual a la ordenada media del arco A B. Ahora, en general, es fácil obtener aproximadamente este punto K; basta trazar a

O a; una paralela IJ que determine con AB ¿reas AIC y BJC que sean, a ojo, sensiblemente equivalentes. Trazando entonces por K una paralela a A., Bt> se obtiene el polo P, despuós, trazando por a una paralela a P g, el punto t tal que Oy = Y* Como es conveniente que este módulo se exprese por un número simple de milímetros, se fija definitivamente su valor por el número redondo más próximo del que mide el segmento Oy obtenido como acaba de decirso. Kesulta de esto que, sobre la línea de correspondencia del puuto B, el punto Bt se encuentra un poco desviado de la posición que se le había asignado primeramente. Bu todo caso es seguro que no se desviará mucho.

Si a causa de la extensión del arco AB, resultase el

INTEGRACIÓN GHXKICA 135

polo P domasiado alejado del origen O, se fraccionaría el arco AB a fin do no aplicar la construcción indicada más que a iutervalos más reducidos.

Ejemplo de aplicación. — Las figuras 51 j 51 bisC ’ dxmuestran el cálculo gráfico de la integral -— 1 -,J . loga;

donde log x representa un logaritmo vulgar. J5n el primer caso (fig. 51) el arco AB que se va a iutegrar ha

Fig. 51.

sido dividido en 5 intervalos iguales (lo que ha exigido el cálculo de las ordenadas correspondientes a x — 2, x = 2,2 , x = 2,4, x = 2,6, x — 2 ,8 , ;c=3); cada arco parcial ha sido sustituido por su cuerda, cuyo punto medio ha sido tomado entonces como centro do ordenada media. En ol segundo caso (fig. 51 bis), se han construido las tangentes AS y BT como se ha dicho en la Observación i , se ha tomado por centro de ordenada media del arco AB todo él asimilado a un arco de Ms, el punto U situado al tercio de la distancia del punto M al medio do ST, sobre la línea de correspondencia equidistante de A y B (núm. 29).

Las dos construcciones (de las cuales las figuras 51 y 51 bis dan la reducción exacta a la mitad) lian sido ejecutadas con « = 10om, = y = 2om , 3 = 5cm.

Ambas han dado para ordenada del punto terminal B*, muy sensiblemente el mismo valor 5C“ ,15. Se tiene, pues:

186 cX l c u l o g r Xf i c o

5.15 _ 0 ~ 2 ” = 2’°“7-

Se pasaría de los logaritmos vulgares a los logaritmos neperianos, multiplicándolos por M = 0,4343, lo que daría 1,118. En este caso, la función definida por la inte-

Fig» 51 bis.

gración es lo que se llama el logaritmo integral, que se representa a veces por li x. El resultado anterior puede entonces escribirse:

li 8 —li 2 = L118.

31. Límiie superior del error cometido.—Si se tiene on cuenta, no el trazado continuo de la integral, sino la determinación do su valor en el intervalo de dos lineas de correspondencia dadas (es decir, una cuadratura definida) se puede considerar el trazado precedente como uua traducción gráfica del método de cuadratura de Simpaon. Habiendo hecho esta observación X. Nassau y npli-

! Massau, t , libro I, cap. Y, § 4.

INTEGRACIÓN GkX fICA 137

cando el mismo procedimiento de traducción gráfica al método de cuadratura de Poncelet; ha llegado a un nuevo trazado que conduce a la determinación de un limite 4 superior del error cometido, cuando la curvatura es del mismo sentido en toda la extensión del arco que se va a integrar.

Dividamos el intervalo comprendido entre las líneas de correspondencia de los extremos A y G del arco que ha de integrarse en un número par de partea iguales, lo que nos da sobre este arco los puntos intermedios B, C, D, E, F (fig. 52).

La línea (discontinua sobre las líneas de correspondencia de los puntos C y E) formada por las tangentes en B, D, F a la curva dada, determina, evidentemente, una integral superior a la integral buscada.

La línea poligonal de vértices ABDFG determina, al contrario, una integral inferior.

Como cada udr de estas líneas está, compuesta de rectas, el método del número precedente, bajo una u otra de sus variantes, permite obtener rigurosamente su integral. Se tendrá así dos límites, entre los cuales estará necesariamente comprendida la integral buscada. Además, por un fraccionamiento en número bastante grande de partes, se podrá hacer la diferencia entre estos límites tan pequeña como se quiera. Su límite común será Ja integral buscada. Pasemos a la ejecución del trazado.

' El autor advierte que no emplea aquí la palabra límite en el sentido preciso que tiene siempre en las ciencias matemáticas, como el valor hacia el cual tiende una cantidad variable: sino como un valor seguramente superior al de una cantidad que esta i n determinad a.

138 cXlcdi.o grXpico

Para la primora línea (formada por las tangentes en

B, D, F), emplearemos el trazado por el polígono inscrito (mim. 30). Siendo btí, d D, fF las ordenadas medias de


los segmentos sucesivos, no tendremos más que trazar la línea poligonal A1 C1 E1 G-1 cuyos lados son respectivamente paralelos a los vectores Pb', P d‘, Pf ' , para tener, por la diferencia entre las ordenadas de los puntos extremos y G1 (diferencia medida con el módulo y), el valor de la integral correspondiente.

Para la segunda lluea (polígono ABDEG), emplearemos el trazado por el polígono circunscrito. Los lados de esto polígono correspondientes a los vértices B, D, F, siendo respectivamente paralelos a los vectores Pb', Pd', Pf , y cortándose sobre la línea de correspondencia de los centros de abscisa media (aquí confundidos con cC y eE), podrán tomarse como coincidiendo con los ladosB.)Cd, C-jEt y E1 F i del polígono precedente. Las líneas de correspondencia de los centros de abscisa media de los lados AB y FG- del polígono son las de los puntos medios m de ab y n de fg. Los lados Bt C4 y E 1 F 1 deben, pues, prolongarse, el uno hasta el otro hasta Nt . Ahora, siendo I03 lados del polígono circunscrito correspondientes, uno al vértice A, el otro al vértice Gr, respectivamente paralelos a P« ' y P//', no falta más quo trazar respectivamente por Mt y por Nt las paralelas MjA'í y N1 G-'i a estos vectores. La diferencia a \G \ de las ordeuadas de los puntos extremos A'* y (siempre medidas con el módulo y) hará entonces conocer el valor de la integral correspondiente.

Si, pues, V es el valor de la integral del arco A O, se tiene:

•A

140 cXlcülo grífioo

y el orror cometido es menor que

o-, Cr( — n t C*t = (ir, — < * ,« ,•

Se puede reducir a la mitad este límite del error adoptando para valor aproximado de la integral la media

2

Se tiene, 011 ofocto,

V = a, G, — s = a'G^4-

siendo * y positivos. So deduce do aquí, de una parte,

■ir — fl, G . + gí G » , a’- _ e .2 + 2 ’

de otra,n, O , - a\ _ _*_+ •'

“ 2 ~ 2 ' ’O

Ü-'G-,— a[ay __ e + £'2 2

So tione, pues, en valor absoluto

Se puede, utilizando lo que acaba de decirse, llegar, por un fraccionamiento conveniente del intervalo total so-

INTEGRACIÓN OR.<KICA 141

hre el cual se hace la integración a conseguir que el error cometido sea inferior a cualquier limite fijado á priori.

Ahora, en la aplicación del ntini. 30 al trazado aproximado de una integral, los errores cometidos en cada uno de los arcos sucesivos, asimilados a un arco de n„ se ucu- nnilan hasta el punto terminal. Es, pues, útil tener un medio de verificar directamente la posición de éste. Este medio resulta inmediatamente del método expuesto en el presente número, el cual, desde este punto de vista, constituye un importante complemento al del número precedente.

En particular, la aplicación de este método a la figura 51 no ha revelado algún error apreciable, en la escala de esta figura.

32. Integral de la zona comprendida entre dos curvas.—Si se quiere efectuar la integración de la zona comprendidas entre dos curvas C y C', se puede, como se ha indicado en el núrn. 23, construir separadamente las integrales Ci y de estas dos curvas. Hecho esto, el valor de la integral de la zona comprendida entre dos curvas C. y C' en el iutervalo de dos lineas de correspondencia, será igual a la diferencia de los segmentos comprendidos sobre cada una de estas lineas de correspondencia, entre las curvas C¡ y CV Pero se puede llegar a obtener los valores de la integral de tal zona no trazando más que una sola curva integral; se consigue esto por el siguiente procedimiento *:

Si se lleva sobre cada línea de correspondencia una ordenada íwM" igual al segmento M'M comprendido entre

1 Massau, 1, libro I, oap. VI.

142 cXl c u l o g r a f ic o

VI....c- ^ >

. c’—

T.C>

► ÍT

Fi^. 58.

las curvas C y C' (6g. 53), el área engendrada por esta ordenada, entre dos lineas de correspondencia- cuales

quiera, será igual a la comprendida entre las curvas C y C'. Por consiguiente, esta última estará dada, como la precedente, por la integral <le la curva C " engendrada por M". Para determinar una tangente M1 T 1 a esta integral, basta conocer la dirección del

vector Pn." correspondiente a cada ordenada m i " . Ahora, si, trazando la línea de correspondencia del polo P, proyectamos, paralelamente a Qx, M' eu ¡i', sobre esta línea de correspondencia al mismo tiempo que proyectamos M en ¡i, sobre O y, vemos que es paralelo a Pfi”, y, por tanto, a M1 Tt . Esta simple observación muestra que es inútil trazar la curva auxiliar C" para obtener las direcciones de las tangentes a su integral.

Por lo demás, la misma observación se extiende inmediatamente a la cuerda de Ca comprendida entre dos líneas de correspondencia cualesquiera, cuando los puntos (v y n' son las proyecciones respectivas de los centros de ordenada media de los arcos de las curvas C y C', comprendidas eu el intervalo de estas líneas de correspondencia. De aquí, el procedimiento anunciado:

Habiendo dividido el intervalo que se ha de integrar en un número suficiente do partea (generalmente iguales) por líneas de correspondencia, se determinan para los diversos arcos cortados por estas líneas sobre C y sobre C'

INTEGRACIÓN GRÀFICA 143

los centros de ordenada inedia; proyectados los de la línea superior C sobre O y, los de la línea inferior C' sobre la linea do correspondencia del polo P, se unon estas proyecciones dos a dos en el orden en que ellas se corresponden, y se tiene así las direcciones de los lados sucesivos dol polígono inscrito en la integral buscada y teniendo sus vértices sobre las líneas de correspondencia escogidas.

Se obtienen de igual modo las direcciones de los lados del polígono circunscrito sirviéndose de los misinos-puntos tomados sobre las curvas C y C' en lugar de los centros de ordenada media de los arcos que los soparan. La figura 54 muestra un ejemplo de aplicación de este trazado. Las curvas que limitan el área que hay que integrar son aquí las curvas de intradós y de estrados de una bóveda. La fík. &i.curva integral asíobtenida se confunde, según lo que se ha dicho anteriormente (pág. 117) con la curva do los esfuerzos cortantes de la bóveda sometida a su solo peso. Se debe, además, referir esta integral a la paralela A4 a (Xr, trazada por su punto inicial A^.

B3. Integral referida a una línea cualquiera.—Si seevalúa la integral de la curva C a partir de la línea de

U 4 CÁLCÜI.O GRÁFICO

correspondencia del punto A, los valores de esta inte gral vienen dados por las ordenadas de la curva Ct , tomados a partir de la paralela Ox trazada por el punto A4 . Veamos cómo convendría transformar esta integral C-t si se quisiera que diese estos valores por sus ordenadas tomadas a partir de una línea de referencia cualquiera (fig. 55). Para esto, consideremos la curva derivada r de r d (que podríam os construir segdn la Observación del núm. 25, pero que aquí no interviene más que para la demostración).

Puesto que las ordenadas R* M., y representan, respectivamente, los valores de las integrales de C y de r referidas a O a:, la ordenada Mt representará la suma de estas integrales, o lo que viene a ser lo mismo, si se toma la simétrica r ' de r con relación a Ox l, la iutegral de la zona comprendidu entre C y r'. Resulta de esto, según el número precedente, que si se proyecta M en ¡x sobre O y, R' en p'

1 Se trata aquí, bien entendido, de una sim etría oblicua paralela a O y que tínicamente se confundirá con la simetría ordinaria, es decir, ortogonal, cuando los ejes Ox y Oy sean rectangulares.

INTEGRACIÓN GRXFICA J.45

sobre la línea de correspondencia del polo P, la tangente011 Mt a la integral buscada es paralela a pV- Ahora, si E se proyecta en p sobre O y, la simetría de R y R' con relación a O# muestra que p'O es paralela a Pp ; pero, según la definición misma de la curva r , Pp es paralela a la tangente en a la curva IV, luego, bastará, para obtener el punto p', trazar por O una paralela a esta tangente.

Así, estando el punto M de la curva C que se va a integrar proyectado en ji sobre O y, y puesto que la paralela trazada por O a la tangente correspondiente K1 S 1 de la líneá de referencia escogida corta a la línea de correspondencia del polo P en p , la tangente M1 T1 a la integral Ct buscada es paralela a p>.

Si, en lugar de la integral de C referida a O*, se quiere obtener la do la zona comprendida entre C y CJ (figura 55 bis), se ve como en el número precedente, que para o b ten e r el punto p' que da con |i la dirección pV de la tangente31., I 1! a la integral Ct , es n ecesa rio trazar a la tangente R 1 S 1 de la línea de referencia Ti una paralela, no por el punto O, sino por la proyeccióu ji' de M' sobre O y .

Para la construcción efectiva, si se quiere proceder por el polígono inscrito, es claro que en lugar de proyeo-

Fi«. 65 bit.

10

146 CÁLCULO GBÍFICO

tar sobre 0 y los puntos tales como M y 5¿L' de las curvas C y C', se proyectarán los centros de ordenada media de los arcos sucesivos de estas curvas, comprendidos entre las líneas de correspondencia escogidas, y que; en lugar de trazar paralelas a las tangentes de la linea de referencia 1\ , se trazarán paralelas a las cuerdas que unen los puntos de esta línea de referencia situados sobre las mismas líneas de correspondencia.

La figura ñfc) muestra la aplicación de un trazado de

esta clase al caso ya tratado (fig. 54), pero refiriendo ahora la integral A1 B1 a «na línea de referencia curvilínea

El caso particular más importante os el de una integral ordinaria (no de la integral de una zona limitada por dos curvas), cuando la nueva línea de referencia es

INTEGRACIÓN O R Í FICA 147

recta. En este caso, en efecto, todos los puntos p' de la construcción precedente (fig. 55) se confunden en un solo punto P ' de la línea de correspondencia del polo P. La construcción de la integral sólo difiere de la construcción ordinaria en que el polo P está reemplazado por el polo V . Como la dirección de la nueva línea de referencia es cualquiera, también será cualquiera el punto P ' de la linea de correspondencia del punto P. Por otra parte, esta línea de correspondencia, estando a la distancia 8 del ejeO y, puede ser también cualquiera, con tal que el módulo y que sirve para medir las ordenadas do la integral (a partir de la linea de referencia escogida) estó siempre dada por

Finalmente, se ve que el polo de la integración puede escogerse de cualquier manera en el -plano de la curva que se ha de integrar que suponemos referida a ejes cualesquiera Ox y O y. Una vez escogido este polo P, se tiene 8 (y por consiguiente, y) tornando, paralelamente a Ox, la distancia de P a O»/; además, la línea de referencia a partir de la cual han de ser medidas (con el módulo y) las ordenadas de la curva integral, deberá tomarse paralela a la recta OP; se la puede hacer pasar, además, por un punto cualquiera, puesto que se dispone en la evaluación de la integral de una constante arbitraria.

Pudiendo tomarse un puuto cualquiera como polo de integración, busquemos la relación geométrica que existe entre las integrales de una misma curva, correspondientes a dos polos diferentes.

UH OÁLOULO GRÁFICO

34. Relación geométrica entre las Integrales de una misma curva para dos polos diferentes.—A manera do lema, recordaremos La definición geométrica de las figuras recíprocas, de Cremona 1. .Dos figuras, compuestas de rectas, so7i recíprocas si a cada recta de una corresponde una recta paralela de la otra, y a tres rectas concurrentes de una corresponden tres rectas no concurrentes en la otra.

La posibilidad de construir talos figuras puede establecerse en el caso do seis rectas, por el procedimiento olcmental siguiente: sean A, B, C, D, cuatro puntos cualesquiera (fig. 57) unidos dos a dos por las rectas nume

radas de 1 a 6 . Después de construido el triángulo At Bt 0 4 directamente semejante a ABO {trazando las rectas 1*,

3*, respectivamente paralelas a 1, 2, 3), tracemos por Ai la recta 51 paralela a la recta 5 que pasa por E, y por B, la recta 4^ paralela a la recta 4 que pasa por A. Obtendremos así los puntos 0* y que uniremos por la recta ^ Si esta recta 6., es paralela a 6, la figura A 1 B 1 C1 D1 es recíproca de ABCD, según 1a. definición

1 Cremona, 2.

INTEGRACIÓN GRitPICA 149

anterior. También es evidente, pues así resulta de Ja construcción efectuada, que so tiene:

O, A, OA O , B i _ O D O , D, _ OBü i Bj OB ’ 0 , 0 , 0~A ’ O. A, ' 0 0 *

de donde, multiplicando miembro a miembro,

0 , D , _ 01)0 , 0 , “ 0 0 ’

lo que prueba que C iD * es paralela a CD.Visto esto, sean A jB.j y A'^B', arcos do integrales de

Fig. 58.

una misma curva AB, tomados entre las dos líneas de co- urespondencia cualesquiera AA4 y BB-j (fig. 58), y correspondiendo respectivamente a los polos P y P '. Si el centro de ordenada media del arco A B está proyectado en u sobro O y, las cuerdas A^B* y A ^B ^ son respectivamente paralelas a P íí y P 'u ; do igual modo, si A. está proyectado en a sobro O y, las tangentes en At y A'.,

350 CÁI.OULO g r Xp ic o

a Las integrales son respectivamente paralelas a Pa? y P 'a . Como, además, A., A'^ es paralela a ua, resulta, si las tangentes en Aj y A' 4 se cortan en T1; y las cuerdas A1 B1 y A'jB'., en St , que los sistemas de los cuatro puntos A 1 A'1TÍ S1, de una parte, a u F P ' de otra, son recíprocos, eu el sentido arriba definido, y, por consiguiente, que las rectas StT, y P P ' son paralelas.

Así, las cuerdas A4 B.j y A \B '{ se cortan sobre la paralela trazada por el punto de encuentro de las tangentes en A( y A.\ a la recta que une los dos polos P y P '. De igual modo se vería que estas cuerdas so cortan sobre 1a. paralela a la misma dirección trazada por el punto de encuentro do las tangentes en B, y B'4. Esta paralela es, pues, la misma en los dos casos, y como las líneas d§ correspondencia A t A \ y B1 B'1 son absolutamente cualesquiera, se llega a esta conclusión:

Las tangentes a los dos integrales en puntos situados sobre una misma línea de correspondencia, lo mismo que la$ cuerdas que unen dos pares de puntots correspondiéndose sobre dos líneas de correspondencia, se cortan todas, dos a dos, sobre una misma paralela a la recta que une los polos de las dos integrales.

Dicho de otro modo:Las dos integrales son komológicas, estando el centro

de homología en el infinito en la dirección de Oy y el eje de homología paralelo a la recta que une los polos de estas integrales.

Observación.— No puede dejar de sorprender la identidad entre los polígonos inscritos en las integrales y los polígonos funiculares de vectores paralelos, dirigidos se

tNTKGRACIÓN O R IFIC A

gún las lineas de correspondencia consideradas, y que tengan por magnitudes las diferencias de las ordenadas medias de los arcos separados por estas líneas de correspondencia. El resultado últimamente obtenido se confunde entonces con un teorema fundamental de la estática gráfica de Culmann. Aquí, como se ve, resulta de consideraciones geométricas directas completamente elementales.

35. Integrales sucesivas. Determinación de las constantes arbitrarias.—Si se construyen, por el método que acaba de exponerse, las integrales sucesivas C4, C¡¡,. . . C„ , . . . de una curva dada C tomando arbitrariamente, sobre una misma línea de coi'respondencia, el punto inicial de cada una de ellas, esto equivale a tomar para valor inicial de la abscisa, los valores de la integral n ásimu y de sus n -1 primeras derivadas.

Se puede, además, conforme se ha dicho en el número 24, afectar a las ordenadas de estas diversas integrales de los módulos diferentes yi} Y2, . . . Y„ , . . . escogidos de antemano. Basta, para esto, que las bases sucesivas de integración satisfagan a las relaciones

xp — Y, 5,,* T i = f i ,

a y . _i_ y S1 n — 1 - » n n

Cambiar, después de la integración, los valores de las constantes arbitrarias, equivale a sustituir a las ordenadas ?/„ de C„ las y'„ que vienen dadas por

m o Xl c ü l o o r Xf ic o

siendo los coeficientes a0, ait . . . <z„_i arbitrarios. Gou una elección particular de estos coeficientes, bastaría construir (núm. 20) la parábola H„ de ecuación

,, = _ + ?i - 2 +. . . + « „ .

Se tendría entonces

!Ú ^ !/»-!/■

Dicho de otro modo: la integral C„ dará a conocer con sus ordenadas, los valores buscados, a condición de ser referidos a una línea confundida, no ya con el eje O x, sino con la parábola n n_ L,

Se puede, en particular, definir las n constantes arbitrarias por la condición de que, para n valores dados de x, y'„ tenga valores dados. Nada más fácil entonces que construir la parábola M „_i. En efecto, habiendo sido trazada la integral C„ con constantes arbitrarias absolutamente cualesquiera, tomemos sobre esta integral los punto3 A„ , Bn , . . . correspondientes a los valores dados de x, j sobre las líneas de correspondencia de estos puntos llevemos los segmentos A„ A'„ , B„ B'„ , . . . iguales (mód. Y«) a los valores dados de y 'n cambiados de signo. No falta más que hacer pasar por los puntos A '„ , B '„, . . . la parábola I l„ _ i que determinan sin ninguna ambigüedad. Este es el problema de la interpo lación gráfica tal como se ha resuelto en el núm. 20 .

Conviene observar que las bases que deben emplearse para las diversas transformaciones por la abscisa son las mismas 3n , . . . que han servido para las integraciones.

En particular, si so trata do la integral primera, basta tomar el punto correspondiente a uu solo panto At y trazar por este punto A'< una paralela H0 a Ox; si se trata de la integral segunda, basta tomar los puntos A'a y B'a correspondientes a dos puntos A2 y B2 y unir estos puntos A'2B'2 por una recta Hj, etc.

En las aplicaciones, las integraciones sucesivas se aplican, en general, a zonas limitadas a dos curvas C y C', tomadas a partir de una cierta línea de correspondencia. Las constantes arbitrarias se obtienen teniendo en cuenta que, sobre esta línea de correspondencia, las integrales sucesivas deben ser nulas. Dicho de otro modo, si se construyen separadamente las integrales sucesivas correspondientes de una parte a C, de otra a C/, las integrales C„ y C'n deben, cualquiera que sea n, partir del mismo punto A„ de la línea de correspondencia inicial.

Se puede, además, conforme se ha visto en e¡ núm. 32, obtener los valores del área comprendida entre C y C' por medio de una sola integral Ct cuyas ordenadas se tomen a partir de la paralela A ^ a Ox, trazada por el punto inicial A j do C*. Para las integrales siguientes, no hay que cambiar nada a lo que precedo a condición de que se tome el eje A*** para C \ . En este caso, de un modo general, C'n será una parábola n n_ t de orden n — 1 osculatriz (contacto de orden n — 1 ) a C„ en el punto A

Pero se puede evitar fácilmente el trazado de estas parábolas HB_ 1 sucesivas. Basta, en efecto, para efectuar la segunda integración, tomar A lx i como eje de las x, escogiendo el polo P4 sobre este eje; la integral C \ es entonces la paralela A2£ 2 trazada a At#* por el punto

INTEGRACIÓN GBXPIOA 15Ü

CÁLCULO GRÁFICO

inicia], Aa arbitrariamente escogido para C2. De igual modo, tomaremos A2 como eje de las » para la tercera integración, y así sucesivamente. De esta manera, las parábolas n „ _ i sucesivas quedan todas reemplazadas por paralelas a O*.

36. Integrales diversas ligadas a una curva dada.— Longitud, momento, centro de gravedad de un arco de curva.—Si y representa la ordenada del punto móvil de una curva C, llamaremos integral ligada a esta curva toda integral de la forma

Si, sobre la ordenada de cada punto M de esta curva se lleva el segmento MM' representativo (mód. p) de la

dado por el área (mód. [<x[3]) engendrada por el segmento de ordenada MM' entre las Uneas de correspondencia relativas a los límites escogidos. Esta área viene, además, dada por la diferencia de ordenadas (mód. y) de los puntos correspondientes de las integrales C* y C 'j de la curva C y de la C' descrita por M', partiendo estas dos integrales de un mismo punto At de la línea de correspondencia inicial. Se pueden obtener estas diferencias de ordenadas por medio de nna sola integral referida a una paralela a Ox (nóm. 32).

La cuestión se reduce, en cada caso particular, a cons

IN T E G R A C IÓ N G R A F IC A 155

truir por puntos la curva C', y aun si es posible con sus tangentes.

Podemos citar como ejemplo la determinación de los momentos tomados con relación a O y. Estando dado el momento de orden n por

ia curva C' puede obtenerse por la aplicación n veces x-epetida de la transformación por ia abscisa (núm. 19). Se obtiene eu seguida el momento M„ por medio de una sola integración en lugar de las n-f- 1 que se han indicado en el núm. 24 1.

Propongámonos, como otro ejemplo, determinar la longitud de un arco de curva AB (fig. 59), y su momento con relación a O* que suponemos aquí perpendicular a O 2. Además hay que suponer necesariamente iguales los módulos i y p relativos respectivamente a las abscisas y a las ordenadas, sin lo cual el módulo con e! que debería ser medido cada elemento infinitamente pequeBo del arco dependería de la inclinación de óste sobre O.c.

’ Este procedimiento, propuesto porH. Collignon, tiene sobre el que se ha indicado en el núm - 24 la ventaja de no exigir más que una sola integración cualquiera que sea n; pero, en cimbio, exige la renovación del trazado ouundo se cambia el eje (aquí confundido con O.v) con relación al cual se toman loa momentos, mientras que la construcción Jel núm. 24 permanece la misma cuando este eje varía conservando su dirección.

1 Collignon, págs. 17 y 24.

15l> c A l c ü l o ^ Q r X f i c o

Si llamamos o el ángulo de la tangento 011 M con 0.r,

o lo que viene a ser lo mismo, el ángulo de la normal MN con la ordenada MM', tenemos para la longitud dol arco

Llevemos sobre la normal MN una longitud MK igual a una constante cualquiera k (raód. cu) y levantemos en

INTEGRACIÓN GRXPICA 157

K a MN la perpendicular KM'. Tendremos para ol número y' que mide MM' (mód. «)

.Basta entonces, para obtener directamente el número que da el valor de s, medir la ordenada final, comprendida entre las integrales Ci y C \ de las curvas AB y A' B', con una unidad de longitud igual a 7cy on lugar de y . '

En cuanto al momento n del arco AB tomado con relación a O a;, viene dado por

No habrá, pues, más que llevar sobre la línea de correspondencia de M el segmento MM" igual a MN e intégratela zona entre las curvas AB y A "B ".

Observemos que si y \ es la diferencia de las ordenadas de los puntos terminales B* y B 'i do las integralesC, y C i, y de igual modo y" la diferencia do las ordenadas de B, y Eí', se tiene, para la ordenada Y del centro de gravedad de! arco AB,

k

Luego

l o a O.íLCtXLO G R XP ICO

expresión fácil de construir gráficamente. Este centro de gravedad estará, pues, completamente determinado si se conoce la línea de correspondencia sobre la cual se encuentra. Ahora, esta línea de correspondencia es evidentemente la misma que la del centro de gravedad del área A A 'B 'B , la cual, según lo que hemos visto ya (número 24), pasa por el punto de encuentro de las tangentes en B2 y B '2 a las integrales segundas de tos arcos AB y A 'B '.

Como complemento, vamos a hacer ver cómo, cuando se conoce el centro de curvatura m de la curva AB correspondiente al puuto ¿i, se pueden construir las tangentes en M' y en M " a las curvas A 'B ' y A "B " , determinando los puntos T ' y T " en que encuentrau a la tangente en M a AB (fig. 59).

Si m' es el punto en que la normal en M' a A 'B ' corta a Mw, se tiene entre las diferenciales d(M), d(M'), rf(K) de los arcos descritos simultáneamente por los puntos M, M ', K, y notando que, puesto que ItK es constante, el lugar de K, paralelo al de M, admite también para centro de curvatura el punto m,

<í(M) _ MT' d(M'j MW d(K) _ K m á(M') M'T' ’ d(K) Km ’ d(M) Mw ’

de dondo, multiplicando miembro a miembro

INTEGRACIÓN GRAFICA

igualdad que conduce a

J5 9

M'T'wp' = H T ni;

pero, siendo el cuadrilátero T 'M M 'm ' íuscriptible, puesto que los ángulos T 'M w ' y T 'M 'w ' son rectos, se tiene

M 'T 'ni = M ‘ M m \

o, trazando mT paralelamente aO *,

M 'T V = MTm.Luego

"MTju = MTm ,

lo que muestra que

MT' —MT,

de donde se deduce la construcción del punto T' simétrico con relación a H del punto T donde la tangente en M es cortada por la paralela « O í traxada por el centro de curvatura m.

En cuanto a la determinación del punto T", resulta do que, siendo MM" de dirección fija, tendremos

d{M) M T " _ M T “d . M M " M M " M N ‘

Si, por otra parte, la normal a la envolvente de MN

1 G0 OXLOüLO GRAFICO

(perpendicular levantada en vi a M'N) corta a la perpendicular levantad» en N a Ox en ol punto n, se tiene:

t i . MN

Resulta de aquí que

d (M) _ M m

M T' Mm51N

Los triángulos rectángulos MT"N y m lfn, que tienen los catetos dos a dos perpendiculares, serán semejantes, y tendrán, por consiguiente, sus hipotenusas también perpendiculares. Dicho de otro modo, el punto T" está m la intersección de la tangente en M y (le la perpendicular bajada desde N sobre Mu.

Caso particular del arco de círculo. — Recordaremos aquí que, para el caso particular del arco de circulo, he

mos dado una construcciónaproxim ada 1 que puede enunciarse así (fig. 60): Si se toma sobre la cnerda AB el punto M tal queA If = — AB, y si el radioque pana por el panto M corta al arco AB en el pimto L, la cuerda AL es

2igual a los — del arco AB

con un error relativo que permanece inferior a 0,0001 hasta más allá de las 35”, a 0,001 hasta más allá de

o\s. I».

1 Nouvelles Annáles de Mathéniuliqucs, 1907, pág. 1.

INTEGRACIÓN GRÁFICA 10 í

¡os {55", y quo no llega más que a 0,008 para un arco de 90°. Si, pues, se traxapor B la paralela BP a ML, se tiene A P=arc AB, con el grado de aproximación que acaba de indicarse.

Observemos que esta construcción permite, inversamente, llevar sobre el círculo, a partir del punto A, un arco AB de longitud dada. También permite obtener el centro de gravedad G de un arco BAB' (fig. 60 bis), teniendo en cuenta que, si sobre la tangente en A se lleva el segmento AQ igual al arco AB rectificado en AP, el centro de gravedad G es la proyección sobre DA del punto de encuentro H de OQ y de la paralela a Ó A trazada por la extremidad B del arco.

37. Integrales deducidas de varias curvas.—Se puede también considerar integrales de la forma

/ F íx, y, u\ ■■■) <lx,

siendo y, ij , . . . las ordenadas de las curvas C, C', . . . correspondientes a una misma abscisa x. Si, a la manera <le lo hecho en el número precedente, se puede construir de modo sencillo la ordenada Y definida por

Y •= F y.t), y. y, ... ),

estaremos dentro del caso ordinario. Pero ocurre también que se pueda obtener, para cada valor de x, la direccióu

íl

162 c X l c o l o g r A k ic o

correspondiente de la tangente a la integral sin tenor que determinar efectivamente a Y. He aquí un ejemplo que so presenta en ciertas aplicaciones:

Sea efectuar la integración

f yy'dx,

siendo y , >/ las ordenadas de las curvas C y C' (fig. Gl).Si P es el polo de la integración tal que O P = 3 , tendría

mos la in te g ra l do y uniendo los puntos tales como n, proyocción del punto móvil M de C sobre Oy, al polo P. En lugar de multiplicar O ¡i por y ' y unir la extremidad del nuevo segmento obtenido sobre O y al polo P para toner la dirección do la tangente a la nueva integral, po

dremos también, conservando Oix, dividir OP por y ' to- *mando O n " = — ; la dirección h"íi así obtenida para latangente en Mi será la misma. Ahora, para determinar

OPel punto ¡i' tal que On" > basta, después de habertomado sobre O y el segmento OQ —p y proyectado M' eu ji' sobre O y, trazar la paralela Qn" a Pía’ .

Es de importancia hacer noíar que se cometería aquí uu gran error, si para obtener, en lugar de la dirección do una tangente, la de una cuerda comprendida entre dos ciertas líneas de correspondencia, so sustituyesen en la construcción precedente, los puntos J5f y M' por los centros de ordenada media de los arcos de las curvas C y C' comprendidos entre estas iíueas de correspondencia. Tal

IN T EG R A C IÓ N G RAFICA 163

trazado jüo sería suficientemente aproximado a no ser que se tomasen las líneas de correspondencia bastante próximas para que Jas tangentes en los extremos del arco de integral comprendido entre dos de ellas puedan ser consideradas como encontrándose sobre la línea de correspondencia equidistante de óstas. Mientras que, en efecto, si las ordenadas móviles se añaden o se restan, como en los núms. 32 y 33, la relación entre las ordenadas medias es la misma que entre las ordenadas móviles, no ocurre lo mismo cuando las ordenadas móviles se multiplican.

C . — Integrales parabólicas.

38. Polígonos integrantes.—Se puede, en las aplicaciones, tener necesidad de integrar parábolas n n , ya porque resulten de integraciones sucesivas a partir do líneas rectas, ya porque hayan sido obtenidas como resultado de interpolación gráfica (nüms. 20 y 21). El método fundado en la consideración de los centros de ordenada inedia da, en este caso, una construcción no sólo aproximada, sino rigurosa, basta las parábolas n 3; míís allá de óstas, vuelve a ser aproximada. Pero se pueden, en este caso, obtener rigurosamente, cualquiera que sea n, tantos puntos como se quiera de la integral de la parábola n„ por el siguiente mótodo, debido igualmente a IT. Massau *.

1 Massau, 1, núm. 69. Si la línea que se va a in teg ra r es poligonal, este método es recom endable para determ inar loa puntos de las in teg ra les sucesivas situadas sobre las lineas do correspondencia d é lo s vértices, donde se enlazan los arcos de parábolas d is tin tas de que se componen estas in teg ra les.

c á l c u l o g r á f i c o

Tomemos cuino primora linca para integral', una rocta paralela a Ox, la cual, para la completa generalidad de nuestras notaciones llamaremos una Jl0 y cuya integral {recta’cuya inclinación resulta de la ordenada de n 0) será una H ,.

Dicho esto, definiremos del siguiente modo la operación sobre que se basa el método.

Sea P,- una línea poligonal de i lados cuyos »—|— 1 vértices designados por A”, Aj, . . . A i están situados sobre líneas de correspondencia equidistantes (el primero de los cuales y sobre el que se encuentra A° se podrá siempre suponer en coincidencia con O y). Proyectemos los vértices A¿, . . . A* sobre O y y unámoslos al polo P< de la integración; después, habiendo dividido el intervalo entre las líneas de correspondencia extremas en ¿-(-1 partes iguales, construyamos, a partir de un punto A°+i tomado sobre O y, una nueva línea poligonal A°.+ A’i+i . . . A ‘+ ‘ cuyos vértices estén sobre las líneas de correspondencia sucesivas trazadas en último lugar y cuyos lados A< + 1a} + ,, A í+ ,A{+1, . . . A- + tA|+) sean respectivamente paralelos a los vectores P¿ A °¡, P<«{, . . . P««í- Obtenemos así la línea poligonal P <+1.

Efectuando sucesivamente esta construcción, a partir de una recta P 0 paralela a O* (la cual, según la convención precedente, puede llamarse también una n 0), los polígonos Pt- así obtenidos se flaman los integrantes de esta P 0 o n 0■ vamos a ver, muy pronto, la razón de ello.

La figura 62 muestra la construcción de I09 tres primeros integrantes de una ti 0; para hacerla más clara, se ba dado al eje Ox, al pasar de cada polígono Pf al si-

INTEGRACIÓN GRXKICA 165

guíente, una traslación paralela a O y, con objeto de separar el nuevo trazado del precedente. Se ha supuesto,

Fig. G2.

además, que so conservaba la misma base de integración

(2 = 0 V = O P = O P = O P )\ O O f 1 * » A 8/7

cuando nada impide cambiarla a cada integración mediante el cambio correspondiente del módulo Yj como se ha visto en el ndm. 35.

Si, de una manera general, llamamos ;¡y* la ordenada del vértice A* referida al eje Oix { correspondiente, de modo que el cuadro completo de las ordenadas hasta P„

166 CALCULO g r á f ic o

se escriba:0yn y\> V» • • vi ••• vi ‘ vi0■n — i Vn-l Vn-, ••• V n - , •0Vi l 5l

Vi •• Vi

0y.

iy.

0y,

iy,

0K

propongámonos calcular y {nSuponiendo que los módulos sucesivos satisfacen siem

pre a la relación fundamental (núm. 8), la construcción indicada, cuando so consideran las diferencias de las ordenadas de una misma línea, se traduce, si x representa la abscisa de la línea de cori^spondeucia extrema, por la relación

(1) £ y U lf

de donde, repitiendo sucesivamente el cálculo, se obtiene de un modo inmediato

(1 M A u \ = (M — ¿4 -1 ) y n-k.

Ahora, la relación fundamental del cálculo de las diferencias, que se escribe simbólicamente

2/« = ( l+ A )V m,

INTEUR ACIÓN GRAFICA í 67

es decir

< « i i , » > H*— 1) . » " i i *• • • 1 . í "Vit ~ y n & Vn “i“ 1 2 ^fl ' * ' 1 i y H 1

da, cuando se tiene en cuenta a (1 bis),

10) y* = y * + ± a ; + *<>—1 ) . y « - .' ; 1 re 1.2 «O —1)

+ . .. X-jliÍ --------x<»1 ... I

y, en particular,o

(2 bis) y l = + I j p . x + + • • '

1. . . n

JÜsta última fórmula, idéntica a la fórmula de Maclau- ñn aplicada a la función y (cuyo valor, y el de sus n derivadas, para x — 0, son y an, y°n_ í , . • ■ y"), muestra que el punto A” pertenece a la parábola II „ } násiraa integral de n 0 cuando las n constantes de la integración se toman- iguales a las ordenadas de los puntos A,, A,, . . . A „.

Se tiene así un medio de construir, y esta vez rigurosamente, el punto de la integral parabólica n „ ,situado sobre una línea de correspondencia cualquiera. Además, siendo n cualquiera, los puntos A “T¡, A”—1> . . . A, describen al mismo tiempo las integrales parabó-

168 OÁLOÜLO GRÁFICO

Esta construcción sugiere inmediatamente las siguientes observaciones:

Observación I .—Perteneciendo ios puntos A» y A? a la parábola n< , los lados A¿+1A5+i y A,- + ,A l+ ;, que son respectivamente paralelos a los vectores I^A^yP,-«*- son tangentes a la parábola n <+,. Eu particular, n n es tangente a A^a',, y A ”~ ‘A".

Observación I I .—Si, tomando como línea de correspondencia inicial la del punto A ” sobre la cual estén marcados los puntos A*, A*, . . . A", se trata de obtener el punto A° sobre O y tomado como línea de correspondencia final, los polígonos integrantes son los mismos que los de la construcción precedente, pero recorridos esta vez en sentido inverso.

Observación I I I .—La fórmula (2 bis) muestra que los elementos de la línea superior del cuadro (I) se expresan linealmente por medio de los elementos de la columna de la izquierda de este cuadro. Ahora, estos últimos definen completamente la parábola JI„ •„ lo mismo ocurrirá, pues, con los primeros, y como, además, los puntos A„ y Añ pueden ser cualesquiera sobre estas parábolas, se puede decir que una integral parabólica está completamente, determinada por d polígono integrante de n lados P„ traxado entre dos cualesquiera de sus puntos donde, según la Observación /, es tangente a los lados extremos de este polígono. Por esta razón, P„ se llama el integrante fe n„ en el intervalo de las líneas de correspondencia de A „ y de A j.

Pudiendo aplicarse la misma observación, según la fórmula (2), a los t’- j- l primeros elementos de la línea superior del cuadro (I), unidos a los primeros elementos, a contar por arriba de la primera columna de este cuadro, se deduce de esto que los i primeros lados del integrante P„ definen el contacto de orden i de la parábola

INTEGRACIÓN G R ÍFIC A ICO

n„ en el punto Á°n. Bicho de otro modo: Si dos parábolas II„ y 1 1 tienen en An un contacto de orden i, y si. se construyen sus integrantes P„ y P'„ en un mismo intervalo a partir de la línea de correspondencia de A°„ estos integrantes tienen comunes sus i primeros lados a partir de A„-

Observación IV .—El criterio de contacto de orden i, puesto en evidencia en la observación precedente, puede extenderse inmediatamente a dos parábolas y nn. de órdenes diferentes. Sea, por ejemplo, n '—n—v. Basta tratar la parábola H,/ como una parábola II„ para la la cual se tuviese:

v\= y]= vl= = »

después, a partir del índice v, ■¡/t—y’u-», lo que conduce, una vez construida la recta n 1> integral de H0j a aplicar la construcción de los integrantes sucesivos partiendo de los puntos de esta recta, situados sobre las líneas de correspondencia que dividen el intervalo considerado en v —|— J. partes iguales.

Observación V.—La fórmula (í) da inmediatamente:

V i - ?/«=

*=«— x Vn ' V„.

o, si w„_, es la ordenada del centro de gravedad G„_, de los vórtices de P„_l(

y”—vi =

Por consiguiente, si este centro de gravedad se pro-


yecta en sobre O y, la recta A°,A¡¡ es paralela a P l o que permite, para obtener A” partiendo de A„, economizar el trazado de Pn si se conoce G„_,,

Busquemos, por ejemplo, la construcción del G8 de un Pa tal como ASA* Aa A° (fig. 63). Este centro de grave

dad G8 está en el punto medio del segmento MN do la línea de correspondencia que une el medio de A , A, al medio N de a Ja ", y se tiene:

MC _ MN _ H A > K A ; _ |(M S+M T.)MtT’ ------2----------------1----------------------4---------

_ MS+MT ~ ti

o, si W os el medio de ST,

Ahora, según la Observación I , las rectas A°S y A^T son tangentes en A, y A¡ a la parábola n,. Volvemos así a encontrar la construcción del centro de ordenada media de un arco de n , obtenida directamente en el número 2Í).

IN TEG RAC IÓ N GRAFICA 171

39. Generación de una integral parabólica por dilatación de su polígono integrante.—Acabamos de ver (uúrn. 38, Observación III) que una integral parabólica n „ está completamente determinada por el polígono integrante A A 'A " . . . A» construido entre dos cualesquiera de sus puntos A y A» , y cuyos vértices intermedios se encuentran sobre las líneas de correspondencia que dividen eí intervalo de A a A" en n partes iguales. Es, pues, evidente ápriori que partiendo de este polígono tomado como dato inicial, se podrá construir directamente el punto de n K situado sobre una línea de correspondencia cualquiera, sin llegar a la né3íma derivada n o de Hn.

Veamos primero, si damos al intervalo x que separa la línea de correspondencia de A" de la de A, el incremento A x , en que se convierten las ordenadas de los vórtices del polígono integrante que va de A a A ", ordenadas cuyos nuevos valores designaremos por medio de la nota* ción YJ,. Basta, por otra parte, para obtener reemplazar en la expresión (2) de y J, encontrada en el número anterior, x por x -^ -k x , lo que da inmediatamente:

Y* = «/* 4- — • A ¿ c + - ^ ~ 1; • - 4 - — Ax 2 + . . .” » » ^ i n 1.2 «(»—1) ^O, i ■■ .1 Vn-i . i

1. .. i é-f-l/l ’o, teniendo en cuenta la fórmula (1 bis) del número anterior, y poniendo


So puede transformar esta expresión por medio de la fórmula bien conocida que se escribe simbólicamente (el trazo sobre la t/ indica que los exponentes deben, después del desarrollo, considerarse como Índices de orden)

*ru i r - i / ; , - ' 'f o - i ) - -

Tonemos entonces:

(1 bis) 1 = (i + p)¿ ~ ~ p(i+ p)‘ ' 1 y í r 1l >(Í— l.1 í ,, | í— ! s - . . ¡ i . . . 1 i n

+ r~2~ P ' ~hP‘ V" +•••4-' — 1 / y .T 7 T p ?/" ’

que se puede escribir simbólicamente:

^ «—['í + p1 i/,, f-3*•

La expresión (1 bis), lineal con relación a yn, yn, ... y„, nos muestra que YJ, puede obtenerse por una construcción en que no se empleen más que líneas rectas. A fin de dar al enunciado de esta construcción una forma lo

más sencilla posible, definiremos primero la operación gráfica que nos proponemos llamar dilatación en ínter mío de una línea poligonal.

pj?. Sea primeramente unsegmento dirigido Á Á (figu

ra 64). Si damos a la línea de correspondencia de su extremo A' un desplazamiento ix , tomado con su signo,

IN TE G R A C IÓ N G R .ÍM C A

y lluvamos ostc extremo a 15' haciéndolo resbalar a k> largo de AA', diremos que el segmento AB' resulta de A A' por una dilatación ¿x en intervalo.

Sabido esto, sea una línea poligonal A A 'A " . . . A*‘ , cuyos lados sucesivos A A', A 'A ”, . . A”~>A" suponemos comprendidos en intervalos iguales entre sf (fig. 65).

A XDemos a todos estos lados una dilatación----- en inter-nvalo; obtenemos así los puntos B', B", . . . B" ; demos aún a los segmentos B 'B ", B "B " ', . , . B M-’Bn una di-

ArElatacióa----- en intervalo; y así sucesivamente, hastanque lleguemos a un último segmento L'‘~ 'L ’* que, dila-

tado —- - eu intervalo, nos dará, en fin, el punto Mhi El

polígono A B' C" . . . Ln _ tM'‘ se llamará transformado de A A 'A " .. . A” - > A'* por la dilatación ¿x en intervalo.

La figura 05 muestra la construcción *en el caso de n = 4.

174 o X l c u l o g h Xp i o o

A fin lie evitar confusión con la notación do) nómero anterior, designemos las ordonadas de los puntos precedentes en el orden

A A' A" ... AB_’A" B' B" ... li'*— 1B"

M"por medio de la notación

0 1 8 — | «i//.. w„ u. . . . u¡‘ ' h"u, ... n? V*

un~ ‘u’‘“m — i —i

y, llamando siempre x el intervalo comprendido entre A

y A " , pongamos como antes —:— = p.

En estas condiciones, tomadas siempre las diferencias entro elementos de una misma línea, se ve que la operación elemental a que se reduce la dilatación se expresa por

k .AyM

«? => « ? _ ,+ — a « ? _ ; = + p á # * _ ;;n

de donde, por un cálculo inmediato

«* = < + y “ o"”

+ - - - + f e r pjA’< i

INTEGRACIÓN G r XFICA

y, en particular, para /,==■/

i i I • j — i < 1- i' í> w 1) * * * i -«1 = < + Y ? á « . ' + 1-2 p A

■ i • 1 •> : • • {Jn, tendremos:

Luego, si el polígono A A '. . . A» es el integrante de la parábola n„ qué va del punto A al punto A" que está separado de él x en intervalo, el polígono A B '. . . H “ es el integrante de la misma parábola, yendo del punto A al punto H" que está separado de 61 x-f- Ax en intervalo.

Dicho de otro modo: Si al polígono integrante de n„ , construido entre don puntos cualesquiera A. y A'* de esta parábola, se da, a partir de A, una dilatación cualquiera en intervalo, la extremidad. M" del polígono dilatado describe TI«

Además, siendo el polígono dilatado el integrante en el intervalo de A a Mf, el lado L"—’M" es tangente en M” a la parábola n„ ¿egún la Observación I del número precedente.

Observación I. — La construcción precedente permite trazar una n 8 de la que se den dos puntos A y A" y la tangente en uno de estos puntos, A por ejemplo. En efecto, si esta tangente corta a la línea de corresponden-

170 c í l c o l o o r i f i c o

cía equidistante Je A. y A" en A', A 'A" es la tangente en A", y la línea poligonal A A 'A " constituye el integrante de la H, considerada de A a A". La figura 66

Fig. 66.

maestra la construcción de un punto cualquiera C" de esta n í coji la tangente B 'B " en esto punto i, construcción fundada en la igualdad de los intervalos entre A' y B', A" y B", tí" y C".

Lo mismo puede decirse del trazado de una n i de la cual se dan dos puntos A y A"' y las tangentes en estos puntos. Si, en efecto, las iíneas de correspondencia que dividen el intervalo do A a A"' en tres partes iguales encuentran estas tangentes respectivamente en A.' y A", el integrante de la n» considerada, de A a A"' está constituida por la línea poligonal AA'A" A"'. La construcción correspondiente del punto móvil D'" con la tangente C "C '" en este punto está indicada en la figura 67.

Observación II.—Según el trazado del polígono dilatado, las líneas de correspondencia de los puntos B“, . . . L", M”, están separadas de la de A" por los inter-

1 Es muy notable que la oonstruooión así obtenida sea precisamente la misma que la que hemos indicado en otro tiempo (Gcnie Civil, t. IX, 1886, pág. ilO), para el trazado de las parábolas de los momentos fleetores de una viga uniformemente cargada. Se ve, en efecto, inmediatamente sobre la figura que B’'C" —IB'.

valos , 2 , . . . rt ; todos,, pues, equidistanA cr■ , y se ve que si, tomando el punto A ” como origen,

se dilata x en intervalo el polígono M” L" ...15» A ",

INTE0RA.0X(3N g r á f ic a 177

se encuentra Mn L " —« . . . B 'A. Resulta de esto que M.” L” . , - B" A" no es otra cosa que el integrante de la misma U „ de M" a A'* .

Puesto que del integrante entre A y A’> hemos deducido así el integrante entre A” y M” , podremos del mismo modo deducir de este último el integrante entre M" y otro punto cualquiera de n n Dicho de otro modo: del integrante entre dos puntos cualesquiera de H „ se puede deducir el integrante entre otros dos puntos cualesquiera de la misma H„.

Observación I I I .—Si, para dos parábolas II „ , que tienen común el punto A, se ha trazado, a partir de este punto, lo8 polígonos integrantes que corresponden a intervalos diferentes, basta, para aplicarles el criterio de contacto indicado en la Observación I I I del número precedente, dilatar uno de estos integrantes para extenderlo al intervalo del otro; si despuó3 de la dilatación, sus i primeros lados se confunden con los i primeros de éste, entre las dos parábolas hay, en el puuto A, un contacto de orden i.

19

178 CÁLCULO G liÁ FIC O

40. Construcción del Integrante de una parábola n „ dada por n -\-1 puntos.—Repitiendo sucesivamente la construcción indicada en el rtúm. 38 vemos que, del integrante de una n„ cualquiera, eutre dos líneas de correspondencia cualesquiera, se pueden deducir los integrantes de las integrales sucesivas Hn + 1, n H + J, . . . de esta n„ entre las mismas líneas de correspondencia. Por otra parte, deduciéndose, por el teorema de! núm. 39, del conocimiento del integrante entre do» puntos cualesquiera de una integral parabólica, la construcción rigurosa de todos los puntos y aun de todas las tangentes, de esta parábola, se puede decir que el conocimiento de un integrante cualquiera de una parábola n„ lleva consigo la determinación rigurosa de todas las integrales sucesivas de esta parábola. Poro ocurre, en las aplicaciones, que la parábola n n que ha de integrarse está definida por íí—1 de sus puntos. Se presenta entonces el siguiente problema: Conociendo n -}-1 puntos de una parábola n„ construir un integrante de esta parábola.

Se puede, tomando por origen uno de los n-j-1 puntos dados, y aplicando la transformación inversa por la abscisa definida en el miro. 19, obtener n puntos que definan una la cual, aplicando la transformación directa opuesta a la precedente, reproducirla la n n dada.

De esta n n_ (, se podría pasar de igual modo a una H „_ i>yasl sucesivamente a una n t es decir, a una recta, la cual, entre dos cualesquiera de sus puntos, es ella mismu su propio integrante.

Por consiguiente, para llegar, partiendo de aquí, a obtener el integrante de la II„ considerada entre dos líneas de correspondencia cualesquiera, basta saber resolver este problema: conociendo el integrante de una parábola de orden n — 1 entre dos líneas de correspondencia cualesquiera, encontrar, entre las mismas líneas de correspoíi- dencia, el de la parábola de orden u obtenida transformando la primera por la abscisa a partir de un origen cualquiera.

i n t e g r a c i ó n g e Aí i c a 170

Llamemos y la ordenada móvil de la U „ obtenida (la que hemos representado por Y¡¡ en el núm. 39), y 0, ?/i , y2, . . . y„ las ordenadas de los vórtices de su integrante entre las líneas de correspondencia consideradas (lo que representábamos en el núm. 38, por y„, y \ , y „ ,.. .y").

La fórmula (1 Lis) del miro. 30, para i —n, da'.

y=(l-f-p)" y,, — -j- p(l-f p)’,-J# „ _ ,

■“ 1 ) • | ■» ft * i / J V ti+ -;■■■- - p u + p ) yn- , + nya-

Del mismo modo, tendremos para la transformada inversa por la abscisa, adoptando la letra r¡ para las ordenadas que so refieren a ella

n = (i+ ? )’*- n,I_I- JLp -p (l+ P )"-* n B_t

+ p 'd + p)”~‘ ’i«-. • • • + < - o - p ”- ' v

Ahora, si n y v son las abscisas de las líneas de correspondencia U y V, entre las cuales se toma el integrante, tendremos, según la definición de la cantidad ? dada en el número 39, para la abscisa correspondiente a las ordenadas y y k),

a-|-(l-f-p) ( v — k )= (1 + p )u — pit.

Luego, la relación entre las ordenadas y y r¡ se escribirá:

y = [(L-|-p)t> — P«]i).

Reemplazando eu esta ecuación y y n por sus valores


anteriores e identificando, para todo valor de p se tiene:

ny. iv-fit-,,

ny0 =nur,

El problema gráfico que hay que resolver, se reduce, pues, a esto: si numeramos 1', 2', 3', . . . (n— 2)' las lineas de correspondeucia que dividen en n — 1 partes iguales el intervalo de las líneas de correspondencia de abscisas u y v [numeradas 0' y (n — 1)'], y 1,2,3, . . . (»—1) las líneas de correspondencia que dividen en n partes iguales el intervalo de las mismas líneas de correspondencia (numeradas ahora 0 y n), se trata, llevadas las diversas ordenadassobre las líneas de correspondencia i ', de deducir de ellas gráficamente las ordenadas y ( sobre las líneas de correspondencia i (fig. 68).

La relación general que da y{ puede escribirse:

Ó i U A V *F ig . 68.

IN TEGRACIÓN G R ÍF IC A 181

Ahora, si dividimos también el intervalo entre el origen y la primera línea de correspondencia del integrante (abscisa u) en n partes iguales por medio de líneas de correspondencia numeradas 1", 2", . . . i ”, . . . a partir del punto de abscisa u numerada Ó", se ve que las abscisas O í" o i " i vienen dadas por

n—iOí --------— u,ni " i .-= — — (ti — u) .n 1 n ' ’

y, por consiguiente, que

Si, pues, sobre la línea de correspondencia cuya abscisa O A es igual al módulo oc del ejo de las x, se proyecta en mi y los extremos M< y Mj_, de las ordenadas el principio enunciado en el nüm. 9 muestra que, para obtener el extremo P< de la ordenada y( sobre la línea de correspondencia i, basta traxar la paralela P¡ Pj a Om¡_, por el punto P¡ en que la rectaO mi corta a la línea de correspondencia i" .

Tal es la construcción elemental que por repetición sucesiva permitirá construir el integrante de una n n dada por Jí-j-1 puntos cualesquiera. Esta construcción se simplifica grandemente cuando se supone u = 0, es decir, cuando el polo de la transformación por la abscisa se encuentra sobre la primera línea de correspondencia del in-

f»tegranto, porque entonces todos los puntos tales como P< confundiéndose con O, el jnmto P| se entumirá en la intersección de la línea de correspondencia i y de la recta Omir i .

Desgraciadamente, la elección de este polo no es arbitraria. Debe, cuando se sigue la marcha descendente,

182 C Á LCU LO G R ÁFIC O

coincidir cada vez con uno de los pantos del último sistema obtenido.

Se puede, sin embargo, si se prefiere, en la marcha ascendente, tomar cada vez por primera Unea do correspondencia dol integrante que se ha de transformar la que pasa por el polo de la transformación por la abscisa correspondiente; pero se puede entonces, entre dos de estas transformaciones consecutivas, recurrir a una dilatación del integrante tal como ha sido definida en el mím. Si).

La figura 69 muestra la aplicación dol mótodo a unaparábola definida por tres puntos A, B, C. Tomando por origen el punto A y por módulo la abscisa del punto C, so deduce del punto B el punto B0, obteniéndose la recta CB0 como transformada de la parábola; esta recta prolongada hasta A 0 es ella misma su propio integrante. Para transformar este integrante según la última construcción in

dicada, basta, despuós do proyectar el punto A o en a0, paralelamente a O* sobre la línea de correspondencia Cb0, tomar el punto T de encuentro de Acr0 con la línea do correspondencia equidistanto de AA0 y 0 a 0: ATC es el integranto do la H2 buscada; dicho de otro modo, TA y GT son las tangentes en A y C a esta parábola. Se puede notar que esta construcción es la que resulta del primero de los tres casos particulares examinados en el número 19 (fig. 31).

Cuando, en un cierto intervalo, se sustituye un arco

de curra cualquiera por el arco de parábola n„ que pasa por n-}-l de sus puntos comprendidos en ello9 sus extremos, la teoría precedente permite efectuar su integración por medio del polígono integrante.


D .— Ecuaciones diferenciales de primer orden.

41. Curvas Isocllnas. Dada una ecuación diferencial de primer orden

F (*•*’- £ ) ==°-

si se considera cada par de valores de x e y (medidos, por lo demás, con módulos diferentes « y P) como defi

niendo un punto dei plano, se ve que el valor de - ^ - de

ducido de la ecuación precedente, hace conocer la dirección de la tangente a la curva integral pasando por este punto. En realidad, la ecuación puede conducir a varias determinaciones de esta dirección (si tiene varias ralees

reales en pero admitiremos—lo que ocurre en las

aplicaciones prácticas—que se ha elegido una de estas determinaciones y que la integración está limitada en un campo que no encierra ninguna singularidad y en e! interior del cual, por consiguiente, partiendo de una cierta determinación en un cierto punto, se conoce sin ambigüedad la dirección de la tangente en todos los puntos subsiguientes.

d ifDicho esto, si reemplazamos, en la ecuación dada,

184 c í l o u l o g r í f i o o

por diversos valores constantes k, y si consideramos las curvas (k ) correspondientes, cuya ecuación es de la forma

I 1 (x, y, k) = 0,

vemos que en todos los puntos de la curva (Ar) la dirección de la tangente a la curva integral tiene un coeficiente angular igual a k, lo que expresaremos, designada cada dirección por el coeficiente angular correspondiente, diciendo que, en el campo considerado, todas las integrales cortan a la curva (k) según la dirección k . Por esta razón, M. Jfassau, que ha fundado la integración gráfica de las ecuaciones diferenciales de primer orden en la consideración de estas curvas, les ha dado el nombre de curvas isoclinas *.

Para definir las direcciones correspondientes, bastará trazar por un polo cualquiera paralelas a estas direcciones, indicando su correspondencia con las isoclinas por medio de un índice común.

A fin de hacer esta correspondencia más estrictamente gráfica y permitir, en este caso las interpolaciones, nosotros propondremos la adopción de un artificio que puede, desde cierto punto do vista, considerarse como una generalización del que ha servido para las simples cuadraturas. Consiste, después de tomar el polo P, sobre la parte negativa de Ox, a una distancia OP igual al módulo «, en llevar los diversos valores de k (según el módulo p) en O ki Ok2, O lc3, . , . sobre O y (fig. 70) de manera que las direcciones correspondientes sean P/c*, r t „

' Massail, lib. VI, cap. m .

x n t e q r a c i ó n g r X f i c a 1 8 5

P&s, . . . y después trazar por los puntos k+, k>¡, ka, . . . paralelas a Ox que corten las isoclinás correspondientes en K 1? K 2, K3 , . . . El lugar de estos pinitos es una lí

nea \ que llamaremos la directriz de la integración, y que es fácil construir á prior i, y cuya ecuación, en virtud de su misma construcción, no es otra que

í 1 (x, y, y) — 0,

puesto que cada punto K está en la intersección de la curva

F (x,y, k) -= O,

j de la recta y — k.

Trazada la directriz A, sé ve que para obtener la dirección según la cual una isoclina es atravesada por las integrales, basta proyectar sobre O y, paralelamente a Ox, el punto de encuentro de esta isoclina y de la directriz y trazar la recta que une esta proyección al polo P.


Observación.—Por medio del eje O y y de la directrizA, hemos establecido sencillamente una relación gráfica entre las isoclinas (k) y los rayos, de dirección k, que parten del polo P. Pero para conseguir esto, hubiéramos podido igualmente hacer intervenir una línea cualquiera r distinta do O y. Trazando por los puntos de encuentro de esta línea y de los rayos h que parten de P paralelas a O# hasta las isoclinas (le) correspondientes, obtendríamos otra directriz a cuyo papel sería exactamente el mismo que el de la precedente.

En particular, si se tomase para T el lugar de los puntos de encuentro de los rayos k con las isoclinas (k), la línea A se confundiría entonces con r .

42. Relación de las singularidades de las Ente* grates con las Isoclinas.—La determinación bien cono» cida de las singularidades de las integrales de una ecuación diferencial de primor orden está ligada a la consideración de sus isoclinas, las cuales puede ser cómodo, desdo este punto de vista, considerar como las proyecciones de las curvas de nivel de la superficie obtenida

reemplazando por * eu la ecuación dad^.

En primer lugar, si se traza a cada isoclina {!:) una tangente paralela a la dirección k correspondiente, que la toca en el punto I, la integral que pasa por este punto I (y que, por consiguiente, es tangente a la isoclina considerada) presenta en £>1 un punto de inflexión. Esta propiedad, que se establece por el análisis, se verifica gráficamente, como lo muestra la figura 7], Consideremos dos isoclinas cortando respectivamente la directriz A en K y en K', y tracemos a una de ellas la tangente paralela a la dirección correspondiente V k} que la toca en 1.


La integral qne pasando por 1, toca en este punto a la isoclina IK, encuentra a la isoclina inmediata en los

puntos M' y en que las tangentes son ambas paralelas a P k'\ lo qne indica, en general, la existencia de un punto de inflexión en I.

El lugar de estos puntos I, que designaremos por la letra I, se llamará según esto, curva de las inflexiones. Su ecuación se obtiene por la eliminación de k entre

F(x,y,k) = 0, y + * - ~ = 0 .

Se ve, además, que si la curva I es, en uno de sus puntos, tangente a la isoclina correspondiente, ósta presenta también en este punto una inflexión, y su contacto con la integral que pasa por oste punto se elova al tercer orden.

Puedo considerarse también la envolvente de las ¡so- dinas, tocando a cada una de ellas en un punto R. Se sabe, por el análisis, que este punto es, en general, para la integral que pasa por él, un punto de retroceso, como

188 CÁLCULO G R A F IC O

se verifica gráficamente en la figura 72, en la cual, siendo la tangente en R paralela a P k, las tangentes en M'

1%. 72.

y M " son respectivamente paralelas a P i ' y P á " . Por esta razón, la curva lugar del punto R, aquí designada por R, cuya ecuación se obtendría por eliminación de k entre

¿ yF(x,y,Ay = 0, y - j y = 0

se llama la curva de los retrocesos.Si, para una cierta isoclina, el punto R coincide con

el punto 1; dicho de otro modo, si en el punto en que esta isoclina toca a su envolvente la tangeute es paralela a la dirección k correspondiente, la integral que pasa por este punto R particular es tangente en 61 a la curva R, y se ve también que en genera! do& ramas de integrales son tangentes eu este punto.

Cuando esta circunstancia se verifica para los puntos R de todas las isoclinas, las integrales admiten una envolvente, o lo que vieue a ser lo mismo, la ecuación di-

INTEGRACIÓN GE A PICA 189

fereucial propuesta posee una solución singular; en este caso, las curvas I y R coinciden en toda su extensión, y esta curva en la que ambas se confunden, es la que constituye la solución singular *.

43. Trazado aproximado de las integrales. —Si lasisoclinas han sido dibujadas para valores suficientemente próximos de la dirección, se puede trazar a ojo una línea que corte a cada una de ellas segón la dirección querida, obtenida por medio de la directriz. Este género de trazado es completamente análogo al de la trayectoria ortogonal de un sistema de líneas trazadas sobre un plano cuando se opera a ojo. Lo que se determina primeramente, de un modo aproximado, es, como se vo, un polígono circunscrito a la integral. Al indicar esta construcción, M. Hassau se limita a recomendar 2 que se tomen los vórtices de este polígono «aproximadamente hacia el medio de los intervalos que separan las curvas isoclinas».

Para dar una precisión un poco mayor a esta construcción, se puede, por ejemplo, tratar de constituir la línea integral aproximada por medio de arcos sucesivos de parábolas n 2 (parábolas de segundo orden teniendo su eje paralelo a 0?/).

1 Para más detalles sobre esta cuestión, véase Jíasaaw.1 , núms. 717 a 783. Este autor estudia además aparte o) caso en que las isoclinas son rectas y examina en qué se convierten entonces las singularidades de las integrales. Aquí, nuestro objeto es, sobre todo, dar a conocer, en el caso general, un trazado práctico de las integrales en las regiones que no-contienen singularidades.

1 Massau, 1, núm. 717.

t&o CáLCOLO G R A FIC O

Sea, por ejemplo, A i el punto inicial de la integra escogido sobro una primera isoclina (fig. 73). En es: punto, si el punto de encuentro A de la isocliua y de 1 directriz A se proyecta en a sobre O y, la tangente A^l es paralela a P a. Tratemos entonces de obtener, sobre! isoclina siguiente, el punto B., tal que el arco de pará bola n 2 tangente en a A jT i tenga en B j una tan gente B 4T 4 paralóla a P b. Es preciso para esto que €

punto de encuentro T* de las tangentes caiga sobre la linea de correspondencia equidistante de las de los puntos A i y B*. Entonces, si trazamos una paralela cualquiera B ,T , a B.jT.1 , la Línea de correspondencia de T[ estará también equidistante de las de A i y de B 'i, de donde se deduce la construcción pedida: habiendo tomado un punto T 'i cualquiera sobre la tangente en A* se traza por este yunto una paralela a Pb, sobre la cual se toma el punto B 'i tal qtte el intervalo 1 entre este

* R ecordem os q u e intervalo significa aquí d iferencia de abscisas de dos líneas de correspondencia.

INTEGRACION ORA PICA 191f » 4 *punto y T, sea igual al intervalo entre T, y A,,- la recta

A i B'-l corta entonces a la segunda isoclina en el puntoB, buscado, y la tangente en este punto es también paralela a P b .

De la taugente en B^ se deducirá de igual modo un punto Ct sobre la isoclina siguiente, de Cj un punto D* sobre la siguiente, y así suebsivamonte. El conjunto de los arcos A 1B 1, B t Ct , C1D1, . , . proporciona una imagen aproximada de la integral partiendo de A*, imagen evidentemente tanto más aproximada cuanto más próximas estén, unas a otras, las isoclinas efectivamente trazadas.

Para corregir esta primera imagen, do manera que se aproxime más aun a la foima exacta do la integral, M. Runge ha propuesto el siguiente procedimiento, que puede considerarse como la traducción gráfica del conocido método de aproximaciones sucesivas debido a M. Emile Picard.

Dejando de trazar la directriz con objeto de no complicar la figura, consideremos las isoclinas 1, 2; 3, 4, a las cuales corresponden las direcciones que parten de P, designadas por la numeración correspondiente del eje O y (fig. 74), y sea ABCD una primera integral aproximada trazada como acaba de decirse y que suponemos, por e) momento, tal, que sus tangentes extremas, paralelas a P1 y P4, tengan sensiblemente iguales inclinaciones, pero de sentido contrario, sobre Ox.

Llamemos y x la ordenada móvil de esta primera integral Ci referida a Oír. Si, sobre las líneas de correspondencia do los puntos A, B, C, D, tomamos los puntos a,b, c, d, de igual ordenada respectivamente que los puntos

192 . CÁLCULO GRÁFICO

1, 2, 3, 4, de Oy, y se escribe la ecuación diferencial ' propuesta:

^ = f ( x , y ) ,

los puntos a, b, c, d pertenecerán a la líuea cuya ecuación es:

y — /fac, Vi),

línea que trazamos sobre la figura. Si, entonces, a partir

del punto A, cuyas eoordeuadas representamos por h y k, trazamos, sea por medio del intègrafo (nám. 24), sea potei método del mim. 30 (completado si es necesario como se ha dicho en el núm. 31), la mtegral de la línea abcd i ,

1 Es necesario observar que debiendo ser aquí medidas las ordenadas de las ísoelinas y de las integrales oon el mismo módulo, es preciso tomar p = Y y, 'por consiguiente8 = «.

INTEORAOIÓN GRXFIOA Í83

obtenemos una nueva línea C2 cuya ecuación os:

Cortando a su vez esta línea C2 a las isoclinas en los puntos B ', C', P ', deduciremos de ella de igual modo que anteriormente, una nueva línea ab 'c 'd ' que, integrada a su vez a partir del punto A, dará una línea Cg cuya ecuación será:

y así sucesivamente. Cuando la dltima línea así obtenida Cn coincide suficientemente con la precedente C„_,, se la tomará como la representativa de la integral buscada. Si, en efecto, fuese y la ordenada móvil de esta integral rigurosamente trazada, se tendría:

Si, pues, en el campo considerado, el valor absoluto

y, por consiguiente:

l

—/’O, y»-,)

f(x,y)—f ( x—yn_t)d e ------------------------

V—Vnno excede de un cierto límite m

le

194 oXlculo o r X f i o o

so tiono:

I y ~ V» Í < »* { a? — A/ n 1 .'/-y..-, 1,lx

I as — & |

oy - vn | j x ~1> | • val. med. | y — y„_i |,

lo que muestra quo mientras m | x — h \ < 1, los orrores correspondientes a las aproximaciones sucesivas decrecen como los términos de una progresión geométrica.

Para conseguir esto en el mayor intervalo posible, es por lo que conviene suponer, como hemos hecho, el ejo Ox dirigido aproximadamente según la bisectriz de las direcciones de las tangentes extremas. Si esto no ocurre, bastará, para la aplicación del método de M. Runge, hacer girar el eje de las x alrededor del polo P hasta que tai condición se realice, sin tocar, durante esta rotación, ni a las isoclinas, ni a los vectores que partiendo de P definen las direcciones correspondientes 1.

1 Para el caso en que los módulos « y (1 no fuesen ijjun- les, es preciso recordar quo si ostos módulos se toman, en magnitud y dirección, como semi-ojes de una elipse, el módulo relativo a cualquier otra dirección del plano, viene dado por ©1 semi-diámetro de esta elipse paralelo a la dirección considerada.

LIBRO IIN O M O G R A F Í A 1

CAPÍTUL'O IIIj

RKPRKSEKTACIÓN NO.MOGRÁJMCA POR I.ÍNGAS CONCURRENTES

A .—Escalas funcionales.

44. Escala métrica aplicada a la representación de una variable 2.—Hemos visto en el núm. 1, cómo se toman sobre una escala métrica de módulo cualquiera, los segmentos representativos de números dados, determinando, por medio de una contra-escala, las subdivisiones del módulo.

Para representar a la vez todos los valores que es capaz

1 P ara su h is to ria véase O ., 7.s Hemos dado en otrj. ooasión (O-, 4, póg. 9) a una enca

la de eate género el nombre de escala regular; e l nom bre de esoala métrica nos ha parecido ú ltim am ente más expresivo-

196 NOMOGRAFÍA

de tomar una variable x entre dos valores limites a y b, es necesario trazar la escala métrica correspondiente, entre a y b, coa todas las divisiones que exija el grado de aproximación que se desee, teniendo en cuenta, además, la que pueda obtenerse de la interpolación visual. Gracias al empleo, de distancia en distancia, de trazos más largos, se puede, por lo demás, como se hace en el doble decímetro de los dibujantes, dejar de inscribir las cotas de todos los trazos de división marcada.

Si el módulo (unidad de longitud empleada) es tN J si la amplitud de la variable representada va de a a b, la longitud 1 de la escala está dada por

(1) l—ií(b—a i.

Llamaremos intervalo i la distancia de dos trazos de división consecutivoS-marcados sobre la escala, escalón e el incremento constante de la variable, y tendremos entonces:

(2) _

estando, des'de luego, expresadas las tres longitudes n, l,i, por medio de la misma fracción de metro.

Los datos son, en goneral, el escalón e (que corresponde al grado de aproximación que se busca) y la amplitud b— a. Despuós de elegir el intervalo i (generalmente el milímetro o el medio milímetro, segón el intervalo sobre el que se quiere emplear la interpolación visual), se deduce el módulo n de la fórmula (2), que llevado a la fórmula (1) da entonces a conocer ia longitud l.

Si, por ejemplo, queremos, sin interpolación visual,

LÍNEAS OONCÜRBENTEB 197

representar una variable que crece de 0 a 100 por escalones do 0,5. podremos hacer corresponder a este escalón un intervalo do 0m“ 5, lo que equivale a tomar la longitud do la escala será entonces /= 1 0 0 mm, y en esta longitud estarán indicados todos los medios milímetros exactamente lo mismo que on los doble-decímetros de los dibujantes. Únicamente la numeración 1, 2, 3,... 10 de este doble decímetro estará reemplazada por 10, 20, 30, . . ., 100 (fig. 75). Frente al punto M, por ejemplo, so leerá 46,5.

Supongamos ahora que admitiendo que pudiésemos

9 J’ ° Sí iOOWj...............’ MILI)____________ uJ

Fig. 75.

1efectuar una interpolación visual al — en el milímetro,quisiéramos representar uua variable creciente de 5 a 20 por escalones de 0,01. Haremos corresponder esto escalón al intervalo de 0™m,2; entonces, on virtud de (2) el módulo vendrá dado por [i= 2 0 min y, en virtud de (1), la longitud por / = (20—■ 5)20mm= 300mm. Sobre esta longitud de 30om marcaremos primeramente todos los dobles centímetros con la numeración 5, 6, 7 , . . . 19, 20. Un el interior de cada uno de estos dobles centímetros estarán marcados los dobles milímetros, divididos a su vez por un trazo más corto que corresponden a los 0,5, leyéndose los 0,1 por interpolación visual. Por ejemplo, sobre la figura 76, frente al punto M se leerá 15,84.

198 NOMOGRAFÍA

45. Representación de una ecuación de dos variables. Escalas cartesianas.—Convendremos, de un modo genera], en representar las diversas variables que intervienen en una cuestión por x l , x2, x3, . . . y designar una función de un cierto número de estas variables por

5 lí 16 20Lu..........i.i.t.i.i.i.i.l i.r.i 1lLj

MFlg. 70.

una letra afectada de los índices de las variables correspondientes; dicho de otro modo, en lugar de escribir f¡xt), f(Xi, %2)> • - • escribiremos /*, f i2, . . . En virtud de esta convención, la ecuación de dos variables más general se escribirá

/it=0 .

Para representarla, construimos la curva C que esta ecuacióu define en coordenadas cartesianas, adoptando respectivamente los módulos y para las abscisas y las ordenadas, es decir, poniendo

Se llevan, además, las escalas (xt ) y (*2) así definidas sobre Ox y sobre O y (o sobre paralelas a estos ejes), conforme se ha dicho en el número precedente, dando a cada una de ellas la amplitud que exijan las necesidades de la aplicación de que se trate, trazando por los puntos de división así marcados sobre cada eje coordenado paralelas al otro eje (fig. 77).

L ÍN E A S C O N C U R RE N TE S 199

Entendiendo por ejes de la cuadrícula así construida, ya los que están efectivamente trazados, ya los que, mentalmente, se pueden intercalar entre éstos, con el grado de aproximación que tolere la interpolación visual, se ve

io.sc.s0,7o.e 3.5 0,4 . 0,30,2

c.l

2 .

JO X

Fig. 77.

que el modo de representación aquí considerado puede enunciarse como sigue: los ejes de la cuadrícula con las cotas z.j y z 2 se cortan sobre la curva C.

Se puede tomar una de las dos variables, x t y x<¡, como independiente, y la otra como función, lo que equivale a suponer la ecuación dada puesta bajo la forma

Z* = fi-

En estas condicionos, el valor de la función x 2 de x t, correspondiente a un valor dado de se obtiene leyen

2 0 0 NOM OGRAFÍA

do sobre O y la cotu de Ja paralela a 0.r que pasa por el punto de encuentro de la curva C y de la línea de correspondencia que pasa por el punto do Ox cuya cota es xt . Se puede, pues, decir que el cuadro así trazado da sobreO y Los valores de la función f¡ entre los límites considerados; le daremos, por esto, el nombre de escala cartesiana de la función f x, llamando al eje (aquí el Oy) sobro el cual está determinado el valor de la función el soporte de esta escala.

La figura 77 representa así la escala de la función *2= lo g (designando aquí log, y en todo lo que sigue, un logaritmo vulgar, de base 10), de x.t = l a con = 5mm y j»2= 5 0 mm.

No es preciso decir que basta considerar a su vez, el otro eje coordenado como soporte de escala, para tener la escala de la función inversa de la precedente. Si, por ejemplo, en la figura 77, es Ox el que se considera como soporte, esta figura constituye la escala cartesiana de %\ — 10*'.

46. Escalas funcionales.—Si, como ocurre constantemente en nomografía, se desea tener sobro el spporte de la escala segmentos proporcionales a los valores que toma la función para ciertos valores de la variable, sin tener necesidad de conocer la expresión numérica de estos valores de la función, bastará escribir, al lado de cada punto del soporte de la función, el valor correspondiente de la variable.

Después de haber dividido, por ejemplo, en dos los intervalos de la escala O y de la figura 77, tomaremos, mediante la construcción que indica la figura 78, cada

LÍNEAS CONCURRENTES 2 0 1

valor correspondiente de la variable leído sobre Qx, para inscribirlo al lado de cada punto de 0// *• Obtene-

10 t^i 7.9* 7.08 t,M S.«í 5,0 JUM1.9»3.S5¿ , \ S

Zfi I Z.lU 1,93 1,7 i i. 6« 1,411 , Z €

I Al 1 O 1 2 5 ^ 5 6 7 8 9 1 0 *Figf. 78.

tnos así, sobre este eje O y, tomado como soporte, la escala déla función /i (aquí log Zj); y esta escala se llama isograda, porque todos sus intervalos son iguales

1 Indicamos aquí la íormacióu gráfica de las escalas?- porque es la más significativa; pero es claro que, ai se tiene una tabla do la función /\, basta, para construir la escala, llevar a partir del origen (si «i es el límite inferior de la variable ir,) segmentos iguales a (ii — (a»)]- Se tomarán de la tabla los valores de /i(2i), sucediéndose por intervalos iguales y se inscribirá, al lodo de cada punto, el valor correspondiente de z t. Por ejemplo, los números inscritos sobre O y (fig. 78) son aquéllos cuyos logaritmos son iguales a 0,05, 0,1, 0,.l5, 0,20, . . .

202 NOM O G RA FÍA

Una escala de esta clase, separada de la construcción que ha servido para obtenerla, es decir, reducida a su soporte con su graduación, ofrece muy pocas ventajas, porque no se presta cómodamente a la interpolación visual *.

Para que esta interpolación pueda practicarse fácilmente, hay que tomar, sobre el soporte do la escala de la función, puntos correspondientes a intervalos iguales de la variable, a partir de un' valor en números redondos tomado como límite inferior. Se obtiene así una escala normal de la función, en la cual, ahora, los intervalos son desiguales.

La figura 79 muestra la determiuación de la escala normal de la función log x^ para una amplitud de í«:a = 1 a %i= 10, con los intervalos sucesivos de 0,2 (de 1 a 7) y de 0,5 (de 7 a 10) 2. A este cambio de intervalo, nece- rio cuando el intervalo correspondiente se hace demasiado pequeño, podremos llamarle una cisura. En el ejemplo de la figura 79 hay, pues, cisura en el punto 7.

El módulo debe, en la práctica, escogerse de tal manera que el menor de los intervalos correspondiente a las porciones sucesivas de las escalas (tomadas entre dos ci - suras consecutivas) responda al grado de aproximación

1 De hecho, nosotros no hemos encontrado n inguna escala isógrada, más que sobre e) ábaco de la ecuación del aloance lum inoso de los faros de M. E. A llard (O. 4, página 65).

* L a escala logarítm ica, im aginada en 1624 por Q unter, y que W in g a te aplicó el mismo año a la construcción de la reg la de cálculo (O ., 7, pág. 113), es, sin duda, ol prim or ejemplo conocido de una escala funcional.

que se necesita, teniendo en cuenta, además, la interpolación visual.

No hay necesidad de decir que lo que constituye la es-

LÍNEAS CONCURRENTES 203

cala propiamente dicha, es el soporte (aquí Oy) con su graduación. El resto de la figura no tiene otro objeto que <iar a conocer la determinación gráfica de esta escala.

Observación I ,—Toda escala de una función conocida queda, gráficamente, determinada por dos de sus puntos provistos de sus cotas.

Observación I I .—Toda ecuación entre dos variables, considerada bajo la forma

pnede representarse por el simple conjunto de las escala« de las fuuciones /j y f¡¡, construidas con el mismo módulo.

47. Construcción geométrica de las escalas. Cambio de módulo.—Se podrá construir geométricamente la escala de una función siempre que se sepa determinar, punto por punto, la curva C que nos ha servido para su definición.

Esto es lo que ocurre, .por ejemplo, con las escalas parabólicas, es decir, con las de las fuuciones z 2, x B, . . . x n , . . . Las curvas C correspondientes se obtienen, en efecto, por medio de 1, de 2, . . . de n — 1, . . . transformaciones por la abscisa (nóm. 19) aplicadas a la recta

y *— x.

La construcción de las escalas parabólicas de 2.° y 3.or grado, so ha indicado sobre la figura 80, donde (habiendo elegido los dos módulos segón Ox y O y iguales a 88mm) se ha tomado para soporte de la escala x 2 el

O y, y para soporte de la escala x a la línea de correspondencia 1.

Para cambiar el módulo de una escala, basta, después de unir todos I09 puntos de esta escala a un centro cualquiera de proyección por rectas que constituyen el hax ■proyectante de la función, cortar este haz por una paralela al soporte primitivo, sobre la cual los rayos que terminan en los extremos del módulo comprendan un segmento igual al nuevo módulo que se quiere adoptar.

Las escalas así determinadas sobre dos paralelas cualesquiera AB y CD o AB y EF a los soportes primitivos

20 4 NOM OGRAFÍA

LÍNEAS CONCORRENTKB 205

so llaman conjugadasi . La segunda da a conocer {según el módulo CD o EF) los valores de la función correspondientes a los de la variable representados sobre Ja primera (según el módulo AB).

Observemos, además, que cuando se trata simplemente

de tomar sobre estas escalas los segmentos representativos de los valores correspondientes de la variable y de la función, bastará con indicar, de una escala a otra, la correspondencia de los puntos por medio de una numeración absolutamente cualquiera.

1 Esta noción de las escalas conjugadas ha sido utilizada por M. Boulad en la construcción de parábolas de orden superior, de que se tratará más adelante (núm. 75).

206 NOMOGRAFÍA

48. Escalas derivadas y transformadas. Escalas proyectivas.—La escala de y{x) se llama derivada de la de f{z) si se puede escribir

<P (*)=/■[?(*)],

siendo g una función cualquiera; por ejemplo, la escala

de f ( m- Í H \ os derivada de la de f(x). Si sobre el bor- V P*+<1 j

de de una regla (reducida, en caso de necesidad, a una hoja de papel grueso) se ha trazado la escala de f(x), bastará, después de calcular los diversos valores de g{x) correspondientes a los de x oscogidos, medirlos con esta regla leyendo sobre su borde aplicado a lo largo del soporte trazado, de la misma manera que se miden longitudes sobre una recta por medio del doble decímetro.

La escala de <f (2) se llama transformada de la de f (x), si se puede escribir:

siendo g una función cualquiera; por ejemplo, la escala

de es transformada de la de f(x).p f ( z )+qCuando la función g es racional, se puede siempre en

este segundo caso deducir geométricamente la escala de cp (*) de la de f(x).

fíx) -4-wEn particular, la escala de —-„f-—7— se obtiene por ' M * ) + 4

proyección de la de f(x) desde un centro convenientemente escogido. Se dice, en consecuencia, que es proyectiva de la de f (*).


Para asegurarse de esta proyectividad bastará verificar que la razón anharmónica de ios puntos correspondientes a cuatro valores cualesquiera x, x ', x " , x ' " , de la variable es la misma en las dos escalas, es decir, si se pone

■F(z),P /'(*)+2

que se tiene:

F f ¿ i - F ( z " ) F C a O - F U ' " ) F(*i — F{z"‘) ' k 'iz’J—Fte")

_ f(z) — fiz" ) f ) — f{z"' i t(z) — f(z'") * f(z' )—fiz")

igualdad que se verifica, en efecto, inmediatamente.De aquí se deduce que si sobre su soporte se han mar

cado tres puntos de la escala de F(z) de cotas x', x” , x '" , bastará llevar esta base sobre el haz proyectante de f (x), de modo que estos tres puntos caigan respectivamente sobre los rayos de igual cota del haz; las intersecciones de los demás rayos con el soporte así colocado, proporcionan la escala do F (x) pedida.

Para llevar el soporte de F(x) sobre el haz proyectante de f(x) de manera que los puntos a, b, c de este soporte, correspondientes a las cotas x ', x ”, x '" , caigan sobro los rayos SA, SB, SC del haz, que corresponden a las mismas cotas, se puede (y en ia práctica es lo que se hace frecuentemente) proceder por tanteos; pero se puede también recurrir a la construcción rigurosa siguiente (fig. 81): haciendo pasar primeramente el soporte por el centro S de modo que el punto c coincida con este centro, tomando entonces los puntos a y b las posiciones a y p, y tra

208 NOM OGRAFÍA

zando por a y p las paralelas *a, p&\ a SC, que cortarána SA y SB en a' y b'\ tomando en seguida sobre a ' £' los segmentos c' aí y c'b i iguales respectivamente a ca y cb, y trazando por a t y las paralelas y bxb a SC, que eo?-tarán a SA y SB en los puntos a y b buscados. La demostración es evidente.

En lugar de llevar el soporte de ]?(*) sobre el baz proyectante /(*), se puede trazar (provisionalmente, para bo

rrarlo en seguida) el haz proyectante, relacionándolo con el soporte del siguiente modo: por uno de los tres puntosde cota conocida, a por ejemplo (fig. 82), de la escala deF(*), se t raza una rect& cualquiera sobre la cual, con un módulo cualquiera, se lleva la escala de f{x), de manera que en el punto a tenga la misma cota que la de I'(x). Si sobre esta escala auxiliar b' y c' son los puntos de igual cota respectivamente que los puntos b y e marcados sobre la escala que se va a construir, se trazan los rayos bb' y ce', que se cortan en S, centro desde el cual basta proyectar la escala

auxiliar trazada en ab’, para tener sobre ab la escala pedida.

Si se toma la función f(x) igual a x, su escala es la

escala métrica, cuyas escalas provectivas seP * + í

llaman homográficas i

Observación.—Toda escala proyectiva de la de una función conocida está, gráficamente, determinada por tres de sus puntos provistos de sus cotas.

Si la escala es semejante a la que se proyecta, los puntos correspondientes en una y otra al valor infinito de ía función, serán los mismos; bastará entonces conocer solamente otros dos puntos, conforme hemos dicho en la Observación 1 del núm. 46.

49. Patrones de graduación.—Para construir sobre una cierta recta tomada como soporte una escala, sea derivada o transformada de la de f(x), es necesario haber construido primeramente esta última. Si la función f(x) es de constante uso, nos convendrá marcar de un modo permanente su escala sobre el borde de una regia biselada, de la cual nos serviremos como del doble-decímetro; tendremos así lo que podemos llamar un patrón de graduación.

El patrón métrico estará constituido precisamente por la graduación del doble-decímetro.

Después de éstej el que se usará más frecuentemente


1 Nosotros hemoa llamado también (O., 4, pág. 14) a una escala de este género, lineal; pero este término se presta a confusión.

u

21Q. - NOMOGRAFÍA

que ninguno, será el patrón logarítmico; pero así como el primero permite bastante bien tomar escalas cuyo módulo esté en una relación sencilla con el que ha servido para su construcción, no ocurre lo mismo con el segundo (ni cou ningún otro no métrico) que obliga en esos casos a recurrir a úna escala proyectante (núm. -17). Será, pues, conveniente, para la aplicación práctica, tener a mano varios tipos de este patrón, construidos con módulos diferentes.

Por estas razones, y atendiendo a nuestros consejos, la casa Tavernier-Gravet ha construido un modelo de regla de doblo bisel con cuatro patrones logarítmicos, cada uno con una extensión de 1 a 10 (siendo, por lo demás, cada sección de 10” a 10"+ l semejante a ésta mediante la multiplicación por 10“) con los siguientes módulos:

1." 50 om (intervalos de 0,005, de 0,01 y de 0,02, cou cisuras en los puntos 2 y 5);

2 .o 25 cm (intervalos de 0,01, de 0,02 y de 0,05, con cisuras en los puntos 2 y 4);

3.° 12 om,5 (intervalos de 0,02, de 0,05 y de 0,1, con cisuras en los puntos 2 y 5)

4.° 6 cm,25 (intervalos de 0,05, de 0,1 y de 0,2, con cisuras on los puntos 3 y 6); esta última, repetida dos veces consecutivas.

Es importante observar que así como en una escala métrica, a una misma desviación corresponde igual error absoluto sobre el número leído, a esta misma desviación corresponde sobre una escala logarítmica el mismo error

1 É sta es la graduación de la regla de cálculo de tipo más corriente.

LÍN E A S CONCURRENTES 211

relativo;, el cual, en muchos casos prácticos, responde mejor a las necesidades reales.

Se ve, por esto, que sobre las tres secciones sucesivas de cada uno do los cuatro patrones arriba definidos, la precisión relativa varía como sigue:

, „ „ 1 1 , 1 1 » , 11. JUo------ a —....- : de ------ a ------ ; de -------200 -iüO 200 500 ' 250L

H 500 ;o , r\ 1 1 . I 1 i

100 a 200 ' 100 a 200 ; 801

“ 100 ’3.* I)e -jr-y a -jqq- ; de — a ^ ; de a ;

. « -n 1 1 , 1 1 , 1 1J- De W a W ' d0 30 n W ; de "30" a “50"'

Según sea, pues, la precisión relativa que una determinada aplicación requiera, será fácil elegir en virtud de esto el patrón que conviene emplear i .

Además del patrón métrico y del logarítmico, los que

1 Estos tipos son suficientes en la mayoría de las aplicaciones técnicas corrientes; sin embargo, la casaTavernier- Gravet ha construido también un patrón de módulo de un metro con intervalos do 0,002, de 0,005 y de 0,01, con cisuras en los puntos 2 y 5, lo que implica una preoisión relativa que varia de ! ■ a —4-— en la primera y tercera seo-

□00 1000

ción, y de _ L - a ^ en la segunda.

212 NOMOGRAFÍA

coavendrá también poseer, cuando se trata de las aplicaciones trigonométricas de la nomografía (principalmente las que se refieren a Jos cálculos náuticos), son los de las funciones sen. x, tang. x y de sus logaritmos; estos últimos, cuando se tiene uua tabla de senos y tangentes naturales, se obtienen rápidamente como derivados (número 48) del patrón logarítmico.

En cuanto a los patrones del seno y de la tangente, pueden obtonerse por proyección de una división del círculo en partes ¡guales, hecha, do un lado, ortogonalmente sobre un diámetro; de otro, a partir del centro sobre una tangente.

B . — Abacos cartesianos.— Anamorfosis.

50. Representación de una ecuación con tres variables. Abacos cartesianos. -P ara representar la ecuación de tres variables x<, *2, xa, que se escribe

se puede dar sucesivamente a una de las variables, xa, por ejemplo, diversos valores fijos, creciendo, a partir de un cierto valor en números redondos, por intervalos iguales. Cada uno de los valores escogidos, llevado a la ecuación dada, la transforma en una ecuación de dos variables, *■! y «2, representable de la manora indicada en el número 45, acotando la curva C según el valor correspondiente de *3, y pudiendo entonces ser designada por curva (z8) .


El cuadro gráfico acotado así constituido, se compondrá, pues, de los ejes acotados (xt ) y (x2) do la cuadrícula formada, como se lia dicho en el núm. 45, y de las curvas (*8), trazadas a través de esta cuadrícula y limitadas en su campo (fig. 83). A causa de su aspecto ajedrezado (eu griego: se da a este cuadro el nombrede ábaco cartesiano 1.

Se puede observar con Terqucm 2, que si en la ecuación dada se miran *1, z 2> x3 como coordenadas cartesianas x, y, x, esta ecuación define una superficie en la cual las curvas (x3) del ábaco son las líneas de nivel proyectadas sobre el plano de las xy.

Una vez construido el ábaco, la manera de emplearlo para obtener el valor do z3, que corresponde a un par dado de x x y se reducirá a esto: leer la cota de la linea (z3), que pasa por el punto de. encuentro de los

1 Nosotros, a pesar de esta etimología muy particular, hemos extendido en nuestro Tratado (O., 4) el término ábaco a toda clase de diagrama acotado que sirva para la representación de una ecuación, aun cuando algunos de estos diagramas no tienen la disposición de un tablero de ajedrez. Esto nos ha conducido, mediante una observación de M- F. Schilling, autor de un resumen alemán de nuestro Tratado (Schüling), a adoptar el término nomograma. Pero muchas personas continúan prefiriendo el término más breve de ábaco, a pesar de su impropiedad etimológica. El lector que quiera conservar esta antigua costumbre no tendrá, en todo lo que sigue, más que reemplazar el término nomograma por el de ábaco, que nosotros reservamos aquí a los nomogramas de cuadrícula, que recuerdan, por consiguiente, la disposición de un tablero de ajedrez.

* Terquem.

214 NOM OGRAFIA

ejes de la cuadrícula, acotados con los -valores dadosr/o •7.. í; 1.

liste enunciado so refiere, bien entendido, no sólo a Jas líneas efectivamente trazadas sobre el ábaco, sipo t ambién a las que la interpolación visual permite intercalar entre éstas.

No hay necesidad de decir, además, quo el mismo ábaco permite también obtener el valor de una de las

variables o x3, cuando se da el valor de la otra oüí y el 23, y que para que el enunciado anterior convenga a todos los casos, basta ponerlo bajo esta forma simétrica: las líneas (z*), (z2), (z3), cuyas cotas satisfacen a la ecuación dada, concurren en un mismo punto.

Sin embargo, para construir un ábaco del género indicado, se escogerán con preferencia para variables z+ y z2,

1 El p rim er ensayo sistem ático de cálculo por medio de estoe ábaco s parece debido a P o u c h e tfPoucJtet ) ,am i cuando otros, an tes que él, hayan recurrido a olios para ciertos p rob lem as particu lares. Véase, respecto a esto, el prólogo (pág in a 15). L a fig- 83 no es o tra cosa que el ábaco construido p o r Pouchet para la m ultip licación expresada por la ecuación

a las cuales se liarán corresponder los ejes do la cuadrícula, aquóllas que ordinariamente se tomen como datos, determinando los valores límites de estos datos, bajo forma de rectángulo, el campo de la parte útil del ábaco.

Si, en efecto, fuesen ?. 2 y xs las que se hubiesen, tomado conío variables independientes, y x x como función, el campo de la parte útil estaría constituido por los dos ejes de la cuadrícula correspondientes a los valores límites de y las dos curvas correspondientes a los valores límites do s3. Los diversos elementos geométricos que intervienen en el ábaco serían, pues, los mismos que en el caso precedente, pero limitados por un campo distinto.

Estas son las particularidades que desde el punto de vista práctico conviene no olvidar. Teóricamente, la representación geométrica de una ecuación con tres variables, estará constituida por tres sistemas continuos de líneas indefinidas; prácticamente lo estará por tres sistemas discontinuos (estando fijada esta discontinuidad por el intervalo adoptado) de líneas limitadas por un cuadro que determinan los valores límites atribuidos a los de las variables que se toman como independientes.

Observación I.—Las líneas del ábaco serán rectas si la ecuación dada es de la forma

y , z . + K Z. + / , =°-

Esto será lo que ocurra, por ejemplo, con toda ecuación trinomia

*7+j>*" + 2=0,

en la cual se puedo tomar Xi—p, *2 = <¿>

l í n e a s c o n c u r r e n t e s 21.5

n o m o g r a f i a

La figura 84 muestra el àbaco así construido por La- lanne para la ecuación trinomia de 3.6r grado 1

Observación I L —Si dos cantidades x a y se deter-« P '

f i b . a i .

minan en función de las mismas variables x t y x-2 por ecuaciones tales como

/“» - o,

se podrá, adoptando para una y otra la misma cuadri-

1 Lalanne, 2 .

l I m b a s c o n c u r r e n t e s 2 1 7

cala (xi, x2), trazar a la vez sobre esta cuadrícula las líneas (*8) y las (**), lo que equivale a superponer los dos ábacos relativos a estas ecuaciones 4. Pero no se podrá generalmente superponer más de dos de estos Abacos.

51. Fraccionamiento de los ábacos. Superposición de las graduaciones.—La aproximación pedida implica, como se ha visto en el núm. 44, la determinación del módulo para cada una de las variables independientes x y (contadas a lo largo de Ox y O y), de donde (dada, además, la amplitud para cada una de ellas) se deducen las dimensiones' útiles del ábaco. Si óstas exceden de los límites prácticamente admisibles, se hace necesario, para no sobrepasarlos, sin sacrificar en nada a la precisión, recurrir a un fraccionamiento. Habiendo dividido la escala (*1) en fragmentos sucesivos, que designaremos por A i, B i , Ct, . . . e igualmente (*2) en A 2, B s, C 2, . . . se construyon separadamente los ábacos cuyos límites respectivos resultan de las asociaciones de fragmentos(Aifla), (A,Ba), (A1C2), - -i <B4A ¿, • - •, (C-jA2)> • • .

1 Como ejemplos de tales superposiciones, citaremos los' ábacos Davaine (O., 4, núm. 105) y Lalanne (O-, 4, número 108) para el cálculo de los perfiles de terraplenes, el p rimero de los cuales constituye, además, el ejemplo más antiguo, entre los que nosotros conocemos, de una doble representación de esta clase. Citaremos también el ábaco marino de MM. Favé y Rollet de l ’Isle (O., 4, núm. 100) y, a este propósito, señalaremos uua falta que hay que correg ir en el lugar citado; liay que permutar, siempre, en el texto las coordenadas x e y, y, por consiguiente, en la figura 108, permutar las letras y «» al lado de las graduaciones colocadas en loa bordes del ouadro.

JT.Esta muestra quo si una de las escalas ha sido fraccionada en n x partes, y la otra en « 2, habrá que substituir, al ábaco único, n^n 2 ábacos parciales.

Estos ábacos’ parciales deberán, generalmente, estar construidos sobre hojas diferentes. En ciertos casos, sin embargo, las líneas de que ostán formados, podrán ser exactamente superponibles, variando solamente la numeración en una y otra.

Un primer ejemplo de esto, bien sencillo, lo encontramos en el ábaco de la multiplicación puesta bajo la forma

218 NOMÓGRA'PÍA

Se ve, en efecto, que si a las numeraciones adoptadas primeramente pura y «2,se sustituyen las que respectivamente se deducen do ellas por la introducción de los factores x j y X t (teniendo estos, valores bastante sencillos, como potencias de 10 , por ejemplo, para que el producto pueda con facilidad hacerse mentalmente), las líneas zs permauecerán las mismas, viniendo su numeración simplemente multiplicada porx, xs. Esto rQsulta de la identidad

W M .

Otro ejomplo viene dando por el ábaco de la ecuación trinomia

2"' + p zH + q ~ 0

en quo so toman respectivamente p, q y z¡ para f2 y *3.Si, en efecto, un cierto valor de x satisface, para va lo

res dadjos de p y q, a esta ecuación, se tiene idénticamente

( X 2 ) ”* + X ' " ~ np ( X 3 ) “ + X’n í = 0

lo que muestra que si a las graduaciones p y q so sustituyen las graduaciones n p y a’" q, las líneas («), que son rectas, permanecen geométricamente las mismas, viniendo la numeración de cada una de etlus simplemente multiplicada por x.

Se puede, en este caso, considerar el ábaco construido como equivalente a una infinidad de ábacos cuyas graduaciones se superpusieran a la suya, deduciéndose además estas graduaciones de aquélla por medio de operaciones bastante sencillas para que puedan ser efectuadas mentalmente 1.

52. Principio de la anamorfosis.— Evidentemente, es lo más natural, para la representación cartesiana do la ecuación / 123 = 0, hacer primeramente corresponder a las variables y x 2 escalas métricas a lo largo de O a; yO y; por esto se debía, pues, comenzar, pero no hay ninguna necesidad de ello. Se puede muy bien imaginar, una vez construido el ábaco cartesiano, como se ha dicho en el núm. 50, que se le transforma haciendo correapon-

I.ÍNKA8 CONCTJRRKNTE8 219

1 Nosotros hemos dado (O., 4, núm. 21) tipos muy generales de ecuación que llevan consigo la superposición de Jas graduaciones y do las cuales los dos ejemplos aquí moncionados son casos particulares. M. Kccnigs ha hecho ver, además (O., 4, núm. 155), que los dos tipos a que habíamos llegado erau, cada uno en su género, los más generales.

220 n o m o g h a p I a

der respectivamente a las variables x^ y x2 a lo largo de Ox y de O y las escalas funcionales (núin. 46)

y=|i*A-

Si además se conserva para cada «na de estas variables el mismo intervalo quo precedentemente; se ve que a la cuadrícula regular correspondiente a las escalas métricas primeramente construidas va a ser sustituida una cuadrícula irregular sobre la cual las líneas (z3) estarán deformadas.

Para tener la nueva ecuación de estas líneas (<r3), basta eliminar y entre las dos ecuaciones precedentes y la ecuación dada. El caso más iuteresante es aquél en que esta ecuación es de la forma

(1) /’i?s + /'sAs + /» = 0.

porque se tiene entonces para ecuación de las líneas (*s)

[iiffsaj-f f t i i W s —<>,

que representa rectas.A una transformación de esta clase, imaginada por

él 1, ha dado Lalanne el nombre de anamorfosis.Él no lo había considerado, por lo demás, en un prin

cipio, más que para ol caso particular en que las r/3 y ha son reemplazadas por constantes, es decir, en que la

1 Lalanne, 1 y 2.

ecuación dada toma la forma

(1 bis) /i-f-/*4~/»—O.

£1 interés de la anamorfosis consiste en que en lugar de las curvas que figuraban en el puro Abaco cartesiano, y cada una de las cuales no podía ser determinada más que por un gran número de puntos, permite no trazar más que rectas, determinada cada una por dos puntos solamente.

Teóricamente, no es siempre fácil reconocer que una ecuación /"123= 0 dada es susceptible de tomar la forma(1) anterior. No se ve inmediatamente, por ejemplo, que la ecuación 1

<f ,+ V 1+ ‘fí

puede tomar la forma (1 bis) cuando se pone:

f, = iog(<pi-t-\/l+cf>;).

f, — log (? ,+ Vl-f-cpj) ,

f, — — log ( <P, + V <PÍ—i) ■

Los caracteres diferenciales por los cuales se reconoce que tal transformación es posible han sido obtenidos para el caso particular de la forma (1 bis), por el Conde P . de Saint-Robert; para el caso general de la forma (1)'

1 O., 4, pág. 421.

222- NOMOGRAFÍA

por JIM. Massau y Lecornu i. Ellos presentan un Indiscutible interés teórico; pero en la práctica apenas hay que recurrir a ellos, pues las ecuaciones que en las aplicaciones so presentan, casi siempre se ofrecen desde luego, ya bajo la forma (I) o (1 bis) (Ja cual, desde el punto de vista que nos ocupa, puede llamarse canónica) o fácil

de reducir a ellas por transformaciones evidentes.

Así, por ejemplo, la forma muy frecuente

1,

se reduce a (1) y da lugar a iiu ábaco del tipo indicado por la figura 85 cuando se pone

h = —— > ¡7.= !, = V

y a {1 bis) cuando se pone

/ ,= >og<p,, f = l f = \og<f,.

Es, por otra parte, bajo esta forma de la anamorfosis logarítmica como se ha ofrecido primeramente el principio a Lalanne, cuyo primer ábaco {fig. 86) traducía la

1 O., 4, ndms. 152 y 158.

ecuación, de la multiplicación puesta previamente bajo la forma

log z i + log Z t—log Zt = 0.

Observación Esto ejemplo nos conduce, además, a marcar una distinción cuya importancia no es de nin-

LÍNEAS CONCURRENTES 223-

Fig. 60.

gán modo despreciable cuando se pasa a las aplicacioues; una ecuación formada do ciertas funciones de las variables tomadas aisladamente (?*, <í>2 y <f>8 en el ejemplo an- anterior), puede reducirse a la forma canónica por sustitución de las funciones componentes que presenta en su forma primitiva por otras funciones que estén con ella,ya en una simple' relación de proyectividad (como —con >,), ya en relación más compleja, y hasta en re

224 n o m o g r a f ía

lación transcendente (como log 9* con <pt). Como, según lo que se ha visto más arriba (núdi. 48), el conocimiento de la. escala de una función cualquiera permite, a la vez referir a ella todas las que le son proyectivas, se concibe que se pueda examinar aparte el caso en que la reducción a la forma canónica puede efectuarse proyectam ente.

Observación II.—La escala funcional, llevada a lo largo de un eje, para la construcción de un ábaco anarnor- foseado, se tomará generalmente bajo la forma normal (núm. 46); pero se puede, si se considera conveniente, darle la forma cartesiana (núm. 45). Esto será lo que ocurra cuando se trate de una función definida empíricamente, y que haya sido interpolada por medio de una cierta curva , .

53. Generalización de la anamorfosis.—El principio de la anamorfosis, tal como acaba de ser expuesto, introduce útiles simplificaciones en la construcción de los ábacos; pero no modifica su modo de empleo que permanece siempre comprendido en este enunciado: las líneas acotadas por medio de los valores correspondientes de zir z2 y z3 concurren en un mismo punto.

Estas líneas han sido hasta aquí, para y x 2 rectas pertenecientes a dos haces paralelos, estando trazadas las rectas de cada haz por los puntos de una escala (métrica o no, según que el ábaco no sea o sea anamorfoseado).

Pero se puede también construir un nomograma de

1 Como ejemplos de empleo de estas escalas cartesianas, véase O., 4, pága. 47 y 59.


líneas concurrentes i, haciendo corresponder a las variables x t y x 2 líneas cuaiesquiera definidas respectivamente por las ecuaciones

f\ (X, >j, 2 0= 0 , ft (x, y, Zi)=0,estando las líneas (*a) definidas a su vez por la ecuación

f t (x,y, za) —0 ,

resultante de la eliminación de x x y entre las dosecuaciones precedentes y la ecuación 3 = 0. La operación que consiste en formar así las ecuaciones de los tres sistemas (%*), (x2) y (¿3) lleva ei nombre de separación de las variables.

Se puede tambión presentar este principio de Ja anamorfosis generalizada como resultante de la sustitución de las coordenadas cartesianas por coordenadas curvilíneas cualesquiera 2 definidas por la red de líneas ^ = 0 y f 2~ 0.

1 Nosotros habíam os llegado por nuestra parte a esta generalización cuando M. P. T errie r nos dió a conocer el trabajo de M. Massau, que la tra ta explícitam ente (M. Mas- nau, 1» ndm. 181). Es, pues, sin duda alguna, al sabio ingeniero belga a qu ien corresponde su prioridad.

1 Sí en la ecuación /'m = 0 , las variables z x y z , se coa* sideran como coordenadas d istin tas de las cartesianas, el nomograma obtenido puede, pues, ser considerado como anamorfoseado con relación al puro ábaco cartesiano. Y asi es por lo que si Z\ y Zj se toman como ooordenadas polares p y (o, en cuyo caso se está dentro de los ábacospolares de M. Gk Pesci (O., 4, núm. 55), so puede ver en estos) Abacos anamorfoseados generales, en los cuales Jas líneas (z,) y (Z j) son respectivam ente círculos de ceatro O y rectas- que parten de O.

tü

226 NOMOGRAFIA

Una anamorfosis do esta clase no presentará evidente- monto interés alguno, si no conduco a trazados más sencillos que los quo resultan do la anamorfosis ordinaria. Para reconocer el caso en que puedo existir tal simplificación, es necesario considerar la cuestión en sentido inverso: dar á priori las ecuaciones de las líneas (?2) y (z3) y formar la ecuación /1123 = 0 correspondiente por eliminación do x o y entro las tres ecuaciones dadas.

El caso evidentemente más interesante, y el cual, por lo demás, ha sugerido a M. Massau esta generalización, es aquél en quo todas las líneas quo intervienen en el nomograma son rectas, es decir, en quo las ecuaciones do las líneas {xt), (*2), (*5) son respectivamente de la forma

en cuyo caso la ecuación representada puede escribirse:

o, bajo una forma más condensada, que se explica por sí misma

Ko nos detendremos ahora en esta forma muy importante do ecuación que habremos de estudiar más adelanto apiopósito del mótodo de los puntos alineados.

Añadiremos solamente quo aparto del caso en que las

xf i+ ygi+hi^O,o,

xfa+i/gn'\-hi>=Q,

d)fiQthif ìf/zkt — 0;fi h »

I Uüi | = 0 .

líneas acotadas del nomograma son todas rectas, se puo- de considerar aquél en que sean círculos *. ,

54. Anamorfosis por sistemas de círculos.—En este caso, las ecuaciones de las líneas (74), (z2), (z3) pueden escribirse, si se suponen los ejes rectangulares y los módulos adoptados para x e y iguales,

í l (x * + v * )4 a ;/ 'l + j/5< i+ 7fi= 0 ,

t j (x !+ y ' ) + a; f t + ! / + h > = 0,t, (x * - f ?/»)+ x f a + y g3 +li»= 0,

Para formar la ecuación f i23 = 0 correspondiente, se puede proceder como sigue:

La eliminación de x--\-y2 entre estas ecuaciones tomadas dos a dos, da:

‘ ( U ti ~ U * . ) * + ( 9 í *j ~ 9 j i t ) V + ( h i * j ~ hJ t t ) — °'

representando (i, j) las diversas combinaciones (1, 2), (2, 3), (3, 1).

Si se suman las tres ecuaciones así obtenidas despuó9 de haberlas multiplicado respectivamente, primero por 9\y 9i¡ 93> después por fx, f2; f3, se obtiene (sirviéndose de la notación arriba definida) las dos siguientes:

1 h9ih I a* - | UOiki |=0-

| f\<lí*í | V— I /'<«<*< | =0*

1 Yo creo haber ai do el primero on considerar esto tipo de nomograma en toda su generalidad (O-, 4, núme. 62 y 63).

22S NOMOGHAFÍA

Además, si se multiplican Jas tres ecuaciones dadas respectivamente por f zg3— fzgz, ízOi— fa z 7 U y se hace la suma, se tiene:

t U s ^ t | {*’ + </s) + | fiVí ^ í ! — o.

La eliminación de x e y entre las tres últimas ecuaciones escritas da la resultante buscada:

I I '+ | /<*<&< [ *+ | fi9 ih | • | ft9 iK | = 0.

Si se conviene en representar por D el determinante | fiOihi j y por Df , D?, D;i, los que resultan de reemplazar en 61, respectivamente, las f(, las g.¡ o las h. por las t{> se puede poner esta ecuación bajo la forma condensada

(2) D’ + D‘ + D ,D = 0 .

Se obtienen, además, tipos de ecuación más simples, dentro de ésto, haciendo diversas hipótesis particulares en los tres sistemas (a^), (x2l, (x3). Si, por ejemplo, uno de ellos (í, ) se reduce a un sistema de rectas, basta hacer 11 = 0; si no ocurro osto, so puedo siempre, sin que influya en la generalidad, tomar t {= 1.

Supongamos, por ejemplo, los sistemas (í*) y (a2) rectilíneos, de donde t i = t i = 0, y el haz (zt) pasando por el origen, de donde — 0; además, el sistema (z3) compuesto do círculos que pasan por el origen y teniendo sus centros sobre Ox, do donde ¿r3 = &a — 0. Sustituyendo estos valores particulares en (2 ) y desarrollando, obtene-

líneas concurrentes

mos así el tipo más particular229

(2 bis) h ,[fl + g\) + f , 9t (t,g t — f ' 9¿=*O.

representable por Los tres sistemas:

ttx+ g xy=0,

ftx-\-gty -\-h ~ o,

x = 0.

Ejemplo.—Sea La ecuación 1

(ktg<p — =0,

donde k representa la relación entre la base y la altura de la sección rectangular de un muro que sostiene un terreno perfilado según su ángulo natural <t, siendo p la relación entro el peso específico de esta tierra y el de la obra de fábrica.

Esta ecuación es idéntica a (2 bis) cuando se pone:

A = tg » , gt — — 1, f ,= — g-, g, — k, hí—k*, =

de donde, los tres sistemas:

(?)- y=i<¿<t.x,

1 Tomada de la Resistencia de Materiales, de Collignon, 8." wd.( pág. 6tì9.

230 NOM OGRAFÍA

(recta por el origen, de inclinación <p sobre Ox),

(*) - | - + * z / + A a= 0 ,

[recta que une los puntos (x= 0 , y — — k)7 (x—Sk, y - l —lc)]\

[p'j x*-\ry3—px= 0,

Fijj. 87.

La parte útil del nomograma, cuando se hacen variar los datos <p de 20° a 45°, y p de 0,4 a 1, está representada 011 la figura 87.

55. Representación de las ecuaciones cuadráticas por sistemas de círculos.—JE1 principal interós de los nomogramas está eu que se aplican a toda una categoría de ecuaciones que se presentan en las aplicaciones y no son susceptibles de reducción a la forma (1) del número procedente; no representabas, por consiguiente, por tres sistemas rectilíneos.

Estas ecuaciones son las que pueden escribirso bajo la forma:


designando i , j , k, las diversas permutaciones circulares do 1, 2, 3, y los A, B, O, D, coeficientes numéricos. Como ya hemos hecho notar, no hace mucho, por primera vez 1, se puede, en efecto, representar siempre tal ecuación por dos haces de rectas paralelas y nn sistema de círculos bilangentes a una cónica, a condición de que una de las cantidades A ¡A; — B k sea posilica.

Supongamos, por ejemplo, A,A, — B j> 0 .Bou gamos, tomando a lo largo do Ox y do Oy los mó

dulos M-i y Ha,x= W ifi,

Si estas ecuaciones determinan los sistemas (íj) y {Zo), tendremos para el sistema (í3):

A 5- *«+8 xy+2 xn, u,l»t ti,

+ 2 ^ + P j . y + A i/--+2Ci/t+D==0)

1 B ull. de la Soc. M alh. de Frunce, t. X X IV , 1S9G, p6g. 81, y O., 4, cap. V I, § 2, C. J ja dem ostrac ión quo aq u í dam os da eote teo rem a es la q u e M. Soreau ha su s titu id o a la n u es tra (<Sorean, 1, pág- 221), y cu y a sim plificación consiste en la elección p a r tic u la r de los ejes ob licuos em pleados, en vez d e loa eies re c ta n g u la re s de quo noso tros nos habíam os serv ido .

232 NOMOGRAFÍA

ecuación que representará un círculo si los módulos y V-* y el ángulo e de los ejes son tales que

nt jt, ti, n, coseA, ~ A, ~ B.

de donde se deduce;

tii V a ,- y eos 6 — ..-r—T- , i V A iA í

igualdades que, según la hipótesis hecha, dan valoresJ íl

. 1X5sean del mismo signo y, además, quereales para — y para e, pues aquólla exige que A* y A2

B s < 1 .Va , a

Poniendo:

_J*i_____ JÜ- _ tiVa T Va Í ~

vemos que la ecuación de los círculos (z8) se convierte en

r * + v , ■ ... i .8 »,... rw_i_2 J M í + £ l „•r +2/ + VÁ7T, J y + ¿ V a; mi3 i / a -4— O2 3

+ 2 y — ' ft,V + |i'1(A » /s-(-2C»/8+D; = 0.

La ecuación de la envolvente de estos círculos que se obtiene expresando que la precedente tiene una raíz do-

ble en fa> es:LÍNEAS CONCURRENTES 233

) ’

Esta envolvente es, pues, una cónica. Además, el lugar de los centros de estos círculos, que resulta de la eliminación de /a entre las ecuaciones

X J L ---- ^ ---- , B i / ' . + C iV a Ta ; Va , ,1- 0’

B.A+O, ------------ (1=0,

es una recta. Estos circuios son, pues, bitaugeutes a su envolvente de la cual esta recta es un eje.

Ejemplo.—Sea la fórmula de M. Boussinesq:

que da conocer aproximadamente la longitud l de «na elipse de semi-ejes a y b. Puede escribirse:

« » + & “+ 2 i « * _ a J L í « = o.

Bajo esta forma, se ve que podrá ser representada, con

284 NOM OGROFti

relación a ejes Ox y O y que formen entre sí el ángulo e dado por

(J) ¡cs+ 0 a+ 2 - |- x y - 2 . - ^ - « * + ,) +

Aquí, la envolvente de los círculos (i) se reduce a:

es decir, al sistema de los ejes Ox y O y y, por consiguiente, el lugar de sus centros a la bisectriz O t del ángulo de estos ejes. Por lo demás, las coordenadas ortogonales (núm. 1) de uno de estos centros (abscisa y ordenada de los puntos de contacto con Ox y O j) vienen dadas por

Estos contros forman, pues, sobre O t una escala mó-

' Se puede decir, evidentemente, puesto que aquí las escalas llevadas sobre Ox y sobre Oy son métricas, que con esta elección de ejes no ha3'’ anamorfosis- Con relación al ába- co que se construye en coordenadas rectangulares, habría anamorfosis, y esta anamorfosis se traduce precisamente en la elecoión del ángulo 9 de los nuevos ejes.

por medio de los tres haces *:

(«)(*)

x=^\ia,

x y = 0

trica definida porLÍNEAS CONOÜBEENTUa 235

t » l ü ___ L = J L ¡ .S* • *V2

El ábaco correspondiente *, construido con l1 =» 5nim, está representado en la figura 88. Para a<= 9, 6 = 3 ,

Fitf 88.

por ejemplo, da i = 40. Como además, por definición, basta limitar el ábaco a la parte comprendida en*-

tre el eje Qx y la bisectriz Oí del ángulo xOy.Se puede tambión observar, como lo ha hecho M. So-

reau, que, por todo puuto dol plano, pasan dos circuios {/). Esto consiste en que la ecuación desarrollada que se ha representado, permanece la misma si, en la expresión del, se cambia el signo de \fab. Pero es fácil distinguir

1 Soreau, 1, pá¿j. 228.

242 NOMOGRAFÍA

los por paralelas a uno de los ejes de coordenadas, lo que volverá a dar entonces las escalas binarias consideradas primeramente.

F ig . 00.

Observación.—Se puede reducir la determinación de las cotas de un sistema condensado a! empleo de una escala binaria por el procedimiento siguiente: las abscisas de los puntos de encuentro del sistema condensado (1) con el eje Ox, estfin dadas por la ecuación

1' (®, 0, f„) =- ü,

de donde se deduce

LÍN EA S CONOÜRKENTE8 243

que determina una cierta esoala binaria. Se puede entonces decir que la directriz de esta escala binaria y la curva del sistema condensado, que corresponden a un mismo par de valores de y xZ) cortan al eje_Oa: en el mismo punto 1.

57. Sistemas ramificados. Nomogramas más generales de líneas concurrentes.—Un sistema condensado, como acabamos de ver, está definido por medio de una cierta red de cotas, constituida por dos haces acotados. Nada impide evidentemente considerar estos mismos haces como condensados, provisto cada uno de ellos de una cierta red de cotas, y así sucesivamente. Se puede, de este modo, por ramificaciones sucesivas de sistemas condensados, llegar a la noción de un sistema acotado por medio de los valores de n variables distintas 2.

Por ejemplo, suponiendo cada una de las líneas trazadas parte de un haz, la figura 91 muestra, bajo forma es- |,-ig. ei.quemática, una curva tdependiente de 4 variables %, x9, %tr por una ecua-

1 Eiemplo de sistema condensado así definido en un notable ábaco, deludo al ingeniero de caminos M. Crépin (Ann. des Ponts et Chaussées, primer sem. 1381, pág. 138, yO., 4, pág. ñ6).

a Massau, 1, núm. 187.

244 NOM OGRAFÍA

í ' [x, y , f ( f a f u ) 1 = 0.

De aquí, por el concurso do tres líneas dependiente cada una, mediante sistemas ramificados, de un cierto número de variables, el medio de representar sobre un plano ciertas ecuaciones de un número cualquiera de variables.

La figura 92 muestra así esquemáticamente tres líneas

ción de la forma

F lg . 92.

concurrentes en un punto A y dependientes cada una de cuatro variables, dando, por consiguiente, la representación de una ecuación de 12 variables.

Observemos, además, que un nomograma de este género puede ser considerado de diversas maneras; se puede, por ejemplo, en el caso do la fig. 92, considerar que la representación está realizada por el concurso en el punto C de las líneas fau), y de la linea CB la cual,

por ramificaciones sucesivas, puede ser considerada como dependiendo de las otras JO variables de ¿i a z i0.

En particular, refiriéndonos a la fig. 89, se puede, como aplicación de esta observación, considerar el modo de representación que realiza como definido por el concurso en un mismo punto de las líneas (a'^), (x<¿) y de las paralelas a O y consideradas como rectas (t8, st4, *5).

Síguese de aquí que el nomograma más general, constituido por concurso de líneas, puede ser referido al tipo en el que dos de estas líneas pertenecen a haces que dependen de una sola variable, y la tercera a un sistema ramificado dependiente de un número cualquiera de variables.

Analíticamente, como acabamos de ver, tal sistema depende de Jas variables que lo definen por un encadenamiento de funciones de dos variables. Dicho de otro modo: para formar la ecuación más general representable por líneas concurrentes, es preciso reemplazar, en una ecuación cualquiera de, tres variables, cada una de ellas por una función cualquiera de otras dos variables, después cada una de éstas, a su vez, por una función de dos variables, y así sucesivamente.

Gracias a la introducción de variables auxiliares, la ecuación así formada apareco como el resultado de eliminaciones sucesivas entre ecuaciones que no contienen cada una más de tres variables. Cada una de estas ecuaciones de tres variables puede ser representada por un nomograma de tros haces de líneas, teniendo común dos de estos nomogramas el haz correspondiente a la variable que se elimina entre las ecuaciones que representan. El conjunto de los nomogramas parciales, así enlazados dos a dos, constituye el nomograma de la ecuación resnl-

246 n o m o g r a f í a

tante. Si ésta encierra n variables, se ve, siguiendo el procedimiento de formación de su nomograma, que éste comprende n haces acotados y n — 3 haces de enlace, eu total 2 n — 3, de los cuales n — 1 pueden ser escogidos arbitrariamente, a condición de que no haya entro éstos más de dos que pertenezcan a un mismo nomograma parcial 1.

Por ejemplo, una ecuación de cuatro variables estará.

98.

representada por cuatro sistemas acotados y uno de enlace, pudiendo estar constituidos dos de los sistemas acotados por paralelas a O y , y el sistema de enlace por paralelas a Ox. 1S1 nomograma podrá entonces ser considerado como resultante de la simple unión de dos escalas

1 Lob nom ogram as asi form ados sou a los que M. H ilb e r t se ha referido en la com unicación que nosotros reco rdam os m ás adelan te (nota 1 d e l núm . 73).

LÍNEAS CONCOHRENTES 247

binarias a lo largo de O y (fig. 98) 1, lo que supone que la ecuación puede ponerse bajo la forma

f tí fu-

C .— fcmpleo de transparentes m óvile s. A b a c o s exagonales.

58. Transparente de dos índices.—Volvamos al caso prácticamente más importante de una ecuación con tres variables solamente, representada por un àbaco cartesiano ordinario (núm. 50) o anamorfoseado (núm. 52). Tanto en un caso como en otro, el àbaco está constituido por dos haces de rectas paralelas, unas (%i) a Oí/, las otras (x2) a Ox, y de un haz de líneas cualesquiera (za), siendo un sistema de valores de z 2) z 3, que satisface

1 Do un resultado obtenido por M. G-oursafc (Bull. de la Soc. math. de France, t. XXVII, pág. 27), se deduce fácilmente que la condición necesaria y suficiente para que la ecuación !F1!¡U — 0 pueda ponerse bajo esta forma, es quo se tenga idénticamente (teniendo en cuenta, si os necesario, la ecuación misma):

¿ g 0 ( * ' - £ ) « ■ o.te A D(*,, z i) te., 0 (2 ,, 2 :¡)

DO?, O)designando ■■■ — -r-, como es costumbre, el ¡acobianoD (*i. * .)

I &F d

dz2 dz3

248 NOMOGRAFÍA

a la ecuacióu representada, tai, que las tre* iíneas acotadas correspondientes seau concurrentes.

Este sistema do representación nomogràfica por concurso de líneas tiene la ventaja, que merece seguramente ser tomada en consideración, de que, una vez el àbaco construido, puede, sin inconveniente, sufrir cualquier deformación, puesto que las líneas que pasaban primitivamente por un mismo punto continuaráu pasando por un mismo punto, y el modo de emplear el abaco está, fundado únicamente en esta propiedad í . Este carácter, observémoslo desde luego, no se encontrará en los sistemas de representación que utilizan elementos si» enlace permanente los unos con los otros, siuo enlazados solamente, en el momento de la lectura, por medio de ciertos elementos móviles, y cuyas deformaciones podrán alterar las relaciones de posición supuestas rigurosamente realizadas en el momento de ia construcción mediante estos elementos móviles.

En realidad, estas alteraciones (producidas por deformación de la hoja sobre la cual se ha trazado ei dibujo, bajo la influencia de las variaciones do temperatura, estado higrométrieo,...) caerán en general por debajo de ios errores prácticamente admisibles. Apenas habrá que preocuparse de ellas, a no ser en el caso de ábacos de grandes dimensiones referentes a cálculos que exigen una

' De osta observación procede la posibilidad de hacer sufrir a tales nomogramas anamorfosis puram ente gráficas, no obedeciendo siquiera a ninguna ley matemática. Véase a este respecto: Lalanne, 2, pág. 874, y O., 4, números 39 y 40,

LÍNEAS CONCURRENTES

procisióu especial. A\ lado de esta ventaja, hay que considerar, en los ábacos anteriormente descritos, ciertos inconvenientes:

1.“ Es preciso, para la lectura, seguir cada una de las líneas concurrentes en todo el recorrido que separa el punto en que se verifica el concurso de aquél al lado del cual está inscrita la cota de la línea, y, aparte de que a la larga resulta de esto cierta fatiga para la vista, se corre el riesgo a veces, cuando (por alcanzar mayor precisión) las líneas de cada haz están bastante próximas, de pasar de aquélla que se debe seguir a la inmediata;

2.° La interpolación visual, que consiste en intercalar mentalmente, entre las líneas efectivamente trazadas de un cierto haz, las que corresponderían a cotas intermedias, es sensiblemente más delicada y exige una atención mucho más sostenida que la que no descansa más que sobre la graduación de una escala;

3.° En el caso en que es útil recurrir a un fraccionamiento (núm. 51) es, en general, necesario representar los ábacos parciales sobre otras tantas hojas distintas;

4." En fin, la representación por líneas concurrentes no se aplica, para más de tres variables, más que a las ecuaciones engendradas por simples sustituciones sucesivas de funciones de dos variables (niim. 57).

Entre los desidorata que hacen nacer estas observaciones diversas, el último sólo tiene íntima relación con la naturaleza matemática del método empleado, y exigirá una reforma profunda de éste. Las tres precedentes pueden, al menos en ciertos casos, satisfacerse gracias a diversos artificios que no modifican el carácter esencial de la representación.

2 6 0 n o m o g r a f í a

Respecto a los dos primeros inconvenientes señalados, se llega fácilmente a hacerlos desaparecer en lo que concierne a los haces (^) y (s2) respectivamente paralelos aO y y a Ox, por el siguiente medio: borremos las rectas representadas de cada uno de estos haces, no conservan

do de ellas mis que sus graduaciones respectivas llevadas la una sobré Ox, la otra sobre O y (fig. 94), y pongamos sobre el ábaco un transparente provisto de dos rectas respectivamente paralelas a Ox y aO y, que se llamarán sus índices y cuyo punto de encuentro se llamará el centro.

Si hacemos correr este transparente sobre el ábaco, manteniendo su orientación fija-t, veremos que cuando sus índices pasen por los puntos de las escalas (*d) y (*2) que

’ La constancia de esta orientación puede obtenerse, como ha propuesto M. Lallemand, por el trazado de una serie de paralelas equidistantes, de igual dirección que uno do los índioes, cuyo paralelismo a estas rectas directrices se aprecia con suficiente rigor. Se puede también recortar el transparente en fina materia rígida limitada por bordes exactamente paralelos a la dirección de los índicos y que se puede hacer resbalar a lo largo de una regla como se haoe con uua esouadra.

tienen por cotas los valores dados de estas variables, su centro caerá sobre la línea (ss) quo tieue por cota el valor correspondiente de esta tercera variable.

Los inconvenientes 1.° y 2." no subsistirán entonces más que para la lectura de z8 solamente.

59. Transparente de tres índices. Abacos exagonales.—Para quo ol mismo beneficio alcance a la variable 2¡s, es necesario que las líneas acotadas correspondientes formen también un kaz paralelo. Bastará, entonces, hacer pasar por el ceutro del transparente un tercer índice paralelo a la dirección de este haz.

En este caso, la ecuación representada es necesariamente de la forma

(1) 0) y si se adopta un mismo módulo a lo largo de Cte y de0 y, supuestos rectangulares, se ve que las líneas (¡c3), cuya ecuación es

#+»+»»/*=<>, determinau sobre la bisectriz Oí del ángulo <cOy, perpendicular a su dirección, una escala definida por

es decir, la de la función f3 llevada sobre 0 1 con el móduloJX \

y - , siendo el sentido positivo de Oí el que es exte

1 Un artificio de este género, ha sido aplicado no hace mucho a los abacos de Lalanne para el cálculo de los perfiles de terraplenes por M. Blum. [Ann. des Ponts et Ohaussées, prim er som., 1881, pág. 455).

252 NOMOGRAFÍA

rior a xOy. Esto puedo considerarse como una aplicación de la fórmula (2) del núm. 1, que nos enseña además que, para que la escala de /j¡ se tome con el mismo módulo que las de f\ y f t , es preciso adoptar coordenadas rectangulares con ejes de 12O". O dicho de otro modo: continuando las direcciones de los índices I ,, I 2, I s, sien

do perpendiculares u las escalas de f A, de y de f 9) éstas deben llevarse con el mismo módulo sobre tres ejes Ox, O y, O t cuyas direcciones positivas formen entre si, dos a dos, ángulos de 120° (fig. 95).

En este caso, los tres índices aparecen como las diagonales de un exágono regular, de donde procede

Fi«- el nombre de abacos exa-gonalcs dado por M. La-

tlemand 1 a esta variante, imaginada por él, de los ába- cos cartesianos sobre los cuales las líneas (¡?3) [lo mismo que las líneas (í^) y (*2)] forman un haz paralelo.

Observemos además que es inútil llevar Jas tres escalas (zt), (z2) y (z-,j) sobre los mismos ejes O.r, Oy y Ot. Las lecturas sobre estas tres escalas permanecerán las mismas si, por traslaciones respectivamente paralelas a los índices correspondientes, se transportan a las bases

* Lallemand, 1 y 2 .

LÍNEAS OONOURBENTES '253

O^r^, 0 2x2, 03¡c3, paralelas # O je, O y, Oí y formando, por consiguiente, un triángulo equilátero.

Puede tomarse arbitrariamente este triángulo equilátero a condición: 1.°, que los orígenes O*, 0 2, 03 (o los puntos relativos a un sistema cualquiera de valores correspondientes de x it z2, a3) estén simultáneamente bajo los índices del transparente, o lo que viene a ser lo mismo, que las perpendiculares a las tres bases trazadas por estos puntos, sean concurrentes; 2.*', que los sentidos positivos sobre 0 1a:1, 0 2a;2, 0 3¡c3, sean los determinados por el movimiento de un punto que recorre de un modo continuo el contorno del triángulo formado por estas tres rectas, verificándose, por lo demás, este movimiento en un sentido o en otro.

Esta segunda condición se realiza en la práctica, en cierto modo por sí misma, pues deja libre la elección del sentido positivo de dos de los ejes, Ol a;1 y 02a;2, por ejemplo, y cuando éstos se han graduado según las funciones /i y fi, la graduación de f<¿ resulta necesariamente de ellas; basta, por ejemplo, habiendo reconocido dos sistemas de valores x\ y z'‘, z", que satisfacen ala ecuación (1) hacer pasar los ejes e I2, de una parte, por los puntos x\ y zj, de otra, por los puntos z" y z"j en estas dos posiciones !a intersección de I3 con Oscc3 da los puntos y z'í que determinan enteramente la escala (z3).

Observación.— El principio de los ábacos exagonales puede exponerse bajo la forma completamente elemental siguiente:

Si los índices L4, 12, 13 cortan a la bisectriz O l en los puntos A1} A2, A 3, el punto medio de A1A2 es A3; so

254 NOMOGRAFÍA

tiene, pues,2 O A s=s O A i + O A íi

Pero si, con la convención que hemos hecho respecto a los signos, llamamos x, y, t, a los segmentos determinados sobre los ejes Qx, O y, O í, por los tres Índices, tendremos, puesto que ios ángulos que OA8 forma con O# y O y son de 60",

OAi = 2 í , O K; = '¿y.

Por otra parte,O A t — —

De donde:x-\-yJr l = 0.

60. Propiedades especiales de los ábacos exagonales.—Además de los inconvenientes 1" y 2.“ del número 58, que hacía desaparecer el transparente de dos índices utilizable en el caso general, el de tres índices, tal como se emplea en el caso de los ábacos exagonales, suprime también el inconveniente 3.°; es decir, tales ábacos son susceptibles de fraccionamiento sobre una misma y única hoja. Esto es evidente á priori, puesto que los diversos sistemas de líneas, cuya superposición debe evitarse en el caso general, uo existen en este caso particular, en que están reemplazados por los índices del transparente, y las escalas destinadas a fijar la posibilidad de estos índices pueden estar dispuestas unas al lado de las otras.

Supongamos, por ejemplo, que uno de los ábacos parciales se extiende, para desde el valor x\ al x-"; y para


z 2, del valor *' al valor x'í; siendo O' y O" las posiciones extremas correspondientes del centro del transparente (fig. 96), x\ y x'l los valores de z¡¡ para los pares de valores x\, x\ j x" z" de x t y x2, se deduce, como se ha dicho al final del número anterior, el fragmento corres

pondiente de la escala (x¿) que designaremos por A* A2, si A4 y A2 sirven para designar los fragmentos considerados de las escalas (%) (*2).

Asociando dos a dos, de este modo, los fragmentos, At, B„ . . . de la escala (xd), dispuestos sobre paralelas a Ox, y los A2, B2) . . . de la escala (*2) dispuestos sobre paralelas a O;/, se obtienen, sobre paralelas al tercer eje Oí, los fragmentos correspondientes A1A2, A2B2, B1A2» B4B2, . . . de la escala (*8).

No hay necesidad de decir que reemplazando las esca

256 NOMOGRAFÍA

las simples del ábaco por escalas binarías 1 (núm. 56), se obtiene la representación de una ecuación de la forma

La fig. 97 da uu esquema de un ábaco de esta clase. Supongamos, para fijar las ideas, que dándose los valores de las cinco primeras variables, se quiere obtener el

de la sexta. Estando el transparente convenientemente orientado, se harán pasar los dos primeros índices respectivamente por los puntos (xt , *2) 7 {*■%, *4) de las es-

1 Recordaremos que con este motivo M. TUL Prévot ha. propuesto el empleo sistemático de estas escalas. M. Lalle- mand ha empleado esoalas do más de tres variables comprendidas <>n el tipo general definido *?n el núm. 56. Especialmente, se enouentran escalas ternarias en su notable ábaco de la desviación del compás (O., 4, núm. 132).

/¡s + /» + /» = 0.

Fie. 67.

calaB binarias correspondientes. El tercer índico encontrará a la linea (z5) de la tercera escala binaria en un punto por el cual pasará la línea (zn), cuya cota será el valor pedido.

En fin, gracias a la simotría de los tres ejes a que se les refiere, los ábacos exagonales permiten, por simples traslaciones del transparente, paralelas a las direcciones de dos de sus índices, multiplicar indefinidamente el número de entradas, y representar ecuaciones do la forma

(1) f t 4- f t + f, + ----- f f„ — O.o

{1 bis) f„ + f M + 4 . ■ • 4 f,n -„ ,» = 0,

cuando se hacen intervenir escalas binarias.Para darse cuenta de ello, basta introducir las varia

bles auxiliares yB, <?«, <?t ■ ■ • definidas por las igualdades

/, 4- f.¿ 4-9, = 0,<p4 —/■, + ?>, = 0 ,<e4 + / í + ¥ ,= 0 ,

— t \ 4 - < p s = 0 ,

la eliminación de las cuales (cuando se hace la suma de todas estas igualdades, despuós de haber multiplicado las de lugar par por — 1) nos da la ecuación (1) anterior. Ahora, para la representación de estas ecuaciones sucesivas por ábacos exagonales, puede intervenir una misma escala (?) en dos de estos ábacos consecutivos. Se podrá

n

258 NOMOGRAFÍA

tomar, por ejemplo, la misma escala (<ps) para los dos primeros, la misma escala (<p4) para los dos siguientes, y así sucesivamente.

Se podrán disponer así las escalas (x2), (xn), (ít4), {*5), . . . de f %, — f :i, f %,—frt, . . . paralelamente a Ox (fig. 98), la (zt ) de así como las de 4, ep<¡, . . . paralelamente a O y, las de <p0, <fi, . - . paralelamente a Oí. La última ecuación escrita será:

/ap f ij>—1 p—io

VíP ~i~ f tp + i 0,

según que n sea par (n = 2p)

o impar (« = 2 ^ 4 -1).

En el primer caso, se ve que la escala (z ,jp), se llevará paralelamente a O y [y, por consiguiente, a la escala (*1 )];

en el segundo , que la escala (zti>+,) se llevará paralelamente a Oí.

Hecho esto, si entrando en el primer ábaco por los valores de zi y tomados bajo los índices I t e I 2, ae supone marcada la es-

u<) cala <p3, se leerá bajo el índice I3el valor de esta variable auxiliar;

F|S‘ oa- poro no hay en esto utilidad alguna, debiendo servir de entrada

este valor en el segundo ábaco, bastará para ir a tomar sobro osto el valor de *3 bajo el Indice hacer simplemente

resbalar ol íudico I¡( sobre sí mismo, os decir, trasladar el transparentó paralelamente a la flecha F '; do igual modo para pasar del segundo al tercer ábaco, basta trasladar el transparente paralelamente a la flecha F " , y así sucesivamente. Se ve así que es completamente superfino trazar las escalas de <p„, <p<, <j>5, . . . quedando realizada la eliminación de estas variables auxiliares por las traslaciones sucesivas de! transparente, alternativamente paralelas a las flechas F ' y F " .

En resumen, habiendo dispuesto, como acaba de decirse, las diversas escalas (**), (x2), (x3), . . . (*„) [o las escalas binarias correspondientes si se trata de una ecuación de la forma (1 ¿>¿s)j, la manera de emplear el ábaco se reducirá a esto:

Hacer pasar los índices l j e I2 del transparente convenientemente orientado respectivamente por los puntos acotados z t y z2, después, por medio de traslaciones, del transparente alternativamente paralelas a las flechas F ' y F " , hacer pasar el índice I 2 sucesivamente por los puntos acotados z¿, z4, . . . z„_ ,. Guando se ha llegado a esto, el índice I 4 o I s (según que n sea par o impar) pasa por el punto z n cuya cota es el valor buscado.

Observemos que el sistema de representación aquí considerado para cierto tipo, bastante particular además, de ecuacióu de n variables, entra en el tipo general estudiado en el núm. 57 *, El ábaco obtenido puede, en efecto, considerarse como resultante de la reunión de ábacos re

1 Conviene añadir que ha sido inventado por M. Lalle- maud, independientemente de la teoría general a que nosotros lo referimos aquí.

260 NOMOGRAFÍA

lativos a un cierto número de ecuaciones de tres variables, unas figurando en la ecuación dada, otras introducidas como auxiliares, teniendo estos ábacos dos a dos un haz de líneas común por el cual se efectúa la eliminación gráfica de una de las variables auxiliares. Estos haces eliminatorios (que para el último tipo de ábaco considerado, se reducen a haces de rectas paralelas a dos direcciones fijas, las de las flechas F ' y F " ), se sustituyen, en este caso, por traslaciones del transparente según estas dos direcciones.

Sólo por el método que va a estudiarse en el capítulo siguiente vamos a llegar por primera vez a tipos de nomogramas que satisfagan al cuarto de los desiderata, formulados en el núm. 57, es decir, aplicables a ecuaciones que contienen más de tres variables y que no provienen simplemente de la reunión de nomogramas de tres variables entre los cuales se han efectuado eliminaciones gráficas.

HEPRESKNTAC1ÓN NOMOORÁFICA POR PUNTOS ALINEADOS 1

CAPÍTULO IV

A. — G e n e r a l i d a d e s

61. Transformación dualística de ios nomogramas de rectas concurrentes. — Recordemos los desiderata resultantes de los inconvenientes señalados en el número 58 para los nomogramas de líneas concurrentes:

1.° No tener que seguir una línea trazada sobre un nomograma para conocer la cota correspondiente.

2.“ Reducir las interpolaciones visuales a la operación que las realiza sobre simples escalas.

3.° Hacer posible el fraccionamiento de un nomograma en un número cualquiera de partes sobre una hoja única.

4.° Conseguir la representación de ecuaciones de más de tres variables no comprendidas simplemente en el tipo definido en el uúm. 57.

1 O. 1; O., 3, cap. IV y VI; 0 „ 4, cap. I I I y V.

262 NOMOGRAFÍA

Los tres primeros de estos desiderata han sido satisfechos, pero solamente para las ecuaciones de la forma

fi + ft + /» = 0

por los ábacos exagonales (números 59 y 60).También van a ser satisfechos por el método que va

mos a estudiar ahora, para las ecuaciones mucho más generales de la forma

ft 9, Kf» Oí j»

w 9S K

o, según el convenio hecho anteriormente (pág. 226),

I ft 9i | = 0.

Además, con este método conseguiremos por primera vez, satisfacer al cuarto desiderátum anterior i .

Según lo que se ha visto en el núm. 53, una ecuación de la forma anterior es representable por un nomograma formado de tres haces de rectas (*t ), (*2) y (*3); y cuando tres rectas, tomadas respectivamente en estos haces,

1 U na confusión en tre el orden lógico y el orden histórico ha dado origen a la creencia do que el m étodo de p u n tos alinoados lia sido Inventado después de los abacos exagonales. E ste e rro r hemos tenido ya ocasión de rectificarlo. V éase O., 7, nota 1 de la píig. 1.51. 751 princip io del método do los puntos alineados lia sido publicado en 1884 (0 , 1), el de los Abacos exagonales, en 1880 (ZiuUemand, 2).

PONTOS ALINEADOS 263

tienen por cotas un sistema de valores de x ir x2, *s, Que satisfacen a ia ecuación dada; estas tres rectas son concurrentes.

Efectuemos una transformación dualística de la figura (núm. 2) dando a cada punto así obtenido la cota de la recta de la cual es correlativo. Entonces los tres sistemas precedentes de rectas vendrán sustituidos por tres sistemas de puntos (fig. 99), constituyendo tres escalas de base rectilínea, o curvilínea (según que los haces corre-

ción dada, estos tres puntosestarán alineados sobre una misma recta puesto que las rectas correlativas concurren en un mismo punto.

Por lo demás, según lo que se ha visto (núm. 2), bastará, para efectuar tal transformación, reemplazar en las ecuaciones que definen las rectas del primer nomograma, las coordenadas puntuales x e y, por coordenadas tangenciales u y v, y, particularmente, por coordenadas paralelas (núm. 4).

' Para comprobar esta alineación se podrá emplear biou uti transparente sobre ol cual esté trazado un solo índico rectilíneo, bien un hilo fino que se tiendo sobre ol nomograma.

lativos sean convergentes o tangenciales), y cuando tres puntos, tomados respectivamente sobre estas escalas, tengan por cotas un siste - ma de valores de zit % que satisfacen a la eeua-

<*»)(MFig. 99.

264 NOMOGRAFÍA

El empleo de estas coordenadas especiales será evidentemente ventajoso siempre que el nomograma que se vaya a construir sea correlativo de un ábaco cartesiano, anatnorfoseado o no, porque las escalas funcionales que hayan de ser construidas sobre los ejes Oajy O y, no tendrán más que ser transportadas, sin modificación, sobre los ejes Au y Bt> del nomograma correlativo.

Esta simple observación permite también, dado un ábaco cartesiano, construir el nomograma de puntos alineados correlativo, sin necesidad de conocer la expresión analítica do la ecuación representada. Sea, en efecto, D una recta cualquiera del primer ábaco. Tomemos sobre esta recta un punto M cualquiera (fig. 100) cuyas coor

denadas cartesianas son OH y OK; la recta H ' K ' correlativa de M será aquélla cuyas coordenadas paralelas sean AH' = OH y BK' = OK. Tomando así las rectas correlativas de dos puntos cualesquiera de D, se obtendrá por su intersección el punto P correlativo de D. En particular, se podrán tomar las rectas B X ' y A Y ', correlativas respectivamente de los puntos X o Y, en que

PUNTOS ALINEADOS 265

la recta D encuentra a los ejes Ox y 0 y, 69 decir, tales que A X ' = OX y BY' = OY *.

Se ve, pues, que en este caso es la relación directa de las coordenadas tomadas en la primera figura, la que nos da la segunda, mientras que el empleo de las coordenadas plückerianas exigiría la determinación de las inversas de estas coordenadas, lo que complicarla sensiblemente la operación.

62. Principio general de los puntos alineados.—Para representar en puntos alineados una ecuación tal como 2

(1) ¡ fi y t h( | = O,

(de la que diremos que las funciones f it g it h{¡ son las funciones componentes) consideraremos los tres sistemas de puntos

( z {) fi + + 0 ( ? = 1 , 2 , 8 )

donde u y v son coordenadas paralelas.Las coordenadas cartesianas de tal punto, referido a

los ejes 0# y O y definidos en el núm. 4, cuando se toma como módulo a lo largo de Ox el segmento OB (repre-

1 Se encontrará un ejemplo uotable de uua transformación de esta clase en O., 4, pág. 130 y 181. íig. 54 y 54 bis.

2 Nosotros tenemos que enunciar primeramente el principio del método en toda su generalidad; pero para los casos particulares que se presentan con más frecuencia en las aplicaciones, puedo establecerse este principio d irectamente de un modo muy elemental, como no dejaremos de mostrarlo. Véase especialmente a esto respecto el núm. 66.

tentado en el núm. 4 por 8), siendo cualquiera el módulo |i a lo largo de O y, están dadas por

, },i ~ 9i {‘/'i(2) a h, +g¡ ’ v ~ li{ + 9i

Se podrán calcular los valores de estas coordenadas para valores do Zi crecientes por intervalos iguales a partir de un cierto valor en números redondos, y se tendrá asi la escala de *,■ tomando este termino en una acepción más general que en el núm. 46, puesto que la base de esta escala puedo sor curvilínea. Volveremos más adelante sobre esta noción general de las escalas (núm. 64), y veremos que, en la mayor parte de los casos se puede construirlas geométricamente por medio de los patrones usuales de graduación (núm. 49). Si se busca la mayor precisión posible, lo mejor es calcular los valores sucesivos de x e y por medio de las fórmulas (2) para llevar en seguida los puntos correspondientes sobre ei dibujo t . Pero en la inmensa mayoría de los casos la precisión conseguida con las construcciones geométricas ordinarias es muy suficiente. También es interesante examinar aparte el caso en que figuran sobre el nomograma, una o varias escalas rectilíneas, para las que tales construcciones alcanzan su máximum de sencillez.

Es claro que los puntos ( ) estarán distribuidos sobre una recta si las funciones f iy git h¡ son linealmente dependientes, o, lo que es lo mismo, pueden expresarse

266 NOMOGRAFÍA

’ So puede, para efectuar este Transporte, recurrir al coordtnatógrafo do Coradi o al de Bamberg, oon loa cuales se puediv contar con una precisión media de <>,*nmG5.

linealmente por medio de una misma función por fórmulas tales como

/■,-= Aicp< + A () + /tj — Cj tp< + C,,

siendo A, B, C constantes, porque, en efecto, la ecuación del punto ( x¡ ) puede escribirse:

(Aj + Bj/í-f- 0 ^ ) 9 + A, + Bi«4-C<v=ü,

ecuación que define sobre la recta que uue los puntos

A< + Bf« + Gi t) = 0,A^-j-BjW + C fi^O ,

una. escala proyectiva de la escala de la función v¡ .Representaremos por la notación Np un nomograma

de puntos alineados con p escalas curvilíneas y, por consiguiente, 3—p escalas rectilíneas, y diremos que es del genero p l .

Los caracteres diferenciales por los cuales se puede reconocer n priori que una ecuación de 3 variables dada

U = 0

1 En esta consideración del número délas escalas rectilíneas es en la que nosotros hemos fundado la clasificación de los nomogramas de este tipo en nuestro Tratado extenso (O., 4, cap. III), poro sin precisar la noción do género uquí definida, que liemos llegado a hacor más tarde (O., 12), después do haber introducido M. Soveau la noción de ordtn nomogràfico (núm. 03).

268 NOMOGRAFIA

puede ponerse bajo la forma (1) han sido descubiertos recientemente por 31. F. H. G-ronwall i . Existen, sin embargo, tipos generales de ecuación, que se encuentran muy frecuentemente en la práctica, para los cuales se sabe efectuar esta transformación, es decir, separar las variables (pág. 225) por medio de tres ecuaciones lineales en u y v. Daremos más adelante diversos ejemplos de la mayor importancia (núms. 68 y 72).

Aquí solamente haremos observar que, cuando una ecuación es susceptible de tomar la forma (1), lo es de una infinidad de maneras, siendo los diversos nomogramas correspondientes transformados homográficos unos de otros 2.

Esto es una aplicación inmediata de lo dicho en el número 6. Todos los nomogramas que corresponden a una misma ecuación vienen dados por las ecuaciones

f'i+ ug'i + vh'i— 0 donde Ti — lft Jr ‘>ngi + Jih{¡

,9i — l /{+»» Í'i + H/i+ i» + n hip

siendo los parámetros l, m, n, . . . n " cualesquiera, pero

1 Qronwall.■ La idea de re c u rr ir a la hom ogralía para perfeccionar

la disposición de las esoalas de un nomograma, em itida por prim era vez en O-, 3 (pág. 69), ha sido am pliam ente d esarro llada en O., 4 (núm s. 61 y 62). Parece que hasta entonces la honiografía general no había sido em pleada más que con fines pu ram eute especulativos.


tales, sin embargo, que el determinante

1 m nV m' nr m " ri‘

sea distinto de cero.En virtud de la Observación del núm. 6 podemos, se

gún esto, disponer arbitrariamente do 4 puntos del nomograma. Escogeremos evidentemente los que corresponden a los valores límites a 4 y b±, a2 y i 2 de las dos variables y x.2 que se consideran como independientes. Colocando estos cuatro puntos en los vértices de un rectángulo, obtendremos en todos los casos una bueDa disposición para el nomograma *.

Observación I.—Cuando la ecuación dada se presenta bajo la forma

fx ■ f» + 0, • 9U + h, ■ = °>

es muy natural, para efectuar la separación de las variables, poner:

92» r ^M =|i—-i-, v=V.-J~.> 93 ' M

1 No conocemos mejor ejemplo de esto que el que hemos oitado en O., 4 (niím. 84), en el cual la separaoión, tal como se ofrece desde luego, oonduce a un nomograma sobre el cual una de las escalas es encontrada por el índice bajo un ángulo tan pequeño, que haría ilusorio el empleo de este nomograma sin la intervención de la homografia, que permite darle una excelente disposición.

270 NOMOGRAFÍA

y eliminar sucesivamente y -?<, entre estas dos últimas ecuaciones. Si las ecuaciones resultantes son lineales en u y v, la separación se efectúa bajo la forma requerida para la construcción de un nomograma de puntos alineados. Si no lo son, la ecuación no podrá referirse a esta forma, como lo ha establecido con todo rigor M. Clark i, a no ser quizá con una anamorfosis no proyectiva 2.

Observación I I .—La ecuación (1) anterior puede tam bión, si se quiore, considerarse como expresando la ali-

* Clark, núm. Sí). Por esto medio ha sido oómo, al p rin cipio de nuestras Investigaciones sobre los puntos aliuea- dos, hemos efectuado la separación de variables. Pero la consecuencia, arriba enunciada, deducida del hecho de no conseguirlo [consecuencia que ya hablamos previsto a propósito de un Rjemplo particular (O., 3, pág. 28)] no ha sido rigurosam ente establecida hasta los trabajos de M. Clark.

a Sea, por ejemplo la ecuación

9.9 .+Vi-j-íí V l + íí + 9,,

considerada en el núm. 62. Si ponemos:

<*>., Vl+9Üu - ¡i — V = |1

obtendremos:98 9a

V l + 'p’ - w —9sV = 0,y

(«*—ti*)9j+íi* = 0.

La ecuaoión no es, pues, representable bajo esta forma, en puntos alineados. Pero se la reduce a una forma susceptib le de este modo de representación por la anamorfosis transcendente indicada en ol núm. 52.

neación de los puntos definidos en coordenadas cartesianas por

Se puede, pues, enunciar el principio general, lo mismo colocándose en ol punto de vista puntual que en el tangencial. El nomograma definido por los últimos valores escritos para x e y es además el mismo que el dado en coordenadas paralelas por

— -!7i + (hi ~ f í )'<+ (/< < + /’() » = 0,

que está comprendido en el tipo general anterior mediante una elección conveniente de los parámetros l, m, n, . . . Nosotros hemos hecho ya esta observación 1 sobre la cual está fundado el sistema de exposición adoptado por M. Soreau 2. Si nosotros adoptamos, por nuestra parte, el empleo de las coordenadas paralelas, es, primeramente, porque conduce a una mayor simetría entre las ecuaciones que corresponden sea al caso de las rectas concurrentes, sea al de los puntos alineados, y también, y sobre todo, porque en el caso mucho más frecuente en que el nomograma pueda construirse con escalas rectilíneas (que por homografía se pueden siempre hacer paralelas), es decir, cuando este nomograma es del tipo N0 o N i, este empleo de las coordenadas paralelas proporciona el medio más directo y más natural de efectuar la separación adecuada de las variables (véanse los números 66, 67 y 71).

Observación I I I .—Si se tiene idénticamente

Oi + hf — 0,

1 O., 4, núm. 61. s Soreau, 1, núra. 38.

272 NOMOGRAFÍA

todos tos puntos («* ), conforme se ha visto al final de la Observación del núm. 4, estarán en el infinito, cada uno de ellos en una dirección determinada por el coeficiente

\if,angular 25~ • este caso, es necesario, pues, marcartodas las direcciones (*.) así determinadas sobre un transparente móvil cuyos ejes O 'x ', O 'y' se mantengan paralelos a los ejes Ox y O y de la parte fija del nomograma que lleva las escalas (a .) y (xk) y la manera de emplear el nomograma se deduce de que los puntos (2 .) y (zk) deben estar simultáneamente sobre la dirección (z.) del transparente.

63. Orden nomogràfico de las ecuaciones representares en puntos alineados. — Decimos que la ecuación

fu... ». ~

es nomogràficamente racional si puede escribirse

y que está ordenada nomogràficamente con relación a la variable si está puesta bajo la forma

K • fn ......= °>

siendo las funciones f x linealmente independientes. Si esta ecuación así ordenada contiene Wi-f-1 términos, se llama de orden nomogràfico n t con relación a *t . Y si es, con arreglo a esto, de orden n { con respecto a cada variable x (> su orden nomogràfico total es n = z n i.

Se ve que una ecuación representare en puntos ali-

neados cuando está puesta bajo la forma (1 ) delnúm. 62, será generalmente de orden 6 . Sin embargo, como acabamos de ver, si la escala (z{) es rectilínea, indica que las funcioues f., gv h. son linealmente dependientes, y, en este caso, en virtud de la definición anterior, el orden nomogràfico con respecto a z. desciende de 2 a 1 , y el orden total disminuye una unidad. Resulta de aquí que a un nomograma N„ (pág. 267), corresponde en general una ecuación de orden nomogràfico p-f-3.

En particular, un nomograma N0 será representativo de una ecuación de orden nomogràfico 3.

Se puede, sin embargo, hacer que una ecuación de orden nomogràfico n esté representada por un de g6- nero p superior a n — 3. Supongamos, en efecto, que, sobre este nomograma, dos de las escalas (?2) y (23), por ejemplo, tengan el mismo soporte S (en este caso, necesa- mente curvilínoo), sin que estas escalas sean idénticas, es decir, admitiendo que en cada punto de S, y 23 tengan valores distintos. Estos valores estarán necesariamente ligados por una relación tal como

<ft— Cf»,

y se ve que, por alineación tomada sobre el nomograma, se podrá asociar:

1.° Sea un sistema de z it z^, 23 que satisface a la ecuación representada, en el cual los valores de z2 7 zz corresponderán a dos puntos distintos del soporte S;

2.° Sean valores de z2 y correspondientes a un mismo punto de S con un valor cualquiera de zit

Esto muestra que ei nomograma se refiere en realidad a una ecuación que puede escribirse:

/■,»(?„ - ? : . ) = "•

Según que se asocien los valores de zit x a y de un

modo u otro, satisfarán a uno u otro de los dos factores, es decir, a la ecuación

o al factor parásito?2 — <P3~0.

Se puede, pues, decir que, en este caso, el nomograma representa la ecuación considerada a condición de no asociar juntos más que valores do % 7 xs Que pertenezcan a puntos distintos del soporte S, o, en el limite, si estos puntos coinciden, tomando como alineación correspondiente la tangente a S en este punto.

Igual observación hay que hacer si los tres soportes coinciden en uno solo; en cuyo caso, el nomograma representa, además de una ecuación / j = & tres factores parásitos <p2—v3, 'J'a— 'i't, — x2, tales que cada unode ellos igualado a cero sea resultante de la eliminación entre los otros dos, igualados tambión a cero, de la variable que les común.

<54. Construcción de las escalas curvilíneas.—Yahemos visto (pág. 2(i(3) que si la ecuación de! sistema (z.'j os lineal en f. y se escribe:

U + /(V =0,

siendo U y V funciones lineales en u y r, la escala correspondiente que tiene por soporte la recta que une los puntos U = 0 y V = 0 , es proyectiva con la escala de la función f¡_ Por lo tanto, cuando se conocen tres puntos de una de estas escalas, se sabe construirla, como se ha visto en el núm. 48.

La observación del ndm. 5 muestra que, si la ecuación

P O N T O S A L IN E A D O S 275

deí sistema (*f) es algébrica y entera on f {, se podrá reducir su construcción a proyecciones partiendo de la escala de la función f . El caso más interesante, a causa de su relativa frecuencia, es el de una escala cónica, definida por una ecuación tal como

u + / y v + / ;w = o .

La base de esta escala está, en efecto, dada en coordenadas paralelas, por la ecuación

V s—4 U W = 0 ,

que define una cónica que pasa por los puntos U = 0, V = 0 , en los cuales las tangentes son las rectas que unen estos puntos al punto Y — 0.

Según lo que so ha visto en el núm. 5, el kax que proyecta esta escala desde uno cualquiera de sus puntos es también proyectante de la función f ¡ _

Se puede, por consiguiente, construir la escala por medio de dos de estos haces proyectantes.

Sean a, b, e, d, cuatro valores cualesquiera de la variable y A, B, C, D, los puntos correspondientes marcados sobre el nomograma. Consideremos, por ejemplo, el haz proyectante de vértice A; debiendo los rayos AB, AC, A l) de este haz corresponder a los valores b, c, d de la variable, sabemos, por la construcción indicada en el núm. 48 (fig. 81), construir este haz. Lo mismo para el haz proyectante de vértice B en el cual los rayos BA, BC, BD, deben corresponder a los valores a, e, d de la variable. Los puntos do intersección de los rayos homó

m n o m o g r a f í a

logos de estos dos haces, es decir, de los quo corresponden a un mismo valor de dan a conocer ¡os puntos de la escala cónica pedida, acotados mediante estos valores de x¡ .

Haremos aquí una observación importante: geométricamente, el conocimiento de un punto y la tangente en este punto equivale al do dos puntos (aquí infinitamente próximos); el conocimiento de los puntos A y B de la escala y el de !as tangentes A'!' y BT en estos puntos (figu

ra 101) podría, pues, parecer ti priori equivalente al do cuatro puntos tales como A, B, C, D; sin embargo no es así, cuando interviene la consideración de las cotas. En efecto, en el haz proyectante de vértice A, por ejemplo, aparte del rayo AB correspondiente a x ,■ — b, no se conoce mfis que ol rayo correspondiente a que soconfundo con la tangente AT- Estos dos rayos no bastan para determinar el haz proyectante de vértice A para la


función f i . os necesario im tercer rayo; lo mismo para el haz proyectante de vórtice B. Será, pues, nocesario, además de ios puntos A y B (con cotas a y b) y las tangentes AT y BT en estos puntos a la baso cónica, determinar otro punto cualquiera C (de cota c) de la escala.

El haz proyectante de vórtice A está entonces definido por los rayos AT, AB, AC, de cotas a, b, y c respectivamente, y el haz proyectanto de vórtice B, por los rayos BA, BT, BC, con iguales cotas a, b, c.

Si, en particular, se toman como puntos A y B aquéllos cuyas ecuaciones son respectivamente U—0 y W =0. el punto T es, como acabamos de recordar, el que tiene por ecuación V = 0 . Bastará entonces añadirles como punto C el que corresponde a un valor cualquiera de aquél, por ejemplo, para el cual f t = 1, punto cuya ecuación es:

ü + V + W = 0 .

Observación I .—Si la función /i se reduce a t la escala, que entonces llamaremos cuadrática, se obtiene por medio de dos proyecciones de escala métrica. Se puede, en todos los casos, construir una escala cónica tomando primeramente por parámetro f{, lo que permite efectuar la construcción por medio de una escala métrica. Habiendo determinado, además, los valores de correspondientes a los valores de f( , se sustituyen éstos por aquéllos para la graduación.

Observación I I .—Hemos visto (pág. 269) que, aplicando la homografía general, se pueden dar arbitrariamente cuatro puntos acotados cualesquiera de un nomograma de puntos alineados; por otra parte, acabamos de ver que toda escala cónica está completamente determinada por cuatro de sus puntos acotados; se sigue de aquí, como ha


observado M. Clark que cuando una escala cónica figura sobre un nomograma de puntos alineados, se puede siempre, gracias a la homografía, disponer de esta escala de un modo puramente arbitrario. Se puede, en particular, hacer do manera que los puntos A, B, C, D, de cotas

a, b, c, d, sean los vórtices de un rectángulo arbitrariamente escogido. Según la disposición de 69tos puntos, variará la naturaleza de la base cónica. M. Clarck ha observado que se puede siempre conseguir que esta cónica sea un círculo. Si «, p, r> ®. son los valores de la función f { {*) en los puntos A, B, C, I>, y si

F¡e-loa- AT es la tangente en Á a lacónica base (fig. 102), tendre

mos para la relación unharmónica p del haz A(TBCD),

Esta relación está también dada por

son (D, A) , sen (B, C)p~~ sen (D, C) . sen (B, A) '

Si la base es un círculo, se tiene:

(D, A) = (B, C) = 6, (D, C) = (B, A) = - ( - J — #) -

Resulta de esto quetg* 0 = p,

1 Clark, Jiúm. 27.

PU N TO S A LIN E A D O S 279

y bastará dar a o el valor deducido de aquí, teniendo pol valor anterior para que la escala sea circular.

65. Escalas de varias variables. Punios condensados. Redes de puntos.—Hemos extendido el principio de los nomogramas de líneas concurrentes, y particularmente los ábacos cartesianos, a ecuaciones de más de tres variables por la introducción de los sistemas condensados {pág. 239) definidos por ecuaciones tales como

F (x, y, í) — O,

donde t es una función de dos variables y definida por

Evidentemente, podremos considerar de, igual modo puntos condbnsudos i, definidos en coordenadas paralelas, por una ecuación como

fit) + ug(t> + vhd) — <),

donde l estará aíín definida como anteriormente. Estando las coordenadas de uno de ostos puntos dadas por

h(t) —g(t) _ _h(t)+g U» ’

una u otra de esta9 fórmulas define una escala binaria (núm. 56) la cual, por su intersección con la base C de

1 O-, 4 , pág. 296.

'2 8 0 n o m o g r a f í a

los puntos (l) (cuya ecuación estará dada por la eliminación de t entre las expresiones de a; o ;/) dará a conocer los puntos condensados (xt, *2) (%• 103).

tes; si, pues, el sistema de representación varía, el tipo de ecuación al cual se aplica, no puede, desde el punto de vista nomográfico, considerarse como nuevo.

Pero lo que permite al mótodo de puntos alineados conseguir de estos nuevos tipos, es que, mientras que las líneas que dependen do dos variables no pueden ser representadas de una manera permanente sobre un nomograma, sino cuando son condensadas, no ocurre lo mismo con los puntos, quienes, si están ligados de un modo independiente a dos variables, pueden ser representados por medio de una red cada uno do cuyos dos sistemas constitutivos corresponden a una de las dos variables. El punto (x^, *a) no es otro, entonces, que el que se encuentra en la intersección de las líneas acotadas x^ y x 2 en uno y otro haz de que está formada la red.

La ecuación general en u y v de un punto de dos cotas x i y x 2 será de la forma

Si se introducen estos

Fijf. ioa.

,f puntos condensados en un uomograma de puntos alineados, so obtiene la representación c o rre la tiv a de una ecuación que podría estar igualmente representada por sistemas condensados de rectas concurren-

PONTOS ALINEADOS

3 sus coordenadas se expresarán por

281

Para tener las ecuaciones de los sistemas (*4) y (*2) que constituyen la red {ziy z2) basta eliminar sucesivamente * 2 y x-i entre estas expresiones de x e y 1.

La ecuación más general representable por medio de puntos do dos cotas será., pues, de la forma

Él nomograma correspondiente está representado esquemáticamente en la figura 104, correspondiendo la posición del índice, marcado por trazos en la figura, al ejemplo

en el cual se leerá *,¡ = 4.El caso prácticamente más importante es aquól en que

1 Excepcional mentó, puede hacerse que las curvas (z¡) y (z?) sean geométricamente las mismas y den origen a la red volviéndose a cortar ellas mismas. Un notable ejemplo do este particularidad se encuentra en nuestro nomograma general de la Trigonometría esférica (Bull, astr., t. X I, 1894, pág. 5, y O., 4, in'un. 121).

f* !>» K = 0 '

Z t—ü, za=2, zt~*±. z*>-=(y,

282 N O M O G R A F ÍA

la sustitución de la rod no influye más que sobre una solu escala curvilínea, lo quo conduce a una ecuacióu de la forma

y se tiene así el primer ejemplo de uua ecuación de cuatro variables directamente representada, sin que el nomograma correspondiente provenga simplemente de la unión, por un haz común, de dos nomogramas separada

mente aplicables a una ecuación de tres variables solamente (a saber: dos de las que figuran en la ecuacióu dada y una variable auxiliar correspondiente al haz común y cuya eliminación gráfica resulta precisamente de la existencia, entre los dos nomogramas parciales, de este haz común).

F lg . 104.

PU N TO S A LIN EA D O S 283

B.— Nomogramas de simple alineación de los géneros O y 1 (N„ y N ().

06. Nomogramas N¡ de tres escalas paralelas.—Silas tres escalas rectilíneas de un nomograma N0son concurrentes—en cuyo caso designaremos este nomograma por la notación se puede siempre, por una transformación homogríifica apropiada, llorar el punto de concurso al infinito, es decir, hacerlas paralelas 1.

La forma canónica correspondiente es

que está dentro del tipo general del núm. 62 cuando se escribe:

Poro esta manera de escribir no salta a la vista inmediatamente, mientras que se efectúa naturalmente la separación que conduce directamente al tipo do nomograma propuesto, poniendo:

(1)

f , - i 0ft O - 1 = 0.

U 1 1

<*i)(*■2)

v = II f

1 A rueños, lo que es esoepcionol, quo las partes útiles del nomograma se* extiendan hasta el punto de concurso-

2 8 4 N O M O G R A F ÍA

siendo y los módulos adoptados a lo largo do A?¿ y de Br. Deduciendo do aquí fx y f2 para llevarlos a la ecuación (1), se tiene:

í*8) ll * + l* ,í, + íJl1l*,/'. = V-

Según lo que hemos visto en el núm. 4, este punto está situado en las paralelas a los ejes Au y B¿-', cuyas distancias í i y ^ a estos ejes, tomadas con sus signos, son tales, que

y la ordenada de este punto, contada a partir de AB, que está confundido con O as, está dada por

(3)

o

si ponemos

es decir

(4)

Llamemos, para que sea mayor la simetría, 0 4 y 0 2 los orígenes de las escalas de f x y de f 2 (confundidos respectivamente cou A y B), u •! y « 2 los segmentos (anteriormente llamados u y v) llevados respectivamente sobre A?¿ y B r, Oa el origen de la escala do f 3 (en la in

— —i1»

|ía

V = — (1=

V-i 11?

|l3 IX L }l,

PCTNTOS A LIN EA D O S 285

tersección de su base con 0 40 2), ?t3 los segmentos llevados sobre esta base fes decir, y de la fórmula (3)]. La construcción dol nomograma N' representativo do la ecuación (1) anterior, que generalmente será más cómodo escribir:

i1 w»)

se reducirá a lo que sigue:Tomados arbitrariamente los ejes Oan.] // 0 2u2 y es

cogidos los módulos correspondientes \>-i y ti2, se divide el intervalo 0 40 •¿'por el punto 0 3 en la relación

Oí Q.i__¡tiQ,Q, " W

y se traxa, pasando por este punto, el eje 0 3us paralelo a 0 1u l y O 2 u 2 sobre el cual (siendo el sentido positivo el mismo que sobre los otros dos ejes) el módulo será i»3, determinado por la fórmula (4). El nomograma de la ecuación (1 bis) está entonces constituido por las escalas de las funciones f(, f2 y v3 tomadas respectivamente con los módulos ¡»i, y t1« sobre los ejes Ot u1; 0 2u2 y 0 3u3 í .

Por lo demás, en la práctica, los orígenes O*, 0 2 y 0 3

* Convendría aquí, para proceder con un buen orden didáctico, referir el principio do este tipo particular de nomograma al principio general del núm. 62; pero os de toda evidencia que este principio puede ser considerado como una consecuencia inmediata del teorema de geometría elemental indicado en la Observación del núm. 4, lo que permite, h¡ 80 quiove, exponerlo bajo una forma puramente olemeutal.

2 8 6 N O M O G R A F IA

Mi ., . 111 : . . h

K> (*.)

al as

0, 0

no tendrán, en genera), que intervenir. Si, por ejemplo, n\ y bi> do una parte, a 2 y ¿2, de otra, son los valores límites respectivos de y de x 2, se construirán las escalas correspondientes entre estos límites (trazos gruesos

de la figura 105) sin preocuparse de los plintos Oí y 0 2 correspondientes (que, hasta podrán, con frecuencia, estar fuera de los límites del cuadro que se ha fijado).

Para determinar en seguida la escala (%3) (cuya base, como acabamos de ver, divide el intervalo entre y a 2¿>2 en la relación de los módulos) bastará conocer

dos de sus puntos sogiín la Observación I del núm. 46. Ahora, se puede siempre encontrar dos pares de valores en números redondos de y a 2 Para os cuales el cálculo del valor correspondiente de z 8 sea inmediato y aun puede hacerse mentalmente; y con frecuencia, además, estos pares de valores serán precisamente los valores límites de y a2, de una parte, y ¿>2, de otra, a los cuales corresponden tambión los valores límites a3 y b3 de x3.

Entre las ecuaciones que se refieren al tipo (1 bis) anterior, las que aparecen con más frecuencia en la práctica son de la forma

F i¡f. 105.

(5)

que bastará anamorfosear logarítmicamente en

(5 bis) logzt ~~loifk— nl U>}gz1-\-n%h>gzt.

P U N T O S A L IN E A D O S 287

Si se dispone de un patrón logarítmico de módulo ¡x (núm. 49) se podrá efectuar directamente el transporte de las escalas (xx) y (z2) por medio de este patrón tomando, como módulos [ii y na,

lo quo, en virtud de la fórmula (4) anterior, da

Observación /.--Siempre se pueden escoger los módulos jii y |ia de modo que las partes titiles axbx y a 2¿>2de las escalas (*t) y (z2) tengan la misma longitud. .Basta para esto que

m-, l t\ t K' ~ («, > ] “ n. 11\i K> -*>,)]•Si, para obtener la igualdad rigurosa de estas longitu

des, en cuyo caso la figura ai bl b2a7¡ se convertiría en un rectángulo (caso particular de la disposición indicada para el caso general al final del núm. 62), fuese precisoadoptar para la relación — un valor incómodo, sería con-Jl2veniente sustituirlo por el valor simple más próximo, lo que equivaldría a dar a las escalas (*.,) y (z2) longitudes, no completamente, sino sólo aproximadamente iguales.

El interés en hacer estas longitudes casi iguales, está en que en este caso, el índice, por medio del cual se toman las alineaciones, corta generalmente a las escalas bajo un ángulo más favorable.

Observación I I .—Si, en vista de la precisión que se necesita, hay que dividir las escalas {xy) y (x2) respectivamente en fragmentos A*, B 4, . . . y A2, Ba, . . . (nú


mero 51), s© podrán disponer estos diversos fragmentos imos al lado de otros sobre otros tantos ejes paralelos, dividiendo siempre, desde luego, los ejes sobre los cuales estén situados los fragmentos correspondientes A 4A 2, A 1B2, — B j A • a los intervalos correspondientes en la misma relación 1.

[ls

Observación I I I .—Sean tres nomogramas N0 obtenidos asociando dos a dos las escalas paralólas OiU^, O^u^, Ó3?í3 (fig. 106). Llamemos O O ,u ,, O¿ u los

t*,'*»| Wj' A*

Ai Ai*_ _ - -

«,r ; »|V. • • • • " À,

*>.' o,- 0,0, o; o, o.Fifi. loe.

torceros ejes respectivos de estos tres Nó que representan entonces ecuaciones tales como

/; 4 A= 9 , ',/'3 == «P / *

/ , + /, = */■

1 E s con veniente hacer resa ltar la correspondencia entre ias d iversas escalas parciales por medio de colores d iversos: es un artificio de aplicación siem pre fácil, para los nom ogram as constru idos a mano. Cuando se tra te de imprim irlos, su realización resu lta más delicada y costosa; se puede, entonces, re c u rrir a otros m edios, pero aconsejamos al lector los com plete en seguida, a mano, con e¡ color.

P O N T O S A L IN E A D O S 28í>

El comandante «le Ingenieros (hoy coronel) Bertrán ha observado que, según la fórmula (2) anterior, si se te man las alineaciones entre los puntos A.,, A2, A;( corre: pondientes a valores cualesquiera de x t, x 2, x 3, los pun tos A ^ A,-, A,'t obtenidos sobre las terceras escalas so los baricentros de los puntos A t, A e, As asociados dosdos cuando se afectan estos puntos de las masas — , — •r 11. Hs— respectivamente. Rosulta de aquí que las rectaA i A /, A 2A,'; A 8A,'j concurren eu itn mismo punt A 4 baricentro de estas tres masas, el cual, por consiguiei te, describe también una paralela O a los ejes. Pe otra parte, se tiene:

J_ _ i_ J_ J _P . O . _ |*9 j*ii_ _____ | i r _ ix.0 ,0 / J _ ‘ "_L_ Vi' ‘

t*. ti.

Si, pues, se lleva sobre ei eje la escala de la fui:ción cp4 con el módulo tal que

_!_1 . i _ 1 . i , iIÍ4 |ll Jll' Ji-1 H»’

se obtiene, por medio de las escalas Ot u 1} O,- u,-: 0*?/ la representación do la ecuación

f,o

Las alineaciones A( A^ y A s A,, conducen además evidentemente, al mismo resultado. En esto consiste e

19

-290 N O M O G R A F ÍA

principio de la composición de las escalas paralelas del coronel Bertrand, que se extiende evidentemente a un número cualquiera de escalas paralelas, y do las cuales este autor ha hecho una excelente aplicación al cálculo de las distribuciones de agua *.

Ejemplo.— Sea la fórmula

, bh3 12 ’

que da a conocer el momento de inercia I de un rectángulo de base b y de altura h con relación a la paralela a su base trazada por su centro.

Esta ecuación, escrita asi:

log I-|-log 12=log Z>—f-3 log 7¿,

está comprendida en el tipo especial (5 bis) anterior. Aquí rif — 1, « 2 = 3. Luego, si las escalas (6) y (A) están construidas con el mismo módulo ¡i, la escala (I), cuya base divide al intervalo de las bases de las dos precedentes en la relación de 3 a 1, debe tomarse con el módulo-j. La figura 107 muestra este nomograma construidopara el caso en que b y h varían de 0,1 a 1, con ¡i=6cm,25 (Tipo 4.0 del núm. 49.)

Si se quiere contar con una precisión relativa mediade - i- sobre I, es preciso que la escala logarítmica correspondiente sea la del tipo 3.° del núm. 49, es decir, que -~ = 12cm, 5, y por consiguiente, que n = 50om, o,

J Bertrand y O. 4, núm . 71.

P U N T O S A L IN E A D 0 8 291

dicho de otro modo, que se tomen Las esculas (A) y (h) con el patrón 1.“ del núm. 49 1.

tt o rÍ - 1

t>9- tI- C.Q S - O.J

M - --0 8

0.7- - 0,7

Ob- _o,o - 0.6

0.5 r -0.005 7 - o i

0,* J * n

(K) \ [lh -o.ooi (b) :

0,3- r-o.coo.s

1ji

o.S-i - 0 'i: - 0.000.1j

- “- 0.000 os

_ 0.000.0 10.1- 0.1

Tig. 107.

1 E ste nom ogram a, que figuraba ya con n=*10cm, como ejem plo on nuestro Tratado (O., 4 , pág. 154), ha sido constru ido , después de esto, con ¡jt = 49cm por el ingeniero M. J . R ieg er, en tíu Grafische Tafel zur Berechnung gewalzter, genieteter und hölzerner Träger (editado en B rünn).

07. Nomogramas N0 de dos escalas paralelas.—Silas tres escalas de nn nomograma N0 no son concurrentes como en el ndmero anterior, so puede hacer de modo que por lo menos dos de ollas sean paralelas 1 y tengan, por consiguiente, por bases los ejes A w y B-tf, siendo tomada la tercera sobre el eje AB de los orígenes.

El tipo canónico correspondiente es:

(i; / ; + / , a, = o,

que se puede escribir también:

(1 bis)

y que se pono bajo forma de determinante del siguiente modo:

r, — 1 0

f, y —i

0 i h.

Observemos inmediatamente que una ecuación de esta clase se reduce a la forma canónica del número anterior cuando se toman los logaritmos de los dos miembros de (1 bis) y se pone log <p¡ = f i .

Una ecuación reductible a una de las dos formas lo

* Con la misma reserva que anteriorm ente (pág. 288, nota 1.a), 6b decir, siem pre que las partea ú tiles de las g raduaciones no se prolonguen hasta el punto de concurso, que aquí está en el infinito.


es, pues, igualmente a la otra, pero mediante una anamorfosis transcendente, y esta consideración está muy lejos de ser indiferente cuando se ha cuidado de construir el nomograma proyectivamente partiendo de determinadas escalas funcionales que se tengan a mano.

Vengamos a la representación de (1 ). Poniendo

(*i> « - i* , / ; ,(*a)

lo que equivale, como en el caso precedente, a llevar sobro los ejes A u y B í las escalas de las funciones f\ J respectivamente con los módulos u-i y {*2, se tiene para ei sistema (23):

(23)

o, poniondo siempre OB = ®,

De otro modo dicho, la escala (í¡3), situada sobro el eje Ox o AB, es proyectiva con ia de la función h3-, lo que, como se ha visto en el número 48, permite su construcción inmediata cuando se han obtenido tres de sus puntos. Cada uno de estos tres puntos vendrá dado por la intersección de la base AB con una alineación correspondiente a un par de valores de y x 2 para lo cual se habrá calculado do antemano el valor correspondiente de *a, escogido de manera que este cálculo sea lo más sencillo posible.

2£>4 N O M O G R A F IA

Si el soporte A B no ha sido trazado de antemano, se puede marcar el punto ( %3) sobre !a alineación (*1 *2) correspondiente observando que, según la fórmula (4.) del número 4, si y 32 son las distancias de este punto (*3), respectivamente a los ejes A tí y Bv, se tiene:

Una observación importante: esta última expresión muestra que el punto (z3) se encuentra entre las escalas (*í) y fa)) 0 fuera, según que la función h 3 sea positiva o negativa. Ahora, es más conveniente, si za es la variable que se determina en función de las otras dos, hacer de manera que el punto (2:3) esté entre los puntos (*d) y (~s<) • Si, pues, en el campo considerado, la función permanece positiva, será conveniente en general, h-¿ sustituirla por la función —h a escribiendo la ecua- cióu dada

= ° •

lo que equivale a cambiar sobre el eje Qv el sentido en el que está tomada la escala de la función f 2 1.

1 Si, lo que os excepcional, la función h¡, cambia de signo en el campo considerado, no habrá más que fraccionar el nomograma y construir sus dos partes por medio de los mismos ojos haciendo Corresponder a una de ellas las funciones fi y ha, a la otra — y —h3 Los soportes son los

rU N T O S A L IN E A D O S 2 9 5

Cualquiera que sea la función h% elegida, se ve que la construcción se reduce a esto (fig. 108):

Marcadas entre sus límites respectivos a 1 y bt , de una liarte, a2 y b2 de otra, las escalas (Zj) y (z2) sobre dos bases cualesquiera, se marcan, como acabamos de decir, tres puntos a3, b3, c3 de la escala (z3); estos tres puntos determinan ésta como proycctiva de la función h8 (número 48) 1. F>e- ios.

Observación.—Si con un módulo cualquiera se lleva sobre el eje Br la escala de la función — f(x) y sobre A B la escala proyectiva de ?(a) definida por

u + v<f>(«) = 0,

se ve que si se unen los puntos de estas dos escalas que corresponden a una misma cota x, se determina,

mismos en los dos casos; las escalas (2») y («») en uno y otro, pueden ser marcadas a distintos lados de estos soportes indicando claramente con una señal cualquiera (por medio de colores distintos, por ejemplo) el modo de asociación de las escalas.

1 Véase en O., 4 , núm. 73, la determinación geométrica de la disposición más favorable de las escalas a¡ bt y Ch bi con obieto de hacor todo lo mayor posible el mínimum del ángulo que el índice para la lectura forma con la escala ct& bs.

a partir del origen A, sobre el eje Au, un segmento n dado por

ti = f{z)y{z\

y, por consiguiente, a partir de otro origen A' tomando sobre Au.

u = /(2X 2) + c-

De aquí, tomando <c(z) — z (en cuyo caso el punto MA M \do A .B de cota z os tal que ■■■, , — — z) el medio do cons-¿MJd

trnir progresivamente por el método de las alineaciones las oscalas parabólicas definidas por

y, más generalmente, las escalas racionales

ft,,+ «,z + •••" = />o+M + bpz" •

Ejemplo.—Si a la temperatura i del instrumento, la altura barométrica leída en milímetros de mercurio sobre una escala de latón es h, la corrección sustractiva s quo hay que aplicar a h, para reducir esta altura a cero, está, dada por

0,0001694.t , , .5 ~ 1 + 0,0001818. t h ~ °>00016 th + 6 >


siendo e' prácticamente despreciable como inferior, en los límitos en que normalmente se opera, a Omtn 1. Constru

yamos, pues, ol nomograma de la fórmula 1

s = 0,0001G tk,

que escribiremos, puesto que s es siempre la incógnita (*8 de la teoría anterior).

0,0001G t— j — 0.

La figura 109 muestra el nomograma do esta ocuacióu construido con ¡it = 1 0 0 0 cm, !»2=?8000 °ro, os decir, llevando sobre dos ejes paralelos:

1.° la escala « — 0om,16 . t, eDtre t= 0o y ¿=40* (longitud 6 cm,4);

8000cm2." la escala v —-------- ¡---- .entre A=800 y A=500h(longitud 6 cm).

So tiene entonces para la escala (e):

B«+6d= 0,

cuya base (eje AB) une el punto 0 de (¿) (origen A) con el punto de (A) situado a 1 0 om por debajo dol punto 800 (origen B).

Para construir la escala homográfica (h), además de los puntos 800 y 500, se ha marcado primeramente ol

/.ja -x j 8000cm 8000°“punto h = b40 situado a — ----------g-—— = 2cm,5oüv b 4u

del punto 800.

1 Fuera de que el transporte de la escala ({) será un poco monos sencilla (por sor homográfica en lugar de métrica), la construcción del uomograma no resultará niás complicada para la fórmula completa.



Para construir la escala homográfica (e); además del

8 *o * o oo v> p w» ó ^«1 N N vd u>I i I i . I y i i I . . . . I ■ , i . f , , i , I

Fig. 109.

punto O, se han marcado primeramente los puntos 2 y 4, determinados respectivamente por

L500

quo están respectivamente a ~ y a -r- de AB a partirO Odel punto A.

La posición del índice marcado con trazos en la figura, corresponde al caso en que se tione: h = 730, i — 16; el nomograma da s = l mm,9 (mientras que el cálculo da l mm,88).

68. Ecuación general de tercer orden nomogràfico.—Aplicando a los tipos especiales considerados en los números precedentes la transformación homogràfica más general, se ve que a la forma canónica

00 =

corresponde un nomograma N0 de tres escalas no concurrentes, y a la forma canónica

(2) !fi -\- <fí+ Cf> 9=0,

un nomograma Node tres escalas concurrentes, siendo estas dos formas reductibles una a otra por anamorfosis logarítmica [o exponencial si se pasa de (2) a (1 )].

Ahora nosotros hemos visto (núm. 62) que si, para una ecuación representable en puntos alineados, las tres escalas son rectilíneas (nomograma N0), las tres funciones de cada línea del determinante se expresan en función lineal de una de ellas f¡\ en cuyo caso, expresándose la escala (x{) correspondiente, por

U + Z iV - 0,

(donde U y V son funciones linéalos de u y v), esta escala (*¿) es proyectiva de la de f¡.

Pero, por otra parte, si se desarrolla la ecuación

I + V if i i t r J i + Si |= 0 ,

(donde las n¿, . . . sf son constantes), se obtiene unaecuación de la forma

(donde las A, B, C, D son constantes e i, j , k representan las diversas permutaciones circulares de 1 , 2, H), es decir, la ecuación de tercer orden nomográfico (número 63) más general.

Resulta de aquí que uua ecuacióu de esta forma se podrá representar por un nomograma No cuyas tres escalas, respectivamente.proyectivas con las de f 2, fz> tendrán bases concurrentes o no, según que la ecuación (3) sea reductible a la forma canónica (2) ó (I).

De este problema, tratado desde el punto de vista puramente algebraico, hemos dado una solución completa1, de donde resulta que, para qne esta representación sea real, es vreciso que el discriminante A del primer miembro de (3) hecho homogéneo no sea negativo z.

1 En una Memoria publicada primeramente aparte (Acta mathematica, t. XXI, 1897, pág, 301), que ha Bido reproducida en O., 4, cap. VI, sec. II, R.

* Se sobreentiende que este enunciado supone que se tiene en cuenta únicamente el punto de vista proyeotivo, tan importante para la construcción efectiva. Si ee quiere adm itir una anamorfosis transcendente, M. Fontené ha hecho ver (Nouv. Ann. de Math., 3.a serie, t. X IX , pág. 49í) que en e! caso en quo A <C(I, la ecuación puede ser reducida a Ja forma canónica(2) anterior si se pone y ,— are tang f i}

Además, las tres escalas son o no concurrentes, según que A = 0 ó A > 0.

Vamos ahora a encontrar nuevamente oste resultado por una vía en cierto modo geométrica, buscando una construcción directa del nomograma N0 representativo de(3), que no supone la reducción algebráica previa de esta ecuación, sea a la forma canónica (1 ), sea a la forma canónica (2 ).

Podemos primeramente suponer las rectas Dt, D2, Ds, que sirven de base a las escalas (z2), (xa), no concurrentes (fig. 1 1 0 ), pudiendo considerarse el caso en que lo sean como límite de éste.

Sabemos, en virtud del principio general, enunciado en el ndm. 62, que podemos disponer do 4 puntos del nomograma, sean, por ejemplo, los puntos (xx) do cotas «j y ¿i y los puntos (*2) de cotas a 2 y ¿>2; 1° a' m>s* mo tiempo, equivale a dar las rectas D4 y Da. La construcción exige entonces que se conozca:

1.° Un tercer punto de cada una de las escalas {»*) y (x2) (puesto que estas escalas, proyectivas con las de j\ y /a están completamente determinadas por tres puntos);

2 .° la tercera base D3;3.° tres puntos (x3) marcados sobre esta base, por los

cuales la escala (%s) estará toda olla determinada.Ahora bien, todos estos elementos serán conocidos

cuando se hayan determinado los valores que debon tomar las variables %2, x 3 en los vértices del triángulo P 4P2Pg formado por las tres bases (representando P< el

siendo f proyeotiva con Se verá más adelante (número 78) que si se renuncia, por otra parte, a no toner más que bases rectilíneas, se puede, en todos los casos, representar uno ecuación (3) por un nomograma de puntos alineados construido proyeetivamente partiendo de laa SBOalaa de las funciones Añadiremos que en las aplicaciones práooicas, el caso A <C 0 es muy raro.

vórtice opuosto a la recta D <) y que se llaman los valoras críticos de esta variable. En efecto:

1 ." el valor crítico de x d en P* unido a ax y hv, determina completamente la escala (34); lo mismo para {*,);

2 .° determinadas estas escalas, se pueden marcar sobre

302 n o m o g r a f ía

Dí y D2 respectivamente los puntos P 2 y P^ donde xt y toman valores críticos conocidos *;3.” Los puntos Pi y P2 con los valores críticos co

rrespondientes de x8 proporcionan ya dos puntos de la escala (?s) situada sobre la recta D3 que une estos dos puntos; para obtener un tercero basta tomar el punto de

1 Si ocurriese que uno de estoa valores crítico fuese im aginario, m ientras que el valor correspondiente de la función fuese real (caso de z para son z~> 1 en valor absoluto) se tomaría como parámetro, para la construcción, f¡ en lugar de z í , porque entonces la escala considerada sería proyectiva con una escala métrica; después, una vez acabada la construcción, se acotarían los puntos obtenidos por medio de los valores correspondientes de zt en lugar de fi.


encuentro de esta recta Dg con una de Jas alineaciones que unen dos de los puntos (*.,) y (x2) ya marcados, viniendo dado el valor correspondiente de (x3) por (3) en que Xi y han sido reemplazados por sus valores (escogidos, desde fuego, de modo que el cálculo de x3 sea lo más sencillo posible).

Si las tres escalas son concurrentes (en cuyo caso P8 se confunden en uno solo P), se necesita, para determinar D3, además de P, otro punto que se obtiene por la intersección do dos alineaciones definidas por pares de valores de X\ y x2 que corresponden a un mismo valor de xs, en virtud de (3)-, obtenida así D3, una sola alineación suplementaria da un tercer punto de la escala (*3) y 6sta está entonces completamente determinada.

Se ve, pues, que dados arbitrariamente aif bl) o2, ¿>2, el conocimiento de los valores críticos de xx, x2} x3t permite, en todos Jos casos, terminar lá construcción del nomograma. Falta ver cómo se obtienen estos valores críticos.

69. Determinación de Jos valores críticos.— Esta determinación se basa en la sencilla propiedad siguiente: si gj y {¡2 constituyen un par de valores críticos de xt y *2, bien unidos al punto P3, o bien uno al punto P2, el otro al punto Pd, el valor correspondiente de z3 es indeterminado. En efecto, en el primer caso, al par corresponden todas las rectas que pasan por P3, las cuales dan, por consiguiente, sobre D3 un valor cualquiera para x3; en el segundo caso, la alineación £ j g 2 se confunde con la base Ds de fe), lo que tambión deja indeterminado el punto correspondiente de esta escala. Ahora, la ecuación (3) del número anterior puede escribirse:

(3 bis) (A /i /a -j- E l /a Ba fi Cs l + Bs / 1 fv-f* C) f\ -(- Cj ti -j- D = 0;

3 0 4 NOMOGRAFÍA

y el valor do f 3 (por consiguiente, el de *3) rosultará indeterminado cuando los dos coeficientes de esta ecuación fen que fu entra como incógnita) sean nulos.

Dicho de otro modo, los valores a< y o2 que toman f \ y para los valores Si S2 buscados serán tales que

A fin de simplificar la notación en lo que sigue, convendremos en poner (como en la Memoria citada en la nota l . s de la pág. 300, y representando siempre por i , j , k, una permutación circular de 1, 2, 3)

siendo a el discriminante del primer miembro de (3) hecho homogéneo. Observemos también que se tiene:

Sabido esto, se ve que la eliminación del término eno,o, entre las ecuaciones (4) da

A<5. 0, + + c , — °'B .0 ,0 ,-4 -0 , », + 0 , 5 , + D = O.

lo que da, cualquiera que sea i,

F ’ - 4 E . Ü , . = a ,

(5) 2 E , o | _ F | + 2 E , = - P = 0,

•y la eliminación de entre (5) y uua u otra de las ecuaciones (4)

E, o*— F, 3)-f G, = 0.

Y como todo os simétrico con relación a los índicos1, 2, 3, se ve que, de un modo general, los valores críticos de la función f¡ vienen dados por 1

(6 .) E ^ ' - F , O,

y, por consiguiente, para que estos valores sean roales, es necesario quo F ’—4E jG<, o A segúu la fórmula anterior, no sea negativo.

Supongamos primeramente A > 0 . Cada una délas ecuaciones {6t) tiene entonces dos raíces reales y distintas y o;'. Pero estos valores de las 0< no pueden ser acoplados al azar. En efecto, si los repartimos en dos grupos (o') y (-") de modo que

, F í + V a" » í 'í - V XOí — ■ —— q a, —— ■ 1 ■“ .{ 2 E, 2 E,-

os decir(7) aE^o'.—F ,= + \/X , o 2E,.<j"—F , - —\/T ,

vemos, segúu (5), que los valores de y °¡, acoplados para corresponder a un valor indeterminado do f c¡ deben ser de grupos (a') y (a") diferentes. Esto nos muestra que a cada vórtice P< deberemos asociar pares (de índices di-


1 So observará, refiriéndose a nuestra solución algébrica, citada anteriorm ente, que las cantidades o i son las mismas quo las cantidades p¡ de esta solución cambiadas de signo.

20

306 NOMOGRAFÍA

fereutes ¿te i, bien entendido), tomados on uno y en otro grupo (o') y (o”), es decir ( a', 0") o { a", ¿k) . Si, pues, lia - mamos como anteriormente al valor de la variable que correspondo a) valor de la función f{ podremos repartir las cotas g eutre los vórtices P (que llamaremos los puntos críticos) segiin una u otra de las dos disposiciones

o <» M M b p.(e;c)»

* . ( « ;o .

De aquí, para la ecuación (3), cuando A > 0 , dos tipos de nomograma N0j homogrdficamente irreductibles entre sí.

Si a = 0, los dos valores críticos g ', g" do cada variable x¡ se reducen a uno solo I,- [correspondiente a ía raíz

entonces fínica, de la ecuación (6,-)], lo que exige que los tros puntos , P 2, P 3 se confundan en uno solo P ; las tres escalas son, pues, concurrentes.

Si A < 0 , las °¡ son imaginarias, y como los puntos de )a escala {«,.) dependen de los valores de la función f. do un modo unívoco *, los puntos P¡ son también imaginarios. Por consiguiente, a menos de una anamorfosis no proyectiva 2, la representación cesa de ser real.

Observación.—Si una cantidad E¿ es nula, una de las raíces de ( 6 < ) debe ser considerada como infinita. Para determinar a qué grupo (o) o (a") pertenece esta raíz infinita, basta determinar a cuál pertenece la raíz finita; ahora, para ésta, la cantidad 2 E . c . — P¿ (cuyo signo defino el grupo correspondiente) reduciéndose a —P¿, es conocida sin ambigüedad.

1 Véa3e la nota 1 de la pAg. 302. 4 Véase la nota 2 de la pAg. 300.

70. Empleo directo de las escalas de las funciones componentes.— Acabamos de ver que las tres escalas rectilíneas mediante las cuales se ha constituido- el nomograma No de una ecuación de 3,or orden nomogràfico (tipo (3) del núm. G8), son respectivamente proyectivas con las de las funciones componentes fXí f2) f3. Se sabe, pues, construirlas, como se ha visto en el nüm. 48; podrá, sin embargo, ser conveniente utilizar las escalas de ks funciones f¡ mismas, si, por ejemplo, se tienen a mano los patrones de graduación (núm. 49) correspondientes.

Llamemos respectivamente I t , 12, I3 los puntos de las escalas fe ) , (*2), fe ) para los cuales las funciones U, k, fi¡, se hacen infinitas. Para que la escala fe) sea la de la misma función f¿ _ es preciso que, sobre la base D¿ f el punto I< sea el del infinito.

Basta, pues, trasladar, por transformación homográ- fica, al infinito la recta J que une dos cualesquiera de los tres puntos I, los l t e por ejemplo (o una recta J cualquiera que pase por estos puntos si están confundidos en uno solo) para que las escalas fe ) y fe) del nomograma sean precisamente las de las funciones /i y f<¡ i . Si, además, el punto I 3 se encuentra sobre la recta J, la escala fe) se reduce al mismo tiempo a la de la función f3. Pero esta transformación no podrá efectuarse más que cuando la recta J no coincida con una de las bases D.(, D 2 o D 3, pues entonces la escala correspondiente estaría toda en el infinito.

Se debe, pues, en la discusión, examinar lo que ocurre cuando hay coincidencias entre los puntos I y los puntos críticos P. Para que un punto I<t caracterizado por fi — oc , coincida con uno de estos puntos P, es ue-

1 Esto no e x ig e -e s necesario advertirlo — ningún cálculo. Basta tomar I i e I 2 para dos do los puntos (a¡ y at, por ejemplo) que pueden ser esoogidos arbitrariam ente como se lia visto en el núm. 67.

308 NOMOGRAFÍA

cesario, en virtud del número precedente, que la ecuación (6 ¡) correspondiente tenga una raíz <*< infinita y, por consiguiente, que E,- — 0 .

Por otra parte, para que los tres puntos I estén en lí-

ffig. m.

nea recta, es preciso que la ecuación (8) (núra. 68) sea satisfecha por el sistema /i = fc — f3 = oc , lo quo exige, como se ve dividiendo por que A—O.

De aquí la marcha de la discusión:

Según que, entre las E,-, haya 0, 1 , 2 ó 3 de ellas nulas, es decir, 0, 1, 2 ó 3 puntos I en coincidencia con puntos críticos P, tendremos los casos (I), (II), (III), (IV), que distinguiremos con un acento cuando las bases sean concurrentes y con un índico a cuando los puntos I correspondientes estén en línea recta.

Observemos ahora que cuando uno solo de los puntos I coincide con uno de los puntos P, es imposible que los tres puntos I estén en línea recta. O lo que es lo mismo, cuando una sola de las cantidades E» es nula, el coeficiente A es necesariamente distinto de 0; los casos (ll„) y (IQ no existen.

Por el contrario, si siendo las tres bases concurrentes (A— 0), dos por lo menos, de los puntos I coinciden con el punto único P, hay necesariamente alineación de los tres puntos L De otro modo dicho, cuando, siendo ¿ nulo, dos, al menos, de las E< son nulas, el coeficiente A es necesariamente nulo; los casos (111') y (IV') no existen tampoco.

La discusión de los 12 casos posibles está esquemáticamente resumida bajo forma de cuadro en la figura 1 1 1 que so explica por sí misma cuando se recuerda que It , I2, I 3, son los puntos en que las funciones fi; /j, fs , se hacen infinitas, y J la recta que por homografía se traslada al infinito 1.

1 Para comprobar que los resultados aquí obtenidos por vía geométrica son idéntioos a los que anteriormente nos ha dado nuestra soluoión algébrica, basta observar que la correspondencia entre los diversos casos, en una y otraparte se estableco según el siguiente cuadro:

a) • • ■ (“«,), (III«) • • • (««,), (O ••(i„) ... («a,), (IV) ... (««„), (Ií) .. • («&,),di) ... («#,), GV„) . .. (aa,), (ILO- ..(« y ,(ni) • •• («a,), . . . (al,), c rO • (*&,)!

He aquí ejemplos do Los 12 casos para cada uno de los cuales damos el cuadro de los valores críticoá'iitle ias f. en el orden:

310 NOM OGRAFIA

(1) A U t3 + f , /, — t, t\ + /, /, + /. = °(12 0

0)\ 0 — 1 3 /

(1«) f* ft ~ f* fi + f, = o( -

10

0 — 1 ?)

(II) A /“» / » + — + == 0 ( -10

0 — 1 “ )

(III) c10

0X

(MU) ( -10

üoc í )

(IV) f J J . - 1 = <’ ( *oc0

cc \ 0 /

(IV,) u /; = ü ( *0

X

(l'j f, f, f, + f , f t — A, /, -(- f, t\ -{- -i — l.l ( — 2 ‘2 - - a )di) f \ f» + f» t \ — ^ f, = 0 ( 0 0 0 )

til') - /; - ° ( 0 0 oc „>(NÚ / . / a+ 2 / . / ; + ! = '> ( OC X 0 )iiv:,) /, + + /'„ = o ( oc oc CC 1

A provecham os la ocasión p a ra señ a la r u n a e rra ta de im p ren ta en el cviadro a que nos referirá os en O., 4 , pág-, 459: en la pen ú ltim a linea, colum na A, el cero no debe e s ta r en tre b a rras .


Detengámonos un instante en la ecuación tomada como ejemplo del caso (l'j, ecuación que puede escribirse:

y la cual, bajo esta forma, se presenta constantemente en las aplicaciones (véase especialmente on el núm. 6G la relación entre los módulos de las tres escalas paralelas).

Vemos así que es represontable por las escalas de las funciones fa, /2l fs, tomadas sobre tres ejes concurrentes a partir de su punto de concurso. Kn este punto de con- * curso se inscribirá, para cada una de ellas, el valor a. para el cual f (a.) = 0. Basta, además de este punto a¡ tener para cada escala, un segundo punto b¿ t por ejemplo, aquél para el cual f. (b{) — 1. Podemos tomar arbitrariamente, sobre las bases correspondientes, bt y 62. Según la ecuación dada y la definición do las b¡t so ve que el punto b3 está en la intersección de las alineaciones que luien respectivamente los puntos y b2 con los puntos del infinito de las bases D 2 y Dj. Si tomamos para las funciones /*, f2, f&, simplemente xit z2, *3, y adoptamos para D i y D 2 rectas que formen ángulos de 60° con D¡), obtenemos así (fig. 1 1 2 ) tres escalas idénticas para las tres variables >. La posición del índice, representado por trazos, muestra la verificación de la ecuación

_L_i_ JL,Z , ' Z i z 3 '

para2 , = « , 2 , - 1 2 , 2 , -=4.

1 O . , 4 , pAg. 177.

71. Nomogramas Nj de dos escalas paralelas.—Dado un nomograma N* conteniendo, según la definición general del núm. 62, dos escalas rectilíneas, puede supo-

312 NOMOGRAFÍA

nórsele siempre paralelas, gracias a una transformación homográfica conveniente, sin que esto influya absolutamente nada en su generalidad.

La forma canónica correspondiente es:

W f> 9, + f, + /, ==

o, bajo la forma do determinante,

f t - 1 0

f, 0 - 1

f, 9» h,que generaliza a la vez los determinantes análogos de los números 66 y 67. Pero, gracias al empleo de las coordenadas paralelas se obtiene directamente el tipo del

PONTOS ALINEAROS 0 1 3

nomograma que so busca sin necesidad de recurrir a esta transformación. Basta poner, como on los números citados,

siendo ¡ti y |ia módulos cualesquiera, por medio de los cuales, a lo largo de los ejes paralelos Á.u y B», estarán dadas las escalas de las funciones f i y Reemplazando en (1) f í J U por sus valores en t i y v , se tiene, en fin

punto cuyas coordenadas (roferidas a los ejes Ox y O y definidos en el núm. 4) están dadas por

Se podrá, según el caso, o bien calcular las coordenadas de los puntos (z3) por estas últimas fórmulas, para llevarlas al dibujo (núm. 62), o bien, si el sistema (2 ) es algébrico, construir geométricamente la escala curvilínea correspondiente (núm. 64).

Es importante obsorvar que la relación do las distancias 8.j y *2 dol punto (í3) a los ejes Au y 13r vione dada por

< * i)

(*¡s)

/ 1 x _ g t*l A»—U« í7:¡ _____ i*t f»_» ' jtl/í8 + |l2«?S '

*1 ____ |Al__ A»5a ji2 (J,

Es conveniente, si la variable zs es la que so toma co-

314 NOMOGRAFÍA

mo incógnita, que el punto x 3 se encuentre entre las es

calas de la3 dadas, lo que ocurre (suponiendo quo

no cambia do signo en el campo considerado) si —i- esí/9

positiva. Si no es as(, bastará cambiar simultáneamente los signos de f 2 y h3 poniendo para (*2)

v - - H ,/s,

lo que da para (zg):

|i,fft u — |i, A„v+jí.j», / ,= '),

y, por consiguiente, entonces

®i__h¡®* Ha "9?

que es negativa, según la nueva hipótesis. hSi lu relación —— cambia de signo en el campo consi- 9 3

derado, se puede fraccionar el nomograma en el punto z 3

para el cual —5- = 0, conservando ia misma escala {zA), 9 a

ó (z2), para los dos nomogramas parciales e invirtiendo el sentido del otro i .

' En el nomograma Ni que hemos construido para la ecuación de K éplor (Bull. de la Soe. maih. de France, t. X X II, 1894, p&g. 197) ea donde se ha utilizado por prim era vez este artificio. E ste ejemplo presenta, además, una notable particularidad, consistente en que si, en la segunda parte


Ejemplo.—Vamos a construir el nomograma do la ecuación

zi + pz+ q= 0,

y mostrar cómo, por proyecciones sucesivas, so puede deducir de él el de la ecuación trinomia general1

zm-\-pzJrq t= 0.

Aplicando lo que acabamos de decir, se tendrá ol nomograma de osta ecuación poniendo:

de donde¡ i 2 2 í í + t t , « 4 -| í i H .j 2 * " = 0 ,

ó 2'*■—|l*z

dol nomograma, se cambia no solamente el sentido, sino tam bién el orígou de una de las escalas paralelas, el segando sistema (zs) se superpone al primero, del cual no difiere más que en la numeración.

1 Considerando este problema x>articular, ha sido precisamente cuando hemos dado a conocer, por vez primera, el principio dol método de los pinitos alineados (O., 1, y O., 2) llamado prim eram ente de los puntos isopletos a causa de su relación, por vía dualística (núm. 61), con los ábacos do rectas isopletos, de Lalanne (O-, 3, cap. IV).

3 So puede observar que rosulta de la ecuación en u y ti del punto (z) que la base de la escala correspondiente es de la clase m, y de la expresión de sus coordenadas x e y, que esta base es del orden m. Esta baso pertenece, pues, a la categoría de las curvas cuyo orden es igual a su oíase, curvas que hemos estudiado especialmente en esta ocasión (JSTouv. Avn. de Math., 2." serie, t. X II, 1893, pág. 346;.

Observaremos primeramente que podemos considerar únicamente los valores positivos de z (pudiendo, si acaso se necesitasen, obtener el valor absoluto de las raíces negativas como rafees positivas de la transformada en— * )1, y después, que, cualquiera quo sea m, la escala (*) tiene siempre estos tres mismos puntos, a saber (figura 113) 2:

S1C NOMOGRAFÍA

1.® El punto z — 0, confundido con B, en que la tangente es I> A, puesto que para los valores infinitamente pequeños de z, y es de orden superior;

2.a El punto x — 1, evidentemente situado en la intersección C de las alineaciones (pz=zO, q —- — 1) y (p = — 1, <7 = 0), y cuyas distancias a los ejes Au y R v, en virtud de la fórmula

Si _«3

1 Obtenida cambiandop en —p si m os par, q en — q si m es impar.

* En esta figura están rep resen tadas las partes n eg a tivas de los ejes Aw y Bv.


eu que se ha hecho x = 1 , son proporcionales a los módulos de estos ejes;

3.° el punto z — ce , situado en el infinito sobre A u que es asíntota, puesto que, para este valor de z, se tiene z — —s.

Siendo ahora la expresión do x independiente de m , la proyección del sistema (x) sobre AB paralelamente a Au y Bv, es fija; es una escala homográfica de la cual so conocen 3 puntos: los puntos A y B de cotas oc y 0, y la proyección del punto C de cota 1. Es, pues, fácil construirla como proyección de una escala métrica (número 48).

Tenemos, pues, así, la línea de correspondencia de cada punto (z). Para construir el punto mismo, empezaremos por el caso en que m = 2, es decir, por la ecuación

,?9-f-jpz4-2 = 0 '

Si se hace m = 2 en la ecuación en u y v del sistema {%), se obtiene la de una escala cónica. Luego, on virtud de lo visto en el núm. 64, si so unen los diversos puntos de esta escala a uno de ellos, B por ejemplo, se obtiene la escala proyectante de una escala métrica. Ahora, se conocen tres rayos de esta escala proyectante: AB (cota 0), BC (cota 1), Bí’ (cota oc). Resulta de aquí que el haz de vértice B que proyecta la escala (z) determina sobre toda paralela a Bv una escala métrica que tiene su punto 0 sobre AB y su punto 1 sobre BC. En particular, la intersección de este haz proyectante y del eje A u da precisamente la escala (p) en que todas las cotas estarán cambiadas de signo.

Es, pues, muy fácil construir este haz proyectante y tomando las intersecciones de sus rayos con las líneas de correspondencia homologas (pasando por los puntos de la escala precedentemente construida sobre AB) se tiene la escala \z) pedida para ni — 2.

Se deducirán de aquí, por repetición del procedimien-

3 1 8 NOMOGRAFÍA

to, las escalas (2) para m = S, 4, 5. . . . recordando, por una parte quo, como acabamos do observar, cualquiera que sea m, la ¡íuea de correspondencia dei punto (^ permanece la misma, y aplicando, por otra parte, el teorema siguiente: Si, para un mismo valor de z, i l tn y Mro+1 son los puntos tomados en las escalas que corresponden a los exponentos m y m-j-1 , las rectas AMm y se cortan en la línea do correspondencia del punto C de cota 1 .

Dicho de otro modo, si designamos la escala (x) para un cierto exponente m por la notación (z) : hay coincidencia entre las proyecciones, hechas sobre la línea de correspondencia del punto C, del sistema (z),u a partir del punto A, y del sistema (z) m+1 a partir del punto B.

Es muy fácil verificar como sigue este teorema {deducido por nosotros de consideraciones geométricas en cuyo detalle no podemos entrar aquí) *:

Las ecuaciones de las rectas AlTm y son respectivamente [(3) del uúm. 4]:

(AMm) — [taZ'»(x-f-3),(BM„,+1) 28 y— n,zm(a? — a).

Basta, para obtener el lugar de su punto comúu cuando se hace variar 2, dividirlas miembro a miembro, lo que da:

1— +Hi(ic—9)’

oM-i — IJtaM-1 — 2

x — 8

ecuación de la línea de correspondencia del punto C de cota 1 .

1 D esarrolladas en ol trabajo citado an terio rm ente (nota 2 do la. pág. 315).

PUNTOS ALINEADOS 31 0

La figura 114 representa los sistomas (í)2 y (z)a así construidos. Observemos que esta figura procedo de la

Fig. 114.

superposición de los nomogramas N j de las ocuaciones trinomias do 2 .“ y 3.or grado, y quo se podría de igual

820 •n o m o g r a f í a

modo superponer los correspondientes a tantos valores como se quiera del exponente m, sin que resulte de esto la menor confusión, mientras que sería imposible superponer los ábacos cartesianos de dos solamente de estas ecuaciones 1.

Por otra parto, si, en cualquier aplicación particular, hay necesidad de fraccionar uno de estos nomogramas Nj, sus diversas partes pnedon reunirse, sin ningún inconveniente sobre la misma hoja. Esto es lo que ha hecho especialmente IL D, Corrieri aplicando el nomograma Ni de la ecuación trinomia de 3.er grado, que acaba de sor descrito, al cálculo de las secciones resistentes de las vigas de puente (Atti del Collegio degli Ingegneri ed Architetti in Bologna, 1896) 2.

72. Condición para la representación de una ecuación de 4.° orden nomogràfico por un nomograma N,.Un nomograma N0 o Ni representa una ecuación de 3.° ó 4.° orden nomogràfico. Ya hemos visto (nùms. (58 y (i9) con qué condición, inversamente, una ecuación de 3.er orden, era representable por un N0, condición que se traducía por una desigualdad ( A >0). Podemos proponernos, de igual modo, buscar con qué condición la ecuación de 4.° orden más general, que puede escribirse:

»

(i) £(«<,/’, / ,+ * , A+ a, f ,

+ M<o t, f, + c, f , 4•*,/„ + a,) = o,

os reductible al tipo canónico (1 ) del número precedente al cual correspondo un nomograma N j.

1 O., 4, p&g. 192.4 O., 4, pág. 192.

l 'ü N T O S A LIN E A D O S

Para encontrar esta condición, observaremos que los valores E4 y S2 do ¿i y *2 que corresponden al punto de 6ncuontro de las dos escalas rectilíneas son críticos; o lo que es lo mismo, que estos valores permiten satisfacer a la ecuación, cualquiera que sea zs, puesto que ia alineación 5.J ? 2 es indeterminada (como teniendo dos puntos confundidos). Es preciso, pues, que los valores correspondientes de /i y f2 sean tales que so tenga a la vez-.

ao t\ / ,+ a, fl-f «2 /, + «,— 0,

V . / . + V . +<-o / , / ; + < •,/.+ « ./»+ r,= °-

La condición buscada vendrá, pues, dada por el resultado de la eliminación do f\ y fa ontre estas tres ecuaciones, eliminación que se hace muy fácilmente siguiendo la misma marcha que eu el uúm. 54 (para la eliminación de x e y entre las ecuaciones de los tres círculos) y la cual, si se ropresenta por D el determinante:

y por Dt- el en que se convierte cuando so reemplaza en 61 la columua a{, b(, c. por a0, b0) c0, conduco al resultante:

(2) D D j-f D [ü , = o.Tal es la relación encontrada por Jí. Clark por un ca

mino completamente diferente 1.

* Clark, uúm- 14.81

322 NOMOGRAFÍA

Añadiremos a esto resultado la nueva observación siguiente;

Cuando se cumple esta condición, los valores críticos °1 y °2 de fi y vienen dados por

de donde se deducen los valores correspondientes y £2 de y z 2. Si, pues, se dan arbitrariamente Jos puntos acotados a, y bA sobre la escala (x4), « 2 y ^2 sobro la escala (*2), como se conoce un tercer punto acotado de cada una de estas escalas, a saber, el punto común a sus bases con cota sobre una, E2 sobre la otra, estas dos escalas están enteramente determinadas como proyectivas respectivamente de f x y de (núm. 48).

Construidas estas escalas, para tener un punto cual- quieia de la escala (*8), basta trazar dos alineaciones Xi *2 correspondientes. Si, por ejemplo, la escala (*3) os cónica, se determinan así cuatro de sus puntos de donde se deducen en seguida todos los otros (núm. 64).

73. Nomograma Ni de una red.-—Si, conformo a lo que hemos visto en el núm. 65, reemplazamos la escala curvilínea (xa) por una red (xa, x4), obtendremos un nomograma representativo de una ecuación do la forma

(l)

constituido por las dos escalas rectilíneas

(*i)

(*2)

y la red(~;t, **) ^«-„w +M ^ + ÍMS/«“ 0-ó

^ — 3 I1» “ — 1*¡> _ — I1 11*2 /ail-ii hm ¡i» g-M [Ai l iu - \ - p - i g a

Se ve que este sistema de representación es directamente aplicable a las ecuaciones do tres coeficientes arbitrarios de la forma

(2) f{z)+n<t (z) + p tp (z) + q * tz) — 0.

Poniendo, en efocto:

te—

se tiene la red (n, x). definida por

(i j+ u+ n 1 x v + |t, ¡i a (/■-h n 9 ) = oo

X = 8 — H a » , * — ttil*; f / ‘4

Siendo la expresión de x independiente de n, las líneas (x) de la red (», z) son paralelas a O y (las que liemos convenido en llamar líneas de correspondencia) que determinan sobre el eje AB u Ox una escala proyectiva


Para obtener los puntos que corresponden a las diversas curvas (n) sobre una de estas líneas de correspondencia, basta, dando a z un valor fijo en la expresión de y,

NOMOGRAFÍA

hacer variar en ella a n; presentándose entonces esta expresión bajo la forma

en la que « y í son constantes, vemos que se obtiene uua escala mètrica. Luego, cuando se haya construido una cualquiora de las curvas (n), por ejemplo la que corresponde a « = 0, se obtendrán a la vez todas las otras, cuando se haya determinado el módulo P que corresponde a cada una de las líneas do correspondencia (z) primeramente trazadas.

Construido el nomograma, véase cómo se utiliza para ia resolución de la ecuación (2): se traza el índice por los puntos de cola p y q de los ejes; encontrará a la curva de cota n en ciertos puntos; las cotas z de las líneas de correspondencia que pasan por estos puntos son las raíces buscadas.

Permitiendo la transformación de Tschirnhausen {por operaciones de segundo grado a lo sumo, susceptibles a su vez de representación nomogràfica) referir toda ecuación algébrica de grado a lo más igual a 7 a una forma canónica tal como la (2) que no encierra más de 3 coeficientes arbitrarios, se deduce que toda ecuación de esta especie puede ser resuelta por el método aquí expuesto t .

1 O., 9 y 10. Nosotros hemos hecho esta observación a continuación de la proposición anunciada po r M. D. H ilbert, an te e l Congreso in te rnac iona l de M atem áticas de 1900 (Hilbert), re la tiva a la im posibilidad de la resolución nomogràfica de las eouaciones algébricas genera les de g ra

Eu particular, el tipo canónico a que se puede referir toda ecuación de 7.° grado está dentro del tipo (2) anterior si se pone:

f(e)=z"'-4-1, <p(z)=2s, ty{z)— z \ yjz)~z.

Ejemplo.—Tomemos la ecuación completa de torcer grado

z*-f- m 22 -\-p 2-\- q= 0.

Será representable, en virtud de lo que precede, por el nomograma constituido por las escalas paralelas

u — fí ,p, v-p-iq ,y la red

Hs U * + « ^ = 0,o

x _ b 1*» — ? __ —M-. lt8(Jga+ n g g)

Para « = O se encuentra el sistema (a)3 construido en el ejemplo del ndm. 71, Las líneas de correspondencia (z) están determinadas por la escala homográfica definida sobre AB por la expresión de x; falta obtener sobre cada una do ellas la escala mótrica formada por sus puntos de intersección con las diversas curvas (n). Como se conoce ya el que corresponde a n — 0, obtenido en el nú-

do stiperior al 6"; im posibilidad que no alcanzaba—como el sabio geóm etra ha precisado porfectam ente—más que a Jas represen taciones nomogri.ficas sin elemento móvil, es decir, com prendidas en ol tipo general que hemos definido on el mím. fi7.

mero 71, basta encontrar un segundo punto, por ejemplo, el que corresponde a la cota Para esto seH*tiene:

y = — n.,2*.

Se puede, entonces, marcar inmediatamente este punto cuando se dispone de una escala parabólica de seguudo grado ■*. Se puede también observar que esta ordenada es igual a la coordenada n do la recta que une el punto (2) correspondiente a n = 0 a! origen B. Resulta de aquí quela curva n = - ^ - es la transformada por la abscisa (nú-Hjmero 10) de la curva n = 0, siendo E el polo y Au el eje de la transformación.

La figura 115 muestra un fragmento del nomograma así construido con {i1 = jia = l cm 2.

La posición del índice marcado con trazos corresponde a la ecuación

z*+z*~ 2,162—3.2=0,

para la cual se tiene 2 = 1 ,6 .

7i . Aplicación de los nomogramas N0 o Nt a (a investigación de ciertas leyes empíricas 3.—El uso de losnomogramas N0 o Nt puede ser de una gran utilidad

Ít20 NOMOGRAFÍA

1 V éanse las págs. 205 y 295. (Observación).2 O., 3, Lara. V III; O., 4, púg. 335.3 Se encon trará más adelante (núm. 80' la aplicación

del método de puntos alineados (sin distinción de género del nomograma, y esto es por lo que no puede inclu irse 011 este sitio) a la determ inación de los coeficientes do ciertas fórmulas de interpolación, de forma dada, por los cuales so representan leyes em píricas.

PUNTOS ALINEADOS

cuando so tratan de determinar empíricamennte relaciones de la forma

+ U K + f, = °*

.EcheJ/e de jpi ■ •

Fig. 115.

quo con tanta frecuencia se presontan en la práctica. Supongamos primeramente que fx y /"2 sean funciones conocidas y bien determinadas de z x y 22. Habiendo obtenido

JEchelle de

:328 n o m o g r a f í a

experimentalmente un gran número de sistemas de valores correspondientes de 23, nos bastará, despuésdo haber llevado sobre Au y Bv, con módulos cualesquiera, las escalas (2^ y (z2) de las funciones /i y f2, tomar las alineaciones determinadas por dos pares de valores de y z2 correspondientes de un mismo valor de za, para obtener el punto acotado mediante este valor do z3. En realidad, tomaremos un número tan grande como queramos do tales alineaciones, para un mismo valor de z3, a fin de obtener, por compensación, este punto acotado con tantu exactitud como sea posible. Cuando baya» mos así marcado un cierto número de puntos acotados *8, la escala formada por su conjunto, unida a las escalas (*-1) y (*2) primeramente marcadas, constituirá, el nomograma Ni de la relación (1) sin que sea conocida la relación analítica de las funciones f s, ga> h 3.

Podrá todavía suponerse que no so sepa á priori que la relación considerada sea susceptible de tomar la forma (1 ). Se conocerá esto por el hecho de que las alineaciones determinadas por los pares { * . xz) que corresponden a un mismo valor de x 3 pasarán por uu mismo punto.

Una vez construido empíricamente el nomograma como acaba de decirse, se puede proponer la determinación de las expresiones analíticas de Jas funciones f 3, g3, k 3, que en el campo considerado, proporcionan una aproximación suficiente. Esta determinación es bastante dudosa puesto que se opera a la vez con dos funciones arbitrarías (ios cocientes de dos de las funciones /i, f2, f3, polla tercera). Estas funciones se reducen, sin embargo, a una sola si, como hemos visto (núm. 62), la base de los puntos * 3 es rectilínea, que es lo que frecuentemente ocurro en la práctica. Y todavía, si esta base no es rigurosamente rectilínea, se puede casi siempre, fraccionándola convenientemente, reemplazarla por una línea quo- brada a cada uno de cuyos segmentos puede aplicarse lo que se va a decir a continuación.

PUNT09 ALINEADOS 339

Suponiendo, pues, rectilínea la base de la escala (*3), marcaremos esta escala sobre el borde de una banda de papel, y trataremos do transportarla sobre los rayos de la escala proyectante de uua cierta función 93 (métrica, parabólica, logarítmica...) sobre cuya naturaleza nos permitirá frecuentemente inducir algo la cuestión de que se trate. Si este transporte (efectuado como se ha dicho en la pág. 207) se consigue, las funciones f3, g3, h», serán de la forma

« 9 , + í/, — « ’? , + &'» * , — «'■ 9 ,-1 b'\

siendo a, b, a', b', a " , b" constantes que se pueden determinar por el método de los mínimos cuadrados reemplazando en (1) x t, * 2 y *s Por un cierto número de sistemas de valores correspondientes obtenidos por la experiencia.

Ejemplo I .—Para una locomotora dado, la velocidad V con que puede hacer atravesar a un tren de peso P (comprendido el suyo propio) uua rampa r, está ligada a estas cantidades por una ecuación de la forma 1

siendo F y funciones que hay que doterminar empíricamente.

Adoptando como unidades el milímetro para r, Ja tonelada para P, el kilómetro por hora para V, y llevandosobro A u y JBr los escalas r y —■p—, con los módulos|i1 = l oul, y H2 = 2700om, M. M. Beghin ha obtenido ol

4nomograma, un fragmento del cual (reducido a los

1 O., 4, uúiu. 85.

330 N U M C O K A F ÍA

en atención al tamaño de este libro) está representado en la ñgura 110. Es fácil de voriíiear eu esta figura: l.°q u e los puntos (Y) están on línea recta; 2 .° que esta escala es proyectiva con uua escala mótrica. Estas funciones se ex-

Vig. 118.

presarán, pues, homográficamente on función de Y; como, por otra parte, dado el modo como se introducen, se puedo considerar que varíen constantemente en ol mismo sentido que Y, se les representará por

,F (V )« V + i> , <* (V) = a 'V -f l/ .

La relación anterior se escribirá, por tanto:

(i V -1— h ■ / tTT i . .»•------- \-(a \ -\-b = O,

v se podrán determinar los coeficientes a, b, a', //, como se ha dicho anteriormente. Do aquí se deduce inmediatamente

Tr _ r P + V P - b v "= « — « ' P ’

Ejemplo I I .—Buscando cómo dependo el consumo K de una máquina de vapor (expresado en kilogramos, por caballo-hora) de las presiones del lado de la admisión y del lado do la expulsión P y p (expresados en kilogramos por centímetro cuadrado) M. Rateau, sin tener idea a priori de la forma analítica de la relación buscada, ha llevado i sobre Au y Bv, para V y p, escalas logarítmicas del mismo módulo. Ha obtenido así para K (figura 117) una escala rectilíuea proyectiva con una escala métrica; rosulta de esto que la relación buscada es de la forma

(rt-J-i/K) logj>+(«'-(-fo'K) lo g P -f« "-f& "K = 0 ,

quo el análisis de las diversas particularidades do la cuostión (demostrando que b-\-b'= 0 y A "= 0) conduce a reducir a

(a-f-Kl lo g }>-(-(«' — K ) lo g P + a ' —0.

La determinación de a, a', a" por el método de los mínimos cuadrados ha dado:

a ——0,85, a'— — 0,07, a"— <3,95;

1 Vara más detalles, véase O., 4 , tníin. 87, y la Memoria original do M. Ratonu (Anuíales (leu Mines, Febrero, 1897).

33 -2 NOMOGEAFÍA

de donde 1

0,'J5 —0,92 log PK — 0,83 - ÍOg P — l»frp

75. Aplicación del principio de los nomogramas Ni a la construcción de las parábolas de orden superior.—Se trata aquí de ana cuestión que pertenece al dominio del cálculo gráfico propiamente dicho (véase el nüm. 20); pero varao3 a ver que la nueva solución que va a darse se basa en un procedimiento puramente nomogràfico cuyo principio puede enunciarse así:

Si se quiere determinar cada punto de una curva cualquiera referida a dos ejes O x y O y en función de un parámetro t, basta dar la ecuación en u y v, de coeficientes funciones de t, del punto móvil de esta curva,, referida a ejes Au y Bi> cuya conexión con los ejes cartesianos Ox y O y sea conocida. En particular, se podrá tomar como parámetro t la abscisa x en el sistema O x y. Entonces la ecuación del punto móvil de la. curva será:

/ (»;) -f-M £ (x) 4- v 7i te)=0.

Ahora, siempre se podrán encontrar dos funciones «yfc) y 'M#) ta*es <lue Ia igualdad

/(a?)+9 (a?i0(*t-f-<¡<ía!)ft(*) = 0,

‘ Esta fórmula ha sido ligeramente modificada por M. Lelong para ol caso del vapor sobrecalentado (Bidl. de l'Assoc. technique maritime, sesión de 1899). M- Rateau ha construido un nomograma, del misino género para determinar la proporción de agua condensada durante la expansión adiabática (Congris internat. de mécanique appliquée, 1901, t. III). M. Soreau, por su parte, ha estudiado diversos ejemplos análogos (Soreau, 1, núm. 2:Í2, y 2, pág. 0).

PUNTOS ALINEADOS

se verifique idénticamente cualquiera que sea z. Basta, en efecto, si se da arbitrariamente una de estas funcio-

i—r~|—'•>' i > 1 11 1" 1 ' ( 1 i ''i1 o 2 «t 5 ''lO* tí a O O O O o o o rd

-ll I I .r 1,1CL.

i r.T.T.V, T i .. i?. I 1111 lll I I I I

Fl<f. 117.

nes, deducir la otra de esta ecuación. Visto esto, si llevamos respectivamente sobre los ejes Au y Bv las escalas

?c — <f(x), v — 4(x),


vemos que hay alineacióo cutre los puntos do cota x sobre A u, sobre B o y sobro la curva. Ahora, el punto de cota x sobre la curva, es el que se encuentra sobre la línea de correspondencia de abscisa x. Do aquí, la construcción de este punto, dada por la intersección de la línea de correspondencia de abscisa a: y de la alineación determinada por los puntos de cota x de las escalas tomadas sobre A u y Bv. Tal construcción no será, por lo demás, interesante, más que cuando las funciones 9 (x) y '^x ) sean de tipo usual, es decir, cuando se pueda fácilmente obtener sus escalas.

Observemos además que siestas escalas son conjugadas de una métrica según la manera indicada en la pág. 204, so tendrán inmediatamente los puntos de estas escalas que corresponden a los puntos que, sobre la escala métrica, corresponderían a diversos valores de x, sin tener que preocuparse de estos mismos valores. O lo que es lo mismo, habiendo escogido cierto punto sobre Ox, se obtienen así, sobre A u y Bt> los puntos que conviene asociarle para tener por su alineación, sobre su línea de correspondencia, el punto correspondiente de la curva que hay que construir.

Tal es la idea del principio del cual M. F. Boulad ha sacado un excelente partido 1 para el trazado práctico de las parábolas n„ de grado superior definidas por una ecuación tal como

" if = fll ¡e + « , i t '+ . . . H - x " ,

(el hecho de escoger el origen sobro la curva no morma en nada su genoralidad). Nosotros nos limitaremos a exponer su solución para el caso en quo n es a lo sumo igual a 4, caso particularmente interesante a causa de las aplicaciones que de él pueden hacerse en los cálculos de resistencia de los puentes.

1 Boulad.

PU N TO S ALINEADOS 885

Sea, pues, la construcción de la parábola n 4 definida por

(1) V = a , X + fl, 3 ? + <l3 X * + <l4

siendo cualesquiera los módulos escogidos para O-ry O//.

Tracemos primeramente la tangente OT en el origen (figura 138)

y = a ix,

y marquemos el punto P concspondicnto a la abscisa te— 1 \ cuya ordenada vendrá, por consiguiente, dada por

y = a , + «, + « , + «,-

1 En la práotica se escogerá el módulo de tal m anera que ol punto P sea, si es posible, ol extremo del arco que so va a constru ir, o por lo menos, un punto próximo a él.

3 3 0 NOMOGRAFÍA

Observemos de paso que si su línea de correspondencia encuentra a OT en el punto A, se tiene:

Después de esto, vamos a ver que, si a la línea de correspondencia A P añadimos otra BQ de abscisa x, podremos, llevando con módulos convenientes sobre estos dos ejes paralelos, a partir del punto A y del punto B0 que dista de B?/0, respectivamente, las escalas x 2 y x ¿, construir, como acaba de decirse, la parábola n 4.

Sean, en efecto, HM la línea de correspondencia de abscisa x-, K2 y K8 los puntos de cota x sobre las escalas x 2 y x 3, llevadas respectivamente sobre AP y BQ, a partir de A y B0, con módulos cuyas relaciones con el módulo adoptado relativo a O y designaremos por p2 y p3.

Los puntos K 2 y Ks tendrán, entonces, por coordenadas respectivas:

(2)

« = 1 , ? = 8 + P , 5 t J ,

x = xa., y = +

y su alineación con M se expresará por

x y l

(3) 1 a, + 1 — O-

7,+ ® ,+ ?.«* 1

Si la parábola n 4 definida por esta ecuación puede identificarse a la que queremos construir, la sustitución de y por su valor (1) debe transformar a (3) en una idpn-

tidad. Efectuando esta sustitución y desarrollando, se encuentra:

[ p — <*„— 1) « J - [ p, + P, + (#0 — l) «„] x 1

+ I xo p-. — ('Tn ~ l > «J x' + # — Vo = °>

que se reduce a una identidad si, por un lado, y o— 0, es decir, si el punto B0 se confunde con B, y por otro,

- * p, — P,=(®„ — l) « a.

D«.-

Sumando estas tres ecuaciones, después de haber multiplicado las dos últimas por x 0) se tiene:

+-x. K + aJ —#>do donde

Las dos últimas dan inmediatamente:

-p! Pa _ —(a-2-h ai) — [jC o 1/ —- —— . i«4 a a + í! )de donde

(5) P, = a, + «s+ a 4>

(6) ^ = -7r f ^ (a=+ a » + a>)-

Los módulos de las escalas (x‘¿) y (*") serón respectí-22

338 NOMOGRA FÍA

vamento iguales a AP y a ^ \ a ^ue ^evaremosa partir de B sobre BQ (correspondiendo el caso de un módulo negativo a una escala tomada en el sentido de las y negativas).

Conociendo entonces los módulos OL, AP, BQ do las escalas (x), (a;2) y (xs) se puede, marcando sobre OL un número cualquiera de puntos H (con preferencia equidistantes o que aproximadamente lo sean), obtener inmediatamente, mediante las escalas conjugadas de la figura 80 (pág. 205), los puntos correspondientes K2 y K3 sobre AP y BQ. Los puntos de intersección de las rectas K2K3 con las líneas de correspondencia trazadas por los puntos H correspondientes dan los puntos M de la parábola buscada.

Observación I .—Si la parábola se reduce a una ü s, en cuyo caso 0, se tiene tambión p3 = 0 en virtud de(6); luego todos los puntos K3 se confunden con B. Si la parábola se reduce a una n a, se tiene, además, aa = 0, y la (4) muestra que x0— oc ; el punto B es el del infinito de la tangente OT; basta trazar por los puntos K 2 paralelas a OT; esta última solución simplificada es, por otra parte, evidente.

Observación I I .—Si el valor (4) do x 0 lleva a un eje BQ fuera de los límites del dibujo, se construirá en un ángulo de la hoja una figura abpq homotótica con ABPQ reduciendo los módulos relativos a Ox y Oy en una misma relación. Los puntos homológos k<¿ y k 3 de K 2 y Kg se marcan sobre las escalas (x2) y (a;3) de módulos ap y bq por medio de las escalas conjugadas de la figura 80, como anteriormente; no hay ya más que trazar por los puntos K2 paralelas a las direcciones /c2fcs correspondientes.

C. — nomogramas de simple alineación de 2." v 3.er género {N* v Na).

76. Nomogramas de escalas cónicas superpuestaso nomogramas N C — Entre los nomogramas de 2 .° ó 3.cr género—a propósito de los cuales, nada nuevo hay que añadir, desde el punto de vista general, a lo que ya sabemos—distinguiremos una categoría especial, dada a conocer por H. J. Clark con motivo de la importante aplicación do que hablaremos {núms. 78 y 79), a saber, aquéllos para los cuales las bases do dos de las escalas son cónicas y confundidas, siendo estas dos escalas, siu embargo, distintas una de la otra, nomogramas que llamaremos NC.

La forma canónica de las ecuaciones correspondientes es 1:

(1 ) / ; / , / ; + íft+ o a , + k =<•>,

con simetría nomogràfica con relación a y»-¡.Si, en efecto, se trata de efectuar la separación de las

variables, como se ha dicho en la Observación T del número 62, de modo que se tenga para («3) la escala

(*a) « /, + v 9, + h = aponiendo

1 Se ve que toda ecuación del tipo considerado en el nú- moro 67 ostá dentro de éste, donde basta hacer gs—O.

TONTOS ALINEADOS 341

Por esto, la ecuación (1) que es de 3.° ó 4.° orden nomogràfico, según que las funciones , gs, h3 sean o no linealmente dependientes, vendrá de este modo representada por un N2 o un N3 en vez do un N0 o un N].

Cuando se haga sufrir al nomograma así obtenido la transformación homogràfica más general, se podrá, según la observación de M. Clark (uúui. 64, Observación II) tomar arbitrariamente como vértices de un rectángulo cuatro puntos determinados de la base cónica, por ejemplo, los que corresponden a los valores limites («i, &i) de Xi, por un lado (an, b2), de x2l por otro. Sepodrá también disponer de la semejanza de este rectángulo de modo que la base cónica, sea un círculo. Bastará llamando A y B los puntos (%) de cotas y bi , C y P los puntos (x2) de cotas « 2 y b2, calcular los valores correspondientes a, p, f, 6 bien de f \ , bien de f 2 [iguales para todo punto de la base en virtud de (2)] y calcular por ia fórmula

d :— a 0 — Y

J ¡g, 11«.

tgau = i -‘- Y ¡¡ — a

el ángulo e que AB debe formar con AC (fig. 102, página 278). Una vez marcados los cuatro puntos A, B, C, D con las cotas xx o x2 correspondientes, se sabe construir la escala cónica por medio de dos escalas proyectantes

842 NOMOGRAFÍA

de la función fx o de la función /j. Nos serviremos, evidentemente, de una para el arco albi que lleva las cotas z t , do la otra para el arco con las cotas ?2> 110 confundiéndose, generalmente, estos dos arcos uno con ol otro en las aplicaciones prácticas.

La importancia do los nomogramas NC, señalada por M. Ciarle, quien ha sido el primero que ha desarrollado su teoría general, consisto en que unidos a los nomogramas No y Ni permito probar que una ecuación cualquiera de tres variables, de 3.° ó 4." orden nomogràfico, es representable en puntos alineados. »

Tamos a ver, en efecto, como lo ha establecido monsieur Clark(pero siguiendo una marcha distinta de la suya):

1.° Que una ecuación cualquiera do 3.or orden es representable por un NC;

2 .° Que una ecuación de 4.° orden, si no es representable por un Nt (núm. 72), lo es por un NC.

77. Nomogramas N C de escala circular.—Acabamos de vor que por [tomografia se puede siempre hacer circular la base cónica de un nomograma NC. Esta dis posición especial, evidentemente muy favorable en la práctica, moreco que nos detengamos un instante en ella.

31. Soreau ha observado i que cuaudo la ecuación representable por un NC está bajo la forma (1 bis) dol mi- mero 70, se puedo muy fácilmente transformarla de modo que aparezca la base circular. En efecto, una propiedad muy conocida do los determinantes [geométricamente

1 Soreau, 2, pág. 1G.

PUNTOS ALINEADOS 3 4 3

equivalente a una homografía (núm. 6)] permite cambiar esta forma en

(1 )

i /; 1 + n

i r./, - y , / ;+ * ,

— o.

Bastará ea seguida (puesto que aquí no intervienen ejes paralelos que hacen preferible el empleo de las coordenadas u y v) interpretar esta ecuación en coordenadas cartesianas (núm. 62, Observación II) tomando:

(*1)

(*2>

(*•>

1 /.!•+ /, ’ a ' i + / ; '

1i + / ; ’

fu „ -9 of>-\-lh

siendo los módulos relativos a Ox y O y iguales entre sí.Se ve así que la base común de las escalas de y

(í2) es:as = 0 ,

círculo descrito sobre el módulo O A de O.-c como diámetro .

Por nuestra parte, haremos notar que se obtiene la escala (z¿) sobre este círculo proyectando a partir del punto A la escala de la furición llevada sobre uno paralela O'A' a Ox (fig. 120). Sea, en efecto, h la ordenada

A A' \de esta paralela {es decir, la razón — j . Si x' representa la longitud A'M', igualmente evaluada con el módulo O A, se tiene:

x‘= - h tg A M P = -h =■ - l<fi •

De aquí, una vez trazado el circulo O A, el modo demarcar las escalas (xt) y (z2) por proyección de las escalas de f t y f¡.

M. Soreau ba indicado todavía otro medio de construir analíticamente las escalas circulares l.

Consiste en transformar ahora la forma (1 bis) del

Fig- 120 número 76 en

344 NOMOGRAFÍA

1 — íT./’i+Ji)’ 2(X/¿+ii) l+(X/,-j-|i)s

1 — <XA+|»V 2 ÍX / Í+ 1 K i_+ Q ,ft + ^ = 0 ,

(1— X % 2'jx/*— Xg3) íl-h»*5/i—

y tomar: 1 — <Xf¡ -hi.i4 _ ¿("X/i-ri»)

{ i) x ~ j+ íx/i+nt*’ y 1

(x. ) 1 —«Xfe+tl)8 2 iX/a + |i'{ í + p f i + r * ' y i-KX/i-hu*

, -V .11 — ) / » + 2Xng»~Xift.1 ______ 2'nA —

' 11+ ii11' /i— 2 X (i¡7»+ X 2 hj' y i 1 -f f*4) /j— 2 X ja (/s -f- X“ 7/s’

1 /Sore««, 2, pág . 34.

PUNTOS AI.1NEADOS ¡545

porquo entonces la baso común de las escalas (*.,) y „} es el círculo

3? + 2/’ — 1 •

Para llevar la graduación (*j) sobre este círculo, monsieur Soreau observa que, llamando &> el ángulo que ol radio OM forma con O.c (fig. 121) se tiene:

lo cual, si, de una vez para todas, se ha graduado un circulo según los valores de tg , pormite, por medio deun calco, obtener rápidamente la escala (x-j).

Por nuestra parte, liare mos notar que si la recta B it corta aOi / ouM' y si al marcar sobro este eje el punto O' tal que 0 0 ' = i»(medido con el módulo de O y), la fórmula procoden- te muestra que se tiene 0 'M '=x/í, es decir, que la escala (z¡) se obtiene proyectando sobre el círculo desde el punto B cu que este círculo corta a la parte negativa de Ox, la escala de la función f¡ llevada a partir de O' con un módulo igual a XOB.

Observemos además, puesto que en cada uno de los casos anteriores, el centro de proyección pertenece a la

3-1G NOMOGRAFÍA

escala circular que se va a construir, que estas dos construcciones aparecen como casos particulares del teorema general enunciado en el núm. 04 al tratar de las escalas cónicas cualesquiera.

Más adelanto (núm. 78, fig. 123, y núm. 79, fig. 124) so encontrarán ejemplos de estas escalas circulares.

78. Representación por un nomograma NC de la ecuación general de 3 .cr orden nomografico.^ El nomograma NC, sobre el cual las escalas (x*) y (*2) tieuen por base común una cónica C, es de 2." género si la escala (*8) tiene por base una recta D, en cuyo caso la ecuación representada es de 3.0r orden nomogràfico, o sea de la forma (3) del núm. 68, que recordaremos era:

(1) A f, f j , + * B, f} fk + 2 0, /;. + D = 0.

Es claro que los valores críticos definidos en el número 69 corresponderán a los puntos I y J de intersección de la recta D y de la cónica C (fig. 1 2 2 ), estando asociado cada, valor crítico de z3 a los dos valores críticos de ¿i y z2 del grupo opnesto al suyo, es decir, estando asociado g' a g" y

en I, g" a g' y g'3en J.T , en efecto, con tal disposición so verifica, como debía ser, que dos valores críticos de grupos diferentes dan

siempre un valor indeterminado; por ejemplo, g' y g" dan por alineación una recta cualquiera que pasa por J (valor

PU N TO S AJUNEAUOS 347

indeterminado para *a); g' y g" dan por alineación la misma recta D (valor indeterminado para *8), etc.

Mientras que si se asocian, por ejemplo, g' y g’’, en cuyo caso la alineación se confunde con la tangento en J a Ja cónica C, el valor g" que resulta para *3 es perfectamente determinado.

Así, los dos valores críticos inscritos sobro C en I y en J son del mismo grupo; dicho de otro modo, son tales qtie los valores correspondientes de f\ y f2 satisfacen a la ecuación [(7) dol uúm. 69J.

(2) 2 B , / ; - P ) = 2Et / ; - l - 1,

teniendo las E¿_ F¿ la significación definida entonces.Esta relación unida a la (2) del núm. 76, hace prever

que para reducir la ecuación general de 3.or orden, anteriormente numerada (1 ) a la forma canónica (1 ) del número 76, es preciso sustituir r\ y f 2 por las funciones <fL y tpa definidas por

v; = 2 E, t\ — P , , % = —

Y , en efecto, si so llevan a la ecuación (1 ) anterior los valores de y f2 deducidos do aquí,

—j—T?1 j j , — 2 Ei ’ '* 2 Já, 1

y si se observa, por otra parte, teniendo en cuenta las igualdades de definición del núm. 69, y poniendo además,

H, = B, (F. - 2 B. Cj - 2 Bfc C,) + 2 A C, C*, K = A F 0- 2 B1 BsBj ,

3 4 8 n o m o g r a f í a

que so tienen las relaciones (bastante curiosas en sí mismas y que nosotros hemos ya observado) 1

F j B( + 2 E, C* = Fs B t + ‘2 E,. O, = H ,, A P j+ a E jB ^ K ,

cualquiera que sea se encuentra que la ecuación se transforma en

(3) ?, V, (A ft + B.) + ( + %) (K /; + H)+ L, f3 -+- M, =

ecuación en la cual

Jjr — A F i F j ' 2 B i E i F s "4“ 2 B s lín F i -f--4C3E11;., M3= B F ,F * + -2C ,E SF , + -20 ,® ,!’» + 4 D E , E „

y que está comprendida en el tipo (1) del núm. 7G.Se ve asi que las escalas (x^) y (%2) pueden ser lleva

das sobro uüa misma cónica C a condición de que los valores de y correspondientes a un mismo punto satisfagan a la relación (2).

Gracias al conocimiento de esta relación 2 so podrá pues, como se ha explicado on el núm. 76, construir, sin ninguna separación previa la escala cónica doble para y *2, por proyección de las escalas funcionales de /i y

Hecho esto, dos paros de alineaciones entre las escalas (* i) y (*2) dnu dos puntos de la escala (z3) que basta unir para tener la recta D; la interseción de una tercera alineación y esta recta nos dará un tercer punto de la esca-

1 O., 13, núm. (i.2 Dada por prim era vez en O., 13, núm. 11.

PUNTOS ALINEADOS ÍÍ49

la (*3) que basta para determinar completamente esta escala, puesto que es proyectiva con una función conocida / 8.

Observación i".—Puesto que acotando los puntos de la escala (24) o (z2) mediante los valores correspondientes de fi o el haz que los une a uno cualquiera de ellos es proyectivo con una escala métrica *, se ve que los puntos de intersección I y J de la recta D y de la cónica C serán reales o imaginarios según quo los valores o] y o'' de fx sean reales o imaginarios, es decir, según que A sea positivo o negativo (núm. 69).

Si, pues, A > 0 (caso en que la ecuación es también representable proyectivamente por un N0) se pueden marcar sobre C los puntos I y J que dan, al unirlos, la base D de la escala (x3). Se conocen, además, las cotas g' y g" de estos puntos sobre esta escala. Basta entonces obtener, por una sola alineación, un tercer punto de esta escala para que esté perfectamente determinada.

Si a = 0 (caso en que la ecuación os también representable por un N0) los valores a' y o" se hacen iguales, los puntos I y J se confunden y la recta D es tangente a la cónica C.

Observación I I .—En el análisis precedente, nada hace distinguir la variable z 3 do las variables zx y x 2\ la demostración bocha acoplando x¡ y x 2 puede, pues, hacerse acoplando x2 y *3, o también *a y x x. Unicamente los factores parásitos resultarán entonces:

(2 ES /; — F,) - (2E# - Fa),o

(2E1 / ; - F a) - ( 2 E l / ; - F i)-

1 Véase la nota 1 de la p á g . 302.

350 NOMOGRAFÍA

Esto hace sospechar que debe de existir un sistema de representación nomogràfico de la ecuación (1) anterior, rigurosamente simétrica con respecto a las tres variables.

M. Clark ha demostrado *, en efecto, que toda ecuación reductible a la forma (1) del núm. 76 es susceptible do ser representada por medio de tres escalas llevadas sobre una misma cdbica. P ara ello se refiere primero esta ecuación a la forma canónica

<f, 9,9=,+ f)i¡9í<p; + r-9 ,: + 3 = 0.

que puede escribirse

9,+ ? <e' — r + s* 3 1 o9S — r % + 8 = 0,

* * i » <f,-r <?. + «

mediante la introducción de los factores parásitos

(?, — »,) (v, — q>,) (?., — <?,) -

Este resultado ofrece un interés evidente, pero de o rden predominantemente teórico; nosotros no nos detendremos mucho eu ello.

Observemos, sin embargo, que en esto caso los valores críticos °¿ y °¡ de las funciones f { vienen a agruparse al

1 Clark, cap. V. Este resultado ha sido establecido dediferente manera por M. Soreau (al mismo tiempo, además,que la mayor parte de los que M. Clark había en 1905, comunicado al Congreso de Cherburgo de la A- I*. A. S.) ensu segunda Memoria (Soreau, 2, p á g -17).

PONTOS ALINEA D08 351

punto doble de la base cúbica única, dondo los de un mismo grupo O') o (O deben estar aplicados a una misma rama; la alineación tangencial definida por dos de ellos corta entonces a la segunda rama en un pnnto do cota bien determinada (perteneciente al grupo opuesto).

Se deduce de aquí que según que A = 0 ó ¿<CÓ,la base cúbica tendrá un punto doble de tangentes reales (crunodal), confundidas (cuspidal) o imaginarias (acnodal).

Ejemplo.—Para determinar la relación m entre el espesor y el radio interior do un tubo sometido a uua fuerte presión interior j¡?, cuando R es el máximum de la tensión en la parod (estando p y II expresados con la misma unidad, generalmente el kilogramo por milímetro cuadrado), Lamé ha dado la fórmula

A / 11 m — \ R — p ~

que puede escribirse:

V . i'l-H»)*—1 IT -*" (i+ ,« j“4-i

la cual está dentro del tipo canónico (1) del núm. 76 (bajo la forma particular considerada en la nota 1 de la página 339) cuando se toma

U ~V-¡ I, = ■jp /, — ff, — (l>

i _ —1*~ *

Poniéndola bajo la forma de determinante correspondiente al segundo procedimiento indicado en el núm. 77,

352 NOMOGRAFÍA

M. Soreau la ha transformado en

P0

1011

( i rm

(i -f-w)2—i7 r+ m /-t- i

con la que ha obtenido el nomograma representado en

*’¡g. m

la figura 123. Además ha obtenido una simplificación eji el establecimiento de la graduación a] observar que todas

PONTOS ALINEADOS 35 3

las alineaciones correspondientes a y = R pasan por el punto fijo m = c c .

Claro es, puesto que la ecuación anterior entra en el tipo del núm. 67, que es igualmente representable por un No de dos escalas paralelas. Este último nomograma ha sido construido también por M. Soreau i .

79. Ecuaciones de tres variables de 4 .® orden nomogràfico representabas por un NC.—Teniendo en cuenta la nota 2 de la pág. 300, se puede decir que toda ecuación de 3." orden nomogràfico, puede, ad libitum, ser representada por un N0 (núm. 68) o un NC (número 79). Por tanto, desdo el punto de- vista de la teoría general, se comprueba que, en lo que se refiere al 3or orden, la introducción de los nomogramas NC no tiene más ventaja que la de permitir una representación puramente proyectiva en el caso en que A < 0 2.

Pero cuando se trata do las ecuaciones de 4.° orden, su importancia es mayor. Hemos visto, en efecto (nú-

1 Soreau, 1, núm. C9.4 Conviene observar, respecto a ésto, que la inmensa

mayoría de las ecuaciones de 3-or orden quo aparecen en las aplicaoiones prácticas están comprendidas en el tipo A > 0 , y, por consiguiente, son proyectivamente representabas por un N«. Para obtener un ejemplo del tipo A <T0, M. Clark (Clark, niim. 29) ha tenido que recurrir a una ecuación escogida expresamente, y no, en realidad, presentada on la práctica, a saber;

1 — tgq>,tg<¡>2

[equivalente a ^ 1+92 = 9«, y la cual, desde este punto de vista constituye el ejemplo más senoillo de la anamorfosis indicada por M. Fontenó (nota 2 de la página 300)1.

23

354 NOMOGBAFÍA

mero 72) que para que una ecuación de esta clase sea representable por un Nj— en cuyo caso es reducible al tipo canónico del nüm. 71,—es necesario quo se verifiquo una cierta condición algébrica {lo cual es, además, el caso más frecuente en la práctica). Ahora bien, M. Clark ha demostrado que cuando no se verifica esta circunstancia, es decir, cuando la ecuación de 4.° orden no es reducible a la forma canónica

t\ 9, + f, K + f, = 0,

lo será necesariamente a la forma del núm. 76, a saber

(i) f,f, f ,+ ( f ,+ Q g .+ K =o,

y es, por lo tanto, representable por un N C i.Se ve la diferencia capital cOn el caso de 3.er orden.Para el 3.0r orden, la representación puede hacerse a

elección por un Nq o un NC. Para el 4.a, si la representación es posible para un N* no lo es para un NC, y recíprocamente.

Gracias pues, por lo que se refiere al orden 4, a la introducción de los N C, ha podido establecer M. Clark que toda ecuación de tres variables de 3.“ 6 4.° orden nomogràfico es representable por un nomograma de puntos alineados.

La reducción de una ecuación de tres variables de 4.° orden nomogràfico a uno o al otro de los tipos canónicos correspondientes es, en general, bastante complicada. Pero hay ciertos tipos particulares para los cuales

1 Nosotros hemos dado una demostración nueva de este importante resultado en O., 13, núm. 12.

puede efectuarse bastante fácilmente. De estos es el siguiente 1:

(m, f t + n ) {mt f% + »,) f% + (p, ft + q) (p, ft + q) gt

+ (Tt fx - H ^ C r , /, + «,) A - 0 ,

donde las (7, fe, continúan representando funciones y las m, n, p , q, r, s representan coeficientes numéricos.

Si hacemos el cambio de funciones

P U N T O S A L IN R A D O B 355

myfi+ni mafí+ti»n / i £ ’ ’

tendremos:

Pi h + p = p\ q Pift+a* * '»•íA + St 1 1 l' r-j/'a + í» * 1 *

donde> _ giri—piSx > _ UiPi—m igi1 «■ 1 n — m 1 <91 ’ ” « t rx— j»i& ,1

y lo mismo para el índice 2 .La ecuación dada tomará entonces la forma:

¥, 9, f, + (j\ 'P, + 2 ') (u ' <PS + Ù 9, + fe, = °>>V, V, (/, + />' í>' </,) + (p[ q, 9, -Hi?' q, 9„ + 2Í % 9„ + A» = ».

1 O., 4, núm . 48- E s te tip o de ecuación ha sido encon trado p o r M. M assau en su s in v estig ac io n es sobre Iob nom og ram as de tre s s istem as de rec tas cua lesqu ie ra . (Véase la pág ina 226).

o todavía, si so hace

P ÍíX + 'K’ p\ % <P, = V

♦,* fmt + ( * , + !>,+(?;« ;,<7S+ v - o. p,y,p, %

que pertenece al tipo canónico (1 ) anterior i .

Ejemplo. - - En el triángulo ABC, cuyo ángulo en A es muy pequeño, se conocen los lados b y c y el ángulo C, y se pide calcular la diferencia s de los lados a y c, o sea s — a—c. Esto es, cuando el lado b se ha obtenido por observación en A del vórtice B por medio del telémetro, lo que se llama la corrección telemétrica. Esta resulta de la ecuación

ca=(c+e)*+Z>a—2 &(c+e) eos C,

o, si se toman como argumentos

c eT = p ,

14-«*— pcosC-|-ej.(p—cosC) + ------= 0,2

la cual, cuando se pone:

1-4-6*fx~ P> /»— cos C, f,= 1, gm = — et, \ -= —- 1,J i

está dentro del tipo (1) del núm. 76. Luego, por aplica-

1 V é a s e o l «yem plo d a d o e n O., 4, n ú m . 84.

PUNTOS ALINEADOS 857ción de la ecuación (1) del núm. 77, se puede escribir:

1 p 1 + p 2

1 —eos C l+cos* C

2

El nomograma correspondiente d (fig. 124) es el transformado por duplicación de las coordenadas del que primeramente había construido el capitán de artillería italiano, Ricci 2.

SO. Aplicación del método de puntos alineados a ciertas interpolaciones. — El capitán de artillería Ba- tailler 3 ha hecho una feliz aplicación del método de puntos alineados a la interpolación relativa a ciertos tipos funcionales que contienen cuatro parámetros arbitrarios, especialmente

(1) 0 = AF(ce,í>)-f B G w q),

y tales que la ecuación diferencial de 2 .° orden obtenida por la eliminación de A y B pueda ponerse bajo la forma

f. 9i(2 ) f. •9, h = 0

9, K

1 Soreau, 2, pág-, 33.* liicci, pág. 62.3 Hataillér.

858 NOMOGRAFIA

siendo hit funciones de x, y, y ', y " (es decir,solamente de x) y los elementos de las otras dos líneas funcionales sólo de p y sólo de q respectivamente.

Supongamos que experimentalmente hayamos obteni-

Fig, 131.

do un gran número de Valores de y correspondientes a otros tantos valores de x. Considerando estas cantidades como coordenadas cartesianas, trazaremos la curva lugar de los puntos (x, y), así como sus tangentes en un cierto número de puntos, que podremos siempre obtener apro

ximadamente por medio de una curva de error (pág. 138, Observación I). Hecho esto, deduciremos, por la construcción conocida (pág. 119, Observación), las dos primeras curvas derivadas, de suerte que, para cada valor do x, conoceremos empíricamente, no sólo el valor de y, sino también los de las dos primeras derivadas y' e y". Podemos, por tanto, obtener, para cada valor de x, los valores de las funciones f\, g\, h .j anteriores.

Después de esto, construyamos el nomograma de la ecuación (2 ) constituido por las escalas

Si la función buscada puede ponerse rigurosamente bajo la forma (1 ), la ecuación diferencial (2), para los valores de p y q que deben figurar en (1 ), se verificará, cualquiera que sea x. Esto ocurrirá si la escala, [x) es rectilínea y los valores de p y q son los que corresponden a los puntos de intersección de las escalas (p) y (q) con la base de x 1.

Llevados estos valores de p y q a (1), se pueden considerar A y B como los %,alores de u y v que satisfacen a las ecuaciones de todos los puntos dados, en coordenadas paralelas, por la ecuación

1 Se ve que los valores buscados dop y q pueden considerarse como valoros críticos (pág. 803) para el nomograma construido.

(X)

(p)(<?)

f, + «y, + v A, = o,f. + u 9, + v K — f»4" u 9, + v K — °-

!í F (x, p) + vG(a?, q)=y.

NOMOGRAFÍA

en la cual se hace variar a x. Todos estos puntos, si se construyen separadamente, vienen, pues, a alinearse sobre una recta cuyas coordenadas son u — A, v= B ,

'Ejemplo.—Entre los diversos ejemplos estudiados por el capitán Batailler, escogeremos ol siguiente:

y= Aa;p + B x 4.

La eliminación de A y B entre esta ecuación y sus dos primeras derivadas da inmediatamente:

y y y'

x p p x p~ % p(p — í)x p~ t

X q q xq~ l l ) x q~ *

= 0 .

Multiplicando la 2.* columna por x, la 3.a por x 2, dividiendo después la 2.a fila por x » y la 3.a por z* • se transforma esta ecuación en

y xy x*y 1 p p (p — 1)

1 ? 2 (</ — l)= 0.

Se ve que aquí los sistemas (p) y (q) se reducen a uno solo (x) definido por

l-j-zu+z(z—l)t*=0,o

1 *)-z (íí—v) -fr-2*i;=0,

PUNTO9 ALINEADOS 361

constituyendo una escala cónica que se sabe construir (núm. 64). Si la compensación duda por esta forma de interpolación es suficiente para el caso que so considera, los puntos x definidos por

(teniendo y, y ’, y" en función de x los valores determinados empíricamente como se ha dicho más arriba) vienen a situarse sobre una recta, y las cotas de los puntos en que esta recta encuentra a la escala cónica (x) son los valores buscados de p y q; A y B se determinan en seguida, como acabamos de decir.

Así es como tratando de poner la inversa de la función F (V) que da la resistencia del aire al movimiento de un proyectil bajo la forma

siendo K un coeficiente que depende de la unidad elegida, ha vuelto a encontrar el capitán Batailler la fórmula de CEkinghaus

81. Principio de la doble alineación 1.—Si una ecuación de cuatro variables »

y-\-xy'u+ x‘y" v = 0,

D.— Nom ogram as <Ie alineaciones múltiples.

1 O., 4, cap. I I I , sec. V, A.


puede obtenerse por la eliminación de u d » variable auxiliar z (de la cual f, g, h representan funciones cualesquiera) entre dos ecuaciones tales como

f 9 h f 9 h

fi 9, hl = 0 y f, 9. K

t. 9, K f.i 9, hi

os claro que se podrán superponer los nomogramas de estas dos ecuaciones adoptando para cada uno de ellos la misma escala (*) (fig. 125). Será además inútil graduar

la escala (z) de la cual bastará conservar la base Gi , teniendo en cuenta que no se tiene generalmente necesidad de conocer el valor de z, eliminada por el hecho de la superposición de las escalas correspondientes de los dos nomogra

mas. Un sistema de valores de x i} x 2, z 3, zA que satisfacen a la ecuación propuesta será entonces tal que las alineaciones (zir z2) y (Z3 , z4) se cortarán sobre la línea C. i¡. *

De aquí la manera de emplear el nomograma, si la incógnita es, por ejemplo, x 4: sé toma la alineación (zlf z2)

1 Se podrá, sin embargo, dar a la línea C una graduación puramente arbitraria para facilitar en ella, llegado el caBo, la determinación del punto de encuentro do las dos alineaciones.

Fig. 125.

que se hará en seguida girar alrededor del punto en que encuentra a la línea 0 hasta que venga a pasar por el punto (*8); cortará entonces a la última escala en el punto (*4) buscado.

Por esta razón, ei punto en que las dos alineaciones encuentran a la línea C se llama el centro; la misma linea es entonces la linea de los centros; se puede también, más sencillamente, llamarle charnela.

Indicando con un exponente el número de las alineaciones sucesivas que hay que tomar sobre el nomograma, designaremos por la notación N2 el nuevo tipo que estamos estudiando.

El caso prácticamente más interesanto es aquél en que la charnela es rectilínea. En este caso, si, haciendo uso de las coordenadas paralelas u y v, se la toma por eje de las u, las ecuaciones anteriores de ios dos nomogramas parciales se convierten en

f - 1 0 f — i 0

f, 9X K II o << f, 9, \

9, K r, 9'4 K

entre las cuales la eliminación de la variable auxiliar x, es decir, de f, es inmediata; se obtiene entonces:

(1) Cf A - W ( v A ~ - 9 tK>- (3, K - 9, \ ) (f, K - ft /<„) =

Tal es, pues, el tipo canónico correspondiente a la ecuación Fi234 = 0.

364 n o m o g r a f i a

Siguiendo llamando género del nomograma al número de escalas curvilíneas que contiene (abstracción hecha de la charnela) diremos, pues, que el tipo general de nuestros N2 es del género 4, y lo designaremos por N’.

El caso particular más frecuente es el de un N’ donde cada nomograma parcial contiene, además, una escala rectilínea paralela a la charnela (ta) y (x2)- En este caso,

Í, = Í7, = 0, . h = 1,

y como, siu que influya en la generalidad, so puede tomar, además, 1 , el tipo (1 ) se convierte en:

(i') f ,h + 0 = Q-

En este caso se puede, además, para facilitar la construcción, tomar la base de (a.*) o de (x2) como eje de las v del nomograma parcial correspondiente, y además hacer coincidir estos dos ejes de las v, llevando a un lado y a otro del eje común las graduaciones relativas a (*|) y a (*8). La disposición del nomograma de doble alineación correspondiente es entonces el de la figura 126, siendo A u la charnela.

Se puede transformar por homografía un nomograma de doble alineación como un nomograma de simple alineación, puesto que tal transformación no altera !as alineaciones de puntos. Eu particular se puede llevar la charnela al infinito, en cujo caso las dos alineaciones (zi; y (za> 2n) resultan paralelas (fig. 127).

Para realizar estas dos alineaciones paralelas se puede utilizar un transparente móvil sobre el cual se haya tra

zad» un haz de rectas paralelas 1 equidistantes bastante próximas, para que, si se hace coincidir una de ellas con la alineación (zlf z<¿), se tenga la segunda alineación (2s> Por un{*> sencilla interpolación visual en el haz (interpolación indicada en ln figura 127 por la línea do trazos).

Bajo esta forma es como ha propuesto el procedimiento 51. Beghin 2; los nomogramas correspondientes pueden, entonces, llamarse de paralelas móviles.

Pero haremos observar que, cuando la ecuación que se va a representar ha sido puesta bajo la forma (1 ), se tiene inmediatamente el nomograma de una u otra variedad según que, en los determinantes por los cuales se

1 Este artificio está comprendido en el indicado (número 62, Observación 111) para el caso de alineación sencilla,cuando una de las escalas está en el infinito.

3 Beghin y O., 4 , núm. 97.

366 NOM OGRAFÍA

hace la separación, se consideren los elem entos como coeficientes de ecuaciones en u y v (haciendo corresponder las dos últim as colum nas a u y v) o como d© coordenadas cartesianas x e y {haciendo corresponder las dos prim eras colum nas a x e y) i, puesto que en este segundo caso las coordenadas del centro de giro son infinitas.

P o r ejemplo, la ecuación (1') estará representada por un nom ogram a de charnela (confundida Con el eje A «) cuando se definan sus escalas por

i v —f t — O, (z) v — — O,(A)

(zt) u + \ v 4- f% = 0 , (z) u+ ht v + ft — O,

y por un nom ogram a de alineaciones paralelas, cuando

' JSsta es una aplicación de la Observación I I del núm. 62.

PÜNT0S ALINEADOS 3C7

so las defina p o r

( /;, ?/—u, y — O,

Observación I .—En el caso de las alineaciones paralelas, es claro que se puede dar al conjunto de las escalas (%) y (*4) respecto al conjunto de las escalas (zt ) y (s2) una traslación cualquiera, lo que permite hacer de modo que dos cualesquiera de estas escalas no tengan nunca la misma base.

Observacción I I .—En el caso de la doble alineación concurrente, se pueden adoptar módulos diferentes para las x y las y. .En el de la doble alineación paralela se puede, además, multiplicar estos dos módulos por una misma razón cualquiera pasando del conjunto (zt) y (z2)

Ejemplo.—Sea la fórmula de M. Bazin para la circulación del agua por los canales descubiertos

donde U designa la velocidad media (en m. por segundo), R el radio medio (en m.), I la pendiente, r un cooefi- ciente numérico que depende de la uaturaleza de la pared y será, según esto, considerado como una variable. Bastará escribirla de este modo:

al (*3) 7 (2*)-

_ 87 V R I .

y tomar2i = Y> Za — R , 2s = I , 2 « = U ,


para reconocor quo está dentro del tipo (1 ') anterior. Luego, si se toma el ejo A u como charnela, se obtiene el nomograma pedido construyendo las escalas [grupo(A) anterior],

(y) v = — h-iy, (I) v — — |i 3 87 V~í •

(R ) n., u - f - ==. 0, ( U ) = 0 ,

siendo y (*o los módulos relativos a 3 v adoptados para las escalas (y) e (I), jt el módulo relativo a A u adoptado

Fijf. 19*5.

para la escala ficticia de la charnela. Si se toma = y !»»— H se, obtiene un nomograma semejante al de la


figura 128 (donde la escala (R) es cónica) 1. Las alineaciones marcadas con trazos corresponden al ejemplo y = 1 ,3 , R = .l ,6, I = 0,002, para el cual U = 2,4.

El modo de separación admitido para cada una de Jas ecuaciones parciales conduce a escribirlas:

f — i 0 / - 1 0r 0 1 = 0 , 87 VT 0 1

— V r R 1 0 u 1

Se tendrá, pues, un nomograma de alineaciones paralelas construyendo las escalas

(as—y, y=0) (ac—87 VT, y~0)(*■==■—'VR, y —~&) í*=o, y = u \

El nomograma correspondiente, en el cual se ha dado al sistema Ox y para (I) y (U) una traslación con relación al sistema O x y para (y) y (R) (en virtud de la Obser vación I anterior) está representado en la figura 129 2, en la cual se han representado cou trazos las alineaciones paralelas para el caso

Y —1,3 R=4, 1—0,004,de donde

U = 6,6.i *82. Nomogramas de escalas paralelas.—Un caso

de especial interés en la práctica es aquél en que la ecua-

1 Para el detallo do la construcción, vóaso O., 4, DÚm. 93- 8 Soreau, 1, núin. 138.

24,


ción (1 ) del número anterior se reduce á.

(i) f, + f* — U +

toniendo entonces las cuatro escalas sus bases rectilíneas

paralelas a la charnela. Si representamos por * el valor coimln de los dos miembros de esta ecuación, y si apli-

eamos a los dos nomogramas parciales que tienen común la escala (x) (charnela) lo que se ha dicho en el núm. 66 para el caso de las escalas paralelas, obtendremos la construcción siguiente:

Si se supone^que los módulos, afectados de un sentido indicado por su signo, se han escogido de modo que satisfagan a la relación

< Z . )(siendo el valor común de estas dos sumas inverso del módulo de la escala auxiliar de la charnela), se trazan las bases de las escalas de tal modo qne sus distan, cias a la charnela ab (figura 130) satisfagan a las relaciones

l, l. b K

ÍZi)

o,8,

Sui h ...

i*.;

V i g . 100.

/q\ 3 » _____ 1* i H a' »2 lis’ *4 !*«"

Hecho esto, so pueden llevar tres de las escalas (entre los límites que convengan a cada una de ellas) a partir de orígenes ait a2, as escogidos arbitrariamente sobre las bases correspondientes. Bastará, para la cuarta, cuyo módulo está ya determinado, obtener uno cualquiera do sus puntos, lo que se conseguirá por medio de dos alineaciones concurrentes que correspondan a valores dados de z2, za para los cuales se haya calculado previamente el valor de x 4; este será, frecuentemente, el va-

872 NOMOGRAFÍA

lor a4 correspondiente a los valores límites a.¡, a2, a3 de las otras tres.

Si se quiere que la charnela esté en el Infinito, es preciso que las razones y se hagan iguales a la unidad, lo que exige

(4) fla= — í*i y [i« = — |la.

Pero las desviaciones de las bases y «3ó2 de una parte, a8b3 j a^b^ de otra, no son arbitrarias; representándolas, en efecto, por s,s y bm vendrán dadas respectivamente por

8u = 8® — 8i, 5fii = 8* — 83.

Ahora, de (3) se deduce:

* _ » f. _ a |Í3+li<Sis — ®a — --- > o84 — b4 — -—(ti

Tendremos entonces:

8»a __ _8a_ fJt 1 — ti a

8al 8< ji2 + liT'

o, teniondo en cuenta la (2)

8n _ Hi88» 84 ¡ís

Luego, en el límite, cuando estando la charnela en el infinito, la razón y- se hace igual a 1 , se

encuentra:/F¡\ 5» _ Jfj_' ' 3,4 ' n , '

!o cual, por otra parte, era fácil de prever a priori.Las fórmulas (2) y (3) bastan para la construcción

completa del nomograma cuando la charnela está a distancia finita, las (4) y (5) cuando ostá en el infinito, y por consiguiente, las alineaciones se hacen paralelas.

E ntre las fórmulas frecuentes en la práctica y que pertenecen a este tipo, se pueden citar la9 quo tienen la forma

z*' z? = kz? z*\o

«i 1 ogZi -f- log «a = n , log 2» + «4 log zt ■ l- log k.

Para poder tomar las diversas escalas logarítmicas con un mismo patrón, será necesario, siendo ol módulo de este patrón, hacer

.. - * » - * __ L. „ _ JL -¡ll--- ! ¡1» —— > |l8 -r- 1 1*<-------- >il\ ti a Ws >¿4

pero, segúu la relación (2), esto exige

n i -{“ ti 2 ti e ~i~ n 4.

Si no ocurriese esto, se podrá siempre tomar las escalas dos a dos con el mismo patrón, poniendo


y escogiendo ¿i y de tal modo que

(6) ( « i + w») (i' — (m» + nt) jjt.

Si w2 — — y n¿¡, — — re3, tomando, según (5)

& 1 2 __n a8 8» »1

y llevando, con el misino patrón logarítmico, las escalas (zt) y (xa) en un sentido (*2) y (;t4), en el otro, se puede tener la representación de la ecuación dada por doble alineación paralela.

Respecto a la constante log k no hay que ocuparse do ella cuando, como se ha explicado más arriba, se ha calculado un sistema de valores de x i} * 2, x 8, * 4 que satisfacen a la ecuación.

Ejemplo.—El gasto Q (en metros cúbicos por segundo) de un vertedero de anchura b (en metros), y cuyo coeficiente específico es y para una altura h (en metros) de la superficie de nivel aguas-arriba por encima de la cresta, está dado por

Q = f r b t e g h * .a

que se puede escribir:3

Qb—‘ — 2,952 yh 2 ,

o también:3

lo g Q — lo g b — lo g y -J~ 2 lo g h -J - Je.

PO N TO S A LIN EA D O S 375

Poniendo:

/, = logQ, f , — — 1qs&, /, = logr, /*=-§-log/i’o

se tieno n i — n 2 = n 3 = 1 y n 4= —. Para tomar las escalas (Q) y (b) con el mismo módulo n (pero en sentido contrario), y también (r) y (h) con el mismo módulo p.', es preciso, en virtud de (6), hacer:

2ü’~ f H,, 5o

El nomograma correspondiente está representado en la figura 131 *, en que las dos alioeacioues marcadas con trazos corresponden al ejemplo h = 0 ,m 8 , X — 0,55, 6 = 1 3 “ , para el cual Q = 15m* por segundo.

83. Alineaciones múltiples. Nomogramas N” de escalas paralelas.—Es claro que, por alineaciones sucesivas, so llegará a representar ccuacionos de un número cualquiera de variables pudiendo ser obtenidas por eliminación de variables auxiliares, entre ecuaciones do tres variables cada una del tipo representable por simple alineación. Sobro todo, cuando todas las escalas del nomograma son rectilíneas y paralelas entre si, es cuando hay que considerar esta generalización.

1 Pertenece a una serio de nomogramas de este tipo construidos por P. M. Morel (Zurich, 1906), con motivo de loa cuales ha dado M. Q. Dumás una demostración elemental del principio en que se fundan (Dunas).

■876 NOMOGRAFÍA

Puede exponerso entonces como sigue: dada la ecuación

se puedo, como en el núra. 60, considerarla como el resultado de la eliminación de las variables auxiliares <t3, v*>

- entro las ecuaciones

Basta entonces construir, según el procedimiento indicado en el núm. 66, los nomogramas de estas ecuaciones sucesivas tomando, en cada dos consecutivas, la misma escala para la variable auxiliar <? que tiene común; las bases de estas diversas escalas (<y) {que no hay necesidad de graduar, o se hará de un modo arbitrario para distinguirlas) constituirán otras tantas charnelas. Se ve quo, para el caso de n variables, habrá n —3 de estas.

Haciendo aquí la misma observación que en el número precedente, podremos a voluntad llevar al infinito una de estas charnelas considerada aparte; pero, como dos consecutivas de ellas figurau como escalas (de las variables auxiliares) en uno de los nomogramas parciales, y sólo una de las tres escalas de que se compone un N„ puede ser llevada al infinito, resulta que estas dos charnelas

£ + / ; + /,H-----+ 4 = 0,

hasta(si n es par)

O(si n es impar).

cotí so cu ti vas no pueden ser llevadas al infinito a la vez;o lo que es lo mismo, que 110 se puedo, cuando se consi-

PO N TO S A LIN EA D O S 377

T ?°0 110

200

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•0 . J flo» 0JQO

o , 2■750

■ 2 0 *

Lf ;b. i3i.

deran en conjunto, efectuar esta operación más que para una de cada dos. Comenzando, pues, por <í>«j, se puede

hacer do modo quo haya cu el iufiuito un número igualn ____ 2

al mayor entero contenido en — ^— . So obtiene así loque M. Soreau ha llamado alineaciones por cheurroncs1. Este autor ha observado además que se puede conseguir siempre que las charnelas, tomadas de dos en dos, con* servadas a distancia finita, se superpongan. La fig. 132


j *

_

< , 6

9 . i y

5

" " y lí*

" "

4

ÍFig. 133.

muestra así la disposición esquemática del nomograma do una ecuación de la forma

K f i~ ° t

de charnela única. Los centros 3', 5', 7' están en ol infinito (lo que dan las paralelas 12 y 34', 4'4 y 56', 6'6 y 78), mientras que los centros 4' y 6' están sobre la única charnela que se halla a distancia finita.

Se encontrará más adelante (núm. 84) otro sistema de representación aplicable a las ecuaciones de la forma considerada.

1 Soreau, núm. 191.

P O N T O S A LINEA D O S 379

Observación.—Si se asocia a cada eje graduado una escala binaria, so tiene la representación de una ecuación de ía forma

f» + f„ + f„ + • • • '0 .

84. Nomogramas circulares de ailneaciones paralelas.*—Para la representación de las ecuaciones del tipo

/ ' ,+ / ; + / ;+ • ■ • + / „ = o,

M. Soreau ha tenido la ingeniosa idea de recurrir a la disposición siguiente *: sobre dos círculos de centro O (fig. 133} (que teóricamente podrían considerarse coinci

dentes, lo cual en la práctica tendría el inconveniente de producir confusión entre las escalas de que vamos a hablar) llovemos, a partir de los orígenes A y A' situados sobre un mismo diámetro, las escalas definidas por

are AM! = r f , aro AM, - r/j,are A’Ms = r'fi>, aro A'M, - r'f.

1 Soreau, 2, pág. 44.

380 NOMOGRAFÍA

Si las funcionéis son tales que

/, + /, = / , + ft,

los puntos medios de los arcos M1 M2 y MaM4 están sobre un mismo diámetro, y por consiguiente las cuerdas üft M 2 y M9iT4 son -paralelas.

Bastan, pues, dos alineaciones paralelas (xif z 2)> (*8> %n), para representar, mediante las escalas circulares que acaban de ser construidas, la ecuación de 4. variables considerada.

Para representar la ecuación de n variables anterior, basta considerarla como el resultado1 de la eliminación de las variables auxiliares <p< ... entre las ecuaciones

/¡+«p».9t + ft = — ft +<fo>

siendo la última

+ , + f,P — ■~ ftP - , ' ~ ftp 0» » os par),

Tp + , + ftp= — f,p + : (si n es impar).

Estando representada cada una de estas ecuaciones por dos círculos concéntricos (tales que, para dos ecuaciones consecutivas, uno de estos circuios sea común), se ve que el nomograma se compondrá de circuios concéntricos c, c', c", . . . llevando el primero las escalas (s*) y (x2), el

PUNTOS ALINEADOS 8 8 1

segundo (*3) y (*4), el tercero (^B) y (*8), y así sucesivamente, lo que representa un número de círculos concéntricos igual al mayor entero contenido on n-|-l. Además, las escalas ficticias (<p*), {cpj, . . . estarán respectivamente en los círculos c', c", . . . En suma, si para simplificar, representamos cada punto acotado (?<) por i, y cada punto (<pí) (determinado por la intersección de una cierta ali

neación y el círculo c correspondiente) por i ', la manera de emplear el nomograma general se reducirá a lo siguiente (fig. 134):

Por el punto 3 del círculo c' so traza a la alineación 12 una alineación paralela que encuentra a c' en 4'; se hace girar esta alineación alrededor de 4' hasta que pase por 4.

Por el punto 5 del círculo c" se traza a 4'4 una alineación paralela que encuentra a c" en 5'; se hace girar

üti'¿ n o m o g r a f í a

esta alineación alrededor de 5 hasta que pase por 6, . . . y así sucesivamente.

No habrá nunca, además, confusión entre los diversos círculos cuando se trata de tomar un centro, pues siempre estará el que corresponde a los puntos acotados (£,<_,) y (z j{) situado sobre el círculo c que lieva a la vez estas dos escalas.

Este sistema de representación será útil para las ecuaciones de la forma

cuando se dispone de un patrón logarítmico circular., M. Soreau ha hecho de él una notable aplicación a la

fórmula de Sarrau que da la velocidad inicial de un proyectil ■*, fórmula comprendida eu el último tipo expuesto para el caso núm. 8.

85. Puntos coplanarios. Nuevo modo de concebir la doble alineación.—El principio de los puntos alineados puede ser teóricamente extendido al espacio donde se convierte en el do los puntos coplanarios que se enunciará así:

La ecuación

olog- f, + lo# /■ + ' • • + log 4 ~ 0,

1 fi i/i hi ki | = 0 ,

expresando que los puntos

(«<)u y h

PU N TO S A LINEA D O S 883

están en un mismo plano, o son coplanarios, podrá ser representada por las cuatro escalas alabeadas (z*) las cuales, cortadas por un piano cualquiera, darán un sistema de valores de x Z) *3, *4, que satisfacen a la ecuación.

Además, el nomograma así obtenido en el espacio podrá ser transformado homográficamente mediante la multiplicación por un determinante de dieciséis elementos {en lugar de nueve como el del núm. 62, pág. 269).

No hay que decir que tal nomograma de tres dimensiones no será, en general, realizable 1.

Sin embargo, si las cuatro escalas (*4), (x2), (*3), (x4) son planas y están dos a dos en un mismo plano (P do una parte, P ' de otra), las rectas , x¡¿) y {*3, *4) se cortarán en la recta de intersección de los planos P y P '; por consiguiente, proyectando la figura del espacio sobre un plano cualquiera, se obtendrá un nomograma de doble alineación. Esta ingeniosa observación de M. Soreau le ha permitido exponer la teoría de la doble alineación, en el caso de una charnela rectilínea, bajo una forma sumamente elegante 2.

Suponiendo primero que los planos P y P ' se cortan a distancia finita y tomando su recta de intersección como eje Ox, tracemos en cada uno de estos planos una perpendicular a Ox, una, O y, situada en el plano de (Xi) y de (x2), la otra, O2, en el de (x3) y (*4). Tenemos, pues, 2 = 0 para (*.,) y (*2), ?/== 0 para {*„) y (x4), y vemos que la condición para que estos cuatro puntos

1 Para el caso en que las tres esoalas del espacio son rectilíneas y paralelas, MM. A. Adler y R. Mehxnke han imaginado un artificio que permite realizar materialmente tal nomograma, generalización de los Ni del núm. 71. (Véase O., 4 , núm. 130).

í! Soreau, 1, pág. 320, y 2, pág. 22.

884 N O M O G R A FÍA

estón en un mismo plano se expresa por una ecuación do la forma

K 0 0,

f, K 0 9,

f, 0 h3 9,

f. 0 9t

habiendo escogido las notaciones aquí empleadas de tal modo que haya identidad entre el desarrollo de esta ecuación y la ecuación (1 ) del núm. 81.

Abatamos ahora, como se hace en geometría descriptiva, el plano O xx sobre el plano Oxy . Las rectas (xi , %<¡) y (*8> ~\) uo dejarán de cortarse sobre Oa?, y, despuós del abatimiento, las coordenadas de los cuatro puntos estarán dadas por

ix í) x — y = ——■9i 9i

Para que ninguna de las escalas ( ) esté en el infinito, os preciso que ninguna de las #,• sea nula, a lo que se puede siempre llegar por adiciones de columnas. Por ejemplo, la ecuación (!') del núm. 81 puede escribirse:

f, — 1 0 0

f, K 0 1

f» 0 — 1 0

0 K 1

o, reemplazando la última columna por la suma de las tres últimas

Haciendo entonces coincidir las rectas y — 0 e y ~ 1 respectivamente con los ejes A « y B u d e la figura 126, se vuelve a encontrar un nomograma del mismo tipo.

Para tener una doble alineación paralóla, basta suponer los planos P y P ' paralelos (por ejemplo, t = 0 y z = l) y proyectar sobre el plano Ox y . Se pone la ecuación dada bajo la forma apropiada transformando el determinante (1 ) anterior en

t, — 1 " - 1

/, K <>/. o - 1 - 1

/, o ht l+ hio que da:

y — i?ha(^2)

(* 3) =—/*> y - t ,h 4

( l ' í

f, •</, 0 K

A y, 0 *.

/ 3 9, K K

ti «, K K20

obtenido reemplazando la 2.* columna por la 4.a y la 4.a por la suma de las 2.“ y 3.*. Por ejemplo, el determinante (2) da mediante esta transformación:

(2" )

t, O 0 - 1 |

U <> K |

/, o - i - i ,

/, i K K !

o,

de donde se deduce exactamente el grupo de fórmulas(B) del núm. 81. Sea aun la ecuación 1 muy frecuente en la práctica

,.j. <f 1 +»» <P« + 4

que puedo escribirse:

¡9, O 1 |

— r> 1

<P„ « . 1 1(3')

1 1

= 0.

Según lo que precede se la representará por doble alineación paralela construyendo las escalas

( ¡c=?t, yI x — — cps, i/

1 Somalí, 1, n ú m . 110.

PU N T O S A LIN E A D O S 387

815. Representación de las ecuaciones de cuatro variables de 4 .° orden nomogràfico, por doble alineación.— Si las cuatro escalas do un nomograma de doble alineación son rectilíneas, so dice también qne es dei género 0 y se le representa por N„.

Si es así, las tre3 funciones fi, gi, h¡, correspondientes a cada variable son linealmente dependientes, es decir, pueden expresarse linealmonto por medio de una sola f {. Si después de haber hecho osta sustitución en la ecuación (1 ) del número anterior, se la desarrolla, se ve que se obtiene una ecuación de la forma

(i) a /; f, f, ft + ft /, tk h s c # /, fj

-J-S D , /¿ + "E — 0,

o sea, según la terminología del núm. 63, una ecuación de 4 variables de l . cr orden nomogràfico con relación a cada una de ellas, o de 4.° orden nomogràfico total.

Se puede proponer, inversamente, dada una ecuación del tipo (I), encontrar la condición a que ha de satisfacer para que sea representa ble por un nomograma N0. Esto problema .es semejante al que hemos resuelto para la ecuación de 3.er orden nomogràfico (núm. 68). Ha sido acometido por primera vez por 31. Soreau i , quien ha observado inmediatamente que la ecuación (1 ) puede siempre ponerse bajo la forma 2 (sin los términos que contienen los triples productos)

11 ') + x Y<j Vi %•+ ^ Vi + s = o.

1 Soreau, 1, núm . 112. y 2, pág. 18.* Basta, pura esto, si A no es nulo, p o n er f t — cp*-----

Si A es n u lo , reducirem os este caso al an te rio r reem plazando una o v arias funciones fi p o r su inversa.

388 NOMOGRAFÍA

Hecho esto, M. Soreau ha demostrado que, para poder agrupar las variables de esta ecuación en una ecuación de la forma

í* i-i = Fsi,es preciso que

A _ Vi» _ Yu8* Y a* Y 24 ’

ySa _ Y i*__ Y 'J:>®l ~ YK Ym

M. Clark ha observado a su vez que estas condiciones,llamadas de agrupamionto, se reducen a tres, a saber:

ñ3 _ > tY>a “ Y» Ya» ~ Y *4 ’

y, representando e) valor común de estas relaciones por p, ha encontrado, además, que

? = » — ■ Y u Y a t .

haciendo observar que las condiciones así completadas son, no sólo necesarias sino suficientes, pues os fácil ver que la ecuación (1 ) toma entonces la forma

? ( f t <P*+Yiu) (9 í S> i+Yia)

•+•(*! + 9s + p) (*a *4 + 9) =0,


y> y»i __ _ y.i4~ - j~ p

' S i f i + í a í z + p p(9s<P4+Yií

Escrita así la ecuación, basta representar por <p el va

lor común de sus dos miembros y representar simultáneamente las dos ecuaciones

(3 ) 8 1 ? i <P + 5 » 9 « <Pí + P<? — T--U — O

(4) p9<fs¥4-{-6s93-f-8i!?í + ?ris?4-P— 0,

dándoles una escala (<p) común quo constituirá la charnela, lo cual es siempro lícito cuando la representación es posiblo, puesto que en un N0 se puedo siempro disponer arbitrariamente de una de las tres escalas.

Ahora, los discriminantes de las ecuaciones (3) y (4) quo son ambas de 3.or orden nomogràfico, son respectivamente:

i —

A ~ (p -j- 4 6 » £ < Y i*.1 P "•

Si ninguno de los dos es negativo, podremos representar cada una de las ecuaciones (3) y (4) por un N0 (número 68), lo que nos da, aparte de la charnela, cuatro escalas rectilíneas para (z.t), (z2), (z3), (a*).

Pero, además sabemos quo en todos los cásos podemos representar cada una de las ecuaciones (S) y (4) por un nomograma cónico NC (núm. 78), que tenga una escala rectilínea (<f) arbitrariamente escogida. Tomando esta escala (9) la misma para los dos nomogramas parciales, obtonemos así, en todos los casos, cuando las condiciones de agrupamiento

tz .\ 81 __ 8s ío Ba 3j(°) -V- —YlíY,M'Y13 Ym Yík (24

se cumplen, la representación de la ecuación (1 ') por un nomograma de doble alineación, de chamela rectilínea D (base de la escala ficticia de v), en el cual las escalas (z1) y (Za) tienen por base común una cónica C, y las escalas (zg) y (z4) otra cónica C (fig. 135).

390 NOM OGRAFÍA

87. Nomogramas NC de base única de dobie alineación.—En lugar do hacer coincidir las escalas ficticias (9) de los nomogramas NC que representan lus ecuaciones (3) y (4) del número anterior, se pueden superponer, de un lado, las bases de sus escalas cónicas, de otro, las bases de sus escalas (<p) sin que coiucidan las graduaciones de estas escalas.

Sean C la baso cónica y D la base rectilínea comunes. Sería preciso, en el caso general, marcar por un lado y otro de esta recta D la oscala l» correspondiente a cada nomograma parcial. Cortando la alineación tomada entre

Fig. 185.

los puntos y (x2) a la primera escala (<p) en un punto que tieno una cierta cota, se tomaría, sobre la segunda escala (9), el punto de igual cota para unirlo por una alineación al punto (x3); esta alineación cortaría a la cónica C en el punto (*4) de cota buscada.

Pero la obligación de hacer intervenir el valor de <p para pasar de un punto a otro de D haría esto sistema de representación bastante poco práctico. Lo sei-ía, por el contrario, si las dos escalas coincidiesen en D; en cuyo caso, concurriendo sobre esta recta las dos alineaciones (xif x 2) y (a¡3, *.t), volvemos al tipo de nomograma de doble alineación. En esto, en suma, se convierte el tipo

PUW TOS a l i n e a d o s 89 1

obtenido al final del número precedente cuando hay posibilidad do superponer las cónicas C y C'.

Ahora, la consideración de los valores críticos, tal como han intervenido en la teoría de los nomogramas NC aplicables a las ecuaciones de 3.cr orden, va a suministrarnos inmediatamente las condiciones requeridas para que esto ocurra, JSn efecto, para que las dos escalas (9) coincidan, basta que tengan dos puntos acotados comunes (núni 4ü, Observación I), por ejemplo, los puntos i y J en que la recta D corta a la cónica C. Ahora, las cotas, sobre cada una «le estas escalas, relativas a los puntos I y .T, son los valores críticos correspondientes (núm. 78), dados, según la ecuación (0/) del núm. 69, respectivamente por

3i Í í Os-1- po — ya» = 0,y

p3 Via ps o — 8a 3., —=0.

Habrá, pues, identidad entre las dos escalas (<p) si estas dos ecuaciones son idénticas, os decir si

_*1 ;?2___1 TmP3 Y i* P 3.1

OJí¡ _ *__

Yu _ Tm _ P’

condiciones que vienen a añadirse, completándolas, a las condiciones de agrupamiento (p) expresadas en el número anterior, y que M. Soreau * había obtenido por un procedimiento puramente algóbrico.

Obtenido esto nomograma N‘¿ de base cónica única, se puede siempre, por una transformación homográílca, 11o-

1 Soreau, 2 , p á g . 2 5 .

092 NOM OGRAFÍA

var la recta D al infinito haciendo coincidir sus puntosI y J con los umbílicos del plano.

En estas condiciones;, la cónica C se convierto en un círculo y las alineaciones x.¿) y (ss , *4) so hacen paralólas. Volvemos a encontrarnos, así, con el tipo do nomograma circular de doble alineación paralela de M. So- reau (núm. 8J).

88. Nomogramas NC de doble alineación para ecuaciones de cuatro variables, de orden nomogràfico superior al 4 .°—Cuando haya que representar una ecuación de cuatro variablos de orden nomogràfico superior al 4.°, se procurará hacerla aparecer como el resultado de la eliminación de una variable auxiliar entro dos ecuaciones tales como Jas que se han considerado al principio del núm. 81. Con frecuencia, la manoru de conseguirlo, en la práctica, es referirla al tipo canónico (!') del mismo número, que es' del 0.° orden nomogràfico.

Se podrá hacer, sin embargo, que habiéndola puesto bajo la forma

F„ — F w, se reconozca que las ecuaciones

Fia = ?, y r M= í ,

sin ser ambas representabas por N1; lo sean por NC, es decir, que uo siendo reductible simultáneamente a la forma canónica (1) del ndm. 71, lo sean a la forma canónica (1) del núm. 79, que escribiremos (para poner en evidencia la manera como tp debe entrar en ella)

'í fi ft (<p -f- A) g* + h 1 = ü, ? fu 1< + C'f ■+■ A) fft ■+■ iu = O.

Construyendo entonces los nomogramas de estas dos ecuaciones con la misma escala cónica (<p), sobre la base C de la cual so encontrarán también las escalas (*4) y («2), siendo cualesquiera las escalas (za) y (s4), se tendrá un nomograma N2 en el cual la charnela será la cónica C.

.Se ve que la forma canónica de la ecuación correspondiente es

/l ff 8 ~t" h ¿ _ f8 04 ~t~ h 4A U g-¡ /a A + íh

Ejemplo.—Sea la ecuación

ld+ d* _ V t&+V2 d ^ 4(1“-s, ’

que da a conocer la velocidad de la corriente V {en metros por segundo) en un canal de sección trapezoidal contalud de en función do la anchura del fondo b (en metros), de la altura d de la superficie del agua (en metros) y de la pendiente longitudinal s.

Estará comprendida dentro del tipo que so desea tomando:

/, = _ A - /, — V á, ff. = V 2 0, * . = «**,V 2 ’

f„ = 40 ~ s\ A — X, — O, =

de donde resulta que la escala V es rectilínea.El nomograma construido por M. ‘VVolff con un círculo

como base cónica común a (b), a (s) y a (<c) (charnela) está representado en la figura 136. ,

CAPÍTULO V

REPRESENTACIÓN NO.MOUKÍFICA

FOR MEDIO DI- TONTOS ACOTADOS DIVERSAMENTE ASOCIADOS

Y Dffi ELKMKXTOS ACOTADOS MÓVILES. TEORÍA. RESERA I,

A. — Diversos modos de asociación de los puntos acotados.

89. Nomogramas de índice cualquiera.—Los nomogramas que acabamos do estudiar pueden considerarse como conteniendo: i.° una parte fija constituida por las diversas escalas; 2 .° una parte móvil representada por el índico rectilíneo que sirve para la lectura, el cual so puede suponer siempre trazado sobre un plano móvil transparente que resbala sobre ol primero.

Esta simple observación conduce a la idea de asociar los puntos de las escalas fijas de distinto modo que por alineación, trazando sobre un transparente un índice cualquiora, ya no rectilíneo, después de hacer las escalas mismas móviles las unas con relación a las otras 1, de

1 El empleo de sistemas acotados móvilos completamente generales está propuesto en Maswu, 1, imm. 186.

modo f[uo se puedan fijar en posiciones variables en el momento de hacer la lectura.

Nosotros vamos a considerar primeramente el empleo de transparentes de índico cualquiera, a los que M. Gccd- seels ha consagrado un estudio especial *.

Observemos primeramente que la simple alineación nos ha permitido representar relaciones entre tres variables porque dos comlicionos bastan para fijar la posición de una recta sobre un plano. La única curva (supuesta, bien entendido, invariable do forma y pudiendo resbalar sobro el planoj que participa do esta propiedad de la recta es ol círculo; esto consiste en que, así como una recta situada sobre el plano puede, sin cambiar de posición, resbalar sobre sí misma, dol mismo modo, situado el círculo puede, sin cambiar de posición, girar sobre sí mismo.

De aquí resulta, para ciertas ecuaciones de tres variables, un sistema de representación por puntos concícli- cos, análogo al de puntos alineados. Desgraciadamente el tipo de ecuación correspondiente (aun cuando se le simplifica por hipótesis particulares relativas a la disposición de las tres escalas) es complicada 2 y no conduce a ninguna aplicación práctica.

Una observación hay que hacer: los diferentes modos de asociación, en número indefinido (aunque, como veremos más adelante (§ C) pudiendo agruparse en un nú

3 9 6 N O M O G R A FÍA

1 G/edseels. Se pueden ref'orir tam bién a este concepto loa nom ogram as de índ ice poligonal deform able deM . F iir- le (FU ríe).

“ O ., 4, p á g . 2 8 6 .

mero finito de clases] que se pueden imaginar entre líneas o puntos para constituir sistemas de representación de ecuaciones, están muy lejos do tener todos el mismo interés cuando se les considera desde el punto de vista de las aplicacionos reales: no hay para qué dotenerse ni profundizar en su estudio, más que cuando el tipo de la ecuación correspondiente es de los quo se presentan en la práctica. Desde este punto de vista, ningún otro método podría compararse al do puntos alineados, expuesto eu el capítulo precedente

Cuando, pues, el índice trazado sobre el transparente uo se compone de una sola recta o do un solo círculo, son necesarias tres condiciones para fijar su posición sobre el plano; o lo que es lo mismo, se puede, para fijar esta posición, sujetarle a pasar por tres puntos acotados tomados respectivamente sobre las escalas (ü2), ( z s ) .

Situado así el índice, encuentra a una cuarta escala (2 ,¡) en un punto cuya cota está ligada u las tres precedentes por una relación que constituye entonces la ecuación representada.

Se puede, además, reemplazando las escalas simples por redes de puntos (nútn. 65), duplicar el número de variables.

Por el contrario, se puede obtener la representación de ciertos tipos de ecuaciones do tres variables suponiendo, bien una de las escalas reducida a un punto fijo, bien dos de ellas idénticas, ya, en fin, tomando cotas constantemente iguales sobre dos de estas escalas, lo que equivale a hacer corresponder dos escalas distintas a una misma variable; este último procedimiento puede admitirse en ciertos casos especiales, .sin que sea recomendable de un

M0D08 DIVERSOS DE REPRESENTACIÓN 397

39 3 NOMOGRAFÍA

modo general; d o podría admitirse si la variable correspondiente se hubiese de tomar por incógnita, porquo la lectura dol nomograma d o podría hacerse entonces más que por tanteo *; sería preciso, en efecto, moviendo el índice de modo que se le haga pasar por los puntos dados sobre dos de las escalas, buscar la posición en la cual vendría a cortar a las otras dos escuadras en puntos de igual cota.

90. Nomogramas de escuadra.—El índice más sencillo que se puedo imaginar, cuando 110 está reducido a una sola recta, es el compuesto de dos rectas, particularmente formando ángulo recto, de donde el nombre de nomograma de escuadra 2 que se aplica al nomograma correspondiente.

El tipo canónico correspondiente es bien fácil de for

4 Así es como en ol Abaco do la desviación del compás do M. Lallemand (O., 4, núm. 132) quo so aplica a una collación do cuatro variables, 8, £, L, i, intervienen dos sistemas acotados distintos para cada una délas tres últimas, lo mismo quo el nomograma de paralelas móviles de M. Beghin, para la ecuación representada anteriormente (núm 53, figura 8?) por roctas y círculos entrecruzados, y más adolan- te (núm. 91) por un nomograma de escuadra, contiene dos escalas para la variable 7 (O., 4, núm. 98)i Pero tampoco, en estos <ios ejemplos, han sido tomadas nnnoa como incógnitas las variables C, L, l, de un lado, o, del otro.

2 Gcrdseels, pág. 41 y O., 4, núms. 95 y 96. El perfilóme- tro Siégler (Anuales des Ponts et Chancéen, l.«1' sein. 1881, página 98) puede conBidt-rarse como nn nomograma de escuadra.

mar. Si, en efecto, suponemos dos de las escalas definidas por

fi ’h(Xi) * —— , — , (t — 1 ,2),ffi Oí

y las otras dos por

k- f,(5;) .< '= ------- — , r/™*- i O '=*84)»

la perpendicular de las dos alineaciones (z1} 2 2)y {?3, 2 ), so expresa por

a ) (/; k -- 0 , 7í, - a* K) <f, K - f\ V “ a

que es lo mismo que la ecuación (1) del uúm. 81.lis que, en efecto, la elección de las coordenadas para

el sistema (&■) equivale a una rotación de -g- en el sentido directo si se hubiesen construido primeramente los sistemas (Zj) con las mismas fórmulas que el sistema (z¡). Por consiguiente, las alineaciones paralelas en el caso del número 81 (pág. 364) resultan aquí perpendiculares, si se hace liso de coordonadas rectangulares.

De esta manera es como M. Sorean 1 ha referido los

MODOS DIVERSOS DE REPRESENTACIÓN 399

1 Soreau, 1, uúm. 100. N osotros hacemos observar por

nuestra cuenta que la ro tación do -jr- no es do ningún modo

necesaria. Se puede hacer g ira r un. ángulo cualquiera, que deberán form ar tam bién e n tre sí loe ejes del transparen te .


nomogramas de escuadra a los nomogramas do doble alineación paralela i, haciendo observar además quo éstos, cuando se utiliza un transparente, exigen el trazado de todo un haz de paralelas, mientras que, para aquéllos, bastan sólo dos rectas formando ángulo recto i .

Esta identidad de teoría de las dos ospecies de nomogramas muestra que la ecuación canónica para los nomogramas de escuadra podrá tomar también la forma de un determinante de 4.° orden tal como (1') del número 85» Únicamente, como aquí se han hecho girar los dos últimos sistemas un ángulo recto, es preciso, para éstos, permutar las x e y con un cambio de signo-, dicho de otro modo, si para los dos primeros sistemas se ha tomado x en la primera columna, y en la segunda, para los dos últimos, se tomará x en la tercera columna cambiada de signo e y en la primera.

Es, además, de importancia observar que si las x y las y se toman con módulos diferontes para el conjunto (ti) y (z2), estos módulos (si es necesario, multiplicados por un cierto cooficiento de proporcionalidad) deben cambiarse entre las x y las y cuando se pasa al conjunto (¿e) y (%)•

En particular, las ecuaciones comprendidas en el tipo

1 Es necesario o b se rv a r que d esd e el pun to de v is ta g rá fico se o b tien e m ay o r precisión con p ara le las q u e con perpend icu lares; por e s ta razón, es por la cual, noso tros, d esd eol pun to de v ie ta práotico , m acho tiem po an tes de q u e e s ta teo ría ex istiese , hab íam os p rop u esto p a ra ol perfilóm etro S iég le r la transfo rm ación in v e rsa de ésta. (Ann. des JPontS et Chausnées, l.«r sum. 1883, pág. 402).

(3) del ntim. 85 (pág. 386), o sea

(2) tp 1 ~ 4~ ' f -g ___ & 3 ~ f~ ff -»

41»H~ 4'ü '}■* + <)•<

podrán considerarse como expresando la perpendicularidad de las alineaciones (xit z<¡) y (z3, x4) definidas por

como era, por otra parte, evidente // priori.Para aplicar este tipo de nomograma a una ecuación

de tres variables, basta sustituir una de las cuatro variables precedentes por una constante, lo que reduce la escala correspondiente a un punto fijo por el cual debe pasar constantemente uno de los lados de la escuadra. El nomograma correspondiente puede entonces llamarse de escuadra de punto fijo.

En particular, para que la anterior ecuación (2) dó un nomograma de esta clase, basta suponer en ella

Ejemplo I .—Para calcular la carga máxima P {en toneladas por metro cuadrado) que puede aplicarse a un terreno para una profundidad H de cimentación (en metros), si d es el peso (en toneladas) del. metro cúbico de

(*i)(*s){*«)(*4>

cr-----c¡>s, v ^ — a,uX — — '4<», ¡/ "f 3,

® — K y — —<?■>>

26

tierra y <p el ángulo de rozamiento del terreno, Kankine ha dado la fórmula

P HVZ H A +-Sen' ? ,(1 — son <pr

que está dentro del tipo (2 ) anterior cuando se pone

P d


H A*) 1

El nomograma de escuadra quo la traduce está representado por la figura 137 i, en que la posición de la escuadra marcada por trazos correspondo al ejemplo H — 5m, d = 2 T <p = 30°, para el cual se tiene P = 50 r por metro cuadrado.

Ejemplo I I .— Sea ahora, como ejemplo de nomograma de escuadra de punto fijo, la fórmula que da a conocer la velocidad V (en metros por segundo) de salida del agua por un orificio rectangular* cuyos dos lados horizontales están a las distancias y h ¡ (en metros) del nivel, a saber:


0.338V-

El determinante generador del nomograma correspon-

1 Soreau, 1, p á g . 3 5 8 .

MODOS DIVERSOS DE REPRESENTACIÓN

diente [(3') del núm. 85] es:408

0,338 V 0 0 .1O — 1 0 1

hi~ hi 1 1*hi » k* t 1

= 0.

A fin do obtener una curvatura más acentuada de la escala (h), M. Soreau lo ha transformado en

1,352 V 0 0 11 — 1 0 1

4 hC* — hi hi 1 1

4 h ¡ ~ — Ir. /»* 1 1

-- 0,

lo que da las escalas

(V)(/¿O y (fa)

y el punto fijo

* = 3,352 V, 2/ = 0,Jt

x — h, y — Jt — 4 h

(P) x ■■= 1, y = — l .

Adoptando para x e y en la figura formada por las (^i) y ( a)> y por consiguiente, para y y x en la figura formada por (V) y por el puDto P, los módulos 18 ^ y 100 ¿i, M. Soreau ha obtenido el nomograma de la figura 138, en el cual, para = 12, h^ — 8, se loo V = l,4 .



91. Nomogramas de escuadra por el vértice.—Para aplicar el tipo de nomogramas de escuadra a ecuaciones

F ig . 137.

con tres variables solamente, se puede también suponer dos de las tres escalas reducidas a una sola, en cuyo caso debiendo pasar cada uno de los lados de la escuadra por

MODOS DIVERSOS DE REPRESENTACIÓN -405

el punto tomado sobre esta escala, este punto debe coin-

O d.í O.s 0.3 O.* 0.5 0.7 0.3 i 1.J 1,2 1,3 í , \ 1.5 l,« 1,7 L6 1.9 2 2.1 S .t

- »TFig. 138.

cidir con el vértice de la escuadra, de donde procede el nombre aquí adoptado 1.

•A este tipo pertenece el perfil ¿metro Siégler citado más arriba (nota 2 de la pág. 398).

406 NOM OGRAFÍA

M. Soreau ha hecho notar i que tal nomograma podía sor reducido a Los nomogramas de escuadra en general de la manera siguiente:

Supongamos que, haciendo idénticas las variables zt y so observa que las escalas (a ) 7 (*4) construidas se

paradamente, son semejantes. Se podrá primeramente, amplificando en la razón de semejanza quo se desee el conjunto de las escalas (z3) y (z¿), hacer (z4) idéntica a ( í)? y después, por una traslación (siempre permitida, puesto que cada par de escalas no intervienen más que para determinar direcciones de alineación, las cuales permanecen inalterables por una traslación) llevar la nueva escala (*4) a coincidir con (x. ). El nomograma comprende

entonces (fig. 139) una escala (z.j) en la cual debe estar siempre situado el vórtice de la escuadra, y dos escalas (z2) y (z3) por cuyos puntos deben pasar respectivamente los dos lados deia escuadra.

En particular, si nos referimos Kg. 139. al tipo (2) del núin. 90, que es el

más frecuente en la práctica, se ve que se verificará la condición si se tiene simplemente

=a<?i + &, y — <?t = ay 1 + 0,

siendo a, b, c constantes.

Observación.—Conviene observar que, cuando la incógnita es la variable que corresponde al vértice (como

* Soreau, 2, pág. -18.

M ODOS D IV ER SO S D E R E P R E S E N T A C IÓ N 4 0 7

ocurre en el ejemplo siguiente), la lectura no deja de ser un poeo delicada. Es necesario, en efecto, haciendo pasar los dos lados de la escuadra por los puntos dados, llevar su vértice a situarse sobre la escala correspondiente. Una observación análoga puede hacerse respecto de tedo sistema de representación aplicable a n — 1 variables, derivado de un sistema aplicable a n variables por coincidencia de dos escalas primeramente distintas.

Ejemplo.—Volviendo a la ecuación, dada en el cálculo de muros de sostenimiento,

que habíamos representado por sistemas de rectas y de círculos concurrentes (pág. 229, Ejemplo), M. Soreau 1, después de haber observado que podía escribirse:

la ha traducido en un nomograma de escuadra por el vértice haciendo, en la forma (2) del nútn. 90;

k*(l + tgs <f) + P ( k t g v ----1-) = 0 ,

•V

1 3 1>¿ <p----í-1_ —3 (I -j- !?) 1k

11 = 0, — 1

1 Soreau, 2 , p á g . 4 9 .

408 NOMOGRAFÍA

lo que da las 3 escalas

Iíc = O, ( x = —, ( x = 3 ( í tg* v>\! P (<P)

v = -j¿’ ( y = o , < «/ —stjifv-

El nomograma correspondiente es el de la figura 140. Ofrece de ínteres que la ecuación así representada no es reducible al tipo de puntos alineados, y que se encuentra sin embargo reducida al solo empleo de puntos acotados sin que intervenga más de una escala por variable i .

La posición de la escuadra marcada con trazos corresponde al ejemplo 23 = 0,75, ^ = 30° para el cual se tiene A = 0,3.

No hay necesidad de decir que en los nomogramas de escuadra como en todos los que no se fundan más que en el empleo de puntos acotados, se pueden reemplazar las escalas sencillas por redes de puntos acotados (núm. 65), según la observación general hecha j'a en el núm. 89. M. Soreau ha dado tambión un ejemplo interesante de ello 2.

1 M. Boghin había heoho v e r que la eouaoión podía re p resen tarse por doble alineación paraló la a condición de hacer co rresponder dos escalas d is tin tas a la sola variablo <f (O-, 4, pág. 244). A unque menos elegante que el descrito más arriba, esto nomograma (no ten iendo que tom ar nunca la variab le <p por incógnita) es p rácticam ente más ventajoso, por ser de una lec tu ra más precisa, pues la operación que consiste, en el nom ogram a de M. Soreau, en llevar el vórtice de la oscuadra sobre la escala (k) m ien tras que sus dos lados pasan por puntos dados sobre las escalas (p) y (<p) es un poco delicada.

* Soreau, 2, pág. 59.

MODOS DIVERSOS I>E REPRESENTACIÓN 409

92. Nomogramas de puntos equidistantes.—Se pue

de generalizar el principio de la doble alineación para lela (ntíra. 81) bajo la forma de las paralelas móviles

V é aS e l a p á g . 365.

4 1 0 N O M O G R A FÍA

trazando sobre el transparente, en lugar de rectas paralelas, círculos concéntricos. Conviene, sin embargo, observar que en este caso, el círculo, llamado prim itivo, q ue se hace pasar por los dos primeros puntos y (2 .4) debe ser un círculo determinado del sistema (que se distinguirá por un signo especial). Una vez que_se ba hecho pasar este círculo por los puntos queridos, uno de los círculos concéntricos pasa por el punto (x2), 7 ©1 punto (xa) que se encuentra sobre este mismo círculo da a conocer el valor de la incógnita.

Tomado en toda su generalidad, el procedimiento, cuando se suponen las escalas simples, se aplica a ecuaciones de cuatro variables. Se reduce al caso de tres variables suponiendo dos de las escalas (z,) y («4) coincidentes y reduciendo el círculo primitivo a un punto.

El nomograma comprendo entonces (fig. 141) tres escalas (*i), (*2), («3) que están ligadas entre sí del siguiente mo- s do: el círculo de centro (z*) que pasa por el punto (z 2)pasa también por el punto (zB).

Por lo tanto, en lugar del transparente de círculos concéntricos de que acabamos de

hablar, se puede utilizar un compás para la lectura del nomograma; puesta una de las puntas del compás en el punto de cota z x> la otra en z 2, se hace girar el compás alrededor de la punta hasta que la otra punta caiga sobre la escala z3; la cota del punto así marcado es el número que se busca.

«5

{*>)lo t(*.)

!\Fifi. 141.

MODOS D IV ER SO S D E REPR E SEN T A C IÓ N 411

Por referir los puntos (*2) y (*a) a (*■)) es por lo que el autor de esta nueva clase de nomogramas, M. N. Gerce- vanoff l, les ha dado el nombre de nomogramas de •puntos equidistantes.

A fin de recordar el papel especial que desempeña en este género de relación el punto se le puede llamar el punto central, y a la escala x.t , la escala central.

Es muy fácil formar el tipo de ecuación correspondiente.

Si, en efecto, la escala (x() (para i = 1, 2, 3) está, definida por

x ^ f {, y =

basta, .suponiendo los ejes rectangulares y los módulos relativos a Ox y O y iguales, escribir la igualdad de las distancias de los puntos (x2) y (*3) al punto {**) para tener

<ft - Q- + (s, ~ a,y = (/; - f? + <0, -o(I) f\ + 9 \ - f \ - a \ - K ( f , ~ O ~ 29,0o, - = 0,

la cual, según observación de M. Gercevanoff, puede ponerse bajo la forma

(!')

f . - f . 0

9.+0* 1 2 9% 1

■9, + g,

f* + f,

2/,

— o,

1 Gercevanoff, § 10.

412 NOMOGRAFÍA

y comprende como caso particular ciertas ecuaciones ya representabas en puntos alineados con dos de las escalas rectilíneas. En efecto, si se hace

/, = 0, ¡7,-0,

la ecuación (1) so reduce a

9-t'-o\+* u- .oy basta poner

1 x» / 'i a' x.i

para que pueda escribirse:

(2) s>il('* + 'psX» + lfs :=;!0,

que está exactamente comprendida en el tipo (1) del número 71 (nomograma Ni). Si además /s = l, se reduce a

(3) <fi + ¥a + 'Ps = 0,

tipo (1) del núm. 66 (nomograma N'0)-Se obtiene también una ecuación de este último tipo

con la hipótesis gt = g 2=^g3=:0, pues la ecuación (1) se reduce entonces a

(3') ( /,— /,)(/,- K — 2/.]=o,

ecuación que, fuera del factor parásito, es de la forma (3) anterior.

La hipótesis hecha para obtener el tipo (2) muestra que las escalas (¿J y (z2) están dispuestas sobre Ox y 0 y, respectivamente, siendo cualquiera la escala (*8). Esta última resulta a su vez rectilínea y paralela a 0 y cuando se añado la hipótesis que ha conducido al tipo (3).

Siendo, para el tipo (3'), llevadas las tres escalas a lo largo de O y (lo que no puede realizarse prácticamente más que cuando dos, por lo menos, de ellas son idénticas) además de que la traducción geométrica de la ecuación representada es entonces evidente, se explica la presencia del factor parásito por el hecho de que el círculo de centro (¡tj) corta a la base común en dos puntos, en cada uno do los cuales dos cotas «2 y 2 3 están confundirlas. Las cotas que se asocian para la resolución de la ecuación son las que se refieren a dos puntos distintos.

Ejemplo.—Sea la ecuación de 2.“ grado en que el término constante se supone negativo

zB -j-pz — </ = o.

Pertenece al tipo (2) anterior cuando so toma

■ h = . i p , z* — <i, z» = z ,con

Vi^=p, '-fa — <1, 'P3 = í¡2, ----i,

do donde se deduce

MODOS DIVERSOS D E R EPRESEN TACIÓ N 413

t, - i»,. 0,=<>it,= o, í5 “li

« II .1

414 NOMOGRAFÍA

El valor encontrado para i;2 muestra por qué se debe suponer negativo el término constante i.

Las escalas obtenidas están definidas por

(p) X= p S, y = Q descaía central),

(?) x=- 0, ? /= V í,(*)

<sTiII y = o .

La escala central (p) y la escala (%) so reducen a escalas métricas llevadas sobre O a;, a partir de O, una en un sentido, la otra en el otro, siendo la cota de la segunda, en valor absoluto, mitad de la do la primora en el mismo punto.

En cuanto a la escala (q) es muy fácil de trasladar con el compás sobre Oy. Basta observar que para ¡t— se deduce de la ecuación dada > = 1— q. Luego, tomando como punto central el punto de cota 1— q de la escala (p ), basta tomar el punto de cota (q) de la escala (*) con la segunda punta del compás y llevarlo sobre Oy para tener el punto de igual cota de la escala (q). Así es como M. Gercovanoff ha construido el nomograma que reproduce la figura 3.42, en que el círculo marcado de trazos corresponden a la ecuación

+ 3,2* — 5 = 0,cuyas raíces son:

¿' = 1,15 y z"-- — 4,35.

1 Existen restricciones de este género siem pre que se recurre a un sistema de representación ouadrático, y esta es una de las principales razones de la superioridad de los sistemas de representación puram ente proyecbivos. Sin embargo, la representación cuadrática perm itirá a veces (y esto es lo que aquí ocurre) sustitu ir escalas rectilíneas, fáciles do graduar, a ciertas escalas curvilíneas.

M O D O S D IV E R SO S DE R E PR E SE N T A C IÓ N 415

93. Puntos equidistantes en el caso de ser todas las escalas rectilíneas.— Podemos proponernos investigar la forma más general de la ecuación representable

103

r 'y

/ti \

t e . * . f t . 7 - 6 - 5 . j J» i (p> \» > 1 * > 4 U 6 7 3 ^ 10

* * J * r °(z) ' '* 3 ' k *■5Y i g . 14 2 .

por un nomograma de puntos equidistantes que no contiene más que escalas rectilíneas, semejantes a las de ciertas funciones ?i, 9», <fo- Basta, para esto, que

ti — a t 9< + , g¡ = c ^ i + f í , - ( t = l , 2 , 8).

So ve entonces que la ecuación (1) toma la forma

(4) — A, <p’+ ? ,( » ,¥ , + !?„ <*>,)+ O.íp.+ C.sp,•+■ C s v , -f- D = 0,

donde A2 y Aa, necesariamente de igual signo, pueden siempre considerarse positivos.

Los ocho coeficientes de la ecuación (4) se expresan en función do los doce coeficientes a (t bit c i% d¡. se ve que, cuando los primeros son conocidos, se dispone de cuatro condiciones arbitrarias para la determinación do los segundos. No se podrá, sin embargo, escoger, en el caso genoral, estas condiciones reglamentarias de modo que re

416 NOM OGRAFÍA

sulten sujeciones particulares para las escalas. Por ejemplo, no se podrá, en general, hacer, e2-=tf2= c 3==^3>==0, porque las bases de las escalas (xa) y (*3) serían entonces coincidentes, lo que exige una relación particular entre los coeficientes de la ecuación dada.

La paridad de signo de A2 y A3 introduce una sujeción que se puede evitar, cuando uno de los coeficientes .B2 o Ba es nulo, gracias a un artificio indicado por M. Gercevanoff *.

Supongamos, pues, A3 negativo, poniendo As = —A'3, y además, B3 = 0. La ecuación se escribirá entonces:

< + K 9, + B. 9, *. + O, * t + O, V, + C, v, + D - O.

Definamos la función 4>s por la relación

K * l + c3 V, = — «3 ^ - H r A + k ,

siendo arbitrarios los coeficientes del segundo miembro (lo que permitirá disponer de ellos de modo que permanezca real en el campo considerado) y a , > 0 .

La ecuación resulta entonces:

— «,+' + -B9<pi<pj + C 1<pl -h C,9a+ Y3+8- f D + * = 0.

Queda así comprendida dentro del tipo (4) *.

B.— Elementos acotados móviles.

94. Escalas móviles en general.—Tomamos aquí el término escala en su sentido más general, el de sistema

1 Gercevanoff, pág. 29.1 P a ra más detalle?, véase Gercevanoff, § 10 a 14.

do elementos geométricos cualesquiera, líneas o puntos, afectados de una o varias cotas.

Supongamos esta escala mareada sobro un plano II’ que resbala libremente sobre el plano H, ambos planos provistos de los sistemas do ejes rectangulares Ox y O y de una parte, O'x' y O' y ’ do otra.

Para fijar la posición del plano IL' con relación al plano n , es preciso conocer las coordenadas x 0, i/0, del origen O' con relación a los ejes Ox y Oy y el ángulo que O'x' forma con Ox, ángulo cuyo coseno designaremos por e. En estas condiciones, las coordenadas x o y del punto y') del plano H' son, sobre el plano II,

x = *«+<> x — Vi — 6“ ?/,

V - ¡/“+ V 1 — Wx' + tiy\

de donde se deduce que, siendo arbitrarios x 0, y0 y o, los movimientos de n ' sobre TI tionon 3 grados de libertad.

Si x 0, //o, o son funciones conocidas de ciertas variables, la posición de la escala móvil dependerá de estas nuevas variables, las cuales, por consiguiente, figurarán a su vez en la ecuación representada. De aquí, el medio do extender el número de variables quo ésta encierra.

Pero, así como hemos tenido ocasión de notar en el número 89 que ios diferentes modos de enlazar puntos acotados, establecidos por medio de índices móviles no corresponden a tipos de ecuación interesantes desde el punto de vista práctico, más que para ciertas formas simples de estos índices, de igual modo la introducción de los sistemas acotados móviles de que acabamos do hablar no se utilizará más quo on algunos casos sencillos.

47

M ODOS DIVERSOS DE REPRESENTACIÓN 417

418 NOAlOGKAVÍA

Entre los movimientos del plano n ' con un solo grado do libertad, los cuales, evidentemente, se ofrecen en primer lugar, los más importantes son los que se reducen a una traslación paralela a uno de los ejes, Ox u O y (escalas de deslizamiento) o a una rotación alrededor del origen O (escalas giratorias). Entre los que gozan de dos grados de libertad, el más importante es el que se reduce a una traslación cualquiera en el plano Ox y , permaneciendo los ejes 0 '.r' y O' y ' paralelos a Ox y O y (escalas de orientación fija, o, más sencillamente, escalas orientadas).

»Sí, desde el punto do vista de las aplicaciones reales, apenas hay que contar más que con estos casos, es, por el contrario, interesante considerar, sobre un nomograma, 110 uno sólo, sino varios sistemas hechos móviles, de modo que se introduzcan nuevas variables por medio de cada uno de ellos.

95. Escalas de deslizamiento. Reglas de cálculo.—Consideremos la escala de la función f 2 llevada a lo largo del eje O'x' del plano móvil que hacemos resbalar a lo largo del eje Ox del plano fijo que contiene la escala /i- Cuando el origen O' del plano móvil se halle en un cierto punto de cota de la escala f2) se ve que el punto de cota x t de la escala ocupará, sobre Ox, la posición correspondiente a

* - / , + /,•

Si, pues, un nomograma contiene a lo largo de uuo de sus ejes una escala simple tal como la de / j , se ve que,

MODOS D IV ER SO S DE REPRESENTACIÓN 419

por la introducción de una escala de deslizamiento se le puede sustituir una escala binaria de ía forma

f. + f,-

¡Si, por ejemplo, se efectúa esta sustitución para una de las dos escalas reunidas por medio de las cuales so puede representar (uúm. 46, Observación II) toda ecuación entre dos variables puesta bajo la forma

se obtiene la representación de la ecuación

/, + /j = h >

por un nomograma de escala de deslizamiento, el cual, realizado materialmente do cierto modo (estando las dos

10 ( Z\) U1 9 •> ( 2 0 2

Mí

10

Fiff. 143.

escalas fx y fs sobre los bordes de una regla provista de una corredera en la cual se desliza una reglilla que lleva la escala f¿) no es más que uua regla de cálculo del tipo general (fig. 143), correspondiendo la regla de cálculo ordinaria al caso en que las tres escalas funcionales f t,

420 N O M O G R A FÍA

fiy fa s°n idénticas a una misma escala logarítmica, en cuyo caso la ecuación representada

log Z | + l0g¿* — log2:t,equivale a

z , z.j = z*.

No insistimos aquí sobre las reglas do cálculo que son objeto de multitud de tratados especiales 1.

Nos limitaremos a hacer observar de unu parte que yuxtaponiendo un cierto número de regidlas de deslizamiento para las escalas /¡¡, f3, . . . /» _ , entre las escalas fijas A y f», se obtiene la representación de ecuaciones do la forma

/ , '+ / , + • •

y de otra parte, que sustituyendo a las escalas sencillas escalas binarias, se duplica el número de variables bajo i a forma

11-¿ I * * * íi fí—i) (7h—2) i)aM*

M. Vaes ha construido reglas de este último tipo, especialmente para la fórmula de tracción de las locomotoras 2.

Todavía se podría tomar uno cualquiera de los tipos de nomogramas precedentemente estudiados, y hacer sufrir en él una traslación a las diversas escalas, paralelamente a uno u otro de los ejes cartesianos a los cuales se les supone referidos.

1 V éase O., 7, págs. 116 y 118.1 ()., 4, pág. 063.

M 0D08 DIVERBOS DE REPRESENTACIÓN 421

90. Escalas giratorias.—Si, estando en coincidencia los orígenes O y O', se hace girar O’x ' alrededor do O, las coordenadas del punto dado sobre esto eje por

Si además esta escala no sirve más que para acotar un haz de paralelas a O y, no hay que considerar más que el valor de x. Si luego se hace de manera que eos<a=f^, función de la variable x 2, se ve que la escala giratoria equivaldrá a la escala binaria do la función de dos variables constituida por el producto f t f2.

Por lo demás, para referir la posición de la escala gi

ratoria correspondiente a cada valor de x 2, bastará inscribir este valor de z<¡_ al lado del punto donde termina., sobre un círculo C de centro O, la posición de la base correspondiente al ángulo o> tal que cosoo — f2 (fig. 144). Este punto se encuentra, como se ve, sobre la paralela

se convierten, llamando u> el ángulo xO x', en

x-- eos w, ¡/— sen (o.

fc'ig. 1 « .

422 NOMOGRAFÍA

a O y trazada por el punto de cota sobre la escala do la función f¡ llevada sobre Oír, a partir de 0_, con uu módulo igual al radio del círculo C. Se ve muy claro, además, que este artiGcio sólo podrá aplicarse, mientras la función /s¡ permanezca inferior en valor absoluto a 1.

Combinando esta rotación con una traslación paralela a O x, definida por x — <$.„ se tendrá:

* ^ l - v

Para evitar el tener que añadir efectivamente una tras, lación a una rotación, M. Lallemand ha propuesto el ingenioso artificio siguiente:

Sobre el plano II', que lleva la oséala giratoria, tracemos, por cada punto de esta escala como centro, un círculo de radio <?, evaluado con el módulo de Ore. Se ve que una vez situada la escala por medio de la (x2), la línea de correspondencia (paralela a 0 y) tangente a este círculo, del lado indicado por el signo de cp, {en la práctica, no hay duda nunca) tendrá por abscisa Bastará colocar una debajo de otra dos escalas giratorias que tengan su centro cada una sobro O y para obtener un nuevo sistema de representación aplicable a las ecuaciones de la forma

+ =

a condición de que los círculos i y sean tangentes a una misma línea de correspondencia.

Se puede además combinar escalas giratorias con escalas de deslizamiento.

Si, por ejemplo, las dos escalas giratorias provistas de círculos, que acaban de establecerse para x t y *2 de una parte, x 9 y í 4 de otra, se sitúan independientemente una de otra, y se hace resbalar a lo largo ríe Oír una escala definida por = se ve que si, habiendo llevado el origen de esta escala sobre la línea do correspondencia tangente al círculo <f>,, se comprueba que la línea do correspondencia tangente al círculo -?i corta a la escala de deslizamiento eu el punto de cota * r>) se tendrá:

A A + v —1 f* f*+ v ’

M. Lallemand es quien ha imaginado este tipo especial de nomograma con objeto de una aplicación particular t .

Observación. —Acabamos de hacer ver cómo, por medio de las escalas giratorias, se pueden introducir nuevas variables en un tipo cualquiera do nomograma. Se las puede utilizar también, muy sencillamente, para hacer más precisa la lectura do ciertos nomogramas, así como el transparente exagonal do M. Lallemand (núm. 59) ha permitido hacer más precisa la lectura de los ábacos cartesianos de tres haces de rectas paralelas. Se puede, por ejemplo, en los ábacos polares (pág. 225) reemplazar a la vez los círculos que tienen el origen O por centro y las rectas que parten de esto origen por una escala (zt), girando alrededor del punto O, cuya posición puede quedar fijada mediante una graduación (z2) situada c d un círculo de centro O (fig. 145).

Guando la base de la escala giratoria pasa por el punto de cota z2 del círculo do referencia el punto de cota z x de esta escala cae sobro la línea de cota z3\ lo cual,

M ODOS D IV E K 8 0 S D E R E P R E S E N T A C IÓ N 4 2 3

1 O .) 4, n ú m . 1 3 7 .

<124 NOM OGRAFÍA

como se ve, se presta muy bien a ¡a determinación de «na u otra de las variables tomada como incógnita.

í>7. Escalas orientadas.—Consideremos ahora un plano II' do orientación fija que resbala sobre el plano H conteniendo uu sistema acotado cualquiera. Llevando cada uno de los dos planos, como hemos dicho (aiim. 94), un sistema do ejes rectangulares, y siendo ostos sistemas paralelos los de un plano con respecto a los del otro, la posición del plano II' podrá definirse mediante escalas ix i) y (*2) llevadas sobre 0¿c y O y, por los puntos por los cuales deban pasar respectivamente los ejes O 'y ' y O'.c'. En estas condiciones, las coordenadas del origen O' con relación a los ejes O.c y O y, a saber:

(, ’ V„— f71

deberán añadirse a las y' de todo puuto del plano i r para tener las coordenadas x ,y de este punto sobre el plano H 1.

1 E n lugar de hacer pasar el eje O'«/' por los puntos do la escala de la función f¡ llevada sobro Ox, viene a ser lo mismo hacer pasar el «ye Qy por los puntos de la escala de la función — fi llevada sobro O V .

Supongamos, por ejemplo, que el plano H contiene las líneas definidas por una ecuación tal como:

P (a \ y,z, ) = 0,

y el plauo II' la escala puntual definida por:

x'—ffz, y'=ks.

Si se fija la posición del plano II' con relación a n por medio de las escalas (2 .,) y (¿2) como acaba de decirse, se ve que so tendrá una representación 1 de la ecuación:

l*’ (A -f~ s*, + z.\) — o.

Por lo demás, nada obliga, para fijar la posición del plano U' con relación al plano n, a servirse de ios ejes O'x' y O 'y ' como líneas de referencia; dos líneas cnales- quiera trazadas sobre este plano II' podrán servir para lo mismo, especialmente dos rectas D* y D2 que partan del punto O' y cuyas ecuaciones reforidas a O'.r' y O'?/ serán

y — m í x y —nh v.

De igual modo, las escalas (2 ) y (zs), cuyos puntos deberán estar colocados respectivamente bajo las rectas Di y D2j podráu estar sobre otras líneas distintas a Ox y O?/; supongámoslas ambas sobre O ij. Entonces, observando que las coordenadas del punto O con respecto a

M OD O S D IV E R SO S D E R E PR E SE N T A C IÓ N 425

1 Nom ogram as de este género ha-n sido em pleados por el capitiiu B a ta iile r.

426 NOMOGRAFÍA

()'■>•' y 0 'y ' son —x 0 y - y 0¡ se ve que se expresará que las rectas D4 y JD2 pasan por los puntos acotados y «2 respectivamente-sobre Oj/ poniendo

— 7/ o + /■ = — m i a ? i i ,

■~ V> + h = — "i*

ecuaciones que determinan .<-0 e y0 en función de xx y x2. Vamos a dar un ejemplo de ello.

08. Nomogramas de imágenes logarítmicas.— Sillamamos, como anteriormente (ndm. 22), con M. Mehm* ko, imagen logarítmica del polinomio 1

a la curva obtenida tomando respectivamente por abscisa y por ordenada

.»•■ = l<><5 ij'= \oku,

vemos que esta imagen logarítmica trazada sobre el plano n ’ tendrá por ecuación:

iuv' = iom‘*'+ íO'"*.

La ecuación de esta misma imagen referida al plano H será

1 ( | V — V " ~ j , y » i ( * — * , ) a i )

1 Para conocer más extensamente ol método de las im á genes logarítm icas de M . Mehmke, véase O.. 4, cap. X . sección I I R.


O| ((i/ _ jq «>i *+1)« — >»i -r: »i¿ *o _

Ahora, segiin las ecuaciones escritas más arriba (en la hipótesis en que las rectas D., y D2 de referencia partiendo de O' tienen por coeficientes angulares m x y m y suponiendo que las escalas f i y f% se reducen a una sola y misma escala logarítmica sobre la cua!, en los puntos de intersección con D* y D2) se lee respectivamente a4 y a¡2, se tiene:

2/ , i — tu i .v» -■ l o g a , , í / 0 — M -t.rt — loga* ,

y, por consiguiente, observando que

se tiene, para la ecuación de la imagen logarítmica, referida a O a: y 0 y:

10l/ — «i lo ”“ ' + «310“**.

Dicho de otro modo: la imagen logarítmica del binomio traxada sobre el plano JT, cuando tos rectas de referencia y D2 pasa?i respectivamente por los puntos de cotas a4 y a 2 sobre la escala logarítmica que lleva O y, representa sobre el plano n la imagen logarítmica del binomio a.,zW i-)-a2zm2.

Hó aquí, pues, el medio de engendrar, por una traslación cualquiera del plano n ' (cuya posición está fijada sobre el plano H por lus rectas de reforencia Dt y D2 en unión de dos puntos de la escala logarítmica de O y), el sistema doblemente infinito de las imágenes logarítmicas de los binomios ai x."“-¡-a2z ”*‘ donde a y ct2 pueden tomar valores positivos cualesquiera. Observemos, en efec

4 2 8 NOMOGRAFÍA

to, que no permitiendo una escala logarítmica representar más que números positivos, es preciso, si se quiere poder atribuir a los coeficientes ax y a2 valores negativos, considerar sobre n ' las imágenes logarítmicas de

— 2«ii o de z™*—zmx.Si se han situado así sobre el plano n , por medio de

dos transparentes distintos n ’ y IT", las imágenes logarítmicas de los binomios «1a*',*-j-0 2*'"-> y a3x m -\-a^x”'*, se ve que los valores de z que corresponden a los puntos de encuentro de estas imágenes (valores que se leerán sobre la escala logarítmica de 0 « siguiendo la línea de correspondencia que pasa por cada uno de estos puntos) son tales que

«.t z m ‘ + «„ z ” "1 : a t z'"-: + a i z nu ,

de donde se deduce el medio de obtener las raíces positivas de las ecuaciones de esta forma (considerando tantas imágenes logarítmicas distintas como lo exijan las diversas combinaciones de signos que se prevean); decimos positivas por la misma razón que anteriormente (imposibilidad de figurar números negativos en una escala logarítmica); las raíces negativas pueden, por otra parte, obtenerse en valor absoluto como raíces positivas de la transformada en —z.

No se puede tampoco tomar uno de los coeficientes, «4 por ejemplo, igual a O, puesto que el punto que se debe tomar sobre la escala logarítmica de O y estaría entonces en el infinito; pero, en este caso, es muy fácil representar aparte la imagen logarítmica del término

o soa10’-'= «3 iom:'

oy=m*ír + \ogan

recta de coeficiente angular m 3 trazada por el punto de cota «3 sobre la escala logarítmica de Oí/.

MODOS DIVERSOS DE REPRESENT ACIÓN 429

La figura 140 muestra la resolución por este procedimiento de la ecuación

s» = 2, \.z-\- 9,

por medio de la imagen logarítmica del binomio x ~\-1 y de la recta y = Zx designada en la figura por la letra I) i, que dan * = ’2,4.

99. Objeto del estudio morfológico de los nomogramas.—Al ver cómo, a medida que se avanza en el estudio de la nomografía, se multiplican los tipos particulares

1 Para otros valores del exponento de) prim er miembro se tendrían otras rectas D partiendo del origen, que hemos Suprimido para hacer la figura m is piara, p$ro que ae encontrarán en O., 4, ' J71).

D'

F)g. 148.

C.—Teoría general.Estudio morfológico de los nomogramas.

130 N O M O G RA FÍA

de nomograma, se ocurro considerarlos desde el solo puu- to do vista de su estructura, independientemente de la naturaleza geométrica especial de las líneas>que en 61 intervienen y de la forma correspondiente de las ecuaciones representadas, aunque es claro, por otra parte, que cuando se trata de las aplicaciones, es, por ei contrario, esta doble consideración la que importa más.

De cualquier modo, nosotros nos proponemos estudiar aquí el esquema de la estructura de los diversos tipos de nomograma para obtener una clasificación general de ellos capaz de comprender, no sólo todos los que son conocidos y utilizados actualmente», sino tambión todos los que pueden llegar a ser propuestos on lo sucesivo.

Las nociones en que vamos a fundar aquí esta teoría son las mismas que nos han servido a este efecto desde el origen 1; pero el sistema de clasificación en que vamos a detenernos es el que hemos propuesto en segundo lugar 2 y que no tiene en cuenta más que la distribución sobre ol nomograma de los elementos no acotados o constantes y do los elementos acotados independientemente del número de variables que a ellos se refieren.

Para el caso en que el nomograma, constituido únicamente por concurso de líneas, no contiene ningún elemento, constante o acotado, móvil, ya hemos visto que su tipo más general es el representado esquemáticamente (en el caso de doce variables) por la figura 92 (pág. 244). Se puedo, en un nudo cualquiera de tal ramificación, considerar uno S de los tres sistemas que en 61 concurren como comprendidos en la red R de puntos, constituido por los otros dos; las líneas del sistema S están entonces afectadas dejo cotas y los puntos de la red R de n — p cotas, siendo n el número de las variables que intervienen. Se puede (por ejemplo, en la figura 92) considerar

* O., 4f cap. V I, sets I.2 O., 5. núra. 12.

los puutos C como formando una red de dos cotas (>11) y mientras que las líneas BC dependen de otras diez

variables, do a z i0, por el intermedió de una serie de haces condensados que forman im sistema ramificado. So puede, puos, decir, que todo nomograma realizable sin elemento móvil (por consiguiente, sobre un solo plano) para tina ecuación de n 'variables, está constituido por un sistema de líneas de p cotas pasando por los puntos de una red de n—p cotas.

Además, la observación quo acaba de hacerse a propósito de la figura 92 muestra que, sin que influya en la generalidad, so puede siempre suponer p ~ n — 2.

Si interviene un elemento móvil (cualquiera quo sea la manera de estar realizado materialmente), se puedo siempre, para un estudio teórico, suponerle perteneciendo a uti plano que resbala sobre el primero. Si intervienen varios elementos móviles, se los puede también referir a otros tantos planos superpuestos unos a los otros. Por ejemplo, eu el caso de la doble alineación, se puedo considerar las dos alineaciones tomadas sucesivamente como realizadas por medio de rectas trazadas sobre dos planos independientes superpuestos uno al otro, sirviendo uuo do ellos para tomar la primera alineación y el otro la segunda. Yeanios ahora cómo so puede fijar geométricamente la posición de estos planos superpuestos unos con relación a los otros.

100. Determinación gráfica de la posición relativa de dos pianos superpuestos. Noción de los contactos simultáneos.—Acabamos do recordar (uúrn. 94) que el movimiento relativo de dos planos superpuestos tiene tres grados de libertad. Son necesarias, pues, tres condiciones simples para fijar su posición relativa. A fin de dar, on todos los casos, una forma puramente gráfica a estas condiciones, debemos primeramente ampliar la noción ordinaria del contacto de líneas planas, tangentes entre sí, haciendo que comprenda el caso para una cierta línea de

MODOS DIVERSOS D E ItE i'JIES EN TA C lÓ N 431

432 NOM OGRAFÍA

pasar por un cierto punto. Por ejemplo, si tres líneas son concurrentes, diremos que una de ellas está en contadlo con el punto do intersección de las otras dos; si dos rectas son paralelas, diremos que una de ellas está en contacto con el punto del infinito de la otra.

Entendido asi el contacto en este sentido amplio, expresaremos que se verifica eutre dos elementos geométricos E y E' (líneas o puntos) por medio de la notación

E m K\

Observemos inmediatamente qx\e la coincidencia de dos puntos P y P ' equivale a un doble contacto (el de uno de ellos con dos líneas cualesquiera que pasen por el otro); la expresaremos, por consiguiente, por

P ~ P \

De igual modo, la coincidencia de dos rectas ü y D',o de dos círculos C y C' de igual radio, equivalente a un doble contacto (el de una do estas líneas con dos puntos cualesquiera situados sobre la otra), se expresará por

D S D ' o 0 = 0'.

Ahora, al considerar los diversos tipos de nomograma precedentemente estudiados, se reconoce que todos se resuelven en la comprobación de ciertos contactos; así es, por ejemplo, cómo, sobre un nomograma de puntos a lineados, hay contacto del índice rectilíneo con tres puntos acotados, sobre un nomograma de escuadra, contacto de uno de los dos índices que constituyen la escuadra con dos puntos acotados, y del otro con otros dos puntos acotados, etc. Además, por poco que en ello se reflexione, nos convenceremos de que la única relación precisa de posición de la que se puede juzgar a simple vista se limita


al contacto entre elementos representados sobre un planoo sobre planos distintos superpuestos, y esto es lo que admitiremos a título de postulado.

En estas condiciones, es claro que el medio de lijar gráficamente la posición relativa de dos planos n y H' superpuestos, que contiene tres grados de libertad, consistirá en establecer el contacto entre tres elamentos E*, E „ E 3 de uno con tres elementos E t, E[, del otro. Esta determinación de posición se expresará, pues, por

e ;, e . ~ e ;.

(Jna vez inmovilizados así los planos, uno con relación al otro, se puede entonces comprobar el contacto entre otros dos elementos tomados respectivamente sobre uno y sobre otro;

La simultaneidad de estos cuatro contactos es lo que constituye la esencia de toda representación nomográfíea que puede reducirse a los movimientos relativos de dos planos aplicados uno sobre otro.

Si se hacen intervenir otros planos móviles, cada uno de ellos podrá ser fijado de igual modo con relación al conjunto de los que le preceden por medio de tres contactos. La determinación de la posición relativa de n planos superpuestos exigirá así 3 (n — 1) contactos; después de lo cual, se podrá comprobar un coutacto entre elementos tomados sobre dos cualesquiera de entre ellos; habrá, pues, simultaneidad de 3n — 2 contactos.

Antes de hacer ver cómo esta noción de los contactos simultáneos comprende todas las representaciones nomo- gráficas consideradas bajo la relación de su estructura, debemos señalar aquí una particularidad muy importante que se presenta en cierto número de ellos, y que es la siguiente:

2S

4 3 4 NOM OGRAFÍA

Puede hacorso quo los movimientos con uu solo grado de libertad, compatibles con los contactos (1) y (2), dejen subsistir el contacto (4) cualquiera que sea el contacto (3). En estas condiciones, podemos limitarnos a comprobar la simultaneidad de los contactos (1), (2) y (4), dejando indeterminado el contacto (¡i).

Esto se verifica cuando los contactos (1), (2) y (4) son compatibles o con una misma traslación o con una misma rotación; dicho de otro modo, cuando los elementos tomados sobre uno de los planos, que intervienen en estos coutactos, sean, por ejemplo, E ,, E ,, E „ son o rectas paralelas (a las cuales reservaremos en adelante la notación a ’), o bien círculos concéntricos (r' de centro común O').

Los planos n y l í ' estarán pues (aparte de una traslación paralela a A', o de una rotación alrededor de O') determinados uno con relación al otro por los contactos

JE 1—1rA . jE 1-'A»i i ’ » i '

(empleando esta notación para el tercer contacto como arbitrario), y uo se tiene más que comprobar el contacto

e , ~ a ; « e w .

Será, por otra parte, más uatural afectar del Indice 3 al último Contacto comprobado atribuyendo el índice 4 alcoutacto arbitrario. Se tendrá así, para simbolizar los contactos observados en semejante caso:

Apenas so necesitará hacer observar que estos dos casos comprenden aquóllos en que las tres roctas A,; &'tvienen a coincidir en una sola A' (puntos alineados) o los tres círculos l’t> r,. 1'3 en uno solo TV (puntos concíclicos).

101. Formación del tipo de nomograma más general.—Basta suponer que cada uno de los elementos que intervienen en los contactos simultáneos precedentes depende de un cierto número de variables que sirven para acotarlo, para tener un tipo de nomograma aplicable a una ecuación que encierre el conjunto de todas estas variables.

Si, en efecto, representamos por el conjunto de todas las cotas correspondientes a E< _ vemos que estandool elemento referido al plano II por medio de las fórmulas de transformación del núm. 94, el contacto entre E< y E t- se expresará por una ecuación, tal como

MODOS D IV ER SO S DE R EPR E SEN T A C IÓ N 435

Si consideramos, pues, primeramente el caso de dos planos Ií y II', tenemos que, expresándose cada uno de los cuatro contactos que se han de observar simultáneamente entre elementos tomados sobre uno y otro por una ecuación de esta forma, la eliminación de x 0, y 0 y 0 entre estas cuatro ecuaciones nos darán una ecuación tal como

en la cual entrarán todas las variables correspondientes a cada uno de los diversos contactos, y el conjunto de los cuales constituirá precisamente una representación nomogràfica.

Los casos en que uno de los contactos puede dejarse indeterminado, como se ha visto en el número proceden-

436 NOMOGRAFÍA

te, corresponden analíticamente al caso en que la eliminación de dos de los parámetros x 0, y n y o, entre tres de las ecuaciones que expresan los contactos, lleva consigo la eliminación del tercero.

Más generalmente, permitiendo la superposición de los planos, como acabamos de decir, comprobar 3n — 2 contactos simultáneos, y exigiendo la posición de cada uno de n — 1 de ellos con relación al último, 3 parámetros, la eliminación de estos 3n— 3 parámetros entre las S n — 2 ecuaciones de los contactos suministrará la ecuación representada por la simultaneidad de éstos, ecuación que contendrá, todas las variables que entran en los diversos conjuntos que corresponden a cada uno de los 6 « —4 elementos que intervienen dos a dos en ios 3n — 2 contactos.

Tal es el esquema que se puede dar de la estructura del nomograma más general.

Para escoger un ejemplo en el que se presenten las diversas particularidades indicadas en la exposición precedente, tomaremos el nomograma de dos escalas giratorias y una escala de deslizamiento de M. Lallemand, encontrado en el núm. 96.

Sobre el plano fijo n tenemos que considerar de una parte los puntos O* y 0 3 alrededor de los cuales giran las escalas giratorias, de otra las escalas (z2) y (* 4) que sirven para referir la posición de las bases O, x y 03 x de las dos precedentes; llamaremos, en fin, y^ el punto del infinito del eje O y de este plano n.

En cuanto a las escalas giratorias, las consideraremos como trazadas sobre planos II' y II '', sujetos a tener cada uno un punto, 0, y O,, en coincidencia uno con O*, el otro con 0 3. Designaremos, además, por («1)' y (x3)" los círculos trazados como hemos dicho sobre los planos ir y i r .

En fin, sobre el plano IT" de la escala de deslizamiento, no tendremos que considerar más que el sistema de las rectas paralelas a O " 'y '” y formando por con

M ODOS D IV E R SO S D E R E PR E SE N T A C IÓ N 487

siguiente ccu este eje un sistema A'", que deja en libertad do mover, si se quiere, el plano I I '" en el sentido deO '" y " ' .

La notación do este tipo de nomograma será:

I ° . = °[ > ~ °x ») o , a o ; , (*4) ~ o > " ,

f 0v " -(*,)'"•

Observación I .—Una vez establecidos los contactos que fijan uno con relación al otro los planos H y II ', uno de los elementos que intervienen en el último contacto, E *, por ejemplo, puede pertenecer a un sistoma del plano i r cuyas cotas no estén inscritas en este plano, sino que resulten del contacto de los elementos E, con los puntos de una escala (*) marejada sobre el plano n . Se podría decir que, en este caso, las cotas del sistema de los elementos E. son momentáneas. De todos modos, expresa-tremos que los elementos E , deben tomarso con las cotas x de los puntos con los cuales están momentáneamente on contacto, por la notación

Ib ;*].

Así, para los nomogramas de paralelas móviles (página 365) siendo A0 la que se ha hecho pasar primeramente por los puntos y y A' la que une entonces los puntos (x3) y {%/,), la notación será:

( z j ' - ' K i Í V ~ [A'*,], * - » •

Para los nomogramas de puntos equidistantes (núme-

4S8 NOM O G RA FÍA

ro 92), si 0 ' es ol centro de los círculos concéntricos on coincidencia con el punto (*!), r ' el de los círculos que uno los puntos (*2) J (*3), la notación será igualmente:

0*,) « O', (*s) ~ [r'z\ , > - >

Observación / / . —Hemos visto ejemplos 1 en los que, para hacer la lectura del nomograma, se hace tomar a un mismo elemento móvil, sucesivamente, diferentes posiciones. Para referir un nomograma de esta clase al tipo general, es preciso considerar estas diversas posiciones como resultando do la superposición sobro el plano fijo do otros tantos planos móviles distintos. Limitándonos simplemente al caso de la doble alineación con charnela a distancia finita, sobre la cual representaremos por P ol centro en que se reúnen las dos alineaciones A’ y A” (consideradas como formando cuerpo con los planos distintos IT y IT), la notación será:

i ■'* j >— A P ■—> A » 1—»,| x- r a » ,

12 ) —■ A (z ) 1—■ A P ■—1 A » —1 ».' 3 » 4 1 1

102. Clasificación de los nomogramas de un plano o de dos planos superpuestos. - Examinando los diversos tipos de nomogramas propuestos hasta aquí, se reconoce que lo que los distingue unos de otros, desde el punto do vista morfológico, es la distribución entre los elementos que intervienen en los contactos simultáneos sobre que se basan, de los quo están provistos de cotas y de los que no lo están.

A fin de darnos cuenta de las diferentes maneras de

* Vé:uisr> especialm ente las pá^s. 250 y i\lG.

poder hacerse esta distribución, designaremos cada elemento acotado por el conjunto Z¿ de ias cotas que a 61 se refieren, conviniendo en tomar = 0 para los elementos no provistos de cota o const-cmies.

Siendo arbitraria la numeración de los contactos, observaremos primeramente que reduciéndose dos distribuciones una a la otra por cambio mutuo de las notaciones que corresponden a cada dos contactos, no forman en realidad más que una sola. Análogamente, tampoco so tendrá más que una permutando simultáneamente los dos elementos de cada uno de los contactos, lo que equivale simplemente a llamar n al plano que primeramente se había llamado 11' y recíprocamente.

Observemos inmediatamente que si tres contactos se verifican entre elementos constantes, los planos H y U', inmovilizados uno con relación al otro, no forman más que uno solo, lo cual, para referir los nomogramas de un solo plano a los que siguen, nos permitirá notarlos:

(20) Z t - Z , , ü~0, 0-0, 0-0.

Después de ésto, y designando cada tipo canónico por el número (en grandes caracteres) de los elementos acotados distintos que en 61 intervienen, afectado de un índice de orden, podemos formar el siguiente cuadro completo de estos tipos para el caso de dos planos superpuestos 1.


1 Las letras puestas al fiual de algunas do las líneas do oste cuadro s© refieren a las explicaciones dadas en la Observación anterior, así oomo ¡ti núni. 103.

440 NOMOGRAFÍA

(2. ) z , ~ o, Z - 0 ,* 7 0 - 0 , 0 - 0 (1, P)z f ~ o, 0 - Z ' , 0 - 0 , 0 - 0 (1, P)Z , — 0, z - o ’ 2 Z - 0 , & 7 0 - 0 (1 , P)z - z ' ,t v Z - 0,í 7 O h . 0, 0 - 0 ( 1 , C , M)

Z , - 0 , Z - o,I 7 0 - 7 / , 0 - 0 (1, P)(V Z , - 0, Z - 0,!í Z - 0,s 7 Z - 04 ( 4 ) z - / / ,I 1 Z - 0 , » 7 Z - 0, 0 - 0 U , M )

(4 ,> Z - 0, Z - 0 , * Z - 0 ,n 7 0 - 7 /4 (P)(4 . ) Z « Z ' ,k r Z - Z ' ,* a 0 H 0, 0 - 0 (1 , C )

Z - Z ' , i l Z - 0 ,2 7 ó - z ; , 0 - 0 ( l , M )

Z , - 0, Z - 0 ,2 0 - Z ' , 0 - z '4 (P)( 5 ) Z - Z ' , 1 l7 Z - 0 ,a Z - 0 , Z - 0 -t (M)( 5 . ) Z - Z ' ,1 i7 z , ~ z ; , Z 0,a 7 0 - 0 (1)

<5 .) Z - Z ' ,1 r Z ~ 0. Z k—< 0. 0 - 7 / '4 <M)

(6 , ) Z - Z ' ,1 r Z - 7 / , 1 » Z ~ 0,3 7 Z - 04(6 , ) Z - 7 / , l t z - z ' , z ~ / / ,H a7 0 M 0 (1)

<6 S> Z - Z ' 1 1 z - z \ir i Z, - 0 , 0 - Z '4(7 ) Z - Z \] i7

z - z \ 2 * Z - 7 / ,a r Z - 04( 8 ) Z - 7 ', i i Z - Z \X 3 Z - Z ' ,3 a* Z - 7/4 4

En la mayoría de loa casos, los elementos que intervienen en cada contacto son un punto y una línea 1.

Observación.— .Para que se pueda hacer uno de loa

1 E n tre todos los ejem plos que uos han servido en la p resen te exposición de la nom ografía, no hay más que uno (aquél en que in terv ienen las escalas g ira to rias provistas de círculos, cuya notación se ha dado eti el núm . 101) en el cual uo se verifique esto.

cuatro contactos indeterminado [tomando, sobre uno de los planos, como elementos que intervienen en los otros tres contactos, 4 oT (núm. 100)] es absolutamente necesario que este contacto no esté afectado de ninguna cota. Esta posibilidad no existirá, pues, más que para los tipos que contienen, al menos, un contacto 0 •— 0; 6stos son a los que se refiere la indicación (l) puesta entre paréntesis al final de la linea.

103. Nomogramas generales de puntos simplemente acotados.—Entre los tipos canónicos de nomograma que acabaj*pde formarse, busquemos aquéllos en los cuáles los únicos elementos acotados sean puntos do una cota. Para esto, suponiendo que cada una de las letras Z¿ no designa más que una cota en vez de un conjunto de cotas, observaremos que esta cota puede referirse a un punto en tres casos:

1.° Cuando en un contacto Z**— 0 el elemento constante es una linea.

2.° Cuando en un contacto Z Z'. los dos elementosi tson puntos de una cota sobre bases constantemente en coincidencia (lo que no es posible más que cuando estas bases son rectas o círculos de igual radio).

3.° Cuando, en virtud de la Observación I del número 101, el elemento Z¡ es una línea, tomada en un sistema del plano II ' y tomando momentáneamente la cota del punto en que encuentra a una escala trazada sobre n.

De aquí tres variedades de nomograma de puntos acotados que designaremos del siguiente modo *:

M OD O S D IV E R SO S D E R E P R E S E N T A C IÓ N 441

' L a le tra que s irve para designar a cada variedad ha sido in sc rita al extrem o de la linea del cuadro gen era l correspond ien te a cada tipo susceptib le de esta variedad . Cuando esta variedad es com patible con un contacto in d eterm inado, la le tra correspondien te está sub rayada al m ismo tiem po que la le tra I a que debe esta r asociada.

442 NOM OGRAFÍA

1.“ Variedad P.—Esta variedad se produce cuando cada uno de los cuatro contactos tiene lugar entre punto acotado y línea constante.

2.° Variedad C.—Esta variedad se produce cuando dos escalas, una sobre U, la otra sobre II', tienen constantemente la misma baso rectilínea o circular, siendo, por otra parte, esta comunidad de base, equivalente a un doble contacto (nám. 100) entre elementos constantes, lo que exige que la notación del tipo correspondiente contenga dos contactos 0 — 0.

3.“ Variedad M.—Esta variedad se produce cuando en un contacto entre elementos acotados, uno es un punto acotado, ol otro una línea de cota momentánea (considerada en el mismo plano que el primer punto) no conteniendo los otros contactos como elementos acotados más que puntos.

Sería fácil formal- ejemplos de todas estas variedades; lo esencial es darse cuenta de la manera cómo pueden engendrarse; no insistiremos inás en en ello, limitándonos a hacer ver a cuál de estas variedades so refieren los principales tipos de nomograma de puntos acotados encontrados en el curso de esta obra.

Nomograma de puntos alineados (nóra. G2).—Si A' designa el índice, la notación es:

( ) * » ■ A (Zt) •—1 A , (z-j) A \ » *“ * » ,

variedad Pl de (3*).Nomograma de escuadra y punto de referencia fijo

(núm. 90).—Si O'rf y O 'y ' designan los lados de la escuadra, P el punto fijo, se tiene:

(zi) — o v , (as)** o v , (z:i) —< o y , p — o y ,

variedad P de (3,).

¡Nomograma de escuadra por el vértice (núni. 5) i) .— ■Si se llama St la base de (jíj), se tiene:

(«O —i O 'x , (zt) m O x , (zs) ~ O 'y, S, — O'

tambión una variedad P de <3i).Se puede también notar tal nomograma:

(«i)=3 O', (zs)— O ’x', ( z ¿ ) ~ OV;

y aparece entonces como una variedad P de (4t) sobro la cual dos escalas so hubiesen hecho idénticas.

Regla de cálculo (nrtin. 95). Tomadas las graduaciones (¿J y (*2) sobre Oa-, (z ) sobre O 'x ', se tiene:

Q x ~ O ' x ( z i ) ~ O', (zs)-« l>»),

variedad C de (32).La variedad C de (42) con {«,) y (^2) llevadas sobre

(Z3) y (^4) sobre O ' x ' , y estos dos ejes en coincidencia dan tambión una regla de cálculo para cuatro variables.

Nomograma de puntos equidistantes (ntim. 92).—Llamando (zx) el trazo que marca el punto do cota z 1 sobre la base S t , y F ' uno cualquiera de los círculos de centro ()', se puede escribir:

(2,)>- O', S,>— O', (**)>-< Lr*»], » — »,

variedad MI de (32).Tal nomograma puede tambión notarse

(zt) ~ O', (>*)<-« [TV«], *—> »,

lo que le hace aparecer como una variedad MI de (42) sobro la cual dos escalas se hubiesen hecho idénticas.

M ODOS D IV E R SO S DE R E PR E SE N T A C IÓ N 4 4 3

444 NOMOGRAFIA

Nomograma de escuadra, (núm. 90).—Con las mismas notaciones que anteriormente se tiene:

(íi) o‘x\ o'x\ (z3) o y, (zt) *-■ oy,

variedad P de (44).Nomograma de paralelas móviles (núm. 83).—Siendo

A' una cualquiera de las paralelas a a'o, se tiene:

C e ¡ i ) ~ A ' o , ( 2 s ) — A 'o . — [ A ' 2 ,i1, * — i » ,

variedad MI de (4^.

F IN

Indice bibliográfico

(T¿as llam adas a oeto indioe eat&n indicada« en el euorpo de la obrA por e l nom bro del autor con letras cur»>lvftN).

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- Sobre la N o m o g r a f ía , Zeiisclir. für math. und Phys., 1907. [Esta Memoria, que se nos ha enviado en pruebas d u ran te la im presión de la p resente obra, contiene el estudio, por medio de un sistem a especial de coordenadas, de los nom ogram as do escuadra, o más en general, de dos índices formando un ángulo cualquiera (según la observación de la nota de la pág. 899)].

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ÍN D IC E B IB L IO G R Á F IC O 449

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M ehm ke (R.)

O.Oeagne (M. d ’.)

3. M em oria sobre la in tegración g rá fica do las ecuaciones de derivadas parciales, Idem, 1000.

4. Sobre la represen tación de las ecuaciones de cualqu ier grado, C. R. de l’Ac. des Sc., t CXLV, 1907. (La p resen te obra estaba ya com pletam ente term inada cuando apareció esta in te resan te nota, no pudiendo hacor aquí o tra oosa que recom endarla al lector).

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2. N eues V erfahren zur Bestim m ung d er reellen w urzeln zw eier num erischer a lgebra ischer gleiohungen m it zwei U nbekannten , ¿?e¿¿se/í. für Math., und Pkys., t. X X X V , 1800.

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3. Nomographie. Les calcula usuels ef- fectués uu moyen des ábaqiies, París, 1891; G authier-V illars, en 8.°

4. Traité de Nomographie, P a rís , 1899; G au th ier-V illars, en 8.“ (A l fronte de esta obra so encuen tra la lista de las publicaciones an terio res del au tor sobre el mismo asunto).

as

450

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6. Leçons sur la Topométrie comprenant des notions sommaires de Homographie, París, 1904; en 8.°

7. Le calcul simplifié par les procédés mécaniques et graphiques, 2.a ed. Paris, 1905; G-authier-Villars, en 8.°

8. Cours de géométrie descriptive et de géométrie infinitésimale, Paris, 1896; G authier-V illare, en 8°

9. Sobre la resolución nomográtíca do la ecuación de 7.” grado, G. i2. de l‘Ac. de Sc., 2.“ sem-, 1900 (pág. 522).

10. Sobro algunos principios elem entales de Nomograiía. Bull, des Sem â t t. XX IV , 1901.

11. Sobre los diversos modos de aplicación del método gráfico al arte del cálcalo, Compte rendu du Congrès du mathématiciens de 1900, París, 1902Í G au th ierV illars , en 8.°

12. Sobre algunos traba,)os reciente? relativos a la Nomografía, Bull, des Sc. math., t. X X V I, 1902.

13. Sobre las ecuaciones de 3.“ y 4.° o rden nomográfico, Bull, de la Soc. math, de France, t. XXXV, 1907. (Los priuoipalos resultados contenidos en esta M emoria han sido prim eram ente insertados en los C. R. de l'Ac. des Sc., tomo. CXLII, pág. 988 y to mo CXLIV, págs. 190, 895 y 1027).

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ÍNDICE BIBLIOGRAFICO

Ulkowskl

Van den Berg

( Veaso Laska). (Véase Berg).

INDICE ALFABÉTICO DE AUTO RES Y DE M A TERIA S

Abaco cartesiano, 212.— exagonal, 252.

Abdank-Abakanowlcz, 120. Abscisa media, 124. fldler (A.), 383.Alineación doblo, 861, 382,

390.— múltiple, 875.— simple, 263.

rtllard (E-), 202.Amplitud, J96.Anamorfosis, 219. Anamorfosis generalizada,

224.Anamorfosis por círculos,

227.Aproximaciones sucesivas.

191.ftrnoux (G.), 87.

B;ise, 51, 118, 133.Batailler (Capitán), 357, 360,

425.Beghln (M.), 329, 865, 398,

408.BellavHIs (G-), 93.

Berg (F.-J. van den), 60,Bertrand (Corouol), 289, 290.Blum, 251.Boülad (F.), 63, 81, 83, 205,

334.Brauer, 108.

Cambio de módulo,204.— de polo, 149.

Centro de curvatura de la integral, 121.

Centro de giro, 66, 70, 363.Centros de giro inaccesi

bles, 71.Centro de gravedad, 116,

157,161.Charnela, 363.Cisura, 202.Clark (J.), 270, 278r 321, 339,

841, 342, 350, 853, 354, 888.Clasificación de los nomo

gramas, 438.Coillgnon (E.), 155.Compás logarítmicoi 108.Composición de oséalas pa

ralelas, 290.

454 I n d i c e a l f a b é t i c o

Conciclicos (puntos), S9C. Condensadae (lineas), 240. Condensados (puntos), 279. Contactos sim ultáneos, 433. Contra-escala, 45. Coordenadas cartesianas, 21. Coordenadas o r to g o n a le s ,

22.Coordenadas paralelas, 83.

— p l ü o l c e r i a n a s ,27.

Coordenadas tangenciales generales, 28.

Coordinatógrafo, 266. Coplanarios (puntos), 382. Cota m om entánea, 437. Cotes, 127.Crem ona, 90,148.Crépin, 243.Culmann, 151.Curva de error, 133.

D ava lne (C+.), 217.Deny, 87.D erivada (curva), 119. D ilatación en intervalo, 172. D ireotriz de integración, 185 D ualidad, 26.Dum as (G.), 375.

Ecuaciones algébricas, 87.— de segundo g ra

do, 88, 319, 413. Ecuaciones de te rcer g ra

do, 91, 319, 325, 429. E c u a c io n e s diferenciales,

189.

Ecuaciones lineales, 61, 63.» ouadráticas, 230.

E lem ento constante, 430. E lim inación gráfica, 58. Escala binaria, 238, 256. Escala cartesiana, 200.

— circular, 278,842,344, 379.— cónica, 275.— cuadrática, 277.— curvilínea, 266, 274.— de deslizam iento, 418— derivad a, 206.— funcional, 200.— giratoria, 421.— homográfica, 209.— isograda, 201.— lineal, 209.— logarítm ica, 210.— m étrica, 43,195.— móvil, 416.— m últip le, 243-— norm al, 202.— orientada, 424.— parabólica, 201, 296.— proyeotiva, 206.—■ regular, 195.— transform ada, 206.

Escalas conjugadas, 205. Escalón, 196.Escalonado (sistema), 57, 75. Esfuerzos cortante??, 117. Esquem a gráfico, 55, 85.

— rad ian te , 81. E xtracción de raíces, 89.

F actor parásito , 274.

ÍN D IC E A L FA B É T IC O 455

Favé (L.), 217.F ig u ras recíprocas, 148. Fontené, 800, 353. .Fraccionam iento, 217, 254,

287.Funcionas componentes,265 Fiirle, 896.

Gauss, 106.G énero do un nomograma

de puntos alineados, 267. Gercevanoff (N ), 411, 414. Gcacfseels, 306, 398.Gorrieri, 320.Goursat (E-), 247.Gronwall, 268.Gunter, 202.

Haz proyoctante, 204.Hilbert (D.), 246, 324. H om ografía, 40.

Im agen logarítm ica, 105. In d ice , 250,395.Inflexiones (curva de), 187. In tégrafo , 120.In teg ra l (curva), 110.

— do zona, 141.— parabólica, 1C3.

In teg ran te (polígono), 164,178.

In terpolación gráfica, 99.— visual, 44,249

In tervalo , 49, 196.In te rva lo s variables, 79. Isoclinas (curvas), 184. Isopleto, 315.

Kcenlgs (G.)> 219.

Lalanne (!„.), 216, 217, 220, 222, 248.

Lallemand (Ch.), 250,252,256, 259, 398, 422, 423.

Lecornu, 222.Lconelll, 106.L eyes em píricas, 101,326,358 LUI, 87.L ím ite de e rro r, 136.L ínea de correspondencia,

49.L inea de referencia, 144. L inea elástica, 117. Logarítm ica de adición (cur

va), 107.Logaritm o in tegral, 136.

M ansión (P.), 127.M assau (J.), 64, 67, 77, 117,

129, 132, 136, 141,163, 184, 189, 222, 225, 226. 243, 355, 395.

M edia, 52.Mehm ke (R.), 105, 383, 426. Módulo, 43, 50, 196. M omentos de d iversos órde

nes, 113.M omentos de un arco, 157. M omentos ílectores, 117. Morel (P.), 375.

N om ogram a circular, 342.— cónico, 339.

po r oheurrones,378.

456 ÍN D IC E ALFABÉTICO

Nomograma de escalas paralelas, 369, 375.

Nomograma de e s c u a d ra , 398-

Nomograma do escuadra de punto lijo, 401.

Nomograma de escuadra por el vértice, 404.

Nomograma de imágenes logarítm icas, 426.

Nomograma de lineas concurrentes más g e n e ra ) , 245.

Nomograma, de puntos alineados de género 0 (No), 283, 202.

Nomograma de puntos alineados de l.®r género (Ni), 312.

Nomograma de puntos equidistantes, 411.

Nomograma más g e n e r a l , 3G9.

Nonius gráfico, 45.

Orden nomogràfico, 272.O rdenada media, 123, 12G,

170.Ortógono, 85.

Parábolas de cualquier g ra do n.., 90,175, 334.

Paralelas móviles, 305.Patrones de g r a d u a c i ó n ,

209.Pesci (GL), 225.Picard (E.), 191.

Poncelet, 137.Pouchei (L.), 214.Prévot (E.), 239, 256.Punto crítico, 306.

Ramificado (sistema), 243.Rateau (A.), 331, 332.Rectificación, 155.

— del c í r c n l o , ' 160.

Red, 241, 280.Regla de cáloulo, 419.Retrocesos (curva de los),

188.Rlccl (capitán), 357.Rleger (J.), 291.Rollet de l'lsle (M.), 217.Runge (C.), 191.

Sa Int-Robert (P. de), 221.Schilling (F.), 213.Segner (J. von), 93.Separación de variables,225,

269.Series recurrentes, 54.Slégler, 400, 405.Simpson, 136.Singularidades de las in te

grales, 18G.Sistem a de puntos, 37.Solución singular, 189.Soporte, 200.Soreau (R.), 231, 235, 267,

271, 332, 342, 344, 850, 352, 353, 357, 369, 878, 379, 382, 883, 386, 387, 391, 399, 402, 403, 406, -107, 408.

INDICE ALFABETICO 457

Suma de productos, 51. Superposición de las gra

duaciones, 218.

T a n g e n t e a l a in te g ra l, 117.

Terquem (O.), *213. Transformación por la abs

cisa, <02.

Transparente de dos o tres índices, 247, 251.

Tschirnhausen, 324.

Vaes (F.-J.), 420.Valor crítico, 308.

Wl ngate, 202.Wolff, 393.

INDICE DE MATERIAS

PAg>».

P b ó lo g o ..................................................................................... 1

I N T R O D U C C I Ó N

1 —C oordenadas ca rtesianas............................. ............... '212.—C oordenadas tangenciales- P rin c ip io d e d u a li

d a d 24S. — D iferen tes sistem as de coordenadas tan g en c ia

les ligadas a coordenadas ca rtes ian as ............... 284>—C oordenadas p ara le la s ................................................. 335. —Sistem as de p u n to s ........................................................ 870.—Transform ación hom ográñca más g en era l----- ■... 40

L I B R O P R I M E R O

C A L C U L O G R A F IC O

CAPITULO I.—Aritmética v Algebra gráficas.

A.—OPEH.AOIONB9 AEITMÉTIOAS.

7.—E scalas m é tr ic a s ............................................................ 438.—O peraciones fundam entales de la A ritm é tio a .. . 489.—Sum a de productos. M edia............................. 61

10.—S eries re c u rre n te s ......................................................... 64

460 I n d i c e d e m a t e r i a s

B.~ S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s .

11..—Esquema gráfico do ecuaciones linéalos. Sistemas escalonados.................................................... 55

12.—Eliminación gráfica............................................................ -..... 5813. - Resolución general do un sistema de eouaoiones

lin ea les .................................................................. G314.—Marcha sistemática para la aplicación del mé

todo G715.—Sistemas de forma especial. Reducoión del nú

mero de cen tros............................. ' .................... 7310.- Empleo de intervalos variables. Esquemas ra

diantes..................................................................... 79

C. E c u a c i o n e s d e c u a l q u i e r g b a d o .

17.—Esquem a de los polinomios enteros de cualquierg ra d o ......................................................................... 84

18.— Resolución de ecuaciones de cualquier g rad o ... 8719.—Transformación por la abscisa............................... 92•20.—Curva representativa de un. polinomio. In terpo

lación parabólica gráfica.................................... 9721.— Aplicación a la representación de resultados de

observaciones físicas............................................ 10122.—Imagen logarítmica de un polinomio................... 105

CA PÍTU LO I I .—Integración gráfica.

A .—P r o p i e d a d e s f u n d a m e n t a l e s d e l a s c u r v a s

I N T E G R A L E S

23.—Definición de las curvas integrales....................... 10924.—Integrales de diversos ó rdenes............................. 11225.—Tangente a la in tegral............................................ 11726.—Principio del intègrafo............................................. 120

ÍN D ICE DE M ATERIAS 461

T á g a .

27.—Contro do curvatura de la in teg ra l....................... 121•28.—Ordenada y abscisa media...................................... 12329.—Ordenada modia de un aroo parabólico............... 12(3

B .— T r a z a d o g r á f ic o d e l a b i n t e g r a l e s

30.—Polígonos inscritos y circunscritos a una integral ISO

81.—Límite superior del e rro r cometido..................... 13G02.—Integral de la zona comprendida entre dos cur

vas ..................... 14133.-~Integral referida a una linea en a lq u ie ra ............ 14334.—Relación geométrica entre las integrales de una

misma curva para dos polos diferentes........... 14835.—Integrales sucesivas. Determinación de las cons

tantes arb itrarias................................................. 1518(5.—Integrales diversas ligadas a una ourva dad a ... 15137.—Integrales deducidas de varias cu rvas............... 101

C.—I n t e g r a l e s p a r a b ó l i c a s

38.—Polígonos in tegrantes............................................. 1G339.—Generación do una integral parabólica por dila

tación de eu polígono integrante...................... 17140.—Construcción del integrante de una parábola nu

dada por n + 1 puntos.......................................... 178

D.—E c u a c io n e s d i f e r e n c i a l e s d e f r i m e r o r d e n

41.—Curvas isoclinas.............................................. 18342.—Relación de las singularidades de las integrales

con las isoclinas................................................... 18643.—Trazado aproximado de las in tegrales................. 189

462 I n d i c e d e m a t e r i a b

L I B R O II

N O M O G R A F I A

CAPITULO III. — Representación nomogràfica por líneas concurrentes.

A .—ESCALAS PUNOTONAiBS.

44.—E sc a la m é tr ic a ap licad a a Ja rep re se n tac ió n deu n a v a r ia b le . . . . ........................................................ 195

45.—R e p re se n tac ió n de u n a ecuación d e dos v a r ia bles. E sca las c a r te s ia n a s ......................................... 108

4G.—Escalas funcionales............................................. 20047.—C onstrucción g eo m étrica de las escalas. Cam bio

de m ódulo ...................................................... ................ 20448. —E sca las d e r iv a d a s y tran sfo rm ad as . E sca las p ro -

y e o tiv a s ........................................................................... 20649.—P a tro n e s d e g ra d u a c ió n ,............................................... 209

B -—A b a c o s c a r t e s ia n o s .—A n a m o r f o s is .

60.—R e p resen tac ió n de una eouación de tre s v a ria bles. A bacos c a r te s ia n o s ............... ......................... 212

51.—fra c c io n a m ie n to do los Abacos. S uperposic iónde las g rad u a c io n e s .................................................... 217

52.—P rin c ip io de la a n a m o rfo s is ......................... 21058. - G en e ra lizac ió n do la a n a m o rfo s is ............................ 22454-—A nam orfosis p o r s is tem a s d e c írc u lo s ............... .... 22755.—R e p re se n tac ió n do la s ecuaciones cu ad rá ticas

p o r s is tem a s de c í rc u lo s ..................... ..................... 23056.—E sca las b in a rias . S istem as c o n d e n sa d o s . 23757.—S is te m as ram ificados- N om ogram as m ás g e n e

ra le s d e l in e a s c o n c u rre n te s .................................. 243

ÍN D IC E DE M ATERIAS 468

C.—1SMPI.H0 1>K TRANSPARENTES MÓVILES. ÁBAGOft EX AGON ALES

P&ga.

58.—T ran sp aren tes de dos Indicos................................... 24759.—T ran sp a ren te de tre s índ ices..................................... 25160.—Prop iedades especiales de los abacos exagoría

los . ................................................................. 254

CA PITU LO IV .—Representación nomogràfica por puntos alineados.

A. — Gen e r a l id a d e s .

(31.—T ransform ación dualistica de los nom ogram asde rectas co n cu rren tes ........................................... 261

62.—P rinc ip io general de los puntos a lineados........... 26503.—O rden nomogràfico de las ecuaoionos rep resen

ta b a s en puntos a lin o ad o s .. . ............................... 27264.—C onstrucción de las escalas cu rv ilíneas................ 27465.—E scalas de varias variab les. P untos condensa-

dos. R edes de pun tos.............. ................................ 270

B.—N omogramas de s im pl e a l in ea c ió n d e los GÉNEB03 0 Y 1 (N, V N,).

66.—N om ogram as N'o do tre s escalas p a ra le la s ........... 28367.—N om ogram as No de dos escalas p a ra le la s ............. 29268.—Ecuación general de te rce r orden nomogràfico.. 29969.—D eterm inación de los valores c r ítico s ................... 30370.—Empleo; d irec to de las escalas do las funciones

com ponentes.............................................................. 30771.—N om ogram as Ni de dos escalas p ara le la s ............. 31272.—Condición p ara Ia representación de una ecua

ción de ouarto orden nomogràfico por un N,. 32073.—N om ogram a Ni de una r e d . . ..................................... .822

464 ÍN D IC E D E M A T E R IA S

P ta n .

74.—A plicac ión d e los nom ogram as No o(JNi a la in v es tig a c ió n d e c ie r ta s ley es e m p ír ic a s .............. 326

76.—A plicac ión d e l p r in c ip io d e los n o m ogram as Nr a la c o n s tru c c ió n d e la s p a rá b o la s d e o rdo» su p e r io r . ........................................................................... 332

C .— N o m o g r a m a s d e s i m p l e a l i n e a c i ó n d e 2 ? y8.®r G ÉN ER O ( N 2 Y N a).

76.—N om ogram as d e esca las cónicas su p e rp u e s ta s onom ogram as N C ........................................... 339

77.—N om ogram as NC do esca la c irc u la r .......................... 34278. - R e p re se n tac ió n p o r u n nom ogram a N C d e la

ecuac ión g e n e ra l d e 8.°r o rden n o m o g rà f ic o .. 84679.—E cu acio n es de tre s v ariab les d e 4." o rd en nom o

gràfico re p re se n ta b le s p o r un N C ....................... 85380.—A p licac ió n d e l m étodo d e p u n to s a lin ead o s a

c ie r ta s in te rp o la c io n e s ............................................. 357

D . — N o m o g r a m a s d e a l i n e a c i o n e s m ú l t i p l e s .

81.—P rin c ip io de la d o b le a l in e a c ió n ............................ 86182.— N om ogram as No d e esca las p a ra le la s ...................... 36083.—A lin e ac io n es m ú ltip lo s . N om ogram as N" de e s

calas p a ra le la s ............................................................... 37584.—N om ogram as c irc u la re s d e a lin eac io n es p a ra le

l a s 37985.—P u n to s co p lan a rio s . N uevo m odo d e c o n c e b ir la

d o b le a l in e a c ió n .......................................................... 88286.—R e p re se n ta c ió n de la s ecuac iones de ouatro v a

r ia b le s d e cu a rto o rd en nom ogràfico , p o r dob le a l in e a c ió n ....................... . .................................... 387

87.—N om ogram as N C d e base ún joa d e d o b le a lin e a c ió n ........................................ 890

ÍN D ICE DE M ATERIAS 4 6 5

V&gì.88.— Nomogramas NC de doble alineación partí ecua

ciones de cuatro variab les, de ordo» nomogràfico superio r al 4.°.............................. ................... 302

C A PÍTU LO V .— Representación nomogràfica por medio de puntos acotados diversamente asociados y de

elementos acotados móviles. Teoría general.

A.—D iversos modos d b asociación d e los puntosA C O T A D O S .

89.— N om ogram as de índice c u a lq u ie ra ......................... 395HO.—Nomogramas do escuadra........................................ 39891. - N om ogram as do escuadra por el v ó rtice .............. 40492.—N om ogram as de puntos eq u id is ta n tes ................... 40093.—P untos equ id istan tes en el caso de se r todas las

escalas rec tilín eas ................................................... 415

B ,— E l e m e n t o s a c o t a d o s m ó v i l e s .

91.—Escalas m óviles en g e n e ra l....................................... 4Lü95.—Escalas do deslizam iento. R eglas de cálculo------ 41896.—Escalas g ira to r ía s ......................................................... 42197.—Escalas o rien tad as....................................................... 42408.—Nomogramas de im ágenes logarítm icas................ 426

C.—T eoría g en er a l . E studio morfológico de los nomogramas

90.—Objeto dol estudio morfológico de los nom ogram as.............. ' ........................................... .......... 429

100.—D eterm inación gráfica de la posición re la tiva de dos planos superpuestos. Noción de loscontactos sim ultáneos........................................ . 481

«o

460 In d ic e d e . m a t e r ia s

101.“ F o rm ac ió n de l tip o do nom ogram a m ás g e n e r a l ......................................................................................

102.—C lasificación de los nom ogram as de un p lan o ode dos p lanos su p e rp u e s to s ....................................

108.—N om ogram as g en e ra le s de p un tos s im p lem en te aco tados...........................................................................

Í n d i c e m nr.ioaK A i-'ico;...........................................................INPICTC AT.t'AHÍJTIOO...........................................................

485

438

441

445450

E R R A T A S

Página 127. línea 14.—En lugar do +?/¿) lóase (y -f + í/j)

Página 316, figura 118.—En lugar de Job puutos M» y M»+, léase M »» y Mm+j.

Pagina 370, figura 138.—E l extremo izquierdo do laouorda inás alejada del centro es W4 y no Mi-

calculo grafico y nomografia

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