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Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. Calculo. Integrales triples. Aplicaciones.
CALCULO
Hoja 10. Integrales triples. Aplicaciones.
1. Calcular las siguientes integrales triples en los recintos indicados:
(a)
∫∫∫Dx+zy+x2yzdxdydz, D =
{(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 0, 0 ≤ z ≤ 2
}.
Sol.:-1
3
(b)
∫∫∫Dzxy
√1 + y2dxdydz,D =
{(x, y, z) ∈ R3 : −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1
}.Sol.:
√2
2−
1
4
(c)
∫∫∫D
z2y − zx2 − zx4
1 + x2dxdydz, con D el cubo unidad [0, 1]× [0, 1]× [0, 1]. Solucion:
π−424 .
(d)∫∫∫
D dxdydz, siendo D el tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano
x+ y + z = 1. (El valor de la integral es el volumen del tetraedro). Sol.:1
6
(e)
∫∫∫De(x
2+y2+z2)3/2
dxdydz, D la esfera unidad centrada en el origen. Indicacion:
Cambiar a variables esfericas. Solucion: 43π(e− 1).
(f)
∫∫∫D
dxdydz
(x2 + y2 + z2)3/2, siendo D el recinto limitado por las esferas x2+y2+z2 = a2
y x2 + y2 + z2 = b2 con 0 < b < a. Sol.:4π lna
b
(g)∫∫∫
D yzdxdydz, siendoD la region limitada por el elipsoide de ecuacion x2
a2+ y2
b2+ z2
c2=
1 y los semiespacios x ≥ 0, y ≥ 0 y z ≥ 0. Solucion: ab2c2
15 .
2. Expresar en la forma D ={(x, y, z) ∈ R3 : . . .
}y hacer un esbozo de los recintos sobre los
cuales se estan calculando las siguientes integrales:
(a)
∫ √π2
0
∫ √π2
x
∫ 3
1sen y2dzdydx, (b)
∫ 1
0
∫ y
0
∫ √1−y2
0dzdxdy, (c)
∫ 4
0
∫ 4−x2
0
∫ 12−3x−6y4
0dzdydx.
Finalmente plantear alguna otra de las integrales iteradas y hallar el valor de dicha integral.(Nota: en este ejercicio el orden de integracion dado por dx, dy y dz juega un papel
fundamental). Sol.:(a) 1; (b)1
3; (c) 4.
3. Sea el solido limitado inferiormente por el paraboloide z = x2 + y2 y superiormente por laesfera x2 + y2 + z2 = 6. Se pide:
(a) Expresar mediante una integral triple en coordenadas cartesianas el volumen de dichosolido.
(b) Mediante un cambio de coordenadas apropiado calcular dicho volumen.
Sol.: 2π(−11
3 + 2√6).
1
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4. Hallar el volumen limitado entre las superficies{x2 + y2 = z2
x2 + y2 = 8ypara x ≥ 0.
Sol.: 20489 .
5. Calcula el volumen interior a la superficie 4x2+9y2+ z2− 36 = 0 y exterior a la superficie4x2 + 9y2 − 9 = 0.
Sol.: 2π9
(216− 81
√3).
6. Hallar el volumen de la region
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 + 4 ≤ 0, 8− x2 − y2 ≥ z, z ≥ 0}.
Sol.: 89π6 .
7. Hallar el volumen limitado por los paraboloides de ecuaciones z = x2+y2 y z = 2−x2−y2.Solucion: Vol= π.
8. Hallar el volumen del cuerpo definido como D =
{(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ x2
4+
y2
9≤ 1
}.
Sol.:3π.
9. Hallar el volumen comprendido entre x2 + y2 + z2 = 100 y x2 + y2 = z2, z ≥ 0. Sol.:1000π
3
(2−
√2).
10. Sea W la region acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 2 y la superficie z = x2 + y2,
x ≥ 0, y ≥ 0. Calcular∫W xdxdydz. Sol.:
8√2
15.
11. Hallar el volumen limitado entre las superficies{z2 − 4 = x2 + 2y2
x2 + 2y2 = 5
Sol.: 38π√2.
12. Calcular el volumen del recinto interior al elipsoide 4x2 + y2 + z2 − 338 = 0 al que se lehan quitado los dos casquetes cortados en el por el hiperboloide 4x2 + y2 − z2 + 50 = 0.
13. Hallar el volumen limitado entre las superficies{x2 + y2 + 3z = 4x2 + y2 = z2
Sol.: 11712 + 4π
3 .
14. Calcula el volumen interior a la superficie 4x2+9y2+ z2− 36 = 0 y exterior a la superficie4x2 + 9y2 − 9 = 0.
15. Hallar el volumen de la region
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 + 4 ≤ 0, 8− x2 − y2 ≥ z, z ≥ 0}.
Sol.: 89π6 .
16. Calcular la masa del solido
D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 ≥ 2x, x2 + y2 ≤ 4x, z2 ≤ x2 + y2}
situado en el primer octante (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), siendo la densidad m(x, y, z) = y
Sol.: 12.2
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17. Calcular el centro de gravedad de un cilindro circular recto de radio de la base R, de alturah y cuya densidad varıa proporcionalmente a su distancia a la base. Sol::
(0, 0, 2h3
).
18. Calcular la masa del solido de densidad d(x, y, z) = 1 + 2z limitado por las superficiesz = 0, (x− 1)2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 2− z.
Indicacion:
∫ π2
π4
cos6 t dt =5π
64− 11
48y
∫ π2
π4
cos4 t dt =3π
32− 1
4
Sol.: 25π12 − 8
9 .
19. Calcular el momento de inercia con respecto al eje OZ del volumen del paraboloide derevolucion z = x2 + y2, limitado por el plano z = a. Sol.: πa3
6 .
20. Calcular el momento de inercia del solido interior al cono z2 = x2 + y2 para −4 ≤ z ≤ 4respecto de los ejes coordenados y respecto al origen (densidad µ =constante). Sol.:Ix = Iy = 512πµ, Iz =
10245 πµ, Io =
30725 πµ.
21. Calcular la masa del solido limitado por el hiperboloide x2 +4y2 − z2 +4 = 0 y el cilindro
x2 + 4y2 − 9 = 0, y cuya densidad en cada punto es m(x, y, z) = 1− z
4.
Sol.: π(26
√13
3 − 163
).
22. Calcular la masa M del solido definido por
{z =
√4− x2 − y2
z ≥√
x2 + y2siendo la densidad en
cada punto el cuadrado de la distancia de su proyeccion sobre el plano OXY al origen decoordenadas. (Se recomienda pasar a coordenadas esfericas).
Sol.: 2π(−8
√2
3 + 6415
).
23. Dado el elipsoidex2
a2+y2
b2+z2
c2= 1 cuya densidad en cada punto es m(x, y, z) = abc−|xyz|,
calcular su masa.
Sol.: a2b2c2(8π6 − 1
6
).
24. Hallar el volumen del solido acotado superiormente por el paraboloide z = 5− x2 − y2, einferiormente por el paraboloide z = 4x2 + 4y2. Hallar tambien su masa y su centro degravedad siendo la densidad en cada punto m(x, y, z) = 8− z.
25. Se considera el solido interior al cilindro x2 + y2 = 1, limitado superiormente por lasuperficie z2 = 2+ x2 + y2, e inferiormente por z = x2 + y2. Hallar su masa sabiendo quela densidad en cada punto es m(x, y, z) = 6− (x2 + y2)z.
Sol.: 2π(6√3− 4
√2− 85
48
).
26. Hallar la masa del solido D ={(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ x, z ≥ 0
}que
tiene como funcion de densidad en cada punto m(x, y, z) = z.
Sol.: 5π64 .
27. Calcular la masa y los momentos de inercia respecto de los ejes X e Y del solido limitadopor la superficie z =
√4− x2 − y2 y el plano z = 0 si la densidad en (x, y, z) es proporcional
a la distancia de (x, y, z) al plano z = 0.
Sol.: Masa= 4kπ, Ix = Iy = 8kπ.
28. Se considera el solido D limitado por el cilindro x2 + y2 − 2y = 0 en la region 0 ≤ z ≤√x2 + y2; hallar la masa de D suponiendo que la funcion densidad es f(x, y, z) = |x|.
Sol.: 85 . 3
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29. Hallar la masa de la dovela
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 +y2
4≥ 1,
x2
4+
y2
16≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1}
siendo la funcion de densidad m(x, y, z) = xy + 1.
Sol.: 32π + 15
2 .
30. Se considera el solido
S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x− 1)2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y, 0 ≤ z ≤ 2}
con funcion densidad δ(x, y, z) = y + 2. Hallar el momento de inercia de S respecto delplano coordenado z = 0.
Sol.: 89 + 8π
6 .
31. Calcular la masa del solido S = {(x, y, z) ∈ R3 :√
x2 + y2 ≤ z, 0 ≤ z ≤ 4} siendola densidad en cada punto m(x, y, z) =
√x2 + y2 + z2.
Sol.: 1283 π(2
√2− 1).
32. Calcular la masa del solido S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z, z2 ≤ 3− x2
4 − y2
9 , z2 ≥ 1+ x2
4 + y2
9 }siendo la densidad en cada punto m(x, y, z) = z.
Sol.: 3π.
33. Dado el elipsoidex2
a2+y2
b2+z2
c2= 1 cuya densidad en cada punto es m(x, y, z) = abc−|xyz|,
calcular su masa
34. Calcular la masa y el centro de gravedad del solido limitado por el hiperboloide de doshojas x2 + y2 − z2 + 4 = 0 y el cilindro x2 + y2 − 9 = 0, y cuya densidad en cada punto es
m(x, y, z) =5− z
2. (Maple). .
35. Calcular la masa del solido limitado por el hiperboloide de dos hojas x2 + y2 − z2 + 1 = 0y la esfera x2 + y2 + z2 − 9 = 0 en el semiespacio z ≥ 0, y cuya densidad en cada punto esm(x, y, z) = z2.
Sol.: 2π3
(−10
√5 + 244
5
).
36. Calcula la masa del solido D definido porD ={(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 ≤ 6, z2 − x2 − y2 ≥ 2
}que tiene como funcion de densidad en cada punto m(x, y, z) = |z|x2 + |z|y2. Sol: 8π
3 .
37. Se pretende instalar un equipo de aire acondicionado en un estadio de deporte de plantaelıptica de semiejes a = 2 y b = 1 y paredes planas perpendiculares al suelo (es decir, el
recinto limitado por el cilindro de ecuacionx2
4 +y2 = 1, z ≥ 0). Ademas, la cubierta es una
porcion del elipsoide 4z2 + x2
4 + y2 = 4 Se utilizaran compresores y evaporizadores de airesegun ciertas caraterısticas tecnicas. Para determinar el numero de dichos aparatos, seprecisa conocer el volumen de aire que habrıa que enfriar. Calcular, por tanto, el volumendel estadio. (Sol: V = 2π
(83 −
√3)).
38. Hallar la masa del solido
D ={(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 9, x2 + y2 ≤ z2 − 1, z ≥ 0
}que tiene como funcion de densidad en cada punto m(x, y, z) = z3 + 1.
(Sol.:2π
(88
3− 10
√5
3
)).
4