CÁLCULO VECTORIALGUIA UNIDAD 1: PLANOS Y SUPERFICIES GRUPOS: G3 ING. ELECTRÓNICA DOCENTE: Ing. Ángel Fernando Soto S. Nombre: Fernando Arcos c.

Problemas de Teoría: 1. La recta x=2t-1, y=4t+2, z=6t-5 pasa por el punto: a. (-1, 6,1) b. (0,4,-2) <AQc. (0,0,0) d. No conozco

Justificación:

l={x=xo+aty= yo+btz=zo+ct

l={x=−1+2 ty=2+4 tz=−5+6 t

p= (−1,2,−5 )

s⃗=(2,4,6)

2. En 3 dimensiones, ax+by=c representa: a. Un punto b. Una recta c. Un plano d. No conozco

Justificación: ax+by+cz=ccomoel valor de z=0 remplazamos nos quedaax+by=c por lotanto es un plano .

1

3. Un plano queda determinado por un punto y dos vectores. Que condición deben cumplir los dos vectores: a. Perpendiculares b. Coplanares c. Paralelos d. No conozco

Justificación: parahallar laecuacion se necesitaun punto¿,y0 , z0¿ y unvectorv⃗=(a ,b , c ) los vect ores estan sobreel planode forma paralela .

4. La curva z=4 y2rota alrededor del eje z . La superficie generada es : a. Un cono b. Un cilindro c. Un paraboloide d. No conozco

Justificación:

Usamos binomio de circularidad (x2+ y2=[ f (z )]2) como gira respecto a z

Despejamos la función z=4 y2nos da y=√ z4 remplazamos en el

binomio

x2+ y2=¿¿¿2 ---->x2+ y2=z4 ---->ecuación de un paraboloide

5. Relacione dos literales de la ecuaciones dadas con sus gráficas (marcadas figura 1-2). Justifique las respuestas analizando las trazas y/0 secciones de la superficie. Indicar el nombre de la superficie.

2

Justificación:

Figura 1:c) y=2x2+z2---->Paraboloide elíptico

Trazas X=0y=z2---->parábola

Y=00=2x2+z2

Z=0y=2x2----> Parábola

Figura 2: ---->hiperboloide de una hojac) −x2+ y2+ z2=1

Trazas X=0y2+z2=1---->circulo

Y=0−x2+ z2=1----> Hipérbola

Z=0

3

−x2+ y2=1----> hipérbola

6. Relacione dos literales de las ecuaciones dadas con sus gráficas (marcadas figura 3-4). Justifique las respuestas analizando las trazas y/0 secciones de la superficie. Indicar el nombre de la superficie.

Justificación:

Figura 3:b) −x2+ y2+ z2=0---->cono

Trazas X=0y2+z2=0---->recta

Y=0−x2+ z2=0---->recta

Z=0−x2+ y2=0---->recta

4

Figura 4: ---->hiperboloide de dos hojaa) x2− y2+z2=−1

Trazas X=0− y2+z2=−1---->hipérbola

Y=0 Y=k ---->circulo

x2+ z2=−1----> no existe grafica

Z=0x2− y2=−1----> Hipérbola

7. La ecuación (x2+ y2¿k=z (k = constante) representa en R3

a) Cono elíptico

5

b) paraboloide circular c) cilindro parabólico

Justificación: Es un paraboloide circular, tiene un término lineal K es el mismo es circular (x2+ y2¿k=z----> kx2+ky2=z----> paraboloide circular

8. La ecuación r2−z2=4 en coordenadas cilíndricas representa:

a) Un cono b) una esfera c) un hiperboloide

Justificación: Aplicamos r2=x2+ y2 por lo tanto obtenemos

x2+ y2−z2=4 Dividimos cada término x2+ y2−z2

4=1----> ecuación de un

hiperboloide

6

9. La ecuación 𝑧 = 𝑘 − (x2+ y2) (k = constante) representa en R3

a) Cono elípticob) paraboloide circular c) paraboloide hiperbólico

Justificación: 𝑧 = 𝑘 − (x2+ y2)----> Es un paraboloide hiperbólico presenta un término lineal y los términos cuadráticos presentan 2 signos diferentes.

10. La ecuación r2+2 z2=4 en coordenadas cilíndricas representa:

a) Elipsoide b) una esfera c) un cono

Justificación: Aplicamos r2=x2+ y2 por lo tanto obtenemos x2+ y2+2 z2=4 Dividimos cada término ----> ecuación de un elipsoide.

7

11. Selecciones la opción correcta Una superficie cilíndrica esta: a) Generada por movimiento de una recta perpendicular a un eje y apoyada en una curva. b) Generada por la rotación de una curva alrededor de un eje. c) Generada por movimiento de una recta paralela a un eje y apoyada en una curva. 12. En un sistema cilíndrico (𝑟, 𝜃, 𝑧), que representa cada una de las coordenadas

r---->magnitud respecto al origen 𝜃---->Angulo formado respecto al eje x z---->Altura des el punto al plano 13. La ecuación 𝜃 = 𝑘 donde k es una constante en coordenadas esféricas representa: a) Un semiplano b) Un cono c) Un plano horizontal

Justificación: x2+ y2=z2

ρ2 sin∅2 cosθ2+ρ2 sin∅2 sin θ2=ρ2 cos∅ 2

ρ2 sin∅2 cosθ2+ρ2 sin∅2 sin θ2=ρ2 cos∅ 2

ρ2 sin∅2 (cosθ2+sinθ2 )=ρ2 cos∅ 2

ρ2 sin∅2 1=ρ2cos∅ 2

sin∅ 2=cos∅ 2

tan∅=1

∅ ¿ π4

14. Seleccione la opción correcta La ecuación 𝑧 = 𝑘𝑦2 (k = constante) representa en R3

a) Paraboloide. b) Cilindro Circular.

8

c) Cilindro Parabólico.

Justificación: Es un cilindro parabólico en coordenadas cilíndricas la variable que falta es paralela a la recta generatriz.

15. En un sistema esférico (𝜌, ∅, 𝜃) que representa cada una de las coordenadas

𝜌----> magnitud respecto al origen ---->radio ∅----> Angulo respecto al eje z ---->latitud 𝜃 ----> Angulo respecto al eje x---->azimut

16. La ecuación 𝑟 = 𝑘 en coordenadas cilíndricas representa: a) Un cono b) Una esfera c) Un cilindro

Justificación:

r=√x2+ y2

√ x2+ y2=k

x2+ y2=k2 ---->cilindro paralelo al eje z

Problemas de Desarrollo

9

17. Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada por la rotación de la curva z2=2y, alrededor del eje y. ¿Cuál es el nombre de la superficie?

Justificación: (x2+ y2=[ f ( y)]2) x2+ y2=2 y ---->paraboloide circular

18. La curva 𝑧 = 4𝑦2 rota alrededor del eje z. ¿Cuál es el nombre de la superficie? . Justifique con una ecuación matemática.

Justificación:

Despejamos la función z=4 y2nos da y=√ z4 remplazamos en el

binomio

x2+ y2=¿¿¿2 ---->x2+ y2=z4 ---->ecuación de un paraboloide circular

19. En coordenadas cilíndricas 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 que representa. En coordenadas esféricas ∅ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 que representa. 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒Justificación: 𝜃 = arcotan( yx ¿

tan𝜃 = ( yx ¿

10

tan𝜃 = my=mx por lo tanto representa una recta en el plano ,un plano en el espacio.∅ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒Justificación: x2+ y2=z2

ρ2 sin∅2 cosθ2+ρ2 sin∅2 sin θ2=ρ2 cos∅ 2

ρ2 sin∅2 cosθ2+ρ2 sin∅2 sin θ2=ρ2 cos∅ 2

ρ2 sin∅2 (cosθ2+sinθ2 )=ρ2 cos∅ 2

ρ2 sin∅2 1=ρ2cos∅ 2

sin∅ 2=cos∅ 2

tan∅=1

∅ ¿ π4Representa un cono

20. Analice y bosqueje la gráfica de la siguiente ecuación en el espacio tridimensional

Justificación:

(x¿¿2−4 x)+ y2−2 z=−9¿(x¿¿2−4 x+4)+ y2−2 z=−9¿(x¿¿2−4 x+4)+ y2−2 z=−9¿(x−2)2+ y2−2 z=−9+4

(x−2)2+ y2−2 z=−5---->paraboloide

21. Identificar la superficie dada en coordenadas cilíndricas o esféricas, cuya ecuación es ρ ⋅ sen(φ ) = 4. Graficar la superficie.

11

Justificación: ρ ⋅ sen(φ ) = 4---->coordenadas esfericas

ρ ⋅ sen(φ ) = √ x2+ y2

√ x2+ y2=4

x2+ y2=16 ---->cilindro circular paralelo al eje z

22. Identificar mediante trazas y/o secciones las superficies que tienen por ecuación: a) x2− y2−z2

= 𝟒 b) 𝝆 ∗ 𝒔𝒆n(∅) = 𝟐

Justificación: a)x2− y2−z2

4=1---->hiperboloide de dos hojas

Trazasx=0− y2−z2

4=1---->no hay grafica

Y=0x2−z2

4=1---->hipérbola

Z=0

x2− y2

4=1---->hipérbola

b) x2+ y2=4---->cilindro circular paralelo al eje z

12

23. Identificar mediante trazas y/o secciones las superficies que tiene por ecuación: a) -9𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟗𝒛𝟐 = 𝟗

Justificación: −9 x2+ y2+9 z2 = 9−x2+ y

2

9+z2=1 ---->Hiperboloide de unas hojas

X=0y2

9+z2=1---->elipse

Y=0−x2+ z2=1---->hipérbolaZ=0

−x2+ y2

9=1----> Hipérbola

b) 𝝆= 𝟐𝒄𝒐s (∅) z= 𝝆 𝒄𝒐s (∅) ----> 𝒄𝒐s (∅) =zρ

𝝆= 𝟐 zρJustificación: ρ2=2 zρ2=x2+ y2+z2

x2+ y2+z2=2 zx2+ y2+(z−1)2=1---->elipsoide circularX=0 y2+(z−1)2=1---->circulo/elipseY=0x2+(z−1)2=1---->circulo/elipseZ=0x2+ y2=0---->circulo

13

24. Aplicar una transformación adecuada y describir verbalmente la superficie que se da:

𝑟 = 2𝑠𝑒n(𝜃) r2=x2+ y2𝑠𝑒n(𝜃)=yr

Justificación: x2+ y2=2 yx2+( y¿¿2−2 y+1)=1¿x2+( y−1)2=1---->cilindro desplazado en el eje y(0,1,0) paralelo al eje z

25. Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada por la rotación de la curva z2=2y, alrededor del eje y. ¿Cuál es el nombre de la superficie?

Justificación: (x2+ y2=[ f ( y)]2)

x2+ y2=2 y ---->paraboloide circular

26. Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada por la rotación de la curva z2=6x, alrededor del eje x. ¿Cuál es el nombre de la superficie?

Justificación:

14

z2+ y2=[ f (x )]2)

z2+ y2=6 x ---->paraboloide circular

27. Aplicar una transformación adecuada y describir verbalmente la superficie que se da:

𝜌 = 4𝑐𝑜s(∅) z= 𝝆 𝒄𝒐s (∅) ----> 𝒄𝒐s (∅) =zρ

Justificación: ρ2=4 zρ2=x2+ y2+z2

x2+ y2+z2=4 zx2+ y2+(z−2)2=4---->esferaX=0 y2+(z−2)2=1---->circuloY=0x2+(z−2)2=1---->circuloZ=0x2+ y2=0---->circulo

28. Reduzca la ecuación a una de las formas estándar, clasifique la superficie analizando las trazas o secciones de la superficie. 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 = −𝟒

Justificación: x2−4 x− y2−2 y+z2−2 z=4 (x¿¿2−4 x+4)−( y2−2 y+1)+(z2−2 z+1)=4−4+1−1¿ −(x−2)2+¿---->conoX=0¿---->rectaY=0

15

−(x−2)2−¿----> recta Z=0−(x−2)2+¿ ----> recta

29. Describir verbalmente la superficie dada por las siguientes relaciones:

𝒓 = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝝅 𝟏 ≤ 𝒛 ≤ 𝟐

Justificación: r2=x2+ y2𝑠𝑒n(𝜃)=

yr

x2+ y2=2 yx2+( y¿¿2−2 y+1)=1¿

x2+( y−1)2=1

30. Reduzca la ecuación a una de las formas estándar, clasifique la superficie analizando las trazas o secciones de la superficie.

𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝟏𝟕 = 𝟎

Justificación:

16

3 x2−6 x+2 y2−8 y+ z2+2 z+17=0 3(x¿¿2−2x+1)+2( y¿¿2−4 y+4 )+(z2+2 z+1)=¿¿¿ −17+3+8+1 3(x−1)2+2( y−2)2+¿ −5

−3 (x−1 )2

5−

2 ( y−2 )2

5−¿¿

TrazasX=0−( y−2 )2

52

−¿¿+35

Y=0

−( x−1 )2

53

−¿¿+25

Z=0

−( x−1 )2

53

−2 ( y−2 )2

52

=1+15

31. Describir verbalmente la superficie dada por las siguientes relaciones:

𝒓 = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝝅 𝟏 ≤ 𝒛 ≤ 𝟐

Justificación: r2=x2+ y2𝑠𝑒n(𝜃)=

yr

x2+ y2=2 yx2+( y¿¿2−2 y+1)=1¿x2+( y−1)2=132. Transformar la ecuación de la superficie dad a un sistema rectangular; identificar y graficar mediante trazas. (Usar escalas adecuadas)

𝒛 = 𝟏𝟎 − 𝒓𝟐

r2=x2+ y2

17

𝒛 = 𝟏𝟎 −(x2+ y2) ---->paraboloide circularTrazas

X=0𝒛 = 𝟏𝟎 − y2---->parábola

Y=0𝒛 = 𝟏𝟎 −x2---->parábola

Z=0

𝟏𝟎 = x2+ y2---->circulo

33. Transformar la ecuación de la superficie dada a un sistema rectangular; identificar y graficar mediante trazas. (Usar escalas adecuadas)

𝜌 = 3cos (∅)

z= 𝝆 𝒄𝒐s (∅) ----> 𝒄𝒐s (∅) =zρ

Justificación: ρ2=3 zρ2=x2+ y2+z2

x2+ y2+z2=3 z

x2+ y2+(z−32 )

2

= 94

---->esferaX=0

y2+( z−32 )

2

=94---->circulo

Y=0

x2+(z−32 )

2

=94---->circulo

Z=0

x2+ y2=2( 94 )---->circulo

18

34. Describir la traza cuando la superficie 2𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑧2 = 4 se intercepta con un plano x=xo.

Justificación: 2 x2− y2+2 z2=4 x2

2

− y4

2

+ z2

2

=1

TrazasX=x0

− y4

2

+ z2

2

=1−( (x0 )2

2 )----> c=1−( (x0 )2

2 )− y

4

2

+ z2

2

=c ----> Hipérbola

35. Transformar la siguiente ecuación a un sistema cilíndrico e identificarla

Justificación: x2+ y2= 2𝑧 ----> Paraboloide

r2=x2+ y2

r2= 2𝑧

19

36. Transformar la siguiente ecuación a un sistema esférico e identificarla

Justificación: x2+ y2

+ z2= 2𝑧----> esfera

ρ2=x2+ y2+z2

z= 𝝆 𝒄𝒐s (∅) ρ2=2ρ cos (∅ ) 𝝆 =2 𝒄𝒐s (∅) ----> esfera

Problemas de Aplicación: Parametrización 37. Encuentre la representación paramétrica de la siguiente superficie:

Justificación:

m=z2−z1

y2− y1

m=2−02−0

m=1y=x

x2+ z2=[ x]2

x2+ z2=x2

x2+ z2−x2=0

Parametrización

cono={ x=uy=ucos (t )z=usen( t)

0≤ t ≤2π 0≤u≤2

Código en Matlab>> syms x y z u t;

20

>> u=[0:pi/10:4];>> t=[0:pi/10:2*pi];>> [uu,tt]=meshgrid(u,t);>> x=uu.*cos(tt);>> y=uu.*sin(tt);>> z=uu;>> zz=sqrt(x.^2+y.^2);>> surf(x,y,zz)>>

38. Encuentre la representación paramétrica de la siguiente superficie:

Justificación: x2+ z2=9----> cilindro

Parametrización

cono={x=3 cos (t )y=u

z=3 sen (t) 0≤ t ≤2π 0≤u≤4

Código en Matlab

>> syms x y z u t;

>> u=[2:pi/10:4];

>> t=[0:pi/10:2*pi];

>> [uu,tt]=meshgrid(u,t);

>> x= uu.*cos(tt);

>> y= uu.*sin(tt);

21

>> z=(6-uu);

>> zz=sqrt(x.^2+y.^2);

>> surf(x,y,zz)

39. Encuentre la representación paramétrica de las siguientes superficies:

Justificación: x2+ y2=(z−1)---> paraboloide

Parametrización

parabola={ x=3cos ( t )y=usen (t)z=u2+1

0≤ t ≤2π 1≤u≤√3

Z=11=u2+1u=0

Z=44=u2+1u=√3

22

Cono truncado

x2++ x2=z-6

cono={ x=uy=ucos (t )z=usen( t)

0≤ t ≤2π 0≤u≤4

Código en Matlab

>> syms x y z u t;

>> u=[2:4];

>> t=[0:pi/10:2*pi];

>> [uu,tt]=meshgrid(u,t);

>> x=uu.*cos(tt);

>> y=uu.*sin(tt);

>> z=6-uu;

>> zz=-sqrt(x.^2+y.^2)+6;

>> surf(x,y,zz)

>> hold on

>> syms a b c f g;

>> f=[0:pi/10:pi/2];

>> g=[0:pi/10:2*pi];

>> [ff,gg]=meshgrid(f,g);

>> a=ff.*cos(gg);

>> b=ff.*sin(gg);

>> c=(3/4).*(ff).^2 + 1;

>> surf(a,b,c)

>>

23

40. Encuentre la representación paramétrica de las siguientes superficies: Cono: radio menor = 1; radio mayor =4; altura=3; altura cono hasta plano xy = 1

x2+ y2=[ z]2

x2+ y2=z2

Parametrización

cono={x=ucos ( t )y=usin (t )z=u

0≤ t ≤2π 1≤u≤4

Código en Matlab

>> syms x y z u t;

>> u=[1:pi/10:4];>> t=[0:pi/10:2*pi];>> [uu,tt]=meshgrid(u,t);>> x=uu.*cos(tt);>> y=uu.*sin(tt);>> z=uu;>> zz=sqrt(x.^2+y.^2);>> surf(x,y,zz)

41. Encuentre la representación paramétrica de las siguientes superficies

24

CONO: radio = 2; altura = 2 ESFERA: Hemisferio desplazado y de radio = 2

x2+ y2=[ z]2

x2+ y2=z2

Parametrización

cono={x=ucos ( t )y=usin (t )z=u

0≤ t ≤2π 0≤u≤2

x2+ y2+(z−2)2=4

Parametrización

esfera={x=2sin(t)cos (u )y=2sin ( t )sin (u)z=2cos (u )+2

0≤ t ≤2π 0≤u≤π2

Código en Matlab

clc clear allsyms x y z u t;u=[0:2];

25

t=[0:pi/10:2*pi];[uu,tt]=meshgrid(u,t);x=uu.*cos(tt);y=uu.*sin(tt);z=uu;zz=sqrt(x.^2+y.^2);surf(x,y,zz)hold onsyms a b c f g;f=[0:pi/10:pi/2];g=[0:pi/10:2*pi];[ff,gg]=meshgrid(f,g);a=2*cos(gg).*sin(ff);b=2*sin(gg).*sin(ff);c=2*cos(ff)+ 2;surf(a,b,c)

26