cálculo vetorial
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Cálculo Vetorial
Campos Vetoriais
Definição
Um campo vetorial em um plano é uma função que associa a cada ponto P um único vetor F(P) paralelo ao plano.
Um campo vetorial no espaço tridimensional é uma função que associa a cada ponto P um único vetor F(P)
Definição
Em 2D:
Em 3D:
F x , y= f x , y ig x , y j
F x , y , z = f x , y , z ig x , y , z jh x , y , z k
Campos Vetoriais
Representação Gráfica
F x , y =x
x2 y2
4i−
y
x2 y2
4j
Representação Gráfica
F x , y=x i y j
Representação Gráfica
F x , y , z=x i y jz k
Nesta visualização, os eixos de referências não passam pela origem.
Exemplo 1:
Represente graficamente o seguinte campo vetorial:
F x , y = j.
Representação Gráfica
Exemplo 1: solução
Represente graficamente o seguinte campo vetorial:
Neste caso temos:
Trata-se de um campo constante, que a cada associa o vetorx , y ∈ℝ2 0,1.
Representação Gráfica
F x , y = j.
Exemplo 1: solução
Representação Gráfica
Campos Escalares
Definição
Um campo escalar em um plano é uma função que associa a cada ponto P um valor escalar f(P).
Um campo escalar no espaço tridimensional é uma função que associa a cada ponto P um valor escalar f(P)
Campos Escalares
Exemplos
2D: Temperatura em uma placa metálica.
3D: Temperatura em uma sala de aula.
Parametrização
Estudaremos integral de linha (caminho). É preciso saber parametrizar caminhos!
Como parametrizamos caminhos?
Parametrização
Associe os gráficos com as expressões:
+
Parametrização
Associe os gráficos com as expressões:
+
Parametrização
Segmento de reta
Descrevendo parametricamente um segmento reta cujas extremidades são conhecidas:
A=1,3, 4
B=5,5,7
Parametrização
Segmento de reta
A=1 i3 j4 k
B=5 i5 j7 k
r t =At B−A , 0≤t≤1
AB
O
B−At B−A
Parametrização
Segmento de Parábola
x
y
y=x2
Parametrização
Segmento de Parábola
Fazemos , o que nos leva a .
Observando que deduzimos então que
r t =t it2 j ,−2≤t≤3
x=t y=t2
−2≤x≤3−2≤t≤3
Parametrização
Como se parametriza uma circunferência?
x
y
Parametrização
Descrevendo parametricamente um segmento de circunferência de raio 1:
r t =cos t isin t j ,0≤t≤43
t=0Sentido Anti-horário!
Parametrização
Descrevendo parametricamente um segmento de circunferência de raio 1:
r t =sin t icos t j ,0≤t≤43
t=0
Sentido Horário!
E se
o ra
io fo
r R?
Integral de Linha
Integral de Linha
Suponha que f(x,y) seja uma função real a ser integrada sobre a curva C dada por:
r t =gt iht j , a≤t≤b
O que significa integrar sobre a curva?
Que motivação teríamos para calcular esta integral?
Integral de Linha
Integral de Linha
A integral de f(x,y) sobre a curva C.
∫Cf x , y ds
Observe que não usamos simplesmente dx ou dy
Sendo f(x,y) sempre positiva, esta integral fornece a área sob a curva.
Integral de Linha
Um caminho
Sendo C caminho que une (0,b) a (0,c)
∫Cf x , y ds = ∫C
f 0, y dy
∫b
cf y dy
A integral de linha transformou-se em uma integral unidimensional.
Integral de Linha
Integral de Linha
Suponha que f(x,y,z) seja uma função real a ser integrada sobre a curva C dada por:
r t =gt iht jk t k , a≤t≤b
∫Cf x , y , z ds
Integral de Linha
Uma motivação
f(x,y,z) pode ser a densidade linear de massa no ponto (x,y,z) e podemos estar interessados em calcular a massa total de uma determinada linha.
r t =gt iht jk t k , a≤t≤b
Integral de Linha
Definição
Sn=∑k=1
nf xk , yk , zk sk
Sn=∫Cf x , y , z ds
“Integral de f sobre C”
Integral de Linha
Calcule as integrais abaixo (como escrevê-las?):
f x , y =10 f x , y =100
∫C1∪C2
f x , y ds ∫C3∪C4
f x , y ds
-2 0 2
0
2
x
y
C1
C4
C3 C2
Integral de Linha
A função: vista superior A função: perspectiva. Observe o caminho C
1 e C
2 na cor branca.
A função: vista lateral
Integral de Linha
Definição
Seja uma parametrização para o caminho C.
Sabemos que
portanto:
∫Cf x , y , z ds=∫a
bf g t ,ht , k t ∣v t ∣dt
dsdt=∣v∣
ds=∣v∣dt
r t =gt iht jk t k
Integral de Linha
Integral de Linha em um Campo Escalar
Integral de Linha
Exemplo 1: Integre sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1):
f x , y , z=x−3y2z
Integral de Linha
f x , y , z=x−3y2z
Integral de Linha
Aditividade
∫Cf ds=∫C1
f ds∫C2
f ds⋯∫Cn
f ds
Integral de Linha
Exemplo 2: Integre sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1):
f x , y , z=x−3y2z
Integral de Linha
Exercícios
1. Calcule onde C é o
segmento de reta
de .
∫Cx− yz−2ds
x=t , y=1−t , z=1
(2,−1,1) a (3,−2,1)
Exercícios
2. Calcule ao longo da curva∫C x2 y2ds
r=4 cos t i4 sent j3 t k −2 ≤ t ≤ 2
Trabalho
Definição
O trabalho realizado por uma força
através de uma curva lisa C com parametrização é
F=M iN jP k
r s
W=∫CF⋅T ds
T é vetor tangente unitário.Integral de linha em um campo vetorial
Trabalho
Lembre-se:
W=∫CF⋅T ds
T=d rd s
d r=T d s
W=∫CF⋅d r
Como se usa isto?
W=∫CF⋅
d rdt
dt
Trabalho
Trabalho
Exemplo 1:
Encontre o trabalho realizado pela força
durante a trajetória
F= y−x2 iz− y2 jx−z2 k
r t =t it2 jt3 k , 0,0 ,0 a 1,1 ,1
Trabalho
Exercícios
1. Encontre o trabalho realizado pelo gradiente de
no sentido anti-horário ao redor de uma circunferência de raio 2 centrada na origem
do ponto (2,0) a ele mesmo.
f x , y =x y 2
Exercícios
2. Calcule , onde C é o caminho formado por um quarto de circunferência centrada na origem e com raio 1, partido de (1,0) até (0,1)
∫Cx4 dx+xy dy
Exercícios
3. Calcule , onde C é o segmento de reta que une os pontos (0,0,1) e (1,2,5)
∫Cy dx+xdy+xy dz
Função Potencial
Definição
Se F for um campo vetorial definido sobre D e
para alguma função escalar f em uma região aberta D no espaço, então
f é chamada função potencial para o campo vetorial F.
F=∇ f
Exemplo 1:
Verifique se a função é um potencial para .
f x , y =xyF= yixj
Campo Conservativo
Solução:
Tudo o que temos que verificar é se
Logo a função dada é um potencial para o campo em questão.
F=∇ f .
∇ f x , y =∂xy ∂ x
i∂xy ∂ y
j= y ixj=F x , y .
Campo Conservativo
Que outras funções seriam potenciais para F?Que outras funções seriam potenciais para F?
Exemplo 2:
é um campo conservativo. Encontre sua função potencial.
F x , y =2xi2y j
Campo Conservativo
Exemplo 2: solução
Sabemos que:
O que implica:
F=∇ f=Px , y iQ x , y j=∂ f∂ xi
∂ f∂ y
j .
P x , y =2x , Q x , y =2y .
∂ f∂ x=2x ⇒ f x , y =∫2x dxg y ,
Campo Conservativo
Exemplo 2: solução
mas,
Logo:
f x , y =x²g y ,
∂ f∂ y=2y=
dgdy
⇒ g y =∫2y dyc ⇒ g y = y²c.
f x , y =x² y²c .
Campo Conservativo
Campo Conservativo
Exercício 1:
Encontre o potencial associado à função:
F=2 x i3 y j4 z k
Campo Conservativo
Exercício 2:
Encontre o potencial associado à função:
F= y sen z ix sen z j x y cos z k
Campo Conservativo
Será sempre possível, para qualquer sempre encontrar uma função f tal que
F=∇ f
F
?
Campo Conservativo
Será sempre possível, para qualquer sempre encontrar uma função f tal que
NÃO
F=∇ f
F
?
Campo Conservativo
Será possível encontrar uma função f tal que
apenas se for conservativo.
Situação para a qual f é chamada função potencial.
F=∇ f
F
Campo Conservativo
Definições
será conservativo se for independente do caminho. F ∫ F °d r
Campo Conservativo
∫CF°d r=f r B−f r A
Campo Conservativo
Campo Conservativo
Teste para Campos Conservativos
Campo Conservativo
Exemplo 1: Mostre que
é conservativo e encontre uma função potencial para ele.
F=ex cos y yz ix z−ex sen y jx yz k
Campo Conservativo
Exemplo 1: Solução – Parte 1
Campo Conservativo
Exemplo 1: Solução – Parte 2
Campo Conservativo
Exemplo 1: Solução – Parte 3
Campo Conservativo
Exercício 1:
Quais dos campos abaixo são conservativos?
a)
b)
c)
d)
F= yz ixz jxy k
F= y sen z ix sen z jxy cos z kF=−y ix jF=z y iz j yx k
Campo Conservativo
Exercício
1. Calcule a integral de linha da função abaixo abaixo no segmento de reta que une os pontos (1,2,2) e (2,2,3):
F= yz ixz jxy k
Diferencial Total
Definições
Diferencial Total
Teste de Exatidão
Diferencial Total
Exemplo 1:
Mostre que y dx + x dy + 4 dz é exata e calcule a integral:
Sobre o segmento de reta de (1,1,1) até (2,3,-1)
∫1,1 ,1
2,3 ,−1ydxx dy4 dz
Diferencial Total
Exemplo 1: Solução
Diferencial Total
Exercício 1:
Calcule as seguinte integrais:
a)
b)
∫0,0 ,0
2,3 ,−62x dx2ydy2z dz
∫1,1 ,2
3,5 ,0yz dxxz dyxy dz
Qual é o caminho de integração?
Teorema de Green
Teorema de Green Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos, orientada positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D, então
∮CPdxQdy=∬D ∂Q
∂ x−∂P∂ y dA
Teorema de Green
Curvas Planas
Simples Não Fechada
Não Simples Não Fechada
Simples Fechada
Não Simples Fechada
Teorema de Green
Regiões Conectadas
Região conectada simplesmente
Regiões não conectadas simplesmente
Região não conectada
Teorema de Green
Exemplo 1:
Calcule , onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) e de (0, 1) a (0, 0).
∮Cx4 dxxy dy
Teorema de Green
Exemplo 1: Solução
Teorema de Green
Exemplo 2: Calcule
onde C é o círculo .
∮C3y−esen xdx7x y41dy
x2 y2=9
Teorema de Green
Exemplo 2: Solução
Teorema de Green
Exercício 1:
Calcule a Integral
Onde C é o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas x=1 e y=1.
∮Cxydy− y2dx
Teorema de Green
Exercício 1: Solução
Teorema de Green
Exercício 2
Aplique o teorema de Green para calcular as integrais abaixo (curvas c/ orientação positiva):
a)
b)
∮C6yx dx y2x dy
∮C3y dx2x dy
C :x−22 y−32=4
C : 0≤x≤ , 0≤ y≤sin x A fronteira de
Teorema de Green
Exercício 3
Calcule a integral abaixo (verifique orientação antes de calcular a integral).
∮CF⋅d r
F=⟨exx2 y , e y−x y2⟩
C : x2 y2=25 Sentido Horário
Aplicações
Cálculo de Áreas
Como a área de uma região D é , desejamos escolher P e Q tais que
Existem várias possibilidades
∫∫d1dA
∂Q∂ x−∂P∂ y=1
P x , y =0
Q x , y =x
P x , y =− y
Q x , y =0
P x , y =−12
y
Q x , y =12
x
Aplicações
Exemplo 1
Determine a área delimitada pela elipse abaixo utilizando o teorema de Green:
x2
a2y2
b2=1
Aplicações
Exemplo 1: Solução
Aplicações
Exercício 1
Determine a área delimitada por uma circunferência de raio R utilizando o teorema de Green.
Aplicações
Exercício 2
Use o teorema de Green para achar a área sob um arco da cicloide abaixo:
x=t−sin t
y=1−cos t
Teorema de Green
União de Regiões Simples
∮C1∪C3
PdxQ dy=∬D1 ∂Q∂ x
−∂ P∂ y dA
∮C2∪−C3
PdxQ dy=∬D2 ∂Q∂ x−∂P∂ y dA
Teorema de Green
∮C1∪C3
P dxQ dy=∫C1
PdxQ dy∫C3
P dxQ dy
∮C2∪−C3
PdxQ dy=∫C 2
PdxQ dy∫−C3
P dxQ dy
∮C1∪C2
P dxQ dy
∮C1∪C2
P dxQ dy=∬D1∪D2 ∂Q∂ x−∂P∂ y dA
+
∫C1
P dxQ dy∫C2
P dxQdy
=
Teorema de Green
Regiões Não Conectadas Simplesmente
∮∂D'PdxQ dy=∬D ' ∂Q
∂ x−∂P∂ y dA
∮∂D' 'P dxQdy=∬D ' ' ∂Q
∂ x−∂ P∂ y dA
∮C1
PdxQdy∮C2
PdxQ dy=∬D ∂Q∂ x−∂P∂ y dA
Teorema de Green
Exemplo 1
Calcule a integral abaixo se C for uma curva simples fechada lisa por partes orientada no sentido anti-horário, de modo que
(a) não envolva a origem
(b) envolva a origem.
∮C
−y dxx dy
x2 y2
Teorema de Green
Exemplo 1: Solução
Se não incluirmos a origem: para qualquer caminho a integral de linha é igual a zero (o teorema de Green garante!).
C1C2
C3
Teorema de Green
Exemplo 1: Solução
Se incluirmos a origem: Qualquer caminho a integral de linha é igual a 2π (o teorema de Green garante!).
C4
C5
Superfícies Parametrizadas
Curvas Parametrizadas
Superfícies Parametrizadas
t0 2π
y
x
r t =a cost ia sin t j
x
y
z
2
r ,=a sin cos iasin sin jacosk
Domínio de r(t)
Domínio de r(φ, θ) Esfera de raio a
Circunferência de raio a (Sentido Anti-horário)
Superfícies Parametrizadas
Exemplo 1
Determine a parametrização do cilindro
x2 y2=4, 0≤z≤1
Superfícies Parametrizadas
Exemplo 1: Solução
O cilindro tem representação .
Sabemos que em coordenadas cilíndricas:
como: obtemos
1z
2
r=2, 0≤z≤1
x=2cos y=2sin z=z
r=x i y jz k
r , z =2cos i2sin jz k
Domínio de r(θ,z)
Superfícies Parametrizadas
Exemplo 2
Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elíptico z=x22 y2 .
Superfícies Parametrizadas
Exemplo 2: Solução
Podemos escolher x e y para parâmetros livres.
r=x i y jz k
r x , y =x i y jx22 y2k
D : x , y ∈ ℝ2
Superfícies Parametrizadas
Parametrizando Superfícies de Revolução
Seja S uma superfície criada a partir da rotação de uma dada função f(x) em torno do eixo x.
x=x
y=f x cos
z=f x sin
r x , y =x if x cos jf x sin k 0≤≤2
Superfícies Parametrizadas
Exemplo 3:
Determine as equações paramétricas da superfície gerada pela rotação da curva abaixo em torno do eixo x:
y=sin x , 0≤x≤2
Superfícies Parametrizadas
Exemplo 3: Solução
D : 0≤x≤2 , 0≤≤2
r x , y =x if x cos jf x sin k
r x , y =x isin x cos jsin x sin k
Planos Tangentes
Equação do Plano Tangente
Sabemos determinar a equação do plano tangente a uma superfície quando essa é dada em forma de função escalar.
Exemplo
Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto z=x22 y2 1,1 ,3.
Planos Tangentes
Solução:
z=x22 y2 1,1 ,3
f x , y , z=x22 y2−zFunção para a qual a superfície é uma simples superfície de nível.
Superfície. Ponto em questão.
∇ f x , y , z=2x i4y j−1k
∇ f 1,1 ,3=2 i4 j−1 k
n⋅r−r0=0Eq. do Plano.
2x−14 y−1−1z−3=0Eq. do Plano Tangente
n=∇ fVetor normal ao plano.
Planos Tangentes
Solução:
Plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto (1,1,3) observado de dois lugares distintos. O plano e o paraboloide foram desenhados parcialmente para facilitar visualização.
Planos Tangentes
Equação do Plano Tangenter u , v =f u , v ig u , v jhu , v k
Planos Tangentes
Equação do Plano Tangente
r u , v =f u , v ig u , v jhu , v k
ru=∂ f∂uu0 , v0 i
∂ g∂uu0 , v0 j
∂h∂uu0 , v0k
r v=∂ f∂ vu0 , v0 i
∂ g∂ vu0 , v0 j
∂h∂ vu0 , v0k
n = ru × rv
Planos Tangentes
Exemplo 1:
Calcule o plano tangente à superfície abaixo no ponto (1,1,3):
r x , y =x i y jx22 y2k
Planos Tangentes
Exemplo 1: Solução
r x , y=x i y jx22 y2k
r x=∂ r∂ x
r y=∂ r∂ y
r x=1 i2 x k
r y=1 j4 y k
Planos Tangentes
Exemplo 1: Solução
r x , y=x i y jx22 y2k
r x=∂ r∂ x
r y=∂ r∂ y
r x=1 i2 x k
r y=1 j4 y k
Planos Tangentes
Exemplo 1: Solução
r x , y=x i y jx22 y2k
r x=1 i2 x k r y=1 j4 y k
n⋅r−r0=0Eq. do Plano.
2x−14 y−1−1z−3=0Eq. do Plano Tangente
n=r x×r y n=−2 i−4 j1k
−2x−1−4 y−11z−3=0
Área de Superfície
Definição: Se uma superfície parametrizada lisa S é dada pela equação
e S é coberta uma única vez quando (u,v) varre todo o domínio D dos parâmetros, então a área da superfície S é
r u , v =f u , v ig u , v jhu , v k u , v ∈D
A S =∬D∣ru×r v∣dA
A origem desta expressão será investigada após o estudo de seu uso.
Área de Superfície
Exemplo 1:
Calcule a área da esfera de raio a.
Área de Superfície
Exemplo 1: Solução
A parametrização de uma esfera de raio a é dada por
r ,=a sin cos ia sin sin ja cos k
r=acoscos iacos sin j−a sin k
r=−asin sin iasin cos j
∣r×r∣=a2sin
Área de Superfície
Exemplo 1: Solução
∣r×r∣=a2sin
∬D∣r×r∣dA=∬D
a2 sin dA
∫0
∫0
2a2 sin dd =4 a2
Não se deixe enganar pelas aparências. Trata-se de uma integral dupla no sistema de coordenadas cartesianas.
2Domínio de r(φ, θ)
Área de Superfície
Exemplo 2
Determine a área da parte do plano
que está no primeiro octante.
3x2yz=6
Área de Superfície
Exemplo 2: Solução
Podemos parametrizar a região
no primeiro quadrante da seguinte forma:
3x2yz=6
x
y
z6
3
2
r x , y =⟨ x , y ,−3 x−2 y6⟩
3
y
x2
Domínio da parametrizaçãoSuperfície cuja área está sendo calculada.
Área de Superfície
Exemplo 2: Solução
x
y
z6
3
2
r x×r y=∣i j k1 0 −30 1 −2∣=3 i2 j1 k
∣r x×r y∣=322212=14
r x=⟨1,0 ,−3⟩
r y=⟨0,1 ,−2⟩
Área de Superfície
Exemplo 2: Solução
∣r x×r y∣=14
∬D∣r x×r y∣dA=14∬D
dA=314
Área de Superfície
Exemplo 3:
Determine a área da parte do plano
que está dentro do cilindro
2x5yz=10
x2 y2=9.
A imaginem a superfície!
Área da Superfície
Exemplo 3: Solução
A superfície cuja área está sendo calculada está dentro do cilindro.
Plano mais cilindro.
Área de Superfície
Exemplo 3: Solução
O plano dentro do cilindro pode ser parametrizado da seguinte forma.
2x5yz=10
r x , y =⟨ x , y ,10−2 x−5 y ⟩
3
y
x3-3
-3
Domínio da parametrização
Área de Superfície
Exemplo 3: Solução
r x , y =⟨ x , y ,10−2 x−5 y ⟩
r x=⟨1,0 ,−2⟩ r y=⟨0,1 ,−5⟩
r x×r y=2 i5 j1k
∣r x×r y∣=30
∬D∣r x×r y∣dA=30∬D
dA=9 30
Área de Superfície
Caso Particular
Superfície dada por z = f(x,y) pode ser parametrizada da seguinte forma
r x , y =⟨ x , y , f x , y ⟩
r x=⟨1,0 ,∂ f x , y ∂ x ⟩
r y=⟨0,1 ,∂ f x , y ∂ y ⟩
r x×r y=⟨−∂ f∂ x
,−∂ f∂ y
,1⟩
Área de Superfície
Caso Particular
r x×r y=⟨−∂ f∂ x
,−∂ f∂ y
,1⟩
A S =∬D ∂ z∂ x
2
∂ z∂ y
2
1dA
∣r x×r y∣= ∂ f∂ x
2
∂ f∂ y
2
1 = ∂ z∂ x
2
∂ z∂ y
2
1
Área de Superfície
Exemplo 4:
Determine área do paraboloide que está abaixo do plano
z=x2 y2
z=9
Área de Superfície
Exemplo 4: Solução
Determine área do paraboloide que está abaixo do plano
z=x2 y2
z=9
A S =∬D12x 22y 2dA
A S =63737−1
Área de Superfície
Exemplo 5:
Calcule a área do paraboloide hiperbólico que está entre os cilindros x2 y2=1
x2 y2=4z= y2−x2
Área de Superfície
Exemplo 5: Solução
z= y2−x2
A superfície cuja área está sendo calculada está entre os cilindro.
Paraboloide mais cilindros.
Integral de Superfície
Suponha que cada ponto de uma superfície S tenha um determinada densidade superficial f.
Se quisermos determinar a massa da superfície S, calculamos:
f=f x , y , z
∬Sf x , y , zdS
AtençãodS: elemento de superfície.Já utilizamos dS para elemento de arco.
Integral de superfície de um campo escalar
Integral de Superfície
É possível mostrar que o elemento de superfície é dado por
O que nos leva a
∬Sf x , y , zdS=∬D
f x , y , z∣ru×r v∣dA
dS=∣ru×r v∣dA
Atenção para esta mudança sutil.S: superfície. D: Domínio da parametrização da superfície.
Integral de Superfície
Exemplo 1:
Calcule a integral de superfície abaixo:
∬Sx2dS S : x2 y2z2=1
Integral de Superfície
Exemplo 1: Solução
Um exercício anterior nos forneceu as seguintes relações:
∬Sx2dS=∬D
sin cos 2sin dA
r ,=sin cos isin sin jcosk
∣r×r∣=sin
2Domínio de r(φ, θ)
Integral de Superfície
Exemplo 1: Solução
∬Sx2dS=∬D
sin cos 2sin dA
=∫0
2
∫0
sin 3cos2dd
=∫0
2cos2d∫0
sin 3d
=∫0
2cos 2d∫0
sin 2sin d
Integral de Superfície
Exemplo 1: Solução
=∫0
2cos 2d∫0
sin 2sin d
=∫0
2cos 2d∫0
1−cos2sin d
=∫0
2cos2d∫0
sin −cos2 sin d
=43
Integral de Superfície
Exemplo 2:
Calcule a integral de superfície abaixo:
∬Sxz dS S : x yz=1 No primeiro octante.
Integral de Superfície
Exemplo 2: Solução
∫Sxz dS S : x yz=1 No primeiro octante.
x
y
z1
1
1
Superfície na qual a integral está sendo calculada.
Integral de Superfície
Exemplo 2: Solução
A superfície pode ser escrita como função de x e y:
∬Sxz dS
z=1−x− y
=∬Dxz∣ru×r v∣dA=∬D
xz 1 ∂ z∂ x
2
∂ z∂ y
2
dA
=∬Dxz 1 −1
2−1
2dA=∬D
xz3 dA
Integral de Superfície
Exemplo 2: Solução
∬Dxz3dA=∬D
x 1−x− y 3dA
z=1−x− y
1
y
x1
Região de Integração
∫0
1
∫0
1−xx 1−x− y 3dy dx=3
24
Integral de Superfície
Exemplo 3:
Calcule a integral de superfície abaixo:
∬Sy2 z2dS S : z=x2 y2
Entre os planos z =1 e z=2.
Integral de Superfície
Exemplo 3: Solução
Calcule a integral de superfície abaixo:
∬Sy2 z2dS
=∬Dy2 z2
∣ru×r v∣dA=∬Ry2 z21 ∂ z
∂ x 2
∂ z∂ y
2
dA
=∬Ry2x2 y2
2dA
Qual é o domínio?
Integral de Superfície
Exemplo 3: Solução
=∬Ry2x2 y2
2dA
=∬Rr sin 2 r2
2 r dr d
=2∫0
2
∫1
2r5 sin 2dr d=
21
2
Integral de Superfície
Campo Vetorial
A definição de integral de superfície para este tipo de campo necessita de superfícies orientadas.
∬SF x , y , z ⋅d S
AtençãodS: elemento de superfície orientado.
Fluxo do campo vetorial F através da superfície S.
Integral de Superfície
Orientação de Superfície
Utilizamos um vetor unitário normal à superfície para definir sua orientação positiva.
Nem toda superfície é orientável.
n=ru×r v
∣ru×r v∣
Integral de Superfície
Exemplo 1:
Determine uma orientação para a superfície abaixo:
n=ru×rv
∣ru×rv∣3
3
2
x
y
z
Integral de Superfície
Exemplo 1: Solução
Não é preciso utilizar a fórmula abaixo.
n=ru×r v
∣ru×r v∣
3
3
2
x
y
z
n=2 i3 j3 k
n=2
22i
3
22j
3
22k
Todos os pontos da superfície apresentam igual vetor orientação.
Integral de Superfície
Exemplo 2:
Determine uma orientação para a esfera de raio a (sentido positivo para fora) centrada na origem.
Integral de Superfície
Exemplo 2: Solução
r ,=a sin cos ia sin sin ja cos k
r=acoscos iacos sin j−a sin k
r=−asin sin iasin cos j
⟨a2sin2cos , a2 sin2sin , a2cos sin ⟩
r×r=
∣r×r∣=a2sin
Integral de Superfície
Exemplo 2: Solução
⟨a2sin2cos , a2 sin2sin , a2cos sin ⟩
r×r=
∣r×r∣=a2sin
n=r×r∣r×r∣
=⟨sin cos , sin sin ,cos⟩
Integral de Superfície
Exemplo 3:
Determine a orientação para uma superfície cilíndrica de raio a.
Integral de Superfície
Exemplo 3: Solução
r , z =a cos iasin jz k
r=−asin iacos j r z=k
r×r z=acos iasin j
∣r×r z∣=a
n=r×r∣r×r∣
n=cos isin j
Integral de Superfície
Calculando
O cálculo da integral de superfície pode ser feito utilizando os seguintes fatos:
∬SF⋅d S=
∬SF⋅n dS=∬S
F⋅ru×r v
∣ru×r v∣dS=∬D
F⋅ru×r v
∣ru×r v∣∣ru×r v∣dA=
∬DF⋅ ru×rvdA
Integral de Superfície
Exemplo 1:
Encontre o fluxo do campo vetorial dado abaixo através de uma esfera de raio a centrada na origem.
F=z k
Integral de Superfície
Exemplo 1: Solução
F=z k=a cos k
⟨a2sin2cos , a2 sin2sin , a2cos sin ⟩r×r=
∬DF⋅ ru×rvdA
O valor de z foi copiado da parametrização da esfera.
∬Da3cos2
sin dA
Integral de Superfície
Exemplo 1: Solução
∬DF⋅ ru×rvdA =∬D
a3cos2sin dA
2Domínio de r(φ, θ)
= ∫0
2
∫0
a3cos2 sin dd
=4 a3
3
Integral de Superfície
Exemplo 2:
Calcule a integral de superfície para e S sendo o cubo .
∬SF⋅d S±1,±1,±1F=x i2y j3z k
Integral de Superfície
Exemplo 2: Solução
Para o plano x = 1
Para o plano x = -1
F=1 i2y j3z k n=i
∬SF x , y , z ⋅ndS=∬S
dS=4
F⋅n=1
F=−1 i2y j3z k n=−i
∬SF x , y , z ⋅ndS=∬S
dS=4
F⋅n=1
Integral de Superfície
Exemplo 2: Solução
F n ∬SF⋅ndSF⋅n
1 i2y j3z k
Plano
x=1
x=−1
y=1
y=−1
z=1
z=−1
−1 i2y j3z k
i 1 4
−i 1 4
x i2 j3z k
x i−2 j3z k
j 2 8
−j 2 8
x i2y j3 k
x i2y j−3 k
k 3 12
−k 3 12
48
Integral de Superfície
Caso Particular
Uma superfície dada por pode ser considerada uma superfície de nível de uma função de três variáveis:
G x , y , z =z−f x , y
G x , y , z =0 z=f x , y
z=f x , y
Integral de Superfície
Caso Particular
Nesta situação, nos fornece um vetor perpendicular à superfície.
É possível provar que
∇G
∇G=r x×r y
∫SF⋅d S=∫D
F⋅ r x×r ydA= ∫DF⋅∇G dA
Integral de Superfície
Prova
∇G = r x×r y
G x , y , z =z−f x , y
z=f x , y Superfície
r x , y =x i y jf x , y k
r x=1 i∂ f∂ x
k
r y=1 j∂ f∂ y
k
r x×r y=−∂ f∂ xi−∂ f∂ y
j1 k∇G=−∂ f∂ xi−∂ f∂ y
j1 k
Integral de Superfície
Exemplo 3:
Calcule a integral de superfície abaixo:
∫SF⋅d S
F=xy i4x2 j yz k S : z=x e y 0≤x≤1, 0≤ y≤1
Teorema da Divergência
Teorema da Divergência: Seja G um sólido cuja superfície S
1 é orientada para fora. Se
onde f, g e h possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo G, e se dS for o elemento de superfície orientado para fora, então
F x , y , z =f x , y , z ig x , y , z jhx , y , z k
∮S1
F⋅d S=∭G∇⋅F dV
Teorema da Divergência
Operador Nabla e suas aplicações
∇⋅F=div F=∂ f∂ x∂ g∂ y∂h∂ z
∇=∂
∂ xi
∂
∂ yj
∂
∂ zk
∇ f=∂ f∂ xi
∂ f∂ y
j∂ f∂ zk
f x , y , z
F x , y , z =f igjhk
Gradiente
Divergente
Teorema da Divergência
Exemplo 1:
Calcule a integral de superfície para e S sendo o cubo .
∬SF⋅d S±1,±1,±1F=x i2y j3z k
Teorema da Divergência
Exemplo 2:
Calcule a integral de superfície para e S a superfície esférica
∫SF⋅d S
x2 y2z2=4F=x2 ixz j3z k
Teorema da Divergência
Exemplo 3:
Calcule a integral de superfície para , onde S são as superfícies do cilindro sólido entre o plano z =0, do paraboloide e do círculo em z=0 que fecha a região.
∫SF⋅d S
x2 y2=4F= y ixy j−z k
z=x2 y2
Integral de Superfície
Exemplo 3:
x2 y2=4, 0≤z≤4z=x2 y2
Integral de Superfície
Exemplo 3:
Superfície do exemplo 3: Lateral do cilindro + paraboloide + círculo inferior.
Teorema de Stokes
Teorema de Stokes: Seja S1 uma superfície orientada
lisa por partes limitada por uma curva C lisa por partes, fechada, simples e com orientação positiva. Se as componentes do campo vetorial
forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo S
1,
então:
F x , y , z =f x , y , z ig x , y , z jhx , y , z k
∮CF⋅d r=∬S1
∇×F⋅d S
Teorema de Stokes
Rotacional de um Campo Vetorial
∇×F=
Teorema de Stokes
Orientação Relativa de Curvas e Superfícies
O caminhante deve andar com a cabeça na direção dos vetores que orientam a superfície.
Orientação positiva: a superfície fica a esquerda do caminhante.
Teorema de Stokes
Exemplo 1:
Verifique o teorema de Stokes para a situação abaixo:
z=1− x2 y2
F=⟨ y , z , x ⟩
Teorema de Stokes
Exemplo 1: Solução
z=1− x2 y2
F=⟨ y , z , x ⟩
∮CF⋅d r=∬S1
∇×F⋅d S
r t =⟨cos t , sin t ,0⟩ 0≤t≤2
∮CF⋅d r=−
A integral de linha
Teorema de Stokes
Exemplo 1: Solução
F=⟨ y , z , x ⟩
∮CF⋅d r=∬S1
∇×F⋅d S
G=z−1x2 y2
A integral de superfície
∬S1
∇×F⋅d S=∬D∇×F ⋅∇GdA
∬D−2x−2y−1dA=∫0
2
∫0
1−2r cos−2r sin−1r dr d =−
∬S1
∇×F⋅d S=−
Teorema de Stokes
Exemplo 2:
Calcule , onde e C é a curva da intersecção do plano com o cilindro (oriente C no sentido anti-horário quando visto de cima.)
F=−y2 ix jz2k∫CF⋅d r
yz=2x2 y2=1
Imagine a situação.
Teorema de Stokes
Exemplo 2:
Calcule , onde e C é a curva da intersecção do plano com o cilindro (oriente C no sentido anti-horário quando visto de cima.)
F=−y2 ix jz2k∫CF⋅d r
yz=2x2 y2=1
Teorema de Stokes
Exemplo 2: Solução
∇×F=12y k
∬S1
∇×F⋅d S=∬D∇×F ⋅∇GdA
G=z2− y
∬D∇×F⋅∇GdA=∬D
12y dA
∫0
2
∫0
112 r sinr dr d =
∫CF⋅d r=
Teorema de Stokes
Exemplo 3:
Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde
e S é a parte da esfera de raio 2 centrada na origem que está dentro do cilindro e acima do plano xy.
F=xz i yz jxy k
x2 y2=1
∬S1
∇×F⋅d S
Imagine a situação.
Teorema de Stokes
Exemplo 3:
Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde
e S é a parte da esfera de raio 2 centrada na origem que está dentro do cilindro e acima do plano xy.
F=xz i yz jxy k
x2 y2=1
∬S1
∇×F⋅d S
Teorema de Stokes
Exemplo 3: Solução
Vamos utilizar o teorema de Stokes para calcular uma integral de superfície.
∬S1
∇×F⋅d S=∮CF⋅d r
F=xz i yz jxy k
r=cos t isin t j3 k
∫0
2−3cos t sin t3sin t cos t dt=0
Teorema de Stokes
Exemplo 4:
Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial numa partícula que percorre o retângulo C no plano z = y, mostrado na figura abaixo:
F x , y , z =x2 i4xy3 j y2 x k
Teorema de Stokes
Exemplo 4: Solução
O trabalho é dado por
Vamos aplicar o Teorema de Stokes para evitar o cálculo de quatro integrais de linha.
W=∮CF⋅d r=∬S1
∇×F⋅d S
∇×F=2 xy i− y2 j4y3k
Teorema de Stokes
Exemplo 4: Solução
Como z=f(x,y) (Caso particular)
∇×F=2 xy i− y2 j4y3k
W=∬S1
∇×F⋅d S=∬D∇×F⋅∇G dA
G x , y , z = y−z
∇G x , y , z = j−kObserve que invertemos isso! Foi necessário para conservar a orientação
positiva.
Teorema de Stokes
Exemplo 4: Solução
∇G⋅∇×F=− y2−4y3
W=∬D∇×F⋅∇G dA=∫0
1
∫0
3−y2−4 y3dy dx
−∫0
1 [ y3
3 y4 ]
y=0
y=3
dx=−∫0
190dx= −90
Teorema de Stokes
Exemplo 5:
Use o Teorema de Stokes para calcular a
integral , onde
onde C é o círculo no plano xy, no sentido anti horário quando vista de cima.
F=2y i3x j−z2 k
x2 y2=9∬C
F⋅d r
Teorema de Stokes
Exemplo 6:
Use o Teorema de Stokes para calcular a
integral , onde
onde C é a elipse no plano xy, no sentido anti horário quando vista de cima.
F=x2 i2x jz2k
4x2 y2=4
∬CF⋅d r