เงื่อนไขขอบเขตธรรมชาติ ( Natural Boundary Conditions )

เงื่อนไขขอบเขตที่เราพิจารณาในตอนที่ผานมา เปนการกําหนดคาแนนอน (specified) ที่จุดขอบทั้ง 2 ดานของฟงกชัน ทําใหการแปรผันของฟงกชั่นมีคาเปนศูนย ที่จุดปลายดังกลาว เราเรียกเงื่อนไขประเภทนี้วา “ เงื่อนไขขอบเขตทางเรขาคณิต ( geometric boundary conditions ) หรือเงื่อนไขขอบเขตประเภทที่หนึ่ง ( boundary conditions of the first kind ) หรือเงื่อนไขขอบเขตจําเปน ( essential boundary conditions ; EBCs ) ”

ในตอนนี้ สมมติใหการแปรผันไมไดถูกกําหนดคาแนนอน (not specified) ที่จุดขอบดานใดดานหนึ่ง หรือทั้งสองดานของฟงกชั่น ทําใหการแปรผันของเสนโคง มีคาไดอยางอิสระตรงขอบดานที่ไมไดกําหนดคา

โดยไมสูญเสียนัยสําคัญของกรณีทั่วไป สมมติใหคาของทุกฟงกชั่นที่จุด 1x กําหนดโดย 11 yxy และในกรณีนี้ การแปรผัน y ที่จุด 2x ไมเทากับศูนย (ดูรูปที่ 7)

รูปที่ 7 : การแปรผันของฟงกชั่น ,xy สําหรับเงื่อนไขขอบเขตธรรมชาติ

คาสุดขีดของฟงกชั่นพิจารณาจากการแปรผันปริพันธของฟงชั่นนัลแลวกําหนดใหเทากับศูนย เมื่อเราเขียนในรูปของสัญลักษณการแปรผันจะได

x1 x2

y1

y2

x

y

)()(*),( xxyxy

)(* xy 2xy

02

2

1

xyy

Fdxy

y

F

dx

d

y

FI

x

x

ดังนั้น จะมีเง่ือนไขจําเปนสําหรับคาสุดขีดของฟงกชั่น 2 เง่ือนไขคือ

1. จากบทตั้งมูลฐานแคลคูลัสของการแปผัน

0

y

F

dx

d

y

F

2. เนื่องจากการแปรผัน 2xy ไมจําเปนตองเทากับศูนย ดังนั้น

02

xxy

F

ในทํานองเดียวกัน ถาเราพิจารณากรณีที่ 01 xy เงื่อนไขจําเปนสําหรับใหคาสุดขีด คือ

01

xxy

F

ดังนั้น จึงสรุปไดวา

ถา 1xy ไมกําหนดคาแนนอน แลว 0

y

F ที่ 1xx

ถา 2xy ไมกําหนดคาแนนอน แลว 0

y

F ที่ 2xx

เราเรียกเงื่อนไขขอบเขตที่เพิ่มเขาไปนี้วา “ เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สอง (boundary conditions of the second kind) หรือเงื่อนไขขอบเขตธรรมชาติ (natural boundary condition ; NBC) ” ในทางกลศาสตรมักเรียกเงื่อนไขขอบเขตของจุดที่มีการเปลี่ยนแปลงนี้วา “ เงื่อนไขขอบเขตเชิงพลวัต (dynamic boundary conditions) ” และในบางครั้ งเงื่อนไขขอบเขตอยูในรูปของ 0, 11 xyxyg และ 0, 22 xyxyh ซึ่งเราจะเรียกวา “ เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สาม (boundary conditions of the third kind) ”

ตัวอยาง จงหาสมการเชิงอนุพันธ และเงื่อนไขคาขอบเขตสําหรับคาสุดขีดของการแปรผัน

1

0

22][ dxyxqyxpyI

โดยที่ p และ q เปนคาคงที่บวก และ กําหนดเงื่อนไขขอบเขตธรรมชาติ (NBC) ,00 y และ 1y

ไมกําหนดคา

วิธีทํา จากสมการออยเลอร-ลากรอนจ

โดยพิจารณา yxqy

F2

และ yxp

y

F

2

จะได 10,0 xyxqyxpdx

d ‡

การขยายใหอยูในรูปกรณีทั่วไป ( Generalizations )

ในปญหาการแปรผันที่กลาวมาตั้งแตตน ฟงกชั่นนัลที่กลาวถึงอยูในรูปแบบของฟงกชั่น 1 ฟงกชั่นกับอนุพันธของฟงกชั่นนั้น ซึ่งเปนรูปแบบที่งายที่สุดกลาวคือ

yyxFF ,,

สําหรับกรณีทั่วไป ฟงกชั่นนัลอาจประกอบดวยฟงกชั่น (และอนุพันธของมัน) มากกวา 1 ฟงกชั่นแตยังคงขึ้นอยูกับตัวแปรอิสระ x ตัวเดียว ฟงกชั่นนัลดังกลาว อยูในรูปแบบของ

yy ,,xFF (15)

โดยที่ nyyy ,...,, 21y และ nyyy ,...,, 21y

โดยอาศัยวิธีการของตัวดําเนินการการแปรผัน เพื่อหาเงื่อนไขจําเปนสําหรับคาสุดขีดของฟงกชั่นทุกฟงกชั่น พิจารณาปริพันธของฟงกชั่นนัล

2

1,,][

x

xdxxFI yyy

จะได 2

1

2

1][

x

x

x

xFdxFdxI y

n

x

xn

x

xydx

y

Fydx

y

F

2

11

2

11

...

n

x

xn

x

xydx

y

Fydx

y

F

2

11

2

11

...

dxyy

Fy

y

Fdxy

y

Fy

y

F x

x

nn

x

x

nn

2

1

11

2

1

11

......

dxyy

Fy

y

Fx

x

n

ii

ii

i

2

1 1

partbynIntegratio

x

x

n

ii

i

x

x

n

ii

i

x

x

n

ii

i

dxyy

F

dx

dy

y

Fdxy

y

F

2

1 1

2

11

2

1 1

ดังนั้น dxyy

F

dx

d

y

FI i

x

x

n

i ii

2

1 1

][y (16)

เนื่องจากฟงกชั่น iy สามารถแปรคาไดอยางอิสระ ดังนั้นสมการออยเลอร-ลากรอนจ จึงอยูในรูป

,0

ii y

F

dx

d

y

F ni ,...,2,1 (17)

เงื่อนไขจําเปนขางตนประกอบดวย ระบบสมการเชิงอนุพันธที่มีความเกี่ยวโยงกันอยู n สมการ

ตัวอยาง จงแสดงใหเห็นวาเงื่อนไขจําเปน สําหรับเสนโคงในรูปของสมการอิงตัวแปรเสริม

txXtxXtxX nn ,...,, 2211 ซึ่งทําให

2

1 2121 ,...,,,,...,,,t

t nn dtxxxxxxtF เปนคาสุดขีดคือ

0

kk x

F

x

F

dt

d

เมื่อ nk ,...,2,1

วิธีทํา เชนเดียวกับกรณีที่ฟงกชั่นนัลประกอบดวยฟงกชั่นหนึ่งฟงกชั่น เงื่อนไขจําเปนสําหรับคาสุดขีดคือ

02

1

2

1

t

t

t

tdtFdtF

เมื่อใชกับฟงกชั่นนัลที่ประกอบดวยฟงกช่ันหลายฟงกชั่น จะได

0...2

1

11

11

dtxx

Fx

x

Fx

x

Fx

x

Ft

t

nn

nn

โดยใชความจริงที่วา dt

xdx

dt

xdx n

n

...,,1

1 และหาปริพันธทีละสวน จะได

01

2

1

0

2

11

2

1

n

k

t

t

kk

t

t

kk

n

k

t

t

kk

dtxx

F

dt

dx

x

Fdtx

x

F

เนื่องจาก nxx ...,,1 เปนคาไมเจาะจง

ดังนั้น ,0

kk x

F

dt

d

x

F

nk ,...,2,1 ‡

ฟงกชั่นหลายตัวแปรอิสระ ( Several Independent Variables )

ในหลายปญหาเราจะพบวา คาสุดขีดที่เราตองการหา เปนฟงกชั่นของหลายตัวแปรอิสระ เชนการแกปญหาสมการคลื่น หรือการสั่นของเยื่อบาง เปนตน ซึ่งกรณีนี้โดเมนของปริพันธของฟงกชั่นนัลจะถูกกําหนดใหอยูบนระนาบ

พิจารณากรณีปญหา 2 มิติ กําหนดโดย u yxu , และปริพันธของฟงกช่ันนัลอยูในรูป

R

dydxyxy

u

x

uuFI ,,,, (18)

โดยที่ R เปนอาณาบริเวณของการหาปริพันธซึ่งครอบคลุมทุกเสนโคง C ของฟงกชั่น yxu , และ F เปนฟงกชั่นที่สามารถหาอนุพันธไดอยางนอย 2 ครั้ง เราตองการหาเสนโคง C ซึ่งใหคาของ yxu ,* โดยการทําใหปริพันธของฟงกช่ันนัลเปนคาต่ําสุด พิจารณาการเปลี่ยนแปลงนอย ๆ ของฟงกชั่น yxu , กําหนดโดย

yxyxuyxu ,,*, (19)

เมื่อ 0, yx บนเสนโคง C ซึ่งเปนเสนสุดขีด (stationary curve) แทนคาสมการ (19) ลงใน (18) และพิจารณา

RR

dxdyyxy

u

x

uuFdxdyyx

y

u

x

uuF

d

d

d

dI,,,,,,,,

0

R

y

y

x

xR

y

y

x

x

dxdyu

F

u

F

u

Fdxdy

u

u

Fu

u

Fu

u

F

โดยเทคนิคการหาปริพันธทีละสวน

0,

,

Cyx

R yx

R

yy

xx

yxu

F

u

F

dxdyyxu

F

yu

F

xu

F

dxdyu

F

u

F

u

F

เนื่องจาก 0, yx สําหรับคาสุดขีดของเสนโคง C ดังนั้น

0,

R yx

dxdyyxu

F

yu

F

xu

F

จากบทตั้งแคลคูลัสของการแปรผัน จึงสรุปเงื่อนไขจําเปนของ สมการออยเลอร-ลากรอนจในสองมิติ ( Euler–Lagrange in 2D ) ไดวา

yx u

F

yu

F

xu

F = 0 (20)

ในทํานองเดียวกัน สําหรับ u zyxu ,, จะได สมการออยเลอร-ลากรอนจในสามมิติ (Euler–Lagrange in 3D) กําหนดโดย

zyx u

F

z

F

u

F

yu

F

xu

F = 0 (21)

ตัวอยางเชน ในกรณีของ 2 มิติ กําหนดปริพันธของฟงกชั่นนัล yxu , โดย

dxdyyxufy

u

x

uyxuI

R

,2,22

จะได สมการออยเลอร–ลากรอนจ อยูในรูปแบบของ “ สมการปวซง (Poisson’ s equation) ” ดังนี้

yxfy

u

x

u,

2

2

2

2

ตัวอยาง ( Plateau’ s Problem ) กําหนดให เปนเสนโคงปด (closed curve) ในปริภูมิสามมิติ จงหาสมการของพื้นผิว u yxu , ซึ่งถูกลอมรอบดวยเสนโคง ดังกลาว โดยมีพื้นที่ผิวนอยที่สุด ในกรณีนี้กําหนดใหปริพันธของฟงกชั่นนัล ซึ่งแทนพื้นที่ผิวของฟงกชั่น yxu , มีคา

dxdyuuuAR

yx 221][

โดยที่ R เปนอาณาบริเวณของการโปรเจคชั่นพื้นผิว u ลงบนระนาบ xy ที่ลอมรอบดวยเสนโคง C

วิธีทํา เนื่องจาก yxu , ดังนั้น จึงพิจารณากรณีของสมการออยเลอร-ลากรอนจในสองมิติ

พิจารณา ,0

u

F 221 yx

x

x uu

u

u

F

และ

221 yx

y

y uu

u

u

F

แทนคาในสมการ (20) จะได

011 2222

yx

y

yx

x

uu

u

yuu

u

x

เมื่อจัดรูปแลวจะได 0121 22 yyxxyyxxxy uuuuuuu

ซึ่งเปน สมการเชิงอนุพันธยอยไมเชิงเสนอันดับสอง (non-linear PDE) สําหรับการหาพื้นที่ผิวนอยที่สุด เมื่อมีการกําหนดขอบเขตของเสนโคง มาให ‡

ตัวอยาง จงแสดงใหเห็นวา ปริพันธของฟงกชั่นนัล

dxdydzz

u

y

u

x

uI

R

222

2

1

มีฟงกชั่นสุดขีดเปนสมการลาปลาซ (Laplace’ s equation)

วิธีทํา เนื่องจาก zyxu ,, ดังนั้น จึงพิจารณากรณีของสมการออยเลอร-ลากรอนจในสามมิติ

และ ,0

u

F ,x

u

u

F

x

,

y

u

u

F

y

และ

z

u

u

F

z

จากสมการ (21) จะได สมการลาปลาซใน 3 มิติ คือ

02

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u ‡

ตัวอยาง สมมติให zyx ,, อยูในบริเวณปด R จงแสดงวาเงื่อนไขที่จําเปนสําหรับ

R

zyx dxdydz222

เปนคาสุดขีด คือ สมการลาปลาซในสามมิติ หรือ 02

ในโดเมน R

วิธีทํา เงื่อนไขจําเปนคือ ใหการแปรผันปริพันธของฟงกชั่นนัลมีคาเปนศูนย กลาวคือ

0222222 R

zyx

R

zyx dxdydzdxdydz (*)

เนื่องจาก zzyyxxzyx 222222

zyx zyx

222

ให R เปนอาณาบริเวณของการหาปริพันธ กําหนดโดย

2121213 ,,:,, zzzyyyxxxzyxR

พิจารณา

2

1

2

1

2

1

2 2z

z

y

y

x

x x

R

x dxx

dydzdxdydz

2

1

2

1

2

1

2

122

z

z

y

y

x

x

xx

xx dxx

dydz

2

1

2

1

2

12

z

z

y

y

x

x

x dxx

dydz

R

x dxdydzx

2

จะได

R

x

R

x dxdydzx

dxdydz

2

22 2 (**)

โดยใชความจริงที่วา 0 บนพื้นผิวปด R และในทํานองเดียวกัน เราจะได

R

y

R

y dxdydzy

dxdydz

2

22 2 (***)

R

z

R

z dxdydzz

dxdydz 2

22 2 (****)

แทนคาสมการ (**) , (***) และ (****) ในสมการ (*)

0

22

2

2

2

2

2222

R

zyx

R

zyx dxdydzzyx

dxdydz

เนื่องจาก เปนคาไมเจาะจง โดยอาศัยบทตั้งแคลคูลัสการแปรผัน จะได

02

2

2

2

2

2

zyxzyx หรือ 02

ในโดเมน R ‡

ปญหาของการแปรผันกับเงื่อนไขบังคับ ( Variational Problems with Constraints )

ในบางปญหาของการแปรผัน เราตองการหาฟงกชั่นซึ่งทําใหปริพันธของฟงกชั่นนัล

2

1,,

x

xdxyyxF (22)

มีคาสูงสุดหรือต่ําสุด ในขณะเดียวกันก็รักษาใหปริพันธของฟงกชั่นนัล

2

1,,

x

xdxyyxG (23)

มีคาเทากับคาคงที่บางตัวโจทยประเภทนี้เรียกวา ปญหาของการแปรผันโดยมีเงื่อนไขบังคับ (variational problem with constraints) โดยทั่วไปเราสามารถหาผลเฉลยไดโดยใชวิธีการของตัวคูณลากรอนจ (Lagrange multiplier) จากการนําสมการ (22) บวก เทาของสมการ (23) ในที่นี้ คือตัวคูณลากรอนจ ทําใหไดปริพันธของฟงกชั่นนัลในรูปแบบ

2

1

x

xdxGF (24)

ซึ่งตองเปนคาสุดขีด และนําไปสูสมการออยเลอร-ลากรอนจ

0

y

H

y

H

dx

d เมื่อ GFH (25)

ตัวอยาง ( The Isoperimetric Problem ) จงหารูปรางของเสนโคง C ที่มีความยาว ซึ่งปดลอมพื้นที่ไดมากที่สุด

วิธีทํา จากทฤษฎีบทของกรีน (Green’s theorem) ซึ่งกลาววา พื้นที่ที่ถูกปดลอมโดยเสนโคง C มีคา

C C

dxyyxdxydyxA2

1

2

1

ซึ่งถูกกําหนดใหความยาวของเสนโคงมีคาคงที่ dxySC

21 เปนเงื่อนไขบังคับ

โดยอาศัยวิธีการของตัวคูณลากรอนจ GFH

212

1yyyx (*)

ฟงกชั่นนัลที่รวมเงื่อนไขบังคับ จะตองสอดคลองกับสมการออยเลอร-ลากรอนจ

0

y

H

y

H

dx

d (**)

แทนคาสมการ (*) ลงใน (**)

จะได

02

1

12 2

y

yx

dx

d หรือ

011 2

y

y

dx

d

dxdx

y

y

dx

d21

121Cx

y

y

21222 1 Cxyy

2122

12 CxyCx

212

1

Cx

Cx

dx

dy

dx

dyy

dx

Cx

Cxdy

21

2

1

โดยเทคนิคการหาปริพันธ จะได

212

2 CxCy 222

21 CyCx นี่คือ สมการวงกลมรัศมี ‡

ตัวอยาง เชือกความยาว แขวนในแนวดิ่งอยางอิสระจากจุดตรึงสองจุดภายใตแรงโนมถวงของโลก จงแสดงใหวาเสนโคงของเชือกที่แขวนอยูมีลักษณะเปนคาเทนนารี (catenary) ซึ่งหลักการขอนี้สอดคลองกับหลักของพลังงานศักยต่ําที่สุดในทางกลศาสตร

วิธีทํา เมื่อระบบอยูในสภาวะสมดุลอยางสมบูรณ จะกลาววา 0

x

V หรือพลังงานศักย V มีคาต่ําสุด โดยมี

เงื่อนไขบังคับคือ ความยาวของเชือกมีคาคงที่ และสมมติใหเชือกมีมวล m จะไดวาฟงกชั่นนัลซึ่งอยูในรูปของพลังงานศักยโนมถวงมีคา

2

1.

1 P

PCG dsymgymgV

Fdxyymg x

x

2

1

21

จากเงื่อนไขบังคับ Gdxydsx

x

P

P

2

1

22

11

โดยอาศัยวิธีการของตัวคูณลากรอนจ GFH

22 11 yyymg

(*)

สําหรับกรณีที่ฟงกชั่นนัล yyHH , โดยอาศัยปริพันธคาแรกจากสมการ (9) (ในตอนที่ 1)

ซึ่งกําหนด 1Cy

HyH

(**)

แทนคาสมการ (*) ลงใน (**)

1

22 1

1 Cy

ymgyyy

mgy

12

2

11 C

y

yyy

mgy

12

22

1

1C

y

yymgy

121

Cy

mgy

212

2

1C

y

mgy

221

21

2

yCCmgy

จะได 21

2

12

1

21

2

1C

mgy

CC

Cmgy

dx

dyy

dxC

Cmgy

dy

12

1

2

1

โดยเทคนิคการหาปริพันธในรูปแบบของ Ca

u

au

du

1

22cosh

211

1cosh CC

x

C

mgy

mg

ดังนั้น 211

11 cosh CC

C

mgy

Cmg

yxx

หรือ

2

11 cosh C

C

xmgC

mgxyy

เมื่อคาคงที่ 21 ,CC พิจารณาจากเงื่อนไขขอบเขต ‡

ในบทความชุดนี้ซึ่งเปนตอนสุดทายจากทั้งหมด 3 ตอน ผูเขียนมีความตั้งใจที่จะนําเสนอในลักษณะของการประยุกตใชทฤษฎีแคลคูลัสของการแปรผันในปญหาตางๆ เชน ปญหาดานกลศาสตร เรขาคณิต ฯลฯ เพื่อเปนแนวทางสําหรับผูเริ่มตนศึกษา สําหรับผูที่สนใจสามารถศึกษาเพิ่มเติมไดจากตําราในเอกสารอางอิง

เอกสารอางอิง

1. Daviid J. Logan , Applied Mathematics a Contemporary Approach., John Wiley, 1987.

2. Donald A. McQuarrie, Mathematical Methods for Scientists and Engineers., 2003. 3. Leonid P. Lebedev & Michael J. Cloud, The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics., volume 12 in Series on stability, vibration and control of systems, World Scientific Publishing, Singapore, 2003, ISBN 981-238-581-9.4. Peter V. O' Neil, Advanced Engineering Mathematics (3rd editions)., Thomson Information Publishing, 1991.5. R. Weinstock, Calculus of Variations., Dover Publications, New York, 1974.6. C. Ray Wylie and Louis C. Barrett, Advanced Engineering Mathematics (6theditions)., McGraw-Hill, Inc., New York.

ขอมูลผูเขียน : นายอิทธิเดช มูลมั่งมี นักศึกษาปริญญาโท ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกลคณะวิศวกรรมศาสตร มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาธนบุร ี E-mail: profittidej@gmail.com

ชื่อบัญชี นายอิทธิเดช มูลมั่งมี เลขที่บัญชี 029-0-06107-5 ประเภทออมทรัพย ธนาคารกรุงไทย สาขา ถนนสุขสวัสดิ์ ที่อยู 53/463 หมูบานสามัคค ี(นวมินทร 105) ถนนนวมินทร ตําบลคลองกุม เขตบึงกุม กทม. 10240 เบอรโทรศัพท 08-6579-4040 หรือ 02-5108103