calculus1 6-all
TRANSCRIPT
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
1
แบบฝึกหัดที ่6.1 ข้อ 1 จงอนิทเิกรต
1.1) ( sin ) cos
= (xcosx cos )
x x dx xd x
xdx
= xcosx + sinx + C
2 2
2 2
2
2
11.2) ( 2 ) 2
ln 2
1 = ( 2 2 )
ln 2
1 = ( 2 2 2 )
ln 2
1 2 = ( 2 2 )
ln 2 ln 2
x x
x x
x x
x x
x dx x d
x dx
x xdx
x xd
2
2
1
1 12
2 3
1 2 = ( 2 { 2 2 })
ln 2 ln 2
1 2 2 = ( 2 { 2 )
ln 2 ln 2 ln 2
1 2 2 = 2
ln 2 (ln 2) (ln 2)
x x x
xx x
x xx
x x dx
x x C
xx C
2 2
3
2 = { ln 2 ln 2 2}
ln 2
x
x x x C
2 2
2
2 2
3 2 2
2
2 2
2
11.3) ( ) ( 1)
2
1 = ( 1)
2
1 = {( 1) ( 1)}
2
1 = {( 1)
2
x x
x
x x
x x e dx x e dx
x de
x e e d x
x
2 2
2 2
2 2
2
2
1
2
}
1 = {( 1) }
2
1 1 = ( 1)
2 2
x x
x x
x x
e e dx
x e e C
x e e C
221 =
2
xx e C
3
2
1.4) cos ec c osec cot
(cosec cot cot cosec )
(cosec cot (cosec cot ) )
x dx x d x
x x x d x
x x x x dx
2
3
3
1
cosec cot cosec (cosec 1)
cosec cot cosec cosec
2 cos ec = cosec cot ln | cosec cot |
x x x x dx
x x x dx x dx
x dx x x x x C
3 1 1 cosec = cosec cot ln | cosec cot |
2 2x dx x x x x C
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
2
2 211.5) cos( ) sin( )x ax dx x d ax
a
2 2
2
2
2
2
1
1= ( sin( ) sin( ) )
1 ( sin( ) 2 sin( ) )
1 2 ( sin( ) cos( ))
1 2 ( sin( ) { cos( ) cos( ) })
1 2 1 ( sin( ) { cos( ) sin( ) })
x ax ax dxa
x ax x ax dxa
x ax x d axa a
x ax x ax ax dxa a
x ax x ax ax Ca a a
2
2 3
1 2 2 sin( ) cos( ) sin( )x ax x ax ax C
a a a
1
1 1
1
11.6) ln( ) ln( )
1
1 ( ln( ) ln( ))
1
1 ( ln( ) )
1
n n
n n
n n
x ax dx ax dxn
x ax x d axn
x ax x dxn
1
1
1
1 ( ln( ) )
1 1
nn x
x ax Cn n
1 1 {ln( ) }
1 1
nxax C
n n
11.7) sin( ) cos( )
1 ( cos( ) cos(bx) )
1 ( cos( ) cos(bx) )
ax ax
ax ax
ax ax
e bx dx e d bxb
e bx deb
e bx a e dxb
2
1 ( cos( ) sin( ))
1 ( cos( ) { sin( ) sin( ) })
1 cos( ) { sin( ) sin( )
ax ax
ax ax ax
ax ax ax
ae bx e d bx
b b
ae bx e bx bx de
b b
ae bx e bx a e bx dx
b b
2
12 2
2 2
12 2
}
1 cos( ) sin( ) sin( )
1 sin( ) = cos( ) sin( )
sin( ) =
ax ax ax
ax ax ax
ax
a ae bx e bx e bx dx C
b b b
a b ae bx dx e bx e bx C
b b b
e bx dx
2 2 2 2 cos( ) sin( )ax axb a
e bx e bx Ca b a b
2 2= { sin( ) cos( )}
axea bx b bx C
a b
11.8) cos( ) sin( )ax axe bx dx e bx
b
1 ( sin( ) sin(bx) )
1= ( sin( ) sin(bx) )
ax ax
ax ax
e bx deb
e bx a e dxb
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
3
2
2
12 2
1 ( sin( ) cos( ))
1 ( sin( ) { cos( ) cos( ) })
1 sin( ) { cos( ) cos( ) }
1 sin( ) cos( ) cos( )
ax ax
ax ax ax
ax ax ax
ax ax ax
ae bx e d bx
b b
ae bx e bx bx de
b b
ae bx e bx a e bx dx
b b
a ae bx e bx e bx dx C
b b b
2 2
12 2
2 2 2 2
1 cos( ) = sin( ) cos( )
sin( ) = sin( ) cos( )
ax ax ax
ax ax ax
a b ae bx dx e bx e bx C
b b b
b ae bx dx e bx e bx C
a b a b
2 2
= { cos( ) sin( )}axe
a bx b bx Ca b
1.9) arcsin( ) xarcsin(ax) arcsin( )ax dx x d ax
2
2
2
2
2
xarcsin(ax) 1 ( )
1 ( ) xarcsin(ax)
2 1 ( )
1 {1 ( ) } xarcsin(ax)
2 1 ( )
axdx
ax
d ax
a ax
d ax
a ax
21 xarcsin(ax) 1 ( )ax C
a
1.10) ln(2 3) ln(2 3) ln(2 3)x dx x x x d x
2 ln(2 3)
2 3
3 ln(2 3) (1 )
2 3
3 ln(2 3)
2 3
3 (2 3) ln(2 3)
2 2 3
xx x dx
x
x x dxx
x x x dxx
d xx x x
x
3 ln(2 3) ln | 2 3 |
2x x x x C
arccot1.11) 2 arccot
2 arccot 2 arccot
xdx x d x
x
x x x d x
2 arccot 2 arccotx x x d x 1
2 arccot 1
x x dxx
2 arccot ln | 1 | x x x C
2
2 1ln1.12) ln
xdx x dx
x
22ln 1
ln x
d xx x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
4
2
2
21
2
2
2
2
ln ln 2
ln 2 ln
ln ln 1 2( ln )
ln ln 1 2 2
ln ln 2 2
x xdx
x x
xx dx
x
x xd x
x x x
x xdx
x x x
x xC
x x x
21 (ln 2ln 2)x x C
x
2 21.13) tan (sec 1) x xdx x x dx
2
2
2
sec
tan2
( tan tan )2
x dx x x dx
xx d x
xx x x dx
2
tan ln | sec | 2
xx x x C
2 3
3 3
33
2
11.14) arctan arctan
3
1 ( arctan arctan )
3
1 ( arctan )
3 1
x xdx x dx
x x x d x
xx x dx
x
3
2
2 23
2
1 ( arctan { } )
3 1
1 1 ( arctan )
3 2 2 1
xx x x dx
x
x dxx x
x
3 2 21 (2 arctan ln(1 ))
6x x x x C
1.15) cos(ln ) cos(ln ) cos(ln )
cos(ln ) sin(ln )
cos(ln ) { sin(ln ) sin(ln )}
x dx x x xd x
x x x dx
x x x x xd x
1 cos(ln ) sin(ln ) cos(ln )x x x x x dx C
1 2 cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x x C
cos(ln ) {cos(ln ) sin(ln )}2
xx dx x x C
2 2 21.16) ln( 4) ln( 4) ln( 4)x dx x x xd x
22
2 ln( 4) 2
4
x
x x dxx
2
2
4 ln( 4) 2 (1 )
4
x x dxx
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
5
2
2
2
2
2
2
1 ln( 4) 2 8
4
1 ln( 4) 2 2
12
1 ln( 4) 2 4 { }
21
2
x x dx dxx
x x dx dxx
xx x x d
x
2 ln( 4) 2 4arctan( )2
xx x x C
1.19) sin ln(cos ) ln(cos ) cosx x dx x d x
(cos ln(cos ) cos ln(cos ))
cos ln(cos ) sin
x x xd x
x x xdx
cos {1 ln(cos )}x x C
2 21.20) ( 3 5)cos ( 3 5) sinx x xdx x x d x
2 2
2
2
2
2
2
( 3 5)sin sin ( 3 5)
( 3 5)sin (2 3)sin
( 3 5)sin (2 3) cos
( 3 5)sin {(2 3)cos cos (2 3)}
( 3 5)sin (2 3)cos 2 cos
( 3
x x x xd x x
x x x x x dx
x x x x d x
x x x x x x d x
x x x x x x dx
x x
5)sin (2 3)cos 2sinx x x x C
2 ( 3 3)sin (2 3)cosx x x x x C
ln1.21) 2 ln
2 lnx 2 ln
1 2 lnx 2
xdx xd x
x
x xd x
x dxx
2 lnx 4x x C
2
3 3
2 22 2
ln 1 ln1.22)
2( 1) ( 1)
x x xdx dx
x x
1
2 2
2 2
ln ( 1)
ln 1 ln
1 1
x d x
xd x
x x
2 2
ln 1
1 1
xdx
x x x
2
ln arcsec( )
1
xx C
x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
6
2 21.23) sin sin x xe x dx x de 2 2
2
2
sin sin
sin 2 sin cos
sin sin 2
x x
x x
x x
e x e d x
e x e x x dx
e x e x dx
2
2
2
2
sin sin 2
sin ( sin 2 sin 2 )
sin sin 2 2 cos 2
sin sin 2
x x
x x x
x x x
x x
e x x de
e x e x e d x
e x e x e x dx
e x e x
2
2 2
2 2
1
2 (1 2sin )
sin sin 2 2 4 sin
5 sin = sin sin 2 2
x
x x x x
x x x x
e x dx
e x e x e dx e xdx
e x dx e x e x e C
2 21 sin = (sin sin 2 2)
5
x xe x dx e x x C
1.24) sin 2 sin
2 cos
2( cos cos )
x dx x xd x
xd x
x x xd x
2sin 2 cosx x x C
1
21.25) (1 )
(1 )
1 ( ( ))
1 1
1 ( ( ) )
1 1
1
xx
xx
xx x
x x
xedx xe d x
x
xed xe
x x
xexe e dx
x x
xe e
x
1 x( 1x ) )
1
1
(1 )1
xx
xx
x
dx
xee dx
x
xee C
x
xe C
x
1
xeC
x
22 1
2
22
1.26) ( 2)( 2)
1 ( )
2 2
xx
xx
x edx x e d x
x
x ed x e
x x
22
2
1 ( 2 )
2 2
2 2
x
x x
x x
x ex e xe dx
x x
x e xe
x x( 2x ) dx
2
2
xxx e
xe dxx
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
7
2
2
xxx e
xdex
2
2
( )2
2
x
x x
xx x
x exe e dx
x
x exe e C
x
2
( 1 )2
x xe x C
x
2 21.27) 2 (2 )x uxe dx u u e du
3
3 3
3 2
3 2
3 2
3 2 2
3
2 (2 )
[2{(2 ) (2 )}]
2(2 ) 2 (2 3 )
2(2 ) 4 6
2(2 ) 4 6
2(2 ) 4 6( )
2(2 ) 4
u
u u
u u
u u u
u u u
u u u u
u
u u de
u u e e d u u
u u e e u du
u u e e du e u du
u u e e u de
u u e e e u e du
u u e
2
3 2
3 2
3 2
3 2
2
6 12
2(2 ) 4 6 12
2(2 ) 4 6 12( )
2(2 ) 4 6 12 12
{4 2 4 6 12 12}
{4 2 2(2 ) 2 4 6(2 )
u u u
u u u u
u u u u u
u u u u u
u
x
e e u ue du
u u e e e u ude
u u e e e u ue e du
u u e e e u ue e C
e u u u u C
e x x x x
2
12 2 12}
{4 2 4 2 2 2 4 12 6 12 2 12}x
x C
e x x x x x x C
2 2 { 2 6 2 3 10}xe x x x x C
3 3 211.28) ln ln
2x xdx xdx
2 3 2 3
2 3 2
1 ( ln ln )
2
1 ( ln 3 ln )
2
x x x d x
x x x x dx
2 3 2 2
2 3 2 2 2 2
2 3 2 2
2 3 2 2
2 3 2 2 2
2 3 2 2 2
1 3 ( ln ln )
2 2
1 3 ( ln { ln ln })
2 2
1 3 ( ln { ln 2 ln })
2 2
1 3 3 ln ln ln
2 4 2
1 3 3 ln ln ln
2 4 4
1 3 3 ln ln ( ln
2 4 4
x x x dx
x x x x x d x
x x x x x x dx
x x x x x x dx
x x x x x dx
x x x x x
2
2 3 2 2 2
2 3 2 2 2 2
ln )
1 3 3 3 ln ln ln
2 4 4 4
1 3 3 3 ln ln ln
2 4 4 8
x x d x
x x x x x x x dx
x x x x x x x C
2
2
1
2
2
u x
du dxu
x u
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
8
2 3 23 4 ( ln 2ln 2ln 1)
8 3x x x x C
2 2
1 11.29) (ln(ln ) ) (ln(ln )
(ln ) (ln )x dx x dx dx
x x
2
2
1
2
2
1 ln(ln ) ln(ln )
(ln )
1 1 ln(ln )
ln (ln )
1 ln(ln ) ( ln )
(ln ) ln
1 ln(ln )
(ln )
x x xd x dxx
x x dx dxx x
xx x dx xd x C
x x
x x dxx
2
1
ln (ln )
xdx
x x C
ln(ln )ln
xx x C
x
ข้อ 2 จงหาค่าของอนิทกิรัลต่อไปนี ้
1
1 13
0 0
3
1
113 3
0 0
113 2
0 0
2.1) = 2
= 2
= 2( )
= 2( 3 )
x u
eu
uu u
u
uu u
u
xe dx u e du
u de
u e e du
u e u e du
1
13 2
0 0
11 13 2 2
0 0 0
= 2( 3 )
= 2( 3{ })
euu u
u
u uu u u
u u
u e u de
u e u e e du
1
11 13 2
0 0 0
1 13 2
0 0 0
1 13 2
0 0
= 2 6 12
= 2 6 12
= 2 6 12(
u uu u u
u u
eu uu u u
u u
u uu u
u u
u e u e ue du
u e u e ude
u e u e ue
11
0 0)
uu u
ue du
1 1 1 13 2
0 0 0 0
1 1 1 1
1
= 2 6 12 12
= 2 6 12 12 12
= 32 12
u u u uu u u u
u u u uu e u e ue e
e e e e
e
ให้ 2
1
2
u x
du dxu
x u
2.2) cot cosec = cosec
= ( cosec cos ec )
= cosec ln | cosec cot |
x x xdx xd x
x x x dx
x x x x C
3 3 3
4 4 4
4 4 4
cot cosec = cosec ln | cosec cot |x x
x xx x xdx x x x x
3 3cos cot
3 4 4= (3cosec cos )+ln4 4 4
cos cot4 4
2 2 1= ln
2 2 1
ec
ec
ec
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
9
2= ln(3 2 2)
2
3 312.3) cos 2 = sin 2
2x xdx x d x
3 3
3 2
3 2
3 2 2
3 2
3 2
1= ( sin 2 sin 2 )
2
1= ( sin 2 3 sin 2 )
2
1 3= sin 2 cos 2
2 4
1 3= sin 2 ( cos 2 cos 2 )
2 4
1 3 3= sin 2 cos 2 cos 2
2 4 2
1 3 3= sin 2 cos 2 sin 2
2 4 4
1=
x x xdx
x x x xdx
x x x d x
x x x x xdx
x x x x x xdx
x x x x xd x
3 2
3 2
3 3sin 2 cos 2 ( sin 2 sin 2 )
2 4 4
1 3 3 3= sin 2 cos 2 sin 2 cos 2
2 4 4 8
x x x x x x xdx
x x x x x x x C
23 3 22
00
3 2 2
0
1 3 3 3 cos 2 = sin 2 cos 2 sin 2 cos 2
2 4 4 8
3 3 3 3 = sin cos sin cos
16 16 8 8 8
x
x
x
x
x xdx x x x x x x x
23 3 =
4 16
3 312.4) sin 4 = sin 4
3
x xe xdx x de
3 31= ( sin 4 sin 4 )
3
x xe x e d x
3 3
3 3
3 3 3
3 3 3
1= ( sin 4 4 cos 4 )
3
1 4= sin 4 cos 4
3 9
1 4= sin 4 ( cos 4 cos 4 )
3 9
1 4 16= sin 4 cos 4 sin 4
3 9 9
x x
x x
x x x
x x x
e x e xdx
e x x de
e x e x e d x
e x e x e xdx C
3 3 3
3 3 3
3 3 34 4
00
25 1 4 sin 4 = sin 4 cos 4
9 3 9
3 4 sin 4 = sin 4 cos 4
25 25
1 sin 4 = 3 sin 4 4 cos 4
25
=
x x x
x x x
xx x x
x
e xdx e x e x
e xdx e x e x
e xdx e x e x
3 3
4 41
3 sin 2 4 cos 425
e e
3
44
= ( 1)25
e
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
10
1
2
2
2
ln2.5) = ln
ln 1 = ( ln )
ln 1 =
ln 1 =
ln ln 1 =
e
ex
xdx xdx
x
xd x
x x
xdx
x x
xC
x x
x xdx
x x x
2 3 =
2
x e
e
e e
1 3 = ( 2)
2e
e
2
2
2 2
2
arcsin2.6) = arcsin 1
1
= ( 1 arcsin 1 arcsin )
= 1 arcsin
x xdx x d x
x
x x x d x
x x dx
2
11
222
20 0
= 1 arcsin
arcsin = 1 arcsin
1
1 1 1 = 1 arcsin
4 2 2
x
x
x x x C
x xdx x x x
x
1 3 =
2 12
2 2 22.7) ln = ln lnxdx x x x d x
2= ln 2 ln x x x dx
2
2
2
= ln 2( ln ln )
= ln 2 ln 2
= ln 2 ln 2
x x x x xd x
x x x x dx
x x x x x C
2 2
11
2
ln = ln 2 ln 2
= ln 2 ln 2( 1)
e x e
xxdx x x x x x
e e e e e
= 2e
2
2
2
2.8) arccos = arccos arccos
= arccos1
1 1 = arccos
2 1
1 1 = arccos
2 1
x dx x x xd x
xx x dx
x
x x dxx
x xx
2
2
2
(1 )
= arccos 1
d x
x x x C
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
11
11
222
0 0
arccos = arccos 1
1 1 3 = arccos 1
2 2 2
x
x
x dx x x x
3 = 1
6 2
2
2 2
2
2
12.9) x arcsec = arcsec
2
1 1 = arcsec arcsec
2 2
1 1 = arcsec
2 2 1
=
x dx x dx
x x x d x
xx x dx
x
2 2
2
2 2
1 1 1 arcsec
2 4 1
1 1 = arcsec 1
2 2
x x dxx
x x x C
112 2
2 2
1 xarcsecx = arcsec 1
2
1 = arcsec( 1) 4arcsec( 2) 3
2
x
x
dx x x x
3 5 =
2 6
3. จงหาพืน้ทีร่ะหว่างเส้นโค้ง ln( )y x 2 กบัแกน x บนช่วง [-3, -1]
ln( ) = 2 ln
= 2( ln | | ln )
x dx xdx
x x xd x
2
= 2( ln | | 1 )x x dx
= 2 ln | | 2x x x C
1 1 12
3 33 ln( ) = 2 ( ln | |) 2
= 2( ln | 1 | 3ln | 3 | 2( 1 3)
x dx x x x
= 6ln(3) 4
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
12
2 3
3
25 5
25
25 5
xx x
x x
x
แบบฝึกหัดที ่6.2 ข้อ 1 จงอนิทเิกรต
2
1 11.1)
16 1 (4 1)(4 1)
1 1 1 ( )
2 4 1 4 1
1 1 1 ( ) (4 )
8 4 1 4 1
dx dxx x x
dxx x
d xx x
1 4 1 ln | |
8 4 1
xC
x
21.2)
6 ( 3)( 2)
x x
dx dxx x x x
พิจารณา ( 3)( 2)
x
x x
A B
= ( 3)( 2) 3 2
A( 2) B( 3)
x
x x x x
x x x
แทน 2 ; x จะได ้ 2B
5
แทน 3 ; x จะได ้ 3A
5
ดงันั้น 3 2 =
( 3)( 2) 5( 3) 5( 2)
x
x x x x
2
1 3 2 ( )
6 5 3 2
x
dx dxx x x x
3 2= ln 3 ln 2
5 5 x x C
3
2 2
2
2
5 25 51.3) ( )
25 25
25 5 { }
25 ( 5)( 5)
5 25
25 ( 5)( 5)
x xdx x dx
x x
xx dx
x x x
xxdx dx dx
x x x
2
2
2
25 1 1 1 { }
2 25 2 5 5
25 25 1 1 ln | 5 | ln | 5 | ln | 5 | ln | 5 |
2 2 2 2 2
dxxdx dx
x x x
xx x x x C
2
12ln | 5 | 13ln | 5 | 2
xx x C
3 2 2
3
4 2 1 2 11.4) (1 )
4 (2 1)(2 1)
x x x xdx dx
x x x x x
พิจารณา 22 1
(2 1)(2 1)
x x
x x x
3 3 2
3
2
1 4 4 2 1
4
2 1
x x x x
x x
x x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
13
2
2 2
2 1 A B C =
(2 1)(2 1) 2 1 2 1
2 1 A(4 -1) B (2 1) C (2 -1)
x x
x x x x x x
x x x x x x x
แทน 0 ; x จะได ้ A 1
แทน 1 ;
2x จะได ้ B 2
แทน 1 ;
2x จะได ้ C 1
ดงันั้น 22 1 1 2 1
= (2 1)(2 1) 2 1 2 1
x x
x x x x x x
3 2
3
4 2 1 1 2 1 (1 )
4 2 1 2 1
x xdx dx
x x x x x
1 = ln | | ln | 2 1 | ln | 2 1 |
2x x x x C
3 2
2 2
2 5 2 3 4 51.5) (2 1 )
2 2 2 2
x x x xdx x dx
x x x x
พิจารณา
2
4 5
2 2
x
x x
2
4 5 A B =
( 1) 3 1 3 1 3
4 5 A( 1 3) B( 1 3)
x
x x x
x x x
แทน 1 3 ; x จะได ้ 1 4 3A
2 3
แทน 1 3 ; x จะได ้ 1 4 3B
2 3
ดงันั้น 2
4 5 1 4 3 1 4 3 =
( 1) 3 2 3( 1 3) 2 3( 1 3)
x
x x x
3 2
2
2
2 5 2 3 1 4 3 1 4 3 (2 1 )
2 2 2 3( 1 3) 2 3( 1 3)
1 4 3 1 4 3 = ln | 1 3 | ln | 1 3 |
2 3 2 3
x x xdx x dx
x x x x
x x x x C
2 2 1 1 3 = 2 ln | 2 2 | ln | |
2 3 1 3
xx x x x C
x
3 2
1 11.6)
2 ( 2)( 1)
x xdx dx
x x x x x x
พิจารณา 1
( 2)( 1)
x
x x x
1 A B C
= ( 2)( 1) 2 1
1 A( 2)( 1) B( )( 1) ( 2)
x
x x x x x x
x x x x x Cx x
แทน 0 ; x จะได ้ 1A
2
แทน 2 ; x จะได ้ 1B
6
แทน 1 ; x จะได ้ 2
C3
2 3 2
3 2
2
2
2 1 2 2 2 5 2 3
2 4 4
6 3
2 2
4 5
xx x x x x
x x x
x x
x x
x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
14
ดงันั้น 1 1 1 2 =
( 2)( 1) 2 6( 2) 3( 1)
x
x x x x x x
3 2
1 1 1 2 { }
2 2 6( 2) 3( 1)
xdx dx
x x x x x x
1 1 2 = ln | | ln | 2 | ln | 1 |
2 6 3x x x C
2
31.7)
( 1)
xdx
x
พิจารณา 2
3( 1)
x
x
2
3 2 3
2 2
A B C =
( 1) 1 ( 1) ( 1)
A( 1) B( 1)
x
x x x x
x x x C
แทน 1 ; x จะได ้ C 1
แทน 0 ;x จะได ้ A B 1
...(1)
แทน 1 ; x จะได ้ 2A B 0
...(2)
แกส้มการ (1) และ (2)
จะได ้ A 1, B 2
ดงันั้น 2
3 2 3
1 2 1 =
( 1) 1 ( 1) ( 1)
x
x x x x
2
3 2 3
1 2 1 { }
( 1) 1 ( 1) ( 1)
xdx dx
x x x x
2
3 4 = ln | 1 |
2( 1)
xx C
x
4 2
3 2 2
8 21.8) { 2 4 }
2 ( 2)
x xdx x dx
x x x x
พิจารณา 2
2
( 2)
( 2)
x
x x
2
2 2
2 2
2 A B C =
( 2) 2
2 A( )( 2) B( 2)
x
x x x x x
x x x x Cx
แทน 0 ; x จะได ้ B 1
แทน 2 ; x จะได ้ 1C
2
แทน 1 ; x จะได ้ 1
A2
ดงันั้น 2
2 2
2 1 1 1 =
( 2) 2 2( 2)
x
x x x x x
4
3 2 2
8 2 4 2 { 2 }
2 2
xdx x dx
x x x x x
224
= 2 2ln | 2 | 2
xx x x C
x
3 2 4
4 3
3
3 2
2
2 2 8
2
2
2 4
4 8
xx x x
x x
x
x x
x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
15
2 2
20 11 20 111.9)
(3 2)( 4 5) (3 2){( 2) 1}
x xdx dx
x x x x x
พิจารณา 2
20 11
(3 2){( 2) 1}
x
x x
2 2
2
20 11 A B C =
(3 2){( 2) 1} 3 2 4 5
20 11 A( 4 5) (B C)(3 2)
x x
x x x x x
x x x x x
แทน 2 ;
3x จะได ้ A 3
แทน 0 ; x จะได ้ C 2
แทน 1 ; x จะได ้ B 1
ดงันั้น
2 2
20 11 3 2 =
(3 2){( 2) 1} 3 2 4 5
x x
x x x x x
2 2
20 11 3 2 ( )
(3 2)( 4 5) 3 2 4 5
x xdx dx
x x x x x x
2
2
2 2
1 1 2 4= ( ) (3 2)
3 2 2 4 5
1 1 ( 4 5) 4= ( ) (3 2)
3 2 2 4 5 ( 2) 1
xd x dx
x x x
d x xd x dx dx
x x x x
21= ln | 4 5 | ln | 3 2 | 4arctan( 2)
2x x x x C
2
2
10 131.10)
(2 1)( 2)
x xdx
x x
พิจารณา 2
2
10 13
(2 1)( 2)
x x
x x
2
2 2
2 2
10 13 A B C =
(2 1)( 2) 2 1 2
10 13 A( 2) (B C)(2 1)
x x x
x x x x
x x x x x
แทน 1 ;
2x จะได ้ A 4
แทน 0 ; x จะได ้ C 8
แทน 1 ; x จะได ้ B 3
ดงันั้น 2
2 2
10 13 4 3 8 =
(2 1)( 2) 2 1 2
x x x
x x x x
2
2 2
2 2
10 13 4 3 8 ( )
(2 1)( 2) 2 1 2
4 3 8 =
2 1 2 2
x x xdx dx
x x x x
xdx dx dx
x x x
23 = 2ln|2x 1| ln | 2 | 4 2 arctan( )
2 2
xx C
2
2
11 131.11)
( 3)( 2)( 3)
x x
dxx x x
พิจารณา 2
2
11 13
( 3)( 2)( 3)
x x
x x x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
16
2
2 2
2 2 2
11 13 A B C D =
( 3)( 2)( 3) 3 2 3
11 13 A( 2)( 3) B( 3)( 3) (C D)( 3)( 2)
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
แทน 3 ; x จะได ้ A 1
แทน 2 ; x จะได ้ B 2
แทน 0 ; x จะได ้ D 4
แทน 1 ; x จะได ้ C 1
ดงันั้น 2
2 2
11 13 1 2 4 =
( 3)( 2)( 3) 3 2 3
x x x
x x x x x x
2
2 2
2 2
11 13 1 2 4 ( )
( 3)( 2)( 3) 3 2 3
1 2 4 =
3 2 3 3
x x xdx dx
x x x x x x
xdx dx dx dx
x x x x
21 4 = ln|x+3| 2 ln | 2 | ln | 3 | arctan
2 3 3
xx x C
2 2
35 471.12)
(3 5) ( 3 6)
xdx
x x x
พิจารณา 2 2
35 47
(3 5) ( 3 6)
x
x x x
2 2 2 2
2 2 2
35 47 A B C D =
(3 5) ( 3 6) 3 5 (3 5) 3 6
35 47 A(3 5)( 3 6) B( 3 6) (C D)(3 5)
x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
แทน 5 ;
3x จะได ้ B 3
แทน 0 ; x จะได ้ D 1
แทน 1 ; x จะได ้ C 1
แทน x = –1; จะได ้ A = 3
ดงันั้น 2 2 2 2
35 47 3 3 1 =
(3 5) ( 3 6) 3 5 (3 5) 3 6
x x
x x x x x x x
2 2 2 2
35 47 3 3 1 ( )
(3 5) ( 3 6) 3 5 (3 5) 3 6
x x
dx dxx x x x x x x
2 2 2
3
3 3 1 12= 3 5 (3 5) 3 6 2 3 6
x
dx dx dx dxx x x x x x
21 1
= ln|3x+5| ln | 3 6 |3 5 2
x xx
1 2 3
arctan{ ( )}215 15
x C
2 2
21.13)
( 1)( 1)
xdx
x x
พิจารณา 2 2
2
( 1)( 1)
x
x x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
17
2 2 2 2
2 2 2
2 A B C D =
( 1)( 1) 1 ( 1) 1
2 A( 1)( 1) B( 1) (C D)( 1)
x x
x x x x x
x x x x x x
แทน 1 ; x จะได ้ B 1
หา A จาก 2
2 2 2
1 1
2 2( 1)A 0
1 ( 1)x x
d x x
dx x x
แทน 0 ; x จะได ้ D 1
แทน 1 ; x จะได ้ C 0
ดงันั้น 2 2 2 2
2 1 1 =
( 1)( 1) ( 1) 1
x
x x x x
2 2 2 2
2 1 1 { }
( 1)( 1) ( 1) 1
1 = arctan
1
xdx dx
x x x x
x Cx
2 2
2 11.14)
(4 9)( 4)
xdx
x x
พิจารณา 2 2
2 1
(4 9)( 4)
x
x x
2 2 2 2
2 2
2 1 A B C D =
(4 9)( 4) 4 9 4
2 1 (A B)( 4) (C D)(4 9)
x x x
x x x x
x x x x x
แทน 0 ; x จะได ้ 4B 9D 1
...(3)
แทน 1 ; x จะได ้ 5A 5B 13C 13D 3
...(4)
แทน 1 ; x จะได ้ 5A 5B 13C 13D 1
...(5)
แทน 2 ; x จะได ้ 16A 8B 50C 25D 5
...(6)
แกส้มการ (3), (4), (5) และ (6)
จะได ้ 8 4 2 1A , B ,C ,D
7 7 7 7
ดงันั้น 2 2 2 2
2 1 8 4 2 1 =
(4 9)( 4) 7(4 9) 7( 4)
x x x
x x x x
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 8 4 2 1 { }
(4 9)( 4) 7(4 9) 7( 4)
8 4 1 2 1 1 =
7 4 9 7 4 9 7 4 7 4
x x xdx dx
x x x x
x xdx dx dx dx
x x x x
2 2
2 22 2
(4 9) ( 4)1 4 1 1 1 1 =
27 4 9 63 7 4 28( ) 1 ( ) 1
3 2
d x d xdx dx
x xx x
2 21 2 2 1 1 = ln(4 9) arctan( ) ln( 4) arctan( )
7 21 3 7 14 2
x xx x C
2 2
3 3 3
2 1 2 11.15)
27 1 27 1 27 1
x x x xdx dx dx
x x x
พิจารณา 3
2 1
27 1
x
x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
18
2 2
2
2 1 A B C =
(3 1)(9 3 1) 3 1 9 3 1
2 1 A(9 3 1) (B C)(3 1)
x x
x x x x x x
x x x x x
แทน 1 ;
3x จะได ้ 1
A9
แทน 0 ; x จะได ้ 8C
9
แทน 1 ; x จะได ้ 1
B3
ดงันั้น 2 2
2 1 1 3 8 =
(3 1)(9 3 1) 9(3 1) 9(9 3 1)
x x
x x x x x x
2 2
3 3 2
3
3 22
2 1 1 3 8 { }
27 1 27 1 9(3 1) 9(9 3 1)
13
1 1 (3 1) 1 5 12 = 1 33 27 1 27 3 1 9 9 3 1 6
(3 )2 4
x x x xdx dx dx
x x x x x
xdx d x
dx dxx x x x
x
3 2
12
3 2
1 1 1 10 1 = ln|27 1| ln | 3 1 | ln(9 3 1)
6 181 27 54 9( ) 1
3
1 1 1 5 3 6 1 = ln|27 1| ln | 3 1 | ln(9 3 1) arctan( )
81 27 54 27 3
x x x x dx Cx
xx x x x C
25 2 5 3 6 1 = ln(9 3 1) ln | 3 1 | arctan( )
162 81 27 3
xx x x C
3 2
3 2 2
2 8 6 18 461.16) = {2 }
3 9 27 ( 3)( 9)
x x xdx dx
x x x x x
พิจารณา 2
2
6 18 46
( 3)( 9)
x x
x x
2
2 2
2 2
6 18 46 A B C =
( 3)( 9) 3 9
6 18 46 A( 9) (B C)( 3)
x x x
x x x x
x x x x x
แทน 3 ; x จะได ้ 23A
9
แทน 0 ; x จะได ้ 23
C3
แทน 1 ; x จะได ้ 31B
9
ดงันั้น 2
2 2
6 18 46 23 31 69 =
( 3)( 9) 9( 3) 9( 9)
x x x
x x x x
3
3 2 2
2 8 23 31 69 {2 }
3 9 27 9( 3) 9( 9)
x x
dx dxx x x x x
2 2
2
22
23 1 31 23 1= 2
9 3 9 9 3 9
23 1 31 ( 9) 23 1= 2
9 3 18 9 27( ) 13
xdx dx dx dx
x x x
d xdx dx dx
xx x
223 31 23= 2 ln | 3 | ln( 9) arctan( )
9 18 9 3
xx x x C
3 2 3
3 2
2
2 3 9 27 2 8
2 6 18 54
6 18 46
x x x x
x x x
x x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
19
3
2 21.17)
( 2 10)
xdx
x x
พิจารณา 3
2 2( 2 10)
x
x x
3
2 2 2 2 2
3 2
Ax B C D =
( 2 10) ( 2 10) 2 10
Ax B (C D)( 2 10)
x x
x x x x x x
x x x x
แทน 0 ; x จะได ้ B 10D 0
...(7)
แทน 1 ; x จะได ้ A B 9C 9D 1
...(8)
แทน 1 ; x จะได ้ A B 13C 13D 1
...(9)
แทน 2 ; x จะได ้ 2A B 20C 10D 8
...(10)
แกส้มการ (7), (8), (9) และ (10)
จะได ้ A 6, B 20,C 1, D 2
ดงันั้น 3
2 2 2 2 2
6x 20 2 =
( 2 10) ( 2 10) 2 10
x x
x x x x x x
3
2 2 2 2 2
6 20 2 { }
( 2 10) ( 2 10) 2 10
x x x
dx dxx x x x x x
2 2 2 2 2
1 1 1= 6 26
( 2 10) ( 2 10) 2 10
x x
dx dx dxx x x x x x
2
13
2 10
dxx x
2 2
2 2 2 2 2
( 2 10) 1 1 ( 2 10)= 3 26
( 2 10) (( 1) 9) 2 2 10
d x x d x x
dxx x x x x
2
1 ( 1)
13( ) 1
3
d x
x
พิจารณา 2 2
1
(( 1) 9)dx
x
ให้ 2
2
1 3tan θ
3sec θ θ
( 1) 9 3secθ
x
dx d
x
ดงันั้น 2
2 2 4
1 1 1 = sec θ θ
(( 1) 9) 27 sec θdx d
x
2
1
1 = cos θ θ
27
1 = (1 cos 2θ) θ
54
1 1 = (θ sin 2θ)
54 2
1 = (arcta
54
d
d
C
12
1 3( 1)n )
3 2 10
x xC
x x
เพราะฉะนั้น 3
2
2 2 2 2
3 13 1 3( 1) 1 (arctan ) ln( 2 10)
( 2 10) 2 10 27 3 2 10 2
x x xdx x x
x x x x x x
θ
1x
3
2
(1)
9
x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
20
1
arctan( )3
xC
2
2
14 1 40 13 1 = arctan ln( 2 10)
27 3 9( 2 10) 2
x xx x C
x x
2
2 2
4 2 81.18)
( 2)
x xdx
x x
พิจารณา 2
2 2
4 2 8
( 2)
x x
x x
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
4 2 8 A B C D E =
( 2) 2 ( 2)
4 2 8 A( 2) (B C)( )( 2) (D E)
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
แทน 0 ; x จะได ้ A 2
แทน 1 ; x จะได ้ 3B 3C D E 4 ...(11)
แทน 1 ; x จะได ้ 3B 3C D E 8 ...(12) แทน 2 ; x จะได ้ 12B 6C 2D E 22 ...(13)
แทน 3 ; x จะได ้ 33B 11C 3D E 64 ...(14) แกส้มการ (11), (12) ,(13) และ (14)
จะได ้ B 2, C 0,D 0,E 2
ดงันั้น 2
2 2 2 2 2
4 2 8 2 2 2 =
( 2) 2 ( 2)
x x x
x x x x x
2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
4 2 8 2 2 2 { }
( 2) 2 ( 2)
2 = 2 2
2 ( 2)
2 ( 2) = 2
2
x x xdx dx
x x x x x
x xdx dx dx
x x x
d xdx
x x
2 2
1
( 2)dx
x
พิจารณา 2 2
1
( 2)dx
x
ให้ 2
2
2 tan θ
2 sec θ θ
2 2 secθ
x
dx d
x
ดงันั้น 2
2 2 4
1 2 1 = sec θ θ
( 2) 4 sec θdx d
x
2
1
12
2= cos θ θ
4
2= (1 cos 2θ) θ
8
2 1= (θ sin 2θ)
8 2
2 2= (arctan )
8 22
d
d
C
x xC
x
เพราะฉะนั้น 2
2
2 2 2
4 2 8 2 = 2ln|x| ln( 2) arctan
( 2) 4 2( 2)2
x x x xdx x C
x x x
θ
x2
2x
2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
21
5 2
2 2 2 2
8 ( 2)1.19) = { }
( 4) ( 4)
x x xdx x dx
x x
พิจารณา 2
2 2
8 ( 2)
( 4)
x x
x
2
2 2 2 2 2
2 2
8 ( 2) A B C D =
( 4) 4 ( 4)
8 ( 2) (A B)( 4) C D
x x x x
x x x
x x x x x
แทน 0 ; x จะได ้ 4B D 0 ...(15)
แทน 1 ; x จะได ้ 5A 5B C D 24 ...(16)
แทน 1 ; x จะได ้ 5A 5B C D 24 ...(17) แทน 2 ; x จะได ้ 16A 8B 2C D 96 ...(18)
แกส้มการ (11), (12) ,(13) และ (14)
จะได ้ A 8, B 0,C 16,D 0
ดงันั้น 2
2 2 2 2 2
8 ( 2) 8 16 =
( 4) 4 ( 4)
x x x x
x x x
5
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
8 16 { }
( 4) 4 ( 4)
( 4) ( 2) = 4 8
4 ( 2)
x x xdx x dx
x x x
d x d xxdx dx
x x
22
2
8 = 4ln( +4)
2 2
xx C
x
2 2
181.20)
(4 9)dx
x
พิจารณา 2 2
9 1
98( )
4
dx
x
ให้ 2
2
3tan θ
2
3sec θ θ
2
9 3secθ
4 2
x
dx d
x
ดงันั้น 2
42 2
9 1 1 1 = sec θ θ
98 3 sec θ( )
4
dx d
x
2
1
2
1= cos θ θ
3
1= (1 cos 2θ) θ
6
1 1= (θ sin 2θ)
6 2
1 2 3= (arctan
96 32( )
4
d
d
C
x xC
x
2
1 2= arctan
6 3 4 9
x xC
x
4 2 5
5 3
3
8 16
8 16
8 16
xx x x
x x x
x x
θ
x
2
9
4x
3
2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
22
2 2
2 2 2 2
13 69 65 13 69 651.21) =
(2 11 15) (2 5) ( 3)
x x x xdx dx
x x x x
พิจารณา 2
2 2
13 69 65
(2 5) ( 3)
x x
x x
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
13 69 65 A B C D =
(2 5) ( 3) (2 5) 2 5 ( 3) 3
13 69 65 A( 3) B(2 5)(x+3) +C(2 5) D(2x+5) (x+3)
x x
x x x x x x
x x x x x
แทน 5 ;
2x จะได ้ A 105
แทน 3 ; x จะได ้ C 25
แทน 0 ; x จะได ้ 3B 5D 109 ...(19) แทน 1 ; x จะได ้ 4B 7D 109 ...(20)
แกส้มการ (19) และ (20)
จะได ้ B 218,D 109
ดงันั้น 2
2 2 2 2
13 69 65 105 218 25 109 =
(2 5) ( 3) (2 5) 2 5 ( 3) 3
x x
x x x x x x
2
2 2 2 2
13 69 65 105 218 25 109 { }
(2 5) ( 3) (2 5) 2 5 ( 3) 3
x x
dx dxx x x x x x
2 2
1 1 1= 105 218 25
(2 5) 2 5 ( 3)
dx dx dxx x x
1109
3
dxx
105 2 5 25= 109ln | |
2(2 5) 3 3
xC
x x x
2 2 2 2 2 2
64 128 21.22) = 64
( 8) ( 8)
x xdx dx
x x x x
พิจารณา 2 2 2
2
( 8)
x
x x
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 A B Cx D E F =
( 8) ( 8) 8
2 A( 8) B( )( 8) +(C D)( ) (E F)( ) ( 8)
x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
แทน 0 ; x จะได ้ 1A
32
หา B จาก 2
2 2 2 3
00
2 3 8 8 1B
( 8) ( 8) 64xx
d x x x
dx x x
แทน 1 ; x จะได ้ 51C D 9E 9F
64 ...(21)
แทน 1 ; x จะได ้ 17C D 9E 9F
64 ...(22)
แทน 2 ; x จะได ้ 8C 4D 96E 48F 5 ...(23) แทน 2 ; x จะได ้ 8C 4D 96E 48F 0 ...(24)
แกส้มการ (21), (22) ,(23) และ (24)
จะได ้ 1 1 1 1C ,D ,E ,F
8 4 64 32
4 2 5
5 3
3
8 16
8 16
8 16
xx x x
x x x
x x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
23
ดงันั้น 2 2 2 2 2 2 2
2 1 1 x 2 2 =
( 8) 32 64 8( 8) 64( 8)
x x
x x x x x x
2 2 2 2 2 2 2
2 1 1 x 2 2 { }
( 8) 32 64 8( 8) 64( 8)
x x
dx dxx x x x x x
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1= ln | |
32 64 64 8 32 8 8 ( 8)
x x
x dx dx dxx x x x
12 2
1 1
4 ( 8)
dx Cx
2
2
1 1 1 2 1= ln | | ln( 8) arctan
32 64 128 128 16( 8)2 2
xx x
x x
12 2
1 1
4 ( 8)
dx Cx
พิจารณา
2 2
1
( 8)dx
x
ให้ 2
2
2 2 tan θ
2 2 sec θ θ
2 2 2 secθ
x
dx d
x
ดงันั้น 2
2 2 4
1 2 1 = sec θ θ
( 8) 32 sec θdx d
x
22
= cos θ θ32
2= (1 cos 2θ) θ
64
d
d
1
12
2 1= (θ sin 2θ)
64 2
2 2 2= (arctan )
64 82 2
C
x xC
x
2
2 2 2 2
2 2 1 3 2 4 64 ln | | ln( 8) arctan
( 8) 2 4 82 2
x x xdx x x C
x x x x
5 2
2 3
1001.23)
( 11)
x x xdx
x
พิจารณา
5 2
2 3 2 3 2 2 2
5 2 2 2 2
100 A B C D E F =
( 11) ( 11) ( 11) 11
100 A B (C D)( 11) (E F)( 11)
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
แทน 0 ; x จะได ้ B 11D 121F 0 ...(25)
แทน 1 ; x จะได ้ A B 12C 12D 144E 144F 98 ...(26) แทน 1 ; x จะได ้ A B 12C 12D 144E 144F 100 ...(27)
แทน 2 ; x จะได ้ 2A B 30C 15D 450E 225F 164 ...(28) แทน 2 ; x จะได ้ 2A B 30C 15D 450E 225F 172 ...(29)
แทน 3 ; x จะได ้ 3A B 60C 20D 1200E 400F 48 ...(30)
แกส้มการ (25), (26) ,(27), (28), (29) และ (30)
จะได ้ A 21, B 11,C 22, D 1, E 1, F 0
θ
x2
8x
2 2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
24
ดงันั้น 5 2
2 3 2 3 2 2 2
100 21 11 22 1 =
( 11) ( 11) ( 11) 11
x x x x x x
x x x x
5 2
2 3 2 3 2 2 2
100 21 11 22 1 { }
( 11) ( 11) ( 11) 11
x x x x x x
dx dxx x x x
2 3 2 2 2 3 2 2
11 1= { } 21 22
( 11) ( 11) ( 11) ( 11)
x x
dx dx dxx x x x
2 11
x
dxx
2 2
2 3 2 2 2 3 2 2
11 1 21= { } 11
( 11) ( 11) 2 ( 11) ( 11)
dx dx
dxx x x x
2
2
1
2 11
dx
x พิจารณา
2 3 2 2
11 1{ }
( 11) ( 11)dx
x x
ให้ 2
2
11 tan θ
11sec θ θ
11 11secθ
x
dx d
x
ดงันั้น 2 3 2 2 2 3 2 2
11 1 1 1{ } = 11
( 11) ( 11) ( 11) ( 11)dx dx dx
x x x x
2 2
2 6 2 4
11 sec θ 11 sec θ= θ θ
11 sec θ 11 sec θd d
2 4 2 2
11 θ 11 θ=
11 sec θ 11 sec θ
d d
4 2
2 2
11 11= cos θ θ cos θ θ
11 11d d
2
2 2
2
2 2
11 11= (1 cos 2θ) θ (1 cos 2θ) θ
4 11 2 11
11 11= (1 2cos 2θ cos 2θ) θ (1 cos 2θ) θ
4 11 2 11
d d
d d
2 2
2 2
2 2
2 2
11 11= θ (1 cos 4θ) θ
4 11 8 11
11 11= θ (cos 4θ) θ
8 11 8 11
11 11= θ sin 4θ
8 11 32 11
11 11= θ sin 2θcos2θ
8 11 16 11
d d
d d
5 22
2 3 2 3 2 2 2 2 2
100 11 11 11 21 1 11 1 ln( 11)
( 11) 6( 11) 4( 11) 4 ( 11) 11 2
x x xdx x C
x x x x x
3 2
cosθ sinθ1.24) θ =
sinθ sin θ sinθ(1 sin θ)
dd
พิจารณา 2
1
sin θ(1 sin θ)
2 2
2
1 A sin θ C =
sin θ(1 sin θ) sin θ 1 sin θ
1 A(1 sin θ) (Bsinθ C)(sinθ)
B
แทน sinθ 0 ; จะได ้ A 1
แทน sinθ 1 ; จะได ้ B C 1 ...(31)
θ
x2
11
x
11
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
25
แทน sinθ 1 ; จะได ้ B C 1 ...(32)
แกส้มการ (25) และ (30)
จะได ้ B 1,C 0
ดงันั้น 2 2
1 1 sin θ =
sinθ(1 sin θ) sinθ 1 sin θ
3 2
cosθ 1 sinθ = { } sinθ
sin θ sin θ sinθ 1 sin θdx d
21 = ln|sin θ| ln | 1 sin θ |
2C
tanθ sinθ
1.25) θ = θ2 sin θ cosθ(2 sinθ)
d d
ให้ 2
2 2 2
2 1 2sinθ , cosθ , θ
1 1 1
z zd dz
z z z
2
2 2
2 2
2
tanθ 21θ = 1 22 sin θ 1
(2 )1 1
z
zd dzz z z
z z
2 2
2
4=
(1 )(2 2 2)
= 2(1 )(1 )( 1)
zdz
z z z
zdz
z z z z
พิจารณา 2(1 )(1 )( 1)
z
z z z z
2 2
2 2 2
2 A B C D =
(1 )(1 )( 1) 1 1 1
2 A(1 )( 1) B(1 )( 1) (C D)(1 )
z z
z z z z z z z z
z z z z z z z z z
แทน 1 ; z จะได ้ B 1
แทน 1 ; z จะได ้ 1A
3
แทน 0 ; z จะได ้ 2D
3
แทน 2 ; z จะได ้ 4C
3
ดงันั้น 2 2
2 1 1 4 2 =
(1 )(1 )( 1) 3(1 ) 1 3( 1)
z z
z z z z z z z z
2 2
2 1 1 4 2 { }
(1 )(1 )( 1) 3(1 ) 1 3( 1)
z z
dz dzz z z z z z z z
2
1 1 1 2 2 1=
3 1 1 3 1
z
dz dz dzz z z z
21 2= | 1 | | 1 | | 1 |
3 3 n z n z n z z C
21 2= | 1 tan | | 1 tan | | tan
3 2 2 3 2
x x xn n n
tan 1 | 2
x
C
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
26
3
3 3
1 cosθ 11.26) θ = θ
sin θ(cosθ 1) sin θ
cosθ 1 = θ θ
sin θ sin θ
d d
d d
พิจารณา 3
3
1θ = cosec θ θ
sin θd d
2
2
3
= cosecθ cot θ
(cosecθ cot θ cot θ cosecθ)
cosecθ cot θ cosecθ cot θ θ
cosecθ cot θ cosecθ(cosec θ 1) θ
cosecθ cot θ cosec θ θ cos θ θ
d
d
d
d
d ec d
ดงันั้น 3
12 θ = cosecθcot θ cos θ θ
sin θd ec d
3
1 cosθ 1 1 θ = θ cosecθcot θ cos θ θ
sinθ(cosθ 1) sin θ 2 2d d ec d
3
sinθ 1 1= cosecθcot θ cosecθ θ
sin θ 2 2
dd
2
1 1 1= cosecθcot θ ln | cosecθ cot θ |
2sin θ 2 2 C
2 2
1 1 cosθ 1 1 cosθ= ln | |
2sin θ 2 sin θ 2 sinθ
C
2
1 cosθ 1 1 cosθ= ln | |
2sin θ 2 sinθ
C
1 1 1 cosθ= ln | |
2(1 cosθ) 2 sinθC
2 2
2
1 11.27) θ = θ
cosθ(cos θ 4sinθ 5) cosθ(1 sin θ 4sinθ 5)
1 = θ
cosθ(sin θ 4sinθ+4)
=
d d
d
2
1 θ
cosθ(sin θ 2)d
ก าหนดให้ 2sin θ ==> cosθ 1
θcosθ
x x
dxd
ดงันั้น 2 2 2
1 1θ =
cosθ(cos θ 4sinθ 5) ( 1)(x 2)d dx
x
2
1 =
( 1)(x 1)(x 2)dx
x
พิจารณา 2
1
( 1)(x 1)(x 2)x
2 2
2 2 2 2
1 A B C D =
( 1)(x 1)(x 2) 1 1 2 ( 2)
1 A( 1)( 2) B( 1)( 2) C( 2)(x 1) D(x 1)
x x x x x
x x x x x
แทน 1 ; x จะได ้ 1B
18
แทน 1 ; x จะได ้ 1
A2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
27
แทน 2 ; x จะได ้ 1D
3
หา C จาก 2 2 2
2 2
1 2 4C
1 ( 1) 9x x
d x
dx x x
ดงันั้น
2 2
1 1 1 4 1 =
( 1)(x 1)(x 2) 2( 1) 18( 1) 9( 2) 3( 2)x x x x x
2 2
1 1 1 4 1 { }
( 1)(x 1)(x 2) 2( 1) 18( 1) 9( 2) 3( 2)dx dx
x x x x x
2
1 1 1 1 4 1 1 1=
2 1 18 1 9 2 3 ( 2)
dx dz dxx x x x
1 1 4 1
= | 1 | | 1 | | 2 | 2 18 9 3( 2)
n x n x n x Cx
1 1 4= | sin θ 1 | | sinθ 1 | | sinθ 2 |
2 18 9 n n n
1
3(sin θ 2)
C
2 2 2 2
3 2
4 2
3
(1 sec θ)sec θ (tan θ 2)(tan θ 1)1.28) θ = θ
1+tan θ (tan θ 1)(tan θ tan θ+1)
tan θ 3tan θ 2 = θ
tan θ 1
d d
d
2
3
3tan θ tan θ 2= (tan θ+ ) θ
tan θ 1d
พิจารณา 2
3
3tan θ tan θ 2θ
tan θ 1d
2 2
3 2 3
3tan θ tanθ 2 3 2θ =
tan θ 1 ( 1)( 1)
u ud du
u u
พิจารณา
2
2 3
3 2
( 1)( 1)
u u
u u
2
2 3 2 2
2 3 2 2 2
3 2 A B C D E =
( 1)( 1) 1 1 1
3 2 (A B)( 1) C( 1)( 1)+(D E)( 1)( 1)
u u u u
u u u u u u
u u u u u u u u u u
แทน 1 ; u จะได ้ C 1
แทน 0 ; u จะได ้ B E 1 ...(33) แทน 1 ; u จะได ้ A B 2D 2E 1 ...(34)
แทน 2 ; u จะได ้ 6A 3B 10D 5E 1 ...(35) แทน 2 ; u จะได ้ 14A 7B 10D 5E 19 ...(36)
แกส้มการ (33), (34) ,(35) และ (36)
จะได ้ A 1,B 0,D 0,E 1
ดงันั้น 2
2 3 2 2
2 2 1 1 =
( 1)( 1) 1 1 1
u u u
u u u u u u
2
3 2 2
3tan θ tanθ 2 1 1 (tan θ ) θ = tanθ θ ( )
tan θ 1 1 1 1
ud d du
u u u u
22
1 1= tan θ θ ( )
311 1( )
44
ud du
u uu
2
tan θ
(1 ) θ
u
du u d
3 4 2
4
2
tan θ tan θ 1 tan θ 3tan θ +2
tan θ tan θ
3 tan θ tan θ 2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
28
21
= | secθ tanθ | ( 1) | 1 |2
n n u n u
2 2 1
arctan{ }( )3 3 4
Cu
2
2
1= | sec θ tan θ | (tan θ 1) | tan θ 1 |
2
2 2 1 arctan{ tan θ }( )
43 3
1= | sec θ tan θ | (tan θ 1) | tan θ 1 |
2
n n n
C
n n n
2 2 1 arctan{ tan θ }( )
43 3C
2
2
1 21.29) =
( 1)1
1 = 2
1
1 = 2
( 1)( 1)
1 1 = ( )
1 1
udx du
u ux x
duu
duu u
duu u
-1 = ln| |
1
uC
u
1 1 = ln| |
1 1
xC
x
1 11.30) =
( 1) ( 1)
1 1 =
1
dx d nxx nx nx nx nx
d nxnx nx
1
= | | nx
nx Cnx
3 2 2
2 2
1 11.31) =
( 1)
1 =
( 1)
x x x x x xdx dx
e e e e e e
duu u u
พิจารณา 2 2
1
( 1)u u u
2 2 2 2
2 2 2
1 A B C D =
( 1) 1
1 A ( 1) B( 1) (C D)
u
u u u u u u u
u u u u u u u
แทน 0 ; u จะได ้ B 1
หา A จาก 2 2 2
0 0
1 2 1A ( ) 1
1 ( 1)u u
d u
du u u u u
แทน 1 ; u จะได ้ C D 1 ...(37)
แทน 1 ; u จะได ้ C D 1 ...(38)
แกส้มการ (37) และ (38)
2
1
1
2
x u
x u
dx udu
xu e
du udx
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
29
จะได ้ C 1,D 0
ดงันั้น 2 2 2 2
1 1 1 =
( 1) 1
u
u u u u u u u
2 2 2 2
1 1 1 = { }
( 1) 1
udu du
u u u u u u u
2 22
1 1 0.5 1 1 = { }
1 31 2( )
2 4
udu du
u u u uu
21 1 1 2 1 = | | | 1 | arctan{ ( )}
2 23 3n u n u u u C
u
21 1 1 2 1 = | 1 | arctan{ ( )}
2 23 3
x x x
xx n e e e C
e
3 3
1 1 11.32) =
(1 2 ) 2 ( 1)xdx du
n u u
พิจารณา 3
1
(1 )u u
3 3 2
3 2
1 A B C D =
( 1) ( 1) ( 1) 1
1 A( 1) B C ( 1) D ( 1)
u u u u u u
u u u u u u
แทน 0 ; u จะได ้ A 1 แทน 1 ; u จะได ้ B 1
หา C จาก จะได ้ 2
1 1
1 1C ( ) 1
u u
d
du u u
หา D จาก จะได ้ 2
2 2 31 1 1
1 1 1 1 1D ( ) 1
2 2u u u
d d d
du u du u du u
ดงันั้น 3 3 2
1 1 1 1 1 =
( 1) ( 1) ( 1) 1u u u u u u
3 3 2
1 1 1 1 1 1 1 = { }
2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1du du
n u u n u u u u
3 2
3 2
1 1 1 1 1 = { }
2 ( 1) ( 1) 1
1 1 1 1 1 = { }
2 ( 1) ( 1) 1
dun u u u u
dun u u u u
2
1 1 1 = { | | | 1 |}
2 2( 1) 1n u n u C
n u u
2
1 1 1 = { (2) | 2 1 |}
2 2(2 1) 1 2
x
x xx n n C
n
2 2
2
2
1 11.33) = 2
(1 ) (1 )
1 = 2
(1 )
1 = 2
(1 )
x x
u
dx d xx e e
due
dzz z
พิจารณา 2
1
(1 )z z
2
2
xu
du u n dx
u
u x
z e
dz zdu
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
30
2 2
2
1 A B C =
(1 ) ( 1) 1
1 A( 1) Bz Cz( 1)
z z z z z
z z
แทน 0 ; z จะได ้ A 1 แทน 1 ; z จะได ้ B 1
หา C จาก จะได ้ 2
1 1
1 1C ( ) 1
z z
d
dz z z
ดงันั้น 2 2
1 1 1 1 =
(1 ) ( 1) 1z z z z z
2 2
1 1 1 1 = { }
(1 ) ( 1) 1du du
z z z z z
1= | |
1 1
zn C
z z
1= | 1 |
1
x
xx n e C
e
ข้อ 2 จงหาค่าของอนิทกิรัลต่อไปนี้
2
5 7 5 72.1) =
2 3 ( 3)( 1)
x xdx dx
x x x x
พิจารณา 5 7
( 3)( 1)
x
x x
5 7 A B
= ( 3)( 1) 3 1
5 7 A( 1) B( 3)
x
x x x x
x x x
แทน 1 ; x จะได ้ B 3 แทน 3 ; x จะได ้ A 2
ดงันั้น 5 7 2 3 =
( 3)( 1) 3 1
x
x x x x
5 7 2 3 = { }
( 3)( 1) 3 1
xdx dx
x x x x
= 2 | 3 | 3 | 1 |n x n x C
0 0
22
5 7 = 2 | 3 | 3 | 1 |
( 3)( 1)
= 2 (3) 3 (3)
x
xdx n x n x
x x
n n
= 3n 3 2 2
3 2
11 10 9 62.2) = 1
2 4 ( 2)( 2 2)
x x x x x
dx dxx x x x x
พิจารณา 2
2
9 6
( 2)( 2 2)
x x
x x x
2
2 2
2 2
9 6 A B C =
( 2)( 2 2) 2 2 2
9 6 A( 2 2) (B C)( 2)
x x x
x x x x x x
x x x x x x
แทน 2 ; x จะได ้ A 2
3 3 2
3
2
1 2 4 11 10
2 4
9 6
x x x x x
x x
x x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
31
แทน 0 ; x จะได ้ C 1 แทน 1 ; x จะได ้ B 3
ดงันั้น 2
2 2
9 6 3 1 2 =
( 2)( 2 2) 2 2 2
x x x
x x x x x x
2
2 2
9 6 3 1 2 = { }
( 2)( 2 2) 2 2 2
x x x
dx dxx x x x x x
2
2 2
2
3 1 2=
2 2 2
3 2 2 1 2= 2
2 2 2 ( 1) 1 2
1= | 2 2 | 2arctan( 1) 2 | 2 |
2
xdx dx
x x x
xdx dx dx
x x x x
n x x x n x C
121
2
200
9 6 1 = | 2 2 | 2arctan( 1) 2 | 2 |
( 2)( 2 2) 2
1 1 3 = ( ) 2 ( )
2 2 2 2
x
x xdx n x x x n x
x x x
n n
3 3
4 2
5 4 5 42.3) =
16 ( 2)( 2)( 4)
x x x xdx dx
x x x x
พิจารณา 3
2
5 4
( 2)( 2)( 4)
x x
x x x
3
2 2
3 2 2 2
5 4 A B C D =
( 2)( 2)( 4) 2 2 4
5 4 A( 2)( 4) B( 2)( 4) (C D)( 4)
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
แทน 2 ; x จะได ้ A 1 แทน 2 ; x จะได ้ B 1 แทน 0 ; x จะได ้ D 0
แทน 1 ; x จะได ้ C 3
ดงันั้น 3
2 2
5 4 1 1 3 =
( 2)( 2)( 4) 2 2 4
x x x
x x x x x x
3
2 2
5 4 1 1 3 = { }
( 2)( 2)( 4) 2 2 4
x x xdx dx
x x x x x x
2 23= | 4 | | 4 |
2n x n x C
434
2 2
433
5 4 3 = | 4 | | 4 |
16 2 x
x xdx n x n x
x
12 3 20 = ( ) ( )
5 2 13n n
2
2
12.4) =
1 ( 1)( 1)
1 1 1 { }
2 1 1
1 1
2
tt
t t t
t
t t
t
edt de
e e e
dee e
n e C
33
2
222
1 = 1
1 2
ntn
t
tnx n
edt n e
e
3 3 2
3
2
1 2 4 11 10
2 4
9 6
x x x x x
x x
x x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
32
1
= { (8) (3)}2
n n
1 8
= ( )2 3
n
3 2
2sec θtanθ 12.5) θ = 2 secθ
sec θ secθ secθ(sec θ 1)d d
พิจารณา 2
1
secθ(sec θ 1)
2 2
2
1 A Bsecθ C =
secθ(sec θ 1) secθ sec θ 1
1 A(sec θ 1) (Bsecθ C)(secθ)
แทน secθ 0 ; จะได ้ A 1 แทน secθ 1 ; จะได ้ B C 1 ...(39) แทน secθ 1 ; จะได ้ B C 1 ...(40)
แกส้มการ (39) และ (40)
จะได ้ B 1,C 0
ดงันั้น 2 2
1 1 secθ =
secθ(sec θ 1) secθ sec θ 1
2 2
1 1 secθ 2 secθ = 2 { } secθ
secθ(sec θ 1) secθ sec θ 1d d
2
2
= 2 | secθ | (sec θ 1)
1= | |
cos θ 1
n n C
n C
33
3 2θ4
4
2secθtanθ 1 θ = | |
sec θ secθ cos θ 1d n
2
2
1 cos ( )4 | |
1 cos ( )3
n
6
= ( )5
n
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
33
แบบฝึกหัด 6.3 ข้อ 1 จงอนิทเิกรต
2
4
2
1 cos 21.1) sin =
2
1 = {1 2 cos 2 cos 2 }
4
1 1 = {1 2 cos 2 (1 cos 4 )}
4 2
1 3 1 = { 2 cos 2
4 2 2
xxdx dx
x x dx
x x dx
x
cos 4 )}x dx 3 1 1
= sin 2 sin 48 4 32
x x x C
5 4
2 2
2 4
1.2) cos = (cos ) sin
= (1 sin ) sin
= {1 2sin sin } sin
xdx x d x
x d x
x x d x
3 52 1 = sin sin sin
3 5x x x C
7 6
2 3
2 4 6
11.3) sin = (sin ) cos
1 = (1 cos ) cos
1 = {1 3cos 3cos cos } cos
xdx x d x
x d x
x x x d x
3 5 71 3 1 = (cos cos cos cos )
5 7x x x x C
8 2 4
4 2 2
1.4) sin 3 = (1 cos 3 )
= (cos 3 2cos 3 1)
xdx x dx
x x dx
2
2 2
1 = ( (1 cos 6 ) (1 cos 6 ) 1)
4
1 = ( cos 6 (1 2 cos 6 cos 6 ))
4
x x dx
x x x dx
2
2
2 2
1 1 1 = ( cos 6 (1 cos12 ))
4 2 8
3 1 1 = ( cos 6 cos12 ))
8 2 8
3 1 3 1 1 1 = {( cos 6 ) 2( cos 6 )( cos12 ) cos
8 2 8 2 8 64
x x dx
x x dx
x x x
2 2
12 }
9 3 1 3 1 1 = { cos 6 cos 6 cos12 cos 6 cos12 cos 12 }
64 8 4 32 8 64
9 3 1 3 1 1 = { cos 6 (1 cos12 ) cos12 (cos18 cos 6 ) (1 cos 24
64 8 8 32 16 128
x dx
x x x x x x dx
x x x x x
)}
35 7 7 1 1 = { cos 6 cos12 cos18 cos 24 )}
128 16 32 16 128
x dx
x x x x dx
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
34
35 7 7 1 1 = sin 6 sin12 sin18 sin 24
128 96 384 288 3072x x x x x C
8 2 41.5) cos 2 = (1 sin 2 )xdx x dx
2 4 2
2 2
2 2
2
2
2
= (1 2sin 2 sin 2 )
1= (1 (1 cos 4 ) (1 cos 4 ) )
4
1= (cos 4 (1 2cos 4 cos 4 ))
4
1 1 1= ( cos 4 (1 cos8 ))
4 2 8
3 1 1= ( cos 4 cos8 ))
8 2 8
3 1 3 1= {( cos 4 ) 2( cos 4 )
8 2 8 2
x x dx
x x dx
x x x dx
x x dx
x x dx
x x 2
2 2
1 1( cos8 ) cos 8 }8 64
9 3 1 3 1 1= { cos 4 cos 4 cos8 cos 4 cos8 cos 8 }
64 8 4 32 8 64
9 3 1 3 1= { cos 4 (1 cos8 ) cos8 (cos12 cos 4 )}
64 8 8 32 16
1 (1 cos16 )
128
35 5 7= { cos 4 cos8
128 16 32
x x dx
x x x x x x dx
x x x x x dx
x dx
x1 1
cos12 cos16 )}16 128
x x x dx
35 5 7 1 1= sin 4 sin 8 sin12 sin16
128 64 256 192 2048x x x x x C
2 2 21.6) sin 3 cos 3 = (sin 3 cos3 )x xdx x x dx
2
2
1= (sin 6 )
4
1= (1 cos 6 )
4
1 1= (1 (1 cos12 ))
4 2
x dx
x dx
x dx
1
= (1 cos12 ))8
x dx
1 1
= sin128 96
x x C
3 3
cos 11.7) = sin
sin sin
xdx d x
x x
2
1 =
2sinC
x
3
2
3
2
1.8) cos sin 2 = 2 sin cos
= 2 cos cos
x xdx x xdx
xd x
5
24
= cos5
x C
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
35
2 24 (1 sin ) coscos1.9) =
1 sin 1 sin
x xxdx dx
x x
2
2 2
2
= (1 sin ) cos
= (cos sin cos )
1= (1 cos 2 ) cos cos
2
x xdx
x x x dx
x dx x d x
31 1 1= sin 2 cos
2 4 3x x x C
3 3
2 2 2 2
2 2
sin cos sin cos1.10) = { }
sin cos cos sin
1 1 = cos sin
cos sin
x x x xdx dx
x x x x
d x d xx x
1 1 =
cos sinC
x x
5 3 5 3
2
5 3
2
2 3
cos sin 1 cos sin1.11) = { }
1 cos 2 2 cos
1 cos sin = { }
2 cos
1 = {cos sin } sin
2
x x x xdx dx
x x
x xdx
x
x x d x
3 51 = {sin sin } sin
2x x d x
4 61 1 = sin sin
8 12x x C
2
2 6 4
4 2
4 2
1 sin1.12) = { }
cot sec sec
= {cos sin }
= {cos (1 cos )}
xdx dx
x x x
x x dx
x x dx
4 6
2 3
= {cos cos )}
1 1= { (1 cos 2 ) (1 cos 2 ) }
4 8
x x dx
x x dx
2 2 31 1= { (1 2cos2 cos 2 ) (1 3cos2 3cos 2 cos 2 )}
4 8x x x x x dx
2 3
3
2
3
1 1 1 1= { cos 2 cos 2 cos 2 }
8 8 8 8
1 1 1 1= { cos 2 (1 cos 4 ) cos 2 }
8 8 16 8
1 1 1 1= { cos 2 cos 4 } cos 2 sin 2
16 8 16 16
1 1 1 1 1= sin 2 sin 4 (sin 2 sin 2 )
16 16 64 16 3
x x x dx
x x x dx
x x dx xd x
x x x x x C
31 1 1= sin 4 sin 2
16 64 48x x x C
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
36
ข้อ 2 จงหาค่าของอนิทกิรัลต่อไปนี ้
2
2
1 cos 62.1) sin 3 = ( )
2
1 1 = sin 6
2 12
1 1 sin 3 = sin 6
2 12
1 1 = ( ( ))
2 1
x
x
xxdx dx
x x C
xdx x x
{sin 6 sin( 6 )} 2
=
2 2 2
2 22
2
12.2) sin cos = (sin 2 )
4
1 = (1 cos 4 )
8
1 1 = sin 4
8 32
1 1 sin cos = s
8 32
x xdx x dx
x dx
x x C
x xdx x
2
2
in 4
1 1 = ( ( )) {sin 2 sin( 2 )}
8 2 2 32
x
x
x
=
8
4 2 4 2
4 6
2.3) sin cos = (sin )(1 sin )
= (sin sin )
x xdx x x dx
x x dx
2 3
2 2 3
1 1 = { (1 cos 2 ) (1 cos 2 ) }
4 8
1 1 = { (1 2cos 2 cos 2 ) (1 3cos 2 3cos 2 cos 2 )}
4 8
x x dx
x x x x x dx
2 31 1 1 1 = { cos 2 cos 2 cos 2 }
8 8 8 8x x x dx
2
2
1 1 1 1 = { cos 2 (1 cos 4 )} cos 2 sin 2
8 8 16 16
1 1 1 1 = { cos 2 cos 4 } (1 sin 2 ) sin 2
16 8 16 16
x x dx xd x
x x dx x d x
3
24 2 32
44
1 1 1 1 = sin 2 sin 4 sin 2
16 8 64 48
1 1 1 1 sin cos = sin 2 sin 4 sin 2
16 8 64 48
1 1 = ( ) (sin s
16 2 4 8
x
x
x x x x C
x xdx x x x x
3 31 1in ) (sin 2 sin ) (sin sin )
2 64 48 2
1 1 =
64 8 48
5 =
64 48
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
37
4 2
2
12.4) sin = (1 cos 2 )
4
1 = (1 2 cos 2 cos 2 )
4
1 1 = {1 2 cos 2 (1 cos 4 )}
4 2
1 3 1 = { 2 cos 2
4 2 2
xdx x dx
x x dx
x x dx
x
242
00
cos 4 )}
3 1 1 = sin 2 sin 4
8 4 32
3 1 1 sin = sin 2 sin 4
8 4 32
3 1 1 = (sin sin 0) (sin 2 sin 0
16 4 32
x
x
x dx
x x x C
xdx x x x
)
3
= 16
2 22.5) (1 sin ) = (1 2sin sin )
1 = (1 2sin (1 cos 2 ))
2
x dx x x dx
x x dx
3 1 = 2cos sin 2
2 4x x x C
2
00
3 1 (1 sin ) = 2cos sin 2
2 4
3 1 = 2(cos cos0) (sin 2 sin 0)
2 4
x
x
x dx x x x
3 = 4
2
3 2 3
2 2
2.6) sin 3 (cos 4 sin 3 cos 3 ) = (sin 3 cos 4 sin 3 cos 3 )
1 1 = (sin 7 sin ) sin 3 cos 3 sin 3
2 3
x x x x dx x x x x dx
x x dx x xd x
2 2
3 5
1 1 = (sin 7 sin ) sin 3 (1 sin 3 ) sin 3
2 3
1 1 1 1 = cos cos 7 sin 3 sin 3
2 14 9 5
sin 3
x x dx x x d x
x x x x C
x
3 3 5
00
3 3
1 1 1 1(cos 4 sin 3 cos 3 ) = cos cos 7 sin 3 sin 3
2 14 9 5
1 1 1 = (cos cos 0) (cos 7 cos 0) (sin 3 sin 0
2 14 9
x
x
x x x dx x x x x
5 5
)
1 (sin 3 sin 0)
5
6 =
7
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
38
แบบฝึกหัด 6.4 ข้อ 1 จงอนิทเิกรต
2
4 21.1) tan = sec 1xdx x dx
4 2
2
2
= sec 2sec 1
= sec tan 2 tan
= (tan 1) tan 2 tan
x x dx
xd x d x dx
x d x d x dx
31= tan tan
3x x x C
7 2 3
6 4 2
6 4 2
1.2) tan = (sec 1) tan
sec = (sec 3sec 3sec 1) tan
sec
sec 3sec 3sec 1 = ( ) sec
sec
xdx x xdx
xx x x x dx
x
x x xd x
x
6 4 21 3 3 = sec sec sec ln | sec |
6 4 2x x x x C
7 2 3
6 4 2
cosec1.3) cot = (cosec 1) cot cos
cosec
cosec 3cosec 3cosec 1 = ( ) cosec
cosec
xxdx x x d x
x
x x xd x
x
6 4 21 3 3
= cosec cosec cosec ln | cosec | 6 4 2
x x x x C
8 2 6
2 6 6
6 2 4
1.4) cot = (cosec 1) cot
= (cosec ) cot cot
= cot cot (cosec 1) cot
=
xdx x x dx
x x dx x dx
x d x x x dx
6 2 4 4
6 4 2 2
6 4 2 2
cot cot (cosec ) cot cot
= cot cot cot cot (cosec 1) cot
= cot cot cot cot (cosec ) cot
x d x x x dx x dx
x d x x d x x x dx
x d x x d x x x d 2
6 4 2 2
7 5 3
cot
= cot cot cot cot cot cot cosec
1 1 1 = cot cot cot cot
7 5 3
x x dx
x d x x d x x d x x dx dx
x x x x x C
5 3
3 3
3 2 3
3 2
1.5) sec = sec tan
= tan sec tan sec
= tan sec 3 tan sec
= tan sec 3 (sec 1
xdx xd x
x x xd x
x x x xdx
x x x 3
3 5 3
)sec
= tan sec 3 sec 3 sec
xdx
x x xdx xdx
3
3
1 3 = tan sec sec tan
4 4
1 3 = tan sec (sec tan tan sec )
4 4
x x xd x
x x x x xd x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
39
3 21 3 = tan sec (sec tan sec tan )
4 4 x x x x x xdx
3 2
3 3
1 3 3 = tan sec sec tan sec (sec 1)
4 4 4
1 3 3 = tan sec sec tan (sec sec )
4 4 4
x x x x x x dx
x x x x x x dx
3 3
3
1 3 3 3 = tan sec sec tan sec sec
4 4 4 4
1 3 3 = tan sec sec tan sec
4 8 8
x x x x xdx xdx
x x x x xdx
31 3 3 = tan sec sec tan ln | sec tan |
4 8 8x x x x x x C
6 4
2 2
4 2
1.6) sec = sec tan
= (tan 1) tan
= (tan 2 tan 1) tan
xdx xd x
x d x
x x d x
5 31 2 = tan tan tan
5 3x x x C
8 2 3
6 4 2
1.7) cosec = (1+ cot ) cot
= ( cot 3 cot 3cot 1) cot
xdx x d x
x x x d x
7 5 31 3 = cot cot cot cot
7 5x x x x C
11 11
6 2 25 5
11
2 2 5
11
2 4 5
1.8) sec tan = (1 tan ) tan tan
= (1 tan ) tan tan
= (1 2 tan tan ) tan tan
x xdx x xd x
x xd x
x x xd x
11 21 31
5 5 5 = (tan 2 tan tan ) tanx x x d x 16 26 36
5 5 55 5 5
= tan tan tan16 13 36
x x x C
7 7 6
6 2 3
6 6 4 2
1.9) sec tan = (sec tan ) sec
= sec (sec 1) sec
= sec (sec 3sec 3sec 1) sec
x xdx x x d x
x x d x
x x x x d x
12 10 8 6 = (sec 3sec 3sec sec ) secx x x x d x
13 11 9 71 3 1 1 = sec sec sec sec
13 11 3 7x x x x C
45
2 2
4 2
cot1.10) cosec cot = { } cosec
cosec
(cosec 1) = cosec
cosec
cosec 2cosec 1 =
cos
xx xdx d x
x
xd x
x
x x
cosecec
d xx
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
40
9 5 1
2 2 22 4
= cosec cosec 2cosec9 5
x x x C
3 24
2
3
tan sec1.11) = {tan sec }
sin
= sec sec
x xdx x x dx
x
xd x
41 = sec
4C
3 2 3 2
3 3 2 3
1.12) tan (2 sec ) = tan (4 4 sec sec )3 3 3 3 3
= {4 tan 4 sec tan sec tan }3 3 3 3 3
=
x x x x xdx dx
x x x x xdx
3 3 2 3
2 2 3
2
4 tan 4 sec tan sec tan3 3 3 3 3
= 4 (sec 1) tan 12 tan sec 3 tan tan3 3 3 3 3 3
= 4 (sec
x x x x xdx dx dx
x x x x x xdx d d
x
2 3tan 4 tan 12 (sec 1) sec 3 tan tan3 3 3 3 3 3 3
x x x x x xdx dx d d
2 3 43
= 6tan 12 ln | sec tan | 4sec 12sec tan3 3 3 3 3 4 3
x x x x x xC
ข้อ 2 จงหาค่าของอนิทกิรัลต่อไปนี ้
5 5
4
2 2
4 2
sec2.1) tan = (tan )
sec
tan = ( ) sec
sec
(sec 1) = { } sec
sec
sec 2sec 1 = { }
sec
xxdx x dx
x
xd x
x
xd x
x
x xd
x
4 2
sec
1 = sec sec ln | sec |
4
x
x x x C
35 4 23
66
4 4 2 2
1 tan = sec sec ln | sec |
4
sec1 3 = (sec sec ) (sec sec )+ln| | 4 3 6 3 6
sec6
x
x
xdx x x x
8 1 = ln 3
9 2
4 2
2
5
2
2.2) tan sec = tan sec tan
= tan (1 tan ) tan
= ( tan tan ) tan
=
x xdx x xd x
x x d x
x x d x
3 7
2 22 2
tan tan3 7
x x C
3 7 444 2 2
0
0
2 2 tan sec = tan tan
3 7
x
x
x xdx x x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
41
3 3 7 7
2 2 2 22 2
= (tan tan 0) (tan tan 0) 3 4 7 4
20 =
21
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
38
แบบฝึกหัด 6.6 ข้อ 1 จงอนิทเิกรต
2
2
1 1 21.1) =
22 sin 12
1
dx dzzx z
z
2
2
1=
1
1=
1 3( )
2 4
dzz z
dz
z
2
2
4 1=
2 13( ( )) 1
23
2 1 2 1= { ( )}
2 1 23 3( ( )) 1
23
2 2 1= arctan ( )
23 3
dz
z
d z
z
z C
2 2 1 = arctan{ (tan )}
2 23 3
xC
2 2
2
1 1 21.2) =
13 2 cos 13 2( )
1
dx dzzx z
z
2
2
2
2=
5
2 1=
5( ) 1
5
2 1=
5 5( ) 1
5
2= arctan
5 5
dzz
dzz
zd
z
zC
2 1= arctan{ tan }
25 5
xC
2 2 cos1.3) =
sin tan sin (1 cos )
xdx dx
x x x x
2
2
2 2
2 2
2
3
1
21= 22 1 1
(1 )1 1
= (1 )
= z3
z
z dzz z z
z z
z dz
zC
31= tan tan
2 3 2
x xC
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
39
2 2
2 2
1 1 21.4) =
1 2cos sin 1 11
1 1
1 =
1
= ln | 1 |
dx dzz zx x z
z z
dzz
z C
= ln | 1 tan | 2
xC
2 2
2 2
2
2
1 1 21.5) =
2 1sin cos 3 13
1 1
1 =
2 1
1 1 =
12
2 2
dx dzz zx x z
z z
dzz z
dzz
z
2
1 1 =
1 72( )
4 16
dz
z
2
2
8 1 =
4 17{ ( )} 1
47
2 1 4 1 = { ( )}
4 1 47 7{ ( )} 1
47
2 4 1 = arctan( ( ))
47 7
dz
z
d z
z
z
C
2 4 1 = arctan( (tan ))
2 47 7
xC
2
2
2
2 2
2
sin 211.6) = 22 sin 1
21
2 =
(1 )( 1)
z
x zdx dzzx z
z
zdz
z z z
พิจารณา 2 2
2
(1 )( 1)
z
z z z
2 2 2 2
2 2
2 A B C D =
(1 )( 1) 1 1
2 (A B)(z z+1) (C D)(1 )
z z z
z z z z z z
z z z z
แทน 0 ; z จะได ้ B D 0
...(39)
แทน 1 ; z จะได ้ A B 2C 2D 2
...(40)
แทน 1 ; z จะได ้ 3A 3B 2C 2D 2
...(41)
แทน 2 ; z จะได ้ 6A 3B+10C 5D 4
...(42)
แกส้มการ (39), (40), (41) และ (42)
จะได ้ A 0, B 2,C 0,D 2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
40
ดงันั้น 2 2 2 2
2 2 2 =
(1 )( 1) 1 1
z
z z z z z z
2 2 2 2
22
2 2 2 ( )
(1 )( 1) 1 1
2 2 = ( )
1 31( )
2 4
zdz dz
z z z z z z
dzz
z
22
2 4 1 2 1 = { ( )}
2 11 23 3{ ( )} 1
23
4 2 1 = 2 arctan arctan{ ( )}
23 3
dz d zz
z
z z C
4 2 1 = arctan{ (tan )}
2 23 3
xx C
2
2
2 2
2
2
2 2
1 cos1.7) =
3sec 1 3 cos
1
21 = 1 1
31
1 =
(2 1)( 1)
xdx dx
x x
z
z dzz z
z
zdz
z z
พิจารณา 2
2 2
1
(2 1)( 1)
z
z z
2
2 2 2 2
2 2 2
1 A B C D =
(2 1)( 1) 1 2 1
1 (A B)(2z +1) (C D)( 1)
z z z
z z z z
z z z z
แทน 0 ; z จะได ้ B D 1
...(43)
แทน 1 ; z จะได ้ 3A 3B 2C 2D 0
...(44)
แทน 1 ; z จะได ้ 3A 3B 2C 2D 0
...(45)
แทน 2 ; z จะได ้ 18A 9B+10C 5D 3
...(46)
แกส้มการ (43), (44), (45) และ (46)
จะได ้ A 0, B 2,C 0,D 3
ดงันั้น 2
2 2 2 2
1 2 3 =
(2 1)( 1) 1 2 1
z
z z z z
2
2 2 2 2
2 2
1 2 3 ( )
(2 1)( 1) 1 2 1
2 3 1 = ( 2 )
1 2 ( 2 ) 1
zdz dz
z z z z
dz d zz z
3
= 2 arctan arctan 22
z z C
3 = arctan( 2 tan )
22
xx C
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
41
2
2
2
2 2
2
2
cot cos1.8) =
1 sin sin (1 sin )
1
21 = 2 2 1
(1 )1 1
1 =
( 1)
x xdx dx
x x x
z
z dzz z z
z z
zdz
z z
พิจารณา 2
2
1
( 1)
z
z z
2
2 2
2 2
1 A B C =
( 1) 1 ( 1)
1 A(z+1) B( )( 1) C
z
z z z z z
z z z z
แทน 0 ; z จะได ้ A 1
แทน 1 ; z จะได ้ C 0
หา B จาก 2
2
11
1 1B 1 2
zz
d z
dz z z
ดงันั้น 2
2
1 1 2 =
( 1) 1
z
z z z z
2
2
1 1 2 ( )
( 1) 1
= ln | | 2 ln | 1 |
zdz dz
z z z z
z z C
= ln | tan | 2 ln | tan 1 | 2 2
x xC
2 2
2 2
2
2 2
sec 11.9) =
1 sin cos (1 sin )
1 2 =
1 2 1(1 )
1 1
1 = 2
(1 )( 1)
xdx dx
x x x
dzz z z
z z
zdz
z z
พิจารณา 2
2 2
1
(1 )( 1)
z
z z
2
3 2 3
2 3 2
1 A B C D =
(1 )( 1) 1 1 ( 1) ( 1)
1 A(z+1) B(1 )( 1) C(1 )( 1) (1 )
z
z z z z z z
z z z z z D z
แทน 1 ; z จะได ้ 1A
4
แทน 1 ; z จะได ้ D 1
หา C จาก 2 2
2
1 1
1 2 1 1C
1 (1 ) 2z z
d z z z
dz z z
หา B จาก 2 2 2
2 2 3
1 1 1
1 1 1 2 1 1 4 1B
2 1 2 (1 ) 2 (1 ) 4z z z
d z d z z
dz z dz z z
ดงันั้น 2
3 2 3
1 1 1 1 1 =
(1 )( 1) 4(1 ) 4( 1) 2( 1) ( 1)
z
z z z z z z
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
42
2
3 2 3
2
1 1 1 1 1 2 2 ( )
(1 )( 1) 4(1 ) 4( 1) 2( 1) ( 1)
1 1 1 1 = ln | 1 | ln | 1 |
2 2 ( 1) ( 1)
zdz dz
z z z z z z
z z Cz z
2
1 tan1 1 12 = ln | |2
1 tan (tan 1) (tan 1)2 2 2
x
Cx x x
2
2 2
2 2
2
tan sin1.10) =
1 tan sec cos sin 1
2
21 = 1 2 1
11 1
2 =
(1 )(1 )
x xdx dx
x x x x
z
z dzz z z
z z
zdz
z z
พิจารณา 2
2
(1 )(1 )
z
z z
2 2
2
2 A B C =
(1 )(1 ) 1 1
2 A( +1) (B C)( 1)
z z
z z z z
z z z z
แทน 1 ; z จะได ้ A 1
แทน 0 ; z จะได ้ C 1 แทน 1 ; z จะได ้ B 1
ดงันั้น 2 2
2 1 1 =
(1 )(1 ) 1 1
z z
z z z z
2 2
2 2
2 1 1 ( )
(1 )(1 ) 1 1
1 1 =
1 1 1
= l
z zdz dz
z z z z
zdz dz dz
z z z
21n | 1 | ln | 1 | arctan
2z z z C
21 = ln | tan 1 | ln | tan 1 |
2 2 2 2
x x xC
ขอ้ 2 จงหาค่าของ 6
2 2
0
1
4 3cos 5sindx
x x
2 2 2 2 2
2
1 1 =
4 3cos 5sin 4 2sin 3(cos sin )
1 =
1 cos 24 2 3(cos 2 )
2
1 =
4 1 cos 2 3(cos 2 )
dx dxx x x x x
dxx
x
dxx x
1 =
5 4cos 2 dxx
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
43
ก าหนดให้ 2x = u
22
2
2 2
2
1 1 1 =
5 4cos 2 2 5 4cos
1 1 2 =
2 115 4
1
1 =
5 5 4 4
1 =
1 9
dx dux u
dzzz
z
dzz z
dzz
2
1 1 = (3 )
3 1 (3 )
1 = arctan(3 )
3
1 = arctan(3tan )
3 2
1 = arctan(3tan )
3
d zz
z C
uC
x C
6
6
02 2
0
1 1 = arctan(3tan )
4 3cos 5sin 3
1 = arctan(3tan )
3 6
1 = arctan( 3)
3
dx x
x x
= 9
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
44
แบบฝึกหัด 6.7 ข้อ 1 จงอนิทเิกรต
3 2 2 3
4
2 6 4 2
4
8 6 4 2
4
21.1) 7 2 = ( 2)
7
2 = ( 6 12 8)
7
2 = ( 6 12 8 )
7
2 =
7
x x dx u u du
u u u u du
u u u u du
9 7 5 3
4
1 6 12 8{ }9 7 5 3
u u u u C
9 7 5 3
2 2 2 24
2 1 6 12 8 = { (7 2) (7 2) (7 2) (7 2) }
7 9 7 5 3x x x x C
43
4
2 4
6 2
7 3
( 5)11.2) = 4
93 5
1 = 4 ( 5)
9
1 = (4 20 )
9
1 4 20 = { }
9 7 3
uxdx u du
ux
u u du
u u du
u u C
7 3
4 44 1 5
= { (3 5) (3 5) }9 7 3
x x C
2
2
2
2
2
51.3) = 5 2
5 5
= 2 55
5 = 2 5 {1 }
5
1 = 2 5{ 1 }
( ) 15
x udx udu
x u
udu
u
duu
du duu
= 2 5{ 5 arctan }5
uu C
= 2 5 10 arctan
5
xx C
1 11.4) = 2
2 32 1 3
3 = (1 )
2 3
3 = ln | 2 3 |
2
dx uduux
duu
u u C
3 = 1 ln | 2 1 3 |
2x x C
2
7 2
1( 2)
7
2
7
u x
x u
dx udu
4
4
3
3 5
1( 5)
3
4
3
u x
x u
dx u du
2
2
u x
x u
dx udu
2
1
1
2
u x
x u
dx udu
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
45
2
2
2
1 11.5) = 2
( 9)( 7) 2
1 = 2
9
2 1 =
3 3( ) 13
2 = arctan
3
dx uduu ux x
duu
ud
u
3
uC
2 1 = arctan 2
3 3x C
43
4 2
2
2
2
1.6) = 4
= 41
1 = 4 (1 )
1
= 4( arctan )
x udx u du
u ux x
udu
u
duu
u u C
4 4 = 4( arctan )x x C
4
8 635
3 9
2
4 2
5 3
2 21.7) = 6
= 6 ( 2 )
2 = 6( )
5 3
x x u udx u du
ux
u u du
u uC
5 1
6 22 = 6( )
5 3
x xC
11
11 3 2
64
6 4 2
2
7 5 3
1 11.8) = 12
(1 )(1 )
1 = 12 ( 1 )
1
= 12( + arctan )7 5 3
dx u duu u
x x
u u u duu
u u uu u C
7 5 1
1 112 12 412 12 = 12( + arctan )
7 5 3
x x xx x C
1
325
4 6 8
3
2
2
2
1.9) = 6
= 61
1 = 6 (1 )
1
= 6( arctan )
x udx u du
u ux x
udu
u
duu
u u C
6 6 = 6( arctan )x x C
2
2
2
2
u x
x u
dx udu
4
4
34
u x
x u
dx u du
6
6
56
u x
x u
dx u du
12
12
1112
u x
x u
dx u du
6
6
56
u x
x u
dx u du
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
46
1
43
1 4 2
2
2 2
2
1 11.10) = 4
1 = 4 (1 )
1 1
1 = 4 ln | 1 | arctan
2
x udx u du
u ux x
udu
u u
u u u C
4 41 = 4 ln | 1 | arctan
2x x x C
65
3 23
8 2
2
6 4 2
2
3 1 3 11.11) = 6
(1 )(1 )
3 = 6
1
4 = 6 (3 3 3 4 )
1
x udx u du
u ux x
u udu
u
u u u duu
7 5 33 3 = 6( 4 4 arctan )
7 5u u u u u C
7 5 1 11
6 6 6 623 3
= 6( 4 4 arctan )7 5
x x x x x C
4
4
34
u x
x u
dx u du
6
6
56
u x
x u
dx u du
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
47
แบบฝึกหัดที ่6.8 ข้อ 1 จงอนิทเิกรต
2 2
1.1) a x
dxx
พิจารณา 2 2a x
dxx
ให้ 2 2
sin θ
cosθ θ
cosθ
x a
dx a d
a x a
ดงันั้น 2 2 cosθ
= cosθ θsinθ
a x adx a d
x a
2
2
cos θ= θ
sin θ
1 sin θ= θ
sin θ
= (cosecθ sin θ) θ
= a{ln|cosecθ cotθ|+cosθ}
a d
a d
a d
C
2 22 2= a{ln| | }
a a xa x C
x
3
2 2
11.2)
(25 )
dx
x
พิจารณา 3
2 2
1
(25 )
dx
x
ให้ 2 2
5sin θ
5cosθ θ
5 5cosθ
x
dx d
x
ดงันั้น 3 3
2 2
1 1 cosθ = θ
25 cos θ(25 )
dx d
x
2
2
1 1= θ
25 cos θ
1= sec θ θ
25
1= tanθ
25
d
d
C
2
1=
25 25C
x
3
3
2 2
1.3)
( 4)
xdx
x
พิจารณา 3
3
2 2( 4)
xdx
x
ให้ 2
2
2 tan θ
2sec θ θ
4 2secθ
x
dx d
x
θ
xa
2 2a x
θ
x5
2 25 x
θ
x2
4x
2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
48
ดงันั้น 3 3
2
3 22 2
8tan θ = 2sec θ θ
8sec θ( 4)
xdx d
x
3
2
2
2
= 2 tan θ cos θ θ
= 2 tan θsinθ θ
= 2 (sec θ 1) cos θ
1= 2 ( 1) cos θ
cos θ
2= 2 cos θ
cos θ
d
d
d
d
C
2
2
4= 4
4x C
x
2
3
161.4)
xdx
x
พิจารณา 2
3
16xdx
x
ให้ 2
4secθ
4secθtanθ θ
16 4 tan θ
x
dx d
x
ดงันั้น 2
3 3
16 4tanθ = (4secθtanθ) θ
64sec θ
xdx d
x
2 2
2
1= tan θcos θ θ
4
1= sin θ θ
4
d
d
1= (1 cos 2θ) θ
8d
1 1= (θ sin 2θ)
8 2C
1= (θ sinθcosθ)
8C
2
2
1 1 16= arcsec
8 4 2
x xC
x
2
5
2 2
1.5)
(9 )
xdx
x
พิจารณา 2
5
2 2(9 )
xdx
x
ให้ 2
3sin θ
3cosθ θ
9 3cosθ
x
dx d
x
ดงันั้น 2 2
5 5 52 2
9sin θ = (3cosθ) θ
3 cos θ(9 )
xdx d
x
2
4
2 2
1 sin θ= θ
9 cos θ
1= tan θsec θ θ
9
d
d
θ
2 16x x
4
θ
x3
29 x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
49
2
3
1= tan θ tan θ
9
1= tan θ
27
d
C
3
3
2 2
1=
27(9 )
xC
x
2
2
5 2 11.6)
25
x xdx
x
พิจารณา 2
2
5 2 1
25
x xdx
x
ให้ 2
5sin θ
5cosθ θ
25 5cosθ
x
dx d
x
ดงันั้น 2 2
2
5 2 1 5(25sin θ) 10sinθ 1 = 5cos θ
5cosθ25
x xdx d
x
2
2 2
= (125sin θ 10 sin θ 1) θ
= 125 (cos 2θ) θ 10 sin θ θ 126 θ
125= 126θ sin 2θ 10 cos θ
2
= 126arcsin 5 25 2 255
d
d d d
C
xx x x C
2= 126arcsin (5 2) 255
xx x C
2 2
2
2
1 11.7) =
12 4 ( 4 12)
1 =
( 4 4 16)
1 =
16 ( 2)
dx dyy y y y
dyy y
dyy
พิจารณา 2
1
16 ( 2)dx
y
ให้ 2
2
2 4 tan θ
4sec θ θ
16 ( 2) 4secθ
y
dy d
y
ดงันั้น 2
2
1 4sec θ = θ
4secθ16 ( 2)dx d
y
= sec θ θ
= ln|secθ tan θ|
d
C
22 12 4
= ln| |4
y y yC
2 2
2 2
2
2
2
2
1.8) = 9 8 ( 8 9)
= ( 8 16 25)
= 25 ( 4)
y ydx dy
y y y y
ydy
y y
ydy
y
θ
x5
225 x
θ
2y
2
16(
2)y
4
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
50
พิจารณา 2
225 ( 4)
ydx
y
ให้ 2
4 5sin θ
5cosθ θ
25 ( 4) 5cosθ
y
dy d
y
ดงันั้น 2 2
2
(5sinθ 4) = 5cosθ θ
5cosθ25 ( 4)
ydx d
y
2
2
= (5sinθ 4) θ
= (25sin θ 40 sin θ 16) θ
25= (1 cos 2θ) θ 40 sin θ θ 16 θ
2
57 25= θ sin 2θ 40 cos θ
2 2
d
d
d d d
C
2457= arcsin( ) ( 12) 9 8
2 5
yy y y C
3 3
2 22 2
3
2 2
1.9) ( 6 13) = ( 6 9 4)
= (( 3) 4)
y y dy y y dy
y dy
พิจารณา 3
2 2(( 3) 4)y dy
ให้ 2
2
3 4 tan θ
4sec θ θ
( 3) 4 4secθ
y
dy d
y
ดงันั้น 3
2 3 22(( 3) 4) = 256 sec θ sec θ θy dy d
5
3
3 3
3 2 3
3 2 3
= 256 sec θ θ
= 256 sec θ tanθ
= 256{sec θ tanθ tanθ sec θ}
= 256{sec θ tanθ 3 tan θ sec θ θ}
= 256{sec θ tanθ 3 (sec θ 1)sec θ θ}
d
d
d
d
d
3 5 3
3 5 3
3 3
= 256sec θ tan θ 768 (sec θ sec θ) θ
= 256sec θ tan θ 768 sec θ θ 768 sec θ θ
256 768= sec θ tan θ sec θ θ
769 769
d
d d
d
3 1 sec {tan sec | cos( ) sin( ) | | cos( ) sin( ) |}
2 2 2 2 2
x x x xxdx x x n n C
ดงันั้น 3
2 32
cos( ) sin( )256 384 2 2( 6 13) = sec θ tanθ {tan sec | |}769 769
cos( ) sin( )2 2
x x
y y dy x x n Cx x
2
11.10)
( 1) 1dx
y y
พิจารณา 2
1
( 1) 1dx
y y
θ
4y 5
225 ( 4)y
θ
3y
2
25(
3)y
4
θ
2 1y y
1
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
51
ให้ 2
secθ
secθtanθ θ
1 tan θ
y
dy d
y
ดงันั้น 2
1 secθ tanθ = θ
(secθ 1) tanθ( 1) 1dx d
y y
2
2
2
2
sec θ= θ
sec θ 1
1= ( ) θ
1 cos θ
1 cos θ= ( ) θ
1 cos θ
1 cos θ= ( ) θ
sin θ
sin θ= cosec θ θ
sin θ
1= cot θ
sin θ
d
d
d
d
dd
C
2
2
11=
1
yC
yy
2 32 3
2 3
2 3
1 1 11.11) =
8 27( 4 24 27)( 6 )
4
1 1 =
8 9( 6 9 )
4
1 1 =
8 9( ( 3) )
4
dx dxy y
y y
dx
y y
dx
y
พิจารณา 2 3
1
9( ( 3) )
4
dx
y
ให้
2
33 secθ
2
3secθtanθ θ
2
34 24 27 tan θ
2
y
dy d
y y
ดงันั้น 3 32 3
3secθ tan θ
1 1 1 2 = θ38 89
( ) tan θ( ( 3) )24
dy d
y
2
2
2
1 sec θ= θ
18 tan θ
1 cosθ= θ
18 sin θ
1 sin θ=
18 sin θ
1=
18sin θ
d
d
d
C
2
3=
918 ( 3)
4
yC
y
θ
2 9( 3)
4y
3y
3
2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
52
2 2 2
11.12) , 0
( )du a
a u
พิจารณา 2 2 2
1
( )du
a u
ให้ 2
2 2
tan θ
sec θ θ
secθ
u a
du a d
a u a
ดงันั้น 2
2 2 2 4 4
1 sec θ = θ
( ) sec θ
adu d
a u a
3 2
2
3
1 1= θ
sec θ
1= cos θ θ
da
da
3
1= (1 cos 2θ) θ
2d
a
3 3
1 1= θ sin 2θ
2 4C
a a
3 2 2 2
1= arctan
2 2 ( )
u uC
a a a a u
2 2 2
11.13) , 0
( )du a
a u
พิจารณา 2 2 2
1
( )du
a u
ให้ 2 2
sin θ
cosθ θ
cosθ
u a
du a d
a u a
ดงันั้น 2 2 2 4 4
1 cosθ = θ
( ) cos θ
adu d
a u a
3 3
1 1= θ
cos θd
a
3
3
3
3
2
3
2
3
3
3 3
1= sec θ θ
1= secθ tanθ
1= {secθ tanθ tanθ secθ}
1= {secθ tanθ secθ tan θ θ}
1= {secθ tanθ secθ(sec θ 1) θ}
1 1= secθ tanθ (sec θ secθ) θ
da
da
da
da
da
da a
3 3
3 3 3
3
3 3 3
3
1 1 1 sec θ θ = secθ tanθ (sec θ secθ) θ}
2 1 1 sec θ θ = secθ tanθ+ secθ θ
1 1 sec θ θ = secθ tan θ ln | secθ tanθ |
2 2
d da a a
d da a a
d C
2 2 2 2 2 2 3 2 2
1 1 = ln | |
( ) 2 ( ) 2
u a udu C
a u a a u a a u
θ
u2
2
au
a
θ
ua
2 2a u
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
53
2
4 4 4 4 4 4
2 2 4
11.14) =
2
1 =
2
u dudu
u u a u u a
dz
z z a
พิจารณา 2 2 4
dz
z z a
ให้
2
2
2
2 4 2
secθ
secθtanθ θ
tan θ
z u
z a
dz a d
z a a
ดงันั้น 2
4 2 22 2 4
1 1 secθtanθ = θ
2 2 sec θ( tanθ)
dz ad
a az z a
4
4
4
2 4
4
1 θ=
2 secθ
1= cosθ θ
2
1 sin θ
2
2
d
a
da
Ca
z aC
za
4 4
2 4
2
u aC
u a
3 3
2 4 4 22 2
2 2
3
2 2 2
2
(3 2 ) ( ( 2 1 4)1.15) =
1 1
{4 ( 1) } =
1
u u u u u udu du
u u
u udu
u
พิจารณา 3
2 2 2
2
{4 ( 1) }
1
u udu
u
ให้ 2
2 2
1 2sin θ
2 2cosθ θ
4 ( 1) 2cosθ
u
udu d
u
ดงันั้น 3 3
2 2 2 22 22
2 2
{4 ( 1) } 1 {4 ( 1) } =
1 2 1
u u udu du
u u
3
4
2
2 2
2
3
1 8cos θ= 2cosθ θ
2 2sinθ 2
cos θ= 4 θ
1 sinθ
4 cos θ(1 sinθ) θ
4 (cos θ cos θsinθ) θ
2 (1 cos 2θ) θ 4 cos θ cosθ
4 2θ sin 2θ cos θ
3
d
d
d
d
d d
C
32
2 2 4 2 2 21 1 1
2arcsin( ) ( 1) 3 2 {4 ( 1) }2 2 6
uu u u u C
θ
2 4z a
z
2a
θ
2 1u 2
2 24 ( 1)u
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
54
3 3
2 22 2
3
2 2
1.16) =
(4 25) (4 25)
=
(4 25)
t t
t t
e dedt
e e
du
u
พิจารณา 3
2 2(4 25)
du
u
ให้ 2
2
2 5 tan θ
5sec θ θ
2
(2 ) 25 5secθ
te u
u
du d
u
ดงันั้น 2
3 32 2
5 sec θ = θ
2 125sec θ(4 25)
dud
u
2
1= cosθ θ
50
1= sinθ
50
1
25 4 25
d
C
uC
u
2
25 4 25
t
t
eC
e
2 2
11.17)
16t tdt
e e
พิจารณา 2 2
1
16t tdt
e e
ให้ 2
4secθ
4secθtanθ θ
16 4tanθ
t
t
t
e
e dt d
e
ดงันั้น 22 2
1 tanθ = θ
16sec θ(4tanθ)16t tdt d
e e
2
2
2
1= cos θ θ
64
1= (1+cos2θ) θ
128
1 1 (θ sin 2θ)
128 2
1 1 4 16 arcsec( )
128 4 128
t t
t
d
d
C
e eC
e
2
2
1 1 16 arcsec( )
128 4 32
t t
t
e eC
e
3
2
11.18)
( 1)t
dt
e
พิจารณา 3
2
1
( 1)t
dt
e
θ
2u
2
(2)
25
u
5
θ
2 16te
te
4
θ
2
t
e
1te
1
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
55
ให้
2
22
tan θ
2sec θ θ
1 secθ
t
t
t
e
e dt d
e
ดงันั้น 2
3 3
2
1 2sec θ = θ
tanθ(sec θ)( 1)t
dt d
e
2
2
1= 2 θ
secθ tan θ
cos θ= 2 θ
sin θ
1 sin θ 2 θ
sin θ
1 2 θ 2 sinθ θ
sin θ
2ln|cosecθ cotθ| 2cosθ
d
d
d
d d
C
2
1 1 2 2ln| |
1
t
t t
eC
ee
ข้อ 2 จงหาค่าอนิทกิรัลต่อไปนี้ 2 2
3 2 3 2
0 02.1) 2 = 1 ( 1)x x x dx x x dx
พิจารณา 3 21 ( 1)x x dx
ให้ 2
1 sin θ
cosθ θ
1 ( 1) cosθ
x
dx d
x
ดงันั้น 3 2 3 21 ( 1) = (sinθ 1) cos θ θx x dx d
3 2
5 4 3 2
= (sin θ 1) (1 sin θ) θ
= ( sin θ 3sin θ 2sin θ 2sin θ+3sin θ 1) θ
d
d
พิจารณา 5 4sin θ θ = sin θsinθ θd d
2 2
2 4
3 5
= (1 cos θ) cosθ
= (1 2cos θ cos θ) cosθ
2 1 = cosθ cos θ cos θ
3 5
d
d
C
พิจารณา 4 3 1 1sin θ θ = θ sin 2θ sin 4θ
8 4 32d C (จากแบบฝึกหัดท่ี 6.3)
พิจารณา 3 31sin θ θ = cosθ cos θ
3d C
3 2 5
5
2 22
2 2
7 1 1 3 1 ( 1) = θ cos θ sin 2θ sin 4θ
8 5 4 32
7 1 1 = arcsin( 1) (2 ) ( 1) 2
8 5 2
3 ( 1) 2 { 2
16
x x dx C
x x x x x x
x x x x 4 1} x C
52
3 2 2 22
0
2
2 2
0
7 1 1 2 = arcsin( 1) (2 ) ( 1) 2
8 5 2
3 ( 1) 2 { 2 4 1}
16
x x x dx x x x x x x
x x x x x
θ
1x 1
21 ( 1)x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
56
7 = {arcsin(1) arcsin( 1)}
8
7 = { ( )}
8 2 2
7 =
8
3 33 3
3 35 54 2 4 22 2
2.2) =
( 2 3) {( 1) 4}
x xdx dx
x x x
พิจารณา 3
3
4 2 2{( 1) 4}
xdx
x
ให้ 2
2
2 2
1 2secθ
2secθtanθ θ
( 1) 4 2 tan θ
x
dx d
x
ดงันั้น 3 2
2
3 3
4 2 4 22 2
1 =
2{( 1) 4} {( 1) 4}
x xdx dx
x x
3
2
2
1 (2secθ 1)(secθtanθ)= θ
8 tan θ
1 2sec θ secθ= θ
8 tan θ
d
d
2
2 2
2
4 2
24 2
1 sec θ 1 secθ θ θ
4 tan θ 8 tan θ
1 1 sinθ cotθ
4 8 sin θ
1 1 cotθ
4 8sinθ
1 2 3
8( 1)2 2 3
d d
dd
C
x xC
xx x
3
3 4 23
3 24 254 2 2 5
1 2 3 =
8( 1)2 2 3{( 1) 4}
1 60 1 12 =
64 322 60 2 12
=
x x xdx
xx xx
1 15 1 3
32 164 15 4 3
1 15 15 3 3 = { }
4 15 8 3 4
θ
2 2( 1) 4x
21
x
2