1

Apunts de:

1501 jvsirerol

2n de BATXILLERAT

CAMP  GRAVITATORI

2

INTERACCIÓ GRAVITATÒRIA Introducció De les quatre interaccions bàsiques de la natura, nuclear forta, nuclear dèbil, electromagnètica i gravitatòria, aquesta última, la gravitatòria, és la més dèbil. No es té en compte en l’estudi de partícules elementals i tan sols és important quan al menys una de les masses és molt gran i l’altre no està sotmesa a altres interaccions més intenses. Malgrat el que hem dit la interacció gravitatòria és la que governa el comportament dels planetes en el sistema solar, juga un paper importantíssim en l’evolució de les estrelles i el comportament de les galàxies. La matèria que veiem i coneixem es suposa que forma tan sols un 4 o 5% dels components de l’univers, després es calcula que hi ha un 22 o 23% de matèria fosca, quasi cinc vegades més que la matèria que coneixem, i la resta rep el nom d’energia fosca. La matèria fosca es creu que està formada per partícules amb massa i que, per tant, interaccionen gravitatòriament amb la matèria ordinària. En canvi, no interacciona amb la llum el que podria fer suposar que no té càrrega. Es creu que la matèria fosca ocupa principalment els exteriors de les galàxies i això fa que el gir dels sistemes solars formats per matèria ordinària i que ocupen posicions allunyades del centre de la seva galàxia no girin com caldria esperar segons les equacions que estudiarem en aquest tema. Per altra banda, l’energia fosca estaria associada a una força anti-gravitatòria i seria la responsable de l’actual acceleració de l’expansió de l’univers. Es suposa, al contrari que la gravitatòria, que la seva acció augmenta amb la distància, però, de moment, tot són teories. Un poc d’història sobre el coneixement del sistema solar i la interacció gravitatòria: Al final del tema tens una informació més extensa d’aquesta història.

• Any 140 dC: Ptolomeo, Alexandria, publica la seva teoria geocèntrica en què la Terra ocupa el centre de l’univers i tot gira al voltant d’ella. Aquest model representà una notable millora del model aristotèlic però requeria ajustaments periòdics. Aquest model es va prendre com a vàlida al llarg de 14 segles, en part, a causa de l’església catòlica l’assimilà com a dogma.

• Any 1543: Copèrnic, Polonès, estableix, no sense greus problemes, el seu model en què, el Sol i les demés estrelles estan fixes en l’univers, mentre que els planetes, inclosa la Terra gira al voltant del Sol amb òrbites circulars. Defensors d’aquesta teoria, com Giordano Bruno o Galileu, l'Església catòlica els va condemnar a morir cremats a la foguera o obligats a renegar de les seves idees.

• Finals segle XVI, Tycho Brahe, Danès, estudià el moviment dels planetes i va

prendre unes dades molt precises, molt millors que les que s’havien pres abans.

• Johannes Kepler (1571 - 1650), Alemany, utilitzant les dades de Brahe, i, després de nombrosos intens descobrí que les trajectòries reals dels planetes eren el·líptiques i que el Sol ocupava un dels seus focus. A més establí relacions numèriques que han de complir els planetes. A continuació tens les seves lleis.

3

LLEIS DE KEPLER Kepler establí, a partir de les dades observacionals de Brahe, les següents lleis:

1. Tots els planetes es mouen en òrbites el·líptiques amb el Sol situat en un dels seus focus.

2. La recta que uneix qualsevol planeta amb el Sol recorre i cobreix àrees iguals amb temps iguals.

3. El quadrat dels períodes de qualsevol planeta és proporcional al cub de la distància mitjana del planeta al Sol.

La constant de la tercera llei de Kepler és la mateixa per a tots els cossos que giren al voltant del mateix astre. Per exemple, tots els satèl·lits que giren al voltant de la Terra, la Lluna inclosa, compleixen la mateixa relació de la tercera llei de Kepler i la constant és la mateixa. En canvi, la constant és diferent per la Terra i tots els altres planetes que giren al voltant del Sol. La tercera llei també ens diu que com més enfora del Sol està un planeta el seu període es fa més gran. El mèrit de Kepler d’arribar a aquesta equació a partir de les dades de Brahe és indubtable ja que donà llum i ordre al que tan sols era un munt de dades. Un altre important mèrits és el de centrar-se en els fets, en les dades i alliberar-se de les pressions ideològiques de l’època. La segona Llei de Kepler ens fa veure que si les àrees de la figura han de ser iguals és necessari que els planetes s’han de moure més ràpid quan estan més a prop del Sol que quan estan enfora. Per tant, si l’òrbita és el·líptica la rapidesa dels planetes no serà constant en el seu moviment al voltant del Sol. La Terra, igual que els altres planetes, es mou en una òrbita lleugerament el·líptica, la distància més curta al Sol, periheli o perigeu és de 147,2 milions de km. Per l’afeli o apogeu la distància és de 152,1 milions de km.

T 2

a3= constant

Les dues àrees són iguals si els temps per anar de P1 a P2 són iguals als d’anar de P3 a P4.

4

Per altra banda, també es compleix que la semisuma de les distancies del afeli i periheli és igual al semieix major i es considera la distància mitjana al Sol.

𝑎 =𝑑!"#$!!"# + 𝑑!"#$%

2 = 𝑑!"#$%&% Això ho tornarem a veure. La distància mitjana de la Terra al Sol s’escull com a unitat de mesura de distàncies dins el sistema solar: 1 UA “Unitat Astronòmica” = a = 1,496x1011 m. A1. Cerca per internet o en algun llibre les distàncies del periheli i l’afeli de Mart. Calcula la seva distància mitjana al Sol en metres. A2. Ja saps la distància mitjana Terra – Sol i el període de la Terra en la seva òrbita. En l’activitat anterior has calculat el radi mitja de l’òrbita de Mart, quin és el seu període? Per a calcular el període de la Lluna podem utilitzar la mateixa equació?. A3.Posat al dia i escriu la llista del que avui es consideren els planetes del sistema solar. Assenyala quins són els planetes interiors i quins són els exteriors. Fes un dibuix esquemàtic on pots suposar que les òrbites són circulars. Ara pensa i respon: Quan podem veure els altres planetes des de la Terra? Indicació: Usa l’esquema i pensa per separat com i quan podem veure els planetes exteriors primer i, després, els interiors. LLEI DE GRAVITACIÓ DE NEWTON Newton (1642 - 1727), a partir de l’equació de l’acceleració centrípeta trobada per Huygens va ser el primer científic en especificar com havia de ser la força d’atracció entre el Sol i els planetes per provocar la seva acceleració centrípeta. I demostrà que tan sols una força inversament proporcional al quadrat de la separació era compatible amb les òrbites el·líptiques de Kepler. A més, va fer la hipòtesi que aquesta força existia entre dos cossos qualsevols de l’univers la poma i la Lluna, per exemple.

Llei de gravitació: Deduïda per Newton En aquesta equació i en el dibuix es representa el valor de la força que fa la massa “1” sobre la massa “2”. L’equació està referida a uns eixos de coordenades centrats en la

m1

m2 F12

u12

SEMIEIX MAJOR

SEMIEIX MENOR SOL

5

massa 1. Com podeu veure, el seu valor depèn de les respectives masses i de la distància al quadrat que les separa. El signe menys indica que la força té sentit cap a “m1”, és atractiva.

• G= 6,67x10-11 N.m2/kg2 és la constant de gravitació universal. Trobada experimentalment per Cavendish 1798.

• El vector 𝑢!" és un vector unitari, mòdul 1, sobre el cos m1 i que té el sentit del cos 1 al cos 2.

• La força 𝐹!" , és la força que fa el cos 1 sobre el 2 à té el seu punt d’aplicació en el cos 2 i apunta al cos 1, ja que la força és atractiva.

• La tercera Llei de la Dinàmica ens assegura que 𝐹!" = −𝐹!" . Per tant el cos 2 fa una força sobre el cos 1 que és igual i de sentit contrari.

• En fer càlculs prescindirem del signe de l’equació i la usarem per a calcular mòduls de forces. El signe el determinarà els eixos de referència escollits.

Exemple 1: En la figura adjunta tens 3 masses disposades sobre un pla. L’angle que formen els vectors sobre m3, és de 30º. Les distancies 𝑟!" = 𝑟!" = 1𝑚. El valor de les masses és: m1= 2·105 kg ; m2= 3·105 kg; m3= 1·105 kg. Troba el vector força gravitatòria resultant que actua sobre la massa m3, provocada per les altres dues. Solució:

1. El primer que cal fer és posar uns eixos de coordenades centrats sobre el cos del que volem trobar la força que hi actua. Escollim els eixos de manera que sigui el més fàcil possible donar les coordenades dels altres cossos. Són aquests eixos els que determinen el signe de les components de les forces!.

2. Trobem el mòdul de les forces que actuen sobre m3.

3. Fem la suma vectorial de les forces. 2) Anem a trobar les forces:

𝐹!" = 𝐺𝑚! ·𝑚!

𝑟!"!=6,67 · 10!!! · 2 · 10! · 1 · 10!

1 = 1,33  𝑁

𝐹!" = 𝐺𝑚! ·𝑚!

𝑟!"!=6,67 · 10!!! · 3 · 10! · 1 · 10!

1 = 2,00  𝑁

La força F23, ja queda sobre l’eix “x” i en forma vectorial queda:

𝑭𝟐𝟑 = 𝟐,𝟎𝟎  !+ 𝟎  !  𝑵 Per la força F13, cal trobar les components sobre els dos eixos, cosa fàcil donat que coneixem l’angle que val 30º.

y

x

6

𝐹!"! = 1,33 ·  𝑐𝑜𝑠 30 = 1,16  𝑁

𝐹!"! = 1,33 ·  𝑠𝑖𝑛 30 = 0,67  𝑁    

En forma vectorial: 𝑭𝟏𝟑 = 𝟏,𝟏𝟔  !+ 𝟎,𝟔𝟕!  𝑵 3) La força resultant és la suma vectorial dels dos vectors trobats. Recorda que això es fa sumant component a component. 𝑭𝑹𝟑 = 𝟑,𝟏𝟔  !+ 𝟎,𝟔𝟕!    𝑵 Totes les components de les forces que hem trobat són positives perquè totes elles tenen el sentit positiu dels eixos dibuixats abans. Exemple 2: Certes estrelles de neutrons, que són extremadament denses, arriben a girar sobre elles mateixes amb una velocitat angular de 1 volta per segon. Si una estrella d’aquest tipus tingués un radi de 29 km, quina hauria de ser la massa mínima de l’estrella per assegurar que un cos sobre la seva superfície no marxaria d’ella a causa de la ràpida rotació. Calcula la densitat de l’estrella. Solució: Dades: R=29 km = 29.000 m ; 𝜔 = !  !"#$%

!  != !!  !"#

!

Per assegurar que un cos de massa “m” es quedi sobre la superfície de l’estrella, cal que la força gravitatòria sigui igual o més gran que la força centrípeta necessària per a realitza el moviment circular. Si ens posem en el cas límit, la força gravitatòria de l’estrella sobre el cos “m” situat en la seva superfície ha de ser igual a la força centrípeta necessària per a fer la trajectòria.

𝐹!"#$ = 𝐹!"#$%í!"#$        →    𝐺𝑀 ·𝑚𝑅! = 𝑚 · 𝜔! · 𝑅             →        𝑀 =

𝜔! · 𝑅!

𝐺 substituïm valors, operem i trobem: 𝑀 = 1,44 · 10!"𝑘𝑔 La densitat: 𝜌 = !

!= !

!!!!

! =!,!!·!"!"

!,!"·!"!"= 1,41 · 10!!𝑘𝑔/𝑚! ;

La de la Terra és 5,52·103kg/m3.

�⃗�!"

�⃗�!"

𝑭!!⃗ 𝑹𝟑

7

A4. Dues masses “M” i “m” s’atreuen amb una força de mòdul 𝐹 quan la seva distància val “r”.

a. Dibuixa les dues masses i la força que es fan entre elles. b. Fes un gràfic on representis en l’eix d’ordenades 𝐹 i en l’eix d’abscisses “r”.

Representa com varia la força quan la distància entre les masses és: r, 2r, 3r, 4r, 5r, ... .

DINÀMICA DE ROTACIÓ Moment angular Recordem de l’any passat que pel moviment de rotació es defineixen unes variables que permeten una simetria entre les equacions de la cinemàtica de translació i la cinemàtica de rotació. Les magnituds eren les següents:

Distància rapidesa acceleració Equacions que les relacionen

Translació e v a e= θ . r v= ω . r a = α . r Rotació θ ω α

També pel moviment de rotació es defineix una magnitud que fa el mateix paper que el moment lineal, 𝑝 = 𝑚 · 𝑣 en la translació, aquesta magnitud que rep el nom de moment angular, 𝑳. De la mateixa manera que el moment lineal, 𝑝, es conserva quan un cos es mou sense l’acció de cap força externa, alguna cosa semblant passa amb el moviment de rotació. Quan un objecte gira, com per exemple un satèl·lit al voltant d’un planeta, segueix girant indefinidament a menys que hi hagi alguna cosa que canviï aquest estat de rotació. És en aquestes situacions en què els físics s’inventen una magnitud referida a la rotació que es conservi a menys que hi hagi alguna cosa que la faci canviar. Aquesta magnitud, com ja hem dit, és el moment angular, 𝑳, i ve definit pel producte vectorial de 𝑟 per 𝑝:

𝐿 = 𝑟 ∧ 𝑝 𝐶 = 𝐴 ∧ 𝐵 En l’esquema anterior podeu veure que 𝐶 és el producte vectorial de 𝐴 per 𝐵, on 𝐶 és perpendicular al pla format per 𝐴 i 𝐵. Llavors, el moment angular com és el producte vectorial de del radi vector pel vector moment lineal, és perpendicular al pla format pel radi i el moment lineal, la

8

regla de la ma dreta, que ens diu que posem la ma sobre el radi amb els dits en el sentit del radi vector i els hem de girar cap el sentit del moment lineal, llavors el dit polze ens dóna el sentit de 𝐿. El moment angular sempre es situa sobre l’eix de rotació, és a dir, on està l’origen del radi. El mòdul del moment angular ve donat per: 𝐿 = 𝑟 · 𝑝 · sin∅ o bé: 𝐿 = 𝑟 ·𝑚 · 𝑣 · sin∅ On “ φ “ és l’angle que formen la velocitat i el radi vector. De la definició podem veure que es tracta de fer el producte del mòdul de uns dels vectors per la component de l’altre que és perpendicular al primer. Però, com és possible que 𝐿 = 𝑐𝑡𝑒 si:

- Quan un cos gira actua sobre ell una força centrípeta que és la causant que el vector velocitat i el vector moment lineal vagin canviant la seva direcció i, per tant, no són constants.

- A més, si l’òrbita és el·líptica, també va canviant la direcció i el mòdul del radi. La resposta és que cal tenir present que el moment angular ve definit per un producte i és aquest producte que es manté constant i no cadascun dels seus components. És a dir, el radi pot variar, la rapidesa pot variar i l’angle que formen també, de fet, canvien els tres a la vegada al llarg d’una òrbita el·líptica, però és el seu producte que es mantén constant!!

𝐿 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 Així, qualsevol planeta del nostre sistema solar, en la seva òrbita el·líptica, el seu moment angular es conserva respecte al Sol en tots els punts de la seva òrbita i podem, per tant, calcular el seu valor en qualsevol punt de la seva òrbita. La qual cosa ens permet fer el càlcul en dos punts fàcils de l’òrbita que són el periheli i l’afeli, ja que tan sols en aquests dos punts el radi i la velocitat de l’astre són perpendiculars i, sin 90 = 1, per tant, el moment angular en qualsevol d’aquests dos punts el trobem:

𝐿!"#$!!"# = 𝐿!"#$%        →      𝑟!"#$!!"# ·𝑚 · 𝑣!"#$!!"# = 𝑟!"#$% ·𝑚 · 𝑣!"#$% Si s’ha de complir la igualtat anterior és necessari que si en el periheli el radi és més petit que en el afeli, llavors en el periheli la velocitat ha de ser més gran que en l’afeli:

𝑟! < 𝑟!    ⇔  𝑣! > 𝑣!

9

aquest resultat coincideix amb el que ja havíem comentat en la segona llei de Kepler. Per tant, la conservació del moment angular dels astres porta implícita la segona llei de Kepler. A5. Dibuixa una roda de bicicleta que estigui girant. Dibuixa on estaria situat i el sentit del seu moment angular. A6. Si la velocitat de la Terra en el periheli és 30,75 km/s i la seva distància al Sol és de 147x106 km, quin és el moment angular de la Terra respecta del Sol? Si la distància de la Terra al Sol en l’afeli és de 152x106km, quina serà la seva velocitat en aquest punt?. A7. En la següent imatge es pot visualitzar el que podria ser el procés de formació d’una galàxia. La figura “a” mostra una esfera de gas interestel·lar que gira lentament i que inicia la seva contracció a causa de la gravetat mútua entre les partícules. En (b) com la força gravitatòria, que fa de centrípeta, no actua en la direcció del radi de gir, per a les partícules que no estan en l’equador de l’esfera, el gas es va aplanant principalment en les zones no equatorials, el radi va disminuint i la velocitat de rotació va augmentant. En (c) l’efecte de (b) arriba a la posició final on encara s’ha aplanat més i la velocitat de rotació encara s’ha fet més gran, donat la forma típica de les galàxies que giren.

a. Dibuixa el vector moment angular en les tres figures. b. En base al resultat de l’apartat “a” justifica per què la velocitat de rotació

augmenta a mida que el radi disminueix.

10

Moment d’una força Abans hem comentat que l’estat de rotació d’un cos i el seu moment angular es conserven a menys que hi hagi alguna cosa que les faci canviar. La pregunta és quina és aquesta cosa? D’entrada direm que no és únicament una força el que pot modificar l’estat de rotació i el moment angular, el que es necessita és una força que creï MOMENT!. Però que és un moment? Per a donar una idea del que és, podem pensar en el que cal fer per obrir una porta, ja que és un objecte d’us habitual que gira. És suficient aplicar una força per obrir una porta? Girarà la porta si apliquem la força sobre la porta en el lloc on s’enganxa la frontissa? Girarà la porta si apliquem la força en el pla de la fulla de la porta? En els dos casos exposats sabem que no girarà. Per fer girar una porta cal aplicar la força el més perpendicular possible a la fulla de la porta i encara serà més fàcil si fem la força en el punt més allunyat de la frontissa. En aquest casos no tan sols fem una força sinó que fem un MOMENT sobre la porta respecte a l’eix de rotació que passa per les frontisses. En definitiva el moment creat per una força sobre un cos respecte a un eix que depèn de:

• El valor de la força. Com més gran és la força, més gran pot ser el moment.

• La distància que hi ha entre l’eix de rotació i el punt d’aplicació de la força, r. Per una mateixa força i angle, com més gran sigui el radi, més gran és el moment.

• De l’angle que formen el radi vector i la força aplicada. Com més perpendiculars siguin el radi i la força major serà el moment.

A8. De les tres posicions que mostra la imatge de la porta, en quina creus que la força aplicada crea un moment més gran? A9. En quina de les dues posicions dels peus sobre el pedal el moment que creen és màxim i en quina és mínim? Per què?. Intuïtivament, podem considerar que el moment d’una força és una magnitud que ens dóna compte de l’eficiència d’una força a l’hora d’aconseguir una variació en l’estat de rotació d’un cos. Definició formal: Es defineix moment d’una força com el producte vectorial del radi vector per el vector força. Ho expressem així:

𝑀 = 𝑟 ∧ 𝐹

11

Al igual que en el cas de moment angular, el sentit del vector moment d’una força també ve definit per la regla de la ma dreta, per tant, és perpendicular al pla format pel radi vector i la força, i el seu mòdul ve donar per: 𝑀 = 𝑟 · 𝐹 · sin𝜃     ;   𝑜𝑛  "θ"  é𝑠  𝑙!𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒  𝑞𝑢𝑒  𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛  𝑙𝑎  𝑓𝑜𝑟ç𝑎  𝑖  𝑒𝑙  𝑟𝑎𝑑𝑖 . La definició donada es pot veure que compleix els requisits donats de forma intuïtiva pel cas de la porta o els pedals Si el vector 𝑀 té el mateix sentit que el vector 𝐿, el moment angular es fa més gran i el cos gira més ràpid si 𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡. En el cas que 𝑀, tengui sentit contrari al moment angular, la rotació es va frenant i el vector moment angular es fa més petit. La relació que hi ha entre els dos vectors rep el nom d’Equació Fonamental de a Dinàmica de Rotació:

𝑀 =Δ𝐿Δ𝑡

L’equació que acabem de veure ens diu que el moment extern aplicat sobre un cos és igual al ritme de canvi del moment angular del cos.

És fàcil demostrar aquesta equació per cas que 𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡. Òrbites sotmeses a forces centrals En tots els moviments orbitals la força gravitatòria, 𝐹!, té la mateixa direcció que el radi vector 𝑟, que dona la posició del planeta o satèl·lit respecte de l’astre que li fa la força. Una força d’aquest tipus rep el nom de força central. Al tenir els dos vectors la mateixa direcció i sentit contrari, l’angle que sempre formen és de 180º. Això implica que la força gravitatòria no crea Moment respecte al centre de rotació. 𝑀 = 𝑟 · 𝐹 · sin𝜃               ;      𝑠𝑖            𝜃 = 180º       ⇒     sin 180 = 0       ⇒    𝑀 = 0 per altra banda, l’equació fonamental de la dinàmica de rotació ens diu:

𝑀 = !!!!= 0               ⇒      𝐿 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Ara tenim l’explicació de perquè el moment angular es conserva en les òrbites. Recordem el motiu, encara que actuï una força gravitatòria sobre els cossos que orbiten, aquesta força no crea moment.

12

Convé insistir en les conseqüències que el moment angular sigui una constant:

• El pla de l’òrbita és estable. • La força gravitatòria i el radi de l’òrbita han de tenir

la mateixa direcció. Per tant com la força gravitatòria apunta cap el centre de l’astre que exerceix la força sobre el satèl·lit, el radi també ha de tenir la mateixa direcció. Com a conseqüència totes les òrbites possibles han de contenir en el seu pla el centre de l’astre que crea la força. Veure la imatge.

• Es compleix la llei de les àrees que ja hem vist. • En l’última figura de la dreta es representen

òrbites que no són possibles ja que els seus radis de gir no surten del centre del planeta. Com la força gravitatòria si que apuntaria al centre del planeta, això donaria com a resultat que l’angle que formarien la força i el radi seria diferent de zero (180º) i llavors la força crearia moment sobre el satèl·lit i el moment angular no seria constant provocant una òrbita no estable.

A10. Estàs escoltant, interessadament, un grup de menorquins que volen posar en òrbita un satèl·lit que passi per sobre de Menorca. Pensen que el millor solució és posar-lo en una òrbita coplanària amb el paral·lel de latitud 40,0, que passa per Menorca. Què els comentaries? Simetria de les equacions de la dinàmica de translació i de rotació

MOVIMENT DE

TRANSLACIÓ

MOVIMENT DE ROTACIÓ

EQUACIONS QUE LES RELACIONEN

𝐹 𝑀 Moment de la força 𝑀 = 𝑟⋀𝐹

𝑝 𝐿 Moment Angular 𝐿 = 𝑟⋀𝑝

𝐹 =∆𝑝∆𝑡

𝑀 =∆𝐿∆𝑡

13

De la llei Newton i la Dinàmica de Rotació a les lleis de Kepler. Ara anem a fer el procés invers, anem a deduir les lleis de Kepler a partir de la de Newton i la dinàmica de rotació. 1. Llei de les àrees: Dir que en temps

iguals el radi vector escombra àrees iguals, és el mateix que dir que:

On “ dA” és l’àrea ombrejada de la figura: l’àrea del paral·lelepípede format pels vectors 𝑟    𝑖    𝑑𝑠 ve donat pel seu producte vectorial. L’àrea de la figura tan sols és la meitat i val:

𝑑𝐴

𝑑𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡   ja que 𝐿 = 𝑐𝑡𝑒 2. La Llei dels períodes de revolució de Kepler, és fàcil deduir-la per òrbites circulars:

Ara ja coneixem el valor de la constant de la tercera llei de Kepler. Aquesta equació és important ja que ens serà útil, entre altres coses per a determinar la massa de l’astre al voltant del qual giren. A11. Utilitza l’última equació i les dades que necessitis de la òrbita de la Terra per a trobar la constant de la tercera llei de Kepler ( constant que és la mateixa per a tots els planetes que giren al voltant del Sol) i troba la massa del Sol.

dAdt

= cte

dA= 12r ∧ds = 1

2r ∧v dt

L =r ∧m⋅

v

dAdt

=12

L

m= cte

ac =4π 2 ⋅rT 2

a = Fm=GM

r 2

ac =v2

r

v = 2π ⋅rT

4π 2 ⋅ rT 2 =G M

r2

T 2

r3=4π 2

GM= cte

14

ESTUDI ENERGÈTIC Energia potencial gravitatòria Revisem el que tenim i el que sabem de l’any passat:

• La força gravitatòria és una força central i, com a tal, també serà una força conservativa.

• Que una força sigui conservativa implica necessàriament que el treball realitzat per la força gravitatòria sobre un cos quan aquest es mou tan sols depèn de les posicions inicials i finals i no del camí que s’hagi seguit. En paraules més entenedores, una força és conservativa quan el seu treball tan sols transforma energia potencial en cinètica i cinètica en potencial, sense variar el valor de la seva suma, és a dir, sense variar l’energia Mecànica del sistema.

• Sempre que una força és conservativa és possible definir una energia potencial associada a la força.

• Ho definim de la forma habitual: la variació de l’energia potencial, Ep, d’un cos, “m’ “, baix l’acció d’una altra massa “M”, és igual i de signe contrari al treball realitzat per la força conservativa, en aquest cas la força gravitatòria, quan el cos es mou d’un punt a un altre.

Ep(r2 )−Ep(r1) = ΔEp = −W (Fg ) Si fem el càlcul del treball fet per la força gravitatòria per anar del punt “A” al “B”, tenint en compte que la força no és constant, ens dóna:

𝑊 𝐹! = 𝐹!!!!!

· 𝑑𝑙 = 𝐺𝑀𝑚 !!!− !

!! à Δ𝐸! = −𝐺𝑀𝑚 !

!!− !

!!

Aquest última expressió és la que utilitzarem per a calcular la diferencia d’energia potencial d’una massa “m” al passar d’un punt qualsevol, A, a un altre, B, que es trobem baix l’acció gravitatòria de la massa “M”.

Què ens diu l’equació que hem trobat?

• L’equació anterior tan sols ens parla de variacions d’energia potencial. Tan sols ens informa de com canvia l’energia potencial quan un cos passa d’un punt A a un altre B, però no ens diu res del valor absolut de l’energia potencial. De fet un valor absolut de l’energia potencial tan sols té sentit quan s’escull un punt amb un valor arbitrari.

detall

15

• Si “ rB > rA” à El parèntesi serà negatiu i la variació d’energia potencial, ΔEp, serà positiva, és a dir, augmenta l’energia potencial.

• Si “ rB < rA” à El parèntesi serà positiu i la variació d’energia potencial, ΔEp, serà negativa, és a dir, disminueix l’energia potencial.

Finalment volem aclarir que no és un objectiu d’aquest curs el fer càlculs de les integrals i que tan sols utilitzarem l’equació final, és a dir, el resultat trobat de la integral. A12. Un meteorit de massa “m” s’acosta cap la terra. Explica com és la variació d’energia potencial del sistema meteorit-Terra en aquest procés. Energia potencial gravitatòria absoluta Sabem que quan treballem amb energies el que marca el comportament dels cossos o sistemes són les variacions de les energies. Malgrat això, el fet que quan la separació entre cossos es fa infinita l’energia potencial tendeix a zero, ens indueix a escollir una Ep=0 quan r à ∞. Llavors, en aquest cas si li donem el valor zero a l’infinit, ja podem donar valors absoluts de l’energia potencial a tots els altres punts de l’espai respecte de l’infinit. Per a trobar aquests valors absoluts, tan sols cal avaluar la variació d’energia potencial entre el punt de l’infinit, on Ep=0, i qualsevol altre punt. Imaginem que estem en el sistema solar i suposarem que un planeta es troba inicialment a una distància: rA = ∞, del Sol i, per tant, respecte a aquest Sol, la seva Ep(A)=0. Ara, el planeta es mou cap el Sol fins arribar a una distància rB = r , el càlcul de la variació de l’energia potencial del planeta entre aquests dos punts en realitat serà l’Energia potencial absoluta del planeta en “r” i vindrà donada per:

Δ𝐸! = −𝐺𝑀𝑚 !!!− !

!! Si : rA = ∞; queda 𝐸! 𝑟 = −𝐺 !·!

!

Aquesta equació ens dóna el valor absolut de l’energia potencial gravitatòria d’una massa “m” quan es troba a una distància “r” de la massa “M”. Això és així mentre acordem que Ep(∞)=0. Analitzem un poc més el significat de l’equació trobada:

• Mentre la distància de “m” respecte de “M” no sigui infinita, el valor de l’energia potencial sempre és negativa. Això ens indica que la massa “m” es troba baix l’acció gravitatòria de la massa M i que existeix força gravitatòria.

• A mida que augmenta la distància, “ r “ entre “m i M”, el valor de l’energia potencial pren valors més propers a zero, es fa menys negativa, l’energia potencial augmenta. Pel que “r” es faci menor ja podeu suposar el que passa.

A13. Escriu l’expressió que ens dóna l’energia potencial absoluta d’un cos de massa “m” posat sobre la superfície de la Terra. Troba un resultat numèric pel cas del teu cos.

16

Energia Mecànica o Energia Total A més de l’energia potencial gravitatòria, que associem a la posició relativa de dos astres, també, en general, estan dotats de moviment i per tant d’energia cinètica. Així, qualsevol astre de massa “m” que es troba dins l’acció gravitatòria d’un altra astre de massa “M” i respecte a uns eixos fixes i centrats en el centre de la massa “M”, tindrà una energia total que vindrà donada per la suma de la seva energia potencial absoluta i la seva energia cinètica. És a dir, l’energia mecànica de la massa “m” respecte de “M” ve donada per:

𝐸! = 𝐸! = 𝐸! + 𝐸! =12𝑚 · 𝑣! − 𝐺

𝑀 ·𝑚𝑟

On “ v” és la velocitat de la massa “m” respecte a un sistema de referència inercial amb l’origen situat en el centre de la massa “M”.

• Si EM=ET <0; implica que domina el sumand de l’energia potencial i significa que el cos de massa “m” està confinat baix l’acció gravitatòria de la massa “M”, és a dir, encara que tingui velocitat, no es podrà escapar de l’acció gravitatòria de “M”.

• Si EM>0; implica que domina el sumant de l’energia cinètica i el cos s’escaparia de l’acció gravitatòria de la massa “M”.

• El fet que la força gravitatòria sigui conservativa implica que l’energia mecànica del sistema es conserva, és a dir, la suma de les energies cinètica i potencial de la massa “m” és constant. Insistim que és la suma que es conserva no cadascuna individualment.

𝐸! = 𝐸! + 𝐸! = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Per tant, tenim dues condicions que són constants del moviment planetari, la conservació de l’energia mecànica i la conservació del moment angular. Exemple 3: Quan els russos llançaren l’Sputnik I, en 1957, ja van comentar que no retornaria a la Terra i que a causa de la fricció amb les capes altes de l’atmosfera aniria perdent energia i, en la seva caiguda cap a la Terra, es cremaria en entrar en les capes més denses de l’atmosfera. Donat que el fet que l’Sputnik no es va cremar amb la seva posada en òrbita, com justifiques el fet que si ho faci quan cau?. Solució: Els satèl·lits que orbiten la Terra en òrbites baixes tenen una lleugeríssima fricció amb les capes més altes de l’atmosfera, la qual té una densitat molt petita, és per això que aquests satèl·lits, inclòs l’Sputnik, van perdent energia de rotació i perden alçada(Si no es vol perdre el satèl·lit, de tant en tant, cal posar els motor en marxa i reubicar la nau a la seva òrbita original). Aquesta pèrdua d’alçada i, per tant, pèrdua d’energia potencial, fa que augmenti l’energia cinètica de la nau i, conseqüentment, la seva velocitat fins valors molt alts (uns 20.000 km/h), això és com caure dins un pou. Pel cas de l’Sputnik, entrà en l’atmosfera amb una velocitat cada cop més alta, la força de fricció amb l’aire originà un augment brutal de la temperatura del satèl·lit fins posar-se al vermell viu, fins uns

17

3000ºC, i provocà la seva desfeta abans d’arribar a les capes baixes de l’atmosfera. La força de fricció amb l’aire, en bona aproximació, augmenta amb la velocitat al quadrat i amb la densitat de l’aire. En canvi, la velocitat d’enlairament és petita, parteix del repòs, i, gràcies al coet que funciona per fases, la velocitat augmenta amb l’alçada, on la densitat de l’aire és més petita, fins arribar a la velocitat que correspon a l’òrbita a la qual va destinat. En l’enlairament la temperatura causada per la fricció està al voltant d’uns 300ºC. Aprofitant que expliquem l’enlairament, és important tenir present que un coet no es llança verticalment. El coet va girant mentre puja per a donar a la nau les energies cinètica, la potencial i el moment angular corresponent a l’òrbita. Pel que fa a les naus actuals, que van pilotades per astronautes, aquestes van protegides amb material que poden suportar temperatures de milers de graus i, a mida que entren en les capes més denses de l’atmosfera la fricció és tant gran que la nau es va frenant, frenant, fins arribar a velocitats prou baixes com per reduir la temperatura de la nau, poder obrir un paracaigudes o volar com un avió, com ho fan els transbordadors. A14. Llancem des de la Terra un satèl·lit de manera que s’escapi de l’atracció gravitatòria de la Terra. Quin signe ha de tenir l’energia mecànica del satèl·lit? Com van variant els valors de les energies cinètica, potencial i total mentre es va allunyant? Velocitat d’escapament: És la velocitat mínima amb què s’ha llançar un cos que es trobi sotmès a l’acció gravitatòria perquè pugui fugir de la seva atracció gravitatòria. Com ja hem dit abans, un cos, m, lligat a l’acció gravitatòria de “M” té una energia mecànica total negativa, per tant si volem que marxi del camp li haurem de subministrar una energia cinètica addicional amb la finalitat d’aconseguir que la seva energia mecànica sigui, com a mínim, igual a zero. En definitiva, la condició d’escapament és: EM = ET = Ec + Ep = 0 Per exemple, un satèl·lit en òrbita al voltant d’un planeta “M” té una energia total o mecànica negativa, ja que estar en òrbita implica estar lligat gravitatòriament al planeta. Si volem que el satèl·lit abandoni el planeta haurem de donar energia cinètica al satèl·lit fins aconseguir que la seva energia total doni zero. En el cas particular que la massa “ m “, que volem llançar fora de l’atracció gravitatòria de l’astre “M”, estigui sobre la superfície d’un planeta, tan sols tenim que contrarestar l’energia potencial gravitatòria que té “m” sobre el planeta de radi “rp “: L’energia cinètica a subministrar ha de ser tal que:

12𝑚 · 𝑣! − 𝐺

𝑀 ·𝑚𝑟!

= 0

La velocitat d’escapament de la massa “m” ve donada per: 𝑣 = !·!·!!!

NO cal aprendre aquesta equació de memòria. És important saber deduir-la.

18

És important veure que la velocitat d’escapament des d’un planeta no depèn de la massa del cos que vulguem llançar, “m” no apareix en la formula, i tan sols depèn de les característiques del planeta, la seva massa i el seu radi. Exemple 4: Les atmosferes dels planetes: Com ja saps, de la Teoria Cinètica Molecular que has vist al llarg de l’ESO, l’energia cinètica de les partícules d’un gas augmenta proporcionalment a la temperatura. Per altra banda, tenim que totes les partícules d’un gas, sigui quina sigui la seva massa, tenen, en promig, la mateixa energia cinètica, per una determinada temperatura. Com l’energia cinètica ve donada per 𝐸! =

!!𝑚 · 𝑣!, les partícules que tenguin una massa més petita tindran més

velocitat i les que tenguin una massa més gran tindran una velocitat més petita. Si traslladem aquest raonament a les atmosferes dels planetes, trobem que les molècules de massa petita són les primeres que s’atraquen a la velocitat d’escapament del planeta i, si hi arriben s’escapen. Per exemple, si la Terra ha tingut hidrogen, H2, en la seva atmosfera en algun moment de la seva història passada, aquest va marxar per el motiu exposat. La Lluna no té atmosfera perquè no té una massa suficient com per a retenir-la, la seva velocitat d’escapament és molt baixa. A15. Calcula el valor de la velocitat d’escapament de la Terra i la velocitat d’escapament de la Lluna. Tipus d’òrbites Les úniques òrbites possibles i compatibles amb una força gravitatòria inversament proporcional al quadrat de la distància són les còniques, el·líptiques, circulars, parabòliques i hiperbòliques. EM>0 : Quan un cos, un asteroide, amb energia cinètica i que es troba a l’infinit, fora del sistema solar, no tindrà energia potencial. Però la seva energia mecànica serà positiva i si entrés en el sistema solar la seva trajectòria seria una hipèrbola i tornaria a sortir del sistema solar amb una altra direcció. Com mostra la imatge. EM=0 : Si el cos quan es troba a l’infinit té una energia mecànica igual a zero, això implica que tan la seva energia cinètica com la potencial són zero en algun instant. Si per algun motiu es mogués lleugerament i arribés a entrar al sistema solar realitzaria una trajectòria parabòlica i retornaria novament a l’infinit on quedaria en repòs novament. EM<0 : Si l’energia mecànica del cos és negativa, llavors les òrbites tenen dues possibilitats:

• Que l’òrbita sigui el·líptica. • Que sigui circular.

19

Aquest últim cas és el de tots els components del nostre sistema solar. Ara analitzarem amb un poc més de detall aquestes dues òrbites. Òrbites el·líptiques Per definició una el·lipse són el punt del pla que compleixen que la suma de distàncies a dos punts anomenats focus, és constant i igual a dues vegades el semieix major “a”. Matemàticament ho expressem: 𝑟! + 𝑟! = 2𝑎 El Sol ocupa un dels focus de les òrbites dels planetes i com podeu veure en el dibuix, la suma de distàncies en el periheli i afeli és igual a dues vegades el semieix major: 𝑟! + 𝑟! = 2𝑎 per altra banda, es considera la distancia mitjana d’un planeta al Sol és igual al semieix major de l’el·lipse:

𝑑𝑖𝑠𝑡à𝑛𝑐𝑖𝑎  𝑚𝑖𝑡𝑗𝑎𝑛𝑎 = 𝑎 =𝑟! + 𝑟!2

Pel que hem vist fins ara, en el moviment dels astres en el sistema solar es compleixen dues condicions que són constant del moviment:

• Conservació del moment angular, perquè la força gravitatòria no crea moment.

   𝐿 = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡

• Conservació de l’energia mecànica, perquè la força gravitatòria és conservativa.

𝐸! = 𝐸! + 𝐸! = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 Hem vist que la conservació del moment angular ens imposa que la velocitat en el periheli ha de ser major que en l’afeli, tal com mostra la figura. això comporta condicions energètiques:

• En el periheli el cos té més energia cinètica i menys energia potencial, l’energia potencial és més negativa (recordem que l’energia és com els diners en el banc, com més gran sigui el saldo negatiu, menys diners tenim).

• En el Afeli passa el contrari, l’energia potencial augmenta mentre que l’energia cinètica és més petita.

20

• Però, en els dos punts l’energia mecànica total és la mateixa i negativa ja que el cos està lligat.

Treball realitzat per la força gravitatòria:

• El treball realitzat per la força gravitatòria és el responsable de transformar l’energia cinètica en energia potencial quan el planeta s’allunya del sol, punt “B” i, quan retorna cap el perigeu, novament el treball de la força gravitatòria, que ara és positiu, veure punt “A”, transforma l’energia potencial gravitatòria en energia cinètica. En aquest cas la força gravitatòria també és una força resultant ja que és l’única que actua, llavors si recordem de l’any passat el teorema de l’energia cinètica, el seu treball és igual a la variació de l’energia cinètica. Per altra banda també és una força conservativa i per tant el seu treball canviat de signe també és igual a la variació e l’energia potencial.

𝑊 𝐹! = Δ𝐸! = −Δ𝐸!

• En les òrbites el·líptiques, la força gravitatòria té una component tangencial, en la direcció de dr , que provoca els canvis de velocitat, i una component normal a la trajectòria que ocasiona la força centrípeta.

A16. Els cometes estan constituïts bàsicament per gel, pols i roques. La majoria dels cometes giren al voltant del Sol en òrbites que poden ser el·líptiques, parabòliques i hiperbòliques. Indica el signe de l’energia dels cometes segons el tipus d’òrbita que realitzen. A17. Molts del cometes fan òrbites el·líptiques molt excèntriques, un d’ells és el cometa Halley. Tan sols és visible quan s’acosta al Sol. El seu periheli val 0,572 UA i el seu Afeli 35,1 UA. Calcula:

a. El semieix major de l’el·lipse. És a dir la seva distància mitjana al Sol. b. Calcula el seu període. c. Troba la relació entre les velocitat del cometa en el Periheli i en l’Afeli. d. Escriu l’expressió de l’energia mecànica del cometa en el Afeli i en el Periheli.

Quina relació hi ha d’haver entre les dues?

B

dr

dr

Fg

Fg

A

v

v

perigeu

B

Apogeu

21

e. Utilitza la relació trobada en l’apartat “c” i substitueix en la trobada en “d”. Calcula la velocitat del cometa en el periheli o en l’afeli, segons hagis fet les substitucions. Necessitaràs la massa del Sol.

Òrbites circulars Com en qualsevol altre òrbita, en les circulars es compleixen les dues condicions ja esmentades, la conservació del moment angular i la conservació de l’energia mecànica. A més, es compleix sobre tota l’òrbita que el radi i la velocitat són perpendiculars i constants en mòdul els dos. Conseqüències d’aquest fets són:

• La força gravitatòria no fa treball, ja que en òrbites circulars, sempre la força és

perpendicular al desplaçament, per tant, les energies cinètica i potencials són constants les dues individualment i, naturalment, la seva suma.

• La força gravitatòria tan sols és una força centrípeta. Per tant: 𝐹! = 𝐹! = 𝑚 · 𝑎!

del que podem deduir que: 𝐺 !·!!!

= 𝑚 !!

!

d’aquesta última podem trobar l’expressió de la rapidesa que ha de tenir qualsevol cos que realitzi òrbites circulars.

𝑣 =𝐺 ·𝑀𝑟

on “r” és el radi de l’òrbita respecte al centre del planeta. (NO CONFONDRE AMB LA VELOCITAT D’ESCAPAMENT) no cal aprendre la fórmula de memòria. És important saber deduir-la. A18. Calcula la velocitat de rotació d’un satèl·lit de 800kg de massa que orbita a 300km per sobre la Terra. Quin serà el seu període? Quantes vegades veurà sortir el Sol en 24h?. Energia total dels cossos en òrbites circulars: Com ja hem dit abans, l’energia mecànica de qualsevol cos en òrbita circular és la suma de les seves energies cinètica i potencial: Si usem l’expressió que hem trobat abans de la rapidesa d’un cos en òrbita circular és fàcil arribar a la següent expressió per a l’energia mecànica d’un cos que realitza una òrbita circular:

ET =Ec +Ep =12

!m ⋅v2 −GM ⋅ #mr

EM =−12GM ⋅m'

r

22

Exemple 5: Suposa dos satèl·lits A i B de igual massa “m” que es mouen en la mateixa òrbita de radi “r” al voltant de la Terra però amb sentits de rotació contraris i, per tant, en trajectòria de col·lisió.

a. Troba l’energia mecànica del sistema dels dos satèl·lits i la Terra abans de la col·lisió, en termes de “G, Me, m i r”.

b. Si la col·lisió és totalment inelàstica i, per tant, la massa final dels satèl·lits és única i de massa “2m”, trobar l’energia mecànica després de la col·lisió.

c. Què passarà després de la col·lisió?. Solució: a) L’energia mecànica total del sistema és la suma total de les energies potencials i cinètiques de cada satèl·lit. A més, aquestes energies mecàniques seran iguals pels dos satèl·lits, per tant, és suficient trobar-ne una i multiplicar per dos. Pel satèl·lit “A”: 𝐸! = 𝐸! + 𝐸! =  −𝐺

!!·!!

+ !!𝑚 · 𝑣!

Com l’òrbita és circular podem trobar la velocitat de rotació a partir d’imposar que la força gravitatòria és la força centrípeta:

𝐹! = 𝐹!            →    𝐺𝑀! ·𝑚𝑟! = 𝑚

𝑣!

𝑟                →      𝑣! =

𝐺 ·𝑀!

𝑟 Substituint aquest resultat en l’equació de l’energia mecànica anterior queda: 𝐸! = 𝐸! + 𝐸! =  −𝐺

!!·!!

+ !!𝐺 !!·!

!= − !

!𝐺 !!·!

!

L’energia mecànica total del sistema és dues vegades aquest valor i dona:

𝐸! = 𝐸! + 𝐸! = −𝐺𝑀! ·𝑚𝑟

Cal ressaltar que les energies potencials dels satèl·lits, en realitat són energies potencials del sistema satèl·lits i la Terra. b) En una col·lisió totalment inelàstica l’energia no es conserva en la massa final (l’energia no es perd, es transforma en deformar les naus i també s’irradiarà energia a l’espai) però si ho fa el moment angular que, al igual que el moment lineal en el moviment de translació. El raonament ja el coneixes: la força gravitatòria de la Terra no crea moment i, per tant: 𝐿!"#$% = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡.

𝐿! = 𝐿! + 𝐿! = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡           →        𝐿!!"!#!$% =  𝐿!!"#$%

com el radi és el mateix per les dues naus i és contant i les masses són iguals

23

𝑟 ∧𝑚 · 𝑣!! + 𝑟 ∧𝑚 · 𝑣!! = 𝑟 ∧ 2 ·𝑚 · 𝑣!"!              →      𝑟 ·𝑚 · 𝑣 − 𝑟 ·𝑚 · 𝑣 = 2 · 𝑟 ·𝑚 · 𝑣!    

𝑣! = 0

En el moment de la col·lisió les velocitats són iguals i de signe contrari. Hem trobat el resultat, que ja podies suposar, el nyap dels dos satèl·lits, després de la col·lisió, no té velocitat respecte la Terra i, per tant, tampoc energia cinètica. El sistema tan sols es quedarà amb energia potencial gravitatòria.

𝐸! = −𝐺𝑀! · 2𝑚

𝑟 c) El nyap dels dos satèl·lits caurà verticalment cap a la Terra amb un moviment accelerat. Aquesta acceleració serà igual al valor de l’acceleració de la gravetat en cadascun dels seus punts de la seva caiguda. NO hem tingut en compte la fricció amb l’atmosfera. Exemple 6: Tres satèl·lits idèntics i de massa “m” s’han posat en les tres òrbites, 1, 2 i 3, que mostra la imatge. Ordenar de petit a grans o a l’inrevés, les tres òrbites per les següents magnituds.

a. Apogeus. b. Moments angulars. c. Energies potencials. Diferenciar

entre l’apogeu i el perigeu. d. Energies cinètiques. Diferenciar

entre l’apogeu i el perigeu. e. Energia mecànica. Cal diferenciar

entre perigeu i apogeu? Solució:

a) a1= a2 > a3 .

b) Per comparar cal posar el moment angular en funció del radi de l’òrbita. Per les òrbites circulars, sabem que: 𝑣! = !·!

!

𝐿 = 𝑟 · 𝑝 = 𝑟 ·𝑚 · 𝑣 = 𝑟 ·𝑚 · !·!!= 𝑚 · 𝐺 ·𝑀 · 𝑟

per tant el moment angular augment amb la arrel quadrada del radi à L1>L3. Per l’òrbita el·líptica anem a comparar la velocitat de l’òrbita 1 amb la velocitat de l’òrbita 2 en el seu apogeu. Com tenen el mateix radi en aquest punt, el que tingui major velocitat tindrà major moment angular. Per l’òrbita el·líptica, r =r3 en el perigeu i r =r1 en l’apogeu, i també es compleixen, com per a qualsevol altre òrbita, les dues condicions que ja saps:

1

2

3p a

24

− Conservació de l’energia: −𝐺 !"!!+ !

!𝑚 · 𝑣!!! = −𝐺 !"

!!+ !

!𝑚 · 𝑣!!!

− Conservació del moment angular: 𝑟! ·𝑚 · 𝑣! = :  𝑟! ·𝑚 · 𝑣! D’aquesta última equació aïllem v3 : 𝑣!! = 𝑣!!

!!!!

i substituirem en la primera equació:

−𝐺𝑀𝑚𝑟!

+12𝑚 ·

𝑟!!

𝑟!!· 𝑣!!! = −𝐺

𝑀𝑚𝑟!

+12𝑚 · 𝑣!!!

agrupant termes semblants: 𝑣!!!

!!!

!!!− 1 = 2𝐺𝑀 !

!!− !

!!

operant trobem per l’apogeu de l’òrbita el·líptica la velocitat al quadrat:

𝑣!!! = 𝐺𝑀2 · 𝑟!

𝑟! 𝑟! + 𝑟!

Anem a veure que és inferior a la velocitat de l’òrbita circular 1: Per comparar, posem l’equació de l’òrbita el·líptica d’una forma semblant a la de l’òrbita 1.

𝑣!!! = 𝐺𝑀2 · 𝑟!

𝑟! 𝑟! + 𝑟!= 𝐺𝑀

1𝑟!!2𝑟!

+ 𝑟! · 𝑟!2𝑟!

= 𝐺𝑀1

𝑟!2 ·

𝑟!𝑟!+ 𝑟! · 𝑟!2𝑟!

𝑣!!! = 𝐺𝑀1

𝑟!2 ·

𝑟!𝑟!+ 𝑟!2

comparant amb 𝑣!! = 𝐺 ·𝑀 !

!! , veiem que l’única diferència és el factor !!

!! que

és major que la unitat i , per tant, 𝑣!! > 𝑣!!!        →    𝑣! > 𝑣!!                ⟹    𝐿! > 𝐿! En definitiva: L1 > L2 > L3. Resultat que es podia intuir des d’un principi.

c) 𝐸!! = 𝐸!!!              ;          𝐸!! = 𝐸!

!!        ;        𝐸!! > 𝐸!! ; l’energia potencial tan sols depèn de la distància al planeta al voltant el qual giren.

d) Les energies cinètiques: tan sols ens falta mirar la velocitat de l’òrbita el·líptica en el perigeu. Es fa igual que quan l’hem cercada per l’apogeu i es troba:

𝑣!!! = 𝐺𝑀 !·!!

!! !!!!! que és major que 𝑣!! =

!·!!!

. Es comprova fent el mateix que abans. En definitiva trobem: 𝐸!

!! > 𝐸!! > 𝐸!! > 𝐸!!!

e) Si lligues caps del que hem explicat veuràs que: 𝐸!! > 𝐸!! > 𝐸!!

25

No cal diferenciar entre perigeu i apogeu ja que l’energia mecànica és una constant de les òrbites.

A19. La nau Rosetta (en honor a la Pedra de Rosetta), de 3000 kg de massa, va ser llançada per la ESA (Agència Espacial Europea) fa deu anys. En 2014 arribà al seu objectiu que era el cometa 67P/C-G, on hi va deixar que un mòdul de la nau, la Philae, aterrés a la superfície del cometa per fer-hi un estudi precís. Coneixem d’aquest cometa més que de qualsevol altre, té una massa d’uns 1013kg i un volum de 25X109m3.

a. Calcula la densitat del cometa. b. La Rosetta es va posar a orbitar al voltant del cometa amb una òrbita circular

de 30 km. Calcula: i. La força gravitatòria entre el cometa i la Rosetta. ii. La velocitat de rotació de la nau al voltant del cometa. iii. El temps que tarda en donar una volta complerta, o sigui, el període. iv. L’energia mecànica o total de la nau Rosetta respecte del cometa. v. Quina és la velocitat d’escapament del cometa? Suposa que té un radi de

3km.

26

INTENSITAT DEL CAMP GRAVITATORI La noció de camp s’introdueix per explicar la interacció a distancia entre dos cossos. Aquesta interacció pot ser electromagnètica, nuclear forta o dèbil, i, en el nostre cas, gravitatòria. El camp, en el nostre cas, es considera la pertorbació gravitatòria que crea tot cos a l’espai que el rodeja. La intensitat de la pertorbació depèn de la massa del cos que el produeix. La massa és la font del camp gravitatori. El camp no es altre cosa que el que abans hem denominat “acció gravitatòria”. També, podem considerar que el camp gravitatori fa que les propietats de l’espai que rodegen un cos estiguin alterades per la presència del cos i en aquest espai es sentirà la seva acció gravitatòria. La Intensitat del Camp Gravitatori, creat per una massa “M” en un punt de l’espai, a una distància “r ”, es defineix com la força gravitatòria que faria la massa, M, sobre la unitat de massa col·locada en aquest punt.

L’avantatge d’utilitzar 𝑔 és que tan sols depèn de “M”. El vector camp gravitatori apunta cap la massa que crea el camp, com mostra la figura. En canvi, el vector unitari “ 𝑢!” de l’equació estaria centrat en la massa i seria radialment cap a fora. És per això que el l’equació hi ha el signe menys, per indicar que el camp i el vector unitari tenen sentit contrari. Novament aquí tan sols utilitzarem aquesta equació per trobar el mòdul del vector camp ja el signe el determinaran els eixos de coordenades elegits en cada situació. La intensitat del camp gravitatori és una magnitud vectorial. Les seves unitats són: N/kg o, també, m/s2 . La intensitat del camp gravitatori té unitats d’acceleració o, el que és equivalent de força per unitat de massa. Així, tenim dues interpretacions que també podem fer respecte a 𝑔 i podem veure el valor del camp en un punt de l’espai situat a una distància “ r” de “M” com:

• L’acceleració que tindria qualsevol massa posada en aquest punt. • La força que faria el camp sobre la unitat de massa posada en aquest punt.

Exemple per entendre el concepte de 𝑔 com a acceleració: Tenim un cos de massa qualsevol a una distància “ r ” del centre de la Terra on “ r > RT “ suposarem dos cassos:

a. El cos es troba parat respecte a un eixos inercials amb l’origen situat en el centre de la terra.

b. Es troba en òrbita al voltant de la Terra. En el cas “a” el cos cauria directament cap la Terra amb una acceleració que seria igual a l’acceleració de la gravetat de cadascun dels punts per on passa el cos en la seva caiguda.

g =−GM

r 2ur

M

27

En el cas “b” el cos tindria una acceleració centrípeta igual a la intensitat del camp gravitatori en aquest punt. A20. Calcula el camp gravitatori del cometa 67P/C-G sobre la nau Rosetta quan estan separats una distància de 30 km. Quin valor té l’acceleració té la nau Rosetta en aquesta situació? De quin tipus d’acceleració es tracte?. Principi de superposició El camp gravitatori creat per un sistema de masses sobre un mateix punt, P, és la suma vectorial de cadascun dels camps creats per cada massa individualment.

La força que actuaria sobre una massa “m’ “ situada en el punt “P” seria igual a:

𝐹! = 𝑚 · 𝑔 Per tant, si coneixem el valor 𝑔 en un punt de l’espai, sabem quina serà la força gravitatòria que actuarà sobre una massa “m” qualsevol posada en aquest punt tan sols multiplicant el camp resultant pel valor de la massa. La força tindria la mateixa direcció i sentit que el camp gravitatori resultant. A21. En la figura es mostren 5 objectes de massa “M” que formen una semicircumferència de radi “R”. En el centre de la circumferència hi ha una massa “m”.

a. Dibuixa el vector camp gravitatori creat per cadascuna de les masses “M” sobre “m”.

b. Dibuixa amb un altre color el vector resultant de tots ells.

c. Si deixem que la massa “m” es pugui moure, cap on es mourà? Amb quina acceleració arrancaria? Quina força actuaria sobre la massa “m”?

d. Si en l’origen de coordenades, en lloc de “m”, hi posem una massa igual a “10·m” quina acceleració tindria? I si no hi posem res, quin seria el camp gravitatori en l’origen?

e. Calcula el camp creat únicament per les dues masses “M” de la dreta sobre l’origen. Es tracta de practicar la sema vectorial. Dades: Suposa que M= 3kg; m= 2kg i R= 10cm.

g =g1+g2 +g3 +....+

gn

28

La Terra Valor del camp sobre la superfície de la Terra:

• La Terra és un planeta que gira al voltant del Sol a una distància de 1 AU, uns 150 milions de kilòmetres.

• La massa de la Terra és de 5,974x1024 kg. El seu radi RT= 6378 km. • La Intensitat del Camp Gravitatori creat per la Terra sobre la seva superfície ve

donada per:

• La força que fa aquest camp sobre qualsevol cos, de massa “m’ “, que estigui

sobre la superfície de la Terra ve donat per: Com tots sabeu a aquesta força li donem el nom de pes. Variació de l’energia potencial entre punts propers a la superfície de la Terra. Deducció de l’equació elemental.

• Variació de l’Energia potencial d’un cos de massa m’ quan passa d’un punt r1 a un punt r2, tots dos molt propers a la superfície de la Terra. Si h= r2 – r1. ; i

La Terra i la Lluna: 1. Què val el camp gravitatori entre la Terra i la Lluna? Agafarem l’origen a la

Terra.

2. Hi ha algun punt entre la Terra i la Lluna en què els camps gravitatoris s'anul·lin mútuament? Utilitzar que MT=81.ML ; dTL= 3,8x108 m.

Aquesta equació de 2n grau ens dóna 2 solucions:

És important veure que la primera solució dóna un valor que es troba més enllà de la Lluna. Aquest resultat l’hem trobat ja que el que hem cercat són els punts on els mòduls

g =gT +gL =−G

MT

rT2

uT −G

ML

rL2

uL

rL =dTL − rT

rT1 = 4,28×108m

rT 2 = 3,42×108m

F =P = !m ⋅

g

r1 ≅ r2 ≅RT

ΔEp =GM "m 1r2−1r1

!

"##

$

%&&=

GMR2T

⋅RT2 !m (r1 − r2)r1.r2

≅ "m ⋅g0 ⋅h

g0 =−G

Mr 2ur =−6,674x10

−11 5,974x1024

(6,378x106)2=−9,80$ur $m/s2

!g = −G MT

rT2 −

ML

dTL − rT( )2"

#$$

%

&''

!uT

MT

rT2−

ML

dTL − rT( )2

!

"

###

$

%

&&&= 0⇒

81⋅ML

rT2

=ML

dTL − rT( )2⇒ 80 ⋅rT

2 −162 ⋅dTL ⋅rT +81⋅dTl = 0

29

dels vectors camp gravitatori de la Terra i la Lluna són iguals. En una de les solucions els mòduls són iguals i de sentit contrari i els camps s’anul·larien i en l’altre tindrien el mateix sentit i es sumarien. En quines de les dues solucions? Les marees: són oscil·lacions periòdiques del nivell de l’aigua del mar. • És un fenomen que es repeteix dues vegades per

cada volta que dona la Terra sobre ella mateixa. • La Lluna és la causa principal de les marees, encara

que és el Sol el que fa més força sobre la Terra que la Lluna.

• Com és això possible? La resposta està en el gradients de les forces, és a dir, en com varia la força gravitatòria amb la distància. Si fem la derivada de la força gravitatòria respecte del radi, trobem:

Com la distància Terra - lluna és molt més petita que la de Sol – Terra, el gradient de la força de la Lluna sobre la Terra és molt més gran à La força que fa la lluna sobre la cara de la Terra que està més a prop és més gran que la que està més enfora. En canvi pel Sol són pràcticament iguals. El gradient de les forces que actuen sobre la Terra són la causa de les marees. Encara hi ha un motiu més que és el fet que la Terra i la Lluna giren al voltant d’un punt que és el seu centre de masses, però no ho tindrem en compte. A causa de la inèrcia de la rotació de la Terra, les marees no es produeixen exactament en la direcció de la Lluna i l’elevació de les marees es produeix un poc desplaçada cap el sentit de rotació de la Terra.

A22. Troba la relació que hi ha entre la força que fa el Sol sobre la Lluna i la força que fa la Terra sobre la Lluna. Amb el resultat trobat dóna resposta a la següent qüestió: Quan la Lluna està entre el Sol i la Terra, Lluna Nova, per què la Lluna no marxa cap el Sol? A23. Calcula la diferència de forces que fa la Lluna sobre la unitat de massa situada sobre la superfície de la Terra en el punt més proper a la Lluna i quan es troba en el punt més allunyat. Fes-ho també amb el Sol i una massa unitat sobre la Terra. Compara els dos resultats.

dFgdr

=2GMmr3

30

POTENCIAL GRAVITATORI Sabem que les diferències d’energies potencials, d’una massa “m” dintre d’un camp gravitatori, es defineixen iguals a menys el treball realitzat per la força conservativa per anar entre dos punts. Vam troba la següent expressió:

Δ𝐸! = −𝐺𝑀𝑚1𝑟!−1𝑟!

També vam trobar l’expressió per donar valors absoluts de l’energia potencial:

𝐸! 𝑟 = −𝐺𝑀 ·𝑚𝑟

Aquestes energies potencials depenen de les dues masses, però al igual que hem fet per la intensitat del camp gravitatori, aquí també podem definir una magnitud que tan sols depengui de “M” i que ens doni compte de la diferència d’energia potencial o de l’energia potencial absoluta de la unitat de massa. Aquesta magnitud rep el nom de Potencial Gravitatori i ve definit per:

• Δ𝑉 = −𝐺𝑀 !!!− !

!! quan volem calcular les diferència de

potencial entre dos punts separats, “ rA “ i “ rB” de “M”.

• 𝑉 𝑟 = −𝐺 !!

quan volem donar el valor absolut del potencial

gravitatori en un punt que es troba a una distància “r” de “M”. Les unitats del potencial gravitatori són les d’energia per unitat de massa, J/kg. El potencial creat en un punt per un conjunt de masses tan sols és la suma escalar dels diferents valors dels potencials absoluts creats per cadascuna de les masses en el punt considerat. També, és fàcil veure que la relació entre potencials de la massa “M” a un punt situat a la distància “r” i energia potencial del sistema format per les masses “M” i “m” separades una distància “r”, ve donat per:

𝐸! 𝑟 = 𝑚 · 𝑉 𝑟 Relació entre el potencial i la intensitat del camp gravitatori La relació és simètrica a la que teníem per l’energia potencial:

Ep(r) = −W Fc( ) = −!Fg

∞

r

∫ ⋅d!r

Anàlogament, pel potencial tenim:

V (r) = − !g

∞

r

∫ ⋅d!r

VT =Vg1+Vg2 +...+Vgn

31

Línies de Camp i Superfícies Equipotencials Les línies de camp i les superfícies equipotencials són representacions que ens ajuden a visualitzar els camps i com són els potencials. Com més juntes estan les línies més intensos són els camps i els potencials. Líneas de camp: Són línies que sempre són tangents als vector camp gravitatori a cada punt de l’espai i tenen el seu mateix sentit. En realitat les línies ens mostren el camí que faria una massa col·locada en aquell punt i que la deixem moure casi estàticament, sense guanyar velocitat.

Superfícies equipotencials: són el conjunt de punts que tenen el mateix valor del potencial à si movem una massa sobre una superfície equipotencial no tindrà variació d’energia potencial. Els vectors camp gravitatori sempre són perpendiculars a les superfícies equipotencials. Per tant la força gravitatòria no realitza treball quan un cos es mou sobre una superfície equipotencial.

A24. Calcula el potencial creat per les 5 masses “M” de l’activitat 21 sobre la massa “m”. Quin potencial hi hauria en el punt de l’origen si hi posem una massa “10·m”? quin potencial hi hauria en l’origen si no hi posem res? Passa el mateix amb les energies potencials en les tres situacions exposades?

32

Posta en òrbita de satèl·lits artificials:

1. El llançament des de la Terra es fa des d’un punt proper a l’equador ja que és on la Terra té més energia cinètica de rotació. Energia que estalviem en combustible.

2. El llançament des de la Terra es fa en el mateix sentit de rotació de la Terra

3. Es situa el satèl·lit en una òrbita estacionària al voltant de la Terra si es vol rellançar a un altre planeta.

4. Es fa el llançament de la nau al voltant del Sol en una òrbita el·líptica de transferència fins el seu planeta de destí.

5. S’assoleix l’orbita de transferència a través d’un impuls en l’òrbita inicial estacionària.

6. En la figura 1 es mostra com es fa el llançament cap un planeta interior.

7. En la figura 2 es mostra el llançament per accedir a planetes exteriors.

8. En els dos casos, el llançament s’ha de fer per una determinada posició del planeta de destí i de la posició el satèl·lit artificial, que es diu finestra de llançament.

Els camps gravitacionals dels planetes poden usar-se per augmentar (o disminuir) la velocitat de les naus i canviar de direcció (navegació assistida per gravetat) tan sols és suficient que la nau arribi a un planeta amb una energia total, respecte al planeta, que sigui positiva. La nau roba al planeta energia cinètica de rotació al voltant del Sol per augmentar ell la seva velocitat. La seva trajectòria serà oberta i hiperbòlica.

33

Petita introducció a la història de l’astronomia El mètode científic apareix quan l’home intenta ordenar i entendre el moviment, aparentment caòtic, de les estrelles, el Sol i els planetes. Encara que hi ha amplies evidències del coneixement astronòmic i matemàtic de cultures asiàtiques i mesopotàmiques es sol escollir el punt de partida de la ciència la Grècia de 400 anys aC, bàsicament en Atenes. Les primeres teories sobre l’Univers són dels grecs i es basaven en els fets que per ells eren evidents: les estrelles “fixes” i la Via Làctia es mouen al llarg de la nit com si estesin fixes en una gran esfera que girava en torn d’un eix que passa per la Terra i que té un del seus extrems en un punt que ara li diem Pol Nord Celeste, tot girant al voltant de la Terra com a centre de rotació. Si ho penses i si no fas un estudi detallat del moviment del Sol i dels planetes, és bastant lògica la teoria anterior ja que tot “sembla” que funciona així. Però un estudi sistemàtic i detallat mostra:

• Que el Sol no es mou solidari amb les estrelles de la esfera. És més, si s’observen les estrelles just abans de sortir el Sol i just després de la posta de Sol, s’observa que aquestes canvien lentament però a diari. És a dir, el Sol es mou respecte de la esfera d’estrelles de oest a est i retorna al punt de partida després de 365,25 dies. A la vegada, també, el Sol realitza un moviment nord – sud d’anada i tornada al llarg d’aquests 365 dies. La correlació entre les estacions i el moviment del Sol va ser una descoberta científica de vital importància per a les antigues civilitzacions agrícoles.

• Que també observaren que certes “estrelles” no mantenien les seves posicions respecte les estrelles de la esfera. Tenien un moviment complicat encara que regular. Aquestes estrelles les van posar el nom de Planetes, que en grec vol dir errant.

Les teories que explicaven aquest comportament variaven segons l’escola filosòfica, però Plató va ser un dels més destacats. Plató assignava trajectòries perfectes, circulars, a tots els astres o combinacions d’aquestes trajectòries. Aristòtil, successor de Plató, unificà en un mateix esquema conceptual elements que ara estan totalment separats, com són la ciència, poesia, teologia i l’ètica. Precisament per això va tenir tanta influència en el pensament humà fins el segle XVI, en particular, per l’església catòlica. La teoria aristotèlica postulava que la matèria estava formada per 4 elements: terra, aigua, aire i foc (trobeu que en aquell temps tenien alguna possibilitat de veure alguna cosa més?). Aquests 4 elements tenien una forta tendència en acabar en l’estat de repòs. La Terra estava al fons o centre de l’univers, a continuació venia l’aigua, l’aire i finalment el foc. Aristòtil postulava que aquests 4 elements tan sols existien en el domini terrestre o sublunar. Més enllà tan sols existia un element

34

completament diferent denominat “èter”. El moviment circular de tots els astres no era, tan sols, una conveniència matemàtica, era una necessitat filosòfica. Alexandra el Gran (356-323) a de C, que va tenir com a preceptor a Aristòtil, conquistà quasi la totalitat del món conegut en aquell temps. En 331 aC annexionà Egipte i fundà Alexandria. Al llarg de les dècades següents, Alexandria va esdevenir el centre de la civilització grega. Dues de les institucions culturals més importants van ser la Biblioteca i el Museu d’Alexandria. El museu es transformà en el centre de recerca científica, hi treballaren, Euclides, Apol·loni (segle III aC), Eratòstenes (273 – 192 aC), Hiparc (segle II aC), ... , i molt després Ptolomeu (100- 170 dC). Eratòstenes va ser el primer en mesurar, amb un procediment senzill i enginyós, el radi de la Terra, suposant que aquesta era esfèrica. Va trobar un valor d’uns 4000 km. Aristarc (310 -230 aC, Grècia) i, possiblement, Heràclit es beneficiaren de la informació de la Biblioteca d’Alexandria i postularen un model heliocèntric, on el Sol era el centre de l’univers i tots, inclosa la Terra, giraven al seu voltant. La doctrina filosòfica del moment no anava per aquí, Aristarc presentà un treball qualitatiu i amb poques dades. Un altra argument en contra de la teoria d’Aristarc era el que ara es coneix com a paral·laxi. Si la Terra es mou ha de veure que les coses canvien de lloc i això no s’observa. La paral·laxi consisteix amb el lleuger canvi de la posició d’una estrella respecte de les estrelles que té al darrera quan és observada des d’un costat i de l’altre de l’òrbita de la Terra al voltant del Sol. En aquell temps no hi havia instruments prou precisos com per determinar aquesta variació, això no es va aconseguir fins 1838 per F.W. Bessel. La teoria d’Aristarc no va tenir èxit en el món grec però va inspirar a Copèrnic, 18 segles després, en el seu treball fonamental. Aristarc calculà de la distància de la Terra al Sol en funció de la distància Terra – Lluna. El procediment el teniu a continuació:

Quan la lluna en el quart creixent o decreixent, és a dir, quan el triangle es rectangle. En aquesta situació, l’angle “𝜙” mesurat des de la Terra donava 87º, i trobant que

la distància Terra – Sol és unes 19 vegades més gran que la distància Terra – Lluna (En realitat aquesta relació és 390). Això implicava que la grandària del Sol havia de ser molt més gran que la Lluna ja que, vistos des de la Terra tenen una grandària semblant. Aquest procediment també és pot utilitzar per a calcular la distància al Sol dels planetes interiors.

Sistema utilitzat per Eratòstenes per a calcular el radi de la Terra.

Paral·laxi: la posició de l’estrella propera, canvia respecte al fons d’estrelles, quan és observada des de dos punts oposats de l’òrbita de la Terra.

35

Aristarc també va fer estimacions, a partir dels eclipses de Lluna, del radi d’aquesta i de la seva distància a la Terra. Ptolomeu (segle II dC): Quan s’observa el moviment d’un planeta exterior des de la Terra, es veu que aquest avança sobre el fons d’estrelles, però hi ha èpoques de l’any

que es frena i marxa en sentit contrari, retornant al moviment en el sentit inicial tot fent un petit bucle. Ptolomeu, per a millorar la teoria geocèntrica, proposà petites òrbites circulars al voltant de l’òrbita del planeta, denominades epicicles, com es pot veure en el dibuix. El sistema de Ptolomeu era d’una complexitat considerable però permetia fer prediccions del moviment del planetes encara que s’haguessin de fer

ajustaments periòdics al model. També va ser Tpolomeu que, per un sistema similar als epicicles, va justificar que el Sol tardés sis dies més en recorre la meitat de la seva òrbita en l’estiu que en l’hivern. Naturalment es suposava que, donat que les òrbites eren circulars, la velocitat dels astres havia de ser constant. Com pots veure, malgrat la manca d’instruments, el treball científic de la cultura grega era seriós i magnífic. També és important ressaltar que no es coneix cap contribució important en el camp de l’astronomia al llarg de l’imperi romà. Santo Tomàs de Aquino (1225 – 1274), seguint les idees aristotèliques unificà aquesta teoria dels moviment celestials amb la teologia cristiana. Així, la teoria geocèntrica guanya la consideració de dogma per a la doctrina filosòfica de l’època, qui atacava la primera atacava la segona. Era una aliança perfecte i temible. El moviment del Renaixement, al voltant de 1500 dC noves idees s’estenien des d’Itàlia per tota Europa, un nou home curiós i amb ganes d’explorar el món natural, tant per part dels científics com per part dels artistes. La invenció de l’impremta revolucionà el món intel·lectual, facilitant la comunicació i la preservació de documents. Fins i tot, treballs d’antics filòsofs eren impresos i difosos. Personatges com Gutemberg, De Vinci, Colon, Vasco de Gama, Miguel Angel, Erasme, Luter, ... , propiciaren una nova era en tots els sentits. Potser fins 400 anys després no es va produir un fenomen semblant.

36

Nicolou Copèrnic (1473 – 1543 dC, Polònia), lluny de ser un revolucionari el que volia era simplificar el complex model de Ptolomeu i retornar els principis establerts pels primers filòsofs grecs del menor número possibles d’òrbites circulars per a explicar el sistema del món. Per a Copèrnic, qualsevol òrbita distinta a la circular era impossible. No sabem fins a quin punt es va inspirar en l’obra d’Aristarc, però en la seva principal obra “De revolutionibus orbium coelestium”, on proposa el model heliocèntric, ressalta que ell no postula res nou i que aquesta era una antiga idea de la cultura grega. Una de les aportacions més importants de la teoria heliocèntrica de Copèrnic va ser oferir una explicació molt més senzilla al aparent moviment de retrocés dels planetes exteriors.

A més, en el sistema Copernicà la Terra té dos moviments, el moviment orbital al voltant del Sol i el moviment de rotació de la Terra sobre ella mateixa. Això permet acceptar que les estrelles exteriors romanen fixes. En definitiva el sistema Heliocèntric representava una simplificació important del sistema solar. Copèrnic va ser convidat pel Papa Lleó X a participar en la millora del calendari julià, però Copèrnic, malgrat ser canònic de l’església catòlica, va declinar la invitació, potser ja pensava que podia ser perillós per a la seva integritat física. La teoria heliocèntrica de Copèrnic s’utilitzà per a la confecció del nou calendari Gregorià en 1582. L’església catòlica posà el llibre de Copèrnic en la llista de llibres prohibits, Luter titllà a Copèrnic de boig i heretge i comunitats jueues prohibiren l’ensenyament de l’heliocentrisme. Cal tenir present que els referents supremes d’autoritat dels europeus d’aquell temps eren la Bíblia i Aristòtil. Pel 1600 dC el sistema Copernicà és seguit per uns pocs astrònoms que comprenien les avantatges del nou sistema. Però un dels primers que aixecà la veu públicament en defensa de la nova teoria va ser Giordano Bruno que fins i tot proclamava que hi havia moltíssims sistemes solars i que l’univers era infinitament gran. Giordano morí cremat per la Inquisició a la foguera en 1600 per heretge. Malgrat això, la nova ciència fructificava vigorosament per tot Europa (menys a Espanya, clar!). En Anglaterra

La velocitat del planetes disminueix amb el radi, així la Terra es mou més ràpida que qualsevol altre planeta exterior i, per tant, els avança tal i com mostra la imatge. Això fa que sobre el fons d’estrelles en doni la sensació que el planeta exterior retrocedeix. Aquest esdeveniment és més notable quan la Terra està mes a prop del planeta.

Estàtua de Giordano Bruno situada a la plaça Campo dei Fiori on morí cremat per la Inquisició. Possiblement aquesta és l’única plaça de Roma que no té cap església.

37

sorgeix Francis Bacon (1564 – 1626) i William Gilbert (1540 – 1603); en Itàlia Galileu (1564 – 1642); en Dinamarca Tycho Brahe (1546 – 1601) i a Polònia Johannes Kepler (1571 – 1630). Galileu (1564 – 1642), no va fer grans aportacions a l’astronomia però va ser un gran defensor de l’heliocentrisme i desafià les antigues filosofies que eren les imperant. Entre les seves majors aportacions a la Física estan els conceptes com: Temps, i distància, velocitat i acceleració, força i matèria. Estudià la caiguda de cossos i altres fenòmens senzills fàcilment observables. En 1609 Galileu s’assabentà que algú en Holanda havia trobat la manera d’augmentar l’aparença dels objectes allunyats acoblant lents. Ell va dissenyar el seu propi telescopi amb el que descobrí diverses llunes de Júpiter. Galileu opinava que tan les Sagrades Escriptures com el fenòmens i Lleis evidents de la Naturalesa eren proves directes de la manifestació de Deu. Galileu va ser jutjat per l’església catòlica, amenaçat de tortura, induït a renuncià baix jurament a la teoria de Copèrnic i, finalment, sentenciat a confinament a perpetuïtat. Tycho Brahe (14 de desembre de 1546 - 24 d'octubre de 1601) va ser un astrònom danès. Tycho pensava que el progrés en astronomia no podia aconseguir-se per l'observació ocasional i les investigacions puntuals sinó que es necessitaven mesures sistemàtiques nit rere nit utilitzant els instruments més precisos possibles. En 1597 es va traslladar a Praga on l'emperador Rodolf II el va nomenar Matemàtic Imperial. A Praga va continuar fent observacions astronòmiques ajudat per un jove Johannes Kepler, qui va ser el seu successor en el lloc de Matemàtic Imperial. Les mesures del moviment de Mart i, en particular, del seu moviment retrògrad, van ser essencials perquè Kepler pogués formular les seves tres lleis que regeixen el moviment dels planetes. Les acurades mesures de Brahe van ser utilitzades al llarg de segles. Com a curiositat podem dir que en un duel Brahe va perdre part del seu nas i va haver de portar una pròtesi metàl·lica d’or la resta de la seva vida. Atès que Brahe tenia interès per l'alquímia i la medicina i que el mercuri era un element comú als medicaments alquímics preparats per ell mateix, és molt probable que morís enverinat pels seus propis medicaments tractant de recuperar-se dels seus problemes urinaris. Johannes Kepler (Weil der Stadt, Sacre Imperi Romanogermànic, 27 de desembre de 1571 - Ratisbona, 15 de novembre de 1630), astrònom i matemàtic alemany. Els seus primers esforços van anar dirigits a lligar els sis planetes coneguts en aquell moment i les seves distàncies al Sol amb les relacions entre els cinc sòlids regulars de la geometria. També Kepler intentà ajustar les dades de l’òrbita de Mart de Tycho Brahe amb la teoria copernicana de les òrbites circulars i moviment uniforme. Després de quatre anys de feina arribà a la conclusió de que no es podia fer. Kepler no va voler disfressar la discrepància i, donant mostra de gran integritat professional, va acceptar que el model copernicà fallava en explicar la trajectòria de Mart. La introducció, per part de Kepler de les òrbites el·líptiques donà la solució al problema. Aquesta genial idea és el que es

38

considera la primera llei de Kepler. Cal dir que l’excentricitat de les òrbites el·líptiques és petita i , si exceptuem Plutó, són pràcticament coplanàries. Malgrat la impressió que pot donar el dibuix, les òrbites de Neptú i Plutó, no s’intercepten en cap punt ja que, com hem dit, no són coplanàries. Les altres dues lleis de Kepler van ser el resultat d’un treball exhaustiu i constant i, en algun cas, no exempt de molta intuïció. Kepler va tenir una gran repercussió en el desenvolupament de la Física, ja que mostrà una nova actitud davant dels fets i evidències i deixant de banda anteriors prejudicis. A més, aconseguí formular les lleis físiques en forma matemàtica, utilitzant la geometria i l’àlgebra. Des de Kepler, les lleis físiques es presenten en forma d’equacions. René Descartes (1596 – 1649, França), va trobar mètodes de resolució de problemes físics, es considera el descobridor d’una tècnica matemàtica que ara denominem Geometria Analítica i que més tard tindria continuïtat amb el càlcul diferencial i integral de Newton i Leibniz. A més publicà estudis d’Òptica, Meteorologia, Cosmologia i establí les equacions del moviment uniforme i accelerat. La Geometria Analítica, comença per assignar a cada punt del pla, o de l’espai, unes coordenades i l’inrevés, i segueix donant l’equació a una corba sobre uns eixos o al contrari, a partir d’una equació trobar la representació gràfica dels punts que compleixen l’equació. Isaac Newton (dia de nadal de 1642 – 1727, Anglaterra), va néixer en una família de camperols adinerats. Estudià en el Trinity College, en la Universitat de Cambridge, on demostrà ser un magnífic alumne. Als 24 anys ja havia deduït el Teorema del Binomi i fet importants aportacions en el càlcul diferencial, la teoria del color, i en mecànica. En els anys de la pesta, ell els dedicà a reflexionar sobre la gravetat que s’estenia a la Lluna

39

... i, utilitzant les equacions de Kepler va deduir les forces que mantenen els planetes en les seves òrbites. Segons el seu biògraf, en aquesta època va ser quan veient caure una poma se li va ocorre la idea de la gravitació. Va deduir la llei de la gravetat tancat en la seva casa, ja que havia abandonat Cambridge a causa de la pesta. La publicació dels seus treballs donà renom a Newton i retornà a Cambridge com a professor de matemàtiques. A la vegada publicà una teoria sobre la llum i els colors en 1672, a causa del qual va tenir importants enfrontaments amb altres científics, com Hooke i Huygens, i Newton deixar de publicar. Però un temps després, Halley va convèncer al seu poc disposat amic a publicar “Els Principis, 1687”, on entre altres coses apareixien el càlculs sobre el cometa Halley. Newton no tenia molt bon caràcter i a més dels enfrontaments ja esmentats també en va tenir amb Leibniz i entrà en una depressió nerviosa. En recuperar-se, en 1699 va ser anomenat Guardià de la Casa de la Moneda, pel seu gran coneixement en química de metalls, on també va fer importants aportacions. Entre 1689 i 1701 representà a la Universitat de Cambridge en el Parlament Anglès i en 1705 va ser anomenat Cavaller. També va ser president, entre 1703 i fins la seva mort, de la Royal Society. Newton està enterrat en l’abadia de Westminster. Newton, al igual de Tycho Brahe, també dedicà grans esforços a l’Alquímia, que no us sorprengui, en aquell temps no hi havia grans diferències entre la ciència i la no ciència pel que fa a la química. Molts historiadors consideren el seu ús de remeis alquímics com la font de nombrosos enverinaments que li varen produir crisis nervioses durant gran part de la seva vida. A la seva mort es van trobar nivells molt alts de mercuri en el seu cos, la qual cosa podria justificar el seu estrany comportament i el seu mal caràcter, principalment al final de la seva vida. I tot això que hem explicat va ser tan important? O tan sols va ser un tema lligat a l’elit intel·lectual i sense cap repercussió social? Cap a finals del segle XV Europa es convertí en un nucli de desenvolupament cultural, tecnològic i d’una manera diferent de pensar i d’abordar el desconegut “no sabem això com funciona, volem aprendre-ho”, “com podem aconseguir ... “, “no sabem el que hi ha allà, anem a veure-ho” ... . La millora de l’astronomia millorà les possibilitats de navegació i la descoberta d’un nou món. Entre 1500 i 1750 Europa establí les bases per arribar a ser la dominadora del Món, la ciència, la tecnologia i un model econòmic capitalista, van propiciar aquest canvi, cosa que no va passar en cap altre lloc del Món. Malgrat això, en el segle XVIII Europa no era una potència mundial i l’imperi otomà al mediterrani o les dinasties Ming i Qing eren molt més potents. Per exemple, en 1775 Àsia representava 80% de l’economia mundial. El centre global del poder va passar a situar-se a Europa només entre 1750 i 1850, quan els europeus van derrotar als asiàtics en tot un seguit de guerres. En 1900 el europeus i americans controlaven l’economia del món i Xina va passar a representar tan sols un 5%. La influència europea ha estat tan important que, avui en dia, tots els humans, encara que moltes vegades no es vulgui reconèixer, pensen com els europeus, i tenen gustos europeus, la manera de vestir, la música, la política, ... . Fins i tot ara, que l’economia xinesa és tan pròspera que podria arribar a ser la primera economia mundial una altra vegada, ho fa seguint un model europeu de producció i finances.

40

Problemes de Camp Gravitatori 1. Si la distància de Júpiter al Sol és 5,2 UA, utilitza les dades de la Terra i la tercera

llei de Kepler per a trobar el seu període?

2. Quina seria l’acceleració de caiguda lliure d’un cos que es trobés a 385 km per sobre de la superfície de la Terra? I, si estès en òrbita, quina seria la seva acceleració centrípeta?.

3. La lluna marciana de Phobos té un

període de 460 min i el radi de la seva òrbita és d’uns 9400 km. Calcula la massa de Mart. Sol: 6,42 ×1023 kg

4. L’Estació Espacial Internacional,

ISS, realitza una òrbita quasi circular al voltant de la Terra. La seva altitud és d’uns 385 km sobre la superfí de la Terra. Troba el seu període. Es trobarà sobre la mateixa vertical de la Terra quan hagi fet una volta complerta? A quina alçada ha de girar per trobar-se sempre sobre el mateixa vertical sobre la Terra?.

5. S’ha parlat molt d’enviar naus tripulades a Mart. Un dels

problemes que es presenten és el llarg temps que tardaria tant el viatge d’anada com el de tornada. El sistema habitual de fer-ho és la denominada òrbita de de transferència de Hofmann. Aquesta òrbita consisteix en una òrbita el·líptica, tangent a la de la Terra, essent aquest punt el més proper al Sol de l’òrbita de transferència i que enllaci amb l’òrbita de Mart que seria el en el punt més llunyà de l’òrbita de transferència. Donat que Mart té una distància mitjana al Sol que és d’uns 1.52 UA, calcular el temps aproximat que tardaria l’astronauta en realitzar el transit. Sol: T=1,4 anys à (T/2)=0,7 anys

6. El cometa Alex-Casey realitza una òrbita extremadament el·líptica amb un període

de 127,4 anys. Si en el seu periheli la distància al Sol és de 0,1 UA, quin la distància al Sol del seu afeli?. Sol: 50,54 UA

7. Un satèl·lit de 1000 kg es mou en una òrbita el·líptica. Les distàncies màxima i

mínima al centre de la Terra són 47000 i 12000 km. Quina és la velocitat del satèl·lit en el seu apogeu?. Sol: 1857 m/s o 6685 km/h.

41

8. Andròmeda. Mesuro el període de l’òrbita del planeta i la distància mitjana a l’estrella.

a. Amb les dades preses puc mesurar la massa de l’estrella? Què val?. b. Amb les dades preses puc mesurar la massa del planeta? Què val?.

9. En un viatge espacial he anat a parar a un planeta d’una estrella de la galàxia de

Calcula l’energia potencial gravitatòria d’un satèl·lit de 500 kg de massa quan es troba a 40.000 km del centre de la Terra. Calcula ara l’energia potencial gravitatòria quan es troba a 6.800 km del centre de la Terra. Si passa de la distància inicial a la final, guanya o per energia potencial el satèl·lit?.

10. Les masses respectives del Sol, Terra i Luna són: 2,0x1030kg, 6,0x1024kg i 7,4x1022kg. La distància Sol – Terra és de 150x106km i la distància Terra – Lluna 384.000 km. Calcula la variació d’energia potencial de la Lluna al passar de lluna nova a lluna plena.

11. Un satèl·lit de 1000 kg de massa orbita la Terra, en una òrbita circular, a 420 km d’alçada sobre la seva superfície. L’accelerem de forma quasi instantània, fins assolir una velocitat de 36000 km/h passant d’una òrbita circular a una el·líptica. Considerar que el radi l’òrbita circular inicial és el perigeu de la seva nova òrbita i que arriba a allunyar-se de la Terra fins a 39270 km del seu centre. Amb quina velocitat arribarà al apogeu?. Fes un dibuix de l’òrbita inicial i de la final.

12. El satèl·lit del problema anterior, quina velocitat orbital, en km/h, tenia en l’orbita circular? Quin període tenia en l’òrbita circular?. Quin és el període del satèl·lit en la seva òrbita el·líptica?.

13. Mart:

a. Calcula el període orbital de Mart al voltant del Sol usant la dada que el semieix més gran de la seva òrbita és 1,524 vegades el de l’òrbita terrestre.

b. En una pàgina web es troba que la massa de Mart és 6,42 ×1023 kg i que el volum del planeta és 1,632 ×1011 km3. Calcula l’acceleració de la gravetat a la superfície de Mart amb aquestes dades.

c. Un satèl·lit de 850 kg està en òrbita circular sobre l’equador marcià amb un període orbital d’11,8 h. Quina és la velocitat del satèl·lit?.

14. Arribes amb una nau a un planeta desconegut. Explica com ho faries per a calcular l’acceleració de la gravetat del planeta. Si vols saber la velocitat d’escapament del planeta, quines dades més necessitaries?

15. Calcula el camp gravitatori creat en el punt “ P ” per dues masses “M” posades com s’indica en la figura. Donar el resultat en funció d’x. Comprova l’expressió trobada:

a. Quin valor pren l’expressió per x=0?. b. Quin valor pren l’expressió per x>>a?.

42

16. Calcula, amb les dades del problema anterior, el camp gravitatori en el punt del mig

de les dues masses. Calcula el potencial gravitatori en el punt del mig “0” de les dues masses i en el punt “P”. Troba l’expressió de l’energia que es necessita per a traslladar una massa “m” del punt del mig “0” al punt “P”.

17. A partir de l’expressió de la diferència d’energia potencial gravitatòria, troba la diferència d’energia potencial d’un cos de massa “m” que es troba a una alçada “h” sobre la superfí de la Terra, on “h<<RT”.

18. Sabent que la massa de la Terra és 81,4 vegades la de la Lluna i que el radi de la

Terra és 3,67 vegades el de la Lluna. Comparar les energies d’escapament de l’un i de l’altre astres suposant que inicialment estan en repòs sobre la seva superfície.

19. Una nau espacial de 2000kg de massa es troba a 23.000 km de la superfície de la

aterra i s’allunya a 18.000 km/h. Calcula’n l’energia mecànica. És suficient aquesta energia perquè s’escapi de l’atracció gravitacional de la Terra?.

20. Calcula l’energia potencial i cinètica d’un satèl·lit de 500 kg que orbita la Terra a una alçada de 600 km. Quina energia cal donar-li per fer-lo passar a una òrbita també circular de radi 12800 km?.

21. Calcular el radi a què hem de posar un satèl·lit perquè la seva òrbita sigui geostacionària. Geostacionària significa que sempre es troba verticalment sobre el mateix punt de la Terra, gira solidàriament amb ella. És a dir que el seu període és 24 h.

22. Un asteroide d’uns 45 m de diàmetre i 1,30x108 kg , de nom 2012DA14, el dia 15

de febrer de 2013 s’atracà a la superfície del nostre planeta a una distància d’uns 27.700 km i es movia amb una velocitat aproximada de 6 km/s relativa a la Terra (Recorda que la velocitat relativa ve donada per: 𝑣! = 𝑣!"#$%&'($ − 𝑣!"##$ , aquestes velocitats són relatives al Sol. El mòdul de la velocitat relativa és el que val 6 km/s). Fins i tot es podia veure amb uns prismàtics, en sortir de l’ombra projectada per la Terra, si es mirava al nord. a. Aquest asteroide està en una òrbita al voltant del Sol que té un període de 368

dies terrestres. Quin és el seu radi mitjà respecte al Sol?. b. Quina és la seva velocitat orbital al voltant del Sol? c. Sense fer comptes, quin valor pot tenir la seva energia mecànica respecte a la

Terra, major, menor o igual a zero? d. Amb el resultat obtingut en l’apartat (b), la velocitat de orbital de la Terra,

30km/s, i el mòdul de la velocitat relativa de l’asteroide respecte a la Terra, calcula l’angle d’inclinació de l’òrbita de l’asteroide respecte al pla de l’eclíptica, el pla de l’òrbita de la Terra.

e. Si viatges directament contra la Terra, amb quina velocitat xocaria amb ella. f. Quina energia cinètica tindria? Dóna el resultat en megatones, tenint en compte

que 1 MTm= 4,18x1015 J. Compara el resultat amb la bomba de d’Hiroshima que tenia una energia d’unes 15 MTm.

g. Calcula la densitat de l’asteroide en g/cm3.

43

PROBLEMES PROPOSATS PER LA UIB

44

45

46