canser ef==-'-- a eignement s. - ·0 8 20ôzougou...

UNIVERSITE DE OUAGADOUGOU

Faeu lté des Sciences et Techniques

THESE

1 CaNSER AFRICAIN Ef""==-'--! POUR l'ENS MALGACHE

;' C. A EIGNEMENT SUPERieUR:, ... M. E. s. - OUAG ,., Arnvée ·0 8 JAN 20ôZOUGOU

J. Enregistré SOUs 0 .,/ ••••••• '

Kun. 'n --~tt2 ... i----uprésentée à la Faculté des Sciences et Techniques

pour obtenir le diplôme de Doctorat 3e Cycle.

Spécialié : Mathématiques Pures

(Option: ALGEBRE )

Sur la Lie-adillissibilité de la Dupliquée non cOl1unutative

d'une Algèbre.

par

Nakelgbamba Boukary PILABRE .

Souténue le Il Mars 1995 devant le Jury composé de :

Président :

Anibano Micali ,

Membres:

Daouda Sangaré....

Professeur, Université de Montpellier II

Professeur, Université d'Abidjan

Albert Ouédraogo Professeur, Université de Ouagadougou

Akry Koulibaly Professeur, Unuversité de Ouagadougou

tvloussa Ouatlara Maitre de Conférences 1 Université de Ouagadougou

Gerard Kientcga Maitre-Assistant, Université de Ouagadougou

TABLE DES MATIERES.

REMERCIEMENTS 1

INTRODUcrION 2

CHAPITRE 1 4

G ' , l't' 1 D 1" comm t t' e 4enera 1 es sur a !-IP Iquee non u a IV .

1.1 Rappe Is 4

1.2 De la Dupliquée non commutative 5

1.3. Propriétés de la dupliquée non commutative 8

CHAPITRE II 12

Dupliquée Lie-admissible . . 12

2.1 Généralités 12-

2.2 Lie- admissibilité de la dupliquée d'une algèbre 19

CHAPITRE III 30

Autour d'un théorème de TITS 30

3.1 Quelques propriétés de la dupliquée non commutative 31

3.2 Du théorème fondamental 36

CHAPITRE IV ........................................................................................... 44

De la Décomposition de Peirce au sens de Micali-Ferreira 44

4.1 Rappels: Décomposition de Peirce .44

4.2 Décomposition de Peirce et Dupliquée non commutative 47

CHAPITRE V 60

Sur la décomposition de Peirce et la dupliquée commutative

d'une algèbre de Bernstein , '" 60

BIBLIOG RAPHIE 67

1

REMERCIEMENTS

Je remercie le Professeur A. Micali de l'Université de Montpellier II qui

a accepté de présider le jury et rapporter sur mon travail.

Je remercie les Professeurs Roberto Costa de l'Université de Sao Paulo

et Philippe Revoy de l'Université de Montpellier II d'avoir accepté de

rapporter sur mon travail

Mes remerciements vont également aux Professeurs D . Sangaré de

l'Université d'Abidjan, A . Ouédraogo et G . Kientega de l'Université de

Ouagadougou qui ont accepté d'être membres du jury .

Au Professeur M . Ouattara de l'Université de Ouagadougou je dis

merci, pour avoir accepté d'être membre du jury et surtout pour sa

participation dans l'élaboration des résultats du chapitre V de mon travail.

Ce travail a été fait sous la direction du Professeur A . Koulibaly de

l'Université de Ouagadougou; ceci malgré ses nombreuses occupations.

Je le remercie vivement pour sa grande disponibilité. Ses conseils et ses

encouragements m'ont été d'une aide précieuse.

Je remercie tous ceux qui, d'une manière ou d'une autre, m'ont

supporté dans mon travail.

2

INTRODUCTION

Jusqu'aux années trente. la théorie des anneaux s'est développé surtout

en tant que théorie des anneaux associatifs. Cependant. dès la deuxième moitié

du siècle dernier. il existait des systèmes algébriques répondant à tous les

axiomes d'un anneau à l'exception de l'associativité: par exemple l'algèbre des

nombres de Cayley. construite en 1845 par le mathématicien anglais Arthur

Cayley (1821-1895). Dans l'étude des structures non associatives. signalons

les rôles proéminents des mathématiciens Marius Sophus Lie (1842-1899 ,

créateur des algèbres de Lie) • Joseph Henry Maclagan Wedderburn (1882

1948) et Emil Artin ( 1898-1962) . Les algèbres de Lie sont un important

système algébrique non associatif qui embrassent des domaines variés:

Géomètrie différentielle. Physique.

Dans un article publié en 1881 , après sa mort. portant sur la structure

générale des algèbres associatives de dimension finie. Benjamin Peirce (1809

1850) introduit les notions d'éléments idempotents et nilpotents. Il démontre

que dans une algèbre associative possédant au moins un élément non nilpotent,

il existe un idempotent non nul et en déduit l'identité

x =exe + (ex - exe) + (xe - exe) + (x - ex - xe + exe) • identité valable dans toute

algèbre associative et pour tout idempotent e de cette algèbre.

La notion de dupliquée d'une algèbre apparait pour la première fois en

1939 dans un article ([3]) d'Etherington à propos du symbolisme de la

génétique. Gonshor (1973) ([4]) et Boers (1982) ([ 1]) ont repris l'étude de la

dupliquée d'un point de vue essentiellement mathématique en étudiant des

propriétés de transfert. Dans ce contexte. Schafer fut le premier à donner un

exemple d'une algèbre de Bernstein (copular algebra) dont la dupliquée n'est pas

de Bernstein. Par ailleurs Costa fut le premier à donner un exemple d'une

3

algèbre de Bernstein dont la dupliquée est de Bernstein.

Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de deux.

A étant une algèbre de dimension finie sur K et D(A) sa dupliquée non

commutative, nous savons que si dimKA2 = 1 ou A2 est urye zéro-algèbre,

D(A) est alors associative et , par suite Lie-admissible. Par conséquent, la

question de caractériser A2 lorsque D(A) est Lie-admissible se pose. L'étude de

ce problème constitue l'objet de ce travail.

Dans le premier chapitre, nous présentons certaines notions

fondamentales sur lesquelles repose cette recherche.

Dans le deuxième chapitre , nous caractérisons les algèbres de Lie A2

lorsque D(A) est Lie-admissible et établissons des propriétés relatives à la

Lie-admissibilité de D(A) .

Le troisième chapitre est consacré à l'étude de DCA) lorsque A2 est

isomorphe à une algèbre de Lie simple de dimension trois. Nous y démontrons

que D(A)- est isomorphe à une sous-algèbre d'une algèbre de Lie construite à

partir d'un procédé de Tits ([15]) .

L'objet du quatrième chapitre est l'étude des algèbres admettant une

décomposition de Peirce au sens de Micali-Ferreira ([7]) et dont la dupliquée

non commutative est Lie-admissible. Nous y caractérisons la dupliquée non

commutative .

Enfin, dans le cinquième chapitre nous démontrons essentiellement que

si une algèbre de Bernstein sur un corps commutatif de caractéristique différente

de deux est d'ordre n , sa dupliquée commutative est de Bernstein d'ordre

au plus n +1 .

4

CHAPITREI

Généralités sur la Dupliquée non commutative

1.1 Rappels

Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre dont la multiplication

est donnée par (x , y)~ xy . Le commutateur du couple (x , y) d'éléments de

A est xy-yx noté [x , y] et l'associateur du triplet (x , y , z) d'éléments de A est

(xy)z - x(yz) noté (x , y , z) . A est une K-algèbre commutative si [x , y]=O pour

tous x , y dans A; A est une K-algèbre associative (respectivement alternative)·

si (x , y , z) = 0 (respectivement (x , x , y) = 0 et (x , y , y) = 0) pour tous x , y , z

dans A . Une K- algèbre A est dite flexible si (x , y , x) = 0 pour tous x , y

dans A . On note immédiatement que toute K-algèbre associative est alternative

et que toute K-algèbre alternative est flexible.

Soit A une K-algèbre. Le jacobien dans A du triplet (x , y , z) est

JA(x , y , z) = (xy)z + (yz)x + (zx)y .

A est une K-algèbre de Lie si x2

= 0 et JA(x , y , z) = 0 pour tous x , y , z

dans A. On désigne par A-le K-espace vectoriel A muni de la multiplication

donnée par: [x , y] = xy - yx ; A est dite Lie-admissible si A-est une K

algèbre de Lie.

Exemple: toute K-algèbre associative est Lie-admissible.

On dira qu'une K-algèbre A est de Jordan si A est flexible et

(x2

, y , x) = 0 pour tous x , y dans A. Si A est commutative et (x2

, y , x) = 0

pour tous x , y dans A , on dit que A est de Jordan commutative. On notera

que toute K-algèbre alternative est de Jordan.

Une K-algèbre A est dite à puissances associatives si pour tout x dans Am- n m+n ,1 i+1 i .

x x = x m , n = 1 , 2 ,... ou x = x et x = x x, 1=1, 2, .....

\.f.. '

5

On montre que toute K-algèbre de Jordan est à puissances associatives([14]).1 n+1 n .

A étant une K-algèbre , posons A = A et A = A A, n=1 ,2, ... pUIS

AlI] = A et A[n+l] = A[n]A[n] ,n= 1 ,2, ....

On dira que A est nilpotente (respectivement résoluble) d'indice k SIk k-l [k] [k-l]··

A = 0 et A ~ 0 (respectivement A = 0 et A ~ 0) .

1.2 De la Dupliquée non commutative.

Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre non nécessairement

commutative de dimension finie.

La dupliquée non commutative de A est le K-espace vectoriel A®KA

muni de la multiplication donnée par: (x®y)(x'®y') = xy® x'y' , quels que

soient x , y , x ' , y' dans A . On la notera D(A).

Si la dimension de A est n alors la dimension de D(A) est n2.

Si { ei} , i = 0 , 1 , 2 , ... , n-1 est une base de A alors les aij = ei® ej ,

i ,j = 0, 1 ,..... , n-l constituent une base de D(A) .

Théorème d'Etherington 1.2.1 ([8])

Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre non nécessairement

commutative et D(A) sa dupliquée non commutative.

(i) L'application J!: D(A) ~ A2, x ® y~ xy est un morphisme de

K-algèbres appelé morphisme d'Etherington et si ND(A) est son noyau alors

ND(A)D(A) = 0 et D(A)ND(A) = 0 ,

D(A)!ND(A) == A2

(isomorphisme de K-algèbres) .

(ii) D(A) est isomorphe à A2

x ND(A) (produit semi-direct) et lasd

multiplication de A2

x ND(A) est donnée par: (x , m)(y , n) = (xy , <p(x , y)) ,sd

x, y dans A2

et m ,n dans ND(A) où <p: A2

x A2~ ND(A) est une application

6

2K-bi linéaire convenable; on nole alors O(A) = A x NO(A)<p ..

Exemple 1.2.2

Soit C la IR-algèbre des nombres complexes où IR e~t le corps des

nombres réels.

(l,i} étantunebasedeC, (aOO= l®l ,aol =l®i ,aIO=i®1 ,ail =i®i}

est une base de O(C) et la multiplication de O(C) est donnée par le tableau

suivant:

aao aOl alO ail

a aao aOI aOI -aGa00

aOI alO aIl a II -a l0

alO alO aIl aIl -a lO

aIl -aoo -aOI -aD l aoo

Posonsa'lO=alO-aOl eta'll =aoo+all'

On obtient NO(A) = < a'IO' a'il > et C2

= C . Identifions aoo et l ,aOI et i .

La multiplication de DCC) = C2~NOCC) est donnée par le tableau suivant.

aoo = 1 aOI = 1, ,

alO a II

aoo = 1 aOO = 10 0

aO I = 1

a10 = aO 1 + a' 10 Li II :::: - aOO + a' Il0 0

aO I = 1

= i + a' 10 = -1 + a' Il

a'lO0 0 0 0

a' 110 0 0 0

7

Il en résulte que <pel , 1) =0, <p (1 ,i) =0, <p (i, 1) = a'10' <p (i, i) =a'll .

Du produit semi-dircct 1.2.3 ([ 10])

Soient A une K-algèbre et D(A) sa dupliquée non commutative. Soit

ND(l\) le noyau de jl : D(A) ~A2 , x ® y~ xy.

On dira que deux applications K-bilinéaires <p, <p' : A2xA2 ~ ND(A) sont

équivalentcs s'il existe une application K-linéaire h : A2~N DCA) telle que

<p' = ND(A) , il vient que (oh)(x, y) =- h(xy) pour tous

')

x , y dans A~. Ainsi <p et <p' sont équivalentes si et seulement si

A2

x ND(A) :::: A2

x ND(A) (isomorphisme de K-algèbrcs).<p <p'

L'isomorphisme mentionné est:2 2

A x ND(A) ~ A x ND(A), (x ,m) ~ (x , m - h(x)).<p <p'

Comme A est une K-algèbre de dimension finie, il existe une application

2K-linéaire Tl : A ~ D(A) tellc que jloTl = idA2 . Considérons J'application

A2 2 N (A) ,- .<p: . xA ~ 0 dct1l11C par <p(x , y) =Tl(x)Tl(Y) -Tl(xy) .

2Si Tl': A ~ D(A) est unc application K-linéaire vérifï~U1t jlOTl' =id

A2,

posons h =Tl' -Tl . Alors h : A2 ~ NO(A) est une application K-linéaire

vérifiant

, ~h" d' , ,. 1 2 2<p = <p + u C est-a- Irc <p ct <p sont equlva cnts ct A x NO(A) :::: A x ND(A) .<p <p'

8

1.3. Propriétés de la dupliquée non commutative.,

Soient K un c,orps commutatif, A une K-algèbre de Qimension finie et

O(A) sa dupliquée ,),on commutative. Nous utiliserons O(A) = A2~NO(A) pour

.' '~

rappeler quelques propriétés de la dupliquée non commutative. .

Proposition1.3.l ([10])

D(A) est associative si et seulement si A2

est associative et

2q>(xy , z) = q>(x , yz) pour tous x , y , z dans A .

2En effet, pour tout x , y , z dans A et tous 01 , n , p dans ND(A) on a

«x, 01) , (y , n) , (z , p)) ==«x ,01) (y ,n)) (z ,p) - (x ,01) «y, n) (z ,p))

= (xy , q>(x , y)) (z , p) - (x , 01) (yz , q>(y , z))

= «xy)z , q>(xy , z)) - (x(yz) , <p(x , yz))

=«x, y , z) , q>(xy , z) - q>(x , yz)) .

Ainsi «x, 01) , (y , n) , (z , p)) =(0 , 0) pour tous x , Y , z dans A2

et tous 01 , n ,

p dans ND(A) équivaut à (x , y , z) = 0 et q> (xy , z) = q>(x , yz) pour tous x , Y ,

d A2 D' ' 1 ..z ans . ou a propositIOn.

Proposition 1.3.2 ([11])

D(A) est altemative si et seulement si A2

est altemative et

2 2 2q>(x , xy) = q>(x ,y), q>(xy , y) = q>(x ,y ) pour tous x, y dans A .

2En effet ,pour tous x , y dans A et tous 01 , n dans ND(A) ,

2«x, 01) , (x , 01) , (y , n)) = «x, x , y) ,q>(x ,y) - q>(x , xy)) et

9

«x , 01) , (y , n) , (y ! n» = «x , y , y) , <p(xy , y) - <p(x , y2») . D'où le résultat.

Proposition 1.3.3 ( 110]); 2

D(A) est une K-algèbre de Jordan si et seulement ~i A est de Jordan et<.' 2 2 ; 2

<p(x , yx) = <p(xy , x) , <p(x y , x) = <p(x , yx) pour tous x , y dans A .

2En effet, pour tous x , y dans A et tous m , fi dans l':J D(A)

«x , 01) , (y , n) , (x , m» = «x , y , x) , <p(xy , x) - <p(x , yx»

et «x, m?, (y, n), (x, m» = «x2

, y, x), <p(x2

y, x) - <p(x2

, yx). D'où la

conclusion.

Remarque 1.3.4

Les résultats précédents montrent qu'une algèbre A peut être dans une

classe de K-algèbres (associatives, alternatives, de Jordan etc) sans que sa

dupliquée non commutative D(A) ne soit pas dans cette classe et invérsement

D(A) peut être dans une classe donnée et A n'est pas dans cette classe.

Exemples 1.3.5

Exemple 1

Considérons la IR-algèbre C des nombres complexes qui est alternative

(cf1.2.2) . On a <p(?,l) = <p(-l,l) =0 et <pei , il) =<pei , i) ~ 0 et donc D(C) n'est

pas alternative.

Exemple 2

Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre de dimension trois dont

la table de multiplication relativemcnt à une basc 1Co ' cl ' ~} cst donnéc par:

cOc l = c2 ' Cl Co = Co ' c 12 = c2 ' tous lcs autrcs produits étant nuls.

2On a A = < Co ' c2 > ct (A2)2 = 10} .

la

, ·d A2 l .Il est alors eVI ept 4ùe est a ternatlve et2 ;:; 2

<p(x , y) =<p(x , xy) , <p(xy , y) =<p(x , y2) pour tous x , y d~ns A et O(A) est

alternative . Mai~ (~l ' el' eO) =e 12eO- el (e 1eO) =: ,.C .:.

e2eO- el eO = - ra F' aet donc A n'est pas alternative., ~.-' :

;~..h·

Proposition 1.3.6 ([ Il])

O(A) est nilpotente si et seulement si A2

est nilpotente.

En effet, comme (A2 ~ ND (A))2 =

= ((x,m)(y,n),x,YEA2,m,nE NO(A») = ((xy,q>(x,y»,x,YEA2),

en notant que (A2 ~ND (A»2 =((A2)2, <p(A2, A2» , on montre par

récurrence sur k que(A2 ~NO(A))k = ((A2)k, <p((A2)k-1 , (A2)k-1) , k >2 .

La proposition résulte de cette égalité.

Proposition 1.3.7 ([lI])

O(A) est résoluble si et seulement si A2 est résoluble.

En effet, on montre par récurrence sur n que (A2 x NO(A»[n] =2) et la proposition s'en suit.

Proposition 1.3.82

Si A est nilpotente (resp resoluble) d'indice k alors O(A) est nilpotente

(resp résoluble) d'indice au plus k+ 1.

En effet, on montre par récurrence sur n que

1

1

Il

(A2 ~NO(A))O =; ((\2)0 • <p((A2)0-1 , (A2)0-1 » ct

(A2~ND(A))lnJ= HA2)ln1 ,lp((A2)[n-1], (A2)[n- l l)) ~n {2) et la

proposition s'en ~ui~,;

Proposition 1.3.9

D(A) est à'puissances associatives si et seulement si A2

est à puissances"

associatives et lp(xP, xq) = lp(x , xp+q-l) , p , q = l , 2 ,....

En effet, (x ,m)2 =(x2 , lp(x , x)) , (x , m)3 =(x , Olt2(X , m) =(x 2x , <p(x 2, x)) et plus généralement (x , m)Tl =(xn , <p(xn:;;l , x)) , n = 2 , 3,....

Par suite (x , m)P (x , m)q = (xP , <p(xp-l , x)) (xq ,<p(xq-l , x)) =

(xPxq ,<p(xP, xC)) , P , q = 2 , 3 ,..... , et (x , m) parcourant D(A).

Ainsi D(A) est à puissantes associatives si et seulement si A2 est à puissances

associatives et <p(xP , xq) = <p(xp+q-l ,x) pour tous x dans A2.

Enfin dans ([ lûJ) , il est démontré le résultat suivant:

Théorème 1.3.10

Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux, A

une K-algèbre et D(A) sa dupliquée non commutative.

(i) D(A) est altemative si et seulement si (A2)2 = aou dimK

A2= l.

(ii) D(A) est à puissanccs associatives si et seulement si (A2)+ est une

K-algèbrc possédant la propriété suivante: tout sous-espace vectoriel de A2 est

une sous-algèbre de (A2)+ où (A2)+ =(A2 , 0) avec x 0 y =t(xy + yx).

A étant unc K-algèbre , nous désignons par D(A) sa dupliquée non

commutative sauf mention expresse du contraire.

Un icJempotcnt cJ'une K-algèbre A est un élement e de A

véritïalH e2 =e . Dans la suite nous considérerons des idempotents non nuls.

~'. .f

12

CHAPITRE Il

Dupliquée I.ie·~drnissible([12])

Soient K ~n S'prps commutatif et A une K-algèbre de dimension finie non

nécessairement commutative.

Pou r Llne raison de commodité, nous adoptons ici, la notation additive,~ 2

des élémel1ls de P(;~) =A s~ N D(A) ...>'

2.1 Généralités.

Théorème 2.1.1

D(A)- est isomorphe à (A2)- <Î> ND(A) où

<1> (x, y) = (p(x, y) - <p(y, x) pour tous x, y dans A2, <p étant défini dans(l.2.3)

En l' Ilct , l'application ~ : D(A) ~ A2, x ® y~ xy qui est un

morphisme de K-espaces vectoriels est un morphisme de K-algèbres de D(A)

dans (A2)- l':lr , pour tous x ® y , x' ® y' dans D(A) ,

~ (lx ® y , x' ® y' J) = ~ «x ® y) (x' ® y') - (x' ® y') (x ® y))

=~ (xy ® \'y' - x'y' ® xy) = (xy) (x'y') - (x'y') (xy)

=[xy , x'y' j = [~(x ® y), ~ (x' ® y')J . ND(A) étant le noyau de ~. on a d'une

part D(A)-/ND(A) ::: (A2)- (isomorphisme de K-alg~bres)

et d'autre pa ri ; pour tout x ®y dans ND(A) et tout x' ®y' dans D(A) ,

lx ®y ,x'(3) y' ] =xy®x'y' - x'y'®xy = o® x'y' - x'y'®O =o.

Par suite [Nn(A) , D(A)]= 0 . Comme la suite exacte

o~ ND(A) --.-, D(A) ~ A2 ~ 0 est scindée, il existe une application K-linéaire

T} : A2 ~ D(A) vérifiant )..lûT} =idA2. L'application K-bilinéaire

13

: A2xA2---7 NO(A) : (x .y)~ [Tl(x) , Tl(Y)]- Tl([x ,yl) et la relation

[NO(A) , O(A)l = 0 pennettent de définir sur (A2)- x ND(A) une structure de

K-algèbre donnée par: [x + m , y + nl = [x , yI + (x ,y) pour tous x ,y dans2

A et pour tous m , n dans NO(A) .

Enfin, O(A) = A2 if, ND(A) où <p(x , y) = Tl (x)Tl(Y) - Tl(xy) pour tous x . y dans

A2 [cf 1.2.3 ] et par suite (x , y) = [Tl(x) , Tl(y)l - Tl([ x ,y]) =

Tl(x)Tl(Y) - Tl (Y)Tl(x) - Tl(xy - yx) = (11 (x)Tl (y) - Tl(xy) ) - (Tl(Y)Tl(x) - Tl(Yx)) =

=<p(x , y) - <pey , x) .

Théorème 2.1. 2

D(A) est Lie-admissible si et seulement si A2 est Lie-admissible et

rx ,y ,z] =: 0 pour tous x ,y ,z dans A2 où [x ,y, zl =:

(fx , yl, z) + (fy ,zl . x) + ([z, x] ,y).

En effet, le Jacobien dans D(A)- de tout triplet (x+m . y+n . l'+p)

d'éléments de D(A) est JO(A)-(x+m ,y+n ,z+p) =:

=: [[x+m, y+nl ,z+pl + [[y+n, z+p) ,x+m] + [[z+p, x+ml ,y+nl

= [[x, yl + (x, y), z+p] + [[y, zl + (y, z), x+ml + [[z, xl + (J)(z. x), y+n]

=[Ix, y] , z] + ([x, y] ,z) + r[y ,z] , x] + (Iy , z] , x) +

r[z, xl ,y]+ ([z, xl ,y) =

= \A2)- (x ,y, z) + ([x . y] ,z) + ([y ,z] , x) + ([z ,xl, y) où

J(A2r(x ,y, z) est le Jacobien dans (A2)- du triplet (x ,y . z) . Comme est

antisymétrique, polIr tbut x+m dans O(A) , [x+m , x+m] = rx , xl + <1)(x , x)=:O.

Ainsi O(A)- est de Lie équivaut à JO(Ar (x+m , y+n , Z+~! = 0 pOUf tous x, y,

z dans A2 et tous ni ,n, p dans ND(A) c'est-à-dire J(A2r (* ,y, z) =: 0 et

([x ,yl , z) + ([y ,z] , x) + ([z , x] ,y) = 0 pour tous x;y ,z dans A2 . D'où

14

le résultat.

Exemple 2.1.3

Soit Y une K-3lgèbre de Lie simple de dimension 3. TI existe une b3se

{eO ,el ,~} de Y pour laquelle 13 multiplication de Y est donnée par:

eOel = e2 = - el eO' eOe2 = a el = - e2eO' el e2 = peO = - e2e l ' les autres

produits ét3nt nuls; où a et psont d3ns K et a p :f- O( [51). Pour la suite nous

prenons a = p= 1 pour simplifier. Les 3 ij , i ,j = 0 , l , 2 où 3 ij =Ci® ej

constituent une b3se de O(Y) et 13 multiplic3tion de Dey) rel3tivcmcnt à cette

b3se est donnée p3r :

(301)2 = 322,301 302 = 321' a01 310 =. a22'

an 1312 = 320 ' 301 a20 = - 321 ' 301 321 = - 320 ;

302301 =3]2,(an2)2=311 ,302310=-312'

302312 = 310,302320 = - al l ,302321 = -al0;

310301 = - 322' 310a02 = - a21 ,(310)2 = 322'

. 310312 = - a20 ' 31 Oa20 = 321 ' 31 Oa21 = 320 ;

312301 = 302,312302 = a0 1 ,312310 =·302'

(312)2 = aoo, 312320 = - an! ,312321 = - aOO ~

320 301 = - 312,320302 = - 311 ,320310= 312'

320312 = - 3]0' (320)2 = 311,320321 = 310;

321 301 = - 302 ' 321 302 = -aO 1 ,321 310 = 302 '

321 312 = - 300' 321 a20 = aOl ,(321)2 = 300;

tous les 3utres produits ét3nt nuls.

Posons 3'10 = 301 + 310 ,3'20 = 302 + 320 ,3'21 = 312 + ~~21 puis identifions

eOet 312 , el et 302 ; e2 et CUI . {'Ua' 311 ,322 , 3't0' ~120' a'21} est alors

15

unc basc dc No(Y) ct Y = y2 , O(Y) = y ~No(Y) où la multiplication

relativcmcnt à la basc

lB = {cO, Cl' c2' aoo' ail' a22' a'IO ,a'20' a'21} cst donnéc par:

c02 :=aoo,cOcI =c2,cOc2=cI ,clcO=-c2+ a'10,cI 2 :=all ,c lc2=cO'

c2cO= - CI + a'20' c2c l = - Co + a'21 ,c22 := ~2 ,tous lcs autres produits

étant nuls.

On obticnt alors <P(ci ,ci) = a ii ,i = 0, 1,2; <P(cl ,CO) = a'IO'

<p(c2 ,cO) = a'20 ,<P(C2' Cl) =a'21 ,<p(cO' Cl) = <p(cO ,C2) = <P(cl . c2) =O.

Notons quc O(Y) n'cst pas unc K-algèbre dc Lic car cOcO = aOO "* O.

D'après cc qui précède, la multiplication dc D(A)- relativcmcnt à la basc lB cst

donnéc par:

[cO, CI] = 2c2 - a'IO = - rCl ,cOl; rcO' c2l = 2c I - a'20 = - rC2' col,

[Cl' c2] = 2eO - a'21 = - rc2 , cIl, tous les autres produits étant nuls. On obticnt

ainsi <1>(ci ,ci)=O,i=O, l ,2;<1>(cO,cI)=-a'10 =-<1>(cl ,cO)

<1>(cO ' c2) = - a'20 = - <fJ(c2 . cO) , <fJ(c l '12) = - a'21 = - <1> (c2 ,c l ). Montrons

maintcnant quc <1>[x , y ,z] = 0 pour tous x , y , z dans A2 (cf2.1.2) . Pour cela,

il suffit dc vérificr quc <1>[ ] = 0 pour tous i, j , k dans {O, l , 2} .Ci ' Cj , ck

:= ([ci ,cjl, Ci) - ([ci' Cj] ,ci) = 0 pour tous i, j dans{O, 1,2} .

[c ccl = <J'crcO,cIl, c2) + ([cl ,c2] , cO) + (j~ ,cOl. Cl)0' l' 2 . .

= (2cO' cO) + (::2c 1 ,c 1) = O. étant antisymétriquc ct

K-bilinéairc, on a <f>rc. C' ck] = apour tous i ,j , k dans t0, l, 2}. Dc plus onl' J'

16

a Y =y2 et D(Y) est Lie-admissible.

Lemme 2.1.4

L'application K-linéaire injective TJ : A2 ~ D(A) vérifiant pOTJ = idA2

telle que D(A)::::: A2 ~ ND(A) où <p(x, y) = TJ(x) TJ (y) - TJ(xy) vérifie

TJ (x) TJ (y) = x ® y pour tous x , y dans A2.

En effet, soit {eO ' el' ... , en} une base de A2. Bien que tout élément de

A2 soit une somme finie de produit d'éléments de A , pour des raisons de

linéairité nous pouvons sans pcrdre la généralité du raisonncment , considérer

que chaquc ci s'écrit:

ei = eJ' . ek . ,j i ' ki E {a, 1, ... , n}.1 1

I=n i=nSoit TJ : A2 ~ D(A) ,x = LX. e·~ LXI' e. ® e. . On vérifie

i=O 1 1 i=O J i k iI=n 2

facilement que TJ est K-linéaire. Pour tout x = L xiei dans A ,i=O

i=n i=n i=n

JloTJ (x) =Jl( L xi e. ® ~ ) = L xi e. ek = L x· e· =x .i=O J i i i=O J i i i=O 1 1

Par suite JloTJ =idA2 et TJ injective. Ainsi D(A) :::: A2 ~ ND(A) avec. .I=n I=n

<p(x ,y) =11 (x)TJ(Y) - TJ(xy) . Pour tous x = L x· e· , x' =L. 0 1 1 . 01= 1=

i=n l=n

on a TJ(X)TJ(X') =(i~ xi ej i® ~ i) (i~ x' i ej i® ~ i) =

x' . C'1 l'

I=n I=n=( L x· e. e

k) (L x' l' e. e

k) =x ® x'.

i=O 1 J i i i=O J i i

Si TJ' : A2 ~ D(A) est une autre application K-linéaire vénfiant ~ 01'1' = idA2 '

alors TJ' s'écrit TJ' = '1 - h où h : A2 ~ ND(A) est une application K-linéaire

17

(cf] .2.3) . De la multiplication de D(A) :::: A2

xd

ND(A) , il vient ques

rl'(x)rl'(x') = l1(x)l1(x') = x ® x'

Conséquence 2.1.5

Si e est un idempotent de A2 et s'il existe x dans A2 tel que x ~ Ke et

ex =xe =x alors <pee , x) -j:; <p(x, e).

En effet, <pee , x) =l1(e)l1(x) -l1(ex) =e®x -l1(x ) et

<p(x , e) = 11(x)11(e) - l1(x e) = x® e - l1(x).

Ainsi <pee , x) - <p(x . e) = e®x - x ®e -j:; a car x ~ Ke ([61).

En particulier si e est l'unité de A2

et x ~ Ke • on a :

<pee , x) -j:; a ou <p(x , e) -j:; O.

Conséquence 2.1.6

Pour tous x , y dans A2 , si xy =0 alors <p(x , y) =x ® y.

En vue de caraclériser les K-algèbres de Lie dont la dupliquée est

Lie-admissible, rappelons la classification des algèbres de Lie de dimension

inférieure ou égale à trois ( [51) .

Classification 2.1.7

Soit A une K-al~èbre de Lie de dimension inférieure ou égale à 3.u u

Si dimK A = 1 alors A = Ke avec e2 =a. Notons par AO . ccilc algèbre.

Si dimKA = 2 ; écrivons A = Kea + Ke l . On a alors: A est Ulle

zéro-algèbre (c'est-à-dire tout produit est nul) ou est la K-~Igèbre non abélienne

dont la structure est donnée par: eOe 1 =eO =-el eO' e02 ~ ei 2 = O. Notons les

respectivement A(2,O) et A(2, 1)

Si dimKA = 3 , on distingue quatre cas: A2 = a : dirllK

A2 = l ;

18

dimK

A2 = 2 ; dimK

A2 = 3 . Désignons par A(3,O) la zéro algèbre dc

dimension trois.

Si dimK

A2 = 1 et A2 c Z(A) (centre de A) alors A possède une base

eO ,e l ,e2 telle que el e2 =eO=-e2e l ' tous les autres produits étant nuls

(notons cette algèbreA(3,1 )). Si dimK

A2 = 1 et A2 r:z. Z(A) alors À possède

une base eO ' el' e2 telle que eOe l =eO=-el eO ' tous les autres produits étant

nuls (A(3.2) désigne cette algèbre).

Si dimK A2 = 2 alors A possède une base eO ' el' e2 telle que la structure

de A soit donnée par: (a) eOe2 = eO = - e2eO ' e l e2 = a el = - e2c t (a E K),

tous les autres produits étant nuls (notons A3a cette algèbre) ou

(b) eOe2 = eO + pel = - e2eO ( PE K) ,ele2 = el = - e2el ' les aulres produits

étant nuls (cette algèbre est notée A3p

) .

Si dimKA2 = 3 alors A possède une base eO ' el ,e2 et la multiplication

de A est donnée par: eOe} = e2 = - el eO ' eOe2 = a el = - e2eO '

el e2= p eO = - e2e l ' les autres produits étant nuls avec ap "# 0

(Notons Y une telle algèbre) .

Remarque 2.1.8

Comme poui la dupliquée non commutative de Y et celle des

zéro-algèbres, on vérifie que la dupliquée non commutative des K-algèbres de

Lie A(2,1), A(3.1) , A3(-1) est Lie-admissible. Par contre ta dupliquée non

commutative de A(3,2) , A3a

(avec a "# - 1 ) ou A3p

(P E k ) n'est pas

Lie-admissible.

Nous aurons également besoin du résultat suivant:

19

Lemme 2.1.9 ([5] P 53)

Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique zéro.

Si B est une sous-algèbre résoluble de dimension m d'une K-algèbre de

Lie Let B ~ L , alors B est contenu dans une sous-algèbre de dimension m +1

de L.

2.2 Lie- admissibitité de la dupliquée d'une algèbre .

Nous savons que pour toute algèbre A , si la dimension de A2 est un ou

A2 est une zéro-algèbre alors la dupliquée non commutative D(A) Je A est

associative et par suite Lie-admissible. La question est de savoir: étant donné

une algèbre A telle que D(A) soit Lie-admissible, peut-on détenniner la

structure de A2 ? Ici nous traitons la question dans le cas où A2 est de Lie .

Lemme 2.2.1

Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux, A

une K-algèbre telle que A2 soit Lie-admissible et D(A) = A2 ~ ND(A) la

dupliquée non commutative de A. Alors l'application

A2 x A2 x A2 ~ ND(A) , (x ,y, z)~ [ ] =x,y,z

([x , y] , z) + ([y , z] , x) + ([ z , x] , y) est K-trilinéaire antisymétrique et

pour tous x, y, z dans A2, on a

 -[x , y , z] -

= [x ,y]@ z - z@ [x ,y] + [y, z]@ x - x@ [y ,z] + [z ,x]@ y - y@ [z . x]

où (x , y) =<p(x , y) - <pey , x).

En effet , l'a~plication (x , y , z)~ [x , y ,z] étaht définie par:

[x ,y, z] = ([x, y] ,z) + ([y ,z] ,x) + ([z, x] ,y) ,eIIè est trivialement

K-trilinéraire antisymétrique. Soient x , y , z dans A2 ,

[x, y, z] =<p([x ,y] ,z) - <p(z, [x, yD + <p([y, z] ,x) - q;(x, [y. z]) +

20

<p([z, x] , y) - <pey , [z ,xl) ==Tl([x ,yl)Tl(z) -Tl([x ,yI z) -11(z)Tl([x ,y]) + Tl(z [x ,y]) +

" ([ y , ZnTl (x) - Tl (ry , z] x) - 11 (x)11 cr Y, Z1) + Tl (x [y , Z1) +

Tl([Z, x1)Tl(y) -Tl«(fz , x] y) -11(y) Tl([z, x]) + Tl(y [z , xl) ==[x ,y]® z -Tl([x , y] z) - z ® [x ,y] + Tl(z [x ,yl) + [y , z]® x - lHly ,z] x)

x® [y ,z] + ,,(x [y, zl + [z , x]® y -Tl([z, x] y) - y ® [z , x] + Tl(Y [l" xl)

=[x , yl® Z- z® [x , y] - Tl ([ x , y] z - Z[x , y]) + [y , z] ® x - x ® [y . zl -

,,([y, zl x - x [y ,zl) + [z, x]® y - y® [z, x]-Tl([z, x] Y- Y[z, xl) ==[x , y]® Z- Z® [x , yI + [y . z]® x - x ® [y , z] + [z , x]® y - y ® [1, , x]

ll([[x , y] , zl + I[y ,z] , xl + rIz , x] ,yl).

Comme A2 est Lie-admissible, [[x, y] ,z] + [[y, z] , x] + [lz, xl, yI =0

pour tous x , Y, z dans A2. D'où le lemme.

Notons que si A2 est de Lie alors A2 est Lie-admissible et

[x , y] =2xy pour tous x, y dans A2 .

Par suite <f>[x , y , z] = 2(xy® z - z® xy + yz ® x - x ® yz + zx ® y - y ® zx)

Lemme 2.2.2

Soit A une algèbre sur un corps commutatif K de caractéristique

différente de 2 telle que A2 soit de Lie . Si dimKA2 =3 et (A2)2 est un idéal

propre non nul de A2 alors les conditions suivantes sont équivalentes.

(l) D(A) n'est pas Lie-admissible.

(2) Il existe une base {eO,el ,e2} de A2 telle que l'une des assertions

suivantes soit satisfaite:

(a) eOc2 =Co =-e2cO. el e2 =a el =-e2c I (a :1:- - 1) , les autres proùuits

étant nuls.

(b) eOe2 =Co + ~ el =-e2cO(~EK), e le2 =el =-c2e l ' les autres

produits étant nuls.

(c) cOc l =Co =-eleO . les autres produits étant nuls;

21

En effet, la remarque 2.1.8 dit que les algèbres de Lie dont les structures

sont données en (a) , Cb) et (c) ont leurs dupliquées non commutative qui ne sont

pas Lie-admissible c'est-à-dire (2) implique (l). Pour montrer que (1) implique

(2) , montrons que non (2) implique non (1) .

Si une K-algèbre de Lie de dimension 3 n'a pas sa structure donnée par (a) , (b)

ou (c) alors d'après la remarque 2.1.8 et la classification.2.1.7 , D(A) est

Lie-admissible.

Lemme 2.2.3

Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux et A

une K-algèbre telle que A2 soil de Lie . Si dimK(A2)2 >4 alors O(A) n'est pas

Lie-admissible.

En effet, si dimK

(A2)2 > 4, il existe au moins 4 vecteurs linéairement

indépendants ei ,ej ,ek ,ep dans A2 tels que 4 au moins des produits eiej ,ejek

, eiep , e/k ,.... soient non nuls et distincts. Notons B le sous-esp;lcc vectoriel

de A2 engendré par ei ' ej . ek' ep et soit ei ' ej , ek ' ep , fI'"'' fn une base de

A2.

Si B est une sous-algèbre non abélienne de A2, fixons (sans perdre

1 "1" d') 1a genera Ite u raisonnement e·e· = ep , on a 2<1>[ 'J" =1 J ei ' ej \.ek

= eiej® ek - ek® eiej + e/k® ei - ei® ej ek + ~ei® ej - e/~) ~ei

= e ® e, - ek® e + e.ck® e· - e.® e·e, + eke.® e· - e.® il e· =t:- 0 el D(A)p .K P, J' 1 1 J.K 1 J J KI'

n'est pas Lie-admissible.",

Si B n'est pas U1ie sous-algèbre de A2, supposons què eiej

= a x + ~ y

avec x E B , Ydans le supplémentaire de B dans A2 et ~ §=t:- O.

22

Pour x : e·, et y : f , c'est-à-dire e·e· : a e·, + ~ f , , avec ~ ~ a ,1 q' lJ 1 q

1on a TI' :

[ei ,ej ,ek]

: e ·e· ® e. - ek® e·e· + e·e, ® e· - e.® e.ek + eke.® e· - e· ® e. e· =1 J K 1 J J KIl J l J J -K 1

=(0. ei' + ~ fq,)®~ - ~®(o. ei' + ~ fq,)

+ e·e, ® e· - e· ® e· e, + e. e· ® e· - e·® e. e· :J KIl J K KI J JK 1

=o.(ei'® ~ - ek® ei,) + ~(fq'® ~ - ~® fq,) + ej~® ei - ei® ej~ +

eke. ® e· - e· ® e. e· :1= 0 et donc D(A) n'est pas Lie-admissible.1 J J K 1

Lemme 2.2.4

Soient K un corps commutatif algébriquement clos de caracl~ristique

zéro et A une K-algèbre telle que A2 soit de Lie. Si D(A) est Lie-admissible et

dimK

(A2)2: 1 alors A2 est :

soit la K-algèbre de Lie de dimension deux dont la structure est donnée par:

eOe 1 : el: - el eO ' eO2 : el 2 : a ,

soit la K-algèbre de Lie de dimension 3 dont la structure est donnée par:

e l e2 = eO = - e2e l , les autres produits étant nuls.

En effet, notons B = (A2)2 et supposons que B = Kea et que D(A) est

Lie-admissible. B étant résoluble, il est contenu dans une sous-algèbre 1 de

dimension 2 de A2 rcf 2.1.9 1. Soit {eO ' el } une base de 1 . 1 est abé 1icn ou la

structure de lest donnéepar:eOe t =e t =-eIeO ' e02 : e 1

2 :'::O.

Supposons que la structure de 1est donnée par:

eae } = el= - e}eO ' ea2 =e I

2 = a. Soit Y' un supplément~ife non nul de 1

I=n

dans A2 et {e2 , .... en} une base de Y' . Soit x =.I xic, dans Y' .1=2

23

On a cOx EA2A2 = (A2)2 =KcOct cl x E A2A2 = (A2)2 = Kt{) .

Ecrivons cOx = a x Co ct cl x = ~lxcO

10="2<1> =

[cO, cl' x]

=cOcI@ x - x @cOc I + cl x @Co - cO@cl x + x cO@cl - e l @ x Co

=el@x-x@el + ~lxeO®cO-cO@~lxcO-OxcO@el + cl ®axcO=l=n

i~ xi (c 1® ei - ci® cl) - ax(cO® cl - cl ® cO) et xi = 0 pour tout

i =2, ... , n c'est-à-dire x = 0 pour tout x E V' . Ce qui cst absurde. Cette

absurdité vicnt d'avoir posé V' -:1:- {O} . Ainsi V' = {O} ct A2 =1.

Supposons maintenant 1 abélicnnc et désignons toujours par V' un

supplémcntairc non nul dc 1dans A2 . Soit {c2'"'' cn} unc base de V'.

Pour tout x E V', cOx E A2A2 = (A2)2 =B , cl x E A2A2 = (A2)2 = B ct

V' 2 c (A2)2 =B. Ecrivons cOx = a Ox Co ' Cl x = a lx Co .

10= 2 = Cl x® Co - cO® Cl x + XCO@Cl - Cl ® XCO

[cO,cI'x]

=alxcO@cO-cO@alxcO -aOxcO@cI +cI @aOxcO

= a Ox (-cO® Cl + Cl @cO) par suitc a Ox = 0 pour tout XE V' .

D'où CoV' = (O) . Posons clci = aicO pour i = 2, , n .La structure dc A2 cst

alors définic par Co A2 = {O} , clei = aicO' i = 2, , n , (V')2 c KeO

Si (V')2 -:1:- {O} , il cxistc k, k' dans {2, ... , n} avcc k -:1:- k' tcls que

ck ck' = a Co -:1:- 0 . Il cn résultc alors quc

O l <1> . .="2 [ ; j=clck®~' -ck,@clck+ckck,&JCt- c1®ckck' +

Cl' ck ' ck'

ck' Cl @ ckck ® ck' Cl =

~ (cO ® ck' - ck'&" cO) + a(cO ® Cl - Cl ® ea) -ak' (cO ® ek - ck ® cO), Ccci

24

est absurde. L'absurdité vicnt d'avoir supposé(V')2 ~ {a) . Ainsi (V')2 = {O).

Si elei = a pour i =2 ,... , n c'cst-à-dire el V' = {a} alors A2 =l Et) V' (SOTllIllC

dirccte d'idéaux abéliens) et , par suite B = (A2)2 = {a) . Ce qui est absurdc

car dimK B= 1. Ainsi il existe au moins un k dans {2 ,... , n} tel quc

ele. = a.. eOavec a.. ~ O. Soit j dans {2 ,... , n}; 0=-21

<1> =K·K ·K fel,ej.ck1

=elej@ek-ek@elej+ejek@el-el @ej ek+ ek e l@ej-ej@ek c l =

=aj eO@ ek - ek@aj eO - <1c eO@ ej + ej @~ eO

= a/eO@~ - ek@eO) - ~(eO@ ej - ej @eO) .

Cette relation n'a de sens que si j = k .

Ainsi dim KV' = 1 . Notons V' = Ke2 ' on a alors A2 = K'iJ Et) Ke 1EB Ke2 avec

el c2 = a eO=-e2 eO(a ~ 0) , les autres produits étant nuls. D'où le lemme.

Lemme 2.2.5

Soit K un corps commutatif algébriquement clos de caractérisl ique zéro ct

A une K-algèbre telle que A2 soit de Lie.

Si D(A) est Lie-admissible et dimK(A2)2 = 2 alors A2 est la K-algèbre de

Lie de dimension trois dont la structure est donnée par:

eOe2 = eO= - e2eO ' el e2 = - el = - e2e l , les autres produits étant nu Is.

En effet, notons 'B = (A2)2 et supposons que soit D(A) Lie-admissible.

Désignons par {eO ' el} une base de B. D'après la classification 2.1.7, B est

abélien ou bien la structure de B est donnée par:

eOe1 = eO = - el eO ' c02 = e 12 = a.

Etant résoluble, B est contenu dans une sous-algèbre l de dimension trois de

A2 (cf2.1.9) . Ecrivons 1= B EB Ke2 et soit V' un supplémentaire de [ dans A2 .

25

Pour tous x . y dans V' , cox E A2A2::: B , i = 0, 1,2 et x y E A2A2 = B.1

Ecrivonseox=a. eO+p· el ,i=O, 1 ,2etxy=a eO+p cI et1 IX IX xy xy

considérons (e3

,... , en} une base de V', Si la structure de B est donnée par:

eOel ::: eO = - eleO' e02 = el 2 = 0, en posant

e2eO::: a eO + pel' e2e 1 = a' eO + P' el ' on a :

o ::: J(eO ' el' e2) = (cOc 1)e2 + (e 1e2)eO + (e2eO)c 1 =

::: eOe2 + (- a' eO - B' cI )cO + (a eO + pel)e1::: - a Co - pel + p' cn + a eo::: P' Co - pel ' D'où p = p' = 0 .

On obticnt alors~ :::[cO, el' e2]

= eOcl ® e2 - c2® eOel + Cl e2® eO - eO® el e2 + c2eO® el - Cl ® c~cO =

::: eO® ~ - e2® eO - a'eO® eO + eO®a' eO + a eO® el - el ®a eO=

:::(eO® e2 - e2® eo) + a(cO® el - el ® eO):t= 0 pour tout a E K .

Ce qui est absurde car D(A) est Lie-admissible.

Il en résulte que B cst un idéal abélien de A2.

Î=nSupposons 1 abélien. Soit x::: L x,e

l· dans V', on a :

o 3 11=

=(~xeo+ P2xe l) ® eO - eO® (a2xeO+ 132xe l) +

(-aOxeO - POxe 1) ® e2 - e2 ® (-OoxeO - POxel)=

::: P2x(el ® eO - eO<&> el) - aOx(eO® e2 - e2® eo) - pox(e l ® e2 - c2® cI) ,

D' , A A· 0 D A l" l" 0 ~ d . ,ou ..... 2x ::: aox ::: ""'0:':::: . e meme, ega He ::: 2'1" r·. . 1 con uIt ael' e2 ' X

a2x ::: al x ::: Plx ::: O. Ainsi eOx ::: el x::: e2x ::: 0 pour tout XE V' cl

par suite 1 V'::: {O}.

26

Pour tous x , y dans V', 0 =~ <1>r ] =xy ® eO - eO® xy =eO ' x , y

(uxyeO + pxye 1) ® eO - eO® (uxyeO + pxye l ) =Pxy (el ® eO - e00 el) .

D'où Pxy =O. De même l'égalité 0 =~[ ] nous dit que u xy =O.el'x,y

Ainsi xy::: 0 pour tous x ,y dans A2. Comme e2 V' = {O} et (V')2 = {O} alors

V =Ke2 EB V' est un idéal abélien de A2

B étant abélien ct BV = {O} on a A2 ::: BEBV(somme directe d'idéaux abéliens) .

Par suite, B ::: (A2)2 = {O} . Ceci est absurde car dimK B =2.

Ainsi 1n'est pas abélien.

Supposons que dimK 12 ::: 1. Comme B::: Kea œKel est abélien, la

structure de 1est donnée par:

ele2::: eO::: - e2e l ,les autres produits étant nuls (cf 2.1.7).

l=n

Soit x::: l xiei dans V' , comme 0 ::: ~ <1>[, ] :::i=3 el' e2 ' x

:::ele2®x-x®el e2+e2x®el-el®e2x+xel®~-e2®xel=

::: eO® x - x ® eO + (~x eO + P2x el)® el - el ® (u2x eO + P2x cI) +

(- u lx eO - Plx el) ® e2 - e2®(-ulx eO - Plx el):::l=n

::: l Xi (eO® ei - ei® eO) + ~x (eO® el - el ® eO) i=3

ulx(eO® e2 - e2® eO) - Plx (el® e2 - e2® el)' alors xi::: 0 pour i::: 3,... ,n;

u2x::: u lx ::: Plx ::: O. En particulier V'::: {O} . Ceci conduit à A2 = 1et. par

suite B ::: (A2)2::: 12 . Ccci est absurde car dimKB ::: 2 et din:K 12 = 1 . Ainsi

dimK 12 ::: 2 et dOlic 12::: B . Du lemme 2.2.2 , de la classification 2.1.7 et de

ce qui précède, la st,ructure de 1est donnée par:

eOe2::: eO::: - e2eO; ei e2::: - el::: - e2e l ,les autres produits étant nuls.

27

l=n

Soit x = l xi ei dans V' . Puisque 0 =~ <1>[ ] =i=3 eO ' e2 ' x

= eOe2® x - x ® eOe2 + e2x® eO - eO® ~ x + x eO® ~ - e2® xeO ::::

= eO® x - x ® eO + (~x eO+ ~2xel) ® eO - eO®(~xeO + ~2x el) +

(- aOx eO - ~Ox el) ® e2 - e2 ® (- Oox eO - ~Ox el) =i=n

=.I xi (eO® ei - ei® eO) + ~2x (el ® eO - eO® el) - Oox (eO® c2 - e2® eO) -1=3

~Ox (el ® e2 - e2® el) alors xi = 0 pour i = 3 ~ "" n ~ ~2x = aOx = BOx = 0,

En particulier V' = {O} . Ainsi A2 =1 et le lemme est prouvé.

Lemme 2.2.6

Soient K un corps commutatif algébriquement clos de caractéristique zéro

et A une K-algèbre telle que A2 soit de Lie.

Si D(A) est Lie-admissible et dimK(A2)2 =3 alors A2 est une K-algèbre

de dimension trois dont la structure est donnée par:

eOe 1 = e2 = - el eO ' eOe2 =a e] = - e2eO ' C ] c2 = ~ Co = - c2e l '

c02 = c]2 = c22 = 0 avec a ~ ~ O.

En effet, soit {eO' e] , e2} une base de B =(A2)2.

Comme dimK B2 ~ dimK B =3 , supposons que B2 soit url idéal propre non

nul de A2. D'après le lemme 2.2.2 , la structure de B est donnée par:

0) el e2 = eO = - e2 el ' les autres produits étant nuls ou

(ii) Co e2= Co =-e2cO' e] e2 = - el = - e2 e] ,les autres produits étant nuls.

Dans chacun de ce~ càs , B est résoluble et est par conséqùdnt conrenu dans une

sous-algèbre 1 dc dimension quatre de A2, Posons 1 = B œk c3 el écrivons

eiej = aij eO + ~ ij el + y ij e2 ,i = 0 , l , 2 ,3 (car B est idéal de A2) .

28

Dans le cas (i) , on a 1<f> [ ] =el' e2 ' e3

=el e2® e3 - e3® el e2 + e2 e3® el - el ® e2 e3 + e3e l ® e2 - ci~~ e3e l =

= eO® e3 - e3® eO + (~3eO + ~23el + 'Y 23 e2)® el -

el®(~3eO+ ~23el +Y23~)+ (a3l eO+ ~3lel +'Y3le2)®~

e2®(a31eO+~3lel+'Y3l e2)=

=(eO®e3- e3®eO)+a23(eO®el- el®eO) + 'Y 23(e2® el - eI0~) +

a3l (eO® e2 - e2® eo) + ~3l ( el ® e2 - ~® el) 1:- O. Ce qui est absurde car

D(A) est Lie-admissible.

De même, dans le cas (ii) , on obtient ~[ 11:- O. Ce qui est absurde.eO ' el' e3

Par suite B2 =0 ou B2 =A2.

Si B2 = 0 , on montre comme dans le lemme 2.2.4 que A2 = il EB V

(somme directe d'idéaux abéliens) . Ce qui conduit à B = (A2)2 = (O} qui est

absurde. D'où B2 =A2 et ,d'après la classification 2.1.7 , A2 est une K-algèbre

de Lie de dimension trois possédant la structure indiquée.

Théorème 2.2.7

Soient K un corps commutatif algébriquement clos de caracttristique

zéro, A une K-algèbre telle que A2 soit de Lie et B = (A2)2 l'idéal dérivé

de A2 . Les propositions suivantes sont équivalentes:

(1) D(A) est Lie-admissible.

(2) L'une des assertions suivantes est satisfaite:

(al) B = {O}

(a2) Si dirh K B = 1 alors A2 est une K-algèbre 'de Lie de dimension

deux dont la structure dst donnée par: eO el = el= - eleO.ei2 = 0, i = 0 ,1 ou

A2 est une K-algèb~e de Lie de dimension trois dont la stru~ture esl donnée par:

29

el e2 = Co = - c2c 1 ' tous les autres produits étant nuls.

(a3) Si dimK B = 2 alors A2 cst unc K-algèbre dc dimension trois

dont la structure est donnée par eO e2 = eO= - e2cO . el e2 = - cl = - c2e 1 . tous

les autres produits étant nuls.

(a4) Si dimK B = 3 alors A2 est une K-algèbre dc Lie de dimension

trois dont la structure est donnée par:

eo el = e2 = - el cO, Co e2 = a el = - e2eO '

el c2 = ~ Co = - c2c I . a~:t:- O. tous les autrcs produits étant nuls.

En cffet , si D(A) cst Lie-admissible alors d'après le lemme 2.2.3 .

dimK B est inféricure ou égal à trois. Ainsi d'après les lemmes 2.2.4, 2.2.5. ct

2.2.6, on a (a2), (a3) ou (a4); sinon B = {a} c'est-à-dire (1) implique (2).

Réciproquement si B abélien alors D(A) est trivialement Lie-admissible.

Si (a2) , (a3) ou (a4) est vraie alors d'après la remarque 2.1.8 , 0(/\) est

Lie-admissible et le théorème est démontré.

CHAPITRE III

Autour d'un théorème de TITS cr 13])

Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux,

A une K-algèbre de dimension finie et D(A) sa dupliquée non commutative.

L'objectif de chapitre est de montrer que si A2 est isomorphe à la K-algèbrc de

Lie simple de dimension trois (noté Y) alors D(A) est Lie-admissible et D(A)

est une sous-algèbre d'une K-algèbre de Lie construite suivant un procédé de

Tits donné par le théorème suivant:

Théorème 3.0 ([ 15])

Soient BJ une K-algèbre de Jordan commutative, ID une K-algèbre de

Lie opérant sur BJ par: IDx BJ ~ BJ ,(d, b)~ d(b).

Soit < ,>: BJX BJ ~ ID une application K-bilinéaire antisymétrique vérifant

(1.1) < bb' ,b" > + < b'b", b> + <b"b, b'> = 0

(1.2) (b") = b(b'b") - b'(bb")

(1.3) [d, < b, b' >1 =< d(b) ,b" > + < b, d(b') >.

Alors la structure de K-algèbre de Lie de ID et les relations

(lA) [y ® b, y' ® b'l = (y ,y') + yy' ® bb'

(1.5) [d,y®b]=y®d(b)1

où (y ,y') = 2trace(ady)trace(ady') est la demi-fonne de Killing. clélïnissent sur

le K- espace vectoriel ID EB (Y® BJ) une structure de K-algèbre de Lie sur

laquelle opère Y pd'r :

(1.6) [y, cl + y' ® hl ::: yy' ® b.

3.1 Quclques propriétés dc la dupliquéc non commutativc.

Soient A et M deux K-algèbres , D(A) et D(M) leurs dupliqUt:cs non

commutatives respectives.

Lemme3.1.1

Si M2 =M et s'il existe un morphisme injectif de K-algèbrcs f de M dans

A2 , alors il existe un morphisme injectif de K-algèbres g de D(M') clans

D(A) rendant commutatif le diagramme suivant:

D(M) .. M = ~ 2

~M

g

*f

D(A)

où ~(x ® y) = xY , X= M ou X= A

En effet, considérons l'application K-linéaire

g : D(M) ~ D(A) , x(8) y~ f(x)® f(y) c'est-à-dire que g =f ® r . Comme le

noyau de g est Ker(f) ® M + M®Ker(f) où Ker(f) est le noyau de rd f est

injective alors g est injective. Soient xI ® YI ' x2® Y2 dans DUv1) :

(IlAog)(xl® YI) = IlA(g(xI® YI)) =

IlA(f(xI) (8) f(YI)) = f(xI)f(YI) = f(xIYI) = f(IlM(xI(8) YI)) = (foPrv1)(xl@ YI)'

Comme les xl ® Y1 (x 1 ' Y1 parcourant M) engendrent D(M) , on a :

fOIlM =IlAog ; d'où la commutativité du diagramme.

De plus g«x 1 ® YI )(x2@ Y2)) =g(x 1Y1® x2Y2) = f(x 1Y1)(8) f(x2 Y2') =

=f(x 1)f(y 1)® f(x2)f(Y2) = (f(x 1) @ f(y 1)(f(x2) ® f(Y2» ==

= g(xI® YI)g(x2 ® Y2). . .

Par suite g est un morphisme de K-algèbres et le lemme e~1 démon! ré.

32

Lemme 3.1.2

Sail i\ Llne K-algèbre. Le diagramme ci-dessous e~t commutatif.

D(A) .-.. AZ '

DA*

lm l1A

où l1A: A2 -t D(A) vérifie ~A011 A = idA2

~ A : A2 -) J111 l1A ' x~ 11 A(x) et jA est l'injection canonique et

ll11l1A = ( Tl A(x) , X E A2} . De plus ~ A est bijective.

En l'fkl, des définitions de ~A etjA' on a llA=jAo~ A'

Comme (PAojA)(lnH1A) c A2 , il existe une et une seule application

K-linéaire jl A : ImllA -t A2 telle que jl. A = ~AojA'

11 en résulte que jl.Ao~A = ~AojAo~A = J.lAollA = idA2·

Soit x dans 11l111A; il existe t dans A2 tel que x = llACt) = ~ ACt) .

Par suite 1'1 A( Ç! A (x)) = ~ A ( Ç! A(fiA(t))) =

= ~ A( Çt A(f) A(t)) = ~ A(t) = x . D'où ~ A0 Çt A = idImllA

.

Il s'en su il ~dors que Çt A et ~ A sont des bijections réciproques l'une de l'autre.

Le lemme est ainsi démontré.

Lemme 3.1.3

Soienl A et M , deux algèbres telles que M = M2 et f : M -t A2 un

morphisme injectif de K-algèbres.

Soit g : D(ivl) -t D(A) , x ® y~ f(x) ® fCy).

33

Si g(ImTl M) c lm TlA alors le diagramme ci-dessous est commutatif.

D(M) CIl llM M = ~.i

9 * f

Proposition 3.1.4

Soient A et ~1 deux K-algèbres. DCA) = A2

D(A) ..........I------ A2

Les notations utilisées sont celles des lemmes précédents.

En effet, comme g (lm Tl M) c lm TlA ' il existe une et une seu le

application K-linéaire g : lm Tl M ~ lm l'lA telle que j A0 g =gojM .

Par suite goj MO~ M = jAog 0 ~ M . Ceci nous dit que

gol1 M =jAog o~ M' D'où IlAogoTl M =IlAojAog o~ M'

Puisque IlAog = fOIl Met Jl A = IlAoj A '

on obtient fOIl MOTl M = Il A0 g 0 ~ M

et par suite f = Jl A0 g 0 ~ M . Il en résulte que

~ Aof = ~ A0 Jl A0 g 0 ~ M = g 0 ~ M car ~ A0 Jl A = idA2 .

Il s'en suitquejAo~Aof=jAog o~ M c'est-à-direjAo~Aof= goj MO~

D'où Tl Aof =goTl M et le lemme est démontré.

X ND(A),cp"

~ d

D(M) = M2 X NO(M) leurs dupliquées non commutative~ respeclives . DansCPM . •

les conditions du lelnrrie 3.1.3, on a: <PA(f(x), f(y)) = g (~M (x. y))

pour tous x , y dans M.

En effet, cp A(f(x) , Fey»~ = 11A(f(x»11A(f(y» - 11A(f(x) Fey»~ =

= 11A(f(x) 11A(f(y» -11A(f(xy» =(11Ao f) (x) (11A0f) (y) - (11Ao n(xy).

Comme 11A of = g 0 11 M et g est un morphisme de K-algèbres , on a :

cp(f(x) , Fey»~ = (g 0 11 M) (x) (g 011 M) (y) - (g 0 11 M) (xy) =

= g(11 M (x) 11 M (y) -11 M (xy» .

Par suite cpA (f(x) , Fey»~ = g (cp M(x , y» pour tous x , y dans M .

Cl désignant une variété de K-algèbres(associatives , alternatives, de

Jordan etc) on a le résultat suivant:

Corollaire 3.1.5

Soient A et M deux K-algèbres telles que M2 = M et f un isomorphisme

de K-algèbres de M dans A2. Si g (lm11 M) c lm 11 A

où g : x ®y~ f(x) ® Fey) de D(M) dans D(A) , alors les conditions suivantes

sont équivalentes.

(i) D(A) est une K-algèbre dans la variété Cl.

(ii) D(M) est une K-algèbre dans la variété Cl.

En effet, f étant un isomorphisme de M sur A2 ,

g : D(M) --) D(A) , X ® Y~ f(x) @ Fey) est un morphismé injectif der -~

K-algèbres de D(M) détns D(A) . Il en résulte que D(M) esnsohlOrpllC à une

sous-algèbre de D(~) . Ceci nous dit que si D(A) est dans t~ vrlriété Cl , il en est

de même de D(M) "D'où (i) implique (ii).

Réciproquement si D(M) est dans la variété Cl , nous savons que M2 = M est

aussi dans la variété Cl. Comme A2 est isomorphe à M , i2 est dans la variété~ ',:.

Cl. La relation cpA([(x) , Fey»~ = g(cp M(x , y» quels que soient x , y dans M

\ ;

nous dit alors que D(A) est aussi dans la variété Cl .

35

Proposition 3.1.6

Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux et Y

une K-algèbre de Lie simple de dimension trois.

Si A est une K-algèbre telle que Y soit isomorphe à A2

alors O(Y) est isomorphe à une sous-algèbre de O(A) =A2 X ND(A) etCPA

<PA(f(x) , f(y» = g (q>y(x , y)) pour tous x , y dans Y où f est l'isomorphisme de

K-algèbres Y ~ A2 et g : O(Y) ~ O(A) , x ® y~ f(x) ® f(y) .

Pour prouver ce résultat, il suffit de montrer que g(Jm lly) c Iml1 A et

utiliser le lemme 3.1.3 et la proposition 3.1.4 . Soit donc {eO ' el' c2} une base

de Y pour laquelle la table de multiplication de Y est donnée par:

eOel = e2 = - eleO' eOe2 = el= - e2eO' ele2 = eO = - ~el les autres produits

étant nuls (cf 2.1.3).

Soit lly: y ~ O(Y) définie pout tout x = xOeO + xlel + x2e2 dans Ypar:

lly(x) = xOe l ® ~ + x 1 Co ® e2 + x2 eO® el . II est immédiat que lly est

K-linéaire et J.lyOllV = idA2 . De plus on a O(y) = y X NO(Y) oltCPy

<py(x , y) = lly (x)~y(y) - lly(xy) pour tous x, y dans Y .,

Comme {f(eO)' f(b l ), f(e2)} est une base de A2, considérons

llA : A2 ~ O(A) ~éfihie pour tout x = Xo f(eO) + xl f(e 1) +x2f(~ 2) dans A2

par llA(x) = Xo f(ei)® f(~) + xl f(eO) ® f(e2) + x2 f(eO) ® f(el) .

On a alors D(A) =A2 X NO(A) où <PA(x, y) = llA(x)l1AY) -llA(xy).. .• cp A

pour tous x , y dans A2 .

lm llA est engend~é par f(eO)® f(el) = g(eO ® el) , f(eO) ~ f(e2) =g(eO® e2) et

f(e 1) ® f(e2) = g(e ®e2)' Comme eO ® el' eO®e2 et el®c2

36

engendrent lm T\y , on a g(lm 'ly) c ImT\ A .

Corollaire 3.1.7



Si A est une K-algèbre teIle que A2 soit isomorphe à Y

(en tant que K-algèbres) alors D(A) est Lie-admissible.

En effet, les conditions de la proposition 3.1.6 sont vérifiées et comme

D(Y) est Lie-admissible (cf 2.1.3) , d'après le corollaire 3.1.5 , D(A) est Lie

admissible.

3.2 Du théorème fondamental.



Soit BJune K-algèbre de dimension finie p ;!; adont la table de

multiplication relative à une base { b i } , i = a, 1 ,... , p-l est donnée par:

bO2 = bOet tous les autres produits nuls. Désignons par S le sous-espace

vectoriel de BJ engendré par b l ,... , bp_1' On note que BJ est ulle algèbre

commutative et que BJ S = ( X)< XE 8 J ' Y ES} = {a} .

De plus KbOest un idéal de BJ et BJ est une

K-algèbre associative et donc de Jordan.

Pour tous x , y dan_:s !3J' la dérivation intérieure de BJ définie par le couple

(x , y) est < x , y > : Z~ x(yz) - y(xz) ([ 15]) .. .

Comme BJ est c6mmutative et associative, l'ensemble des dérivat ions

intérieures de BJ est lM BJ = {a}.

37

Soit rD le sous-espace vectoriel de EndK8 J dont les éléments d vérifient:. .

d(bO) = 0 et pour tout i = l, ... , p-l, d(b i) = a~bi ' a~E K . Montrons d'abord

que ID est un ensemble de dérivations de 8 J . Soient d dans ID , x , y dans 8 J ;

comme xy E KbOet d(x) ES, on a d(xy) =0 , d(x) y = 0 et xd(y) =0 .

Par suite x dey) + d(x)y = 0 + 0 =d(xy). Si d et d' sont dans ID ,. . ..d(d'(bO)) = d(O) = 0 et d(d'(b i)) = d (a~, b i) = a~, d(b i) = a~, a~b i =d' (d(b i))

pour tout i = l ,... , p-l. Ainsi dod' =d'odE ID . Par suite ID est une K-algèbre

commutative de dérivations de 8 J .

Proposition 3.2.1

Le K-espace vectoriel E = IDEB (Y ® 8 J) muni de la multiplication:

[d + y ® b, d' + y' ® b'] = y' ® d(b') - y ® d'(b) + yy' ® bb' est une K-algèbre de

Lie. Les notations utilisées étant celles qui précèdent.

En effet, soient d + y ® b , d' + y'® b', d" + y"® b" dans E

[d + y ® b , d + y ® b] = Y® d(b) - y ® d(b) + yy ® b2 = 0 + o® b2 =0 .

On a donc

(i) [d + y ® b , d + y ® b] = 0 pour tout d + y® b dans E.

[[d + y ® b , d' + y' ® b'] , d" + y"® b"] =[y' ® d(b') - Y® d'Ch) + yy' ® bb', d"+y"® b"] =

= -y' ® d"(d(b')) + y ® d"(d'(b)) - yy'® d"(bb') + y'y"® d(b')b" - yy"® d'(b)b"

+ (yy')y"® (bb') bIt =

=-y' ® d"(d(b')) + y ® d"(d'(b)) - yy' ® d"(bb') +(yy')y"® (bb')b".

De même [[d' + y'®, b\ d" + y"® bIt] ,d + y ® b]

=-y"® d(d'(b")) +y'~ d(d"(b')) - y'y"® d(b' b") + (y'y")y ~ (b' b") b et;- ,

[[d" + y"® b", d + y @ b] , d'+ y' ® b']=

= - y ® d'(d"(b)) + Y"® d'(d(b")) - y"y® d'(b"b) + (y"y)y'® (b"b)b' .

. "

38

Ainsi JE (d + y® b , d' + y'® b', d" + y® b") =

=-y' ® d"(d(b')) + y ® d"(d'(b)) - yy' ® d"(bb') + (yy')y"® (bb')b"

- y"® d(d'(b")) + y'® d(d"(b')) - y' y"® d(b' b") + (y' y")y® (b' b") b

- y® d'(d"(b)) +y"® d'(d(b")) - y"y® d'(b"b) + (y"y)y'®(b"b)b'.

Comme les dE D commutent, B1 BJ =KbOet BJ est associative ct

commutative, on a : JE (d + y® b, d' + y'® b', d" + y"® b") =

Jy (y , y' , y")® bb'b" = o® bbb". On a ainsi:

(ii) JE (Xl' X2 , X3) =0 pour tous Xl' X2 , X3 dans E.

De (i) et (ii) , il vient que E est une K-algèbre de Lie.

Proposition 3.2.2

Y opère sur la K-algèbre de Lie E =ID œ(Y ® BJ)

par: [y , d' + y' ® b' ] = yy' ® b'.

En effet, soit p :y-~ EndK (E)

y~ Py : E~ E

d' + y' ® b'~ yy' ® b' = [y , d' + y' 0 b' 1.

Soient YI' Y2 dans Y et a dans K. Pour tout d' + y' ® b' dans E

[a YI ' d' + y' ® b' J =(a YI ) y' ® b' =a (YI y') ® b'

= a [ YI' d' + y' ® b' ] el p =a pa YI YI

[YI + Y2 ,d' + y' ® b' ] =(YI + Y2 )y' ® b' = YI y' ® b' + Y2 y '(8) b'

= [YI' d' + y' ® b' ]+ [Y2 ' d' + y' ® b' ] et donc p =p + P .• YI+Y2 . YI Y2

Par suite pest K-liriéaire .

De plus [YI Y2' d' + y' ® b'] = (YI Y2)y'® b' =(- (Y2y')YI - (y' YI)Y2) ® b' car Y

39

est de Lie. D'où [ YI Y2 ,d' + y'® b'] =YI ( Y2y')®b' + Y2(Y'Y 1)® b' =

= YI (Y2 y') ® b' - Y2( YI Y') ® b' =

par suite p =[p ,p ]. On a ainsi montré que p est un morphisme de LieYI Y2 YI Y2

et c'est ce qu'il fallait.

Théorème 3.2.3

Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de deux

Soient A une K-algèbre de dimension non nulle n et Y une K-algèbre de

Lie simple de dimension trois.

Si A2 est isomorphe à Y (en tant que K-algèbres) alors il existe une

K-algèbre de Jordan 8 J non nulle de dimension p telle que

ID œ(Y ® 8 J) soit une K-algèbre de Lie sur laquelle opère Y par:

Py(d' + y' ® b') =yy' ® b' où ID est une K-algèbre de dérivations de BJ

contenant les dérivations intérieures. De plus D(A)- est isomorphe à une

sous-algèbre de ID œ(Y ® 8 J) .

En effet, soit f: Y ~ A2 un isomorphisme de K-algèbres. D'après 3.1 ,

g : D(Y) ~ D(A) , x ® y~ f(x) ® Fey) est un morphisme injecl if de

K-algèbres et <PA (f(x) , f(y)) =g (<py(x , y)) pour tous x , y dans Y. De plus

D(Y) et D(A) sont Lie- admissibles. D'après 3.1 ,3.2.1 et 3.2.2 il reste à définir; .~

un morphisme injectif de K-algèbres de D(A)- dans ID œ(! ® 8 J) .

Soit { eO ' el' e2 } une base de Y. Comme c!>y (CO ,C 1) , <Dy (cO, e2 ) et

C!>y (el' e2) sont linéairement indépendants dans D(Y) (cf2.1J). il existe une

base 80 u 81 de D(A) où Ba = {f(eO) , f(eO) , f(e2)} est une base de A2 et

40

B} = {A(f(eO ) , f(e} )) , A (f(eO) ,f(e2)) ,A(f(e}) , f(e2 )) , 1117 ' ... ,

mn21

est une base de ND(A) . Soit Fa uF2 ,une base de ID EB (Y ® BJ) où

FO= { e· ® b· } , i = a , l , 2 ; j = a , l , ... , p-1 et F2 est une base dc 1D.1 J

Comme la dimension n2 de D(A) s'écrit n2 =3q , n2 = 3q + 1 ou 112 =3q + 2

pour un enticr q , discutons suivant les cas.

Cas où n2 =3q .

Posons dimK 8 J =q. Soit F: D(A) ~ ID EB (Y ® 8J) ,

f(X) + m~ 2X® bO- 2 (X - 2 (012 eO + 002 cl + 001 c2)) ® bl où

m =00} A(f(cO) , f(e 1)) + 002 A(f(cO) , f( e2 )) + 012 A(f(c 1) . f( c2))

+. l ~3i+k m3i+k . On vérific facilcmcnt quc F cst K-linéairc .l=~ ...~-l

k-I,L,3

Soit f(X') dans A2 où X' =x'o eO + x'} e} + x'2 c2 et

m' = a'Ol A (f(eO)' f(c i )) + a'02 A (f(eO)' f( e2)) + a'12 A(I'Cc I), f(e2))

+. l P'3i+k fi3i+k dans ND(A) . Alorsl=~"'J.,q-1k-I,L,3

[f(X) + m , f(X') + m' ] =[f(X) , f(X')] + A(f(X) , f(X')) ==':_,

f([X , X']) + (xO x' l - xI x'O)A(f(eO ' f(e l )) + (xOx'2 - x2x''o)A(((cO) , f(c2)) +

(Xl x'2 - x2 x'I)A(f(e l). f( e2))' Ainsi F([f(X) + m, feX') + in']) =

=2[X • X' l®bO- 2 ([X, X' ] - 2 «xOx'l - xI x'O) e2 +

(xO x'2 - x2 x'O)e 1 + (x 1 x'2 - x2 x' l )e0))® bl . Comme [X , X' 1= 2XX' =. ,

2 «xO x' 1- Xl x'o ) ('2 + ( xOx'2 - x2 x'O) CI + (x 1 x'2 - x2 )(' 1) cO) ,

on a F([f(X) + fi , f(X') + m' ]) =2[X , X' ]® bO=4XX' (8l bO'

Des multiplications dc B , Y et IDEB (Y® BJ) , il vient que,

41

[F(f(X) + m) , F(f(X') + m') 1==2[X , X' ]® bO 2 =4XX' ® bO =F([f(X) + m , f(X') + m' ]) c'est-ü··dire Fest

un morphisme de K-algèbres de D(A)- dans ID œ(Y ® BJ) .

Enfin, si F(f(X)+m) =0 , comme bO ' b l' ... , bp_1 constituent unc base de B,

on a ( [4]) , X =0 , X - 2(a12 eO + a02 el + aO 1 e2 ) =0 et

~3i+l eO + ~3i+2 el + ~3i+3 e2 = 0, i= 2, ... , q-l.

Par suite X =0, al2 =a02 =a01 =0; f3:3i+l =~3i+2 =~3i+3 =0,

i =2, ... , q-l . Ainsi F(f(X) + m) =0 implique f(X) + m =0 . Par su ite Fest

injective. F étant un morphisme injectif de K-algèbres de D(A)- dans

ID œ(Y ® BJ) , D(A)- est isomorphe à F(D(A)-) .

Dans le cas où n2 =3q + l, posons dimK BJ =q+ 1 et pour r(X) + m =

f(X) + Ual <IlA (f( eO ) , f(el )) + a02 <IlA (f( eO ) , f( e2 )) +

a12 <IlA (f(el ), f( e2)) +._ L ~3i+k m3i+k + ~3q+l m3q+l ' on posel-~"'S-l

k-l.L,3

F(f(X) + m) =2X ® bO - 2 (X - 2(Ual e2 + a02 el + a l 2 eO)) ® b l +

._ L _ ~3i+k ek-l ® b i + ~ 3q+l Co ® bq .1-2....S 1

k=l,L,3

Dans le cas où n2 =3q+2, posons dimK BJ =q+l et pour tout

f(X) + m = f(X) + aO 1 <IlA(f(eO ' f(e 1)) + a02 <IlA (f( eO) , f(e2))

+ Cl12<IlA (f(el) , f( e2 ))

+ ._ L _ ~3i + k m3i + k + ~3q+1 m3q+1 + ~3q+2 m3q+2'l-~..."q 1

k-l.L,3

on pose F(f(X) + 01) == 2X®bO - 2(X - 2(aOle2 + Ua2 el + a l 2 C'O))® b l +

._ l ~3i+k ek_l ®b i + ~3q+ 1 eO ® bq + ~3q+2 è'} ® bq'l-~..."q-l

k-l.L.3

Comme dans le ca n2 = 3q , on montre que F est un morphisme injectif de

42

K-algèbres de D(A)- dans IDEB (Y ® BJ). Le théorèr:ne est ainsi démontré

Exemple 3.2.4

Soit A la K-algèbre de dimension 4 dont la table de multiplication

relativement à la base {eO •el •e2 •e3} est donnée par:

el e3 =el ' e2 e3 =e2 ' tous les autres produits sont nuls. A n'est pas une

K-algèbre de Lie. Mais A2 qui est engendré par: Co ' el ' e2 est isomorphe à Y

(K-algèbre de Lie simple de dimension trois) et D(A) est Lie-admissible.

Soit B} une K-algèbre de dimension 6 dont la table de multiplication

relativement à une base { bO •b 1 ' b2 • b3 • b4 ' bS} est donnée par 1\) 2 = bOet

tous les autres produits sont nuls. BJ est alors une K-algèbre commutative et

associative. Considérons le K-espace vectoriel Y ® BJ muni de la slructure de

K-algèbre définie par: [y ® b • y' ® b'] = yy' ® bb' . Y ® B} est alors une

K-algèbre de Lie sur laquelle Y opère par: Py(y' ® b') =yy' @ b'.

Soit B= {eO ' el' e2 • cI> (cO, el) ,cI> ( eO ' e2 ) , cI> (el' e2) • m7 ..... m16 }

une base de D(A) et Fa ={ei® bj } , i =a, 1 • 2 et j =a,1,,' 2 , 3 , 4 ,Sune

base de Y ® BJ . Soit F =D(A) ~ Y® B} définie pour tour"

X + m =X + aO1cI> (eO •el ) + a02 cI> (cO, e2 ) + a 12 cI>(ë 1 ~ e2 )

+ i=h 4 ~3i+k m3i+k + ~ 16m16 par: '.k=l:2',3

F(X + m) =2X® b() - 2 (X - 2( a 12 Co + a 02 el + nal e)))® b1 +

i=h4 133i+k ek-l ~ bi + 13 16 eO ® b 5"k=1)',3

F est un morphisme injectif de K-algèbres de D(A)- dans Y ® BJ .

Il vient que D(A)- est isomorphe à une sous-algèbre de Y ® BJ .

43

44

CHAPITRE IV

De la Décomposition de Peirce au sens de Micali-Ferreira .

Dans ce chapitre, nous donnons une caractérisation des algèbres de

dimension finie dont la dupliquée non commutative admet une décomposition

de Peirce au sens de Micali - Ferreira . Nous caractérisons également les

algèbres de dimension finie qui admettent une décomposition de Peirce au sens

de Micali-Ferreira , dont la dupliquée non commutative est Lie-admissible.

4.1 Rappels: Décomposition de Peirce.

Définition 4.1.1([7])

Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre . Le noyau N(A) de A

est l'ensemble des éléments r de A tels que (r , x , y) =(x , r , y) =(x , y , r) =0

pour tous x ,y dans A . Le noyau alternatif Nal(A) de A est J'ensemhle des

éléments r de A tels que (x , r , x) =0 et (r, x , y) =(x ,r , y) =(x , y , r) pour

tous x , y dans A .

Lemme 4.1.2 ([7])

Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre . Les propositions

suivantes sont équivalentes.

(1) e est un idempotent de A et e E N(A)

(2) A =A Il EB Al 0 Œ AO1 EB Ano (somme directe de K-csp~\ces

vectoriels) où

A ij = {XE A , ex =IX , xe =jx} , i ,j =0 ,let les relations suivantes sont

satisfaites:

Aij Akl C Ùjk Ail . i ,j , k , l =0 , 1 où Ùjk = 1 si j =k . Ùjk=0 si j ;t k.

45

Lemme 4.1.3 (l7D

Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre. Les propo:-\itions

suivantes sont équivalentes:

(1) e est un idempotent de A et e E Nal(A)

(2) A = AlI EE> AIOœ A 01 œ AOO (somme directe de K-espaces

vectoriels) où Aij = {x E A ,ex =ix ,xe =jx} , i ,j =0, l et les relations

suivantes sont satisfaites:

Aij Aij C Aji ' i ,j = 0 , 1 : AijAjl C Ail ' i, j , 1= 0, l:

AijAkl = 0 ,j * k , (i ,j) * (k , 1) .

Soit e un idempotent d'une K-algèbre A. Si e E N(A) alors e E Nal (A) .

Si le lemme 4.1.3 est vérifié, nous disons que A = AII EBA 1OEBAO1 EBA OO est la

décomposition de Peirce de A au sens de Micali-Ferreira relativement à

l'idempotent e.

(R) : A = AI EB Al EB AO(somme directe de K-espaces vectoriels) où2

A i = [x E A , ex =ix =xe} , i =0 ,let Al = {x E A , e~ + xe = x J.2

Les Ai' i = 0 , l, 1 vérifient les relations suivantes CI 14D.

AlAoC AI EB Al2 2

Décomposition de Peirce au sens usuel

Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de deux,

contenant au moins quatre éléments distincts. Soit A une K-algèbre à

puissances associatives et e un idempotent. Alors

1

1

1

1

1

1

l'

1

J

~

46

(4) A1Al cAl G1 AO2 2

(5)A·A·cA·tf)A· i,j=O,l1 1 - 1 J

(6) si Xi Yi == zi + Zj et Yi Xi == z'i + Z'j alors Zj == - Z'j , i , j =0,1.

De plus si (e , e , x) == (e , x , e) = (x , e , e) == 0 alors

(Re) : A == A Il E9 A IO E9 AOI tf) AOO (somme directe de K-espaces vectoriels)

où Aij == {xij E A , eXij == ix , Xij e =jx } , i, j =0,1 et les Aij , i , j =0 , l

vérifiant des relations plus fines que celles ci-dessus citées ([2]) . Notons que si

(R) et (Rc) sont deux décompositions d'une K-algèbre A relativement à un

idempotent e, on a Al =AlI' Al == A1oEt> 1\01 et AO=AOO ' Nous dirons que2

la relation (R) ou (Rc) est une décomposition de Peirce de A au sens usuel.

Exemple 4.1.4

Soit A une K-algèbre de dimension quatre dont la table de multiplication" ," 4-relativement à une base {eO ' el' e2 ' e3} est donnée par: ..

e02 =eO' eO el= el' e l e2 == e3 == - e2 el' e2eO == e2' les autres produits sont

nuls. On vérifie que A est à puissances associatives; eO est un idempotent de A

vérifiant (eO' eO ' x) == (eO ' x , eO) == (x , eO ' eO) == a pour t~us x , y dans A .

Par suite, A possède uMe décomposition de Peirce au sens rlsUêl (R c)

relativement à eO donnée par:

A == AlI tf) A IO E9 AOI G1 AOO où

AlI == Kea, A la == Kel ' AOl =Ke2 ' AOO == Ke3' fvlais comme

(eo ' el ' e2) == e3 ét (e 1 ' eO ' e2) == 0 , A n'a pas de décomtositioll cie Peirce au

sens de Micali-Ferréird relativement à eO .

47

4.2 Décomposition dc Peircc et Dupliquéc non commutativc .

Dans ([ 10 ]) , il est donné une caractérisation des algèbres dOllt la

dupliquée non commutative est à puissances associatives. Par suite si A est ulle

telle algèbre, les décompositions de Peirce de A2 et celles de D(A) sont

connues. Nous donnons ici d'une part une caractérisation des algèbres dont la

dupl iquée non commutative admet une décomposition de Peirce au sens de

Micali-Ferreira ct d'autre, part une caractérisation des algèbres admettant une

décomposition de Peirce au sens de Micali-Ferreira dont la dupliquée non

commutative est Lie-admissible.

Soient K un corps commutatif de caractéristique différentc de cieux. A

une K-algèbre ct D(A) = A2~ ND(A) sa dupliquée non commutati\'c . Tl est

alors immédiat que les assenions tic est un idempotent de A2" et "(c. 0) est un

idempotent de D(A)" sont équivalentes. Pour une raison de cOlllnlCldité . nous

considérons ici les éléments de D(A) camille des couples.

Lcmme 4.2.1

Soit e un idempotent de A2. Alors les assertions suivantes sUllt

équivalentes .

(1) (e, 0) E Nat D(A)

(2) D(A) = 0 11 EB 010 EB 001 EB 0 00 (somme directe de K-cspaccs

vectoriels) où Dij =

{(x.. m .. ) E D(A)/ (e O)(x.. m··) = i(x·· m.. )IJ' IJ 'IJ' IJ IJ' IJ'

(xij' m ij)(e, 0) =j(xij ,Ill ij)} pour i ,j = 0.1 . Les Dij , i ,j = 0.1 vérifient:

Dij Dij c Dji ' i ,j = 0 ,1 ; Dij Dj1 c Dil ' i ,j , 1= 0 , 1

Dij Dkl = { 0 } ,j / k ; (i ,j) :t:- (k , 1) .

(3) e E Nal (A2) ct pour tous x , y dans A2,

<p(ex ,y) = <p(e , xy) ; <p(xe ,y) = <p(x ,ey) ; <p(xy ,e) = <pU . ye)

4R

La démonstration dc cc théorème résulte dc la muitiplicatiull de

O(A) = A2 ~NO(A) et du Lemme 4.1.3 .

Soit A une K-algèbre telle que O(A) possède une décompo~ition dc Peirce

au sens de Micali-Ferreira O(A) = °11 EB 010 EB 001 EB 0 00 relativemcnt à un

idempotcnt (e, 0) et soit A2 = (A2)11 EB (A2)10 EB (A2\)IEB (A2)OO la

décomposition de Peircc de A2 au sens de Micali-Ferreira relativcmcnt à

l'idempotent e.

Nous poserons (A2) ij = Bij , i ,j = 0 , 1.

Lemme 4.2.2

0 11 = {(x, <p(e, x)), XE Bll ct <p(e, x) = <p(x, e)}.

Eneffet,si(xII,mll) E 0 11 ,(e,O)(xII ,mll)=

(e x Il' <pee , x )) = (xII' mIl) et (xII' XIl) (e , 0) = (x Il e ,<p (x 11 ' e)) =

(x Il ' mIl)' D'où xII E BII et <P(xII ' c) = <pCc , XII) = mIl et p;tr suite

0 11 C {(xI1,<p(e,xll)),xll E Bll et<p(e,xl1)=<p(x11,e)}.

Soitxll E Bll telque<p(e,xll)=cp(xll,e).

Alors (xII' <pee, XII)) (e, 0) = (XII e ,<p(x Il ,e)) =

= (xII' <P(xil ,e)) = (cx ll ' <p(e, XII)) = (e, O)(xI I ,<P(x 1I ,e)).

Par suite Dl 1 = {(xll,<p(e,xll)),xlIE Bll et<p(e,xll)=<p(xll,e)}.

Lemme 4.2.3

DIO = {(x, tp(e, x)), XE BIO et <pC x, e) = O} .

001 ={(x,~(x,e)),xEBOl et<p(e,x)=O}

49

En effet, si (xIO' mlO) E DIO' on a

(e, O)(xIO' mIO) = (exIO' <p(e. xIO)) = (xIO' <p(e, xIO)) et

(x 10' mIO)(e, 0) = (xIOe . <P(xIO' e)) = (0,0);

anisi xI0 E DIO et <P(xIO' e) = O.

Réciproquement si xIO E BIO et <P«xIO' e) =0 alors

(e , O)(x 10 ' <pee , xIO)) = (ex 10 ' <pee , Xl 0)) =(xl 0 ' <pee . Xl 0)) ct

(xIO' <p(e, xIO)) (e, 0) = (xIOe , <P(xIO' e)) = (0,0).

D'où (xIO' <p(e, xIO)) E DIO'

On montre de même que

001 = {(xOl ,<P(xOl ,e)),xOIE BOl et<p(e,x01)=0}.

Lemme 4.2.4

0 00 = BOO XNO(A) (produit d'espaces vectoriels) .

En effet ,si (xOO . mOO) est dans 0 00 ' (e ,0) (Xoo ' mOO) =

(exOO ' <pee , x)) = (0 ,0) ct (xoo • moo)(e ,0) = (xOO e , <p(XOo . e) = (0 , 0) .

Par suite Xoo E BOO et <p (xOO ' e) = <p(e , xoo) = 0 . Ainsi 0 00 c BOO x ND(A) .

Montrons maintenant que BOO x NO(A) c 0 00,

Soit (x ,m) E (BOO x NO(A)) n (0 11 EB 001 EB DIO) . Il existe y Il E BII ,

zIO E BIO' ZOI E BOl tels que

(x. m) = (YI l' <p(c. XII)) + (1.01' <P(1.OI' e)) + (1.10' <p(e. 1.10))'

Alors, d'une part (e ,O)(x , 01) = (0 , <pee , x)) =

(YII ' <pee 'YII)) i. (zIO' <pee ,zIO)) =

= (YII + zIO' <p(e, YII) + <p(e. zI0)) et ceci nous dit que Yll + 1 10 = 0;

par suite YII = - zlO E 8 11 n 8 10 = (O} ; d'autre parl (x ,m)(e, cn =

(0, <p(x ,e)) = (YII ' <P(YII ,e)) + (zOI ' <P(zOI ,e» =

= (y Il + Zo l' <pCe , y II ) + <p(ZO l ,e)).

D'où Y Il +zOI =0 et,parsuiteYll =-zOl E B11 nB01 = fOl.

On obtient ainsi x = Yll + zOl + zlO = 0 et

m = <p(e, YII) + <pee ,zlO) + <P(zOI ,e) = O. On a alors

(BOO x NO(A»n(011 EBOOI EBOIO)={(O,O)} . Il vient alors que

BOO x NO(A) = (BOO x NO(A» n O(A) c

(BOO x NO(A)) n (0 11 EB 001 EB DIO) + (BOO x NO(A) n 0 00 c 0 00

Remarque 4.2.5

Nous avons les égalités suivantes:

<pee , x) = <p(x , e) pour tout x E B11 ;

<p(x , e) = 0 pour tout x E BIO;

<pee , x) = 0 pour tout x E BOl;

<pee , x) =<p(x , e) =0 pour tout x E BOO'

Lemme4.2.6,..

Si e est un idempotent de A2 tel que (e ,0) E NaICb(À)) ,

on a : B Il = Ke .

. .

En effet, cdmme BII est une sous-algèbre de A2 «(fone de A) et

2'B11 = B 1l ,on (1 O(B11) = B11~ ND(B 11) c A2~ Nri(A) (en. 1. 1).

. ,

De plus No(S II) est engendré par les <p(x , y) , x . y E B11 ([ 10 /) .

-, .~

50

51

Soicnt (x . <pCc . x» ct (y , <pCc . y)) dcux élémcnts dc 0 Il

on a (x , <pee , x)) (y . <pcc .y)) =(xy , <p(x , y)) est dans 0 11 car D Il est unc

sous-algèbre dc O(A) . D'où (c , O)(xy , <p(x ,y)) = (xy , <p(x , y» =

(e(xy) , <p(c , xy» ct (xy , <p(x , y))(e ,0) =(xy , <p(x , y)) = «xy) c . cr(xy . c)).

Par suite <p(x , y) =<pee . xy) =<p(xy ,e) pour tous x ,y dans Bl1 .

Soit {eO' el ' ... , ek-l } une base de Bl1 où Co =e.

Comme Ics <p(x , y) =<p(cO . xy) , x , YE BIl engendrent NO(B Il) .

les <p(cO . CiCj) , i ,j =0 . l , ... ,k-I engendrent NO(B 11) .r=k-)

Puisque eicJ' = l a~J' cr . ND(A) est donc cngendré par lesr=()

r=k-) r=k-)<p (cO, l ur

J· e r) = l urJ·<p(eO' e r) . Par suitc dimK NO(B 11 ) :; k .

r=O r=O

Il cn résulte que k2 - k ~k . D'où k = 1 ou k =2 .

Si k =2 . alors e12 =a Co + ~ el' a , ~ E K et ND(B 11) est cngeIl Li ré par

<p(cO' cI) =<p(el ,eO)) et <p(el ,el) =<p(eO' c1 2) = ~<p(eO' el)'

Par suite dimKNO(Bll) = 1.

Ce qui est absurdc car dimK NO(B II) =2 . On conclut donc que k = ]

c'est-à-dire BIl =Ke.

Théorème 4.2.7

Soient K un corps cornmutatifct A une K-algèbrc . Les asscl1ions

suivantes sont équivalentcs .

(l) O(A) admet une décomposition dc Pcirce au sen'; dc rvlicali-Pcrrcira

relativement à un i~erhpoteint (e ,0).

(2) dimK A~ = 1

De plus O(Â) =K(e ,0) œNO(A) .

52

En cffet , si O(A) admct unc décomposition dc Peirce au Sl'rl~ cie Micali

Ferreira relativement à un idcmpotent (e , 0) , alors de ce qui précl~d(' .011 a

O(A) =K(e, 0) EB {(x, <p(e, x)), X EBla} EB {(x, <p(x, e)), x E Bol}ED

œ( BOO x NO(A)) où A2 = Ke EB BIO EB Bal EB BOO est la décomposition de

Peirce de A2 au sens de Micali-Ferreira relativement à e. Si x est un élément

non nul dans BOO alors <p (e , x) = e ® x =1:- a . Ceci contredit le fait que:

<p (e , x) =a pour tout x dans BOO donc BOO = {a}.

Si x est un élément non nul dans 8 01 alors <pee , x) =e®x =1:- O. Ceci conlrcdit le

fait que <pee , x) =a pour tout x dans Bal ~ donc Bal = (a) .

On montre de même que BIO = {O} Ainsi A2 = Ke.

Par suite O(A) = K(e , O)EB NO(A) . La réciproque est évidente.

Lemmes 4.2.8

Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux et A

une K-algèbre telle que A2 soit Lie-admissible. Si A2 est non abélien et

dim K(A2)2>4 alors O(A) n'est pas Lie-admissible.

En effet, comme dimK(A2)2 >4 , il existe dans A2, au moins qualre

vecteurs ei ' ej , ek ' ep linéairement indépendants tels que quatre au moins des

produits eiej , eiek ' eiep , ejek ' e/p ,..... soient non nuls et distincts.

Soit alors ei ' ej , ek ' ep , fI ' ... , fn une base de A2 . Désignons par 8 le

sous-espace vectoriel de A2 engendré par ei . ej , ek . ep ef par V le sous-espace

vectoriel de A2 engendré par fI ' ... , fn .

Si B est un~: so~s-algèbre non abélienne de A2, on mOI~tre comme dans

(2.2.3) que O(A) ~'est pas Lie-admissible.

Si B est uné sous-algèbre abélienne de A2, il existe l' dans (i , j , k , p)

53

et r >1 tcls que [ci' , fr 1"# a ou bicn

il existe r' ,s' dans {1, ... , n} tcls quc [Fr' , fs'] "# a .

Si [ci' , fr 1"# a, écrivons [ei' , fr ] = x + y"# 0 , x = Xiej + x/j + xkck + xpcp

s=ndans B et y = L Y/s dans V . Alors <1>[ f l =

s=1 " ei" r' ek

= [e i" fr]® ek - ek® [ci" fr] + [fr , ek]® ei' - ei' ® [fr , ek1 =

= (x + y)® ek - ek® (x + y) + [fr , ek1® ei' - ei'® [fr , ek1 =

= x·(e·® ek - ek® e·) + x·(e·® ck - ck® c·) + x (c ® ek' - ck' ® c ) +" ., JJ .. J PP' . Ps=ns~l ys(fs ®ek - ek®fs) + [fr , ek1® ei' - ei' ® [fr , ek1 . Comme x et y ne sont

pas tous nuls, il existe iO E {i, j , k , p} ou So > 1 tels que \0 "# a ou y "# a .sa

Si Y= 0 , pour k "# iO' iO"# i' ct k "# i' on a <1>[ ., f l "# 0 .e, ' r' ek

Si Y"# 0 , pour k "# i' on a <1>[ f ·1 "# O. Ainsi D(A) n'est pasei" r' ek

Lie-admissible.

Si [Fr' , fs'] "# 0, écrivons [fr, , fs' 1= x + y"# 0s=n

dans B et y = L Ysfs dans V .s=1

x = x·e· + x·e· + xkck + x C, 11 JJ ., pp

Siy=a,<1>[f f ]"#acarxestnonnul." " ekr s

Si Y"# 0 , il existe au moins todans { l , .... , n } tcl que y "# a .to

Pour ta "# r' et ta "# s'on a <1>[ f, f, 1 "# a. Par suitc DU\.) n'est pasr . s . ck

Lie-admissible.. ..

Supposons r11alt1tenant que B n'cst pas une sous-algèbre de A2.

Considérons alors rB lB] .

Si [B. Bl cr.. B. soicnt i' .j' dans {i ,j. k, p} tcls quc [ci" cj'l = x + y i= O.s=n

x =xici + XjCj + xkck + xpcp E B ,0 i= Y= s~l y/s EV.

Alors <1>1. . ] = [Ci" CJ.,] ® cp - cp® ICi' ,cJ.'l +Cl' , cJ' , Cp

[c·, C ]® C·, - c·,® [c·, c] + [c c·,]® C·, - C·, ® [c c·,lJ' pli J' P P' 1 J J P' 1

= (x + y)® Cp - Cp ®(x + y) + ICj' ,cp1 ® Ci' - Ci' ® [cj' ,cpl +

[c c·,l® C·, - C·, ® [c c·,] =p' 1 J J p' 1

xi(Ci® Cp - cp® Ci) + x/Cj® cp - cp® Cj) + xk(ck® cp - cp® ck)s=n

+ s~l ys(fs ® cp - cp® fs) + [Cj' . cp1 ® Ci' - Ci' ® [Cj' ,cpl +

[c c·,l® C·, - C·, ®[c c·,]P' 1 J J 'P' 1 .

Commc y i= a, pour p i= i' ct P i= j' ; on a <1>1 l i= O.C·, C·, Cl ' J ' P

Si [B, Bl c B, distinguons lcs cas [B, BI = acl [B, BI i= O.

Si [B, Bl i= 0, il cxistc i',j' dans {i ,j, k, p} tcls quc

[c·, c·,] = x =x,c, + x,c, + xkck + x C dans B ct x i= al'J 11 JJ .. pp .

Alors <1> =[ci' ,Cj' ,Cp]

= Ic·, c·,]® C - C ® [c·, c·,] + le·, C l® C ., - C·, ® [c·, C 1+l'J pp l'J J'P Il J'P

[c c·,l® C·, - C·,® [c C·,] =P' 1 J J P' 1

=(x ® Cp - Cp® x) + [Cj' ,cpl® Ci' - Ci' ® ICj' ,cp] +

[c c·,]® C·, - C·,® [c c·,]=P' 1 J J P' 1

xi(ei® Cp - cp® Ci) + x/Cj® cp - cp® Cj) + xk(ck® cp - cr~ ck) +, ,

[c·, C ]® C·, - C·, 0 [C·, C ] + Ic C·,]® C·, - C·, ® [c c··l"J 'p 1 l" J' PP' 1 J J P' 1 •

Commc x i= a, il ciiste iO E (i. j , k , p) tcl quc x. i= O. 'la

54

55

Pour i' . j' . p . iO dcux à deux distincts. on obticnt $[ . :;t 0ci' . Cj' • cpl

Si [B . B 1 =O. il cxistc au moins un i'E {i , j . k , p} et r >1 tels que [ci' , frl :;t 0

ou bicn il existe r' . s' dans {l, ... , nI tels que [fr, , fs,l :;t 0 . Dans le premicr cas,

on montre alors commc ci-dessus, quc $[ " fCI ' r

1

1

1

1

1

1

J

1

~

Il

~

~

~

Si pour tout i' E {i. j , k , p} ct pour tout r > 1 [ci" fr 1=0 , il cxiste r' , s' clans

{1, ...• n} tels quc [fr" fs,]:;t O. Alors pour Cj el [fr' , fs,l indépcndants. on a

<1> = [f , , f ,1 ® C' - e· ® 1fr, , fs' 1 :;t 0 . Par sui te D(A) n'est pas[e ' f, f,] r s J J .

J' r ' s

Lie-admissiblc. Lc Icmme est ainsi prouvé.

Remarque 4.2.9

Dans le lemme précédent. la condition dimK(A2)2>4 est impOl1antc .

En effct , soit A une K-algèbre tclle que la multiplication de /\2 relativcmcnt

à unc base { el . e2' cJ . c 4' fI" ... fn } cst donnée par: fI f2 =Cl ' tous Ics

autrcs produits étant nuls. On vérific facilement quc A2 cst non abélicnnc et

Lie-admissible.

Mais <1>1 fI . f2

•cd. =[fI' f21® Ci - ci® [fI' f21 =Cl ® ei - ci® Cl :;t 0

pour i = 2 . J .4 . lJ'oli D(A) n'est pas Lic-admissible .

Considérons mainicnant unc K-algèbrc A' dont la multiplication de

A' 2 rclativcmcnt à unc base { c . el } cst donnéc par:

2e = e. CCI = el .e l e =O. e l 2 =O. On vérifie aiscmcntquc A' 2 cst

Lie-admissible. n(\n ,ibélicllllc et D(A') est Lie-ad11lissibl(~ .

Exemple 4.2.10

Soit A une k-algèbre dont la multiplication de A2 t-elativcmcnt a unc

1

1

1

1

1

(

1

1

~

~

~

~

~

~

56

base {el' c2' c3' e4' fI"'" fn } cst donnée par:

el e2 = e3 ' el e3 = e2 = e3 el'

ele4 =e3=e4e l ,elf l =e2' e2 e3= el ,e2e4=e4,touslesautrcsproduits

étant nuls. A2 est non abélienne et la multiplication de (A2)- est donnée par:

[ el' e21 = e3 = - [ e2 ' el] , [ el' fI] = e2 = - [f1 ' e 11 ,

[e2,e31=el =-[e3' e2],[e2,e41= e4=-[e4' e21 ,touslesautres

produits étant nuls. On vérifie que A2 est Lic-admissible

 =[el ,fl]@ei-ei@[el,fll+[el ,fI ,ei]

[fI ,ei ]@el-el@[fl ,ei ]+[ei, e l1@fl -f1 @rei ,el1. i =I.2,3,4.

Pouri=2ona re } ,fI ,e2]=el@~- e2@el-e3@f1 + f l @e3"i:- O.

Par suite D(A) n'est pas Lie-admissible.

Théorème 4.2.11

Soient K un corps commutatif dc caractéristique différcnte de dcux et A

une K-algèbre . Si A2 admet une décomposition de Peircc au sens dc Micali

Ferreira relativement à un idempotent e , alors les propositions suivantes sont

équivalentes:

(1) D(A) est Lie-admissible

(2) L'une des assertions suivantes est satisfaite.

(a 1) A2 = (A2)11 EB (A2\)() (somme directe d'idéaux abéliens).

(a2) A2 est une K-algèbre de dimension 3 dont la structure est

donnée par:2 c

e = e , ee 1 = el =.e 1e , ee2 = e2 = e2e ,

el e2 = a e + p e I~'" y e2' c2e 1 = a' e + pel + ye2 '2 '

el =a1e+Ple1 ~'YI e2'

1

1

1

1

~

~

~

~

~

1

57

2c2 =a2 e + ~2 el + y 2 e2

avec a ,a' , ~ , Y. 0'1 ' ~1 ' YI' ~ , ~2 ' Y2 dans K.

(a3) A2 est une K-algèbre de dimension 2 possédant l'une des structures

suivantes:

(i) e2

= e , ee 1 =el' e 1 e =0 , el 2 =0

(ii) e2

= e , el e = 0, ee 1 = el' el 2 = 0

(a4) A2 est une K-algèbre de dimension 3 dont la structure est donnée222

par : e =e, ee 1 =el' e2e = e2 ' el e2 = a e , el =~ ~ ,e2 = (5 el' a ,~ ,(5

sont dans K , tous les autres produits étant nuls,

décomposition de Peirce de A2 au sens de Micali-Ferreira relativement à

l'idempotent e.

Posons B" = (A2) .. ,i ,j = 0, 1 et supposons D(A) Lie-admissible. Alors A2. • IJ 1.1

est Lie-admissible et on peut utiliser le lemme 2.2.1 . Ainsi on distingue les cas

suivants: (*) dimK (A2)2 ~ 4 et A2 abélien ~ (**)dimK(A2)2~3 et A2 abelien;

(***)dimK(A2)2~3et A2 non abelien .

Notons que A2 = B Il EB BI OEB BO1 EB BOO est abélien conduit immédiatement

à A2 = Bll EB BOO' Il nous reste donc à examiner le cas où dimKeA2? ~3

et A2 non abélien. Comme B Il c (A2? et dimK BIl > 1 raisonnons par

rapport à la dimension de BIl'

Si dim K B11 = 3 alors d'après le lemme 4.2.8 ,

B01 EBB 10 = {O} . Soite,e l ,e2unebasedeBll'

non abélienne.

Si O":f. x E BOO alors 0 = <1>[ = [el , e2] ® x - x ® [ e ,e21=e] ,e2,xl

=8(e ® x - x ® e) avec 8 cl:. O. Ceci est absurde. D'où BOO= {O}. Ainsi A2 =B]]

est la K-algèbre non abélienne dc dimension 3 dont ]a structure cst donnéc par:

e2 = e , ec] = e] = e] e , ee2 = e2 = e2e ,

clc2 = a c + ~ e] + YC2' e2cI =at

e + ~ c] + y~ ,

2 2cI =a l c+~] Cl +Yle2' e2 =a2e+~e] +Y2c2aveca ,a',~,a] ,~]

, YI ' ~ , ~2 ' Y2 dans K . C'est le cas (a2) .

Si dimK BII = 2 , écrivons BI] = Ke EB Ke].

Si 0 ":f. e 10 E BIO alors cie 10 = e' ]0 E B] 0 ' e ]0 e 1 =0 ;

par suite 0 = <1>[ =e,el,e]OI

= [e , e]l ® e] 0 - e1d~ 1e , e II + 1el' e ]01 ® e - c® [e] ,e] 0l + le] 0 ' e]0 cI -

e]0[elO,el=e']00c-e@e']0-e]00e]+e] 0e IO'

Ceci est absurde. D'où BIO = {O} .

De façon analogue on montre quc BO] = {O}.

Par conséquent A2 = BIl EB BOO ct on vérific alors quc A2 cst néccssaircment

abélicn. Ce qui contrcdit l'hypothèsc : A2 est non abélicnnc.

Ainsi si A2 est non aocl ien et dim K BII cl:. 3 alors dimK B]] = 1.

Si dimKBll = l, alors d'après le lemme 2.2.3, din'K (BOl EB BIO) ~ 2.

Comme A2 est noh abélien, on a BIO EB BO] ":f. {Olt

Si 0 cl:. eoo E BOO considérons 0 cl:. e] 0 E BIO'

S9

Alors 0 = <1> =[c , cIO' coo 1

1e , el 0l® coo - cOO@ [c , el 01 +

[clO' eo01® c - e ® [eIO' COol = e 10® cOO - eOO® elO + e'lO® c - c® c'lO où

c'IO = [cIO' COOl E BIO' Ccci cst absurdc. Par suite BOO = [0) .

Si dimKB 10 = 2, écrivons BIO = KCl EB KC2'

Alors 0 = <1>[ 1 =e, cI' c2

=[c,cI]®c2-c2®[c.cjl+[el·c21®e-[cl,e21+

[e2,e]®cl-cl ®[c2'c]

= cI ® c2 - cl8> cI' Ccci cst absurdc . D'où dim KBij ~ 1.

Par suitc dimK BO1 = dill1K BI 0= 1 , c'est Ic cas (a4) ou bicn

dil1lKBij=dimKBji = 1 ,i:;tj ct i,j=O, 1 c'cstlccas(a3).

Nous avons ainsi démontré que (1) impliquc (2). La réciproquc sc

démontrc par applicat ion du théorèmc 2.1.2 aux algèbrcs citécs .

Remarques 4.2.12

Cl) Si A2 est la K-algèbrc dont la multiplication est définie par:2

e = c , cc 1 = cI' e2c = c2 ' tous Ics autrcs produits étant nuls. alors 1\2 cst ~l

puissanccs associatives ct sa décomposition de Pci rce au schs ùsue 1coïncidc

avec celle de Micali-Fcrrcira .

(2) Si a:;t 0 dans lc cas (a2) du théorèmc 4.2.9 alors ;\2 n'cst pas ~l

puissanccs associativcs.

60

CHAPITRE V

Sur la décomposition dc Peircc ct la dupliquéc commutativc d'unc algl'hre

de I3ernstei n .

L'objet de ce chapitre est de montrer que l'ordre de la dupliquée

commutative d'une algèbre de Bemstein d'ordre n est au plus n+ 1 et établir la

décomposition de Peirce de la dupliquée commutative d'une algèbre de

Bemstein d'ordre n relativement à un idempotent non nul. Nous généraliserons

ainsi un résultat obtenu danser 10]).

Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de cieux et ;\

une K-algèbre commutative. Une pondération sur A est un morphisme surjectif

de K-algèbres (ù de A sur K.

Une K-algèbre pondérée (A, (1) est une K-algèbre cie Bemstein c1'ordre nn

(n >0) si pour tout x dans A . x [n+2] = ((I)(x»2 x [n+11

où x [1 ] = x et x rn+ 1] = x [n 1x [n] , n = l , 2 , ...

Soit (A , (1) une K-algèbre de l3emstein d'ordre n . Comme (t) est

surjective, il existe x dans A tel que x ~ 0 et (ù (x) = 1 ;n

par suite (x [n+ 11)2 = xln +2 ] = ((I)(x» 2 x [n+] ] = x 1n+ Il c'est-~l-dire x [11+ Il

est un idempotent de A .

Soit alors e un idelilpotent de A .

On a A = Ke EB N,OÙ N est le noyau cie (ù . En posant Co = idN ' ck+ 1 = Lcock

où Le(x) = ex pouf~tout x dans N et Vk = {x EN, ek (x) = O} . k > O.i, '

onaunesuite{O}=VocVlc ... cV 1 cV .Ona :N=UEBV où- - - n- - n n. 1

U = [x EN, ex = -) x) . Soit III le plus grand entier tel que V 1 ~ V Alors.- 111- m" .

Vm= Vn . Si k E [1. 1~11 • il existe un sous-espace vectoriel t k de N tel que

i=kVk = Vk-I EB Ck . A. lors V k= (f) CI' et finalement

i=\

A = Ke (f) U(f) CI CB ... (f) Cn ([ 10]). Ceci est la décompos tion cie Peirce de

61

l'algèbre de Bernstein d'ordre n A relativement à l'idempotent e.

Désignons par O(A) la seconcle puissance symétrique de /\. Ce K- espace

vectoriel est linéairement engendré par les vecteurs x . y (produit symétrique de

x par y) pour x , y parcourant A . On définit sur O(A) une structure de K-algèbre

commutative par:

(x . y) (x'. y') =xy. x'y' . pour tous x ,y ,x' ,y' dans A.

O(A) est appelée la dupliquée commutative de A.

Comme pour le cas non commutatif. il est démontré ([9]) :

Théorème d'Etherington 5.0

0(/\) == /\2$NO(A) où NO(A) est le noyau de

Jl : 0(/\) -) A2, x . y I~ xy ,

cp: A2 x A2 -) ND(A) , (x . y)~ Tl(x)Tl(y) - Tl(xy) où Tl : A2 -) D(A) est

une application linéaire vérifiant JloTl = idA2'

On notera que cp est K-bilinéaire symétrique. La multiplication de

O(A) == A2 $ NO(A) est alors donnée par: (x , m)(y , n) = (xy , cp(x . y)).

Lemme.5.1

L'application K-linéaire Tl : A2 -) O(A) vérifiant Jlo Tf:::: idA2

est telle que l1(x)l1 (y) =x . y pour tous x. y dans A2 où

Jl : O(A) -) A2 , x . y~ xy.

De plus cp(x ,y) =Tl(x) Tl(y) - Tl(xy) =x . y - Tl(xy) pour t~Ls x . y dans A2.

La clémonstrùtilin de la première partie de ce résu1ta~ est analogue à celle

du lemme 2.104. L" seconde partie résulte clu théorème d'Fiherington 5.0

Conséquences 5.2

(a) Pour tou~ x ,y clans A2, si xy =0 alors cp(x , y) = x . y.

1·

1

62

(b) Si e est une unité de A2 alors <p(e . x) = 0 pour tout x dans A2.

-La démonstration est analoque à celle des conséquences 2.1,5. et 2.1.6.

Lemme 5.3

Si W : A2 ~ K est une pondération,

alors W d : D(A)::::: A2~ND(A) ~ K , (x , m)~ W d(x , m) = (w oJl) (x . m)

. est une pondération et W cl(x , m) = W (x) .

En effet, (t) et J.l étant des morphismes surjectifs de K-algèbres .

wd = (ù OJ.l est un morphisme surjectif de K-a1gèbres. Comme pour tout (x . Ill)

dans D(A) , J.l (x , m) = x , on a (ù d(x , m) = (ù (x) .

Lemme 5.4

Soit W : A2 ~ K une pondération.

(D(A) . (ù d) est une K-algèbre de Bernstein d'ordre n (n > 0) si et

seulement sin

(l) pour tout x dans A2. x In+21 = «(ù(x»2 x [n+ Il (c'est-à-dire A2 est une

K-algèbre de Bernstein d'ordre au plus n) etn .

(2) pour tout x dans A2. <p (x [n+ll , x [n+l]) = (w(x»2 <r (x [nl . x [nl).

. '.":-.

En effet. pour tous (x . m) dans D(A) . (x . m) III =(·x . m) .

(x , m)[21= (x2. <p(x , x» = (x [2] , <p(x [11 , x rIl)) et plus généralement

(x, m) [n+ll = (x In+l] , <p(x [Il] , x [nI». Ainsi (x . m) [n+21 =n ..'. ,

(w d(x, m»2 (x, rh) tn+1] équivaut à (x [n+2], <p(x [11+] l, x [n+11» =

, n:(w(x»2 (x [n+IJ, (p(x [nl, x [n]» et part suite

(iJ

n nx [n+21 = (w(x))2 x [n+l] et <p(x [n+I], x [n+I]) = ((I)(x))2 <p(x [n], x [n]).

Le lemme est ainsi prouvé.

Exemple 5.5

Soit A la K-algèbre cOllllllutaive cie dimension quatre dont la tablc de

multiplication rclativcmcnt ü unc base { eO ' el' e2 ,e3 lest donnéc par:

e02 = Co ' coe 1 = ic 1 = cI Co ' cOe3 = c2 = c3cO ' tous lcs produits étant nuls.

L'élcmcnt eO cst un idempotcnt dc A . Soit (ù l'application sur A dans K défïnic

par Cù (cO) = 1ct Cù (ci) = 0 ,i = 1 ,2, 3. (ù cst alors une pondérat ion dc A .

i=3Soit x=i~)xici; ana x2=x!2]=x02eO+xOxlel + 2xOx3c2'

x [2]x 121 = x 131 = xa4co + x03xlcI '

x 131 x [31 =x [4] = xa4(x04cO+ x03 xlel)=x04x [31.

2Ainsi pour tout x dans A ,x 141 = (w(x))2 x [3] ct , par suite A cst unc K-

algèbre de Bcmstcin d'ordrc 2 . A2 cst engcndré par Co . cI' c2 .

Pour tout x = xoco + xI c 1 + x2c2 dans A2 on a

x2 = x02 eO + xOx 1e 1 = x 121 , x [31 = Xo4eO + x03xl el = ((ù( x))2 x [2] .

D'où A2 est dc Bcmstcin c1'ordre 1.

Les a ij = ei' Cj , i , j = 0 , 1 • 2 , 3 , j ~ i constituent unc basc de la dupl iquéc

commutativc D(A) cie A . Soit 11 l'application dc A2 dans D(A) définie par:

l1(eO) = eo' eo = aoo ' 11(c 1) = 2co . CI = 2aOl ' 11(c2) = cO' c3 = a03'

On a D(A) ::::: A2 ~ ND(A) (cf 5.0) . Pour tout x dans A2,

<p(x [21, x [2]) = <prxa2eo + xOxlcl ' x02cQ + xOxlc 1) =t:- <p(x, x)

et <p(x [31 , x [31) =<p«((ù(x))2 x [21 , (Cù(x))2 x [21) = (((1)('<))2)2 <p(x [21 . x [2]) .

Par suite, d'après le Ichll11C 5.4, D(A) cst une K-algèbre cie lkmstcin d'ordrc 2.

64

Remarque 5.6

e est un idempotent de A2 équivaut à ed = (e .0) est un idempotent de

D(A). Posons (Le)O= id A2 . (Le) 1= Le : A2 ~ A2. x ~ ex et

n n-l(Le) = Leo(Le) , n = 2 , 3, ....

Posons (Led)O= idD(A) et (Led) 1 = Led : D(A) ~ D(A) .

n n-l( x , m)~ ed(x , m) et (Led) = Ledo(Led) , n = 2,3 ....

On a Led(x , Ill) =ed (x , m) =(e , O)(x . m) =(ex, <pee . x) .

(Led)2(x . Ill) = LciLed(x . m» =ed(ex , <p(e . x)) = (e . O)(ex . <p(e . x» =

(e(ex) , <p(e . ex» = «Le)2(x) . <pee , (Le) 1(x») et plus généralementk k k-l

(Led) (x, m) =(Le) (x). <p(e , ( Le) (x») . k = 1. 2.....

Théorème 5.7

Si A est une K-algèbre de Bemstein d'ordre n > 1 , alors la dupliquée

commutative D(A) de A est une K-algèbre de Bemstein d'ordre au plus n + 1.

De plus, la décomposition de Peirce de D(A) relativement à un idempotent

ed = (e ,0) où e est un idempotent de A2 est donnée par:

D(A) = Ked E9 Ud E9 Cdl E9 .. ·E9 Cdn E9 Cd n+l avec

Ud = {(x, 2<p(c , x) , X EU} ;

Cdl = {O} xND(A);Cdk=Ck_l x {O} ,k=2, .... n+l où

A2 =Ke E9 U + Cl E9 ... E9 Cn décomposition de Peirce de A2 relativemcnt à c.

En effet, siA est K-algèbre de Bcmstein d'orclre Tl ,i\orsil résulte du

lemme 5.4 ci-dess\ls que D(A) est une K-algèbre cie Bemsicill d'ordre

au plus n + 1 . COIhn~e A2 est cie Bemstein d'ordre au plu~n

(car A est d'ordre il) ~ écrivons A2 =Ke E9 UE9 Cl E9 ... (.Yi Cn . décomposition

de Peirce de A2 relativement ~l J'idempotent e ct

65

D(A) = Ked EB Ud Et> Cd 1 Et> ... Et> Cdn+ l décomposition de Peirce D(A)

relativement à l'idempotent cd = (e ,0) .

Si (x , m) E Ud alors ed (x ,m) = (ex, <pee , x)) = ~(x . m) ct,

par suite Ud c {(x, 2<p (e, x)), XE U}.

Pour tout x EU. on a ed(x . 2<p(e . x)) = (ex ,<p (e , x)) =

= (1 x. <pee. x)) = 1(x, 2<p(e. x)). Par suite Ud = {(x. 2<p (e. x)). X EU}.

Si (x , m) E Cd 1 alors ed(x . m) = (ex. <pee . x)) = (0 , 0).

AinsiCd1 c {(x.m)E D(A)/xE Cl et<p(e,x)=O}.

PosonsCIO={xE A2, XE Cl et<p(e.x)=O} .OnaCdl cC1oxNO(J\).

Soit (x , m) dans CIo x NO(A) ; ed(x , m) = (ex, <pee , x)) = (0,0).

Par suite Cd 1 = CIo x ND (A) . Soit x E CIo alors ex = 0 et par suite. d'après lc

lemmeS.1 ,0 = <pcc . x) = e. x ; ce qui conduit à x = O( [l 01).

Ainsi Cl ° = {O} et Cd1 = {O} x ND(A).

Soit (x , m) E Cdk (k ~ 2) .

k k k-l(Led) (x. m) = ((Led) (x), <pee , (Le) (x))) = (0.0) .

2 k-lO'OlI x E Ck

° = {x E A ,x E Ck ct <p (e ,(Le) (x)) = 0) .

Ainsi Cdk c ~o ND(A).

. ° k k k-l _SI XE C

kalors (Lcd) (x. O)=((Le) (x) , <p (e ,(Led) (x 1) = (0.0) .

D'où Ck°x {O} c Cdk .

Soit (x , m) dans CUk . Alors x est clans Ck

° et (x , 0) E Crll .

Ainsi (x. m) - (x. 0) = (0 .m) est dans Cclk ' Comme {O} x NO(!\) = CclI'

on a alors (0 . m) E Cdk n Ccli = {(O. O)} (k > 2) . D'où m = O.

ParsuiteCdk = Ck

o x [O} .Si(x.O)E C dk =Ckox {O}

k k-I k-lalors (Le) (x) = 0 = e. (Le) (x) et <pee , (Le) (x)) = 0 .

kComme e(Le) (x) = 0 ,

k-I k-l k-l k-lon a 0 = <p(e , (Le) (x)) = e . (Le) (x) et <p(e . (Le) (x)) = e . (Le) (x) .

D'où (Le)k-I (x) = O. Ainsi Cdk c Ck_1 x {O}.

Réciproquement si (x .0) E Ck-1 x {O} . alors (Le)k(x) = e(Le)k-I (x) =0 et

<p (e. (Lc)k-l(x)) = <p(e. 0): ainsi Ck-1 x {O} c Cclk ' D'où Cdk = Ck_] x {O}

pour k = 2 ..... n . De ce fait Ccln+1 = Cn x {O}. Le théorème est ainsi

démontré.

Corollaire 5.8

Soient A une K-algèbre de Bernstein d'ordre n (n > 1) et D(A) sa

dupl iquée commutative.

D(A) est une K-algèbre de Bernstein d'orclre n si et seulement si ;\2 est

une K-algèbre de Bernstein d'ordre n-l, n = 1 , 2 , 3.....

C'est une conséquence immédiate du théorème ci-dessus.

Remarque 5.9

Ainsi le corc\llaire généralise le résultat suivant obtc(;u dans

Cl lOI théorème32 rage 6R) :. i

D(A) est une' K-algèbre de Bernstein(d'orclrc 1) si ct ~culcment si

A2 = Ke EB U.

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