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Cap. 2 : Probabilidad
Alexandre Blondin Masse
Departamento de Informatica y MatematicaUniversite du Quebec a Chicoutimi
13 de junio del 2015Modelado de sistemas aleatorios
Ingenierıa de sistemas, produccion y ambiental
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 1 / 64
Tabla de contenidos
1. Espacios muestrales y eventos
2. Axiomas y propiedades de probabilidad
3. Tecnicas de conteo
4. Probabilidad condicional
5. Independencia
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 2 / 64
Espacio muestral
Definicion
El espacio muestral de un experimento, denotado por S, es elconjunto de todos los resultados posibles de ese experimento.
Definicion
Sea S el espacio muestral de un experimento. Cualquiersubconjunto E ⊆ S es un evento. Si el resultado delexperimento esta contenido en E, entonces dicemos que elevento E ocurre (u occurrio).
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 3 / 64
Ejemplos (1/3)
I Estamos interesado en el genero de un nino por nacer.Entonces
S = {M,F},
donde M significa masculino y F significa femenino.
I E = {M} es el evento ((Sera un chico));
I E = {F} es el evento ((Sera un chica));
I E = {M,F} es el evento ((Sera un chico o una chica));
I E = ∅ es el evento ((No sera un chico o una chica));
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 4 / 64
Ejemplos (2/3)
I Hay una carrera entre 7 caballos numerados de 1 a 7.
I Entonces, S es el conjunto de las 7-tuplas de numeros en{1, 2, . . . , 7} sin repeticion, que se llaman permutaciones.
I Por ejemplo, el resultado (2, 3, 1, 6, 5, 4, 7) significa que elcaballo 2 ha llegado primero, seguido por el caballo 3, elcaballo 1, etc.
I ¿Que es el tamano de S?
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 5 / 64
Ejemplos (3/3)
I En una tienda, se mide el tiempo en segundos quetranscurre antes de que un cliente llegue.
I ¿Que es S?
I Hay varias posibilidades:
I Si no hay valor maximo, S = R+ = (0,+∞).
I Si la tienda esta abierta 10 horas, por ejemplo,entonces S = (0, 36 000).
I Tambien se puede que los valores de S son enteros:
S = {0, 1, 2, . . . , 36 000}.
I A veces, cuando |S| est muy grande, por simplicidad,suponemos que S ⊆ R.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 6 / 64
Eventos son conjuntos
I Dos dados regulares sonlanzados.
I S = {(i, j) | i, j ∈ {1, 2, . . . , 6}}.
I Sea E el evento ((la suma es 7)).EntoncesE = {(1, 6), (2, 5), . . . , (6, 1)}.
I Sea F el evento ((el secondodado es ≤ 3)). EntoncesF = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 3)}.
I E ∩ F = {(4, 3), (5, 2), (6, 1)} esel evento ((la suma de los dadoses 7 y el secondo dado es 1, 2 ou3)).
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
E
F
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Operaciones de conjuntos (1/4)
Operacion Notacion Diagrama de Venn
Interseccion E ∩ F E F
S
Union E ∪ F E F
S
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Operaciones de conjuntos (2/4)
Operacion Notacion Diagrama de Venn
Intersecciongeneralizada
⋂ni=1 Ei
S
E1
E2E3
E4
E5 . . .
Uniongeneralizada
⋃ni=1 Ei
S
E1
E2E3
E4
E5 . . .
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Operaciones de conjuntos (3/4)
Operacion Notacion Diagrama de Venn
Complemento E E
S
Diferencia E − F E F
S
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Operaciones de conjuntos (4/4)
Operacion Notacion Diagrama de Venn
Diferenciasimetrica
E ⊕ F E F
S
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Relaciones basicas entre conjuntos
Relacion Notacion Diagrama de Venn
Inclusion E ⊆ F E
F
S
Disjuntos E ∩ F = ∅ E F
S
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Otras relaciones utiles
I Conmutatividad :E ∪ F = F ∪ EE ∩ F = F ∩ E.
I Asociatividad :E ∪ (F ∪G) = E ∪ (F ∪G)E ∩ (F ∩G) = (E ∩ F ) ∩G.
I Distributividad :E ∩ (F ∪G) = (E ∩ F ) ∪ (E ∩G)E ∪ (F ∩G) = (E ∪ F ) ∩ (E ∪G)
I Leyes de De Morgan :E ∪ F = E ∩ FE ∩ F = E ∪ F
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Tabla de contenidos
1. Espacios muestrales y eventos
2. Axiomas y propiedades de probabilidad
3. Tecnicas de conteo
4. Probabilidad condicional
5. Independencia
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Tres axiomas fundamentales
Sea S un espacio muestral. Esta asociado con cada eventoE ⊆ S un numero real P (E) que satisface las siguientespropiedades:
1. Para cualquier evento E ⊆ S, 0 ≤ P (E) ≤ 1.
2. P (S) = 1.
3. Para cualquiera serie (finita o infinita) de eventosdisjuntos dos a dos E1, E2, . . .,
P
(n⋃
i=1
Ei
)=
n∑i=1
P (Ei), n = 1, 2, . . . ,∞.
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Consecuencia de los axiomas
Proposicion
Para cualquier evento E ⊆ S,
P (E) = 1− P (E).
Demostracion
Claramente, E y E son disjuntos. Por los axiomas 2 y 3,obtenemos
1 = P (S) = P (E ∪ E) = P (E) + P (E).
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Principio de inclusion-exclusion (1/3)
Proposicion
Sean E,F ⊆ S dos eventos. Entonces
P (E ∪ F ) = P (E) + P (F )− P (E ∩ F ).
Se entiendo mas facilmente con un diagrama de Venn :
E F
i ii iii
S
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Principio de inclusion-exclusion (2/3)
Demostracion
Se ve que la regiones (i), (ii) y (iii) son disjuntos. Por elaxioma 3, obtenemos
P (E) = P (i) + P (ii)
P (F ) = P (ii) + P (iii)
P (E ∪ F ) = P (i) + P (ii) + P (iii).
Entonces,
P (E ∪ F ) = P (E) + P (F )− P (ii) = P (E) + P (F )− P (E ∩ F ).
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Principio de inclusion-exclusion (3/3)
Se generaliza a varios conjuntos
Proposicion
Sean E,F,G ⊆ S tres eventos. Entonces
P (E ∪ F ∪G) = P (E) + P (F ) + P (G)− P (E ∩ F )
−P (E ∩G)− P (F ∩G) + P (E ∩ F ∩G).
Proposicion
Sea Ei ⊆ S un evento, i = 1, 2, . . . , n. Entonces
P
(n⋃
i=1
Ei
)=
n∑k=1
(−1)k+1∑
1≤i1<...<in≤n
P (Ei1 ∩ . . . ∩ Ein)
.
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Tabla de contenidos
1. Espacios muestrales y eventos
2. Axiomas y propiedades de probabilidad
3. Tecnicas de conteo
4. Probabilidad condicional
5. Independencia
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 20 / 64
Dos principios basicos
Principio de la suma
Sean A y B dos conjuntos. Si hay m formas de elegir un objetode A y n formas de elegir un objeto de B, entonces hay m + nformas de elegir un objeto de A o B, asumiendo que no apareceningun objeto en ambos A y B.
Principio del producto
Sean A y B dos conjuntos. Si hay m formas de elegir un objetode A y n formas de elegir un objeto de B, entonces hay mnformas de elegir un objeto de A y un objeto de B.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 21 / 64
Ejemplo
I Dos bolas se extraen al azar de una urna sin reemplazo.
I Hay 6 bolas blancas y 5 bolas negras en la urna.
I ¿Cual es la probabilidad que une bola sea blanca y la otranegra?
I Hay 11 opciones para la primera bola y 10 para la seconda,entonces 11 · 10 = 110 en total, por el principio de lasuma.
I Hay dos posibilidades:
I blanca/negra, entonces hay 6 · 5 = 30 formas;
I negra/blanca, entonces hay 5 · 6 = 30 formas.
I Entonces, la probabilidad buscada es (30 + 30)/110 = 6/11.
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Ejemplo
I Dos bolas se extraen al azar de una urna sin reemplazo.
I Hay 6 bolas blancas y 5 bolas negras en la urna.
I ¿Cual es la probabilidad que une bola sea blanca y la otranegra?
I Hay 11 opciones para la primera bola y 10 para la seconda,entonces 11 · 10 = 110 en total, por el principio de lasuma.
I Hay dos posibilidades:
I blanca/negra, entonces hay 6 · 5 = 30 formas;
I negra/blanca, entonces hay 5 · 6 = 30 formas.
I Entonces, la probabilidad buscada es (30 + 30)/110 = 6/11.
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Permutaciones (1/5)
I ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar lasletras a, b y c?
I ¿De cuantas maneras se pueden ordenar n letras?
I Hay 6 maneras para a, b y c:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
I En general, si hay n letras, entonces hay
n(n− 1)(n− 2) · · · 3 · 2 · 1 = n!
arreglos posibles.
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Permutaciones (1/5)
I ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar lasletras a, b y c?
I ¿De cuantas maneras se pueden ordenar n letras?
I Hay 6 maneras para a, b y c:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
I En general, si hay n letras, entonces hay
n(n− 1)(n− 2) · · · 3 · 2 · 1 = n!
arreglos posibles.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 23 / 64
Permutaciones (1/5)
I ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar lasletras a, b y c?
I ¿De cuantas maneras se pueden ordenar n letras?
I Hay 6 maneras para a, b y c:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
I En general, si hay n letras, entonces hay
n(n− 1)(n− 2) · · · 3 · 2 · 1 = n!
arreglos posibles.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 23 / 64
Permutaciones (2/5)
I Deseamos colocar 10 libros en un estante.
I Hay
I 4 libros de matematica,
I 3 libros de quımica,
I 2 libros de historia y
I 1 libro de linguıstica.
I Se pueden ordenar los libros de cualquiera manera, perolibros de mismo tema deben ser agrupados.
I ¿Cuantos arreglos hay?
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 24 / 64
Permutaciones (3/5)
I Primero asumen que los temas aparecen en el ordenM/Q/H/L
I Hay
I 4! maneras de colocar los libros de matematica,
I 3! para quımica,
I 2! para historia,
I 1! para linguıstica.
I Si el orden es Q/H/L/M, entonces hay el mismonumero de maneras de ordenar los libros.
I Como hay 4! maneras de eligir el orden de los temas, elnumero total es 4!4!3!2!1! = 6 912.
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Permutaciones (4/5)
I En un curso de probabilidad, hay 6 hombres y 4 mujeres.
I Los 10 estudiantes toman un examen y obtienenresultados distintos.
I Nos centramos en la ranking.
I ¿Cuantas rankings hay (los estudiantes son todosdiferentes)?
I Asumiendo que todos las rankings son igualmenteprobables, ¿cual es la probabilidad que las 4 mujerestienen los 4 mejores resultados?
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 26 / 64
Permutaciones (5/5)
I Hay 10! = 3 628 800 rankings.
I Para que las 4 mujeres sean primeras, necesitamos que los6 hombres sean ultimos.
I Hay
I 4! maneras de ordenar las 4 mujeres y
I 6! maneras de ordenar los 6 hombres.
I Entonces la probabilidad buscada es
4!6!
10!=
4 · 3 · 2 · 110 · 9 · 8 · 7
=1
210.
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Permutaciones (5/5)
I Hay 10! = 3 628 800 rankings.
I Para que las 4 mujeres sean primeras, necesitamos que los6 hombres sean ultimos.
I Hay
I 4! maneras de ordenar las 4 mujeres y
I 6! maneras de ordenar los 6 hombres.
I Entonces la probabilidad buscada es
4!6!
10!=
4 · 3 · 2 · 110 · 9 · 8 · 7
=1
210.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 27 / 64
k-permutaciones
Definicion
Sean n y k dos enteros, donde 0 ≤ k ≤ n. El numero demaneras de elegir k objetos con orden en un conjunto de nobjetos es
P (n, k) = n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1) =n!
(n− k)!.
Una k-tupla que representa un orden se llama k-arreglo ok-permutacion.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 28 / 64
Ejemplo
I Sea une carrera de 10 caballos con numeros 1, 2, . . ., 10.
I Deseamos contar el numero de rankings para los 3primeros caballos solamente.
I Un 3-arreglo (o una 3-permutacion) por ejemplo es(5, 10, 1).
I El numero de ranking es
P (10, 3) =10!
(10− 3)!=
10!
7!= 10 · 9 · 8 = 720.
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Combinaciones
Definicion
Sean dos enteros n y k, 0 ≤ k ≤ n. El numero de maneras deelegir k objetos no ordenados en un conjunto de n objetoses
C(n, k) =n!
k!(n− k)!.
Un conjunto de k objetos represenando una opcion se llamak-combinacion.Tambien se utiliza la notacion(
n
k
)para denotar C(n, k).
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 30 / 64
Ejemplo
I ¿Cuantos grupos (en cualquier orden) de 3 letras sinrepeticion se pueden formar con las letras A, B, C, D y E?
I Las opciones posibles son
{A,B,C}, {A,B,D}, {A,B,E}, {A,C,D}, {A,C,E},{A,D,E}, {B,C,D}, {B,C,E}, {B,D,E}, {C,D,E}.
I Entonces hay 10 grupos.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 31 / 64
Ejemplo
I ¿Cuantos grupos (en cualquier orden) de 3 letras sinrepeticion se pueden formar con las letras A, B, C, D y E?
I Las opciones posibles son
{A,B,C}, {A,B,D}, {A,B,E}, {A,C,D}, {A,C,E},{A,D,E}, {B,C,D}, {B,C,E}, {B,D,E}, {C,D,E}.
I Entonces hay 10 grupos.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 31 / 64
Relacion entre permutaciones y combinaciones
Proposicion
Sean n y k dos enteros, 0 ≤ k ≤ n. Entonces
C(n, k) =P (n, k)
k!.
Demostracion
Podemos elegir k objetos ordenados en un conjunto de nobjetos de P (n, k) maneras. Pero, en el caso de combinaciones,el orden no es importante. Entonces cada grupo es contado k!veces: el resultado se divide por k! para obtener C(n, k).
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Relacion entre permutaciones y combinaciones
Proposicion
Sean n y k dos enteros, 0 ≤ k ≤ n. Entonces
C(n, k) =P (n, k)
k!.
Demostracion
Podemos elegir k objetos ordenados en un conjunto de nobjetos de P (n, k) maneras. Pero, en el caso de combinaciones,el orden no es importante. Entonces cada grupo es contado k!veces: el resultado se divide por k! para obtener C(n, k).
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 32 / 64
Ejemplo (1/3)
I Deseamos formar un grupo de 5 personas elegiendo en ungrupo de 6 hombres y 9 mujeres.
I ¿Cual es la probabilidad que el grupo contiene exactamente2 mujeres y 3 hombres ?
I Hay C(15, 5) maneras de formar un grupo de 5 personas apartir de un grupo de 15 personas.
I Tambien, hay C(9, 2)C(6, 3) grupos formados de 2mujeres entre las 9 y 3 hombres entre los 6.
I Entonces, la probabilidad esC(9, 2)C(6, 3)/C(15, 5) = 240/1001.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 33 / 64
Ejemplo (1/3)
I Deseamos formar un grupo de 5 personas elegiendo en ungrupo de 6 hombres y 9 mujeres.
I ¿Cual es la probabilidad que el grupo contiene exactamente2 mujeres y 3 hombres ?
I Hay C(15, 5) maneras de formar un grupo de 5 personas apartir de un grupo de 15 personas.
I Tambien, hay C(9, 2)C(6, 3) grupos formados de 2mujeres entre las 9 y 3 hombres entre los 6.
I Entonces, la probabilidad esC(9, 2)C(6, 3)/C(15, 5) = 240/1001.
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Ejemplo (1/3)
I Deseamos formar un grupo de 5 personas elegiendo en ungrupo de 6 hombres y 9 mujeres.
I ¿Cual es la probabilidad que el grupo contiene exactamente2 mujeres y 3 hombres ?
I Hay C(15, 5) maneras de formar un grupo de 5 personas apartir de un grupo de 15 personas.
I Tambien, hay C(9, 2)C(6, 3) grupos formados de 2mujeres entre las 9 y 3 hombres entre los 6.
I Entonces, la probabilidad esC(9, 2)C(6, 3)/C(15, 5) = 240/1001.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 33 / 64
Ejemplo (2/3)
I En un equipo de volleyball, hay 6 hombres y 6 mujeres.
I Deseamos creer pares de jugadores.
I Asumiendo que los pares son hechas al azar, ¿Cual es laprobabilidad que ningun hombre sea con una mujer?
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 34 / 64
Ejemplo (3/3)
I Hay C(12, 2) maneras de formar el primer par, C(10, 2)para el secondo, C(8, 2) para el tercero, etc.
I Entonces, hay
C(12, 2) · · ·C(2, 2) =12 · 11
2· 10 · 9
2· · · 2 · 1
2=
12!
26
maneras de formar los pares.
I Pero el orden de los pares no es importante, entonces hayen total 12!/(266!) pares.
I Similarmente, hay (C(6, 2)C(4, 2)C(2, 2)/3!)2 =(6!/(233!))2 donde ningun hombre es con una mujer.
I La probabilidad buscada es(6!
233!
)2
/12!
266!=
5
231≈ 0,0216.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 35 / 64
Ejemplo (3/3)
I Hay C(12, 2) maneras de formar el primer par, C(10, 2)para el secondo, C(8, 2) para el tercero, etc.
I Entonces, hay
C(12, 2) · · ·C(2, 2) =12 · 11
2· 10 · 9
2· · · 2 · 1
2=
12!
26
maneras de formar los pares.
I Pero el orden de los pares no es importante, entonces hayen total 12!/(266!) pares.
I Similarmente, hay (C(6, 2)C(4, 2)C(2, 2)/3!)2 =(6!/(233!))2 donde ningun hombre es con una mujer.
I La probabilidad buscada es(6!
233!
)2
/12!
266!=
5
231≈ 0,0216.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 35 / 64
Ejemplo (3/3)
I Hay C(12, 2) maneras de formar el primer par, C(10, 2)para el secondo, C(8, 2) para el tercero, etc.
I Entonces, hay
C(12, 2) · · ·C(2, 2) =12 · 11
2· 10 · 9
2· · · 2 · 1
2=
12!
26
maneras de formar los pares.
I Pero el orden de los pares no es importante, entonces hayen total 12!/(266!) pares.
I Similarmente, hay (C(6, 2)C(4, 2)C(2, 2)/3!)2 =(6!/(233!))2 donde ningun hombre es con una mujer.
I La probabilidad buscada es(6!
233!
)2
/12!
266!=
5
231≈ 0,0216.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 35 / 64
Ejemplo (3/3)
I Hay C(12, 2) maneras de formar el primer par, C(10, 2)para el secondo, C(8, 2) para el tercero, etc.
I Entonces, hay
C(12, 2) · · ·C(2, 2) =12 · 11
2· 10 · 9
2· · · 2 · 1
2=
12!
26
maneras de formar los pares.
I Pero el orden de los pares no es importante, entonces hayen total 12!/(266!) pares.
I Similarmente, hay (C(6, 2)C(4, 2)C(2, 2)/3!)2 =(6!/(233!))2 donde ningun hombre es con una mujer.
I La probabilidad buscada es(6!
233!
)2
/12!
266!=
5
231≈ 0,0216.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 35 / 64
Ejemplo (3/3)
I Hay C(12, 2) maneras de formar el primer par, C(10, 2)para el secondo, C(8, 2) para el tercero, etc.
I Entonces, hay
C(12, 2) · · ·C(2, 2) =12 · 11
2· 10 · 9
2· · · 2 · 1
2=
12!
26
maneras de formar los pares.
I Pero el orden de los pares no es importante, entonces hayen total 12!/(266!) pares.
I Similarmente, hay (C(6, 2)C(4, 2)C(2, 2)/3!)2 =(6!/(233!))2 donde ningun hombre es con una mujer.
I La probabilidad buscada es(6!
233!
)2
/12!
266!=
5
231≈ 0,0216.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 35 / 64
La paradoja del cumpleanos (1/2)
I Si hay n personas en una habitacion, ¿cual es laprobabilidad que nadie nacio el mismo dıa?
I Suponemos que todas las fechas son igualmenteprobables).
I ¿A partir de cuanto es la probabilidad menos que 1/2?
I Por simplicidad, suponemos que nadie nacio el 29 defebrero.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 36 / 64
La paradoja del cumpleanos (2/2)
I Claramente, hay 365n resultados posibles.
I Para que las fechas sean distintas, hay
I 365 opciones para la primera persona,
I 364 para la seconda, etc.
I Entonces, hay P (365, n) en total.
I La probabilidad buscada es
p(n) = P (365, n)/365n.
I Calculamos p(n) para n = 1, 2, . . . , 30:1,0000, 0,9973, 0,9918, 0,9836, 0,9729, 0,9595, 0,9438, 0,9257, 0,9054, 0,8830,0,8589, 0,8330, 0,8056, 0,7769, 0,7471, 0,7164, 0,6850, 0,6531, 0,6209, 0,5886,0,5563, 0,5243, 0,4927, 0,4617, 0,4313, 0,4018, 0,3731, 0,3455, 0,3190, 0,2937.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 37 / 64
La paradoja del cumpleanos (2/2)
I Claramente, hay 365n resultados posibles.
I Para que las fechas sean distintas, hay
I 365 opciones para la primera persona,
I 364 para la seconda, etc.
I Entonces, hay P (365, n) en total.
I La probabilidad buscada es
p(n) = P (365, n)/365n.
I Calculamos p(n) para n = 1, 2, . . . , 30:1,0000, 0,9973, 0,9918, 0,9836, 0,9729, 0,9595, 0,9438, 0,9257, 0,9054, 0,8830,0,8589, 0,8330, 0,8056, 0,7769, 0,7471, 0,7164, 0,6850, 0,6531, 0,6209, 0,5886,0,5563, 0,5243, 0,4927, 0,4617, 0,4313, 0,4018, 0,3731, 0,3455, 0,3190, 0,2937.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 37 / 64
La paradoja del cumpleanos (2/2)
I Claramente, hay 365n resultados posibles.
I Para que las fechas sean distintas, hay
I 365 opciones para la primera persona,
I 364 para la seconda, etc.
I Entonces, hay P (365, n) en total.
I La probabilidad buscada es
p(n) = P (365, n)/365n.
I Calculamos p(n) para n = 1, 2, . . . , 30:1,0000, 0,9973, 0,9918, 0,9836, 0,9729, 0,9595, 0,9438, 0,9257, 0,9054, 0,8830,0,8589, 0,8330, 0,8056, 0,7769, 0,7471, 0,7164, 0,6850, 0,6531, 0,6209, 0,5886,0,5563, 0,5243, 0,4927, 0,4617, 0,4313, 0,4018, 0,3731, 0,3455, 0,3190, 0,2937.
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La paradoja del cumpleanos (2/2)
I Claramente, hay 365n resultados posibles.
I Para que las fechas sean distintas, hay
I 365 opciones para la primera persona,
I 364 para la seconda, etc.
I Entonces, hay P (365, n) en total.
I La probabilidad buscada es
p(n) = P (365, n)/365n.
I Calculamos p(n) para n = 1, 2, . . . , 30:1,0000, 0,9973, 0,9918, 0,9836, 0,9729, 0,9595, 0,9438, 0,9257, 0,9054, 0,8830,0,8589, 0,8330, 0,8056, 0,7769, 0,7471, 0,7164, 0,6850, 0,6531, 0,6209, 0,5886,0,5563, 0,5243, 0,4927, 0,4617, 0,4313, 0,4018, 0,3731, 0,3455, 0,3190, 0,2937.
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La paradoja del cumpleanos (2/2)
I Claramente, hay 365n resultados posibles.
I Para que las fechas sean distintas, hay
I 365 opciones para la primera persona,
I 364 para la seconda, etc.
I Entonces, hay P (365, n) en total.
I La probabilidad buscada es
p(n) = P (365, n)/365n.
I Calculamos p(n) para n = 1, 2, . . . , 30:1,0000, 0,9973, 0,9918, 0,9836, 0,9729, 0,9595, 0,9438, 0,9257, 0,9054, 0,8830,0,8589, 0,8330, 0,8056, 0,7769, 0,7471, 0,7164, 0,6850, 0,6531, 0,6209, 0,5886,0,5563, 0,5243, 0,4927, 0,4617, 0,4313, 0,4018, 0,3731, 0,3455, 0,3190, 0,2937.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 37 / 64
Tabla de contenidos
1. Espacios muestrales y eventos
2. Axiomas y propiedades de probabilidad
3. Tecnicas de conteo
4. Probabilidad condicional
5. Independencia
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 38 / 64
Ejemplo
I Dos dados regulares son lanzados.
I S = {(i, j) | i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.
I Sabemos que |S| = 36.
I ¿Cual es la probabilidad que la suma sea 8?
I La probabilidad es 5/36.
I Suponemos ahora que conocemos el resultado de uno delos dados, por ejemplo, el primer dado es 3.
I ¿Cual es la probabilidad que la suma sea 8 ?
I El secondo dado debe ser 5. Entonces, la probabilidad es1/6.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 39 / 64
Ejemplo
I Dos dados regulares son lanzados.
I S = {(i, j) | i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.
I Sabemos que |S| = 36.
I ¿Cual es la probabilidad que la suma sea 8?
I La probabilidad es 5/36.
I Suponemos ahora que conocemos el resultado de uno delos dados, por ejemplo, el primer dado es 3.
I ¿Cual es la probabilidad que la suma sea 8 ?
I El secondo dado debe ser 5. Entonces, la probabilidad es1/6.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 39 / 64
Ejemplo
I Dos dados regulares son lanzados.
I S = {(i, j) | i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.
I Sabemos que |S| = 36.
I ¿Cual es la probabilidad que la suma sea 8?
I La probabilidad es 5/36.
I Suponemos ahora que conocemos el resultado de uno delos dados, por ejemplo, el primer dado es 3.
I ¿Cual es la probabilidad que la suma sea 8 ?
I El secondo dado debe ser 5. Entonces, la probabilidad es1/6.
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Ejemplo
I Dos dados regulares son lanzados.
I S = {(i, j) | i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.
I Sabemos que |S| = 36.
I ¿Cual es la probabilidad que la suma sea 8?
I La probabilidad es 5/36.
I Suponemos ahora que conocemos el resultado de uno delos dados, por ejemplo, el primer dado es 3.
I ¿Cual es la probabilidad que la suma sea 8 ?
I El secondo dado debe ser 5. Entonces, la probabilidad es1/6.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 39 / 64
Definicion
Definicion
Sean E,F ⊆ S dos eventos. La probabilidad condicional deE dado que ocurrio F se define por
P (E|F ) =P (E ∩ F )
P (F ).
(asumiendo que P (F ) > 0).
Interpretacion
Dado que ocurre F , el conjunto F se puede ver con un ((nuevo))espacio muestral y entonces E ∩ F es el ((nuevo)) evento.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 40 / 64
Ejemplos (1/2)
I En una fabrica, se prueban algunos componentes en unacaja de 40 componentes.
I Hay
I 5 componentes defectuosos (se da cuenta deinmediato),
I 10 componentes son parcialmente defectuosos(necesitan algunas horas de prueba) y
I 25 son aceptables.
I Un componente se elige al azar.
I Si es initialmente functional, ¿cual es la probabilidad quesea aceptable?
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 41 / 64
Ejemplos (2/2)
I Sean los eventos siguientes:
I A : el componente es aceptable;
I D : el componente es defectuoso;
I P : el componente es parcialmente defectuoso.
I Buscamos P (A|D).
I Por definicion de probabilidad condicional
P (A|D) =P (A ∩D)
P (D)=
P (A)
P (D)=
P (A)
1− P (D)=
25/40
1− 5/40.
Nota: A ∩D = A ∩ (A ∪ P ) = A (porque A ⊆ A ∪ P ).
I Entonces
P (A|D) =25
35=
5
7.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 42 / 64
Ejemplos (2/2)
I Sean los eventos siguientes:
I A : el componente es aceptable;
I D : el componente es defectuoso;
I P : el componente es parcialmente defectuoso.
I Buscamos P (A|D).
I Por definicion de probabilidad condicional
P (A|D) =P (A ∩D)
P (D)=
P (A)
P (D)=
P (A)
1− P (D)=
25/40
1− 5/40.
Nota: A ∩D = A ∩ (A ∪ P ) = A (porque A ⊆ A ∪ P ).
I Entonces
P (A|D) =25
35=
5
7.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 42 / 64
Ejemplos (2/2)
I Sean los eventos siguientes:
I A : el componente es aceptable;
I D : el componente es defectuoso;
I P : el componente es parcialmente defectuoso.
I Buscamos P (A|D).
I Por definicion de probabilidad condicional
P (A|D) =P (A ∩D)
P (D)=
P (A)
P (D)=
P (A)
1− P (D)=
25/40
1− 5/40.
Nota: A ∩D = A ∩ (A ∪ P ) = A (porque A ⊆ A ∪ P ).
I Entonces
P (A|D) =25
35=
5
7.
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Ejemplos (2/2)
I Sean los eventos siguientes:
I A : el componente es aceptable;
I D : el componente es defectuoso;
I P : el componente es parcialmente defectuoso.
I Buscamos P (A|D).
I Por definicion de probabilidad condicional
P (A|D) =P (A ∩D)
P (D)=
P (A)
P (D)=
P (A)
1− P (D)=
25/40
1− 5/40.
Nota: A ∩D = A ∩ (A ∪ P ) = A (porque A ⊆ A ∪ P ).
I Entonces
P (A|D) =25
35=
5
7.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 42 / 64
La paradoja de los dos ninos
I Bob tiene dos ninos.
I Sabemos que al menos uno de los dos es un chico.
I ¿Cual es la probabilidad que ambos ninos sean chicos?
I Sean los eventos
I A : ((Al menos uno de los dos ninos es un chico)) y
I B : ((Los dos ninos son chicos)).
I Buscamos P (B|A).
I Entonces,
P (B|A) =P (A ∩B)
P (A)=
P ({(M,M)})P ({(M,M), (M,F ), (F,M)})
=1
3.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 43 / 64
La paradoja de los dos ninos
I Bob tiene dos ninos.
I Sabemos que al menos uno de los dos es un chico.
I ¿Cual es la probabilidad que ambos ninos sean chicos?
I Sean los eventos
I A : ((Al menos uno de los dos ninos es un chico)) y
I B : ((Los dos ninos son chicos)).
I Buscamos P (B|A).
I Entonces,
P (B|A) =P (A ∩B)
P (A)=
P ({(M,M)})P ({(M,M), (M,F ), (F,M)})
=1
3.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 43 / 64
La paradoja de los dos ninos
I Bob tiene dos ninos.
I Sabemos que al menos uno de los dos es un chico.
I ¿Cual es la probabilidad que ambos ninos sean chicos?
I Sean los eventos
I A : ((Al menos uno de los dos ninos es un chico)) y
I B : ((Los dos ninos son chicos)).
I Buscamos P (B|A).
I Entonces,
P (B|A) =P (A ∩B)
P (A)=
P ({(M,M)})P ({(M,M), (M,F ), (F,M)})
=1
3.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 43 / 64
Interseccion de eventos
I Una otra relacion importante es
P (E ∩ F ) = P (F ) · P (E|F ).
I Alicia tiene 30 % de probabilidad que su empresa inicie unasucursal en Bogota. Si es el caso, hay une probabilidad de60 % que sea la directora.
I ¿Cual es la probabilidad que Alicia sea directora de unasucursal en Bogota?
I Sean los eventos
I B : ((Una sucursal inicia en Chicago.)) y
I D : ((Alicia es directora de una sucursal en Chicago))
I Entonces
P (B ∩D) = P (B) · P (D|B) = 0,3 · 0,6 = 0,18.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 44 / 64
Interseccion de eventos
I Una otra relacion importante es
P (E ∩ F ) = P (F ) · P (E|F ).
I Alicia tiene 30 % de probabilidad que su empresa inicie unasucursal en Bogota. Si es el caso, hay une probabilidad de60 % que sea la directora.
I ¿Cual es la probabilidad que Alicia sea directora de unasucursal en Bogota?
I Sean los eventos
I B : ((Una sucursal inicia en Chicago.)) y
I D : ((Alicia es directora de una sucursal en Chicago))
I Entonces
P (B ∩D) = P (B) · P (D|B) = 0,3 · 0,6 = 0,18.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 44 / 64
Interseccion de eventos
I Una otra relacion importante es
P (E ∩ F ) = P (F ) · P (E|F ).
I Alicia tiene 30 % de probabilidad que su empresa inicie unasucursal en Bogota. Si es el caso, hay une probabilidad de60 % que sea la directora.
I ¿Cual es la probabilidad que Alicia sea directora de unasucursal en Bogota?
I Sean los eventos
I B : ((Una sucursal inicia en Chicago.)) y
I D : ((Alicia es directora de una sucursal en Chicago))
I Entonces
P (B ∩D) = P (B) · P (D|B) = 0,3 · 0,6 = 0,18.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 44 / 64
Ejemplos (1/6)
I Una compania de seguros divide sus clientes en doscategorıas: (1) en riesgo de tener un accidente y (2) no ensituacion de riesgo.
I Considera que hay una probabilidad de 0,4 que los clientesde la categorıa (1) tengan un accidente en el proximo ano yestos de la categorıa (2) tengan una probabilidad de 0,2.
I Asumiendo que 30 % de la populacion es en la categorıa(1), ¿cual es la probabilidad que un nuevo cliente tengaun accidente en el proximo ano?
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 45 / 64
Ejemplos (2/6)
I La idea clave es de suponer primero que el nuevo clientees en riesgo y entonces que no es en situacion de riesgo.
I Sean los eventos
I A : ((El cliente tendra un accidente el ano proximo)) y
I R : ((El cliente es en situacion de riesgo)).
I Tenemos la relacion
A = (A ∩R) ∪ (A ∩R),
donde A ∩R y A ∩R son disjuntos.
I Entonces la probabilidad buscada es
P (A) = P (A ∩R) + P (A ∩R)
= P (A|R)P (R) + P (A|R)P (R)
= 0,4 · 0,3 + 0,2 · 0,7 = 0,26.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 46 / 64
Ejemplos (2/6)
I La idea clave es de suponer primero que el nuevo clientees en riesgo y entonces que no es en situacion de riesgo.
I Sean los eventos
I A : ((El cliente tendra un accidente el ano proximo)) y
I R : ((El cliente es en situacion de riesgo)).
I Tenemos la relacion
A = (A ∩R) ∪ (A ∩R),
donde A ∩R y A ∩R son disjuntos.
I Entonces la probabilidad buscada es
P (A) = P (A ∩R) + P (A ∩R)
= P (A|R)P (R) + P (A|R)P (R)
= 0,4 · 0,3 + 0,2 · 0,7 = 0,26.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 46 / 64
Ejemplos (2/6)
I La idea clave es de suponer primero que el nuevo clientees en riesgo y entonces que no es en situacion de riesgo.
I Sean los eventos
I A : ((El cliente tendra un accidente el ano proximo)) y
I R : ((El cliente es en situacion de riesgo)).
I Tenemos la relacion
A = (A ∩R) ∪ (A ∩R),
donde A ∩R y A ∩R son disjuntos.
I Entonces la probabilidad buscada es
P (A) = P (A ∩R) + P (A ∩R)
= P (A|R)P (R) + P (A|R)P (R)
= 0,4 · 0,3 + 0,2 · 0,7 = 0,26.
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Ejemplos (2/6)
I La idea clave es de suponer primero que el nuevo clientees en riesgo y entonces que no es en situacion de riesgo.
I Sean los eventos
I A : ((El cliente tendra un accidente el ano proximo)) y
I R : ((El cliente es en situacion de riesgo)).
I Tenemos la relacion
A = (A ∩R) ∪ (A ∩R),
donde A ∩R y A ∩R son disjuntos.
I Entonces la probabilidad buscada es
P (A) = P (A ∩R) + P (A ∩R)
= P (A|R)P (R) + P (A|R)P (R)
= 0,4 · 0,3 + 0,2 · 0,7 = 0,26.
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Ejemplos (2/6)
I La idea clave es de suponer primero que el nuevo clientees en riesgo y entonces que no es en situacion de riesgo.
I Sean los eventos
I A : ((El cliente tendra un accidente el ano proximo)) y
I R : ((El cliente es en situacion de riesgo)).
I Tenemos la relacion
A = (A ∩R) ∪ (A ∩R),
donde A ∩R y A ∩R son disjuntos.
I Entonces la probabilidad buscada es
P (A) = P (A ∩R) + P (A ∩R)
= P (A|R)P (R) + P (A|R)P (R)
= 0,4 · 0,3 + 0,2 · 0,7 = 0,26.
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Ejemplos (2/6)
I La idea clave es de suponer primero que el nuevo clientees en riesgo y entonces que no es en situacion de riesgo.
I Sean los eventos
I A : ((El cliente tendra un accidente el ano proximo)) y
I R : ((El cliente es en situacion de riesgo)).
I Tenemos la relacion
A = (A ∩R) ∪ (A ∩R),
donde A ∩R y A ∩R son disjuntos.
I Entonces la probabilidad buscada es
P (A) = P (A ∩R) + P (A ∩R)
= P (A|R)P (R) + P (A|R)P (R)
= 0,4 · 0,3 + 0,2 · 0,7 = 0,26.A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 46 / 64
Ejemplos (3/6)
I Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente.
I ¿Cual es la probabilidad que sea en situacion de riesgo?
I Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A|R) = 0,4.
I Buscamos P (R|A).
I Entonces
P (R|A) =P (A ∩R)
P (A)
=P (R)P (A|R)
P (A)
=0,3 · 0,4
0,26
= 6/13.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 47 / 64
Ejemplos (3/6)
I Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente.
I ¿Cual es la probabilidad que sea en situacion de riesgo?
I Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A|R) = 0,4.
I Buscamos P (R|A).
I Entonces
P (R|A) =P (A ∩R)
P (A)
=P (R)P (A|R)
P (A)
=0,3 · 0,4
0,26
= 6/13.
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Ejemplos (3/6)
I Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente.
I ¿Cual es la probabilidad que sea en situacion de riesgo?
I Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A|R) = 0,4.
I Buscamos P (R|A).
I Entonces
P (R|A) =P (A ∩R)
P (A)
=P (R)P (A|R)
P (A)
=0,3 · 0,4
0,26
= 6/13.
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Ejemplos (3/6)
I Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente.
I ¿Cual es la probabilidad que sea en situacion de riesgo?
I Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A|R) = 0,4.
I Buscamos P (R|A).
I Entonces
P (R|A) =P (A ∩R)
P (A)
=P (R)P (A|R)
P (A)
=0,3 · 0,4
0,26
= 6/13.
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Ejemplos (3/6)
I Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente.
I ¿Cual es la probabilidad que sea en situacion de riesgo?
I Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A|R) = 0,4.
I Buscamos P (R|A).
I Entonces
P (R|A) =P (A ∩R)
P (A)
=P (R)P (A|R)
P (A)
=0,3 · 0,4
0,26
= 6/13.
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Ejemplos (3/6)
I Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente.
I ¿Cual es la probabilidad que sea en situacion de riesgo?
I Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A|R) = 0,4.
I Buscamos P (R|A).
I Entonces
P (R|A) =P (A ∩R)
P (A)
=P (R)P (A|R)
P (A)
=0,3 · 0,4
0,26
= 6/13.
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Ejemplos (3/6)
I Suponemos ahora que el cliente tiene un accidente.
I ¿Cual es la probabilidad que sea en situacion de riesgo?
I Sabemos que P (A) = 0,26, P (R) = 0,3 et P (A|R) = 0,4.
I Buscamos P (R|A).
I Entonces
P (R|A) =P (A ∩R)
P (A)
=P (R)P (A|R)
P (A)
=0,3 · 0,4
0,26
= 6/13.
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Ejemplos (4/6)
I Un estudiante toma un examen de opcion multiple.
I Para una pregunta determinada, sean
I p la probabilidad que conoce la respuesta;
I 1− p la probabilidad que intenta de adivinar;
I En este ultimo caso, la probabilidad que obtiene larespuesta correcta es 1/m, donde m es el numero deopciones posibles.
I Si el estudiante tiene la respuesta correcta, ¿cual es laprobabilidad que conoce la respuesta?
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 48 / 64
Ejemplos (5/6)
I Sean los eventos siguientes
I C : ((El estudiante contesta correctamente)) y
I S : ((El estudiante sabe la respuesta)).
I Buscamos P (S|C).
I Tambien sabemos que
P (S) = p
P (C|S) = 1
P (C|S) = 1/m
P (S) = 1− p
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 49 / 64
Ejemplos (5/6)
I Sean los eventos siguientes
I C : ((El estudiante contesta correctamente)) y
I S : ((El estudiante sabe la respuesta)).
I Buscamos P (S|C).
I Tambien sabemos que
P (S) = p
P (C|S) = 1
P (C|S) = 1/m
P (S) = 1− p
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 49 / 64
Ejemplos (5/6)
I Sean los eventos siguientes
I C : ((El estudiante contesta correctamente)) y
I S : ((El estudiante sabe la respuesta)).
I Buscamos P (S|C).
I Tambien sabemos que
P (S) =
p
P (C|S) = 1
P (C|S) = 1/m
P (S) = 1− p
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 49 / 64
Ejemplos (5/6)
I Sean los eventos siguientes
I C : ((El estudiante contesta correctamente)) y
I S : ((El estudiante sabe la respuesta)).
I Buscamos P (S|C).
I Tambien sabemos que
P (S) = p
P (C|S) =
1
P (C|S) = 1/m
P (S) = 1− p
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Ejemplos (5/6)
I Sean los eventos siguientes
I C : ((El estudiante contesta correctamente)) y
I S : ((El estudiante sabe la respuesta)).
I Buscamos P (S|C).
I Tambien sabemos que
P (S) = p
P (C|S) = 1
P (C|S) =
1/m
P (S) = 1− p
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 49 / 64
Ejemplos (5/6)
I Sean los eventos siguientes
I C : ((El estudiante contesta correctamente)) y
I S : ((El estudiante sabe la respuesta)).
I Buscamos P (S|C).
I Tambien sabemos que
P (S) = p
P (C|S) = 1
P (C|S) = 1/m
P (S) =
1− p
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Ejemplos (5/6)
I Sean los eventos siguientes
I C : ((El estudiante contesta correctamente)) y
I S : ((El estudiante sabe la respuesta)).
I Buscamos P (S|C).
I Tambien sabemos que
P (S) = p
P (C|S) = 1
P (C|S) = 1/m
P (S) = 1− p
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Ejemplos (6/6)
I Por definicion de probabilidad condicional,
P (S|C) =P (S ∩ C)
P (C).
I Entonces,
P (S ∩ C) = P (S)P (C|S) = p · 1 = p
P (C) = P (C|S)P (S) + P (C|S)P (S)
= p +1
m(1− p).
I Obtenemos
P (S|C) =p
p + (1− p)/m=
mp
1 + (m− 1)p.
I Por ejemplo, si m = 5 y p = 1/2, entonces P (S|C) = 5/6.
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Ejemplos (6/6)
I Por definicion de probabilidad condicional,
P (S|C) =P (S ∩ C)
P (C).
I Entonces,
P (S ∩ C) = P (S)P (C|S) = p · 1 = p
P (C) = P (C|S)P (S) + P (C|S)P (S)
= p +1
m(1− p).
I Obtenemos
P (S|C) =p
p + (1− p)/m=
mp
1 + (m− 1)p.
I Por ejemplo, si m = 5 y p = 1/2, entonces P (S|C) = 5/6.
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Ejemplos (6/6)
I Por definicion de probabilidad condicional,
P (S|C) =P (S ∩ C)
P (C).
I Entonces,
P (S ∩ C) = P (S)P (C|S) = p · 1 = p
P (C) = P (C|S)P (S) + P (C|S)P (S)
= p +1
m(1− p).
I Obtenemos
P (S|C) =p
p + (1− p)/m=
mp
1 + (m− 1)p.
I Por ejemplo, si m = 5 y p = 1/2, entonces P (S|C) = 5/6.
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Ejemplos (6/6)
I Por definicion de probabilidad condicional,
P (S|C) =P (S ∩ C)
P (C).
I Entonces,
P (S ∩ C) = P (S)P (C|S) = p · 1 = p
P (C) = P (C|S)P (S) + P (C|S)P (S)
= p +1
m(1− p).
I Obtenemos
P (S|C) =p
p + (1− p)/m=
mp
1 + (m− 1)p.
I Por ejemplo, si m = 5 y p = 1/2, entonces P (S|C) = 5/6.
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Ejemplos (6/6)
I Por definicion de probabilidad condicional,
P (S|C) =P (S ∩ C)
P (C).
I Entonces,
P (S ∩ C) = P (S)P (C|S) = p · 1 = p
P (C) = P (C|S)P (S) + P (C|S)P (S)
= p +1
m(1− p).
I Obtenemos
P (S|C) =p
p + (1− p)/m=
mp
1 + (m− 1)p.
I Por ejemplo, si m = 5 y p = 1/2, entonces P (S|C) = 5/6.
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Particiones y probabilidad condicional
Teorema
Suponemos que F1, F2, . . ., Fn son eventos disjuntos dos ados y que
⋃ni=1 Fi = S, es decir que exactemente uno de los
eventos F1, F2, . . ., Fn ocurre. Entonces
P (E) =
n∑i=1
P (E ∩ Fi) =
n∑i=1
P (E|Fi)P (Fi).
E
F1 F2 F3. . . Fn−1 Fn
S
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Formula de Bayes (1/2)
Teorema (Formula de Bayes)
Sean A y B dos eventos. Entonces
P (A|B) =P (B|A)P (A)
P (B).
Demostracion
Sigue de la seconda igualdad:
P (A ∩B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A).
De hecho, observamos que
P (A|B) =P (A ∩B)
P (B)=
P (B|A)P (A)
P (B).
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Formula de Bayes (2/2)
Teorema (Formula generalizada de Bayes)
Suponemos que F1, F2, . . ., Fn son eventos disjuntos dos ados y que
n⋃i=1
Fi = S,
es decir que exactamente uno evento de F1, F2, . . ., Fn
ocurre.Entonces
P (Fj |E) =P (E|Fj)P (Fj)∑ni=1 P (E|Fi)P (Fi)
.
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Ejemplo (1/2)
I Un laboratorio proporciona una prueba para la deteccionde una enfermedad.
I Sabemos que si un paciente tiene la enfermedad, laprueba lo detecta en 99 % de los casos.
I Pero si alguien esta sano, en 1 % de los casos, el resultadoes un falso positivo.
I Suponemos que la enfermedad afecta 0,5 % de la poblacion.
I ¿Cual es la probabilidad que alguien sea afectada dadoque el resultado es positivo?
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Ejempo (2/2)
I Sean los eventos siguientes:
I A : ((La persona es afectada)) y
I R : ((El resultado es positivo)).
I Buscamos P (A|R).
I Por la formula de Bayes generalizada, tenemos
P (A|R) =P (R|A)P (A)
P (R|A)P (A) + P (R|A)P (A)
=0,99 · 0,005
0,99 · 0,005 + 0,01 · 0,995
= 0,3322.
I Entonces, solamente 33 % de los pacientes son afectadosde hecho.
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Ejempo (2/2)
I Sean los eventos siguientes:
I A : ((La persona es afectada)) y
I R : ((El resultado es positivo)).
I Buscamos P (A|R).
I Por la formula de Bayes generalizada, tenemos
P (A|R) =P (R|A)P (A)
P (R|A)P (A) + P (R|A)P (A)
=0,99 · 0,005
0,99 · 0,005 + 0,01 · 0,995
= 0,3322.
I Entonces, solamente 33 % de los pacientes son afectadosde hecho.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 55 / 64
Ejempo (2/2)
I Sean los eventos siguientes:
I A : ((La persona es afectada)) y
I R : ((El resultado es positivo)).
I Buscamos P (A|R).
I Por la formula de Bayes generalizada, tenemos
P (A|R) =P (R|A)P (A)
P (R|A)P (A) + P (R|A)P (A)
=0,99 · 0,005
0,99 · 0,005 + 0,01 · 0,995
= 0,3322.
I Entonces, solamente 33 % de los pacientes son afectadosde hecho.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 55 / 64
Ejempo (2/2)
I Sean los eventos siguientes:
I A : ((La persona es afectada)) y
I R : ((El resultado es positivo)).
I Buscamos P (A|R).
I Por la formula de Bayes generalizada, tenemos
P (A|R) =P (R|A)P (A)
P (R|A)P (A) + P (R|A)P (A)
=0,99 · 0,005
0,99 · 0,005 + 0,01 · 0,995
= 0,3322.
I Entonces, solamente 33 % de los pacientes son afectadosde hecho.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 55 / 64
Ejempo (2/2)
I Sean los eventos siguientes:
I A : ((La persona es afectada)) y
I R : ((El resultado es positivo)).
I Buscamos P (A|R).
I Por la formula de Bayes generalizada, tenemos
P (A|R) =P (R|A)P (A)
P (R|A)P (A) + P (R|A)P (A)
=0,99 · 0,005
0,99 · 0,005 + 0,01 · 0,995
= 0,3322.
I Entonces, solamente 33 % de los pacientes son afectadosde hecho.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 55 / 64
La paradoja de Monty Hall
I Es una paradoja muy famosa.
I Serie Numb3rs:https://www.youtube.com/watch?v=P9WFKmLK0dc
I Se prueba con la formula generalizada de Bayes.
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Tabla de contenidos
1. Espacios muestrales y eventos
2. Axiomas y propiedades de probabilidad
3. Tecnicas de conteo
4. Probabilidad condicional
5. Independencia
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Definicion
I Sean E y F dos eventos.
I Intuitivamente, E y F son independiente si el hecho deconocer F no cambia la probabilidad que E ocurre.
I Se traduce por P (E|F ) = P (E).
I Entonces, como P (E|F ) = P (E ∩ F )/P (F ), se deduce
P (E ∩ F ) = P (E) · P (F ).
Definicion
Sean E y F dos eventos. Dicemos que E y F sonindependientes si
P (E ∩ F ) = P (E)P (F ).
Si no, dicemos que E y F son dependientes.
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Ejemplos (1/2)
I Elegimos al azar una carta de una baraja de 52 cartas.
I A : ((La carta es un as)) y
I C : ((La carte es de espadas)).
I Claramente, P (A) = 1/13, P (C) = 1/4 y P (A ∩ C) = 1/52,entonces los eventos son independientes.
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Ejemplos (2/2)
Un otro ejemplo
I R : ((El proximo presidente de los Estados Unidos serarepublicano)).
I T : ((Habra un terremoto durante el proximo ano)).
I C : ((Habra una recesion economica durante los dosproximos anos)).
I Es razonable suponer que R y T son independientes.
I Pero no parece razonable que R y C son independientes.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 60 / 64
Ejemplos (2/2)
Un otro ejemplo
I R : ((El proximo presidente de los Estados Unidos serarepublicano)).
I T : ((Habra un terremoto durante el proximo ano)).
I C : ((Habra una recesion economica durante los dosproximos anos)).
I Es razonable suponer que R y T son independientes.
I Pero no parece razonable que R y C son independientes.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 60 / 64
Ejemplos (2/2)
Un otro ejemplo
I R : ((El proximo presidente de los Estados Unidos serarepublicano)).
I T : ((Habra un terremoto durante el proximo ano)).
I C : ((Habra una recesion economica durante los dosproximos anos)).
I Es razonable suponer que R y T son independientes.
I Pero no parece razonable que R y C son independientes.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 60 / 64
Independencia de mas de dos eventos
Definicion
Sean E, F y G tres eventos. Dicemos que E, F y G sonindependientes si
P (E ∩ F ∩G) = P (E)P (F )P (G)
P (E ∩ F ) = P (E)P (F )
P (E ∩G) = P (E)P (G)
P (F ∩G) = P (F )P (G).
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Ejemplo
I Las cuatro igualidades son esentiales.
I Dos dados son lanzados.
I Sean los eventos siguientes
I S : ((La suma es 7));
I T : ((El primer dado es 3)) y
I Q : ((El secondo dado es 4)).
I Claramente, S ∩ T , S ∩Q y T ∩Q son independientes.
I Pero P (S ∩ T ∩Q) = 1/36, mientras que
P (S)P (T )P (Q) =1
6· 1
6· 1
6=
1
2166= 1
36.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 62 / 64
Ejemplo
I Las cuatro igualidades son esentiales.
I Dos dados son lanzados.
I Sean los eventos siguientes
I S : ((La suma es 7));
I T : ((El primer dado es 3)) y
I Q : ((El secondo dado es 4)).
I Claramente, S ∩ T , S ∩Q y T ∩Q son independientes.
I Pero P (S ∩ T ∩Q) = 1/36, mientras que
P (S)P (T )P (Q) =1
6· 1
6· 1
6=
1
2166= 1
36.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 62 / 64
Ejemplo
I Las cuatro igualidades son esentiales.
I Dos dados son lanzados.
I Sean los eventos siguientes
I S : ((La suma es 7));
I T : ((El primer dado es 3)) y
I Q : ((El secondo dado es 4)).
I Claramente, S ∩ T , S ∩Q y T ∩Q son independientes.
I Pero P (S ∩ T ∩Q) = 1/36, mientras que
P (S)P (T )P (Q) =1
6· 1
6· 1
6=
1
2166= 1
36.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 62 / 64
Ejemplo
I Las cuatro igualidades son esentiales.
I Dos dados son lanzados.
I Sean los eventos siguientes
I S : ((La suma es 7));
I T : ((El primer dado es 3)) y
I Q : ((El secondo dado es 4)).
I Claramente, S ∩ T , S ∩Q y T ∩Q son independientes.
I Pero P (S ∩ T ∩Q) = 1/36, mientras que
P (S)P (T )P (Q) =1
6· 1
6· 1
6=
1
2166= 1
36.
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 62 / 64
Circuitos electricos (1/2)
I Sea el circuito siguiente
A
1 2 3
4 5
B
I Suponemos que el componente i funciona con probabilidadpi.
I ¿Cual es la probabilidad la corriente pasa entre A y Basumiendo que las probabilidades pi son independientes?
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Circuitos electricos (2/2)
I Sean
I Fi : ((El componente i funciona)), para i = 1, 2, 3, 4, 5;
I S : ((La corriente fluye a traves la parte superior)) y
I I : ((La corriente fluye a traves la parte inferior)).
I Calculamos la probabilidad que la corriente no fluye, esdecir la probabilidad P (S ∩ I).
I Como S et I son independientes, P (S ∩ I) = P (S)P (I).
I Los valores pi son independientes tambien, entoncesP (S) = p1p2p3 y P (I) = p4p5.
I Consecuentemente, la probabilidad buscada es1− P (S ∩ I) = 1− P (S)P (I) = 1− (1− p1p2p3)(1− p4p5).
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 64 / 64
Circuitos electricos (2/2)
I Sean
I Fi : ((El componente i funciona)), para i = 1, 2, 3, 4, 5;
I S : ((La corriente fluye a traves la parte superior)) y
I I : ((La corriente fluye a traves la parte inferior)).
I Calculamos la probabilidad que la corriente no fluye, esdecir la probabilidad P (S ∩ I).
I Como S et I son independientes, P (S ∩ I) = P (S)P (I).
I Los valores pi son independientes tambien, entoncesP (S) = p1p2p3 y P (I) = p4p5.
I Consecuentemente, la probabilidad buscada es1− P (S ∩ I) = 1− P (S)P (I) = 1− (1− p1p2p3)(1− p4p5).
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 64 / 64
Circuitos electricos (2/2)
I Sean
I Fi : ((El componente i funciona)), para i = 1, 2, 3, 4, 5;
I S : ((La corriente fluye a traves la parte superior)) y
I I : ((La corriente fluye a traves la parte inferior)).
I Calculamos la probabilidad que la corriente no fluye, esdecir la probabilidad P (S ∩ I).
I Como S et I son independientes, P (S ∩ I) = P (S)P (I).
I Los valores pi son independientes tambien, entoncesP (S) = p1p2p3 y P (I) = p4p5.
I Consecuentemente, la probabilidad buscada es1− P (S ∩ I) = 1− P (S)P (I) = 1− (1− p1p2p3)(1− p4p5).
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 64 / 64
Circuitos electricos (2/2)
I Sean
I Fi : ((El componente i funciona)), para i = 1, 2, 3, 4, 5;
I S : ((La corriente fluye a traves la parte superior)) y
I I : ((La corriente fluye a traves la parte inferior)).
I Calculamos la probabilidad que la corriente no fluye, esdecir la probabilidad P (S ∩ I).
I Como S et I son independientes, P (S ∩ I) = P (S)P (I).
I Los valores pi son independientes tambien, entoncesP (S) = p1p2p3 y P (I) = p4p5.
I Consecuentemente, la probabilidad buscada es1− P (S ∩ I) = 1− P (S)P (I) = 1− (1− p1p2p3)(1− p4p5).
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 64 / 64
Circuitos electricos (2/2)
I Sean
I Fi : ((El componente i funciona)), para i = 1, 2, 3, 4, 5;
I S : ((La corriente fluye a traves la parte superior)) y
I I : ((La corriente fluye a traves la parte inferior)).
I Calculamos la probabilidad que la corriente no fluye, esdecir la probabilidad P (S ∩ I).
I Como S et I son independientes, P (S ∩ I) = P (S)P (I).
I Los valores pi son independientes tambien, entoncesP (S) = p1p2p3 y P (I) = p4p5.
I Consecuentemente, la probabilidad buscada es1− P (S ∩ I) = 1− P (S)P (I) = 1− (1− p1p2p3)(1− p4p5).
A. Blondin Masse (UQAC) Capıtulo 2 64 / 64